| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Равномерная Я. Лиa, Г. Тианbc, С. Жуbc a School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology, Beijing, P.R. China b Beijing International Center for Mathematical Research, Peking University, Beijing, P.R. China c School of Mathematical Sciences, Peking University, Beijing, P.R. China
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9430 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеПусть $\mathbf G$ – редуктивная группа Ли, а $\mathbf V$ и $\mathbf W$ – рациональные представления группы $\mathbf G$. Для простоты можно считать, что $\mathbf G=\mathbf{SL}(N+1, \mathbb{C})$. Напомним, что под однопараметрической подгруппой $\mathbf{G}$ мы понимаем гомоморфизм групп Ли $\lambda \colon \mathbb{C}^* \to \mathbf{G}$, где $\mathbb{C}^*=\mathbb{C} \setminus \{0\}$ – мультипликативная группа ненулевых комплексных чисел. Любой $\lambda$ и любому вектору $v \in \mathbf{V}$ ставится в соответствие вес, т.е. единственное целое число $w_{\lambda}(v)$ такое, что существует ненулевой предел $v_0$ в пространстве $\mathbf{V}$:
$$
\begin{equation}
\lim_{t \to 0}t^{-w_{\lambda}(v)} \lambda(t) (v)=v_0 \neq 0.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Пусть $\mathbf T$ – максимальный тор в $\mathbf G$. Для простоты будем обозначать символом $\mathbf {gl}$ алгебру $\mathbf {gl}(N+1, \mathbb{C})$. Решетка характеров тора $\mathbf T$ есть
$$
\begin{equation}
\mathbf M_{\mathbb{Z}}=\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbf T,\mathbb{C}^*).
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Обозначим через $\mathbf N_{\mathbb{Z}}$ двойственную решетку, векторы которой соответствуют однопараметрическим подгруппам тора $\mathbf T$. В явном виде каждому $\ell \in \mathbf N_\mathbb{Z}$ ставится в соответствие однопараметрическая подгруппа $\lambda_\ell$, заданная как
$$
\begin{equation*}
m(\lambda_\ell(t))=t^{\langle \ell, m \rangle} \quad \forall\, \,m \in \mathbf M_\mathbb{Z}, \qquad t\in \mathbb C^*,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\langle \,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle$ обозначает стандартное спаривание $\mathbf N_{\mathbb{Z}}\times\mathbf M_{\mathbb{Z}}\mapsto\mathbb{Z} $. Рассмотрим векторное пространство $\mathbf{M}_{\mathbb{R}}= \mathbf{M}_{\mathbb{Z}}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}\cong\mathbb{R}^N$. Так как представление $\mathbf{V}$ рационально, действие тора $\mathbf T$ задает разложение $\mathbf{V}$ на весовые подпространства
$$
\begin{equation}
\mathbf{V}=\bigoplus_{a \in {A}}\mathbf{V}_{a}, \quad \text{где } \ {\mathbf{V}}_{a}=\{v \in \mathbf{V}\mid t \cdot v=a(t)v,\, t \in \mathbf T\}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Здесь мы обозначаем $A= \{a \in \mathbf{M}_{\mathbb{Z}}\mid \mathbf{V}_{a}\neq 0\}$. Для любого вектора $v \in \mathbf{V} \setminus \{0\}$ обозначим через $A(v)$ множество всех $a \in A$ таких, что проекция $v_{a}$ вектора $v$ на подпространство $\mathbf{V}_{a}$ ненулевая. Многогранник весов $\mathscr{N}(v)$ вектора $v$ есть выпуклая оболочка всех элементов $A(v)$ в пространстве $\mathbf{M}_{\mathbb{R}}$. Так как $\mathbf{V}$ рациональное, $\mathscr{N}(v)$ является рациональным многогранником. Рассмотрим естественное представление алгебры $\mathbf {gl}$ – пространство $(N\,{+}\,1) \times(N\,{+}\,1)$-матриц, на которых $\mathbf{G}$ действует умножением слева:
$$
\begin{equation*}
\mathbf G \times \mathbf {gl}\mapsto\mathbf {gl} \colon (\sigma, B)\mapsto\sigma B.
