| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Локальная управляемость и оптимальность Е. Р. Аваковa, Г. Г. Магарил-Ильяевbcd a Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии наук, г. Москва b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова c Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва d Южный математический институт Владикавказского научного центра Российской академии наук, г. Владикавказ
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 7, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9434 
Реферативные базы данных:
     ВведениеВ теории оптимального управления важную роль играет понятие управляемости управляемой системы. В настоящей работе вводится понятие локальной управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функции, которая, вообще говоря, не является допустимой траекторией для нее. На содержательном уровне это означает, что в любой окрестности данной функции найдется допустимая траектория, граничные значения которой отличаются от исходных на любую сколь угодно малую величину. Основной результат работы – достаточные условия такой локальной управляемости. В качестве прямого следствия в стандартной задаче оптимального управления получены необходимые условия для так называемого локального инфимума – функции, на которой достигается локальный минимум целевого функционала, но которая не является, вообще говоря, допустимой траекторией, а является лишь равномерным пределом таковых. Оптимальная траектория может не существовать, но существование локального инфимума, очевидно, вполне достаточно для приложений. Необходимые условия для локального инфимума представляют собой по форме некоторое семейство принципов максимума. Если локальный инфимум является оптимальной траекторией, то данное семейство содержит классический принцип максимума Понтрягина, но также и другие соотношения, которые (как показывают примеры) могут давать дополнительную информацию об оптимальном процессе. В этом смысле полученный результат усиливает принцип максимума Понтрягина. Важно отметить, что для доказательства основного результата мы используем метод овыпукления Р. В. Гамкрелидзе (см. [1]), заключающийся в “погружении” исходной управляемой системы в класс систем, где каждое управление представляет собой некоторое семейство вероятностных борелевских мер на конечномерном пространстве. Это дает широкие возможности для исследования задач оптимального управления, которые, как нам представляется, на сегодняшний день далеко не исчерпаны. Работа состоит из четырех параграфов. В § 1 вводится понятие локальной управляемости управляемой системы ОДУ относительно данной функции и доказывается основной результат – достаточные условия управляемости такой системы. В § 2 рассматривается задача оптимального управления. Для нее в качестве следствия основного результата выводятся необходимые условия локального инфимума, а также некоторые другие утверждения. В § 3 приводятся примеры, иллюстрирующие утверждения настоящей работы. В § 4 содержится ряд вспомогательных лемм, которые, на наш взгляд, представляют и самостоятельный интерес. § 1. Формулировка и доказательство основного результатаПусть $U$ – непустое подмножество $\mathbb R^r$, заданы отображение $\varphi\colon \mathbb R\times\mathbb R^n\times\mathbb R^r\to\mathbb R^n$ переменных $t$, $x$ и $u$ и отображения $f\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to \mathbb R^{m_1}$ и $g\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to \mathbb R^{m_2}$ переменных $\zeta_i\in\mathbb R^n$, $i=1,2$. Рассмотрим управляемую систему
$$
\begin{equation}
\dot x=\varphi(t,x,u(t)), \qquad u(t)\in U \quad\text{для п.в. }\ t\in[t_0,t_1],
\end{equation}
\tag{1}
$$
$$
\begin{equation}
f\bigl(x(t_0),x(t_1)\bigr)\leqslant0, \qquad g(x(t_0),x(t_1))=0 .
\end{equation}
\tag{2}
$$
Всюду далее мы предполагаем, что отображение $\varphi$ непрерывно вместе со своей производной по $x$ на $\mathbb R\times\mathbb R^n\times \mathbb R^r$, а отображения $f$ и $g$ непрерывно дифференцируемы на $\mathbb R^n\times\mathbb R^n$. Пространства непрерывных вектор-функций на $[t_0,t_1]$ со значениями в $\mathbb R^n$, абсолютно непрерывных вектор-функций со значениями в $\mathbb R^n$ и существенно ограниченных вектор-функций со значениями в $\mathbb R^r$ обозначаются соответственно $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, $\mathrm{AC}([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ и $L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r)$. Пара $(x(\,\cdot\,),u(\,\cdot\,))\in \mathrm{AC}([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r)$ допустима для управляемой системы (слово “управляемая” далее опускаем) (1), (2), если выполняются условия (1) и (2). Функцию $x(\,\cdot\,)$ в этом случае называем допустимой траекторией для системы (1), (2). Определение 1. Скажем, что система (1), (2) локально управляема относительно функции $\widehat x(\,\cdot\,)\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, если $\widehat x(\,\cdot\,)$ удовлетворяет условиям (2) и для любой окрестности $W$ этой функции существуют такие окрестности $W_1$ и $W_2$ нулей соответственно в $\mathbb R^{m_1}$ и $\mathbb R^{m_2}$, что для каждого $y=(y_1,y_2)\in W_1\times W_2$ найдется пара $(x_y(\,\cdot\,),u_y(\,\cdot\,))\in \mathrm{AC}([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r)$, удовлетворяющая (1) и такая, что $x_y(\,\cdot\,)\in W$, $f(x_y(t_0),x_y(t_1))\leqslant y_1$ и $g(x_y(t_0),x_y(t_1))=y_2$. Важно отметить, что в этом определении функция $\widehat x(\,\cdot\,)$ не обязательно должна быть допустимой траекторией для системы (1), (2), хотя она и является, как следует из определения, равномерным пределом таковых. При стандартном определении локальной управляемости предполагается, что $\widehat x(\,\cdot\,)$ – допустимая траектория (см., например, [2], [3]). Свяжем с системой (1), (2) выпуклую управляемую систему, напомнив предварительно некоторые определения из [1]. Обозначим через $\mathscr B$ линейное пространство всех конечных вещественных регулярных борелевских мер $\mu$ на $\mathbb R^r$. Полная вариация $|\mu|$ меры $\mu\in\mathscr B$ представляет собой, как известно, положительную меру на $\mathbb R^r$, принадлежащую $\mathscr B$ и определяемую для каждого борелевского множества $A\subset \mathbb R^r$ формулой где супремум берется по всем конечным разбиениям множества $A$ на попарно не пересекающиеся борелевские подмножества $A_i$.Линейное пространство $\mathscr B$ является нормированным пространством с нормой $\|\mu\|=|\mu|(\mathbb R^k)$. Пусть каждому $t\in [t_0,t_1]$ сопоставлена конечная вещественная регулярная борелевская мера $\mu_t$ на $\mathbb R^r$. Семейство мер $\mu_{(\,\cdot\,)}=\{\mu_t\}_{t\in[t_0,t_1]}$ называется финитным, если существует такой компакт в $\mathbb R^r$, что для п.в. $t\in[t_0,t_1]$ меры этого семейства сосредоточены на этом компакте. Финитное семейство мер $\mu_{(\,\cdot\,)}$ называется слабо измеримым, если для любой непрерывной вектор-функции $g\colon [t_0,t_1]\times \mathbb R^r\mapsto \mathbb R^n$ и любой меры $\mu_t$ из этого семейства вектор-функция
$$
\begin{equation*}
t\mapsto \langle\mu_t,g(t,u)\rangle=\int_{\mathbb R^r}g(t,u)\,d\mu_t(u)
\end{equation*}
\notag
$$
измерима по Лебегу на $[0,1]$. Обозначим через $\mathfrak M$ линейное пространство всех финитных слабо измеримых семейств мер $\mu_{(\,\cdot\,)}$ на $\mathbb R^r$. Если $\mu_{(\,\cdot\,)}\in\mathfrak M$, $\mathscr K$ – компакт в $\mathbb R^r$, на котором сосредоточены меры $\mu_t\in \mu_{(\,\cdot\,)}$ для п.в. $t\in[t_0,t_1]$ и $g\colon [t_0,t_1]\times\mathbb R^r\to\mathbb R^n$ – непрерывная вектор-функция, то для п.в. $t\in [t_0,t_1]$ справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
|\langle\mu_t,g(t,u)\rangle|=\biggl|\int_{\mathscr K}g(t,u)\,d\mu_t(u)\biggr| \leqslant\int_{\mathscr K}|g(t,u)|\,d|\mu_t|(u)\leqslant C\|\mu_t\|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C=\max\{|g(t,u)|\colon (t,u)\in [t_0,t_1]\times\mathscr K\}$ и $|\cdot|$ – евклидова норма. Обобщенным управлением называется семейство $\mu_{(\,\cdot\,)} \in\mathfrak M$, состоящее из вероятностных мер. Ясно, что обобщенные управления образуют выпуклое подмножество $\mathfrak M$. Обычное управление $u(\,\cdot\,)\in L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r)$ можно рассматривать как частный случай обобщенного управления. Действительно, сопоставим $u(\,\cdot\,)$ семейство мер $\mu_t=\delta_{u(t)}$, $t\in[t_0,t_1]$, где $\delta_{u(t)}$ – мера Дирака, сосредоточенная в точке $u(t)$. Так как $u(\,\cdot\,)\in L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r)$, то это семейство финитно. Если вектор-функция $g\colon [t_0,t_1]\times \mathbb R^r\mapsto \mathbb R^n$ непрерывна, то функция
$$
\begin{equation*}
t\mapsto \langle\delta_{u(t)},g(t,u)\rangle=\int_{\mathbb R^r}g(t,u)\,d\delta_{u(t)}=g(t,u(t))
\end{equation*}
\notag
$$
измерима по Лебегу на $[t_0,t_1]$ и тем самым семейство $\{\delta_{u(t)}\}_{t\in[t_0,t_1]}$ слабо измеримо. Наконец, ясно, что это семейство вероятностных мер. Пусть $\mu_{(\,\cdot\,)}=\{\mu_t\}_{t\in[t_0,t_1]}\in\mathfrak{M}$. Рассмотрим дифференциальное уравнение Под решением этого уравнения на отрезке $[t_0,t_1]$ понимается такая абсолютно непрерывная функция $x(\,\cdot\,)$ на $[t_0,t_1]$, что $\dot x(t)=\langle\mu_t,\varphi(t,x(t),u)\rangle$ для п.в. $t\in[t_0,t_1]$.Обозначим через $\mathfrak M_U$ множество таких обобщенных управлений $\mu_{(\,\cdot\,)}=\{\mu_t\}_{t\in[t_0,t_1]}$, что меры $\mu_t$ для п.в. $t\in[t_0,t_1]$ сосредоточены на $U$. Это выпуклое подмножество $\mathfrak M$. Теперь мы можем сказать, что выпуклая управляемая система, которая сопоставляется системе (1), (2), имеет вид
$$
\begin{equation}
\dot x=\langle \mu_t,\varphi(t,x,u)\rangle, \qquad \mu_{(\,\cdot\,)}\in \mathfrak M_U,
\end{equation}
\tag{3}
$$
$$
\begin{equation}
f(x(t_0),x(t_1))\leqslant0, \qquad g\bigl(x(t_0),x(t_1)\bigr)=0 .
\end{equation}
\tag{4}
$$
Аналогично системе (1), (2) определяются понятия допустимой пары $(x(\,\cdot\,),\mu_{(\,\cdot\,)})$ для выпуклой управляемой системы (слово “управляемая” будем опускать) (3), (4) и допустимой траектории. Нам понадобятся некоторые обозначения. Значение линейного функционала $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in(\mathbb R^n)^*$ на элементе $x=(x_1,\dots,x_n)^{\top}\in\mathbb R^n$ ($\top$ – символ транспонирования) обозначаем $\langle \lambda, x\rangle=\sum_{i=i}^n\lambda_ix_i$. Через $(\mathbb R^n)^*_+$ обозначим множество функционалов на $\mathbb R^n$, принимающих неотрицательные значения на неотрицательных векторах. Если $\Lambda\colon \mathbb R^n\to\mathbb R^m$ – линейный оператор, то $\Lambda^*$ обозначает сопряженный оператор к $\Lambda$. Если фиксирована функция $\widehat x(\,\cdot\,)$, то для сокращения записи частные производные отображений $f$ и $g$ по $\zeta_1$ и $\zeta_2$ в точке $(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))$ записываем как $\widehat f_{\zeta_i}$ и $\widehat g_{\zeta_i}$, $i=1,2$. Пусть пара $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})$ допустима для выпуклой системы (3), (4). Обозначим через $\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})$ множество наборов $(\lambda_f,\lambda_g,p(\,\cdot\,))\in (\mathbb R^{m_1})_+^*\times(\mathbb R^{m_2})^*\times \mathrm{AC}([t_0,t_1],(\mathbb R^n)^*)$, где $\lambda_f$ и $\lambda_g$ не равны одновременно нулю, удовлетворяющих соотношениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot p(t) =-p(t)\bigl\langle\widehat\mu_t, \varphi_x(t,\widehat x(t),u)\bigr\rangle, \\ p(t_0)={\widehat {f}_{\zeta_1}}^*\lambda_f+{\widehat {g}_{\zeta_1}}^*\lambda_g, \qquad p(t_1)=-{\widehat {f}_{\zeta_2}}^*\lambda_f-{\widehat {g}_{\zeta_2}}^*\lambda_g, \\ \bigl\langle \lambda_f, f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\bigr\rangle=0, \\ \sup_{u\in U}\bigl\langle p(t), \varphi(t,\widehat x(t),u)\bigr\rangle=\langle p(t), \dot {\widehat x}(t)\rangle \quad\text{для п.в. }\ t\in[t_0,t_1]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5}
$$
Основным утверждением настоящей работы является следующая Теорема 1. Пусть $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})$ – допустимая пара для выпуклой системы (3), (4) такая, что $\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})=\varnothing$. Тогда система (1), (2) локально управляема относительно функции $\widehat x(\,\cdot\,)$. Перед непосредственным доказательством этой теоремы докажем одно предложение, которое характеризует пустоту множества $\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})$ в других терминах. Всюду далее слова “окрестность $\mathscr O(x)$” означают “окрестность $\mathscr O(x)$ точки $x$”, а $0_{\mathbb R^m}$ – нуль в $\mathbb R^m$. Ниже для сокращения записи вместо $\widehat x(\,\cdot\,)$, $\widehat\mu_{(\,\cdot\,)}$ и т.д. будем просто писать $\widehat x$, $\widehat\mu$ и т.д. Пусть пара $(\widehat x,\widehat \mu)$ допустима для выпуклой системы (3), (4). Тогда из леммы 1 об уравнении в вариациях (см. § 4) следует, что для любого $k\in\mathbb N$ и любых $\delta\mu^i\in\mathfrak M_U-\widehat\mu$, $i=1,\dots, k$, существует единственное решение $x(\cdot,\xi,\overline\alpha)=x(\cdot,\xi,\overline\alpha;\widehat \mu,\delta\mu^1,\dots,\delta\mu^k)$ уравнения (53), определенное на отрезке $[t_0, t_1]$ для всех $\xi$ и $\overline\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_k)^{\top}$ из некоторых окрестностей $\mathscr O(\widehat x(t_0))$ и $\mathscr O(0_{\mathbb R^k})$. При этом отображение $(\xi,\overline\alpha)\mapsto x(\cdot,\xi,\overline\alpha)$ непрерывно дифференцируемо. Определим отображение $\widehat\Phi\colon \mathscr O(\widehat x(t_0))\times\mathscr O(0_{\mathbb R^k})\times\mathbb R^{m_1}\to \mathbb R^{m_1+m_2}$ по правилу
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widehat\Phi(\xi,\overline\alpha,\nu) &=\widehat\Phi(\xi,\overline\alpha,\nu;\widehat \mu,\delta\mu^1,\dots,\delta\mu^k) \\ &=\bigl(f(\xi,x(t_1,\xi,\overline\alpha))+\nu,\, g(\xi,x(t_1,\xi,\overline\alpha))\bigr)^{\top}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
$$
Предложение 1. Следующие условия эквивалентны: 1) $\Lambda(\widehat x,\widehat\mu)=\varnothing$; 2) найдутся $k\in\mathbb N$ и $\delta\mu^i\in\mathfrak M_U-\widehat\mu$, $i=1,\dots,k$, такие, что где $\widehat w=(\widehat x(t_0), 0_{\mathbb R^k}, -f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1)))^{\top}$. Доказательство. $1)\Rightarrow 2)$. Докажем эквивалентное утверждение: если ни для каких $k\in\mathbb N$ и ни для какого набора $\delta\overline\mu\,{=}\,(\delta\mu^1,\dots,\delta\mu^k)\in(\mathfrak M_U\,{-}\,\widehat\mu)^k$ включение (7) не выполняется, то $\Lambda(\widehat x,\widehat\mu)\ne\varnothing$. По теореме отделимости для любых таких $k$ и $\delta\overline\mu$ найдется ненулевой вектор $\lambda(\delta\overline\mu)\in (\mathbb R^{m_1+m_2})^*$, для которого справедливо неравенство при всех $(\xi,\overline\alpha,\nu)\in\mathbb R^n\times \mathbb R^k_+\times\mathbb R^{m_1}_+$.
Пусть $\lambda(\delta\overline\mu)=(\lambda_1(\delta\overline\mu),\lambda_2(\delta\overline\mu))\in (\mathbb R^{m_1})^*\times (\mathbb R^{m_2})^*$. Тогда неравенство (8) запишется согласно теореме о производной сложной функции следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \bigl\langle\lambda_1(\delta\overline\mu), \widehat f_{\zeta_1}\xi+\widehat f_{\zeta_2}(\widehat x_\xi(\delta\overline\mu)\xi)(t_1)+\widehat f_{\zeta_2}(\widehat x_{\overline\alpha}(\delta\overline\mu)\overline\alpha)(t_1) +\nu +f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\bigr\rangle \\ &\qquad\qquad +\bigl\langle\lambda_2(\delta\overline\mu), \widehat g_{\zeta_1}\xi+\widehat g_{\zeta_2}(\widehat x_\xi(\delta\overline\mu)\xi)(t_1) +\widehat g_{\zeta_2}(\widehat x_{\overline\alpha}(\delta\overline\mu) \overline\alpha)(t_1)\bigr\rangle\geqslant0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
для любых $(\xi,\overline\alpha,\nu)\in\mathbb R^n\times \mathbb R^k_+\times\mathbb R^{m_1}_+$, где $\widehat x_\xi(\delta\overline\mu)$, $\widehat x_{\overline\alpha}(\delta\overline\mu)$ – частные производные соответственно по $\xi$ и $\overline\alpha$ отображения $(\xi,\overline\alpha)\mapsto x(\cdot,\xi,\overline\alpha)\,{=}\,x(\cdot,\xi,\overline\alpha;\widehat \mu,\delta\mu^1,\dots,\delta\mu^k)$ в точке $(\widehat x(t_0),0_{\mathbb R^k})$.
