| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Простые замкнутые геодезические на правильных тетраэдрах в сферическом пространстве А. А. Борисенко, Д. Д. Сухоребская Физико-технический институт низких температур им. Б. И. Веркина Национальной академии наук Украины, г. Харьков, Украина
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9433 
Реферативные базы данных:
    ВведениеИзучая вопрос существования орбит в ограниченной задаче трех тел, А. Пуанкаре в 1905 г. выдвинул гипотезу о существовании хотя бы одной простой (не имеющей точек самопересечений) замкнутой геодезической на гладкой замкнутой выпуклой поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. В 1929 г. Л. Люстерник и Л. Шнирельман доказали, что на односвязной компактной гладкой двумерной поверхности существуют по крайней мере три простые замкнутые геодезические (см. [1]). Для замкнутых поверхностей отрицательной кривизны Ж. Адамар в 1898 г. доказал, что каждую не гомотопную нулю замкнутую кривую можно продеформировать в замкнутую кривую минимальной длины в ее свободном гомотопическом классе. Эта минимальная кривая будет единственной и будет являться замкнутой геодезической (см. [2]). Интерес представляет изучение асимптотики числа замкнутых геодезических в зависимости от их длины на замкнутых многообразиях отрицательной кривизны. Например, Х. Хубер показал, что на полных замкнутых двумерных многообразиях постоянной отрицательной кривизны число замкнутых геодезических длины не больше $L$ имеет порядок роста $e^{L}/L$ при $L\to+\infty$ (см. [3], [4]). В работе И. Ривина [5], а позже более точно в работе М. Мирзахани [6] доказано, что на поверхности постоянной отрицательной кривизны рода $g$ с $n$ каспами (бесконечно удаленными точками) асимптотика числа простых замкнутых геодезических длины не больше $L$ равна $ L^{6g-6+2n}$ при $L \to+\infty$. На двумерных выпуклых поверхностях поведение геодезических линий тесно связано с внутренней геометрией этих поверхностей. Важные результаты по этой теме были получены С. Э. Кон-Фоссеном (см. [7]), А. Д. Александровым (см. [8]) и А. В. Погореловым (см. [9]). В одной из первых работ А. В. Погорелова [10] доказано, что на замкнутой выпуклой поверхности, гауссова кривизна которой $\leqslant k$, каждая геодезическая длины не больше $\pi /\sqrt{k}$ является кратчайшей среди всех линий, соединяющих ее концы. В. А. Топоноговым было доказано, что на $C^2$-гладком замкнутом римановом многообразии гауссовой кривизны $\geqslant k>0$ длина простой замкнутой геодезической не превосходит $2\pi /\sqrt{k}$ (см. [11]). В. А. Вайгант, О. Ю. Матукевич доказали, что на поверхности гауссовой кривизны $\geqslant k>0$ каждая дуга геодезической длины не меньше $3\pi/\sqrt{k}$ имеет точки самопересечения (см. [12]). Изучались также геодезические на негладких поверхностях, в том числе на выпуклых многогранниках (см. [13], [14]). Д. Фукс и К. Фукс дополнили и систематизировали результаты по замкнутым геодезическим на правильных многогранниках в трехмерном евклидовом пространстве (см. [15], [16]). В работе В. Ю. Протасова [17] найдены условия существования простых замкнутых геодезических на произвольном тетраэдре в евклидовом пространстве и дана оценка количества таких геодезических на тетраэдре в зависимости от величины полных углов при вершинах этого тетраэдра. Будем говорить, что простая замкнутая геодезическая на тетраэдре имеет тип $(p, q)$, если данная геодезическая имеет по $p$ вершин на одной паре противоположных ребер тетраэдра, по $q$ вершин на другой паре противоположных ребер тетраэдра и по $ p+q $ вершин на оставшихся двух противоположных ребрах тетраэдра. Геодезические на тетраэдре называются эквивалентными, если они пересекают ребра тетраэдра в одинаковом порядке. На правильном тетраэдре в евклидовом пространстве каждой упорядоченной паре взаимно простых натуральных чисел $(p, q)$ соответствует с точностью до изометрии тетраэдра целый класс эквивалентных простых замкнутых геодезических типа $(p, q)$. Каждый класс содержит бесконечное число геодезических, и их ограничения на любую грань тетраэдра являются параллельными отрезками. Кроме того, в каждом классе существует простая замкнутая геодезическая, проходящая через середины двух пар противоположных ребер тетраэдра. В работе [18] нами изучены простые замкнутые геодезические на правильных тетраэдрах в трехмерном пространстве Лобачевского. В евклидовом пространстве грани тетраэдра имеют нулевую гауссову кривизну, и вся кривизна многогранника сосредоточена только в его вершинах. В пространстве Лобачевского кривизна тетраэдра определяется не только вершинами, но и гранями, гауссова кривизна которых равна $-1$. Кроме того, в этом пространстве величина $\alpha$ угла грани правильного тетраэдра удовлетворяет условию $0<\alpha<\pi/3$ и внутренняя геометрия тетраэдра зависит от $\alpha$. Таким образом, поведение простых замкнутых геодезических на правильных тетраэдрах в пространстве Лобачевского отличается от евклидова случая. Доказано, что на каждом правильном тетраэдре в пространстве Лобачевского для произвольной упорядоченной пары взаимно простых натуральных чисел $(p, q)$ существует единственная с точностью до изометрии тетраэдра простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$ и она проходит через середины двух пар противоположных ребер тетраэдра. Данными геодезическими исчерпываются все простые замкнутые геодезические на правильных тетраэдрах в пространстве Лобачевского. Также доказано, что на правильном тетраэдре в пространстве Лобачевского с углом грани величины $\alpha$ асимптотика числа простых замкнутых геодезических длины не больше $L$ равна $c(\alpha) L^2$ при $L\,{\to}\,{+}\infty$ (см. [18]). В настоящей работе нами изучены простые замкнутые геодезические на правильных тетраэдрах в трехмерном сферическом пространстве. В этом пространстве кривизна граней тетраэдра равна $1$, и кривизна тетраэдра также определяется как вершинами, так и гранями. Внутренняя геометрия правильного тетраэдра в сферическом пространстве зависит от величины $\alpha$ угла грани тетраэдра, и $\alpha$ удовлетворяет неравенству $\pi/3<\alpha\leqslant 2\pi/3$. Если $\alpha=2\pi/3$, то правильный тетраэдр является вполне геодезической двумерной сферой. В таком случае на тетраэдре существует бесконечно много простых замкнутых геодезических – это большие окружности сферы. На правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани величины $\alpha\in(\pi/3, 2\pi/3)$ существует конечное число простых замкнутых геодезических, и их длина меньше $2\pi$. Кроме того, доказано, что для любой пары взаимно простых натуральных чисел $(p,q)$ существуют такие числа $\alpha_1$ и $\alpha_2$, зависящие от $p$ и $q$ и удовлетворяющие условию $\pi/3<\alpha_1<\alpha_2<2\pi/3$, что верны следующие два утверждения: 1) если $\pi/3<\alpha<\alpha_1$, то на правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани $\alpha$ существует и единственная, с точностью до изометрии тетраэдра, простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$ и она проходит через середины двух пар противоположных ребер тетраэдра; 2) если $\alpha_2<\alpha<2\pi/3$, то на правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани величины $\alpha$ не существует простой замкнутой геодезической типа $(p,q)$. § 1. Основные определенияГеодезической на поверхности называется такая кривая, что для двух достаточно близких точек на ней отрезок этой кривой, соединяющий эти точки, является кратчайшей линией среди всех кривых на поверхности, соединяющих данные точки. Замкнутая геодезическая называется простой, если она не имеет точек самопересечений и не повторяет себя. На выпуклом многограннике геодезическая обладает следующими свойствами (см. [8]): 1) на гранях геодезическая состоит из прямолинейных отрезков, концы которых лежат на ребрах многогранника; 2) углы, которые геодезическая образует с ребром на соседних гранях многогранника, равны; 3) геодезическая не может проходить через вершину выпуклого многогранника. Заметим, что под прямолинейным отрезком понимаем отрезок геодезической того пространства, в котором расположен многогранник. Под плоскостью понимаем двумерное вполнегеодезическое подмногообразие в пространстве постоянной кривизны. Рассмотрим два правильных тетраэдра в пространствах постоянной кривизны (кривизна этих пространств может быть разной) и замкнутую геодезическую на каждом из них. Вершины тетраэдров поставим во взаимно однозначное соответствие и соответствующим вершинам тетраэдров дадим одинаковые обозначения. Тогда замкнутые геодезические на этих тетраэдрах называются эквивалентными, если они пересекают ребра, имеющие одинаковые названия, в одинаковом порядке (см. [17]). Зафиксируем вершину геодезической на ребре многогранника и будем последовательно разворачивать на плоскость все грани многогранника в том порядке, в котором их пересекает геодезическая. Полученный в процессе такого разворачивания многоугольник на плоскости называется разверткой многогранника, и геодезическая будет соответствовать прямолинейному отрезку на развертке. Сферическим треугольником будем называть выпуклую фигуру на двумерной единичной сфере, ограниченную тремя кратчайшими линиями. Рассмотрим трехмерное сферическое пространство $S^3$ кривизны $1$. Правильным тетраэдром в $S^3$ называется замкнутый выпуклый многогранник, все грани которого являются правильными сферическими треугольниками, а вершины – правильными трехгранными углами. Угол $\alpha$ грани правильного тетраэдра в сферическом пространстве удовлетворяет неравенству $\pi/3<\alpha\leqslant 2\pi/3$. Причем существует только один, с точностью до движения в сферическом пространстве, правильный тетраэдр с заданным углом грани. Длина $a$ ребра тетраэдра равна
$$
\begin{equation}
a=\arccos \biggl(\frac{\cos\alpha}{1-\cos\alpha}\biggr),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
$$
\begin{equation}
\lim_{\alpha\to{\pi}/{3}} a=0, \qquad \lim_{\alpha\to{\pi}/{2}} a=\frac{\pi}{2}, \qquad \lim_{\alpha\to{2\pi}/{3}}a=\pi -\arccos \frac{1}{3}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Правильный тетраэдр с углом грани величины $\alpha=2\pi/3$ является вполне геодезической двумерной сферой. На нем существует бесконечно много простых замкнутых геодезических. Далее будем считать, что $\pi/3<\alpha<2\pi/3$.