\end{equation*}
\notag
$$
Многогранник весов $\mathscr N(I)$ единичной матрицы $I$ в представлении $\mathbf {gl}= \mathbf {gl}(N+ 1, \mathbb{C})$ есть стандартный $N$-симплекс, содержащий начало координат в пространстве $\mathbf{M}_\mathbb{R}$. Определим степень $\deg(\mathbf{V})$ представления $\mathbf{V}$ формулой
$$
\begin{equation}
\deg(\mathbf{V})=\min\bigl\{k\in \mathbb{Z}\mid k > 0,\, \mathscr{N} (v) \subset k\mathscr{N} (I)\ \forall\,\, 0 \neq v \in \mathbf{V}\bigr\}.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Ясно, что для любой однопараметрической подгруппы $\lambda=\lambda(t)$ в $\mathbf G$ выполнено неравенство $qw_{\lambda}(I)\leqslant w_{\lambda}(v)$, где $q=\deg(\mathbf{V})$ (см. также [2], [7]). Для удобства будем обозначать $w_{\lambda}(v,w) =w_{\lambda}(v)- w_{\lambda}(w)$. Следуя работе [2], определим $K$-стабильность для пар векторов. Определение 1.1. Пусть $v \in \mathbf{V} \setminus \{0\}$ и $w \in \mathbf{W} \setminus \{0\}$ – векторы в представлениях группы $\mathbf{G}$. Пару векторов $(v,w)$ будем называть $K$-полустабильной, если для любой однопараметрической подгруппы $\lambda$ группы $\mathbf{G}$ верно неравенство Пару $(v,w)$ будем называть $K$-стабильной, если она $K$-полустабильна и строгое неравенство $w_{\lambda}(w)< w_{\lambda}(v)$ верно для любой однопараметрической подгруппы $\lambda$, удовлетворяющей условию $\deg(\mathbf{V}) w_{\lambda}(I)< w_{\lambda}(v)$. Заметим, что можно рассматривать число $qw_{\lambda}(I)$ как вес $\mathbf I := I^{{\otimes} q}$ в представлении $\mathbf U=\mathbf {gl}^{{\otimes}q}$. Тогда вес пары векторов $(v, \mathbf I )$ есть
$$
\begin{equation}
w_{\lambda}(v, \mathbf I)=w_{\lambda}(v)-q w_{\lambda}( I)\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Это равносильно тому, что пара векторов $(v, \mathbf I)$ является $K$-полустабильной для любого ненулевого вектора $v \in \mathbf V$. В работе [7] была доказана следующая теорема. Теорема 1.2. Если пара векторов $(v, w)$ является $K$-стабильной, то найдется целое число $m > 0$ такое, что для любой однопараметрической подгруппы $\lambda$ в $\mathbf{G}$ имеет место неравенство или, что равносильно, $m( w_{\lambda}(v)- w_{\lambda}(w))\geqslant w_{\lambda}(v)-\deg(\mathbf{V}) w_{\lambda}(I)$. Определение 1.3. Будем называть пару векторов $(v,w)$ равномерно $K$-стабильной, если неравенство (1.7) выполнено для любой однопараметрической подгруппы. В общем случае пара векторов $(v,w)$ имеет нетривиальный стабилизатор и поэтому не является $K$-стабильной в смысле определения 1.1. Действительно, для любой нетривиальной однопараметрической подгруппы $\lambda(t)$ стабилизатора пары $(v,w)$ выполнено $w_{\lambda}(v,w)=0$, в то время как $w_\lambda(v, \mathbf I) > 0$. Чтобы обобщить теорему 1.2 на случай пары векторов с нетривиальным стабилизатором, нам понадобится понятие $K$-стабильности по модулю подгруппы $\mathbf{G}_0$ в $\mathbf{G}$. Пусть $\mathbf G_0$ – некоторая подгруппа $\mathbf G$. Обозначим через $\mathbf T_0$ и $\mathbf T$ максимальные торы в редуктивных факторах групп $\mathbf G_0$ и $\mathbf G$ соответственно. Не теряя общности, мы можем считать, что $\mathbf T_0 \subseteq \mathbf T$. Пусть $\mathscr M$ – множество однопараметрических подгрупп в $\mathbf G$, и пусть $\mathscr M_0=\{\lambda'(t) \in \mathscr M \mid \lambda'(t) \subseteq \mathbf G_0 \}$. Рассмотрим еще одно рациональное представление $\mathbf{U}$ группы $\mathbf{G}$ и вектор $u\,{\in}\,\mathbf{U}$. Введем понятие $K$-стабильности относительно векторов в представлении $\mathbf{U}$. Определение 1.4. Пусть $v \in \mathbf{V} \setminus \{0\}$, $w \in \mathbf{W} \setminus \{0\}$ и $u \in \mathbf{U} \setminus \{0\}$ – векторы такие, что пара $(v, u)$ $K$-полустабильна. Будем говорить, что пара векторов $(v,w)$ является $K$-стабильной относительно пары $(v,u)$ по модулю подгруппы $\mathbf G_0 \subseteq \mathbf G$, если пара $(v, w)$ является $K$-полустабильной и выполнено неравенство $w_{\lambda}(v,w) > 0$ для любой однопараметрической подгруппы $\lambda(t) \in \mathscr M\setminus \mathscr M_0$ такой, что $w_{\lambda}(v,u) > 0$. Замечание 1.5. Если положить $\mathbf U=\mathbf {gl}^{\otimes q}$ и $u=\mathbf{I} \in \mathbf U$ в определении 1.4, то получим, что пара $(v,w)$ является $K$-стабильной по модулю $\mathbf G_0$, если для любой подгруппы $\lambda(t) \in \mathscr M \setminus \mathscr M_0$ такой, что $w_{\lambda}(v,\mathbf I)>0$, имеет место неравенство $w_{\lambda}(v,w)>0$. Пусть $\lambda$ и $\lambda'$ – однопараметрические подгруппы. Будем писать $\lambda \sim \lambda'$, если найдется элемент $\sigma \in \mathbf G$ такой, что $\lambda, \lambda' \subseteq \mathbf{T}_\sigma$, $\lambda'\,{\cdot}\,\lambda^{-1} \subseteq \mathbf{G}_0$, где $\mathbf{T}_\sigma=\sigma\,{\cdot}\, \mathbf{T}\,{\cdot}\,\sigma^{-1}$. Если подгруппа $\mathbf{G}_0$ содержится в стабилизаторе пары $(v,w)$ и $\lambda \sim \lambda'$, то $w_\lambda(v,w)=w_{\lambda'}(v,w)$. Наш основной результат есть следующее утверждение, обобщающее теорему 1.2. Теорема 1.6. Пусть $\mathbf G_0 \subseteq \mathbf G=\mathbf {SL}(N+1, \mathbb{C})$ – подгруппа (не обязательно редуктивная), стабилизирующая