| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Степень отображения между Е. Грбичa, А. Вучичb a School of Mathematics, University of Southampton, Southampton, UK b Faculty of Mathematics, University of Belgrade, Belgrade, Serbia
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 10, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9436 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеОдин из самых первых числовых инвариантов непрерывного отображения – это его степень. Понятие степени возникло из подхода Гаусса к доказательству фундаментальной теоремы алгебры и было впервые формально определено Л. Э. Я. Брауэром в [4] для отображений между сферами. Л. Э. Я. Брауэр показал, что степень является гомотопическим инвариантом, и использовал ее для доказательства теоремы Брауэра о неподвижной точке. Л. Э. Я. Брауэр ввел в 1910–1912 гг. понятие степени еще до строгого определения гомологий, используя технику симплициальной аппроксимации. Степень сначала определяется для гладких отображений $f$ между многообразиями одной и той же размерности как алгебраическое число прообразов регулярного значения отображения $f$, а затем определение продолжается на непрерывные отображения с помощью гомотопической аппроксимации Милнора (см. [16]). Поначалу степень определялась технически сложно и лишь для небольшого класса отображений и пространств. Со временем класс пространств и отображений, для которых определялась степень, постепенно расширялся, а определение степени упрощалось, подчеркивая ее математическую сущность. Мы кратко изложим эволюцию понятия степени отображения. Для непрерывных отображений между связными ориентированными компактными триангулированными $n$-мерными многообразиями определение степени было дано Л. Э. Я. Брауэром в 1911 г. (см. [3] и [4]). Общепризнано, что именно Л. Э. Я. Брауэр был первым, кто ввел понятие степени, и поэтому ее часто называют степенью Брауэра. Определение степени в терминах гомологий является, пожалуй, наиболее элегантным. Рассмотрим отображение $f \colon M \to N$ между замкнутыми ориентированными $n$-мерными многообразиями и индуцированное отображение в гомологиях $f_*\colon H_*(M)\to H_*(N)$. Обозначим через $[M]$ и $[N]$ фундаментальные классы многообразий $M$ и $N$ соответственно, задаваемые их ориентациями. Тогда степень $\deg(f)$ отображения $f$ определяется как единственное целое число такое, что $f_*[M] = \deg(f) [N]$. Одним из основных вопросов, связанных с понятием степени отображения, является описание всевозможных значений степени отображений между двумя заданными ориентированными многообразиями, т.е. описание множества где $M$ и $N$ – замкнутые ориентированные многообразия одной размерности.Этот вопрос слишком сложен, чтобы дать общий ответ. В случае поверхностей ответ получен в работе [9]. Некоторые результаты получены для определенных классов трехмерных многообразий (см., например, [12], [20], [24], [28]) и в случае $n>3$ (см. [1], [6], [13], [15]). Ряд результатов можно получить для следующего класса многообразий:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V(n) &:= \{N\mid N\text{ - ориентированное замкнутое $(n-1)$-связное гладкое } \\ &\qquad\text{$2n$-мерное многообразие}\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Этот класс изучался в работах нескольких авторов (Т. Уолл [27], М. Фридман [10], Х.-Й. Бауэс [1]). Х. Дуаном и С. Вангом в [7], [8] были получены необходимые и достаточные условия существования отображения степени $d$ между многообразиями из класса $V(n)$ и описано множество $D(M,N)$ для некоторых семейств многообразий $M,N\in V(n)$. В работе [8] Х. Дуаном и С. Вангом разработан подход к проблеме в случае замкнутых ориентированных $(n-1)$-связных $2n$-мерных многообразий, основанный на теории гомотопий. Этот подход более естествен, поскольку степень является гомотопическим инвариантом, но у него есть и недостатки, связанные с отсутствием возможности использовать известные результаты для гладких многообразий. Х. Дуан и С. Ванг переформулировали результаты работы [7], используя произведения Уайтхеда, что привело к системе уравнений на степень $d$. Эта система не имеет решений тогда и только тогда, когда между данными многообразиями не существует отображения степени $d$. С другой стороны, каждое решение системы определяет гомотопический класс отображений степени $d$. Наш подход к изучению степени отображений также основывается на теории гомотопий и обеспечивает дальнейшее обобщение результатов на случай непрерывных отображений между топологическими пространствами из более широкого класса. Для $\mathrm{CW}$-комплекса $X$ пусть $\operatorname{sk}_n(X)$ обозначает его $n$-мерный остов. Для данного конечного $n\in\mathbb{N}$ мы определяем степень отображения между двумя $n$-мерными $\mathrm{CW}$-комплексами, каждый из которых имеет только одну $n$-мерную клетку. Например, можно говорить о степени отображения между связными комплексами Пуанкаре и, в частности, между связными многообразиями одной размерности. Обозначим через $\mathcal{T}^n$ класс $n$-мерных $\mathrm{CW}$-комплексов с одной $n$-мерной клеткой и фиксированным выбором образующей группы $H_n(X, \operatorname{sk}_{n-1}(X))$. Определение 1.1. Пусть $f\colon X\to Y$ – отображение между пространствами из класса $\mathcal{T}^n$. Скажем, что степень $\deg(f)$ отображения $f$ равна $d$, если существует коммутативная диаграмма корасслоений где $f_|$ – ограничение отображения $f$ на $\operatorname{sk}_{n-1}(X)$. Определение 1.2. Для любых двух $\mathrm{CW}$-комплексов $X,Y\in\mathcal{T}^n$ определим – множество всевозможных значений степени отображений из $X$ в $Y$. Общий вопрос состоит в том, чтобы описать множество $D(X,Y)$ для заданных пространств $X,Y\in\mathcal{T}^n$. Имеется ряд результатов, описывающих множество $D(M,N)$ в случае, когда $M$ и $N$ – многообразия, но в целом вопрос является сложным. Новизна нашего подхода к изучению степени отображений заключается в следующем: во-первых, мы изучаем степень отображений между комплексами Пуанкаре, а не только между многообразиями; во-вторых, мы рассматриваем отображения между нечетномерными многообразиями или комплексами Пуанкаре из некоторого семейства. До сих пор степень отображения всегда изучалась геометрическими методами, несмотря на то, что она является гомотопическим инвариантом. Наш подход является новым, поскольку используемые методы являются преимущественно теоретико-гомотопическими и заключаются в применении теоремы Хилтона–Милнора и подробном анализе дистрибутивности умножения справа относительно сложения. Геометрическая информация, содержащаяся в форме пересечения и числах зацепления многообразий, которая обычно используется при изучении степени отображения, интерпретируется нами в терминах аналогичной информации о произведениях Уайтхеда. Мы будем обозначать через $\mathcal Z_n$ (соответственно через $\mathcal J_n$) семейство всех $(n-1)$-связных $(2n+1)$-мерных комплексов Пуанкаре без $2$-кручения в гомологиях (соответственно без кручения в гомологиях). Наш основной результат (теорема 5.1) дает необходимые и достаточные алгебраические условия для существования отображения данной степени между комплексами Пуанкаре из семейства $\mathcal Z_n$. Более того, эта теорема позволяет описывать гомотопические классы отображений данной степени между комплексами Пуанкаре. Любая гомотопическая эквивалентность имеет степень $\pm 1$, но обратное неверно. Возникает вопрос об описании дополнительных условий, при которых отображение степени $\pm 1$ является гомотопической эквивалентностью. Аналогичный вопрос о том, когда отображение степени $1$ между гладкими многообразиями является диффеоморфизмом, был поставлен С. П. Новиковым в [21]. В теоремах 7.1 и 7.6 мы даем характеризацию гомотопической эквивалентности между комплексами Пуанкаре из семейств $\mathcal J_n$ и $\mathcal{Z}_n$ соответственно. Далее мы получаем гомотопическую классификации комплексов Пуанкаре без кручения в некоторых размерностях в теоремах 7.2–7.5 и комплексов Пуанкаре с кручением в предложениях 7.2–7.4. § 2. Комплексы Пуанкаре2.1. Комплексы Пуанкаре: определения и основные свойстваВ этой статье мы рассматриваем только односвязные $\mathrm{CW}$-комплексы и соответственно адаптируем определение комплекса Пуанкаре. Поэтому мы говорим, что односвязный $\mathrm{CW}$-комплекс $X$ является комплексом Пуанкаре формальной размерности $n$ (кратко: $n$-комплексом Пуанкаре), если выполнено условие двойственности Пуанкаре, т.е. существует класс гомологий $[X]\in H_n(X; \mathbb{Z})$, $\cap$-произведение с которым индуцирует изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\cap [X]\colon H^*(X;\mathbb{Z})\stackrel{\cong} {\to}H_{n-*}(X; \mathbb{Z}).
\end{equation*}
\notag
$$
Как показано Т. Уоллом в [26], односвязный $\mathrm{CW}$-комплекс $X$ является $n$-комплексом Пуанкаре тогда и только тогда, когда отображение $\cap$-умножения является изморфизмом для любого $\mathbb{Z}$-модуля $M$.Условие двойственности Пуанкаре накладывает некоторые ограничения на мультипликативную структуру в $H^*(X)$. Пусть $R$ – поле. Спаривание, задаваемое когомологическим ($\cup$-)произведением
$$
\begin{equation*}
H^{k}(X; R)\otimes H^{n-k}(X; R)\stackrel{\cup} {\to}H^{n}(X; R)\cong R,
\end{equation*}
\notag
$$
является невырожденным для любого $k$. Индуцированное спаривание над $\mathbb{Z}$,
$$
\begin{equation*}
H^{k}(X; \mathbb{Z})/\mathrm{Tors}\otimes H^{n-k}(X;\mathbb{Z})/\mathrm{Tors}\stackrel{\cup} {\to}\mathbb{Z},
\end{equation*}
\notag
$$
также является невырожденным для любого $k$, где $\mathrm{Tors}$ обозначает подгруппу кручения в соответствующей абелевой группе. 2.2. $(n-1)$-связные $(2n+1)$-комплексы Пуанкаре без $2$-крученияПусть $\mathcal Z_n$ обозначает семейство $(n-1)$-связных $(2n+1)$-комплексов Пуанкаре без $2$-кручения в гомологиях. Мы будем рассматривать случай $n\geqslant 3$. Введем некоторые обозначения. Будем обозначать через $\Sigma X$ пространство $S^1\wedge X$, которое гомотопически эквивалентно приведенной надстройке над $X$. Тогда надстройка над отображением $f\colon X\to Y$ есть отображение $\Sigma f \simeq 1 \wedge f\colon \Sigma X\simeq S^1\wedge X\stackrel{1\wedge f}{\to}S^1\wedge Y\simeq \Sigma Y$. Для $r\in \mathbb{N}$ обозначим через $P^{n+1}(r)$ пространство Мура по модулю $r$, т.е. кослой отображения $[r]\colon S^{n}\to S^{n}$ степени $r$. Клеточный цепной комплекс этого пространства Мура порожден двумя клетками $e^{n}$ и $e^{n+1}$, а граничный гомоморфизм задается формулой Мы имеем
$$
\begin{equation*}
S^{n+2}\cong \Sigma S^{n+1} \simeq S^1 \wedge S^{n+1}, \quad\text{следовательно, } \ e^{n+2}\equiv e^1 \otimes e^{n+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы также имеем гомотопическую эквивалентность
$$
\begin{equation*}
h\colon P^{n+2}(r) \to \Sigma P^{n+1}(r) \simeq S^1 \wedge P^{n+1}(r),
\end{equation*}
\notag
$$
переводящую старшую клетку пространства $P^{n+2}(r)$ в старшую клетку пространства $S^1\wedge P^{n+1}(r)$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
h(e^{n+2})=e^1 \otimes e^{n+1}, \qquad h(e^{n+1}) = - e^1 \otimes e^{n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы будем отождествлять пространства $P^{n+2}(r)$ и $\Sigma P^{n+1}(r)$ при помощи $h$. Итерируя эту процедуру, мы получаем гомотопическую эквивалентность и соотношения
$$
\begin{equation*}
h^m(e^{m+n+1})=e^m\otimes e^{n+1}, \qquad h^m(e^{m+n})= (-1)^m e^m\otimes e^{n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через включение $n$-мерного остова пространства Мура и обозначим через отображение стягивания, переводящее $n$-мерную клетку в отмеченную точку.Заметим, что Обозначим через $\rho \colon \mathbb{Z} /p^a \to \mathbb{Z} /p^b $ гомоморфизм приведения ($\rho (1)=1$) при $b \leqslant a$ или гомоморфизм расширения коэффициентов ($\rho (1)=p^{b-a}$) при $a \leqslant b$. Также через $\rho$ будем обозначать индуцированные отображения в гомологиях, когомологиях и гомотопических группах. Гомоморфизм $\rho$ также индуцирует отображение пространств Мура
$$
\begin{equation*}
\rho \in [P^n(p^a),P^n(p^b)] =: \pi_n(P^n(p^b);\mathbb{Z} /p^a).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу результатов [19; предложения 1.4.1. и 1.4.2 (d)] это отображение является образующей гомотопической группы $\pi_n(P^n(p^b);\mathbb{Z} /p^a)$ по модулю $p^a$. Для соответствующего отображения комплексов клеточных цепей мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \rho (e^n) = e^n, \quad \rho (e^{n-1}) = p^{b-a}e^{n-1}, \qquad a \leqslant b, \\ \rho (e^n) = p^{a-b}e^n, \quad \rho (e^{n-1}) = e^{n-1}, \qquad b \leqslant a. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для любых $a$, $b$ и $n$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
h^{-1}(\Sigma \rho )h = \rho \colon P^{n+1}(p^a) \to P^{n+1}(p^b),
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому мы можем отождествить $\Sigma \rho$ с $\rho$ при помощи $h$. Рассмотрим отображение $T\colon X \wedge Y \to Y \wedge X$, переставляющее сомножители. Заметим, что При $m+n>4$ и нечетном $(p^r,q^l)$ Дж. Нейзендорфером (см. [18; определение 6.5]) было определено отображение
$$
\begin{equation*}
\Delta \colon P^{n+m}((p^r,q^l)) \to P^n(p^r)\wedge P^m(q^l).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $p$ и $q$ являются различными простыми числами, то отображаемое пространство тривиально, как и отображение $\Delta$. Поэтому нам интересен лишь случай $p=q$. При $p^r=q^l$, т.е. при $r=l$, мы будем использовать обозначение $\Delta '$ вместо $\Delta$, чтобы выделить этот особый случай. В комплексах клеточных цепей мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Delta (e^{m+n}) = x^n \otimes y^m, \\ \Delta (e^{m+n-1}) = x^{n-1}\otimes y^m +(-1)^np^{l-r}x^n\otimes y^{m-1}, \qquad r \leqslant l, \\ \Delta (e^{m+n-1}) = p^{r-l}x^{n-1}\otimes y^m +(-1)^nx^n\otimes y^{m-1}, \qquad l \leqslant r. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\Delta = (1 \wedge \rho )\Delta '$ при $r \leqslant l$, а также $\Delta = (\rho \wedge 1)\Delta '$ при $l \leqslant r$. Диаграмма становится коммутативной при отображении в $H$-пространство. Ее первый квадрат коммутативен в силу [19; предложение 6.4.6, (a)], а коммутативность остальных квадратов проверяется непосредственно.Далее мы зафиксируем выбор образующих в гомологиях и когомологиях пространств Мура с различными коэффициентами. Выберем образующую $x\,{\in}\, H_{n}(S^{n}; \mathbb{Z})$. При вложении $S^{n}\to P^{n+1}(p^r)$ образующая $x$ переходит в образующую группы $H_{n}(P^{n+1}(p^r); \mathbb{Z} )$, которую мы также будем обозначать через $x$. Пусть $x^a \in H_{n}(P^{n+1}(p^r); \mathbb{Z} /p^a)$ – образ $x$ при гомоморфизме приведения $\rho _a \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} /p^a$. Пусть $z^a \in H^{n}(P^{n+1}(p^r); \mathbb{Z} /p^a)$ обозначает двойственный класс к $x^a$. В когомологиях образующая $y\,{\in}\, H^{n+1}(S^{n+1}; \mathbb{Z} )$ переходит в образующую $y \in H^{n+1}(P^{n+1}(p^r); \mathbb{Z} )$ при отображении стягивания, причем $\beta _r (z^1) = y^1$, где $y^a \in H^{n+1}(P^{n+1}(p^r);\mathbb{Z} /p^a)$ есть образ $y$ при гомоморфизме приведения $\rho _a \colon \mathbb{Z}\,{\to}\,\mathbb{Z} /p^a$. Пусть $w \in H_{n+1}(S^{n+1}; \mathbb{Z} )$ – класс, двойственный к $y$, и пусть класс $w^a \in H_{n+1}(S^{n+1}; \mathbb{Z} /p^a)$ получается из $w$ при гомомофизме приведения, а класс $w^a \in H_{n+1}(P^{n+1}(p^r); \mathbb{Z} /p^a)$ происходит из отображения стягивания при $a \leqslant r$. А именно, положим
$$
\begin{equation*}
w^a := p_*^{-1}(w^a) \in H_{n+1}(P^{n+1}(p^r); \mathbb{Z} /p^a),
\end{equation*}
\notag
$$
где использован тот факт, что $p_*$ является изоморфизмом при $a \leqslant r$. При $a > r$ определим $w^a$ как где $\rho^r_a\colon\mathbb{Z} /{p^r}\to \mathbb{Z}/p^a$ есть умножение на $p^{a-r}$. Из естественности гомоморфизма Бокштейна вытекает формула Для пространства $X\in\mathcal Z_n$ обозначим через $\overline X$ его $2n$-мерный остов. Предложение 2.1. (1) Пусть $X\in\mathcal Z_n$, причем где $p_i \leqslant p_{i+1}$, а если $p_i = p_{i+1}$, то $r_i \leqslant r_{i+1}$. Тогда существует гомотопическая эквивалентность (2) Пусть $z_i\in H^{n}(P^{n+1}(p_i^{r_i}); \mathbb{Z}/p_i)$ при $1\leqslant i\leqslant k$ и $z_j\in H^{n}(S_j^{n};\mathbb{Z})$ при $k+1\leqslant j\leqslant k+m$ – описанные выше образующие. Пусть $y_i\in H^{n+1}(P^{n+1}(p_i^{r_i});\mathbb{Z}/p_i)$ таковы, что $\beta_{r_i}(z_i)=y_i $ при $1\leqslant i\leqslant k$. Обозначим через $y_j$ образующую группы $H^{n+1}(S_j^{n+1};\mathbb{Z})$ при $k+m+1\leqslant j \leqslant k+2m$. Пусть $e$ – образующая группы $H^{2n+1}(X;\mathbb{Z})$. Определим матрицу $\mathrm{CP}=(c_{ij})$ соотношением где $a=\min\{r_i,r_j\}$, причем $r_i=\infty$ в случае сферы. Тогда имеют место следующие утверждения.a) Подматрица $B=(c_{ij})$ с $1\leqslant i\leqslant k$ и $1\leqslant j\leqslant k$ унимодулярна, симметрична при нечетном $n$ и кососимметрична при четном $n$. b) Подматрица $C=(c_{ij})$ с $k+1\leqslant i\leqslant k+m$ и $1\leqslant j\leqslant k$ нулевая. c) Существует выбор образующих, при котором подматрица $E=(c_{ij})$ с $k\,{+}\,1\leqslant i\leqslant k+m$ и $k+m+1\leqslant j\leqslant k+2m$ является единичной ранга $m$. Доказательство. (1) Из двойственности Пуанкаре следует, что Существование требуемой гомотопической эквивалентности следует из гомологической теоремы Гуревича.
(2) a) Если $p_i \neq p_j$, то из свойств конечных групп получаем при $1 \leqslant i,j \leqslant k$ и для любого $a$.Как было показано П. Бебеном и Дж. Ву в [2] путем рассмотрения произведения классов когомологий различных пространств Мура, в случае $p_i = p_j$ подматрица $B$ симметрична при нечетном $n$ и кососимметрична при четном $n$. (Этот результат не использует свойств комплексов Пуанкаре.) Поэтому в этом случае получаем при $1 \leqslant i,j \leqslant k$. Утверждение о том, что подматрица $B$ унимодулярна, вытекает из унимодулярности матрицы $\mathrm{CP}$ для комплекса Пуанкаре $X$. Наконец, утверждение о том, что подматрица $C$ тривиальна, будет доказано в следующем пункте.b) П.Бебеном и Дж. Ву [2] показано, что для целочисленных классов когомологий $y_j\in H^{n+1}(P^{n+1}(p_j^{r_j}); \mathbb{Z})$ при $1\,{\leqslant}\, j\,{\leqslant}\, k$ и $z_i\in H^{n}(S^{n};\mathbb{Z})$ при $k+1\leqslant i\leqslant k+m$ имеет место соотношение Отсюда, для любого $a$ и, в частности, для $a=r_i$ получаем при $1 \leqslant j \leqslant k$ и $k+1 \leqslant i \leqslant k+m$, т.е. $C$ – нулевая матрица.c) Начнем с выбора образующих свободной части гомологий и когомологий комплекса $X$. Выберем образующие $z_{k+1},\dots, z_{k+m}$ группы когомологий $H^{n}(X;\mathbb{Z})$ как двойственные к базису $\{ x_t \mid t=1,\dots, m\}$ группы гомологий $H_{n}(X;\mathbb{Z})$, элементы которого получаются из вложений $\iota_i\colon S^{n}_{i}\to X$. Базис $\{ y_t\mid t=k+m+1,\dots ,k+2m\}$ группы $H^{n+1}(X;\mathbb{Z})$ выберем с помощью соотношений $x_t=y_{t+k+m}\cap e$, используя двойственность Пуанкаре, где $e$ – фиксированная образующая группы $H_{2n+1}(X;\mathbb{Z})$. Переходя к двойственному базису, получим базис $\{ e_t \mid t=1,\dots, m\}$ группы $H_{n+1}(X;\mathbb{Z})$, удовлетворяющий соотношениям $\langle e_i, y_j\rangle=\delta_{ij}\equiv z_j(e_i)$ при $1\leqslant i,j\leqslant k$. Обозначим через $(a_{ij})$ матрицу когомологического произведения пространства $X$, т.е. $z_i\cup y_j=a_{ij}e^{2n+1}$ при $1\leqslant i,j\leqslant k$. Наш выбор образующих групп когомологий упрощает вид этой матрицы. А именно,
$$
\begin{equation*}
a_{ij}=(a_{ij}e^{2n+1})\cap e=(z_i\cup y_j)\cap e=z_i\cap (y_j\cap e)=z_i\cap x_j=\delta_{ij}
\end{equation*}
\notag
$$
при $k+1\leqslant i\leqslant k+m$ и $k+m\leqslant j\leqslant k+2m$. Другими словами, так как $x_i$ и $y_i$ являются сферическими классами, можно выбрать отображения $\iota_i\colon S^{n}\to \overline X$ и $j_i\colon S^{n+1}\to \overline X$, для которых $h=\bigvee_i (\iota_i\vee j_i)$ является гомотопической эквивалентностью. Таким образом, мы выбираем базис в когомологиях пространства $X$, для которого подматрица $E$ является единичной матрицей $I_m$.
