| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) Усиление метода Бургейна–Конторовича: три новых теоремы И. Д. Кан Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 7, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9437 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение1.1. История вопросаПусть фиксирован некоторый конечный числовой алфавит $\mathbf{A}\subseteq \mathbb{N} $ (множество чисел). Тогда для чисел $d_1,d_2,\dots,d_{k}\in\mathbf{A}$ через $[d_1,d_2,\dots,d_{k}]$ обозначим конечную цепную дробь
$$
\begin{equation}
[d_1,d_2,\dots,d_k] = \cfrac{1}{d_1+\cfrac{1} {d_2+{\atop\ddots\,\displaystyle{+\cfrac{1}{d_k}}}}},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
а через $\mathfrak{R}_{\mathbf{A}}$ – множество пар натуральных чисел $(b,d)$, образующих несократимые рациональные дроби $b/d$, представимые цепными дробями (словами) вида (1.1):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathfrak{R}_{\mathbf{A}} &=\biggl\{(b,d)\in \mathbb{N}^2\biggm| \exists\,k=k(b,d)\in \mathbb{N}\colon \frac{b}{d}=[d_1,d_2,\dots,d_{k}], \\ &\qquad\qquad \operatorname{gcd}(b,d)=1,\ b\leqslant d, \ d_j\in\mathbf{A}\ \text{для}\ j=1,2,\dots,k\biggr \}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Через $\mathfrak{D}_{\mathbf{A}}$ обозначим множество всевозможных знаменателей $d$ из (1.2):
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{D}_{\mathbf{A}}=\bigl\{d\in\mathbb{N}\mid \exists\, b\in\mathbb{N}\colon (b,d)\in \mathfrak{R}_{\mathbf{A}}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Около пятидесяти лет бросает математикам вызов следующая недоказанная Гипотеза 1.1 (гипотеза Зарембы [1; с. 76]). Для алфавита $\mathbf{A}=\{1,2,\dots,A\}$ при достаточно большом $A$ имеет место равенство $\mathfrak{D}_{\mathbf{A}}=\mathbb{N}$. То есть каждое $d\geqslant1$ представимо в виде знаменателя конечной цепной дроби $ {b}/{d}$ с неполными частными, ограниченными величиной $A$. Несколько раньше, в 50-е годы прошлого века, Н. С. Бахвалов, Н. Н. Ченцов и Н. М. Коробов, рассматривая на научно-исследовательском семинаре вопросы приближенного интегрирования, также пришли к аналогичной гипотезе. И хотя они ее не опубликовали, данный факт является примером классического устного предания. Поэтому гипотезу Зарембы правильнее было бы назвать гипотезой Бахвалова–Коробова–Ченцова. Косвенное подтверждение этому факту содержит работа профессора Н. М. Коробова [2], в которой доказано, что для каждого нечетного простого $d$ существует такое целое число $b$, что $(b,d)\in\mathfrak{R}_ {\mathbf{A}}$ для алфавита $\mathbf{A}=\{1,2,\dots,[\log d]\}$. Фактически С. К. Заремба предположил, что значения $A=5$ достаточно для справедливости его гипотезы. Почему именно $A=5$? Потому что аналогичному предположению с $A=4$ не удовлетворяют по крайней мере два значения $d$, а именно $d=54$ и $d=150$ (других контрпримеров не известно!). Другими словами, предполагается, что при $A=4$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
|\mathfrak{D}_{\{1,2,\dots,A\}}\cap [1,N]|\geqslant N-O(1) \quad\text{при }\ N\to\infty
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
(в котором даже можно $O(1)$ заменить числом $2$). Некоторые математики в своих предположениях о неравенстве (1.3) пошли еще дальше. Так, Г. Нидеррайтер (см. [3]) предположил, что формула (1.3) справедлива при $A=3$ (к слову говоря, при дополнительном условии проcтоты знаменателей $d$ даже при “малых” $d$ не известно ни одного контрпримера к гипотезе Зарембы с $A=3$), а Д. Хенсли (см. [4]) предположил, что также при $A=2$. Другой вопрос, непосредственно связанный с гипотезой 1.1: выполнено ли хотя бы более слабое неравенство
$$
\begin{equation}
|\mathfrak{D}_{\{1,2,\dots,A\}}\cap [1,N]| \gg N \quad \text{при }\ N\to\infty
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
при каком-нибудь конечном значении $A$? (Из дальнейшего будет следовать, что ответ на этот вопрос положителен при $A=4$, но не известен при $A=3$.) Подробнее с обзором результатов, связанных с гипотезой 1.1, можно познакомиться в работах [5] и [6]. Для алфавита $\mathbf{A}$ число $d$ называют допустимым (см. [5]), если для любого $q>1$ во множестве $\mathfrak{D}_{\mathbf{A}}$ существуют числа, сравнимые с $d$ по модулю $q$. Пусть $\mathfrak{A}_{\mathbf{A}}$ – множество допустимых чисел, а $\Delta_{\mathbf{A}}$ – хаусдорфова размерность множества бесконечных цепных дробей с $d_1,d_2,\dots$ из алфавита $\mathbf{A}$ (информация об этой величине имеется в [7]). Для каждого $d\in\mathfrak{D}_{\mathbf{A}}$ кратностью $\kappa_{\mathbf{A}}(d)$ называется количество чисел $b$ таких, что $(b,d)\in\mathfrak{R}_{\mathbf{A}}$. Ж. Бургейн и А. Конторович в 2011 г. доказали следующие теоремы. Теорема 1.1 (см. [5; теорема 1.2, замечание 1.20]). Для каждого алфавита ${\mathbf{A}}$, удовлетворяющего условию справедливо неравенство Теорема 1.2 (см. [5; теорема 1.8, замечание 1.20]). При выполнении условия (1.5) множество $\mathfrak{D}_{\mathbf{A}}$ содержит почти все допустимые числа. Точнее, найдется константа $c=c({\mathbf{A}})>0$ такая, что для всех достаточно больших чисел $N$ во множестве $\mathfrak{D}_{\mathbf{A}}\cap[0.5N,N]$ содержится по крайней мере элементов $d$, кратность которых $\kappa_{\mathbf{A}} (d)$ удовлетворяет оценке Согласно [5] теорема 1.1 является следствием теоремы 1.2. Эти две теоремы применимы к алфавиту $\mathbf{A}=\{1,2,\dots,A\}$ при любом $A\geqslant 50$: как показано в [5], это следует из формулы Д. Хенсли (см. [7])
$$
\begin{equation*}
\Delta_{\{1,2,\dots,A\}}=1-\frac{6}{\pi^2 A}-\frac{72\log A}{\pi^4 A^2}+O\biggl(\frac{1}{A^2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Улучшению теорем 1.1 и 1.2 был посвящен целый ряд работ. А именно, теорема 1.1 усиливалась в работах [8]–[11], а теорема 1.2 – в работах С. Хуанга [12] и других (см. [13]–[16]). Так, в работе [11] автор настоящей статьи и Д. А. Фроленков доказали теорему, аналогичную теореме 1.1, для алфавита $\mathbf{A}=\{1,2,3,4,5\}$ (а также для любого конечного алфавита с $\Delta_{\mathbf{A}}> {5}/{6}=0.8333\dots$). Затем С. Хуанг в [12], опираясь на методы работ [5] и [11], доказал для того же алфавита $\mathbf{A}=\{1,2,3,4,5\}$ формулы (1.7) и (1.8). Несколько позднее трое авторов – М. Мэги, Г. О и Д. Винтер – доказали (см. [17]), что для некоторого $\varepsilon>0$ для алфавита $\mathbf{A} =\{1,2,3,4,5\}$ выполнено неравенство $|\mathfrak{D}_{\mathbf{A}}\cap[1,N]|\geqslant N(1- N^{-\varepsilon})$. В последнее время появилось несколько новых работ с интересными результатами по области тем, связанных с гипотезой Зарембы (см. [18]–[20]). Возвращаясь к теореме Хуанга из [12], отметим, что из ее доказательства следует общий принцип: для всякого $C\geqslant 0.5$ для вывода при условии $C<\Delta_{\mathbf{A}} <1$ формул (1.7) и (1.8) методом Бургейна–Конторовича достаточно тем же методом доказать формулу (1.6) при том же условии. С использованием этого принципа в статье [15] была доказана следующая теорема. Теорема 1.3 (см. [15; теорема 1.2]). Пусть алфавит ${\mathbf{A}}$ удовлетворяет условию Отметим, что условию (1.9), согласно О. Дженкинсону (см. [21]), удовлетворяет, например, алфавит $\mathbf{A}=\{1,2,3,4\}$, что дает положительный ответ на вопрос о неравенстве (1.4) при $A=4$. 1.2. Основные результаты статьиНастоящая статья является продолжением цикла работ [8]–[11] и [13]–[16], основанных на методе Бургейна–Конторовича из [5]. Однако для понимания настоящего исследования достаточно, в основном, ознакомления со статьей [16]. Главная цель работы состоит в доказательстве следующих трех теорем. Теорема 1.4. Если для алфавита $\mathbf{A}$ величина $\Delta_{\mathbf{A}}$ удовлетворяет условию Теорема 1.5. Для некоторой константы $C>0$ справедливо следующее: если для последовательности алфавитов $\mathbf{A}=\mathbf{A}(N)$ величина $\Delta_{\mathbf{A}}=\Delta_{\mathbf{A}(N)}$ удовлетворяет условию Теорема 1.6. Пусть для алфавита $\mathbf{A}$, величина $\Delta_{\mathbf{A}}$ которого удовлетворяет условию Кроме того, для некоторой константы $c>0$ справедливо следующее. Пусть для последовательности таких алфавитов $\mathbf{A}=\mathbf{A}(N)$, величины $\Delta_{\mathbf{A}}=\Delta_{\mathbf{A}(N)}$ которых удовлетворяют условию можно методом Бургейна–Конторовича при любом $\varepsilon>0$ доказать неравенство (1.12). Тогда выполнены формулы (1.6)–(1.8). Замечание 1.1. Положим $\Delta^{\mathbf{(1)}}=(\sqrt{40}-4)/3=0.7748\dots $ и выясним, чем различаются условия теорем 1.4 и 1.5. Для этого предположим, что алфавиты $\mathbf{A}=\mathbf{A}(N)$ удовлетворяют неравенству Замечание 1.2. Условие теоремы 1.6 относительно неравенства (1.12), на первый взгляд, кажется не вполне корректным: что значит “доказать методом Бургейна–Конторовича”? Позже, после достаточного погружения в метод, этим словам будет придан вполне конкретный смысл. Замечание 1.3. Неравенства (1.6) и (1.12) выглядят очень похоже. Может возникнуть вопрос: нельзя ли вывести неравенство (1.6) из (1.12) непосредственно, просто устремив $\varepsilon$ к нулю? Ответ на этот вопрос отрицателен, так как нельзя гарантировать, что при предельном переходе $\varepsilon\to0+0$ зависящие от $\varepsilon$ константы из знака $\gg_{\varepsilon}$ в (1.12) не устремятся к нулю. БлагодарностиАвтор благодарит профессора Н. Г. Мощевитина за постановку темы исследования и неоднократное обсуждение результатов. Автор благодарен Д. А. Фроленкову за многократное обсуждение и многие полезные советы по теме работы. § 2. Методы доказательств из настоящей работыВ этом параграфе будет часто употребляться слово “напоминаются” по отношению к каким-либо сведениям или результатам. Это, как правило, означает, что рассматриваемая тема обсуждалась в работе [16]. В § 3 и § 4 формулируются стартовые приемы и основа доказательства теорем по методу Бургейна–Конторовича из работы [5]. В § 5 эта основа подвергается уточнению с помощью обращения неравенства Коши–Буняковского–Шварца из работы [22]. Применение этой идеи ключевым образом влияет на получение нового результата. Поясним это. Идейно метод Бургейна–Конторовича восходит к И. М. Виноградову: получение верхней оценки модуля тригонометрической суммы начинается с возведения этой суммы в некоторую степень (в данном случае – в квадрат), затем, после ряда преобразований, сводится к оценке числа решений системы сравнений и неравенств. Результаты этой последней оценки состоят из верхних и нижних ограничений на параметр $M_1$ из (6.1) (который участвует также в построениях из § 9): при нарушении нижних из этих ограничений применение метода будет недостаточно эффективным, а при нарушении верхних – невозможным совсем. По мере уменьшения величины $\Delta_{\mathbf{A}}$ эти верхние ограничения на $M_1$ уменьшаются, а нижние увеличиваются, так что для выбора $M_1$ остается все меньше возможностей. Наконец, при некотором еще меньшем значении $\Delta_{\mathbf{A}}$ интервал выбора $M_1$ стягивается в точку, это значение $\Delta_{\mathbf{A}}$ и есть минимально возможное. Новизна метода из настоящей работы состоит в приложении результата статьи [22]: теперь каждое из рассматриваемых подмножеств $Z$ интервала $(0,1)$ является обобщенным кубом, имеющим “длину” $\mathscr{Q}$, “ширину” $\mathscr{A}$ и “высоту” $\mathscr{L}$ (в том числе $\mathscr{Q}$ и $\mathscr{A}$ – соответственно количества знаменателей и числителей некоторого множества дробей). Область изменения величин $\mathscr{Q}$ и $\mathscr{A}$ в дальнейшем делится на несколько подмножеств, для каждого из которых ограничения на параметр $M_1$ выводятся индивидуально. Поэтому выбор $M_1$ теперь зависит от $\mathscr{Q}$ и $\mathscr{A}$. В § 6 напоминаются основные сведения об ансамбле. В § 7 свойства ансамбля уточняются. При этом к приему, связанному с разложением матричных множеств на множители, добавляется новое действие – включение таких множеств. В § 8 вводятся обозначения к системам из сравнений и неравенств и напоминаются сведения о свойствах решений таких систем. В § 9 оценивается тригонометрическая сумма по ансамблю. В том числе в п. 9.1 напоминаются сведения о таких суммах. Из леммы о тригонометрической сумме и из теоремы 6.1 выводятся достаточные условия для выполнения утверждений из основных теорем. В п. 9.2 та же тригонометрическая сумма рассматривается более подробно, а теорема 9.1 о достаточных условиях теперь получает уточнение, окончательное в рамках настоящей работы. Основные приемы исследования – разбиение множеств, порожденное разбиением отрезка, и неравенство Коши–Буняковского. В § 10 напоминаются результаты, которые получаются применением идеи из “китайской теоремы об остатках” к решениям системы сравнений из § 8. Полученная в § 10 вспомогательная теорема формулируется через кратные суммы по всем участвующим параметрам. В п. 11.1 для одной из таких сумм выводится верхняя оценка, которая в дальнейшем применяется при больших значениях параметров $\mathscr{Q}$ и $\mathscr{A}$, введенных в § 5. Другие кратные суммы несколько упрощаются в п. 11.2 с помощью результатов из § 8. В § 12 продолжается работа с кратными суммами, эти результаты будут использованы при малых значениях $\mathscr{Q}$ и $\mathscr{A}$. Здесь основным приемом исследования сравнений является их векторно-матричная форма записи. В § 13 и § 14 акцент применяемых приемов смещается с матриц на определители. Основным преобразованием становится умножение определителей второго порядка. В § 15 используются результаты из §§ 11–14 для подведения окончательных выводов. Главная идея решения возникающих при этом систем неравенств – последовательное исключение всех участвующих в них переменных. Основные вычислительные приемы – логарифмирование, преобразование многочленов и решение квадратичных неравенств. Наконец, в § 16 две из трех основных теорем доказываются сразу путем применения результатов из § 9 и § 15. Оставшаяся основная теорема требует для своего доказательства также некоторых дополнительных вычислений. § 3. Стартовые приемы метода Бургейна–КонторовичаЧерез $G_{\mathbf{A}}$ обозначим снабженную единицей $E=\left(\begin{smallmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{smallmatrix}\right)$ мультипликативную полугруппу тех целочисленных матриц $\left(\begin{smallmatrix}a & b \\c & d\end{smallmatrix}\right)$, для которых выполнены условия
$$
\begin{equation}
0\leqslant a\leqslant c\leqslant d, \qquad a\leqslant b\leqslant d, \qquad ad-bc=1, \qquad (b,d)\in\mathfrak{R}_{\mathbf{A}}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Для каждой матрицы $\gamma=\left(\begin{smallmatrix}a & b \\c & d\end{smallmatrix}\right)$ из $G_{\mathbf{A}} $ ее нормой $(\gamma)_{\max}$ будем считать следующую величину: $(\gamma)_{\max}=(0,1)\gamma\left(\begin{smallmatrix}0 \\1\end{smallmatrix}\right)=d$. Для всякого $n\in\mathbf{A}$ через $B_n$ обозначим матрицу $\left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\1 & n\end{smallmatrix}\right)$. Следующая лемма фактически эквивалентна утверждению об однозначности разложения дробной доли рационального числа в конечную цепную дробь четной длины. Лемма 3.1 (см. [23]). Каждый элемент $\gamma=\left(\begin{smallmatrix}a & b \\c & d\end{smallmatrix}\right)$ полугруппы $G_{\mathbf{A}}$ имеет, причем единственное, представление в виде произведения матриц $B_{n}$, и единственным способом определяется по любой из двух следующих цепных дробей: Через $G^{(N)}_{\mathbf{A}}$ обозначим подмножество матриц $\gamma$ из $G_{\mathbf{A}}$, для которых выполнено неравенство $(\gamma)_{\max}\leqslant N$. Тогда согласно результатам Д. Хенсли [4], [24] имеет место оценка $N^{2\Delta_{\mathbf{A}} }\ll |G^{(N)}_{\mathbf{A}}|\ll N^{2\Delta_{\mathbf{A}}}$ (здесь и всюду далее все константы в знаках $\ll$ и $\gg$, если иное не сказано, считаются зависящими только от алфавита $\mathbf{A}$). Ключевым понятием метода, который разработан в работе [5], является “ансамбль” $\Omega^{(N)}$ – специальным образом построенное подмножество в $G^{(N)}_{\mathbf{A}}$ такое, что при каждом $\varepsilon>0$ выполнена оценка $|\Omega^{(N)}|\gg_{\varepsilon}N^{2\Delta_{\mathbf{A}}-\varepsilon}$. Ансамбль из [5] был несколько изменен в [10]: теперь это множество матриц $\Omega^{(N)} =\Omega^{(N)}_{\varepsilon_0}$ зависит не только от достаточно большого $N$, но и от произвольно малого $\varepsilon_0$ из интервала $(0,0.0004)$. Упомянутое выше неравенство теперь получает вид $|\Omega^{(N)}_{\varepsilon_0}|\geqslant C_{\varepsilon} C'_{\varepsilon_0} N^{2\Delta_{\mathbf{A}}-\varepsilon}$, где $C_{\varepsilon}$ и $C'_{\varepsilon_0}$ зависят соответственно только от ${\varepsilon}$ или ${\varepsilon_0}$. Для каждого действительного $\Theta$ тригонометрическая сумма по ансамблю определяется равенством
$$
\begin{equation*}
S^{(N)}_{\varepsilon_0}(\Theta) =\sum_{\gamma\in\Omega^{(N)}_{\varepsilon_0}}e^{2\pi i\Theta(\gamma)_{\max}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Хотя доказательство теорем настоящей работы существенно отличается от аргументов Ж. Бургейна и А. Конторовича из [5], все же автор остается в рамках предложенного ими подхода, в частности, все построения производятся в ансамбле и исходным пунктом вывода оценок (1.6)–(1.8) является следующая Лемма 3.2 (см. [5], [12]). Пусть для данного алфавита $\mathbf{A}$ и хотя бы для одного положительного числа $\varepsilon_0$ для всех достаточно больших $N$ выполнена оценка Подробнее о применении леммы 3.2 рассказывается в следующем параграфе. § 4. Основа вывода формул (1.6)–(1.8)Для каждого $\Theta$ из $(0,1)$ применим теорему Дирихле (см. [25; лемма 2.1]). А именно, найдем зависящие от $\Theta$ числа $a\in \mathbb{Z}$, $q\in \mathbb{N}$ и $\kappa\in \mathbb{R} $ такие, что
$$
\begin{equation}
\Theta=\frac{a}{q}+\kappa , \qquad \operatorname{gcd}(a,q)=1, \qquad 0\leqslant a\leqslant q\leqslant N^{0.5}, \qquad |\kappa|\leqslant\frac{1}{q N^{0.5}}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Применяя теорему Чебышёва о постулате Бертрана, фиксируем зависящее только от $N$ целое простое число $\mathscr{P}=\mathscr{P}(N)$ из интервала $[2N,4N]$ и представим число $\kappa$ из (4.1) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \kappa={l}{\mathscr{P}}^{-1}+\lambda, \qquad \lambda\in(-\mathscr{P}^{-1},\mathscr{P}^{-1}]\subseteq(-0.5N^{-1},0.5N^{-1}], \\ l\in \mathbb{Z},\qquad l\equiv1\pmod 2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
В частности, нечетное число $l$ не может равняться нулю. Положим
$$
\begin{equation}
\Lambda=O_{\mathbf{A},\varepsilon_0,\varepsilon} \bigl((\max\{2^{\alpha},2^{\beta}\})^{O(\varepsilon_0)}\bigr)
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
и обозначим через $\tau=\tau(\alpha,\beta)>0$ каждую действительную величину, для которой найдется некоторая константа $c'>0$, зависящая только от алфавита $\mathbf{A}$, такая, что
$$
\begin{equation}
\tau\gg_{\mathbf{A},\varepsilon_0,\varepsilon}{(2^{\alpha+\beta})}^{c'}.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
В частности, в обозначениях (4.3) и (4.4) выполнены равенства $\Lambda^2=\Lambda$, $\tau^2=\tau$, $\Lambda\tau=\tau$ и $\Lambda\tau^{-1}=\tau^{-1}$: это связано с тем, что положительные числа $\varepsilon_0$ и $\varepsilon$ могут выбираться сколь угодно малыми (конечно, речь здесь идет не о реально выполняемых равенствах, а просто об удобных автоматических переобозначениях). Далее сумма ${a}/{q}\,{+}\,{l}/{\mathscr{P}}$ обозначается через $\theta$, так что $\Theta=\theta\,{+}\,\lambda$. Для любых $\alpha,\beta\in \mathbb{N}$ положим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathfrak{P}=\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}&=\biggl\{\theta\in \mathbb{Q}\cap[0,1]\biggm| \text{ найдутся целые числа } q>0,\ a\geqslant 0 \text{ из (4.1)} \\ \notag &\qquad\qquad \text{ из (4.1) и нечетное $l$ из (4.2) такие, что } \theta=\frac{a}{q}+\frac{l}{\mathscr{P}}, \\ &\qquad\qquad 2^ {\alpha-1}\leqslant q<2^{\alpha},\ 2^ {\beta-1}\leqslant|l |<2^{\beta}\biggr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
а для каждого подмножества $Z\subseteq \mathfrak{P}_{\alpha,\beta}$ положим
$$
\begin{equation}
\sigma_{Z,\lambda} =\biggl(\sum_{\theta\in Z}|S^{(N)}_{\varepsilon_0}(\theta+\lambda)|\biggr)^2.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Конечно, ввиду сравнения ограничений для $q$ и $|l|$ в (4.1) и (4.5) далее потребуются только те из множеств $\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}$, индексы которых удовлетворяют условиям
$$
\begin{equation}
2^{\alpha}\leqslant2N^{0.5}, \qquad 2^{\alpha+\beta}\leqslant20 N^{0.5}, \qquad 2^{2\alpha+\beta}\leqslant 40N.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Отметим, что идея разбиения множества на двухпараметрические семейства, аналогичные $\mathfrak{P} _{\alpha,\beta}$, восходит к И. М. Виноградову (см. [26]). Замечание 4.1 (см. [16; замечание 3.2]). Можно доказать, что для проверки неравенства (3.3) достаточно убедиться в справедливости оценки Из леммы 3.2 и замечания 4.1 в [16] была выведена следующая теорема (в этом выводе участвовало обобщение одного утверждения из работы С. В. Конягина; см. [27; следствие 17]). Теорема 4.1 (см. [16; теорема 3.1, предложение 1]). Пусть при $\Delta_{\mathbf{A}}>0.5$, при любом $\varepsilon_0\in (0,0.0004)$, для любого достаточно большого натурального $N$, для любого числа $ \lambda$ из интервала $ (-0.5/N,0.5/N ]$, для любых $\alpha,\beta\in\mathbb{N}$ из (4.7), для любого $ \lambda\in (-0.5/N,0.5/N ]$, для любого $Z\subseteq \mathfrak{P}_{\alpha,\beta}$ выполняется оценка § 5. Обобщение теоремы 4.1Для уточнения теоремы 4.1 определим понятие обобщенного куба.Пусть множество $\mathbf W$ равно прямому произведению трех непустых конечных множеств:
$$
\begin{equation}
\mathbf W=\{(q,a,l)\mid q\in W_1,\ a\in W_2,\ l\in W_3\}=(W_1,W_2,W_3).
