| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Цилиндры в рациональных поверхностях И. А. Чельцовab a University of Edinburgh, Edinburgh, UK b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9441 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПусть $S$ – гладкая рациональная поверхность. Цилиндром в $S$ принято называть открытое подмножество $U\subset S$ такое, что $U\cong\mathbb{C}^1\times Z$ для некоторой аффинной кривой $Z$. Заметим, что поверхность $S$ содержит много цилиндров и найти их все не представляется возможным. Вместо этого можно рассмотреть аналогичную задачу для поляризованных поверхностей (см. [7]–[9], [2], [3], [11]). Чтобы ее описать, зафиксируем обильный $\mathbb{Q}$-дивизор $A$ на поверхности $S$. Определение 1.1. $A$-поляризованным цилиндром в $S$ называется открытое по Зарискому подмножество $U\subset S$ такое, что выполнены следующие условия: (C) $U\cong\mathbb{C}^1\times Z$ для некоторой аффинной кривой $Z$, т.е. $U$ – цилиндр в $S$; (P) $U=S\setminus\operatorname{Supp}(D)$ для эффективного $\mathbb{Q}$-дивизора $D$ на $S$ такого, что $D\sim_{\mathbb{Q}} A$. Мы всегда можем выбрать обильный дивизор $A$ таким образом, что $S$ содержит некоторый $A$-поляризованный цилиндр (см. [7; предложение 3.13]). С другой стороны, имеет место следующий результат. Теорема 1.2 (см. [9], [2], [3]). Пусть $S_d$ – гладкая поверхность1 дель Пеццо степени $d=K_{S_d}^2$. Тогда выполнены следующие утверждения: (1) поверхность $S_d$ содержит $(-K_{S_d})$-поляризованный цилиндр тогда и только тогда, когда $d\geqslant 4$; (2) eсли $d\geqslant 4$, то поверхность $S_d$ содержит $H$-поляризованный цилиндр для каждого обильного $\mathbb{Q}$-дивизора $H$ на ней; (3) если $d=3$, то поверхность $S_d$ содержит $H$-поляризованный цилиндр для каждого обильного $\mathbb{Q}$-дивизора $H$ на поверхности $S_d$ такого, что $H\not\in\mathbb{Q}_{>0}[-K_{S_d}]$. В работе [3] также доказано похожее утверждение для поверхностей дель Пеццо степеней $1$ и $2$. Чтобы описать этот результат, положим
$$
\begin{equation*}
\mu_A=\operatorname{inf}\bigl\{\lambda\in\mathbb{Q}_{>0}\mid\text{ $\mathbb{Q}$-дивизор }\ K_{S}+\lambda A\ \text{является псевдоэффективным}\bigr\}\in\mathbb{Q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Число $\mu_A$ известно под разными названиями: инвариант Фуджиты, псевдоэффективный порог, спектральное значение дивизора $A$ (см. [6], [13]). Пусть $\Delta_{A}$ – наименьшая грань конуса Мори $\overline{\mathbb{NE}(S)}$, которая содержит $K_{S}+\mu_A A$. Обозначим символом $r_A$ размерность грани $\Delta_{A}$. Отметим, что $r_A=0$, если и только если $S$ является гладкой поверхностью дель Пеццо и $\mu_A A\sim_{\mathbb{Q}}-K_S$. Число $r_A$ известно как ранг Фуджиты дивизора $A$ (см. [3]). Теорема 1.3 (см. [3]). Пусть $S_d$ – гладкая поверхность дель Пеццо степени $d=K_{S_d}^2$, пусть $H$ – обильный $\mathbb{Q}$-дивизор на $S_d$, и пусть $r_H$ – ранг Фуджиты дивизора $H$. Предположим, что $r_H+d\leqslant 3$. Тогда $S_d$ не содержит $H$-поляризованных цилиндров. Во время конференции “Комплексная аффинная геометрия, гиперболичность и комплексный анализ”, проходившей в Гренобле в октябре 2016 г., Чиро Чилиберто поставил следующий вопрос. Вопрос 1.4. Пусть $S$ – некоторая рациональная поверхность, которая получена раздутием $\mathbb{P}^2$ в точках в общем положении, и пусть $A$ – обильный $\mathbb{Q}$-дивизор на $S$ такой, что $r_A+K_S^2\leqslant 3$. Верно ли, что $S$ не содержит $A$-поляризованных цилиндров? Ч. Чилиберто также посоветовал рассмотреть вопрос 1.4, допустив выполнение гипотезы 2.3 из [4]. Цель настоящей работы – дать утвердительный ответ на вопрос 1.4. А именно, мы докажем следующую теорему. Теорема 1.5. Пусть $S$ – гладкая рациональная поверхность, которая удовлетворяет следующему условию общности: Пусть $A$ – обильный $\mathbb{Q}$-дивизор на $S$, и пусть $r_A$ – ранг Фуджиты дивизора $A$. Предположим, что $r_A+K_S^2\leqslant 3$. Тогда $S$ не содержит $A$-поляризованных цилиндров. По [5; предложение 2.4] поверхность, полученная раздутием $\mathbb{P}^2$ в точках общего положения, удовлетворяет условию $(*)$. Следовательно, ответ на вопрос 1.4 утвердительный. Замечание 1.6. Гладкие поверхности дель Пеццо удовлетворяют условию $(*)$. Более того, если $K_S^2\geqslant 1$, то дивизор $-K_S$ обилен в том и только том случае, когда поверхность $S$ удовлетворяет условию $(*)$. Это показывает, что теорема 1.5 является обобщением теоремы 1.3. По [8; следствие 3.2] теорема 1.5 влечет следующее следствие. Следствие 1.7. Пусть $S$ – гладкая рациональная поверхность, удовлетворяющая условию $(*)$, пусть $A$ – обильный $\mathbb{Z}$-дивизор на $S$, и пусть $r_A$ – ранг Фуджиты дивизора $A$. Положим Если $r_A+K_S^2\leqslant 3$, то $V$ не допускает эффективного действия группы $\mathbb{C}_{+}$. Следующий пример показывает, что условие $r_A\,{+}\,K_S^2\,{\leqslant}\, 3$ в теореме 1.5 нельзя ослабить. Пример 1.8. Пусть $S$ – рациональная поверхность, которая удовлетворяет $(*)$. Предположим, что $K_S^2\leqslant 3$. Тогда существует бирациональный морфизм $f\colon S\to\mathbb{P}^2$, который является раздутием $9-K_{S}^2$ различных точек. Положим $k=4\,{-}\,K_{S}^2\geqslant 1$. Пусть $E_1,\dots, E_5$, $G_1,\dots,G_k$ – $f$-исключительные кривые, пусть $\mathscr{C}$ – единственная коника в $\mathbb{P}^2$, проходящая через точки $f(E_1),\dots,f(E_5)$, пусть $L$ – общая прямая в $\mathbb{P}^2$, касающаяся коники $\mathscr{C}$, и пусть $\mathscr{P}$ – пучок, порожденный коникой $\mathscr{C}$ и дивизором $2L$. Обозначим символом $C_i$ конику в пучке $\mathscr{P}$, которая содержит точку $f(G_i)$. Тогда открытое подмножество Следующий пример показывает, что неравенство $r_A+K_S^2\geqslant 4$ не обязательно влечет существование $A$-поляризованного цилиндра в $S$. Пример 1.9. Пусть $f\colon S\to\mathbb{P}^2$ – раздутие некоторых девяти точек таких, что линейная система $|{-}K_{S}|$ является пучком, который не имеет базисных