| Математический сборник |
|
|
|
|
|
О гипотезе Тесье: случай логканонических порогов Е. Эльдук, М. Мустата Department of Mathematics, University of Michigan, Ann Arbor, MI, USA
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9442 
Реферативные базы данных:
     § 1. Утверждение гипотезыПусть $X$ – гладкое комплексное $n$-мерное алгебраическое многообразие, $f\in\mathscr{O}_X(X)$ – ненулевая регулярная функция на $X$ и $P\in X$ – точка в множестве нулей функции $f$. Обозначим через ${\mathfrak m}_P$ пучок идеалов регулярных функций, обращающихся в нуль в $P$, а через $J_f$ обозначим идеал Якоби функции $f$: если $x_1,\dots,x_n$ – алгебраические координаты на открытом подмножестве $U$ в $X$ (т.е. $x_1,\dots,x_n$ – регулярные функции на $U$ такие, что $dx_1,\dots,dx_n$ задают тривиализацию кокасательного пучка $\Omega_{U}$), то $J_f$ порождается в $U$ элементами ${\partial f}/{\partial x_1},\dots,{\partial f}/{\partial x_n}$. С этого момента будем считать, что функция $f$ имеет изолированную особенность в $P$, т.е. существует открытая окрестность $U$ точки $P$ такая, что $J_f$ не обращается в нуль ни в одной точке из $U\setminus\{P\}$. В [18] Б. Тесье был введен и изучался инвариант $\theta_P(f)$, который может быть описан через сравнение порядка обращения в нуль идеала $J_f$ с порядком обращения в нуль идеала ${\mathfrak m}_P$ вдоль дивизориальных нормирований с центром в $P$ (в начале § 2 мы приведем точное определение $\theta_P(f)$ с коротким обсуждением). Мы также будем рассматривать показатель Арнольда $\sigma_P(f)$ функции $f$ в точке $P$: он может быть определен в терминах асимптотического поведения интегралов по исчезающим циклам функции $f$ в точке $P$ (например, см. [7; § 9]). Рассмотрим следующую гипотезу Б. Тесье (см. [19]). Гипотеза 1.1. Пусть $X$ – гладкое комплексное $n$-мерное алгебраическое многообразие, $f\in\mathscr{O}_X(X)$ – ненулевая регулярная функция и $P \in X$ – точка в множестве нулей функции $f$ такая, что $f$ имеет в $P$ изолированную особенность. Пусть $H_1,\dots,H_{n-1}$ – гиперповерхности в $X$, проходящие через $P$, такие, что все пересечения $\Lambda_i:=H_1\cap\dots\cap H_i$ являются гладкими в $P$ и имеют размерность $n\,{-}\,i$, а функции $f_i:=f|_{\Lambda_i}$ имеют изолированную особенность в $P$. Тогда выполнена оценка Заметим, что в силу равенства $\dim(\Lambda_{n-1})=1$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{1+\theta_P(f_{n-1})}=\frac{1}{\operatorname{mult}_P(f_{n-1})}=\sigma_P(f_{n-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, гипотеза 1.1 выводится из следующего утверждения для случая одной гиперповерхности. Гипотеза 1.2. Пусть $X$ – гладкое комплексное $n$-мерное алгебраическое многообразие, $f\in\mathscr{O}_X(X)$ – ненулевая регулярная функция и $P \in X$ – точка в множестве нулей функции $f$ такая, что $f$ имеет в $P$ изолированную особенность. Пусть $H$ – гладкая гиперповерхность, проходящая через $P$, такая, что $f|_H$ имеет в $P$ изолированную особенность. Тогда выполнена оценка Ф. Лозер в [10] доказал гипотезу 1.2 в случае, когда инвариант $\theta_P(f)$ является целым числом. Более общо, он показал, что в предположениях гипотезы 1.2 всегда выполнено
$$
\begin{equation}
\sigma_P(f)\geqslant \sigma_P(f|_H)+\frac{1}{1+\lceil\theta_P(f)\rceil},
\end{equation}
\tag{1}
$$
где через $\lceil\alpha\rceil$ обозначено наименьшее целое число, большее или равное данному вещественному числу $\alpha$. Главная цель настоящей статьи – доказательство версии гипотезы 1.2 для логканонических порогов. За основными фактами о логканонических порогах мы отсылаем читателя к [7; § 8] или [14]. Напомним, что если $f$ – регулярная функция на $X$, имеющая изолированную особенность в точке $P$, то логканонический порог $\operatorname{lct}_P(f)$ функции $f$ в $P$ связан с $\sigma_P(f)$ следующим образом: (см. [7; теорема 9.5]). Нашей целью является доказательство следующего утверждения, соответствующего гипотезе 1.2 для логканонических порогов.Теорема 1.3. Пусть $X$ – гладкое комплексное $n$-мерное алгебраическое многообразие, а $f\in\mathscr{O}_X(X)$ – ненулевая регулярная функция, имеющая изолированную особенность в точке $P$. Если $H$ – гладкая гиперповерхность в $X$, проходящая через $P$, такая, что $f|_H\neq 0$, то выполнена оценка Доказательство теоремы основано на следующей идее Лозера, приведенной в [10]. Предположим, что $f\in\mathbb C[x_1,\dots,x_n]$ – регулярная функция, $P$ – начало координат и $H$ – гиперплоскость $x_n=0$. В этих условиях Лозер рассматривает семейство
$$
\begin{equation*}
h_t=f(x_1,\dots,x_{n-1},tx_n)+(1-t)x_n^{\lceil\theta\rceil+1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\theta=\theta_P(f)$. Далее результат выводится с использованием основных свойств показателей Арнольда (детали см. в § 2). Мы будем работать с семейством в том числе в тех случаях, когда $\theta$ не является целым. Чтобы придать этому смысл, мы рассмотрим обратный образ семейства $h_t$ относительно циклического накрытия $\pi$, заданного через $(x_1,\dots,x_n)\to (x_1,\dots,x_{n-1},x_n^d)$, где $d$ – подходящее целое положительное число. Вместо использования логканонических порогов мы будем работать с числами подскока множительных идеалов семейства $h_t\circ\pi$ по отношению к уравнению $x_n^{d-1}$, определяющему относительный канонический дивизор накрытия $\pi$. Замечание 1.4. Отметим, что, в отличие от гипотезы 1.2, в теореме 1.3 не предполагается, что $f|_H$ имеет изолированную особенность в $P$. С одной стороны, логканонический порог $\operatorname{lct}_P(f|_H)$ определен для любой ненулевой функции $f|_H$. С другой стороны, всегда возможно выбрать гладкую гиперповерхность $H'$, содержащую $P$, такую, что $f|_{H'}$ имеет изолированную особенность в $P$ и $\operatorname{lct}_P(f|_{H'})\geqslant\operatorname{lct}_P(f|_H)$. В самом деле, при необходимости заменяя $X$ на подходящую аффинную открытую окрестность точки $P$, можно предположить, что $X$ аффинно. Мы можем выбрать систему алгебраических координат $x_1,\dots,x_n$ на $X$ с центром в $P$ таким образом, что $H$ определяется координатой $x_1$. Пусть $H'$ задано общей линейной комбинацией координат $x_1,\dots,x_n$, тогда $f|_{H'}$ имеет изолированную особенность и неравенство $\operatorname{lct}_P(f|_{H'})\geqslant\operatorname{lct}_P(f|_H)$ выполнено в силу полунепрерывности логканонических порогов (см. [2; теорема 3.1] или [13; теорема 4.9]). Замечание 1.5. Теорему 1.3 (равно как и гипотезу 1.2) возможно сформулировать в более общей ситуации, когда $X$ является комплексным многообразием, а $f$ – голоморфной функцией с изолированной особенностью в $P$. Тем не менее эта версия легко выводится из алгебраического случая. В самом деле, без ограничения общности можно предположить, что $X\subseteq\mathbb C^n$ – открытое подмножество, $P$ – начало координат, а $H$ – гиперплоскость $(x_n=0)$. Воспользуемся стандартным результатом из теории особенностей: если $g$ – голоморфная в нуле функция такая, что $\operatorname{mult}_0(g)\gg 0$ (на самом деле достаточно взять $\operatorname{mult}_0(g)\,{\geqslant}\, 2\,{+}\dim_{\mathbb C}(\mathscr{O}_{\mathbb C^n,0}/J_f)$; см. [4; следствие 2.24]), то $f$ и $f\,{+}\,g$ могут быть получены друг из друга аналитической заменой координат. Аналогичное свойство выполняется для $f|_H$ и $(f\,{+}\,g)|_H$, если $\operatorname{mult}_0(g)\gg 0$ (отметим, что в силу замечания 1.4 можно предположить, что $f|_{H}$ также имеет изолированную особенность в нуле). Тогда выполнено Таким образом, без ограничения общности можно предположить, что функция $f$ является многочленом. Замечание 1.6. Развивая подход, предложенный в настоящей статье, вторым автором совместно с Б. Дирксом в [3] было анонсировано доказательство общей гипотезы Тесье. Как обсуждалось выше, доказательство теоремы 1.3 опирается на описание логканонических порогов через множительные идеалы и на различные свойства множительных идеалов. Показатель Арнольда допускает схожее описание в терминах идеалов Ходжа – инвариантов особенностей из теории Сайто смешанных модулей Ходжа (см. [15]). В [3] разработаны необходимые результаты об идеалах Ходжа (а именно, о поведении при конечных морфизмах и поведении в семействах изолированных особенностей с постоянным числом Милнора), после чего доказательство следует подходу, предложенному в настоящей статье. БлагодарностиМы благодарны Томмазо де Ферне и Александру Димка за полезные обсуждения, а также анонимному рецензенту за комментарии к предыдущей версии статьи. § 2. Доказательство основного результатаНачнем с того, что напомним определение инварианта Тесье $\theta_P(f)$. Пусть $X$ – гладкое комплексное алгебраическое многообразие, $f\in\mathscr{O}_X(X)$ – ненулевая регулярная функция и $P$ – точка в множестве нулей функции $f$. Предположим, что $f$ имеет изолированную особенность в $P$, и обозначим через $J_f$ и ${\mathfrak m}_P$ соответственно идеал Якоби функции $f$ и идеал, задающий точку $P$. Мы используем следующее описание инварианта $\theta_P(f)$:
$$
\begin{equation}
\theta_P(f):=\sup_E\frac{\operatorname{ord}_E(J_f)}{\operatorname{ord}_E({\mathfrak m}_P)}.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Здесь $E$ пробегает все простые дивизоры на нормальных комплексных алгебраических многообразиях $Y$ с бирациональным морфизмом $\pi\colon Y\to X$ таким, что $E$ отображается в точку $P$. Для таких $E$ обозначим через $\operatorname{ord}_E(g)$ коэффициент дивизора $E$ в дивизоре, ассоциированном с $g\circ\pi$. Для когерентного идеала $J$ на $X$ обозначим через $\operatorname{ord}_E(J)$ минимум чисел $\operatorname{ord}_E(g)$, где $g$ пробегает систему порождающих $J$ в окрестности точки $P$. Отметим, что если функция $f$ не имеет особенности в $P$, то $J_f=\mathscr{O}_X$ в окрестности точки $P$ и, следовательно, $\theta_P(f)=0$. В противном случае имеем $J_f\subseteq \mathfrak{m}_P$, тогда $\theta_P(f)\geqslant 1$. Пример 2.1. Если $n=1$ и $m=\operatorname{mult}_P(f)\geqslant 1$, то в окрестности точки $P$ можно выбрать координату $x_1$ так, что $f=gx_1^m$, где $g(P)\neq 0$. Тогда $J_f$ порождается в окрестности $P$ мономом $x_1^{m-1}$, и ясно, что $\theta_P(f)=m-1$. Нетрудно показать, что если $\pi\colon Y\to X$ – собственный бирациональный морфизм, где $Y$ нормально, такой, что ${\mathfrak m}_P\,{\cdot}\,\mathscr{O}_Y$ и $J_f\,{\cdot}\, \mathscr{O}_Y$ являются локально главными идеалами (например, это выполнено, когда $\pi$ пропускается через раздутие $X$ вдоль ${\mathfrak m}_P\cdot J_f$), то
$$
\begin{equation}
\theta_P(f):=\max_{E_i}\frac{\operatorname{ord}_{E_i}(J_f)}{\operatorname{ord}_{E_i}({\mathfrak m}_P)},
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $E_i$ – простые дивизоры на $Y$, лежащие в слое над точкой $P$. Более того, можно описать инвариант $\theta_P(f)$ в терминах целого замыкания степеней идеала $J_f$ следующим образом (определение и основные свойства целого замыкания идеалов см., например, в [9; п. 9.6.A]). Если мы обозначим через $\overline{\mathfrak{a}}$ целое замыкание когерентного идеала $\mathfrak{a}$, то для любых положительных целых чисел $r$ и $s$ неравенство ${r}/{s}\geqslant \theta_P(f)$ равносильно тому, что
$$
\begin{equation}
{\mathfrak{m}_P^r}\subseteq\overline{J_f^s} \quad\text{в некоторой окрестности точки } P
\end{equation}
\tag{4}
$$
(это следует из описания целого замыкания идеалов в [9; предложение 9.6.6]). Доказательство теоремы 1.3 следует подходу, изложенному в [10], поэтому начнем с наброска доказательства неравенства (1). Напомним, что если функция $f$ имеет изолированную особенность в $P$, то числом Милнора $f$ в точке $P$ называется число $\mu_P(f)=\dim_{\mathbb C}(\mathscr{O}_{X,P}/J_f)$. Рассуждениями из замечания 1.5 можно показать, что можно ограничиться случаем, когда $X=\mathbb C^n$, $P$ является началом координат, $f\in\mathbb C[x_1,\dots,x_n]$ и $H$ определена уравнением $x_n=0$. Положим $g(x_1,\dots,x_{n-1})\,{=}\,f(x_1,\dots,x_{n-1},0)$. Основная идея заключается в рассмотрении для каждого положительного целого числа $m$ семейства многочленов $(h_t)_{t \in \mathbb C}$, где
$$
\begin{equation*}
h_t(x_1,\dots,x_n) = f(x_1,\dots,x_{n-1},tx_n)+(1-t)x_n^m.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что выполнено $h_0=g(x_1,\dots,x_{n-1})+x_n^m$, $h_1=f$. Во-первых, из полунепрерывности показателя Арнольда (см. [16; теорема 2.11]) следует, что существует открытая в топологии Зарисского окрестность $U$ точки $0\in\mathbb C$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\sigma_0(h_t)\geqslant \sigma_0(h_0)=\sigma_0(g)+\frac{1}{m} \quad\text{для всех }\ t\in U,
\end{equation*}
\notag
$$
где равенство следует из свойства Тома–Себастьяни показателя Арнольда (см., например, [11; пример (8.6)]). Во-вторых, если $m\geqslant1+\theta_P(f)$, то существует открытая в топологии Зарисского окрестность $V$ точки $1\in\mathbb C$ такая, что для каждой точки $t \in V$ гиперповерхность, определенная функцией $h_t$, имеет изолированную особенность в $P$ и число Милнора в $P$ постоянно на $V$: В силу результата А. Н. Варченко [20] из этого следует, что показатель Арнольда постоянен на этом открытом множестве: $\sigma_0(h_t)=\sigma_0(h_1)=\sigma_0(f)$. Выберем $t_0\in U\cap V$, тогда
$$
\begin{equation*}
\sigma_0(f)=\sigma_0(h_1)=\sigma_0(h_{t_0})\geqslant \sigma_0(g)+\frac{1}{m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если мы также выберем $m=1+\lceil\theta_0(f)\rceil$, то получим неравенство (1). При доказательстве теоремы 1.3 мы будем следовать схожему подходу, но разрешим $m$ быть рациональным числом. Чтобы придать смысл соответствующему логканоническому порогу, рассмотрим подходящее конечное накрытие и с помощью специальных методов докажем необходимые результаты о полунепрерывности и постоянстве. В процессе доказательства будем использовать различные результаты о множительных идеалах. За определением и основными результатами о множительных идеалах мы отсылаем читателя к [9; § 9]. Чтобы обосновать определение, которое мы дадим ниже, напомним, как ведут себя логканонические пороги при конечных морфизмах. Вначале напомним, что если $f\in\mathscr{O}_X(X)$ – ненулевая регулярная функция на гладком многообразии $X$, обращающаяся в нуль в $P$, а $\lambda$ – положительное рациональное число, то неравенство $\lambda<\operatorname{lct}_P(f)$ выполнено тогда и только тогда, когда множительный идеал $\mathscr{J}(X,f^{\lambda})$ совпадает с $\mathscr{O}_X$ в окрестности точки $P$. Теперь предположим, что $\pi\colon Y\to X$ – конечный сюръективный морфизм между гладкими комплексными алгебраическими многообразиями и $K_{Y/X}$ – относительный канонический дивизор (т.е. эффективный дивизор, локально заданный определителем матрицы Якоби морфизма $\pi$). В этом случае можно воспользоваться формулой, связывающей множительные идеалы $\mathscr{J}(X,f^{\lambda})$ и $\mathscr{J}(Y, (f\circ\pi)^{\lambda})$ (см. [9; теорема 9.5.42]), и заключить, что неравенство $\lambda<\operatorname{lct}_P(f)$ равносильно тому, что
$$
\begin{equation*}
\mathscr{O}_Y(-K_{Y/X})\subseteq\mathscr{J}(Y, (f\circ \pi)^{\lambda}) \quad\text{в окрестности множества } \pi^{-1}(P).