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Тогда всякое непустое подмножество $Z\subseteq \mathbf W$ состоит из некоторых упорядоченных троек $(q,a,l)$. Пусть для троек $ (q,a,l)$, пробегающих все подмножество $Z\subseteq \mathbf W$, символы
$$
\begin{equation}
Z_{\mathbf{q}}, \quad Z_{\cdot\mathbf{a}}(q), \quad Z_{\cdot\cdot\mathbf{l}}(q,a)
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
обозначают соответственно множества значений первого, второго или третьего элементов тройки $(q,a,l)$ при условии, что все ее предшествующие элементы уже определены и фиксированы (или не существуют – для первого из трех случаев). Рассмотрим числа $\mathscr{Q}$, $\mathscr{A}$ и $\mathscr{L}$, для которых выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
1\leqslant \mathscr{Q}\leqslant |W_1|, \qquad 1\leqslant \mathscr{A}\leqslant |W_2|, \qquad 1\leqslant \mathscr{L}\leqslant |W_3|.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $|Z_{\mathbf{q}}|=\mathscr{Q}$ и независимо от значения аргумента $q$ выполнено равенство $|Z_{\cdot \mathbf{a}}|=\mathscr{A}$, в то время как независимо от значений $q$ и $a$ выполнено равенство $|Z_{\cdot\cdot \mathbf{l}}|=\mathscr{L}$, то скажем, что $Z$ – обобщенный куб с параметрами $\mathscr{Q}$, $\mathscr{A}$ и $\mathscr{L}$. Множество всех обобщенных кубов с $\mathscr{Q}$, $\mathscr{A}$ и $\mathscr{L}$ обозначим через $P_{\mathbf W}{[\mathscr{Q}, \mathscr{A},\mathscr{L}]}$. Для всякой функции $f\colon \mathbf W\to \mathbb{R}_{+}\cup\{0\}$ положим
$$
\begin{equation}
\mathscr{M} =\max_{0< \mathscr{Q}\leqslant |W_1|} \max_{\substack{1\leqslant \mathscr{A}\leqslant |W_2|\\ 1\leqslant \mathscr{L}\leqslant |W_3|}} \max_{{Z}\in P_{\mathbf W}{[\mathscr{Q}, \mathscr{A},\mathscr{L} ]}}\biggl(\frac{1}{|Z|}\biggl(\sum_{(q,a,l)\in Z}f(q,a,l)\biggr)^2 \biggr).
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Можно доказать следующую лемму. Лемма 5.1 (см. [22; основная теорема, формула (3.1)]). Для всякого множества $\mathbf W=(W_1,W_2,W_3)$, для всякой функции $f\colon \mathbf W\to \mathbb{R}_{+}\cup\{0\}$, для любого $\varepsilon>0$ имеет место неравенство Чтобы применить лемму 5.1 к оценке левой части неравенства (4.9), теперь следует положить $\mathbf W=\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}$ и представить множество $\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}$ (или близкое к нему по смыслу) в виде (5.1). С этой целью обозначим через $W_1$, $W_2$ и $W_3$ множества целых чисел $q$, $a$ и $ l$ с условиями из (4.5). А именно,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, W_1=\{q\mid 2^{\alpha-1}\leqslant q \leqslant 2^{\alpha}\}, \qquad W_2 =\{a\mid 0\leqslant a \leqslant 2^{\alpha} \}, \\ W_3=\{l\equiv1\ (\operatorname{mod} 2)\mid 2^{\beta-1}\leqslant |l| < 2^{\beta}\}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Часть условий (4.5) не вошла в (5.5). Этими оставшимися условиями подправим определение величины $\sigma_{Z,\lambda}$. Для этого при фиксированном $\lambda$ положим
$$
\begin{equation}
f(q, a,l)=f_{\lambda}(q, a,l) =\biggl|S^{(N)}_{\varepsilon_0}\biggl(\frac{a}{q}+\frac{l}{\mathscr{P}}+\lambda\biggr)\biggr| \mathbf{1}_{\{a\leqslant q,\,\operatorname{gcd}(a,q)=1\}};
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
здесь и далее $\mathbf{1}_{\{P\}}$ равно $1$, если $P$ – истинное утверждение, и равно $0$, если ложное. Всюду далее под множеством $\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}$ будем понимать прямое произведение множеств $W_1$, $W_2$ и $W_3$ из (5.5). Чтобы из-за этого не было путаницы, на множестве $\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}$ будем рассматривать только те функции, которые равны нулю при невыполнении условия из фигурных скобок в (5.6). Напомним, что через $\theta$ обозначена сумма $\theta+\lambda$. Тогда для $\sigma_{Z,\lambda}$ из (4.6) справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\sigma_{Z,\lambda} =\biggl(\sum_{\theta\in Z}|S^{(N)}_{\varepsilon_0}(\theta+\lambda)|\biggr)^2 =\biggl(\sum_{(q, a,l)\in Z}f_{\lambda}(q, a,l)\biggr)^2,
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
где в первой сумме $Z$ понимается как множество чисел $\theta={a}/{q}+{l}/{\mathscr{P}}$, а во второй – как множество соответствующих им троек $(q,a,l)$. В [16; доказательство теоремы 3.1] было показано, что это соответствие является взаимно однозначным. По этой причине всюду далее множества чисел $\theta$ отождествлены с множествами соответствующих им троек $(q,a,l)$. Теорема 5.1. Пусть для алфавита $\mathbf{A}$ при $\Delta_{\mathbf{A}} >0.5$ найдется функция $\tau=\tau(\alpha,\beta)>0$ из (4.4) такая, что при любых достаточно малых $\varepsilon_0 \in (0,0.0004)$ и $\varepsilon>0$ для каждого достаточно большого натурального $N$, для любого $ \lambda\in (-0.5/N,0.5/N ]$, при любых натуральных $\alpha$ и $\beta$ из (4.7), для любых целых $\mathscr{Q}$, $\mathscr{A}$ и $\mathscr{L}$ из интервалов $0<\mathscr{Q}<2^{\alpha}$, $0<\mathscr{A}<2^{\alpha}$ и $0< \mathscr{L}<2^{\beta}$ соответственно, для любого обобщенного куба ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}{[\mathscr{Q},\mathscr{A},\mathscr{L}]}$: – во-первых, выполняется оценка
$$
\begin{equation}
\sigma_{Z,\lambda}\ll_{\varepsilon}N^{\varepsilon}|Z|\,|\Omega^{(N)}_{\varepsilon_0}|^2\tau^{-1};
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
– во-вторых, при любых натуральных $\alpha$ и $\beta$ из (4.7), удовлетворяющих неравенству $2^{2\alpha+\beta}\leqslant N^{0.05}$, выполнено неравенство (4.9). Тогда: – во-первых, имеют место формулы (1.6)–(1.8); – во-вторых, из выполнения одного лишь неравенства (5.8) при условии где $c>0$ – достаточно малая константа, следует оценка (1.12). Доказательство. Согласно замечанию 4.1 для доказательства первого утверждения теоремы достаточно вывести оценку (4.8). Этот вывод производится подстановкой неравенств (4.9) или (5.8) в оценку (5.4) при использовании обозначений (5.3) и (5.6) и умножении обеих частей неравенства (5.4) на $|Z|$. Первое утверждение теоремы доказано.
Докажем второе из них. Поскольку при ослаблении неравенства (4.9) в $N^{\varepsilon}$ раз получается неравенство (5.8), то и при применении неравенства (5.8) вместо (4.9) результат будет ослаблен также в $N^{\varepsilon}$ раз. Поэтому вместо неравенства (1.6) будет доказано неравенство (1.12). Если же условие (5.9) не выполнено, то неравенство (5.8) следует из оценки
$$
\begin{equation*}
\frac{\sigma_{Z,\lambda}}{|Z|}\leqslant\frac{(|Z||\Omega^{(N)}_{\varepsilon_0}|)^2}{|Z|} \leqslant|Z|\,|\Omega^{(N)}_{\varepsilon_0}|^2
\end{equation*}
\notag
$$
при $c<\varepsilon/(4c')$, где $c'$ – из (4.4).
Теорема доказана. § 6. Разложение ансамбля на независимые множителиВсюду далее $A\geqslant 2$ – максимальный элемент алфавита $\mathbf A$, число $M_1$ – пока не определенная величина, удовлетворяющая неравенству
$$
\begin{equation}
3300A^22^{\beta}\leqslant M_1 \leqslant\min\biggl\{2^{10(\alpha+ \beta)},\frac{N^{1/(1+2\varepsilon_0)}}{1.01}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
В формулировке следующей леммы $\Omega_1 \subseteq G_{\mathbf{A}}$ и $\Omega\subseteq G_{\mathbf{A}}$ – некоторые множества матриц. В обозначениях (4.3) для числа $M_1$ из (6.1) рассмотрим оценку
$$
\begin{equation}
(M_1)^{2\Delta_{\mathbf{A}}}\Lambda \ll |\Omega_1 |\ll (M_1)^{2\Delta_{\mathbf{A}}}\Lambda.
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Для двух произвольных матриц $g_1\in\Omega_1$, $g\in\Omega$ рассмотрим следующие оценки:
$$
\begin{equation}
(g_1)_{\max}\leqslant1.01 (M_1)^{1+2\varepsilon_0}, \qquad (g)_{\max}\leqslant\frac{73A^2N}{M_1}.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Под произведением каких-либо множеств матриц, как обычно, понимается множество, состоящее из попарных произведений их элементов. Скажем, что при $n\in\mathbb{N}$ для некоторого множества $\Omega \subseteq G_{\mathbf A}$ имеет место разложение на независимые множители $ \Omega_1,\Omega_2,\Omega_3,\dots,\Omega_n\subseteq G_{\mathbf A}$, если для каждой матрицы $\gamma\in\Omega$ найдется, причем единственный, набор матриц $g_1,g_2,g_3,\dots,g_n$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\gamma=g_1g_2g_3\dotsb g_n, \qquad g_i\in\Omega_i, \quad i=1,2,3,\dots ,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Конечно, при этом выполняется равенство $|\Omega|=|\Omega_1|\,|\Omega_2|\,|\Omega_3|\dotsb|\Omega_n|$. Для ансамбля, построенного в [10], имеет место разложение на независимые множители (6.4) со свойствами, перечисленными в следующей лемме. Лемма 6.1 (см. [13; теорема 3.1]). Существует непустое множество матриц – ансамбль $\Omega^{(N)}_{\varepsilon_0}\subseteq G_{\mathbf A}$, такое, что для всякого $M_1$ из (6.1) найдeтся разложениe на независимые множители $\Omega_1$ и $\Omega$, для которых выполнены свойства: – во-первых, имеет место оценка (6.2); – во-вторых, для любых $g_1\in\Omega_1$ и $g\in\Omega$ выполняются неравенства (6.3). Пусть число $M_1$ уже выбрано, так что имеет место разложение $\Omega^{(N)}=\Omega_1\Omega $ со свойствами (6.2) и (6.3). Если в $G_{\mathbf A}$ имеют место разложения $\Omega=\Omega_2\Omega_{7}= \Omega_2\Omega_{3}\Omega_{4} $ на независимые множители, то для любых двух элементов $g'$ и $g$ множества $ \Omega$ введем обозначения
$$
\begin{equation}
g'=g'_2g'_{7}=g'_2g'_3g'_4, \qquad g=g_2g_{3,4}=g_2g_3g_4,
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
где нижние индексы указывают на принадлежность соответствующим множествам из разложений. Далее, если $B$ – некоторое множество $(2\times2)$-матриц $\gamma$, то $\widetilde{B}$ – множество их правых столбцов $\widetilde{\gamma}=\gamma\binom{0}{1}$. Для координат трех пар произвольных векторов
$$
\begin{equation*}
\widetilde{g}',\widetilde{g}\in \widetilde{\Omega}, \qquad \widetilde{g}'_{7}, \widetilde{g}_{7}\in \widetilde{\Omega}_{7} = \widetilde{\Omega}_{3} \widetilde{\Omega}_{4}, \qquad \widetilde{g}'_4,\widetilde{g}_4\in \widetilde{\Omega}_4
\end{equation*}
\notag
$$
введем такие обозначения:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widetilde{g}'=\begin{pmatrix} x \\X\end{pmatrix}, \quad \widetilde{g}=\begin{pmatrix}y \\Y\end{pmatrix}, \qquad \widetilde{g}'_{7}=\begin{pmatrix} x_{7} \\X_{7}\end{pmatrix}, \\ \widetilde{g}_{7}=\begin{pmatrix}y_{7} \\Y_{7}\end{pmatrix}, \qquad \widetilde{g}'_4=\begin{pmatrix}x_4 \\ X_4\end{pmatrix}, \quad \widetilde{g}_4=\begin{pmatrix}y_4 \\Y_4 \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
В частности, всюду далее числа $x,X,y$ и $Y$ понимаются только в таком смысле. Пусть $M_2,M_4\in \mathbb{R}_+$. Рассмотрим неравенства
$$
\begin{equation}
M_2(M_1M_2)^{-6\varepsilon_0}\ll(g_2)_{\max}\leqslant {M_2}, \qquad (M_4)^{1-\varepsilon_0}\ll (g_4)_{\max}\leqslant M_4.