Покажем, что существует такой вектор $\lambda=(\lambda_f,\lambda_g)\in (\mathbb R^{m_1})_+^*\times (\mathbb R^{m_2})^*$, $|\lambda|=1$, что соотношение (9) будет выполняться с этим $\lambda$ для любого $k\in\mathbb N$ и любого набора $\delta\overline\mu=(\delta\mu^1,\dots,\delta\mu^k)\in(\mathfrak M_U-\widehat\mu)^k$. Для данного набора $\delta\overline\mu=(\delta\mu^1,\dots,\delta\mu^k)$ обозначим через $\Lambda(\delta\overline\mu)$ множество всех векторов $\lambda(\delta\overline \mu)$, $|\lambda(\delta\overline\mu)|=1$, для которых выполняется (8). Ясно, что $\Lambda(\delta\overline \mu)$ есть замкнутое подмножество компакта – единичной сферы в $(\mathbb R^{m_1+m_2})^*$. Проверим, что семейство $\mathscr A$ всех таких подмножеств (по всем $k$ и наборам $\delta\overline\mu=(\delta\mu^1,\dots,\delta\mu^k)\in(\mathfrak M_U-\widehat\mu)^k$) образует центрированную систему. Пусть $\Lambda(\delta\overline\mu(j))$, где $\delta\overline\mu(j)=(\delta\mu^1(j),\dots,\delta\mu^{k_j}(j))$, $j=1,\dots,N$, – произвольное конечное семейство множеств из $\mathscr A$. Покажем, что $\bigcap_{j=1}^N\Lambda(\delta\overline\mu(j))\ne\varnothing$. Действительно, положим $\delta\widetilde{\mu}=(\delta\overline \mu(1),\dots,\delta\overline\mu(N))$. По предположению для набора $\delta\widetilde{\mu}$ существует вектор $\lambda(\delta\widetilde{\mu})\in (\mathbb R^{m_1})^*\times(\mathbb R^{m_2})^*$ такой, что выполняется (8) при всех $\xi\in\mathbb R^n$, $\overline\alpha\in \Sigma^l$ ($l$ – число элементов в наборе $\delta\widetilde{\mu}$) и всех $\nu\in\mathbb R^{m_1}_+$. Пусть $1\,{\leqslant}\, j\,{\leqslant}\, N$ и $k(j)$ – число элементов в наборе $\delta\overline \mu(j)$. Ясно, что $\Sigma^{k(j)}\subset \Sigma^l$. Отсюда следует, что $\lambda(\delta\widetilde{\mu})\in\Lambda(\delta\overline\mu(j))$ и, значит, $\bigcap_{j=1}^N\Lambda(\delta\overline\mu(j))\ne\varnothing$. Таким образом, система множеств $\mathscr A$ центрирована и, следовательно, существуют такие $\lambda_f\in (\mathbb R^{m_1})^*$ и $\lambda_g\in (\mathbb R^{m_2})^*$, не равные одновременно нулю, что соотношение (9) будет выполняться с $\lambda=(\lambda_f,\lambda_g)$ для любых $k$ и $\delta\overline\mu$. В частности, оно будет выполняться для наборов, состоящих из одного элемента: $\delta\overline\mu=\delta\mu$ (в этом случае $\overline\alpha=\alpha_1$ и пишем $\alpha$ вместо $\alpha_1$), т.е. выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \bigl\langle\lambda_f, \widehat f_{\zeta_1}\xi+\widehat f_{\zeta_2}(\widehat x_\xi(\delta\mu)\xi)(t_1)+\widehat f_{\zeta_2}(\widehat x_{\alpha}(\delta\mu)\alpha)(t_1) +\nu+f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\bigr\rangle \\ &\qquad\qquad +\bigl\langle\lambda_g, \widehat g_{\zeta_1}\xi+\widehat g_{\zeta_2}(\widehat x_\xi(\delta\mu)\xi)(t_1)+\widehat g_{\zeta_2}(\widehat x_{\alpha}(\delta\mu)\alpha)(t_1)\bigr\rangle\geqslant0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
$$
для любых $(\xi,\alpha,\nu)\in\mathbb R^n\times \mathbb R_+\times\mathbb R^{m_1}_+$ и $\delta\mu_t\in\mathfrak M_U-\widehat\mu_t$.
Пусть $p$ – решение задачи Коши
$$
\begin{equation}
\dot p =-p \bigl\langle \widehat\mu_t,\varphi_x(t,\widehat x(t),u)\bigr\rangle, \qquad p(t_1)=-\widehat {f}_{\zeta_2}^*\lambda_f-\widehat {g}_{\zeta_2}^*\lambda_g.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Покажем, что тройка $(\lambda_f,\lambda_g,p(\,\cdot\,))$ удовлетворяет всем соотношениям в (5).
Полагая в (10) $\xi=0$, $\alpha=0$ и $\nu=\nu'-f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))$, где $\nu'\in \mathbb R^{m_1}_+$, получим, что $\langle\lambda_f, \nu'\rangle\geqslant0$ для любого $\nu'\in\mathbb R^{m_1}_+$, т.е. $\lambda_f\in(\mathbb R^{m_1})^*_+$. Пусть $\xi=0$, $\alpha=0$, $\nu=0$. Тогда из (10) вытекает, что $\bigl\langle\lambda_f, f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\bigr\rangle\,{\geqslant}\,0$. Но $\lambda_f\in(\mathbb R^{m_1})^*_+$, а $f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\leqslant0$ и поэтому $\bigl\langle\lambda_f, f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\bigr\rangle\leqslant0$, т.е. $\bigl\langle\lambda_f, f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\bigr\rangle=0$ и, значит, справедливо четвертое условие (условие дополняющей нежесткости) в (5). Положим в (10) $\alpha=0$ и $\nu=-f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))$. Тогда в силу того, что $\xi\in\mathbb R^n$, справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\bigl\langle \lambda_f, \widehat f_{\zeta_1} \xi+\widehat f_{\zeta_2} (\widehat x_\xi(\delta\mu)\xi)(t_1)\bigr\rangle + \bigl\langle \lambda_g, \widehat g_{\zeta_1} \xi+\widehat g_{\zeta_2} (\widehat x_\xi(\delta\mu)\xi)(t_1)\bigr\rangle=0.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Из соотношения (54) в лемме 1 (см. § 4) следует, что производная $\widehat x_\xi(\delta\mu)$ для любого $\xi\in\mathbb R^n$ удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation}
\dot {\widehat x}_\xi(\delta\mu)\xi=\bigl\langle\widehat\mu_t, \varphi_x(t,\widehat x(t),u)\widehat x_\xi(\delta\mu)\xi\bigr\rangle, \qquad (\widehat x_\xi(\delta\mu)\xi)(t_0)=\xi.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Тогда из (12), (11) и (13) получим, что для любого $\xi\in\mathbb R^n$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\langle\widehat f_{\zeta_1}^*\lambda_f +\widehat g_{\zeta_1}^*\lambda_g, \xi\bigr\rangle =-\bigl\langle\widehat f_{\zeta_2}^*\lambda_f+\widehat g_{\zeta_2}^*\lambda_g, (\widehat x_\xi(\delta\mu)\xi)(t_1)\bigr\rangle=\bigl\langle p(t_1), (\widehat x_\xi(\delta\mu)\xi)(t_1)\bigr\rangle \\ &\qquad=\int_{t_0}^{t_1}\bigl(\langle p(t), (\dot{\widehat x}_\xi(\delta\mu)\xi)(t)\rangle +\langle\dot p(t), (\widehat x_\xi(\delta\mu)\xi)(t)\rangle\bigr)\,dt +\bigl\langle p(t_0), (\widehat x_\xi(\delta\mu)\xi)(t_0)\bigr\rangle \\ &\qquad = \bigl\langle p(t_0), (\widehat x_\xi(\delta\mu)\xi)(t_0)\bigr\rangle =\langle p(t_0), \xi\rangle \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и тем самым
$$
\begin{equation*}
p(t_0)=\widehat f_{\zeta_1}^*\lambda_f+\widehat g_{\zeta_1}^*\lambda_g.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (11) следует, что справедливы первые три соотношения в (5). Осталось проверить выполнение условия максимума.
Положим в (10) $\xi=0$ и $\nu=-f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))$. Тогда
$$
\begin{equation}
\bigl\langle\widehat f_{\zeta_2}^*\lambda_f+\widehat g_{\zeta_2}^*\lambda_g,\, (\widehat x_{\alpha}(\delta\mu)\alpha)(t_1)\bigr\rangle\geqslant0
\end{equation}
\tag{14}
$$
для всех $\alpha \in \mathbb R_+$ и $\delta\mu\in\mathfrak M_U-\widehat\mu$.
Снова согласно (54) из § 4 функция $\widehat x_{\alpha}(\delta\mu)\alpha$ для любого $\alpha\in\mathbb R$ удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot{\widehat x}_{\alpha}(\delta\mu)\alpha=\langle\widehat\mu_t, \varphi_x(t,\widehat x(t),u)\widehat x_{\alpha}(\delta\mu)\alpha\rangle+ \alpha\langle\delta\mu_t,\varphi(t,\widehat x(t),u)\rangle, \\ (\widehat x_{\alpha}(\delta\mu)\alpha)(t_0)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Пусть $\alpha=1$. Из (11), (14) и (15) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&\leqslant-\bigl\langle p(t_1), (\widehat x_{\alpha}(\delta\mu))(t_1)\bigr\rangle =-\int_{t_0}^{t_1}\bigl(\langle p(t), (\dot{\widehat x}_{\alpha}(\delta\mu))(t)\rangle+\langle \dot p(t), (\widehat x_{\alpha}(\delta\mu))(t)\rangle\bigr)\,dt \\ &=-\int_{t_0}^{t_1}\bigl\langle p(t), \langle \delta\mu, \varphi(t,\widehat x(t),u)\rangle\bigr\rangle\,dt \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\delta\mu\in\mathfrak M_U-\widehat\mu$, или
$$
\begin{equation}
\int_{t_0}^{t_1}\langle \mu_t, H(t,\widehat x(t),p(t),u)\rangle\,dt \leqslant\int_{t_0}^{t_1}\langle \widehat\mu_t, H(t,\widehat x(t),p(t),u)\rangle\,dt
\end{equation}
\tag{16}
$$
для всех $\mu\in\mathfrak M_U$, где $H(t,x,p,u)=\langle p,\varphi(t,x,u)\rangle$.
Покажем, что из (16) для п.в. $t\in[t_0,t_1]$ следует равенство
$$
\begin{equation}
\max_{\mu}\bigl\langle \mu, H(t,\widehat x(t),p(t),u)\bigr\rangle =\bigl\langle \widehat\mu_t, H(t,\widehat x(t),p(t),u)\bigr\rangle,
\end{equation}
\tag{17}
$$
где максимум берется по всем вероятностным мерам с компактными носителями и сосредоточенным на $U$. Обозначим временно это множество через $\mathfrak{N}_U$.
Пусть $\mu\in \mathfrak{N}_U$ и $\tau\in T$, где $T$ – множество точек Лебега функции $t\mapsto\bigl\langle \widehat\mu_t, H(t,\widehat x(t),p(t),u)\bigr\rangle$ на интервале $(t_0,t_1)$. Для каждого $h>0$ такого, что $[\tau-h,\tau+h]\subset (t_0,t_1)$, определим семейство мер $\mu^h$ так, что $\mu_t^h=\mu$, если $t\in [\tau-h,\tau+h]$, и $\mu_t^h=\widehat\mu_t$, если $t\in [t_0,t_1]\setminus[\tau-h,\tau+h]$. Тогда из (16) последует, что
$$
\begin{equation*}
\frac1{2h}\int_{\tau-h}^{\tau+h}\bigl\langle \mu, H(t,\widehat x(t),p(t),u)\bigr\rangle\,dt \leqslant\frac1{2h}\int_{\tau-h}^{\tau+h}\bigl\langle \widehat\mu_t, H(t,\widehat x(t),p(t),u)\bigr\rangle\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя здесь к пределу при $h\to0$ (учитывая, что функция под интегралом слева как функция $t$ непрерывна), получим, что
$$
\begin{equation*}
\bigl\langle \mu, H(\tau,\widehat x(\tau),p(\tau),u)\bigr\rangle\,dt \leqslant\bigl\langle \widehat\mu_\tau, H(\tau,\widehat x(\tau),p(\tau),u)\bigr\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $T$ – множество полной меры, то это неравенство равносильно (17).
Покажем теперь, что для любого $t\in T$ справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\max_{\mu}\bigl\langle\mu, H(t,\widehat x(t),p(t),u)\bigr\rangle =\sup_{u\in U} H(t,\widehat x(t),p(t),u),
\end{equation}
\tag{18}
$$
где по-прежнему $\mu\in \mathfrak{N}_U$.
Заметим сначала, что правая часть (18) не превосходит левой, так как любой точке $u\in U$ можно сопоставить меру $\mu=\delta_u$. Докажем противоположное неравенство. Пусть $\mathscr K$ – носитель меры $\mu$ и $\varepsilon>0$. Функция $(t,u)\mapsto \varphi(t,\widehat x(t),u)$ равномерно непрерывна на компакте $K=[t_0,t_1]\times\mathscr K$, и поэтому существует такое $\delta>0$, что если $(t,u_i)\in K$, $i=1,2$, и $|u_1-u_2|<\delta$, то $|\varphi(t,\widehat x(t),u_1)-\varphi(t,\widehat x(t),u_2)|<\varepsilon$. Нетрудно представить $\mathscr K$ как объединение (с точностью до множества нулевой меры) попарно не пересекающихся множеств $A_i$, $i=1,\dots,m$, положительной меры, диаметры которых меньше $\delta/2$ (например, разбив $\mathbb R^r$ на не пересекающиеся кубы соответствующего диаметра и взяв их пересечения с $\mathscr K$). Выберем в каждом множестве $A_i$ точку $u_i\in U$ (такая точка найдется, поскольку мера $\mu$ сосредоточена на $U$) и для каждого $t\in[t_0,t_1]$ определим на $\mathscr K$ кусочно постоянную функцию $g$, равную $\varphi(t,\widehat x(t),u_i)$ на $A_i$, $i=1,\dots,m$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\bigl\langle\mu,g(t,u)\bigr\rangle =\sum_{i=1}^m\int_{A_i}\varphi(t,\widehat x(t),u_i)\,d\mu(u) =\sum_{i=1}^m\alpha_i\varphi(t,\widehat x(t),u_i),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha_i=\mu(A_i)$ и тем самым $\alpha_i>0$ и $\sum_{i=1}^m\alpha_i=1$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|\bigl\langle\mu,\varphi(t,\widehat x(t),u)\bigr\rangle-\sum_{i=1}^m\alpha_i\varphi(t,\widehat x(t),u_i)\biggr|= \bigl|\bigl\langle\mu,\varphi(t,\widehat x(t),u)-g(t,u)\bigr\rangle\bigr| \\ \leqslant\sum_{i=1}^m\int_{A_i}|\varphi(t,\widehat x(t),u) -\varphi(t,\widehat x(t),u_i)|\,d\mu(u) <\varepsilon\sum_{i=1}^m\mu(A_i)=\varepsilon, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает, что вектор $\bigl\langle\mu,\varphi(t,\widehat x(t),u)\bigr\rangle$ принадлежит замыканию выпуклой оболочки множества $P(t,\widehat x(t))=\{ \varphi(t,\widehat x(t),u)\colon u\in U \}$, которое обозначим $\overline{\operatorname{conv}}P(t,\widehat x(t))$. Отсюда в свою очередь следует, что
$$
\begin{equation}
\bigl\langle p(t),\bigl\langle\mu,\varphi(t,\widehat x(t),u)\bigr\rangle\bigr\rangle\leqslant\sup\{ \bigl\langle p(t),q\bigr\rangle\colon q\in\overline{\operatorname{conv}}P(t,\widehat x(t)) \}.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Заметим теперь, что
$$
\begin{equation*}
\sup\bigl\{ \bigl\langle p(t),q\bigr\rangle\colon q\in\overline{\operatorname{conv}}P(t,\widehat x(t)) \bigr\} =\sup\bigl\{ \bigl\langle p(t),q\bigr\rangle\colon q\in P(t,\widehat x(t)) \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, если правая часть данного выражения бесконечна, то равенство очевидно. Пусть его правая часть равна $\gamma<+\infty$. Тогда левая часть не меньше $\gamma$. Множество $\{ q\in \mathbb R^n\colon \bigl\langle p(t),q\bigr\rangle\leqslant \gamma \}$ выпукло, замкнуто и содержит $P(t,\widehat x(t))$. Следовательно, оно содержит и множество $\overline{\operatorname{conv}}P(t,\widehat x(t))$, откуда заключаем, что левая часть не больше $\gamma$ и нужное равенство доказано.
Из (19) и доказанного равенства получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\bigl\langle\mu, H(t,\widehat x(t),p(t),u)\bigr\rangle =\bigl\langle p(t),\langle\mu,\varphi(t,\widehat x(t),u)\rangle\bigr\rangle \\ &\qquad \leqslant\sup\bigl\{ \bigl\langle p(t),q\bigr\rangle\colon q\in P(t,\widehat x(t)) \bigr\} =\sup_{u\in U} H(t,\widehat x(t),p(t),u). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Отсюда следует, что левая часть (18) не превосходит правой и тем самым равенство (18) справедливо.
Теперь из равенств (17), (18) и из элементарно проверяемого равенства $\bigl\langle \widehat\mu_t, H(t,\widehat x(t),p(t),u)\bigr\rangle\,{=}\,\bigl\langle p(t),\dot{\widehat x}(t)\bigr\rangle$ следует, что выполнено и условие максимума в (5). Таким образом, $\Lambda(\widehat x,\widehat\mu)\ne\varnothing$ и тем самым импликация $1)\Rightarrow 2)$ доказана. Импликация $2)\Rightarrow 1)$ доказывается аналогично, если провести рассуждения в обратном порядке. Предложение 1 доказано. Если $Z$ – нормированное пространство, то $U_{Z}(z,\rho)$ обозначает открытый шар в $Z$ с центром в точке $z$ радиуса $\rho>0$. Доказательство теоремы 1. Воспользуемся леммой 4 об обратной функции (здесь и далее имеются в виду леммы, доказанные в § 4). Сначала сделаем несколько предварительных замечаний.