Предложение доказано. 2.2.1. $(n-1)$-связные $(2n+1)$-комплексы Пуанкаре без крученияПусть $\mathcal{J}_n$ обозначает семейство $(n-1)$-связных $(2n+1)$-комплексов Пуанкаре $X$ с конечнопорожденной свободной группой гомологий $H_{n}(X;\mathbb{Z})$. Мы будем говорить, что комплекс Пуанкаре $X$ имеет ранг $k$, если $\operatorname{rank} H_{n}(X;\mathbb{Z})=k$. Для комплекса $X\in\mathcal{J}_n$ обозначим через $\overline X$ его $2n$-мерный остов, т.е. $\overline X=\operatorname{sk}_{2n}(X)$. Классическими примерами многообразий из семейства $\mathcal{J}_n$ являются пространства $n$-сферических расслоений $\xi$ над $(n+1)$-сферой с нулевым классом Чженя $\overline c(\xi)=0$ и, в частности, произведения сфер $S^{n}\times S^{n+1}$ и многообразия Штифеля $V_{n+2,2}$ с четным $n$. Пусть $k=\operatorname{rank} H_{n}(X;\mathbb{Z})$. Рассмотрим пространство $ \bigvee_{i=1}^k (S^{n}_i\vee S^{n+1}_{i+k})$. Фиксируем образующие $e^{n}_i$ и $e^{n+1}_{i}$ его групп когомологий, соответствующие образующим групп $H^{n}(S^{n}_i;\mathbb{Z})$ и $H^{n+1}(S^{n+1}_{i+k};\mathbb{Z})$ при отображениях, индуцированных вложениями. Пусть $e^{2n+1}$ – образующая группы $H^{2n+1}(X;\mathbb{Z})$. Из предложения 2.1 получаем Следствие 2.1. a) Пусть $X\in\mathcal{J}_n$ – комплекс Пуанкаре такой, что $\operatorname{rank} H_n(X;\mathbb{Z})=k$. Тогда существует гомотопическая эквивалентность b) Эквивалентность $h$ можно выбрать таким образом, что т.е. матрица умножения в когомологиях пространства $X$ является единичной матрицей $I_k$.§ 3. Гомотопические инварианты приклеивающих отображенийДля $(n-1)$-связных $(2n+1)$-комплексов Пуанкаре $X$ и $Y$ обозначим через $\alpha\colon S^{2n}\to \overline X$ и $\beta\colon S^{2n}\to\overline Y$ приклеивающие отображения их клеток старших размерностей. Из определения 1.1 мы получаем следующую гомотопическую характеризацию условия того, что отображение $f\colon X\to Y$ между комплексами $X,Y\in\mathcal Z_n$ имеет степень $d$. Степень отображения $f$ равна $d$, $\deg(f)=d$, тогда и только тогда, когда существует коммутативная диаграмма где $f_|$ обозначает ограничение $f$ на $\overline X$.Таким образом, для определения степени отображения $f$ необходимо обладать информацией о гомотопических инвариантах приклеивающих отображений $\alpha$ и $\beta$. Нашим основным инструментом для описания этих гомотопических инвариантов является теорема Хилтона–Милнора (см., например, [29; гл. XI, с. 511]). 3.1. Теорема Хилтона–МилнораДля топологических пространств $X$ и $Y$ обозначим через $\iota_X\colon X\to X\vee Y$ и $\iota_Y\colon Y\to X\vee Y$ включения левого и правого слагаемых. Несколько злоупотребляя обозначениями, мы также будем обозначать через $\iota_X$ и $\iota_Y$ композиции $E\circ\iota_X\colon X\to X\vee Y\stackrel{E}{\to}\Omega\Sigma (X\vee Y)$ и $E\circ\iota_Y\colon Y\to X\vee Y\stackrel{E}{\to}\Omega\Sigma (X\vee Y)$ соответственно, где $E\colon Z\to\Omega\Sigma Z$ есть отображение надстройки, сопряженное к тождественному отображению $\Sigma Z\to\Sigma Z$. Произведением Самельсона отображений $\iota_X$ и $\iota_Y$ называется отображение $[\iota_X,\iota_Y]\colon X\wedge Y\to\Omega\Sigma(X\vee Y)$, определяемое как композиция
$$
\begin{equation*}
X\wedge Y\stackrel{\iota_X\wedge \iota_Y}{\to}\Omega\Sigma(X\vee Y)\wedge\Omega\Sigma(X\vee Y) \stackrel{[\ ,\ ]}{\to}\Omega\Sigma(X\vee Y),
\end{equation*}
\notag
$$
где $[\alpha,\beta]=\alpha\beta\alpha^{-1}\beta^{-1}$. Положим $\mathrm{ad}(\alpha)(\beta)=[\alpha, \beta]$. Рассмотрим итерированные произведения Самельсона
$$
\begin{equation*}
\mathrm{ad}(\iota_X)^i(\iota_Y )\colon X^i\wedge Y\to\Omega\Sigma (X\vee Y)
\end{equation*}
\notag
$$
и задаваемое ими отображение из бесконечного букета
$$
\begin{equation*}
\bigvee_{i\geqslant 0} \mathrm{ad}(\iota_X)^i(\iota_Y )\colon\bigvee_{i\geqslant 0}X^i\wedge Y\to\Omega\Sigma(X\vee Y).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя универсальное свойство конструкции Джеймса [14], продолжим отображения выше до мультипликативных отображений свободных моноидов
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \overline{\iota_X}=\Omega\Sigma(\iota_X)\colon\Omega\Sigma X\to\Omega\Sigma(X\vee Y), \\ \overline{\bigvee_{i\geqslant 0} \mathrm{ad}(\iota_X)^i(\iota_Y )}\colon\Omega\Sigma\biggl(\bigvee_{i\geqslant 0}X^i\wedge Y\biggr) \to\Omega\Sigma(X\vee Y). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, взяв произведение этих отображений, используя умножение в $\Omega\Sigma(X\vee Y)$, мы приходим к теореме Хилтона–Милнора, которая утверждает следующее. Для связных $X$ и $Y$ существует слабая гомотопическая эквивалентность
$$
\begin{equation*}
\Theta\colon\Omega\Sigma X\times\Omega\Sigma\biggl(\bigvee_{i\geqslant0}X^i\wedge Y\biggr)\to\Omega\Sigma(X\vee Y).
\end{equation*}
\notag
$$
Если оба пространства $X$ и $Y$ являются $\mathrm{CW}$-комплексами, то отображение выше является гомотопической эквивалентностью. Естественное обобщение теоремы Хилтона–Милнора, использующее индукцию, дает разложение пространства петель букета $n$ надстроек:
$$
\begin{equation*}
\Omega\Sigma \biggl(\bigvee_{i=1}^n X_i\biggr)\simeq \prod_{\omega\in B}\Omega\Sigma(\omega(X_1,\dots, X_n))\simeq\prod_{1\leqslant i\leqslant n}\Omega\Sigma X_i\times\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n}\Omega\Sigma (X_i\wedge X_j)\times\dotsb,
\end{equation*}
\notag
$$
где $B$ – базис Холла для порождающего множества $L=\{ \iota_{X_1},\dots, \iota_{X_n}\}$ (см., например, [29; гл. XI]). Напомним, что $\omega$-инвариантом Хопфа–Хилтона (см., например, [29; гл. XI]) называется отображение
$$
\begin{equation*}
H_{\omega}\colon\Omega\Sigma\biggl(\bigvee_{k=1}^n X_k\biggr)\to \Omega\Sigma(\omega(X_1,\dots, X_n)),
\end{equation*}
\notag
$$
определяемое формулой где $q_\omega\colon \prod_{\omega\in B}\Omega\Sigma(\omega(X_1,\dots, X_n))\to \Omega\Sigma(\omega(X_1,\dots, X_n))$ есть проекция на сомножитель $\omega$. 3.2. Разложение отображений при помощи теоремы Хилтона–МилнораИз теоремы Хилтона–Милнора вытекает следующий результат. Предложение 3.1. Пусть $X$ и $Y$ – топологические пространства, причем $Y\simeq\Sigma\bigvee_{i=1}^k Y_i$. Пусть $n=\dim \Sigma X$ и все $\Sigma Y_i$ являются $r$-связными. Тогда любое отображение $f\colon\Sigma X\to \Sigma\bigvee_{i=1}^k Y_i$ однозначно раскладывается следующим образом. [I] Если $n\leqslant 2r$, то где $p_i\colon Y\to \Sigma Y_i$ – стягивающее отображение, а $\iota_i\colon \Sigma Y_i\to Y$ – вложение.[II] Если $n\leqslant 3r$, то где $M_{ij}(f)\colon \Sigma X\to\Sigma Y_i\wedge Y_j$ есть $(i,j)$-инвариант Хилтона–Милнора отображения $f$, определяемый как композицияЛегко видеть, что $M_{ij}\colon [\Sigma X, \Sigma\bigvee_{i=1}^k Y_i ]\to[\Sigma X,\Sigma Y_i\wedge Y_j]$ является гомоморфизмом. Разложение отображения $f$ в предыдущем предложении приводит к следующим понятиям, которые будут использоваться на протяжении всей статьи. Определение 3.1. Для отображения $f\colon \Sigma X\to Y=\bigvee_{i=1}^k \Sigma Y_i$ будем называть набор отображений гомотопическими инвариантами $f$ первого порядка, а набор отображений – гомотопическими инвариантами $f$ второго порядка. Определение 3.2. Если $f$ удовлетворяет условию [I] из предложения 3.1, т.е. $n\leqslant 2r$, то мы будем называть $f$ отображением типа [I]. Если $f$ удовлетворяет условию [II] из предложения 3.1, т.е. $n\leqslant 3r$, то мы будем называть $f$ отображением типа [II]. Нашей целью является получение разложения приклеивающего отображения
$$
\begin{equation*}
\alpha\colon S^{2n}\to \overline X=\bigvee_{i=1}^{k+2m}\Sigma X_i\simeq \biggl(\bigvee_{i=1}^k P^{n+1}(p_i^{r_i})\biggr) \vee \bigvee_{i=1}^m (S^{n}_{k+i} \vee S^{n+1}_{k+m+i}).
\end{equation*}
\notag
$$
Приклеивающее отображение $\alpha$ имеет тип [II] при $n\geqslant 3$, а значит, оно раскладывается в сумму
$$
\begin{equation*}
\alpha=\sum_{i=1}^{k+2m}\iota_ip_i\alpha +\sum_{1\leqslant i<j\leqslant k+2m}[\iota_i, \iota_j]M_{ij}(\alpha).
\end{equation*}
\notag
$$
Для изучения отображений $M_{ij}(\alpha)$ заметим, что гомотопические группы при $1 \leqslant i,j \leqslant k+2m$ являются циклическими. Пусть $\xi_{ij}$ – образующая группы $\pi _{2n}(\Sigma X_i \wedge X_j)$. Тогда мы можем записать разложение отображения $\alpha$ в виде
$$
\begin{equation}
\alpha = \sum_{i=1}^{k+2m} \iota_ip_i\alpha + \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant k+2m} h^\alpha_{ij}([\iota_i,\iota_j]\xi_{ij})
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
для некоторых $h_{ij}^{\alpha} \in \mathbb{Z}$. Мы будем опускать $\alpha$ в обозначениях, если это допускается контекстом. Определение 3.3. Образующие циклических групп $\pi_{2n}(\Sigma X_i\wedge X_j)$ будем выбирать следующим образом. При $1 \leqslant i, j \leqslant k$ и $p_i=p_j$ обозначим через $\xi_{ij}$ образующую, задаваемую отображением
$$
\begin{equation*}
S^{2n} \hookrightarrow P^{2n+1}(p_i^{\min\{r_i,r_j\}})\stackrel{h}{\to} \Sigma P^{2n}(p_i^{\min\{r_i,r_j\}})\stackrel{\Sigma\Delta}{\to}\Sigma P^{n}(p_i^{r_i}) \wedge P^{n}(p_i^{r_j}).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\xi_{ij}$ имеет порядок $p_i^{\min\{r_i,r_j\}}$. Индуцированное отображение клеточных цепных комплексов задается формулой
$$
\begin{equation*}
\xi_{ij}(e^{2n}) = \begin{cases} -e^1\otimes e^{n-1}\otimes e^{n} + (-1)^{n+1}p^{r_j-r_i}e^1\otimes e^{n}\otimes e^{n-1}, \qquad i \leqslant j , \\ -p^{r_i-r_j}e^1\otimes e^{n-1}\otimes e^{n} + (-1)^{n+1}e^1\otimes e^{n}\otimes e^{n-1}, \qquad j \leqslant i. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что при $(k,l)=1$, см. [18; следствие 6.6].При $1 \leqslant i \leqslant k$ и $k+m+1 \leqslant j \leqslant k+2m$ пусть $\xi_{ij}$ задается отображением
$$
\begin{equation*}
S^{2n} \hookrightarrow P^{2n+1}(p_i^{r_i})\stackrel{h^{n+1}}{\to}\Sigma S^{n}\wedge P^{n}(p_i^{r_i})\stackrel{\Sigma T}{\to}\Sigma P^{n}(p_i^{r_i})\wedge S_j^{n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\xi_{ij}$ имеет порядок $p_i^{r_i}$, а индуцированное отображение клеточных цепных комплексов задается формулой
$$
\begin{equation*}
\xi_{ij}(e^{2n}) = (-1)^{n+1} e^1\otimes e^{n-1}\otimes e^{n}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $k+m+1 \leqslant i \leqslant k+2m$ и $1 \leqslant j \leqslant k$ определим $\xi_{ij}$ как композицию
$$
\begin{equation*}
S^{2n} \hookrightarrow P^{2n+1}(p_j^{r_j})\stackrel{h^{n+1}}{\to} \Sigma S_i^{n}\wedge P^{n}(p_j^{r_j}),
\end{equation*}
\notag
$$
которая имеет порядок $p_j^{r_j}$. Соответствующее отображение цепных комплексов задается формулой
$$
\begin{equation*}
\xi_{ij}(e^{2n}) = (-1)^{n+1} e^1\otimes e^{n}\otimes e^{n-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $k+1 \leqslant i, j \leqslant k+m$ определим $\xi_{ij}$ как отображение Хопфа
$$
\begin{equation*}
S^{2n}\stackrel{\eta}{\to}S^{2n-1} \simeq \Sigma S_i^{n-1} \wedge S_j^{n}
\end{equation*}
\notag
$$
порядка $2$. При $k+m+1 \leqslant i \leqslant k+2m$ и $k+1 \leqslant j \leqslant k+m$ в качестве $\xi_{ij}$ возьмем тождественное отображение
$$
\begin{equation*}
S^{2n}\stackrel{\operatorname{Id}}{\to}S^{2n} \simeq \Sigma S_i^{n} \wedge S_j^{n-1},
\end{equation*}
\notag
$$
имеющее бесконечный порядок. При $k+1 \leqslant i \leqslant k+m$ и $k+m+1 \leqslant j \leqslant k+2m$ в качестве $\xi_{ij}$ берется тождественное отображение
$$
\begin{equation*}
S^{2n}\stackrel{\operatorname{Id}}{\to}S^{2n} \simeq \Sigma S_i^{n-1} \wedge S_j^{n},
\end{equation*}
\notag
$$
имеющее бесконечный порядок. Во всех остальных случаях гомотопические группы тривиальны. Предложение 3.2. Пусть $X\in \mathcal Z_n$, $n \geqslant 3$, и рассмотрим приклеивающее отображение клетки старшей размерности Мы будем опускать $h$ в обозначениях, так как мы работаем в гомотопической категории, а $h$ является гомотопической эквивалентностью. Доказательство предложения 3.2. Вторую сумму в правой части соотношения (3.2) можно далее разложить следующим образом.
i) Вначале рассмотрим случай $1\leqslant i<j\leqslant k$. Если $p_i\neq p_j$, то соответствующее слагаемое тривиально, как следует из (3.3). Поэтому будем рассматривать лишь случай $p_i=p_j=p$. Отображением, сопряженным к
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & [\iota_i,\iota_j]M_{ij}(\alpha)\colon S^{2n}\stackrel{\iota}{\to} P^{2n+1}(p^{\min\{r_i,r_j\}}) \\ &\qquad \stackrel{\Delta}{\to}P^{n+1}(p^{r_i})\wedge P^{n}(p^{r_j}) \stackrel{[\iota_i,\iota_j]}{\to}P^{n+1}(p^{r_i})\vee P^{n+1}(p^{r_j}) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
является
$$
\begin{equation*}
S^{2n-1}\stackrel{\iota}{\to}P^{2n}(p^{\min\{r_i,r_j\}}) \stackrel{\Delta}{\to}P^{n}(p^{r_i})\wedge P^{n}(p^{r_j}) \stackrel{\langle\iota_i,\iota_j\rangle}{\to}\Omega\Sigma (P^{n}(p^{r_i})\vee P^{n}(p^{r_j})).
\end{equation*}
\notag
$$
Индуцированное отображение в гомологиях переводит $s\in H_{2n-1}(S^{2n-1})$ в $[x_{n-1},y_{n}]+(-1)^{n+1}[x_{n}, y_{n-1}]$. Следовательно, имеем равенство в когомологиях $[\iota_i,\iota_j]{M_{ij}}_*(s_{2n})=z_i\cup y_j+(-1)^{n+1}y_i\cup z_j$. Далее, используя тот факт, что подматрица $B$ когомологического умножения является (косо)симметричной, мы получаем $z_i\cup y_j+(-1)^{n+1}y_i\cup z_j=z_i\cup y_j+(-1)^{n+1}(-1)^{n+1}z_i\cup y_j=2z_i\cup y_j$.
ii) Так как $\pi_{2n}(P^{2n}(p^{r_i}))=0$, мы получаем $M_{ij}(\alpha)=0$ при $1\leqslant i\leqslant k$ и $k+1\leqslant j\leqslant k+m$. iii) Рассмотрим случай $1\leqslant i\leqslant k$ и $k+m+1\leqslant j\leqslant k+2m$. Переходя к сопряженному отображению для
$$
\begin{equation*}
[\iota_i,\iota_j]M_{ij}(\alpha)\colon S^{2n}\stackrel{\iota}{\to}P^{2n+1}(p^{r_i})\simeq P^{n+1}(p^{r_i})\wedge S^{n}\stackrel{[\iota_i,\iota_j]}{\to}P^{n+1}(p^{r_i})\vee S^{n+1},
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation*}
S^{2n-1}\stackrel{\iota}{\to}P^{2n}(p^{r_i})\simeq P^{n}(p^{r_i})\wedge S^{n} \stackrel{\langle\iota_i,\iota_j\rangle}{\to}\Omega\Sigma (P^{n}(p^{r_i})\vee S^{n}).
