| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 18 научных статьях (всего в 18 статьях) Равномерная сходимость и асимптотики для задач в областях с мелкой перфорацией вдоль заданного многообразия в случае усредненного условия Дирихле Д. И. Борисовabc, А. И. Мухаметрахимоваd a Институт математики с вычислительным центром, Уфимский научный центр Российской академии наук, г. Уфа b Башкирский государственный университет, г. Уфа c University of Hradec Králové, Hradec Králové, Czech Republic d Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы, г. Уфа
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9435 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеОдним из направлений современной теории граничного усреднения является изучение краевых задач в областях, перфорированных вдоль многообразия. Такая перфорация обычно описывается малыми отверстиями, расположенными вдоль заданного многообразия в области; это многообразие, в частности, может быть и границей этой области. Сами отверстия обычно располагаются на малых расстояниях друг от друга. Характерные размеры отверстий и характерное расстояние между ними – два малых параметра в задаче, и при уменьшении этих параметров отверстия располагаются гуще, одновременно уменьшаясь в размерах. Основной целью исследований является описание поведения решений рассматриваемых задач при уменьшении малых параметров. Классические результаты, полученные для задач с перфорацией вдоль заданного многообразия, описывают сильную и слабую сходимость их решений в нормах пространств $L_2$ или $W_2^1$ к решениям некоторых усредненных задач. При этом последние задачи отличались от исходных тем, что в них уже отсутствует перфорация, но вместо нее возникает некоторое усредненное краевое условие на многообразии, вдоль которого располагались исходные отверстия. Дифференциальное уравнение оставалось неизменным. Результаты подобного рода были получены, например, в [1]–[10]. Опишем чуть подробнее постановки задач в цитированных работах. В [1] было исследовано уравнение Пуассона в двумерной ограниченной области, периодически перфорированной вдоль границы. На границе исходной области ставилось третье краевое условие, на границах отверстий – условие Дирихле. Предполагалось, что размеры отверстий намного меньше, чем расстояния между ними. Рассматривался случай, когда при усреднении возникает третье граничное условие, в котором имеется дополнительный коэффициент, порождаемый геометрией перфорации. В [2] изучалось уравнение Пуассона в области, непериодически перфорированной вдоль границы. На внешней границе задавалось условие Неймана, на границах отверстий – условие Дирихле. Размеры отверстий и расстояния между ними были одного порядка. Рассмотрен случай, когда усреднение приводило к краевому условию Дирихле на границе области. В [3] было исследовано уравнение Лапласа в двумерной ограниченной области, случайно перфорированной вдоль границы. На границе исходной области ставилось условие Неймана, на границах отверстий – условие Дирихле. Рассматривался случай, когда при усреднении возникало условие Дирихле. В [4]–[6] были изучены задачи для уравнения Пуассона в многомерных областях, периодически перфорированных вдоль многообразий. В [4] на границах отверстий ставилось одно из классических граничных условий: условие Дирихле, условие Неймана или третье граничное условие. Рассматривался случай, когда перфорация в пределе не дает вклад в задачу, т.е. при усреднении отверстия пропадают вместе с многообразием, вдоль которого они расположены. В [7] исследовалось вариационное неравенство для оператора Лапласа в произвольной области, перфорированной вдоль заданного многообразия. В [5]–[7] на границах отверстий ставилось третье нелинейное граничное условие. В этих работах были рассмотрены различные варианты соотношений размеров отверстий и расстояний между ними. При усреднении менялся характер нелинейности задачи или возникало усредненное условие Дирихле на многообразии. В работах [8], [9] рассматривалась модель, названная ситом Стеклова. Речь шла о задачах в областях, соединенных тонкой прослойкой с большим числом периодически и часто расположенных тонких каналов. На внутренней поверхности этих каналов задавалось спектральное граничное условие Стеклова, на остальных частях границы – классические краевые условия. В [8] была проведена классификация усредненных задач в зависимости от размеров каналов и прослойки и доказаны соответствующие теоремы сходимости. В [9] для двумерного случая были построены первые члены асимптотических разложений собственных значений в предположении, что каналы и прослойка имеют одинаковый порядок малости. В [10] рассматривались двух- и трехмерные задачи в ограниченных областях с периодической частой перфорацией малыми отверстиями вдоль части границы. На границе отверстий ставилось краевое условие Дирихле, а на части границы области, вдоль которой эти отверстия располагались, – спектральное граничное условие Стеклова. Были описаны усредненные задачи в зависимости от размеров отверстий и доказаны соответствующие теоремы сходимости. Отметим еще, что задачи в перфорированных областях не ограничиваются лишь описанными выше моделями, а более классической моделью является случай, в котором перфорация проводится по всей области. Не ставя целью описать текущее состояние дел в этом направлении исследований, в котором было получено большое число результатов, в качестве примера отметим лишь совсем недавнюю работу [11], в которой рассматривалась задача для уравнения Пуассона в многомерной области, часто и периодически перфорированной малыми отверстиями. На границах отверстий выставлялось третье краевое условие с коэффициентом, растущим по малому параметру; сам коэффициент мог быть быстро осциллирующим по малому параметру. В работе были приведены различные возможные усредненные краевые задачи, вид которых зависел от структуры перфорации и краевого условия на границе отверстий. Были доказаны теоремы сходимости, а также описано поведение спектров соответствующих спектральных задач. В последние пятнадцать лет на стыке теории усреднения и спектральной теории неограниченных операторов развивается новое направление: появились работы, в которых для возмущенных задач доказывалась равномерная резольвентная сходимость, см., например, [12]–[15]. В этих работах были исследованы вопросы равномерной резольвентной сходимости для операторов с быстро осциллирующими коэффициентами и получены точные по порядку оценки скорости сходимости, причем в различных операторных нормах. Эти результаты мотивировали схожие исследования для задач граничной теории усреднения. В работах [16]–[19] изучался оператор Лапласа в плоской бесконечной полосе, на нижней стороне которой задавалась частая периодическая смена краевых условий Дирихле и Неймана. В [19] рассматривались случаи, когда усреднение приводило к краевому условию Дирихле или Неймана на нижней границе полосы. В [17], [18] при усреднении на нижней границе полосы возникало краевое условие Неймана, в [16] – краевое условие Дирихле. В [20] рассмотрен магнитный оператор Шрёдингера в плоской бесконечной полосе. На нижней границе полосы задавалась частая непериодическая смена краевого условия Дирихле и третьего граничного условия. Исследованы случаи, когда усредненный оператор содержит краевое условие Дирихле или третье граничное условие вместо частой смены. В работе [21] рассматривался общий эллиптический самосопряженный оператор в полосе с быстро осциллирующей границей, амплитуда и период осцилляций были двумя малыми параметрами. На самой осциллирующей границе задавалось одно из классических краевых условий. Основные результаты работ [16]–[21] – доказательство равномерной резольвентной сходимости возмущенного оператора к усредненному и вывод оценок скорости сходимости. Также в некоторых случаях были построены асимптотические разложения для нижних зонных функций возмущенного оператора. В [22] рассматривался эллиптический оператор в многомерной области с частой непериодической сменой краевого условия Дирихле и третьего граничного условия в случае, когда усредненный оператор содержит краевое условие Дирихле. В [23] аналогичная задача изучалась для случая, когда усредненный оператор содержит третье краевое условие. В этих двух работах была доказана равномерная резольвентная сходимость возмущенного оператора к усредненному и получены оценки скорости сходимости. Также было построено полное асимптотическое разложение резольвенты возмущенного оператора для случая периодического чередования. В [24] рассматривался эллиптический оператор второго порядка с переменными коэффициентами в плоской полосе, перфорированной вдоль заданной кривой. На границах отверстий ставилось условие Дирихле, условие Неймана или третье граничное условие. В этой работе были изучены различные случаи распределения отверстий с разными граничными условиями, что приводило к различным усредненным операторам. Во всех случаях была доказана равномерная резольвентная сходимость возмущенного оператора к усредненному и получены оценки скорости сходимости. В настоящей работе рассматривается краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами в многомерной области, перфорированной вдоль заданного многообразия. Размерность области не меньше трех, при этом область может быть как ограниченной, так и неограниченной. Предполагается, что размеры всех отверстий одного порядка, а их форма и распределение вдоль многообразия могут быть произвольными. Отверстия поделены на два множества. На границах отверстий первого множества ставится условие Дирихле, на границах отверстий второго множества – третье нелинейное условие. Первый основной результат – доказательство сходимости решения возмущенной задачи к решению усредненной задачи в норме $W_2^1$ равномерно по правой части уравнения c одновременным выводом неулучшаемой по порядку оценки скорости сходимости. В частном случае, когда упомянутое третье нелинейное краевое условие оказывается линейным, данный результат означает наличие равномерной резольвентной сходимости в смысле нормы операторов, действующих из $L_2$ в $W_2^1$, причем имеется точная по порядку оценка скорости сходимости. Второй основной результат – построение асимптотического разложения решения возмущенной задачи. Здесь предполагается, что область является неограниченной, перфорация производится вдоль гиперплоскости и имеет периодическую структуру. Исследование настоящей работы было мотивировано результатами работы [24]. При этом отличие нашей работы от [24] заключается в том, что мы рассматриваем задачу в произвольной многомерной области, в то время как в [24] в качестве области выбиралась бесконечная плоская полоса. Важным отличием от [24] является то, в что в нашем случае на границах отверстий ставится третье нелинейное граничное условие. Наличие нелинейности порождает необходимость привлекать дополнительную технику для исследования. При этом на структуру нелинейности мы налагаем условия, более слабые, чем в работах [5]–[7]. Подчеркнем, что нам удалось достаточно существенно ослабить условия на форму и расположение отверстий в перфорации как по сравнению с работами [4]–[7] по классическому усреднению, так и с работой [24]. Отметим также, что в настоящей статье мы рассматриваем только случай, когда при усреднении возникает условие Дирихле. Остальные случаи усредненных операторов будут изучены в последующих работах. § 2. Постановка задачи и основные результатыПусть $x=(x',x_n)$, $x'=(x_1,x_2,\dots,x_{n-1})$ – декартовы координаты в $\mathbb{R}^n$ и $\mathbb{R}^{n-1}$ соответственно, $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ – область с границей класса $C^2$. Область $\Omega$ может быть как ограниченной, так и неограниченной. Обозначим через $S\subset\Omega$ многообразие без края класса $C^2$ коразмерности $1$. Предполагаем, что многообразие $S$ замкнуто или бесконечно. Пусть $\varepsilon$ – малый положительный параметр, $\eta=\eta(\varepsilon)$ – некоторая функция, удовлетворяющая неравенству $0<\eta(\varepsilon)\leqslant1$. Через $\mathbb{M}^\varepsilon\subseteq\mathbb{N}$ обозначим некоторое произвольное множество. В окрестности многообразия $S$ выберем точки $M_k^\varepsilon$, $k\in\mathbb{M}^\varepsilon$, такие, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{dist}(M_k^\varepsilon,S)\leqslant R_0\varepsilon,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $R_0$ – положительная константа, не зависящая от $k$ и $\varepsilon$. Пусть $\omega_{k,\eta}\subset\mathbb{R}^n$, $k\in\mathbb{M}^\varepsilon$, – ограниченные области с границами класса $C^2$, зависящие от $\eta\in[0,1]$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\omega_k^\varepsilon:=\bigl\{x\colon (x-M_k^\varepsilon)\varepsilon^{-1}\eta^{-1}(\varepsilon)\in \omega_{k,\eta}\bigr\}, \qquad \theta^\varepsilon:=\bigcup_{k\in\mathbb{M}^\varepsilon}\omega_k^\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Из области $\Omega$ вырежем отверстия $\omega_k^\varepsilon$, $k\in\mathbb{M}^\varepsilon$, и такую область обозначим через $\Omega^\varepsilon$, т.е. $\Omega^\varepsilon:=\Omega\setminus\theta^\varepsilon$. Введенная область $\Omega^\varepsilon$ содержит перфорацию малыми отверстиями $\omega_k^\varepsilon$, расположенными вдоль многообразия $S$. На размеры, форму и расположение этих отверстий в работе налагается несколько естественных условий общего характера. Точные формулировки этих условий мы приведем позднее, пока лишь отметим, что все отверстия $\omega_k^\varepsilon$ мы считаем попарно непересекающимися с минимальным расстоянием между ними порядка $O(\varepsilon)$. Перейдем к постановке рассматриваемой задачи. Вначале введем следующие множества:
$$
\begin{equation*}
\theta^\varepsilon=\theta_\mathrm{D}^\varepsilon\cup\theta_\mathrm{R}^\varepsilon, \qquad \theta_\natural^\varepsilon=\bigcup_{k\in\mathbb{M}_\natural^\varepsilon}\omega_k^\varepsilon, \qquad \natural\in\{\mathrm{D},\mathrm{R}\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb{M}_\mathrm{D}^\varepsilon\cap\mathbb{M}_\mathrm{R}^\varepsilon=\varnothing$, $\mathbb{M}_\mathrm{D}^\varepsilon\cup\mathbb{M}_\mathrm{R}^\varepsilon=\mathbb{M}^\varepsilon$, т.е. $\mathbb{M}_\mathrm{D}^\varepsilon$ и $\mathbb{M}_\mathrm{R}^\varepsilon$ – некоторое произвольное разбиение множества $\mathbb{M}^\varepsilon$. Через $A_{ij}=A_{ij}(x)$, $A_i=A_i(x)$, $A_0=A_0(x)$ обозначим функции, заданные в $\Omega$ и удовлетворяющие следующим условиям:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_{ij}, A_i\in W_\infty^1(\Omega), \qquad A_0\in L_\infty(\Omega), \qquad A_{ij}=A_{ji}, \qquad i,j=1,\dots,n, \\ \sum_{i,j=1}^n A_{ij}(x)\xi_i\xi_j\geqslant c_0|\xi|^2, \qquad x\in\Omega, \qquad \xi=(\xi_1\dots,\xi_n)\in \mathbb{R}^n, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_0$ – положительная константа, не зависящая от $x$ и $\xi$. Функции $A_{ij}$ и $A_0$ являются вещественными, $A_j$ – комплекснозначными. Пусть $a=a(x,u)$ – некоторая измеримая функция, заданная для $x$, принадлежащих фиксированной окрестности $S$, и $u\in\mathbb{C}$. Будем считать, что для функции $a$ выполнены условия
$$
\begin{equation}
|a(x,u_1)-a(x,u_2)|\leqslant a_0|u_1-u_2|, \qquad a(x,0)=0,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $a_0$ – некоторая константа, не зависящая от $x$, $u_1$ и $u_2$. Также предполагаем, что функция $a(x,u)\overline{u}$ вещественна для всех $x$ и $u$. Это означает, что скалярное произведение $(a(x,u),u)_{L_2(\partial\theta^\varepsilon_\mathrm{R})}$ является вещественным для всех $u\in L_2(\partial\theta_\mathrm{R}^\varepsilon)$ и всех $\varepsilon$. Основной объект исследования настоящей работы – следующая краевая задача:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \biggl(-\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i} A_{ij}\frac{\partial }{\partial x_j} +\sum_{j=1}^nA_j\frac{\partial}{\partial x_j} -\frac{\partial}{\partial x_j}\overline{A_j}+A_0-\lambda\biggr) u_\varepsilon=f \quad\text{в }\ \Omega^\varepsilon, \\ u_\varepsilon=0 \quad\text{на }\ \partial\Omega, \qquad u_\varepsilon=0 \quad\text{на }\ \partial\theta_\mathrm{D}^\varepsilon, \qquad\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial \mathrm{n}}+a(\cdot,u_\varepsilon)=0 \quad\text{на }\ \partial\theta_\mathrm{R}^\varepsilon, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $f\in L_2(\Omega)$, $\lambda$ – вещественное число. Производная по конормали задается соотношением
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial \mathrm{n}} =\sum_{i,j=1}^n A_{ij}\cos(\nu,Ox_i)\frac{\partial}{\partial x_j} +\sum_{j=1}^n \overline{A_j}\cos(\nu,Ox_j),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\cos(\nu,Ox_i)$ – косинус угла между осью $Ox_i$ и единичной нормалью $\nu$ к $\partial\theta_\mathrm{R}^\varepsilon$, направленной внутрь множества $\theta_\mathrm{R}^\varepsilon$. Целью работы является изучение асимптотического поведения решения задачи (2.3) при $\varepsilon\to0$. Для формулировки основных результатов введем вспомогательные обозначения и предположения. Начнем с поверхности $S$. Пусть $s=(s_1,s_2,\dots,s_{n-1})$ – локальные переменные на $S$. Обозначим через $\tau$ расстояние от точки до $S$, измеренное вдоль нормали. Пусть $B_r(M)$ – шар в $\mathbb{R}^n$ радиуса $r$ с центром в точке $M$. Следующее предположение касается размера и взаимного расположения отверстий $\omega_k^\varepsilon$.
Следующее условие налагается на форму областей $\omega_{k,\eta}$, на которых после сжатия ставится третье краевое условие. Для формулировки этого условия в окрестности границ областей $\omega_{k,\eta}$ введем локальную переменную $\rho$ – расстояние от точки до границы $\partial\omega_{k,\eta}$, измеренное в направлении внешней нормали.