§ 2. Замкнутые геодезические на правильных тетраэдрах в евклидовом пространствеРассмотрим правильный тетраэдр $A_1A_2A_3A_4$ в евклидовом пространстве с ребром длины 1. Развертка правильного тетраэдра является частью триангуляции евклидовой плоскости. Обозначим все вершины триангуляции евклидовой плоскости в соответствии с вершинами на тетраэдре. Выберем на ней два одинаково ориентированных ребра $A_1A_2$, не лежащих на одной прямой. Отметим на этих ребрах точки $X$ и $X'$ на одинаковых расстояниях от вершин $A_1$ так, чтобы отрезок $XX'$ не содержал никакую вершину триангуляции. Тогда отрезок $XX'$ соответствует замкнутой геодезической на тетраэдре $A_1A_2A_3A_4$ (рис. 1). Таким образом можно построить любую замкнутую геодезическую на правильном тетраэдре в евклидовом пространстве. Заметим, что отрезки геодезической, которые находятся на одной грани тетраэдра, параллельны между собой. Это значит, что любая замкнутая геодезическая на правильном тетраэдре в евклидовом пространстве не имеет точек самопересечения. Введем прямоугольную декартову систему координат с началом в вершине $A_1$ и осью $x$ вдоль ребра $A_1A_2$, содержащего $X$. Тогда координаты вершин $A_1$ и $A_2$ имеют вид $(l, k\sqrt{3})$, координаты $A_3$ и $A_4$ имеют вид $(l+1/2,\,k\sqrt{3}+1/2)$, где $k$, $l$ – целые числа. Координаты точек $X$ и $X'$ равны соответственно $(\mu, 0)$ и $(\mu+q+2p,\,q\sqrt3)$, где $0<\mu<1$. Отрезок $XX'$ соответствует простой замкнутой геодезической $\gamma$ типа $(p,q)$ на правильном тетраэдре в евклидовом пространстве. Если $(p,q)$ – взаимно простые числа, то геодезическая не будет повторять себя (см. [15]). Длина $\gamma$ равна Заметим, что для каждой пары взаимно простых натуральных чисел $(p, q)$ существует бесконечно много простых замкнутых геодезических типа $(p, q)$, все они параллельны между собой на развертке и пересекают ребра тетраэдра в одинаковом порядке. Если $q=0$, $p=1$, то геодезическая состоит из четырех отрезков, которые последовательно пересекают четыре противоположных ребра тетраэдра и не пересекают оставшиеся два противоположных ребра тетраэдра. Утверждение 1 (см. [18]). Для каждой пары взаимно простых натуральных чисел $(p, q)$ существует простая замкнутая геодезическая на правильном тетраэдре в евклидовом пространстве, проходящая через середины двух пар противоположных ребер тетраэдра. Утверждение 2 (см. [18]). Развертка тетраэдра вдоль простой замкнутой геодезической в евклидовом пространстве состоит из четырех равных многоугольников, причем любые два соседние из них можно совместить поворотом на угол $\pi$ относительно середины общего ребра. Лемма 1. Расстояние $h$ от вершин правильного тетраэдра в евклидовом пространстве до простой замкнутой геодезической типа $(p,q)$ на нем, проходящей через середины двух пар противоположных ребер тетраэдра, удовлетворяет неравенству Доказательство. Пусть $\gamma$ – простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$ на правильном тетраэдре $A_1A_2A_3A_4$ в евклидовом пространстве. Предположим, что $\gamma$ пересекает середину ребра $A_1A_2$ в точке $X$. Рассмотрим развертку тетраэдра вдоль этой геодезической, начиная с точки $X$, на евклидовой плоскости и введем систему координат, как описано выше. Геодезическая развернется в прямолинейный отрезок $XX'$, лежащий на прямой $y=(q\sqrt3)/(q+2p) (x-1/2)$ (см. рис. 1). Отрезок $XX'$ будет пересекать ребра $A_1A_2$ в точках $(x_b,y_b)=((2(q+2p) k+q)/(2q),k\sqrt{3})$, где $k\leqslant q$. Так как $XX'$ не проходит через вершины развертки, то $x_b$ не может быть целым числом. Значит, вершины геодезической $\gamma$ на ребрах $A_1A_2$ тетраэдра находятся на расстоянии не меньше чем ${1}/(2q)$ от вершин тетраэдра.
Аналогично можно получить, что на ребре $A_3A_2$ расстояние от вершин тетраэдра до геодезической не меньше $1/(2p)$. Отметим на сторонах $A_2A_1$ и $A_2A_3$ точки $B_1$ и $B_2$ такие, что длина $A_2B_1$ равна ${1}/(2q)$ и длина $A_2B_2$ равна $1/(2p)$ (рис. 2). Пусть $A_2H$ – высота треугольника $B_1A_2B_2$. Тогда расстояние от вершины тетраэдра $A_2$ до $\gamma$ не меньше длины $A_2H$. Длина отрезка $B_1B_2$ равна Тогда длина высоты $A_2H$ равна Таким образом, Лемма 1 доказана.Введем, следуя [17], следующие определения. Ломаной на тетраэдре будем называть кривую, состоящую из прямолинейных отрезков, которые последовательно соединяют точки на ребрах данного тетраэдра. Обобщенной ломаной на тетраэдре будем называть замкнутую ломаную на этом тетраэдре, если (1) она не имеет точек самопересечений; (2) она пересекает более трех ребер и не проходит через вершины тетраэдра; (3) соседние звенья данной ломаной лежат на разных гранях. Утверждение 3 (В. Ю. Протасов, см. [17]). Для каждой обобщенной ломаной на произвольном тетраэдре в евклидовом пространстве существует эквивалентная ей простая замкнутая геодезическая на правильном тетраэдре в евклидовом пространстве. § 3. Геодезические типа $(0,1)$ и $(1,1)$ на правильных тетраэдрах в $S^3$Напомним, что простая замкнутая геодезическая $\gamma$ типа $(p,q)$ имеет по $p$ вершин на одной паре противоположных ребер тетраэдра, по $q$ вершин на ребрах другой пары противоположных ребер тетраэдра и по $p+q$ вершин на третьей паре противоположных ребер тетраэдра. Если $q=0$, $p=1$, то геодезическая не пересекает одну пару противоположных ребер тетраэдра и последовательно проходит через оставшиеся четыре ребра. Лемма 2. На правильном тетраэдре в сферическом пространстве существуют три различные простые замкнутые геодезические типа $(0,1)$. Доказательство. Рассмотрим правильный тетраэдр $A_1 A_2 A_3 A_4$ в $S^3$ с углом грани величины $\alpha \in(\pi/3, 2\pi/3)$. Отметим точками $X_1$, $X_2$ середины ребер $A_1A_4$ и $A_3A_2$, и точками $Y_1$, $Y_2$ соответственно середины ребер $A_4A_2$ и $A_1A_3$. Соединим последовательно эти точки кратчайшими отрезками на гранях, на которых они лежат. Получим замкнутую ломаную $X_1Y_1X_2Y_2$. Так как точки $X_1$, $Y_1$, $X_2$, $Y_2$ являются серединами ребер, то треугольники $X_1A_4Y_1$, $Y_1A_2X_2$, $X_2A_3Y_2$, $Y_2A_1X_1$ равны. Следовательно, полученная ломаная $X_1Y_1X_2Y_2$ будет простой замкнутой геодезической типа $(0,1)$ на правильном тетраэдре в сферическом пространстве (рис. 3). Взяв середины других пар противоположных ребер тетраэдра можно аналогично построить еще две геодезические типа $(0,1)$, не эквивалентные данной. Лемма 2 доказана. Лемма 3. На правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани величины меньше $ \pi/2$ существуют три простые замкнутые геодезические типа $(1, 1)$. Доказательство. Рассмотрим правильный тетраэдр $A_1 A_2 A_3 A_4$ в $S^3$ с углом грани величины $\alpha \in(\pi/3, \pi/2)$. Отметим точками $X_1$, $X_2$ середины ребер $A_1A_4$ и $A_3A_2$, и точками $Y_1$, $Y_2$ соответственно середины ребер $A_4A_2$ и $A_1A_3$.