По предположению $\Lambda(\widehat x,\widehat\mu)=\varnothing$. Поэтому согласно предложению 1 найдутся $k\in\mathbb N$ и $\delta\mu^i\in\mathfrak M_U-\widehat\mu$, $i=1,\dots,k$, такие, что справедливо включение (7), где $\widehat w=(\widehat x(t_0), 0_{\mathbb R^k}, -f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1)))^{\top}$. Отображение $\widehat\Phi$ (см. (6)) определено на множестве $\mathscr O(\widehat x(t_0))\times\mathscr O(0_{\mathbb R^k})\times\mathbb R^{m_1}$, где, напомним, $\mathscr O(\widehat x(t_0))$ и $\mathscr O(0_{\mathbb R^k})$ – окрестности из леммы 1, соответствующие данному $k$ и семействам $\widehat\mu$ и $\delta\mu^i$, $i=1,\dots,k$. Пусть $\mathscr O_0(\widehat x(t_0))$ и $\mathscr O_0(0_{\mathbb R^k})$ – окрестности из леммы 3. Уменьшая их и беря ограниченную окрестность $\mathscr O_0(-f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1)))$, можно считать, что отображение $\widehat \Phi$ ограничено на $\mathscr O_0(\widehat x(t_0))\times\mathscr O_0(0_{\mathbb R^k})\times\mathscr O_0(-f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1)))$ и что $\mathscr O_0(\widehat x(t_0))\subset \mathscr O(\widehat x(t_0)))$, $\mathscr O_0(0_{\mathbb R^k})\subset \mathscr O(0_{\mathbb R^k})$. Воспользуемся леммой 4 в ситуации, когда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X=\mathbb R^n\times\mathbb R^k\times \mathbb R^{m_1},\qquad K=\mathbb R^n\times \mathbb R^k_+\times\mathbb R^{m_1}_+, \\ \widehat w=\bigl(\widehat x(t_0),0_{\mathbb R^k},-f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\bigr), \\ V=\mathscr O_0(\widehat x(t_0))\times\mathscr O_0(0_{\mathbb R^k})\times\mathscr O_0(-f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\widehat \Phi\colon V\to\mathbb R^{m_1+m_2}$ – отображение, которое здесь рассматривается. Ясно, что все предположения этой леммы выполнены (последнее из них, очевидно, равносильно включению (7)).
Согласно лемме 3 для достаточно больших $s\in\mathbb N$ определены непрерывные отображения $(\xi,\overline\alpha)\mapsto x_s(\cdot,\xi,\overline\alpha)=x_s(\cdot,\xi,\overline\alpha;\widehat \mu,\delta\mu^1,\dots,\delta\mu^k)$ из $\mathscr M=\mathscr O_0(\widehat x(t_0))\times(\mathscr O_0(0_{\mathbb R^k})\cap \Sigma^k)$ ($\Sigma^k$ определено перед формулировкой леммы 2) в $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$. Тогда для таких $s$ определены непрерывные отображения $\Phi_s\colon \mathscr M\times\mathbb R^{m_1}\to\mathbb R^{m_1+m_2}$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\Phi_s(\xi,\overline\alpha,\nu)=(f(\xi, x_s(t_1,\xi,\overline\alpha))+\nu,\, g(\xi, x_s(t_1,\xi,\overline\alpha)))^{\top}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку в силу леммы 3 отображения $(\xi,\overline\alpha)\mapsto x_s(\cdot,\xi,\overline\alpha)$ принадлежат пространству $C(\mathscr M, C([t_0,t_1],\mathbb R^n))$ и сходятся в этом пространстве к отображению $(\xi,\overline\alpha)\mapsto x(\cdot,\xi,\overline\alpha)$ при $s\to\infty$, то нетрудно показать, используя непрерывную дифференцируемость отображений $f$ и $g$, что отображения $(\xi,\overline\alpha,\nu)\mapsto \Phi_s(\xi,\overline\alpha,\nu)$ принадлежат пространству $C(V\cap K, \mathbb R^{m_1+m_2})$ (уменьшив, быть может, для этого окрестность $V$) и сходятся в этом пространстве к отображению $(\xi,\overline\alpha,\nu)\mapsto \widehat\Phi(\xi,\overline\alpha,\nu)$ при $s\to\infty$. Пусть $W$ – окрестность $\widehat x(\,\cdot\,)$ из определения локальной управляемости и $\varepsilon>0$ таково, что $U_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}(\widehat x(\,\cdot\,),\varepsilon)\subset W$. Согласно лемме 3 существует такое $s_0\in\mathbb N$, что для всех $s\geqslant s_0$ и $(\xi,\overline\alpha)\in\mathscr M$ справедливо неравенство $\|x_s(\cdot,\xi,\overline\alpha)-x(\cdot,\xi,\overline\alpha)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}<\varepsilon/2$. Далее, так как отображение $(\xi,\overline\alpha)\mapsto x(\cdot,\xi,\overline\alpha)$ непрерывно в точке $(\widehat x(t_0),0_{\mathbb R^k})$, то существует такое $\delta_0>0$, что
$$
\begin{equation*}
\|x(\cdot,\xi,\overline\alpha)-\widehat x(\,\cdot\,)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}<\frac{\varepsilon}2\quad\text{при }|\xi-\widehat x(t_0)|+|\overline\alpha|<\delta_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем, что если $s\geqslant s_0$ и пара $(\xi,\overline\alpha)\in\mathscr M$ такова, что $|\xi-\widehat x(t_0)|+|\overline\alpha|<\delta_0$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|x_s(\cdot,\xi,\overline\alpha)-\widehat x(\,\cdot\,)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}\leqslant\|x_s(\cdot,\xi,\overline\alpha)-x(\cdot,\xi,\overline\alpha)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)} \\ &\qquad\qquad + \|x(\cdot,\xi,\overline\alpha)-\widehat x(\,\cdot\,)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}<\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
$$
Пусть $r_0$ и $\gamma$ – константы из леммы 4. Выберем $r\in(0,r_0]$ так, чтобы при $\gamma r<\delta_0$ и $s\geqslant s_0$ выполнялось $\Phi_s\in U_{C(V\cap K, \mathbb R^{m_1+m_2})}(\widehat \Phi,r)$. Положим $W_1=U_{\mathbb R^{m_1}}(0,r/2)$ и $W_2=U_{\mathbb R^{m_2}}(0,r/2)$, и пусть $y_i\in W_i$, $i=1,2$, $y=(y_1,y_2)$. Так как $\widehat\Phi(\widehat w)=0$, то $y\in U_{\mathbb R^{m_1+m_2}}(\widehat\Phi(\widehat w),r)$. Если $g_{\Phi_s}(y)$ – элемент из леммы 4, то ее утверждения для данного $y$ состоят в том, что (обозначаем $g_{\Phi_s}(y)=w_y=(\xi_y,\overline\alpha_y,\nu_y)$)
$$
\begin{equation}
f(\xi_y, x_s(t_1,\xi_y,\overline\alpha_y))+\nu_y=y_1, \qquad g(\xi_y, x_s(t_1,\xi_y,\overline\alpha_y))=y_2,
\end{equation}
\tag{22}
$$
Функция $x_s(\cdot,\xi_y,\overline\alpha_y)$ согласно лемме 3 является решением уравнения
$$
\begin{equation*}
\dot x=\varphi(t,x,u_s(\overline\alpha_y)(t)), \qquad x(t_0)=\xi_y,
\end{equation*}
\notag
$$
и из определения $u_s(\overline\alpha_y)$ (см. лемму 2) следует, что $u_s(\overline\alpha_y)(t)\,{\in}\,U$ для п.в. $t\in[t_0,t_1]$. Ясно также, что $\xi_y=x_s(t_0,\xi_y,\overline\alpha_y)$.
Далее, из (23) в силу выбора $r$ следует, что
$$
\begin{equation*}
|\xi_y-\widehat x(t_0)|+|\overline\alpha_y|\leqslant\|w_y-\widehat w\|_X\leqslant\gamma r<\delta_0,
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому из (21) получаем, что $\|x_s(\cdot,\xi_y,\overline\alpha_y)-\widehat x(\,\cdot\,)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}<\varepsilon$.
Итак, для каждого $y=(y_1,y_2)\in W_1\times W_2$ существует пара $(x_y(\,\cdot\,),u_y(\,\cdot\,))$, где $x_y(\,\cdot\,)=x_s(\cdot,\xi_y,\overline\alpha_y)$, $u_y(\,\cdot\,)=u_s(\overline\alpha_y)(\,\cdot\,)$, удовлетворяющая (1) и такая, что $x_y(\,\cdot\,)\in W$, $f(x_y(t_0),x_y(t_1))\leqslant y_1$ (в силу (22), где $\nu_y\geqslant0$) и $g(x_y(t_0),x_y(t_1))\,{=}\,y_2$, т.е. система (1), (2) является локально управляемой относительно функции $\widehat x(\,\cdot\,)\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$. Теорема 1 доказана. Заметим, что для нахождения траекторий $x_y(\,\cdot\,)$ можно ограничиться кусочно постоянными управлениями, так как управления $u_y(\,\cdot\,)=u_s(\overline\alpha_y)(\,\cdot\,)$ согласно лемме 2 именно таковы. § 2. Задача оптимального управленияПусть $f_0\colon \mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R$. Свяжем с системами (1), (2) и (3), (4) следующие задачи минимизации: на множестве соответственно всех допустимых пар $(x(\,\cdot\,),u(\,\cdot\,))$ для системы (1), (2) и допустимых пар $(x(\,\cdot\,),\mu_{(\,\cdot\,)})$ для системы (3), (4). Об этих задачах будем говорить как о задачах (24), (1), (2) и (24), (3), (4). Также о последней будем говорить как о выпуклой задаче, соответствующей задаче (24), (1), (2).Относительно функции $f_0$ переменных $\zeta_i\in\mathbb R^n$, $i=1,2$, предполагаем, что она непрерывно дифференцируема. Задача (24), (1), (2) – это стандартная задача оптимального управления, записанная, как говорят, в канонической форме или как задача в форме Майера. Если в исходной задаче минимизируемый функционал и/или граничные условия содержат интегральные функционалы, то введением дополнительных переменных такая задача легко сводится к задаче вида (24), (1), (2). Говорят, что допустимая для системы (1), (2) пара $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat u(\,\cdot\,))$ доставляет сильный минимум (или является оптимальным процессом) в задаче (24), (1), (2), если существует такая окрестность $V\subset C([t_0, t_1], \mathbb R^n)$ функции $\widehat x(\,\cdot\,)$, что для любой допустимой пары $(x(\,\cdot\,),u(\,\cdot\,))$, для которой $x(\,\cdot\,)\in V$, справедливо неравенство $f_0(x(t_0), x(t_1))\geqslant f_0(\widehat x(t_0), \widehat x(t_1))$. Функцию $\widehat x(\,\cdot\,)$ в этом случае будем называть оптимальной траекторией. Мы хотим ввести объект, обобщающий понятие оптимальной траектории. Для этого несколько перефразируем понятие сильного минимума. Рассмотрим множество всех допустимых траекторий для системы (1), (2) как подмножество пространства $C([t_0, t_1], \mathbb R^n)$ с индуцированной из этого пространства метрикой. Это же относится и к замыканию в $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ множества допустимых траекторий. Тогда ясно, что если пара $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat u(\,\cdot\,))$ доставляет сильный минимум в задаче (24), (1), (2), то это равносильно тому, что оптимальная траектория $\widehat x(\,\cdot\,)$ доставляет локальный минимум функционалу $f_0$ на множестве всех допустимых траекторий для системы (1), (2). Следующее определение обобщает понятие оптимальной траектории. Определение 2. Функция $\widehat x(\,\cdot\,)\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ называется локальным инфимумом в задаче (24), (1), (2), если она доставляет локальный минимум функционалу $f_0$ на замыкании в $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ множества допустимых траекторий. Если минимум глобальный, то говорим о глобальном инфимуме. Понятно, что значение $f_0$ на глобальном инфимуме совпадает с точной нижней гранью $f_0$ по всем допустимым траекториям. Легко видеть, что если $\widehat x(\,\cdot\,)$ – оптимальная траектория в задаче (24), (1), (2), то $\widehat x(\,\cdot\,)$ – локальный инфимум в этой задаче. С другой стороны, если функция $\widehat x(\,\cdot\,)$ – локальный инфимум в задаче (24), (1), (2) и допустима, то $\widehat x(\,\cdot\,)$ – оптимальная траектория в данной задаче. Класс задач оптимального управления, где можно гарантировать существование локального инфимума, значительно богаче класса задач, где гарантируется существование оптимальной траектории, поскольку в первом случае не требуется выполнение довольно жесткого условия выпуклости множества
$$
\begin{equation}
\varphi(t,x,U)=\{ \varphi(t,x,u)\in\mathbb R^n\colon u\in U \}
\end{equation}
\tag{25}
$$
для всех $t\in[t_0,t_1]$ и $x\in\mathbb R^n$. Теорему существования сформулируем для следующего частного случая задачи (1)–(3):
$$
\begin{equation}
\dot x=\varphi(t,x,u(t)), \qquad u(t)\in U \quad\text{для п.в. }\ t\in[t_0,t_1],
\end{equation}
\tag{27}
$$
где $x_0\in\mathbb R^n$, $f_0\colon\mathbb R^n\to\mathbb R$ и $g\colon \mathbb R^n\to\mathbb R^m$. Пусть $(\cdot,\cdot)$ обозначает скалярное произведение в $\mathbb R^n$. Теорема 2. Пусть в задаче (26)–(28) множество $U$ ограничено, множество допустимых траекторий для системы (27), (28) не пусто и существует такая константа $K>0$, что для всех $t\in[t_0,t_1]$, $x\in\mathbb R^n$ и $u\in U$. Тогда в задаче (26)–(28) существует глобальный инфимум. Эта теорема доказана в работе авторов [5]. Отметим, что если к условиям этой теоремы добавить еще условия замкнутости $U$ и выпуклости множества (25) для всех $t\in[t_0,t_1]$ и $x\in\mathbb R^n$, то получим согласно теореме А. Ф. Филиппова (см. [6]) условия существования оптимальной траектории, доставляющей глобальный минимум в задаче (26)–(28). Данная теорема доказана в стандартных предположениях, когда один из концов закреплен (что можно несколько ослабить, потребовав, чтобы вектор $x(t_0)$ принадлежал некоторому компакту в $\mathbb R^n$). Вместе с условием роста это обеспечивает ограниченность в $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ множества допустимых траекторий, что принципиально при доказательстве теорем существования. Мы не стали добавлять еще ограничения типа неравенств, поскольку они ничего не меняют. Теперь выведем основное следствие теоремы 1, касающееся необходимых условий локального инфимума в задаче (24), (1), (2). Теорема 3 (необходимые условия локального инфимума). Если функция $\widehat x(\,\cdot\,)$ является локальным инфимумом в задаче (24), (1), (2), то для любого обобщенного управления $\widehat\mu_{(\,\cdot\,)}$, для которого пара $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})$ допустима для выпуклой системы (3), (4), найдутся такие ненулевой набор $(\lambda_0,\lambda_f,\lambda_g)\in \mathbb R_+\times(\mathbb R^{m_1})^*_+\times(\mathbb R^{m_2})^*$ и вектор-функция $p(\,\cdot\,)\in \mathrm{AC}([t_0,t_1],(\mathbb R^n)^*)$, что выполнены: Если множество $U$ компактно, то локальный инфимум в задаче (24), (1), (2) является допустимой траекторией для выпуклой системы (3), (4). Как можно видеть, первая часть сформулированной теоремы представляет собой семейство соотношений в виде принципов максимума, параметризованное соответствующими обобщенными управлениями $\widehat\mu_{(\,\cdot\,)}\in\mathfrak M_{U}$. При этом если $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat u(\,\cdot\,))$ – оптимальный процесс в задаче (24), (1), (2), то это семейство, когда $\widehat\mu_t=\delta_{\widehat u(t)}$, $t\in[t_0,t_1]$ (напомним, $\delta_{\widehat u(t)}$ – мера Дирака в точке $\widehat u(t)$), содержит классический принцип максимума Понтрягина, а также и другие соотношения, которые, вообще говоря, дают дополнительную информацию об оптимальном процессе, и тем самым, как будет видно из примера $3$, сформулированная теорема усиливает принцип максимума Понтрягина. Если локальный инфимум в задаче (24), (1), (2) не является оптимальной траекторией, то теорема 3 дает инструмент для нахождения подозрительных на локальный инфимум функций, который можно использовать аналогично тому, как используется принцип максимума Понтрягина для нахождения траекторий, подозрительных на оптимальность. Из последнего утверждения теоремы следует, что если $U$ компактно, то для локального инфимума в задаче (24), (1), (2) всегда можно выписать необходимые условия в форме семейства принципов максимума 1)–4). Доказательство теоремы 3. Покажем, что если пара $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})$ допустима для выпуклой системы (3), (4), но ни для какого ненулевого набора $(\lambda_0,\lambda_f,\lambda_g)\in \mathbb R_+\times(\mathbb R^{m_1})^*_+\times(\mathbb R^{m_2})^*$ и ни для какой вектор-функции $p(\,\cdot\,)\in \mathrm{AC}([t_0,t_1],(\mathbb R^n)^*)$ соотношения 1)–4) не выполнены, то функция $\widehat x(\,\cdot\,)$ не является локальным инфимумом в задаче (24), (1), (2).
Рассмотрим следующую выпуклую управляемую систему:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \dot x=\bigl\langle \mu_t,\varphi(t,x,u)\bigr\rangle, \quad \mu_{(\,\cdot\,)}\in \mathfrak M_U, \qquad f(x(t_0),x(t_1))\leqslant0, \\ g(x(t_0),x(t_1))=0, \qquad f_0(x(t_0),x(t_1))-f_0(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\leqslant0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{30}
$$
которая отличается от выпуклой системы (3), (4) добавлением ограничения $f_0(x(t_0),x(t_1))-f_0(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\leqslant0$. Ясно, что пара $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})$ допустима для системы (30).
Обозначим через $\Lambda_1(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})$ аналог множества $\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})$ (введенного перед формулировкой теоремы 1) для системы (30). Это, очевидно, множество ненулевых наборов $(\lambda_0,\lambda_f,\lambda_g)\in \mathbb R_+\times(\mathbb R^{m_1})^*_+\times(\mathbb R^{m_2})^*$ и вектор-функций $p(\,\cdot\,)\in \mathrm{AC}([t_0,t_1],(\mathbb R^n)^*)$ таких, что выполнены: условие 1) в формулировке данной теоремы (совпадающее с первым соотношением в (5)); условие 2) (вместо второго и третьего соотношений в (5)); условие 3) (к которому нужно добавить тривиальное равенство $\lambda_00=0$); условие 4), совпадающие с соответствующими соотношениями в (5). Согласно сделанному предположению $\Lambda_1(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})=\varnothing$. Тогда по теореме 1 система (1), (2), к которой добавлено ограничение $f_0(x(t_0),x(t_1))-f_0(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\leqslant0$, локально управляема относительно $\widehat x(\,\cdot\,)$. Пусть $W$ – произвольная окрестность $\widehat x(\,\cdot\,)$ в $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ и $W_1$, $W_2$ – соответствующие ей согласно определению локальной управляемости окрестности нулей в $\mathbb R\times\mathbb R^{m_1}$ и $\mathbb R^{m_2}$. Для достаточно малого $\varepsilon>0$ точка $y=y(\varepsilon)=((-\varepsilon, 0_{\mathbb R^{m_1}}), 0_{\mathbb R^{m_2}})$ принадлежит $W_1\times W_2$. Тогда найдется пара $(x_y(\,\cdot\,),u_y(\,\cdot\,))\in \mathrm{AC}([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r)$, удовлетворяющая (1) и такая, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, x_y(\,\cdot\,)\in W,\qquad f_0(x_y(t_0),x_y(t_1))-f_0(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\leqslant-\varepsilon, \\ f(x_y(t_0),x_y(t_1))\leqslant 0,\qquad g(x_y(t_0),x_y(t_1))=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в любой окрестности функции $\widehat x(\,\cdot\,)$ есть допустимая для системы (1), (2) функция $x_y(\,\cdot\,)$, для которой
$$
\begin{equation*}
f_0(x_y(t_0),x_y(t_1))\leqslant f_0(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1)) -\varepsilon<f_0(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1)).