Положим $\Xi^\varepsilon:=\{x\colon |\tau|<b R_2\varepsilon\}$. На распределение отверстий из множества $\theta^\varepsilon_\mathrm{D}$ наложим следующее условие. Решение краевой задачи (2.3) будем понимать в обобщенном смысле. Обобщенным решением задачи (2.3) называется функция $u_\varepsilon\in W_2^1(\Omega^\varepsilon)$, удовлетворяющая интегральному тождеству
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{h}_a(u_\varepsilon,v)=(f,v)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $v \in\mathring{W}_2^1(\Omega^\varepsilon,\partial\Omega \cup\partial\theta_\mathrm{D}^\varepsilon)$, где обозначено
$$
\begin{equation}
\mathfrak{h}_a(u,v) :=\mathfrak{h}_0(u,v) +(a(\cdot,u),v)_{L_2(\partial\theta_\mathrm{R}^\varepsilon)},
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \mathfrak{h}_0(u,v):= \sum_{i,j=1}^n\biggl(A_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_j},\frac{\partial v}{\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+\sum_{j=1}^n\biggl( A_j\frac{\partial u}{\partial x_j},v\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad +\sum_{j=1}^n\biggl(u, A_j\frac{\partial v}{\partial x_j}\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+(A_0 u,v)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}-\lambda(u,v)_{L_2(\Omega^\varepsilon)},
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
и $\mathring{W}_2^1(\Omega^\varepsilon,\partial\Omega\cup\partial\theta_\mathrm{D}^\varepsilon)$ – подпространство функций из $W_2^1(\Omega)$, обращающихся в нуль на $\partial\Omega$ и $\partial\theta_\mathrm{D}^\varepsilon$. Интеграл по границе $\partial\theta_\mathrm{R}^\varepsilon$ понимается в смысле следов. Далее будет показано, что благодаря условиям (A1)–(A3) такой след определен корректно, см. также обсуждение результатов в конце этого параграфа. Также далее мы установим, что задача (2.3) однозначно разрешима (лемма 5.1). В работе рассматривается случай, когда $\varepsilon$ и $\eta$ связаны следующим соотношением:
$$
\begin{equation}
\frac{\varepsilon}{\eta^{n-2}(\varepsilon)}\to +0, \qquad \varepsilon\to +0.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Введем еще одну краевую задачу:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \biggl(-\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i} A_{ij}\frac{\partial}{\partial x_j}+\sum_{j=1}^n A_j\frac{\partial}{\partial x_j}-\frac{\partial}{\partial x_j}\overline{A_j}+A_0-\lambda\biggr) u_0=f \quad\text{в }\ \Omega\setminus S, \\ u_0=0 \quad\text{на }\ \partial\Omega\cup S. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Решение этой задачи также понимаем в обобщенном смысле. Далее мы покажем, что данная задача является усредненной для задачи (2.3). Первым основным результатом работы является следующая теорема. Теорема 2.1. Пусть выполнены предположения (A1)–(A4) и условие (2.8). Тогда существует $\lambda_0$, не зависящее от $\varepsilon$, $\eta$ и $f$, такое, что при $\lambda<\lambda_0$ задачи (2.3), (2.9) однозначно разрешимы для всех $f\in L_2(\Omega)$ и верно неравенство где константа $C$ не зависит от $\varepsilon$ и $f$, но зависит от $\lambda$. Вторая часть работы посвящена построению асимптотического разложения решения задачи (2.3) при некоторых дополнительных ограничениях. Пусть $\Omega$ – неограниченная область. Будем считать, что в окрестности гиперплоскости $x_n=0$ эта область совпадает со слоем, а именно, существует $\tau_0>0$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\Omega\cap\{x\colon |x_n|\leqslant\tau_0\}=\{x\colon |x_n|\leqslant\tau_0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В качестве многообразия $S$ возьмем гиперплоскость $\{x\colon x_n=0\}$. Пусть $M_\mathrm{D}$, $M_\mathrm{R}$ – некоторые фиксированные точки, $\omega_\mathrm{D}$, $\omega_\mathrm{R}$ – некоторые фиксированные ограниченные множества с границей гладкости $C^{(2+\vartheta)}$ для некоторого фиксированного $\vartheta\in(0,1)$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\Pi:=\square\times\mathbb{R}, \qquad \square:=\biggl\{x\colon -\frac{b_i}{2}<x_i<\frac{b_i}{2},\,i=1,\dots,n-1\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $b_i>0$ – некоторые числа. Будем считать, что для всех $\eta\in(0,1]$ выполнено
$$
\begin{equation}
\overline{\omega_\flat^\eta}\subset\Pi, \qquad \operatorname{dist}(\omega_\mathrm{D}^\eta, \omega_\mathrm{R}^\eta)\geqslant R_4>0, \qquad \omega_\flat^\eta:=\bigl\{x\colon \eta^{-1}(x-M_\flat)\in\omega_\flat\bigr\},
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где $R_4$ – некоторая фиксированная константа, не зависящая от $\eta$, и $\flat\in\{\mathrm{R},\,\mathrm{D}\}$. Множества $\mathbb{M}_\mathrm{D}^\varepsilon$, $\mathbb{M}_\mathrm{R}^\varepsilon$ выберем следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbb{M}_\flat^\varepsilon:=\bigl\{\varepsilon (M_k+M_\flat),\; k\in\mathbb{Z}^{n-1} \bigr\}, \qquad\flat\in\{\mathrm{R},\mathrm{D}\}, \\ M_k:=(b_1k_1,\dots,b_{n-1}k_{n-1},0), \qquad k:=(k_1,\dots,k_{n-1}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, точки $M_k^\varepsilon$ из множества $\mathbb{M}_\mathrm{D}^\varepsilon$ пересчитываются мультииндексом $k\in\mathbb{Z}^{n-1}$ и имеют вид $M_k^\varepsilon=\varepsilon (M_k+M_\mathrm{D})$ и аналогичные соотношения верны для точек из множества $\mathbb{M}_\mathrm{R}^\varepsilon$. Точкам $M_k^\varepsilon\in \mathbb{M}_\mathrm{D}^\varepsilon$ сопоставим множества $\omega_{k,\eta}:=\omega_\mathrm{D}$, а точкам $M_k^\varepsilon\in \mathbb{M}_\mathrm{R}^\varepsilon$ – множества $\omega_{k,\eta}:=\omega_\mathrm{R}$. Определим затем соответствующие множества $\theta_\mathrm{D}^\varepsilon$ и $\theta_\mathrm{R}^\varepsilon$. Ясно, что указанный выбор периодического расположения отверстий автоматически обеспечивает выполнение условий (A1)–(A4) и оценки (2.1). Пусть
$$
\begin{equation*}
f\in L_2(\Omega)\cap W_2^q(\Omega_{\tau_0}^+)\cap W_2^q(\Omega_{\tau_0}^-), \qquad \Omega_b^\pm:=\{x\colon 0<\pm x_n<b\},
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $q\in\mathbb{N}$. Будем считать, что функция $a=a(u)$ бесконечно дифференцируема и удовлетворяет условию (2.2). Предполагаем, что $A_{ij}=1$, $A_j=0$, $A_0=0$ при $|x_n|\leqslant\tau_0$. Описанную ситуацию с периодическим расположением отверстий и дополнительными условиями на функции, участвующие в постановке задачи (2.3), далее для краткости будем называть случаем периодического чередования. Через $\chi=\chi(x_n)$ обозначим бесконечно дифференцируемую срезающую функцию, равную нулю при $|x_n|<1$ и единице при $|x_n|>2$, и положим
$$
\begin{equation*}
\chi^\varepsilon(x_n) = \begin{cases} \chi(x_n\varepsilon^{-1/2}), &|x_n|>\tau_0, \\ 0, &|x_n|\leqslant\tau_0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Наш второй основной результат сформулирован в следующей теореме. Теорема 2.2. При сделанных выше предположениях в случае периодического чередования асимптотика решения задачи (2.3) в норме $W_2^1(\Omega^\varepsilon)$ имеет вид Кратко обсудим результаты работы. Начнем с предположений о геометрии перфорации. Условие (A1) налагается на многообразие, вдоль которого располагаются отверстия. Это условие означает, что поверхность $S$ не слишком сильно осциллирует – наличие сильных осцилляций уменьшает размер области, в которой корректно определены локальные переменные $(\tau,s)$. Схематическим примером, демонстрирующим возможное наличие таких осцилляций и нарушение условия (A1), является многообразие в $\mathbb{R}^3$, определяемое уравнением $x_3=\sin(x_1^2+x_2^2)$, $(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2$. При больших $(x_1,x_2)$ это многообразие начинает сильно осциллировать, и тем самым не удается ввести локальные переменные $(\tau,s)$ равномерно вдоль многообразия. Вместе с тем подчеркнем, что условие (A1) необходимо в том смысле, что попытка определить перфорацию вдоль многообразий с нарастающими осцилляциями существенно изменяет саму постановку задачи, так как здесь отверстия могут располагаться слишком часто и тем самым могут начать пересекаться. Это означает качественное изменение в постановке исходной задачи и, возможно, качественное изменение вида усредненной задачи. Отметим еще, что условие (A1) важно в случае неограниченной поверхности $S$ и автоматически выполняется, если поверхность $S$ ограничена; в последнем случае достаточно предполагаемой гладкости класса $C^2$. Условие (A2) означает, что все отверстия имеют размеры одного порядка, они не пересекаются и между ними имеется минимальное расстояние порядка $O(\varepsilon)$. Размеры отверстий при этом порядка $O(\varepsilon \eta(\varepsilon))$. На форму границ отверстий никаких условий не налагается, отверстия могут достаточно произвольно зависеть от малого параметра. Эти условия являются естественными для всех задач о перфорации, налагая минимальные разумные условия на формы отверстий и их распределение. Требование связности множеств $B_{R_2}(0)\setminus \omega_{k,\eta}$ также весьма естественно, так как иначе внутри области $\Omega^\varepsilon$ возникали бы изолированные компоненты малого размера, не связанные с основной частью области и фактически речь шла о независимых задачах на таких малых областях. Подчеркнем, что каждое из отверстий $\omega_{k,\eta}$ не обязательно односвязно, причем число компонент связности отверстия $\omega_{k,\eta}$ может зависеть от $k$. Условие (A3) означает наличие определенной равномерности геометрии областей $\omega_{k,\eta}$ по параметрам $k$ и $\eta$. Как и первое условие (A1), оно сформулировано в терминах локальных переменных возле границы – требуется наличие полосы достаточно малой, но фиксированной ширины вдоль границ областей $\omega_{k,\eta}$, в которых были бы корректно определены локальные переменные $\rho$ одновременно для всех $k\in\mathbb{M}_\mathrm{R}^\varepsilon$ и всех $\eta$. Как и в случае поверхности $S$, это также означает отсутствие нарастающих осцилляций у границ областей $\omega_{k,\eta}$. Это условие далее используется для того, что обеспечить наличие следа функций из $\mathring{W}_2^1(\Omega^\varepsilon,\partial\Omega)$ на границах отверстий $\partial\omega_{k,\eta}$, см. § 3. Наличие же следа необходимо для формулировки определения обобщенных решений рассматриваемой возмущенной задачи. Если не налагать условие (A3), а ограничиться лишь условием (A2), то тогда не исключаются отверстия, удовлетворяющие вложениям в (2.4), но с возрастающей по $k$ или по $\eta$ мерой границ $|\partial\omega_{k,\eta}|$, что возможно за счет возрастающих осцилляций этих границ. На таких границах соответствующая константа в оценках $L_2$-норм следов на границах через $W_2^1$-нормы в области $\Omega^\varepsilon$ будет расти с ростом $k$. В этом легко убедиться, если взять функцию, локально равную константе в окрестности таких отверстий, – сама функция не изменяется, а мера границы возрастает, увеличивая тем самым $L_2$-норму следа. Поэтому условие (A3) является по меньшей мере близким к необходимому для обеспечения наличия следа. Условие (A4) требует, чтобы отверстия с первым граничным условием были расположены достаточно часто, так что шары с центрами в этих отверстиях радиусами $R_3\varepsilon$ покрывают слой вдоль многообразия шириной $2bR_2\varepsilon$. Последнее требование фактически налагает весьма слабое условие на распределение отверстий с краевым условием Дирихле на границе, являясь по сути единственным дополнительным требованием на отверстия. На положение отверстий с третьим нелинейным краевым условием никаких условий не налагается, поэтому они могут располагаться как достаточно часто, так и редко. Например, расстояния между этими отверстиями могут быть и конечными, не обязательно малыми, число таких отверстий может быть конечным, либо они вовсе могут отсутствовать. Подчеркнем, что невыполнение условия (A4) приводит к изменению вида усредненной задачи, см. аналогичные результаты для двумерного случая в статье [24]. Подчеркнем, что обсуждавшиеся выше условия на отверстия слабее, чем аналогичные условия в работе [24]. А именно, условие (A3) выражено в простых геометрических терминах и является заменой условия (A2), в котором требовалась разрешимость определенной краевой задачи в окрестности каждого отверстия $\omega_{k,\eta}$ и, что самое главное, равномерная по $k$ ограниченность решения в $L_\infty$-норме. Из условия (A3) также не вытекает существование ограниченного оператора продолжения внутрь отверстий, которое налагалось в некоторых работах по классическому усреднению в областях с перфорацией. Причина в том, что переменная $\varrho$ определена лишь с внешней стороны отверстий $\omega_{k,\eta}$, а внутри отверстий выполнение оценок типа (2.5) не предполагается. Условие (A1) в [24] явно не формулировалось, но фактически неявно предполагалось выполненным и использовалось по существу. Обратим еще внимание на структуру нелинейности в граничном условии на границах отверстий $\partial\theta_\mathrm{R}^\varepsilon$. Единственные условия, налагаемые на функцию $a$, описывающую эту нелинейность, сформулированы в (2.2). Это условие существенно слабее, чем условия на аналогичную функцию в работах [5]–[7], где предполагалось существование производной функции $a$ по $u$, а также строгая положительность и равномерная ограниченность данной производной. Обратимся теперь к основным результатам работы. Теорема 2.1 устанавливает сходимость решения задачи (2.3) к решению задачи (2.9) в норме $W_2^1(\Omega^\varepsilon)$ равномерно по правой части уравнения. Более того, теорема 2.1 дает оценку скорости сходимости, см. неравенство (2.10). Правая часть этого неравенства стремится к нулю в силу условия (2.8). Уравнение в задаче (2.3) является линейным эллиптическим уравнением второго порядка, при этом на границах отверстий $\partial\theta^\varepsilon_\mathrm{R}$ ставится третье нелинейное граничное условие. В частном же случае, когда краевое условие на границе отверстий $\partial\theta^\varepsilon_\mathrm{R}$ является линейным, теорема 2.1 фактически утверждает справедливость равномерной резольвентной сходимости возмущенного оператора к усредненному и дает оценку скорости сходимости. В этом случае возмущенный оператор – это оператор в $L_2(\Omega^\varepsilon)$ с дифференциальным выражением (6.1), краевым условием Дирихле на $\partial\Omega\cup\partial\theta_\mathrm{D}^\varepsilon$ и третьим граничным условием на $\partial\theta_\mathrm{R}^\varepsilon$, усредненный – оператор в $L_2(\Omega)$ с дифференциальным выражением (6.1) и краевым условием Дирихле на $\partial\Omega\cup S$. В общем случае функция $a$ нелинейно зависит от $u$ и теорему 2.1 можно интерпретировать как утверждение о сходимости “резольвенты” соответствующего нелинейного оператора к резольвенте усредненного линейного оператора в смысле нормы операторов из $L_2(\Omega)$ в $W_2^1(\Omega^\varepsilon)$; последнюю для нашего нелинейного оператора следует определять так же, как и для обычных линейных. Вторая часть результатов посвящена построению асимптотического разложения решения задачи (2.3). Для возможности построения асимптотики приходится налагать дополнительные ограничения на отверстия, а именно, теперь отверстия образуют периодическое множество, расположенное вдоль гиперплоскости $x_n=0$. Сами отверстия задаем как сжатие в $\varepsilon^{-1}\eta^{-1}$ раз некоторых фиксированных ограниченных множеств. Здесь мы также рассматриваем два вида отверстий: отверстия с первым граничным условием и отверстия с третьим нелинейным граничным условием. Также требуем, чтобы функции $f$ и $a$ были бесконечно дифференцируемыми и предполагаем, что функция $a$ не зависит от $x$. Выполнение этих условий позволяет нам построить полное асимптотическое разложение решения задачи (2.3). Решение строится методом согласования асимптотических разложений (см. [25]) в виде комбинации внешнего разложения с коэффициентами $u_m$ и внутреннего разложения с коэффициентами $v_m$. Асимптотика является двупараметрической и зависит от двух параметров: $\varepsilon$ и $\eta$. Хотя и предполагается, что $\eta$ зависит от $\varepsilon$, условие (2.8) выполнено для широкого класса функций $\eta$, и с этой точки зрения можно рассматривать $\eta$ как второй (функциональный) параметр. Структура асимптотики (2.12) степенная, коэффициенты зависят от $\eta$ как от параметра. Оставаясь ограниченными для конечных $\eta$, они имеют особенность при $\eta\to+0$, что возможно, если, например, $\eta=\varepsilon^\alpha$ с $0<\alpha<{1}/(n-2)$. Оценить эту особенность удается на основе техники, аналогичной использованной ранее в [22]. При этом наличие нелинейного третьего краевого условия приводит к необходимости расширения данной техники и привлечения дополнительного аппарата для получения необходимых оценок коэффициентов $v_m$ внутреннего разложения. В заключение отметим, что оценка скорости сходимости в теореме 2.1 неулучшаема по порядку. Для подтверждения этого факта достаточно вычислить норму разности $\|u_\varepsilon-u_0\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}$ в предположениях теоремы 2.2 на основе асимптотики (2.12). Тогда прямыми вычислениями несложно убедиться, что
$$
\begin{equation*}
\|u_\varepsilon-u_0\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}\geqslant C\biggl(\frac{\varepsilon}{\eta^{n-2}(\varepsilon)}\biggr)^{1/2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $C$ – некоторая положительная константа, не зависящая от $\varepsilon$. Это и подтверждает точность по порядку оценки (2.10).
§ 3. Существование и оценка следов на $\theta_\mathrm{R}^\varepsilon$Настоящий параграф посвящен изучению свойств следов функций из $W_2^1(\Omega^\varepsilon)$ на множестве $\partial\theta_\mathrm{R}^\varepsilon$. Наша основная цель – доказать, что условия (A1)–(A3) обеспечивают существование такого следа в пространстве $L_2(\theta_\mathrm{R}^\varepsilon)$, а также оценить норму такого следа равномерно по $\varepsilon$ и $\eta$. Первая вспомогательная лемма – один из ключевых шагов как при дальнейшей оценке следов, так и в доказательстве теоремы 2.1 в следующем параграфе. Лемма 3.1. Пусть выполнено условие (A2). Тогда для всех функций $u\in \mathring{W}_2^1(B_{b_*R_2}(0)\setminus\omega_{k,\eta}, \partial B_{b_*R_2}(0))$ верны оценки где $C$ – некоторая фиксированная константа, не зависящая от $u$, $k$, $\eta$ и формы отверстий $\omega_{k,\eta}$. Доказательство. Обозначим через $\mu_{k,\eta}$ первые собственные значения лапласианов в областях $B_{b_*R_2}(0)\setminus\omega_{k,\eta}$ с краевым условием Дирихле на $\partial B_{b_*R_2}(0)$ и условием Неймана на $\partial\omega_{k,\eta}$. В силу принципа минимакса утверждение леммы эквивалентно оценке где $C$ – некоторая фиксированная константа, не зависящая от $u$, $k$, $\eta$ и формы отверстий $\omega_{k,\eta}$. Последнюю оценку и будем доказывать.
Так как в силу условия множество $B_{R_2}(0)\setminus \omega_{k,\eta}$ связно, то же верно и для множества $B_{b_* R_2}(0)\setminus \omega_{k,\eta}$. Поэтому ввиду наличия граничного условия Дирихле на $\partial B_{b_* R_2}(0)$ у введенного выше лапласиана собственные значения $\mu_{k,\eta}$ строго положительны и соответствующие собственные функции непостоянны в $B_{b_* R_2}(0)\setminus \omega_{k,\eta}$. Это позволяет применить к собственные значениям $\mu_{k,\eta}$ классическую оценку через константу Чигера (Cheeger’s constant). Данная оценка была доказана в работе [26], и для областей $B_{R_2}(0)\setminus\omega_{k,\eta}$ она выглядит следующим образом:
$$
\begin{equation}
\mu_{k,\eta}\geqslant \frac{1}{4} \biggl(\inf_{\widetilde{\omega}\subset B_{R_2}(0)\setminus\omega_{k,\eta}} \frac{|\partial\widetilde{\omega}|}{|\widetilde{\omega}|}\biggr)^2,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где инфимум берется по всем подобластям $\widetilde{\omega}$, отделенным от границ $\partial\omega_{k,\eta}$ и $\partial B_{R_2}(0)$. Согласно стандартному изопериметрическому неравенству [27; гл. II, § II.2, теорема II.2.2] для каждой такой подобласти выполнено
$$
\begin{equation*}
|\partial\widetilde{\omega}| \geqslant \frac{|\mathbb{S}^{n-1}|}{|\mathbb{B}^n|^{1-1/n}}|\widetilde{\omega}|^{1-1/n},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb{B}^n$ – единичный шар в $\mathbb{R}^n$, а $\mathbb{S}^{n-1}=\partial \mathbb{B}^n$ – единичная сфера. Из данной оценки и вложения $\widetilde{\omega}\subset B_{R_2}(0)\setminus\omega_{k,\eta}$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\frac{|\partial\widetilde{\omega}|}{|\widetilde{\omega}|} \geqslant \frac{|\mathbb{S}^{n-1}|}{|\mathbb{B}^n|^{1-1/n}} \,\frac{1}{|\widetilde{\omega}|^{1/n}} \geqslant \frac{|\mathbb{S}^{n-1}|}{|\mathbb{B}^n|^{1-1/n}} \,\frac{1}{|B_{b_* R_2}(0)|^{1/n}} = \frac{|\mathbb{S}^{n-1}|}{|\mathbb{B}^n| (b_* R_2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подстановка последнего неравенства в оценку (3.2) доказывает оценку (3.1). Лемма доказана. Пусть $\chi_1=\chi_1(t)$ – бесконечно дифференцируемая срезающая функция, равная единице при $t<1$ и нулю при $t>2$. Следующие два вспомогательных утверждения выглядят следующим образом. Лемма 3.2. При выполнении условий (A2), (A3) для всех $k\in\mathbb{M}_\mathrm{R}^\varepsilon$ и всех $u\in \mathring{W}_2^1\bigl(B_{b_* R_2}(0)\setminus\omega_{k,\eta},\partial B_{b_*R_2}(0)\bigr)$ справедлива оценка где $C$ – положительная константа, не зависящая от параметров $k$, $\varepsilon$, $\eta$ и функции $u$. Доказательство. Пусть $k\in\mathbb{M}_\mathrm{R}^\varepsilon$ и $u\in \mathring{W}_2^1\bigl(B_{b_*R_2}(0)\setminus\omega_{k,\eta},\partial B_{b_*R_2}(0)\bigr)$. Тогда в силу условия (A3) функция $\chi_1({3\rho}/{\rho_0})u(x)$ определена корректно, обращается в нуль вне области $\{x\colon 0\leqslant \rho <\rho_0\}\cup\omega_{k,\eta}$, и выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
|u(x)|^2\big|_{\partial\omega_{k,\eta}}=\int_{\rho_0}^{0} \frac{\partial\ }{\partial\rho} \chi_1\biggl(\frac{3\rho}{\rho_0}\biggr)|u(x)|^2\,d\rho.
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрируя последнее соотношение по границе области $\omega_{k,\eta}$ и применяя неравенство Коши–Буняковского, получаем оценку для нормы следа
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{L_2(\partial\omega_{k,\eta})}^2 \leqslant C\|u\|_{W_2^1(B_{b_*R_2}(0)\setminus\omega_{k,\eta})}^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $k$, $u$, $\eta$ и $\varepsilon$. Утверждение леммы теперь вытекает из последней оценки и леммы 3.1. Лемма доказана. Обозначим $b_\unicode{8224}:=(3b+1)/4$. Лемма 3.3. При выполнении условий (A2), (A3) для всех $k\in\mathbb{M}_\mathrm{R}^\varepsilon$ и всех $u\in W_2^1\bigl(B_{bR_2\varepsilon}(M_k^\varepsilon)\setminus\omega_k^\varepsilon\bigr)$ справедлива оценка Доказательство. Пусть $k\in\mathbb{M}_\mathrm{R}^\varepsilon$ и $u\in \mathring{W}_2^1\bigl(B_{bR_2\varepsilon}(M_k^\varepsilon)\setminus\omega_k^\varepsilon,\partial B_{bR_2\varepsilon}(M_k^\varepsilon)\bigr)$. Всюду в доказательстве через $C$ обозначаем различные несущественные константы, не зависящие от $\varepsilon$, $\eta$, $k$, $u$ и всех рассматриваемых пространственных переменных. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\widetilde{u}(y):=u(M_k^\varepsilon+\varepsilon\eta y)\chi_1\biggl(\frac{2|y|+(b-3)R_2 }{(b-1)R_2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что эта функция есть элемент пространства $\mathring{W}_2^1(B_{b_* R_2}(0)\setminus\omega_{k,\eta},\partial B_{b_*R_2}(0))$, причем $\widetilde{u}(y)=u(M_k^\varepsilon+\varepsilon\eta y)$ на $\partial\omega_{k,\eta}$. Поэтому в силу леммы 3.2 верна оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|u\|_{L_2(\partial\omega_k^\varepsilon)}^2 &=(\varepsilon\eta)^{n-1} \|\widetilde{u}\|_{L_2(\partial\omega_{k,\eta})}^2 \leqslant C(\varepsilon\eta)^{n-1} \|\nabla_y \widetilde{u}\|_{L_2(B_{b_* R_2}(0)\setminus\omega_{k,\eta})}^2 \\ \notag &\leqslant C \bigl(\varepsilon\eta\|\nabla u\|_{L_2(B_{b_*R_2\varepsilon\eta}(M_k^\varepsilon)\setminus\omega_k^\varepsilon)}^2 \\ &\qquad +(\varepsilon\eta)^{-1}\| u\|_{L_2(B_{b_* R_2\varepsilon\eta}(M_k^\varepsilon)\setminus B_{R_2\varepsilon\eta}(M_k^\varepsilon))}^2\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
При $R_2\varepsilon\eta\leqslant |x-M_k^\varepsilon|\leqslant b_* R_2\varepsilon\eta$ выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
u(x)=\int_{b R_2\varepsilon}^{|x-M_k^\varepsilon|} \frac{\partial}{\partial t} u(x)\chi_1(y)\,dt, \qquad y:=\frac{4t-2(b+1)R_2\varepsilon}{(b-1)R_2\varepsilon},
\end{equation*}
\notag
$$
где $t$ – радиус в полярных координатах с центром в точке $M_k^\varepsilon$, соответствующих $x$. Из последнего равенства в силу неравенства Коши–Буняковского вытекает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |u(x)|^2 &\leqslant \int_{|x-M_k^\varepsilon|}^{b R_2\varepsilon} \frac{dt}{t^{n-1}} \int_{R_2\varepsilon\eta}^{R_2\varepsilon} |\nabla u|^2 t^{n-1}\,dt \\ &\qquad\qquad + C\varepsilon^{-2} \int_{b_\unicode{8224} R_2\varepsilon}^{b R_2\varepsilon} \frac{(\chi_1'(y))^2}{t^{n-1}}\,dt \int_{b_\unicode{8224} R_2\varepsilon}^{b R_2\varepsilon} |u(x)|^2 t^{n-1}\,dt \\ &\leqslant C\biggl((\varepsilon\eta)^{-n+2}\int_{R_2\varepsilon\eta}^{b R_2\varepsilon}|\nabla u|^2 t^{n-1}\,dt + \varepsilon^{-n} \int_{b_\unicode{8224} R_2\varepsilon}^{b R_2\varepsilon} |u(x)|^2 t^{n-1}\,dt \biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрируя полученную оценку по $B_{b_* R_2\varepsilon\eta}(M_k^\varepsilon)\setminus B_{R_2\varepsilon\eta}(M_k^\varepsilon)$, выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \|u\|_{L_2(B_{b_* R_2\varepsilon\eta}(M_k^\varepsilon)\setminus B_{R_2\varepsilon\eta}(M_k^\varepsilon))}^2 \leqslant C \bigl( \varepsilon^2\eta^2 \|\nabla u\|_{L_2(B_{bR_2\varepsilon}(M_k^\varepsilon)\setminus B_{R_2\varepsilon}(M_k^\varepsilon))}^2 \\ &\qquad\qquad + \eta^n \|u\|_{L_2(B_{bR_2\varepsilon}(M_k^\varepsilon)\setminus B_{b_\unicode{8224} R_2\varepsilon}(M_k^\varepsilon))}^2\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя эту оценку в (3.4), приходим к утверждению леммы. Лемма доказана. Доказанные вспомогательные леммы позволяют установить существование следа на $\partial\theta_\mathrm{R}^\varepsilon$ и оценить его норму. Финальный результат этого параграфа сформулирован в следующей лемме. Лемма 3.4. При выполнении условий (A1)–(A3) для любой функции $u\in \mathring{W}_2^1(\Omega^\varepsilon,\partial\theta_\mathrm{D}^\varepsilon)$ верна оценка где $\delta>0$ – произвольная константа, а константы $C$ и $C(\delta)$ не зависят от параметров $\varepsilon$, $\eta$, функции $u$, а также от формы и расположения отверстий $\omega_k^\varepsilon$, $k\in\mathbb{M}^\varepsilon$. Доказательство. Всюду в доказательстве через $C$ обозначаем различные несущественные константы, не зависящие от $k\in\mathbb{M}_\mathrm{R}^\varepsilon$, $\varepsilon$, $\eta$, $u$, пространственных переменных и формы отверстий $\omega_k^\varepsilon$.