\end{equation*}
\notag
$$
Ситуация 2.2. Нам будет интересна следующая ситуация. Предположим, что $X=\mathbb C^n$, где $n\geqslant 2$, и $f\in\mathbb C[x_1,\dots,x_n]$ – ненулевая регулярная функция такая, что $f(0)=0$. Положим $g(x_1,\dots,x_{n-1})=f(x_1,\dots,x_{n-1},0)$ и предположим, что $g\neq 0$. Зафиксируем также положительное рациональное число $\alpha$. Тогда для любого заданного числа $t\in \mathbb C$ положим Мы не будем вкладывать какой-то явный смысл в $h_t$, но определим виртуальный логканонический порог $\operatorname{vlct}_0(h_t)$ функции $h_t$ в нуле следующим образом. Рассмотрим положительное целое число $d$ такое, что $d \alpha$ является целым, а также конечный сюръективный морфизм $\pi\colon Y=\mathbb C^n\to X$, заданный как $\pi(u_1,\dots,u_n)=(u_1,\dots,u_{n-1},u_n^d)$. Введем стандартные координаты $y_1,\dots,y_n$ на $Y$. Отметим, что в этом случае дивизор $K_{Y/X}$ определен мономом $y_n^{d-1}$. Хотя семейство $h_t$ и не имеет смысла само по себе, мы можем рассмотреть семейство Отметим, что $\widetilde{h}_t(0)=0$ и $\widetilde{h}_t\neq 0$ для всех $t$: в самом деле, иначе, ограничив $\widetilde{h}_t$ на гиперплоскость $y_n=0$, мы бы получили $g=0$, что противоречит нашему предположению. ПоложимЗамечание 2.3. Напомним, что если $\lambda'>\lambda$, то $\mathscr{J}(Y,\widetilde{h}_t^{\lambda'})\subseteq \mathscr{J}(Y, \widetilde{h}_t^{\lambda})$; при этом равенство имеет место тогда и только тогда, когда $\lambda'-\lambda$ достаточно мало (относительно $\lambda$). Отсюда следует, что $y_n^{d-1}\in\mathscr{J}(Y, \widetilde{h}_t^{\lambda})$ в окрестности точки $0$ тогда и только тогда, когда выполнено неравенство $\lambda<\operatorname{vlct}_0(h_t)$. Замечание 2.4. Определение $\operatorname{vlct}_0(h_t)$ не зависит от выбора числа $d$. В самом деле, достаточно показать, что если вместо $d$ рассмотреть число $rd$ для любого положительного целого числа $r$, то значение $\operatorname{vlct}_0(h_t)$ не изменится. Пусть $\varphi\colon Z=\mathbb C^n\to Y$ – конечный сюръективный морфизм, заданный формулой $\varphi(u_1,\dots,u_n)=(u_1,\dots,u_{n-1},u_n^r)$. Пусть $z_1,\dots,z_n$ – стандартные координаты на $Z$. Отметим, что $(\pi\circ\varphi)^*(h_t)=\widetilde{h}_t\circ\varphi$. Так как дивизор $K_{Z/Y}$ определяется мономом $z_n^{r-1}$, то из описания поведения множительных идеалов при конечных сюръективных морфизмах (см. [9; теорема 9.5.42]) следует, что условие равносильно условию что доказывает независимость $\operatorname{vlct}_0(h_t)$ от выбора числа $d$. В частности, если $h_t\in\mathbb C[x_1,\dots,x_n]$ (т.е. если $\alpha$ – целое число или $t=1$), то $\operatorname{vlct}_0(h_t)=\operatorname{lct}_0(h_t)$. Замечание 2.5. Можно показать, что для всех $t$ выполнено $\operatorname{vlct}_0(h_t)\leqslant 1$. В самом деле, если $\lambda\geqslant 1$, то $\mathscr{J}(Y,\widetilde{h}_t^{\lambda})\subseteq (\widetilde{h}_t)$. Если же $y_n^{d-1}\in \mathscr{J}(Y,\widetilde{h}_t^{\lambda})$ в окрестности точки $0$, то найдутся многочлены $u,v\in\mathbb C[y_1,\dots,y_n]$ c $u(0)\neq 0$ такие, что выполнено При этом $y_n$ не делит $\widetilde{h}_t$: в противном случае, ограничив $\widetilde{h}_t$ на гиперплоскость $y_n=0$, мы бы получили $g=0$, что противоречит нашему предположению. Тогда из (5) мы можем вывести, что $y_n^{d-1}$ делит $v$ и, следовательно, $\widetilde{h}_t$ делит $u$, что противоречит тому, что $u(0)\neq 0$. Ясно, что $\operatorname{vlct}_0(h_1)=\operatorname{lct}_0(h_1)=\operatorname{lct}_0(f)$. Следующая лемма позволяет вычислить значение $\operatorname{vlct}_0(h_t)$ при $t=0$. Лемма 2.6. В обозначениях ситуации 2.2 выполнено Доказательство. Так как $\operatorname{vlct}_0(h_0)\leqslant 1$ в силу замечания 2.5, то достаточно показать, что для любого $\lambda<1$ выполнено
$$
\begin{equation}
\operatorname{vlct}_0(h_0)>\lambda \quad\text{тогда и только тогда, когда } \operatorname{lct}_0(g)+\frac{1}{\alpha}>\lambda.
\end{equation}
\tag{6}
$$
По определению оценка $\operatorname{vlct}_0(h_0)>\lambda$ выполнена тогда и только тогда, когда $y_n^{d-1}\,{\in}\,\mathscr{J}(Y,\widetilde{h}_0^{\lambda})$ в окрестности точки $0$. Напомним, что выполнено равенство $\widetilde{h}_0\,{=}\,g(y_1,\dots,y_{n-1})+y_n^{d\alpha}$. Утверждаем, что если $\mathfrak{a}$ – идеал, порожденный многочленами $g$ и $y_n^{d\alpha}$, то
$$
\begin{equation}
\mathscr{J}(Y,\mathfrak{a}^{\lambda})=\mathscr{J}(Y, \widetilde{h}_0^{\lambda}).