точек. Предположим, что все кривые в пучке $|{-}K_{S}|$ неприводимы. Тогда поверхность $S$ удовлетворяет условию $(*)$. Предположим также, что все особые кривые в пучке $|{-}K_{S}|$ имеют нодальные особенности. Пусть $E_1,\dots,E_4$ – некоторые различные $f$-исключительные кривые. Зафиксируем рациональное число $x$ такое, что $0<x<1$, и положим Тогда дивизор $A$ обильный и выполнено равенство $r_A=4$. Более того, если $x> {7}/{8}$, то из примера 1.8 следует, что поверхность $S$ содержит $A$-поляризованный цилиндр. Но $S$ не содержит $A$-поляризованных цилиндров при $x\leqslant{1}/{4}$ по леммам 2.4, 2.6 и 2.7. Следующий пример показывает, что без условия $(*)$ утверждение теоремы 1.5 не обязательно выполнено. Пример 1.10. Пусть $L_1$ и $L_2$ – две различные прямые в $\mathbb{P}^2$. Тогда Опишем структуру настоящей работы. В § 2 мы приведем несколько результатов, которые будут позднее использованы в доказательстве теоремы 1.5. В § 3 мы докажем три леммы, которые составляют основную часть доказательства теоремы 1.5. Наконец, в § 4 мы докажем теорему 1.5. БлагодарностьАвтор признателен Чиро Чилиберто за постановку вопроса 1.4. § 2. Предварительные результатыПусть $S$ – гладкая рациональная поверхность, и пусть $C_1,\dots,C_n$ – неприводимые кривые на $S$. Зафиксируем неотрицательные рациональные числа $\lambda_1,\dots,\lambda_n$. Положим $D=\lambda_1C_1+\cdots+\lambda_n C_n$. Мы также будем использовать эти обозначения в последующих параграфах. В этом параграфе мы приведем несколько результатов (в основном локального характера) о логпаре $(S,D)$, которые затем будут использованы в доказательстве теоремы 1.5. Для начала приведем следующий результат. Лемма 2.1 (см. [10; теорема 4.57, (2)]). Пусть $P$ – точка поверхности $S$. Предположим, что особенности логпары $(S,D)$ не логканонические в $P$. Тогда $\operatorname{mult}_P(D)>1$. Следующая лемма является специальным случаем намного более общего результата, известного как обращение присоединения (см. [10; теорема 5.50]). Лемма 2.2 (см. [10; следствие 5.57]). Пусть $P$ – гладкая точка кривой $C_1$. Положим Предположим, что $\lambda_1\leqslant 1$, а особенности логпары $(S,D)$ не логканонические в $P$. Тогда $C_1\cdot\Delta\geqslant(C_1\cdot\Delta)_P>1$. Нам также понадобится следующий (локальный) результат. Лемма 2.3 (см. [1; теорема 13]). Пусть $P$ – точка пересечения $C_1\cap C_2$. Положим Предположим, что $\lambda_1\,{\leqslant}\, 1$ и $\lambda_2\,{\leqslant}\, 1$, кривые $C_1$ и $C_2$ неособы в точке $P$ и пересекаются в ней трансверсально, а особенности логпары $(S,D)$ не логканонические в точке $P$. Если $\operatorname{mult}_{P}(\Delta)\leqslant 1$, то $(C_1\,{\cdot}\,\Delta)_P>1-\lambda_2$ или $(C_2\,{\cdot}\,\Delta)_P>1-\lambda_1$. Следующий результат использовался в примере 1.9. Лемма 2.4. В обозначениях и предположениях примера 1.9 предположим, что $D\sim_{\mathbb{Q}} A$ и $x\leqslant{1}/{4}$. Тогда логпара $(S,D)$ имеет логканонические особенности. Доказательство. Предположим, что особенности логпары $(S,D)$ не являются логканоническими в некоторой точке $P\in S$. Пусть $\mathscr{C}$ – кривая в пучке $|{-}K_{S}|$, которая проходит через точку $P$. По предположению кривая $\mathscr{C}$ неприводима. Более того, ее арифметический род равен $1$, так что либо кривая $\mathscr{C}$ неособа, либо она имеет одну обыкновенную двойную особую точку, потому что мы предположили, что все особые кривые в пучке $|{-}K_{S}|$ нодальны (не имеют каспидальных особенностей).
Если кривая $\mathscr{C}$ не содержится в $\operatorname{Supp}(D)$, то $1\geqslant 4x=C_1\cdot\Delta\geqslant\operatorname{mult}_{P}(D)>1$ по лемме 2.1. Это показывает, что кривая $\mathscr{C}$ содержится в носителе дивизора $D$. Мы можем считать, что $\mathscr{C}=C_1$ и $\lambda_1>0$. Положим $\Delta=\lambda_2C_2+\dots+\lambda_n C_n$. Мы утверждаем, что $\lambda_1<1$. Действительно, заметим, что
$$
\begin{equation*}
C_1+x(E_1+\dots+E_4)\sim_{\mathbb{Q}}\lambda_1C_1+\Delta,
\end{equation*}
\notag
$$
а форма пересечения кривых $E_1,\dots,E_4$ отрицательно определена. Таким образом, если $\lambda_1\geqslant 1$, то $\lambda_1=1$ и $\Delta\,{=}\,x(E_1\,{+}\,{\cdots}\,{+}\,E_4)$, что является противоречием, потому что особенности логпары $(S,C_1\,{+}\,x(E_1\,{+}\,{\cdots}\,{+}\,E_4))$ логканонические, так как кривая $C_1$ либо гладкая, либо имеет одну обыкновенную двойную точку.
Если кривая $C_1$ неособа в точке $P$, то $1\geqslant 4x=C_1\cdot\Delta\geqslant(C_1\cdot\Delta)_{P}>1$ по лемме 2.2. Таким образом, мы видим, что $C_1$ имеет нодальную особенность в $P$, что сразу влечет $P\notin E_1\cup\dots\cup E_4$, так как $\mathscr{C}\cdot E_i=-K_S\cdot E_i=1$ для каждого $i$. Мы можем считать, что одна из кривых $E_1,\dots,E_4$ не содержится в $\operatorname{Supp}(\Delta)$, поскольку в противном случае мы можем заменить дивизор $D$ на дивизор для соответствующего положительного рационального числа $\mu$. Без ограничения общности мы можем считать, что $E_4\not\subset\operatorname{Supp}(\Delta)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
1-x=E_4\cdot(\lambda_1C_1+\Delta)=\lambda_1+E_4\cdot\Delta\geqslant\lambda_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $m=\operatorname{mult}_{P}(\Delta)$. Тогда $4x=C_1\cdot\Delta\geqslant 2m$, так что $m\leqslant 2x$. Пусть $f\colon\widetilde{S}\to S$ – раздутие точки $P$, пусть $F$ – исключительная кривая этого раздутия, и пусть $\widetilde{C}_1$ и $\widetilde{\Delta}$ – собственные прообразы на $\widetilde{S}$ дивизоров $C_1$ и $\Delta$ соответственно. Тогда логпара $(\widetilde{S},\lambda_1\widetilde{C}_1+\widetilde{\Delta}+(2\lambda_1+m-1)F)$ не является логканонической в некоторой точке $Q\in F$, поскольку
$$
\begin{equation*}
K_{\widetilde{S}}+\lambda_1\widetilde{C}_1+\widetilde{\Delta}+(2\lambda_1+m-1)F\sim_{\mathbb{Q}} f^{*}(K_S+D).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $2\lambda_1+m-1\leqslant 1$, поскольку мы уже доказали, что $\lambda_1\leqslant 1-x$ и $m\leqslant 2x$.