Развернем две соседние грани $A_1A_4A_3$ и $A_4A_3A_2$ и проведем прямолинейный отрезок $X_1Y_1$. Так как угол грани тетраэдра меньше $ \pi/2$, то отрезок $X_1Y_1$ лежит внутри развертки этих граней и пересекает ребро $A_4A_2$ под прямым углом. Далее рассмотрим две соседние грани $A_4A_1A_2$ и $A_1A_2A_3$ и проведем через них прямолинейный отрезок $Y_1X_2$. Аналогично через грани $A_2A_3A_4$ и $A_3A_4A_1$ проведем прямолинейный отрезок $X_2Y_2$ и через грани $A_1A_2A_3$, $A_4A_1A_2$ проведем $Y_2X_1$ (рис. 4). Так как точки $X_1$, $Y_1$, $X_2$ и $Y_2$ являются серединами своих ребер, то треугольники $X_1A_4Y_1$, $Y_1A_2X_2$, $X_2A_3Y_2$ и $Y_2A_1X_1$ равны. Значит, построенные отрезки $X_1Y_1$, $Y_1X_2$, $X_2Y_2$, $Y_2X_1$ на самом деле образуют простую замкнутую геодезическую типа $(1,1)$ на тетраэдре. Две другие простые замкнутые геодезические типа $(1,1)$ можно построить аналогично, соединив середины других пар противоположных ребер тетраэдра. Таким образом, на правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани меньше $ \pi/2$ существуют три простые замкнутые геодезические типа $(1, 1)$. Лемма 3 доказана. Лемма 4. На правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани величины, большей или равной $\pi/2$, существуют только три простые замкнутые геодезические, и все они имеют тип $(0,1)$. Доказательство. Рассмотрим правильный тетраэдр в сферическом пространстве с углом грани величины $\alpha \geqslant \pi/2$. Так как геодезическая является прямолинейным отрезком внутри развертки тетраэдра, то она не может пересекать подряд три ребра тетраэдра, что выходят из одной вершины.
Если простая замкнутая геодезическая на тетраэдре имеет тип $(p,q)$, где $p=q=1$ или $1<p<q$, то такая геодезическая пересекает подряд три ребра, что выходят из одной вершины тетраэдра (см. [17]). Только простая замкнутая геодезическая типа $(0,1)$ пересекает по два ребра, что выходят из одной вершины тетраэдра, и не пересекает третье. Из этого следует, что на правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани $ \alpha \in[\pi/2,2\pi/3)$ существуют три простые замкнутые геодезические типа $(0,1)$ и других геодезических нет. Лемма 4 доказана. В дальнейшем будем считать, что величина угла грани тетраэдра в сферическом пространстве меньше $\pi/2$. § 4. Длина простой замкнутой геодезической на правильном тетраэдре в $S^3$Лемма 5. Длина простой замкнутой геодезической на правильном тетраэдре в сферическом пространстве меньше $2\pi$. Доказательство. Рассмотрим правильный тетраэдр $A_1A_2A_3A_4$ в сферическом пространстве с углом грани величины $\alpha$, который удовлетворяет неравенству $\pi/3<\alpha<\pi/2$. Трехмерное сферическое пространство $S^3$ кривизны 1 можно представить трехмерной единичной сферой в четырехмерном евклидовом пространстве. Тогда тетраэдр $A_1A_2A_3A_4$ будет полностью лежать в одной открытой полусфере. Возьмем трехмерное евклидово пространство, касательное к этой полусфере в точке, которая является центром описанной вокруг тетраэдра сферы. Рассмотрим центральную проекцию полусферы на данное касательное пространство. Правильный тетраэдр в сферическом пространстве отобразится на правильный тетраэдр в касательном евклидовом пространстве. Простая замкнутая геодезическая $\gamma$ на $A_1A_2A_3A_4$ перейдет в обобщенную ломаную на правильном тетраэдре в евклидовом пространстве. Из утверждения 3 следует, что каждая обобщенная ломаная на правильном тетраэдре в евклидовом пространстве эквивалентна простой замкнутой геодезической на этом тетраэдре. Это значит, что простые замкнутые геодезические на правильном тетраэдре в $S^3$ также однозначно характеризуются парой взаимно простых натуральных чисел $(p,q)$ и имеют такую же структуру, как замкнутые геодезические на правильном тетраэдре в евклидовом пространстве. Изучим эту структуру, следуя [17].
Вершину геодезической $\gamma$ будем называть узлом зацепления, если она и две соседние к ней вершины геодезической лежат на ребрах, исходящих из одной вершины тетраэдра, и являются ближайшими к этой вершине тетраэдра вершинами геодезической. Воспользуемся следующим утверждением из [17]. Утверждение 4. Пусть $\gamma^1_1$, $\gamma^2_1$ – отрезки простой замкнутой геодезической $\gamma$, выходящие из узла зацепления на правильном тетраэдре, $\gamma^1_2$, $\gamma^2_2$ – следующие за ними и т.д. Тогда для каждого $i=2, \dots, 2p+2q-1$ отрезки $\gamma^1_i$ и $\gamma^2_i$ лежат на одной грани тетраэдра и между ними нет других точек геодезической. Отрезки $\gamma^1_{2p+2q}$ и $\gamma^2_{2p+2q}$ сходятся во второй узел зацепления геодезической. Предположим, что $\gamma$ имеет по $q$ вершин на ребрах $A_1A_2$ и $A_3A_4$, по $p$ вершин на $A_1A_4$ и $A_2A_3$ и по $p+q$ вершин на $A_2A_4$ и $A_1A_3$. Рассмотрим узел зацепления $B_0$ геодезической на ребре $A_4A_2$. Соседние с ним вершины $B^1_1$ и $ B^2_1$ геодезической являются ближайшими к $A_4$ на ребрах $A_4A_1$, $A_4A_3$ соответственно. Отрезки $B_0B^1_1$ и $B_0B^2_1$ соответствуют отрезкам $\gamma^1_1$ и $\gamma^2_1$ (рис. 5). Если развернем на плоскость грани $A_1A_2A_4$ и $A_2A_4A_3$, то отрезки $\gamma^1_1$ и $\gamma^2_1$ образуют один прямолинейный отрезок. На развертке получим треугольник $B^1_1A_4B^2_1$, который будем называть треугольником зацепления (рис. 6). Отрезки $\gamma^1_{2p+2q}$ и $\gamma^2_{2p+2q}$ сходятся во второй узел зацепления $B_{pq}$. Для определенности будем считать, что $B_{pq}$ является ближайшей к $A_1$ вершиной геодезической на ребре $A_1A_3$. Соседние c $B_{pq}$ вершины геодезической $B^1_{pq}$ и $B^2_{pq}$ являются ближайшими к $A_1$ на ребрах $A_1A_2$ и $A_1A_4$ (см. рис. 5). Отрезки $\gamma^1_{2p+2q}$ и $\gamma^2_{2p+2q}$ с вершиной тетраэдра $A_1$ образуют второй треугольник зацепления $B^1_{pq} A_1 B^2_{pq}$. Из этих треугольников зацепления, $B^1_1A_4B^2_1$ и $B^1_{pq} A_1 B^2_{pq}$, следует, что
$$
\begin{equation}
|B^1_1 B^2_1|<|B^1_1A_4|+|A_4B^2_1|, \qquad |B^2_{pq}B^1_{pq}|<|B^2_{pq}A_1|+|A_1B^1_{pq}|.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Будем теперь разворачивать тетраэдр на двумерную сферу вдоль геодезической, начиная с грани $A_1A_4A_3$, вдоль отрезков $\gamma^1_i$ и $\gamma^2_i$, $i=2, \dots, 2p+2q-1$. Отрезки геодезической $\gamma^1_2$ и $\gamma^2_2$, исходящие из точек $B^1_1$ и $B^2_1$, пересекают ребро $A_1A_3$ и далее разворачиваются в два прямолинейных отрезка, которые пересекают одинаковые ребра тетраэдра в одинаковом порядке и между ними нет других точек геодезической. В конце они пересекают ребро $A_2A_4$ грани $A_1A_2A_4$ и заканчиваются соответственно в точках $B^1_{pq}$ и $B^2_{pq}$ на ребрах $A_1A_2$ и $A_1A_4$ этой грани (рис. 6). Это значит, что вершины тетраэдра $A_4$ и $A_1$ лежат внутри двуугольника, образованного дугами больших окружностей, содержащими отрезки $B^1_1B^1_{pq}$ и $B^2_1B^2_{pq}$. Получаем на сфере выпуклый шестиугольник $B^1_1A_4B^2_1B^2_{pq}A_1B^1_{pq}$. Из неравенств (4.1) следует, что длина геодезической $\gamma$ меньше, чем периметр $B^1_1A_4B^2_1B^2_{pq}A_1B^1_{pq}$. Так как периметр выпуклого шестиугольника на сфере меньше $2\pi$, то на правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани величины $ \alpha< \pi/2 $ длина простой замкнутой геодезической $\gamma$ меньше $2\pi$. Из леммы 4 следует, что если величина $\alpha$ угла грани правильного тетраэдра в сферическом пространстве удовлетворяет неравенству $\pi/2 \leqslant \alpha<2\pi/3$, то на тетраэдре существуют только три простые замкнутые геодезические и они имеют тип $(0,1)$. Длина этих геодезических равна
$$
\begin{equation}
L_{0,1}=4\arccos\biggl(\frac{\sin({3\alpha}/{2})}{2\sin({\alpha}/{2})}\biggr).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Из (4.2) получаем, что на правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани величины $ \alpha \geqslant \pi/2 $ длины простых замкнутых геодезических также меньше $2\pi$. Лемма 5 доказана. Заметим, что лемму 5 можно рассматривать как частный случай более общего результата (см. [19]), который является обобщением теоремы В. А. Топоногова (см. [11]) на случай двумерного пространства Александрова. § 5. Единственность простой замкнутой геодезической типа $(p,q)$ на правильном тетраэдре в $S^3$В сферическом пространстве имеет место аналог утверждения 1. Лемма 6. Простая замкнутая геодезическая на правильном тетраэдре в сферическом пространстве проходит через середины двух пар противоположных ребер тетраэдра. Доказательство. Пусть на правильном тетраэдре $A_1 A_2 A_3 A_4$ в сферическом пространстве $S^3$ существует простая замкнутая геодезическая $\gamma$. Как описано в § 4, $\gamma$ эквивалентна простой замкнутой геодезической $\widetilde{\gamma}$ на правильном тетраэдре в евклидовом пространстве. Согласно утверждению 1 можем считать, что $\widetilde{\gamma}$ проходит через середины ребер $A_1A_2$, $A_3A_4$ и $A_2A_4$, $A_1A_3$ на соответствующем евклидовом тетраэдре. Обозначим через $X_1$ и $X_2$ вершины $\gamma$ на ребрах $A_1A_2$ и $A_3A_4$ сферического тетраэдра такие, что эквивалентные им вершины $\widetilde{\gamma}$ являются серединами одноименных ребер евклидового тетраэдра.