пару векторов $(v,w)$. Предположим, что пара $(v,w)$ является $K$-стабильной по модулю подгруппы $\mathbf G_0$. Тогда найдется целое число $m$, для которого выполнено следующее условие: для любой $\lambda \in \mathscr M$ существует $\widetilde\lambda \sim \lambda$ такая, что Основная идея в доказательстве теоремы 1.6 – нормализовать опорную функцию многогранника весов (см. § 4). Так как существует лишь конечное число многогранников, имеющих вид $\mathscr N^\sigma (v)$, $\mathscr N^\sigma (w)$ и $\mathscr N^\sigma (\mathbf I)$ для пар векторов $(v,w)$ и $(v,\mathbf I)$ (см. § 2 и § 4), то мы можем свести общий случай к случаю $\sigma=\mathbf {Id}$ (см. предложение 5.3 ниже). Наше доказательство близко к доказательству теоремы 1.2, изложенному в [7; приложение B]. Чтобы продемонстрировать идею доказательства теоремы 1.6, мы приведем здесь доказательство теоремы 1.2 из [7; приложение B] в качестве частного случая $G_0=\{e\}$ нашей основной теоремы. В случае $G_0 \neq \{e\}$ нужно сравнивать несколько выпуклых множеств, соответствующих конусам $\Sigma_i$, определенным нормализованной опорной функцией (см. (5.7)). В случае теоремы 1.2 из [7; приложение B] нужно проверить только одно соотношение между двумя выпуклыми множествами (см. (3.1)). В § 6 мы обсуждаем одно геометрическое приложение теоремы 1.6. § 2. Многогранники весов и опорные функцииВ этом параграфе мы описываем условия $K$-стабильности в терминах многогранников весов и их опорных функций. Пусть $\mathbf T$ – максимальный тор группы $\mathbf{G}$, и пусть $\mathbf{V}$ – рациональное представление $\mathbf{G}$. Как выше, рассмотрим решетку характеров $\mathbf{M}_\mathbb{Z}$ и двойственную решетку $\mathbf{N}_{\mathbb Z}$. Существует разложение (1.3) пространства $\mathbf V$ в прямую сумму $\mathbf T$-инвариантных подпространств:
$$
\begin{equation}
\mathbf{V}=\bigoplus_{a \in {A_\mathbf{V}}}\mathbf{V}_{a},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $A_{\mathbf V}= \{a \in \mathbf {M}_{\mathbb Z}\mid\mathbf {V}_{a} \neq 0\}$ – конечное множество характеров тора $\mathbf T$, а подпространства ${\mathbf {V}}_{a}=\{v\in \mathbf {V}\mid t\cdot v=a(t) v,\, t \in \mathbf {T}\}$ – одномерные неприводимые представления $\mathbf{T}$. Таким образом, для любого $v \in \mathbf V$ получаем разложение
$$
\begin{equation*}
v=\sum_{a \in A_{\mathbf V}(v)}v_a, \qquad v_a \neq 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $v_a \in \mathbf {V}_a$ и $A_{\mathbf V}(v)$ обозначает множество весов, соответствующих вектору $v$. Пусть $\lambda(t)$ – однопараметрическая подгруппа $\mathbf T$, которой соответствует вектор $\lambda \in \mathbf N_\mathbb Z$, тогда имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\lambda(t)(v)=\sum_{a \in A_{\mathbf V}(v)}t^{\langle \lambda, a \rangle }v_a.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим многогранник весов $\mathscr N (v)$ вектора $v$, т.е. выпуклую оболочку множества $A_{\mathbf V}(v)$. Пусть $l_{\mathscr N(v)}(\cdot)$ – опорная функция многогранника $\mathscr N (v)$, определенная формулой
$$
\begin{equation*}
l_{\mathscr N(v)}(x)=\sup_{a \in A_{\mathbf V}(v)} \langle a, x \rangle \quad \forall\, x \in \mathfrak t,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathfrak t$ обозначает вещественную форму алгебры Ли тора $\mathbf T$, которая отождествляется с $\mathbf N_\mathbb Z\otimes \mathbb R$. Тогда из равенства (1.1) следует, что вес $w_\lambda(v)$ вектора $v$ относительно подгруппы $\lambda(t)$ равен
$$
\begin{equation}
w_\lambda(v)=\min_{a \in A_{\mathbf V}(v)} \langle a, \lambda \rangle= -l_{\mathscr N(v)}(-\lambda).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Для любой однопараметрической подгруппы $\lambda(t)'$ группы $\mathbf{G}$ найдутся элемент $\sigma \in \mathbf{G}$ и однопараметрическая подгруппа $\lambda(t)$ тора $\mathbf T$ такие, что
$$
\begin{equation}
\lambda(t)'=\sigma^{-1}\cdot \lambda(t) \cdot \sigma \subseteq \mathbf T'=\sigma^{-1}\cdot \mathbf T\cdot \sigma.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Имеем разложение $\mathbf{V}=\sum_{a \in A_\mathbf{V}} \sigma^{-1}(\mathbf{V}_a)$. Для вектора $v'=\sigma(v)$ также имеем разложение где $A_{\mathbf V}(v')$ – множество весов вектора $v'$ относительно действия $\mathbf T$, т.е. $A_{\mathbf V}(v')=\{b \in A_\mathbf{V} \mid v'_b \neq 0\}$. Также имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\lambda(t)' v= \sum_{b \in A_{\mathbf V}(v')} t^{\langle \lambda, b \rangle } \sigma^{-1}(v_b').
\end{equation*}
\notag
$$
По определению выпуклая оболочка множества $A_{\mathbf V}(v')$ есть многогранник $\mathscr N(v')$ весов вектора $v'$ относительно действия $\mathbf T$. Мы будем также обозначать его $\mathscr N^\sigma (v)$, чтобы подчеркнуть зависимость от вектора $v$. Так как пространство $\mathbf{V}$ конечномерно, множество характеров $A_\mathbf{V}$ конечно, поэтому существует лишь конечное число многогранников вида $\mathscr N^\sigma (v)$. Кроме того, вес $w_{\lambda'}(v)$ относительно подгруппы $\lambda(t)'$ равен
$$
\begin{equation}
w_{\lambda'}(v)=\min_{b \in A_{\mathbf V}(v')} \langle b, \lambda \rangle= -l_{\mathscr N^\sigma(v)}(-\lambda).