Пусть $u\in \mathring{W}_2^1(\Omega^\varepsilon,\partial\theta_\mathrm{D}^\varepsilon)$. Продолжим ее нулем внутрь отверстий $\theta_\mathrm{D}^\varepsilon$ и сохраним для продолжения прежнее обозначение. Такое продолжение не изменяет различные нормы этой функции, которые будут использованы далее в доказательстве. Для $|\tau|\leqslant\tau_0$ верно
$$
\begin{equation*}
|u(x)|^2=\int_{\tau_0}^\tau\frac{\partial\ }{\partial \tau}|u(x)|^2\chi_1\biggl(\frac{3\tau}{\tau_0}\biggr)\,d\tau, \qquad\pm\tau>0,
\end{equation*}
\notag
$$
при условии, что путь интегрирования в указанном интеграле не пересекает отверстий из множества $\theta_\mathrm{R}^\varepsilon$. В силу условия (A1) и неравенства Коши–Буняковского при том же условии отсутствия пересечения из приведенных равенств следует
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |u(x)|^2 &=\int_{\tau}^{\tau_0}\chi_1\biggl(\frac{3\tau}{\tau_0}\biggr) \frac{\partial\ }{\partial\tau}|\nabla u(x)|^2\,d\tau + \int_{{\tau_0}/{3}}^{{2\tau_0}/{3}} \frac{3}{\tau_0} \chi_1'\biggl(\frac{3\tau}{\tau_0}\biggr)|u(x)|^2\,d\tau \\ \notag &\leqslant \int_{\tau}^{\tau_0}\biggl|\chi_1\biggl(\frac{3\tau}{\tau_0}\biggr)\biggr| \bigl(\delta|\nabla u(x)|^2 + C(\delta) |u(x)|^2\bigr) \,d\tau \\ &\qquad + \int_{{\tau_0}/{3}}^{{2\tau_0}/{3}} \frac{3}{\tau_0} \biggl| \chi_1'\biggl(\frac{3\tau}{\tau_0}\biggr)\biggr|\, |u(x)|^2\,d\tau, \qquad\pm\tau>0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где $\delta>0$ – произвольная константа, $C(\delta)$ – некоторая константа, не зависящая от переменных $x$ и функции $u$.
Обозначим через $\Gamma_k^\varepsilon$ множества точек $x$, отстоящих от поверхности $S$ на расстояние, не превосходящее $\tau_0$, таких, что перпендикуляр, опущенный из $x$ на $S$, пересекает шар $B_{b_*R_2\varepsilon}(M_k^\varepsilon)$. В силу условия (A1) множества $\Gamma_k^\varepsilon$ попарно не пересекаются. Проинтегрируем теперь оценки (3.5) по областям
$$
\begin{equation*}
B_{b_*R_2\varepsilon}(M_k^\varepsilon)\setminus B_{R_2\varepsilon}(M_k^\varepsilon)\cap\{x\colon \pm\tau>0\},
\end{equation*}
\notag
$$
тогда получим
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{L_2(B_{b_*R_2\varepsilon}(M_k^\varepsilon)\setminus B_{R_2\varepsilon}(M_k^\varepsilon))}^2\leqslant \varepsilon\bigl(\delta\|\nabla u\|_{L_2(\Gamma_k^\varepsilon)}^2 + C(\delta) \|u\|_{L_2(\Gamma_k^\varepsilon)}^2\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta>0$ – произвольная константа, $C(\delta)$ – некоторая константа, не зависящая от переменных $x$ и функции $u$. Подставим полученную оценку в (3.3) и просуммируем результат по $k\in\mathbb{M}_\mathrm{R}^\varepsilon$. Это приводит к утверждению леммы. Лемма доказана. § 4. Вспомогательные локальные оценкиВ настоящем параграфе мы доказываем серию локальных оценок $L_2$-норм функций в окрестности поверхности $S$. Данные оценки далее будут использованы в доказательствах теорем 2.1, 2.2. Первое вспомогательное утверждение доказывается аналогично [24; лемма 4.1]. Лемма 4.1. При выполнении условия (A1) для любой функции $u\in W_2^2(\Omega)$ и $|\tau|\leqslant {\tau_0}/{3}$ верны оценки Следующая лемма описывает свойства покрытия слоя $\Xi^\varepsilon$ шарами с центрами в точках $M_k^\varepsilon$, $k\in\mathbb{M}_\mathrm{D}^\varepsilon$. Лемма 4.2. При выполнении условий (A2), (A4) для каждой точки $x$ из $\Xi^\varepsilon$ число шаров $B_{R_5\varepsilon}(M_k^\varepsilon)$, $R_5:=R_3+(b+1)R_2$, содержащих эту точку, не превосходит некоторой абсолютной величины, не зависящей от выбора точки $x$ и параметра $\varepsilon$. Доказательство. Для произвольной точки $x\in\Xi^\varepsilon$ число шаров $B_{R_5\varepsilon}(M_k^\varepsilon)$, содержащих эту точку, очевидно равно числу точек $M_k^\varepsilon$, $k\in\mathbb{M}_\mathrm{D}^\varepsilon$, отстоящих от $x$ на расстояние, не превосходящее $R_5\varepsilon$. Это число оценивается максимальным числом точек $M_k^\varepsilon$, $k\in\mathbb{M}_\mathrm{D}^\varepsilon$, которые могут располагаться в шаре радиуса $2R_5\varepsilon$. Согласно условию (A2) попарные расстояния между точками $M_k^\varepsilon$ не меньше $2bR_2\varepsilon$. Поэтому сопоставляя каждой такой точке $n$-мерный куб со стороной $2bR_2\varepsilon$, немедленно заключаем, что шар радиуса $2R_3\varepsilon$ может содержать не более чем $|B_{2R_5\varepsilon}(0)|/(2bR_2\varepsilon)^n=|B_{2R_5}(0)|/(2bR_2)^n$ таких кубов и, соответственно, точек $M_k^\varepsilon$, $k\in\mathbb{M}_\mathrm{D}^\varepsilon$. Указанное отношение $n$-мерных объемов очевидно не зависит от $\varepsilon$ и выбора точки $x$. Лемма доказана. Далее наша основная цель – для произвольной функции $u$ из пространства $W_2^1(\Omega^\varepsilon)$, обращающейся в нуль на $\theta_\mathrm{D}^\varepsilon$, оценить ее норму в $L_2(\Xi^\varepsilon)$ через норму ее градиента в $L_2(\Omega^\varepsilon)$. Требуемая оценка будет основана на следующих вспомогательных леммах. Выберем произвольно $k\in \mathbb{M}_\mathrm{D}^\varepsilon$ и рассмотрим часть множества $\Omega^\varepsilon$, содержащуюся внутри шара $B_{R_3\varepsilon}(M_k^\varepsilon)$. Из второго неравенства в (2.4) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
B_{b_\unicode{8224} R_2\varepsilon}(M_k^\varepsilon)\cap\theta_\mathrm{R}^\varepsilon=\varnothing,\qquad k\in\mathbb{M}_\mathrm{D}^\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4.3. Для любой функции $u\in\mathring{W}_2^1\bigl(B_{b_\unicode{8224} R_2}(0)\setminus \omega_{k,\eta},\partial \omega_{k,\eta}\bigr)$ справедливо неравенство где $C$ – некоторая константа, не зависящая от $u$, $\eta$ и $k$. Доказательство. Продолжим функцию $u$ нулем внутрь множества $\omega_{k,\eta}$. Такое продолжение очевидно оставляет функцию элементом пространства $W_2^1$, сохраняя нормы в $L_2$ и $W_2^1$. В силу первого условия в (2.4) функция $u$ обращается в нуль при $|x-\mathring{M}_{k,\eta}|=R_1\eta$. Обозначим через $t$ радиус в полярной системе координат с центром в точке $\mathring{M}_{k,\eta}$, соответствующей $x$. Из формулы Лейбница и неравенства Коши–Буняковского вытекает Интегрируя данное неравенство по $B_{b_\unicode{8224} R_2}(0)\setminus B_{R_1\eta}(\mathring{M}_{k,\eta})$, получаем требуемое неравенство. Лемма доказана. Пусть $M_j$, $j\in\mathbb{M}\subseteq \mathbb{M}_\mathrm{R}^\varepsilon$, – произвольный набор точек в $\mathbb{R}^n$ таких, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, |M_j|\geqslant 2bR_2,\qquad |M_i-M_j|\geqslant 2bR_2,\qquad i\ne j,\qquad i,j\in\mathbb{M}, \\ \overline{B_{R_3}(0)}\cap \overline{B_{R_2}(M_j)}\ne\varnothing. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Аналогично доказательству леммы 4.2 элементарно проверяется, что число таких точек конечно и ограничено абсолютной константой, зависящей лишь от $R_2$ и $R_3$. Введем множество
$$
\begin{equation*}
\Upsilon:=\biggl(B_{R_3}(0)\cup\bigcup_{j\in\mathbb{M}} B_{bR_2}(M_j)\biggr)\setminus \biggl(B_{b_* R_2}(0)\cup\bigcup_{j\in\mathbb{M}} B_{R_2}(M_j)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условий (4.1) введенное множество очевидно связно. Лемма 4.4. Для всех $u\in\mathring{W}_2^1(\Upsilon,\partial B_{b_* R_2}(0))$ справедлива оценка где $C$ – некоторая константа, не зависящая от $u$ и расположения точек $M_j$. Доказательство. Через $\mathscr{H}_\Upsilon$ обозначим лапласиан в $\Upsilon$ с краевым условием Дирихле на $\partial B_{b_* R_2}(0)$ и условием Неймана на оставшейся границе области. Пусть $\mu$ – минимальное собственное значение данного оператора. В силу принципа минимакса утверждение леммы эквивалентно оценке $\mu\geqslant C^{-1}$. Именно последнюю оценку и будем доказывать.
Предположим обратное, а именно, что существует последовательность значений точек $M_{j,m}$, $j\in\mathbb{M}$, таких, что минимальные собственные значения $\mu_m=\mu$ соответствующих операторов $\mathscr{H}_{\Upsilon,m}=\mathscr{H}_\Upsilon$ с $M_j=M_{j,m}$ стремятся к нулю $\mu_m\to 0$ при $m\to+\infty$. Так как последовательности $M_{j,m}$ ограничены, а множество $\mathbb{M}$ конечно, то с точностью до выделения подпоследовательности считаем, что $M_{j,m}\to M_{j,*}$, $j\in\mathbb{M}$, при $m\to+\infty$. Тогда, используя стандартную регулярную теорию возмущений, несложно проверить, что операторы $\mathscr{H}_\Upsilon^m$ в равномерном резольвентном смысле сходятся к оператору $\mathscr{H}_*$, который есть оператор $\mathscr{H}_\Upsilon$ с $M_j=M_*$. Такая сходимость означает, что собственные значения $\mu_m$ сходятся к минимальному собственному значению оператора $\mathscr{H}_*$, и в силу наших предположений такое предельное собственное значение равно нулю. Вместе с тем множество $\Upsilon$ с $M_j=M_{j,*}$ связно и в силу наличия границы $\partial B_{b_* R_2}(0)$ с условием Дирихле минимальное собственное значение оператора $\mathscr{H}_*$ строго положительно. Полученное противоречие доказывает лемму. Для произвольного $k\in\mathbb{M}_\mathrm{D}^\varepsilon$ обозначим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Upsilon_{k,\eta}:=\biggl(B_{R_3}(0)\cup\bigcup_{j\in\mathbb{M}} B_{bR_2}(M_j)\biggr)\setminus \biggl(\omega_{k,\eta}\cup\bigcup_{j\in\mathbb{M}} \widetilde{\omega}_{j,\eta}\biggr), \\ \widetilde{\omega}_{j,\eta}:=\{x\colon x-M_j\in\omega_{j,\eta}\}. \nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Лемма 4.5. Для любой функции $u\in\mathring{W}_2^1\bigl(\Upsilon_{k,\eta},\partial\omega_{k,\eta}\bigr)$ справедлива оценка где константа $C$ не зависит от $\eta$, $k$, формы и расположения отверстий $\omega_{j,\eta}$ и положения точек $M_j$. Доказательство. Всюду в доказательстве через $C$ обозначаем различные несущественные константы, не зависящие от $\eta$, $k$, функции $u$, формы и расположения отверстий $\omega_{j,\eta}$ и положения точек $M_j$.
Функцию $u$ представим в виде
$$
\begin{equation*}
u(x)=\chi_1(y) u(x)+(1-\chi_1(y))u(x), \qquad y:=\frac{4|x|-(b+3)R_2}{(b-1)R_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Первое слагаемое, функция $\chi_1 u$, есть элемент пространства $\mathring{W}_2^1\bigl(B_{b_\unicode{8224} R_2}(0)\setminus \omega_{k,\eta},\partial \omega_{k,\eta}\bigr)$, и в силу леммы 4.3 верны оценки
$$
\begin{equation*}
\|\chi_1 u\|_{L_2(B_{b_\unicode{8224} R_2}(0)\setminus B_\eta(0))}^2\leqslant C\|\nabla (\chi_1 u)\|_{L_2(B_{b_\unicode{8224} R_2}(0)\setminus B_\eta(0))}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Из полученной оценки и леммы 4.3 немедленно выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|\chi_1 u\|_{L_2(B_{b_\unicode{8224} R_2}(0)\setminus \omega_{k,\eta})}^2 &\leqslant \|u\|_{L_2(B_{b_\unicode{8224} R_2}(0)\setminus \omega_{k,\eta})}^2 \\ &\leqslant C \eta^{-n+2} \|\nabla u\|_{L_2(B_{b_\unicode{8224} R_2}(0)\setminus \omega_{k,\eta})}^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Функция $(1-\chi_1(y))u(x)$ обращается в нуль на $\partial B_{b_* R_2}(0)$. Учитывая это свойство и применяя лемму 4.4, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|u\|_{L_2(\Upsilon\cup\overline{B_{b_*R_2}(0)}\setminus\omega_{k,\eta})}^2 &\leqslant C\|\nabla(1-\chi_1)u\|_{L_2(\Upsilon)}^2 \\ &\leqslant C\eta^{-n+2}\bigl(\|\nabla u\|_{L_2(\Upsilon)}^2+\|u\|_{L_2(B_{b_\unicode{8224} R_2}(0)\setminus B_{b_* R_2}(0))}^2\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценка (4.3) позволяет оценить второе слагаемое в правой части полученного соотношения. Суммируя результат с оценкой (4.3), приходим к следующему неравенству:
$$
\begin{equation}
\|u\|_{L_2(\Upsilon\cup\overline{B_{b_*R_2}(0)}\setminus\omega_{k,\eta})}^2 \leqslant C \eta^{-n+2} \|\nabla u\|_{L_2(\Upsilon\cup\overline{B_{b_*R_2}(0)}\setminus\omega_{k,\eta})}^2.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Выберем произвольно $j\in \mathbb{M}$ и рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
\widetilde{u}(\widetilde{x}):=u(\widetilde{x}+M_j)\chi_1 \biggl(\frac{|\widetilde{x}|-(b-3)R_2}{(b-1)R_2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Она является элементом пространства $\mathring{W}_2^1(B_{b_*R_2}(0)\setminus\omega_{j,\eta},\partial B_{b_*R_2}(0))$ и совпадает с $u(\widetilde{x}+M_j)$ на $B_{R_2}(0)\setminus\omega_{j,\eta}$. В силу леммы 3.1 получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|u\|_{L_2(B_{R_2}(M_j)\setminus\widetilde{\omega}_{j,\eta})}^2 &\leqslant\|\widetilde{u}\|_{L_2(B_{b_*R_2}(0)\setminus\omega_{j,\eta})}^2 \leqslant C\|\nabla_{\widetilde{x}} \widetilde{u}\|_{L_2(B_{b_*R_2}(0)\setminus\omega_{j,\eta})}^2 \\ &\leqslant C\bigl(\|\nabla u\|_{L_2(B_{b_*R_2}(M_j)\setminus\widetilde{\omega}_{j,\eta})}^2 +\|u\|_{L_2(B_{b_*R_2}(M_j)\setminus B_{b_*R_2}(M_j))}^2\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Просуммируем полученные оценки по $j\in\mathbb{M}$ и оценим затем сумму норм в $L_2\bigl(B_{b_*R_2}(M_j)\setminus B_{b_*R_2}(M_j)\bigr)$ с помощью неравенства (4.4). Результат сложим с этим же неравенством, что и дает итоговую оценку из утверждения леммы. Лемма доказана. Лемма 4.6. При выполнении условий (A1)–(A4) для любой функции $u\in\mathring{W}_2^1(\Omega^\varepsilon, \partial\Omega\cup\theta_\mathrm{D}^\varepsilon)$ верна оценка где константа С не зависит от функции $u$, параметров $\varepsilon$ и $\eta$, формы и расположения отверстий $\omega_k^\varepsilon$, $k\in\mathbb{M}^\varepsilon$. Доказательство. Всюду в доказательстве через $C$ обозначаем различные несущественные константы, не зависящие от $u$, $\varepsilon$, $\eta$, формы и расположения отверстий $\omega_k^\varepsilon$. Функцию $u$ доопределим нулем внутри отверстий $\theta_\mathrm{D}^\varepsilon$. Через $\mathbb{M}_k^\varepsilon$ обозначим множество индексов $j\in\mathbb{M}_\mathrm{R}^\varepsilon$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\overline{B_{R_3\varepsilon}(M_k^\varepsilon)}\cap \overline{B_{R_2}(M_j^\varepsilon)}\ne\varnothing.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\Upsilon_k^\varepsilon:=\biggl(B_{R_3\varepsilon}(M_k^\varepsilon) \cup\bigcup_{j\in\mathbb{M}_k^\varepsilon} B_{bR_2\varepsilon}(M_j^\varepsilon)\biggr)\setminus \biggl(\omega_k^\varepsilon\cup\bigcup_{j\in\mathbb{M}_k^\varepsilon} \widetilde{\omega}_j^\varepsilon\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Из условия (A4) следует, что множества $\Upsilon_k^\varepsilon$, $k\in\mathbb{M}_\mathrm{D}^\varepsilon$, покрывают слой $\Xi^\varepsilon$. В силу леммы 4.2 каждая точка слоя $\Xi^\varepsilon$ попадает лишь в конечное число множеств $\Upsilon_k^\varepsilon$, и это число ограничено некоторой абсолютной константой равномерно по $\varepsilon$, $\eta$ и точкам слоя. Еще отметим, что растяжение введенных множеств в $\varepsilon^{-1}$ раз относительно точек $M_k^\varepsilon$ дает в точности множества $\Upsilon_{k,\eta}$ из (4.2) с $\mathbb{M}=\mathbb{M}_k^\varepsilon$, $M_j:=\varepsilon^{-1}(M_j^\varepsilon-M_k^\varepsilon)$. Тогда с помощью замены переменной, соответствующей такому растяжению, из леммы 4.5 следует оценка Суммируя полученные неравенства по всем $k\in\mathbb{M}_\mathrm{D}^\varepsilon$ и учитывая упомянутые выше свойства покрытия слоя $\Xi^\varepsilon$ множествами $\Upsilon_k^\varepsilon$, приходим к утверждению леммы. Лемма доказана.§ 5. Сходимость решенийВ этом параграфе мы доказываем теорему 2.1. Вначале покажем, что задача (2.3) однозначно разрешима. Лемма 5.1. Существует $\lambda_0$ такое, что при $\lambda <\lambda_0$ задача (2.3) имеет единственное решение $u_\varepsilon\in W_2^1(\Omega^\varepsilon)$ для всех $\varepsilon$ и $f\in L_2(\Omega)$. Доказательство. На пространстве $\mathring{W}_2^1(\Omega^\varepsilon, \partial\Omega\,{\cup}\,\partial\theta_\mathrm{D}^\varepsilon)$ введем оператор, действующий по следующему правилу: каждой функции $u\,{\in}\, \mathring{W_2^1}(\Omega^\varepsilon,\partial\Omega\,{\cup}\,\partial\theta_\mathrm{D}^\varepsilon)$ ставится в соответствие линейный непрерывный функционал, заданный на $W_2^{1}(\Omega^\varepsilon)$ и действующий по правилу $v\mapsto\mathfrak{h}_a(u,v)$, $v\in\mathring{W_2^1}(\Omega^\varepsilon,\partial\Omega\cup\partial\theta_\mathrm{D}^\varepsilon)$, где, напомним, форма $\mathfrak{h}_a(u,v)$ была определена в (2.6) при введении понятия обобщенного решения задачи (2.3).
В силу [28; гл. 2, § 2.1, теорема 2.1; § 2.2, теорема 2.2] для однозначной разрешимости задачи (2.3) достаточно проверить выполнение следующих условий. 1. Для любых $u,v,w\in\mathring{W_2^1}(\Omega^\varepsilon,\partial\Omega\cup\partial\theta_\mathrm{D}^\varepsilon)$ функция $\lambda\mapsto\mathfrak{h}_a(u+\lambda v,w)$ непрерывна. 2. Для любых $u,v\in\mathring{W_2^1}(\Omega^\varepsilon,\partial\Omega\cup\partial\theta_\mathrm{D}^\varepsilon)$ выполнено $\mathfrak{h}_a(u-v,u-v)>0$. Проверим выполнение условия 1. Верно равенство
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{h}_a(u+\lambda v,w)=\mathfrak{h}_0(u,w)+\mathfrak{h}_0(\lambda v,w)+(a(\cdot,u+\lambda v),w)_{L_2(\partial\theta_\mathrm{R}^\varepsilon)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как в этом равенстве первые два слагаемых являются линейными функциями, то они непрерывны по $\lambda$. Из неравенства Коши–Буняковского и условия (2.2) для произвольных вещественных $\lambda_1$ и $\lambda_2$ вытекает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl|(a(\cdot,u+\lambda_1 v),w)_{L_2(\partial\theta_\mathrm{R}^\varepsilon)}-(a(\cdot,u+\lambda_2 v),w)_{L_2(\partial\theta_\mathrm{R}^\varepsilon)}\bigr| \\ &\qquad \leqslant a_0|\lambda_1 -\lambda_2|\,\|v\|_{L_2(\partial\theta_\mathrm{R}^\varepsilon)}\|w\|_{L_2(\partial\theta_\mathrm{R}^\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего неравенства следует непрерывность $(a(\cdot,u+\lambda v),w)_{L_2(\partial\theta_\mathrm{R}^\varepsilon)}$ по $\lambda$, что доказывает условие 1.