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
Свойства множества $\Omega$ из леммы 6.1 уточняет следующая Теорема 6.1 (см. [14; теорема 2.1]). Существует такая положительная константа $C=C(\mathbf A)\leqslant 1$, для которой для любого числа $M_1$ из (6.1) найдeтся непустое множество матриц $\Omega\subseteq G_{\mathbf A}$ из (6.5) такое, что для произвольного числа $M_2\geqslant 1$, удовлетворяющего неравенству $M_1M_2\leqslant CN$, найдется разложение вида $\Omega=\Omega_2 \Omega_{7}$ на независимые множители $\Omega_2$ и $\Omega_{7}$, для которых выполнен ряд свойств: 1) имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
|\Omega_2|\gg(M_2)^{2\Delta_{\mathbf A}}(M_1M_2)^{-10\varepsilon_0};
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
2) для любой матрицы $g_2\in\Omega_2$ имеет место первая из оценок (6.8); 3) для любого числа $M_4 \geqslant 1 $, удовлетворяющего неравенству найдется разложение $\Omega_{7}=\Omega_3 \Omega_4$ на независимые множители $\Omega_3$ и $\Omega_4$ такие, что выполнены как неравенство
$$
\begin{equation*}
|\Omega_4 |\gg(M_4)^{2\Delta_{\mathbf A}-2\varepsilon_0},
\end{equation*}
\notag
$$
так и вторая из оценок в (6.8) для любой матрицы $g_4\in\Omega_4$; в частности, и если $M_2=1$ или $M_4=1$, то $\Omega_2=\{E\}$ или $\Omega_4=\{E\}$ соответственно. Можно более точно (однозначно) сформулировать процесс выбора множеств
$$
\begin{equation}
\Omega, \ \Omega_1, \ \Omega_2,\ \Omega_3,\ \Omega_4,
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
исходя из значений $N$, $M_1$, $M_2$ и $M_4$, например, как это сделано в [13], но это привело бы к еще большему усложнению текста. Поступим проще: при заданном $N$ для каждой тройки чисел $M_1$, $M_2$ и $M_4$, удовлетворяющих лемме 6.1 и теореме 6.1, фиксируем какое-либо (если их несколько) разложение ансамбля на множители (6.12), существование которых теоремой 6.1 гарантируется. Таким образом, имеют место разложения на независимые множители:
$$
\begin{equation}
\Omega^{(N)}_{\varepsilon_0}=\Omega_1\Omega_2\Omega_7=\Omega_1\Omega_2\Omega_3\Omega_4.
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
Всюду далее параметры $M_2$ и $M_4$ связаны с первым и последним элементами произведения $\Omega_2\Omega_3\Omega_4$ так же, как в теореме 6.1, а число $M_1$ будет связано с равенством $\Omega^{(N)}_{\varepsilon_0}=\Omega_1\Omega$ так же, как в лемме 6.1.
§ 7. Включение матричных множествРассмотрим растущий действительный параметр $P>1$ и константу $C>1$ (которая не обязательно совпадает с константой из теоремы 6.1). Через $G^{P,C}_{\mathbf{A}}$ обозначим множество матриц $g$ из полугруппы $G_{\mathbf{A}}$, определенной формулами (3.1), таких, что ${P}/{C}\leqslant(g)_{\max}\leqslant P$. Лемма 7.1 (см. [16; лемма 4.2]). Если число $M_{41}\geqslant 1$ удовлетворяет оценке то имеет место включение Доказательство. Рассмотрим произвольное число $M_{41}$ из интервала и применим лемму 7.1. Положим $M_{42}= {4A^2P}/{M_{41}}$, тогда неравенство (7.5) преобразуется в (7.3), а включение (7.2) – в (7.4). Следствие доказано. Для приложения следствия 7.1 в качестве $P$ возьмем $M_4$ из теоремы 6.1. При $C=11000A^4$ положим
$$
\begin{equation*}
\Omega_{41}=G^{\frac{4A^2P}{M_{42}},4A^2}_{\mathbf{A}}, \qquad \Omega_{42}=G^{M_{42},8A^2C}_{\mathbf{A}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда следствие 7.1 показывает, что имеет место включение Согласно [16] при выбранном значении $C$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
|\Omega_{42} |\gg(M_{42})^{2\Delta_{\mathbf A}-2\varepsilon_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Всюду далее число $M_{42}$ будет связано со включением (7.6) так же, как в следствии 7.1. Элементы множеств $\Omega_{4}$, $\Omega_{41}$ и ${\Omega}_{42}$ далее обозначаются соответственно через $g_4$, $g_{41}$ и $g_{42}$. Тогда согласно определению множества ${\Omega}_{42}$ выполнена оценка Рассмотрим для каждой фиксированной $(2\times 2)$-матрицы $g_4$ уравнение в матрицах-переменных $g_{41}\in\Omega_{41}$ и $g_{42}\in\Omega_{42}$. Как показано в [16], число решений уравнения (7.7) ограничено сверху константой, которая зависит только от ${A}$ (а также от $C$, которое уже выбрано; см. [16; лемма 4.2]).Поскольку все оценки, от которых зависит доказательство основных результатов, содержат знаки Виноградова и, следовательно, остаются справедливыми при изменении в любую константу раз, то в дальнейшем для краткости изложения будем полагать, что элементы разложения (7.7) определены однозначно. Точнее, если для некоторых элементов $g_4$ из $\Omega_4$ равенство (7.7) выполнено несколькими способами, то выберем какой-либо один из них для каждого $g_4$ и фиксируем элементы этих разложений (7.7). § 8. Свойства линейных сравнений и неравенствПусть $\theta$ и $\theta'$ – любые два числа из обобщенного куба ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}[\mathscr{Q}, \mathscr{A}, \mathscr{L}]$. В частности, для них выполнены формулы
$$
\begin{equation}
\theta=\frac{a}{q}+\frac{l}{\mathscr{P}}, \quad \theta'=\frac{a'}{q'}+\frac{l'}{\mathscr{P}}, \qquad 2^{\alpha-1}\leqslant q',q<2^{\alpha}, \quad 2^ {\beta-1}\leqslant|l'|,|l| <2^{\beta}.
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
Обозначим через $\mathbf{p}$ наибольший общий делитель чисел $q$ и $q'$. Положим
$$
\begin{equation}
q'_0= \frac{q'}{\mathbf{p}}, \qquad q_0=\frac{q}{\mathbf{p}}, \qquad [q,q']=q'_0q_0\mathbf{p}=\frac{q'q}{\mathbf{p}}<\frac{2^{2\alpha}}{\mathbf{p}}.
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
Используя обозначения (6.7), для содержащихся в них чисел $x$, $X$, $y$, $Y$ через $t,T\in \mathbb{Z}$ обозначим числа, для которых выполнены соотношения
$$
\begin{equation}
a'{q_0}x-aq'_0y-t\equiv 0\equiv a'{q_0}X-aq'_0Y-T\pmod{[q,q']}, \qquad |t|,|T|\leqslant 0.5[q,q'].
\end{equation}
\tag{8.3}
$$
Напомним, что $\mathscr{Q}$ – количество различных $q$ в равенствах $\theta= {a}/{q}+ {l}/{\mathscr{P}}$ по всем $\theta$, пробегающим множество $Z$, а $M_1$ – параметр из леммы 6.1. Определим величины $\mathbf{Q}$, $\mathbf{H}$ и $F$ условиями
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathbf{Q} = \begin{cases} 2^{2\alpha},&\text{если } \mathscr{Q}\geqslant 2, \\ 2^{\alpha},&\text{если }\mathscr{Q}=1, \end{cases} \qquad \mathbf{H} =\frac{1}{\mathbf{Q}}\biggl[\mathbf{Q}\frac{3200A^22^{\beta}}{ M_1}\biggr], \\ F=\begin{cases} \biggl[\dfrac{4}{\mathbf{H}}\biggr],&\text{если } \mathbf{H}\neq0, \\ 4\mathbf{Q},&\text{если }\mathbf{H}=0; \end{cases} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.4}
$$
здесь и далее $[\omega]=\max \{z\in \mathbb{Z}\mid z\leqslant\omega\}$ – целая часть числа $\omega\in \mathbb{R}$, $\{\omega\}=\omega\,{-}\,[\omega]$ – его дробная часть, $\|\omega\|=\min\{\{\omega\},\{\omega\}\}$ – расстояние от $\omega$ до ближайшего целого числа. Отдельно отметим, что согласно определению числа $F$ оно не может равняться нулю. Это следует из того, что по второй из формул (8.4) выполнено
$$
\begin{equation}
\mathbf{H} =\frac{1}{\mathbf{Q}}\biggl[\mathbf{Q}\frac{3200A^22^{\beta}}{ M_1}\biggr] \leqslant\frac{3200A^22^{\beta}}{ M_1}<1
\end{equation}
\tag{8.5}
$$
ввиду нижней оценки в (6.1). Подставляя полученную оценку числа $\mathbf{H}$ в верхнюю строчку последнего из равенств в (8.4), получаем неравенство $F\geqslant 4>0$. Положим
$$
\begin{equation}
P_{\mathbf{u}}=\frac{\mathbf{H}2^{2\alpha}}{\mathbf{u} \mathbf{p}} \leqslant\frac{3200A^22^{2\alpha+\beta}}{\mathbf{u} \mathbf{p} M_1}.
\end{equation}
\tag{8.7}
$$
Лемма 8.1 (см. [16; леммы 5.1–5.3]). Пусть координаты векторов $\binom{x}{X}$, $\binom{y}{Y}$ из $ \widetilde{\Omega}$ и числа $ \theta$ и $\theta'$ из $Z$ удовлетворяют неравенствам Тогда выполнены следующие неравенства и сравнения: Положим
$$
\begin{equation}
\psi=\frac{yl}{\mathscr{P}}-\frac{t}{[q,q']}, \qquad \Psi=\frac{Yl}{\mathscr{P}}-\frac{T }{[q,q']}.
\end{equation}
\tag{8.13}
$$
Отметим, что при $t=T=0$ выполнено равенство $\psi/\Psi=y/Y$. Связь между рассматриваемыми параметрами устанавливается в следующих двух теоремах. Теорема 8.1. Пусть выполнены формулы (6.1), (8.3), (8.6) и (8.9). Тогда для любого фиксированного набора из семи величин при каждом заданном $x$ каждое число $l'$ из (8.1) принадлежит следующему фиксированному отрезку: В частности, при $t=T=0$ для любых фиксированных величин $x$, $y$ и $Y$ каждое число $l'$ из (8.1) принадлежит следующему фиксированному отрезку:
$$
\begin{equation}
\biggl|l'-\frac{yl}{x}\biggr| \leqslant(10A)^6(M_1)^{2\varepsilon_0}.
\end{equation}
\tag{8.18}
$$
Кроме того, если выполнена оценка (8.16), то при $t=T=0$ дроби $ {x}/{X}$ и $ {y}/{Y}$ удовлетворяют неравенству Доказательство. Неравенства (8.15) и (8.17) были доказаны ранее (см. [16; теорема 6.1]). Подставляя в (8.13) дополнительное условие $t=T=0$, получаем из (8.15) и (8.17) неравенства (8.18) и (8.19). Теорема доказана. Теорема 8.2 (см. [16; теорема 5.2]). Пусть выполнены соотношения (8.3) и (8.8). Тогда имеют место оценки § 9. Тригонометрическая сумма по ансамблю9.1. Применение трехиндексных множествРезультаты этого пункта представляют собой лишь слегка измененные вспомогательные утверждения из работы [16]. При вычислении квадрата модуля тригонометрической суммы по $\theta$ возникает “дубликат” числа $\theta$, обозначаемый через $\theta'$:
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sum_{\theta\in Z}e^{i f(\theta)}\biggr|^2 =\sum_{\theta\in Z}e^{i f(\theta)}\sum_{\theta'\in Z}e^{-i f(\theta')},
\end{equation*}
\notag
$$
где $f(\theta)$ – любая действительнозначная функция. Напомним, что для чисел $\theta$ и $\theta'$ имеют место представления (8.1) со свойствами (4.2) и
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \operatorname{gcd}(a,q)=1, \quad 0\leqslant a\leqslant q, \\ \operatorname{gcd}(a',q')=1, \quad 0\leqslant a'\leqslant q', \qquad l\equiv l'\equiv 1 \pmod 2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{9.1}
$$
Для каждой тройки чисел $\mathbf p$, $t$, $T$ рассмотрим зависящие от $Z$ и $M_1$ множества
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathfrak{N} _{\mathbf p,t,T} &=\biggl\{\biggl(\binom{x}{X},\binom{y}{Y},\theta,\theta'\biggr)\in(\widetilde{\Omega},\widetilde{\Omega},Z,Z)\biggm| \\ &\qquad\qquad q\equiv q'\equiv 0 \ \operatorname{mod}(\mathbf p), \ \text{(8.1), (8.3), (8.8), (8.9) и (9.1)}\biggr\} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.2}
$$
и их непересекающееся объединение
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{N}=\bigcup _{1\leqslant\mathbf p < 2^{\alpha}} \bigcup _{|t|\leqslant P_{\mathbf{u}}} \bigcup _{|T| \leqslant P_{\mathbf{u}}}\mathfrak{N}_{\mathbf p,t,T}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 9.1 (см. [16; теорема 7.2]). Для каждого достаточно большого натурального $N$, для любого $ \lambda\in (-{0.5}{N},{0.5}{N} ]$, для любых $\alpha,\beta \in\mathbb{N}$, для любого непустого множества ${Z}\subseteq\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}$, при любом $\varepsilon_0 \in (0,0.0004)$, для любого $M_1 $ из интервала (6.1) выполнена оценка Теорема 9.1. Пусть, во-первых, для алфавита $\mathbf{A}$ при $\Delta_{\mathbf{A}}>0.5$ найдется функция $\tau=\tau(\alpha,\beta)>0$ из (4.4) такая, что при любых достаточно малых $\varepsilon_0 \in (0,0.0004)$ и $\varepsilon>0$, для каждого достаточно большого натурального $N$, для любого $ \lambda\in(-0.5/N,0.5/N ]$, при любых натуральных $\alpha$ и $\beta$ из (4.7), для любых целых $\mathscr{Q}$, $\mathscr{A}$ и $\mathscr{L}$ из интервалов $0<\mathscr{Q}<2^{\alpha}$, $0<\mathscr{A}<2^{\alpha}$ и $0<\mathscr{L}<2^{\beta}$ соответственно, для любого обобщенного куба ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}{[\mathscr{Q},\mathscr{A},\mathscr{L}]}$ найдется $M_1 $ из интервала (6.1), для которого выполняется оценка Пусть, во-вторых, при любых натуральных $\alpha$ и $\beta$ из (4.7), удовлетворяющих неравенству $2^{2\alpha+\beta}\leqslant N^{0.05}$, для некоторого $M_1 $ из (6.1) выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
|\mathfrak{N}|\ll|Z|\,|\Omega|^2 (M_1)^{2\Delta_{\mathbf{A}}-2}\tau^{-1}.
\end{equation}
\tag{9.5}
$$
Тогда: – во-первых, имеют место формулы (1.6)–(1.8); – во-вторых, из выполнения одного лишь неравенства (9.4) следует (1.12). Для доказательства согласно теореме 5.1 достаточно лишь доказать неравенства (4.9) и (5.8). Эти неравенства сразу следуют из равенства (6.5) и оценок (9.3)–(9.5). Замечание 9.1. Теперь можно совершенно точно ответить на вопрос из замечания 1.2: что значит “доказать неравенство (1.12) методом Бургейна–Конторовича”? Это значит в условиях и обозначениях первой части теоремы 9.1 доказать неравенство (9.4) при выполнении условия (5.9). Теорема 9.1 будет обобщена и уточнена в следующем пункте. 9.2. Идея разбиенияДля $F$ из (8.4) и $\mathbf{u}$ из (8.6) разобьем интервал $[0,1)$ на $\mathbf{u}F$ интервалов
$$
\begin{equation}
I^p_{r}=\biggl[\frac{r}{F}+\frac{p}{\mathbf{u}F},\,\frac{r}{F}+\frac{p+1}{\mathbf{u}F}\biggr), \quad \text{где }\ 0\leqslant r< {F}, \quad 0\leqslant p<\mathbf{u}, \quad r,p \in \mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{9.6}
$$
Лемма 9.2 (см. [16; лемма 5.5]). Пусть выполнено равенство (8.6). При любых $p$, $r$, и $r'$ таких, что $r\neq r'$, для любых элементов $f\in I^p_{r}$ и $h\in I^p_{r'}$ величина $\|f-h\|$ не меньше чем ${1}/{(2F)}$: Введем обозначение $\mathfrak{S}_H(0) =5$ и при не равных нулю аргументах для любого действительного $H\geqslant 1$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{S}_H(y_1)&=5\biggl(2H\sin\biggl(\pi\frac{y_1}{2H}\biggr)\Bigl/(\pi y_1)\biggr)^2, \\ \mathfrak{S}_H(Y_1)&=5\biggl(2H\sin\biggl(\pi\frac{Y_1}{2H}\biggr)\Bigl/(\pi Y_1)\biggr)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим также
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{S}_H(y_1,Y_1)=\mathfrak{S}_H(y_1)\mathfrak{S}_H(Y_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 9.3 (см. [16; лемма 7.2]). Найдутся комплексные числа $\rho_{\lambda,\theta}$ такие, что $|\rho_{\lambda,\theta}| =1$, для которых при $H =1,01(M_1)^{1+2\varepsilon_0}$ выполнена оценка Согласно (6.6) и (6.13) выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
y_1y+Y_1Y=(y_1,Y_1)\widetilde{g}=(y_1,Y_1)g_2g_3\widetilde{g}_4.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, в силу (9.8), применяя неравенство треугольника, получим
$$
\begin{equation}
\frac{\sigma_{Z,\lambda}}{|\Omega_1|}\ll\Lambda \sum_{\substack{ 0\leqslant p< \mathbf{u} \\ 0\leqslant P< \mathbf{u} \\ y_1,Y_1\in \mathbb{Z}}}\mathfrak{S}_H(y_1,Y_1) \biggl(\sum_{g_3\in\Omega_3}\biggl|\sum_{\substack{ 0\leqslant r< F \\ 0\leqslant R< F \\ g_2\in\Omega_2 \\ g_4\in\Omega_4}} \sum_{\substack{\theta\in Z\colon \\ \{\frac{ay}{q}\}\in I^p_{r} \\ \{\frac{aY}{q}\}\in I^P_{R}}} \rho_{\lambda,\theta}e^{2\pi i(y_1,Y_1)g_2g_3\widetilde{g}_4(\theta+\lambda)}\biggr|\biggr)^2,
\end{equation}
\tag{9.9}
$$
где $\binom{y}{Y}=g_2g_3\widetilde{g}_4$. Применив в (9.9) неравенство Коши–Буняковского по переменной $g_3\in\Omega_3$, получим
$$
\begin{equation}
\frac{\sigma_{Z,\lambda}}{|\Omega_1|}\ll\Lambda|\Omega_3| \sum_{\substack{0\leqslant p< \mathbf{u} \\ 0\leqslant P< \mathbf{u} \\ y_1,Y_1\in \mathbb{Z}}}\mathfrak{S}_H(y_1,Y_1) \sum_{g_3\in\Omega_3}\biggl|\sum_{\substack{0\leqslant r< F \\ 0\leqslant R< F \\ g_2\in\Omega_2 \\ g_4\in\Omega_4}} \sum_{\substack{\theta\in Z\colon\\ \{\frac{ay}{q}\}\in I^p_{r}\\ \{\frac{aY}{q}\}\in I^P_{R}}} \rho_{\lambda,\theta} e^{2\pi i(y_1,Y_1) g_2g_3\widetilde{g}_4(\theta+\lambda)}\biggr|^2.