\end{equation*}
\notag
$$
Индуцированное отображение в гомологиях переводит образующую $s_{2n-1}\in H_{2n-1}(S^{2n-1})$ в $[x_{n-1},y_{n}]$. Поэтому в когомологиях имеем $[\iota_i,\iota_j]{M_{ij}}_*(s_{2n})=z_i\cup y_j$.
iv) Напомним, что группа $\pi_{2n}(S^{2n-1})\cong\mathbb{Z}/2$ порождается элементом $\eta$. Следовательно, при $k+1\leqslant i<j\leqslant k+m$ отображение $\xi_{ij}(\alpha)\colon S^{2n}\to\Sigma S^{n-1}\wedge S^{n-1}$ совпадает с $M_{ij}=m_{ij}^\alpha\eta$, где $m_{ij}^\alpha\in\mathbb{Z}/2$. v) При $k+1\leqslant i\leqslant k+m$ и $k+m+1\leqslant j\leqslant k+2m$ отображение $M_{ij}(\alpha)\colon S^{2n}\to\Sigma S^{n-1}\wedge S^{n}$ совпадает с $M_{ij}(\alpha)=h_{ij}^\alpha\operatorname{Id}_{S^{2n}}$, где $h_{ij}^\alpha$ равно коэффициенту $c_{ij}$ из матрицы когомологического умножения. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим конус отображения $\widetilde X=(S^{n}_i\vee S^{n+1}_{j})\cup_{[\iota_i,\iota_j]}e^{2n+1}=S^{n}\times S^{n+1}$ и его отображение в $X$. Пусть, как и выше, $e^{n}_i\in H^{n}(\overline X; \mathbb{Z})$ – образующие, соответствующие сферам $S^{n}$, а $e^{n+1}_j\in H^{n+1}(\overline X; \mathbb{Z})$ – образующие, соответствующие сферам $S^{n+1}$; тогда произведение $e^{n}_i\cup e^{n+1}_j$ представляет образующую группы $H^{2n+1}(\widetilde {X}; \mathbb{Z})$. Это показывает, что коэффициенты $h_{ij}^\alpha$ определяются подматрицей $E=(c_{ij})$ матрицы когомологического умножения, которая является единичной матрицей согласно предложению 2.1. vi) При $k+m+1\leqslant i<j\leqslant k+2m$ отображение $M_{ij}(\alpha)\colon S^{2n}\to\Sigma S^{n}\wedge S^{n}$ тривиально по соображениям связности. Объединив все случаи вместе, получаем доказательство предложения. Таким образом, предложение 3.2 показывает, что полный набор гомотопических инвариантов приклеивающего отображения $\alpha$ описывается следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, p_i\alpha\colon S^{2n}\to P^{n+1}(p_i^{r_i}), \qquad 1\leqslant i\leqslant k, \\ p_i\alpha\colon S^{2n}\to S^{n}, \qquad k+1\leqslant i\leqslant k+m, \\ p_i\alpha\colon S^{2n}\to S^{n+1}, \qquad k+m+1\leqslant i\leqslant k+2m, \\ m_{ij}^\alpha\in\mathbb{Z}_2, \qquad k+1\leqslant i<j\leqslant k+m, \\ h_{ij}\in\mathbb{Z}, \qquad 1\leqslant i<j\leqslant k, \quad 1\leqslant i<k, \quad k+m+1\leqslant j\leqslant k+2m. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Обратим внимание, что эти инварианты отображения $\alpha$ независимы и могут принимать произвольные значения из соответствующих множеств. Более того, приклеивающие отображения, соответствующие различным наборам инвариантов, негомотопны. Для дальнейшего нам понадобится следующее утверждение о связи коэффициентов $h_{ij}$ и когомологического умножения, которое содержится в доказательстве предложения 3.2. Следствие 3.1. Имеют место следующие соотношения между коэффициентами $h_{ij}$ и когомологическим умножением в комплексе Пуанкаре $X$: 3.2.1. Случай отсутствия крученияВ случае отсутствия кручения разложение из предложения 3.2 упрощается следующим образом. Предложение 3.3. Для $X\in\mathcal{J}_n$ рассмотрим приклеивающее отображение клетки старшей размерности При $n\geqslant 3$ отображение $\alpha$ раскладывается следующим образом: где $m^\alpha_{ij}$ принимает значения $0$ или $1$, а $\eta\colon S^{2n}\to S^{2n-1}$ – отображение Хопфа. § 4. Разложение отображений комплексов ПуанкареВ этом параграфе мы изучим отображения $f\colon X\to Y$ между комплексами Пуанкаре $X,Y\in\mathcal Z_n$. В обозначениях предыдущего параграфа мы имеем где $\overline X$ – $2n$-мерный остов $X$, для которого имеем гомотопическую эквивалентность
$$
\begin{equation*}
\overline X \simeq \Sigma \bigvee_{i=1}^{k+2m}X_i = \Sigma \biggl(\biggl(\bigvee_{i=1}^k P^{n}(p_i^{r_i})\biggr) \vee \bigvee_{i=1}^m (S^{n-1}_{k+i} \vee S^{n}_{k+m+i})\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
а $\alpha \colon S^{2n}\to \overline X$ – приклеивающее отображение. Пусть $i_i\colon \Sigma X_i\to \overline X$ – отображение вложения и $p_i\colon \overline X\to \Sigma X_i$ – отображение стягивания для $1\leqslant i \leqslant k+2m$. Представим $Y$ в виде где $\overline Y$ – $2n$-мерный остов, а $\beta \colon S^{2n} \to \overline Y$ – приклеивающее отображение клетки старшей размерности. Мы имеем
$$
\begin{equation*}
\overline Y \simeq \Sigma \bigvee_{s=1}^{u+2v}Y_s = \Sigma \biggl(\biggl(\bigvee_{s=1}^u P^{n}(q_s^{l_s})\biggr)\vee \bigvee_{s=1}^v (S_{u+s}^{n-1}\vee S_{u+v+s}^{n})\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $j_s$ обозначает отображения включения слагаемых букета, а $q_s\colon \overline Y\to \Sigma Y_s$ – стягивающие отображения для $1 \leqslant s \leqslant u+2v$. Для $1\leqslant s,t\leqslant u+2v$ обозначим через $\mu_{st}$ образующую группы $\pi_{2n}(\Sigma Y_s \wedge Y_t)$, задаваемую аналогично образующей $\xi_{ij}$ в определении 3.3. Обозначим через $P\colon \overline X\to \overline Y$ ограничение отображения $f$ на $2n$-мерный остов $\overline X$ комплекса $X$. Начнем с общего утверждения, которое непосредственно вытекает из теоремы Хилтона–Милнора. Предложение 4.1. Пусть $X=\Sigma\bigvee^k_{i=1} X_i$ – $d$-мерный $\mathrm{CW}$-комплекс, и пусть $Y=\Sigma\bigvee^u_{s=1} Y_s$ – $r$-связный $\mathrm{CW}$-комплекс. Рассмотрим отображение $P\colon \Sigma\bigvee^k_{i=1} X_i\to\Sigma\bigvee^u_{s=1} Y_s$. При $d\leqslant 2r$ имеем где $P_{is}=q_sP\iota_i\colon\Sigma X_i\to \Sigma Y_s$, отображения $\iota_i$ и $j_s$ – вложения, а $p_i$ и $q_s$ – соответствующие стягивания. Утверждение вытекает из предложения 3.1 с учетом того, что отображение $P$ имеет тип [I], см. определение 3.2. В нашем случае пространства $X_i$ и $Y_s$ имеют вид $S^{n-1}$, $S^n$ или $P^n(p^r)$, где $p$ является нечетным простым и $n\geqslant 3$. Согласно предложению 4.1 для того, чтобы описать отображение $P\colon\overline X\to\overline Y$, достаточно описать множества гомотопических классов $[\Sigma X_i,\Sigma Y_s]$ отображений пространств с отмеченными точками. Все эти множества являются циклическими группами, и мы обозначим их образующие через $\psi_{is}$. Определение 4.1. При $1\,{\leqslant}\, i \,{\leqslant}\, k$ и $1\,{\leqslant}\, s \,{\leqslant}\, u$ образующая $\psi_{is}\colon P^{n+1}(p^{r_i})\to P^{n+1}(q^{l_s})$ задается своим действием на гомологиях $H_{n}(-;\mathbb{Z})$, так что мы определим $\psi_{is}$ по формуле где $x$ и $x'$ – образующие групп $H_{n}(-;\mathbb{Z})$. Заметим, что $\psi_{is}$ имеет порядок $p_i^{\min\{ r_i, l_s\} }$ при $p_i=q_s$. При $1\leqslant i \leqslant k$ и $u+v+1 \leqslant s \leqslant u+2v$ отображение является стягиванием и имеет порядок $p_i^{r_i}$.При $k+1 \leqslant i \leqslant k+m$ и $1\leqslant s \leqslant u$ отображение $\psi_{is}=\iota \colon S^{n} \to P^{n+1}(q_s^{l_s})$ является включением $n$-мерного остова и имеет порядок $q_s^{l_s}$. При $k+1 \leqslant i \leqslant k+m$ и $u+1\leqslant s \leqslant u+v$ отображение $\psi_{is} = \operatorname{Id}_{S^{n}}$ имеет бесконечный порядок. При $k+m+1 \leqslant i\leqslant k+2m$ и $u+1\leqslant s \leqslant u+v$ отображение $\psi_{is} = \eta \colon S^{n+1} \to S^{n}$ имеет порядок 2. При $k+m+1 \leqslant i\leqslant k+2m$ и $u+v+1 \leqslant s \leqslant u+2v$ отображение $\psi_{is} = \operatorname{Id}_{S^{n+1}}$ имеет бесконечный порядок. В остальных случаях группы $[\Sigma X_i, \Sigma Y_s]$ тривиальны. Все $\psi_{is}$ являются отображениями надстроек. Несколько злоупотребляя обозначениями, мы будем писать $ \Sigma^{-1}\psi_{is} = \psi_{is}$, за исключением случая, когда $ \psi_{is} = \iota$; в этом случае $ \Sigma^{-1} \iota = - \iota$. Заметим, что отображение $F\colon \overline X \to \overline Y$ однозначно задается $(k+2m)\times (u+2v)$-матрицей $(a_{is}\psi _{is})$. Если в качестве образующих подразумеваются отображения $\psi _{is}$, то $F$ однозначно задается матрицей $(a_{is})$. Предложение 4.2. При $n\geqslant 3$ положим где $p_i$, $q_s$ – нечетные простые, а $r_i,l_s \in \mathbb{N}$ при $1\leqslant i \leqslant k$, $1\leqslant s \leqslant u$. a) Имеет место изоморфизм
$$
\begin{equation*}
H_n\colon [\overline X , \overline Y] \to \operatorname{Hom} (H_n(\overline X; \mathbb{Z} ), H_n(\overline Y; \mathbb{Z} )).
\end{equation*}
\notag
$$
b) Отображение является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно индуцирует изоморфизм групп $H_n(-;\mathbb{Z} )$. Доказательство. Из предложения 4.1 следует, что
$$
\begin{equation*}
[\overline X,\overline Y ] \cong \bigoplus_{i=1}^k\bigoplus_{s=1}^u [P^{n+1}(p_i^{r_i}),P^{n+1}(q_s^{l_s})].
\end{equation*}
\notag
$$
Так как мы получаем что доказывает утверждение а).
Если отображение $F$ – гомотопическая эквивалентность, то оно индуцирует изоморфизм всех гомотопических групп. Обратно, предположим, что $F_* :=H_n(F;\mathbb{Z} )$ – изоморфизм. Пусть $G\colon \overline Y \to \overline X$ – отображение, которое соответствует отображению $G_*:=(F_*)^{-1}$ в силу изоморфизма из утверждения а). Тогда оба отображения $F_*G_*=(FG)_*$ и $G_*F_*=(GF)_*$ тождественны, и поэтому $FG\simeq \operatorname{Id}_{\overline Y}$ и $GF\simeq \operatorname{Id}_{\overline X}$. Следовательно, $F$ является гомотопической эквивалентностью. Предложение доказано. 4.1. Инварианты Хопфа–ХилтонаРассмотрим $d$-мерный $\mathrm{CW}$-комплекс $\Sigma U$ и $r$-связный $\mathrm{CW}$-комплекс $\Sigma W$, где $d\leqslant 3r$, и пусть отображение $\alpha\colon\Sigma U\to\Sigma W$ имеет тип [II]. Обозначим через $i^1, i^2\colon \Sigma W\to\Sigma W\vee\Sigma W$ отображения включения левого и правого слагаемых. Тогда сумма $i^1+i^2\colon\Sigma W\to \Sigma W\vee\Sigma W$ является коумножением в надстройке. Инвариант Хопфа–Хилтона отображения $\alpha$ определяется формулой
$$
\begin{equation*}
H(\alpha)=M_{12}((i^1+i^2)\alpha)\colon\Sigma U\to \Sigma W\wedge W,
\end{equation*}
\notag
$$
где $M_{12}(f)$ обозначает $(1,2)$-инвариант Хилтона–Милнора отображения $f$. Перечислим некоторые свойства инварианта $H(\alpha)$, которые являются обобщениями свойств, доказанных Дж. Уайтхедом [29; гл. XI, разд. 8] в случае, когда $U$ и $W$ являются сферами. Стоит отметить, что инвариант $H(\alpha)$ является препятствием к правой дистрибутивности для отображения $\alpha$. Предложение 4.3. Пусть $\alpha\colon \Sigma U\to \Sigma W$ – отображение типа $\mathrm{[II]}$, где $d=\dim \Sigma U$, а $\Sigma W$ является $r$-связным. 1. Если $d\leqslant 2r$, то $H(\alpha)=0$. 2. Если $d\leqslant 3r$, то $H(H(\alpha))=0$. 3. Для любых $\beta_1,\beta_2\colon \Sigma W\to\Sigma Z$ имеем
$$
\begin{equation*}
(\beta_1+\beta_2)\alpha=\beta_1\alpha+\beta_2\alpha+[\beta_1,\beta_2]H(\alpha).
\end{equation*}
\notag
$$
4. Для отображений $\beta_i\colon \Sigma W\to\Sigma Z$, $1\leqslant i\leqslant n$, имеем
$$
\begin{equation*}
\biggl( \sum_{i=1}^n\beta_i\biggr)\alpha=\sum_{i=1}^n\beta_i\alpha+\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}[\beta_i, \beta_j]H(\alpha).
\end{equation*}
\notag
$$
5. Для отображения $\beta\colon \Sigma W\to\Sigma Z$ и $k\in\mathbb{Z}$ имеем
$$
\begin{equation*}
(k\beta)\alpha=k(\beta\alpha)+C_k^2[\beta,\beta]H(\alpha).
\end{equation*}
\notag
$$
6. Отображение
$$
\begin{equation*}
H\colon [\Sigma U,\Sigma W]\to [\Sigma U,\Sigma W\wedge W]
\end{equation*}
\notag
$$
является гомоморфизмом. 7. $H(\alpha [k])=kH(\alpha)$ для $k\in\mathbb{Z}$. 8. $H([k]\alpha)=k^2 H(\alpha)$ для $k\in\mathbb{Z}$. Доказательство. 1. По соображениям размерности, так как $\dim \Sigma U$ не превышает связности пространства $\Sigma W\wedge W$, отображение $H(\alpha)\colon \Sigma U\to \Sigma W\wedge W$ тривиально.
2. Если $\alpha$ имеет тип [II], то $H(\alpha)$ имеет тип [I], и утверждение следует из утверждения (1). 3. $(\beta_1+\beta_2)\alpha=\nabla (\beta_1\vee \beta_2)(i^1+i^2)\alpha=\nabla(\beta_1\vee \beta_2)(i^1\alpha+i^2\alpha+[i^1,i^2]H(\alpha))=\beta_1\alpha+\beta_2\alpha+[\beta_1,\beta_2]H(\alpha)$, где $\nabla\colon X\vee X\to X$ – отображение складывания. 4. Будем вести индукцию по числу слагаемых. База индукции устанавливается утверждением (3). Так как отображение $H(\alpha)$ обладает правой дистрибутивностью, из утверждений (2) и (3) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \biggl( \sum_{i=1}^{n-1}\beta_i+\beta_n\biggr)\alpha=\biggl(\sum_{i=1}^{n-1}\beta_i\biggr)\alpha+\beta_n\alpha +\biggl[\sum_1^{n-1}\beta_i, \beta_n\biggr]H(\alpha) \\ &\qquad = \sum_{i=1}^n\beta_i\alpha+\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n-1}[\beta_i, \beta_j]H(\alpha)+\sum_{i=1}^{n-1}[\beta_i,\beta_n]H(\alpha) \\ &\qquad= \sum_{i=1}^n\beta_i\alpha+\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}[\beta_i, \beta_j]H(\alpha). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
5. Для положительных $k$ утверждение непосредственно вытекает из свойства (4). Применяя свойства (2) и (3) к $H(\alpha)$, мы получаем
$$
\begin{equation*}
(\beta_1+\beta_2)H(\alpha)=\beta_1 H(\alpha) +\beta_2 H(\alpha),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда Далее,
$$
\begin{equation*}
0=(\beta -\beta)\alpha=\beta \alpha + (-\beta)\alpha + [\beta , -\beta]H(\alpha),
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно,
$$
\begin{equation*}
(-\beta)\alpha = -(\beta \alpha) + [\beta , \beta]H(\alpha ),
\end{equation*}
\notag
$$
что доказывает утверждение для $k=-1$.
При $k\geqslant 2$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (-k\beta)\alpha &=-((k\beta)\alpha)+[k\beta,k\beta]H(\alpha)=-(k(\beta\alpha)+C_k^2[\beta,\beta]H(\alpha))+k^2[\beta,\beta]H(\alpha) \\ & =-k(\beta\alpha)+C_{-k}^{2}[\beta, \beta] H(\alpha). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
6. Для $\alpha,\beta\in [\Sigma U,\Sigma W]$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H(\alpha+\beta) &=M_{12}((i^1+i^2)\alpha +(i^1+i^2)\beta)=M_{12}((i^1+i^2)\alpha)+M_{12}((i^1+i^2)\beta) \\ &=H(\alpha)+H(\beta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
7. Так как $\alpha[k]=k\alpha$, это свойство вытекает из того, что $H$ является гомоморфизмом. 8. Справедливы равенства $[i^1,i^2]H([k]\alpha)=(ki^1+ki^2)\alpha-(ki^1)\alpha-(ki^2)\alpha=[ki^1,ki^2]H(\alpha)=(k^2[i^1,i^2])H(\alpha)=[i^1,i^2](k^2H(\alpha))$. Тогда из единственности разложения Хилтона–Милнора следует, что $H([k]\alpha)=k^2 H(\alpha)$ при $k\in \mathbb{Z}$. Предложение доказано. Заметим, что для отображения $\alpha\colon S^{2r-1}\to S^r$ имеем $H(\alpha)=H_0(\alpha)\operatorname{Id}_{S^{2r-1}}$, где $H_0(\alpha)\in\mathbb{Z}$ – инвариант Хопфа отображения $\alpha$. 4.2. Инвариант Хопфа–Хилтона отображения в букетДо конца этого пункта мы будем предполагать, что отображение $\alpha\colon S^{2n}\to \Sigma \bigvee_{i=1}^{k}X_i$ имеет тип [II], т.е. все $X_i$ являются $(r-1)$-связными и $2n\leqslant 3r$. Тогда
$$
\begin{equation*}
H(\alpha)\colon S^{2n}\to \Sigma \biggl( \bigvee_{i=1}^{k}X_i\biggr)\wedge \biggl( \bigvee_{i=1}^{k}X_i\biggr)=\Sigma \bigvee_{i,j=1}^{k}(X_i\wedge X_j).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $H(\alpha)$ отображает $2n$-мерное пространство в $2r$-связное, а значит имеет тип [I]. Из предложения 4.1 получаем где
$$
\begin{equation*}
H_{ij}(\alpha)=p_{ij}H(\alpha)\colon S^{2n}\to\Sigma X_i\wedge X_j,
\end{equation*}
\notag
$$
отображение $p_{ij}\colon \Sigma\bigvee_{i,j=1}^{k}(X_i\wedge X_j) \to \Sigma X_i\wedge X_j$ является стягиванием, а отображение $\iota_{ij}\colon\Sigma X_i\wedge X_j\to\Sigma \bigvee_{i,j=1}^{k}(X_i\wedge X_j)$ – вложением. Предложение 4.4. Отображения $H_{ij}(\alpha)$ обладают следующими свойствами. 1. $H_{ij}(\alpha)=M_{ij}(\alpha)$ при $i<j$. 2. Пусть $X_i$ и $X_j$ – сферы. Тогда при $i<j$
$$
\begin{equation*}
H_{ji}(\alpha)=(-1)^{\dim(\Sigma X_i)\dim(\Sigma X_j)}H_{ij}(\alpha).
\end{equation*}
\notag
$$
3. $H_{ii}(\alpha)=H(p_i\alpha)$, где $p_i\colon \Sigma\bigvee_{i=1}^k X_i\to \Sigma X_i$ – отображение стягивания. Доказательство. 1. Отображение $\alpha\colon S^{2n}\to \Sigma \bigvee_{i=1}^{2k}X_i$ имеет тип [II] и поэтому представляется следующим образом: Утверждение вытекает из сравнения этого разложения с разложением Хилтона–Милнора для отображения $\alpha$.
2. Пусть $i<j$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (\iota_ip_i+\iota_jp_j)\alpha =\iota_ip_i\alpha+\iota_jp_j\alpha+[\iota_i,\iota_j]H_{ij}(\alpha), \\ (\iota_jp_j+\iota_ip_i)\alpha =\iota_jp_j\alpha+\iota_ip_i\alpha+[\iota_j,\iota_i]H_{ji}(\alpha). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение вытекает из сравнения этих равенств с использованием градуированной коммутативности произведения Уайтхеда и единственности разложения Хилтона–Милнора.
3. Для любого топологического пространства $Z$ и отображений $f,g \colon \Sigma X_i \to \Sigma Z$ имеем
$$
\begin{equation*}
(fp_i + gp_i)\alpha = (f+g)p_i\alpha= fp_i\alpha + gp_i\alpha + [f,g]H(p_i\alpha).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
(fp_i + gp_i)\alpha =fp_i\alpha + gp_i\alpha + [fp_i,gp_i]H(\alpha)=fp_i\alpha + gp_i\alpha + [f,g]H_{ii}(\alpha).
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $Z=X \vee X$, $f = i^1$, $g= i^2$ и используя единственность разложения в теореме Хилтона–Милнора, получаем требуемое утверждение.
Предложение доказано. Теперь рассмотрим случай, когда все $X_i$ являются сферами. Предложение 4.5. Отображение $\alpha\colon S^{2n}\to \overline X=\Sigma \bigvee_{i=1}^k(S^{n-1}_i\vee S^{n}_{i+k})$ при $n\geqslant 3$ обладает следующими свойствами: 1) $H_{ij}(\alpha)=H_{ji}(\alpha)=M_{ij}(\alpha)$ при $1\leqslant i<j\leqslant 2k$; 2) $H_{ij}(\alpha)=0$ при $k+1\leqslant i,j\leqslant 2k$. Доказательство. 1) Это утверждение непосредственно вытекает из утверждений (1) и (2) предложения 4.4. Вообще говоря, для некоторых $n$ может возникать знак $(-1)^{\dim(\Sigma X_i)\dim(\Sigma X_j)}$, однако этого не случается при $\dim(\Sigma X_i)=\dim(\Sigma X_j)$ ввиду следующих причин. С одной стороны, если $\dim(\Sigma X_i)=\dim(\Sigma X_j)=n$, то $H_{ij}(\alpha)\in\mathbb{Z}/2$, так что знак не имеет значения. С другой стороны, если $\dim(\Sigma X_i)=\dim(\Sigma X_j)=n+1$, то отображение $H_{ij}(\alpha)\colon S^{2n}\to S^{2n+1}$ тривиально.