\end{equation*}
\notag
$$
Это противоречит тому, что $\widehat x(\,\cdot\,)$ – локальный инфимум в задаче (24), (1), (2).
Докажем вторую часть теоремы. Покажем, что локальный инфимум допустим для выпуклой системы (3), (4). Если ограничиться обобщенными управлениями вида $\mu_t=\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i(t)\delta_{u_i(t)}$, $t\in[t_0,t_1]$, где $u_i(\,\cdot\,)\in L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r)$, $u_i(t)\in U$ для п.в. $t\in [t_0, t_1]$, $i=1,\dots,n+1$, и $\alpha_i(\,\cdot\,)$ – измеримые функции такие, что $\alpha_i(t)\geqslant0$ и $\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i(t)=1$ для п.в. $t\in [t_0, t_1]$, то соотношение (3) будет выглядеть так:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot x =\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i(t)\varphi(t,x,u_i(t)), \qquad (u_1(t),\dots,u_{n+1}(t))\in U^{n+1}, \\ (\alpha_1(t),\dots,\alpha_{n+1}(t))\in \Sigma^{n+1} \quad\text{для п.в. }\ t\in[t_0,t_1], \end{gathered}
\end{equation}
\tag{31}
$$
где $\Sigma^{n+1}=\{ \overline\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_{n+1})\in \mathbb R_+^{n+1}\colon \sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i=1 \}$. Покажем, что локальный инфимум допустим для выпуклой системы (31), (4), а тем самым и для системы (3), (4). По определению локального инфимума существует последовательность $x_m(\,\cdot\,)$ допустимых траекторий для системы (1), (2), которая сходится к нему в $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$. Ясно, что эти траектории допустимы и для выпуклой системы (31), (4). Из доказательства теоремы А. Ф. Филиппова (см. [6]) следует, что если множество $Q=U^{n+1}\times\Sigma^{n+1}$ компактно, множество $R(t,x)=\{ \sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i\varphi(t,x,u_i)\in\mathbb R^n\colon (u_1,\dots,u_{n+1},\alpha_1,\dots,\alpha_{n+1})\in Q \}$ выпукло для любых $t\in[t_0,t_1]$ и $x\in\mathbb R^n$, а последовательность производных $\dot x_m(\,\cdot\,)$ ограничена в $L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r)$, то предел последовательности $x_m(\,\cdot\,)$ будет допустимой траекторией для системы (31), (4). Компактность множества $Q$ очевидна. Выпуклость $R(t,x)$ для любых $t\in[t_0,t_1]$ и $x\in\mathbb R^n$ проверяется несложно (см. [5]). Далее, так как функции $x_m(\,\cdot\,)$ допустимы для системы (1), (2), то существуют такие функции $u_m(\,\cdot\,)\in L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r)$, $u_m(t)\in U$ для п.в. $t\in[t_0,t_1]$, что $\dot x_m(t)=\varphi(t,x_m(t), u_m(t))$ для п.в. $t\in[t_0,t_1]$. Поскольку последовательность $x_m(\,\cdot\,)$ сходится, то она ограничена. Тогда, учитывая еще ограниченность $U$ и непрерывность $\varphi$, получаем, что существует константа $M\geqslant0$ такая, что $|\dot x_m(t)|=|\varphi(t,x_m(t), u_m(t))|\,{\leqslant}\, M$ для всех $m$ и п.в. $t\in[t_0,t_1]$, т.е. последовательность $\dot x_m(\,\cdot\,)$ будет ограничена в $L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r)$. Итак, локальный инфимум допустим для системы (3), (4). В следующей теореме устанавливается взаимосвязь между оптимальным процессом в выпуклой задаче и локальным ифимумом в исходной. Теорема 4. Если пара $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat \mu_{(\,\cdot\,)})$ является оптимальным процессом в задаче (24), (3), (4) и $\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat \mu_{(\,\cdot\,)})=\varnothing$, то $\widehat x(\,\cdot\,)$ – локальный инфимум в задаче (24), (1), (2). Доказательство. Так как $\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat \mu_{(\,\cdot\,)})=\varnothing$, то по теореме 1 система (1), (2) локально управляема относительно функции $\widehat x(\,\cdot\,)$. Отсюда, в частности, следует, что в любой окрестности $\widehat x(\,\cdot\,)$ найдется допустимая траектория для системы (1), (2) и, значит, функция $ \widehat x(\,\cdot\,)$ принадлежит замыканию множества допустимых траекторий для этой системы.
По условию существует такая окрестность $V$ функции $\widehat x(\,\cdot\,)$, что на траекториях, допустимых для системы (3), (4) и принадлежащих $V$, значение функционала $f_0$ не меньше, чем на $\widehat x(\,\cdot\,)$. Так как траектории, допустимые для системы (1), (2), допустимы и для системы (3), (4), то это верно и для них, а также (по непрерывности) и для их равномерных пределов, принадлежащих $V$. Таким образом, $\widehat x(\,\cdot\,)$ – локальный инфимум в задаче (24), (1), (2). Теорема доказана. § 3. ПримерыПример 1. Здесь приводится пример системы, локально управляемой относительно функции, не являющейся допустимой траекторией для данной системы. Рассмотрим управляемую систему
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot x_1=u, \quad \dot x_2=1-u^2-x_1, \qquad u(t)\in\{-1,1\} \quad\text{для п.в. }\ t\in[0,1], \\ x_1(0)=x_2(0)=0, \qquad x_1(1)=x_2(1)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{32}
$$
Покажем, что эта система локально управляема относительно функции $\widehat x(\,\cdot\,)=(\widehat x_1(\,\cdot\,),\widehat x_2(\,\cdot\,))=(0,0)$, которая, очевидно, не является допустимой для данной системы. Проверим выполнение условий теоремы 1. Рассмотрим обобщенное управление $\mu_{(\,\cdot\,)}$ такое, что $\widehat\mu_t=(1/2)\delta_{-1}+(1/2)\delta_{1}$ при всех $t\in[0,1]$. Тогда пара $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})$ допустима для соответствующей выпуклой системы, поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \dot{\widehat x}_1(t)&=\bigl\langle\widehat\mu_t,u\bigr\rangle=\frac12\cdot(-1)+\frac12\cdot1, \\ \dot{\widehat x}_2(t)&=\bigl\langle\widehat\mu_t,1-u^2-\widehat x_1(t)\bigr\rangle=1-\frac12\cdot1-\frac12\cdot1-\widehat x_1(t) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $t\in[0,1]$ и $\widehat x(0)=\widehat x(1)=0$. Покажем теперь, что $\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})=\varnothing$. В нашем случае $\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})$ – это множество ненулевых абсолютно непрерывных вектор-функций $p(\,\cdot\,)=(p_1(\,\cdot\,),p_2(\,\cdot\,))$, удовлетворяющих уравнениям и условию максимума
$$
\begin{equation}
\max_{u\in\{-1,1\}}(p_1(t)u-p_2(t)u^2)=\bigl\langle p(t),\dot{\widehat x}(t)\bigr\rangle=0 \quad\text{для п.в. }\ t\in[0,1].
\end{equation}
\tag{34}
$$
Из (33) следует, что $p_2(\,\cdot\,)=p_2$ – константа. Тогда для любого $t$, для которого равенство (34) справедливо, получаем, что либо $p_1(t)=p_2$, либо $p_1(t)=-p_2$. Но функция $p_1(\,\cdot\,)$ непрерывна, поэтому она является константой, и из (33) получаем, что $p_2=0$, а следовательно, и $p_1=0$. Таким образом, $\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})\,{=}\,\varnothing$, и тогда согласно теореме 1 система (32) локально управляема относительно функции $\widehat x(\,\cdot\,)=0$. Пример 2. Рассмотрим следующую задачу вариационного исчисления: Это классический пример Больца, в котором показывается (подбором соответствующей последовательности), что нижняя грань функционала на множестве допустимых функций равна нулю. Но очевидно, что ни на какой допустимой функции эта грань не достигается и тем самым глобального минимума в задаче нет. К решению этой задачи подойдем, используя стандартный подход. А именно, запишем задачу (35) как задачу оптимального управления ($\dot x=u$, $U=\mathbb R$) в канонической форме и докажем, применяя принцип максимума Понтрягина, что в ней нет оптимальной траектории (т.е. нет и локальных минимумов). Затем, применяя теоремы 3 и 4, найдем в этой задаче локальный инфимум, который окажется глобальным и равным нулю. Отсюда, не строя никаких последовательностей, сразу получим, что нижняя грань минимизируемого функционала по всем допустимым функциям равна нулю. Вводя новую переменную, задачу (35) запишем в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, x_2(1)\to\inf, \qquad \dot x_1=u, \quad \dot x_2=x_1^2+(1-u^2)^2, \\ u(t)\in\mathbb R \quad\text{для п.в. }\ t\in[0,1], \qquad x_1(0)=x_1(1)=x_2(0)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{36}
$$
Легко проверить, что если $\widehat x_1(\,\cdot\,)$ – сильный минимум в задаче (35), то пара $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat u(\,\cdot\,))$, где $\widehat x(\,\cdot\,)=(\widehat x_1(\,\cdot\,),\widehat x_2(\,\cdot\,))$ и $\widehat u(\,\cdot\,)=\dot{\widehat x}_1(\,\cdot\,)$, является сильным минимумом в этой задаче. Допустим, что $\widehat x(\,\cdot\,)=(\widehat x_1(\,\cdot\,),\widehat x_2(\,\cdot\,))$ – сильный минимум в задаче (36). Тогда согласно принципу максимума Понтрягина найдутся ненулевая четверка чисел $(\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$, где $\lambda_0\geqslant0$, и абсолютно непрерывная вектор-функция $p(\,\cdot\,)=(p_1(\,\cdot\,),p_2(\,\cdot\,))$, удовлетворяющие соотношениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot p_1(t)=-2p_2(t)\widehat x_1(t), \qquad \dot p_2(t)=0, \\ p_1(0)=\lambda_1, \quad p_1(1)=-\lambda_2, \quad p_2(0)=\lambda_3, \quad p_2(1)=-\lambda_0 \end{gathered}
\end{equation}
\tag{37}
$$
и условию максимума
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\max_{u\in \mathbb R}\bigl(p_1(t)u+p_2(t)(\widehat x_1^2(t)+(1-u^2)^2)\bigr) \\ &\qquad =p_1(t)\widehat u(t)+p_2(t)(\widehat x_1^2(t)+(1-\widehat u^2(t))^2) \quad\text{для п.в. }\ t\in[0,1]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{38}
$$
Покажем, что эти соотношения могут выполняться только при $\lambda_0=\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$. Из (37) следует, что $p_2(\,\cdot\,)=p_2$ – константа. Если $\lambda_0=0$, то $p_2=0$ и, значит, $\lambda_3=0$. Тогда из (38) вытекает, что $p_1(t)=0$ для п.в. $t\in[0,1]$ и тем самым всюду на $[0,1]$. Следовательно, $\lambda_1=\lambda_2=0$. Пусть $\lambda_0>0$. Тогда $p_2<0$. Покажем, что $p_1(t)\widehat u(t)=0$ для п.в. $t\in[0,1]$ и $\widehat x(\,\cdot\,)=0$. Действительно, при $u=1$ и $u=-1$ из (38) следует соответственно, что $p_1(t)\leqslant p_1(t)\widehat u(t)$ и $-p_1(t)\leqslant p_1(t)\widehat u(t)$ для п.в. $t\in[0,1]$ и тем самым $p_1(t)\widehat u(t)\geqslant0$ для таких $t$. Теперь, используя первое уравнение в (36), начальные условия и первое уравнение в (37), будем иметь, интегрируя по частям,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&\leqslant\int_0^1p_1(t)\widehat u_1(t) \,dt =\int_0^1p_1(t)\dot{\widehat x}_1(t)\,dt \\ &=-\int_0^1\dot p_1(t)\widehat x_1(t)\,dt =2p_2\int_0^1\widehat x_1^2(t)\,dt\leqslant0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем, что $p_1(t)\widehat u(t)=0$ для п.в. $t\in[0,1]$ и $\widehat x_1(\,\cdot\,)=0$. Так как $\widehat x_1(\,\cdot\,)=0$, то из первого уравнения в (37) следует, что $p_1(\,\cdot\,)=p_1$ – константа. Если $p_1=0$, то из (38) вытекает, что $\widehat u(t)=-1$ либо $\widehat u(t)=1$ для п.в. $t\in [0,1]$. Но поскольку $\widehat x_1(\,\cdot\,)=0$, то это противоречит первому уравнению в (36). Если же $p_1\ne0$, то, полагая $u=\operatorname{sign}p_1$, получаем из (38), что $|p_1|\leqslant p_2<0$. Итак, случай $\lambda_0>0$ невозможен и тем самым соотношения (37) и (38) выполняются только при $\lambda_0=\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$, т.е. в задаче (36) нет оптимальной траектории. Воспользуемся теперь теоремой 3 для нахождения функции, подозрительной на локальный инфимум в задаче (36). Согласно этой теореме, если $\widehat x(\,\cdot\,)=(\widehat x_1(\,\cdot\,),\widehat x_2(\,\cdot\,))$ – локальный инфимум, то для любого обобщенного управления $\widehat\mu_{(\,\cdot\,)}$, для которого пара $(\widehat x(\,\cdot\,), \widehat\mu_{(\,\cdot\,)})$ допустима для соответствующей выпуклой системы, т.е.
$$
\begin{equation}
\dot{\widehat x}_1(t)=\bigl\langle\widehat\mu_t, u\bigr\rangle, \qquad\dot{\widehat x}_2(t)=\bigl\langle\widehat\mu_t, \widehat x^2_1(t)+(1-u^2)^2\bigr\rangle
\end{equation}
\tag{39}
$$
и $\widehat x_1(0)=\widehat x_1(1)=\widehat x_2(0)=0$, найдутся ненулевая четверка чисел $(\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$, где $\lambda_0\geqslant0$, и абсолютно непрерывная вектор-функция $p(\,\cdot\,)=(p_1(\,\cdot\,),p_2(\,\cdot\,))$, удовлетворяющие соотношениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot p_1(t)=-2p_2(t)\widehat x_1(t), \qquad \dot p_2(t)=0, \\ p_1(0)=\lambda_1, \quad p_1(1)=-\lambda_2, \quad p_2(0)=\lambda_3, \quad p_2(1)=-\lambda_0 \end{gathered}
\end{equation}
\tag{40}
$$
и для п.в. $t\in[0,1]$ – условию максимума
$$
\begin{equation}
\sup_{u\in \mathbb R}(p_1(t)u+p_2(t)(\widehat x_1^2(t)+(1-u^2)^2)=\bigl\langle p(t), \dot{\widehat x}(t)\bigr\rangle.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Как видно, соотношения (40) совпадают с соотношениями (37) и не зависят от $\widehat\mu_{(\,\cdot\,)}$. В этом случае задача состоит в том, чтобы найти функции $\widehat x_1(\,\cdot\,)$ и $\widehat x_2(\,\cdot\,)$ и хотя бы одно обобщенное управление $\widehat\mu_{(\,\cdot\,)}$ такие, что выполнены соотношения (39) и найдутся ненулевая четверка чисел $(\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$, где $\lambda_0\,{\geqslant}\,0$, и абсолютно непрерывная вектор-функция $p(\,\cdot\,)=(p_1(\,\cdot\,),p_2(\,\cdot\,))$, удовлетворяющие соотношениям (40) и (41). Из соотношений (40) и (41), фактически повторяя предыдущие рассуждения, получаем, что случай $\lambda_0=0$ невозможен (иначе все множители Лагранжа нулевые), а если $\lambda_0>0$, то $\widehat x_1(\,\cdot\,)=0$ и функция $p_2(\,\cdot\,)$ – константа, меньшая нуля. Далее, так как $\widehat x_1(\,\cdot\,)=0$, то из второго соотношения в (39) следует, что $\dot{\widehat x}_2(t)\geqslant0$ для п.в. $t\in[0,1]$. Полагая $u=\operatorname{sign}p_1$, получаем из (41), что $0\leqslant |p_1|\leqslant p_2\dot{\widehat x}_2(t)$ для п.в. $t\in[0,1]$ и, значит, $\dot{\widehat x}_2(t)\leqslant0$ для таких $t$. Таким образом, $\dot{\widehat x}_2(t)=0$ для п.в. $t\in[0,1]$, и так как $\widehat x_2(0)=0$, то $\widehat x_2(\,\cdot\,)=0$. Итак, для любой допустимой для выпуклой системы пары $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})$ есть только одна функция $\widehat x(\,\cdot\,)=(\widehat x_1(\,\cdot\,),\widehat x_2(\,\cdot\,))=(0,0)$, которая подозрительна на локальный инфимум в задаче (36) и которая, очевидно, не является допустимой в этой задаче. Покажем, что эта функция доставляет глобальный инфимум в задаче (36). Воспользуемся для этого теоремой 4. Рассмотрим обобщенное управление $\mu_{(\,\cdot\,)}$, где $\widehat\mu_t=(1/2)\delta_{-1}+(1/2)\delta_{1}$ для всех $t\in [0,1]$. Тогда пара $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})$ допустима для выпуклой системы, что сразу видно из (39). Далее, для любой допустимой для выпуклой системы пары $(x(\,\cdot\,),\mu_{(\,\cdot\,)})$, где $x(\,\cdot\,)=(x_1(\,\cdot\,),x_2(\,\cdot\,))$, очевидно,
$$
\begin{equation*}
x_2(1)=\int_0^1\bigl\langle\mu_t, x_1^2(t)+(1-u^2)^2)\bigr\rangle\,dt\geqslant0=\widehat x_2(1)
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, пара $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})$ – глобальный минимум в выпуклой задаче. Покажем теперь, что $\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})=\varnothing$. В данном случае $\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})$ – это множество ненулевых числовых троек $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ и абсолютно непрерывных вектор-функций $p(\,\cdot\,)=(p_1(\,\cdot\,),p_2(\,\cdot\,))$, удовлетворяющих соотношениям
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \dot p_1(t)=0, \qquad \dot p_2(t)=0, \\ p_1(0)=\lambda_1, \quad p_1(1)=-\lambda_2, \quad p_2(0)=\lambda_3, \quad p_2(1)=0 \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и условию максимума
$$
\begin{equation*}
\sup_{u\in\mathbb R}(p_1(t)u+p_2(t)(1-u^2)^2)=\bigl\langle p(t),\dot{\widehat x}(t)\bigr\rangle=0 \quad\text{для п.в. }\ t\in[0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что функции $p_1(\,\cdot\,)$ и $p_2(\,\cdot\,)$ суть константы, причем $p_2=0$ (а значит, $\lambda_3=0$). Тогда из условия максимума вытекает, что и $p_1=0$. Следовательно, $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$ и тем самым $\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})=\varnothing$. Согласно теореме 4 функция $\widehat x(\,\cdot\,)=0$ доставляет глобальный инфимум в задаче (36). Пример 3. В этом примере показывается, что теорема 3 дает возможность получить больше информации об оптимальном процессе по сравнению с тем, что дает принцип максимума Понтрягина (и, в частности, для сильного минимума в простейшей задаче вариационного исчисления). Пусть $g\colon \mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R$ и $U\subset \mathbb R$. Рассмотрим задачу
$$
\begin{equation}
\int_{0}^{1}g(x,u)\,dt\to\inf, \qquad \dot x=u, \quad x(0)=x(1)=0, \quad u(t)\in U.