\end{equation}
\tag{9.10}
$$
Рассмотрим целые числа $p$, $P$, $r$, $R$ такие, что для $P$ и $R$ выполнены те же неравенства, что и для $p$ и $r$ в (9.6):
$$
\begin{equation*}
0\leqslant p<\mathbf{u}, \qquad 0\leqslant P< \mathbf{u}, \qquad 0\leqslant r< F, \qquad 0\leqslant R<F.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждой из этих четверок $(p,P,r,R)$ и для фиксированной матрицы $g_3\in\Omega_3$ определим множество $\Xi^{(p,P)}_{r,R,g_3}$. Это множество будет состоять изо всех ненулевых векторов $\binom{\mathbf s}{\mathbf S}\in\mathbb{R}^2$ следующего вида:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Xi^{(p,P)}_{r,R,g_3} &=\biggl\{\binom{\mathbf s}{\mathbf S}\in\mathbb{R}^2\biggm| \binom{\mathbf s}{\mathbf S}=g_2g_3\widetilde{g}_4(\theta+\lambda), \, \theta \in Z, \, \binom{y}{Y}\in\widetilde{\Omega}, \,g_2\in \Omega_2, \\ &\qquad\qquad g_4\in \Omega_4,\,\biggl\{\frac{ay}{q}\biggr\}\in I^p_{r}, \,\biggl\{\frac{aY}{q} \biggr\}\in I^P_{R}, \text{ где }\binom{y}{Y}=g_2g_3\widetilde{g}_4\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.11}
$$
Кроме того, положим
$$
\begin{equation}
\Xi^{(p,P)}_{g_3}=\bigcup_{0\leqslant r< F}\bigcup_{0\leqslant R< F}\Xi^{(p,P)}_{r,R,g_3}.
\end{equation}
\tag{9.12}
$$
Подставляя обозначение (9.12) в неравенство (9.10), получаем, что доказана следующая лемма. Лемма 9.4. Для любого ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}[\mathscr{Q}, \mathscr{A}, \mathscr{L}]$ найдутся комплексные числа $\rho^{(\mathbf s)}_{\mathbf S}$ такие, что $|\rho^{(\mathbf s)}_{\mathbf S}|=1$ и при $H =1,01(M_1)^{1+2\varepsilon_0}$ выполнена оценка Оценить сумму по $y_1$ и $Y_1$ из (9.13) поможет следующая лемма. Лемма 9.5 (см. [16; лемма 7.3]). Для любого конечного подмножества $\Xi$ векторов $\binom{\mathbf s}{\mathbf S}\in\mathbb{R}^2$ и для любых комплексных коэффициентов $\rho^{(\mathbf s)}_{\mathbf S}$, по модулю равных единице, при любом действительном $H>1$ имеет место оценка В обозначениях (9.6) формулируется следующая Лемма 9.6. Для любого ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}[\mathscr{Q}, \mathscr{A}, \mathscr{L}]$, при $H=1.01(M_1)^{1+2\varepsilon_0}$, при любом фиксированном $\lambda$ имеет место оценка Доказательство. Будем исходить из доказанной оценки (9.13). Рассматривая каждое из множеств $\Xi^{(p,P)}_{g_3}$ в качестве $\Xi$, к сумме по $y_1$, $Y_1$ из неравенства (9.13) применим оценку (9.14) при каждой тройке $g_3$, $p$ и $P$. Тогда, применяя обозначения для $\binom{\mathbf s}{\mathbf S}$ из (9.11) и полагая
$$
\begin{equation*}
\binom{\mathbf r}{\mathbf R}=\binom{x}{X}(\theta'+\lambda),
\end{equation*}
\notag
$$
получаем оценку (9.15). Лемма доказана. Лемма 9.7. Для любого ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}[\mathscr{Q}, \mathscr{A}, \mathscr{L}]$ выполнена оценка Доказательство. Выведем неравенство (9.16) из оценки (9.15). Для этого рассмотрим содержащиеся в (9.15) неравенства
$$
\begin{equation}
\|(\theta'+\lambda) x-(\theta+\lambda)y\|\leqslant\frac{1}{2H}, \qquad \|(\theta'+\lambda) X- (\theta+\lambda)Y\|\leqslant\frac{1}{2H}
\end{equation}
\tag{9.17}
$$
и покажем, что из неравенств (9.17) следуют неравенства (8.8), содержащиеся в (9.16). Действительно, применение неравенства треугольника вместе с неравенством $| \lambda|\leqslant{1}/{(2N)}$ из (4.2) дает оценки
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|{ x\lambda-y\lambda} \|\leqslant|{ x\lambda}-{y\lambda} |\leqslant\frac{\max\{ x,y\}}N, \\ \|x\theta'-y\theta\|\leqslant\|x(\theta'+\lambda)-y(\theta+\lambda)\|+\frac{\max\{ x,y\}}{N}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{9.18}
$$
К правой части неравенства (9.18) применимы оценки (6.11) и (9.17), откуда
$$
\begin{equation*}
\|x\theta'-y\theta\|<\frac{1}{2(M_1)^{1+2\varepsilon_0}}+\frac{73A^2}{M_1}\leqslant\frac{75A^2}{M_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Первое из неравенств (8.8) доказано, второе – аналогично. Таким образом, из неравенств в больших фигурных скобках в (9.15) следуют аналогичные неравенства в (9.16).
Поэтому выполнено условие теоремы 8.2, из которой следуют оценки в (8.20). Ввиду первой из них для всех ненулевых слагаемых кратной суммы в (9.15) модуль разности между числами $\{ {a'x}/{q'}\}\in I^{p}_{r'}$ и $\{ {ay}/{q}\}\in I^{p}_{r}$ (в обозначениях (9.6)) меньше чем $ {1}/{(2F)}$. Но согласно неравенству (9.7) из леммы 9.2 при $r\neq r'$ этот модуль не меньше величины $ {1}/{(2F)}$. Из этого противоречия следует равенство $r=r'$. Аналогично доказывается, что $R=R'$, откуда следует неравенство (9.16). Лемма доказана. Рассмотрим равенство (6.13) и обозначения (6.6) и (9.2). Для каждого набора целых чисел $\mathbf p$, $t$, $T$ и для произвольной матрицы $\gamma$ из $\Omega_3$ рассмотрим множества
$$
\begin{equation}
\mathfrak{N}^{(\gamma)}_{\mathbf p,t,T} =\biggl\{\biggl(\binom{x}{X},\binom{y}{Y},\theta,\theta'\biggr)\in\mathfrak{N}_{\mathbf p,t,T} \Bigm| g_3=g'_3=\gamma\biggr\}
\end{equation}
\tag{9.19}
$$
и их непересекающееся объединение
$$
\begin{equation}
\mathfrak{N}^{(\Omega_3)}=\bigcup_{\gamma\in\Omega_3} \bigcup_{1\leqslant\mathbf p < 2^{\alpha}}\bigcup_{|t|\leqslant P_{\mathbf{u}}} \bigcup_{|T|\leqslant P_{\mathbf{u}}}\mathfrak{N}^{(\gamma)}_{\mathbf p,t,T}.
\end{equation}
\tag{9.20}
$$
Лемма 9.8. При любом $\varepsilon_0 \in(0,0.0004)$, для каждого достаточно большого $N\in \mathbb{N}$, при любых натуральных $\alpha$ и $\beta$ из (4.7), для любого $ \lambda\in (-{0.5}{N},\,{0.5}{N} ]$, для любого обобщенного куба ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}[\mathscr{Q}, \mathscr{A}, \mathscr{L}]$, для любого целого $M_1 $ из интервала (6.1), при любом разложении (6.13) выполнены оценки Доказательство. Для доказательства первого неравенства в (9.21) применим оценку (9.16), выводя из содержащихся в ней условий принадлежность параметров ненулевых слагаемых множеству (9.20). Действительно, неравенства (8.8) из больших фигурных скобок в (9.2) совпадают с неравенствами в больших фигурных скобках в (9.16). Далее, из свойств $\{{ay}/{q}\}\in I^{p}_{r}$ и $\{ {a'x}/{q'}\}\in I^{p}_{r}$ следует неравенство в (8.9) для первого из элементов максимума. Для второго из них – аналогично. Отсюда следует (8.10). Свойства (8.1) и (9.1) следуют из определения множества $\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}$, подмножеством которого является $Z$. Наконец, соотношения (8.3) из списка условий в (9.2) являются определениями параметров $\mathbf p$, $t$, $T$, объединением по которым строится множество $\mathfrak{N}$. Множество $\mathfrak{N}^{(\Omega_3)}$ отличается от $\mathfrak{N}$ только выполнением равенств $g_3=g'_3$ для всех имеющихся в нем четверок элементов. Эти равенства следуют из оценки (9.16), где под вторым знаком суммы в обоих нижних условиях присутствует одно и то же $g_3$. Этим первая оценка в (9.21) доказана. Итоговая оценка в (9.21) следует из разложения $|\Omega^{(N)}_{\varepsilon_0}|=|\Omega_1|\,|\Omega|$ (из леммы 6.1) и в силу неравенства (6.2).
Лемма доказана. Теорема 9.2. Пусть для алфавита $\mathbf{A}$ при $\Delta_{\mathbf{A}} >0.5$, для любого обобщенного куба ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}{[\mathscr{Q},\mathscr{A},\mathscr{L}]}$, во-первых, выполняется вся первая часть условий теоремы 9.1, связанная с неравенством (9.4). Пусть, во-вторых, при любых $\alpha,\beta\in\mathbb{N}$ из (4.7), удовлетворяющих неравенству $2^{2\alpha+\beta}\leqslant N^{0.05}$, найдется хотя бы одно разложение ансамбля $\Omega^{(N)}_{\varepsilon_0}$ вида (6.13), для которого выполнено хотя бы одно из двух неравенств – (9.5) или Доказательство. Согласно теореме 5.1 достаточно лишь доказать неравенства (4.9) и (5.8). Эти неравенства сразу следуют из второго из разложений в (6.13) на независимые множители и оценок (9.4), (9.21) и одного из двух неравенств, (9.5) или (9.22). Теорема доказана.
§ 10. Использование кратных суммНапомним, что $q_0=q/\mathbf{p}$, $q'_0=q'/\mathbf{p}$. Фиксируем произвольные целые числа $(\mathbf{w},\mathbf{v})$ такие, что $\mathbf{w}q_0-\mathbf{v}q'_0=1$. В следующей лемме используются обозначения (6.7), (9.2) и (9.19). Впрочем, последнее из этих трех является частным случаем второго, так что отдельной формулировки здесь не требуется. Для целых $\mathbf{k}$ и $\mathbf{K}$, для данных $t$ и $T$ положим
$$
\begin{equation}
w_{\mathbf k}=\mathbf{w}t+\mathbf{k}q'_0, \qquad v_{\mathbf k}=\mathbf{v}t+\mathbf{k}q_0, \qquad W_{\mathbf K}=\mathbf{w}T+\mathbf{K}q'_0, \qquad V_{\mathbf K}=\mathbf{v}T+\mathbf{K}q_0.
\end{equation}
\tag{10.1}
$$
Лемма 10.1 (см. [16; лемма 8.2]). Для любого непустого $\mathfrak{N} _{\mathbf{p},t,T}$ и для любой четверки $(\binom{x}{X},\binom{y}{Y},\theta', \theta)\in\mathfrak{N}_{\mathbf{p},t,T}$ найдутся, причем единственные, целые числа $\mathbf{k}$ и $\mathbf{K}$ из интервала $[0,\mathbf{p}-1]$ такие, что выполнены сравнения где числа $q$ и $q'$ определяются по $\theta$ и $\theta'$ соответственно. Пусть $\Xi\subseteq\mathbb{Z}^2$ – произвольное множество двумерных вектор-столбцов, составленных из целых чисел. Для любых целых чисел $w$ и $W$ при заданных значениях $q'$ и $a'$ обозначим через $\mathbf{X}=\mathbf{X}^{(\Xi)}_{q',a'}\genfrac{[}{]}{0pt}{1}{w}{W}$ множество векторов $\binom{\mathfrak{x}}{X}\in\Xi$ таких, что выполнено сравнение $\mathfrak{x}a'-w\equiv 0\equiv\mathfrak{X}a'- W \pmod{q'}$:
$$
\begin{equation}
\mathbf{X}^{(\Xi)}_{q',a'}\genfrac{[}{]}{0pt}{0}{w}{W} =\biggl\{\binom{\mathfrak{x}}{\mathfrak{X}}\in\Xi \Bigm| \mathfrak{x}a'-w\equiv 0\equiv\mathfrak{X}a'- W\ (\operatorname{mod}q')\biggr\}.
\end{equation}
\tag{10.2}
$$
Аналогично, для произвольных целых чисел $v$ и $V$ при фиксированных значениях $q$ и $a$ через $\mathbf{Y}=\mathbf{Y}_{q,a}\genfrac{[}{]}{0pt}{1}{v}{V}$ обозначим множество векторов $\binom{y}{Y}\in\widetilde{\Omega}$ таких, что выполнено сравнение $ya-v\equiv 0\equiv Ya- V \pmod{q }$:
$$
\begin{equation}
\mathbf{Y}_{q,a}\genfrac{[}{]}{0pt}{0}{v}{V} =\biggl\{\binom{y}{Y}\in\widetilde{\Omega}\Bigm|ya-v\equiv 0 \equiv Ya- V\ (\operatorname{mod}q)\biggr\}.
\end{equation}
\tag{10.3}
$$
Кроме того, при фиксированной матрице $g_3$ положим
$$
\begin{equation}
\mathbf{X}_{q',a',g_3}\genfrac{[}{]}{0pt}{0}{w}{W} =\biggl\{\binom{x}{X}\in\Omega_2g_3\widetilde{\Omega}_4 \Bigm|{x}a'-w\equiv 0\equiv{X}a'- W\ (\operatorname{mod}q') \biggr\},
\end{equation}
\tag{10.4}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbf{Y}_{q,a,g_3}\genfrac{[}{]}{0pt}{0}{v}{V} =\biggl\{\binom{y}{Y}\in\Omega_2g_3\widetilde{\Omega}_4\Bigm| ya-v\equiv 0 \equiv Ya- V\ (\operatorname{mod}q)\biggr\}.
\end{equation}
\tag{10.5}
$$
В обозначениях (8.7) и (10.2)–(10.5) формулируется следующая Теорема 10.1. Для любого обобщенного куба ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}{[\mathscr{Q},\mathscr{A},\mathscr{L}]}$ имеют место оценки Доказательство. Все три неравенства можно вывести непосредственно из леммы 10.1, если в сумму по всем участвующим параметрам внести наши знания об их свойствах (в частности, из теоремы 8.1), при необходимости помещая эту информацию внутри больших фигурных скобок. В частности, в каждом из трех неравенств суммирование по $l'$ заменено множителем $\Lambda$ ввиду неравенства (8.15) из теоремы 8.1. Таким же способом неравенство (10.6) было доказано в [16; теорема 8.1]. Оценка (10.7) (похожая на нее также имеется в [16; теорема 8.1]) получается из предыдущей путем отбрасывания сведений о делимостях на $q'_0$ и $q_0$ и добавления другой части информации из теоремы 8.1 – неравенства (8.17). Неравенство $2^{\beta}\ll \Lambda$ получается при невыполнении оценки (8.16).
Наконец, все эти приемы проходят и для случая неравенства (10.8) при замене множества $\mathfrak{N}$ на $\mathfrak{N}^{(\Omega_3)}$. Теорема доказана. § 11. Следствия из теоремы 10.111.1. Свойства кратной суммы из (10.6)В следующей лемме используются обозначения (4.1), (5.2), (8.2) и (8.4). Лемма 11.1. Пусть ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}{[\mathscr{Q},\mathscr{A},\mathscr{L}]}$ – произвольный обобщенный куб с $\alpha$ и $\beta$ из (4.7), и пусть $\varepsilon>0$ – произвольное положительное число, а для заданных чисел $t$ и $T$ выполнены неравенства $|t|+|T|\neq 0$ и (8.9). Тогда для любых заданных чисел $\mathbf{p}$ и $q'_0$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
\sum_{\substack{\binom{y}{Y}\in\widetilde{\Omega} \\ 0\leqslant \mathbf{k},\mathbf{K}< \mathbf{p}}} \sum_{\substack{q\in Z_{\mathbf q} \\ q\equiv 0\, (\operatorname{mod}{\mathbf{p}})}} \sum_{\substack{a\in Z_{\cdot\mathbf{a}}(q) \\ l\in Z_{\cdot\cdot\mathbf{l}}(q,a)}} \mathbf 1_{\left\{\textit{(8.11)},\ \binom{y}{Y}\in\mathbf{Y}_{q,a}\genfrac{[}{]}{0pt}{1}{v_{\mathbf k}}{V_{\mathbf K}}\right\}} \ll_{\varepsilon}|\Omega|N^{\varepsilon}\mathbf{p}\mathscr{L}.
\end{equation}
\tag{11.1}
$$
Кроме того, для любых заданных чисел $\mathbf{p}$, $\mathbf{k}$, $\mathbf{K}$ и $q_0$ выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\sum_{\binom{x}{X}\in\widetilde{\Omega}} \sum_{\substack{q'\in Z_{\mathbf q}\\ q'\equiv 0\, (\operatorname{mod}{\mathbf{p}})}} \sum_{a'\in Z_{\cdot\mathbf{a}}(q')} \mathbf{1}_{\left\{\textit{(8.12)}, \ \binom{x}{X}\in\mathbf{X}^{(\widetilde{\Omega})} _{q',a'}\genfrac{[}{]}{0pt}{1}{w_{\mathbf k}}{W_{\mathbf K}}\right\}} \ll_{\varepsilon }|\Omega|N^{\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{11.2}
$$
Доказательство. Отметим прежде всего, что, хотя левые части неравенств (11.1) и (11.2) не зависят явно от $q'_0$ или соответственно $q_0$, но значения этих величин необходимы для корректности обозначений $v_{\mathbf k}$ и $V_{\mathbf K}$, $w_{\mathbf k}$ и $W_{\mathbf K}$.
Докажем для начала формулу (11.1). Левую часть неравенства (11.1) рассмотрим как сумму “единиц” или “нулей” и докажем, что эта сумма содержит не более чем $\ll_{\varepsilon}|\Omega|N^{\varepsilon}\mathbf{p}\mathscr{L}$ ненулевых слагаемых. Для этого прежде всего отметим, что вектор $\binom{y}{Y}$ можно выбрать одним из $|\Omega|$ способов (это первый множитель в правой части оценки (11.1)). Далее, согласно условию (8.11) число $|yT-Yt|>0$ делится на $q_0$. Поэтому число $q_0$ выберем как один из делителей числа $|yT-Yt|\leqslant N^2$. Согласно [28; гл. II, § 11, лемма 13] такое число делителей не превосходит величины $\ll_{\varepsilon} N^{\varepsilon}$. Мы получили величину $N^{\varepsilon}$ – второй множитель в правой части неравенства (11.1). Другой итог произведенных рассуждений: в результате появления величины $q_0$ обозначения $v_{\mathbf k}$ и $V_{\mathbf K}$ стали корректными. Для любых целых $\mathbf{k}$ и $\mathbf{K}$ из интервала от нуля до $\mathbf{p}-1$ по определению множества $\mathbf{Y}_{q,a}\genfrac{[}{]}{0pt}{1}{v_{\mathbf k}}{V_{\mathbf K}}$ выполнены сравнения
$$
\begin{equation}
ya\equiv \mathbf{v}t+\mathbf{k}q_0 \pmod {q_0\mathbf{p}}, \qquad Ya\equiv \mathbf{v}T+\mathbf{K}q_0 \pmod {q_0\mathbf{p}}.
\end{equation}
\tag{11.3}
$$
Число $a$, не превосходящее $q=q_0\mathbf{p}$, разделим с остатком на $q_0$: пусть
$$
\begin{equation}
a=nq_0+m, \qquad 0\leqslant m < q_0, \qquad 0\leqslant n \leqslant \mathbf{p}.