2) Так как $H_{ij}(\alpha)\colon S^{2n}\to S^{2n+1}$, мы имеем $H_{ij}(\alpha)=0$ по соображениям связности. 4.3. Набор гомотопических инвариантов отображения $P\circ\alpha$Мы вычислим набор инвариантов отображения $P\circ \alpha$, состоящий из 1) гомотопических инвариантов первого порядка, т.е. $q_tP\alpha\colon S^{2n}\to\Sigma Y_t$ при $1\leqslant t\leqslant u+2v$ и 2) гомотопических инвариантов второго порядка, т.е. $M_{st}(P\circ\alpha)$ при $1\leqslant s<t\leqslant u+2v$. 4.3.1. Гомотопические инварианты первого порядка отображения $P \circ \alpha$Для $P \colon \overline X \to \overline Y$ из предложения 4.1 получаем
$$
\begin{equation}
P = \sum_{i=1}^{k+2m} \sum_{s=1}^{u+2v} j_sP_{is}p_i,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где $P_{is}=q_sPi_i \colon \Sigma X_i \to \Sigma Y_s$. Мы имеем для некоторых коэффициентов $a_{is} \in \mathbb{Z}$, которые определены однозначно с точностью до порядка отображения $\psi_{is}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &q_sP\alpha= q_s\biggl(\sum_i \sum_t j_tP_{it}p_i\biggr)\alpha = \biggl(\sum_i \sum_t q_sj_tP_{it}p_i\biggr)\alpha = \biggl(\sum_{i=1}^{k+2m} P_{is}p_i\biggr)\alpha \\ &\quad= \sum_{i=1}^{k+2m} P_{is}p_i\alpha + \sum_{1\leqslant i < j \leqslant k+2m} [P_{is}p_i,P_{js}p_j]H(\alpha) \\ &\quad = \sum_{i=1}^{k+2m} P_{is}p_i\alpha + \sum_{1\leqslant i < j \leqslant k+2m} [1_{\Sigma Y_s},1_{\Sigma Y_s}](\Sigma (\Sigma^{-1}P_{is} \wedge \Sigma^{-1}P_{js}))(\Sigma p_i \wedge p_j)H(\alpha), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где мы обозначили $p_i = \Sigma^{-1} p_i$. Четвертое равенство следует из правой дистрибутивности, установленной в предложении 4.3(4), а пятое равенство следует из свойств произведений Уайтхеда. Далее заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (\Sigma p_i \wedge p_j)H(\alpha)=p_{ij}H(\alpha)=H_{ij}(\alpha)=M_{ij}(\alpha)=h_{ij}\xi_{ij}, \qquad i<j, \\ \begin{aligned} \, \Sigma ( \Sigma^{-1}P_{is} \wedge \Sigma^{-1}P_{js})&=\Sigma (a_{is}\Sigma^{-1}\psi_{is}) \wedge (a_{js}\Sigma^{-1} \psi_{js}) \\ &=a_{is}a_{js}(\Sigma (\Sigma^{-1}\psi_{is} \wedge \Sigma^{-1} \psi_{js})). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 4.2. Для $1 \leqslant i \leqslant j \leqslant k+2m$ и $ 1 \leqslant s,t \leqslant u+2v$ рассмотрим композицию Так как группа $\pi_{2n}(\Sigma Y_s\wedge Y_t)$ циклическая с образующей $\mu_{st}$, можно ввести число $\nu = \nu (i,j,s,t,n)$, корректно определяемое равенством Отображение $\xi_{ij}$ имеет тип [I], см. определение 3.2, и поэтому имеет место дистрибутивность справа. Отсюда и из определения числа $\nu$ получаем
$$
\begin{equation}
q_sP\alpha = \sum_{i=1}^{k+2m} P_{is}p_i\alpha + \biggl(\sum_{1\leqslant i < j \leqslant k+2m} a_{is}a_{js}h_{ij} ^{\alpha}\nu (i,j,s,s)\biggr)[\operatorname{Id}_{\Sigma Y_s},\operatorname{Id}_{\Sigma Y_s}]\mu_{ss}.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Предложение 4.6. a) Для $1\leqslant i \leqslant j \leqslant k$, $1 \leqslant s,t \leqslant u$ и $p_i=p_j=q_s=q_t=p$ имеем b) Для $1\leqslant i \leqslant j \leqslant k$, $1 \leqslant s \leqslant u$, $u+v+1 \leqslant t \leqslant u+2v$ и $p_i=p_j=q_s=p$ имеем
$$
\begin{equation*}
\nu (i,j,s,t,n) =\begin{cases} (-1)^{n}p^{l_s-r_i}, & r_i\leqslant l_s, \\ (-1)^{n}, & l_s \leqslant r_i . \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
c) Для $1\leqslant i \leqslant j \leqslant k$, $u+v+1 \leqslant s \leqslant u+2v$, $1 \leqslant t \leqslant u$ и $p_i=p_j=q_t=p$ имеем
$$
\begin{equation*}
\nu (i,j,s,t,n) = \begin{cases} p^{l_t-r_i}, & r_j\leqslant l_t, \\ p^{r_j-r_i}, & l_t \leqslant r_j. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
d) Для $1\leqslant i \leqslant k$, $k+m+1\leqslant j \leqslant k+2m$, $1 \leqslant s \leqslant u$, $u+v+1 \leqslant t \leqslant u+2v$ и $p_i=q_s=p$ имеем
$$
\begin{equation*}
\nu (i,j,s,t,n) =\begin{cases} p^{l_s-r_i}, & r_i\leqslant l_s, \\ 1, & l_s \leqslant r_i. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
e) Для $k+1 \leqslant i \leqslant j \leqslant k+m$ и $u+1 \leqslant s,t \leqslant u+v$ имеем f) Для $k+1 \leqslant i \leqslant k+m$, $k+m+1 \leqslant j \leqslant k+2m$, $1 \leqslant s \leqslant u$ и $u+v+1 \leqslant t \leqslant u+2v$ имеем g) Для $k+1 \leqslant i \leqslant k+m$, $k+m+1 \leqslant j \leqslant k+2m$ и $u+1 \leqslant s \leqslant u+v$, $u+1 \leqslant t \leqslant u+2v$ имеем h) В остальных случаях Для доказательства необходимо проверить 54 различных случая, но все эти проверки несложные. Предложение 4.7. При $1\leqslant s \leqslant t \leqslant u+2v$ существует число $\varepsilon (s,t,n)$, корректно определенное равенством Доказательство. Мы можем предположить, не ограничивая общности, что В силу теоремы Хилтона–Милнора отображение представляется в виде где $M_{st}\in\mathbb{Z}$. Первые два отображения гомотопически тривиальны. Так как $\mu_{st}$ – образующая группы $\pi_{2n}(\Sigma Y_s\wedge Y_t)$, имеем для некоторого числа $\varepsilon (s,t,n) \in \mathbb{Z}$.
Пусть $1\leqslant s \leqslant t \leqslant u$ и $q_s=q_t=q$. Тогда $\mu_{st}=(\Sigma \Delta) h \iota\colon S^{2n}\to \Sigma P^{n}(q^{l_s})\wedge P^{n}(q^{l_t})$, где $\iota = \Sigma (-\iota)\colon \Sigma S^{2n-1}\to \Sigma P^{2n}(q^{\min\{ l_s, l_t\}})$, $h=\Sigma h\colon \Sigma P^{2n}(q^{\min\{ l_s, l_t\}})\to \Sigma^2 P^{2n-1}(q^{\min\{ l_s, l_t\}})$. Для отображения $F \colon \Sigma A \to B$ обозначим сопряженное отображение через $\delta F \colon A \to \Omega B$. Тогда для $f\colon \Sigma A\to C$ и $g\colon \Sigma B\to C$ имеем где $\langle \delta f,\delta g\rangle$ – произведение Самельсона отображений $\delta f$ и $\delta g$.Непосредственно проверяется, что для отображений $f \colon A \to B$ и $ g\colon B \to \Omega C$ имеет место соотношение Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
[j_t,j_s]\mu_{ts} = (\delta^{-1}\langle \delta j_t,\delta j_s\rangle)\Sigma(\Delta_{ts}\circ h\circ (-\iota) ) = \delta^{-1}(\langle \delta j_t,\delta j_s\rangle\circ \Delta_{ts}\circ h\circ (-\iota)).
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
(1 \wedge \rho )\Delta_{st}'= \Delta_{st} \colon P^{2n}(q^{l_s}) \to P^{n}(q^{l_s})\wedge P^{n}(q^{l_t}).
\end{equation*}
\notag
$$
Диаграмма становится коммутативной после отображения в $H$-пространство. Действительно, первый и третий квадраты очевидно коммутативны. Второй квадрат становится коммутативным после отображения в $H$-пространство согласно [19; предложение 6.4.6, (a)], а последний квадрат коммутативен согласно [19; предложение 6.6.7, (1)].
Так как все отображения $\Delta_{st}$, $(-1)^{n}$ и $\iota$ имеют тип [I], мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [j_t,j_s]\mu_{ts} &=\delta^{-1}(\text{ верхняя строка в (4.7)}) \\ &=\delta^{-1}(\langle \delta j_s,\delta j_t\rangle)\Sigma (\Delta_{st}\circ (-\iota )\circ (-1)^{n+1}) \\ &=(-1)^{n+1}([j_s,j_t](\Sigma \Delta_{st})h \iota )= (-1)^{n+1}[j_s,j_t]\mu_{st}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При $1 \leqslant s \leqslant u$ и $u+v+1 \leqslant t \leqslant u+2v$ имеем
$$
\begin{equation*}
[j_t,j_s]\mu_{ts}=\delta^{-1}(\langle \delta j_t,\delta j_s\rangle)\Sigma \overline{\iota}=\delta^{-1}(\langle \delta j_t,\delta j_s\rangle \overline{\iota}).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь заметим, что диаграмма коммутативна. Действительно, коммутативность первого квадрата следует из того, что степень отображения перестановки сомножителей $T\colon S^{n} \wedge S^{n-1} \to S^{n-1} \wedge S^{n}$ равна $1$. Коммутативность второго квадрата проверяется непосредственно, а третий квадрат совпадает с последним квадратом из предыдущей диаграммы.
Как и в предыдущем случае, получаем
$$
\begin{equation*}
[j_t,j_s]\mu_{ts}=\delta^{-1}((-1)\circ \langle \delta j_s,\delta j_t\rangle(i\wedge 1))=-([j_s,j_t]\mu_{st}).
\end{equation*}
\notag
$$
Случай $u+1\leqslant s \leqslant u+v$ и $u+v+1 \leqslant t \leqslant u+2v$ разбирается аналогично. Диаграмма коммутативна (это доказывается так же, как и в предыдущих случаях).Оставшиеся случаи так же легко проверяются. Предложение 4.7 доказано. Используя в разложении (4.6) описание коэффициентов $h_{ij}^{\alpha}$ и $\nu (i,j,s,t,n)$ из предложений 3.2 и 4.6 соответственно, мы приходим к следующему утверждению. Предложение 4.8. Инварианты первого порядка отображения $P\circ \alpha$ описываются следующим образом: a) при $1 \leqslant s \leqslant u$
$$
\begin{equation*}
q_sP\alpha=\sum_{i=1}^{k+2m} P_{is}p_i\alpha + \biggl(\sum_{\substack{1\leqslant i<j\leqslant k\\p_i=p_j=q_s}}a_{is}a_{js}h_{ij}^{\alpha}q_s^{\max\{ l_s,r_j\} - \min \{ r_i,l_s\} }\biggr)[\operatorname{Id}_{\Sigma Y_s},\operatorname{Id}_{\Sigma Y_s}]\mu_{ss};
\end{equation*}
\notag
$$
b) при $u+1\leqslant s \leqslant u+v$
$$
\begin{equation*}
q_sP\alpha = \sum_{i=1}^{k+2m} P_{is}p_i\alpha +\biggl(\sum_{k+1\leqslant i<j\leqslant k+m}a_{is}a_{js}m_{ij}^{\alpha} + \sum_{i=k+1}^{k+m}a_{is}a_{i+m,s}\biggr)[\operatorname{Id}_{S^n},\operatorname{Id}_{S^n}]\eta;
\end{equation*}
\notag
$$
c) при $u+v+1 \leqslant s \leqslant u+2v$ 4.3.2. Гомотопические инварианты второго порядка отображения $P \circ \alpha$Теперь опишем инварианты второго порядка для $P\circ\alpha$. Из разложения (4.4) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P\alpha &= \biggl(\sum_i \biggl(\sum_s j_sP_{is}p_i\biggr)\biggr)\alpha = \sum_i\biggl(\biggl(\sum_s j_sP_{is}p_i\biggr)\alpha\biggr) \\ &\qquad+ \sum_{1\leqslant i<j \leqslant k+2m}\biggl[\sum_s j_sP_{is}p_i,\sum_t j_tP_{jt}p_j\biggr] H(\alpha) \\ & = \sum_i \biggl(\sum_s j_sP_{is}p_i\alpha + \sum_{1\leqslant s < t \leqslant u+2v} [j_sP_{is}p_i,j_tP_{it}p_i]H(\alpha )\biggr) \\ &\qquad+ \sum_{i<j}\biggl(\sum_{s,t} [j_sP_{is}p_i,j_tP_{jt}p_j]H(\alpha )\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя то же рассуждение, что и при вычислении гомотопических инвариантов первого порядка для $P \circ \alpha$, мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &P\alpha=\sum_{i,s}(j_sP_{is}p_i\alpha ) + \sum_i \sum _{s<t} a_{is}a_{it}h_{ii}^{\alpha}\nu(i,i,s,t)([j_s,j_t]\mu_{st}) \\ &\quad+ \sum_{i<j}\sum_{s<t}a_{is}a_{jt}h_{ij}^{\alpha}\nu(i,j,s,t)([j_s,j_t]\mu_{st}) \\ &\quad + \sum_{i<j}\sum_{s<t}a_{it}a_{js}h_{ij}^{\alpha}\nu(i,j,t,s)([j_t,j_s]\mu_{ts})+ \sum_{i<j}\sum_s a_{is}a_{js}h_{ij}^{\alpha}\nu(i,j,s,s)([j_s,j_s]\mu_{ss}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $ [j_s,j_s]=j_s [\operatorname{Id}_{\Sigma Y_s},\operatorname{Id}_{\Sigma Y_s}]$, поэтому сумма первого и последнего слагаемых выше равна т.е. инвариантам первого порядка отображения $P\alpha$. В силу единственности инвариантов второго порядка коэффициенты при $[j_s,j_t]\mu_{st}$ с $s<t$ в суммах выше равны $h_{st}^{P\alpha}$ (по модулю порядка элемента $\mu_{st}$). Точнее, мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h_{st}^{P\alpha} &=\sum_{i=1}^{k+2m} a_{is}a_{it}h_{ii}^{\alpha}\nu(i,i,s,t) \\ &\qquad+ \sum_{1\leqslant i < j \leqslant k+2m} a_{is}a_{jt}h_{ij}^{\alpha}\nu(i,j,s,t) + a_{it}a_{js}h_{ij}^{\alpha}\nu(i,j,t,s)\varepsilon (s,t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя в разложении выше вычисленные значения коэффициентов $h_{ij}^{\alpha}$, $\nu (i,j,s,t,n)$ и $\varepsilon(s,t,n)$, мы приходим к следующему утверждению. Предложение 4.9. Инварианты второго порядка отображения $P\circ \alpha$ имеют вид (i) при $1\leqslant s <t \leqslant u$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h_{st}^{P\alpha} &=\sum_{\substack{i=1\\p_i=q_s=q_t} }^k a_{is}a_{it}h_{ii}^{\alpha}q_s^{\max\{ r_i,l_s\} - \min \{ r_i,l_t\} } \\ &\qquad +\sum_{\substack{1\leqslant i < j \leqslant k\\p_i=p_j=q_s=q_t}} (a_{is}a_{jt}h_{ij}^{\alpha}q_s^{\max\{ l_s-r_i,\,0\} + \max \{ r_j-l_t,\,0\}} \\ &\qquad\qquad + (-1)^{n+1}a_{it}a_{js}h_{ij}^{\alpha}q_s^{\max\{ r_j,l_s\} - \min\{ r_i,l_t\} }); \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) при $1\leqslant s \leqslant u$ и $u+1 \leqslant t \leqslant u+v$ (iii) при $1\leqslant s \leqslant u$ и $u+v+1 \leqslant t \leqslant u+2v$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h_{st}^{P\alpha} &=\sum_{\substack{i=1\\ p_i=q_s}}^k (-1)^{n}a_{is}a_{it}h_{ii}^{\alpha}q_s^{\max \{l_s-r_i,\,0\}} + \sum_{\substack{1\leqslant i <j\leqslant k\\ p_i=p_j=q_s}}(-1)^{n}a_{is}a_{jt}h_{ij}^{\alpha} q_s^{\max\{ l_s-r_i,\,0\}} \\ &\qquad - \sum_{\substack{1\leqslant i <j\leqslant k\\ p_i=p_j=q_s}}a_{it}a_{js}h_{ij}^{\alpha}q_s^{\max \{ r_j,l_s \} -r_i} + \sum_{\substack{i=1\\ p_i=q_s}}^k\sum_{j=k+m+1}^{k+2m}a_{is}a_{jt}h_{ij}^{\alpha}q_s^{\max \{l_s-r_i,\,0\}}; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(iv) при $u+1\leqslant s <t \leqslant u+v$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h_{st}^{P\alpha}&=\sum_{i=k+1}^{k+m}a_{is}a_{it}h_{ii}^{\alpha} + \sum_{k+1\leqslant i<j\leqslant k+m}(a_{is}a_{jt}+a_{it}a_{js})m_{ij}^{\alpha} \\ &\qquad + \sum_{i=k+1}^{k+m}(a_{is}a_{i+m,t} +a_{it}a_{i+m,s}); \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(v) при $u+1\leqslant s \leqslant u+v$ и $ u+v+1 \leqslant t \leqslant u+2v$
$$
\begin{equation*}
h_{st}^{P\alpha}= \sum_{i=k+1}^{k+m} a_{is}a_{i+m,t};
\end{equation*}
\notag
$$
(vi) при $u+v+1\leqslant s <t \leqslant u+2v$ 4.3.3. Множество гомотопических инвариантов отображения $P\circ\alpha$ между комплексами Пуанкаре без крученияВ этом пункте мы применим предыдущие результаты к случаю $(n-1)$-связных $(2n+1)$-мерных комплексов Пуанкаре $X$ и $Y$, у которых $n$-е группы гомологий являются конечно порожденными свободными абелевыми группами. Мы используем обозначения из формул (4.1) и (4.2). Напомним гомотопические разложения для $X$ и $Y$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X \simeq \overline X\cup_{\alpha} D^{2n+1} = \biggl( \Sigma \bigvee_{i=1}^m (S^{n-1}_i\vee S^{n}_{i+m})\biggr)\cup_{\alpha}D^{2n+1}, \\ Y \simeq \overline Y \cup_{\alpha} D^{2n+1} = \biggl( \Sigma \bigvee^v_{s=1}(S^{n-1}_s\vee S^{n}_{s+v})\biggr) \cup_{\beta} D^{2n+1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $P\colon \overline X\to \overline Y$ – отображение между $2n$-мерными остовами и пусть при $1\leqslant i \leqslant 2m$ и $1\leqslant s \leqslant 2v$. Из предложения 4.8 вытекает следующий результат.Предложение 4.10. Гомотопические инварианты первого порядка отображения $P\circ\alpha$ задаются следующим образом: при $1\leqslant s\leqslant v$ и при $v+1\leqslant s\leqslant 2v$. Применяя предложение 4.9 в случае комплексов Пуанкаре без кручения, мы получаем следующее описание инвариантов второго порядка отображения $P\,{\circ}\,\alpha$. Предложение 4.11. Инварианты второго порядка отображения $P\circ \alpha$ имеют вид § 5. Степень отображенияВ этом параграфе мы доказываем основной результат, устанавливающий необходимые и достаточные алгебраические условия существования отображения данной степени между $(n-1)$-связными $(2n+1)$-мерными комплексами Пуанкаре без $2$-кручения в гомологиях, т.е. между двумя пространствами из семейства $\mathcal{Z}_n$. Для этого мы используем наше определение степени отображения между пространствами одной размерности с единственной клеткой старшей размерности, т.е. между $\mathcal{T}^n$-пространствами. Заметим, что $(n-1)$-связные $(2n+1)$-мерные комплексы Пуанкаре являются примерами $\mathcal{T}^{2n+1}$-пространств. В обозначениях предыдущих параграфов мы имеем $X \simeq \overline X\cup_{\alpha}D^{2n+1}$, где $\overline X$ есть $2n$-мерный остов пространства $X$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\overline X \simeq \Sigma \bigvee_{i=1}^{k+2m}X_i = \Sigma \biggl(\biggl(\bigvee_{i=1}^k P^{n}(p_i^{r_i}) \biggr) \vee \bigvee_{i=1}^m (S^{n-1}_{k+i} \vee S^{n}_{k+m+i})\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $p_i$ – нечетные простые числа, а $r_i\in \mathbb{N}$ – порядки пространств Мура, т.е. $3\leqslant p_1\leqslant \dots \leqslant p_k$, и если при $i<j$ выполнено $p_i=p_j$, то $r_i\leqslant r_j$. Далее, $\alpha \colon S^{2n}\to \overline X$ – приклеивающее отображение, $i_i\colon \Sigma X_i\to \overline X$ – вложение, а $p_i\colon \overline X\to \Sigma X_i$ – отображение стягивания для $1\leqslant i \leqslant k+2m$. Аналогично, представим $Y$ в виде $ Y\simeq \overline Y\cup_{\beta}D^{2n+1}$, где $\overline Y$ – $2n$-мерный остов. Мы имеем