Если $Q\not\in\widetilde{C}_1$, то логпара $(\widetilde{S},\widetilde{\Delta}+F)$ не является логканонической в $Q$, так что $1/2\geqslant 2x\geqslant m=F\cdot\widetilde{\Delta}>1$ по лемме 2.2. Это показывает, что $Q\in\widetilde{C}_1$. Отметим, что кривая $\widetilde{C}_1$ неособа и пересекает кривую $F$ трансверсально в точке $Q$. Мы знаем, что $m\leqslant 2x\leqslant 1$. Таким образом, мы можем применить лемму 2.3 к логпаре $(\widetilde{S},\lambda_1\widetilde{C}_1+\widetilde{\Delta}+(2\lambda_1+m-1)F)$. Это дает либо либо $m=\widetilde{\Delta}\cdot F>2(1-\lambda_1)$. Теперь мы можем легко получить противоречие, используя ранее доказанные неравенства $m\leqslant 2x$ и $\lambda_1\leqslant 1-x$. Лемма доказана.В доказательстве теоремы 1.5 мы воспользуемся следующим (глобальным) результатом. Теорема 2.5 (см. [2; теорема 1.12]). Предположим, что $S$ является гладкой поверхностью дель Пеццо степени $K_S^2\leqslant 3$ и выполнена $\mathbb{Q}$-рациональная эквивалентность Пусть $P$ – некоторая точка поверхности $S$. Предположим, что логпара $(S,D)$ не является логканонической в точке $P$. Тогда линейная система $|{-}K_{S}|$ содержит единственную кривую $T$ такую, что логпара $(S,T)$ также не логканонична в точке $P$, а носитель дивизора $D$ содержит все неприводимые компоненты кривой $T$. Положим $U=S\setminus(C_1\cup\cdots\cup C_n)$ и предположим, что $U\cong\mathbb{C}^1\times Z$ для некоторой аффинной кривой $Z$. Это неравенство следует из доказательства леммы 4.11 в [7]. Вложения $Z\hookrightarrow\mathbb{P}^1$ и $\mathbb{C}^1\hookrightarrow\mathbb{P}^1$ задают следующую коммутативную диаграмму: где $p_Z$, $p_{2}$, $\overline{p}_2$ – проекции на вторые факторы, $\psi$ – рациональное отображение, индуцированное проекцией $p_Z$, отображение $\pi$ есть бирациональный морфизм, который разрешает неопределенности рационального отображения $\psi$, а $\varphi$ – это морфизм. Пусть $\mathscr{E}_1,\dots,\mathscr{E}_m$ – $\pi$-исключительные кривые (если $\pi$ является изоморфизмом, мы положим $m=0$). Пусть $C$ – сечение проекции $\overline{p}_2$, которое является дополнением к подмножеству $\mathbb{C}^1\times\mathbb{P}^1$ в $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$. Обозначим символами $\mathscr{C}_1,\dots,\mathscr{C}_n$ собственные прообразы на поверхности $\mathscr{S}$ кривых $C_1,\dots,C_n$ соответственно. Аналогично, обозначим символом $\mathscr{C}$ собственный прообраз кривой $C$ на поверхности $\mathscr{S}$.Лемма 2.7. Предположим, что дивизор $K_S+D$ псевдоэффективен и выполнено неравенство $\lambda_i<2$ для каждого $i$. Тогда $\pi(\mathscr{C})$ – это точка, а логпара $(S,D)$ не является логканонической в точке $\pi(\mathscr{C})$. Доказательство. Общий слой морфизма $\varphi$ – гладкая рациональная кривая, а кривая $\mathscr{C}$ является сечением этого морфизма. Заметим, что $\mathscr{C}$ является одной из кривых $\mathscr{C}_1,\dots,\mathscr{C}_n,\mathscr{E}_1,\dots,\mathscr{E}_m$, а все остальные кривые в этом списке отображаются морфизмом $\varphi$ в некоторые точки проективной прямой $\mathbb{P}^1$. Таким образом, без ограничения общности можно считать, что $\mathscr{C}=\mathscr{C}_1$ или $\mathscr{C}=\mathscr{E}_m$.
Существуют рациональные числа $\mu_1,\dots,\mu_m$ такие, что
$$
\begin{equation*}
K_{\mathscr{S}}+\sum_{i=1}^n\lambda_i\mathscr{C}_i+\sum_{i=1}^m\mu_i\mathscr{E}_i= \pi^*(K_{S}+D).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\mathscr{F}$ – общий слой морфизма $\varphi$. Если $\mathscr{C}=\mathscr{C}_1$, то так как дивизор $K_S+D$ псевдоэффективный. Таким образом, в этом случае выполнено неравенство $\lambda_1>2$, что является невозможным по предположению. Итак, показано, что $\mathscr{C}=E_m$, откуда следует, что $\pi(\mathscr{C})$ – это точка. Тогда поскольку дивизор $K_S+D$ является псевдоэффективным. Это показывает, что особенности логпары $(S,D)$ не являются логканоническими в точке $\pi(\mathscr{C})$. Лемма доказана. § 3. Три главные леммыВ этом параграфе мы докажем три результата, которые будут использованы в доказательстве теоремы 1.5 в § 4. Эти результаты – суть леммы 3.4–3.6. Пусть $S$ – гладкая рациональная поверхность, удовлетворяющая условию $(*)$, пусть $C_1,\dots,C_n$ – неприводимые кривые на поверхности $S$. Положим и $D=\sum_{i=1}^n\lambda_iC_i$ для некоторых неотрицательных рациональных чисел $\lambda_1, \dots,\lambda_n$. Предположим также, что $S$ содержит непересекающиеся друг с другом гладкие рациональные $(-1)$-кривые $E_1,\dots,E_{r}$ и выполнена $\mathbb{Q}$-рациональная эквивалентность для некоторых неотрицательных рациональных чисел $a_1,\dots,a_r$.