Развернем тетраэдр $A_1 A_2 A_3 A_4$ вдоль $\gamma$, начиная с точки $X_1$, на двумерную единичную сферу. Геодезическая $\gamma$ перейдет в прямолинейный отрезок $X_1X'_1$ внутри развертки, длина которого меньше $2\pi$. Участки развертки вдоль $X_1X_2$ и $X_2X'_1$ обозначим соответственно через $T_1$ и $T_2$. Отметим на тетраэдре $A_1 A_2 A_3 A_4$ в $S^3$ точками $M_1$ и $M_2$ середины ребер $A_1A_2$ и $A_3A_4$ соответственно. Поворот этого тетраэдра на угол $\pi$ относительно большой окружности, проходящей через точки $M_1$ и $M_2$, переводит тетраэдр в себя. Тогда развертка тетраэдра вдоль $\gamma$ на двумерной сфере является центрально симметричным относительно точки $M_2$ многоугольником. С другой стороны, центральная симметрия развертки тетраэдра относительно точки $M_2$ меняет местами части $T_1$ и $T_2$. Точка $X'_1$ на ребре $A_1A_2$ части $T_2$ отображается в точку $\widehat{X}'_1$ на ребре $A_2A_1$, которое содержит $X_1$, на $T_1$, причем длины $A_2X_1$ и $ \widehat{X}'_1A_1$ равны. Точка $X_1$ на $T_1$ переходит в точку $\widehat{X}_1$ на ребре $A_1A_2$ многоугольника $T_2$. Так как $M_2$ является серединой ребра $A_3A_4$, то после центральной симметрии точка $X_2$ на $A_3A_4$ перейдет в точку $\widehat{X}_2$ на этом же ребре такую, что длины $A_4X_2$ и $\widehat{X}_2A_3$ равны. Таким образом, центральная симметрия развертки тетраэдра относительно точки $M_2$ отображает отрезок $X_1X'_1$ в отрезок $\widehat{X}'_1\widehat{X}_1$ внутри развертки. Допустим, что после поворота отрезки $\widehat{X}'_1\widehat{X}_2$ и $X_1X_2$ на многоугольнике $T_1$ пересекаются в точке $Z_1$. Тогда отрезки $\widehat{X}_2\widehat{X}_1$ и $X_2X'_1$ на $T_2$ пересекаются в точке $Z_2$, которая центрально симметрична относительно $M_2$ точке $Z_1$ (рис. 7). Получаем внутри многоугольника на сфере две дуги окружности $X_1X'_1$ и $\widehat{X}'_1\widehat{ X}_1$, которые пересекаются в двух точках. Это значит, что $Z_1$ и $Z_2$ являются диаметрально противоположными точками на сфере, а длина отрезка $Z_1X_2Z_2$ геодезической равна $\pi$. Теперь рассмотрим развертку тетраэдра вдоль $\gamma$, начиная с точки $X_2$. Данная развертка будет состоять из тех же сферических многоугольников $T_2$ и $T_1$, но теперь они будут склеены по ребру $A_1A_2$ и будут центрально симметричными относительно точки $M_1$ (рис. 8). Геодезическая $\gamma$ перейдет в дугу окружности $X_2X_1X'_2$ внутри развертки. Аналогично, как в предыдущем случае, рассмотрим центральную симметрию развертки относительно $M_1$. Тогда отрезок $X_2X_1X'_2$ отобразится в отрезок $\widehat{X}_2\widehat{X}_1\widehat{X}'_2$ внутри многоугольника развертки. Так как центральная симметрия развертки относительно точки $M_1$ и относительно точки $M_2$ соответствует одному и том же движению тетраэдра в сферическом пространстве, то дуги $X_2X_1X'_2$ и $\widehat{X}_2\widehat{X}_1\widehat{X}'_2$ также будут пересекаться на развертке в точках $Z_1$ и $Z_2$ (см. рис. 8). Это значит, что длина отрезка $Z_1X_1Z_2$ геодезической также равна $\pi$. Из этого следует, что длина всей геодезической $\gamma$ на правильном тетраэдре в сферическом пространстве равна $2\pi$, что противоречит лемме 5. Следовательно, отрезки $\widehat{X}'_1\widehat{X}_2$ и $X_1X_2$ на многоугольнике $T_1$ или не пересекаются, или совпадают. Если отрезки $X_1X_2$ и $\widehat{X}'_1\widehat{X}_2$ на развертке не имеют точек пересечения, тогда они образуют четырехугольник $X_1X_2\widehat{X}_2\widehat{X}'_1$ на $T_1$. Так как $\gamma$ – замкнутая геодезическая на тетраэдре, то $\angle A_1X_1X_2+\angle A_2\widehat{X}'_1\widehat{X}_2=\pi$. Более того, $\angle X_1X_2A_3+ \angle\widehat{X}'_1\widehat{X}_2A_4=\pi$ на $T_1$. Получаем на сфере выпуклый четырехугольник, сумма внутренних углов которого равна $2\pi$ (рис. 9). В таком случае интеграл по внутренней части $X_1X_2\widehat{X}_2\widehat{X}'_1$ от гауссовой кривизны единичной сферы равен нулю. Это значит, что после поворота отрезок геодезической $\widehat{X}'_1\widehat{X}_2$ совпадает с отрезком $X_1X_2$. Из этого следует, что точки $X_1$ и $X_2$ на геодезической $\gamma$ являются серединами ребер $A_1A_2$ и $A_3A_4$ соответственно. Аналогично доказывается, что $\gamma$ проходит через середины другой пары противоположных ребер тетраэдра. Лемма 6 доказана. Следствие 1. Если две простые замкнутые геодезические на правильном тетраэдре в сферическом пространстве пересекают ребра в одинаковом порядке, то они совпадают. § 6. Оценка снизу длины геодезической на правильном тетраэдре в $S^3$Лемма 7. Длина простой замкнутой геодезической типа $(p,q)$ на правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани $\alpha$ удовлетворяет неравенству Доказательство. Рассмотрим правильный тетраэдр $A_1A_2A_3A_4$ в сферическом пространстве с углом грани, равным $\alpha$, и простую замкнутую геодезическую $\gamma$ типа $(p,q)$ на нем.
Каждая грань тетраэдра является правильным сферическим треугольником. Рассмотрим двумерную единичную сферу, содержащую грань $A_1A_2A_3$. Проведем евклидову плоскость $\Pi$ через вершины данного треугольника. Эта плоскость пересекает сферу по малой окружности. Проведем лучи из центра сферы к точкам сферического треугольника $A_1A_2A_3$. Получим отображение, которое переводит сферический треугольник $A_1A_2A_3$ в треугольник $\widetilde{\bigtriangleup} A_1A_2A_3$ на плоскости $\Pi$. Стороны $\widetilde{\bigtriangleup} A_1A_2A_3$ являются хордами, стягивающими дуги сторон сферического треугольника. Из формулы (1.1) следует, что длина $\widetilde{a}$ стороны $\widetilde{\bigtriangleup}A_1A_2A_3$ равна
$$
\begin{equation}
\widetilde{a}=\frac{\sqrt{4\sin^2({\alpha}/{2}) - 1}}{\sin({\alpha}/{2})}.
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Отрезки геодезической $\gamma$ внутри $A_1A_2A_3$ отобразятся в прямолинейные отрезки внутри $\widetilde{\bigtriangleup} A_1A_2A_3$ (рис. 10).