\end{equation}
\tag{7}
$$
Чтобы увидеть это, вначале заметим, что так как $\lambda<1$, то из [9; предложение 9.2.28] следует, что для общих точек $c_1, c_2\in\mathbb C$. В частности, $c_1$ и $c_2$ отличны от нуля, и ясно, что можно предположить, что $c_1=1$. Рассмотрим действие алгебраического тора $\mathbb C^*$ на $\mathbb C^n$, заданное умножением на последнюю координату. Очевидно, что идеал $\mathfrak{a}$ сохраняется при этом действии; следовательно, $\mathscr{J}(Y,\mathfrak{a}^{\lambda})$ также сохраняется. Так как мы можем растяжением привести $g\,{+}\,c_2 y_n^{d\alpha}$ к виду $g\,{+}\,y_n^{d\alpha}$, то получаем заявленное утверждение.
Теперь можно использовать теорему о суммировании множительных идеалов в форме из [17] (см. [6]). Получаем, что
$$
\begin{equation}
\mathscr{J}(Y,\mathfrak{a}^{\lambda})=\sum_{\beta+\gamma=\lambda}\mathscr{J}(Y,g^{\beta}y_n^{d\alpha\gamma}),
\end{equation}
\tag{8}
$$
где суммирование происходит по всем неотрицательным рациональным числам $\beta$, $\gamma$ таким, что $\beta+\gamma=\lambda$ (отметим, что в сумме имеется лишь конечное количество различных слагаемых). С другой стороны, так как $g$ зависит лишь от первых $n\,{-}\,1$ координат, а $\mathscr{J}(\mathbb C,y_n^{d\alpha\gamma})=(y_n^{\lfloor d\alpha\gamma\rfloor})$, то по [9; предложение 9.5.22] имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathscr{J}(Y,g^{\beta}y_n^{d\alpha\gamma}) &=\mathscr{J}(\mathbb C^{n-1},g^{\beta})\cdot \mathscr{J}(\mathbb C, y_n^{d\alpha\gamma})\cdot \mathbb C[y_1,\dots,y_n] \\ &=\mathscr{J}(\mathbb C^{n-1},g^{\beta})y_n^{\lfloor d\alpha\gamma\rfloor}\cdot \mathbb C[y_1,\dots,y_n]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
Тогда, используя (7)–(9), можно заключить, что
$$
\begin{equation}
\mathscr{J}(Y,\widetilde{h}_0^{\lambda})=\sum_{\beta+\gamma=\lambda}\mathscr{J}(\mathbb C^{n-1},g^{\beta})y_n^{\lfloor d\alpha\gamma\rfloor}\cdot \mathbb C[y_1,\dots,y_n].
\end{equation}
\tag{10}
$$
Далее, утверждаем, что из этого следует, что $y_n^{d-1}\in \mathscr{J}(Y,\widetilde{h}_0^{\lambda})$ в окрестности точки $0$ тогда и только тогда, когда существует число $\beta$ такое, что $0\leqslant\beta\leqslant\lambda$, где $\beta\,{<}\operatorname{lct}_0(g)$ и $\lfloor d\alpha(\lambda\,{-}\,\beta)\rfloor\,{\leqslant}\, d-1$. В самом деле, достаточность этого условия следует непосредственно из (10). Обратно, если $y_n^{d-1}\in \mathscr{J}(Y,\widetilde{h}_0^{\lambda})$ в окрестности точки $0$, то из (10) следует, что мы можем записать
$$
\begin{equation}
q(y_1,\dots,y_n) \cdot y_n^{d-1} = \sum_{i=1}^r u_i(y_1,\dots,y_n) p_i(y_1,\dots,y_{n-1}) y_n^{\gamma_i},
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $q(0)\neq 0$, $u_i\in\mathbb C[y_1,\dots,y_n]$, $p_i\in\mathscr{J}(\mathbb C^{n-1},g^{\beta_i})$ и $\gamma_i\geqslant \lfloor d\alpha(\lambda-\beta_i)\rfloor$. Разложим $u_i$ по степеням координаты $y_n$. Тогда, заменяя $r$ на достаточно большое число, можно предположить, что $u_i=1$ для всех $i$. Из рассмотрения порядка обращения в нуль вдоль $y_n=0$ получаем, что можно предположить $\gamma_i\geqslant d-1$ для всех $i$. Деля на $y_n^{d-1}$ и беря значение в точке $0$, можно заключить, что существует индекс $i$ такой, что $p_i(0)\neq 0$ и $\gamma_i=d-1$. Таким образом, $\beta_i<\operatorname{lct}_0(g)$ и $d-1\geqslant \lfloor d\alpha(\lambda-\beta_i)\rfloor$, и заявленное утверждение доказано.
Таким образом, мы видим, что $\lambda<\operatorname{vlct}_0(h_0)$ тогда и только тогда, когда существует число $\beta$ такое, что $0\leqslant\beta\leqslant\lambda$, где $\beta<\operatorname{lct}_0(g)$ и $d-1\geqslant \lfloor d\alpha(\lambda-\beta)\rfloor$. Отметим, что $d-1\geqslant \lfloor d\alpha(\lambda-\beta)\rfloor$ выполняется тогда и только тогда, когда $d>d\alpha(\lambda-\beta)$, что эквивалентно $\lambda<\beta+{1}/{\alpha}$. Следовательно, $\lambda<\operatorname{vlct}_0(h_0)$ тогда и только тогда, когда $\lambda<\operatorname{lct}_0(g)+{1}/{\alpha}$. Лемма доказана. Лемма 2.7. В обозначениях ситуации 2.2 существует открытая в топологии Зарисского окрестность $U$ точки $0\in\mathbb C$ такая, что Доказательство. Используя общее поведение множительных идеалов в семействах (см. доказательство в [9; теорема 9.5.35]) и дискретность множества чисел подскока для множительных идеалов данного идеала (см. доказательство в [9; лемма 9.3.21]), возможно показать, что множество $\{\operatorname{vlct}_0(h_t)\mid t\in\mathbb C\}$ является конечным. Отсюда следует, что для доказательства леммы достаточно показать, что если $\lambda<\operatorname{vlct}_0({h}_0)$, то существует открытая в топологии Зарисского окрестность $U\subseteq\mathbb C$ такая, что $\operatorname{vlct}_0({h}_t)>\lambda$ для всех $t\in U$. Отметим, что $\lambda<1$ в силу замечания 2.5.
Для данного идеала $I$ в $S:=\mathbb C[y_1,\dots,y_n,t]$ и числа $t_0\in\mathbb C$ обозначим через $I_{t_0}$ ограничение идеала $I$ на гиперплоскость $t=t_0$, которая очевидным образом отождествляется с $Y$. Рассмотрим идеал $\mathfrak{a}=\bigl(f(y_1,\dots,y_{n-1},ty_n^d), y_n^{d\alpha}\bigr)\subseteq S$, и пусть $J=\mathscr{J}(Y\times\mathbb C, \mathfrak{a}^{\lambda})$. Если мы рассмотрим на $S$ градуировку, заданную $\deg(t)=-d$, $\deg(y_n)=1$ и $\deg(y_i)=0$ для $1\leqslant i\leqslant n-1$, то $\mathfrak{a}$ является однородным идеалом. Отсюда следует, что $J$ также является однородным. Отметим, что если $t_0\neq 0$ и $s_0\in\mathbb C$ – число такое, что $s_0^d=t_0$, то, положив $w=s_0y_n$, можно записать
$$
\begin{equation*}
f(y_1,\dots,y_{n-1},t_0y_n^d)+(1-t_0)y_n^{d\alpha}=f(y_1,\dots,y_{n-1},w^d)+\frac{1-s_0^d}{s_0^{d\alpha}}w^{d\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\lambda<1$, то из [9; предложение 9.2.28] следует, что для общей точки $s_0\in\mathbb C$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\mathscr{J}\biggl(Y, \biggl(f(y_1,\dots,y_{n-1},w^d)+\frac{1-s_0^d}{s_0^{d\alpha}}w^{d\alpha}\biggr)^{\lambda}\biggr) =\mathscr{J}\bigl(Y, (f(y_1,\dots,y_{n-1},w^d), w^{d\alpha})^{\lambda}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда можно заключить, то для общей точки $t_0\in\mathbb C$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\mathscr{J}(Y, \widetilde{h}_{t_0}^{\lambda})=\mathscr{J}(Y,\mathfrak{a}_{t_0}^{\lambda}).