\end{equation}
\tag{42}
$$
Предположим, что функция $g$ непрерывна вместе со своей производной по $x$, $g_x(0,0)=0$, $g(0,u)=0$ для любого $u\in U$ и $0\in\operatorname{int}U$. Запишем эту задачу в канонической форме:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, x_2(1)-x_2(0)\to\inf, \qquad \dot x_1=u, \quad\dot x_2=g(x_1,u), \quad x(0)=x(1)=0, \\ u(t)\in U \quad\text{для п.в. }\ t\in[0,1]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{43}
$$
Покажем, что точка $\widehat x(\,\cdot\,)=(\widehat x_1(\,\cdot\,),\widehat x_2(\,\cdot\,))=(0,0)$, $\widehat u(\,\cdot\,)=0$ удовлетворяет принципу максимума для этой задачи и тем самым подозрительна на сильный минимум. Действительно, согласно принципу максимума должны выполняться следующие условия:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \dot p_1(t)=-p_2(t)g_{x_1}(0,0)=0, \quad \dot p_2(t)=0,\qquad p_2(0)=p_2(1)=-\lambda_0, \\ \max_{u\in U}(p_1(t)u+p_2(t)g(0,u))=\max_{u\in U}p_1(t)u=0 \quad\text{для п.в. }\ t\in[0,1]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $0\,{\in}\operatorname{int}U$, то отсюда следует, что $p_1(\,\cdot\,)\,{=}\,0$. Взяв любое $\lambda_0\,{>}\,0$ и полагая $p_2(\,\cdot\,)=-\lambda_0$, получаем, что указанная точка удовлетворяет принципу максимума и, значит, подозрительна на сильный минимум. Покажем, что если эта точка действительно доставляет сильный минимум, то должны выполняться некоторые дополнительные условия, а именно справедливо следующее Предложение 2. Если точка $\widehat x(\,\cdot\,)=(\widehat x_1(\,\cdot\,),\widehat x_2(\,\cdot\,))=(0,0)$, $\widehat u(\,\cdot\,)=0$ доставляет сильный минимум в задаче (35), то на некотором отрезке с центром в нуле функция $u\mapsto g_x(0,u)$ линейна. Доказательство. Применим теорему 3 в точке $\widehat x(\,\cdot\,)=(0,0)$. Согласно этой теореме для любого обобщенного управления $\widehat\mu_{(\,\cdot\,)}$, для которого пара $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})$ допустима для выпуклой системы, т.е.
$$
\begin{equation}
0=\bigl\langle\widehat\mu_t,u\bigr\rangle, \qquad 0=\bigl\langle\widehat\mu_t,g(0,u)\bigr\rangle,
\end{equation}
\tag{44}
$$
найдутся число $\lambda_0\geqslant0$ и вектор-функция $p(\,\cdot\,)=(p_1(\,\cdot\,),p_2(\,\cdot\,))$, удовлетворяющие соотношениям и условию максимума для п.в. $t\in[0,1]$.
Из (46), как и раньше, следует, что $p_1(\,\cdot\,)=0$. Тогда функция $p_2(\,\cdot\,)$, которая есть константа вследствие (45), не равна нулю (иначе все множители Лагранжа были бы нулевые), и мы получаем из первого уравнения в (45), что
$$
\begin{equation}
0=\bigl\langle\widehat\mu_t, g_{x_1}(0,u)\bigr\rangle
\end{equation}
\tag{47}
$$
для любого обобщенного управления $\widehat\mu_{(\,\cdot\,)}$, для которого пара $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})$ допустима для выпуклой системы (44).
Легко видеть, что для любых точек $u_1$ и $u_2$ разных знаков из $U$ и $\alpha\in(0,1)$ таких, что $(1-\alpha)u_1+\alpha u_2=0$ (тем самым $\alpha=u_1/(u_1-u_2)$), обобщенное управление $\mu_{(\,\cdot\,)}$, где $\widehat\mu_t=(1-\alpha)\delta_{u_1}+\alpha\delta_{u_2}$, $t\in[0,1]$, удовлетворяет первому соотношению в (44), так как $\bigl\langle\widehat\mu_t,u\bigr\rangle=(1-\alpha)u_1+\alpha u_2=0$ (второе соотношение выполняется тривиальным образом). Соотношение (47) в этом случае примет вид Подставляя сюда $\alpha=u_1/(u_1-u_2)$ и заменяя $x_1$ на $x$, приходим к равенству которое выполняется согласно сказанному выше для любых точек $u_1$ и $u_2$ разных знаков из $U$.Пусть $\varepsilon>0$ таково, что $[-\varepsilon,\varepsilon]\subset U$. Тогда для любых $u_1\in[-\varepsilon, 0)$ и $u_2\in(0,\varepsilon]$ равенство (48) справедливо. Подставляя в него $u_1=-\varepsilon$ и $u_2=\varepsilon$, получим, что Пусть $u\in[-\varepsilon,\varepsilon]$. Если $u<0$, то из (48) при $u_1=u$ и $u_2=\varepsilon$ имеем Если $u>0$, то снова из (48) при $u_2=u$ и $u_1=-\varepsilon$, учитывая (49), получаем
$$
\begin{equation*}
g_x(0,u)=-\frac{g_{x}(0,-\varepsilon)}{\varepsilon} u=\frac{g_{x}(0,\varepsilon)}{\varepsilon} u.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $u=0$, то по условию $g_x(0,0)=0$ и тем самым для любого $u\in[-\varepsilon,\varepsilon]$.Предложение 2 доказано. Отметим, что задачу (42), считая, что $U=\mathbb R$, можно рассматривать как простейшую задачу вариационного исчисления
$$
\begin{equation*}
\int_0^1L(t,x,\dot x)\,dt\to\min, \qquad x(0)=x(1)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $L(t,x,\dot x)=g(x,\dot x)$, предполагая дополнительно, что функция $g$ дифференцируема по $\dot x$. Пусть $\widehat x$ – сильный минимум в этой задаче; тогда пара $(\widehat x_1,\widehat x_2)$, где $\widehat x_1=\widehat x$, – оптимальная траектория в задаче (43). Если выполнены предположения теоремы 3 для некоторой пары $(\widehat x,\widehat\mu)$, то, находя функцию $p_1$ из равенства нулю производной по $u$ функции под знаком верхней грани в (46) и подставляя ее в (45), получим уравнение
$$
\begin{equation*}
-\frac{d}{dt}L_{\dot x}(t,\widehat x(t),\dot{\widehat x}(t))+\bigl\langle\widehat\mu_t,L_x(t,\widehat x(t),u)\bigr\rangle=0,
\end{equation*}
\notag
$$
которое можно рассматривать как обобщенное уравнение Эйлера. Если $\widehat x=0$, то из этого уравнения следует равенство (48) для всех $u_1<0$ и $u_2>0$, а тогда, как и выше, получаем, что функция $\dot x\mapsto g_x(0,\dot x)$ линейна на $\mathbb R$. Таким образом, теорема 3 является, в частности, усилением уравнения Эйлера для простейшей задачи вариационного исчисления (см. также [4]). Отметим, что в рассматриваемом примере 3 можно было бы воспользоваться теоремой $2$ из работы авторов [5]. Следует также сказать, что на сегодняшний день авторы не располагают примером, показывающим, что теорема 3 дает больше информации по сравнению с теоремой 2 из [5]. Пример 4. Этот пример показывает, что условие $\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})=\varnothing$ в теореме 4 существенно. Рассмотрим задачу
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, x_1(1)\to\inf, \qquad \dot x_1=1+u,\quad \dot x_2=(x_1-t)^2\biggl(u-\frac 12\biggr)^2, \\ x_1(0)=x_2(0)=x_2(1)=0, \\ \frac12\leqslant |u(t)|\leqslant1 \quad\text{для п.в. }\ t\in[0,1]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{50}
$$
Пусть пара $(x(\,\cdot\,),u(\,\cdot\,))$, где $x(\,\cdot\,)=(x_1(\,\cdot\,),x_2(\,\cdot\,))$, допустима для данной задачи. Поскольку
$$
\begin{equation*}
x_2(1)=\int_0^{1}(x_1(t)-t)^2\biggl(u(t)-\frac12\biggr)^2\,dt=0,
\end{equation*}
\notag
$$
то $u(t)=1/2$ для п.в. $t\in[0,1]$ (равенство $x_1(t)=t$, $t\in[0,1]$, очевидно, невозможно), а тогда $x_1(t)=3t/2$, $x_2(t)=0$, $t\in[0,1]$. Таким образом, функция $(3t/2,0)$, $t\in[0,1]$, – единственная допустимая траектория. Покажем, что пара $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat \mu_{(\,\cdot\,)})$, где $\widehat x(\,\cdot\,)=(\widehat x_1(\,\cdot\,),\widehat x_2(\,\cdot\,))$, $\widehat x_1(t)=t$, $\widehat x_2(t)=0$ и $\widehat\mu_{(\,\cdot\,)}$ таково, что $\widehat\mu_t=\delta_{-1}/2+\delta_{1}/2$, $t\in[0,1]$, доставляет глобальный минимум в соответствующей выпуклой задаче. Действительно, пусть $(x(\,\cdot\,),\mu_{(\,\cdot\,)})$ – произвольная допустимая пара для выпуклой системы. Тогда она удовлетворяет уравнениям
$$
\begin{equation}
\dot x_1(t)=\bigl\langle\mu_t, 1+u\bigr\rangle, \qquad \dot x_2(t)=\biggl\langle\mu_t,(x_1(t)-t)^2\biggl(u-\frac12\biggr)^2\biggr\rangle
\end{equation}
\tag{51}
$$
и граничным условиям $x_1(0)=x_2(0)=x_2(1)=0$. Пусть $A_1=\{ t\in[0,1]\colon \bigl\langle\mu_t,(u-1/2)^2\bigr\rangle\ne0 \}$, а $A_2$ – дополнение к этому множеству (одно из подмножеств может быть пусто). Понятно, что $\operatorname{mes}A_1+\operatorname{mes}A_2=1$. Если $\operatorname{mes}A_1>0$, то в силу граничных условий из второго уравнения в (51) следует, что $x_1(t)=t$ для всех $t\in A_1$ и, значит, $\dot x_1(t)=1$ для п.в. $t\in A_1$. Если $\operatorname{mes}A_2>0$, то $\mu_t=\delta_{1/2}$ для всех $t\in A_2$, а тогда из первого уравнения в (51) вытекает, что $\dot x_1(t)=3/2$ для п.в. $t\in A_2$. Так как $x_1(0)=0$, то, считая интеграл по пустому множеству равным нулю, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x_1(1) &=\int_0^{1}\dot x_1(t)\,dt=\int_{A_1}1\,dt+\int_{A_2}\frac32\,dt \\ &=\operatorname{mes}A_1+\frac32\operatorname{mes}A_2 \geqslant\operatorname{mes}A_1+\operatorname{mes}A_2=1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $x_1(1)\geqslant1=\widehat x_1(1)$ и, значит, на паре $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})$, которая, очевидно, допустима для выпуклой системы, достигается глобальный минимум в выпуклой задаче. Но $\widehat x(\,\cdot\,)$ не является локальным инфимумом в задаче (50), поскольку в этой задаче $x(t)=(3t/2,0)$, $t\in[0,1]$, – единственная допустимая траектория, на которой $x_1(1)=3/2$. Это следствие того, что нарушено условие теоремы 4, заключающееся в том, что $\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})=\varnothing$. Действительно, в данном случае $\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})$ – это множество ненулевых числовых троек $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ и абсолютно непрерывных вектор-функций $p(\,\cdot\,)=(p_1(\,\cdot\,),p_2(\,\cdot\,))$, удовлетворяющих соотношениям и условию максимума Таким образом, функции $p_1(\,\cdot\,)$ и $p_2(\,\cdot\,)$ суть константы, причем $p_1=0$. Тогда условие максимума выполняется тривиальным образом. Полагая, например, $\lambda_2=-\lambda_3=1$, получаем, что ненулевая пара $((0,1,-1), (0,1))$ принадлежит $\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat\mu_{(\,\cdot\,)})$ и тем самым это множество непусто.§ 4. ПриложениеЗдесь приведены четыре леммы: лемма об уравнении в вариациях, две леммы об аппроксимации и лемма об обратной функции. Даны доказательства первых трех лемм. Лемма об обратной функции – частный случай более общего результата, доказанного в работе авторов [5]. В леммах ниже для сокращения записи часто вместо $x(\,\cdot\,)$, $\delta x(\,\cdot\,)$, $u(\,\cdot\,)$, $\mu_{(\,\cdot\,)}$ и т.д. пишем $x$, $\delta x$, $u$, $\mu$ и т.д. Напомним, что если $Z$ – нормированное пространство, то $U_{Z}(z,\rho)$ обозначает открытый шар в $Z$ с центром в точке $z$ радиуса $\rho>0$. Лемма 1 (лемма об уравнении в вариациях). Пусть $\widehat \mu\in\mathfrak M_U$, $k\in \mathbb N$, $\delta\mu^i\in\mathfrak M_U-\widehat\mu$, $i=1,\dots,k$, и $\widehat x$ – решение дифференциального уравнения на отрезке $[t_0, t_1]$. Тогда найдутся окрестности $\mathscr O(\widehat x(t_0))$ и $\mathscr O(0_{\mathbb R^k})$ такие, что для всех $\xi\in\mathscr O(\widehat x(t_0))$ и $\overline\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_k)^{\top}\in \mathscr O(0_{\mathbb R^k})$ существует единственное решение $x(\cdot,\xi,\overline\alpha) =x(\cdot,\xi,\overline\alpha;\widehat\mu,\delta\mu^1,\dots,\delta\mu^k)$ задачи Коши определенное на $[t_0, t_1]$, и отображение $(\xi,\overline\alpha)\mapsto x(\cdot,\xi,\overline\alpha)$ как отображение в $C([t_0, t_1], \mathbb R^n)$ непрерывно дифференцируемо. Если $\widehat x'$ – производная этого отображения в точке $(\widehat x(t_0),0_{\mathbb R^k})$, то для любых $\xi\in\mathbb R^n$ и $\overline\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_k)^{\top}\in\mathbb R^k$ функция $\delta x=\widehat x'[\xi,\overline\alpha]$ есть решение уравнения в вариациях Доказательство. Воспользуемся классической теоремой о неявной функции (см., например, [7], [8]). Рассмотрим отображение $F\colon C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times\mathbb R^k\to C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, определенное для всех $t\in[t_0,t_1]$ формулой где $\overline\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_k)^{\top}$, и покажем, что оно удовлетворяет всем условиям теоремы о неявной функции.
Так как $\widehat x$ – решение уравнения (52), то $F(\widehat x,\widehat x(t_0),0_{\mathbb R^k})(\,\cdot\,)=0$. Покажем, что отображение $F$ непрерывно дифференцируемо на $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times\mathbb R^k$. Сначала докажем, что $F_x$ (частная производная $F$ по $x$) в любой точке $(x,\xi,\overline\alpha)\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times\mathbb R^k$ существует и действует по правилу
$$
\begin{equation}
F_{x}(x,\xi,\overline\alpha)[\delta x](t)=\delta x(t)-\int_{t_0}^t\biggl\langle \widehat\mu_\tau+\sum_{i=1}^k\alpha_i\delta\mu^i_\tau, \varphi_x(\tau,x(\tau),u)\delta x(\tau)\biggr\rangle\,d\tau
\end{equation}
\tag{55}
$$
для всех $\delta x\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ и $t\in[t_0,t_1]$.
Проверим сначала, что оператор справа непрерывен (линейность его очевидна). Обозначим через $\mathscr K$ компакт в $\mathbb R^r$, являющийся объединением компактов, в которых сосредоточены меры из семейств $\widehat\mu$ и $\mu^i$, где $\mu^i=\delta\mu^i+\widehat\mu$, $i=1,\dots,k$, для п.в. $t\in[t_0,t_1]$. Ясно, что для любого $\overline\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_k)^{\top}$ и п.в. $t\in[t_0,t_1]$ меры из семейства $\mu(\overline\alpha)=\widehat\mu+\sum_{i=1}^k\alpha_i\delta\mu^i$ также сосредоточены для п.в. на $\mathscr K$ и для таких $t$ справедливо неравенство $\|\mu_t(\overline\alpha)\|\leqslant 1+2\sum_{i=1}^k|\alpha_i|$. Полагая $C(x)=\max\{ \|\varphi_x(t,x(t),u)\|\colon t\in[t_0,t_1],\,u\in \mathscr K \}$, будем иметь для любого $t\in[t_0,t_1]$
$$
\begin{equation}
\biggl|\int_{t_0}^t\bigl\langle \mu_\tau(\overline\alpha), \varphi_x(\tau,x(\tau),u)\delta x(\tau)\bigr\rangle\,d\tau\biggr|\leqslant\int_{t_0}^{t_1}|\bigl\langle \mu_\tau(\overline\alpha), \varphi_x(\tau,x(\tau),u)\delta x(\tau)\bigr\rangle|\,d\tau.