Аналогичным образом оставшиеся грани $A_2A_3A_4$, $A_2A_4A_1$ и $ A_1A_4A_3$ и отрезки геодезической $\gamma$ на них отобразим на евклидовы треугольники $\widetilde{\bigtriangleup} A_2A_3A_4$, $\widetilde{\bigtriangleup} A_2A_4A_1$ и $\widetilde{\bigtriangleup}A_1A_4A_3$ соответственно. Так как тетраэдр $A_1A_2A_3A_4$ является правильным, то все построенные евклидовы треугольники равны между собой. Склеим эти треугольники по одноименно названным сторонам в правильный тетраэдр в евклидовом пространстве. Отрезки внутри этих треугольников, которые являются образами геодезических отрезков $\gamma$, склеятся в обобщенную ломаную $\widetilde{\gamma}$ типа $(p,q)$ на полученном правильном тетраэдре в евклидовом пространстве. Покажем теперь, что длина простой замкнутой геодезической $\gamma$ на правильном тетраэдре в сферическом пространстве не меньше длины обобщенной ломаной $\widetilde{\gamma}$. Для этого достаточно доказать, что длина любой дуги геодезической $\gamma$ на грани не меньше своего образа на евклидовом треугольнике. Пусть $MN$ – отрезок $\gamma$, лежащий внутри грани $A_1A_2A_3$. Обозначим через $O$ центр двумерной сферы, которая содержит $A_1A_2A_3$. Радиусы $OM$ и $ON$ пересекают плоскость $\Pi$ соответственно в точках $\widetilde{M}$ и $\widetilde{N}$. Отрезок $\widetilde{M}\widetilde{N}$ лежит внутри $ \widetilde{\bigtriangleup} A_1A_2A_3$ и является образом дуги $MN$ (рис. 10). Если длина дуги $MN$ равна $2\varphi$, то длина отрезка $\widetilde{M}\widetilde{N}$ равна $2\sin\varphi$. Значит, длина любого отрезка геодезической $\gamma$ на грани не меньше своего образа на евклидовом треугольнике. Таким образом, длина простой замкнутой геодезической $\gamma$ на правильном тетраэдре в сферическом пространстве больше длины обобщенной ломаной $\widetilde{\gamma}$ на правильном тетраэдре в евклидовом пространстве. Из утверждения 3 следует, что на правильном тетраэдре в евклидовом пространстве существует простая замкнутая геодезическая $\widehat{\gamma}$, эквивалентная $\widetilde{\gamma}$. Так как на развертке тетраэдра $\widehat{\gamma}$ переходит в прямолинейный отрезок, то длина $\widehat{\gamma}$ меньше длины ломаной $\widetilde{\gamma}$. Из этого следует, что длина простой замкнутой геодезической $\gamma$ на правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани величины $\alpha$ больше длины простой замкнутой геодезической $\widehat{\gamma}$ на правильном тетраэдре с длиной ребра $\widetilde{a}$ в евклидовом пространстве. Из формул (2.1) и (6.2) следует, что
$$
\begin{equation*}
L_{p,q}>2\sqrt{p^2+pq+q^2}\, \frac{\sqrt{4\sin^2({\alpha}/{2}) - 1}}{\sin({\alpha}/{2})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 7 доказана. Теорема 1. На правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани $\alpha$ таким, что где $(p,q)$ – пара взаимно простых натуральных чисел, не существует простой замкнутой геодезической типа $(p,q)$. Доказательство. Из леммы 5 и неравенства (6.1) следует, что если
$$
\begin{equation}
2\sqrt{p^2+pq+q^2}\, \frac{\sqrt{4\sin^2({\alpha}/{2}) - 1}}{\sin({\alpha}/{2})}>2\pi,
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
то не выполняется необходимое условие существования простой замкнутой геодезической на правильном тетраэдре в сферическом пространстве. Преобразовав неравенство (6.4), получаем, что на правильном тетраэдре с углом грани $\alpha$ таким, что
$$
\begin{equation*}
\alpha>2\arcsin\sqrt{\frac{p^2+pq+q^2}{4(p^2+pq+q^2)-\pi^2}},
\end{equation*}
\notag
$$
не существует простой замкнутой геодезической типа $(p,q)$. Теорема 1 доказана. Следствие 2. На правильном тетраэдре в сферическом пространстве существует конечное число простых замкнутых геодезических. Доказательство. Если числа $(p,q)$ стремятся к бесконечности, то
$$
\begin{equation*}
\lim_{p,q \to\infty} 2\arcsin\sqrt{\frac{p^2+pq+q^2}{4(p^2+pq+q^2)-\pi^2}} =2\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (6.3) получаем, что для достаточно больших чисел $(p,q)$ простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$ может существовать только на правильных тетраэдрах с углом грани, близким к ${\pi}/{3}$. Следствие 2 доказано. Пары $p=0$, $q=1$ и $p=1$, $q=1$ не удовлетворяют неравенству (6.3). Геодезические таких типов рассмотрены в § 3. § 7. Достаточное условие существования простой замкнутой геодезической на правильном тетраэдре в $S^3$До этого момента мы считали, что гауссова кривизна граней правильного тетраэдра в сферическом пространстве равна $1$. В таком случае грани тетраэдра являются правильными геодезическими треугольниками с углом при вершине величины $\alpha$ на единичной сфере. Длина ребра $a$ как функция от $\alpha$ вычисляется по формуле (1.1). В этом параграфе мы будем рассматривать грани тетраэдра как правильные сферические треугольники с углом при вершине величины $\alpha$ на сфере радиуса $R=1/a$. Тогда длина ребра тетраэдра равна $1$, а кривизна граней равна $a^2$. Представим $\alpha>\pi/3$ в виде $\alpha=\pi/3+\varepsilon$, где $\varepsilon>0$. Учитывая лемму 4, будем считать $\varepsilon<\pi/6$. Далее рассмотрим несколько вспомогательных лемм. Лемма 8. Длина ребра правильного тетраэдра в сферическом пространстве кривизны 1 удовлетворяет неравенству где $\alpha={\pi}/{3}+\varepsilon$ – величина угла грани тетраэдра. Доказательство. Из формулы (1.1) следует, что
$$
\begin{equation*}
\sin a=\frac{\sqrt{4\sin^2(\alpha/2)-1}}{2\sin^2(\alpha/2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя $\alpha={\pi}/{3}+\varepsilon$, получаем
$$
\begin{equation*}
\sin a= \frac{\sqrt{\sin({\varepsilon}/{2})\cos({\pi}/{6}-{\varepsilon}/{2})}} {\sin^2({\pi}/{6}+{\varepsilon}/{2})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\varepsilon<{\pi}/{6} $, то $\cos(\pi/6 -\varepsilon/2)<\cos(\pi/12)$, $\sin(\pi/6+\varepsilon/2)>\sin(\pi/6) $ и $\sin(\varepsilon/2)<\varepsilon/2$. Используя эти неравенства, получаем
$$
\begin{equation}
\sin a<2\sqrt{2\cos\frac{\pi}{12}}\,\sqrt{\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
Так как $a<\pi/2$, то $\sin a>(2/\pi) a $. Тогда Лемма 8 доказана. Рассмотрим параметризацию двумерной сферы $S^2$ радиуса $R $ в трехмерном евклидовом пространстве:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} x=R\sin\varphi\cos\theta, \\ y=R\sin\varphi\sin\theta, \\ z=- R\cos\varphi, \end{cases}
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
где $\varphi \in [0, \pi]$, $\theta \in [0, 2\pi)$. Пусть точка $P$ имеет координаты $\varphi=r/R$, $\theta=0$, где $ r/R<\pi/2$, и точка $X_1$ соответствует $\varphi=0$. Рассмотрим центральную проекцию полусферы $\varphi \in [0, \pi/2)$, $\theta \in [0, 2\pi)$ на касательную в точке $X_1$ плоскость. Лемма 9. При центральной проекции полусферы радиуса $R=1/a$ на касательную в точке $X_1$ плоскость угол величины $\alpha=\pi/3+\varepsilon$ с вершиной в точке $P$ с координатами $(R\sin(r/R), 0, -R\cos(r/R))$ на этой полусфере отображается в угол величины $\widehat{\alpha}_r$, который удовлетворяет неравенству Доказательство. Проведем две плоскости $\Pi_1$ и $\Pi_2$ через центр сферы и точку $P=(R\sin(r/R), 0, -R\cos(r/R))$: причем Пусть угол между плоскостями $\Pi_1$ и $\Pi_2$ равен $\alpha$, тогда
Уравнение касательной плоскости к сфере $S^2$ в точке $X_1$ имеет вид $z=-R$. Плоскости $\Pi_1$ и $\Pi_2$ пересекают касательную плоскость по двум прямым, угол между которыми равен $\widehat{\alpha}_r$ (рис. 11), и
$$
\begin{equation}
\cos\widehat{\alpha}_r=\frac{a_1a_2\cos^2(r/R)+\sqrt{(1 -a_1^2)(1 -a_2^2)}} {\sqrt{1 -a_1^2\sin^2(r/R)}\,\sqrt{1 -a_2^2\sin^2(r/R)}}.
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
Из формул (7.6), (7.7) следует, что
$$
\begin{equation}
|\cos\widehat{\alpha}_r-\cos\alpha |< \frac{|a_1a_2\sin^2(r/R)|}{\sqrt{1 -a_1^2\sin^2(r/R)}\, \sqrt{1-a_2^2\sin^2(r/R)}}.
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
Применив неравенство (7.5), из оценки (7.8) получаем, что
$$
\begin{equation}
|\cos\widehat{\alpha}_r-\cos\alpha |< \operatorname{tg} ^2 \frac{r}{R}.
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
Так как $\alpha>{\pi}/{3}$ и $ \widehat{\alpha}_r<\pi $, то из формулы
$$
\begin{equation*}
|\cos\widehat{\alpha}_r-\cos\alpha| =\biggl|2\sin\frac{\widehat{\alpha}_r-\alpha}{2}\sin\frac{\widehat{\alpha}_r+\alpha}{2}\biggr|
\end{equation*}
\notag
$$
и неравенств
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sin\frac{\widehat{\alpha}_r+\alpha}{2}\biggr|>\sin\frac{\pi}{6}, \qquad \biggl|\sin\frac{\widehat{\alpha}_r- \alpha}{2}\biggr| >\frac{2}{\pi}\biggl|\frac{\widehat{\alpha}_r- \alpha}{2}\biggr|
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что
$$
\begin{equation}
\frac{2}{\pi}\biggl|\frac{\widehat{\alpha}_r-\alpha}{2}\biggr| <|\cos\widehat{\alpha}_r -\cos\alpha |.