Замечание 3.1. Если $D$ обилен, то $r$ – это ранг Фуджиты дивизора $D$. Однако в этом параграфе мы специально не будем предполагать, что дивизор $D$ является обильным. Мы надеемся, что это не внесет путаницу. Отметим, что леммы 3.4–3.6 могут быть применены к необильным дивизорам, что также используется в их доказательствах. Именно поэтому мы не предполагаем, что дивизор $D$ обилен. Пусть $g\colon S\to\overline{S}$ – сдутие кривых $E_1,\dots,E_{r}$. Положим $\overline{C}_1=g(C_1),\dots,\overline{C}_n=g(C_n)$ и $\overline{D}=\lambda_1\overline{C}_1+\cdots+\lambda_n\overline{C}_n$. Тогда $K_{\overline{S}}^2=r+K_S^2$ и $\overline{D}\sim_{\mathbb{Q}} -K_{\overline{S}}$. Замечание 3.2. Поскольку поверхность $S$ удовлетворяет условию $(*)$ по предположению, поверхность $\overline{S}$ также удовлетворяет условию $(*)$. В частности, если $r+K_S^2\geqslant 1$, то $\overline{S}$ является неособой поверхностью дель Пеццо по замечанию 1.6. Для начала докажем следующий вспомогательный результат. Лемма 3.3. Предположим, что $C_i\,{\ne}\,E_j$ для всех $i$ и $j$. Тогда логпара $(S,D)$ имеет логканонические особенности в каждой точке множества $E_1\,{\cup}\,{\cdots}\,{\cup}\, E_{r}$. Доказательство. Предположим, что логпара $(S,D)$ не является логканонической в некоторой точке $P\in E_1\cup\cdots\cup E_{r}$. Тогда $\operatorname{mult}_{P}(D)>1$ по лемме 2.1. Если $P\in E_1$, то $1\geqslant 1-a_1=D\cdot E_1>1$, что является противоречием. Аналогично, мы видим, что $P\,{\notin}\,E_2\cup\cdots\cup E_{r}$. Лемма доказана. Напомним, что $U\,{=}\,S\,{\setminus}\,(C_1\,{\cup}\,{\cdots}\,{\cup}\,C_n)$, а $r$ – число $g$-исключительных кривых. Лемма 3.4. Допустим, что $r+K_S^2=1$, а для каждого $i$ выполнено неравенство $\lambda_i>0$. Тогда $U$ не является цилиндром. Доказательство. Заметим, что $U=S\setminus\operatorname{Supp}(D)$, а $\overline{S}$ – поверхность дель Пеццо по замечанию 3.2. Если $K_S^2=1$, то $r=0$, так что $S\cong\overline{S}$ и $D\,{\sim_{\mathbb{Q}}}\,{-}K_{S}$. В этом случае, если $U$ является цилиндром, то $U$ также является $(-K_S)$-поляризованным цилиндром, что невозможно по теореме 1.2. Таким образом, мы можем считать, что выполнено неравенство $K_S^2\leqslant 0$. Докажем требуемое утверждение индукцией по $K_S^2$.
Сначала мы предположим, что $C_1=E_1$. Существует коммутативная диаграмма где $f\colon S\to\widehat{S}$ – стягивание кривой $C_1=E_1$, а $h$ – бирациональный морфизм. Пусть $\widehat{E}_2,\dots,\widehat{E}_{r}$ – собственные прообразы на $\widehat{S}$ кривых $E_2,\dots,E_{r}$ соответственно, и пусть $\widehat{C}_2,\dots,\widehat{C}_n$ – собственные прообразы на $\widehat{S}$ кривых $C_2,\dots,C_n$ соответственно. Тогда $K_{\widehat{S}}^2=K_S^2+1$ и
$$
\begin{equation*}
-K_{\widehat{S}}+\sum_{i=2}^{r}a_i\widehat{E}_i\sim_{\mathbb{Q}}\sum_{i=2}^n\lambda_i\widehat{C}_i.
\end{equation*}
\notag
$$
По индукции подмножество $\widehat{S}\setminus(\widehat{C}_2\cup\cdots\cup\widehat{C}_n)\cong U$ не является цилиндром. Таким образом, мы можем считать что $C_1\ne E_1$. Аналогично, мы можем считать, что $C_i\ne E_j$ для всех возможных $i$ и $j$. Последнее означает, что ни одна из кривых $E_1,\dots,E_{r}$ не содержится в $\operatorname{Supp}(D)$.
Допустим, что $U$ является цилиндром. Тогда $n\,{\geqslant}\, 10\,{-}\,K_S^2\,{\geqslant}\, 10$ по лемме 2.6 и
$$
\begin{equation*}
1=-K_{\overline{S}}\cdot\overline{D}=-K_{\overline{S}}\cdot(\lambda_1\overline{C}_1+\cdots+\lambda_n\overline{C}_n) \geqslant\sum_{i=1}^{n}\lambda_i,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку дивизор $-K_{\overline{S}}$ обилен. Таким образом, $\lambda_i<1$ для каждого $i$.
По лемме 2.7 поверхность $S$ содержит точку $P$ такую, что логпара $(S,D)$ не логканонична в $P$. Более того, в обозначениях § 2 точка $P$ является точкой $\pi(\mathscr{C})$. Положим $\overline{P}=g(P)$. Тогда особенности логпары $(\overline{S},\overline{D})$ не логканоничны в точке $\overline{P}$, потому что $P\not\in E_1\cup\cdots\cup E_{r}$ по лемме 3.3. По теореме 2.5 существует единственная кривая $\overline{T}\in |{-}K_{\overline{S}}|$ такая, что особенности логпары $(\overline{S},\overline{T})$ также не логканоничны в $\overline{P}$. Заметим, что кривая $\overline{T}$ неприводима. Следовательно, из теоремы 2.5 также следует, что кривая $\overline{T}$ является одной из кривых $\overline{C}_1,\dots,\overline{C}_n$. Без ограничения общности мы можем считать, что $\overline{T}=\overline{C}_1$. Кривая $\overline{T}=$ особа в точке $\overline{P}$. Более того, эта кривая имеет каспидальную особенность в точке $\overline{P}$, а вне точки $\overline{P}$ кривая $\overline{T}$ неособа. Для каждого $i\in\{1,\dots,r\}$ мы положим
$$
\begin{equation*}
m_i=\begin{cases} 0, &\text{если}\ g(E_i)\not\in\overline{T}, \\ 1,&\text{если}\ g(E_i)\in\overline{T}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
C_1\sim g^{*}(\overline{C}_1)-\sum_{i=1}^{r}m_iE_i\sim -K_{S}+\sum_{i=1}^{r}(1-m_i)E_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы заменим дивизор $D$ на дивизор $(1+\mu)D-\mu C_1$ для такого рационального числа $\mu>0$, что наш новый дивизор все еще эффективен, но его носитель уже не содержит кривую $C_1$. А именно, мы положим