\end{equation}
\tag{11.4}
$$
Тогда, переходя в (11.3) к сравнениям по модулю $q_0$, получаем
$$
\begin{equation}
ym\equiv \mathbf{v}t \pmod {q_0}, \qquad Ym\equiv \mathbf{v}T \pmod {q_0}.
\end{equation}
\tag{11.5}
$$
Поскольку коэффициенты перед $m$ в сравнениях (11.5) – взаимно простые целые числа $y$ и $Y$, то число $m$ этими сравнениями определено однозначно по модулю $q_0$ и полностью однозначно как целое число, так как $0\leqslant m < q_0$.
Заметим, что в определении значения параметра $m$ участвовали только уже определенные или заранее данные величины – числа $y$, $Y$, $t$, $T$, $q_0$ и $q'_0$. Выберем величину $n$ из (11.4) одним из $\ll \mathbf{p}$ способов (это третий множитель в правой части неравенства (11.1)). Число $a$ теперь полностью определено по формуле (11.4). Суммируя полученную оценку по всем $l$, количество которых равно $\mathscr{L}$, получаем четвертый и последний множитель в правой части неравенства (11.1). Покажем, что остальные параметры – $\mathbf{k}$ и $\mathbf{K}$ – определены однозначно. Действительно, сравнениями (11.3) слагаемые $q_0\mathbf{k}$ и $q_0\mathbf{K}$ определены однозначно по модулю $q_0\mathbf{p}$. Это означает, что числа $\mathbf{k}$ и $\mathbf{K}$ этими сравнениями определены однозначно по модулю $\mathbf{p}$ и полностью однозначно как целые числа, так как они меньше чем $\mathbf{p}$ и неотрицательны. Неравенство (11.1) доказано. Аналогично, доказывая неравенство (11.2), вектор $\binom{x}{X}$ выберем одним из $|\Omega|$ способов, а число $q'_0=q'/\mathbf{p}$ как один из делителей числа $|xT-Xt|>0$ – одним из не более чем $\ll_{\varepsilon}N^{\varepsilon}$ способов (см. [28]). При этом получаются оба множителя оценки (11.2). Остается только однозначно определить неотрицательное целое число $a'\leqslant q'$ (равенство здесь возможно только при $q'=1$) из сравнений
$$
\begin{equation*}
xa'\equiv \mathbf{w}t+\mathbf{k}q'_0 \pmod {q'_0\mathbf{p}}, \qquad Xa'\equiv \mathbf{w}T+\mathbf{K}q'_0 \pmod {q'_0\mathbf{p}},
\end{equation*}
\notag
$$
следующих из определения множества $\mathbf{X}^{(\widetilde{\Omega})}_{q',a'} \genfrac{[}{]}{0pt}{1}{w_{\mathbf k}}{W_{\mathbf K}}$. Эта однозначная определенность значения $a'$ возникает по причине взаимной простоты чисел $x$ и $X$. Неравенство (11.2) доказано.
Лемма доказана. Теорема 11.1. Для любого обобщенного куба ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}{[\mathscr{Q},\mathscr{A},\mathscr{L}]}$ при выполнении неравенств (4.7) и (6.1) для любого $\varepsilon>0$ имеет место оценка Доказательство. Согласно определению множеств $\mathfrak{N}_{\mathbf{p},t,T}$ формулы (8.3), (8.8) и (8.9) выполнены. Другими словами, все условия леммы 8.1 выполнены, ввиду чего неравенства (8.11) и (8.12) имеют место. Условия леммы 11.1 также выполнены, ввиду чего имеет место и неравенство (11.1).
Возможны два варианта: если выполнено неравенство $\mathbf{p}M_1>2^{2\alpha+\beta}$, то ввиду (8.7) $P_{\mathbf{u}}<1$, так что сумма по $t$ и $T$ в (11.6) равна нулю; если же $\mathbf{p}M_1 \leqslant2^{2\alpha+\beta}$, то, перемножая длины интервалов изменения переменных $t$ и $T$ и учитывая формулу (8.7), получаем оценку
$$
\begin{equation}
(2P_{\mathbf{u}}+1)^2 \leqslant\biggl(2\frac{3200A^22^{2\alpha+\beta}}{\mathbf{u} \mathbf{p}M_1}+1\biggr)^2 \ll 2^{4\alpha+2\beta}(\mathbf{p}M_1)^{-2}.
\end{equation}
\tag{11.7}
$$
Заменяя $\varepsilon$ на $\varepsilon/2$, просуммируем неравенство (11.1) по $t$ и $T$ с помощью (11.7):
$$
\begin{equation}
\sum_{\substack{|t|,|T|\leqslant P_{\mathbf{u}} \\ |t|+|T|>0}} \sum_{\substack{0\leqslant \mathbf{k},\mathbf{K}< \mathbf{p} \\ q\in Z_{\mathbf q} \\ q\equiv 0\, (\operatorname{mod}\mathbf{p}) \\ a\in Z_{\cdot\mathbf{a}}(q)}} \sum_{\substack{\binom{y}{Y}\in\mathbf{Y}_{q,a}\genfrac{[}{]}{0pt}{1}{v_{\mathbf k}}{V_{\mathbf K}}\colon \\ q_0| (yT- Yt)\neq 0}} \sum_{l\in Z_{\cdot\cdot\mathbf{l}}(q,a)}1 \ll_{\varepsilon }\frac{2^{4\alpha+2\beta}|\Omega|N^{\varepsilon/2}\mathscr{L}}{(M_1)^2\mathbf{p}}.
\end{equation}
\tag{11.8}
$$
Суммируем оценки (11.8) по всем $\mathbf{p}< 2^{\alpha}$, учитывая, что $2^{\alpha}<N$:
$$
\begin{equation}
\sum_{\substack{1\leqslant\mathbf{p}< 2^{\alpha}\\ |t|,|T|\leqslant P_{\mathbf{u}} \\|t|+|T|>0}} \sum_{\substack{0\leqslant \mathbf{k},\mathbf{K}< \mathbf{p} \\ q\in Z_{\mathbf q} \\ q\equiv 0\, (\operatorname{mod}\mathbf{p}) \\ a\in Z_{\cdot\mathbf{a}}(q)}} \sum_{\substack{\binom{y}{Y}\in\mathbf{Y}_{q,a}\genfrac{[}{]}{0pt}{1}{v_{\mathbf k}}{V_{\mathbf K}}\colon \\ q_0| (yT- Yt)\neq 0}} \sum_{l\in Z_{\cdot\cdot\mathbf{l}}(q,a)}1 \ll_{\varepsilon }\frac{2^{4\alpha+2\beta}|\Omega|N^{\varepsilon}\mathscr{L}}{(M_1)^2}.
\end{equation}
\tag{11.9}
$$
Подставляя доказанное неравенство (11.9) в формулу (10.6), получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{\substack{1\leqslant\mathbf{p}<2^{\alpha} \\ |t|\leqslant P_{\mathbf{u}} \\ |T|\leqslant P_{\mathbf{u}} \\ |t|+|T|>0}}|\mathfrak{N}_{\mathbf{p},t,T}| \ll_{\varepsilon }\frac{2^{4\alpha+2\beta}|\Omega|N^{\varepsilon}\mathscr{L}}{(M_1)^2} \max_{\substack{1\leqslant\mathbf{p}<2^{\alpha}\\ |t|\leqslant P_{\mathbf{u}} \\ |T|\leqslant P_{\mathbf{u}}\colon \\ |t|+|T|>0 \\ q \in Z_{\mathbf{q}}}} \sum_{\substack{\binom{x}{X}\in\widetilde{\Omega} \\ q' \in Z_{\mathbf{q}}\colon \\ q'\equiv 0\,(\operatorname{mod}\mathbf{p}) \\ q'_0| (xT- Xt)\neq 0 \\ a'\in Z_{\cdot\mathbf{a}}(q')}} \mathbf{1}_{\bigl\{\binom{x}{X}\in\mathbf{X}^{(\widetilde{\Omega})}_{q',a'} \genfrac{[}{]}{0pt}{1}{w_{\mathbf k}}{W_{\mathbf K}}\bigr\}}.
\end{equation}
\tag{11.10}
$$
Максимум в (11.10) берется от кратной суммы из (11.2). Подставим оценку (11.2) (имеющую место по лемме 11.1) в (11.10). Тогда получим неравенство в (11.6). Наконец, равенство в (11.6) следует из свойства обобщенного куба $|Z|=\mathscr{Q}\mathscr{A}\mathscr{L}$, следующего из его определения. Формула (11.6) доказана.
Это доказательство было для простоты изложено так, чтобы два утверждения из леммы 11.1 применялись последовательно. Однако (внимание!) в условиях каждой из двух частей леммы 11.1 оговаривается факт предварительного определения той из величин $q_0$ или $q'_0$, которая определяется только из другой ее части. Это противоречие легко преодолеть, если начать оценку кратной суммы из правой части формулы (10.6) с независимого оценивания количества величин $q_0$ или $q'_0$, как это было сделано в начале доказательства каждой из двух частей леммы 11.1, только затем переходя к оценке других величин по схеме того же доказательства леммы 11.1. Теорема доказана. 11.2. Кратные суммы из (10.7) и (10.8)Для некоторой константы $C'\,{>}\,0$ положим
$$
\begin{equation}
M_2 =\max\{1,C'\sqrt{2^{\beta}}(M_1)^{-2\varepsilon_0}\}.
\end{equation}
\tag{11.11}
$$
Лемма 11.2. Пусть фиксирован набор значений (8.14) и имеют место оценки (6.1), (8.9) и Тогда для каждого из достаточно малых значений параметра $C'$ из (11.11) найдется постоянная матрица $g'_2\in \Omega_2$, зависящая только от чисел из (8.14), такая, что для каждого вектора-столбца $\binom{x}{X}$ из $\widetilde{\Omega}$, компоненты которого участвуют в неравенствах (8.8), найдется вектор $\binom{x_7}{X_7}$ из $\widetilde{\Omega}_7$, для которого выполнено равенство Если же выполнено равенство $t=T=0$, то матрица $g'_2$ зависит только от вектора $\binom{y}{Y}$, для которого справедливо разложение вида (11.13) с той же самой матрицей $g'_2=g_2$: В частности, если при этом разложение (6.13) задано заранее, то равенства (11.13) и (11.14) превращаются соответственно в следующие: Доказательство. Первое утверждение леммы было доказано в [16; лемма 8.5] как следствие теоремы 8.1 при условии выполнения оценки (8.16). Однако при невыполнении последней число $M_2$ из (11.11) равно $1$ при выборе достаточно малой константы $C'$. Но тогда $\Omega_2=\{E\}$, и для $g'_2$ имеется единственная возможность $g'_2=E$, так что первое утверждение леммы доказано и в этом случае.
Для доказательства второго утверждения леммы достаточно учесть следующие три обстоятельства. Во-первых, конечные цепные дроби с ограниченными неполными частными ровно тогда имеют общие (совпадающие) конечные последовательности подходящих дробей вплоть до некоторой дроби со знаменателем $Q$, когда соответствующие им рациональные числа различаются по своим значениям не более чем на $\ll Q^{-2}$. Во-вторых, числа $x/X$ и $y/Y$ согласно (8.19) различаются не более чем на $\Lambda2^{-\beta}$, так что их цепные дроби совпадают до знаменателя $Q=M_2$. В-третьих, согласно лемме 3.1 этим частичным совпадением цепных дробей порождается аналогичное совпадение начальных участков разложений вида (3.2) для матриц из $G_{\mathbf A}$, правые столбцы которых равны $\binom{y}{Y}$ или $\binom{x}{X}$, вплоть до значений матричных норм того же порядка $M_2$. Этим равенство (11.14) доказано. Наконец, третье утверждение леммы является следствием равенств (11.13) и (11.14) и разложений (6.6), следующих из (6.13). Лемма доказана. Теорема 11.2. Пусть имеют место формулы (6.1), (11.11) и (11.12). Тогда для любого обобщенного куба ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}{[\mathscr{Q},\mathscr{A},\mathscr{L}]}$ и для любого разложения $\Omega=\Omega_2\Omega_3\Omega_4$ выполнены неравенства Доказательство. Выведем оценки (11.16) и (11.17) соответственно из (10.7) и (10.8). Для этого в правой части (10.7) изменим порядок суммирования таким образом, чтобы сумма по $g'_2$ оказалась после суммы по параметрам (8.14). Тогда имеют место условия леммы 11.2, согласно которой матрица $g'_2$ постоянна. Это свойство позволяет заменить $\mathbf{X}^{(\widetilde {\Omega})}_{q',a'} \genfrac{[}{]}{0pt}{1}{w_{\mathbf k}}{W_\mathbf{K}}$ на $\mathbf{X}^{(\widetilde {\Omega}_7 )}_{q',a'} \genfrac{[}{]}{0pt}{1}{w'}{W'}$ и соответственно $\mathbf{X}_{q',a',g_3}\genfrac{[}{]}{0pt}{1}{w_{\mathbf k}}{W_\mathbf{K}}$ на $\mathbf{X}^{(g_3\widetilde{\Omega}_4)}_{q',a'}\genfrac{[}{]}{0pt}{1}{w'}{W'}$ с помощью равенств (11.13) или (11.15) и
$$
\begin{equation}
\binom{w'}{W'}=(g'_2)^{-1}\binom{w_{\mathbf k}}{W_\mathbf{K}}, \qquad \binom{x_7}{X_7}=(g'_2)^{-1}\binom{x}{X},
\end{equation}
\tag{11.18}
$$
где числа $W'$ и $w'$ также целые ввиду равенства $\det g'_2=1$. Зависимость от $g'_2$ пропадает ввиду взятия максимума по $W'$ и $w'$. Учет сказанного приводит к формулам (11.16) и (11.17).
Теорема доказана. § 12. Максимумы мощностей множеств $\mathbf{X}$ и $\mathbf{Y}$ Лемма 12.1. При выполнении неравенства для любого обобщенного куба ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}{[\mathscr{Q},\mathscr{A},\mathscr{L}]}$ имеют место оценки Доказательство. Напомним, что множество$\mathbf{Y}_{q,a}\genfrac{[}{]}{0pt}{1}{v_{\mathbf k}}{V_\mathbf{K}}$ (при $v_{\mathbf k}\,{=}\,v$, $V_{\mathbf k}\,{=}\,V$) определено в формуле (10.3), сравнения из которой здесь воспроизводятся:
Положим В силу теоремы 6.1 имеем разложение $\Omega= \Omega_2 \Omega_3\Omega_4 $. Напомним, что элементы множеств $\Omega_{3}$ и $\widetilde{\Omega}_{4}$ обозначены соответственно через $g_3$ и $\binom{y_4}{Y_4}$. Распространим сравнения (12.4) на множество $\Omega_2 \Omega_3\Omega_4$ и перепишем их в векторной форме: Умножим последнее сравнение на число $a^{-1}$ (вычет по модулю $q$, обратный к $a$), а также на матрицу, обратную к матрице $g_3$ (с равным 1 определителем):
$$
\begin{equation}
\binom{y_4}{Y_4}\equiv g_3^{-1}\binom{v}{V}a^{-1}\pmod{q}.
\end{equation}
\tag{12.6}
$$
Фиксируем значение матрицы $g_3$. Тогда правая часть сравнения (12.6) определена однозначно. Следовательно, определены остатки компонент вектора $\binom{y_4}{Y_4}$ по модулю $q$. С другой стороны, выполнено неравенство $y_4<Y_4\leqslant M_4 <2^{\alpha-1}\leqslant q$. Поэтому при заданном значении $g_3$ вектор $\binom{y_4}{Y_4}$, а следовательно, и вектор $\binom{y}{Y}$ определены однозначно.
Поскольку матрицу $g_3$ можно выбрать одним из $|\Omega_3|$ способов, то согласно теореме 6.1 получаем оценку (12.2):
$$
\begin{equation*}
\max_{\substack{\theta \in Z \\ \mathbf{p}\mid q}} \max_{\substack{t,T \in \mathbb{Z} \\ 0\leqslant \mathbf{k},\mathbf{K}<\mathbf{p}}} \max_{\substack{q' \in Z_{\mathbf{q}}\colon \\ q'\equiv 0\,(\operatorname{mod}\mathbf{p})}} \biggl|\mathbf{Y}_{q,a}\genfrac{[}{]}{0pt}{0}{v_{\mathbf k}}{V_\mathbf{K}}\biggr| \leqslant|\Omega_3| \ll\frac{|\Omega|}{|\Omega_4|}\ll\frac{|\Omega|\Lambda}{(M_4)^{2\Delta_{\mathbf{A}}}} \ll \frac{|\Omega|\Lambda}{(2^{\alpha})^{2\Delta_{\mathbf{A}}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенство (12.2) доказано.
Для доказательства оценки (12.3) воспользуемся определением множества $\mathbf{X}^{(\widetilde{\Omega}_{7})}_{q',a'} \genfrac{[}{]}{0pt}{1}{w'}{W'}$ в (10.2). Согласно этому определению выполнены сравнения
$$
\begin{equation}
x_7a'\equiv w'\pmod {q'}, \qquad X_7a'\equiv W'\pmod {q'}.
\end{equation}
\tag{12.7}
$$
Так как сравнения (12.7) полностью аналогичны сравнениям (12.4), то и оставшаяся часть доказательства оценки (12.3) полностью аналогична доказательству оценки (12.2) с единственным отличием в выборе числа $M_2$ в виде (11.11).
Лемма доказана. Рассмотрим теперь случай, когда величина $M_4 $ выбрана заранее (и не совпадает со значением из (12.5)). Лемма 12.2. Пусть выполнены неравенства (12.1) и Тогда для любого обобщенного куба ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}{[\mathscr{Q},\mathscr{A},\mathscr{L}]}$ и для любого разложения $\Omega=\Omega_2\Omega_3\Omega_4$ имеют место две следующие оценки (вторая из которых выполнена при выборе (11.11)): Доказательство. Достаточно переписать аргументы доказательства предыдущей леммы с минимальными изменениями. А именно, нужно, во-первых, фиксировать матрицу $g_3$ (не в процессе доказательства, а заранее); во-вторых, заменить разложение $\Omega= \Omega_2 \Omega_3\Omega_4$ включением $\Omega\subseteq \Omega_2 \Omega_3\Omega_{41}\Omega_{42}$; в-третьих, во второй из формул (12.5) заменить $M_4$ на $M_{42}$ и чуть подправить получающуюся оценку: при $C=11000A^4$. Тогда будет выполнено неравенство (7.3) из следствия 7.1. Эти изменения приводят к неравенствам (12.9) и (12.10).
Лемма доказана. В формулировке следующей теоремы участвует обозначение (8.7). Теорема 12.1. Пусть имеет место оценка (12.1). Тогда для любого обобщенного куба ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}{[\mathscr{Q},\mathscr{A},\mathscr{L}]}$ выполнено неравенство Доказательство. Докажем предварительно неравенство
$$
\begin{equation}
\max_{\theta\in Z}\sum_{\mathbf{p}\mid q}\sum_{0\leqslant\mathbf{k}< \mathbf{p}} \sum_{0\leqslant\mathbf{K}< \mathbf{p}} \sum_{\substack{|t|\leqslant P_{\mathbf{u}},\,|T|\leqslant P_{\mathbf{u}}\\ |t|+|T|>0}} 1 \ll \Lambda 2^{4\alpha+2\beta}(M_1)^{-2}.