Проверим справедливость условия 2. Поскольку скалярное произведение $(a(\cdot,u),u)_{L_2(\partial\theta^\varepsilon_\mathrm{R})}$ является вещественным для всех $u\in L_2(\partial\theta_\mathrm{R}^\varepsilon)$, то форма $\mathfrak{h}_a(u- v,u-v)$ также является вещественной. В силу свойства (2.2) выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{h}_a(u-v,u-v) \geqslant\mathfrak{h}_0(u-v,u-v)-a_0\int_{\partial\theta_\mathrm{R}^\varepsilon}|u-v|^2\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Интеграл в правой части этого неравенства оценим с помощью леммы 3.4, а слагаемые в форме $\mathfrak{h}_0$ – с помощью неравенства Коши–Буняковского c $\epsilon$. Тогда с учетом ограниченности $\eta$ для достаточно малых $\varepsilon$ получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathfrak{h}_a(u-v,u-v) \geqslant (C_0-C_1\varepsilon-\delta )\|\nabla(u-v)\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}^2 \\ &\qquad\qquad -(\lambda+C_2(\delta))\|u-v\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}^2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где $\delta>0$ – произвольная константа, $C_0$, $C_1$, $C_2(\delta)$ – некоторые константы, не зависящие от параметров $\varepsilon$, $\eta$, $\lambda$ и функций $u$, $v$. Выберем числа $\varepsilon$ и $\delta$ столь малыми, а число $\lambda$ достаточно большим по модулю и отрицательным по знаку так, чтобы имели место неравенства Условие 2 теперь следует из последних двух неравенств и оценки (5.1). Лемма доказана. Введем функцию
$$
\begin{equation*}
\chi_1^\varepsilon(x) = \begin{cases} \chi_1\biggl(\dfrac{|\tau|}{R_3\varepsilon}\biggr) &\text{при } |\tau|<\tau_0, \\ \qquad 0 &\text{вне } \{x\colon |\tau|<\tau_0\}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $v_\varepsilon=u_\varepsilon-(1-\chi_1^\varepsilon)u_0$. Функция $v_\varepsilon$ обращается в нуль на $\partial\theta_\mathrm{D}^\varepsilon$ и принадлежит пространству $\mathring{W_2^1}(\Omega^\varepsilon,\partial\Omega\cup\partial\theta_\mathrm{D}^\varepsilon)$. Отметим еще, что в силу определения срезки $\chi_1^\varepsilon$ выполнено равенство
$$
\begin{equation}
v_\varepsilon=u_\varepsilon \quad \text{на }\ \partial\theta^\varepsilon.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Запишем интегральное тождество для краевой задачи (2.3), взяв $v_\varepsilon$ в качестве пробной функции:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{i,j=1}^n\biggl(A_{ij}\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial x_j},\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+\sum_{j=1}^n\biggl(A_j\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial x_j},v_\varepsilon\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} \\ \notag &\qquad\qquad +\sum_{j=1}^n\biggl(u_\varepsilon, A_j\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial x_j}\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} +(A_0 u_\varepsilon,v_\varepsilon)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} \\ &\qquad\qquad -\lambda(u_\varepsilon,v_\varepsilon)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} +(a(\cdot,u_\varepsilon),v_\varepsilon)_{L_2(\partial \theta_\mathrm{R}^\varepsilon)}=(f, v_\varepsilon)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
В силу равенства (5.2) граничный член в левой части полученного равенства можно переписать следующим образом:
$$
\begin{equation}
(a(\cdot,u_\varepsilon),v_\varepsilon)_{L_2(\partial \theta_\mathrm{R}^\varepsilon)}=(a(\cdot,v_\varepsilon),v_\varepsilon)_{L_2(\partial \theta_\mathrm{R}^\varepsilon)}.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Функцию $(1-\chi_1^\varepsilon)v_\varepsilon$ доопределим нулем внутри множества $\theta^\varepsilon$; ясно, что полученная функция есть элемент пространства $\mathring{W_2^1}(\Omega,\partial\Omega\cup S)$. Возьмем ее в качестве пробной функции в интегральном тождестве для задачи (2.9):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{i,j=1}^n\biggl(A_{ij}\frac{\partial u_0}{\partial x_j}, \frac{\partial(1-\chi_1^\varepsilon) v_\varepsilon}{\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+\sum_{j=1}^n\biggl(A_j\frac{\partial u_0}{\partial x_j},(1-\chi_1^\varepsilon) v_\varepsilon \biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} \\ &\qquad\qquad+\sum_{j=1}^n\biggl(u_0, A_j\frac{\partial(1-\chi_1^\varepsilon) v_\varepsilon}{\partial x_j}\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+(A_0 u_0,(1-\chi_1^\varepsilon)v_\varepsilon)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} \\ &\qquad\qquad-\lambda(u_0,(1-\chi_1^\varepsilon)v_\varepsilon)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} =(f, (1-\chi_1^\varepsilon)v_\varepsilon)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее равенство перепишем в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{i,j=1}^n\biggl(A_{ij}\frac{\partial(1-\chi_1^\varepsilon) u_0}{\partial x_j},\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Omega)} +\sum_{j=1}^n\biggl(A_j\frac{\partial(1-\chi_1^\varepsilon) u_0}{\partial x_j},v_\varepsilon \biggr)_{L_2(\Omega)} \\ \notag &\qquad\qquad+\sum_{j=1}^n\biggl((1-\chi_1^\varepsilon)u_0,A_j \frac{\partial v_\varepsilon}{\partial x_j}\biggr)_{L_2(\Omega)} +(A_0u_0(1-\chi_1^\varepsilon),v_\varepsilon)_{L_2(\Omega)} \\ &\qquad\qquad+\lambda(u_0(1-\chi_1^\varepsilon),v_\varepsilon)_{L_2(\Omega)} =(f(1-\chi_1^\varepsilon),v_\varepsilon)_{L_2(\Omega)}-K_\varepsilon, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
где обозначено
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_\varepsilon &:=-\sum_{i,j=1}^n\biggl(A_{ij}\frac{\partial u_0}{\partial x_j}\frac{\partial \chi_1^\varepsilon}{\partial x_i}, v_\varepsilon\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+\sum_{i,j=1}^n\biggl(A_{ij} u_0 \frac{\partial\chi_1^\varepsilon}{\partial x_j}, \frac{\partial v_\varepsilon}{\partial x_i} \biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} \\ &\qquad +\sum_{j=1}^n\biggl(A_j u_0 \frac{\partial \chi_1^\varepsilon}{\partial x_j}, v_\varepsilon\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}-\sum_{j=1}^n\biggl(u_0\frac{\partial \chi_1^\varepsilon}{\partial x_j}, A_j v_\varepsilon\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вычислим разность (5.3) и (5.5) и учтем равенство (5.4). Тогда получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{i,j=1}^n\biggl(A_{ij}\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial x_j},\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+\sum_{j=1}^n\biggl(A_j\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial x_j},v_\varepsilon\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} \\ \notag &\qquad\qquad+\sum_{j=1}^n\biggl(v_\varepsilon,A_j\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial x_j}\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} +(A_0 v_\varepsilon,v_\varepsilon)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} \\ &\qquad\qquad +(a(\cdot,v_\varepsilon),v_\varepsilon)_{L_2(\partial \theta_\mathrm{R}^\varepsilon)}+\lambda(v_\varepsilon,v_\varepsilon)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} =(\chi_1^\varepsilon f,v_\varepsilon)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+K_\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Из оценки (5.1) с $u=v_\varepsilon$, $v=0$ немедленно следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{i,j=1}^n\biggl(A_{ij}\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial x_j},\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} +\sum_{j=1}^n\biggl(A_j\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial x_j},v_\varepsilon\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} \\ \notag &\qquad\qquad+\sum_{j=1}^n\biggl(v_\varepsilon, A_j\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial x_j}\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+(A_0 v_\varepsilon,v_\varepsilon)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} \\ &\qquad\qquad +(a(\cdot,v_\varepsilon),v_\varepsilon)_{L_2(\partial \theta_\mathrm{R}^\varepsilon)}+\lambda(v_\varepsilon,v_\varepsilon)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}\geqslant C\|v_\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}^2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
где константа $C$ не зависит от $v_\varepsilon$. Далее основная идея доказательства состоит в том, чтобы оценить правую часть равенства (5.6) и получить оценку для $v_\varepsilon$. Оценим первое слагаемое в правой части равенства (5.6). Согласно лемме 4.6 верно
$$
\begin{equation}
|(\chi^\varepsilon_1f,v_\varepsilon)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}|\leqslant C\frac{\varepsilon}{\eta^{(n-2)/2}} \|f\|_{L_2(\Omega)}\|v_\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|u_0\|_{W^2_2(\Omega)}\leqslant C\|f\|_{L_2(\Omega)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
где константа $C$ не зависит от $f$. Используя леммы 4.1, 4.6 и неравенство (5.9), оценим первое слагаемое в $K_\varepsilon$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl|\sum_{i,j=1}^n\biggl(A_{ij}\frac{\partial u_0}{\partial x_j}\,\frac{\partial \chi^\varepsilon_1}{\partial x_j}, v_\varepsilon\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}\biggr|\leqslant C \frac{\varepsilon^{1/2}}{\eta^{(n-2)/2}}\|f\|_{L_2(\Omega)} \|v_\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Аналогично выводим
$$
\begin{equation}
\biggl|\sum_{i,j=1}^n\biggl(A_{ij}u_0\frac{\partial\chi^\varepsilon_1}{\partial x_i}, \frac{\partial v_\varepsilon}{\partial x_j}\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}\biggr|\leqslant C \varepsilon^{1/2}\|f\|_{L_2(\Omega)}\|v_\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)},
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \biggl|\sum_{j=1}^n\biggl(A_ju_0\frac{\partial \chi^\varepsilon_1}{\partial x_j},v_\varepsilon\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}-\sum_{j=1}^n\biggl(u_0\frac{\partial \chi^\varepsilon_1}{\partial x_j},A_j v_\varepsilon\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}\biggr|
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad \leqslant C \frac{\varepsilon^{3/2}}{\eta^{(n-2)/2}}\|f\|_{L_2(\Omega)} \|v_\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}.
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Из неравенств (5.7), (5.8), (5.10), (5.11) и (5.12) вытекает оценка для $v_\varepsilon$:
$$
\begin{equation}
\|v_\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}\leqslant C\biggl(\frac{\varepsilon}{\eta^{n-2}}\biggr)^{1/2}\|f\|_{L_2(\Omega)}.
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Оценим норму $u_\varepsilon-u_0$. Представим эту разность в виде
$$
\begin{equation*}
u_\varepsilon-u_0=u_\varepsilon-(1-\chi_1^\varepsilon)u_0+u_0\chi_1^\varepsilon=v_\varepsilon+u_0\chi_1^\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего равенства следует, что норма $u_\varepsilon-u_0$ оценивается через нормы функций $v_\varepsilon$ и $u_0\chi_1^\varepsilon$:
$$
\begin{equation*}
\|u_\varepsilon-u_0\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}\leqslant\|v_\varepsilon\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+\|u_0\chi_1^\varepsilon\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя лемму 4.1 и неравенство (5.9), выводим оценку для нормы функции $u_0\chi^\varepsilon_1$
$$
\begin{equation}
\|u_0\chi^\varepsilon_1\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}\leqslant C\varepsilon^{3/2}\|f\|_{L_2(\Omega)}.
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
Аналогично оценим норму функции $\nabla(u_0\chi_1^\varepsilon)$:
$$
\begin{equation}
\|\nabla u_0\chi_1^\varepsilon\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}\leqslant C(\|\nabla u_0\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}+\varepsilon^{-1}\|u_0\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)})\leqslant C \varepsilon^{1/2}\|f\|_{L_2(\Omega)}.
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Из неравенств (5.13), (5.14) и (5.15) вытекает оценка (2.10). Теорема 2.1 доказана.
§ 6. Асимптотика решения: формальные асимптотикиВ этом параграфе мы начинаем доказательство теоремы 2.2, а именно, начинаем формальное построение асимптотики для решения рассматриваемой задачи. Дифференциальное выражение в левой части уравнения в (2.3) обозначим через $\mathcal{L}$, т.е.
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}:=-\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i} A_{ij}(x)\frac{\partial}{\partial x_j}+\sum_{j=1}^n A_j(x)\frac{\partial}{\partial x_j}-\frac{\partial}{\partial x_j}\overline{A_j}(x)+A_0(x).
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Перепишем теперь краевую задачу (2.3) с учетом сделанных предположений относительно функции $a$ и введенного обозначения:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag (\mathcal{L}-\lambda)u_\varepsilon=f \quad\text{в }\ \Omega^\varepsilon, \qquad u_\varepsilon=0 \quad\text{на }\ \partial\Omega, \\ u_\varepsilon=0 \quad\text{на }\ \partial\theta_\mathrm{D}^\varepsilon, \qquad\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial\mathrm{n}}+a(u_\varepsilon)=0 \quad\text{на }\ \partial\theta_\mathrm{R}^\varepsilon. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Для построения асимптотики решения данной задачи будем применять метод согласования асимптотических разложений [25]. Функцию $u_\varepsilon$ будем строить как комбинацию внешнего и внутреннего разложений. Внешнее разложение строится в виде
$$
\begin{equation}
u^{\mathrm{ex}}_\varepsilon(x,\eta)=u_0(x)+\sum_{m=1}^{\infty}\varepsilon^m u_m(x,\eta),
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
где $u_0$ – решение соответствующей усредненной задачи:
$$
\begin{equation}
(\mathcal{L}-\lambda) u_0 =f \quad\text{в }\ \Omega\setminus S, \qquad u_0=0 \quad\text{на }\ S\cup\partial\Omega.
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
Внутреннее разложение будем строить в окрестности отверстий $\theta^\varepsilon$ в растянутых переменных $\xi=(\xi',\xi_n)=(x'\varepsilon^{-1},x_n \varepsilon^{-1})$ в виде
$$
\begin{equation}
u^{\mathrm{in}}_\varepsilon(x,\eta)=\sum_{m=1}^{\infty}\varepsilon^m v_m(\xi,x',\eta).
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
Целью формального построения является определение коэффициентов внешнего и внутреннего разложений. Подставим разложение (6.3) в задачу (6.2) и соберем коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$. В результате получим следующие краевые задачи на коэффициенты внешнего разложения:
$$
\begin{equation}
(\mathcal{L}-\lambda) u_m=0 \quad\text{в }\ \Omega\setminus S, \qquad u_m=0 \quad\text{на }\ \partial\Omega, \quad m\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Выпишем задачи на коэффициенты внутреннего разложения. Для этого разложим функцию $f$ в ряд Тейлора при $x_n\to 0$ и сделаем замену $x_n=\varepsilon\xi_n$:
$$
\begin{equation}
f(x)=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!} \,\frac{\partial^m f}{\partial x_n^m}(x',0)x_n^m =\sum_{m=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^m}{m!}\, \frac{\partial^m f}{\partial x_n^m}(x', 0) \xi_n^m, \qquad x_n\to 0.
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
Разложим функцию $a(u^{\mathrm{in}}_\varepsilon)$ в асимптотический ряд по степеням $\varepsilon$, учитывая, что $a(0)=0$:
$$
\begin{equation*}
a(u^{\mathrm{in}}_\varepsilon)=\sum_{m=1}^{\infty} \varepsilon^m L_m(v_1,\dots,v_m),
\end{equation*}
\notag
$$
где $L_m$ – некоторые фиксированные полиномы такие, что для каждого монома вида $C v_1^{p_1}v_2^{p_2}\dotsb v_m^{p_m}$ выполнено $p_1+2p_2+\dots+mp_m=m$. В частности,
$$
\begin{equation*}
L_1(v_1)=a'(0)v_1, \qquad L_2(v_1,v_2)=a'(0)v_2 + \frac{a''(0)}{2}v_1^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя последнее разложение, (6.7) и (6.5) в задачу (6.2) и собирая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_\xi v_1=0 \quad\text{в }\ \mathbb{R}^n\setminus\breve{\omega}^\eta, \\ v_1=0 \quad\text{на }\ \partial\omega_\mathrm{D}^\eta, \qquad\frac{\partial v_1}{\partial \nu_\xi}=0 \quad\text{на }\ \partial\breve{\omega}_\mathrm{R}^\eta, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_\xi v_m=f_m \quad\text{в }\ \mathbb{R}^n\setminus\breve{\omega}^\eta, \qquad v_m=0 \quad\text{на }\ \partial\breve{\omega}_\mathrm{D}^\eta, \\ \frac{\partial v_m}{\partial \nu_\xi}=-\sum_{i=1}^{n-1} \frac{\partial v_{m-1}}{\partial x_i}\nu_i -L_{m-1}(v_1,\dots, v_{m-1}) \quad\text{на }\ \partial\breve{\omega}_\mathrm{R}^\eta, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
$$
\begin{equation}
f_m:=\frac{ \xi_n^{m-2}}{(m-2)!}\,\frac{\partial^{m-2} f}{\partial x_n^{m-2}}(x',0) + 2\sum_{i=1}^{n-1}\frac{\partial^2 v_{m-1}}{\partial \xi_i\partial x_i}+(\Delta_{x'}+\lambda)v_{m-2},
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
где $m\geqslant 2$, $v_0:=0$,
$$
\begin{equation*}
\breve{\omega}_\flat^\eta=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}} \bigl\{\xi\colon \eta^{-1}(\xi-M_k-M_\flat)\in\omega_\flat\bigr\}, \qquad \flat\in\{\mathrm{R},\mathrm{D}\},
\end{equation*}
\notag
$$
$\breve{\omega}^\eta:=\breve{\omega}_\mathrm{D}^\eta\cup\breve{\omega}_\mathrm{R}^\eta$, $\nu_\xi$ – единичная нормаль к $\partial\omega_\mathrm{R}^\eta$, направленная внутрь $\omega_\mathrm{R}^\eta$, $\nu_i$ – компоненты вектора $\nu_\xi$, и, напомним, $M_k=(b_1k_1,\dots,b_{n-1}k_{n-1},0)$. Поведение функций $v_m$ на бесконечности определяется из условия согласования внешнего разложения с внутренним. Согласование проводится следующим образом. Далее в работе будет показано, что функции $u_0$, $u_m$ бесконечно дифференцируемые в окрестности гиперплоскости $x_n=0$ с каждой из ее сторон. Поэтому разложим их в ряд Тейлора при $x_n\to\pm0$, учитывая граничные условия для $u_0$ при $x_n=0$,
$$
\begin{equation}
u_0(x,\eta) =\sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j!}\, \frac{\partial^j u_0}{\partial x_n^j}(x',\pm0,\eta) x_n^j =\sum_{j=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^j}{j!}\, \frac{\partial^j u_0}{\partial x_n^j}(x',\pm0,\eta) \xi_n^j,
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
$$
\begin{equation}
u_m(x,\eta) =\sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{j!}\, \frac{\partial^j u_m}{\partial x_n^j}(x',\pm0,\eta) x_n^j =\sum_{j=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^j}{j!}\, \frac{\partial^j u_m}{\partial x_n^j}(x',\pm0,\eta) \xi_n^j.
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
В силу метода согласования из последних разложений следует, что функции $v_m$ должны иметь следующие асимптотики на бесконечности:
$$
\begin{equation}
v_m(\xi,x',\eta)=\sum_{j=0}^{m}\frac{1}{j!} \,\frac{\partial^j u_{m-j}}{\partial x_n^j}(x',\pm 0,\eta)\xi_n^j+o(1), \qquad \xi_n\to\pm\infty.
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
Задачи (6.8), (6.9), (6.13) на коэффициенты внутреннего разложения являются периодическими по $\xi'$. Поэтому их решения также будем искать периодическими. В силу предполагаемой периодичности задачи (6.8), (6.9), (6.13) сводятся к аналогичным задачам в $\Pi$ с периодическими граничными условиями на боковых гранях $\Pi$. Решив такие задачи в $\Pi$, решения задач (6.9), (6.13) получим простым $\square$-периодическим продолжением по $\xi'$. Описанные задачи в $\Pi$ зависят от параметра $\eta$. Их разрешимость и зависимость от этого параметра будут исследованы в следующем параграфе. § 7. Исследование модельной задачи для коэффициентов внутреннего разложения7.1. Модельная задачаОбозначим: $\omega^\eta:= \omega_\mathrm{D}^\eta\,{\cup}\,\omega_\mathrm{R}^\eta$. Пусть $F\,{\in}\, L_2(\Pi\setminus\omega^\eta)$, $\phi\in L_2(\partial\theta_\mathrm{R}^\eta)$ – произвольные функции. Рассмотрим модельную краевую задачу
$$
\begin{equation}
- \Delta_\xi v=F \quad\text{в }\ \Pi\setminus\omega^\eta, \qquad v=0 \quad\text{на }\ \partial\omega_\mathrm{D}^\eta, \qquad\frac{\partial v}{\partial\nu_\xi}=\phi \quad\text{на }\ \partial\omega_\mathrm{R}^\eta,
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
$$
\begin{equation}
v|_{\xi_i=-{b_i}/{2}}=v|_{\xi_i={b_i}/{2}}, \qquad\frac{\partial v}{\partial \xi_i}\bigg|_{\xi_i=-{b_i}/{2}} =\frac{\partial v}{\partial \xi_i}\bigg|_{\xi_i={b_i}/{2}}, \quad i=1,\dots,n-1.
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
Для произвольного $R>0$ обозначим $\Pi_R:=\square\times(-R,R)$. Обобщенным решением задачи (7.1), (7.2) называется функция $v$, принадлежащая пространству $W_2^1(\Pi_R\setminus\omega^\eta)$ для каждого $R>0$, удовлетворяющая интегральному тождеству
$$
\begin{equation*}
(\nabla_\xi v,\nabla_\xi w)_{L_2(\Pi_R\setminus\omega^\eta)} -(w,\phi)_{L_2(\partial\omega^\eta)}=(F,w)_{L_2(\Pi_R\setminus\omega^\eta)}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех функций $w\in C^2(\overline{\Pi\setminus\omega^\eta})$ таких, что функция $w$ обращается в нуль на $\partial\omega_\mathrm{D}^\eta$, удовлетворяет периодическим граничным условиям на боковых гранях $\Pi$ и тождественно равна нулю при $|\xi_n|>d>0$ для некоторого $d>0$, зависящего от выбора функции $w$. Поведение решения задачи (7.1), (7.2) на бесконечности будет уточнено далее в процессе исследования разрешимости. Целью этого параграфа является исследование разрешимости задачи (7.1), (7.2) и зависимости ее решения от параметра $\eta$. 7.2. Операторное уравнениеВ этом пункте будем рассматривать задачу (7.1), (7.2) с финитной правой частью $F$ и с однородным граничным условием $\phi=0$. Считаем, что функция $F$ обращается в нуль вне множества $\Pi_{R_6}$ для некоторого фиксированного $R_6>1$ такого, что $\omega^\eta\subset \Pi_{R_6-1}$ для всех $\eta\in(0,1]$. Будем искать решение такой задачи, стремящееся к константам при $\xi_n\to\pm\infty$:
$$
\begin{equation}
v(\xi,\eta)=A_\pm(\eta)+o(1),\qquad\xi_n\to\pm\infty.
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
Для всех $R>0$ обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Pi_R^\pm:=\bigl\{\xi\colon \xi'\in\square,\,0<\pm\xi_n<R\bigr\}, \\ \Pi_{R,\pm}:=\bigl\{\xi\colon \xi'\in\square,\,\pm\xi_n>R\bigr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $g\in L_2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)$ – некоторая функция. Продолжим функцию $g$ нулем при $|\xi_n|>R_6$ и рассмотрим задачи
$$
\begin{equation}
{-}\Delta_\xi V_1^\pm=g \quad\text{в }\ \Pi_{R_6-1,\pm}, \qquad V_1^\pm=0 \quad\text{на }\ \square\times\{0\},
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
с периодическими граничными условиями (7.2). Решим эту задачу методом разделения переменных:
$$
\begin{equation}
V_1^\pm(\xi)=\sum_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}}X_k^\pm(\xi_n)e^{2\pi\mathrm{i}({k}/{b})\cdot\xi'},
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
где $\cdot$ – скалярное произведение в $\mathbb{R}^{n-1}$,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X_k^\pm(\xi_n)= \int_{\Pi_{R_6}^\pm\setminus\Pi_{R_6-1}^\pm} J_k^\pm(\xi',\xi_n\mp (R_6-1),t)g(t)\, dt, \qquad k\ne0, \\ X_0^+(\xi_n)=\int_{\Pi_{R_6}^\pm\setminus\Pi_{R_6-1}^\pm}J_0^\pm(\xi_n\mp (R_6-1),t_n)g(t)\,dt \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и обозначено
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, J_k^\pm(\xi',\xi_n,t):= \frac{1}{2Z_k}(e^{\mp Z_k(\xi_n+t_n)}-e^{-Z_k|\xi_n-t_n|}) e^{2\pi\mathrm{i}({k}/{b})\cdot t'}, \\ J_0^+(\xi_n,t_n):={-}\mathrm{min}\{\xi_n,t_n\}, \qquad J_0^-(\xi_n,t_n):=\max\{\xi_n,t_n\}, \\ k=(k_1,k_2,\dots,k_{n-1}), \qquad\frac{k}{b}= \biggl(\frac{k_1}{b_1},\frac{k_2}{b_2},\dots,\frac{k_{n-1}}{b_{n-1}}\biggr), \\ t=(t',t_n), \qquad t'=(t_1, t_2,\dots, t_{n-1}), \qquad Z_k=2\pi\biggl|\frac{k}{b}\biggr|. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу финитности функции $g$ при $\pm\xi_n>R_6$ функции $X_0^\pm$ тождественно совпадают с константами:
$$
\begin{equation}
X_0^\pm(\xi_n)\equiv A_\pm, \qquad \pm\xi_n>R_6, \qquad A_\pm= \int_{\Pi_{R_6}^\pm\setminus\Pi_{R_6-1}^\pm}|t_n| g(t)\,dt.