\end{equation}
\tag{56}
$$
Далее, для п.в. $t\in[t_0,t_1]$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|\bigl\langle \mu_t(\overline\alpha), \varphi_x(t,x(t),u)\delta x(t)\bigr\rangle| \leqslant\int_{\mathscr K}\|\varphi_x(t, x(t),u)\||\delta x(t)|\,d|\mu_t(\overline\alpha)|(u) \\ &\qquad \leqslant C(x)\|\delta x\|_{C([t_1,t_2],\mathbb R^n)}\|\mu_t(\overline\alpha)\|\leqslant C(x)\|\delta x\|_{C([t_1,t_2], \mathbb R^n)}\biggl(1+2\sum_{i=1}^k|\alpha_i|\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, правая часть (56) не превосходит
$$
\begin{equation*}
C(x)(t_1-t_0)\biggl(1+2\sum_{i=1}^k|\alpha_i|\biggr)\|\delta x\|_{C([t_1,t_2], \mathbb R^n)},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. оператор справа в (55) непрерывен. Докажем теперь справедливость самого равенства (55). Для любого $\delta x\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ и любого $t\in[t_0,t_1]$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl|F(x+\delta x,\xi,\overline\alpha)(t)-F(x,\xi, \overline\alpha)(t)-\delta x(t)+\int_{t_0}^t\bigl\langle\mu_\tau(\overline\alpha), \varphi_x(\tau,x(\tau),u)\delta x(\tau)\bigr\rangle\, d\tau\biggr| \\ \notag &\ =\biggl|\int_{t_0}^t\bigl\langle \mu_\tau(\overline\alpha),\varphi(\tau, x(\tau)+\delta x(\tau),u) -\varphi(\tau, x(\tau),u)-\varphi_x(\tau, x(\tau),u)\delta x(\tau)\bigr\rangle\,d\tau\biggr| \\ &\ \leqslant\int_{t_0}^{t_1}|\bigl\langle \mu_t(\overline\alpha),\varphi(t, x(t)+\delta x(t),u)-\varphi(t, x(t),u)-\varphi_x(t, x(t),u)\delta x(t)\bigr\rangle|\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{57}
$$
Выражение под интегралом в правой части не превосходит
$$
\begin{equation}
\int_{\mathscr K}\bigl|\varphi(t, x(t)+\delta x(t),u)-\varphi(t, x(t),u) -\varphi_x(t, x(t),u)\delta x(t)\bigr| \,d|\mu_t(\overline\alpha)|(u).
\end{equation}
\tag{58}
$$
Положим $K=\{ (t,x)\in\mathbb R\times\mathbb R^n\colon |x-x(t)|\leqslant\delta_0 \}\times \mathscr K$, где $\delta_0>0$, и пусть $\varepsilon>0$. На компакте $K$ отображение $\varphi_x$ равномерно непрерывно, и поэтому существует такое $0<\delta\leqslant\delta_0$, что $\|\varphi_x(t,x_1,u)-\varphi_x(t,x_2,u)\|<\varepsilon$ для любых $(t,x_i,u)\in K$, $i=1,2$, таких, что $|x_1-x_2|<\delta$. Пусть $\|\delta x\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}<\delta$. Фиксируем $t\in[t_0,t_1]$ и $u\in\mathscr K$. Отображение $x\mapsto \varphi(t,x,u)$ имеет непрерывную производную в точке $x(t)$. Применяя теорему о среднем к отображению $x\mapsto \varphi(t,x,u)-\varphi_x(t,x(t),u)x$ на отрезке $[x(t), x(t)+\delta(t)]$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|\varphi(t, x(t)+\delta x(t),u)-\varphi(t, x(t),u)-\varphi_x(t, x(t),u) \delta x(t)| \\ &\qquad \leqslant\sup_{z\in[ x(t), x(t)+\delta x(t)]}\|\varphi_x(t,z,u)-\varphi_x(t, x(t),u)\||\delta x(t)|<\varepsilon|\delta x(t)| \\ &\qquad \leqslant\varepsilon\|\delta x\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, интеграл (58) не превосходит
$$
\begin{equation*}
\varepsilon\|\delta x\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}\|\mu_t(\overline\alpha)\| \leqslant\varepsilon\|\delta x\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}\biggl(1+2\sum_{i=1}^k|\alpha_i|\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда выражение в правой части (57) не превосходит
$$
\begin{equation*}
\varepsilon(t_1-t_0)\biggl(1+2\sum_{i=1}^k|\alpha_i|\biggr)\|\delta x\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)},
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, производная $F_x$ в любой точке $(x,\xi, \overline\alpha)\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times \mathbb R^k$ выражается формулой (55).
Теперь покажем, что эта производная всюду непрерывна. Фиксируем точку $(x',\xi',\overline\alpha')\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times\mathbb R^k$. Тогда для любой точки $(x,\xi,\overline\alpha)\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times\mathbb R^k$, любого $\delta x\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ и любого $t\in[t_0,t_1]$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & |F_{x}(x,\xi,\overline\alpha)[\delta x](t)-F_{x}(x',\xi',\overline\alpha')[\delta x](t)| \\ \notag &\qquad=\biggl|-\int_{t_0}^t\bigl\langle \mu_\tau(\overline\alpha)- \mu_\tau(\overline\alpha'), \varphi_x(\tau, x(\tau),u)\delta x(\tau)\bigr\rangle\,d\tau \\ \notag &\qquad\qquad +\int_{t_0}^{t}\bigl\langle \mu_\tau(\overline\alpha'), (\varphi_x(\tau, x'(\tau),u)-\varphi_x(\tau, x(\tau),u))\delta x(\tau)\bigr\rangle\,d\tau\biggr| \\ \notag &\qquad \leqslant\int_{t_0}^{t_1}|\bigl\langle \mu_t(\overline\alpha)- \mu_t(\overline\alpha'), \varphi_x(t, x(t),u)\delta x(t)\bigr\rangle|\,dt \\ &\qquad\qquad + \int_{t_0}^{t_1}|\bigl\langle \mu_t(\overline\alpha'), (\varphi_x(t, x'(t),u)-\varphi_x(t, x(t),u))\delta x(t)\bigr\rangle|\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{59}
$$
Пусть $\delta_1\,{>}\,0$, $K_1=\{ (t,x)\in \mathbb R\times\mathbb R^n\colon |x-x'(t)|\leqslant\delta_1,\,t\in[t_0,t_1] \}\times \mathscr K$, $C_1=\max\{ \|\varphi_x(t,x,u)\|\colon (t,x,u)\in K_1 \}$ и $\varepsilon>0$. На компакте $K_1$ отображение $\varphi_x$ равномерно непрерывно, и поэтому найдется такое $0<\delta_2\leqslant\delta_1$, что $\|\varphi_x(t,x_1,u)-\varphi_x(t,x_2,u)\|<\varepsilon$, если $(t,x_i,u)\in K_1$, $i=1,2$, и $|x_1-x_2|<\delta_2$. Пусть $x\in U_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}(x',\delta_2)$, $\xi\in \mathbb R^n$ и $\overline\alpha\in U_{\mathbb R^k}(\overline\alpha',\varepsilon)$. Тогда, учитывая оценку
$$
\begin{equation*}
\|\mu_t(\overline\alpha)-\mu_t(\overline\alpha')\| =\biggl\|\sum_{i=1}^k(\alpha_i-\alpha'_i)\delta\mu_t^i\biggr\| \leqslant2\sum_{i=1}^k|\alpha_i-\alpha'_i|\leqslant2k|\alpha-\overline\alpha|<2k\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
получим, что выражение под знаком первого интеграла справа в (59) не превосходит величины
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathscr K}\|\varphi_x(t,x(t),u)\|\,|\delta x(t)|\,d|\mu_t(\overline\alpha)- \mu_t(\overline\alpha')|(u) \\ &\qquad \leqslant C_1\|\delta x\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}\|\mu_t(\overline\alpha)-\mu_t(\overline\alpha')\| <C_1\|\delta x\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}2k\varepsilon \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, сам интеграл не превосходит $\varepsilon 2k C_1(t_1-t_0) \|\delta x\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}$.
Выражение под знаком второго интеграла справа в (59) не превосходит величины
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \int_{\mathscr K}\|\varphi_x(t, x'(t),u)-\varphi_x(t,x(t),u)\|\,|\delta x(t)|\,d| \mu_t(\overline\alpha')|(u) \\ &\qquad \leqslant\varepsilon\|\delta x\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}\|\mu_t(\overline\alpha')\|\leqslant\varepsilon\|\delta x\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}\biggl(1+2\sum_{i=1}^k|\alpha'_i|\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, таким образом, сам интеграл не превосходит
$$
\begin{equation*}
\varepsilon(t_1-t_0)\biggl(1+2\sum_{i=1}^k|\alpha'_i|\biggr)\|\delta x\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этих оценок следует, что производная $F_x$ непрерывна в точке $(x',\xi',\overline\alpha')$ и тем самым всюду на $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times\mathbb R^k$. Производная отображения $F$ по $(\xi,\overline\alpha)$ в каждой точке $(x',\xi',\overline\alpha')$ действует по правилу
$$
\begin{equation}
F_{(\xi,\overline\alpha)}(x', \xi',\overline\alpha')[\xi,\overline\alpha](t)=-\xi-\sum_{i=1}^k\alpha_i\int_{t_0}^t\bigl\langle \delta\mu^i_\tau, \varphi(\tau,x(\tau),u)\bigr\rangle\,d\tau
\end{equation}
\tag{60}
$$
для всех $\xi\in\mathbb R^n$, $\overline\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_k)^{\top}\in \mathbb R^k$ и $t\in[t_0,t_1]$.
Непрерывность выражения справа в (60), само равенство (60) и непрерывность производной $F_{(\xi,\overline\alpha)}$ на $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\,{\times}\,\mathbb R^n\,{\times}\,\mathbb R^k$ проверяются аналогично (но проще в силу линейности по $(\xi,\overline\alpha)$) тому, как это сделано для производной $F_x$. Итак, частные производные по $x$ и $(\xi,\overline\alpha)$ отображения $F$ непрерывны на $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times\mathbb R^k$. Следовательно, по теореме о полном дифференциале отображение $F$ непрерывно дифференцируемо на $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times\mathbb R^k$. Осталось проверить обратимость производной $F_x$ в точке $(\widehat x,\widehat x(t_0),0_{\mathbb R^k})$, но это совершенно стандартные рассуждения (см., например, [8]), и поэтому мы их опускаем. Все условия классической теоремы о неявной функции выполнены, согласно ей найдутся окрестности $\mathscr O(\widehat x)$, $\mathscr O(\widehat x(t_0))$ и $\mathscr O(0_{\mathbb R^k})$ и непрерывно дифференцируемое отображение $(\xi,\overline\alpha)\mapsto x(\cdot,\xi,\overline\alpha)=x(\cdot,\xi,\overline\alpha;\widehat\mu,\delta\mu^1,\dots,\delta\mu^k)$ из $\mathscr O(\widehat x(t_0))\times\mathscr O(0_{\mathbb R^k})$ в $\mathscr O(\widehat x)$ такие, что $F(x(t,\xi,\overline\alpha),\xi,\overline\alpha)(t)=0$ для всех $(\xi,\overline\alpha)\in \mathscr O(\widehat x(t_0))\times\mathscr O(0_{\mathbb R^k})$ и $t\in[t_0,t_1]$. Это равносильно тому, что $x(\cdot,\xi,\overline\alpha)$ – решение уравнения (53). Решение единственно, поскольку из того, что $F(x,\xi,\overline\alpha)(t)=0$ для $(x,\xi,\overline\alpha)\in \mathscr O(\widehat x(t_0))\times\mathscr O(\widehat x)\times\mathscr O(0_{\mathbb R^k})$ и $t\in[t_0,t_1]$, следует равенство $x(t)=x(t,\xi,\overline\alpha)$, $t\in[t_0,t_1]$. Производная $\widehat x'$ отображения $(\xi,\overline\alpha)\mapsto x(\cdot,\xi,\overline\alpha)$ в точке $(\widehat x(t_0),0_{\mathbb R^k})$ согласно формуле для производной неявной функции имеет вид
$$
\begin{equation*}
\widehat x'=-F_{x}^{-1}(\widehat x,\widehat x(t_0),0_{\mathbb R^k}) F_{(\xi,\overline\alpha)}(\widehat x,\widehat x(t_0),0_{\mathbb R^k}),
\end{equation*}
\notag
$$
или $F_{x}(\widehat x,\widehat x(t_0),0_{\mathbb R^k}) \widehat x'=-F_{(\xi,\overline\alpha)}(\widehat x,\widehat x(t_0),0_{\mathbb R^k})$. Подставляя сюда выражения для производных из (55) и (60) в точке $(\widehat x,\widehat x(t_0),0_{\mathbb R^k})$, получаем, что для всех $\xi\in\mathbb R^n$, $\overline\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_k)^{\top}\in \mathbb R^k$ и $t\in[t_0,t_1]$ справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \widehat x'[\xi,\overline\alpha](t)-\int_{t_0}^t\bigl\langle\widehat\mu_\tau,\varphi_x(\tau,\widehat x(\tau),u)\widehat x'[\xi,\overline\alpha](\tau)\bigr\rangle\,d\tau \\ &\qquad =\xi+\sum_{i=1}^k\alpha_i\int_{t_0}^t\bigl\langle \delta\mu^i_\tau, \varphi(\tau,\widehat x(\tau),u)\bigr\rangle\,d\tau, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которое, если обозначить $\delta x=\widehat x'[\xi,\overline\alpha]$, равносильно уравнению (54).
Лемма 1 доказана. Введем некоторые обозначения. Пусть $X$ и $Y$ – нормированные пространства, $\Sigma$ – топологическое пространство и $M$ – непустое подмножество $X$. Обозначим через $C^1_x(M\times\Sigma, Y)$ сужение на $M\times\Sigma$ множества отображений $F\colon X\times\Sigma\,{\to}\, Y$, непрерывных вместе со своей производной по $x$, для которых конечна норма
$$
\begin{equation*}
\|F\|_{C^1_x(M\times\Sigma, Y)}=\sup_{(x,\sigma)\in M\times\Sigma}\|F(x,\sigma)\|_Y+\sup_{(x,\sigma)\in M\times\Sigma}\|F_x(x,\sigma)\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $L>0$. Обозначим через $Q_L=Q_L([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ совокупность липшицевых вектор-функций на $[t_0,t_1]$ со значениями в $\mathbb R^n$ с константой Липшица $L$. Для каждого $k\in\mathbb N$ положим
$$
\begin{equation*}
\Sigma^k=\biggl\{ \overline\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_k)^{\top}\in\mathbb R^k_+\colon \sum_{i=1}^k\alpha_i<1 \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $U$ то же, что и в системе (1), (2). Определим множество
$$
\begin{equation*}
\Omega_U=\{ u(\,\cdot\,)\in L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r)\colon u(t)\in U \text{ для п.в. } t\in[t_0,t_1] \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $Z$ – нормированное пространство, то $B_{Z}(z,\rho)$ обозначает замкнутый шар в $Z$ с центром в точке $z$ радиуса $\rho>0$. Лемма 2 (первая лемма об аппроксимации). Пусть $\widehat\mu,\delta\mu^1,\dots,\delta\mu^k$ те же, что и в лемме $1$, $M_1$ и $M_2$ – ограниченные множества в $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ и $\mathbb R^n$ соответственно и $L>0$. Тогда отображение $F\colon C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times \mathbb R^n\times\mathbb R^k\to C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, определенное формулой принадлежит $C_x^1=C_x^1(((M_1\,{\cap}\, Q_L)\times M_2\times\Sigma^k), C([t_0,t_1],\mathbb R^n))$ и для любого $\overline\alpha\in\Sigma^k$ найдется такая последовательность кусочно постоянных управлений $u_s(\overline\alpha)=u_s(\overline\alpha;\widehat\mu,\delta\mu^1,\dots,\delta\mu^k)\in \Omega_U$, $s\,{\in}\,\mathbb N$, что отображения $F_s\colon C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times\Sigma^k\to C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, определенные по правилу также принадлежат $C_x^1$ и при этом последовательность $F_s$ сходится при $s\to\infty$ к отображению $F$ в метрике $C^1_x$. Доказательство. Покажем, что $F\in C_x^1$. При доказательстве леммы 1 установлено, что отображения $F$ и $F_x$ непрерывны на $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times\mathbb R^k$. Проверим, что они ограничены на множестве $(M_1\cap Q_L)\times M_2\times\Sigma^k$.
Пусть $\mathscr K$ – тот же компакт $\mathbb R^r$, что определен в начале доказательства леммы 1, и $\delta>0$ такое, что $M_1\subset B_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}(0,\delta)$ и $M_2\subset B_{\mathbb R^n}(0,\delta)$. Отображения $\varphi$ и $\varphi_x$ непрерывны на компакте $K=[t_0,t_1]\times B_{\mathbb R^n}(0,\delta)\times\mathscr K$. Пусть $C\,{=}\max\{ |\varphi(t,x,u)|\colon (t,x,u)\,{\in}\, K \}$ и $C_0\,{=}\max\{ \|\varphi_x(t,x,u)\|\colon (t,x,u)\,{\in}\, K \}$. Тогда для любых $(x(\,\cdot\,),\xi,\overline\alpha)\in(M_1\cap Q_L)\times M_2\times\Sigma^k$, $\delta x\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ и $t\in[t_0,t_1]$ справедливы легко проверяемые оценки $|F(x,\xi,\overline\alpha)(t)|\leqslant \delta+\delta+C(t_1-t_0)$ и $|F_x(x,\xi,\overline\alpha)[\delta x](t)|\leqslant (1+C_0(t_1-t_0))\|\delta x\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}$ (см. формулу (55)). Таким образом, $F\in C_x^1$. Построим теперь для каждого $\overline\alpha\in\Sigma^k$ последовательность кусочно постоянных управлений $u_s(\overline\alpha)\in\Omega_U$, $s\in\mathbb N$. Пусть $\overline\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_k)^{\top}\in\Sigma^k$ и $\mu(\overline\alpha)=\widehat\mu+\sum_{i=1}^k\alpha_i\delta\mu^i$. Так как $\delta\mu^i=\mu^i-\widehat\mu$, где $\mu^i\in\mathfrak M_U$, $i=1,\dots, k$, то управление
$$
\begin{equation*}
\mu(\overline\alpha)=\biggl(1-\sum_{i=1}^k\alpha_i\biggr)\widehat\mu+\sum_{i=1}^k\alpha_i\mu^i
\end{equation*}
\notag
$$
есть выпуклая комбинация элементов из $\mathfrak M_U$ и, значит, принадлежит $\mathfrak M_U$. Следовательно, меры из $\mu(\overline\alpha)$ сосредоточены на $U\cap\mathscr K$ для п.в. $t\in[t_0,t_1]$.