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Точно так же для вектора $w$ из пространства $\mathbf W$ мы можем рассмотреть множество $A_{\mathbf W}(w)$ ($\subseteq A_{\mathbf W} \subseteq \mathbf {M}_{\mathbb Z}$) весов $w$ относительно действия $\mathbf T$. Имеем разложение где $w_{a'} \in \mathbf {W}_{a'}$, а подпространство $\mathbf {W}_{a'}$ есть одномерное неприводимое представление $\mathbf T$ с характером $a'$, соответствующим вектору $w$. Для произвольной однопараметрической подгруппы $\lambda(t)'$ в (2.3) можно определить выпуклую оболочку $A_{\mathbf W}(\sigma(w))$ как многогранник весов вектора $\sigma(w)$, т.е. как $\mathscr N^\sigma (w)$. Число таких многогранников $ \mathscr N^\sigma (w)$ конечно.Из формулы (2.5) получаем следующую характеризацию ( равномерной) $K$-стабильности пары векторов $(v, w)$ в терминах многогранников $\mathscr N^\sigma(v)$ и $\mathscr N^\sigma(w)$. Предложение 2.1. Верны следующие утверждения. (1) Пара векторов $(v,w)$ является $K$-полустабильной относительно группы $\mathbf{G}$, если и только если для любого элемента $\sigma \in \mathbf{G}$ имеет место включение
$$
\begin{equation}
\mathscr N^\sigma(v) \subseteq \mathscr N^\sigma(w).
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
(2) Пара $(v,w)$ является $K$-стабильной относительно группы $\mathbf{G}$, если и только если выполнено включение (2.6) и, кроме того, для любого $\sigma \in \mathbf{G}$ выполнено
$$
\begin{equation}
\{x\mid l_{\mathscr N^\sigma(v)}(x)=l_{\mathscr N^\sigma(w)}(x)\} \subseteq \{x\mid l_{\mathscr N^\sigma(v)}(x)=l_{\deg(V) \mathscr N^\sigma(I)}(x)\}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
(3) Пара $(v,w)$ равномерно $K$-стабильна относительно $\mathbf{G}$, если и только если существует $m \in\mathbb N$ такое, что имеет место включение Доказательство. Докажем утверждение (1). Для любой однопараметрической подгруппы $\lambda(t) \in \mathscr M$ существует единственный элемент $\sigma \in \mathbf G$ такой, что $\sigma \lambda \sigma^{-1}=\exp\{t\xi\}\subseteq\mathbf T$. Тогда из (2.5) следует
$$
\begin{equation}
w_{\lambda}(*)=w_{\sigma \lambda \sigma^{-1}}(\sigma(*))=-l_{\mathscr N^\sigma(*)}(-\operatorname{Ad}_{\sigma^{-1}}\xi).
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Так как пара $(v, w)$ является $K$-полустабильной, выполнено неравенство Следовательно, имеет место неравенство между опорными функциями $l_{\mathscr N^\sigma(v)}(\cdot)$ и $l_{\mathscr N^\sigma(w)}(\cdot)$ многогранников ${\mathscr N^\sigma}(v)$ и ${\mathscr N^\sigma}(w)$. Отсюда следует включение ${\mathscr N^\sigma(v)} \subseteq \mathscr N^\sigma(w)$. Обратная импликация очевидна, и утверждение (1) доказано.
Перейдем к утверждению (2). Из (1.5) и (1.6) следует, что $K$-полустабильная пара $(v, w)$ является $K$-стабильной тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\bigl\{\lambda(t) \in \mathscr M \mid w_\lambda(v)-w_\lambda(w)=0\bigr\} \subseteq \bigl\{\lambda(t) \in \mathscr M \mid w_\lambda(v)- \deg(\mathbf{V})w_\lambda(I)=0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из соотношения (2.9) следует утверждение (2).