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, из теоремы об описании общего поведения множительных идеалов в семействах (см. [9; теорема 9.5.35]) можно вывести, что если $t_0\in\mathbb C$ – общая точка, то $\mathscr{J}(Y,\mathfrak{a}_{t_0}^{\lambda})=J_{t_0}$.
Так как $\lambda<\operatorname{vlct}_0(h_0)$, то мы получаем, что $y_n^{d-1}$ лежит в $\mathscr{J}(Y,\widetilde{h}_0^{\lambda})$ в окрестности $0$. Как следствие, мы можем выбрать многочлен $p\in\mathbb C[y_1,\dots,y_n]$ таким образом, что $p(0)\neq 0$ и $p\cdot y_n^{d-1}\in \mathscr{J}(Y,\widetilde{h}_0^{\lambda})$. Отметим, что выполнено
$$
\begin{equation*}
\mathscr{J}(Y,\widetilde{h}_0^{\lambda})\subseteq \mathscr{J}(Y,\mathfrak{a}_0^{\lambda})\subseteq J_0,
\end{equation*}
\notag
$$
где первое включение следует из того факта, что $\widetilde{h}_0\in\mathfrak{a}_0$, а второе включение следует из теоремы об ограничении для множительных идеалов (см. [9; пример 9.5.4]). Отсюда возможно заключить, что существуют многочлены $a_1,\dots, a_r\in\mathbb C[y_1,\dots,y_n]$ такие, что Выделяя в $q$ компоненту степени $d\,{-}\,1$ (по отношению к введенной на $S$ градуировке), можно предположить, что $p\in\mathbb C[y_1,\dots,y_{n-1}]$ и выполнено равенство $a_i=y_n^{id+d-1}b_i(y_1,\dots,y_{n-1})$ для $1\leqslant i\leqslant r$. Тогда можно записать причем для каждой точки $t_0\in\mathbb C$ выполнено $q_1(0,t_0)\neq 0$. Отсюда можно вывести, что $y_n^{d-1}\in J_{t_0}$ в окрестности точки $0$. Так как для общей точки $t_0$ выполнено $J_{t_0}=\mathscr{J}(Y,\widetilde{h}_{t_0}^{\lambda})$, то мы можем заключить, что существует открытое в топологии Зарисского множество $U$ в $\mathbb C$ такое, что для всех точек $t_0\in U$ выполнено $\operatorname{vlct}_0(h_{t_0})>\lambda$. Лемма доказана. Лемма 2.8. В обозначениях ситуации 2.2, если $m$ – неотрицательное целое число такое, что выполнено неравенство $m\geqslant d\cdot \theta_0(f)$, то моном $y_n^m$ лежит в целом замыкании $J_f\cdot\mathscr{O}_{Y,0}$. Доказательство. Пусть $\psi\colon k[x_1,\dots,x_n]\to k[y_1,\dots,y_n]$ – гомоморфизм $\mathbb C$-алгебр, соответствующий морфизму $\pi$. В силу описания целого замыкания в терминах дивизориальных нормирований (см. [9; пример 9.6.8]) достаточно показать следующее: если $E$ – простой дивизор на нормальном многообразии $\widetilde{Y}$ с собственным бирациональным морфизмом $\widetilde{Y}\to Y$ таким, что $E$ лежит над точкой $0$, и если $\operatorname{ord}_E$ – соответствующее нормирование, то
$$
\begin{equation*}
m\cdot \operatorname{ord}_E(y_n)\geqslant \min_i\operatorname{ord}_E\biggl(\psi\biggl(\frac{\partial f}{\partial x_i}\biggr)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что действительно существует простой дивизор $F$ на нормальном многообразии $\widetilde{X}$ с собственным бирациональным морфизмом $\widetilde{X}\to X$ таким, что $\operatorname{ord}_E\,{\circ}\,\psi$ равно $q\,{\cdot}\, \operatorname{ord}_F$ на $k[x_1,\dots,x_n]$ для некоторого положительного числа $q$. В самом деле, это эквивалентно тому факту, что если $A\subseteq \mathbb C(x_1,\dots,x_n)$ – кольцо нормирования, соответствующее ограничению $\operatorname{ord}_E$, то поле вычетов $A$ над $\mathbb C$ имеет степень трансцендентности $n-1$ (см. [8; лемма 2.45]). Если $B\subseteq \mathbb C(y_1,\dots,y_n)$ – кольцо нормирования, соответствующее $\operatorname{ord}_E$, то $A=B\cap\mathbb C(x_1,\dots,x_n)$, и утверждение следует из [21; гл. VI.6, следствие 1]. Отметим, что тогда $F$ лежит над точкой $0\in X$.
По определению инварианта $\theta_0(f)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\min_i\operatorname{ord}_F\biggl(\frac{\partial f}{\partial x_i}\biggr) \leqslant\theta_0(f)\cdot\min_i\operatorname{ord}_F(x_i)\leqslant\theta_0(f)\cdot \operatorname{ord}_F(x_n).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, выполнено
$$
\begin{equation*}
\operatorname{ord}_E\biggl(\psi\biggl(\frac{\partial f}{\partial x_i}\biggr)\biggr) =q\cdot \operatorname{ord}_F\biggl(\frac{\partial f}{\partial x_i}\biggr), \qquad \operatorname{ord}_E(y_n)=\frac{1}{d}\operatorname{ord}_E(\psi(x_n)) =\frac{q}{d}\operatorname{ord}_F(x_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $m\geqslant d\cdot\theta_0(f)$, то отсюда заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, m\cdot \operatorname{ord}_E(y_n) &\geqslant d\cdot\theta_0(f)\cdot \operatorname{ord}_E(y_n) =q\cdot\theta_0(f)\cdot \operatorname{ord}_F(x_n) \\ &\geqslant q\cdot \min_i\operatorname{ord}_F \biggl(\frac{\partial f}{\partial x_i}\biggr) =\min_i\operatorname{ord}_E\biggl(\psi\biggl(\frac{\partial f}{\partial x_i}\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Следующий результат хорошо известен, но мы включили его доказательство для удобства читателя. Рассмотрим гладкий морфизм $\varphi\colon {\mathscr X}\to T$ между комплексными алгебраическими многообразиями и регулярную функцию $f$ на ${\mathscr X}$. Для $t\in T$ обозначим через ${\mathscr X}_t$ слой $\varphi^{-1}(t)$, а через $f_t$ – ограничение $f|_{{\mathscr X}_t}$. Предложение 2.9. В обозначениях выше предположим, что $s\colon T\to {\mathscr X}$ – морфизм такой, что $\varphi\circ s=\operatorname{id}_T$ и $f|_{s(T)}=0$. Пусть $t_0\in T$ – точка такая, что $f_{t_0}$ не равно нулю и имеет изолированную особенность1 в $s(t_0)$. (i) Существует открытая в топологии Зарисского окрестность $V\subseteq T$ точки $t_0$ такая, что для каждой точки $t\in V$ функция $f_t$ отлична от нуля и имеет изолированную особенность в $s(t)$, причем (ii) Если $V$ – открытая окрестность из п. (i) такая, что в неравенстве (12) достигается равенство для всех $t\in V$, то существует открытая окрестность $U$ множества $s(V)$ в $\varphi^{-1}(V)$ такая, что для любой точки $t \in V$ множество особых точек функции $f_t$ в $U\cap {\mathscr X}_t$ содержится в множестве $\{s(t)\}$. Доказательство. Для доказательства п. (i) достаточно найти некоторое непустое открытое подмножество $V\subseteq T$ такое, что неравенство (12) выполнено для всех $t\in V$. В самом деле, если $t_0\not\in V$, то индукцией по $\dim(T)$ можно показать, что открытая окрестность $V'$ точки $t_0$ в $T\,{\setminus}\, V$ удовлетворяет искомому свойству для индуцированного морфизма $\varphi^{-1}(T\setminus V)\to T\setminus V$. Ясно, что тогда $V\cup V'$ удовлетворяет (i).