$$
\begin{equation*}
D'=\frac{1}{1-\lambda_1}D-\frac{\lambda_1}{1-\lambda_1}C_1=\sum_{i=2}^n\frac{\lambda_i}{1-\lambda_1}C_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $D'$ – эффективный $\mathbb{Q}$-дивизор, носитель которого не содержит кривую $C_1$. С другой стороны, выполнена $\mathbb{Q}$-рациональная эквивалентность
$$
\begin{equation*}
D'\sim_{\mathbb{Q}}-K_{S}+\sum_{i=1}^{r}\frac{a_i+(m_i-1)\lambda_1}{1-\lambda_1}E_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, если $(a_i+(m_i-1)\lambda_1)/(1-\lambda_1)\geqslant 0$ для каждого $i$, то логпара $(S,D')$ не является логканоничной в точке $P$ по лемме 2.7. В этом случае особенности логпары
$$
\begin{equation*}
\biggl(\overline{S},\sum_{i=2}^n\frac{\lambda_i}{1-\lambda_1}\overline{C}_i\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
не логканоничны в точке $\overline{P}$, потому что $P\not\in E_1\cup\cdots\cup E_{r}$. Но последнее утверждение противоречит теореме 2.5. Таким образом, по крайней мере одно из чисел
$$
\begin{equation*}
\frac{a_1+(m_1-1)\lambda_1}{1-\lambda_1}, \ \frac{a_2+(m_2-1)\lambda_1}{1-\lambda_1}, \ \dots,\ \frac{a_{r}+(m_{r}-1)\lambda_1}{1-\lambda_1}
\end{equation*}
\notag
$$
должно быть отрицательным. Без ограничения общности мы можем считать, что существует $k\leqslant r$ такое, что для каждого $i\leqslant k$, и $(a_i+(m_i-1)\lambda_1)/(1-\lambda_1)\geqslant 0$ для каждого $i>k$ (в случае, когда $k<r$). Тогда $m_1=\cdots=m_k=0$. Мы также можем считать, что $a_1\leqslant\cdots\leqslant a_k$. Положим
$$
\begin{equation*}
D''=\frac{1}{1-a_1}D-\frac{a_1}{1-a_1}C_1=\frac{\lambda_1-a_1}{1-a_1}C_1+\sum_{i=2}^n\frac{\lambda_i}{1-a_1}C_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $D''$ является эффективным $\mathbb{Q}$-дивизором таким, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D'' &\sim_{\mathbb{Q}}-K_{S}+\sum_{i=2}^{r}\frac{a_i-a_1(1-m_i)}{1-a_1}E_i \\ &=-K_S+\sum_{i=2}^{k}\frac{a_i-a_1}{1-a_1}E_i+\sum_{i=k+1}^{r}\frac{a_i-a_1(1-m_i)}{1-a_1}E_i. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $(a_i-a_1(1-m_i))/(1-a_1)\geqslant 0$ для каждого $i>k$, потому что $a_1<\lambda_1$.
Пусть $e\colon\widetilde{S}\to\overline{S}$ – раздутие точки $g(E_1)$, и пусть $\widetilde{E}_1$ – исключительная кривая этого раздутия. Обозначим символами $\widetilde{C}_1,\dots,\widetilde{C}_n$ собственные прообразы на поверхности $\widetilde{S}$ кривых $C_1,\dots,C_n$ соответственно. Аналогично, пусть $\widetilde{D}''$ – собственный прообраз дивизора $D''$ на поверхности $\widetilde{S}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\widetilde{D}''=\frac{\lambda_1-a_1}{1-a_1}\widetilde{C}_1+\sum_{i=2}^n\frac{\lambda_i}{1-a_1}\widetilde{C}_i\sim_{\mathbb{Q}} -K_{\widetilde{S}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $g(E_1)\not\in\overline{T}$, точка $g(E_1)$ не является базисной точкой пучка $|{-}K_{\overline{S}}|$. Таким образом, пучок $|{-}K_{\overline{S}}|$ содержит единственную неприводимую кривую, которая проходит через точку $g(E_1)$. Обозначим эту кривую символом $\overline{R}$ и обозначим символами $\widetilde{R}$ и $R$ ее собственные прообразы на поверхностях $\widetilde{S}$ и $S$ соответственно. Если кривая $\overline{R}$ имеет особенность в точке $g(E_1)$, то а $R$ – неособая рациональная кривая. Последнее невозможно по предположению, поскольку поверхность $S$ удовлетворяет свойству $(*)$. Таким образом, мы видим, что кривая $R$ неособа в точке $g(E_1)$. Тогда $\widetilde{R}\sim -K_{\widetilde{S}}$ и выполнено равенство $\widetilde{R}^2=0$. В частности, кривая $\widetilde{R}$ является численно эффективным дивизором. С другой стороны, мы знаем, что $\widetilde{C}_1\cdot\widetilde{R}=1$, так как $\overline{C}_1$ не содержит точку $g(E_1)$, поскольку $m_1=0$. Следовательно, мы видим, что
$$
\begin{equation*}
0=K_{\widetilde{S}}^2=\widetilde{D}''\cdot\widetilde{R}=\frac{\lambda_1-a_1}{1-a_1}\widetilde{C}_1\cdot\widetilde{R}+\sum_{i=2}^n\frac{\lambda_i}{1-a_1}\widetilde{C}_i\cdot\widetilde{R}\geqslant \frac{\lambda_1-a_1}{1-a_1}\widetilde{C}_1\cdot\widetilde{R}=\frac{\lambda_1-a_1}{1-a_1},
\end{equation*}
\notag
$$
так что $a_1\geqslant\lambda_1$. Это противоречие, поскольку мы уже доказали что $a_1<\lambda_1$. Лемма доказана. Лемма 3.5. Допустим, что $r+K_S^2=2$, а для каждого $i$ выполнено неравенство $\lambda_i>0$. Тогда $U$ не является цилиндром. Доказательство. Заметим, что $K_{\overline{S}}^2=2$, откуда следует, что $\overline{S}$ – гладкая поверхность дель Пеццо по замечанию 3.2. Если $K_S^2=2$, то $r=0$ и $S\cong\overline{S}$. В этом случае утверждение леммы следует из теоремы 1.2. Значит, можно считать, что $K_S^2\leqslant 1$. Более того, рассуждая, как в начале доказательства леммы 3.4, мы можем также считать, что $C_i\ne E_j$ для всех $i$ и $j$. А применяя лемму 3.1 из [2] к логпаре $(\overline{S},\overline{D})$, мы видим, что $\lambda_i\leqslant 1$ для всех возможных $i$.