$$
\begin{equation*}
\overline Y \simeq \Sigma \bigvee_{s=1}^{u+2v}Y_s = \Sigma \biggl(\biggl(\bigvee_{s=1}^u P^{n}(q_s^{l_s})\biggr)\vee \bigvee_{s=1}^v (S_{u+s}^{n-1}\vee S_{u+v+s}^{n})\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\beta \colon S^{2n} \to \overline Y$ – приклеивающее отображение $(2n+1)$-мерной клетки, $j_s$ – вложение, а $q_s$ – отображение стягивания для $1 \leqslant s \leqslant u+2v$. При $1\leqslant s,t\leqslant u+2v$ обозначим через $\mu_{st}$ образующую группы $\pi_{2n}(\Sigma Y_s \wedge Y_t)$, которая задается аналогично образующим $\xi_{ij}$ в определении 3.3. Обозначим через $P\colon \overline X\to \overline Y$ ограничение отображения $f$ на $\overline X$. Утверждение вытекает из того, что $\beta [d]=d \beta$ и все инварианты являются гомоморфизмами. Мы сведем все предыдущие вычисления в одно утверждение, дающее необходимые и достаточные условия существования отображения степени $d$. Более того, решая соответствующую систему уравнений, мы получаем описание всех отображений данной степени с точностью до гомотопии. Теорема 5.1. Пусть $X,Y \in \mathcal Z_n$ и $n\geqslant 3$. а) Отображение $f \colon X \to Y$ степени $d$ существует тогда и только тогда, когда система уравнений (i) при $1 \leqslant s \leqslant u$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^k a_{is}(\psi_{is}p_i\alpha) +\sum_{i=k+1}^{k+m}a_{is}(\iota_s p_i\alpha) +\biggl(\sum_{\substack{ 1\leqslant i\leqslant k\\ p_i=q_s\\}} C_{a_{is}}^{2}h_{ii}^{\alpha}q_s^{|l_s-r_i|} \\ &\qquad\qquad+\sum_{\substack{1\leqslant i<j\leqslant k\\ p_i=p_j=q_s}}a_{is}a_{js}h_{ij}^{\alpha}q_s^{\max\{ l_s,r_j\} - \min \{ r_i,l_s\} }\biggr) [\operatorname{Id}_{\Sigma Y_s},\operatorname{Id}_{\Sigma Y_s}]\mu_{ss} \\ &\qquad = dq_s\beta \quad\textit{в }\ \pi_{2n}(P^n(q_s^{l_s})); \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) при $u+1 \leqslant s \leqslant u+v$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \sum_{i=k+1}^{k+m}a_{is}(p_i\alpha) +\sum_{i=k+m+1}^{k+2m}a_{is}(\eta p_i\alpha) +\biggl(\sum_{i=k+1}^{k+m} C_{a_{is}}^{2}h_{ii}^{\alpha} + \sum_{k+1\leqslant i<j\leqslant k+m}a_{is}a_{js}m_{ij}^{\alpha} \\ &\qquad+ \sum_{i=k+1}^{k+m}a_{is}a_{i+m,s}\biggr) [\operatorname{Id}_{\Sigma Y_s},\operatorname{Id}_{\Sigma Y_s}]\eta = dq_s\beta \quad\textit{в }\ \pi_{2n}(S^{n}); \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(iii) при $u+v+1 \leqslant s \leqslant u+2v$
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^ka_{is}(q p_i\alpha ) +\sum_{i=k+m+1}^{k+2m} a_{is}(p_i\alpha ) = dq_s\beta, \quad\textit{в }\ \pi_{2n}(S^{n+1});
\end{equation*}
\notag
$$
(iv) при $1 \leqslant s < t \leqslant u$, $q_s=q_t$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \sum_{ \substack{1\leqslant i\leqslant k\\ p_i=q_s}} a_{is}a_{it}h_{ii}^{\alpha}q_s^{\max\{ r_i,l_s\} - \min \{ r_i,l_t\} } + \sum_{\substack{1\leqslant i < j \leqslant k\\p_i=p_j=q_s}} (a_{is}a_{jt}h_{ij}^{\alpha}q_s^{\max\{ l_s-r_i,\,0\} + \max \{ r_j-l_t,\,0\}} \\ &\qquad\qquad + (-1)^na_{it}a_{js}h_{ij}^{\alpha}q_s^{\max\{ r_j,l_s\} - \min\{ r_i,l_t\} }) = dh_{st}^{\beta} \ (\operatorname{mod} q_s^{l_s}); \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(v) при $1\leqslant s \leqslant u$ и $u+v+1 \leqslant t \leqslant u+2v$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \sum_{\substack{1\leqslant i\leqslant k\\p_i=q_s}} (-1)^{n}a_{is}a_{it}h_{ii}^{\alpha}q_s^{\max \{l_s-r_i,\,0\}} + \sum_{\substack{1\leqslant i <j\leqslant k\\ p_i=p_j=q_s}}(-1)^{n}a_{is}a_{jt}h_{ij}^{\alpha} q_s^{\max\{ l_s-r_i,\,0\}} \\ &\qquad\qquad - \sum_{\substack{1\leqslant i <j\leqslant k\\ p_i=p_j=q_s}}a_{it}a_{js}h_{ij}^{\alpha}q_s^{\max \{ r_j,l_s \} -r_i} + \sum_{\substack{i=1\\ p_i=q_s}}^k\sum_{j=k+m+1}^{k+2m}a_{is}a_{jt}h_{ij}^{\alpha}q_s^{\max \{l_s-r_i,\,0\}} \\ &\qquad = dh_{st}^{\beta } \ (\operatorname{mod} q_s^{l_s}); \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(vi) при $u+1\leqslant s <t \leqslant u+v$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \sum_{i=k+1}^{k+m}a_{is}a_{it}h_{ii}^{\alpha} + \sum_{k+1\leqslant i<j\leqslant k+m}(a_{is}a_{jt}+a_{it}a_{js})m_{ij}^{\alpha} + \sum_{i=k+1}^{k+m}(a_{is}a_{i+m,t} +a_{it}a_{i+m,s}) \\ &\qquad = dh_{st}^{\beta } \ (\operatorname{mod} 2); \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(vii) при $u+1\leqslant s \leqslant u+v$ и $ u+v+1 \leqslant t \leqslant u+2v$
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=k+1}^{k+m} a_{is}a_{i+m,t} = d\delta_{s,t-v} \quad\textit{в }\ \mathbb{Z}
\end{equation*}
\notag
$$
имеет целочисленное решение $(a_{is})$, где $1\leqslant i \leqslant k+2m$ и $1\leqslant s \leqslant u+2v$. b) Для каждого фиксированного $d$ решения $(a_{ij})$ системы из утверждения a) биективно соответствуют гомотопическим классам отображений $f\colon X\to Y$ степени $d$. Доказательство. Если отображение $f\colon X\to Y$ степени $d$ существует, то имеем коммутативную диаграмму где $P$ – ограничение отображения $f$ на $\overline X$. Таким образом, $\beta [d]=P\circ\alpha$.
Записывая гомотопические инварианты отображений $P\circ\alpha$ и $\beta[d]$, как описано в предложениях 4.8, 4.9 и лемме 5.1, и сравнивая соответствующие члены, мы получаем требуемые соотношения. Чтобы доказать обратное утверждение и утверждение b), напомним, что отображение $P$ однозначно определяется коэффициентами $a_{ij}$ согласно (4.4) и (4.5). Поэтому если система имеет решение $(a_{ij})$, то это решение определяет отображение $P$, для которого диаграмма (5.1) коммутативна. Тогда диаграмма корасслоений задает отображение $f$ степени $d$. Теорема доказана.Таким образом, если нам удастся найти все решения системы для данного $d$, то мы тем самым опишем множество всех гомотопических классов отображений $f\colon X\to Y$ степени $d$. Непосредственным следствием из доказательства является периодичность множества $D(X,Y)$. Следствие 5.1. Пусть $X,Y\in \mathcal{Z}_n$ при $n\geqslant 3$, и пусть приклеивающее отображение $\beta$ для $Y$ имеет конечный порядок. Тогда a) множество $D(X,Y)$ периодично с периодом $\operatorname{order}(\beta )$; b) выполнено Доказательство. Если существует отображение $f\colon X \to Y$ степени $d$, то диаграмма (5.1) коммутативна. Эта диаграмма остается коммутативной, если отображение $[d]$ заменить на $[d+k\cdot \operatorname{order}(\beta )]$ для любого $k\in \mathbb{Z}$, так как Отсюда следует, что также существует отображение степени $d+k\cdot \operatorname{order}(\beta )$, а значит, $d+k\cdot \operatorname{order}(\beta )\in D(X,Y)$ для любого $k\in \mathbb{Z}$.
Для доказательства п. b) заметим, что всегда существует постоянное отображение степени $0$. Следствие доказано. Далее мы при помощи простых алгебраических наблюдений опишем все возможные значения степени отображений между некоторыми комплексами Пуанкаре. Обозначение 5.1. Для пространства $X \in \mathcal{Z}_n$ его $2n$-мерный остов $\overline X$ представляет собой букет Обозначим слагаемые букета через Как и выше, обозначим вложения через $\iota_T$, $\iota_{n}$ и $\iota_{n+1}$ и обозначим стягивающие отображения через $p_T$, $p_{n}$ и $p_{n+1}$. Пусть $X,Y\in \mathcal{Z}_n$. Из предложения 4.1 следует, что любое отображение $P\colon \overline X \to \overline Y$ можно представить в виде где, например,Заметим, что для любого такого отображения $P$. Лемма 5.2. Пусть даны $ X,Y,Z \in \mathcal{Z}_n $ и $P \colon \overline X \to \overline Y $, $Q\colon \overline Y \to \overline{Z}$. Тогда Доказательство. Докажем первое равенство:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (QP)_{TT} &=p_TQP\iota_T=p_TQ(\iota_TP_{TT} +\iota_{n}P_{Tn} + \iota_{n+1}P_{T,n+1}) \\ &=p_TQ\iota_TP_{TT} +p_TQ \iota_{n}P_{Tn}+p_TQ\iota_{n+1}P_{T,n+1} \\ &=Q_{TT}P_{TT} +Q_{nT}P_{Tn}+ Q_{n+1,T}P_{T,n+1}=Q_{TT}P_{TT}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оставшиеся пять равенств доказываются аналогично. Лемма доказана. Определение 5.1. Каждому из отображений $P_{xy}$, где $x,y\in\{ T,n,n+1\} $, представимому в виде суммы отображений $P_{is}=a_{is}\psi_{is}$, поставим в соответствие матрицу $P_{xy}^*=(a_{ij})$. Заметим, что отображениям $P_{nn}$ и $P_{n+1,n+1}$ соответствуют матрицы с целыми коэффициентами, матрица $P_{n,n+1}^*$ нулевая, а матрица $P^*_{n+1,n}$ имеет коэффициенты из $\mathbb{Z} /2$. Все эти четыре матрицы имеют размер $m \times v$. Используя матричные обозначения, в предположении $v>0$ соотношение (vii) из теоремы 5.1 можно переписать в виде Из соотношения (5.2) вытекает, что степень $d$ можно восстановить, вычислив матрицы $(f|_{\overline X})^*_{nn}$ и $(f|_{\overline X})^*_{n+1,n+1}$. Непосредственно получаем следующие результаты. Следствие 5.2. Пусть $ X,Y\in \mathcal{Z}_n $, причем $\operatorname{rank} H_n(X)=\operatorname{rank} H_n(Y)\,{>}\,0$, и пусть задано отображение $f\colon X\to Y$ степени $d=\pm 1$. Обозначим ограничение $f$ на $\overline X$ через $P$. Тогда отображения $P_{nn}$ и $P_{n+1,n+1}$ являются гомотопическими эквивалентностями, а Следствие 5.3. Пусть $X,Y\,{\in}\,\mathcal{Z}_n$, причем $\operatorname{rank} H_n(X)\,{=}\operatorname{rank} H_n(Y)\,{=}\,v\,{>}\,0$, и пусть задано отображение $f\colon X\to Y$ степени $d$. Тогда Следствие 5.4. Пусть $ X,Y\,{\in}\,\mathcal{Z}_n $, причем $\operatorname{rank} H_n(X)\,{<}\, \operatorname{rank} H_n(Y)$. Тогда Доказательство. Имеем Максимальный ранг матрицы в левой части уравнения равен $\operatorname{rank} H_n(X)$, в то время как при $d\neq 0$ ранг матрицы в правой части равен $\operatorname{rank} H_n(Y)$. Мы приходим к противоречию, поэтому $d=0$. Следствие доказано. Из следствий 5.1 и 5.4 мы также получаем Следствие 5.5. Пусть $Y\,{\in}\,\mathcal{Z}_n$, где $n\geqslant3$ и $\operatorname{rank} H_n(Y;\mathbb{Z} )>0$. Тогда приклеивающее отображение $\beta \colon S^{2n} \to \overline Y$ имеет конечный порядок. 5.1. Случай отсутствия крученияВ этом пункте мы уточняем наш основной результат, приводя необходимые и достаточные алгебраические условия для существования отображения данной степени между $(n-1)$-связными $(2n+1)$-мерными комплексами Пуанкаре $X,Y\in \mathcal{J}_n$ без кручения. Для таких пространств мы имеем гомотопические разложения (см. (4.1) и (4.2))
$$
\begin{equation}
X\simeq \biggl( \Sigma\bigvee_{i=1}^m(S^{n-1}_i\vee S^n_{i+m})\biggr)\cup_{\alpha}D^{2n+1},
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
$$
\begin{equation}
Y\simeq \biggl( \Sigma\bigvee_{s=1}^v(S^{n-1}_s\vee S^n_{s+v})\biggr) \cup_{\beta}D^{2n+1}.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
В случае пространств $X,Y\in \mathcal{J}_n$ теорема 5.1 имеет более простую формулировку. Теорема 5.2. Пусть $X,Y\in\mathcal{J}_n$ и $n\geqslant 3$. а) Отображение $f\colon X\to Y$ степени $d$ существует тогда и только тогда, когда система уравнений (i) при $1\leqslant s \leqslant v$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \sum^m_{i=1}a_{is}(p_i\alpha)+\sum^{2m}_{i=m+1}a_{is}(\eta p_i\alpha)+ \biggl( \sum^m_{i=1}C_{a_{is}}^{2}h_{ii}^\alpha+\sum_{1\leqslant i<j\leqslant m}m^\alpha_{ij}a_{is}a_{js} \\ &\qquad\qquad +\sum^m_{i=1}a_{is}a_{m+i, t} \biggr) [\operatorname{Id}_{S^{n}},\operatorname{Id}_{S^{n}}]\eta =d(q_s\beta) \quad \textit{в }\ \pi_{2n}(S^n); \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
(ii) при $v+1\leqslant s \leqslant 2v$
$$
\begin{equation}
\sum^{2m}_{i=m+1}a_{is}(p_i\alpha)=d(q_s\beta) \quad \textit{в }\ \pi_{2n}(S^{n+1});
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
(iii) при $1\leqslant s < t \leqslant v$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \sum^m_{i=1}a_{is}a_{it}h_{ii}^\alpha+\sum_{1\leqslant i<j\leqslant m}(a_{is}a_{jt}+a_{it}a_{js})m_{ij}^\alpha+\sum_{i=1}^m(a_{is}a_{i+m, t}+a_{it}a_{i+m, s}) \\ &\qquad \equiv dm^\beta_{st}\ (\operatorname{mod} 2); \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
(iv) при $1\leqslant s \leqslant v$ и $v+1 \leqslant t \leqslant 2v$ имеет целочисленное решение $\{ a_{is} \mid 1\leqslant i\leqslant 2m, \ 1\leqslant s\leqslant 2v\}$.b) Для фиксированного $d\in \mathbb{Z}$ решения $(a_{ij})$ системы находятся в биективном соответствии с гомотопическими классами отображений $f\colon X \to Y$ степени $d$. Эта теорема следует из теоремы 5.1. Из предложения 4.4, (3) следует, что в соотношениях (5.5) мы можем заменить $h^{\alpha }_{ii}$ на $h(p_i\alpha)$. При работе с соотношением (5.5) будет полезен следующий результат. Лемма 5.3. При $n\geqslant 2$ пусть обозначает $(2n-3)$-кратную надстройку над отображением Хопфа $\eta_2 \colon S^3\to S^2$. Тогда a)
$$
\begin{equation*}
[\operatorname{Id}_{S^n}, \operatorname{Id}_{S^n}]\eta =0 \quad\textit{при }\ n\equiv 3 \ (\operatorname{mod} 4) \quad\textit{или }\ n=2,6.
\end{equation*}
\notag
$$
b) Если $n \not\equiv 3 \ (\operatorname{mod} 4)$ и $n\neq 2,6$, то порядок отображения равен $2$. Доказательство. В силу [11; (2.1)]
$$
\begin{equation*}
[\operatorname{Id}_{S^n},\Sigma^{n-2}\eta _2]=0 \quad\text{ тогда и только тогда, когда } \ n\equiv 3 \ (\operatorname{mod} 4) \quad\text{или }\ n=2,6.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, в силу [29; теорема 8.18]
Для доказательства утверждения b) заметим, что Лемма доказана.Рассмотрим пространства $X,Y\in\mathcal{J}_n$, где $X$ имеет ранг $m$, а $Y$ имеет ранг $v$. Для отображения $P \colon \overline X \to \overline Y$ определим матрицу $P^*=(a_{ij})_{2m \times 2v}$, используя разложение (4.4). Приведем некоторые свойства матрицы $P^*$ для дальнейшего использования. Лемма 5.4. Пусть пространства $X$, $Y$ и $Z$ принадлежат семейству $\mathcal{J}_n$ и заданы отображения $P\colon \overline X \to \overline Y$ и $Q\colon \overline Y \to \overline Z$. Положим Тогда a) $(QP)_{it}=\sum^v_{s=1}Q_{st}P_{is}\colon \Sigma X_i \to \Sigma Z_t$ при $1\leqslant i \leqslant 2m$ и $1 \leqslant t \leqslant 2r$; b) $((QP)^*)^T = (Q^*)^T (P^*)^T$; c) если $m=v$, то $\det(QP)^* = \det Q^* \det P^* $. Доказательство. Из соотношения (4.4) получаем что доказывает a). Оставшиеся утверждения – простые тождества из линейной алгебры. Лемма доказана. В обозначениях выше мы также имеем следующее утверждение. Следствие 5.6. Пусть $X,Y\in\mathcal{J}_n$, и пусть $f\colon X\to Y$ – отображение степени $d$. Если $m=\operatorname{rank} H_{n}(X)=\operatorname{rank} H_{n}(Y)=v$, то Доказательство непосредственно вытекает из следствия 5.3. Заметим, что матрица $(f|_{\overline X})^*_{n,n+1}$ нулевая, откуда
$$
\begin{equation*}
\det (f|_{\overline X})^* = \det ((f|_{\overline X})^*_{nn})\det ((f|_{\overline X})^*_{n+1,n+1})=d^v.