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
Определим функцию $V_1(\xi):=V_1^\pm(\xi)$ в $\Pi_{R_6-1,\pm}$. Лемма 7.1. Ряды (7.5) сходятся в норме $W_2^2(\Pi_R^\pm\setminus\Pi_{R_6-1,\pm})$ для произвольного $R\geqslant R_6-1$, а за вычетом слагаемых $X_0^\pm$ сходимость верна и в норме $W_2^2(\Pi_{R_6-1,\pm})$. Оператор $\mathcal{B}_1$, отображающий $g$ в $V_1$, линеен и ограничен как оператор из $L_2(\Pi_{R_6})$ в $W_2^2(\Pi_R^+\setminus\Pi_{R_6-1}^+)\oplus W_2^2(\Pi_R^-\setminus\Pi_{R_6-1}^-)$. Верны неравенства Доказательство леммы проводится аналогично доказательству [29; лемма 3.1] с дополнительным использованием того факта, что при $|\xi_n|\geqslant R > R_6$ функции $X_k^\pm$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, X_k^\pm(\xi)=A_k^\pm e^{-Z_k(\xi_n-R_6)}, \qquad \pm\xi_n \geqslant R, \\ A_k^\pm:=-\frac{1}{Z_k}\int_{\Pi_{R_6}^\pm\setminus\Pi_{R_6-1}^\pm} g(t)e^{2\pi\mathrm{i}({k}/{b})\cdot t'}\sinh Z_k t_n \,dt, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
и для констант $A_k^\pm$ верна очевидная оценка
$$
\begin{equation}
|A_k^\pm|\leqslant \frac{C e^{Z_k R_6}}{|Z_k|}\|g\|_{L_2(\Pi_{R_6}^\pm\setminus\Pi_{R_6-1}^\pm)},
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
где константа $C$ не зависит от $k$ и $g$. Рассмотрим еще одну краевую задачу:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_\xi V_2=g \quad\text{в }\ \Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta, \qquad V_2=V_1^\pm \quad\text{на }\ \square\times\{\pm R_6\}, \\ V_2=0 \quad\text{на }\ \partial\omega_\mathrm{D}^\eta, \qquad\frac{\partial V_2}{\partial \nu_\xi}=0 \quad\text{на }\ \partial\omega^\eta_\mathrm{R_6}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.10}
$$
с периодическими граничными условиями (7.2). Задача (7.10) имеет единственное решение $V_2\in W_2^1(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)$. Согласно теоремам о повышении гладкости решений эллиптических краевых задач функция $V_2$ есть элемент пространства $W_2^2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)$. Поэтому функцию $V_2$ можно представить как $V_2=\mathcal{B}_2(\eta)g$, где $\mathcal{B}_2(\eta)$ – линейный ограниченный оператор, действующий из $L_2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)$ в $W_2^2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)$. Для функции $V_2$ выполнены оценки
$$
\begin{equation*}
\|V_2\|_{W_2^2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)}\leqslant C\|g\|_{L_2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)},
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $V_2$ и $g$, но зависит от $R$ и $\eta$. Обозначим через $\chi_3=\chi_3(\xi_n)$ четную бесконечно дифференцируемую срезающую функцию, равную единице при $|\xi_n|<R_6-{2}/{3}$ и нулю при $|\xi_n|>R_6-{1}/{3}$. Определим функцию $v$ по правилу
$$
\begin{equation}
v(\xi,\eta)=(\mathcal{B}_3(\eta)g)(\xi,\eta)=\chi_3(\xi_n)V_2(\xi,\eta) +(1-\chi_3(\xi_n))V_1(\xi),
\end{equation}
\tag{7.11}
$$
где $\mathcal{B}_3(\eta)$ – линейный ограниченный оператор, действующий из $L_2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)$ в $W_2^2(\Pi_R\setminus\omega^\eta)$ для всех $R>0$. В силу определения функций $V_1$ и $V_2$ эта функция удовлетворяет граничным условиям задачи (7.1), (7.2) и условию (7.3). Следовательно, функция $v$ является решением задачи (7.1), (7.2), если для нее выполнено уравнение из (7.1). Подставляя равенство (7.11) в это уравнение и учитывая уравнения на функции $V_1$ и $V_2$ из задач (7.4) и (7.10), получим где
$$
\begin{equation}
\mathcal{B}_4(\eta)g=2 \frac{\partial(V_2-V_1)}{\partial\xi_n} \chi_3'+(V_2-V_1)\chi_3''.
\end{equation}
\tag{7.13}
$$
Лемма 7.2. Уравнение (7.12) эквивалентно задаче (7.1), (7.2): для каждого решения $g$ уравнения (7.12) существует решение задачи (7.1), (7.2), определенное равенством (7.11), и для каждого решения $v$ задачи (7.1), (7.2) существует единственное решение $g$ уравнения (7.12), связанное с $v$ равенством (7.11). Доказательство. Воспользуемся идеями доказательства схожего утверждения [30; предложение 3.2]. А именно, как было показано выше, каждое решение уравнения (7.12) порождает решение задачи (7.1), (7.2) по формуле (7.11). Поэтому достаточно показать, как по заданному решению задачи (7.1), (7.2) строится соответствующее решение уравнения (7.12).
Пусть $u$ – решение задачи (7.1), (7.2). Вначале отыщем разность функций $V_2-V_1^\pm$, соответствующих этой функции. Как легко видеть из задач (7.4), (7.10) и равенства (7.11), функции $\widetilde{u}^\pm:=V_2-V_1^\pm$ являются решениями задач
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, -\Delta_\xi \widetilde{u}^\pm=0 \quad\text{в }\ \Pi_{R_6}\setminus\Pi_{R_6-1}, \\ \widetilde{u}=0 \quad\text{на }\ \square\times\{\pm R_6\}, \qquad \widetilde{u}=u \quad\text{на }\ \square\times\{\pm (R_6-1)\} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
с периодическими граничными условиями (7.2). Такие задачи очевидно однозначно разрешимы. Положим теперь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, V_1^\pm:=u-\chi_3\widetilde{u}^\pm \quad\text{в }\ \Pi_{R_6}^\pm\setminus\Pi_{R_6-1}^\pm, \qquad V_2:=u+(1-\chi_3)\widetilde{u}^\pm \quad\text{в }\ \Pi_{R_6}^\pm, \\ g:=F \quad\text{в }\ \Pi_{R_6-1}\setminus\omega^\eta, \qquad g:=F+\Delta \chi_3\widetilde{u}^\pm \quad\text{в }\ \Pi_{R_6}^\pm\setminus\Pi_{R_6-1}^\pm. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь прямыми вычислениями элементарно проверяется, что определенные функции $g$, $V_1^\pm$, $V_2$ соответствуют функции $u$ в указанном выше смысле, а функция $g$ является решением уравнения (7.12). Лемма доказана. Лемма 7.3. $\mathcal{B}_4(\eta)$ является линейным компактным оператором в пространстве $L_2(\Pi_{R_6}\setminus \omega^\eta)$. Доказательство этой леммы проводится аналогично доказательству [30; предложение 3.1]. Поскольку оператор $\mathcal{B}_4(\eta)$ является компактным, то к уравнению (7.12) можно применить альтернативы Фредгольма. Это поможет исследовать разрешимость задачи (7.1), (7.2) в следующих пунктах. 7.3. Поведение решения при конечных $\eta$Для любого $\eta\in(0,1]$ задача (7.1), (7.2) с однородной правой частью имеет единственное решение, ограниченное на бесконечности, и благодаря наличию однородного краевого условия Дирихле на $\partial\omega_\mathrm{D}^\eta$ это решение – тривиальное. В этом легко убедиться, умножив соответствующее уравнение на решение и проинтегрировав затем однократно по частям по всей области с учетом поведения на бесконечности. В силу леммы 7.2 этот факт означает, что уравнение (7.12) с однородной правой частью имеет только тривиальное решение, и потому уравнение (7.12) с произвольной правой частью однозначно разрешимо и тем самым корректно определен обратный оператор $(I+\mathcal{B}_4(\eta))^{-1}$ в $L_2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)$. Наша цель – показать, что он в определенном смысле непрерывен по $\eta$. Пусть $g=(I+\mathcal{B}_4(\eta))^{-1}F$ – решение уравнения (7.12). Результат действия оператора $\mathcal{B}_4(\eta)$ на произвольную функцию $g$ есть функция с носителем в $\Pi_{R_6}\setminus \Pi_{R_6-1}$. Поэтому сразу заключаем, что
$$
\begin{equation}
g=F \quad\text{в }\ \Pi_{R_6-1}\setminus\omega^\eta.
\end{equation}
\tag{7.14}
$$
В смысле прямого разложения
$$
\begin{equation*}
L_2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)= L_2(\Pi_{R_6-1}\setminus\omega^\eta)\oplus L_2(\Pi_{R_6}\setminus\Pi_{R_6-1})
\end{equation*}
\notag
$$
справедливо равенство $\mathcal{B}_4=\mathcal{B}_4(I\oplus 0)+\mathcal{B}_4(0\oplus I)$, причем в силу финитности действия оператора $\mathcal{B}_4$ оператор $\mathcal{B}_{4}(\eta)(0\oplus I)$ можно эквивалентно рассматривать как оператор в $L_2(\Pi_{R_6}\setminus \Pi_{R_6-1})$. Поэтому в свете равенства (7.14) уравнение (7.12) сводится к следующему эквивалентному уравнению в $L_2(\Pi_{R_6}\setminus \Pi_{R_6-1})$:
$$
\begin{equation*}
(I+\mathcal{B}_4(0\oplus I))\widetilde{g}=\widetilde{F}-\mathcal{B}_4(\eta)(I\oplus 0) F,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde{g}$, $\widetilde{F}$ – сужения $g$ и $F$ на $\Pi_{R_6}\setminus\Pi_{R_6-1}$. Пусть $0<\eta_0\leqslant 1$ – некоторое фиксированное число, $\eta\in[\eta_0,1]$, а $G\in L_2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)$ – некоторая функция. Рассмотрим краевую задачу
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_\xi U=G \quad\text{в }\ \Pi_{R_6}\setminus\omega^{\eta}, \qquad \frac{\partial U}{\partial \nu_\xi}=0 \quad\text{на }\ \partial\omega^{\eta}_\mathrm{R}, \\ U=0 \quad\text{на }\ \partial\omega_\mathrm{D}^\eta\cup\bigl(\square\times\{-R_6,R_6\}\bigr) \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.15}
$$
с периодическими граничными условиями (7.2). Верны следующие вспомогательные леммы. Лемма 7.4. При $\eta\in[\eta_0,1]$ для решения задачи (7.15) верна оценка где константа $C(\eta_0)$ не зависит от $\eta\in[\eta_0,1)$ и $G$. Доказательство. Благодаря наличию краевого условия Дирихле при $\xi_2=\pm R_6$ задача (7.15) однозначно разрешима, причем верна оценка
$$
\begin{equation}
\|U\|_{W_2^1(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)}\leqslant C(\eta_0)\|G\|_{L_2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)}.
\end{equation}
\tag{7.17}
$$
Эта оценка выводится на основе соответствующих интегральных тождеств с пробной функцией $U$ и на основе оценки
$$
\begin{equation}
\|U\|_{L_2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)}\leqslant C(\eta_0)\|\nabla U\|_{W_2^1(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)}.
\end{equation}
\tag{7.18}
$$
Последняя доказывается аналогично лемме 3.3, но с $\varepsilon=1$. Используя теперь неравенство (7.17), для задач (7.15) несложно повторить доказательство [31; гл. III, § 8, лемма 8.1] и убедиться в выполнении равномерной оценки (7.16). Лемма доказана. Лемма 7.5. Пусть $0<\eta_0\leqslant 1$ – некоторое фиксированное число, $\eta_1,\,\eta_2\in[\eta_0,1]$, а $G_i\in L_2(\Pi_{R_2}\setminus(\omega^{\eta_i}))$, $i=1,2$, – произвольные функции, причем $G_1=G_2$ на $\Pi_{R_2}\setminus(\omega^{\eta_1}\cup\omega^{\eta_2})$. Тогда для решений $U_i$, $i=1,2$, задачи (7.15) с $\eta=\eta_i$, $G=G_i$ при достаточно малых $|\eta_1-\eta_2|$ выполнена оценка где константа $C(\eta_0)$ не зависит от $G_i$ и $\eta_i$, $i=1,2$. Доказательство. Всюду в доказательстве через $C$ обозначаем несущественные константы, не зависящие от $U_i$, $F_i$, $\xi$ и $\eta\in[\eta_0,1)$, но зависящие от $\eta_0$.
Рассмотрим задачу (7.15) для функции $U_1$. Пусть $\gamma:=\partial\omega_\mathrm{D}^{\eta_2}\cap (\Pi_{R_6}\setminus\omega^{\eta_1}) $ – часть поверхности $\partial\omega_{\mathrm{D}}^{\eta_2}$, лежащая в области $\Pi_{R_6}\setminus\omega^{\eta_1}$. Тогда для $\xi\in\gamma$ мы можем проинтегрировать по нормали к $\partial\omega_\mathrm{D}^{\eta_1}$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
U_1(\xi)=-\int_{\widetilde{\xi}}^{\xi} \frac{\partial U_1}{\partial\rho}\,d\rho,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\rho$ – расстояние вдоль нормали к $\partial\omega_\mathrm{D}^{\eta_1}$, а точка $\widetilde{\xi}\in\partial\omega_\mathrm{D}^{\eta_1}$ соединяется такой нормалью с точкой $\xi$. Из полученного представления следует очевидная оценка
$$
\begin{equation*}
|U_1(\xi)|^2\leqslant C|\eta_2-\eta_1|\int_{\widetilde{\xi}}^{\xi}|\nabla U_1|\,d\rho.
\end{equation*}
\notag
$$
Проинтегрировав по $\gamma$, получаем
$$
\begin{equation}
\|U_1\|_{L_2(\partial\omega_\mathrm{D}^{\eta_2}\cap (\Pi_{R_6}\setminus\omega^{\eta_1}) )}^2\leqslant C|\eta_2-\eta_1|\,\|\nabla U_1\|_{L_2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^{\eta_1})}.
\end{equation}
\tag{7.20}
$$
Аналогично легко выводится и такая оценка:
$$
\begin{equation}
\biggl\|\frac{\partial U_1}{\partial\nu_\xi}\biggr\|_{L_2(\partial\omega_\mathrm{D}^{\eta_2}\cap (\Pi_{R_6}\setminus\omega^{\eta_1}) )}^2\leqslant C|\eta_2-\eta_1|\,\|\nabla U_1\|_{W_2^1(\Pi_{R_6}\setminus\omega^{\eta_1})}.
\end{equation}
\tag{7.21}
$$
При этом лишь следует учесть, что нормаль $\nu_\xi$ на $\partial\omega_\mathrm{D}^{\eta_2}$ отличается от нормали на $\partial\omega_\mathrm{D}^{\eta_1}$ на величину порядка $|\eta_2-\eta_1|$ и в силу леммы 7.4 верна оценка
$$
\begin{equation*}
\|\nabla U_1\|_{L_2(\partial\omega_\mathrm{D}^{\eta_2}\cap (\Pi_{R_6}\setminus\omega^{\eta_1}))}\leqslant C\|U_1\|_{W_2^2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^{\eta_1})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичные оценки верны и для функции $U_2$ на частях многообразия $\omega^{\eta_1}$, расположенных внутри области $\Pi_{R_6}\setminus\omega^{\eta_2}$.
Обозначим $\widehat{U}:=U_1-U_2$, $\widehat{\omega}:=\omega^{\eta_1}\cup\omega^{\eta_2}$. Выпишем теперь задачу для этой функции в области $\Pi_{R_2}\setminus\widehat{\omega}$, вытекающую из (7.15), и запишем для нее интегральное тождество, взяв $\widehat{U}$ в качестве пробной функции:
$$
\begin{equation}
\|\nabla \widehat{U}\|_{L_2(\Pi_{R_2}\setminus\widehat{\omega})}^2= \int_{\partial\widehat{\omega}}\overline{\widehat{U}}\frac{\partial \widehat{U}}{\partial\nu_\xi}\,ds.
\end{equation}
\tag{7.22}
$$
Каждая точка границы $\partial\widehat{\omega}$ является точкой одной из границ $\partial\omega_\mathrm{D}^{\eta_i}$ или $\partial\omega_\mathrm{R}^{\eta_i}$. Если, например, точка попадает на $\partial\omega_\mathrm{D}^{\eta_1}$, то $\overline{\widehat{U}}{\partial \widehat{U}}/{\partial\nu_\xi}=-\overline{U_2}{\partial \widehat{U}}/{\partial\nu_\xi}$. Если точка попадает на $\partial\omega_\mathrm{R}^{\eta_1}$, то $\overline{\widehat{U}}{\partial \widehat{U}}/{\partial\nu_\xi}=-\overline{\widehat{U}}{\partial U_2}/{\partial\nu_\xi}$. Для точек из $\partial\omega^{\eta_2}$ верны аналогичные равенства. Используя эти равенства, оценки (7.20), (7.21) и аналогичные оценки для $U_2$, а также лемму 7.4, на основе соотношения (7.22) несложно проверить, что
$$
\begin{equation*}
\|\nabla \widehat{U}\|_{L_2(\Pi_{R_2}\setminus\widehat{\omega})}^2\leqslant C|\eta_2-\eta_1|\sum_{j=1}^{2} \|G_i\|_{L_2(\Pi_{R_2}\setminus(\omega^{\eta_i}))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь остается только применить оценку (7.18) к функции $\widehat{U}$ и это дает требуемое неравенство (7.19). Лемма доказана. Замена решения задачи (7.10) на $V_2-(1-\chi_3)V_1$ сводит эту задачу к (7.15) с $G=g-\Delta_\xi (1-\chi_3) V_1$. В силу леммы 7.5 и определения (7.13) оператора $\mathcal{B}_4(\eta)$ сразу заключаем, что оператор $\mathcal{B}_4(\eta)(0\oplus I)$ непрерывен по $\eta\in(0,1]$ и оператор $\mathcal{B}_4(\eta)(I\oplus 0)$ ограничен равномерно по $\eta\in[\eta_0,1]$ для каждого фиксированного $\eta_0>0$. С учетом равенства (7.14) теперь окончательно получаем, что при $\eta\in[\eta_0,1]$ верна оценка где константа $C$ не зависит от $\eta$, но зависит от $\eta_0$, а норма понимается как норма оператора $L_2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)$. Восстанавливая теперь решение задачи (7.1), (7.2) по формуле (7.11) и учитывая леммы 7.1, 7.4 и оценки (7.9), приходим к следующему утверждению. Лемма 7.6. Задача (7.1), (7.2) с финитной правой частью $F$, чей носитель расположен внутри $\overline{\Pi_{R_6}}$, и с $\phi=0$ имеет единственное обобщенное решение с асимптотикой (7.3) для всех $\eta\in(0,1]$. При $|\xi_n|>R_6$ данное решение представляется в виде 7.4. Поведение решения при малых $\eta$Исследуем поведение решения уравнения (7.12) и соответствующего решения задачи (7.1), (7.2) при малых $\eta$. Начнем с исследования поведения оператора $\mathcal{B}_4(\eta)$. Рассмотрим задачу с периодическими граничными условиями (7.2). Пусть задана функция $g\in L_2(\Pi_{R_6})$. Построим по ней решение $V_1$ задачи (7.4). Затем с помощью функции $V_1$ построим решение следующей задачи:
$$
\begin{equation*}
-\Delta_\xi V_2^0=g \quad\text{в }\ \Pi_{R_6}, \qquad V_2^0=V_1^\pm \quad\text{на }\ \square\times\{\pm R_6\}
\end{equation*}
\notag
$$
с периодическими граничными условиями (7.2). Будем строить решение задачи (7.26) по правилу
$$
\begin{equation*}
v^{0}(\xi,\eta)=(\mathcal{B}_3^0(\eta)g)(\xi,\eta):=\chi_3(\xi_n)V_2^0+(1-\chi_3(\xi_n))V_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation}
\mathcal{B}_5g=2 \frac{\partial (V_2^0-V_1)}{\partial\xi_n} \chi_3'+(V_2^0-V_1)\chi_3''.
\end{equation}
\tag{7.27}
$$
Уравнение эквивалентно задаче (7.26) в том же смысле, в каком это было доказано в лемме 7.2 для уравнения (7.12) и задачи (7.1), (7.2). Сужение функции из $L_2(\Pi_{R_6})$ на $\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta$ очевидно является элементом пространства $L_2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)$, поэтому с этой точки зрения оператор $\mathcal{B}_4(\eta)$ определен также и на пространстве $L_2(\Pi_{R_6})$. Результат действия – функция с носителем в $\Pi_{R_6}\setminus\Pi_{R_6-1}$, которую можно рассматривать одновременно как элемент пространств $L_2(\Pi_{R_6})$ и $L_2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)$. В результате оператор $\mathcal{B}_4(\eta)$ можно рассматривать как оператор в пространстве $L_2(\Pi_{R_6})$. Обозначим теперь $\mathcal{B}_6(\eta):=\mathcal{B}_4(\eta)-\mathcal{B}_5\mathcal{B}_7$, где $\mathcal{B}_7(\eta)$ – оператор продолжения функций из $L_2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)$ нулем внутрь $\omega^\eta$. А именно, оператор $\mathcal{B}_7\colon L_2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)\to L_2(\Pi_{R_6})$ каждой функции $g\in L_2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)$ сопоставляет функцию
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}_7(\eta) g:= \begin{cases} g&\text{в }\ \Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta, \\ 0&\text{в }\ \omega^\eta. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Наша дальнейшая цель – оценить норму введенного оператора $\mathcal{B}_6(\eta)$ как оператора в $L_2(\Pi_{R_6})$. Из (7.13), (7.27) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}_6(\eta)g=2\chi_3'\biggl(\frac{\partial V_2}{\partial\xi_n}-\frac{\partial V_2^0}{\partial\xi_n}\biggr)+\chi_3''(V_2-V_2^0),
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $V_2^0$ строится по функции $\mathcal{B}_7(\eta)g$. Верны следующие неравенства:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|V_2^0\|_{W_2^1(\Pi_{R_6})}\leqslant C\|g\|_{L_2(\Pi_{R_6})}, \nonumber \\ \|V_2^0\|_{W_2^2(\Pi_{R_6}\setminus\Pi_{R_6-1})}\leqslant C\|g\|_{L_2(\Pi_{R_6})}, \nonumber \\ \|\mathcal{B}_6(\eta)g\|_{L_2(\Pi_{R_6})}\leqslant C\|V_2-V_2^0\|_{W_2^1(\Pi_{R_6}\setminus\Pi_{R_6-1})}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.28}
$$
где константы $C$ не зависят от $\eta$ и $g$, но зависят от $R$. Обозначим $V_3=V_2-\chi_3 V_1$, $V_3^0=V_2^0-\chi_3 V_1$. Функция $V_3$ является решением задачи
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, -\Delta_\xi V_3=g+\Delta_\xi(\chi_3 V_1) \quad\text{в }\ \Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta, \\ V_3=0 \quad\text{на }\ \partial\omega_\mathrm{D}^\eta \cup( \square\times\{-R_6,R_6\}), \qquad\frac{\partial V_3}{\partial \nu_\xi}=0 \quad\text{на }\ \partial\omega_\mathrm{R}^\eta \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
с периодическими граничными условиями (7.2). Функция $V_3^0$ – решение задачи
$$
\begin{equation*}
-\Delta_\xi V_3^0=g+\Delta_\xi(\chi_3 V_1) \quad\text{в }\ \Pi_{R_6}, \qquad V_3^0=0 \quad\text{на }\ \square\times\{\pm R_6\}
\end{equation*}
\notag
$$
с периодическими граничными условиями (7.2). В силу [32; теоремы 1.1, 1.2] и леммы 7.1 выполнены неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|V_3-V_3^0\|_{W_2^1(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)} \leqslant C\eta^{1/2}\|g\|_{L_2(\Pi_{R_6})}, \qquad n=3, \\ \|V_3-V_3^0\|_{W_2^1(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)} \leqslant C\eta\|g\|_{L_2(\Pi_{R_6})}, \qquad n\geqslant4, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.29}
$$
где константа $C$ не зависит от $\eta$ и $g$. Из последних неравенств, (7.28) и очевидной оценки
$$
\begin{equation*}
\|V_2-V_2^0\|_{W_2^1(\Pi_{R_6}\setminus\Pi_{R_6-1})} \leqslant \|V_3-V_3^0\|_{W_2^1(\Pi_{R_6})}
\end{equation*}
\notag
$$
для достаточно малых $\eta$ следуют неравенства
$$
\begin{equation}
\|\mathcal{B}_6(\eta)\|\leqslant C\eta^{1/2}, \quad n=3, \qquad \|\mathcal{B}_6(\eta)\|\leqslant C\eta, \qquad n\geqslant 4,
\end{equation}
\tag{7.30}
$$
где константа $C$ не зависит от $\eta$, а норма понимается как норма оператора в $L_2(\Pi_{R_6})$. Рассмотрим в $L_2(\Pi_{R_6})$ уравнение эквивалентное задаче (7.26), (7.2). Согласно теореме Фредгольма для существования решения этого уравнения необходимо и достаточно, чтобы функция $F$ была ортогональна всем линейно независимым решениям сопряженного однородного уравнения Пусть $h_0\equiv1$. Тогда для всех $g\in L_2(\Pi_{R_6})$ верно равенство
$$
\begin{equation}
((I+\mathcal{B}_5)g,h_0)_{L_2(\Pi_{R_6})}= \int_{\Pi_{R_6}} \Delta_\xi \mathcal{B}_3^0g\,d\xi=0.