Докажем утверждение (3). Если пара $(v, w)$ равномерно $K$-стабильна для некоторого $m \in \mathbb N$, то из (1.7) получаем
$$
\begin{equation*}
\biggl(1-\frac1m \biggr)w_{\lambda}(v) + \frac1m\deg(\mathbf{V}) w_{\lambda}(I) \geqslant w_{\lambda}(w) \quad \forall\, \lambda(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Из соотношения (2.9) получаем, что это эквивалентно тому, что для любого $\sigma \in \mathbf G$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\biggl(1-\frac1m\biggr)l_{\mathscr N^\sigma(v)}(x) + \frac1m\deg(\mathbf{V})l_{\mathscr N^\sigma(I)}(x) \leqslant l_{\mathscr N^\sigma(w)}(x) \quad \forall\, x \in \mathfrak t.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим также, что имеет место равенство функций
$$
\begin{equation*}
\biggl(1-\frac1m\biggr)l_{\mathscr N^\sigma(v)}(*) + \frac1m\deg(\mathbf{V}) l_{\mathscr N^\sigma(I)}(*) =l_{(1-\frac1m)\mathscr N^\sigma(v) + \frac1m\deg(\mathbf{V})\mathscr N^\sigma({I})}(*).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
l_{(1-\frac1m)\mathscr N^\sigma(v) + \frac1m\deg(\mathbf{V})\mathscr N^\sigma({ I})}(x) \leqslant l_{\mathscr N^\sigma(w)}(x) \quad \forall\, x \in \mathfrak t,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда и следует включение (2.8). Так как обратная импликация очевидна, утверждение (3) доказано. Предложение доказано. § 3. Доказательство теоремы 1.2В этом параграфе мы приводим доказательство теоремы 1.2 из [7; приложение B]. Как мы убедились выше, существует лишь конечное число многогранников вида $\mathscr N^\sigma (v)$, $ \mathscr N^\sigma (w)$ и $ \mathscr N^\sigma (I)$. Поэтому по предложению 2.1, (3) доказательство теоремы 1.2 сводится к доказательству следующего утверждения. Предложение 3.1. Пусть $\mathbf{V}$ и $\mathbf{W}$ – векторные пространства с действием тора $\mathbf T$. Предположим, что пара векторов $(v,w) \in (\mathbf{V} \setminus \{0\}) \times (\mathbf{W} \setminus \{0\})$ является $K$-стабильной относительно действия $\mathbf T$. Тогда существует $m \in \mathbb N$, для которого имеет место включение Для доказательства предложения 3.1 нам понадобится утверждение об опорных функциях выпуклых многогранников. Пусть
$$
\begin{equation}
P=\bigcap_{A \in \mathscr A} \{l_A(y)=a_A-u_A(y) \geqslant 0\}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
– выпуклый многогранник, а $F^P_A \subseteq \{l_A(y)=0\}$ – его грани. Для $\mathscr I \subseteq \mathscr A$ обозначим Лемма 3.2. Область линейности $\Omega_\mathscr I^P=\{x \mid l_P(x)=\langle x, y\rangle \ \forall\, y \in F^P_\mathscr I\}$ равна внешнему нормальному конусу $\operatorname{Span}_{\mathbb R_{\geqslant 0}}\{u_i \mid i \in \mathscr I\}$ многогранника $P$ в $F^P_\mathscr I$. Доказательство. По определению Так как $P$ – выпуклый многогранник, это эквивалентно Отсюда вытекает утверждение леммы. Доказательство предложения 3.1. Из $K$-стабильности пары $(v,w)$ и предложения 2.1, (1) следует включение (2.6). В частности, если
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dist}(\partial\mathscr N(v),\partial\mathscr N(w)) \geqslant \varepsilon_0 > 0,
\end{equation*}
\notag
$$
то найдется $\delta_0 > 0$ такое, что для любого $\delta \in (0, \delta_0)$ выполняется включение
$$
\begin{equation*}
(1-\delta)\mathscr N(v) + \delta \deg(\mathbf{V})\mathscr N({I}) \subseteq \mathscr N(w),
\end{equation*}
\notag
$$
так как многогранник $\mathscr N(I)$ компактен, и (3.1) следует из предложения 2.1, (3).
Далее будем предполагать, что $\operatorname{dist}(\partial\mathscr N(v), \partial\mathscr N(w))=0.$ Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\{x \mid l_{\mathscr N(v)}(x)=l_{\mathscr N(w)}(x)\}=\{x\mid l_{\mathscr N(v)}(x)=\langle x, y\rangle= l_{\mathscr N(w)}(x)\text{ для} \\ &\qquad\qquad\text{некоторого } y \in\partial \mathscr N(v)\cap \partial \mathscr N(w)\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Из предложения 2.1, (2) следует, что для любого $x$, как выше, найдется вектор
$$
\begin{equation*}
y \in \partial (\deg(\mathbf{V}) \mathscr N({I})) \cap \partial\mathscr N(v) \cap \partial \mathscr N(w)
\end{equation*}
\notag
$$
такой, что опорная функция равна $l_{ \mathscr N(v)}(x)=l_{\deg(\mathbf{V}) \mathscr N({I})}(x)=\langle x, y\rangle$. В частности,
$$
\begin{equation}
\bigl(\partial \mathscr N(v) \cap \partial (\deg(\mathbf{V}) \mathscr N({ I})) \cap \partial \mathscr N(w)\bigr) \neq\varnothing.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
По определению степени $\deg(\mathbf{V})$ имеет место включение Тогда из (3.5) следует, что найдутся грани $F_\mathscr I^{\mathscr N(v) }$, $F_\mathscr J^{\deg(\mathbf{V})\mathscr N({ I}) }$ и $F_\mathscr K^{\mathscr N(w) }$ многогранников $\mathscr N(v)$, $\deg(\mathbf{V})\mathscr N({ I})$ и ${\mathscr N(w) }$ соответственно такие, что
$$
\begin{equation*}
F_\mathscr I^{\mathscr N(v)} \subseteq ( F_\mathscr J^{\deg(\mathbf{V})\mathscr N({ I})} \cap F_\mathscr K^{\mathscr N(w)}),
\end{equation*}
\notag
$$
где каждая из граней $F_\spadesuit^\diamondsuit$ содержит $y \in\bigl(\partial \mathscr N(v) \cap \partial(\deg(\mathbf{V}) \mathscr N(I)) \cap \partial \mathscr N(w)\bigr)$ в своей относительной внутренности. Таким образом, из предложения 2.1, (2) и леммы 3.2, учитывая условие (3.4), получаем включения
$$
\begin{equation*}
\Omega_\mathscr K^{\mathscr N(w) } \subseteq \Omega_\mathscr J^{\deg(\mathbf{V})\mathscr N({ I}) } \subseteq \Omega_\mathscr I^{\mathscr N(v) }
\end{equation*}
\notag
$$
(на рис. 1 изображены четыре возможных случая стабильности в размерности $2$, соответствующие разным коразмерностям граней $F_\spadesuit^\diamondsuit$). Следовательно, в силу двойственности (3.3) найдутся компакты $\Omega_1 \subseteq \Omega_2$, содержащие $F_\mathscr I^{\mathscr N(v) }$ и такие, что выполняются включения
$$
\begin{equation}
(\Omega_i \cap {\mathscr N(v) }) \subseteq (\Omega_i \cap {\deg(\mathbf{V})\mathscr N({ I}) }) \subseteq (\Omega_i \cap {\mathscr N(w) }), \qquad i=1, 2
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
(см. также рис. 2, который соответствует случаю (d) на рис. 1). Теперь можно доказать включение (3.1), рассматривая области $(\mathscr N(v) \setminus\Omega_1)$ и $\Omega_1 \cap \mathscr N(v)$ многогранника $\mathscr N(v)$ по отдельности. Не теряя общности, можем предположить, что существует единственная грань $F_\mathscr I^{\mathscr N(v) }$ многогранника $\mathscr N(v)$ такая, что
$$
\begin{equation}
F_\mathscr I^{\mathscr N(v) } \subseteq \bigl(\partial \mathscr N(v) \cap \partial (\deg(\mathbf{V}) \mathscr N({ I})) \cap\partial \mathscr N(w)\bigr).