\end{equation*}
\notag
$$
§ 6. Вычисление степени отображения6.1. Явное описание множества $D(X,Y)$ в случае комплексов Пуанкаре без крученияВ этом параграфе мы явно опишем множество $D(X,Y)$ отображений между некоторыми специальными комплексами Пуанкаре $X,Y\in \mathcal{J}_n$ без кручения, в случае $n\geqslant 3$. Пример 6.1. Рассмотрим случай $\operatorname{rank} (X)=0$. Тогда $X\simeq S^{2n+1}$. Если $\operatorname{rank} (Y) > 0$, то мы имеем $D(X,Y)=\{ 0\}$ в силу следствия 5.4. Если же $\operatorname{rank} (Y)=0$, то $Y\simeq S^{2n+1}$ и $D(X,Y)=\mathbb{Z} $. Пример 6.2. Рассмотрим случай $\operatorname{rank} (Y) = 0$. Тогда $Y\simeq S^{2n+1}$, и мы получаем $D(X,Y)=\mathbb{Z} $, так как для любого $d\in \mathbb{Z}$ композиция является отображением степени $d$. Пример 6.3. Рассмотрим случай $\operatorname{rank} (X)=1$. Тогда разложение (5.3) принимает вид В зависимости от гомотопического типа $Y$ мы рассмотрим несколько случаев. (i) Пусть $\operatorname{rank}(Y)\geqslant 2$. Тогда из следствия 5.4 получаем (ii) Пусть $\operatorname{rank}(Y)=1$. Тогда Из предложения 3.1 получаем следующие разложения приклеивающих отображений:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha=\iota_1p_1\alpha +\iota_2p_2\alpha +[\iota_1,\iota_2], \\ \beta=j_1q_1\beta+j_2q_2\beta+[j_1,j_2]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Система уравнений из теоремы 5.2 принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &a_{11}(p_1\alpha)+a_{21}(\eta p_2\alpha)+(C_{a_{11}}^{2}h_{11}^\alpha +a_{11}a_{21})[\operatorname{Id}_{S^{n}},\operatorname{Id}_{S^{n}}]\eta=d(q_1\beta), \\ &a_{22}(p_2\alpha)=d(q_2\beta), \\ &a_{11}a_{22}=d. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
В общем случае не представляется возможным решить эту систему, так как соответствующие гомотопические группы неизвестны. Однако для некоторых значений $n$, $p_1\alpha$, $p_2\alpha$, $q_1\beta$, $q_2\beta$ возможно явно описать решения и тем самым определить множество $D(X,Y)$. (iii) Пусть $n=3$ и $\operatorname{rank}(Y)=1$. Рассмотрим произвольные приклеивающие отображения $\alpha,\beta\colon S^6\to S^{3}\vee S^4$. Мы будем использовать обозначения и результаты из [25]. См. также [17; лемма 2.1]. Гомотопическими инвариантами первого порядка отображения $\alpha\colon S^6\to S^{3}\vee S^4$ являются
$$
\begin{equation*}
p_1\alpha\in\pi_6(S^3)\cong \mathbb{Z}/12=\langle w\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
где $w=\nu'-\alpha_1(3)$ таково, что $\pi_6^3\cong\mathbb{Z}/4=\langle \nu'\rangle$, $2\nu'=\eta^3_3$, и
$$
\begin{equation*}
p_2\alpha\in\pi_6(S^4)\cong \mathbb{Z}/2=\langle \eta^2_4\rangle, \quad\text{где }\ \eta^2_4=\eta_4\eta_5.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, если $X=(S^3\vee S^4)\cup_\alpha e^7$ является комплексом Пуанкаре, то $\alpha$ можно представить в виде
$$
\begin{equation*}
\alpha=a(i_1w)+b(i_2\eta^2)+[i_1,i_2], \quad\text{где }\ a\in\mathbb{Z}/12, \quad b\in\mathbb{Z}/2.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $Y=(S^3\vee S^4)\cup_\beta e^7$ – другой комплекс Пуанкаре с приклеивающим отображением
$$
\begin{equation*}
\beta=g(j_1w)+h(j_2\eta^2)+[i_1,i_2], \quad\text{где }\ g\in\mathbb{Z}/12, \quad h\in\mathbb{Z}/2.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $S^3$ является $H$-пространством, произведение Уайтхеда $[\operatorname{Id}_{S^3},\operatorname{Id}_{S^3}]$ тривиально. Система уравнений из теоремы 5.2 принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &a_{11}aw+a_{21}b(\eta^3)=dgw, \\ &a_{22}b\eta^2=dh \eta^2, \\ &a_{11}a_{22}=d. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
Заметим, что $\eta^3$ имеет порядок 2. Следовательно, Мы получаем систему
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &a_{11}a+6a_{21}b\equiv dg \ (\operatorname{mod} 12), \\ &a_{22}b\equiv dh\ (\operatorname{mod} 2), \\ &a_{11}a_{22}=d. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
Следовательно, $D(X,Y)=\{ d\mid \text{система (6.5) имеет целочисленные решения}$ $(a_{ij})\}$. Конкретный вид множества $D(X,Y)$ зависит от $\alpha$ и $\beta$, т.е. от значений $a,b,g$ и $h$. Рассмотрим следующие специальные случаи. (iii) а) Пусть $g=h=0$. Тогда $Y=S^3\times S^4$. Система (6.5) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &a_{11}a+6a_{21}b\equiv 0 \ (\operatorname{mod}12), \\ &a_{22}b\equiv 0\ (\operatorname{mod} 2), \\ &a_{11}a_{22}=d. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Решая эту систему, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} &\text{если $b$ нечетно}, &\qquad & D(X,Y)=\biggl\{\frac{12}{(a,6)}k \mid k\in\mathbb{Z} \biggr\}, \\ &\text{если $b$ четно}, &\qquad & D(X,Y)=\biggl\{\frac{12}{(a,12)}k\mid k\in\mathbb{Z}\biggr\} . \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
(iii) b) Пусть $a=b=g=h=1$. Тогда $X=Y$. Система (6.5) принимает вид Решая эту систему, получаемДалее рассмотрим случай, когда $X$ является связной суммой произведений сфер, а $Y$ – произвольным пространством из $\mathcal{J}_n$ ранга 1. Предложение 6.1. Пусть $X=(S^{n}\times S^{n+1})^{\# m}$, а $Y=(S^{n}\vee S^{n+1})\cup_{\beta}D^{2n+1}$ принадлежит семейству $\mathcal{J}_n$ с $n\geqslant 3$. a) Если $n=6$ или $4\mid (n+1)$ или если $n\neq 6$ и $4\nmid (n+1)$, причем не существует $t\in \mathbb{N}$, для которого $t q_1\beta = [\operatorname{Id}_{S^{n}},\operatorname{Id}_{S^{n}}]\eta$, то
$$
\begin{equation*}
D(X,Y)=\{\operatorname{\textrm{НОК}}(\operatorname{order}(q_1\beta ),\operatorname{order}(q_2\beta ))k \mid k\in\mathbb{Z}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
b) Если $n\neq 6$, $4\nmid (n+1)$, причем существует $t\in \mathbb{N}$, для которого $t q_1\beta = [\operatorname{Id}_{S^{n}},\operatorname{Id}_{S^{n}}]\eta$, то Доказательство. Заметим, что для рассматриваемого пространства $X$ мы имеем разложение а) Если $n=6$ или $4\mid (n+1)$, то $[\operatorname{Id}_{S^{n}},\operatorname{Id}_{S^{n}}]\eta=0$ и соотношения из теоремы 5.2 приобретают вид Поэтому необходимыми условиями существования отображения $f\colon X \to Y$ степени $d$ являются $\operatorname{order}(q_1\beta )\mid d$ и $\operatorname{order}(q_2\beta )\mid d$. Заметим, что порядок тривиального отображения равен 1. Эти условия также являются достаточными, так как для любого такого $d$ мы можем положить $a_{11}=d$, $a_{m+1, 2}=1$ и $a_{ij}=0$ в остальных случаях. Это доказывает утверждение а) в случаях $n=6$ и $4\mid (n+1)$.
Если $n\neq 6$ и $4\nmid (n+1)$, причем не существует такого $t\in \mathbb{N}$, что $t q_1\beta = [\operatorname{Id}_{S^{n}},\operatorname{Id}_{S^{n}}]\eta$, то обе части соотношения (5.5) из теоремы 5.2 обращаются в 0. Из теоремы 5.2 и леммы 5.3 получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^ma_{i1}a_{m+i, 1} \equiv 0\ (\operatorname{mod} 2),\qquad dq_1\beta =0,\qquad dq_2\beta = 0,\qquad \sum_{i=1}^m a_{i1}a_{i+m, 2}=d.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае необходимыми условиями существования отображения $f\colon X\,{\to}\,Y$ степени $d$ являются $\operatorname{order}(q_1\beta )\mid d$ и $\operatorname{order}(q_2\beta )\mid d$. Для таких $d$ мы можем положить $a_{11}=d$, $a_{m+1, 2}=1$, $a_{m+1, 1} =2$ и $a_{ij}=0$ в остальных случаях. Это дает существование отображения $f\colon X \to Y$ степени $d$ и завершает доказательство утверждения а).
b) Пусть $n\neq 6$ и $4\nmid (n+1)$. Тогда $[\operatorname{Id}_{S^{n}},\operatorname{Id}_{S^{n}}]\eta \neq 0$ и имеет порядок $2$ (лемма 5.3). Пусть $t_0$ – минимальное число $t\in\mathbb{N}$, для которого $t(q_1\beta)=[\operatorname{Id}_{S^{n}},\operatorname{Id}_{S^{n}}]\eta$. Заметим, что $\operatorname{order}(q_1\beta)=2t_0$. Соотношения из теоремы 5.2 принимают вид
$$
\begin{equation*}
\biggl(\sum_{i=1}^ma_{i1}a_{m+i, 1}\biggr)[\operatorname{Id}_{S^{n}},\operatorname{Id}_{S^{n}}]\eta = dq_1\beta,\qquad dq_2\beta = 0,\qquad \sum_{i=1}^m a_{i1}a_{i+m, 2}=d.
\end{equation*}
\notag
$$
Необходимыми условиями существования решения этой системы являются
$$
\begin{equation*}
\operatorname{order}(q_2\beta)\mid d,\qquad t_0\mid d.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $d\in \{\operatorname{\textrm{НОК}}(\operatorname{order}(q_2\beta), \operatorname{order}(q_1\beta)/2)k \mid k\in\mathbb{Z}\}$.
Выберем такое $d$. Предположим, что $d$ является нечетным кратным $t_0$. Пусть $2^s$ – максимальная степень 2, делящая $d$, и положим $a_{11}=d/2^s$, $a_{m+1, 2}\,{=}\,2^s$, $a_{m+1, 1}=1$ и $a_{ij}=0$ в остальных случаях. Это показывает, что отображение $f\colon X \to Y$ степени $d$ существует. Пусть теперь $d$ является четным кратным $t_0$. Тогда положим $a_{11}=d$, $a_{k+1,1}=a_{k+1,2}=1$ и $a_{ij}=0$ в остальных случаях. Тем самым все соотношения будут выполнены, и мы получим отображение $f$ степени $d$, что завершает доказательство предложения 6.1. Теперь рассмотрим случай, когда оба пространства $X$ и $Y$ являются связными суммами произведений сфер. Предложение 6.2. Пусть $X=(S^{n} \times S^{n+1})^{\# m}$ и $Y=(S^{n} \times S^{n+1})^{\# v}$ при $n\geqslant 3$. Тогда a) $D(X,Y) = \{0\}$ при $m<v$; b) $D(X,Y) = \mathbb{Z}$ при $ m\geqslant v$. Доказательство. Утверждение a) следует из предложения 5.4.
Докажем утверждение b). Пусть $ m\geqslant v$. Тогда соотношения из теоремы 5.2 принимают вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl(\sum_{i=1}^ma_{it}a_{m+i,t}\biggr)[\operatorname{Id}_{S^{n}},\operatorname{Id}_{S^{n}}]\eta =0 \quad\text{при }\ 1\leqslant t \leqslant v, \\ \sum_{i=1}^m(a_{is}a_{i+m, t} + a_{it}a_{i+m, s}) = 0 \ (\operatorname{mod} 2) \quad\text{при }\ 1\leqslant s < t \leqslant v, \\ \sum_{i=1}^ma_{is}a_{i+m, t} = d\delta_{s,t-v} \quad\text{при }\ 1\leqslant s \leqslant v, \quad v+1\leqslant t \leqslant 2v. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Эта система имеет решение для любого $d\in \mathbb{Z}$. Например, и $a_{ij}=0$ в остальных случаях. Предложение доказано. В некоторых случаях можно найти число гомотопических классов отображений данной степени. Предложение 6.3. Пусть $d=\pm p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$, где $p_1 < p_2 <\dots < p_k$ – различные простые делители числа $d$ и $\alpha_i \geqslant 1$. Число гомотопических классов отображений степени $d$ пространства $S^n\times S^{n+1}$ в себя равно a) если $n\equiv 3\ (\operatorname{mod} 4)$ или $n=6$;b) если $n\not\equiv 3\ (\operatorname{mod}4)$, $n\neq 6$ и $d$ нечетно;c) если $n\not\equiv 3\ (\operatorname{mod} 4)$, $n\neq 6$ и $d$ четно. Доказательство. Ограничение отображения $f\colon S^n\times S^{n+1} \to S^n\times S^{n+1}$ на $2n$-мерный остов $S^n\vee S^{n+1}$ задается инвариантами $a_{11}\operatorname{Id}_{S^n}$, $a_{22}\operatorname{Id}_{S^{n+1}}$ и $a_{21}\eta$, где $a_{11},a_{22}\in \mathbb{Z}$, а коэффициент $a_{21}$ равен $0$ или $1$, так как $\eta$ имеет порядок $2$. В этом случае система соотношений из теоремы 5.2 упрощается.
В случае a) мы имеем $[\operatorname{Id}_{S^{n}},\operatorname{Id}_{S^{n}}]\eta =0$ в силу леммы 5.3, так что первый набор соотношений тривиален. Второй набор соотношений пуст, так что остается единственное соотношение в то время как $a_{21}$ может быть равно 0 или 1. Число $a_{11}$ может принимать $2(\alpha_1 +1)\cdots (\alpha_k +1)$ различных значений, а значение $a_{22}$ однозначно определяется значением $a_{11}$. Это доказывает утверждение а).В случаях b) и c) порядок элемента $[\operatorname{Id}_{S^{n}},\operatorname{Id}_{S^{n}}]\eta$ равен $2$, так что первый набор соотношений принимает вид и, как и в случае а), оставшееся соотношение имеет видВ случае b) число $d$ нечетно, а значит, $a_{11}$ также нечетно и $a_{21}=0$. Далее рассуждаем, как и в случае а). В случае c) число $d$ четно, а значит, $p_1=2$ и имеется две возможности в зависимости от четности $a_{11}$. Если $a_{11}$ нечетно, то $a_{21}=0$ и имеется $2(\alpha_2 +1)\cdots (\alpha_k +1)$ различных решений. Если $a_{11}$ четно, то $a_{21}=0$ или $a_{21}=1$ и имеется $4\alpha_1 (\alpha_2\,{+}\,1 )\cdots (\alpha_k\,{+}\,1)$ решений системы. Объединяя эти два набора решений, мы получаем число, указанное в утверждении c). Предложение доказано. 6.2. Явные описания множеств $D(X,Y)$ для $X,Y\in\mathcal Z_n$ и $n\geqslant 3$Для того чтобы определять степень конкретного отображения, нам необходимо более глубокое понимание гомотопической теории пространств Мура. Пусть $S^m\{ p^r \} $ – гомотопический слой отображения $p^r$-й степени $S^m\stackrel{p^r}{\to}S^m$. Тогда существует отображение $h_{m+1}\colon S^m\{ p^r\} \to \Omega P^{m+1}(p^r) $, которое вписывается в гомотопически коммутативную диаграмму расслоений Ф. Коэном, Дж. Муром и Дж. Нейзендорфером в [5] было получено следующее разложение пространства петель на $P^{2t}(p^r)$:
$$
\begin{equation*}
\Omega P^{2t}(p^r)\simeq S^{2t-1}\{ p^r\} \times\biggl(\bigvee_{k=0}^\infty P^{4t+2k(t-1)-1}(p^r)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого разложения при $t \geqslant 2$ непосредственно вытекает следующий изоморфизм:
$$
\begin{equation}
\pi_{4t-3}(S^{2t-1}\{ p^r \} ) \oplus \pi_{4t-2}(P^{4t-1}(p^r)) \to \pi_{4t-2}(P^{2t}(p^r)).
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
Этот изоморфизм переводит пару $([\phi ], a[\iota ])$ в гомотопический класс отображения
$$
\begin{equation*}
\operatorname{adj}(h_{2t}\phi ) + a [\operatorname{Id}_{P^{2t}},\operatorname{Id}_{P^{2t}}] (\Sigma \Delta )\iota,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{adj}(-)$ обозначает сопряженное отображение. Напомним также, что гомотопическая группа $ \pi_{4t-2}(P^{4t-1}(p^r))\cong \mathbb{Z} /p^r $ порождена классом отображения $\iota \colon S^{4t-2} \hookrightarrow P^{4t-1}(p^r) $, а группа $\pi_{4t-2}(P^{2t}(p^r))$ порождена гомотопическим классом композиции отображений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & [\operatorname{Id}_{P^{2t}(p^r)},\operatorname{Id}_{P^{2t}(p^r)}] (\Sigma \Delta )\iota\colon \\ &\qquad S^{4t-2} \to P^{4t-1}(p^r)\stackrel{h}{\to}\Sigma P^{4t-2}(p^r)\stackrel{\Sigma\Delta}{\to} \Sigma P^{2t-1} (p^r)\wedge P^{2t-1}(p^r) \nonumber \\ &\qquad\qquad \stackrel{c}{\to}\Sigma P^{2t-1}(p^r)\stackrel{h^{-1}}{\to}P^{2t}(p^r), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
где $c=[\operatorname{Id}_{\Sigma P^{2t-1}(p^r)},\operatorname{Id}_{\Sigma P^{2t-1}(p^r)}]$. Заметим, что группа $\pi_{2n}(\Sigma P^{n}(p^r) \wedge P^{n}(p^r))$ порождена классом отображения $(\Sigma \Delta )\iota$, который будет обозначаться через $\xi $ или $\mu $ в зависимости от того, рассматриваем ли мы пространство $X$ или $Y$. Доказательство. Рассмотрим отображение Так как группа $\pi_{2n}(\Sigma P^{n}(p^r)\wedge P^{n}(p^r))$ порождена классом отображения $(\Sigma \Delta )\iota$, имеем для некоторого $a\in \mathbb{Z} /p^r $.
Для вложений $i_1,i_2 \colon \Sigma P^{n} \to \Sigma (P^{n} \vee P^{n})$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &[i_1,i_2]H(\alpha)= (i_1+i_2)\alpha -i_1\alpha -i_2\alpha = (i_1+i_2)[\operatorname{Id}_{P^{n+1}},\operatorname{Id}_{P^{n+1}}] (\Sigma \Delta ) \iota \\ &\quad\qquad - i_1 [\operatorname{Id}_{P^{n+1}},\operatorname{Id}_{P^{n+1}}] (\Sigma \Delta ) \iota -i_2 [\operatorname{Id}_{P^{n+1}},\operatorname{Id}_{P^{n+1}}] (\Sigma \Delta ) \iota \\ &\quad =[i_1+i_2,i_1+i_2](\Sigma \Delta ) \iota -[i_1,i_1](\Sigma \Delta ) \iota - [i_2,i_2](\Sigma \Delta ) \iota = ([i_1,i_2]+[i_2,i_1])(\Sigma \Delta ) \iota. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, Так как в нашем случае отображение $[i_1,i_2]\circ $ мономорфно, а отображения $\Sigma \Delta$ и $\iota $ имеют тип [I], мы получаем требуемое утверждение. Лемма доказана. Лемма 6.2. Рассмотрим отображения Доказательство. При $r\leqslant l$ мы имеем коммутативную диаграмму
При $l \leqslant r$ коммутативная диаграмма немного отличается от предыдущей: Лемма доказана.Имеется следующая характеризация комплексов Пуанкаре, которая непосредственно вытекает из определения. Предложение 6.4. Пусть $n\geqslant 3$ и $r$ – положительные целые числа, $p$ – нечетное простое и Тогда $X$ является комплексом Пуанкаре тогда и только тогда, когда для некоторого $a \in \mathbb{Z} /p$ и $a\neq 0$, где $ y$, $z$ – образующие в когомологиях $\operatorname{mod} p$. Доказательство. Доказательство непосредственно вытекает из того, что матрица когомологического умножения имеет вид $aI_{1\times 1}$ и обратима. Предложение 6.5. Пусть $n\geqslant 3$ – нечетное целое, $r$ – положительное целое, $p$ – нечетное простое, и пусть – комплексы Пуанкаре, где для некоторых целых $A$ и $B$. Тогда имеют место следующие утверждения. a) Отображение $f\colon X \to Y$ степени $d$ существует тогда и только тогда, когда уравнение имеет целочисленное решение $a$.b) Доказательство. Заметим, что матрица когомологического умножения для $X$ с коэффициентами в $\mathbb{Z} /p$ равна $A\ (\operatorname{mod}p)$. Из предложения 6.4 следует, что $A\neq 0 \ (\operatorname{mod} p)$, т.е. $A$ является обратимым элементом в $\mathbb{Z} /p^r $. То же верно и для $B$.
а) Система из теоремы 5.1 сводится к одному соотношению
$$
\begin{equation*}
a(\psi \alpha) + C_{a}^{2}h_{11}^{\alpha}p^{|l-r|}[\operatorname{Id}_{P^{n+1}(p^l)},\operatorname{Id}_{P^{n+1}(p^l)}] \mu_{11}=dB[\operatorname{Id}_{P^{n+1}(p^l)},\operatorname{Id}_{P^{n+1}(p^l)}]\mu_{11}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из леммы 6.1 получаем Далее, с помощью леммы 6.2 соотношение выше принимает вид Это доказывает утверждение a). Утверждение b) непосредственно следует из a). Предложение доказано. Общий результат о степени отображения между комплексами Пуанкаре получить невозможно, поскольку гомотопические группы пространств, а также соотношения между их образующими, вообще говоря, неизвестны. Но для фиксированных нечетных $n$ и достаточно больших $p$ условие (6.10) выполняется автоматически, и мы можем использовать предложение 6.5 для вычисления возможных значений степени. В случае $n=5$ мы сформулируем утверждение, которое показывает, что результат а) не является оптимальным. Предложение 6.6. Пусть $p$ – простое число, $r\in \mathbb{N}$ и – комплекс Пуанкаре. Тогда, если выполнено одно из условий a) $n\in \mathbb{N}$ нечетно и $p >(n+3)/{2}$, b) $n=5$ и $p\geqslant 3$, то $\pi_{2n}(P^{n+1}(p^r))$ является циклической группой порядка $p^r$ с образующей Доказательство. Мы используем изоморфизм (6.8) и образующую (6.9) для $n=2t-1$. Остается лишь доказать, что $\pi_{4t-3}(S^{2t-1}\{ p^r \} ) = 0$.