Предположим, что $U=S\setminus\operatorname{Supp}(D)$ является цилиндром. Тогда $n\geqslant 9$ по лемме 2.6. Более того, из леммы 2.7 следует, что поверхность $S$ содержит точку $P$ такую, что логпара $(S,D)$ не является логканоничной в этой точке. В обозначениях § 2 точка $P$ есть точка $\pi(\mathscr{C})$. Положим $\overline{P}=g(P)$. Тогда $(\overline{S},\overline{D})$ не логканонична в $\overline{P}$, потому что $P\not\in E_1\cup\cdots\cup E_{r}$ по лемме 3.3. По теореме 2.5 система $|{-}K_{\overline{S}}|$ содержит такую кривую $\overline{T}$, что $(\overline{S},\overline{T})$ также не логканонична в точке $\overline{P}$, а неприводимые компоненты кривой $\overline{T}$ – это некоторые из кривых $\overline{C}_1,\dots,\overline{C}_n$. В частности, кривая $\overline{T}$ особа в точке $\overline{P}$. Заметим, что уже это свойство однозначно определяет кривую $\overline{T}$. Более того, поскольку $\overline{S}$ является гладкой поверхностью дель Пеццо степени $K_{\overline{S}}^2=2$, кривая $\overline{T}$ имеет не более чем две неприводимые компоненты. Таким образом, без ограничения общности мы можем считать, что либо $\overline{T}=\overline{C}_1$, либо $\overline{T}=\overline{C}_1+\overline{C}_2$ и $\lambda_1\leqslant\lambda_2$. Если $\overline{T}=\overline{C}_1$, то кривая $\overline{T}$ имеет каспидальную особенность в точке $\overline{P}$. Аналогично, если $\overline{T}=\overline{C}_1+\overline{C}_2$, то кривая $\overline{T}$ имеет такнодальную особенность в точке $\overline{P}$. В обоих случаях мы видим, что $\overline{P}$ является единственной особой точкой кривой $\overline{T}$. Теперь, как и в доказательстве леммы 3.4, для каждого $i\in\{1,\dots,r\}$ положим
$$
\begin{equation*}
m_i=\begin{cases} 0, &\text{если}\ g(E_i)\not\in\overline{T}, \\ 1,&\text{если}\ g(E_i)\in\overline{T}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $T$ – собственный прообраз кривой $\overline{T}$ на поверхности $S$. Тогда
$$
\begin{equation*}
T\sim g^{*}(\overline{T})-\sum_{i=1}^{r}m_iE_i\sim -K_{S}+\sum_{i=1}^{r}(1-m_i)E_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\overline{T}=\overline{C}_1$, то $\lambda_1<1$, потому что
$$
\begin{equation*}
2=-K_{\overline{S}}\cdot\overline{D}=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i(-K_{\overline{S}}\cdot\overline{C}_i) =2\lambda_1+\sum_{i=2}^{n}\lambda_i(-K_{\overline{S}}\cdot\overline{C}_i) \geqslant 2\lambda_1+\sum_{i=2}^n\lambda_i>2\lambda_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, если $\overline{T}=\overline{C}_1+\overline{C}_2$, то $\lambda_1<1$, так как
$$
\begin{equation*}
2=-K_{\overline{S}}\cdot\overline{D} =\lambda_1+\lambda_2+\sum_{i=3}^{n}\lambda_i(-K_{\overline{S}}\cdot\overline{C}_i) >\lambda_1+\lambda_2\geqslant 2\lambda_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы положим $D'=\dfrac{1}{1-\lambda_1}D-\dfrac{\lambda_1}{1-\lambda_1}T$ и $\overline{D}'=\dfrac{1}{1-\lambda_1}\overline{D}-\dfrac{\lambda_1}{1-\lambda_1}\overline{T}$. Если $\overline{T}=\overline{C}_1$, то Аналогично, если $\overline{T}=\overline{C}_1+\overline{C}_2$, то
$$
\begin{equation*}
D'=\frac{\lambda_2-\lambda_1}{1-\lambda_1}C_2+\sum_{i=3}^n\frac{\lambda_i}{1-\lambda_1}C_i.
\end{equation*}
\notag
$$
В обоих случаях наш дивизор $D'$ эффективен, а его носитель не содержит кривую $C_1$. С другой стороны, имеет место следующая $\mathbb{Q}$-рациональная эквивалентность:
$$
\begin{equation*}
D'\sim_{\mathbb{Q}}-K_{S}+\sum_{i=1}^{r}\frac{a_i+(m_i-1)\lambda_1}{1-\lambda_1}E_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, если выполнено неравенство $(a_i+(m_i-1)\lambda_1)/(1-\lambda_1)\geqslant 0$ для каждого $i$, то особенности логпары $(S,D')$ не могут быть логканоническими в точке $P$ по лемме 2.7. В этом случае выполнена эквивалентность $\overline{D}'\sim_{\mathbb{Q}}-K_{\overline{S}}$, а логпара $(\overline{S}, \overline{D}')$ не логканонична в точке $\overline{P}$, что противоречит теореме 2.5. Значит, по крайней мере одно из чисел $(a_1+(m_1-1)\lambda_1)/(1-\lambda_1),\dots,(a_r+(m_r-1)\lambda_1)/(1-\lambda_1)$ должно быть отрицательным. Без ограничения общности можно считать, что
$$
\begin{equation*}
\frac{a_i+(m_i-1)\lambda_1}{1-\lambda_1}<0\quad\Longleftrightarrow\quad i\leqslant k
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого $k\leqslant r$. Тогда $m_i=0$ и $a_i<\lambda_1$ для каждого $i\leqslant k$. Также можно считать, что $a_1\leqslant\cdots\leqslant a_k$.
Положим $D''=\frac{1}{1-a_1}D-\frac{a_1}{1-a_1}T$. Заметим, что дивизор $D''$ эффективен. Действительно, если $\overline{T}=\overline{C}_1$, то
$$
\begin{equation*}
D''=\frac{\lambda_1-a_1}{1-a_1}C_1+\sum_{i=2}^n\frac{\lambda_i}{1-a_1}C_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, если $\overline{T}=\overline{C}_1+\overline{C}_2$, то
$$
\begin{equation*}
D''=\frac{\lambda_1-a_1}{1-a_1}C_1+\frac{\lambda_2-a_1}{1-a_1}C_2+\sum_{i=3}^n\frac{\lambda_i}{1-a_1}C_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим также, что $\operatorname{Supp}(D'')=\operatorname{Supp}(D)$. С другой стороны, имеем
$$
\begin{equation*}
D''\sim_{\mathbb{Q}}-K_{S}+\sum_{i=2}^{r}\frac{a_i-a_1(1-m_i)}{1-a_1}E_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, применяя лемму 3.4 к дивизору $D''$, мы видим, что $U$ не является цилиндром, что противоречит нашему предположению. Лемма доказана. Лемма 3.6. Допустим, что $r+K_S^2=3$, а для каждого $i$ выполнено неравенство $\lambda_i>0$. Тогда $U$ не является цилиндром. Доказательство. Поскольку $K_{\overline{S}}^2=3$, из замечания 3.2 следует, что $\overline{S}$ является неособой кубической поверхностью в $\mathbb{P}^3$. Если $K_S^2=3$, то $r=0$, $S\cong\overline{S}$ и $D\sim_{\mathbb{Q}}-K_{S}$, так что наше множество $U=S\setminus\operatorname{Supp}(D)$ не может быть цилиндром по теореме 1.2. Значит, мы можем считать, что $K_S^2\leqslant 2$. Более того, из доказательства леммы 3.4 сразу следует, что мы также можем считать что $C_i\ne E_j$ для всех возможных $i$ и $j$. Применяя лемму 4.1 из [2] к логпаре $(\overline{S},\overline{D})$, мы видим, что $\lambda_i\leqslant 1$ для всех $i$.