Пусть $s\in\mathbb N$. Фиксируем покрытие $\mathscr K$ открытыми шарами $\mathscr O^s_1,\dots,\mathscr O^s_{p_s}$ радиуса $1/s$, $i=1,\dots,p_s$, и фиксируем разбиение единицы $\alpha_1^s(\,\cdot\,),\dots,\alpha_{p_s}^s(\,\cdot\,)$, подчиненное данному покрытию, т.е. функции $\alpha_i^s(\,\cdot\,)$ непрерывны, их носители принадлежат $\mathscr O^s_i$, $0\leqslant\alpha_i^s(u)\leqslant1$, и $\sum_{i=1}^{p_s}\alpha_i^s(u)=1$ для всех $u\in \mathscr K$. Фиксируем также элементы $u_i^s\,{\in}\,\mathscr O_i^s\cap U$, $i\,{=}\,1,\dots,p_s$. Если для некоторого $i$ пересечение $\mathscr O_i^s\cap U$ пусто, то полагаем $u_i^s=\widetilde u$, где $\widetilde u$ – элемент из $U\cap\mathscr K$, выбранный раз и навсегда. Положим $\lambda_i^s(t)=\lambda_i^s(t,\overline\alpha)=\bigl\langle\mu_t(\overline\alpha),\alpha_i^s(u)\bigr\rangle$, $i=1,\dots,p_s$, $t\in[t_0,t_1]$. Функции $\lambda_i^s(\,\cdot\,)$ по определению измеримы на $[t_0,t_1]$. Кроме того, $0\leqslant\lambda_i^s(t)\leqslant1$, $i=1,\dots,p_s$, и $\sum_{i=1}^{p_s}\lambda_i^s(t)=1$ для п.в. $t\in[t_0,t_1]$. Действительно (пишем $d\mu_t(u)$ вместо $d\mu_t(\overline\alpha)(u)$),
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 0\leqslant\lambda_i^s(t)=\int_{U}\alpha_i^s(u)\,d\mu_t(u)\leqslant\int_{U}\,d\mu_t(u)=1, \qquad i=1,\dots,p_s, \\ \sum_{i=1}^{p_s}\lambda_i^s(t)=\int_{U}\biggl(\sum_{i=1}^{p_s}\alpha_i^s(u)\biggr)\,d\mu_t(u) =\int_{U} d\mu_t(u)=1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Сопоставим $s$ разбиение отрезка $[t_0,t_1]$ на $s$ подотрезков $\Delta_j(s)=[t_0+ j(t_1- t_0)/s,\,t_0+(j+1)(t_1-t_0)/s]$ длины $|\Delta_j(s)|=(t_1-t_0)/s$, $j=0,\dots,s-1$. Положим
$$
\begin{equation}
\lambda^s_{ij}=\frac1{|\Delta_j(s)|}\int_{\Delta_j(s)}\lambda^s_i(t)\,dt, \qquad i=1,\dots,p_s, \quad j=0,\dots,s-1.
\end{equation}
\tag{61}
$$
Ясно, что $\lambda^s_{ij}\geqslant0$ и $\sum_{i=1}^{p_s}\lambda^s_{ij}=1$, $j=0,\dots,s-1$.
Разобьем каждый подотрезок $\Delta_j(s)$ на $p_s$ последовательных подподотрезков $\Delta_{ji}(s)$ длины $|\Delta_{ji}(s)|=\lambda^s_{ij}|\Delta_j(s)|=\lambda^s_{ij}(t_1-t_0)/s$, $i=1,\dots, p_s$. Определим функцию $u_s(\overline\alpha)$ на $[t_0,t_1]$ по правилу
$$
\begin{equation*}
u_s(\overline\alpha)(t)=u_i^s,\quad\text{если }\ t\in \operatorname{int}\Delta_{ji}(s), \qquad i=1,\dots,p_s,\quad j=0,1,\dots,s-1,
\end{equation*}
\notag
$$
выбирая на концах подподотрезков любые значения для $u_s(\overline\alpha)$.
Ясно, что $u_s(\overline\alpha)$ – кусочно постоянная функция и что $u_s(\overline\alpha)(t)\in U$ для п.в. $t\in[t_0,t_1]$, т.е. $u_s(\overline\alpha)\in \Omega_U$. Покажем, что отображение $\overline\alpha\mapsto u_s(\overline\alpha)$ как отображение из $\Sigma^k$ в $L_1([t_0,t_1],\mathbb R^r)$ непрерывно равномерно по $s$. Проверим это ради простоты вычислений для случая, когда $p_s=2$, $t_0=0$, $t_1=1$. Фиксируем вектор $\widetilde{\overline\alpha}=(\widetilde\alpha_1,\dots,\widetilde\alpha_k)^{\top}\in\Sigma^k$, и пусть $\widetilde{\lambda^s_i}(\,\cdot\,)$ и $\widetilde\lambda^s_{ij}$, $i=1,2$, $j=0,1,\dots,s-1$, – соответствующие ему функции и числа, определенные выше. Пусть $\overline\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_k)^{\top}$ – другой вектор из $\Sigma^k$ и $\lambda^s_i(\,\cdot\,)$ и $\lambda^s_{ij}$, $i=1,2$, $j=0,1,\dots,s-1$, – соответствующие ему функции и числа. Функции $\alpha_i^s(\,\cdot\,)$ и элементы $u^s_i\in U$, $i=1,2$, для векторов $\widetilde{\overline\alpha}$ и $\overline\alpha$, очевидно, одни и те же. Пусть $\gamma>0$ такое, что $\mathscr K\subset B_{\mathbb R^r}(0,\gamma)$. Тогда на каждом подотрезке $\Delta_j(s)$ имеем (аналогично оценке первого интеграла справа в (59))
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\Delta_j(s)}|u_s(\overline\alpha)(t)-u_s(\widetilde{\overline\alpha})(t)|\,dt= \biggl|\int_{\widetilde\lambda^s_{1j}/s}^{\lambda^s_{1j}/s}|u^s_1-u^s_2|\,dt\biggr| \leqslant \frac{2\gamma}{s}|\lambda^s_{1j}-\widetilde\lambda^s_{1j}| \\ &\qquad = \frac{2\gamma}{s}\biggl|s\int_{\Delta_j(s)}\bigl\langle\mu_t(\overline\alpha),\alpha_1^s(u)\bigr\rangle\,dt -s\int_{\Delta_j(s)}\bigl\langle\mu_t(\widetilde{\overline\alpha}),\alpha_1^s(u)\bigr\rangle\,dt\biggr| \\ &\qquad =2\gamma\biggl|\int_{\Delta_j(s)}\biggl(\int_{U}\alpha_1^s(u)\,d(\mu_t(\overline\alpha)- \mu_t(\widetilde{\overline\alpha}))(u)\biggr)\,dt\biggr| \leqslant2\gamma|\Delta_j(s)|k|\overline\alpha-\widetilde{\overline\alpha}|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Складывая эти неравенства по всем $j=0,\dots,s-1$, получим
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{1}|u_s(\overline\alpha)(t)-u_s(\widetilde{\overline\alpha})(t)|\,dt\leqslant2\gamma k|\overline\alpha-\widetilde{\overline\alpha}|,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. отображения $\overline\alpha\mapsto u_s(\overline\alpha)$ непрерывны в точке $\widetilde{\overline\alpha}$ равномерно по $s$ и, значит, всюду на $\Sigma^k$.
Теперь перейдем к доказательству того, что отображения $F_s$, $s\in \mathbb N$, принадлежат $C_x^1$. Сначала докажем, что эти отображения непрерывны на $C([t_0,t_1], \mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times\Sigma^k$ равномерно по $s$. Пусть $(\widetilde x,\widetilde\xi,\widetilde{\overline\alpha})\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times\Sigma^k$ и $\varepsilon>0$. Положим $K_1\,{=}\,\{ (t,x)\,{\in}\,\mathbb R^{n+1}$: $|x- \widetilde x(t)|\leqslant\delta_1,\,t\in[t_0,t_1] \}\times \mathscr K$. Отображение $\varphi$ непрерывно на компакте $K_1$. Пусть $C_1=\max\{ |\varphi(t,x,u)|\colon (t,x,u)\in K_1 \}$. Так как $\varphi$ равномерно непрерывно на этом компакте, то найдется такое $0<\delta_2\leqslant\min(\delta_1,\varepsilon)$, что $|\varphi(t,x_1,u_1)-\varphi(t,x_2,u_2)|<\varepsilon$ для всех $(t,x_i,u_i)\in K_1$, $i=1,2$, для которых $|x_1-x_2|<\delta_2$ и $|u_1-u_2|<\delta_2$. В силу доказанной непрерывности отображений $\overline\alpha\mapsto u_s(\overline\alpha)$, как отображений из $\Sigma^k$ в $L_1([t_0,t_1],\mathbb R^r)$ равномерно по $s\in\mathbb N$, существует окрестность $\mathscr O(\widetilde{\overline\alpha})$ такая, что если $\overline\alpha\in \mathscr O(\widetilde{\overline\alpha})\cap\Sigma^k$, то $u_s(\overline\alpha)\in U_{L_1([t_0,t_1],\mathbb R^r)}(u_s(\widehat{\overline\alpha}),\varepsilon\delta_2)$ для всех $s\in\mathbb N$. Для каждого такого $\overline\alpha$ и для любого $s\in\mathbb N$ положим $E_{\delta_2}(\overline\alpha,s)=\{ t\in [t_1,t_2]$: $|u_s(\overline\alpha)(t)-u_s(\widetilde{\overline\alpha})(t)|\geqslant\delta_2 \}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \delta_2\operatorname{mes}E_{\delta_2}(\overline\alpha,s) &\leqslant\int_{E_{\delta_2}(\overline\alpha,s)}|u_s(\overline\alpha)(t) -u_s(\widetilde{\overline\alpha})(t)|\,dt \\ &\leqslant \|u_s(\overline\alpha)-u_s(\widetilde{\overline\alpha})\|_{L_1([t_0,t_1],\mathbb R^r)}<\varepsilon\delta_2 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, $\operatorname{mes}E_{\delta_2}(\overline\alpha,s)<\varepsilon$.
Пусть теперь $x\in U_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}(\widetilde x,\delta_2)$, $|\xi-\widetilde\xi |<\varepsilon$ и $\overline\alpha\in \mathscr O(\widetilde{\overline\alpha})\cap\Sigma^k$. Для любого $t\in[t_0,t_1]$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|F_s(x,\xi,\overline\alpha)(t)-F_s(\widetilde x,\widetilde\xi, \widetilde{\overline\alpha})(t)| \\ &\ =\biggl|x(t)-\widetilde x(t)-\xi+\widetilde\xi -\int_{t_0}^t\varphi(\tau, x(\tau),u_s(\overline\alpha)(\tau))\,d\tau+\int_{t_0}^t\varphi(\tau, \widetilde x(\tau),u_s(\widetilde{\overline\alpha})(\tau))\,d\tau\biggr| \\ &\ \leqslant|x(t)-\widetilde x(t)| +|\xi-\widetilde\xi | \\ & \ \qquad +\int_{[t_0,t_1]\setminus E_{\delta_2}(\overline\alpha,s)}|\varphi(\tau,x(\tau),u_s(\overline\alpha)(\tau))-\varphi(\tau, \widetilde x(\tau),u_s(\widetilde{\overline\alpha})(\tau))|\,d\tau \\ &\ \qquad +\int_{E_{\delta_2}(\overline\alpha,s)} |\varphi(\tau,x(\tau),u_s(\overline\alpha)(\tau))- \varphi(\tau, \widetilde x(\tau),u_s(\widetilde{\overline\alpha})(\tau))|\,d\tau \\ &\qquad <\varepsilon+\varepsilon+\varepsilon(t_1-t_0)+\varepsilon2C_1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. отображения $F_s$ непрерывны в точке $(\widetilde x,\widetilde\xi,\widetilde{\overline\alpha})$ равномерно по $s$ и, значит, это верно для любой точки из $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times\Sigma^k$.
Для каждого $s$ у отображения $F_s$ существует частная производная по $x$ в любой точке $(x,\xi,\overline\alpha)\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times\Sigma^k$, действующая по правилу
$$
\begin{equation*}
F_{sx}(x,\xi,\overline\alpha)[\delta x](t)=\delta x(t)-\int_{t_0}^t\varphi_x(\tau, x(\tau),u_s(\overline\alpha)(\tau))\delta x(\tau)\,d\tau
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\delta x\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ и $t\in[t_0,t_1]$. Это доказывается точно так же, как существование частной производной по $x$ у отображения $F$ в лемме об уравнении в вариациях.
Покажем, что эта производная непрерывна на $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times\Sigma^k$, т.е. надо доказать, что если $(\widetilde x,\widetilde\xi,\widetilde{\overline\alpha})\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times\Sigma^k$, то для любого $\varepsilon>0$ существуют такие окрестности $\mathscr O_1(\widetilde x)$, $\mathscr O_1(\widetilde \xi)$ и $\mathscr O_1(\widetilde{\overline\alpha})$, что для всех $(x,\xi,\overline\alpha)\in\mathscr O_1(\widetilde x)\times\mathscr O_1(\widetilde \xi)\times(\mathscr O_1(\widetilde{\overline\alpha})\cap\Sigma^k)$, всех $\delta x\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, $\|\delta x\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}\leqslant1$ и всех $t\in[t_0,t_1]$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|F_{sx}(x,\xi, \overline\alpha)[\delta x](t)-F_{sx}(\widetilde x,\widetilde\xi,\widetilde{\overline\alpha})[\delta x](t)| \\ &\qquad =\biggl|\int_{t_0}^t \varphi_x(\tau,x(\tau),u_s(\overline\alpha)(\tau))\delta x(\tau)\,d\tau -\int_{t_0}^t\varphi_x(\tau,\widetilde x(\tau),u_s(\widetilde{\overline\alpha})(\tau)) \delta x(\tau)\,d\tau\biggr|<\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Но, как легко видеть, для доказательства этого факта надо фактически повторить предыдущие рассуждения, связанные с непрерывностью отображения $F_s$, поскольку отображение $\varphi_x$ обладает теми же свойствами, что и $\varphi$.
Ограниченность отображений $F_s$ и их частных производных по $x$ на $(M_1\cap Q_L)\times M_2\times\Sigma^k$ проверяется так же, как и для отображения $F$, и тем самым $F_s\in C_x^1$ для всех $s\in\mathbb N$. Покажем теперь, что последовательность $F_s$ сходится к $F$ при $s\to\infty$ в метрике $C^1_x$ . Сначала покажем, что последовательность $F_s$ сходится к $F$ в $C((M\cap Q_L)\times\Sigma^k, C([t_0,t_1],\mathbb R^n))$ при $s\to\infty$. Другими словам, надо показать, что для любого $\varepsilon>0$ найдется $s_0=s_0(\varepsilon)$ такое, что для всех $s\geqslant s_0$, всех $(x,\xi,\overline\alpha)\in(M_1\cap Q_L)\times M_2\times\Sigma^k$ и всех $t\in[t_0,t_1]$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl|\int_{t_0}^t \varphi(\tau,x(\tau),u_s(\overline\alpha)(\tau))\,d\tau -\int_{t_0}^t\bigl\langle\mu_\tau(\overline\alpha), \varphi(\tau,x(\tau),u)\bigr\rangle \,d\tau\biggr|<\varepsilon,
\end{equation}
\tag{62}
$$
где, напомним, $\mu(\overline\alpha)=\widehat\mu+\sum_{i=1}^k\alpha_i\delta\mu^i$ и $\overline\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_k)^{\top}$.
Пусть функции $\lambda_i^s(\,\cdot\,)$ и элементы $u_i^s\in U$, $i=1,\dots,p_s$, те же, которые построены выше для данного $\overline\alpha$ и данного $s\in\mathbb N$. Выражение слева в (62), очевидно, не превосходит величины
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \biggl|\int_{t_0}^t \varphi(\tau,x(\tau),u_s(\overline\alpha)(\tau))\,d\tau -\int_{t_0}^t\biggl(\sum_{i=1}^{p_s}\lambda_i^s(\tau)\varphi(\tau,x(\tau),u^s_i) \biggr)\,d\tau\biggr| \\ &\qquad\qquad +\biggl|\int_{t_0}^t\bigl\langle\mu_\tau(\overline\alpha), \varphi(\tau,x(\tau),u)\bigr\rangle \,d\tau -\int_{t_0}^t\biggl(\sum_{i=1}^{p_s}\lambda_i^s(\tau) \varphi(\tau,x(\tau),u^s_i)\biggr)\,d\tau\biggr|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{63}
$$
Оценим эти слагаемые. Начнем с первого. Выражение под знаком нормы в нем на каждом подотрезке $\Delta_j(s)$, $0\leqslant j\leqslant s-1$, можно записать так:
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{p_s}\int_{\Delta_{ji}(s)}\varphi(t,x(t),u^s_i)\,dt-\sum_{i=1}^{p_s} \int_{\Delta_{j}(s)}\lambda_i^s(t)\varphi(t,x(t),u^s_i)\,dt.
\end{equation}
\tag{64}
$$
Оценим сначала каждую компоненту этой разности. Пусть $\varphi=(\varphi_1,\dots,\varphi_n)^{\top}$. Фиксируем $1\leqslant l\leqslant n$. По теореме о среднем для интегралов
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl|\sum_{i=1}^{p_s}\int_{\Delta_{ji}(s)}\varphi_l(t,x(t),u^s_i)\,dt- \sum_{i=1}^{p_s}\int_{\Delta_j(s)}\lambda^s_i(t)\varphi_l(t,x(t),u^s_i)\,dt\biggr| \\ \notag &\qquad= \biggl|\sum_{i=1}^{p_s}\varphi_l(\xi_{i},x(\xi_{i}),u^s_i)\lambda^s_{ij}|\Delta_j(s)| -\sum_{i=1}^{p_s}\varphi_l(\zeta_{i},x(\zeta_{i}),u^s_i)\int_{\Delta_j(s)}\lambda^s_i(t)\,dt \biggr| \\ &\qquad \leqslant|\Delta_j(s)|\sum_{i=1}^{p_s}\lambda^s_{ij}|\varphi_l(\xi_{i},x(\xi_{i}),u^s_i) -\varphi_l(\zeta_{i},x(\zeta_{i}),u^s_i)|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{65}
$$
где $\xi_{i},\zeta_{i}\in\Delta_j(s)$, $1\leqslant i\leqslant p_s$.