\end{equation}
\tag{7.33}
$$
Отсюда следует, что $h_0\equiv1$ является решением уравнения (7.32). В силу теоремы Фредгольма однородное уравнение и сопряженное с ним однородное уравнение (7.32) имеют либо только тривиальные решения, либо одинаковое конечное число линейно независимых решений. Уравнение (7.34) эквивалентно задаче (7.26), (7.2) с однородной правой частью. Такая задача имеет единственное решение – константу. Поэтому уравнения (7.32) и (7.34) имеют ровно по одному нетривиальному решению. Пусть $g_0$ – нетривиальное решение уравнения (7.34). Тогда соответствующая ему функция $\mathcal{B}_3^0g$ есть решение (7.26), (7.2) c $F=0$. Как уже обсуждалось, данное решение – константа, которую выберем равной единице. Из явной схемы, приведенной в доказательстве леммы 7.2 и примененной к уравнению (7.34), следует, что тогда соответствующая функция $g_0$ имеет вид
$$
\begin{equation}
g_0(\xi)= \Delta_\xi \bigl(\chi_3(\xi_n)(|\xi_n|-R_6)\bigr).
\end{equation}
\tag{7.35}
$$
Отметим, что функция $g_0$ тождественно равна нулю в $\Pi_{R_6-1}$. Введем пространства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{V}_* &=\{g\in L_2(\Pi_{R_6})\colon (g,h_0)_{L_2(\Pi_{R_6})}=0\}, \\ \mathfrak{V}&=\{g\in L_2(\Pi_{R_6})\colon (g,g_0)_{L_2(\Pi_{R_6})}=0\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как уравнения (7.32) и (7.34) имеют ровно по одному нетривиальному решению, то уравнение (7.31) однозначно разрешимо в пространстве $\mathfrak{V}$ при функциях $F$ из пространства $\mathfrak{V}_*$. В силу теоремы Банаха об обратном операторе существует ограниченный обратный оператор $(I+\mathcal{B}_5)^{-1}$, отображающий пространство $\mathfrak{V}_*$ в пространство $\mathfrak{V}$. Решение уравнения (7.12) будем искать в виде где $\beta(\eta)$ – некоторая константа, $g^\perp$ – некоторая функция такая, что $\mathcal{B}_7 g^\perp\in \mathfrak{V}$. Оператор $\mathcal{B}_4(\eta)$ удовлетворяет равенству
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}_7(\eta)\mathcal{B}_4(\eta)\mathcal{B}_7(\eta)=\mathcal{B}_4(\eta),
\end{equation*}
\notag
$$
где в левой части оператор $\mathcal{B}_4(\eta)$ рассматривается как оператор в $L_2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)$, а в правой – как оператор в $L_2(\Pi_{R_6})$. Учитывая данное равенство, уравнение (7.12) очевидно переписывается к следующему эквивалентному виду:
$$
\begin{equation*}
(I+ \mathcal{B}_5)\mathcal{B}_7(\eta)g+\mathcal{B}_6(\eta)\mathcal{B}_7(\eta)g=\mathcal{B}_7(\eta) F.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим теперь сюда представление (7.36) и воспользуемся уравнением (7.34) и очевидными равенствами $\mathcal{B}_7 g_0=g_0$, $\mathcal{B}_6 \mathcal{B}_7=\mathcal{B}_6$. В результате приходим к следующему уравнению:
$$
\begin{equation}
(I+ \mathcal{B}_5+\mathcal{B}_6(\eta))\mathcal{B}_7(\eta)g^\bot +\beta(\eta)\mathcal{B}_6(\eta)g_0=\mathcal{B}_7(\eta) F.
\end{equation}
\tag{7.37}
$$
Умножим это уравнение на $h_0$ скалярно в $L_2(\Pi_{R_6})$ и воспользуемся равенством (7.33) с заменой $g$ на $\mathcal{B}_7(\eta)g$. В результате получаем
$$
\begin{equation}
\beta(\eta)(\mathcal{B}_6(\eta)g_0,h_0)_{L_2(\Pi_{R_6})} +(\mathcal{B}_6(\eta)\mathcal{B}_7g^\perp,h_0)_{L_2(\Pi_{R_6})} =(\mathcal{B}_7(\eta)F,h_0)_{L_2(\Pi_{R_6})}.
\end{equation}
\tag{7.38}
$$
Верна следующая вспомогательная лемма. Лемма 7.7. При $\eta\to0$ выполнены равенство и неравенство где константы $C_1$ и $C_2$ не зависят от $\eta$. Доказательство леммы проводится аналогично доказательству [22; лемма 5.6]. Данная лемма позволяет корректно выразить $\beta(\eta)$ из (7.38):
$$
\begin{equation}
\beta(\eta)=\frac{-(\mathcal{B}_6(\eta)\mathcal{B}_7(\eta)g^\perp,h_0)_{L_2(\Pi_{R_6}} +(\mathcal{B}_7(\eta)F,h_0)_{L_2(\Pi_{R_6})}}{(\mathcal{B}_6(\eta)g_0,h_0)_{L_2(\Pi_{R_6})}}.
\end{equation}
\tag{7.40}
$$
Подставим полученную формулу в уравнение (7.37):
$$
\begin{equation*}
(I+\mathcal{B}_5+\mathcal{B}_8(\eta))\mathcal{B}_7 g^\perp=F^\perp,
\end{equation*}
\notag
$$
где обозначено
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{B}_8(\eta):=\mathcal{B}_6(\eta) -\frac{(\mathcal{B}_6(\eta)\,\cdot,h_0)_{L_2(\Pi_{R_6})}}{(\mathcal{B}_6(\eta)g_0,h_0)_{L_2(\Pi_{R_6})}} \mathcal{B}_6(\eta)g_0, \\ F^\perp:=\mathcal{B}_7(\eta)F-\frac{(\mathcal{B}_7(\eta)F,h_0)_{L_2(\Pi_{R_6})}} {(\mathcal{B}_6(\eta)g_0,h_0)_{L_2(\Pi_{R_6})}}\mathcal{B}_6(\eta)g_0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно убедиться, что $F^\perp\in \mathfrak{V}_*$ и оператор $\mathcal{B}_8(\eta)$ действует из пространства $\mathfrak{V}$ в пространство $\mathfrak{V}_*$. Оценим норму оператора $\mathcal{B}_8(\eta)$, действующего в пространстве $L_2(\Pi_{R_6})$. В силу неравенства (7.39) для произвольного $\widetilde{g}\in L_2(\Pi_{R_6})$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\mathcal{B}_8(\eta)\widetilde{g}\|_{L_2(\Pi_{R_6})} &\leqslant \|\mathcal{B}_6(\eta)\widetilde{g}\|_{L_2(\Pi_{R_6})} - \frac{|(\mathcal{B}_6(\eta)\widetilde{g},h_0)|_{L_2(\Pi_{R_6})}} {|(\mathcal{B}_6(\eta)g_0,h_0)|_{L_2(\Pi_{R_6})}}\|\mathcal{B}_6(\eta)g_0\|_{L_2(\Pi_{R_6})} \\ &\leqslant C \|\mathcal{B}_6(\eta)\widetilde{g}\|_{L_2(\Pi_{R_6})}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $C$ – некоторая константа, не зависящая от $\eta$ и $\widetilde{g}$. Из последней оценки и (7.30) следует, что норма оператора $\mathcal{B}_8(\eta)$ мала. Поэтому существует обратный ограниченный оператор $(I+\mathcal{B}_5+\mathcal{B}_8(\eta))^{-1}$, действующий из пространства $\mathfrak{V}_*$ в пространство $\mathfrak{V}$. Тогда согласно лемме 7.7 верно неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|g^\perp\|=\|\bigl(I+\mathcal{B}_5+\mathcal{B}_8(\eta)\bigr)^{-1} F^\perp\|_{L_2(\Pi_{R_6})}\leqslant C\|F^\perp\|_{L_2(\Pi_{R_6})} \\ &\quad\leqslant C\biggl(\|F\|_{L_2(\Pi_{R_6})}+\frac{|(F,h_0)_{L_2(\Pi_{R_6})}|} {|(\mathcal{B}_6(\eta)g_0,h_0)_{L_2(\Pi_{R_6})}|}\|\mathcal{B}_6(\eta)g_0\|_{L_2(\Pi_{R_6})}\biggr) \leqslant C\|F\|_{L_2(\Pi_{R_6})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.41}
$$
Используя последнее неравенство, равенство (7.40) и оценки (7.30), выводим
$$
\begin{equation}
\biggl|\beta(\eta)-\mathring{C}\eta^{-n+2} \int_{\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta}F\,d\xi\biggr|\leqslant C\eta^{-n+3}\|F\|_{L_2(\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta)},
\end{equation}
\tag{7.42}
$$
где $\mathring{C}\neq0$ и $C$ – некоторые константы, не зависящие от $\eta$ и $F$. Из формулы (7.35), представления (7.36), оценок (7.41), (7.42) и легко проверяемого соотношения
$$
\begin{equation*}
\int_{\Pi_{R_6}^-\setminus\Pi_{R_6-1}^-} |\xi_n| g_0(\xi)\,d\xi= \int_{\Pi_{R_6}^+\setminus\Pi_{R_6-1}^+} |\xi_n| g_0(\xi)\,d\xi=-R_6|\square|
\end{equation*}
\notag
$$
следует
$$
\begin{equation}
\biggl| A_\pm(\eta)-\mathring{C}R_6|\square| \eta^{-n+2}\int_{\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta}F\,d\xi\biggr|\leqslant C\eta^{-n+3}\|F\|_{L_2(\Pi_{R_6})}.
\end{equation}
\tag{7.43}
$$
Из формулы (7.8), (7.11) вытекает, что при $|\xi_n|>R_6$ функция $v$ представляется в виде (7.23), где константы $A_k^\pm$ даются формулами из (7.8). Подставим в эти формулы представление (7.36) и равенство (7.35) и воспользуемся затем оценками (7.41) и (7.42). В результате получим
$$
\begin{equation}
|A_k^\pm|\leqslant \frac{C\eta^{-n+3}}{|Z_k|} e^{Z_k R_6}\|F\|_{L_2(\Pi_{R_6})},
\end{equation}
\tag{7.44}
$$
где $C$ – некоторая константа, не зависящая от $F$, $\eta$ и $k$. Обозначим $v_*(\xi,\eta):=(\mathcal{B}_3(\eta)g_0)(\xi,\eta)$. Прямыми вычислениями легко убедиться, что функции $V_1^\pm$ из (7.5), соответствующие $g_0$ и функции $v_*$, имеют вид В силу свойств оператора $\mathcal{B}_3$, описанных в п. 7.2, и оценок (7.29) верны оценки
$$
\begin{equation*}
\|v_*\|_{W_2^1(\Pi_R)}\leqslant C, \qquad \bigl\|v_*\mp(|\xi_n|-R_6+1)\bigr\|_{W_2^2(\Pi_R^\pm)}\leqslant C,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C$ – некоторые константы, не зависящие от $\eta$, но зависящие от $R$. Так как в силу (7.11), (7.36) функция $v$ имеет вид $v=\beta(\eta) v_* + \mathcal{B}_3(\eta)g^\bot$, то оценки (7.41) и (7.42) позволяют заключить, что
$$
\begin{equation}
\biggl\|v - C_* \eta^{-n+2}v_*\int_{\Pi}F\,d\xi \biggr\|_{W_2^1(\Pi_R)}\leqslant C\eta^{-n+3}\|F\|_{L_2(\Pi_{R_6})},
\end{equation}
\tag{7.45}
$$
где обозначено $C_*:=\mathring{C}R_6|\square|$. Таким образом, доказана следующая лемма. Лемма 7.8. При достаточно малых $\eta$ для решения задачи (7.1), (7.2) с финитной правой частью $F$, чей носитель расположен внутри $\overline{\Pi_{R_6}}$, с $\phi=0$ и с асимптотикой (7.3) выполнены неравенства (7.43)–(7.45). 7.5. Оценки максимума решенияКраевые условия на $\omega_\mathrm{R}^\eta$ в задачах (6.9) полиномиально зависят от $v_1$, …, $v_m$, что приводит к необходимости оценки $L_p(\omega_\mathrm{R}^\eta)$-норм функций $v_i$ с произвольным натуральным $p$. С точки зрения модельной задачи (7.1), (7.2) это означает необходимость оценки аналогичной нормы для ее решения. Известные теоремы о вложении пространств Соболева $W_2^2$ и $W_2^1$ в пространства $L_p$ верны лишь для ограниченного интервала значений $p$, зависящего от размерности пространства. Поэтому мы будем оценивать максимум модуля решения модельной задачи (7.1), (7.2). При этом соответствующие константы в оценках могут иметь особенность при $\eta\to+0$ не сильнее чем $O(\eta^{-n+2})$. Это необходимо, чтобы обеспечить оптимальные оценки для членов и остатков в асимптотиках (6.3), (6.5). С учетом последнего обстоятельства нужные оценки будут получены на основе оценок Шаудера с анализом зависимости от параметра $\eta$. Данные оценки будут получены на основе аналогичных неравенств для решения следующей вспомогательной задачи в области $\Pi^\eta:=\Pi_{2R_6}\setminus\omega^\eta$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_\xi U=G \quad\text{в }\ \Pi^\eta, \qquad \frac{\partial U}{\partial\nu_\xi}=\phi \quad\text{на }\ \partial\omega_\mathrm{R}^\eta, \\ U=0 \quad\text{на }\ \partial\omega_\mathrm{D}^\eta\cup (\square\times\{-2R_6,2R_6\}) \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.46}
$$
с периодическими краевыми условиями (7.2). Здесь $G$, $\phi$ – некоторые заданные функции, принадлежащие соответственно пространствам $C^{(\vartheta)}(\overline{\Pi^\eta})$ и $ C^{(1+\theta)}(\partial\theta_\mathrm{R}^\theta)$. Дополнительно предполагаем, что функция $G$ удовлетворяет первому условию периодичности в (7.2), а именно, что $\square$-периодичное продолжение этой функции по $\xi'$ остается элементом пространства $C^{(\vartheta)}$. Параметр $\eta$ в этом пункте считаем изменяющимся во всем полуинтервале $(0,1]$. Для произвольной ограниченной области $\Theta$ с липшицевой границей, заданной на ней функции $u$ и $\vartheta\in(0,1)$ обозначим
$$
\begin{equation}
\langle u\rangle^{(\vartheta)}_{\overline{\Theta}}:=\sup_{ \substack{\xi,\widehat{\xi}\in \overline{\Theta} \\ 0<|\xi-\widehat{\xi}|\leqslant c\eta }} \frac{|u(\xi)-u(\widehat{\xi})|}{|\xi-\widehat{\xi}|^\vartheta}
\end{equation}
\tag{7.47}
$$
с некоторым фиксированным $c>0$ при условии конечности введенной величины. В терминах введенного обозначения норма в пространстве $C^{(p+\vartheta)}(\overline{\Theta})$, $p\in\mathbb{Z}_+$, дается формулой
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{C^{(p+\vartheta)}(\overline{\Theta})}=\|u\|_{C^{(p)}(\overline{\Theta})}+ \sum_{\substack{k\in\mathbb{Z}_+^n\\|k|=p}} \langle \partial_\xi^k u\rangle_{\Theta}^{(\vartheta)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим еще, что при замене переменных $\xi=\widetilde{\xi}\eta$ для функций $\widetilde{u}(\widetilde{\xi}):=u(\xi\eta)$ выполнено
$$
\begin{equation}
\|\partial_\xi^k u\|_{C(\overline{\Theta})}=\eta^{-|k|} \|\partial_{\widetilde{\xi}}^k \widetilde{u}\|_{C(\overline{\Theta})}, \quad k\in\mathbb{Z}_+^n, \qquad \langle u\rangle^{(\vartheta)}_{\Theta}=\eta^{-\vartheta} \langle \widetilde{u}\rangle^{(\vartheta)}_{\widetilde{\Theta}},
\end{equation}
\tag{7.48}
$$
где $\widetilde{\Theta}:=\{\widetilde{\xi}\colon \widetilde{\xi}\eta\in \Theta\}$, а определение величины $\langle \widetilde{u}\rangle^{(\vartheta)}_{\widetilde{\Theta}}$ аналогично (7.47), но уже с заменой $c\eta$ на $c$. Основная требуемая оценка сформулирована в следующей лемме. Лемма 7.9. Задача (7.46) с периодическими краевыми условиями (7.2) однозначно разрешима в пространстве $C^{(2+\vartheta)}(\overline{\Pi^\eta})$ и для решения верны оценки Доказательство. В силу стандартных оценок Шаудера [31; гл. III, § 2, 3] задача (7.46) с периодическими краевыми условиями (7.2) однозначно разрешима и решение является элементом пространства $C^{(2+\vartheta)}(\overline{\Pi^\eta})$. Основная трудность состоит в доказательстве достаточно специфичной оценки (7.50), причем равномерно по параметру $\eta$.
Вначале оценим максимум модуля решения. Требуемую оценку докажем классическим образом на основе принципа максимума, применяя подходящие барьерные функции. Доказательство проведем в предположении $\|G\|_{C(\overline{\Pi^\eta})} + \|\phi\|_{C(\overline{\Pi^\eta})}>0$, так как в случае $G=0$, $\phi=0$ утверждение леммы очевидно. В доказательстве отдельно рассмотрим два случая: $\eta<\eta_0$ и $\eta\geqslant \eta_0$, где $\eta_0$ – некоторое достаточно малое фиксированное число, значение которого будет уточнено ниже. Начнем со второго случая, предполагая $\eta\geqslant \eta_0$. Пусть $X$ – решение следующей однозначно разрешимой краевой задачи:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_\xi X=1 \quad\text{в }\ \Pi^\eta, \qquad \frac{\partial X}{\partial\nu_\xi}=1 \quad\text{на } \ \partial\omega_\mathrm{R}^\eta, \\ X=0 \quad\text{на }\ \partial\omega_\mathrm{D}^\eta\cup\bigl(\square\times\{- 2R_6,2R_6\}\bigr) \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.51}
$$
с периодическими краевыми условиями (7.2). Используя указанные свойства функции $X$, для функции
$$
\begin{equation*}
\widetilde{u}:=u-2\bigl(\|G\|_{C(\overline{\Pi^\eta})} + \|\phi\|_{C^1(\overline{\Pi^\eta})}\bigr)X
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_\xi \widetilde{u}<0 \quad\text{в }\ \Pi^\eta, \qquad \frac{\partial \widetilde{u}}{\partial\nu_\xi}<0 \quad\text{на } \ \partial\omega_\mathrm{R}^\eta, \\ \widetilde{u}=0 \quad\text{на }\ \partial\omega_\mathrm{D}^\eta\cup(\square\times\{ 2R_6\})\cup (\square\times\{-2R_6\}). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.52}
$$
Применяя теперь стандартные рассуждения из доказательства классического принципа максимума к функции $\widetilde{u}$, немедленно заключаем, что $\widetilde{u}\leqslant 0$ и потому
$$
\begin{equation}
u\leqslant 2\bigl(\|G\|_{C(\overline{\Pi^\eta})} + \|\phi\|_{C(\overline{\Pi^\eta})}\bigr)X
\end{equation}
\tag{7.53}
$$
в $\overline{\Pi^\eta}$. Аналогично доказывается неравенство
$$
\begin{equation}
u\geqslant- 2\bigl(\|G\|_{C(\overline{\Pi^\eta})} + \|\phi\|_{C(\overline{\Pi^\eta})}\bigr)X.
\end{equation}
\tag{7.54}
$$
Из последних двух оценок будет вытекать оценка (7.49), если мы установим, что функция $X$ равномерно ограничена по $\xi$ и $\eta$. Проверим, что это действительно верно.
Пусть $\chi_{4,\mathrm{D}}=\chi_{4,\mathrm{D}}(\xi)$ – бесконечно дифференцируемая срезающая функция, равная единице в некоторой фиксированной окрестности нуля, в которую попадает множество $\omega_\mathrm{D}^\eta$ для всех $\eta\in[0,1]$, и равная нулю вне некоторой большей фиксированной окрестности, которая лежит строго внутри множества $\Pi_{2R_6}$. Аналогичную срезающую функцию $\chi_{4,\mathrm{R}}=\chi_{4,\mathrm{R}}(\xi)$ введем и в окрестности множества $\omega_\mathrm{R}^\eta$. Условия (2.11) обеспечивают существование таких функций. Выберем некоторое значение $\eta_*\in(0,1]$ и рассмотрим близкие к нему значения $\eta$ из этого же полуинтервала. Замена
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\xi}=\xi-\frac{\eta-\eta_*}{\eta} \bigl(\chi_{4,\mathrm{D}}(\xi)(\xi-M_{\mathrm{D}}) + \chi_{4,\mathrm{R}}(\xi)(\xi-M_{\mathrm{R}}) \bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
отображает область $\Pi^\eta$ в $\Pi^{\eta_*}$. При такой замене задача (7.51) в $\Pi^\eta$ переходит в малое регулярное возмущение этой же задачи, но в области $\Pi^{\eta_*}$. Применение затем оценок классических Шаудера из [31; гл. III, § 2, 3] позволяет нам утверждать, что
$$
\begin{equation*}
\bigl\|X\bigl(\xi(\widetilde{\xi},\eta),\eta\bigr)-X(\widetilde{\xi},\eta_*) \bigr\|_{C^{(2+\vartheta)}(\overline{\Pi^\eta})}\to0, \qquad \eta\to\eta_*.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что функция $\eta\mapsto \|X(\cdot,\eta)\|_{C(\overline{\Pi^\eta})}$ непрерывна на $(0,1]$ и потому ограничена на каждом отрезке $[\eta_0,1]$, что доказывает оценку (7.49) на данном отрезке.