Предположим, что $U$ является цилиндром. Покажем, что это предположение приводит к противоречию. Заметим, что $n\geqslant 8$ по лемме 2.6. Применяя лемму 2.7, мы видим, что поверхность $S$ содержит точку $P$ такую, что логпара $(S,D)$ не является логканоничной в точке $P$. В обозначениях § 2 точка $P$ является точкой $\pi(\mathscr{C})$. Положим $\overline{P}=g(P)$. Тогда логпара $(\overline{S},\overline{D})$ не является логканоничной в точке $\overline{P}$, поскольку $P\not\in E_1\cup\cdots\cup E_{r}$ по лемме 3.3. Пусть $\overline{T}$ – гиперплоское сечение кубической поверхности $\overline{S}$, которое особо в $\overline{P}$. По теореме 2.5 логпара $(\overline{S},\overline{T})$ не логканонична в точке $\overline{P}$, а все неприводимые компоненты кривой $\overline{T}$ являются кривыми среди $\overline{C}_1,\dots,\overline{C}_n$. Таким образом, мы можем считать, что имеет место один из следующих трех случаев:
Если $\overline{T}=\overline{C}_1$, то кубическая кривая $\overline{T}$ имеет каспидальную особенность в точке $\overline{P}$. Аналогично, если $\overline{T}=\overline{C}_1+\overline{C}_2$, то кривая $\overline{T}$ имеет такнодальную особенность в $\overline{P}$. Наконец, если $\overline{T}=\overline{C}_1+\overline{C}_2+\overline{C}_3$, то все три кривые $\overline{C}_1$, $\overline{C}_2$ и $\overline{C}_3$ являются прямыми, которые проходят через точку $\overline{P}$. Таким образом, во всех трех возможных случаях точка $\overline{P}$ является единственной особой точкой кривой $\overline{T}$. Как и в доказательствах лемм 3.4 и 3.4, для каждого $i\in\{1,\dots,r\}$ положим
$$
\begin{equation*}
m_i=\begin{cases} 0, &\text{если}\ g(E_i)\not\in\overline{T}, \\ 1, &\text{если}\ g(E_i)\in\overline{T}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $T$ – собственный прообраз кривой $\overline{T}$ на поверхности $S$. Тогда
$$
\begin{equation*}
T\sim g^{*}(\overline{T})-\sum_{i=1}^rm_iE_i\sim -K_{S}+\sum_{i=1}^r(1-m_i)E_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы утверждаем, что $\lambda_1<1$. Действительно, если $\overline{T}=\overline{C}_1$, то
$$
\begin{equation*}
3=-K_{\overline{S}}\cdot\overline{D} =\sum_{i=1}^{n}\lambda_i(-K_{\overline{S}}\cdot\overline{C}_i) =3\lambda_1+\sum_{i=2}^{n}\lambda_i(-K_{\overline{S}}\cdot\overline{C}_i) \geqslant 3\lambda_1+\sum_{i=2}^n\lambda_i>3\lambda_1,
\end{equation*}
\notag
$$
так что $\lambda_1<1$. Аналогично, если $\overline{T}=\overline{C}_1+\overline{C}_2$, то $\lambda_1<1$, потому что
$$
\begin{equation*}
3=\lambda_1\operatorname{deg} (\overline{C}_1)+\lambda_2\operatorname{deg}(\overline{C}_2) +\sum_{i=3}^{n}\lambda_i(-K_{\overline{S}}\cdot\overline{C}_i) >\lambda_1\bigl(\operatorname{deg}(\overline{C}_1)+\operatorname{deg}(\overline{C}_2)\bigr)=3\lambda_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, если $\overline{T}=\overline{C}_1+\overline{C}_2+\overline{C}_3$, то $\lambda_1<1$, поскольку
$$
\begin{equation*}
3=-K_{\overline{S}}\cdot\overline{D}=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\sum_{i=4}^{n}\lambda_i(-K_{\overline{S}}\cdot\overline{C}_i) >\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3\geqslant 3\lambda_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $D'=\dfrac{1}{1-\lambda_1}D-\dfrac{\lambda_1}{1-\lambda_1}T$ и $\overline{D}'=\dfrac{1}{1-\lambda_1}\overline{D}-\dfrac{\lambda_1}{1-\lambda_1}\overline{T}$. Если $\overline{T}=\overline{C}_1$, то имеем Аналогично, если $\overline{T}=\overline{C}_1+\overline{C}_2$, то
$$
\begin{equation*}
D'=\frac{\lambda_2-\lambda_1}{1-\lambda_1}C_2+\sum_{i=3}^n\frac{\lambda_i}{1-\lambda_1}C_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, если $\overline{T}=\overline{C}_1+\overline{C}_2+\overline{C}_3$, то
$$
\begin{equation*}
D'=\frac{\lambda_2-\lambda_1}{1-\lambda_1}C_2+\frac{\lambda_3-\lambda_1}{1-\lambda_1}C_3+\sum_{i=4}^n\frac{\lambda_i}{1-\lambda_1}C_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, во всех случаях дивизор $D'$ эффективен, а его носитель не содержит кривую $C_1$. С другой стороны, имеет место следующая эквивалентность:
$$
\begin{equation*}
D'\sim_{\mathbb{Q}}-K_{S}+\sum_{i=1}^{r}\frac{a_i+(m_i-1)\lambda_1}{1-\lambda_1}E_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, если $(a_i+(m_i-1)\lambda_1)/(1-\lambda_1)\geqslant 0$ для каждого $i$, то особенности логпары $(S,D')$ не могут быть логканоническими в точке $P$ по лемме 2.7, откуда следует, что особенности логпары $(\overline{S}, \overline{D}')$ не являются логканоническими в $\overline{P}$, что противоречит теореме 2.5, поскольку $\overline{D}'\sim_{\mathbb{Q}}-K_{\overline{S}}$, а носитель дивизора $\overline{D}'$ не содержит $\overline{C}_1$. Итак, мы видим, что по крайней мере одно из чисел $(a_1+(m_1-1)\lambda_1)/(1-\lambda_1),\dots,(a_r+(m_r-1)\lambda_1)/(1-\lambda_1)$ отрицательно.
Без ограничения общности мы можем считать, что
$$
\begin{equation*}
\frac{a_i+(m_i-1)\lambda_1}{1-\lambda_1}<0\quad\Longleftrightarrow\quad i\leqslant k
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого $k\leqslant r$ и $a_1\leqslant\cdots\leqslant a_k$. Тогда $m_i=0$ и $a_i<\lambda_1$ для каждого $i=1,\dots,k$.