Имеем замкнутую подсхему ${\mathscr Z}$ в ${\mathscr X}$ такую, что для каждой точки $t\in T$ слой ${\mathscr Z}_t\hookrightarrow {\mathscr X}_t$ – подсхема, определенная идеалом $J_{f_t}$. Пусть $\psi\colon {\mathscr Z}\to T$ – морфизм, индуцированный морфизмом $\varphi$. Легко видеть, что для доказательства (i) и (ii) можно предположить, что $s(T)\subseteq {\mathscr Z}$. По предположению $s(t_0)$ является изолированной точкой в ${\mathscr Z}_{t_0}$. В силу полунепрерывности размерности слоя существует открытая окрестность $W$ точки $t_0$ такая, что $s(t)$ является изолированной точкой в ${\mathscr Z}_t$ для всех $t\in W$. Для упрощения обозначений заменим ${\mathscr X}$ и $T$ на $\varphi^{_-1}(W)$ и $W$ соответственно. Мы можем предположить, что $W = T$. Ясно, что $s(T)$ является носителем неприводимой компоненты схемы $\mathscr{Z}$. Пусть $\mathscr{Z}'\subseteq {\mathscr Z}$ является объединением других неприводимых компонент схемы ${\mathscr Z}$, а ${\mathscr Y}$ является теоретико-схемным замыканием ${\mathscr Z}\setminus {\mathscr Z}'$ в ${\mathscr Z}$. Отметим, что индуцированный морфизм $\psi_0\colon {\mathscr Y}\to T$ является конечным, так как он индуцирует биективное отображение с обратным отображением $s$ между соответствующими приведенными схемами. В этом случае функция
$$
\begin{equation}
T\ni t\to \dim_{\mathbb C(t)}\bigl((\psi_0)_*(\mathscr{O}_{\mathscr{Y}})\otimes\mathbb C(t)\bigr)
\end{equation}
\tag{13}
$$
полунепрерывна сверху, где $\mathbb C(t)$ обозначает поле вычетов точки $t\in T$. Так как неравенство
$$
\begin{equation*}
\dim_{\mathbb C(t)}\bigl((\psi_0)_*(\mathscr{O}_{\mathscr{Y}})\otimes\mathbb C(t)\bigr)\leqslant\mu_{s(t)}(f_t)
\end{equation*}
\notag
$$
выполнено для всех точек $t\in T$ и для общей точки $t$ в нем достигается равенство (используем тот факт, что $\mathscr{Y}$ является замкнутой подсхемой в $\mathscr{Z}$ и что они совпадают вдоль $s(t)$ для общей точки $t\in T$), то отсюда следует, что существует непустое открытое подмножество $V$ в $T$ такое, что $\mu_{s(t)}(f_t)\leqslant\mu_{s(t_0)}(f_{t_0})$ для всех $t\in V$. Как мы уже видели, это завершает доказательство п. (i).
Теперь предположим, что в неравенстве (12) выполнено равенство для всех точек $t$ из открытого подмножества $V$ в $T$. Без ограничения общности можем предположить, что $V$ связно. В этом случае получаем, что функция в (13) постоянна на $V$ и $\mu_{s(t)}(f_t)=\dim_{\mathbb C(t)}\bigl((\psi_0)_*(\mathscr{O}_{\mathscr{Y}})\otimes\mathbb C(t)\bigr)$ для всех $t\in V$. Из постоянства функции следует, что схема $\psi_0^{-1}(V)$ является плоской над $V$ (см., например, [5; теорема III.9.9]). Из плоскости и того факта, что следует, что $\mathscr{Z}=\mathscr{Y}$ в окрестности множества $\mathscr{Y}\cap\varphi^{-1}(V)$. Таким образом, мы получили утверждение из п. (ii). Предложение доказано.Лемма 2.10. В обозначениях ситуации 2.2 предположим, что $0$ – особая точка функции $f$ и $g=f(x_1,\dots,x_{n-1},0)$ имеет изолированную особенность в нуле. Если $\alpha\,{\geqslant}\,\theta_0(f)\,{+}\,1$, то существует открытая в топологии Зарисского окрестность $V$ точки $1\in\mathbb C$ такая, что Доказательство. Так как $\widetilde{h}_t=f(y_1,\dots,y_{n-1},ty_n^d)+(1-t)y_n^{d\alpha}$, то имеем
Для $t=1$, как мы видим, $u=(u_1,\dots,u_n)\in Y$ лежит в множестве нулей идеала $J_{\widetilde{h}_1}$ тогда и только тогда, когда $\pi(u)$ лежит в объединении множества нулей идеалов $J_f$ и $J_g$ соответственно. В силу предположения функции $f$ и $g$ имеют изолированные особенности в нуле. Так как $\pi^{-1}(\{0\})\,{=}\,\{0\}$, то отсюда можно заключить, что функция $\widetilde{h}_1$ имеет изолированную особенность в нуле. Из предложения 2.9, (i) можно заключить, что существует открытая в топологии Зарисского окрестность $V$ точки $1$ такая, что функция $\widetilde{h}_t$ имеет изолированную особенность в нуле и $\mu_0(\widetilde{h}_t)\leqslant\mu_0(\widetilde{h}_1)$ для всех $t\in V$. Будем предполагать, что $0\not\in V$. Основная идея – показать, что нижняя оценка на $\alpha$ позволяет заключить, что $\mu_0(\widetilde{h}_t)$ постоянно для $t\in V$. Для заданного $t\neq 0$ пусть $s\in\mathbb C$ – число такое, что $s^d=t$, и рассмотрим изоморфизм $\varphi\colon \mathbb C[y_1,\dots,y_n]\to \mathbb C[y_1,\dots,y_{n-1},w]$, заданный формулами $\varphi(y_n)=w/s$ и $\varphi(y_i)=y_i$, где $1\leqslant i\leqslant n-1$. Отметим, что идеал $J_s:=\varphi(J_{\widetilde{h}_t})$ порожден элементами $\frac{\partial f}{\partial x_i}(y_1,\dots,y_{n-1},w^d)$, где $1\leqslant i\leqslant n-1$, и
$$
\begin{equation*}
Q_s:=\frac{\partial f}{\partial x_n}(y_1,\dots,y_{n-1},w^d)\cdot w^{d-1}+\alpha\frac{1-s^d}{s^{d\alpha}}w^{d\alpha-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если положить $m=d(\alpha-1)$, то по предположению выполнено неравенство $m\geqslant d\cdot\theta_0(f)$. В силу леммы 2.8 знаем, что моном $w^m$ лежит в целом замыкании идеала $J$ в $R= \mathbb C[y_1,\dots,y_{n-1},w]_{(y_1,\dots,y_{n-1},w)}$, порожденного элементами $\frac{\partial f}{\partial x_i} (y_1,\dots,y_{n-1},w^d)$, где $1\leqslant i\leqslant n$. Отметим, что для любых двух идеалов $\mathfrak{a}$ и $\mathfrak{b}$ выполнено $\overline{\mathfrak{a}}\cdot\overline{\mathfrak{b}}\subseteq \overline{\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{b}}$. Отсюда мы получаем, что
$$
\begin{equation}
w^{m+d-1}\in w^{d-1}\cdot\overline{J}\subseteq \overline{w^{d-1}\cdot J}\subseteq \overline{J_1}.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Для $\mathfrak{m}$-примарного идеала $\mathfrak{a}$ в $R$, где $\mathfrak{m}$ – максимальный идеал в $R$, обозначим через $e(\mathfrak{a})$ кратность Гильберта–Самюэля кольца $R$ по отношению к идеалу $\mathfrak{a}$ (определение и основные свойства кратности см. в [12; ч. 14]). Отметим, что в силу [12; теорема 14.13] выполнено $e(\mathfrak{a})=e({\overline{\mathfrak{a}}})$. Более того, в силу [12; теорема 14.11] выполнено следующее: если $\mathfrak{a}$ порожден системой параметров в $R$ (которая является регулярной последовательностью, так как кольцо $R$ коэн-маколеево), то $e(\mathfrak{a})=\dim_{\mathbb C}(R/\mathfrak{a})$. Так как $m+d-1=d\alpha-1$, то из (16) следует, что для любых чисел $t$ и $s$, введенных выше, выполнено $Q_s\in\overline{ J_1}$, следовательно, $J_s\subseteq \overline{J_1}$. Идеал $J_s\subseteq \mathfrak{m}$ порожден системой параметров, а значит,
$$
\begin{equation*}
\mu_0(\widetilde{h}_t)=\dim_{\mathbb C}(R/J_s)=e(J_s)\geqslant e(\overline{J_1})=e(J_1)=\dim_{\mathbb C}(R/J_1)=\mu_0(\widetilde{h}_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как обратное неравенство выполнено в силу нашего выбора множества $V$, то можно заключить, что число Милнора $\mu_0(\widetilde{h}_t)$ постоянно для $t\in V$.