Отображение $\varphi$ равномерно непрерывно на компакте $K$ (определенном в начале доказательства), поэтому найдется такое $\delta_0>0$, что $|\varphi_l(t',x',u')-\varphi_l(t'',x'',u'')|<\varepsilon$ для всех $(t',x',u')$ и $(t'',x'',u'')$ из $K$, для которых $|t'-t''|<\delta_0$, $|x'-x''|<\delta_0$ и $|u'-u''|<\delta_0$. Пусть $s_0=s_0(\varepsilon)$ столь большое, что $|\Delta_j(s_0)|<\min(\varepsilon,\delta_0,\delta_0/L)$. Тогда если $\xi_i, \zeta_i\in \Delta_j(s_0)$, то $|\xi_i-\zeta_i|<\delta_0$ и $|x(\xi_i)-x(\zeta_i)|\leqslant L|\xi_i-\zeta_i|<\delta_0$. Следовательно, выражение в правой части (65) не превосходит $|\Delta_j(s)| \varepsilon$ при $s\geqslant s_0$. Отсюда следует, что норма разности интегралов в (64) не превосходит $|\Delta_j(s)|\sqrt{n}\, \varepsilon$ при $s\geqslant s_0$. Пусть $t\in(t_0,t_1]$ в (63) таково, что отрезок $[t_0,t]$ содержит нецелое число подотрезков $\Delta_j(s)$. Если $t<t_0+(t_1-t_0)/s$, то получаем, что первое слагаемое в (63) не превосходит $2C(t-t_0)< 2C|\Delta_0(s)|<2C\varepsilon$. Если на отрезке $[t_0,t]$ укладывается целое число подотрезков $\Delta_j(s)$, то, складывая выражения (64) по всем таким подотрезкам, получим, что первое слагаемое в (63) в этом случае не превосходит $(t-t_0)\sqrt{n} \varepsilon\leqslant(t_1-t_0)\sqrt{n}\, \varepsilon$. Наконец, если в отрезок $[t_0,t]$ укладывается целое число подотрезков $\Delta_j(s)$ и еще остается отрезок длины меньше $\varepsilon$, то из рассмотренного следует, что первое слагаемое в (63) не превосходит $(2C+(t_1-t_0)\sqrt{n}) \varepsilon$. Итак, для любого $t\in[t_0,t_1]$ первое слагаемое в (63) не превосходит $(2C+(t_1-t_0)\sqrt{n}) \varepsilon$. Оценим второе слагаемое в (63). Его, очевидно, можно записать так (как и раньше, пишем $d\mu_t(u)$ вместо $d\mu_t(\overline\alpha)(u)$):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl|\int_{t_0}^t\biggl(\int_{U} \varphi(\tau,x(\tau),u)\,d\mu_\tau(u) -\sum_{i=1}^{p_i}\biggl(\int_{U}\alpha_i^s(u)\,d\mu_\tau(u)\biggr) \varphi(\tau,x(\tau),u^s_i)\biggr)d\tau\biggr| \\ \notag &\qquad =\biggl|\int_{t_0}^t\biggl(\sum_{i=1}^{p_i}\int_{U}\alpha_i^s(u) (\varphi(\tau,x(\tau),u)-\varphi(\tau,x(\tau),u_i^s))\,d\mu_\tau(u)\biggr)\,d\tau\biggr| \\ &\qquad \leqslant \int_{t_0}^{t_1}\biggl(\sum_{i=1}^{p_i}\int_{U}\alpha_i^s(u) |\varphi(\tau,x(\tau),u)-\varphi(\tau,x(\tau),u_i^s)|\,d\mu_\tau(u)\biggr)\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{66}
$$
Увеличивая, если нужно, $s_0$ (определенное выше), можно считать, что $2/s_0\,{<}\,\delta_0$. Пусть $s\geqslant s_0$. Носители функций $\alpha_i^s(\,\cdot\,)$ содержатся соответственно в шарах $\mathscr O_i^s$, $i=1,\dots,p_s$, радиуса $1/s$. Если $u_i^s\in\mathscr O_i^s\cap U$, то справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_{U}\alpha_i^s(u) |\varphi(\tau,x(\tau),u)-\varphi(\tau,x(\tau),u_i^s)|\,d\mu_\tau(u) \leqslant\varepsilon\int_{U}\alpha_i^s(u) \,d\mu_\tau(u),
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку интегрирование происходит по множеству $\mathscr O_i^s\cap \mathscr K$, на котором $|u-u_i^s|<2/s<\delta_0$.
Если же $\mathscr O_i^s\cap U=\varnothing$, то неравенство выполняется тривиальным образом, так как подынтегральные функции – тождественные нули. Складывая эти неравенства по всем $1\leqslant i\leqslant p_s$, получаем, что выражение в правой части (66) не превосходит $(t_1-t_0)\varepsilon$. Итак, неравенство (62) доказано, но с $c \varepsilon$ вместо $\varepsilon$, что неважно, поскольку $c$ не зависит ни от $x$, ни от $\xi$ и ни от $\overline\alpha$, и тем самым последовательность $F_s$ сходится к $F$ в $C((M_1\cap Q_L)\times M_2\times\Sigma^k , C([t_0,t_1],\mathbb R^n))$ при $s\to\infty$. Осталось доказать, что последовательность $F_{sx}$ сходится к $F_x$ в $C((M_1\cap Q_L)\times M_2\times\Sigma^k, C([t_0,t_1],\mathbb R^n))$ при $s\to\infty$. Это означает, что для любого $\varepsilon\,{>}\,0$ найдется $s_0=s_0(\varepsilon)$ такое, что для всех $s\geqslant s_0$, всех $\delta x\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, $\|\delta x\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}\leqslant1$, всех $(x,\xi,\overline\alpha)\in(M_1\cap Q_L)\times M_2\times\Sigma^k$ и всех $t\in[t_0,t_1]$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_{t_0}^t \varphi_x(\tau,x(\tau),u_s(\overline\alpha)(\tau))\delta x(\tau)\,d\tau -\int_{t_0}^t\bigl\langle\mu_\tau(\overline\alpha), \varphi_x(\tau,x(\tau),u)\bigr\rangle \,d\tau\biggr|<\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Но, как легко видеть, для доказательства этого неравенства нужно фактически повторить рассуждения, связанные с доказательством (62).
Лемма 2 доказана. Пусть $Z$ – нормированное пространство и $\mathscr M$ – топологическое пространство. Обозначим через $C(\mathscr M, Z)$ пространство непрерывных ограниченных отображений $F\colon \mathscr M\to Z$ с нормой
$$
\begin{equation*}
\|F\|_{C(\mathscr M, Z)}=\sup_{x\in \mathscr M}\|F(x)\|_Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что множество $\Sigma^k$ определено перед леммой 2, а кусочно постоянные функции $u_s(\overline\alpha)=u_s(\overline\alpha;\widehat\mu,\delta\mu^1,\dots,\delta\mu^k)$ построены в самой лемме 2. Лемма 3 (вторая лемма об аппроксимации). Пусть $\widehat\mu,\delta\mu^1,\dots,\delta\mu^k$ те же, что и в лемме $1$. Тогда найдутся окрестности $\mathscr O_0(\widehat x(t_0))$ и $\mathscr O_0(0_{\mathbb R^k})$ такие, что для всех $(\xi,\overline\alpha)\in \mathscr O_0(\widehat x(t_0))\times(\mathscr O_0(0_{\mathbb R^k})\cap\Sigma^k)$ и достаточно больших $s\in\mathbb N$ существует единственное решение $x_s(\cdot,\xi,\overline\alpha)=x_s(\cdot,\xi,\overline\alpha;\widehat\mu,\delta\mu^1,\dots,\delta\mu^k)$ уравнения Доказательство. Здесь мы воспользуемся следствием из обобщенной теоремы о неявной функции, доказанной в [5], которое мы формулируем без доказательства.
Следствие. Пусть $X$ и $Y$ – банаховы пространства, $\Sigma$ – топологическое пространство, $\widehat \sigma\in\Sigma$, $V$ – окрестность точки $\widehat x\in Q$, где $Q$ – выпуклое замкнутое подмножество $X$, $\widehat F\in C^1_x((V\cap Q)\times\Sigma, Y)$, $\widehat F(\widehat x,\widehat \sigma)=0$ и оператор $\Lambda=\widehat F_x(\widehat x,\widehat \sigma)$ обратим. Тогда найдутся окрестности $V_0\subset V$ точки $\widehat x$, окрестность $U_0$ точки $\widehat \sigma$ и окрестность $W_0$ отображения $\widehat F$ такие, что если при всех $(x,\sigma)\in (V_0\,{\cap}\,Q)\times U_0$ справедливы включение $x-\Lambda^{-1}\widehat F(x,\sigma)\in Q$ и включение $x-\Lambda^{-1}F(x,\sigma)\in Q$ для некоторого $F\in W_0$, то существуют непрерывные отображения $g_{\widehat F}$ и $g_{F}$ из $U_0$ в $V_0\cap Q$ такие, что $\widehat F(g_{\widehat F}(\sigma),\sigma)=0$ и $F(g_{F}(\sigma),\sigma)=0$ для всех $\sigma\in U_0$ и существует окрестность $U'_0\subset U_0$ точки $\widehat \sigma$ такая, что справедливо неравенство Кроме того, равенства $F(x,\sigma)=0$ и $\widehat F(x,\sigma)=0$ на $(V_0\cap Q)\times U_0$ возможны соответственно, лишь когда $x=g_F(\sigma)$ и $x=g_{\widehat F}(\sigma)$.Сначала приведем несколько предварительных рассмотрений. Пусть $\mathscr K$ – компакт, определенный в начале доказательства леммы 1, $\gamma>0$ такое, что $\mathscr K\subset B_{\mathbb R^r}(0,\gamma)$, $\delta>0$, $\widehat x(\,\cdot\,)$ из леммы 1 и $K_0=\{ (t,x)\in \mathbb R\times\mathbb R^n\colon |x-\widehat x(t)|\,{\leqslant}\,\delta, t\in[t_0,t_1] \}\times B_{\mathbb R^r}(0,\gamma)$. Положим $C_0=\max\{ |\varphi(t,x,u)|\colon (t,x,u)\in K_0 \}$ и $C_1=\max\{ \|\varphi_x(t,x,u)\|\colon (t,x,u)\in K_0 \}$. Пусть $F$ и $F_s$, $s\in\mathbb N$, – отображения из леммы 2. Обозначим $\Lambda=F_x(\widehat x, \widehat x(t_0),0_{\mathbb R^k})$. Оператор $\Lambda$ обратим (см. лемму 1). Пусть $x\in U_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}(\widehat x,\delta)$, $\xi\in B_{\mathbb R^n}(0,1)$, $\overline\alpha\in \Sigma^k$ и $s\in\mathbb N$. Тогда для всех таких $x$, $\xi$, $\overline\alpha$, $s$ и $t\in[t_0,t_1]$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &|x(t)-(\Lambda^{-1}F_s(x,\xi,\overline\alpha))(t)| \\ &\qquad\leqslant\delta+\|\widehat x\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)} + \|\Lambda^{-1}\|(\delta+\|\widehat x\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)} +1+(t_1-t_0)C_0)=D. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{69}
$$
Положим $L=C_1(D+\delta+\|\widehat x\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)})+C_0$. Напомним, что $Q_L$ – совокупность липшицевых вектор-функций на $[t_0,t_1]$ со значениями в $\mathbb R^n$ с константой Липшица $L$. Легко проверить, что это выпуклое замкнутое множество в $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$. Отображения $F$ и $F_s$, $s\in\mathbb N$, согласно лемме 2 принадлежат пространству $\widehat C^1_x=C^1_x((U_{C([t_1,t_2], \mathbb R^n)}(\widehat x,\delta)\,{\cap}\,Q_L)\times B_{\mathbb R^n}(0,1)\times \Sigma^k, C([t_1,t_2], \mathbb R^n))$, и в этом пространстве $F_s$ сходится к $F$ при $s\to\infty$. Теперь мы можем применить следствие, в котором $X=Y=C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, $\Sigma= B_{\mathbb R^n}(0,1)\times\Sigma^k$, $\widehat \sigma=0$, $\widehat x=\widehat x(\,\cdot\,)$, $V=U_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}(\widehat x,\delta)$, $Q=Q_{L}$ (включение $\widehat x\in Q_L$ будет установлено ниже) и $\widehat F=F$. Из леммы 1 следует, что $F(\widehat x,\widehat x(t_0),0_{\mathbb R^k})=0$ и, как уже отмечалось, оператор $\Lambda=F_x(\widehat x,\widehat x(t_0),0_{\mathbb R^k})$ обратим. Пусть окрестности $V_0\subset V$, $U_0$ и $W_0$ точек $\widehat x$, $(0_{\mathbb R^n},0_{\mathbb R^k})$ и отображения $\widehat F$ те же, что и в утверждении следствия. Так как отображения $F_s$ сходятся к $F$ в пространстве $\widehat C^1_x$ при $s\to\infty$, то существует $s_0$ такое, что $F_s\in W_0$ для всех $s\geqslant s_0$. Проверим, что $x-\Lambda^{-1}F_s(x,\xi,\overline\alpha)\in Q_{L}$ для всех $(x,\xi,\overline\alpha)\in(V_0\cap Q_{L})\times U_0$ и $s\in\mathbb N$. Действительно, если $y=x-\Lambda^{-1}F_s(x,\xi,\overline\alpha)$, то $\Lambda y=\Lambda x-F_s(x,\xi,\overline\alpha)$, или (согласно определению $\Lambda$ и $F_s(x,\xi,\overline\alpha)$)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & y(t)-\int_{t_0}^t\bigl\langle\widehat\mu_\tau, \varphi_x(\tau,\widehat x(\tau),u)y(\tau)\bigr\rangle\,d\tau \\ &\qquad=x(t)-\int_{t_0}^t\bigl\langle\widehat\mu_\tau, \varphi_x(\tau,\widehat x(\tau),u)x(\tau)\bigr\rangle\,d\tau -x(t)+\xi +\int_{t_0}^t\varphi(\tau,x(\tau),u_s(\overline\alpha)(\tau)) \,d\tau \end{aligned}
\end{equation}
\tag{70}
$$
для всех $t\in[t_0,t_1]$. Отсюда, так как $\|y\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}\leqslant D$ (см. неравенство (69)), $\|x\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}\leqslant \delta+\|\widehat x\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}$, $\widehat\mu\in\mathfrak M_U$ и $u_s(\overline\alpha)(\tau)\in \mathscr K$ для п.в. $\tau\in[t_0,t_1]$ и всех $s\in\mathbb N$ (см. лемму 3), получаем, что для любых $t',t''\in[t_0,t_1]$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |y(t')-y(t'')| &\leqslant\biggl|\int_{t'}^{t''}|\bigl\langle\widehat\mu_t,\varphi_x(\tau,\widehat x(\tau),u)(y(\tau)-x(\tau))\bigr\rangle|\,d\tau\biggr| \\ &\qquad +\biggl|\int_{t'}^{t''}|\varphi(\tau,\widehat x(\tau),u_s(\overline\alpha)(\tau))|\,d\tau\biggr| \\ & \leqslant (C_1(D+\delta+\|\widehat x\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)})+C_0)|t'-t''|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $|y(t')-y(t'')|\leqslant L|t'-t''|$, и тем самым $x-\Lambda^{-1}F_s(x,\xi,\overline\alpha)\in Q_{L}$ для всех $(x,\overline\alpha)\in(V_0\cap Q_{L})\times U_0$ и $s\in\mathbb N$. Точно так же проверяется, что $x-\Lambda^{-1}\widehat F(x,\xi,\overline\alpha)\in Q_{L}$ для всех $(x,\xi,\overline\alpha)\in(V_0\cap Q_{L})\times U_0$; вместо последнего интеграла справа в (70) будет интеграл ${\displaystyle\int_{t_0}^t\bigl\langle\mu_t(\overline\alpha), \varphi(\tau,x(\tau),u)\bigr\rangle\,d\tau}$. Так как $\widehat x$ – решение уравнения (52), то аналогично получаем, что $|\widehat x(t')-\widehat x(t'')|\leqslant C_0|t'-t''|\leqslant L|t'-t''|$ и тем самым $\widehat x\in Q_L$. Тогда согласно следствию для всех $s\geqslant s_0$ существуют такие непрерывные отображения $g_{F_s}\colon U_0\to V_0\cap Q_{L}$ и $g_F\colon U_0\to V_0\cap Q_{L}$, что $F_s(g_{F_s}(\xi,\overline\alpha),\xi,\overline\alpha)(t)=0$ и $F(g_F(\xi,\overline\alpha),\xi,\overline\alpha)(t)=0$ для всех $(\xi,\overline\alpha)\in U_0$ и $t\in[t_0,t_1]$. Это равносильно тому, что для всех $(\xi,\overline\alpha)\in U_0$ функция $g_{F_s}(\xi,\overline\alpha)$ есть единственное решение $x_s(\cdot,\xi,\overline\alpha)$ уравнения (67), а функция $g_{\widehat F}(\xi,\overline\alpha)$ есть единственное решение $x(\cdot,\xi,\overline\alpha)$ уравнения (53), свойства которого описаны в лемме 1. Кроме того, в силу следствия существует такая окрестность $U'_0\subset U_0$ точки $(0_{\mathbb R^n},0_{\mathbb R^k})$ (которая, можно считать, имеет вид $\mathscr O_0(\widehat x(t_0))\times(\mathscr O_0(0_{\mathbb R^k})\cap\Sigma^k)$, где $\mathscr O_0(\widehat x(t_0))\subset \mathscr O(\widehat x(t_0))$ и $\mathscr O_0(0_{\mathbb R^k})\subset \mathscr O(0_{\mathbb R^k})$, а $\mathscr O(\widehat x(t_0))$ и $\mathscr O(0_{\mathbb R^k})$ – окрестности из леммы 1), что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \|x_s-x\|_{C(\mathscr O_0(\widehat x(t_0))\times(\mathscr O_0(0_{\mathbb R^k})\cap\Sigma^k), C([t_0,t_1],\mathbb R^n))} \\ &\qquad \leqslant2\|\Lambda^{-1}\|\,\|F_s-F\|_{C((V\cap Q_{L})\times\Sigma, C([t_0,t_1],\mathbb R^n))}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $x_s$ и $x$ – соответственно непрерывные отображения $(\xi,\overline\alpha)\mapsto x_s(\cdot,\xi,\overline\alpha)$ и $(\xi,\overline\alpha)\mapsto x(\cdot,\xi,\overline\alpha)$. Величина справа в неравенстве стремится к нулю при $s\to\infty$ и, следовательно, $x_s\to x$ при $s\to\infty$ в метрике $C(\mathscr O_0(\widehat x(t_0))\times(\mathscr O_0(0_{\mathbb R^k})\cap\Sigma^k), C([t_0,t_1],\mathbb R^n))$. Следствие доказано. Лемма 4 (лемма об обратной функции). Пусть $X$ – банахово пространство, $K$ – выпуклое замкнутое подмножество $X$, $V$ – окрестность точки $\widehat w\in K$ и $\widehat\Phi\colon V\to\mathbb R^m$. Тогда если выполнены условия: то найдутся константы $r_0>0$ и $\gamma>0$ такие, что для любых $r\in(0,r_0]$, $\Phi\in U_{C(V\cap K, \mathbb R^m)}(\widehat \Phi,r)$ и $y\in U_{\mathbb R^m}(\widehat \Phi(\widehat w),r)$ существует элемент $g_\Phi(y)\in V\cap K$, удовлетворяющий соотношениям Как уже было сказано, данная лемма представляет собой специальный случай более общего утверждения, доказанного в [5]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AvaMag21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|