\end{equation}
\tag{7.10}
$$
Из (7.10), (7.9) и равенства $\alpha={\pi}/{3}+\varepsilon$ имеем, что
$$
\begin{equation}
\biggl|\widehat{\alpha}_r- \frac{\pi}{3}\biggr|<\pi \operatorname{tg} ^2 \frac{r}{R}+\varepsilon.
\end{equation}
\tag{7.11}
$$
Лемма 9 доказана. На сфере (7.3) рассмотрим дугу длины 1, исходящую из точки $P$ с координатами $\varphi=r/R$, $\theta=0$, где $r/R<\pi/2$. Рассмотрим центральную проекцию этой дуги на плоскость $z=-R$, касательную к сфере в точке $X_1$ ($\varphi=0$). Лемма 10. При центральной проекции полусферы радиуса $R=1/a$ на касательную в точке $X_1$ плоскость дуга длины $1$ на этой полусфере, исходящая из точки $P$ с координатами $(R\sin(r/R),0,-R\cos(r/R))$, отображается в отрезок длины $\widehat{l}_r$, который удовлетворяет неравенству Доказательство. Точка $P=(R\sin(r/R), 0, -R\cos(r/R))$ на сфере $S^2$ проектируется на касательную плоскость $z=-R$ в точку $\widehat{P}=(R \operatorname{tg} (r/R), 0, -R)$.
Теперь рассмотрим точку $Q=(R a_1, R a_2, R a_3)$ на сфере, лежащую на сферическом расстоянии $1$ от точки $P$. Тогда $\angle POQ=1/R $, где $O$ – центр сферы $S^2$ (рис. 12). Получаем следующие условия на $a_1$, $a_2$, $a_3$: При центральной проекции на плоскость $z=-R$ точка $Q $ отображается в точку $\widehat{Q}=(-(a_1/a_3)R, -(a_2/a_3)R, -R)$. Длина отрезка $\widehat{P}\widehat{Q}$ равна
$$
\begin{equation}
|\widehat{P}\widehat{Q}|=R\sqrt{\biggl(\frac{a_1}{a_3}- \operatorname{tg} \frac{r}{R}\biggr)^2+ \frac{a^2_2}{a_3^2}}.
\end{equation}
\tag{7.15}
$$
Решив задачу поиска условного экстремума с помощью метода множителей Лагранжа, получаем, что минимальное значение длины $\widehat{P}\widehat{Q}$ достигается, когда точка $Q$ имеет координаты $(R\sin((r-1)/R), 0, -R\cos((r-1)/R))$. Тогда
$$
\begin{equation*}
|\widehat{P}\widehat{Q}|_{\min} =R\biggl| \operatorname{tg} \frac{r}{R}- \operatorname{tg} \frac{r-1}{R}\biggr| =\frac{R\sin(1/R)}{\cos(r/R)\cos((r-1)/R)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $ |\widehat{P}\widehat{Q}|_{\min}>1$. Максимальное значение длины $\widehat{P}\widehat{Q}$ достигается, если точка $Q$ имеет координаты $(R\sin((r-1)/R), 0, R\cos((r-1)/R))$. Тогда это значение равно
$$
\begin{equation*}
|\widehat{P}\widehat{Q}|_{\max}=R\biggl| \operatorname{tg} \frac{r}{R}- \operatorname{tg} \frac{r+1}{R}\biggr| =\frac{R\sin(1/R)}{\cos(r/R)\cos((r+1)/R)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $R=1/a$, то длина $\widehat{l}_r$ проекции дуги $PQ$ удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation*}
\widehat{l}_r\leqslant \frac{\sin a}{a\cos (a r)\cos(a(r+1))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая неравенство $(\sin a)/a<1$, получаем, что
$$
\begin{equation}
\widehat{l}_r-1\leqslant \frac{2 -\cos a-\cos(a(2r+1))}{2\cos (a r)\cos(a(r+1))}.
\end{equation}
\tag{7.16}
$$
Из формулы (7.2) следует, что
$$
\begin{equation}
1 -\cos a=\frac{\sin^2a}{1+\cos a} \leqslant 8\cos\frac{\pi}{12}\varepsilon.
\end{equation}
\tag{7.17}
$$
Аналогично из (7.1) получаем, что
$$
\begin{equation}
1-\cos(a (2r+1))\leqslant \biggl(2\pi^2(2r+1)^2\cos\frac{\pi}{12}\biggr)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{7.18}
$$
Знаменатель в (7.16) оценим с помощью неравенства $\cos x>1-(2/\pi)x$ для $x<\pi/2$. Используя оценки (7.17) и (7.18), получаем, что
$$
\begin{equation*}
\widehat{l}_r -1<\frac{4\cos(\pi/12)+\pi^2(2r+1)^2\cos(\pi/12)} {(1-(2/\pi)a(r+1))^2}\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 10 доказана. Теорема 2. Пусть $(p,q)$ – пара взаимно простых натуральных чисел, $0\leqslant p<q$, и пусть $ \varepsilon$ такое, что Доказательство. Зафиксируем пару взаимно простых натуральных чисел $(p,q)$ таких, что $0<p<q$. На правильном тетраэдре $\widetilde{A}_1\widetilde{A}_2\widetilde{A}_3\widetilde{A}_4$ с ребром длины $1$ в евклидовом пространстве рассмотрим простую замкнутую геодезическую $\widetilde{\gamma}$, проходящую через точки $\widetilde{X}_1$, $\widetilde{X}_2$ и $\widetilde{Y}_1$, $\widetilde{Y}_2$, которые являются серединами ребер $\widetilde{A}_1\widetilde{A}_2$ и $\widetilde{A}_3\widetilde{A}_4$ и $\widetilde{A}_1\widetilde{A}_3$, $\widetilde{A}_4\widetilde{A}_2$ соответственно. Теперь рассмотрим развертку $\widetilde{T}_{pq}$ тетраэдра вдоль $\widetilde{\gamma}$, начиная с точки $\widetilde{X}_1$. Геодезическая перейдет в прямолинейный отрезок $\widetilde{X}_1\widetilde{Y}_1\widetilde{X}_2\widetilde{Y}_2 \widetilde{X'_1}$ внутри $\widetilde{T}_{pq}$. Из утверждения 2 получаем, что части развертки вдоль каждого из отрезков $\widetilde{X}_1\widetilde{Y}_1$, $\widetilde{Y}_1\widetilde{X}_2$, $\widetilde{X}_2\widetilde{Y}_2$ и $ \widetilde{Y}_2\widetilde{X}'_1$ являются равными многоугольниками, которые попарно накладываются друг на друга центральной симметрией относительно середин общих ребер (рис. 13).