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Для области $\mathscr N(v) \setminus \Omega_1$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{dist}(\mathscr N(v) \setminus \Omega_1, \partial \mathscr N(w)) \geqslant \varepsilon_0 > 0.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Поэтому найдется $\delta'_0 > 0$ такое, что для любого $\delta' \in (0, \delta'_0)$ верно включение
$$
\begin{equation}
(1-\delta')(\mathscr N(v) \setminus \Omega_1) + \delta' \deg(\mathbf{V})\mathscr N( I) \subseteq \mathscr N(w).
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Для области $\Omega_1 \cap \mathscr N(v)$ из соотношений (3.6) и (3.7) и выпуклости многогранников $\mathscr N(\cdot)$ следует существование такого $\delta_0 > 0$, что для любого $\delta \in (0, \delta_0)$ выполнено включение
$$
\begin{equation}
(1-\delta)(\Omega_1 \cap \mathscr N(v)) + \delta \deg(\mathbf{V}) {\mathscr N}({{I}}) \subseteq (\Omega_2 \cap \mathscr N(w)).
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Таким образом, выбрав
$$
\begin{equation*}
m=\biggl[\frac1{\min\{\delta_0, \delta'_0\}}\biggr] + 1,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем включение (3.1) из (3.9) и (3.10). Мы доказали предложение 3.1.
§ 4. Нормализованные опорные функции и $K$-стабильностьВ этом параграфе мы рассматриваем подгруппу $\mathbf G_0$ группы $\mathbf G$. Переходя к редуктивным факторам, можно считать, что $\mathbf G_0$ редуктивна. Тогда, не ограничивая общности, можно считать, что $ \mathbf T_0 \subseteq \mathbf T$, где $\mathbf T_0$ и $\mathbf T$ – максимальные торы в группах $ \mathbf G_0$ и $\mathbf G$. Как мы установили в § 2, существует лишь конечное число многогранников видов $\mathscr N^\sigma (v)$, $ \mathscr N^\sigma (w)$ и $ \mathscr N^\sigma ({I})$. Обозначим символом $\mathfrak t$ алгебру Ли тора $\mathbf T$. Для элемента $\sigma \in \mathbf G$ положим
$$
\begin{equation}
\mathfrak t_\sigma=\bigl\{\xi \in \mathfrak t \mid \sigma^{-1} \cdot \exp\{t\xi\} \cdot \sigma \subseteq \mathbf G_0\bigr\}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Легко видеть, что $\mathfrak t_\sigma$ является подалгеброй Ли в $\mathfrak t$. В частности, $\mathfrak t_\sigma=\mathfrak t_0=\operatorname{Lie}(\mathbf T_0),$ если $\sigma \in \mathbf G_0$. Пусть $\mathbf{U}$ – некоторое представление группы $\mathbf G$, и пусть $u \in \mathbf{U}$. Обозначим через ${\mathscr N^\sigma}(u)$ многогранник весов вектора $\sigma (u) \in \mathbf{U}$ относительно действия тора $\mathbf T$. В общем случае подгруппа $\mathbf G_0$, лежащая в стабилизаторе пары $(v,w)$, не лежит в стабилизаторе вектора $u$. Поэтому необходимо изменить опорную функцию на алгебре $\mathfrak t$, соответствующую многограннику ${\mathscr N^\sigma}(u)$, рассматривая ее минимум на подалгебре $\mathfrak t_\sigma.$ Как и в § 2, будем обозначать опорную функцию многогранника ${\mathscr N^\sigma}(u)$ символом $l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(\cdot)$. Определим модифицированную версию функции $l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(\cdot)$ на $\mathfrak t$ формулой
$$
\begin{equation*}
\widehat l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(x)=\min_{t \in \mathfrak t_\sigma}l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(x + t), \qquad x \in \mathfrak t.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта функция, очевидно, инвариантна относительно действия подгруппы $\widehat {\mathbf T}_\sigma$ в $\mathbf G$, порожденной $\mathfrak t_\sigma$ в подгруппе (4.1). Кроме того, верно следующее утверждение. Лемма 4.1. Функция $\widehat l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(\cdot)$ кусочно линейна, и ее области линейности являются конусами. Доказательство. Заметим, что для любой вершины $p \in \operatorname{Vert}(\mathscr N^\sigma(u))$ существует конус $\sigma_p$ такой, что
$$
\begin{equation}
l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}|_{\sigma_p}(x)=\langle p, x\rangle.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\widehat l_{\mathscr N^\sigma(u), p}(x) =\begin{cases} {\displaystyle\min_{y \in (x + \mathfrak t_\sigma) \cap \sigma_p} \langle p, y\rangle}, &\text{если } (x + \mathfrak t_\sigma) \cap \sigma_p \neq \varnothing, \\ -\infty &\text{в противном случае}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда легко проверить, что функция $\widehat l_{{\mathscr N^\sigma}(u), p}(\cdot)$ является $\widehat {\mathbf{T}}_\sigma$-инвариантной кусочно линейной функцией, области линейности которой являются конусами. Поэтому утверждение леммы следует из равенства Определение 4.2. Назовем пару векторов $(v, w)$ равномерно $K$-стабильной относительно $K$-полустабильной