В силу результата А. Н. Варченко (см. [20]; см. также [16; теорема 2.8]) из постоянства числа Милнора следует, что спектр функции $\widetilde{h}_t$ в нуле постоянен для $t\in V$. Используя связь между множительными идеалами изолированных особенностей и спектром, в данном случае мы можем вывести, что для рационального числа $\lambda\in (0,1)$ длина $\dim_{\mathbb C}(\mathscr{O}_{Y,0}/\mathscr{J}(Y,\widetilde{h}_t^{\lambda})\mathscr{O}_{Y,0})$ не зависит от $t\in V$ (см. основную теорему и предложение 2.9 в [1], а также их доказательство). Зафиксируем число $\lambda$, введенное выше. Рассмотрим гиперповерхность $H$ в $Y\times V$, заданную функцией $\widetilde{h}_t$, а также множительный идеал $\mathscr{J}_{\lambda}:=\mathscr{J}(Y\,{\times}\, V,\widetilde{h}_t^{\lambda})$. Для всех $t_0\in V$ мы отождествим $Y\times\{t_0\}$ с $Y$ очевидным образом. Так как $\mu_0(\widetilde{h}_t)$ не зависит от $t\in V$, то из предложения 2.9, (ii) следует, что существует открытая в топологии Зарисского окрестность $W$ множества $\{0\} \times V$ в $Y\times V$ такая, что для любой точки $t_0 \in V$ множество особых точек гиперповерхности, определенной функцией $\widetilde{h}_{t_0}$ в $W\cap (Y\times\{t_0\})$, равно $\{0\}$. В частности, множество особых точек пересечения $H\cap W$ содержится в $\{0\}\times V$. Так как $\lambda<1$, то отсюда следует, что подсхема $Z_{\lambda}$ в $W$, определенная $\mathscr{J}_{\lambda}$, имеет носитель в $\{0\}\times V$. Пусть $\tau_{\lambda}\colon Z_{\lambda}\to V$ – конечный морфизм, заданный проекцией $Y\times V\to V$. Отметим, что функция
$$
\begin{equation*}
V\ni t\to \dim_{\mathbb C(t)}(\tau_{\lambda})_*(\mathscr{O}_{Z_{\lambda}})\otimes\mathbb C(t)
\end{equation*}
\notag
$$
полунепрерывна сверху; более того, она постоянна тогда и только тогда, когда схема $Z_{\lambda}$ является плоской над $V$ (для доказательства последнего утверждения см., например, [5; теорема III.9.9]). С другой стороны, из теоремы об ограничении для множительных идеалов (см. [9; теорема 9.5.1]) следует, что для любой точки $t_0\in V$ выполнено
$$
\begin{equation}
\mathscr{J}(Y,\widetilde{h}_{t_0}^{\lambda})\cdot\mathscr{O}_{Y,0}\subseteq \mathscr{J}_{\lambda}\cdot\mathscr{O}_{Y\times\{t_0\},(0,t_0)}.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Более того, для общей точки $t_0\in V$ выполнено равенство в силу описания поведения множительных идеалов в семействах (см. [9; теорема 9.5.35]). Так как $\dim_{\mathbb C}(\mathscr{O}_{Y,0}/\mathscr{J}(Y,\widetilde{h}_{t_0}^{\lambda})\mathscr{O}_{Y,0})$ не зависит от $t_0\in V$, то можно заключить, что схема $Z_{\lambda}$ является плоской над $V$ и в (17) выполняется равенство для всех $t_0\,{\in}\,V$. Из того, что схема $Z_{\lambda}$ является плоской над $V$, следует, что она является теоретико-схемным замыканием $\tau_{\lambda}^{-1}(V\setminus\{1\})$ в $Y\times V$ (см. доказательство в [5; предложение III.9.8]).
При необходимости заменяя $V$ на меньшую окрестность точки $1$, можно предположить, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{vlct}_0(h_{t_0})=c\quad\text{для всех }t_0\in V\setminus\{1\}
\end{equation*}
\notag
$$
(так как существует лишь конечное количество различных идеалов $\mathscr{J}_{\lambda}$, где $\lambda\,{\in}\,(0,1)$, и для каждого такого числа $\lambda$ множество точек $t_0$ таких, что $y_n^{d-1}\in \mathscr{J}_{\lambda}\cdot\mathscr{O}_{Y\times\{t_0\},(0,t_0)}$, является конструктивным подмножеством в $V$). Необходимо показать, что $\operatorname{vlct}_0(h_1)\geqslant c$. Для любого рационального числа $\lambda\in (0,c)$ мы можем вывести из включения (17) и нашего предположения, что справедливо $y_n^{d-1}\,{\in}\mathscr{J}_{\lambda}\,{\cdot}\,\mathscr{O}_{Y\times\{t_0\},(0,t_0)}$ для всех $t_0\in V\setminus\{1\}$. Отсюда следует, что замкнутая подсхема в $Y\times V$, определенная мономом $y_n^{d-1}$, содержит $\tau_{\lambda}^{-1}(V\,{\setminus}\,\{1\})$ и, тем самым, содержит его теоретико-схемное замыкание $Z_{\lambda}$. Таким образом, т.е. $\operatorname{vlct}_0(h_1)>\lambda$. Это верно для любого числа $\lambda<c$; следовательно, выполнено неравенство $\operatorname{vlct}_0(h_1)\geqslant c$, что завершает доказательство. Лемма доказана. Теперь мы можем дать доказательство основного результата. Доказательство теоремы 1.3. Отметим, что в силу рассуждений из замечания 1.4 можно предположить, что функция $g=f|_H$ имеет изолированную особенность в точке $P$. В силу рассуждений из замечания 1.5 мы можем даже предположить, что $X=\mathbb C^n$ и $H$ – гиперплоскость $(x_n=0)$. Если функция $f$ является гладкой в $0$, то $\operatorname{lct}_P(f)=1$ и $\theta_0(f)=0$, следовательно, утверждение теоремы тривиально. Поэтому предположим, что $f$ не является гладкой в $0$, тогда $\theta_0(f)>0$.
Пусть $\alpha=\theta_0(f)+1$, мы также будем использовать определения и обозначения из ситуации 2.2. В силу леммы 2.7 существует открытая в топологии Зарисского окрестность $U$ точки $0\in\mathbb C$ такая, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{vlct}_0(\widetilde{h}_t)\geqslant \operatorname{vlct}_0(\widetilde{h}_0)\quad\text{для всех } t\in U.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Также мы знаем, что $\operatorname{vlct}(\widetilde{h}_0)=\min\{\operatorname{lct}_0(g)+1/(\theta_0(f)+1),\,1\}$ по лемме 2.6 и что $\operatorname{vlct}_0(\widetilde{h}_1)=\operatorname{lct}_0(f)$. Наконец, из леммы 2.10 следует, что существует открытая в топологии Зарисского окрестность $V$ точки $1\in\mathbb C$ такая, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{vlct}_0(\widetilde{h}_t)\leqslant \operatorname{vlct}_0(\widetilde{h}_1).