Положим $D''=\frac{1}{1-a_1}D-\frac{a_1}{1-a_1}T$. Заметим, что дивизор $D''$ эффективен. Действительно, если $\overline{T}=\overline{C}_1$, то
$$
\begin{equation*}
D''=\frac{\lambda_1-a_1}{1-a_1}C_1+\sum_{i=2}^n\frac{\lambda_i}{1-a_1}C_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, если $\overline{T}=\overline{C}_1+\overline{C}_2$, то
$$
\begin{equation*}
D''=\frac{\lambda_1-a_1}{1-a_1}C_1+\frac{\lambda_2-a_1}{1-a_1}C_2+\sum_{i=3}^n\frac{\lambda_i}{1-a_1}C_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, если $\overline{T}=\overline{C}_1+\overline{C}_2+\overline{C}_3$, то
$$
\begin{equation*}
D''=\frac{\lambda_1-a_1}{1-a_1}C_1+\frac{\lambda_2-a_1}{1-a_1}C_2+\frac{\lambda_3-a_1}{1-a_1}C_3+\sum_{i=4}^n\frac{a_i}{1-a_1}C_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, во всех случаях имеет место равенство $\operatorname{Supp}(D'')=\operatorname{Supp}(D)$. С другой стороны, выполнена следующая $\mathbb{Q}$-рациональная эквивалентность:
$$
\begin{equation*}
D''\sim_{\mathbb{Q}}-K_{S}+\sum_{i=2}^{r}\frac{a_i-a_1(1-m_i)}{1-a_1}E_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя лемму 3.5 к дивизору $D''$, мы видим, что $U$ не является цилиндром, что противоречит нашему предположению. Лемма доказана. § 4. Доказательство основного результатаВ этом параграфе мы докажем теорему 1.5, используя леммы 3.4–3.6. Пусть $S$ – гладкая рациональная поверхность, пусть $A$ – обильный $\mathbb{Q}$-дивизор на ней, и пусть $\mu_A$ – его инвариант Фуджиты. Тогда Тогда $K_S+\mu_AA$ псевдоэффективен, но не объемен. Пусть $\Delta_{A}$ – наименьшая грань конуса Мори $\overline{\mathbb{NE}(S)}$, которая содержит дивизор $K_{S}+\mu_A A$, и пусть $r_A$ – размерность этой грани. Для доказательства теоремы 1.5 мы должны показать, что $S$ не содержит $A$-поляризованных цилиндров при условии, что $S$ удовлетворяет условию $(*)$, и выполнено неравенство $r_A+K_S^2\leqslant 3$. Для начала мы опишем разложение Зариского дивизора $K_{S}+\mu_A A$ (см. [13; теорема 1] или [12]). А именно, имеет место следующий результат. Лемма 4.1. Существует бирациональный морфизм $g\colon S\to\overline{S}$ такой, что поверхность $\overline{S}$ неособа, и выполнена следующая $\mathbb{Q}$-рациональная эквивалентность: где $E_1,\dots,E_{r}$ – $g$-исключительные кривые, $a_1,\dots,a_{r}$ – некоторые положительные рациональные числа, $\overline{A}=g_{*}(A)$, дивизор $K_{\overline{S}}+\mu_A\overline{A}$ численно эффективен и Более того, имеет место один из следующих двух случаев: (1) $\overline{S}$ – гладкая поверхность дель Пеццо, $K_{\overline{S}}+\mu_A\overline{A}\sim_{\mathbb{Q}} 0$ и $r=r_A$; (2) существует расслоение на коники $h\colon\overline{S}\to\mathbb{P}^1$ такое, что $K_{\overline{S}}+\mu_A\overline{A}\sim_{\mathbb{Q}} qF$ для некоторого $q\in\mathbb{Q}_{>0}$, где $F$ – слой расслоения $h$, и $r_A=\operatorname{rk\,Pic}(S)-1$. Доказательство. Поверхность $S$ содержит неприводимую кривую $C$ такую, что $\mu_AA\sim_{\mathbb{Q}}aC$ для некоторого $a\in\mathbb{Q}_{>0}$, а логпара $(S,aC)$ имеет логтерминальные особенности. Таким образом, мы можем применить лог-ПММ к этой логпаре (ПММ – программа минимальных моделей); см. [10].
Если $K_{S}\,{+}\,aC\,{\sim_{\mathbb{Q}}}\, 0$, то требуемое утверждение очевидно. Если $K_{S}\,{+}\,aC\,{\not\sim_{\mathbb{Q}}}\, 0$, а дивизор $K_{S}\,{+}\,aC$ численно эффективен, то $(K_{S}\,{+}\,aC)^2\,{=}\,0$, так как $K_{S}\,{+}\,aC$ не является объемным по предположению. В этом случае требуемое утверждение следует из [10; теорема 3.3], потому что кривая $C$ является обильным дивизором. Таким образом, мы можем считать, что дивизор $K_{S}+aC$ не является численно эффективным. Если $\operatorname{rk\,Pic}(S)=1$, то $S=\mathbb{P}^2$. Если $\operatorname{rk\,Pic}(S)=2$, то $S$ является одной из линейчатых поверхностей Хирцебруха. В обоих случаях требуемое утверждение очевидно. Таким образом, мы можем считать, что $\operatorname{rk\,Pic}(S)\geqslant 3$. Поскольку дивизор $K_{S}\,{+}\,aC$ не является численно эффективным, существует бирациональный морфизм $g_1\colon S\to S_1$, который стягивает одну неприводимую кривую (назовем ее $E_1$) такую, что $(K_{S}+aC)\cdot E_1<0$. Поскольку кривая $C$ является обильным дивизором, мы видим, что $E_1\ne C$ и $K_S\cdot E_1<0$, откуда следует, что $E_1$ – гладкая рациональная кривая и $E_1^2=-1$. В частности, поверхность $S_1$ неособа. Положим $C_1=g(C)$. Тогда для некоторого рационального числа $b_1>0$. Заметим, что логпара $(S_1,aC_1)$ имеет логтерминальные особенности, дивизор $aC_1$ обилен, а дивизор $K_{S_1}\,{+}\,aC_1$ содержится в границе конуса Мори $\overline{\mathbb{NE}(S_1)}$. Таким образом, мы можем применить аналогичные аргументы к дивизору $K_{S_1}+aC_1$, а затем итерировать этот процесс. За конечное число итераций мы получим требуемое утверждение. Лемма доказана.Теперь предположим, что выполнено неравенство $r_A\,{+}\,K_S^2\,{\leqslant}\, 3$. Заметим, что $\operatorname{rk\,Pic}(S)=10-K_S^2$. Таким образом, грань $\Delta_{A}$ должна иметь большую коразмерность в конусе $\overline{\mathbb{NE}(S)}$. Теперь, применяя лемму 4.1, мы видим, что численно эффективная часть разложения Зариского дивизора $K_S+\mu_AA$ должна быть тривиальной и существует бирациональный морфизм $g\colon S\to\overline{S}$ такой, что $\overline{S}$ – гладкая поверхность дель Пеццо, морфизм $g$ стягивает $r_A$ гладких рациональных кривых и имеет место следующая $\mathbb{Q}$-рациональная эквивалентность: для некоторых положительных рациональных чисел $a_1,\dots,a_{r_A}$, где $E_1,\dots, E_{r_A}$ – суть $g$-исключительные кривые. Заметим, что $K_{\overline{S}}^2=r_A+K_S^2$, так что $r_A+K_S^2\,{\geqslant}\, 1$.Наконец, мы предположим, что поверхность $S$ удовлетворяет условию $(*)$. В этом случае кривые $E_1,\dots,E_{r_A}$ должны быть попарно не пересекающимися, так что $E_1^2=E_2^2=\cdots=E_{r_A}^2=-1$. Для доказательства теоремы 1.5 нужно показать, что $S$ не содержит $A$-поляризованные цилиндры. Предположим, что это не так. Тогда существует эффективный $\mathbb{Q}$-дивизор $D$ на поверхности $S$ такой, что $D\sim_{\mathbb{Q}} A$, а $S\setminus\operatorname{Supp}(D)$ – цилиндр. Но это противоречит леммам 3.4–3.6, потому что $r_A+K_S^2\in\{1,2,3\}$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Che21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|