Рассмотрим фрагмент
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \pi_{4t-2}(S^{2t-1})\stackrel{p^r}{\to}\pi_{4t-2}(S^{2t-1})\to \pi_{4t-3}(S^{2t-1} \{ p^r \} ) \\ &\qquad \to \pi_{4t-3}(S^{2t-1})\stackrel{p^r}{\to}\pi_{4t-3}(S^{2t-1}) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
точной гомотопической последовательности расслоения
$$
\begin{equation*}
S^{2t-1}\{ p^r \}\to S^{2t-1}\stackrel{p^r}{\to}S^{2t-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы доказать утверждения при условии а), воспользуемся результатом Серра о том, что группа $\pi_{m+k}(S^m)$ не имеет $p$-кручения при $k<2p-3$. Для $p > (n+3)/{2}$ мы получаем, что группы $\pi_{2n}(S^n)$ и $\pi_{2n-1}(S^n)$ не имеют $p$-кручения. Так как эти группы конечны и отображения $p^r$-й степени являются изоморфизмами, получаем $\pi_{4t-3}(S^{2t-1}\{ p^r \} ) = 0$. При $n=5$, т.е. при $t=3$, имеем $\pi_{10}(S^5)\cong \pi_9(S^5)\cong \mathbb{Z} /2$ и поэтому ${\pi_9(S^5\{ p^r\} )\cong 0}$. Предложение доказано. При этом, однако, применяя теорему 5.1 к комплексам Пуанкаре $X$ и $Y$ специального вида, оказывается возможным описать множество $D(X,Y)$ и для каждой степени $d\in D(X,Y)$ построить все гомотопические классы отображений степени $d$. Пример 6.4. Группы $H_n(X)$ и $H_n(Y)$ не имеют циклических подгрупп совпадающих простых порядков и $\operatorname{rank} (X)=0$. Можно считать, что $\operatorname{rank} (Y)=0$, так как иначе $D(X,Y)=\{ 0 \}$ согласно следствию 5.4. Рассмотрим $f\colon X\to Y$. Так как группы гомологий не имеют циклических подгрупп одинаковых порядков, отображение $f\colon \overline X \to \overline Y$ гомотопически тривиально и, следовательно, В этом случае система соотношений сводится к
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, dq_s\beta = 0 \quad \text{в }\ \pi_{2n}(P^{n+1}(q_s^{l_s})) \quad \text{при }\ 1\leqslant s \leqslant u, \\ dh_{st}^{\beta}=0 \ (\operatorname{mod} q_s^{l_s}) \quad \text{при }\ q_s=q_t, \quad 1\leqslant s < t \leqslant u. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, где Пример 6.5. $k=0, v=0$ и $p_i\alpha =0$ при $i=1,2,\dots,m$. При $k=0$, $v=0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\overline X=\bigvee_{i=1}^m(S_i^{n}\vee S_{i+m}^{n+1}), \qquad \overline Y=\bigvee_{s=1}^uP^{n+1} (q_s^{l_s}).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $p_i\alpha =0$ при $i=1,2,\dots,m$, то система из теоремы 5.1 сводится к
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, dq_s\beta =0, \qquad 1\leqslant s \leqslant u, \\ dh_{st}^{\beta} = 0, \qquad 1\leqslant s < t \leqslant u. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $d$ является кратным числа
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{\textrm{НОК}}\{ \operatorname{order}(q_s\beta ), \operatorname{order} (h_{st}^{\beta}) \mid 1\leqslant s < t \leqslant u \}=\operatorname{order}(\beta ), \\ D(X,Y)=\{ k \cdot \operatorname{order}(\beta )\mid k\in \mathbb{Z} \}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пример 6.6. $n=3$, $k=v=0$, $m\geqslant 1$, $u=1$, $q\geqslant 5$. В этом случае имеем
$$
\begin{equation*}
X=\biggl( \bigvee_{i=1}^m(S^3_i\vee S^4_{m+i}) \biggr)\cup_{\alpha} D^7, \qquad Y = P^4(q^l)\cup_{\beta}D^7.
\end{equation*}
\notag
$$
При данных предположениях получаем разложение
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha =\sum_{i=1}^mA_i(\iota _iw) +\sum_{i=m+1}^{2m}A_i(\iota _i\eta ^2)+ \sum_{1\leqslant i<j\leqslant m} m_{ij}[\iota_i,\iota_j]\eta+ \sum_{i=1}^m[\iota _i,\iota _{i+m}], \\ \beta = B[\operatorname{Id}_{P^4(q^l)},\operatorname{Id}_{P^4(q^l)}]\xi \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторых целых $A_i$, $m_{ij}$ и $B$. Мы будем использовать обозначения и результаты из [25]. См. также [17; лемма 2.1]. Система из теоремы 5.1 сводится к одному соотношению
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^ma_{i1}(\iota p_i\alpha )=d\beta \quad \text{в }\ \pi_6(P^4(q^l)),
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. где $\iota \colon S^3 \to P^4(q^l)$ – вложение. Мы имеем
$$
\begin{equation*}
(a\iota )w = a(\iota w)+ C_{a}^{2}[\iota , \iota ]H(w) = a(\iota w),
\end{equation*}
\notag
$$
так как $[\iota , \iota ]=0$. Теперь из того, что числа $\operatorname{order}(\iota )=q^l$ и $\operatorname{order}(w)=12$ взаимно просты, получаем Следовательно,В этом случае
$$
\begin{equation*}
X= \biggl( \bigvee_{i=1}^m (S^5_i\vee S^6_{m+i}) \biggr)\cup_{\alpha}D^{11}, \qquad Y= \biggl( \bigvee_{s=1}^uP^{6}(q_s^{l_s}) \biggr )\cup_{\beta}D^{11}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из предложения 7.4 получаем $X \simeq (S^5 \times S^6)^{\# m}$, а значит, можно считать, что $\alpha = \sum_{i=1}^m [\iota_i,\iota_{i+m}]$. Поэтому $p_i\alpha=0$ при $i=1,2,\dots,m$, и этот пример является частным случаем примера 6.5. Следовательно, Пример 6.8. Здесь мы рассматриваем примеры отображений данной степени между нечетномерными многообразиям большой связности. Все рассматриваемые примеры многообразий имеют одну и ту же природу, а именно, они возникают как пространства $(n-1)$-сферических расслоений над $n$-сферой. Так как $\pi_2(O(k+1))=0$ для любого $k$, мы получаем, что любое $k$-сферическое расслоение над $S^3$ является произведением с тотальным пространством $S^3\times S^k$. Таким образом, единственным $(n-1)$-связным $(2n+1)$-многообразием при $n\geqslant 3$, которое расслаивается над $S^3$, является произведение $S^3\times S^4$, уже рассмотренное в предыдущих примерах. Аналогично, так как $\pi_3(\operatorname{SO}(2))=0$, любое $1$-сферическое расслоение над $S^4$ есть произведение $S^4\times S^1$. Таким образом, среди $1$-сферических расслоений над $S^4$ нет $(n-1)$-связных $(2n+1)$-многообразий. Первым нетривиальным случаем являются $3$-сферические расслоения над $4$-сферой со структурной группой $\operatorname{SO}(4)$. Классы эквивалентности таких расслоений находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами группы $\pi_4(\operatorname{BSO}(4))\cong \pi_3(\operatorname{SO}(4))\cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$. Пусть $\rho$ и $\sigma$ – образующие группы $\pi_3(\operatorname{SO}(4))$, причем $ \rho(u)v=uvu^{-1}$ и $\sigma(v)u=uv$ для $u,v\in S^3$. Пусть $\xi_{h,j}$ обозначает сферическое расслоение, соответствующее элементу $h\rho+j\sigma\in \pi_3(\operatorname{SO}(4)$, и пусть $M^7_{h,j}$ обозначает тотальное пространство расслоения $\xi_{h,j}$. При изучении топологии расслоений Стинродом (см. [23]) было показано, что обращение ориентации базы и слоя, соответственно, индуцирует эквивалентность расслоений между $\xi_{h,j}$ и $\xi_{-h,-j}$ и эквивалентность расслоений между $\xi_{h,j}$ и $\xi_{h+j, j}$. Расслоения $\xi_{h,0}$ редуцируются к группе $\operatorname{SO}(3)$ и имеют сечения. Расслоения $\xi_{0,j}$ редуцируются к симплектической группе $\operatorname{Sp}(1)$. Далее, так как $\pi_3(M_{0,j})=\mathbb{Z}_j$, пространства $M_{0,j}$ и $M_{0,j'}$ не являются гомотопически эквивалентными при $|j|\neq |j'|$. Так как расслоение $\xi_{h,0}$ допускает сечение, мы имеем $\pi_i(M_{h,0})\cong \pi_i(S^4) \oplus \pi_i(S^3)$. Следовательно, $\pi_3(M_{h,0})\cong \mathbb{Z}$. Это показывает, что $M_{h,0}$ и $M_{0,j}$ не являются гомотопически эквивалентными при $j\neq 0$. Теперь рассмотрим $\mathrm{CW}$-структуру на $M_{h,j}$. Характеристический класс $\overline c(\xi_{h,j})$ равен $j\iota$, где $\iota$ – стандартная образующая группы $H^4(S^4)$. Следовательно, для шестимерного остова имеем $\operatorname{sk}_6M_{h,j}\simeq P^4(j)$. Заметим, что при $j=1$ имеем $M_{h,j}\simeq S^7$, а при $j=0$ имеем $\operatorname{sk}_6 M_{h,j}\simeq S^3\vee S^4$. Гомотопические типы многообразий $M_{h,0}$ были классифицированы И. Джеймсом и Дж. Уайхедом. Заметим, что $\pi_6(S^3\vee S^4)\cong \pi_6(S^6)\oplus \pi_6(S^3)\oplus \pi_6(S^4)\cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}_{12}\oplus \mathbb{Z}_2$, где слагаемые порождены, соответственно, отображениями $S^6\stackrel{[\iota_3,\iota_4]}{\to}S^3\vee S^4$, $\nu\colon S^6\stackrel{\nu}{\to}S^3\to S^3\vee S^4$, $\eta^2\colon S^6\stackrel{\eta^2}{\to}S^4\to S^3\vee S^4$. Из рассмотрения последовательности расслоения $S^3\to M_{h,0}\to S^4$ и последовательности корасслоения $S^6\stackrel{\phi}{\to}S^3\vee S^4\to M_{h,0}\to S^7$ следует, что любое отображение $S^6\to S^4$ пропускается через последовательность корасслоения, и поэтому гомотопически тривиально. Таким образом, приклеивающее отображение имеет вид $\phi=k[\iota_3,\iota_4] +t \nu$, где $t\in \mathbb{Z}_{12}$. Как показано И. Джеймсом и Дж. Уайтхедом, $M_{h,0}\simeq M_{h',0}$ тогда и только тогда, когда $h'\equiv\pm h\ (\operatorname{mod} 12)$. Предположим, что $j=p^r$ для некоторого простого $p$ и положительного целого $r$. Тогда приклеивающее отображение $\alpha_{h,j}$ клетки старшей размерности многообразия $M_{h,j}$ задает элемент группы
$$
\begin{equation*}
\pi_6(P^4(p^r))\cong \begin{cases} \mathbb{Z} /3 \oplus \mathbb{Z} /3^r, & p=3, \\ \mathbb{Z} /p^r, & p>3. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Возможные значения степени отображения между тотальными пространствами $M_{h,j}$ 3-сферических расслоений над $4$-сферой определяются при помощи результатов из предложений 6.5, 6.6 и примеров 6.5, 6.6. В частности, в случае $M_{0,p^r}$ из результатов С. Сасао [22] и Дж. Мукаи и К. Ямагучи [17] вытекает, что приклеивающее отображение клетки старшей размерности имеет вид $[\operatorname{Id}_{P^{n+1}(p^r)},\operatorname{Id}_{P^{n+1}(p^r)}](\Sigma \Delta )\iota$. Тогда из предложения 6.5 получаем так как соответствующие коэффициенты $A$ и $B$ равны $1$.§ 7. Приложения степени отображения7.1. Гомотопическая классификация $(n-1)$-связных $(2n+1)$-комплексов Пуанкаре без крученияРазработанные нами методы могут быть применены для определения числа различных гомотопических типов комплексов Пуанкаре фиксированного ранга $m$ из семейства $\mathcal{J}_n$. Напомним, что для $X,Y\in \mathcal{J}_n$ мы полагаем $\overline X:=\operatorname{sk}_{2n}(X)$ и обозначаем матрицу, задающую отображение $f\colon X \to Y$, через $(f|_{\overline X})^*$. Теорема 7.1. Пусть $X$ и $Y$ – $(n-1)$-связные $(2n+1)$-мерные комплексы Пуанкаре, причем $n\geqslant 3$ и $\operatorname{rank} H_n(X; \mathbb{Z})=\operatorname{rank} H_n(Y;\mathbb{Z})\neq 0$. Для отображения $f\colon X\to Y$ следующие условия эквивалентны: a) $f$ является гомотопической эквивалентностью; b) ограничение $f|_{\overline X}\colon \overline X\to \overline Y$ является гомотопической эквивалентностью; c) $\deg (f)=\pm 1$. Доказательство.
a) $\Rightarrow$ b) Так как все отображения клеточны, ограничение гомотопической эквивалентности является гомотопической эквивалентностью.
b) $\Rightarrow$ c) Пусть $P=f|_{\overline X}$ – гомотопическая эквивалентность с обратным отображением $Q\colon \overline Y \to \overline X $, и пусть $d=\deg(f)$. Так как $QP=\operatorname{Id}_{\overline X}$, из леммы 5.4 и следствия 5.6 получаем
$$
\begin{equation*}
1 = \det (QP)^* = \det (Q^*)^T \det (P^*)^T = \det Q^* \cdot d^m,
\end{equation*}
\notag
$$
где $m=\operatorname{rank} H_n(X;\mathbb{Z} )$. Следовательно, $d=\pm 1$.
b) $\Rightarrow$ a) На предыдущем шаге мы доказали, что из того, что $f|_{\overline X}$ – гомотопическая эквивалентность, вытекает, что $\deg(f)=\pm 1$. Следовательно, Из определения 1.1 получаем, что существует отображение $h\colon Y \to X$ степени $d$, продолжающее отображение $Q$. Тогда $h$ – гомотопически обратное отображение для $f$.c) $\Rightarrow$ b) Пусть $\deg(f)=\pm 1$, и обозначим через $P$ ограничение $f|_{\overline X}$. Из соотношения (5.2) получаем $\det( P^*_{nn})=\pm 1$. Следовательно, матрица $P^*_{nn}$ обратима и $P^*_{n+1,n+1}=d(P^*_{nn})^{-1}$. Определим $Q\colon \overline Y\to\overline X$ по формулам Непосредственно проверяется, что $Q$ является обратным к $P$. Следовательно, $P$ является гомотопической эквивалентностью. Теорема доказана.В случае $\operatorname{rank} H_n(X)=1$ ситуация упрощается. Следствие 7.1. Пусть $X,Y \in \mathcal{J}_n$ имеют ранг 1, и пусть дано отображение $f \colon X \to Y$. a) Отображение $f$ является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
f|_{\overline X} = a_{11}j_1p_1 + a_{21}j_1\eta p_2 + a_{22}j_2p_2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_{11}=\pm 1$, $a_{22}=\pm 1$ и $a_{21} \in \{ 0,1 \}$. b) Если $f|_{\overline X}\colon S^{n-1}\vee S^n \to S^{n-1}\vee S^n$ – гомотопическая эквивалентность, то $f|_{\overline X}$ является обратным к себе, т.е. $f|_{\overline X}\circ f|_{\overline X} = \operatorname{Id}_{S^{n-1}\vee S^n}$. Теорема 7.2. Имеется 11 различных гомотопических типов двусвязных семимерных комплексов Пуанкаре $X$ с $H_3(X;\mathbb{Z} )= \mathbb{Z}$. Доказательство. Рассматриваемые комплексы Пуанкаре лежат в $\mathcal{J}_3$ и имеют ранг 1. В случае гомотопической эквивалентности $f\colon X \to Y $ комплексов $X,Y\in \mathcal{J}_3$ из следствия 7.1 вытекает, что второе соотношение из системы (6.5) сводится к $b=h$. Напомним, что в этом случае мы имеем $d=\pm 1$, $a_{11}=a_{22}=\pm1$. Для $b$ имеется две возможности.
Если $b=h = 0$, то система (6.5) сводится к Если $a_{22}=1$, то получаем $X=Y$. Если $a_{22}=-1$, то $a\equiv -g\ (\operatorname{mod} 12)$. Следовательно, имеется семь различных гомотопических типов комплексов Пуанкаре ранга 1 из $\mathcal{J}_3$ с $b=0$, которые определяются значениями $a=0$, $a \in \{ 1,11\}$, $a\in\{2,10\}$, $a\in\{3,9\}$, $a\in\{4,8\}$, $a\in\{5,7\}$ и $a=6$.Если $b=h = 1$, то система (6.5) сводится к
$$
\begin{equation*}
a_{11}a+6a_{21}\equiv a_{11}a_{22}g \ (\operatorname{mod} 12).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $a_{21}=0$, то $ a\equiv \pm g \ (\operatorname{mod} 12)$. Если $a_{21}=1$, то $ a+6\equiv \pm g \ (\operatorname{mod} 12)$. Следовательно, имеется четыре различных гомотопических типа комплексов Пуанкаре ранга 1 из $\mathcal{J}_3$ с $b=1$, которые определяются значениями $a\in \{0,6\}$, $a \in \{ 1,5,7,11\}$, $a\in\{2,4,8,10\}$ и $a\in\{3,9\}$ соответственно. Всего же имеется 11 различных гомотопических типов комплексов Пуанкаре ранга 1 из $\mathcal{J}_3$. Теорема доказана. Теорема 7.3. Имеется 38 различных гомотопических типов трехсвязных девятимерных комплексов Пуанкаре $X$ с $H_4(X;\mathbb{Z} )=\mathbb{Z} $. Доказательство. Рассматриваемые комплексы Пуанкаре лежат в $\mathcal{J}_4$ и имеют ранг 1. Мы воспользуемся следующими обозначениями и результатами из работ [25] и [11]. Гомотопическая группа $\pi_8(S^4)=\mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/2 $ порождена элементами $\nu_4\eta_7$ и $E\nu '\eta_7$, которые мы обозначим через $\epsilon_1$, $\epsilon_2$ соответственно. Группа $\pi_8(S^5)=\mathbb{Z}/24$ порождена элементом $\nu_5+\alpha_1(5)$, который мы обозначим через $w$, где $\nu_5$ имеет порядок 8, а $\alpha_1(5)$ имеет порядок 3.
Имеют место следующие соотношения:
$$
\begin{equation*}
[\operatorname{Id}_4,\operatorname{Id}_4]\eta=\epsilon_2, \qquad \eta w=\epsilon_2 , \qquad H(\epsilon_1)=\eta , \qquad H(\epsilon_2)=0, \qquad h_{ii}(a\epsilon_1+b\epsilon_2)=a.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $m=v=1$ и $n=4$ пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha = i_1(a\epsilon_1+b\epsilon_2)+i_2cw+[i_1,i_2], \\ \beta = j_1(A\epsilon_1+B\epsilon_2)+j_2Cw+[j_1,j_2] \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
– суть приклеивающие отображения для $X$ и $Y$ соответственно.
Соотношения из теоремы 5.1 принимают вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_{11}a\equiv dA \ (\operatorname{mod} 2), \\ a_{11}b+a_{21}c + C_{a_{11}}^{2}a+a_{11}a_{21} \equiv dB \ (\operatorname{mod} 2), \\ a_{22}c \equiv dC \ (\operatorname{mod} 24), \\ a_{11}a_{22} = d. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как нас интересуют гомотопические эквивалентности между $X$ и $Y$, согласно теореме 7.1 должно быть выполнено $d=\pm 1$. Тогда из последнего соотношения получаем $a_{11}=\pm 1$ и $a_{22}=\pm 1$. Из первого соотношения получаем $a=A$. Система сводится к двум уравнениям:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, b+a_{21}c + C_{a_{11}}^{2}a+a_{21} \equiv B \ (\operatorname{mod} 2), \\ c \equiv a_{11}C \ (\operatorname{mod} 24). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $c$ четно, то $a_{21}$ является решением первого уравнения, и у нас остается лишь соотношение Имеется семь различных попарно неэквивалентных четных значений $c$, каждому из которых соответствует два значения $a$. Таким образом, для четного $c$ получаем 14 различных гомотопических типов комплексов Пуанкаре ранга 1 из $\mathcal{J}_4$. Если $c$ нечетно и $a_{11}=1$, то система уравнений принимает вид $b=B$ и $c=C$. Тогда $\alpha=\beta$, что дает гомотопический тип, который уже был учтен. Если $c$ нечетно и $a_{11}=-1$, то система уравнений принимает вид Эти уравнения однозначно задают $\beta$. Так как $c$ нечетно, соотношение $c=-C$ гарантирует, что $\alpha \neq \beta$.Следовательно, для нечетного $c$ существует единственное отображение $\beta$ такое, что $\alpha$ и $\beta$ дают гомотопически эквивалентные комплексы Пуанкаре. Итак, для нечетного $c$ имеется в точности 24 различных гомотопических типов комплексов Пуанкаре ранга 1 из $\mathcal{J}_4$. Теорема доказана. Теорема 7.4. Любой четырехсвязный $11$-мерный комплекс Пуанкаре $X$ с $H_5(X;\mathbb{Z} )=\mathbb{Z} ^m$ гомотопически эквивалентен $(S^5 \times S^6)^{\# m}$. Доказательство. Рассмотрим комплексы Пуанкаре ранга $m$ из семейства $\mathcal{J}_5$. В этом случае группа $\pi_{10}(S^5)=\mathbb{Z} /2 $ порождена элементом $\nu_5\eta^2_8$, $\pi_{10}(S^6)=0$ и $[\operatorname{Id}_{S^5},\operatorname{Id}_{S^5}]\eta=\nu\eta^2$.
Заметим, что отображение $\alpha\colon S^{10}\to \bigvee_{l=1}^m(S^5_l\vee S^6_l)$ вида является приклеивающим отображением клетки старшей размерности для $X=(S^5 \times S^6)^{\# m}$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\beta = \sum_{t=1}^kj_tq_t\beta + \sum_{1\leqslant s < t \leqslant k} m_{st}[j_s,j_t]\eta +\sum_{t=1}^k [j_t,j_{k+t}]
\end{equation*}
\notag
$$
– приклеивающее отображение клетки старшей размерности для комплекса Пуанкаре $Y$ ранга $m$ из $\mathcal{J}_5$.