пары $(v, u)$ по модулю подгруппы $\mathbf G_0 \subseteq \mathbf G$, если существует такое целое число $m$, что для любой однопараметрической подгруппы $\lambda_{\xi}'=\sigma^{-1} \cdot \exp\{t\xi\} \cdot \sigma$, $\xi\in \mathfrak t$, $\sigma \in \mathbf G$, имеет место неравенство Аналогично предложению 2.1 мы можем доказать критерий равномерной $K$-стабильности по модулю подгруппы $\mathbf G_0 \subseteq \mathbf G$ в терминах функции $\widehat l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(x)$. Предложение 4.3. Пусть $\mathbf{G}_0 \subseteq \mathbf G$ – стабилизатор пары векторов $(v,w)$. Тогда верны следующие утверждения. (1) Пара $(v, w)$ является $K$-стабильной относительно $K$-полустабильной пары $(v, u)$ по модулю $\mathbf G_0$ тогда и только тогда, когда пара $(v,w)$ является $K$-полустабильной и для любого элемента $\sigma \in \mathbf{G}$ выполнено условие
$$
\begin{equation}
\{x \mid l_{\mathscr N^\sigma (v)} (x)=l_{\mathscr N^\sigma(w)}(x)\} \subseteq \{x\mid l_{\mathscr N^\sigma(v)}(x)=\widehat l_{{\mathscr N}^\sigma (u)}(x)\}.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
(2) Пара $(v, w)$ равномерно $K$-стабильна относительно $K$-полустабильной пары $(v, u)$ по модулю $\mathbf G_0$ тогда и только тогда, когда существует $m \in \mathbb N$, для которого верно неравенство Доказательство. Докажем утверждение (1). Для однопараметрической подгруппы $\lambda=\exp\{t\xi\} \in \mathscr M \setminus \mathscr M_0$ выберем элемент $\sigma \in \mathbf G$ такой, что справедливо $\sigma\lambda\sigma^{-1} \subseteq \mathbf T_0$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\sup\{w_{\lambda\lambda_0}(u) \mid \lambda_0 \subseteq \widehat{\mathbf T}_\sigma \}=-\widehat l_{\mathscr N^\sigma(u)}(-\xi).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому условие $w_{\lambda}(v, u) > 0$ в определении 1.4 равносильно условию
$$
\begin{equation}
l_{\mathscr N^\sigma(v)}(\xi) < \widehat l_{{\mathscr N}^\sigma (u)}(\xi).
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
l_{\mathscr N^\sigma(v)}(\xi)=\widehat l_{{\mathscr N}^\sigma (u)}(\xi)=0 \quad \forall\, \xi \in \mathfrak t_\sigma,
\end{equation*}
\notag
$$
то условие $w_{\lambda}(v, u) > 0$ для всех $\lambda \in\mathscr M \setminus \mathscr M_0$ равносильно условию (4.6) для любых элементов $\sigma \in G$ и $\xi \in \mathbf T$. Тогда из соотношений (2.9) на веса $w_{\lambda}(v)$ и $w_{\lambda}(u)$ следует утверждение (1).
Теперь докажем утверждение (2). Сначала покажем, что (4.5) влечет (4.3). Для однопараметрической подгруппы $\lambda'(t)=\sigma^{-1} \cdot \lambda_{\xi}(t) \cdot \sigma$, где $\sigma \in \mathbf G$ и $\xi \in \mathfrak t$, найдется такой элемент $\xi_0 \in \mathfrak t_\sigma$, что
$$
\begin{equation*}
\widehat l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(-\xi)=l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(-\xi'),
\end{equation*}
\notag
$$
где мы обозначили $\xi'=\xi + \xi_0.$ Выберем подгруппу
$$
\begin{equation*}
\widehat \lambda_0(t)=\sigma^{-1} \cdot \lambda_{\xi_0}(t) \cdot \sigma \subseteq \mathbf G_0
\end{equation*}
\notag
$$
и обозначим $\widehat \lambda'(t)=\widehat \lambda_0(t) \cdot \lambda'(t)$. Тогда верны равенства
$$
\begin{equation*}
w_{\widehat \lambda'}(v)=w_{\lambda'}(v), \qquad w_{\widehat\lambda'}(w)=w_{\lambda'}(w).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, из (4.5) мы получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag mw_{\widehat\lambda'}(v,w) &=m ( l_{{\mathscr N^\sigma}(w)}(-\xi')-l_{{\mathscr N^\sigma}(v)}(-\xi')) \\ & \geqslant \widehat l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(-\xi')-l_{{\mathscr N^\sigma}(v)}(-\xi) = w_{\widetilde\lambda'}(v) + \widehat l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(-\xi). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
С другой стороны, по определению функции $ \widehat l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(-\xi')$ существует элемент $\xi_0' \in \mathfrak t_\sigma$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\widehat l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(-\xi')=l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(-\xi-\xi_0 + \xi_0')=-w_{\widetilde\lambda'}(u),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde\lambda'=\widetilde\lambda'(t)=\sigma^{-1} \cdot \lambda_{\xi + \xi_0-\xi_0'}(t) \cdot \sigma$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
mw_{\lambda_{\xi}'}(v, w) = mw_{\widehat \lambda'}(v,w) \geqslant w_{\widetilde\lambda}(v)-w_{\widetilde\lambda'}(u)= w_{\widehat\lambda'}(v,u) \geqslant \min_{t \in \mathfrak t_\sigma} w_{\lambda_{\xi+t}'}(v,u),
\end{equation*}
\notag
$$
и соотношение (4.3) получено.