Рассмотрим $\alpha \in(\pi/3, \pi/2)$ и двумерную сферу $S^2$ радиуса $R=1/a$, где $a$ зависит от $\alpha$ по формуле (1.1). Возьмем на сфере одинаковые правильные сферические треугольники с углом при вершине величины $\alpha$. Сложим эти треугольники в том же порядке, в котором разворачивались грани тетраэдра в евклидовом пространстве вдоль геодезической $\widetilde{\gamma}$. Другими словами, мы строим на сфере многоугольник $T_{pq}$, состоящий из той же последовательности треугольников, что и развертка $\widetilde{T}_{pq}$ в евклидовом пространстве. Обозначим вершины $T_{pq}$ в соответствии с вершинами $\widetilde{T}_{pq}$. Сферический многоугольник $T_{pq}$ также будет обладать свойствами центральной симметрии, что и евклидова развертка. Так как группы симметрий правильного тетраэдра в сферическом пространстве и в евклидовом пространстве совпадают, то $T_{pq}$ будет соответствовать некоторой развертке правильного тетраэдра с углом грани величины $\alpha$ в сферическом пространстве. Отметим на $T_{pq}$ середины ребер $A_1A_2$, $A_3A_4$, $A_1A_3$, $A_4A_2$ точками $X_1$, $X'_1$ и $X_2$, $Y_1$, $Y_2$, которые будут соответствовать точкам $\widetilde{X}_1$, $\widetilde{X}'_1$ и $\widetilde{X}_2$, $\widetilde{Y}_1$, $\widetilde{Y}_2$ на евклидовой развертке. Проведем дуги больших окружностей $ X_1Y_1$, $Y_1X_2$, $ X_2Y_2$ и $ Y_2X'_1$. Так как по построению многоугольник $T_{pq}$ обладает теми же свойствами центральной симметрии, что и развертка в евклидовом пространстве, то отрезки $ X_1Y_1$, $Y_1X_2$, $ X_2Y_2$ и $ Y_2X'_1$ на самом деле являются одним прямолинейным отрезком, т.е. лежат на большой окружности $S^2$ (рис. 14). Если $\alpha$ такое, что дуга $X_1Y_1$ полностью лежит внутри многоугольника $T_{pq}$, то в силу симметричности $T_{pq}$ вся дуга $X_1X'_1$ также полностью проходит внутри $T_{pq}$. Тогда $X_1X'_1$ будет соответствовать простой замкнутой геодезической типа $(p,q)$ на правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани величины $\alpha$. Далее будем рассматривать только часть многоугольника $T_{pq}$ вдоль $ X_1Y_1$ и будем для удобства обозначать ее также $T_{pq}$. Эта часть состоит из $p+q$ равносторонних треугольников с ребром длины один. Для того чтобы этот многоугольник лежал в открытой полусфере, достаточно, чтобы выполнялось неравенство Так как $\alpha=\pi/3+\varepsilon$, то из оценки (7.1) следует, что (7.20) выполняется, если верно неравенство В таком случае длина дуги $X_1Y_1$ меньше $\pi/2 a$, т.е. согласно лемме 5 она удовлетворяет необходимому условию существования простой замкнутой геодезической на правильном тетраэдре в сферическом пространстве.Проведем касательную плоскость $T_{X_1}S^2$ к сфере в точке $X_1$ и рассмотрим центральную проекцию $T_{pq}$ на эту плоскость. Дуга $ X_1Y_1$ отобразится в прямолинейный отрезок $\widehat{X}_1\widehat{Y}_1$ на касательной плоскости $T_{X_1}S^2$. Так как центральная проекция является геодезическим отображением, то многоугольник $T_{pq}$ отобразится в многоугольник $\widehat{T}_{pq}$ на $T_{X_1}S^2$, составленный из треугольников. Обозначим через $\widehat{A}_i$ вершину $\widehat{T}_{pq}$, которая является проекцией соответствующей вершины $A_i$ многоугольника $T_{pq}$. Дуга $ X_1Y_1$ на сфере при центральной проекции отображается в прямолинейный отрезок $\widehat{X}_1\widehat{Y}_1$ на касательной плоскости $T_{X_1}S^2$, который соединяет середины сторон $\widehat{A}_1\widehat{A}_2$ и $\widehat{A}_1\widehat{A}_3$. Если $\alpha$ такое, что $\widehat{X}_1\widehat{Y}_1$ лежит внутри многоугольника $\widehat{T}_{pq}$ на $T_{X_1}S^2$, тогда и дуга $X_1Y_1$ лежит внутри $T_{pq}$ на сфере. Вектор $\widehat{X}_1\widehat{Y}_1$ равен
$$
\begin{equation}
\widehat{X}_1\widehat{Y}_1=\widehat a_0+\widehat a_1+\dots+\widehat a_s+\widehat{a}_{s+1},
\end{equation}
\tag{7.22}
$$
где $\widehat a_i$ – последовательные векторы границы $\widehat{T}_{pq}$, $\widehat a_0=\widehat X_1\widehat A_2$, $\widehat{a}_{s+1}=\widehat A_1\widehat Y_1$ и $s=[(p+q)/2]+1$ (если берем границу многоугольника $\widehat{T}_{pq}$ с другой стороны относительно $\widehat{X}_1\widehat{Y}_1$, то $s=[(p+q)/2]$) (рис. 15). С другой стороны, на данной евклидовой плоскости существует развертка $\widetilde{T}_{pq}$ правильного евклидового тетраэдра $\widetilde{A}_1\widetilde{A}_2\widetilde{A}_3\widetilde{A}_4$ с ребром длины 1, эквивалентная $T_{pq}$, а значит, и эквивалентная $\widehat{T}_{pq}$. Отрезок $\widetilde{X}_1\widetilde{Y}_1$ лежит внутри $\widetilde{T}_{pq}$ и соответствует отрезку простой замкнутой геодезической на правильном тетраэдре в евклидовом пространстве, проходящей через середины двух пар противоположных ребер тетраэдра. Разместим $\widetilde{T}_{pq}$ так, чтобы точка $ \widetilde{X}_1$ совпала с точкой $\widehat{X}_1 $ многоугольника $\widehat{T}_{pq}$, и вектор $\widehat{X}_1\widehat{A}_2$ был сонаправлен с $\widetilde{X}_1\widetilde{A}_2$. Аналогично вектор $\widetilde{X}_1 \widetilde{Y}_1$ равен
$$
\begin{equation}
\widetilde{X}_1\widetilde{Y}_1= \widetilde a_0+\widetilde a_1+\dots+\widetilde a_s+\widetilde{a}_{s+1},
\end{equation}
\tag{7.23}
$$
где $\widetilde a_i $ – последовательные векторы границы $\widetilde T_{pq}$, $s=[(p+q)/2]+1$ и $\widetilde a_0=\widetilde{X}_1 \widetilde{A}_2$, $\widetilde{a}_{s+1}=\widetilde{A}_1 \widetilde{Y}_1$ (см. рис. 15). Допустим, минимальное расстояние от вершин $\widetilde{T}_{pq}$ до отрезка $\widetilde{X}_1 \widetilde{Y}_1$ достигается на вершине $ \widetilde{A}_k$ и равно $\widetilde{h}$ из формулы (2.2). Оценим теперь расстояние $\widehat h$ между отрезком $\widehat{X}_1 \widehat{Y}_1$ и соответствующей вершиной $\widehat{A}_k$ многоугольника $\widehat{T}_{pq}$. Геодезическая на правильном тетраэдре в евклидовом пространстве пересекает подряд не больше трех ребер, выходящих из одной вершины тетраэдра. Это значит, что углы при вершинах многогранника $ \widetilde{T}_{pq}$ не больше $4{\pi}/{3}$, тогда углы при вершинах $\widehat{T}_{pq}$ не больше $4 \widehat{\alpha}_i$. Тогда для $1\leqslant i \leqslant s$, применив формулу (7.4), получаем, что угол между $ \widehat a_i$ и $ \widetilde a_i $ удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation}
\angle(\widehat a_i, \widetilde a_i) <\sum_{j=0}^i 4\biggl(\pi \operatorname{tg} ^2 \frac{j}{R}+\varepsilon\biggr).
\end{equation}
\tag{7.24}
$$
Так как $R=1/a$, то, использовав (7.1), запишем оценку
$$
\begin{equation}
\operatorname{tg} \frac{j}{R}< \operatorname{tg} \biggl(j \pi\sqrt{2\cos\frac{\pi}{12}}\sqrt{\varepsilon}\biggr).
\end{equation}
\tag{7.25}
$$
Для того чтобы выполнялось неравенство (7.20), достаточно потребовать, чтобы
$$
\begin{equation}
\operatorname{tg} \biggl(j\pi\sqrt{2\cos\frac{\pi}{12}}\sqrt{\varepsilon}\biggr)< \operatorname{tg} \frac{\pi j}{2 (p+q)}.
\end{equation}
\tag{7.26}
$$
Если $ \operatorname{tg} x< \operatorname{tg} x_0$, то $ \operatorname{tg} x<( \operatorname{tg} x_0/x_0)x$. Тогда из (7.26) следует, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{tg} \biggl(j\pi\sqrt{2\cos\frac{\pi}{12}}\sqrt{\varepsilon}\biggr) <2 (p+q) \operatorname{tg} \frac{\pi j}{2(p+q)}\sqrt{2\cos\frac{\pi}{12}}\sqrt{\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{7.27}
$$
Таким образом, из (7.25) и (7.27) получаем, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{tg} \frac{j}{R}<2 (p+q) \operatorname{tg} \frac{\pi j}{2 (p+q)}\sqrt{2\cos\frac{\pi}{12}}\sqrt{\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{7.28}
$$
Использовав (7.24) и (7.28), запишем окончательную оценку угла между векторами $\widehat a_i$ и $ \widetilde a_i$:
$$
\begin{equation}
\angle(\widehat a_i, \widetilde a_i )<\sum_{j=0}^i4 \biggl(8 \pi(p+q)^2\cos\frac{\pi}{12} \operatorname{tg} ^2 \frac{\pi j}{2 (p+q)}+1\biggr)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{7.29}
$$
Теперь рассмотрим длину вектора $ \widehat a_i - \widetilde a_i $ (рис. 16). Верно неравенство
$$
\begin{equation}
|\widehat a_i - \widetilde a_i| \leqslant\biggl|\frac{\widehat a_i}{|\widehat a_i|} - \widetilde a_i\biggr| +\biggl|\widehat a_i - \frac{\widehat a_i}{|\widehat a_i|} \biggr|.
\end{equation}
\tag{7.30}
$$
Так как $\widetilde a_i$ – единичный вектор, то
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{\widehat a_i}{|\widehat a_i|} - \widetilde a_i\biggr| \leqslant \angle(\widehat a_i, \widetilde a_i ), \qquad \biggl|\widehat a_i - \frac{\widehat a_i}{|\widehat a_i|}\biggr| \leqslant \widehat{l}_i -1.
\end{equation}
\tag{7.31}
$$
Из оценки (7.12) получаем, что
$$
\begin{equation}
\biggl|\widehat a_i-\frac{\widehat a_i}{|\widehat a_i|}\biggr|< \frac{\cos(\pi/12)(4+\pi^2(2i+1)^2)} {(1-(2/\pi)a(i+1))^2}\varepsilon.
\end{equation}
\tag{7.32}
$$
Оценим знаменатель (7.32) с помощью неравенства (7.20). Тогда
$$
\begin{equation}
\biggl|\widehat a_i - \frac{\widehat a_i}{|\widehat a_i|}\biggr| <\frac{\cos(\pi/12) (p+q)^2(4+\pi^2(2i+1)^2)}{(p+q-i-1)^2} \varepsilon.