\end{equation}
\tag{12.13}
$$
Для этого напомним, что согласно [28; гл. II, § 11, лемма 13] количество делителей числа $q$ имеет оценку $\ll_{\varepsilon}q^{\varepsilon}$. Поэтому количество чисел $\mathbf{p}$ – индексов суммирования в первой из сумм в (12.13) – оценивается сверху величиной $q^{\varepsilon}=\Lambda$ как число делителей. Перемножая длины интервалов изменения оставшихся индексов суммирования $\mathbf{k}$, $\mathbf{K}$, $t$ и $T$ и учитывая оценку (11.7) и рассуждения перед этой оценкой, получаем
$$
\begin{equation}
\mathbf{p}^2(2P_{\mathbf{u}}+1)^2\ll 2^{4\alpha+2\beta}(M_1)^{-2},
\end{equation}
\tag{12.14}
$$
чем оценка (12.13) доказана.
Далее, подставляя оценки (12.2) и (12.13) в (11.16), получаем неравенство
$$
\begin{equation}
\sum_{\substack{1\leqslant\mathbf{p}<2^{\alpha} \\|t|\leqslant P_{\mathbf{u}} \\ |T|\leqslant P_{\mathbf{u}} \\ |t|+|T|>0}}|\mathfrak{N}_{\mathbf{p},t,T}| \ll \frac{\Lambda|\Omega|2^{4\alpha-2\alpha\Delta_{\mathbf{A}}+2\beta}|Z|}{(M_1)^2} \sum_{q' \in Z_{\mathbf{q}}}\max_{\substack{w'\in \mathbb{Z} \\ W'\in \mathbb{Z}}} \sum_{a'\in Z_{\cdot\mathbf{a}}(q')}\biggl|\mathbf{X}^{(\widetilde {\Omega}_7)}_{q',a'}\genfrac{[}{]}{0pt}{0}{w'}{W'}\biggr|.
\end{equation}
\tag{12.15}
$$
Аналогично, подставляя оценки (12.9) и (12.13) в (11.17), получаем неравенство
$$
\begin{equation}
\sum_{\substack{1\leqslant\mathbf{p}<2^{\alpha} \\|t|\leqslant P_{\mathbf{u}} \\ |T|\leqslant P_{\mathbf{u}} \\ |t|+|T|>0}}|\mathfrak{N}^{(\Omega_3)}_{\mathbf{p},t,T}| \ll\frac{\Lambda|\Omega|2^{4\alpha-2\alpha\Delta_{\mathbf{A}}+2\beta}|Z|}{|\Omega_3|(M_1)^2} \sum_{q' \in Z_{\mathbf{q}}}\max_{\substack{w'\in \mathbb{Z} \\ W'\in \mathbb{Z}}} \sum_{\substack{a'\in Z_{\cdot\mathbf{a}}(q') \\ g_3\in{\Omega_3}}} \biggl|\mathbf{X}^{(g_3\widetilde{\Omega}_4)}_{q',a'}\genfrac{[}{]}{0pt}{0}{w'}{W'}\biggr|.
\end{equation}
\tag{12.16}
$$
Наконец, подставляя оценки (12.3) и (12.10) соответственно в доказанные неравенства (12.15) и (12.16) и учитывая равенства
$$
\begin{equation*}
\sum_{q'\in Z_{\mathbf{q}}}\sum_{a'\in Z_{\cdot\mathbf{a}}(q')}1 =\mathscr{Q}\mathscr{A}, \qquad |Z|=\mathscr{Q}\mathscr{A}\mathscr{L},
\end{equation*}
\notag
$$
справедливые для любого обобщенного куба $Z$, получаем оценки (12.11), (12.12).
Теорема доказана. § 13. Делители $(2\times2)$-определителейЛемма 13.1. Пусть выполнены соотношения $\alpha>1$, (6.10) и $M_4=2^{\alpha}$. Тогда для произвольного множества $S\subseteq\widetilde{\Omega}_{4}$ имеет место оценка Доказательство. Неравенство (13.1) следует из [16; лемма 10.2] при ${\Omega}_{3}\,{=}\,\{E\}$. Лемма доказана. Через $S_q\subseteq \widetilde{\Omega}_{4}$ обозначим произвольное множество такое, что для любых двух элементов $\binom{y_{4}}{Y_{4}},\binom{x_{4}}{X_{4}}\in S_q$ выполнено сравнение $X_{4}y_{4}\equiv x_{4}Y_{4}\pmod q$. Лемма 13.2. Если выполнены равенства (11.11), $M_4=2^{\alpha}$ и оценка (6.10), то имеют место неравенства Доказательство. Для того чтобы первая оценка в (13.2) была нетривиальной, необходимо выполнение условия $\alpha>1$. Согласно лемме 13.1 получаем
$$
\begin{equation}
|S_q|^2=\sum_{\binom{y_{4}}{Y_{4}},\binom{x_{4}}{X_{4}}\in S_q}1 =\sum_{\binom{y_{4}}{Y_{4}},\binom{x_{4}}{X_{4}}\in S_q} \mathbf 1_{\{Y_{4}x_{4}-y_{4}X_{4}\equiv 0\,(\operatorname{mod}q)\}} \ll|\Omega_{4}|\,|S_q|2^{-\alpha\Delta_{\mathbf{A}}}\Lambda.
\end{equation}
\tag{13.3}
$$
Сокращая начало и конец последней цепочки равенств и неравенств на $|S_q|$, получаем первую оценку в (13.2). Последняя оценка в неравенстве (13.2) получается при подстановке в (13.3) результата цепочки оценок
$$
\begin{equation}
|\Omega_{4}|=\frac{|\Omega|}{|\Omega_3|}|\Omega_{2}|^{-1} \ll\frac{|\Omega|}{|\Omega_3|}(M_{2})^{-2\Delta_{\mathbf{A}}}\Lambda \ll\frac{|\Omega|}{|\Omega_3|}2^{-\beta\Delta_{\mathbf{A}}}\Lambda.
\end{equation}
\tag{13.4}
$$
Действительно, первая оценка в (13.4) следует из разложения на независимые множители $\Omega= \Omega_2\Omega_3\Omega_4$, вторая – из оценки (6.9), последнее из неравенств в (13.4) следует из определения числа $M_{2}$ равенством (11.11).
Лемма доказана. Теорема 13.1. Пусть выполнены условия (11.11), $M_4=2^{\alpha}$ и Тогда для любого обобщенного куба ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}[\mathscr{Q},\mathscr{A},\mathscr{L}]$ выполнены оценки Доказательство. Согласно (10.2) для элементов множества $\mathbf{X}^{(g_3\widetilde{\Omega}_{4})}_{q', a'} \genfrac{[}{]}{0pt}{1}{w'}{W'}$ выполнены сравнения (12.7). Определим $\mathbf{S}_{q'}$ как множество векторов $\binom{x_4}{X_4}\,{\in}\,\widetilde{\Omega}_{4}$, для которых найдется какое-либо $a'$, взаимно простое с $q'$ и такое, что для фиксированной матрицы $g_3$ вектор $\binom{x_7}{X_7}=g_3\binom{x_4}{X_4}$ удовлетворяет сравнениям (12.7). Пусть $\binom{\mathbf{x}_4}{\mathbf{X}_4}$ – также некоторый вектор из множества $\mathbf{S}_{q'}$. Это по определению означает, что для некоторого $\mathfrak{a'}$, взаимно простого с $q'$, для вектора $\binom{\mathbf x_7}{\mathbf X_7}=g_3\binom{\mathbf x_4}{\mathbf X_4}$ выполнены сравнения
$$
\begin{equation}
\mathbf{x}_7\mathfrak{a'}\equiv w'\pmod{q'} , \qquad \mathbf{X}_7\mathfrak{a'}\equiv W'\pmod{q'}.
\end{equation}
\tag{13.8}
$$
Из сравнений (12.7) и (13.8) получаем
$$
\begin{equation*}
x_7{a'}\mathbf{X}_7\mathfrak{a'} \equiv w'W' \equiv X_7{a'}\mathbf{x}_7\mathfrak{a'} \pmod{q'}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сокращая последнее сравнение на взаимно простые с $q'$ числа $a'$ и $ \mathfrak{a'}$, получаем сравнение $x_7\mathbf{X}_7\equiv X_7\mathbf{x}_7\pmod{q'}$. Но умножение двух векторов на матрицу $g_3$ с равным $1$ определителем не изменяет определитель матрицы, составленной из столбцов, равных этим двум векторам. Следовательно, $x_4\mathbf{X}_4 \equiv X_4\mathbf{x}_4\pmod{q'}$. Поэтому применима лемма 13.2, в силу которой для множества $\mathbf{S}_{q'}=S_{q'}$ выполнено неравенство (13.2).
Далее, так как целые числа $x_7$ и $X_7$ взаимно просты, то сравнениями (12.7) число $a'$ определено однозначно по модулю $q'$ и однозначно полностью, так как $0\leqslant a'< q'$. Сказанное приводит к оценке (13.7). Доказательство оценки (13.6) отличается лишь некоторыми второстепенными деталями. А именно, в то время как вектор $\binom{x_7}{X_7}$ принадлежит множеству $g_3\widetilde{\Omega}_{4}$, вектор $\binom{y}{Y}$ берется из $\widetilde{\Omega}_2g_3 \widetilde{\Omega}_{4}$. Этим и объясняется различие правых частей неравенств (13.6) и (13.7). Теорема доказана. § 14. Суммы мощностей множеств $\mathfrak{N}_{\mathbf{p},t,T}$ или $\mathfrak{N}^{(\Omega_3)}_{\mathbf{p},t,T}$ Лемма 14.1. Для любого разложения $\Omega=\Omega_2\Omega_3\Omega_4$, для любого обобщенного куба ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}[\mathscr{Q},\mathscr{A},\mathscr{L}]$ имеет место оценка Доказательство. Напомним, что условия (8.8) и (9.1) присутствовали в равенстве (9.2), определяющем множество $\mathfrak{N}_{\mathbf{p},t,T}$, от которого $\mathfrak{N}^{(\Omega_3)} _{\mathbf{p},t,T}$ отличается только дополнительным свойством $g'_3=g_3$. Равенство в (14.1) в начале этой формулы получается как мощность непересекающегося объединения множеств.
Далее, выпишем оценку мощности этого объединения в виде кратной суммы. Для этого выберем матрицу $g_3$, векторы $\binom{x}{X},\binom{y}{Y}\in\Omega_2g_3\widetilde{\Omega}_4$ и числа $\theta, \theta' \in Z$. Положим $t=T=0$, тогда из сравнений в (8.3), выполненных по определению множества $\mathfrak{N}_{\mathbf{p},t,T}$ в (9.2), следует, что
$$
\begin{equation}
a'q_0x-aq'_0y\equiv 0\equiv a'q_0X-aq'_0Y\pmod{[q,q']}\equiv0\pmod{q'_0}.
\end{equation}
\tag{14.2}
$$
Но числа $a'$ и $q'_0=q'/\mathbf{p}$ взаимно просты ввиду несократимости дроби ${a'}/{q'}$, а числа $q_0=q/\mathbf{p}$ и $q'_0=q'/\mathbf{p}$ – по построению, так как $\mathbf{p}$ – наибольший общий делитель чисел $q$ и $q'$. Поэтому из (14.2) следует сравнение $x\equiv 0 \equiv X\pmod {q'_0}$. Поскольку числа $x$ и $X$ взаимно просты, то $q'_0=1$. Аналогично доказывается, что $q_0=1$. Отсюда и из (8.2) получаем, что $[q',q]=q'=q$. Подставляя эти значения в (14.2), получаем аналогичные сравнениям из (10.2) сравнения соответствующие свойству $\binom{x}{X}\in\mathbf{X}_{q',a',g_3}\genfrac{[}{]}{0pt}{1}{ay}{aY}$ из (14.1).
Лемма доказана. Лемма 14.2. При выполнении условий (11.11), (13.5) и $M_4=2^{\alpha}$ для любого разложения $\Omega=\Omega_2\Omega_3\Omega_4$, для любого обобщенного куба ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}[\mathscr{Q},\mathscr{A},\mathscr{L}]$ имеет место оценка Доказательство. Сначала для каждого из ненулевых слагаемых суммы в (14.1) выведем сравнения из (14.4). Так, ввиду свойства $\binom{x}{X}\in\mathbf{X}_{q',a',g_3}\genfrac{[}{]}{0pt}{1}{ay}{aY}$ выполнены сравнения (14.3), из комбинирования которых получаем Сокращая начало и конец цепочки сравнений в (14.5) на $a'$, получаем сравнение $xY\equiv Xy\pmod q$. Но из равенств $g'_3=g_3$ и (11.15) следует, что определитель матрицы, составленной из векторов $\binom{x_4}{X_4} $ и $\binom{y_4}{Y_4}$, получается делением определителя из векторов $\binom{x}{X}$ и $\binom{y}{Y}$ на $\det{g_2g_3}$, равный $1$. Поэтому Этим доказано первое сравнение в (14.4).
Умножая слева обе части сравнения $\binom{a'x}{a'X }\equiv\binom{ay}{aY}\pmod q$, следующего из (14.3), на матрицу, обратную к $g_2g_3$, получаем второе сравнение в (14.4). Далее, исключим из суммы в (14.1) какое-либо упоминание о числе $q'$, равном $q$. А также добавим множитель $\Lambda$, исключая суммирование по $l'\in Z_{\cdot\cdot\mathbf{l}}(q',a')$: вместо суммы по трем параметрам $q'\,{=}\,q$, $a'$ и $l'$, соответствующим сумме по $\theta'$ из (14.1), теперь будет только сумма по $a'$. Эти изменения разрешены формулой (8.18) из теоремы 8.1, согласно которой число $l'$ принадлежит некоторому множеству мощности $\Lambda$, зависящему лишь от $l$, $y$ и $x$. Тогда получим оценку (14.4). Лемма доказана. Лемма 14.3. Пусть выполнены условия (11.11), (13.5) и $M_4=2^{\alpha}$. Тогда для любого разложения $\Omega=\Omega_2\Omega_3\Omega_4$, для любого обобщенного куба ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}[\mathscr{Q},\mathscr{A},\mathscr{L}]$ имеет место оценка Доказательство. Будем использовать оценку (14.4). Кратную сумму из правой части (14.4) разобьем на две части, отнеся к первой из них те слагаемые, для которых векторы $\binom{x_4}{X_4}$ и $\binom{y_4}{Y_4}$ отличны друг от друга, а для второй части суммы – когда совпадают. Эта вторая часть выписана в (14.6) без изменения в виде второго слагаемого – оставшейся части кратной суммы.
Напротив, упомянутую первую часть суммы будем оценивать. Учтем, что количества различных $g_2\in {\Omega}_2$ и $g_3\in {\Omega}_3$ дают множитель $|\Omega_2|\,|\Omega_3|$. Количество возможностей выбора пары различных векторов $\binom{y_{4}}{Y_{4}}$ и $\binom{x_{4}}{X_{4}}$ оценивается сверху числом $|\Omega_{4}|^2$, что при умножении на $|\Omega_2|\,|\Omega_3|$ дает
$$
\begin{equation*}
|\Omega_{4}|^2|\Omega_2|\,|\Omega_3|=\frac{|\Omega|^2}{|\Omega_2|\,|\Omega_3|} \ll\frac{|\Omega|^2}{|\Omega_3|}2^{-\beta\Delta_{\mathbf{A}}}\Lambda
\end{equation*}
\notag
$$
согласно теореме 6.1. Тем самым получены первые три множителя в первом слагаемом правой части (14.6).
Представим сумму по $\theta$ в (14.4) как сумму по $q$, $a$ и $l$. Количество чисел $q$ не превосходит $\Lambda$ как число делителей положительного числа $|x_4Y_4- X_4y_4|$ (см. [28; гл. II, § 11, лемма 13]). Множители $\mathscr{A}$ и $\mathscr{L}$ появляются в (14.6) как количества чисел $a$ и $l$. Наконец, число $a'$ определяется по числу $a$ однозначно, исходя из сравнений $ a'x_4\equiv ay_4$, $a'X_4 \equiv aY_4\pmod{q}$; действительно, это следует из взаимной простоты чисел $x_4$ и $X_4$. Эти вычисления приводят к первому из слагаемых в (14.6). Остальные слагаемые, как было сказано в начале доказательства, образуют вторую часть формулы (14.6). Лемма доказана. Лемма 14.4. Пусть имеет место неравенство Тогда для любого обобщенного куба ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}[\mathscr{Q},\mathscr{A},\mathscr{L}]$ выполнены оценки Доказательство. Доказательство оценки (14.8), имеющееся в [16; лемма 11.2], почти дословно совпадает с доказательством неравенства (13.7) из настоящей работы. Доказательство оценки (14.9) отличается лишь некоторыми второстепенными деталями. А именно, в то время как $\binom{x_7}{X_7}\in\widetilde{\Omega}_{7}$, вектор $\binom{y}{Y}$ взят из множества $\widetilde{\Omega}$. Этим и объясняется различие правых частей неравенств (14.8) и (14.9). Лемма доказана. Теорема 14.1. Пусть для натуральных чисел $\alpha$ и $\beta$ выполнены оценки (4.7) и (6.1). Тогда верно следующее. 1. Пусть выполнены условия (11.11), (13.5) и $M_4=2^{\alpha}$. Тогда для любого обобщенного куба ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}[\mathscr{Q}, \mathscr{A}, \mathscr{L}]$ имеют место неравенства
$$
\begin{equation}
\sum_{1\leqslant \mathbf{p}< 2^{\alpha}}|\mathfrak{N}^{(\Omega_3)}_{\mathbf{p},0,0}| \ll \frac{|\Omega|^2}{|\Omega_3|}2^{-\beta\Delta_{\mathbf{A}}}\mathscr{A}\mathscr{L}\Lambda,
\end{equation}
\tag{14.10}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{1\leqslant\mathbf{p}<2^{\alpha}} \sum_{\substack{|t|,|T|\leqslant P_{\mathbf{u}}\colon \\ |t|+|T|>0}} |\mathfrak{N}^{(\Omega_3)}_{\mathbf{p},t,T}| \ll\mathscr{L}\frac{|\Omega|^2}{|\Omega_3|}\mathscr{Q}^2\frac{2^{\alpha(4-2\Delta_{\mathbf{A}}) +\beta(2-\Delta_{\mathbf{A}})}\Lambda}{(M_1)^2}.
\end{equation}
\tag{14.11}
$$
2. Если же выполнена оценка (14.7), то имеют место неравенства
$$
\begin{equation}
\sum_{1\leqslant\mathbf{p}< 2^{\alpha}}|\mathfrak{N}_{\mathbf{p},0,0}| \ll|Z|\,|\Omega|^22^{-(\alpha+\beta)\Delta_{\mathbf{A}}}\Lambda,
\end{equation}
\tag{14.12}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{1\leqslant\mathbf{p}<2^{\alpha}} \sum_{\substack{|t|, |T|\leqslant P_{\mathbf{u}}\colon \\ |t|+|T|>0}} |\mathfrak{N}_{\mathbf{p},t,T}| \ll\mathscr{L}|\Omega|^2\mathscr{Q}^2\frac{2^{\alpha(4-2\Delta_{\mathbf{A}}) +\beta(2-\Delta_{\mathbf{A}})}\Lambda}{(M_1)^2}.