Докажем теперь оценку (7.49) при $\eta\in (0,\eta_0]$ и выберем попутно величину $\eta_0$. Пусть $Y_i^{\mathrm{D}}=Y_i^{\mathrm{D}}(\widetilde{\xi})$, $Y_i^{\mathrm{R}}=Y_i^{\mathrm{R}}(\widetilde{\xi})$, $i=0,1,2$, $\widetilde{\xi}=(\widetilde{\xi}_1,\dots,\widetilde{\xi}_n)\in\mathbb{R}^n$, есть решения внешних краевых задач
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_{\widetilde{\xi}} Y_i^{\mathrm{D}}=0 \quad\text{в }\ \mathbb{R}^n\setminus\omega_\mathrm{D}, \qquad i=0,1,2, \\ Y_0^{\mathrm{D}}=1, \qquad Y_1^{\mathrm{D}}=\widetilde{\xi}_n, \qquad Y_1^{\mathrm{D}}=\widetilde{\xi}_n^2 \quad\text{на }\ \partial\omega_\mathrm{D}, \\ -\Delta_{\widetilde{\xi}} Y_i^{\mathrm{R}}=0 \quad\text{в }\ \mathbb{R}^n\setminus\omega_\mathrm{R}, \qquad i=0,1,2, \\ \frac{\partial Y_0^\mathrm{R}}{\partial\nu_{\widetilde{\xi}}}=1, \qquad \frac{\partial Y_1^\mathrm{R}}{\partial\nu_{\widetilde{\xi}}}=\frac{\partial \widetilde{\xi}_n}{\partial\nu_{\widetilde{\xi}}}, \qquad \frac{\partial Y_2^\mathrm{R}}{\partial\nu_{\widetilde{\xi}}}=\widetilde{\xi}_n\frac{\partial \widetilde{\xi}_n}{\partial\nu_{\widetilde{\xi}}} \quad\text{на} \quad\partial\omega_\mathrm{R}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.55}
$$
где $\nu_{\widetilde{\xi}}$ – единичная нормаль к границе $\omega_\mathrm{R}$, направленная внутрь этого множества. Известно, что существуют классические решения этих задач, принадлежащие пространству $C^\infty(\mathbb{R}^n\setminus\theta)\cap C^{(2+\vartheta)}(\overline{B_R(0)})$, где $R$ – достаточно большое фиксированное число, со следующими бесконечно дифференцируемыми асимптотиками на бесконечности:
$$
\begin{equation*}
Y_i^{\mathrm{D}}(\widetilde{\xi})= O\bigl(|\widetilde{\xi}|^{-n+1}\bigr), \qquad Y_i^{\mathrm{R}}(\widetilde{\xi})=O\bigl(|\widetilde{\xi}|^{-n+2}\bigr), \qquad \widetilde{\xi}\to\infty, \quad i=0,1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_0^{\mathrm{R}}$ – некоторая константа. С учетом данных асимптотик, указанной выше гладкости функций $Y_i^\flat$, $\flat\in\{\mathrm{D},\mathrm{R}\}$, $i=0,1,2$, и задач (7.55) прямыми вычислениями несложно убедиться, что
$$
\begin{equation}
\bigl|\chi_{4,\flat}(\xi) Y_i^\flat ((\xi-M_\flat)\eta^{-1}) \bigr|\leqslant C, \qquad \bigl|\Delta_\xi\eta \chi_{4,\flat}(\xi)Y_i^\flat (\xi-M_\flat)\eta^{-1})\bigr| \leqslant C\eta^n,
\end{equation}
\tag{7.56}
$$
где $C$ – некоторая константа, не зависящая от $\xi$ и $\eta$. Пусть $\xi_n^\mathrm{D}$, $\xi_n^\mathrm{R}$ – $n$-е координаты точек $M_\mathrm{D}$, $M_\mathrm{R}$. Теперь в качестве барьерных выберем следующие две функции:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X_1(\xi,\eta) &:=(\xi_n^2-4R_6^2)-\chi_{4,\mathrm{D}}(\xi)\bigl( \eta^2 Y_2^{\mathrm{D}}((\xi-M_{\mathrm{D}})\eta^{-1}) +2\eta \xi_n^\mathrm{D} Y_1^{\mathrm{D}}((\xi-M_{\mathrm{D}})\eta^{-1}) \\ &\qquad+((\xi_n^\mathrm{D})^2-4R_6^2) Y_0^{\mathrm{D}}((\xi-M_{\mathrm{D}})\eta^{-1})\bigr) \\ &\qquad-\chi_{4,\mathrm{R}}(\xi) \bigl( 2\eta^2 Y_2^{\mathrm{R}}((\xi-M_{\mathrm{R}})\eta^{-1}) +2\eta \xi_n^\mathrm{R} Y_1^{\mathrm{R}}((\xi-M_{\mathrm{R}})\eta^{-1})\bigr), \\ X_2(\xi,\eta) &:=\eta \chi_{4,\mathrm{R}}(\xi) Y_0^{\mathrm{R}} \bigl((\xi-M_{\mathrm{R}})\eta^{-1}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из определения функций $Y_i^\flat$ и оценок (7.56) вытекает, что существует достаточно малое фиксированное $\eta_0$ такое, что при $\eta\in(0,\eta_0]$ введенные функции $X_1$, $X_2$ удовлетворяют периодическим краевым условиям (7.2), ограничены равномерно по $\xi$ и $\eta$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, -\Delta_\xi X_1\geqslant 1 \quad\text{в }\ \Pi^\eta, \qquad \frac{\partial X_1}{\partial\nu_\xi}=0 \quad\text{на} \quad\partial\omega_\mathrm{R}^\eta, \\ |\Delta_\xi X_2|\leqslant C\eta^n\quad\text{в }\ \Pi^\eta, \qquad \frac{\partial X_1}{\partial\nu_\xi}=1 \quad\text{на } \ \partial\omega_\mathrm{R}^\eta, \\ X_i=0 \quad\text{на }\ \partial\omega_\mathrm{D}^\eta\cup (\square\times\{-2R_6,\, 2R_6\}), \qquad i=1,2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $C$ – некоторая константа, не зависящая от $\xi$ и $\eta$. Используя теперь установленные свойства функций $X_1$, $X_2$ и рассматривая функции
$$
\begin{equation*}
u\pm 2\|\phi\|_{C(\overline{\Pi^\eta})} X_2 + 2\bigl(\|G\|_{C(\overline{\Pi^\eta})} +C\eta^n\|\phi\|_{C(\overline{\Pi^\eta})}\bigr) X_1,
\end{equation*}
\notag
$$
аналогично (7.52)–(7.54) несложно проверить, что при достаточно малом $\eta_0$ для всех $\eta\in(0,\eta_0]$ выполнено
$$
\begin{equation*}
|u|\leqslant 2\|\phi\|_{C(\overline{\Pi^\eta})} X_2 + 2\bigl(\|G\|_{C(\overline{\Pi^\eta})} +C\eta^n\|\phi\|_{C(\overline{\Pi^\eta})}\bigr) X_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, из первых оценок в (7.56) и определения функций $X_1$, $X_2$ уже легко следует оценка (7.49) для $\eta\in (0,\eta_0]$. Оценка (7.49) полностью доказана.
Для исследования задачи (7.46) мы используем “растянутую” версию этой задачи, получаемую переходом к переменным $\widetilde{\xi}:=\xi\eta^{-1}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, -\Delta_{\widetilde{\xi}} \widetilde{U}=\widetilde{G} \quad\text{в }\ \widetilde{\Pi}\setminus (\widetilde{\omega}_\mathrm{D}\cup\widetilde{\omega}_\mathrm{R}), \qquad \frac{\partial \widetilde{U}}{\partial\nu_{\widetilde{\xi}}}=\widetilde{\phi} \quad\text{на } \ \partial\widetilde{\omega}_\mathrm{R}, \\ \widetilde{U}=0 \quad\text{на }\ \partial\widetilde{\omega}_\mathrm{D}\cup \bigl( \square\times\{-2R_6\eta^{-1},\, 2R_6\eta^{-1}\}\bigr) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
с периодическими краевыми условиями (7.2) на боковых сторонах множества $\widetilde{\Pi}:=\{\widetilde{\xi}\colon \widetilde{\xi}\eta\in\Pi_{2R_6}\}$. Здесь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde{U}(\widetilde{\xi},\eta):=U(\widetilde{\xi}\eta,\eta), \qquad \widetilde{G}(\widetilde{\xi}):=\eta^2 G(\widetilde{\xi}\eta), \qquad \widetilde{\phi}(\widetilde{\xi}):=\eta\phi(\widetilde{\xi}\eta), \\ \widetilde{\omega}_\mathrm{D}:=\bigl\{\widetilde{\xi}\colon \widetilde{\xi}-\eta^{-1} M_\mathrm{D}\in\omega_\mathrm{D} \bigr\}, \qquad \widetilde{\omega}_\mathrm{R}:=\bigl\{\widetilde{\xi}\colon \widetilde{\xi}-\eta^{-1} M_\mathrm{R}\in\omega_\mathrm{R} \bigr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Новая задача задана в области размера порядка $\eta^{-1}$, а отверстия $\omega^\eta$ перешли в фиксированные отверстия $\widetilde{\omega}_\mathrm{D}$, $\widetilde{\omega}_\mathrm{R}$, и их форма перестала зависеть от $\eta$. Последнее обстоятельство является основной причиной указанного растяжения. К описанной новой задаче применим оценку Шаудера, см. [31; гл. III, § 2, 3]. При этом соответствующая константа в этой оценке может быть выбранной не зависящей от размеров растянутой области, т.е. от параметра $\eta$. Этот факт несложно вывести, если проследить вывод оценки, приведенный в [31; гл. III, § 2, 3], что также явно указано в [31; гл. III, § 2] в тексте после финальной оценки (2.24). Возвращаясь теперь обратно к переменным $\xi$ и учитывая соотношения (7.48) и оценку (7.49), немедленно получаем неравенство (7.50). Лемма 7.9 доказана. 7.6. Разрешимость модельных задачВ этом пункте мы исследуем разрешимость модельной задачи (7.1), (7.2) для функций внутреннего разложения и зависимость ее решения от параметра $\eta$, а также разрешимость модельной задачи для функций внешнего разложения. Через $\mathfrak{H}$ обозначим пространство функций $f=f(\xi)$, заданных на $\overline{\Pi\setminus\omega^\eta}$, таких, что при $|\xi_n|>R_6$ ряд Фурье функции $f$ имеет вид
$$
\begin{equation}
f(\xi)= \sum_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}} T_k^\pm(\xi_n)e^{-Z_k |\xi_n|}e^{2\pi\mathrm{i}({k}/{b})\cdot\xi'}, \qquad \pm \xi_n> R_6,
\end{equation}
\tag{7.57}
$$
где $T_k^\pm(\xi_n)$ – полиномы степени не выше некоторого $p$, не зависящего от $k$, причем для коэффициентов этих полиномов предполагается выполнение следующего условия:
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{\mathfrak{H}}:=\sup_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}} e^{-Z_k R_6}|\!|\!| T_k^+|\!|\!| + \sup_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}} e^{-Z_k R_6}|\!|\!| T_k^-|\!|\!| < \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь для произвольного многочлена $L$ величина $|\!|\!| L|\!|\!|$ обозначает максимум из абсолютных значений его коэффициентов. Отметим, что в силу сделанных предположений при $|\xi_n|>R_6$ ряды в правой части (7.57) сходятся абсолютно и равномерно по $\xi$ вместе со всеми своими производными. Лемма 7.10. Пусть Доказательство. Вначале докажем существование обобщенного решения для рассматриваемой задачи, а затем уже покажем наличие указанной гладкости. Рассмотрим уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_\xi v_\phi=0 \quad\text{в }\ \Pi_R\setminus\omega_\mathrm{R}^\eta, \\ \frac{\partial v_\phi}{\partial\nu_\xi}=\phi \quad\text{на }\ \partial\omega_\mathrm{R}^\eta, \qquad v_\phi=0 \quad\text{на }\ \square\times\{\pm R_6\} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.65}
$$
с периодическими граничными условиями (7.2). Такая задача однозначно разрешима. В силу [32; лемма 2.2] для решения задачи (7.65), (7.2) выполнено где константа $C$ не зависит от $\eta$ и $\phi$.
Рассмотрим уравнения
$$
\begin{equation*}
-\Delta_\xi v_F^\pm=F_0 + \sum_{j=1}^{n-1}\frac{\partial F_j}{\partial\xi_j} \quad\text{в }\ \Pi_{R_6-1}^\pm
\end{equation*}
\notag
$$
с периодическими граничными условиями (7.2). Эти уравнения решим методом разделения переменных:
$$
\begin{equation}
v_F^\pm(\xi)=\sum_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}}\widetilde{Q}^\pm_k(\xi_n) e^{2\pi\mathrm{i}({k}/{b})\cdot\xi'},
\end{equation}
\tag{7.67}
$$
где функции $\widetilde{Q}_k^\pm$ определяются из уравнений
$$
\begin{equation}
{-}\frac{\partial^2\widetilde{Q}^\pm_k}{\partial\xi_n^2} \pm 4\pi\biggl|\frac{k}{b}\biggr|\frac{\partial \widetilde{Q}^\pm_k}{\partial\xi_n}=\widetilde{T}_{k,0}^\pm+2\pi \mathrm{i}\sum_{j=1}^{n-1}\frac{k_j}{b_j}\widetilde{T}_{k,j},
\end{equation}
\tag{7.68}
$$
а функции $\widetilde{T}_{k,j}^\pm=\widetilde{T}_{k,j}^\pm(\xi_n)$ определяются как коэффициенты разложений функций $F_j$ в ряды Фурье:
$$
\begin{equation*}
F_j(\xi)=\sum_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}} \widetilde{T}_{k,j}^\pm(\xi_n) e^{2\pi\mathrm{i}({k}/{b})\cdot\xi'}, \qquad \widetilde{T}_{k,j}^\pm(\xi_n)=T_{k,j}^\pm(\xi_n) \quad\text{при }\ \pm\xi_n>R_6.
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнения (7.67) для $k\ne0$ разрешимы с точностью до произвольной константы, а при $k=0$ – с точностью до произвольной линейной функции. Выберем эти константы и функции следующим образом. При $\pm\xi_n>R_6$ функции $\widetilde{Q}_k^\pm$ являются полиномами, определенными также с указанным произволом. Функции $\widetilde{Q}_k^\pm$ выберем так, чтобы эти полиномы при $\pm\xi_n>R_6$ не содержали свободного члена, а при $k=0$ дополнительно требуем отсутствия первой степени $\xi_n$ в $\widetilde{Q}_0^\pm$ при $\pm\xi_n>R_6$. Такое условие однозначно определяет решения уравнений (7.68). При этом для полиномов $\widetilde{Q}_k^\pm$ выполнены оценки
$$
\begin{equation}
|\!|\!| \mathring{Q}^\pm_k |\!|\!| \leqslant C \sum_{j=0}^{n-1}|\!|\!| T_{k,j}^\pm|\!|\!|,
\end{equation}
\tag{7.69}
$$
где константа $C$ не зависит от $T_{k,j}$ и $k$.
Аналогично доказательству леммы 7.1 легко проверить, что $v_F^\pm\in W_2^2(\Pi_R^\pm\setminus \Pi_{R_6-1}^\pm)$ для любого $R>R_6$ и справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|v_F^\pm\|_{W_2^2(\Pi_R^\pm\setminus \Pi_{R_6-1}^\pm)} &\leqslant C(R) \biggl(\|F_0\|_{L_2(\Pi_{R_6}^\pm\setminus \Pi_{R_6-1}^\pm)} \\ &\qquad+ \sum_{j=1}^{n-1}\|\nabla F_j\|_{L_2(\Pi_{R_6}^\pm\setminus \Pi_{R_6-1}^\pm)} +\sum_{j=0}^{n-1}\|F_j\|_{\mathfrak{H}} \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.70}
$$
где $C(R)$ – некоторая константа, не зависящая от функций $F_j$, $j=0,\dots,n-1$.
Решение задачи (7.1), (7.2) будем искать в виде
$$
\begin{equation*}
v=\widetilde{v}+(1-\chi_3)v_F+\chi_3 v_\phi, \qquad v_F(\xi):=v_F^\pm(\xi) \quad\text{при }\ \pm \xi_n>R_6-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для функции $\widetilde{v}$ получаем следующую задачу:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_\xi\widetilde{v}=\widetilde{F} \quad\text{в }\ \Pi_R\setminus\omega^\eta, \qquad \widetilde{F}:=F\chi_3 + 2 \frac{\partial (v_\phi- v_F)}{\partial \xi_n} \chi_3'+(v_\phi- v_F)\chi_3'', \\ \widetilde{v}=0 \quad\text{на }\ \partial\omega_\mathrm{D}^\eta, \qquad \frac{\partial\widetilde{v}}{\partial \nu_\xi}=0 \quad\text{на }\ \partial\omega_\mathrm{R}^\eta \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.71}
$$
с периодическими граничными условиями (7.2). Ясно, что функция $\widetilde{F}$ финитная с носителем внутри $\Pi_{R_6}$. Из оценок (7.66), (7.70) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|\widetilde{F}\|_{L_2(\Pi_{R_6})} &\leqslant C \biggl(\eta^{1/2}\|\phi\|_{L_2(\partial\omega_\mathrm{R}^\eta)}+ \|F_0\|_{L_2(\Pi_{R_6}^\pm\setminus \Pi_{R_6-1}^\pm)} \\ &\qquad+ \sum_{j=1}^{n-1}\|\nabla F_j\|_{L_2(\Pi_{R_6}^\pm\setminus \Pi_{R_6-1}^\pm)} +\sum_{j=0}^{n-1}\|F_j\|_{\mathfrak{H}} \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.72}
$$
где константа $C$ не зависит от функций $\phi$, $F_j$, $j=0,\dots,n-1$, и параметра $\eta$.
Согласно леммам 7.8, 7.6 задача (7.71) разрешима и имеет единственное решение, которое при $|\xi_n|> R_6$ представляется в виде (7.23), где для коэффициентов верны оценки (7.24), (7.43)–(7.45) с заменой $F$ на $\widetilde{F}$. Вернемся теперь к функции $v$ и обозначим $Q_k^\pm(\xi,\eta):=\widetilde{Q}_k^\pm(\xi_n)+A_k^\pm(\eta)$, $\pm\xi_n>R_6$. Тогда немедленно заключаем, что существует единственное обобщенное решение задачи (7.1), (7.2), имеющее при $\pm\xi_n>R_6$ вид (7.57) с $T_k^\pm=Q_k^\pm$. Уравнения (7.58) вытекают из определения полиномов $Q_k^\pm$ и уравнений (7.68). Докажем теперь требуемые оценки для решения $v$. Вначале вычислим интеграл $\displaystyle\int_{\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta} \widetilde{F}\,d\xi$. Используя определение этой функции, проинтегрируем по частям:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\Pi_{R_6}\setminus\omega^\eta} \widetilde{F}\,d\xi & =\lim_{R\to+\infty}\int_{\Pi_R} \biggl( F_0+\sum_{j=1}^{n-1}\frac{\partial F_j}{\partial\xi_j}+ \Delta_\xi ((1-\chi_3)v_F+\chi_3 v_\phi)\biggr)\,d\xi \\ &=\mathring{Q}_0(\eta) - \int_{\partial\omega^\eta} \phi\,ds + \sum_{j=1}^{n-1} \int_{\partial\omega^\eta} F_j \nu_j\,ds, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где для последних двух интегралов верны очевидные оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl|\int_{\partial\omega^\eta} \phi\,ds\biggr|\leqslant |\theta_\mathrm{R}|\eta^{n-1}\|\phi\|_{C(\partial\omega_\mathrm{R}^\eta)}, \\ \biggl|\sum_{j=1}^{n-1} \int_{\partial\omega^\eta} F_j \nu_j\,ds\biggr|\leqslant |\theta_\mathrm{R}|\eta^{n-1} \sum_{j=1}^{n-1}\|F_j\|_{C(\partial\omega_\mathrm{R}^\eta)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из оценок (7.25), (7.43), (7.44), (7.72) для коэффициентов функции $\widetilde{v}$ выводим оценку (7.59). Оценки (7.61) и (7.62) есть прямое следствие оценок (7.44), (7.72) и (7.69).
Переходим к доказательству оценок (7.63), (7.64). В силу представления (7.57) для функции $v$ и доказанных оценок (7.59)–(7.62) функция $v$ очевидно бесконечно дифференцируема в $\overline{\Pi_{2R_6}\setminus\Pi_{(4/3)R_6}}$ и верна оценка
$$
\begin{equation}
\|v\|_{C^3(\overline{\Pi_{2R_6}\setminus\Pi_{(4/3)R_6}})} \leqslant C \|v\|_{\mathfrak{H}},
\end{equation}
\tag{7.73}
$$
где константа $C$ не зависит от $v$.
Пусть $\chi_5=\chi_5(\xi_n)$ – бесконечно дифференцируемая срезающая функция со значениями в отрезке $[0,1]$, равная нулю при $|\xi_n|\geqslant (5/3)R_6$ и единице при $|\xi_n|\leqslant (4/3)R_6$. Тогда функция $U=v\chi_5$ является решением задачи (7.46) с
$$
\begin{equation*}
G=F-2\nabla_\xi\chi_5\cdot \nabla_\xi v - v\Delta_\xi v.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя теперь лемму 7.9 и используя оценки (7.73), (7.59)–(7.62), легко получаем оценки (7.63), (7.64). Лемма доказана. § 8. Свойства коэффициентов асимптотики резольвентыВ настоящем параграфе мы используем лемму 7.10 для исследования разрешимости задач (6.8), (6.9), (6.13) для коэффициентов внутреннего разложения. При этом с помощью метода согласования асимптотических разложений будут определены краевые условия для функций внешнего разложения $u_m$, которые дополнят задачи (6.6). Исследование полученных задач для функций $u_m$ будет сделано на основе следующей вспомогательной леммы, доказательство которой проводится аналогично доказательству [22; лемма 6.1]. Обозначим $\Omega^\pm:=\{x\colon \pm x_n>0\}\cap \Omega$. Лемма 8.1. Пусть $f\in L_2(\Omega)\cap W_2^q(\Omega_{\tau_0}^+)\cap W_2^q(\Omega_{\tau_0}^-)$, $\phi_\pm\in W_2^q(S)$ для всех $q\in\mathbb{N}$. Тогда задача Общая схема исследования задач для функций внутреннего и внешнего разложений следующая. Вначале на основе леммы 7.10 доказывается разрешимость задачи (6.8) для функции $v_1$, где для решения предполагается выполнение асимптотики (6.13) с $m=1$ на уровне главного члена:
$$
\begin{equation*}
v_1(\xi,x',\eta)=\frac{\partial u_0}{\partial x_n}(x',\pm 0)\xi_n+O(1), \qquad\xi_n\to\pm\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Такое решение однозначно определяется. Уточнение асимптотики этого решения и сравнение ее с требуемой асимптотикой (6.13) с $m=1$ позволяет однозначно определить функции $u_1(x',\pm0)$, т.е. граничные условия для функции $u_1$ на $S$. Определив функцию $u_1$, мы тем самым однозначно определяем первых два главных члена в асимптотике (6.13) с $m=2$. Это позволяет затем однозначно найти функцию $v_2$ и определить затем по ее асимптотике на бесконечности функции $u_2(x',\pm 0)$, т.е. граничные условия для функции $u_2$ на $S$. Дальнейшие построения проводятся по такой же схеме. Реализуем теперь описанный подход строго и во всех деталях. Вначале отметим, что лемма 7.7, примененная к задаче (6.4), сразу гарантирует, что функция $u_0$ принадлежат $W_2^q(\Omega_{\tau_0-\delta}^+)\,{\cap}\, W_2^q(\Omega_{\tau_0-\delta}^-)\,{\cap}\, W_2^1(\Omega)$ для всех $q\in\mathbb{N}$ и всех $\delta>0$, бесконечно дифференцируема в $\Omega_{\tau_0}^\pm$ и для каждого $\delta>0$ все ее производные равномерно ограничены в каждой из областей $\overline{\Omega_{\tau_0-\delta}^\pm}$. Рассмотрим теперь вспомогательные задачи
$$
\begin{equation}
{-}\Delta_\xi \mathring{v}^\pm=0 \quad\text{в }\ \Pi\setminus\omega^\eta, \qquad \mathring{v}^\pm=0 \quad\text{на }\ \partial\omega_\mathrm{D}^\eta, \qquad\frac{\partial \mathring{v}^\pm}{\partial\nu_\xi}=0 \quad\text{на }\ \partial\omega_\mathrm{R}^\eta
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
с периодическими граничными условиями (7.2) и следующим поведением на бесконечности:
$$
\begin{equation*}
\mathring{v}^\pm(\xi)=\xi_n+O(1), \qquad \xi_n\to\pm\infty, \qquad \mathring{v}^\pm(\xi)=O(1), \qquad \xi_n\to\mp\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\mathring{V}_\pm(\xi_n):= \begin{cases} \xi_n,&\pm \xi_n>0, \\ 0,&\pm \xi_n<0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Переход к функции $\mathring{v}^\pm(\xi)-(1-\chi_3(\xi_n)) \mathring{Q}^\pm(\xi_n)$ приводит к задаче (7.1), (7.2) для такой новой неизвестной функции с правыми частями $F=2\chi_3' \mathring{V}'_\pm+\chi_3'' \mathring{V}_\pm$. Применение затем леммы 7.10 с $F_0=2\chi_3' \mathring{V}'^\pm+\chi_3'' \mathring{V}_\pm$, $F_j=0$, $\phi=0$ позволяет установить однозначную разрешимость задачи (8.2), (7.2), определить гладкость решения и получить для него оценки типа (7.59)–(7.64). А именно, для функций $\mathring{v}^\pm$ верны представления (7.57), которые в данном случае имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathring{v}^\pm(\xi,\eta) &=\mathring{Q}^{\pm,+}(\xi_n,\eta) + \sum_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}\setminus\{0\}} \mathring{A}_k^{\pm,+}(\eta)e^{- Z_k|\xi_n|}e^{2\pi\mathrm{i}(k/b)\cdot\xi'}, \qquad \xi_n> R_6, \\ \mathring{v}^\pm(\xi,\eta) &=\mathring{Q}^{\pm,-}(\xi_n,\eta) + \sum_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}\setminus\{0\}} \mathring{A}_k^{\pm,-}(\eta)e^{- Z_k|\xi_n|}e^{2\pi\mathrm{i}(k/b)\cdot\xi'}, \qquad \xi_n<-R_6, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathring{Q}^{\pm,\pm}(\xi_n,\eta)=\xi_n + \mathring{A}_0^{\pm,\pm}(\eta), \qquad \mathring{Q}^{\pm,\mp}(\xi_n,\eta)= \mathring{A}_0^{\pm,\mp}(\eta)
\end{equation*}
\notag
$$
и $A_k^{\flat,\natural}(\eta)$, $\flat,\natural\in\{+,-\}$, – некоторые функции. Выполнены следующие оценки:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |A_0^{\flat,\natural}(\eta)|\leqslant C\eta^{-n+2}, \qquad \sup_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}\setminus\{0\}}e^{-Z_k R_6}|A_k^{\flat,\natural}(\eta)|\leqslant C\eta^{-n+3}, \\ \|\mathring{v}^\pm\|_{C(\overline{\Pi^\eta})}\leqslant C\eta^{-n+2}, \qquad \|\mathring{v}^\pm\|_{C(\overline{\Pi^\eta})}+ \eta^{\vartheta} \langle \mathring{v}^\pm\rangle_{\Pi^\eta}^{(\vartheta)} \leqslant C\eta^{-n+1}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $C$ – некоторая константа, не зависящая от $\eta$. Легко убедиться, что решение задачи (6.8), (6.13) с $m=1$ дается формулой
$$
\begin{equation*}
v_1(\xi,x',\eta)=\frac{\partial u_0}{\partial x_n}(x',+0) \mathring{v}^+(\xi,\eta) + \frac{\partial u_0}{\partial x_n}(x',-0) \mathring{v}^-(\xi,\eta).