\end{equation}
\tag{7.33}
$$
Таким образом, из (7.30), (7.29) и (7.33) получаем, что
$$
\begin{equation}
| \widehat a_i - \widetilde a_i | \leqslant\biggl(c_l (i)+\sum_{j=0}^ic_\alpha (j)\biggr)\varepsilon,
\end{equation}
\tag{7.34}
$$
где
$$
\begin{equation}
c_l (i)=\frac{\cos(\pi/12) (p+q)^2(4+\pi^2(2i+1)^2)}{(p+q-i-1)^2},
\end{equation}
\tag{7.35}
$$
$$
\begin{equation}
c_\alpha (j)=4\biggl(8\pi(p+q)^2\cos\frac{\pi}{12} \operatorname{tg} ^2\frac{\pi j}{2 (p+q)}+1\biggr).
\end{equation}
\tag{7.36}
$$
Оценим длину $\widehat{Y}_1 \widetilde{Y}_1 $, используя (7.34):
$$
\begin{equation}
|\widehat{Y}_1\widetilde{Y}_1| <\sum_{i=0}^{s+1}|\widehat a_i-\widetilde a_i | <\sum_{i=0}^{s+1}\biggl( c_l (i)+\sum_{j=0}^ic_\alpha (j)\biggr)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{7.37}
$$
Угол $\angle\widehat{Y}_1\widehat{X}_1\widetilde{Y}_1$ из формулы (7.29) оценивается
$$
\begin{equation}
\angle \widehat{Y}_1\widehat{X}_1 \widetilde Y_1 <\sum_{i=0}^{s+1}c_\alpha(i)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{7.38}
$$
Расстояние между вершинами $\widehat{A}_k$ и $\widetilde{A}_k$ равно
$$
\begin{equation}
|\widehat{A}_k\widetilde{A}_k| <\sum_{i=0}^k\biggl(c_l(i)+\sum_{j=0}^ic_\alpha(j)\biggr)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{7.39}
$$
Теперь из вершины $\widehat{A}_k$ опустим перпендикуляр $\widehat{A}_k\widehat{H}$ на отрезок $\widehat{X}_1\widehat{Y}_1$. Длина $\widehat{A}_k\widehat{H}$ равна $\widehat{h}$. Опустим перпендикуляр $\widetilde{A}_k\widetilde{H}$ на отрезок $\widetilde{X}_1\widetilde{Y}_1$. Его длина будет равна расстоянию $\widetilde{h}$ от вершин правильного тетраэдра в евклидовом пространстве до простой замкнутой геодезической на нем, проходящей через середины двух пар противоположных ребер тетраэдра. Пусть точка $F$ на $\widetilde{X}_1\widetilde{Y}_1$ такая, что отрезок $\widetilde{A}_k F$ пересекает $\widehat{X}_1\widehat{Y}_1$ под прямым углом. Тогда длина $\widetilde{A}_k F$ не меньше $ \widetilde{h}$. Пусть $G$ на $\widetilde{X}_1\widetilde{Y}_1$ является продолжением отрезка $\widehat{ A}_k\widehat{H}$, и проведем $FK$ перпендикулярно $\widehat{H} G$ (рис. 17). Тогда длина отрезка $FK$ не больше длины $ \widehat{A}_k\widetilde{A}_k $ и $\angle KFG=\angle\widehat{Y}_1\widehat{X}_1 \widetilde{Y}_1$. Из треугольника $GFK$ получаем, что
$$
\begin{equation}
| FG |=\frac{|FK|}{\cos\angle \widehat{Y}_1\widehat{X}_1 \widetilde{Y}_1}.
\end{equation}
\tag{7.40}
$$
Применим неравенство $\cos x>1-(2/\pi)x$, где $x<\pi/2$, к (7.40). Тогда
$$
\begin{equation}
| FG |<\frac{|\widehat{A}_k\widetilde{A}_k |}{1-(2/\pi) \angle \widehat{Y}_1\widehat{X}_1 \widetilde{Y}_1}.
\end{equation}
\tag{7.41}
$$
Используя (7.38), (7.39), из (7.41) получаем, что
$$
\begin{equation}
| FG |<\frac{\sum_{i=0}^k \bigl( c_l (i)+\sum_{j=0}^i c_\alpha (j) \bigr) \varepsilon} {1- \sum_{i=0}^s \bigl( 64 \pi (p+q)^2\cos(\pi/12) \operatorname{tg} ^2({\pi i}/(2 (p+q))+{8}/{\pi} \bigr) \varepsilon}.
\end{equation}
\tag{7.42}
$$
Оценив знаменатель (7.42) с помощью (7.21), запишем окончательную оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, | FG | &<\biggl(\sum_{i=0}^k\biggl(c_l (i)+\sum_{j=0}^ic_\alpha (j)\biggr)\varepsilon\biggr) \nonumber \\ &\qquad\times \biggl(1-\frac{(p+q+2)}{2\pi\cos(\pi/12)(p+q)^2} -8 \sum_{i=0}^{s+1} \operatorname{tg} ^2 \biggl(\frac{\pi i}{2(p+q)}\biggr)\biggr)^{-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.43}
$$
Итак, из данной конструкции следует, что
$$
\begin{equation}
\widetilde{h} \leqslant \widetilde{A}_kF \leqslant \widehat{h}+|\widehat{H} G |+|\widehat{A}_k \widetilde{A}_k|+| FG |.
\end{equation}
\tag{7.44}
$$
Заметим, что $|\widehat{H} G |<| \widehat{Y}_1\widetilde{Y}_1 | $. Из леммы 1 следует, что расстояние $ \widetilde{h} $ удовлетворяет неравенству $\widetilde{h}>\sqrt{3}/(4\sqrt{p^2+q^2+pq})$. Таким образом, из (7.44) следует, что
$$
\begin{equation}
\widehat{h}>\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{p^2+q^2+pq}} - | \widehat{Y}_1\widetilde{Y}_1 |-|\widehat{A}_k \widetilde{A}_k| - | FG |.
\end{equation}
\tag{7.45}
$$
Воспользовавшись оценками (7.37), (7.39), (7.43) и равенством $s=[(p+q)/2]+1 $, мы получаем, что
$$
\begin{equation}
\widehat{h}>\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{p^2+q^2+pq}} - c_0 \sum_{i=0}^{[(p+q)/2]+2}\biggl( c_l (i)+\sum_{j=0}^i c_\alpha (j) \biggr) \varepsilon,
\end{equation}
\tag{7.46}
$$
где $c_l (i)$ из (7.35), $c_\alpha (j)$ из (7.36) и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, c_0 &=\biggl(3-\frac{(p+q+2)}{\pi\cos(\pi/12) (p+q)^2} -16\sum_{i=0}^{[(p+q)/2]+2} \operatorname{tg} ^2\biggl(\frac{\pi i}{2 (p+q)}\biggr)\biggr) \\ &\qquad\times \biggl(1-\frac{(p+q+2)}{2\pi\cos(\pi/12) (p+q)^2} -8\sum_{i=0}^{[(p+q)/2]+2} \operatorname{tg} ^2\biggl(\frac{\pi i}{2 (p+q)}\biggr)\biggr)^{-1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из неравенства (7.46) получаем, что если $\varepsilon$ удовлетворяет условию
$$
\begin{equation}
\varepsilon<\frac{\sqrt{3}}{4 c_0\sqrt{p^2+q^2+pq}\sum_{i=0}^{[(p+q)/2]+2} \bigl( c_l (i)+\sum_{j=0}^i c_\alpha (j)\bigr)} ,
\end{equation}
\tag{7.47}
$$
то расстояние от вершин многоугольника $\widehat{T}_{pq}$ до $\widehat{X}_1\widehat{Y}_1$ будет больше нуля. Так как мы пользовались оценкой (7.21), получаем, что если $\varepsilon$ удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation}
\varepsilon\,{<}\min \biggl\{\frac{\sqrt{3}}{4 c_0\sqrt{p^2\,{+}\,q^2\,{+}\,pq}\sum_{i=0}^{[(p+q)/2]+2} \bigl(c_l (i)\,{+}\sum_{j=0}^i c_\alpha (j)\bigr)};\frac{1}{8\cos(\pi/12)(p\,{+}\,q)^2}\biggr\},
\end{equation}
\tag{7.48}
$$
то отрезок $\widehat{X}_1\widehat{Y}_1$ будет лежать внутри многоугольника $\widehat{T}_{pq}$. Это значит, что дуга $X_1Y_1$ на сфере будет лежать внутри многоугольника $T_{pq}$ и будет соответствовать простой замкнутой геодезической $\gamma$ типа $(p,q)$ на правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани $\alpha=\pi/3+\varepsilon$. Из следствия 1 получаем, что данная геодезическая будет единственной. Заметим, что повороты тетраэдра на угол $\pi$ относительно прямой, проходящей через середины противоположных ребер тетраэдра, переводят $\gamma$ в себя. Такие изометрии не меняют расположение вершин геодезической на каждом ребре тетраэдра. Повороты тетраэдра на угол $2\pi/3 $ или $4\pi/3 $ относительно высоты, опущенной из вершины тетраэдра на противоположную грань, меняют количество вершин геодезической на каждом ребре тетраэдра. При этом одна пара противоположных ребер тетраэдра переходит в другую пару противоположных ребер. Таким образом, при таких изометриях тетраэдра получаем другую простую замкнутую геодезическую типа $(p, q)$ на том же правильном тетраэдре в сферическом пространстве. Повороты относительно остальных высот тетраэдра, опущенных из других вершин на противоположные грани, будут давать уже существующие геодезические. Поэтому если $\varepsilon$ удовлетворяет неравенству (7.48), то на правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани $\alpha=\pi/3+\varepsilon$ существуют ровно три различные простые замкнутые геодезические типа $(p, q)$, без учета изометрии тетраэдра. Теорема 2 полностью доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BorSuk21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|