\end{equation}
\tag{14.13}
$$
Доказательство. Для доказательства (14.10) применим неравенство (14.6). Для оценки второго слагаемого в этой формуле учтем, что вектор $\binom{x_4}{X_4}$ можно выбрать $|\Omega_4|$ способами, число $\theta$ – $|Z|$ вариантами, в то время как число $a'$ однозначно определено сравнениями по модулю $q$ в силу взаимной простоты чисел $x_4$ и $X_4$. Таким образом, поскольку $|\Omega_2|\,|\Omega_3|\,|\Omega_4|=|\Omega|$ (из-за независимости множителей в разложении ансамбля), то неравенство (14.6) приводит к оценке
$$
\begin{equation}
\sum^{2^{\alpha}-1}_{\mathbf{p}=1}|\mathfrak{N}^{(\Omega_3)}_{\mathbf{p},0,0}| \ll \frac{|\Omega|^2}{|\Omega_3|}2^{-\beta\Delta_{\mathbf{A}}}\mathscr{A}\mathscr{L}\Lambda +\Lambda|\Omega|\,|Z|.
\end{equation}
\tag{14.14}
$$
Найдем условие, при котором второе слагаемое в (14.14) будет не больше первого. Запишем неравенство между ними: пусть
$$
\begin{equation}
|\Omega|\,|Z| \ll\frac{|\Omega|^2}{|\Omega_3|}2^{-\beta\Delta_{\mathbf{A}}}\mathscr{A}\mathscr{L}.
\end{equation}
\tag{14.15}
$$
Поскольку $Z$ – обобщенный куб, то $|Z|=\mathscr{Q}\mathscr{A}\mathscr{L}$. Следовательно, (14.15) приводит к равносильному неравенству
$$
\begin{equation}
\mathscr{Q} \ll|\Omega_2|\,|\Omega_4|2^{-\beta\Delta_{\mathbf{A}}}\ll|\Omega_4|\Lambda
\end{equation}
\tag{14.16}
$$
в силу теоремы 6.1. Поскольку $\mathscr{Q}\leqslant 2^{\alpha}$ и $|\Omega_4|\geqslant (M_4)^{2\Delta_{\mathbf A}}\Lambda$ (также из теоремы 6.1), то достаточным условием выполнения неравенства $\mathscr{Q}\ll|\Omega_4|\Lambda$ из (14.16) будет $M_4\gg2^{{\alpha}/{2\Delta_{\mathbf A}}}\tau$. Но в условиях теоремы выполнено более сильное условие $M_4=2^{\alpha}$. Поэтому из двух слагаемых в оценке (14.14) следует оставить только первое из них. Другими словами, выполнена оценка (14.10).
Далее, оценка (14.13) получается при подстановке оценок (12.13), (14.8) и (14.9) в неравенство (11.16). Аналогично, оценка (14.11) получается при подстановке оценок (12.13), (13.7) и (13.6) в неравенство (11.17). Наконец, неравенство (14.12) содержится в [16; теорема 11.1]. Теорема доказана. § 15. Применение доказанных вспомогательных результатов15.1. Анализ малых дугВ этом пункте мы рассмотрим случай Лемма 15.1 (см. [16; лемма 12.1]). Пусть для некоторого алфавита $\mathbf{A}$, для $\alpha,\beta\in\mathbb{N}$ при ${1}/{2}<\Delta_{\mathbf{A}}< {4}/{5}$ и непустого множества $Z\subseteq\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}$ не выполнена оценка (4.9). Тогда имеет место оценка Следовательно, всюду далее оценку (15.2) можно считать выполненной. Кроме того, оценку
$$
\begin{equation}
2^{(\alpha+\beta) \Delta_{\mathbf{A}}}\gg (M_1)^{2-2 \Delta_{\mathbf{A}}}\tau
\end{equation}
\tag{15.3}
$$
можно для числа $M_1$ считать необходимой для доказательства неравенства (9.4) в рамках этого пункта, так как мы планируем далее для оценки величины $\sum_{1\leqslant \mathbf{p}< 2^{\alpha}}|\mathfrak{N}_{\mathbf{p},0,0}|$ использовать именно неравенство (14.12). В дальнейшем вместо неравенства (6.1) будем рассматривать неравенство
$$
\begin{equation}
2^{\beta}\tau \ll M_1 \leqslant\min\{2^{10(\alpha+ \beta)},N\tau^{-1}\}.
\end{equation}
\tag{15.4}
$$
Возможность такой замены обосновывается тем, что оценка $M_1\geqslant 3300A^22^{\beta}$, содержащаяся в неравенстве (6.1), следует из требования $M_1\geqslant 2^{\beta}\tau $, имеющегося в неравенстве (15.4), для всех достаточно больших значений $\alpha+ \beta$. Лемма 15.2. Пусть выполнено неравенство и пусть найдется функция $\tau=\tau(\alpha,\beta)>0$ из (4.4) такая, что для каждого достаточно большого натурального $N$ для любых $\alpha,\beta\in\mathbb{N}$, удовлетворяющих неравенствам (4.7), (15.1) и (15.2), и для любых целых параметров $\mathscr{Q}$ и $\mathscr{A}$ из интервала $(0,2^{\alpha})$ найдется число $M_1$, для которого выполнены оценки (14.7), (15.3), (15.4) и хотя бы один из двух следующих наборов неравенств: 1)
$$
\begin{equation}
(M_1)^{2\Delta_{\mathbf{A}}}\gg\frac{2^{4\alpha+2\beta}}{\mathscr{Q}\mathscr{A}}\tau;
\end{equation}
\tag{15.6}
$$
2) (12.1) вместе с
$$
\begin{equation}
(M_1)^{2\Delta_{\mathbf{A}}}\gg\mathscr{Q}\mathscr{A}2^{\alpha(4-4\Delta_{\mathbf{A}}) +\beta(2-\Delta_{\mathbf{A}})}\tau.
\end{equation}
\tag{15.7}
$$
Тогда при любом целом значении параметра $\mathscr{L}$ из интервала $0<\mathscr{L}< 2^{\beta}$ для произвольного обобщенного куба ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}[\mathscr{Q},\mathscr{A},\mathscr{L}]$ при любых достаточно малых $\varepsilon_0 \in(0,0.0004)$ и $\varepsilon>0$ оценка (9.4) выполнена. Доказательство. Оценки (14.7) и (12.1) являются частями условий теорем 14.1 и 12.1 соответственно.
Наличие оценок (4.7), (15.1) и (15.4) (вместо (6.1)) объясняется условиями теоремы 11.1. При подстановке неравенств (15.6) и (15.7) в оценки (11.6) и (12.11) соответственно получаем неравенство (9.4). Таким образом, достаточность выполнения двух рассмотренных наборов неравенств следует из теорем 11.1, 12.1 и 14.1. Лемма доказана. Лемма 15.3. Утверждение леммы 15.2 останется верным, если при выполнении требований (4.7), (15.1), (15.2) и (15.5) остальные оценки в ее условиях заменить на следующие две (из которых должна быть выполнена хотя бы одна): Доказательство. Решим неравенства из леммы 15.2 относительно $M_1$, составляя из ответов двусторонние неравенства. Реализация этой идеи в случае каждого из двух наборов неравенств приводит соответственно к неравенствам
$$
\begin{equation}
\max\bigl\{2^{\beta},\, 2^{\frac{2\alpha+\beta}{\Delta_{\mathbf{A}}}} (\mathscr{Q}\mathscr{A})^{\frac{-1}{2\Delta_{\mathbf{A}}}}\bigr\} \tau\ll M_1 \ll\min\bigl\{2^{10(\alpha+\beta) }, \,2^{\frac{(\alpha+\beta) \Delta_{\mathbf{A}}}{2-2\Delta_{\mathbf{A}}}}, \,2^{\frac{-\alpha-\beta}{2}}N\bigr\} \tau^{-1},
\end{equation}
\tag{15.10}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\max\bigl\{2^{\beta}(\mathscr{Q}\mathscr{A})^{\frac{1}{2\Delta_{\mathbf{A}}}} 2^{\alpha\frac{2-2\Delta_{\mathbf{A}}}{\Delta_{\mathbf{A}}} +\beta\frac{2-\Delta_{\mathbf{A}}}{2\Delta_{\mathbf{A}}}}\bigr\} \tau \ll M_1 \\ &\qquad \ll\min\bigl\{2^{10(\alpha+\beta) }, \,2^{\frac{(\alpha+\beta) \Delta_{\mathbf{A}}}{2-2\Delta_{\mathbf{A}}}}, \,2^{\frac{-2\alpha-\beta}{2}}N\bigr\} \tau^{-1}. \end{split}
\end{equation}
\tag{15.11}
$$
Покажем, что вторые элементы минимумов в (15.10) и (15.11) меньше, чем первые из них. Для этого достаточно проверить оценку $10>\Delta_{\mathbf{A}}/(2-2\Delta_{\mathbf{A}})$: она вытекает из условия $\Delta_{\mathbf{A}} <20/21$, следующего из (15.5). Таким образом, первые элементы минимумов в (15.10) и (15.11) можно отбросить.
В каждом из полученных из (15.10) и (15.11) неравенств (упрощенных на один элемент каждое) имеем право опустить среднюю часть $M_1$. Действительно, число $M_1$ со свойствами из леммы 15.2 найдется, если максимум из ограничений на $M_1$ снизу окажется меньше, чем минимум из ограничений сверху. Покажем теперь, что первые элементы максимумов в полученных из (15.10) и (15.11) неравенствах также можно отбросить. Действительно, сравнение этих элементов с оставшимися элементами минимумов в (15.10) и (15.11) приводит к требованию проверки неравенств
$$
\begin{equation}
2^{\beta}\ll2^{\frac{(\alpha+\beta) \Delta_{\mathbf{A}}}{2-2\Delta_{\mathbf{A}}}}\tau^{-1}, \qquad 2^{\beta}\ll2^{-\alpha-\beta/2}N\tau^{-1}.
\end{equation}
\tag{15.12}
$$
Применяя второе из неравенств (4.7), получаем, что для проверки неравенств (15.12) достаточно соответственно получить оценки
$$
\begin{equation}
2^{\beta(2-2\Delta_{\mathbf{A}})}\ll2^{(\alpha+\beta) \Delta_{\mathbf{A}}}\tau^{-1}, \qquad 2^{\beta}\ll2^{-\alpha-\beta/2}2^{2(\alpha+\beta)}\tau^{-1}.
\end{equation}
\tag{15.13}
$$
Второе из неравенств в (15.13) сразу следует из положительности чисел $\alpha$ и $\beta$; первое же из них после упрощения сводится к оценке
$$
\begin{equation*}
2^{\beta(2-3\Delta_{\mathbf{A}})}\ll2^{\alpha\Delta_{\mathbf{A}}}\tau^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
следующей из (15.5).
Для окончания доказательства достаточно каждое из неравенств, полученных из (15.10) и (15.11), возвести в степень $2\Delta_{\mathbf{A}}$. Тогда получим неравенства (15.8) и (15.9). Лемма доказана. Лемма 15.4. При условиях (4.7), (15.1), (15.2) и (15.5) остальные неравенства леммы 15.2 можно заменить следующими двумя оценками (которые должны быть выполнены одновременно): Доказательство. Неравенства предыдущей леммы решим относительно числа $\mathscr{Q}\mathscr{A}$, тогда получим следующие два набора неравенств (из которых должен быть выполнен хотя бы один):
1) $2^{\alpha\frac{-(\Delta_{\mathbf{A}})^2-4\Delta_{\mathbf{A}}+4}{1-\Delta_{\mathbf{A}}} +\beta\frac{-(\Delta_{\mathbf{A}})^2-2\Delta_{\mathbf{A}}+2}{1-\Delta_{\mathbf{A}}}}\tau \ll\mathscr{Q}\mathscr{A}$, $2^{\alpha(\Delta_{\mathbf{A}}+4)+\beta(\Delta_{\mathbf{A}}+2)}N^{-2\Delta_{\mathbf{A}}}\tau \ll\mathscr{Q}\mathscr{A}$; 2) $\mathscr{Q}\mathscr{A}\ll2^{\alpha\frac{-3(\Delta_{\mathbf{A}})^2+8\Delta_{\mathbf{A}}-4} {1-\Delta_{\mathbf{A}}}+\beta\frac{3\Delta_{\mathbf{A}}-2}{1-\Delta_{\mathbf{A}}}}\tau^{-1}$, $\mathscr{Q}\mathscr{A}\ll2^{\alpha(2\Delta_{\mathbf{A}}-4)-2\beta}N^{ {2\Delta_{\mathbf{A}}}}\tau^{-1}$. Составим неравенства из верхних и нижних оценок величины $\mathscr{Q}\mathscr{A}$ из этих наборов, при необходимости умножая их на общий знаменатель дробей в показателях степеней, равный $1-\Delta_{\mathbf{A}}$. Это приводит к следующим четырем неравенствам (которые должны быть выполнены одновременно):
$$
\begin{equation}
\begin{split} &2^{\alpha(-(\Delta_{\mathbf{A}})^2-4\Delta_{\mathbf{A}}+4) +\beta(-(\Delta_{\mathbf{A}})^2-2\Delta_{\mathbf{A}}+2)} \\ &\qquad\ll2^{\alpha(-3(\Delta_{\mathbf{A}})^2+8\Delta_{\mathbf{A}}-4) +\beta(3\Delta_{\mathbf{A}}-2)}\tau^{-1}; \end{split}
\end{equation}
\tag{15.16}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &2^{\alpha(-(\Delta_{\mathbf{A}})^2-4\Delta_{\mathbf{A}}+4) +\beta(-(\Delta_{\mathbf{A}})^2-2\Delta_{\mathbf{A}}+2)} \\ &\qquad\ll\frac{2^{\alpha(-2(\Delta_{\mathbf{A}})^2+6\Delta_{\mathbf{A}}-4) -\beta(2-2\Delta_{\mathbf{A}})}N^{{-2(\Delta_{\mathbf{A}})^2+2\Delta_{\mathbf{A}}}}}{\tau}; \end{split}
\end{equation}
\tag{15.17}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \frac{2^{\alpha(-(\Delta_{\mathbf{A}})^2-3\Delta_{\mathbf{A}}+4)+\beta(-(\Delta_{\mathbf{A}})^2-\Delta_{\mathbf{A}}+2)}} {N^{2\Delta_{\mathbf{A}}-2(\Delta_{\mathbf{A}})^2}} \ll2^{\alpha(-3(\Delta_{\mathbf{A}})^2+8\Delta_{\mathbf{A}}-4)+\beta(3\Delta_{\mathbf{A}}-2)}\tau^{-1};
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
2^{\alpha(\Delta_{\mathbf{A}}+4)+\beta(\Delta_{\mathbf{A}}+2)}N^{-2\Delta_{\mathbf{A}}} \ll2^{\alpha(2\Delta_{\mathbf{A}}-4)-2\beta}N^{ {2\Delta_{\mathbf{A}}}}\tau^{-1}.
\end{equation}
\tag{15.18}
$$
Третье неравенство из этого списка следует исключить, так как оно слабее второго (что проверяется решением двух пропорций, соответствующих этим неравенствам). В оставшихся неравенствах (15.16), (15.17) и (15.18) сгруппируем множители по степеням чисел $2$ или $N$, тогда получим неравенства
$$
\begin{equation}
2^{\alpha(2(\Delta_{\mathbf{A}})^2-12\Delta_{\mathbf{A}}+8)+\beta(-(\Delta_{\mathbf{A}})^2-5\Delta_{\mathbf{A}}+4)}\tau\ll1,
\end{equation}
\tag{15.19}
$$
$$
\begin{equation}
2^{\alpha((\Delta_{\mathbf{A}})^2-10\Delta_{\mathbf{A}}+8)+\beta(-(\Delta_{\mathbf{A}})^2-4\Delta_{\mathbf{A}}+4)}\tau\ll N^{{-2(\Delta_{\mathbf{A}})^2+2\Delta_{\mathbf{A}}}},
\end{equation}
\tag{15.20}
$$
$$
\begin{equation}
2^{\alpha(-\Delta_{\mathbf{A}}+8)+\beta(\Delta_{\mathbf{A}}+4)}\tau\ll N^{4\Delta_{\mathbf{A}}}.
\end{equation}
\tag{15.21}
$$
Требование (15.19) следует отбросить как выполненное автоматически при условии (15.5), поскольку многочлены в показателе степени отрицательны. В неравенства (15.20) и (15.21) следует подставить оценку (15.2), в первом случае сокращая показатели на $(1-\Delta_{\mathbf{A}})$, а во втором возводя в степень $(1-\Delta_{\mathbf{A}})$ для ликвидации знаменателей в показателях степеней. Тогда получим список из двух условий – (15.14) и (15.15).
Лемма доказана. Лемма 15.5. Неравенства (15.14) и (15.15) из леммы 15.4 можно заменить требованием одновременного выполнения неравенств Доказательство. Логарифмируем оценки (15.14) и (15.15):
$$
\begin{equation}
\nonumber \alpha((\Delta_{\mathbf{A}})^2-10\Delta_{\mathbf{A}}+8)+\beta(-(\Delta_{\mathbf{A}})^2-4\Delta_{\mathbf{A}}+4)+\log \tau
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad <\alpha(2\Delta_{\mathbf{A}}-1)\cdot2\Delta_{\mathbf{A}}+\beta(2\Delta_{\mathbf{A}}-1)\cdot2\Delta_{\mathbf{A}},
\end{equation}
\tag{15.24}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \alpha(-\Delta_{\mathbf{A}}+8)(1-\Delta_{\mathbf{A}} )+\beta(\Delta_{\mathbf{A}}+4)(1-\Delta_{\mathbf{A}} )+\log \tau
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad<\alpha\cdot4\Delta_{\mathbf{A}}(2\Delta_{\mathbf{A}}-1)+\beta\cdot4\Delta_{\mathbf{A}} (2\Delta_{\mathbf{A}}-1).
\end{equation}
\tag{15.25}
$$
Положим $\tau=\tau_\alpha\tau_\beta$, где $\tau_\alpha=O(2^{c'\alpha})$, $\tau_\beta=O(2^{c'\beta})$ с некоторым $c'>0$. Перенося слагаемые из левых частей неравенств в правые и наоборот и добавляя средние части вида $\dotsb<0\leqslant \dotsb$, из (15.24) и (15.25) получим
$$
\begin{equation}
\nonumber \beta((-(\Delta_{\mathbf{A}})^2-4\Delta_{\mathbf{A}}+4)-(2\Delta_{\mathbf{A}}-1)(2\Delta_{\mathbf{A}}))+\log \tau_\beta<0
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad<\log \tau_\alpha+\alpha((2\Delta_{\mathbf{A}}-1)(2\Delta_{\mathbf{A}})-((\Delta_{\mathbf{A}})^2-10\Delta_{\mathbf{A}}+8)),
\end{equation}
\tag{15.26}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \beta((\Delta_{\mathbf{A}}+4)(1-\Delta_{\mathbf{A}})-(2\Delta_{\mathbf{A}}-1)(4\Delta_{\mathbf{A}}))+\log \tau_\beta<0
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad<\log \tau_\alpha+\alpha((2\Delta_{\mathbf{A}}-1)(4\Delta_{\mathbf{A}})-(-\Delta_{\mathbf{A}}+8)(1-\Delta_{\mathbf{A}})).
\end{equation}
\tag{15.27}
$$
Отбрасывая в (15.26) и (15.27) положительные множители $\alpha $ и $\beta$ и упрощая, приходим к неравенствам (15.22) и (15.23).