Из теоремы 7.1 следует существование гомотопической эквивалентности $h$: $X\to Y$, так как система (6.3) имеет решение $(a_{ij})$ в предположении $d=1$. Гомотопическая эквивалентность $h$ задается значениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_{ij} = \delta_{ij}, \qquad 1\leqslant i,j \leqslant m \quad\text{или }\ m+1 \leqslant i,j \leqslant 2m, \\ a_{k+t, t} \nu_5\eta^2_8= q_t\beta, \qquad 1 \leqslant t \leqslant m, \\ a_{ij} = m_{i-k, j}, \qquad i-j <m, \quad 1\leqslant j \leqslant m, \quad m+1 \leqslant i \leqslant 2m, \\ a_{ij}=0 \quad \text{в остальных случаях}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, имеется лишь один гомотопический тип комплексов Пуанкаре ранга $m$ из $\mathcal{J}_5$, а именно $(S^5 \times S^6)^{\# m}$.
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
D((S^5 \times S^6)^{\# m},(S^5 \times S^6)^{\# m})=\mathbb{Z}
\end{equation*}
\notag
$$
в силу предложения 6.2. Теорема доказана. Теперь рассмотрим случай $n=6$. В этом случае группа $\pi_{12}(S^6)=\mathbb{Z} /2$ порождена элементом $\nu_6^2=\nu_6\nu_9$, $\pi_{12}(S^7)=0$, ${[\operatorname{Id}_{S^6},\operatorname{Id}_{S^6}]\eta=0}$ и $H(\nu^2)=h_{11}\eta=0$ (см. [25; предложение 5.11] и [11]). Для комплексов Пуанкаре ранга $1$ имеется лишь два гомотопических класса приклеивающих отображений клетки старшей размерности, представленных отображениями $ [i_1,i_2]$ и $i_1\nu^2 +[i_1,i_2]$. Обозначим соответствующие комплексы Пуанкаре через $W_1 = S^6 \times S^7$ и $Z_1$. Определение 7.1. Пусть $X$ и $Y$ – два $n$-мерных $\mathrm{CW}$-комплекса с единственной клеткой старшей размерности, приклеенной по отображениям $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Обозначим $\overline X=\operatorname{sk}_{n-1}(X)$. Определим гомотопическую связную сумму комплексов $X$ и $Y$ (обозначается через $X\# Y$) как гомотопический кослой отображения Это определение является естественным гомотопическим обобщением классической операции связной суммы многообразий. Заметим также, что связная сумма комплексов Пуанкаре является комплексом Пуанкаре. Определим следующие комплексы Пуанкаре ранга $m$ из семейства $\mathcal{J}_6$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, W_m:= W_1^{\#m}= (S^6\times S^7)^{\# m}, \\ Z_m := Z_1\#W_1^{\#(m-1)}= Z_1\# (S^6\times S^7)^{\# (m-1)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 7.5. При $m\geqslant 1$ любой пятисвязный $13$-мерный комплекс Пуанкаре $X$ с $H_6(X;\mathbb{Z} )= \mathbb{Z} ^m$ гомотопически эквивалентен либо $W_m$, либо $Z_m$. Заметим, что все пространства, рассматриваемые в теореме, принадлежат семейству $\mathcal{J}_6$ и имеют ранг $m$. Перед тем как доказывать теорему 7.5, нам понадобится ряд предварительных наблюдений. Лемма 7.1. Пусть Если $|\{i\mid p_i\alpha \neq 0\}| = |\{s\mid q_s\beta \neq 0\}|$, то $X \simeq Y$ и $D(X,Y)=\mathbb{Z}$. Доказательство. Пусть $r=|\{i\mid p_i\alpha \neq 0\}| \geqslant 0$. Переставляя, если потребуется, сферы в $\overline X$ и $\overline Y$, мы можем считать, что Чтобы матрица когомологического произведения оставалась единичной, применим ту же перестановку к $6$-сферам и $7$-сферам.
Предположим, что $m_{ij}^{\alpha}=0$ для всех $1\leqslant i < j \leqslant m$, и обозначим получаемое пространство через $X_0$. Определим отображение $P\colon \overline X_0 \to \overline Y$ формулами
$$
\begin{equation*}
a_{ij}=\begin{cases} d, & 1\leqslant i=j\leqslant m, \\ 1,& m+1 \leqslant i=j \leqslant 2m, \\ m_{st}^{\beta}, & i=m+s,\quad j=t, \quad 1 \leqslant s < t \leqslant m, \\ 0& \text{в остальных случаях}. \\ \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $P$ удовлетворяет всем соотношениям из теоремы 5.1, мы заключаем, что $P$ продолжается до отображения степени $d$. Следовательно, $D(X_0,Y)=\mathbb{Z}$.
Фиксируем $d=1$. Тогда из теоремы 7.1 следует, что $P$ является гомотопической эквивалентностью, а значит, $X_0\simeq Y$. Это завершает доказательство леммы, так как $X\simeq X_0 \simeq Y$. Лемма 7.2. В предыдущих обозначениях имеем: a) если $q_s\beta =0$ при $1\leqslant s \leqslant m$, то $Y \simeq W_m$; b) если $q_s\beta \neq 0$ хотя бы для одного $s$, $1\leqslant s \leqslant m$, то $Y \simeq Z_m$. Доказательство. Утверждение a) следует из предыдущей леммы в случае $|\{i\mid p_i\alpha \neq 0\}|=0$.
Для доказательства b) предположим, что $X=Z_m$ и $r=|\{s\mid q_s\beta \neq 0\}|>1$. Тогда Положим в лемме 7.1 $m^\beta_{st}=0$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\beta = \sum_{s=1}^r j_s\nu ^2 + \sum_{s=1}^m [j_s,j_{m+s}].
\end{equation*}
\notag
$$
При $d=1$ зададим отображение $P\colon \overline X \to \overline Y$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
a_{ij}=\begin{cases} 1,& i=j\quad\text{или }\ i=1,\quad 1\leqslant j \leqslant r, \\ -1,& m+2\leqslant i \leqslant m+r,\quad j=m+1, \\ 0& \text{в остальных случаях.} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Отображение $P$ удовлетворяет всем соотношениям из теоремы 5.1 для $d=1$, поэтому в силу теоремы 7.1 оно индуцирует гомотопическую эквивалентность пространств $Z_m$ и $Y$.
Лемма доказана. Доказательство. В случае отображений $W_m\to Z_m$ соотношение [i] из теоремы 5.1 принимает вид Следовательно, отображений нечетной степени не существует, так как $\nu ^2$ имеет порядок 2.
Для четного $d$ рассмотрим отображение $P\colon \overline W_m \to \overline Z_m$, заданное следующим образом:
$$
\begin{equation*}
a_{ij}=\begin{cases} d,& 1\leqslant i=j \leqslant m, \\ 1,& m+1\leqslant i= j \leqslant 2m, \\ 0& \text{в остальных случаях}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Оно удовлетворяет соотношениям из теоремы 5.1 и индуцирует отображение степени $d$.
В случае отображений между $Z_m$ и $W_m$ из соотношений (5.6) вытекает, что для отображения $P\colon \overline Z_m \to \overline W_m$ коэффициенты $a_{11}, a_{12},\dots,a_{1k}$ должны быть четными. Тогда определитель $\det (P_{nn}^*)$ также четен. Из следствия 5.3 получаем следовательно, степень $d$ должна быть четной.Для четной степени $d$ рассмотрим отображение $P\colon \overline Z_m \to \overline W_m$, заданное следующим образом:
$$
\begin{equation*}
a_{ij}=\begin{cases} d,& 1\leqslant i=j \leqslant m, \\ 1,& m+1\leqslant i= j \leqslant 2m, \\ 0& \text{в остальных случаях}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Оно удовлетворяет всем соотношениям из теоремы 5.1 и продолжается до отображения степени $d$ из $Z_m$ в $W_m$. Предложение доказано. Доказательство теоремы 7.5. Предыдущие рассуждения описывают все возможные гомотопические типы комплексов Пуанкаре ранга $m$ из семейства $\mathcal{J}_6$ и все возможные значения степени отображений между такими комплексами. Теорема доказана. 7.2. Гомотопическая классификация $(n-1)$-связных $(2n+1)$-комплексов ПуанкареМы даем характеризацию гомотопических эквивалентностей между комплексами Пуанкаре из семейства $\mathcal{Z} _n$. Следующий результат обобщает теорему 7.1. Развитые нами методы могут быть использованы для определения количества различных гомотопических типов комплексов Пуанкаре из семейства $\mathcal Z_n$. Для комплексов $X,Y\in \mathcal Z_n$ мы, как и выше, обозначаем $2n$-мерный остов $X$ через $\overline X$ и через $X_T$ – часть $\overline X$, гомологии которой состоят из всех элементов конечного порядка в гомологиях $\overline X$ 1. Теорема 7.6. Пусть $X$ и $Y$ – $(n-1)$-связные $(2n+1)$-мерные комплексы Пуанкаре, где $n\geqslant 3$, и пусть $n$-е группы целочисленных гомологий $X$ и $Y$ имеют одинаковый ранг и не содержат $2$-кручения. Пусть $f\colon X\to Y$ – отображение степени $d$. Следующие условия эквивалентны: a) отображение $f$ является гомотопической эквивалентностью; b) ограничение $f_|\colon \overline X\to \overline Y$ является гомотопической эквивалентностью и $d=\pm 1$; c) индуцированное отображение $f_*\colon H_n(X, \mathbb{Z} ) \to H_n(Y, \mathbb{Z} )$ является изоморфизмом и $d=\pm 1$. Если, кроме того, $\operatorname{rank}{H_n(X;\mathbb{Z})}\neq 0$, то предыдущие условия эквивалентны следующим: d) $f_|\colon \overline X\to \overline Y$ является гомотопической эквивалентностью; e) $(f_| )_{TT}\colon X_T \to Y_T$ является гомотопической эквивалентностью и $d\,{=}\,{\pm} 1$. Доказательство. b) $\Rightarrow$ a). Предположим, что $P$ является гомотопической эквивалентностью с гомотопически обратным отображением $Q\colon \overline Y \to \overline X$. Так как отображение $[d]\colon S^{2n}\to S^{2n}$ обратно самому себе, мы имеем Следовательно, существует отображение $g \colon Y \to X$ степени $d$, являющееся гомотопически обратным к $f$, причем $g|_{\overline Y} = Q$.
a) $\Rightarrow$ c). Так как $f$ – гомотопическая эквивалентность, индуцированное отображение $f_*=H_n(f,\mathbb{Z} )$ является изоморфизмом, и мы имеем $d=\pm 1$. c) $\Rightarrow$ b). Так как $f_*$ – изоморфизм и $H_n(X, \mathbb{Z})\cong H_n(\overline X, \mathbb{Z} )$, мы получаем, что
$$
\begin{equation*}
(f_*)_|=(P_*)_| \colon \operatorname{Tors}(H_n(\overline X ,\mathbb{Z} )) \to \operatorname{Tors}(H_n(\overline Y ,\mathbb{Z} ))
\end{equation*}
\notag
$$
также является изоморфизмом. Теперь заметим, что $(P_*)_| = (P_{TT})_*$. Применяя теорему 4.2, получаем, что $P_{TT}$ является гомотопической эквивалентностью.
Отображения $P_{nn}$ и $P_{n+1,n+1}$ являются гомотопическими эквивалентностями согласно следствию 5.2. Определим гомотопически обратное к $P$ отображение $Q\colon \overline Y \to \overline X$ по формулам
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Q_{TT}:=P_{TT}^{-1}, \qquad Q_{nn}:= P_{nn}^{-1}, \qquad Q_{n+1,n+1}:=P_{n+1,n+1}^{-1}, \\ Q_{nT}=-P_{TT}^{-1}P_{nT}P_{nn}^{-1}, \\ Q_{T,n+1}=-P_{n+1,n+1}^{-1}P_{T,n+1}P_{TT}^{-1}, \\ Q_{n+1,n}=-P_{nn}^{-1}P_{n+1,n}P_{n+1,n+1}^{-1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверить, что $PQ\simeq \operatorname{Id}_{\overline Y}$ и $QP\simeq \operatorname{Id}_{\overline X}$, т.е.
$$
\begin{equation*}
(PQ)_{xx}=\operatorname{Id}, \qquad (PQ)_{xy}=0 \quad\text{при }\ x,y\in \{ T,n,n+1\}, \quad x\neq y.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, мы доказали эквивалентности a) $\Leftrightarrow $ b) $\Leftrightarrow $ c). Теперь предположим, что свободная часть группы $H_n(X, \mathbb{Z} )$ нетривиальна. Тогда импликация b) $\Rightarrow$ d) очевидна. d) $\Rightarrow$ e). Обозначим $P=f_|$, и пусть $Q\colon \overline Y \to \overline X$ – его гомотопически обратное отображение. Используя обозначение 5.1, лемму 5.2 и равенство (5.2), мы получаем
$$
\begin{equation*}
(QP)_{nn}^*=Q_{nn}^*P_{nn}^*=I_m, \qquad (QP)_{n+1,n+1}^*= Q_{n+1,n+1}^*P_{n+1,n+1}^*=I_m.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из следствия 5.3 получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1 &=\det(Q_{nn}^*P_{nn}^*Q_{n+1,n+1}^*P_{n+1,n+1}^*) =\det(Q_{nn}^*Q_{n+1,n+1}^*)\det(P_{nn}^*P_{n+1,n+1}^*) \\ &=\det(Q_{nn}^*Q_{n+1,n+1}^*)d^m. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как матричные элементы являются целыми, имеем $d=\pm 1$.
Далее,
$$
\begin{equation*}
Q_{TT}P_{TT}=(QP)_{TT}=(\operatorname{Id}_{\overline X})_{TT}=\operatorname{Id}_{X_T}
\end{equation*}
\notag
$$
и, аналогично, что и доказывает импликацию.
d) $\Rightarrow$ e). Предположим, что $P_{TT}$ – гомотопическая эквивалентность и $d\,{=}\,{\pm}1$. Заметим, что $P_{nn}$ и $P_{n+1,n+1}$ также являются гомотопическими эквивалентностями согласно следствию 5.2. Определим отображение $Q\colon \overline Y \to \overline X$, гомотопически обратное к $P$, следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Q_{TT}:=P_{TT}^{-1} , \qquad Q_{nn}:= P_{nn}^{-1}, \qquad Q_{n+1,n+1}:=P_{n+1,n+1}^{-1}, \\ Q_{nT}=-P_{TT}^{-1}P_{nT}P_{nn}^{-1}, \\ Q_{T,n+1}=-P_{n+1,n+1}^{-1}P_{T,n+1}P_{TT}^{-1}, \\ Q_{n+1,n}=-P_{nn}^{-1}P_{n+1,n}P_{n+1,n+1}^{-1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно проверяется, что $PQ\simeq \operatorname{Id}_{\overline Y}$ и $QP\simeq \operatorname{Id}_{\overline X}$, т.е.
$$
\begin{equation*}
(PQ)_{xx}=\operatorname{Id}, \qquad (PQ)_{xy}=0 \quad\text{при }\ x,y\in \{ T,n,n+1\}, \quad x\neq y.
\end{equation*}
\notag
$$
d) $\Rightarrow$ b). Необходимо проверить, что $d=\pm 1$. Это уже установлено в доказательстве импликации d) $\Rightarrow$ e). Теорема доказана. Используя предыдущие результаты, мы получим классификацию гомотопических типов некоторых комплексов Пуанкаре. Нам понадобится следующий результат. Предложение 7.2. Пусть $n\geqslant 3$ – нечетное целое, $p$ – нечетное простое, $r\in \mathbb{N}$, и положим a) Если $p \equiv 3 \ (\operatorname{mod} 4)$, то $\mathcal A_n$ содержит только один гомотопический тип пространств $[X]$, причем
$$
\begin{equation*}
D(X,X) = \{ x^2 + kp^r\mid x\in \mathbb{Z} /p^r , \ k \in \mathbb{Z} \}.
\end{equation*}
\notag
$$
b) Если $p \equiv 1 \ (\operatorname{mod} 4)$, то $\mathcal A_n$ содержит два гомотопических типа пространств, $[X]$ и $[Y]$, причем где $b\in \mathbb{Z} /p^r$ – обратимый элемент, не являющийся квадратом.Заметим, что в утверждении b) число $b$ может быть любым обратимым элементом, не являющимся квадратом, так как при любом другом значении $b$ мы получим то же множество $D(X,Y)$. Доказательство предложения 7.2. Заметим, что $\overline X \simeq P^{n+1}(p^r)$, и для $X\in \mathcal A_n$ матрица когомологического произведения с коэффициентами $\mathbb{Z} /p$ сводится к целому числу $a\ (\operatorname{mod}p)$. Тогда из предложения 6.4 следует, что $X$ является комплексом Пуанкаре тогда и только тогда, когда элемент $a \in \mathbb{Z} /p^r$ обратим, т.е. взаимно прост с $p$. При фиксированных $n,p$ и $r$ комплексы Пуанкаре из семейства $ \mathcal A_n$ соответствуют обратимым элементам из $\mathbb{Z} /p^r$. Остается лишь выяснить, для каких обратимых элементов соответствующие комплексы Пуанкаре гомотопически эквивалентны.
Пусть $X,Y\,{\in}\,\mathcal A_n$ соответствуют обратимым элементам $a$ и $b$, и пусть $f \colon X \to Y$ – гомотопическая эквивалентность. Согласно теореме 7.6 имеем $d := \deg (f) = \pm 1$, и $f|_{\overline X}$ является гомотопической эквивалентностью. Существует $c\in \mathbb{Z} /p^r$, для которого $f|_{\overline X} = c \operatorname{Id}_{\overline X}$. Так как $f|_{\overline X}$ – гомотопическая эквивалентность, то $c$ также должен быть обратимым. Из предложения 6.5, a) получаем Определим отношение эквивалентности $\thicksim $ на обратимых элементах из $(\mathbb{Z} /p^r)^*$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &a \thicksim b \text{ тогда и только тогда, когда существует такой } c \in (\mathbb{Z} /p^r)^*, \\ &\qquad\text{ что } c^2a = \pm b \ (\operatorname{mod} p^r). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если уравнение $ x^2 +1=0 $ не имеет решений в $(\mathbb{Z} /p^r)^*$, т.е. если $p=4t-1$ для некоторого $t$, то имеется всего один класс эквивалентности. Если же это уравнение имеет решения, т.е. если $p=4t+1$ для некоторого $t$, то имеется два класса эквивалентности, представленные элементами 1 и $b$, где $b \in (\mathbb{Z} /p^r)^*$ – любой элемент, не являющийся квадратом.
Обозначим через $\mathcal B (p,r)$ свойство существования решения уравнения $x^2\,{+}\,1\,{=}\,0$ в $(\mathbb{Z} /p^r)^*$. Легко проверяется, что $\mathcal B (p,r) \Leftrightarrow \mathcal B (p,r+1) $. Следовательно, $\mathcal B (p,r) \Leftrightarrow \mathcal B (p,1) $, что доказывает первую часть предложения. Для описания возможных значений степени отображения необходимо воспользоваться предложением 6.5, b). Предложение доказано. Предложение 7.3. Пусть нечетное простое $n\geqslant 3$, простое $p\geqslant 3$ и $r\in \mathbb{N}$ таковы, что a) Если $p\equiv 3 \ (\operatorname{mod} 4)$, то все $(n-1)$-связные $(2n+1)$-мерные комплексы Пуанкаре $X$ с $H_n(X;\mathbb{Z} )= \mathbb{Z}/p^r$ гомотопически эквивалентны друг другу и
$$
\begin{equation}
D(X,X) = \{ x^2+kp^r\mid x\in \mathbb{Z}/p^r, \ k\in \mathbb{Z} \}.
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
b) Если $p\equiv 1 \ (\operatorname{mod} 4)$, то существует два гомотопических класса $(n\,{-}\,1)$-связных $(2n+1)$-мерных комплексов Пуанкаре, $[X]$ и $[Y]$, с $H_n(X;\mathbb{Z} )=H_n(Y;\mathbb{Z} )=\mathbb{Z} /p^r$ и где $b\in \mathbb{Z} /p^r$ – обратимый элемент, не являющийся квадратом. Доказательство. При выполнении (7.1) мы получаем из (6.8) и (6.9), что условие на отображение $\alpha$ из предложения 7.2 выполнено, так что
$$
\begin{equation*}
\mathcal A_n = \{ X \in \mathcal Z_n\mid H_{n}(X;\mathbb{Z} )=\mathbb{Z} /p^r \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь утверждение вытекает из предложения 7.2. Предложение доказано. Если $n$ нечетно, а $p$ достаточно велико по сравнению с $n$, то мы можем применить предложение 7.3 и получить гомотопическую классификацию комплексов Пуанкаре из $\mathcal{Z}_n$ с $H_n(X;\mathbb{Z} )=\mathbb{Z} /p^r$. Следующий результат для фиксированного $n$ может быть не самым точным из возможных в том смысле, что для некоторых $n$ может существовать больше простых чисел $p$, для которых справедлив тот же результат. Предложение 7.4. Пусть $n \geqslant 3$ – нечетное целое и $p$ – такое простое число, что $p> (n+3)/{2}$. a) Если $p\equiv 3 \ (\operatorname{mod} 4)$ и $r\in \mathbb{N}$, то все $(n-1)$-связные $(2n+1)$-мерные комплексы Пуанкаре $X$ с $H_n(X)=\mathbb{Z}/p^r$ гомотопически эквивалентны друг другу и имеет место равенство (7.2). b) Если $p\equiv 1 \ (\operatorname{mod} 4)$ и $r\in \mathbb{N}$, то существует два гомотопических класса $(n-1)$-связных $(2n+1)$-мерных комплексов Пуанкаре, $[X]$ и $[Y]$, с $H_n(X;\mathbb{Z} )=H_n(Y;\mathbb{Z} ) =\mathbb{Z}/p^r$. При этом имеют место равенства (7.3) и (7.4). Доказательство. Необходимо проверить равенство (7.1) и затем применить предложение 7.3. Это уже сделано при доказательстве предложения 6.6. Замечание 7.1. Заметим, что равенство (7.1) также имеет место при $n=5$ и $p=3$, как показано в доказательстве предложения 6.6.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GrbVuc21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|