\end{equation*}
\notag
$$
Асимптотики этой функции на бесконечности имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v_1(\xi,x',\eta) &=\frac{\partial u_0}{\partial x_n}(x',\pm 0) \xi_n +\frac{\partial u_0}{\partial x_n}(x',+0)\mathring{A}_0^{+,\pm}(\eta) \\ &\qquad + \frac{\partial u_0}{\partial x_n}(x',-0)\mathring{A}_0^{-,\pm}(\eta)+o(1), \qquad \xi_n\to\pm\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая полученную асимптотику с (6.13) при $m=1$, получаем граничные условия для функции $u_1$:
$$
\begin{equation}
u_1(x',\pm 0,\eta)= \frac{\partial u_0}{\partial x_n}(x',+0)\mathring{A}_0^{+,\pm}(\eta) + \frac{\partial u_0}{\partial x_n}(x',-0)\mathring{A}_0^{-,\pm}(\eta), \qquad x'\in\mathbb{R}^{n-1}.
\end{equation}
\tag{8.3}
$$
Полученные граничные условия и уравнения (6.6) с $m=1$ позволяют однозначно определить функцию $u_1$. Для этого достаточно применить лемму 8.1 к полученной задаче. При этом легко видеть, что решение задачи (6.6), (8.3) имеет вид
$$
\begin{equation*}
u_1(x,\eta)=\sum_{\flat,\natural\in\{+,-\}} A^{\flat,\natural}(\eta)u^{\flat,\natural}(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где функции $u^{\flat,\natural}$ являются решением задачи (8.1) c правой частью $f=0$ и граничными условиями
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u^{+,\pm}(x',\pm 0) &=\frac{\partial u_0}{\partial x_n}(x',+0), \qquad u^{+,\pm}(x',\mp0)=0, \quad x'\in \mathbb{R}^{n-1}, \\ u^{-,\pm}(x',\pm 0) &=\frac{\partial u_0}{\partial x_n}(x',-0), \qquad u^{-,\pm}(x',\mp0)=0, \quad x'\in \mathbb{R}^{n-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно лемме 8.1 задачи для функций $u^{\flat,\natural}$ однозначно разрешимы. Функции $u^{\flat,\natural}$ принадлежат $W_2^q(\Omega_{\tau_0-\delta}^+)\cap W_2^q(\Omega_{\tau_0-\delta}^-)\cap W_2^1(\Omega)$ для всех $q\in\mathbb{N}$, бесконечно дифференцируемы в $\Omega_{\tau_0}^\pm$ и для каждого $\delta>0$ все их производные равномерно ограничены в каждой из областей $\overline{\Omega_{\tau_0-\delta}^\pm}$. По той же схеме, что и выше, исследуются задачи для остальных функций $u_m$ и $v_m$. Свойства этих функций, получаемые в процессе исследования, описывает следующая лемма. Лемма 8.2. Существуют единственные решения рекуррентной системы задач (6.6), (6.8), (6.9), (6.13). Данные решения имеют вид Функции $u_{mj}$ есть решения задачи (8.1) с $f=0$ и краевыми условиями при $j=1,\dots,N_m$ и при $j=N_m+1,\dots,2N_m$. Функции $u_{mj}$ принадлежат $W_2^q(\Omega_{\tau_0-\delta}^+)\cap W_2^q(\Omega_{\tau_0-\delta}^-)\cap W_2^1(\Omega)$ для всех $q\in\mathbb{N}$ и всех $\delta>0$, бесконечно дифференцируемы в $\Omega_{\tau_0}^\pm$ и для каждого $\delta>0$ все их производные равномерно ограничены в каждой из областей $\overline{\Omega_{\tau_0-\delta}^\pm}$. Доказательство. Доказательство леммы проведем по индукции. База индукции, случай $m=1$, был уже разобран выше и построенные функции $v_1$, $u_1$ очевидно удовлетворяют всем утверждениям леммы.
Предположим теперь, что уже построены решения задач (6.6), (6.8), (6.9), (6.13) до некоторого значения $m-1$ с утверждаемыми свойствами, и проверим утверждение леммы для значения $m$. Обозначим
$$
\begin{equation}
F_0:=\frac{ \xi_n^{m-2}}{(m-2)!}\, \frac{\partial^{m-2} f}{\partial x_n^{m-2}}(x',0) +(\Delta_{x'}+\lambda)v_{m-2}, \qquad F_j:=2\frac{\partial v_{m-1}}{\partial x_j},
\end{equation}
\tag{8.9}
$$
где $j=1,\dots,n-1$.
Подстановка рядов Тейлора (6.7), (6.11), (6.12) в уравнения (6.4), (6.6) с учетом сделанных предположений относительно поведения коэффициентов $A_{ij}$, $A_j$ при $x_n\to0$ немедленно приводит к равенствам для функций $u_0$ и $u_q$, $q\leqslant m-1$,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\frac{\partial^2 u_0}{\partial x_n^2}(x',\pm0)=f(x',0), \\ -(\Delta_{x'}+\lambda)\frac{\partial^j u_0}{\partial x_n^j}(x',\pm0)-\frac{\partial^{j+2} u_0}{\partial x_n^{j+2}}(x',\pm0)= \frac{\partial^j f}{\partial x_n^j}(x',0), \qquad j\geqslant 1, \\ -(\Delta_{x'}+\lambda)\frac{\partial^j u_q}{\partial x_n^j}(x',\pm0)-\frac{\partial^{j+2} u_q}{\partial x_n^{j+2}}(x',\pm0)=0, \qquad j\geqslant 0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.10}
$$
Из формул (8.4), (8.5) для функций $v_p$, $v_{qj}$, $q\leqslant m-1$, и индукционного предположения следует, что при $|\xi_n|>R_6$ эти функции представимы в виде (7.57), причем полином $T_0^\pm$ для функции $v_q$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
T_0^\pm=\sum_{j=0}^{q}\frac{1}{j!} \,\frac{\partial^j u_{q-j}}{\partial x_n^j}(x',\pm 0,\eta)\xi_n^j.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим эти формулы в правую часть (6.10) уравнения в (6.9) для $v_m$ и учтем соотношения (8.10). Тогда получим, что функция $F_0$ из (8.9) также представляется в виде (7.57), где соответствующий полином имеет вид
$$
\begin{equation*}
T_0^\pm(\xi_n,\eta)=-\sum_{j=2}^{m-2} \frac{1}{(j-2)!}\, \frac{\partial^j u_{m-j}}{\partial x_n^j}(x',\pm0,\eta)\xi_n^{j-2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из определения (8.9) введенных функций $F_0$ и $F_j$ и индукционного предположения о функциях $v_q$, $q=1,\dots,m-1$, заключаем, что функции $F_0$ и $F_j$ удовлетворяют предположениям леммы 7.10. Для функций $F_0$ и $F_j$ верны оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \|F_0\|_{C(\overline{\Pi^\eta})}+ \sum_{j=1}^{n-1} \|F_0\|_{C(\overline{\Pi^\eta})} + \sum_{j=0}^{n-1} \|F_0\|_{\mathfrak{H}} \\ &\qquad\qquad + \eta^\vartheta \langle F_0 \rangle_{\Pi^\eta}^{(\vartheta)} + \eta^\vartheta \sum_{j=1}^{n-1} \langle \nabla F_j \rangle_{\Pi^\eta}^{(\vartheta)} \leqslant C\eta^{-(m-1)(n-2)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.11}
$$
где константа $C$ не зависит от $\eta$. Отметим еще, что для функции $\overset{*}{Q}_0(\eta)$, вычисленной по формуле (7.60) для введенной функции $F_0$, верна легко проверяемая оценка
$$
\begin{equation}
|\overset{*}{Q}_0(\eta)|\leqslant C\eta^{-(m-2)(n-2)}.
\end{equation}
\tag{8.12}
$$
Через $\phi$ обозначим правую часть в граничном условии на $\partial\omega_\mathrm{R}^\eta$ для $v_m$ в задаче (6.9). В силу индукционного предположения из определения полиномов $L_m$ и функции $\phi$ следует, что функция $\phi$ принадлежит пространству $C^{(1+\vartheta)}(\partial\omega_\mathrm{R}^\eta)$ и выполнены равномерные по $\eta$ оценки
$$
\begin{equation}
\|\phi\|_{C(\partial\omega_\mathrm{R}^\eta)} + \eta \|\nabla \phi\|_{C(\partial\omega_\mathrm{R}^\eta)} + \eta^{1+\vartheta} \langle \nabla \phi\rangle_{\partial\omega_\mathrm{R}^\eta}^{(\vartheta)} \leqslant C\eta^{-(m-1)(n-2)}.
\end{equation}
\tag{8.13}
$$
Применяя теперь лемму 8.1, немедленно заключаем, что задача (6.9) имеет единственное решение, принадлежащее пространству $\mathfrak{H}\cap C^{(1+\vartheta)}(\overline{\Pi^\eta})$. Далее добавим к этому решению функцию
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^j u_{m-1}}{\partial x_n}(x',+0,\eta) \mathring{v}^+(\xi,\eta) + \frac{\partial^j u_{m-1}}{\partial x_n}(x',-0,\eta) \mathring{v}^-(\xi,\eta),
\end{equation*}
\notag
$$
что в силу задач (8.2) не изменяет задачи (6.9). Полученное таким образом решение задачи (6.9) и возьмем в качестве функции $v_m$. Оценки (8.11)–(8.13) и оценки из утверждения леммы 8.1 позволяют получить для построенного решения оценки (8.6) с заменой $v_{mj}$ на $v_m$, но с зависимостью от переменной $x'$ как от параметра. Вместе с тем разделение переменных $x'$ и $(\xi,\eta)$ в функциях $v_p$, $p\leqslant m-1$, означает, что такое же разделение переменных присутствует в функциях $F_m$ $F_0$, $F_j$, $\phi$. Поэтому аналогичное разделение переменных имеется и в решении $v_m$, что доказывает формулу (8.4) для $v_m$ и означает выполнение оценок (8.6) и для функций $v_{mj}$.
Представление (8.5) есть представления (7.57), выписанные для решения задачи (6.9) с учетом структуры правой части уравнения. Сравнивая доказанные соотношения (8.4), (8.5) для $v_m$ и асимптотику (6.13) для этой же функции, заключаем, что функция $u_m$ должна удовлетворять следующим граничным условиям:
$$
\begin{equation}
u_m(x',\pm0,\eta)=\sum_{j=1}^{N_m} A_{mj}^\pm(\eta)\varphi_j(x'), \qquad x'\in\mathbb{R}^{n-1}.
\end{equation}
\tag{8.14}
$$
Применяя теперь лемму 8.1 к задаче (6.6), (8.14), немедленно заключаем, что эта задача однозначно разрешима и решение имеет гладкость, указанную в утверждении данной леммы. С учетом наличия разделения переменных в граничном условии (8.14) теперь легко убедиться в справедливости формулы (8.4), где функции $u_{mj}$ есть решения задачи (8.1) с $f=0$ и краевыми условиями (8.7), (8.8). При этом лемма 8.1 обеспечивает утверждаемую гладкость функций $u_{mj}$. Лемма 8.2 доказана. § 9. Обоснование асимптотикиЦель этого параграфа – провести обоснование формальной асимптотики решения задачи (6.2), построенной в предыдущих параграфах. Для произвольного натурального $N\geqslant 3$ обозначим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u_{\varepsilon,N}(x,\xi,\eta):= \chi^\varepsilon(x_n)u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{ex}}(x,\eta) +(1-\chi^\varepsilon(x_n))u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{in}}\bigl(x\varepsilon^{-1},x',\eta \bigr), \\ u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{ex}}(x,\eta):=u_0(x)+\sum_{m=1}^N \varepsilon^m u_m(x,\eta), \qquad u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{in}}(\xi,x',\eta):=\sum_{m=1}^N\varepsilon^m v_m(x',\xi,\eta). \nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\tag{9.1}
$$
Докажем, что функция $u_{\varepsilon,N}$ есть формальное асимптотическое решение задачи (6.2). Лемма 9.1. Функция $u_{\varepsilon,N}$ является решением задачи Доказательство. Выполнение граничных условий на $\partial\Omega$ и $\partial\theta^\varepsilon_\mathrm{D}$ следует из свойств функции $\chi^\varepsilon$ и граничных условий из задач (6.8), (6.9)для коэффициентов внутреннего и внешнего разложения.
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\phi_{\varepsilon,N}:= \frac{\partial u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{in}}}{\partial \mathrm{n}}+a(u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{in}}).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу определения функции $u_{\varepsilon,N}$ ясно, что граничное условие на $\partial\omega_\mathrm{R}^\eta$ выполнено именно с такой функцией $\phi_{\varepsilon,N}$. В силу представлений (8.4) и оценок (8.6) функция $u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{in}}(x\varepsilon^{-1},x',\eta)$ удовлетворяет равномерной по $\varepsilon$, $\eta$ и $x$ оценке на $\partial\omega_\mathrm{R}^\eta$
$$
\begin{equation*}
|u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{in}}(x\varepsilon^{-1},x',\eta)|\leqslant \varepsilon\eta^{-n+2} |\Phi_{N,1}(x')|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Phi_{N,1}\in L_2(S)\cap C(S)$ – некоторая функция, не зависящая от $\varepsilon$ и $\eta$ и ограниченная равномерно по $x'$. Считая теперь $u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{in}}$ малой величиной на $\partial\omega_\mathrm{R}^\eta$, разложим функцию $a(u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{in}})$ в ряд Тейлора до $N$-го члена с остатком в форме Лагранжа. Тогда получим, что
$$
\begin{equation}
a(u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{in}})=\sum_{j=0}^{N}\frac{a^{(j)}(0)}{j!} (u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{in}})^j + \widetilde{a}_N,
\end{equation}
\tag{9.4}
$$
где $\widetilde{a}_N=\widetilde{a}_N(x,\varepsilon,\eta)$ – некоторая функция, для которой верна равномерная по $x$, $\varepsilon$, $\eta$ оценка
$$
\begin{equation}
|\widetilde{a}(x,\varepsilon,\eta)|\leqslant (\varepsilon\eta^{-n+2})^{N+1}|\Phi_{N,2}(x')|,
\end{equation}
\tag{9.5}
$$
где $\Phi_{N,2}\in L_2(S)\cap C(S)$ – некоторая функция, не зависящая от $\varepsilon$ и $\eta$ и ограниченная равномерно по $x'$. Полиномы $L_m$ в правых частях краевых условий на $\partial\omega_\mathrm{R}^\eta$ в (6.8), (6.9) получаются в результате подстановки функции $u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{in}}$ в сумму в правой части равенства (9.4). Поэтому, вновь учитывая лемму 8.2 и оценку (9.5), легко вывести требуемую оценку (9.3) для $\phi_{\varepsilon,N}$.
Обозначим
$$
\begin{equation*}
f_{\varepsilon,N}:= (\mathcal{L} -\lambda)u_{\varepsilon,N}-\chi^\varepsilon f.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя уравнения из задач (6.4), (6.6), (6.8), (6.9), прямыми вычислениями проверяем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_{\varepsilon,N} &=f_{\varepsilon,N}^{(1)}+f_{\varepsilon,N}^{(2)}+f_{\varepsilon,N}^{(3)}, \\ f_{\varepsilon,N}^{(1)} &:=(\chi^\varepsilon(x_n)-1)\biggl(f(x)-\sum_{j=1}^{N-2}\frac{x_n^j}{j!}\, \frac{\partial^j f}{\partial x_n^j}(x',0)\biggr), \\ f_{\varepsilon,N}^{(2)} &=\varepsilon^{N-1}\bigl(\chi^\varepsilon(x_n)-1\bigr)\biggl(\lambda (v_{N-1}+\varepsilon v_N)+2\sum_{j=1}^{n-1}\frac{\partial^2 v_N}{\partial\xi_j\,\partial x_j} \biggr), \\ f_{\varepsilon,N}^{(3)} &:=-2(\chi^\varepsilon)'\frac{\partial\ }{\partial x_n} (u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{ex}}-u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{in}})-(u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{ex}} -u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{in}})(\chi^\varepsilon)''. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $f_{\varepsilon,N}^{(1)}$ оценивается элементарным образом на основе свойств функции $f$ и стандартных остатков в формуле Тейлора в форме Лагранжа:
$$
\begin{equation}
\|f_{\varepsilon,N}^{(1)}\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}\leqslant C\varepsilon^{(N+1)/2},
\end{equation}
\tag{9.6}
$$
где константа $C$ не зависит от $\varepsilon$. Оценку нормы функции $f_{\varepsilon,N}^{(2)}$ несложно получить прямыми вычислениями, если учесть, что эта функция не равна нулю лишь при $|x_n|\leqslant 2\varepsilon^{1/2}\tau_0$, что фактически означает необходимость оценки функций $v_{N-1}$ и $v_{N}$ при $|\xi_n|\leqslant 2\varepsilon^{-1/2}\tau_0$. Это несложно сделать с помощью оценок (8.6), если учесть, что нормы $\|v_{mj}\|_\mathfrak{H}$ позволяет равномерно по $\xi\in\Pi_{2\varepsilon^{-1/2}\tau_0}\setminus\Pi_{(3/2)R_6}$ оценить $|v_{mj}(\xi)|$ и $|\nabla_\xi v_{mj}(\xi)|$. Окончательная оценка для функции $f_{\varepsilon,N}^{(2)}$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\|f_{\varepsilon,N}^{(2)}\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)} \leqslant C\varepsilon^{1/4} \bigl( (\varepsilon\eta^{-n+2})^{N-1} + \varepsilon^{(N-1)/2}\bigr).
\end{equation}
\tag{9.7}
$$
Аналогичным образом оценивается и функция $f_{\varepsilon,N}^{(3)}$. При этом необходимо учитывать условия согласования внешнего и внутреннего разложений, обеспечивающие требуемую малость разности $u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{ex}}-u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{in}}$, а также тот факт, что функция $f_{\varepsilon,N}^{(3)}$ не равна нулю лишь при $\varepsilon^{1/2}\tau_0\leqslant |x_n|\leqslant \varepsilon^{1/2}\tau_0$. В результате получаем
$$
\begin{equation*}
\|f_{\varepsilon,N}^{(3)}\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}\leqslant C \varepsilon^{-1/4} \bigl( (\varepsilon\eta^{-n+2})^{N-1} + \varepsilon^{N/2}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (9.6), (9.7) вытекает (9.2). Лемма доказана. Функция $\widehat{u}_{\varepsilon,N}:=u_{\varepsilon,N}-u_\varepsilon$ является решением задачи
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (\mathcal{L}-\lambda)\widehat{u}_\varepsilon=f_{\varepsilon,N} \quad\text{в }\ x\in\Omega^\varepsilon, \qquad \widehat{u}_{\varepsilon,N}=0 \quad\text{на }\ \partial\Omega\cup\theta^\varepsilon_\mathrm{D}, \\ \frac{\partial\widehat{u}_{\varepsilon,N}}{\partial N}+a(u_{\varepsilon,N})-a(u_\varepsilon)=g_{\varepsilon,N} \quad\text{на }\ \partial\theta^\varepsilon_R. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Решение этой задачи удовлетворяет интегральному тождеству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \mathfrak{h}_0(\widehat{u}_{\varepsilon,N},\widehat{u}_{\varepsilon,N}) +(a(u_{\varepsilon,N}) -a(u_\varepsilon),\widehat{u}_{\varepsilon,N})_{L_2(\partial \theta_\mathrm{R}^\varepsilon)} \\ &\qquad =(f,\widehat{u}_{\varepsilon,N})_{L_2(\Omega^\varepsilon)} +(g_\varepsilon, \widehat{u}_{\varepsilon,N})_{L_2(\partial\theta_\mathrm{R}^\varepsilon)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.8}
$$
где, напомним, форма $\mathfrak{h}_0$ была определена в (2.7). Из неравенства (5.1) с $u\,{=}\,u_{\varepsilon,N}$, $v=u_\varepsilon$ следует
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{h}_0(\widehat{u}_{\varepsilon,N},\widehat{u}_{\varepsilon,N}) + (a(u_{\varepsilon,N})-a(u_\varepsilon),\widehat{u}_{\varepsilon,N})_{L_2(\partial \theta_\mathrm{R}^\varepsilon)}\geqslant C\|\widehat{u}_{\varepsilon,N}\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $\widehat{u}_{\varepsilon,N}$, $\varepsilon$ и $\eta$. Оценим левую часть равенства (9.8) снизу с помощью последнего неравенства, а правую часть равенства – сверху с помощью неравенства Коши–Буняковского и (9.2), (9.3). В результате выводим оценку
$$
\begin{equation}
\|u_{\varepsilon,N}-u_\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}\leqslant C\varepsilon^{-1/4} \bigl( (\varepsilon\eta^{-n+2})^{N-1} + \varepsilon^{(N-1)/2}\bigr).
\end{equation}
\tag{9.9}
$$
Аналогично тому, как были оценены функции $f_{\varepsilon,N}^{(2)}$ и $f_{\varepsilon,N}^{(3)}$, несложно проверить, что для членов разложения (9.1) верны соотношения (2.13). Эти соотношения позволяют пренебречь членами перед $\varepsilon^{N-1}$ и $\varepsilon^N$ в функции, не нарушая при этом оценку (9.9), так что в итоге получаем
$$
\begin{equation*}
\|u_{\varepsilon,N-2}-u_\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}\leqslant C\varepsilon^{-1/4} \bigl( (\varepsilon\eta^{-n+2})^{N-1} + \varepsilon^{(N-1)/2}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Полученная оценка завершает доказательство теоремы 2.2.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BorMuk21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|