Лемма доказана. Теорема 15.1. Пусть для числа $\Delta_{\mathbf{A}}<0.8$ строго выполнено неравенство (1.10). Тогда для каждого достаточно большого $N\in\mathbb{N}$, для любых $\alpha,\beta\in\mathbb{N}$, удовлетворяющих оценкам (4.7), (15.1) и (15.2), для любого обобщенного куба ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}[\mathscr{Q}, \mathscr{A}, \mathscr{L}]$ оценка (9.4) выполнена для любых достаточно малых $\varepsilon_0 \in (0,0.0004)$ и $\varepsilon>0$ с некоторым $\tau$ при некотором $M_1$ из (6.1). Доказательство следует непосредственно из леммы 15.5, если решить квадратичные неравенства из условия последней: при выполнении оценки (1.10) все эти неравенства выполнены. Поэтому оценка (9.4) выполнена на основании лемм 15.2–15.5. 15.2. Анализ больших дугТеперь рассмотрим случай невыполнения неравенства (15.1). От величины $M_1$ далее потребуем выполнения хотя бы одной из двух оценок, (15.3) или
$$
\begin{equation}
(M_1)^{2-2\Delta_{\mathbf{A}}}\tau\ll2^{\beta\Delta_{\mathbf{A}}}\mathscr{Q},
\end{equation}
\tag{15.28}
$$
при справедливости которых доказательство неравенства (9.5) опирается на оценку величины $\sum_{1\leqslant\mathbf{p}< 2^{\alpha}}|\mathfrak{N}_{\mathbf{p},0,0}|$ неравенством (14.12) или соответственно величины $\sum_{1\leqslant\mathbf{p}< 2^{\alpha}}|\mathfrak{N}^{(\Omega_3)}_{\mathbf{p},0,0}|$ неравенством (14.10). В последнем из этих двух случаев, строго говоря, следовало бы потребовать также выполнения неравенства (13.5). Однако из соображений целесообразности число $M_1$ никогда не выбирается бо́льшим, чем $2^{2\alpha+\beta}$ (рассуждение на эту тему применялось выше, перед формулой (11.7)), так что оно удовлетворяет оценке (13.5) с большим “запасом” из-за невыполнения неравенства (15.1). По той же причине условие (12.1) считается выполненным. По аналогичным причинам верхние оценки в неравенстве (15.4) (которое является упрощением требования (6.1)) не проверяются. В итоге неравенство (6.1) “редуцируется” до минимального требования Лемма 15.6. Пусть при выполнении требования (15.5) найдется функция $\tau=\tau(\alpha,\beta)>0$ из (4.4) такая, что для каждого достаточно большого натурального $N$, для любых $\alpha,\beta\in\mathbb{N}$, удовлетворяющих неравенству (4.7), но не удовлетворяющих неравенству (15.1), и для любых целых параметров $\mathscr{Q}$ и $\mathscr{A}$ из интервала $(0,2^{\alpha})$ найдется натуральное число $M_1$, для которого одновременно выполнено следующее: 1) имеет место оценка (15.29); 2) выполнена хотя бы одна из двух оценок, (15.3) или (15.28); 3) выполнено хотя бы одно из двух неравенств, (15.7) или
$$
\begin{equation}
(M_1)^{2\Delta_{\mathbf{A}}} \gg \frac{\mathscr{Q}2^{\alpha(4-2\Delta_{\mathbf{A}})+\beta(2-\Delta_{\mathbf{A}})}\tau}{\mathscr{A}}.
\end{equation}
\tag{15.30}
$$
Тогда при любом целом значении параметра $\mathscr{L}$ из интервала $0\,{<}\,\mathscr{L}\,{<}\,2^{\beta}$, для произвольного обобщенного куба ${Z}\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}[\mathscr{Q},\mathscr{A},\mathscr{L}]$, при любом $\varepsilon_0 \in(0,0.0004)$ выполнена оценка (9.5) или найдется разложение $\Omega=\Omega_2\Omega_3\Omega_4$, для которого выполнена оценка (9.22). Доказательство. Все оценки числа $M_1$ из формулировки леммы обсуждались перед ней заранее, за исключением двух из них: (15.7) и (15.30). Эти неравенства при подстановке в оценки (12.11) и (14.11) дают (9.5), а при подстановке в оценки (12.12) и (14.13) получается (9.22). Для существования нужного разложения ансамбля полагаем $M_4=2^{\alpha}$.
Таким образом, достаточность выполнения перечисленных неравенств следует из теорем 12.1 и 14.1. Лемма доказана. Лемма 15.7. Утверждение леммы 15.6 останется верным, если при выполнении требования (15.5) все остальные оценки в ее условиях заменить следующими тремя (из которых должна быть выполнена хотя бы одна): Доказательство. Чтобы получить требования на верхнюю и нижнюю оценки величины $(M_1)^{2\Delta_{\mathbf{A}}(1-\Delta_{\mathbf{A}})}$, достаточно неравенства из леммы 15.6 возвести в степени $\Delta_{\mathbf{A}}$ или $1-\Delta_{\mathbf{A}}$. Тогда получим требование выполнения оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\max\biggl\{2^{\beta\Delta_{\mathbf{A}}(1-\Delta_{\mathbf{A}})}, \min\biggl\{\frac{\mathscr{Q}^{1-\Delta_{\mathbf{A}}}2^{\alpha(4-2\Delta_{\mathbf{A}})(1-\Delta_{\mathbf{A}}) +\beta(2-\Delta_{\mathbf{A}})(1-\Delta_{\mathbf{A}})}}{\mathscr{A}^{1-\Delta_{\mathbf{A}}}}, \\ &\qquad\qquad \notag \mathscr{Q}^{1-\Delta_{\mathbf{A}}}\mathscr{A}^{1-\Delta_{\mathbf{A}}}2^{\alpha(4-4\Delta_{\mathbf{A}}) (1-\Delta_{\mathbf{A}})+\beta(2-\Delta_{\mathbf{A}})(1-\Delta_{\mathbf{A}})}\biggr\} \biggr\}\tau \\ &\qquad \ll(M_1)^{2\Delta_{\mathbf{A}}(1-\Delta_{\mathbf{A}})}\ll\max\{2^{\alpha(\Delta_{\mathbf{A}})^2+ \beta(\Delta_{\mathbf{A}})^2},\,\,\, 2^{\beta(\Delta_{\mathbf{A}})^2}\mathscr{Q}^{\Delta_{\mathbf{A}}}\} \tau^{-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15.34}
$$
Первый элемент максимума из нижней оценки в (15.34) можно отбросить; для этого достаточно показать, что он не больше верхней оценки в (15.34). Последнее сразу следует из неравенства (15.5). Сравнивая оставшиеся нижние и верхние оценки величины $(M_1)^{2\Delta_{\mathbf{A}}(1-\Delta_{\mathbf{A}})}$ из неравенства (15.34), приходим к достаточности выполнения хотя бы одного из неравенств
$$
\begin{equation}
\mathscr{Q}^{1-\Delta_{\mathbf{A}}}2^{\alpha(2(\Delta_{\mathbf{A}})^2-6\Delta_{\mathbf{A}}+4) +\beta((\Delta_{\mathbf{A}})^2-3\Delta_{\mathbf{A}}+2)}\tau \ll2^{\alpha(\Delta_{\mathbf{A}})^2+\beta(\Delta_{\mathbf{A}})^2}\mathscr{A}^{1-\Delta_{\mathbf{A}}},
\end{equation}
\tag{15.35}
$$
$$
\begin{equation}
\mathscr{Q}^{1-\Delta_{\mathbf{A}}}2^{\alpha(2(\Delta_{\mathbf{A}})^2-6\Delta_{\mathbf{A}}+4) +\beta((\Delta_{\mathbf{A}})^2-3\Delta_{\mathbf{A}}+2)}\tau \ll2^{\beta(\Delta_{\mathbf{A}})^2}\mathscr{Q}^{\Delta_{\mathbf{A}}}\mathscr{A}^{1-\Delta_{\mathbf{A}}},
\end{equation}
\tag{15.36}
$$
$$
\begin{equation}
\mathscr{Q}^{1-\Delta_{\mathbf{A}}}\mathscr{A}^{1-\Delta_{\mathbf{A}}}2^{\alpha(4(\Delta_{\mathbf{A}})^2-8\Delta_{\mathbf{A}}+4) +\beta((\Delta_{\mathbf{A}})^2-3\Delta_{\mathbf{A}}+2)}\tau\ll2^{\alpha(\Delta_{\mathbf{A}})^2 +\beta(\Delta_{\mathbf{A}})^2}.
\end{equation}
\tag{15.37}
$$
Действительно, в этом случае для величины $(M_1)^{ \Delta_{\mathbf{A}} (1-\Delta_{\mathbf{A}})}$ найдется непустой интервал, внутри которого ее можно выбрать. Тогда будет доказано существование числа $M_1$. Группируя элементы неравенств (15.35)–(15.37) по степеням величин $\mathscr{A}$, $\mathscr{Q}$ или $2$, приходим к оценкам (15.31)–(15.33).
Лемма доказана. Лемма 15.8. Три оценки из условий леммы 15.7 можно заменить одной: Доказательство. Потребуем, чтобы верхнее ограничение из леммы 15.7 на величину $\mathscr{A}^{1-\Delta_{\mathbf{A}}}$ было не меньше, чем хотя бы одно из нижних: в этом случае всякое число $\mathscr{A}$ удовлетворяет хотя бы одному из этих ограничений. Отсюда получим достаточность выполнения хотя бы одного из двух неравенств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathscr{Q}^{1-\Delta_{\mathbf{A}}}2^{\alpha((\Delta_{\mathbf{A}})^2-6\Delta_{\mathbf{A}}+4) +\beta(2-3\Delta_{\mathbf{A}})}\tau \ll\mathscr{Q}^{\Delta_{\mathbf{A}}-1}2^{\alpha(-3(\Delta_{\mathbf{A}})^2+8\Delta_{\mathbf{A}}-4)+\beta(-2+3\Delta_{\mathbf{A}})}, \\ \mathscr{Q}^{1-2\Delta_{\mathbf{A}}}2^{\alpha(2(\Delta_{\mathbf{A}})^2-6\Delta_{\mathbf{A}}+4)+\beta(2-3\Delta_{\mathbf{A}})}\tau \ll\mathscr{Q}^{\Delta_{\mathbf{A}}-1}2^{\alpha(-3(\Delta_{\mathbf{A}})^2+8\Delta_{\mathbf{A}}-4)+\beta(-2+3\Delta_{\mathbf{A}})}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Упростим два последних неравенства, группируя степени по основаниям $2$ или $\mathscr{Q}$. Тогда получим достаточность выполнения хотя бы одной из двух оценок
$$
\begin{equation}
\mathscr{Q}^{1-\Delta_{\mathbf{A}}}\tau\ll2^{\alpha(-2(\Delta_{\mathbf{A}})^2+7\Delta_{\mathbf{A}}-4)+\beta(-2+3\Delta_{\mathbf{A}})},
\end{equation}
\tag{15.39}
$$
$$
\begin{equation}
2^{\alpha(5(\Delta_{\mathbf{A}})^2-14\Delta_{\mathbf{A}}+8)}2^{\beta(4-6\Delta_{\mathbf{A}})}\tau\ll\mathscr{Q}^{3\Delta_{\mathbf{A}}-2}.
\end{equation}
\tag{15.40}
$$
Решим неравенства (15.39) и (15.40) относительно $\mathscr{Q}$ и сравним нижнюю оценку этой величины с верхней, тогда получим требование выполнения неравенства
$$
\begin{equation}
2^{\alpha\frac{5(\Delta_{\mathbf{A}})^2-14\Delta_{\mathbf{A}}+8}{3\Delta_{\mathbf{A}}-2}} 2^{-2\beta}\tau\ll2^{\alpha\frac{-2(\Delta_{\mathbf{A}})^2+7\Delta_{\mathbf{A}}-4}{1-\Delta_{\mathbf{A}}} +\beta\frac{-2+3\Delta_{\mathbf{A}}}{1-\Delta_{\mathbf{A}}}}.
\end{equation}
\tag{15.41}
$$
Если оценка (15.41) выполнена, то всякое число $\mathscr{Q}$ удовлетворяет хотя бы одному из неравенств (15.39) или (15.40). Группируя в неравенстве (15.41) множители по степеням чисел $2^{\alpha}$ и $2^{\beta}$ и логарифмируя по основанию 2, получаем оценку (15.38).
Лемма доказана. Теорема 15.2. Пусть для числа $\Delta_{\mathbf{A}}<0.8$ выполнено неравенство $\Delta_{\mathbf{A}}>3- \sqrt{5}=0.7639\dots$ . Тогда для каждого достаточно большого натурального $N$, для любых натуральных $\alpha$ и $\beta$, удовлетворяющих неравенству (4.7), но не удовлетворяющих оценке (15.1), для любого обобщенного куба $Z\in P_{\mathfrak{P}_{\alpha,\beta}}[\mathscr{Q},\mathscr{A},\mathscr{L}]$, для любого достаточно малого $\varepsilon_0 \in (0,0.0004)$ найдется разложение $\Omega=\Omega_2\Omega_3\Omega_4$, для которого с некоторым $\tau$ выполнены оценки (9.5) или (9.22). Доказательство можно вывести из леммы 15.8, если учесть, что коэффициент при $\beta$ в неравенстве (15.38) положителен, а коэффициент при $\alpha$ отрицателен как раз при $\Delta_{\mathbf{A}}>3-\sqrt{5}$. Следовательно, поскольку $\alpha$ и $\beta$ положительны, то в условиях теоремы требование (15.38) может быть отброшено как выполненное. Поэтому теорема следует из лемм 15.6–15.8. § 16. Доказательство основных теоремДля случая $\Delta_{\mathbf{A}}\geqslant0.8$ соответствующие результаты (формулы (1.6)–(1.8)) содержатся в [16; теорема 1.4]. Пусть теперь $\Delta_{\mathbf{A}}\,{<}\,0.8$. Тогда в силу теорем 9.2 и 15.2 достаточным условием справедливости каждой из основных теорем (за исключением второй части теоремы 1.6) является выполнение неравенства (9.4). Предположим, что неравенства (1.10) или (1.11) выполнены строго. Тогда в условиях теоремы 1.4 неравенство (9.4) доказано в теореме 15.1, ввиду чего теорема 1.4 доказана (при условии строгости (1.10)). Для первой части теоремы 1.6 неравенство (9.4) выполнено по другой причине, а именно ввиду оценки (1.12) (этот вопрос обсуждался в замечаниях 1.2 и 9.1). Первая часть теоремы 1.6 также доказана (при условии строгости (1.11)). Выведем неравенство (9.4) и для теоремы 1.5. В силу доказанной части теоремы 1.4 достаточно предполагать выполненным неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{\sqrt{40}-4}3-{C}(\log N)^{-1}<\Delta_{\mathbf{A}}\leqslant\frac{\sqrt{40}-4}3=0.7748\dots
\end{equation}
\tag{16.1}
$$
с некоторым $C$, которое можно выбрать с учетом следующих соображений. Рассмотрим неравенство (15.14) из леммы 15.4 и преобразуем его так же, как в доказательстве леммы 15.5, но не добавляя среднюю часть вида $\dotsb\,{<}\,0\,{\leqslant}\, \dotsb$ и не отбрасывая множители $\alpha$ и $\beta$. Тогда неравенство (15.14) преобразуется последовательно к неравенствам, аналогичным формулам (15.24), (15.26) и, наконец, (15.22). Последняя из них примет вид
$$
\begin{equation}
\beta(-5(\Delta_{\mathbf{A}})^2-2\Delta_{\mathbf{A}}+4)+\log \tau\leqslant\alpha(3(\Delta_{\mathbf{A}})^2+8\Delta_{\mathbf{A}}-8).
\end{equation}
\tag{16.2}
$$
Таким образом, согласно произведенным поправкам к лемме 15.5 оценка (9.4) доказана при выполнении двух неравенств, (16.2) и (15.23) (последнее, впрочем, при условии (16.1) выполнено). Найдем условие, достаточное для выполнения оценки (16.2). Для случая $\Delta_{\mathbf{A}}<(\sqrt{40} -4)/3$ рассмотрим следующую цепочку оценок (учтем, что обе части неравенства (16.2) в рассматриваемом случае отрицательны):
$$
\begin{equation}
\frac{\alpha}{\beta}\leqslant\alpha<\frac{\log N}{\log 2} <\frac{-5(\Delta_{\mathbf{A}})^2-2\Delta_{\mathbf{A}}+4}{3(\Delta_{\mathbf{A}})^2+8\Delta_{\mathbf{A}}-8} \leqslant O\biggl(\frac{1}{(\sqrt{40}-4)/3-\Delta_{\mathbf{A}}}\biggr).
\end{equation}
\tag{16.3}
$$
Последнее неравенство формулы (16.3) справедливо в силу того, что одним из корней многочлена в знаменателе является число $(\sqrt{40}-4)/3$. Решая получающееся при этом неравенство относительно величины $\Delta_{\mathbf{A}}$, получаем нижнюю оценку из неравенства (16.1) с некоторым подходящим для нас значением $C$. Аналогично, неравенство (16.3) выполнено и при $\Delta_{\mathbf{A}}=(\sqrt{40}-4)/3$, так как его итоговая часть равна $+\infty$. Этим обеспечено выполнение оценки (9.4). Поэтому ввиду сказанного выше теорема 1.5 доказана. Доказана также теорема 1.4 при $\Delta_{\mathbf{A}}=(\sqrt{40}-4)/3$. Для доказательства теоремы 1.6 остается доказать выполнение оценок (9.5) или (9.22). Ввиду доказанной части теоремы 1.6 достаточно предполагать выполненным неравенство
$$
\begin{equation}
3-\sqrt{5}-{c}(\log N)^{-1}<\Delta_{\mathbf{A}}\leqslant3-\sqrt{5}.
\end{equation}
\tag{16.4}
$$
Упрощая неравенство (15.38), получаем
$$
\begin{equation}
\alpha((\Delta_{\mathbf{A}})^2-6\Delta_{\mathbf{A}}+4)+\log\tau<\beta(3\Delta_{\mathbf{A}}-2).
\end{equation}
\tag{16.5}
$$
Аналогично (16.3) получаем достаточное условие для выполнения оценки (16.5) при $\Delta_{\mathbf{A}} <3-\sqrt{5}$:
$$
\begin{equation}
\frac{\alpha}{\beta} \leqslant\alpha<\frac{\log N}{\log 2}<\frac{3\Delta_{\mathbf{A}}-2}{(\Delta_{\mathbf{A}})^2-6\Delta_{\mathbf{A}}+4} \leqslant O\biggl(\frac{1}{3-\sqrt{5}-\Delta_{\mathbf{A}}}\biggr).
\end{equation}
\tag{16.6}
$$
Последнее неравенство в (16.6) выполняется в силу того, что одним из корней многочлена в знаменателе является число $3-\sqrt{5}$. Решая получающееся при этом неравенство относительно величины $\Delta_{\mathbf{A}}$, получаем нижнюю оценку из неравенства (16.4). Аналогично, неравенство (16.6) выполнено и при $\Delta_{\mathbf{A}}=3-\sqrt{5}$, так как последний элемент в этой цепочке оценок равен $+\infty$. Таким образом, согласно лемме 15.8 выполняются оценки (9.5) или (9.22). Поэтому ввиду сказанного выше вторая часть теоремы 1.6 доказана. Доказана также первая часть теоремы 1.6 при $\Delta_{\mathbf{A}}=3-\sqrt{5}$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kan21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|