\end{equation}
\tag{19}
$$
Положим $t\in U\cap V$; тогда из (18) и (19) можно заключить, что Теорема доказана. § 3. ПримерыВ заключение рассмотрим два примера, иллюстрирующие вычисления и комбинаторную природу инвариантов из теоремы 1.3 (и гипотезы 1.2). Для вектора $u = (a_1,\dots,a_n) \in \mathbb Z^n_{\geqslant 0}$ мы введем обозначение $x^u = x_1^{a_1} \dotsb x_n^{a_n}$. Пусть $\mathfrak{a}=(x^{u_1},\dots, x^{u_k})\subseteq \mathbb C[x_1,\dots, x_n]$ для различных $u_1,\dots, u_k\in \mathbb Z^n_{\geqslant 0}\setminus \{0\}$. Пусть также $f_{\alpha} = \sum_{i=0}^k \alpha_i x^{u_i}$ для $\alpha = (\alpha_1,\dots,\alpha_k) \in \mathbb C^k$. Заметим, что для общей точки $\alpha \in \mathbb C^k$ выполнено
$$
\begin{equation}
\operatorname{lct}_0(f_\alpha)=\min\{\operatorname{lct}_0(\mathfrak{a}),1\}
\end{equation}
\tag{20}
$$
(см., например, [14; пример 1.10]). С другой стороны, из формулы Говальда следует (см. [14; пример 1.9]), что мы можем вычислить $\operatorname{lct}_0(\mathfrak{a})$ с помощью мономиальных нормирований следующим образом:
$$
\begin{equation}
\operatorname{lct}_0(\mathfrak{a})=\min_{v\in\mathbb Z_{\geqslant 0}^n\setminus\{0\}} \frac{v_1+\dots +v_n} {\min\{\langle u,v\rangle\mid u\in P(\mathfrak{a})\}},
\end{equation}
\tag{21}
$$
где минимум берется по всем ненулевым $v=(v_1,\dots,v_n)\in\mathbb Z_{\geqslant 0}^n$, а через $\langle -,-\rangle$ мы обозначаем обычное скалярное произведение на $\mathbb Z^n$. Здесь $P(\mathfrak{a})$ – многогранник Ньютона идеала $\mathfrak{a}$, определенный следующим образом:
$$
\begin{equation*}
P(\mathfrak{a})= \text{выпуклая оболочка }(\{u\in \mathbb Z^n_{\geqslant 0}\mid x^u\in\mathfrak{a}\}).
\end{equation*}
\notag
$$
В общем случае, если функция $f\in \mathbb C[x_1,\dots, x_n]$ имеет изолированную особенность в нуле, то получаем оценку снизу на $\theta_0(f)$ в терминах мономиальных нормирований по следующей формуле:
$$
\begin{equation}
\theta_0(f)\geqslant\sup_{v\in\mathbb Z_{>0}^n} \frac{\min\{\langle u,v\rangle\mid u\in P(\mathfrak{b}(J_f))\}}{\min\{v_1,\dots,v_n\}},
\end{equation}
\tag{22}
$$
где минимум берется по всем $v=(v_1,\dots,v_n)\in\mathbb Z_{> 0}^n$, а $\mathfrak{b}(J_f)$ – наименьший мономиальный идеал, содержащий $J_f$. Это следует из (2) и того факта, что мономиальные нормирования с центром в $\{0\}$ соответствуют (примитивным) элементам $v\in\mathbb Z_{>0}^n$. Отметим также, что для каждого такого нормирования $w$ выполнено неравенство $w(J_f)\geqslant w(\mathfrak{b}(J_f))$. Если при этом $J_{f}$ является мономиальным идеалом, то имеем равенство
$$
\begin{equation}
\theta_0(f)=\max_{v\in\mathbb Z_{>0}^n} \frac{\min\{\langle u,v\rangle\mid u\in P(J_f)\}}{\min\{v_1,\dots,v_n\}}.
\end{equation}
\tag{23}
$$
В самом деле, это следует из (3) и того факта, что нормализованное раздутие в мономиальном идеале $\mathfrak{m}_0\cdot J_{f}$ является отображением торических многообразий. Следовательно, соответствующие простые дивизоры над точкой $0$ являются торически инвариантными и поднимаются до мономиальных нормирований, соответствующих примитивным элементам в $\mathbb Z_{>0}^n$. Скажем, что дивизориальное нормирование $w=\operatorname{ord}_E$ поля $\mathbb C(x_1,\dots,x_n)$ вычисляет логканонический порог $\operatorname{lct}_0(f)$ функции $f$, если точка $0$ лежит в замыкании образа $E$, а $w$ достигает минимума в определении $\operatorname{lct}_0(f)$ на дивизориальных нормированиях. Если $H$ – гиперплоскость, содержащая точку $0$, то из обращения присоединения следует (см. [9; следствия 9.5.11, 9.5.17]), что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{lct}_0(f|_H)=\operatorname{lct}_0((\mathbb C^n,H),f).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда мы говорим, что дивизориальное нормирование $w$ поля $\mathbb C(x_1,\dots,x_n)$ вычисляет $\operatorname{lct}_0(f|_H)$, если оно вычисляет $\operatorname{lct}_0((\mathbb C^n,H),f)$. Начнем с примера, в котором в неравенстве из теоремы 1.3 достигается равенство. При этом имеется единственное дивизориальное нормирование, вычисляющее логканонические пороги $\operatorname{lct}_0(f)$ и $\operatorname{lct}_0(f|_H)$, но не вычисляющее инвариант $\theta_0(f)$. Пример 3.1. Пусть $f(x_1,\dots,x_n)\,{=}\,x_1^{a_1}\,{+}\,{\cdots}\,{+}\,x_n^{a_n}$, где $a_1\,{\geqslant}\,a_2\,{\geqslant}\,{\cdots}\,{\geqslant}\,a_n\,{\geqslant}\,2$, $a_1>a_n$ и $n\geqslant 2$, и пусть $H$ – гиперплоскость, заданная уравнением $x_1=0$. Отметим, что функции $f$ и $f|_{H}$ имеют изолированные особенности в начале координат. Предположим, что ${1}/{a_1}+\dots+{1}/{a_n}\leqslant 1$. Из (20) и (21) мы видим, что Используя (23), можно проверить, что $\theta_0(f)=a_1-1$, что достигается, например, при $v=(1,\ell,\dots,\ell)$ для больших $\ell$. Тем не менее отметим, что если положить $v=\operatorname{lcm}(a_1,\dots,a_n)({1}/{a_1},\dots,{1}/{a_n})$ в правой части (23), то мы не получим максимума, так как $a_1\neq a_n$. Следовательно, мы не можем использовать одно и то же нормирование для того, чтобы вычислить и $\operatorname{lct}_0(f)$, и $\theta_0(f)$. Наконец, отметим, что в этом примере в неравенстве из теоремы 1.3 достигается равенство. В следующем примере мы рассмотрим случай, когда идеал $J_{f_\alpha}$ не является мономиальным. Покажем, что даже если точка $\alpha$ является общей, то мы не можем использовать мономиальные нормирования для того, чтобы достаточно хорошо ограничить $\theta_0(f_\alpha)$ с помощью (22) и, тем самым, доказать теорему 1.3 комбинаторно. Пример 3.2. Пусть $f_\alpha = \alpha_1 x^7 + \alpha_2y^2 + \alpha_3 x^5y \in \mathbb C[x,y]$, где выбрана общая точка $\alpha = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \in (\mathbb C^*)^3$. Пусть $H$ – прямая, заданная уравнением $x\,{=}\,\beta y$ для любой точки $\beta \in \mathbb C$. Используя (20) и (21), мы можем вычислить логканонические пороги:
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{EldMus21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|