Далее, покажем, что из (4.3) следует (4.5). Как и в соотношении (4.7), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &m ( l_{{\mathscr N^\sigma}(w)}(\xi)-l_{{\mathscr N^\sigma}(v)}(\xi)) =m w_{\lambda'_{-\xi}}(v,w) \\ &\qquad \geqslant w_{\lambda'_{-\xi-\xi_0}}(v)-w_{\lambda'_{-\xi -\xi_0} }(u) = l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(\xi+\xi_0)-l_{{\mathscr N^\sigma}(v)}(\xi + \xi_0)), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где элемент $\xi_0 \in \mathfrak t_\sigma$ такой, что
$$
\begin{equation*}
w_{\lambda'_{-\xi -\xi_0} }(v,u)=\min_{t \in \mathfrak t_\sigma} w_{\lambda_{-\xi+t}'}(v,u).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
m(l_{{\mathscr N^\sigma}(w)}(\xi)-l_{{\mathscr N^\sigma}(v)}(\xi)) \geqslant \min_{t \in \mathfrak t_\sigma} l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(\xi+t)- l_{{\mathscr N^\sigma}(v)}(\xi)=\widehat l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(\xi)-l_{{\mathscr N^\sigma}(v)}(\xi),
\end{equation*}
\notag
$$
что влечет условие (4.5). Предложение доказано. В § 5 мы применим предложение 4.3 к доказательству следующей теоремы. Теорема 4.4. Пусть $(v,u)$ – $K$-полустабильная пара векторов, и пусть $\mathbf G_0$ – стабилизатор пары $(v,w)$. Если пара векторов $(v,w)$ является $K$-стабильной относительно пары $(v,u)$ по модулю $\mathbf G_0$, то пара $(v,w)$ равномерно $K$-стабильна относительно $(v,u)$ по модулю $\mathbf G_0$ в смысле определения 4.2. § 5. Доказательство теоремы 1.6В этом параграфе мы предполагаем, что подгруппа $G_0 \subseteq \mathbf G$ в (4.1) равна стабилизатору пары векторов $(v,w)$. В этом случае многогранники весов $\mathscr N^\sigma(v)$ и $\mathscr N^\sigma(w)$ допускают следующее описание в терминах $\mathfrak t_\sigma$. Лемма 5.1. Пусть $\mathbf V$ и $\mathbf W$ – рациональные представления группы $\mathbf G$, и пусть $v \in\mathbf V\setminus\{0\}$ и $w \in \mathbf W\setminus\{0\}$. Предположим, что подгруппа $\mathbf G_0$ лежит в стабилизаторе пары $(v,w)$. Тогда для любого элемента $\sigma \in \mathbf G$ . Доказательство. Так как $\mathbf G_0$ лежит в стабилизаторе вектора $v$, из (2.4) следует, что $\widehat {\mathbf T}_\sigma$ лежит в стабилизаторе вектора $\sigma v$. Следовательно, $t^\mu \equiv 1$ для любого $t \in \widehat {\mathbf T}_\sigma$. Мы получаем, что
$$
\begin{equation}
\alpha(\xi)=0 \quad \forall\, \alpha \in \mathscr N^\sigma(v), \qquad \xi \in \mathfrak t_\sigma.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Аналогично, выполнено
$$
\begin{equation}
\alpha(\xi)=0 \quad \forall\, \alpha \in \mathscr N^\sigma(w), \qquad \xi \in \mathfrak t,
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
тем самым, (5.1) доказано. Лемма доказана. Как в § 4, предположим, что пара $(v,u)$ является $K$-полустабильной относительно группы $\mathbf G$, т.е. имеет место неравенство для любой однопараметрической подгруппы $\lambda(t)' \in \mathscr M$. Иными словами, выполнены включения
$$
\begin{equation}
\mathscr N^\sigma(v) \subseteq \mathscr N^\sigma(u) \quad \forall\, \sigma \in \mathbf G.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Чтобы вывести теорему 4.4 из предложения 4.3, нам нужно доказать следующее предложение. Предложение 5.2. Пусть $(v,w)$ – пара, $K$-стабильная относительно $K$-полустабильной пары $(v,u)$ по модулю $\mathbf G_0 \subseteq \mathbf G$, где $\mathbf G_0$ обозначает стабилизатор пары $(v,w)$. Тогда найдется такое $m \in \mathbb N$, что для любого элемента $\sigma \in \mathbf G$ выполняется неравенство Мы уже отмечали выше, что существует лишь конечное число многогранников видов $\mathscr N^\sigma(v)$, $\mathscr N^\sigma(w)$ и $\mathscr N^\sigma(u)$ для всех $\sigma \in \mathbf G$. С другой стороны, так как $\mathbf G_0=\operatorname{Stab}_{\mathbf G}(v,w)$, из условий (5.2) и (5.3) следует, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak t_\sigma=\{\xi \in \mathfrak t \mid \alpha(\xi)=0 \ \forall\, \alpha \in \mathscr N^\sigma(v) \cup\mathscr N^\sigma(w)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что подпространство $\mathfrak t_\sigma$ зависит только от многогранников $\mathscr N^\sigma(v)$ и $\mathscr N^\sigma(w)$. Поэтому существует лишь конечное число подпространств вида $\mathfrak t_\sigma \subseteq \mathfrak t$ для $\sigma \in \mathbf G.$ Таким образом, для доказательства предложения 5.2 достаточно проверить (5.5) для каждого набора $(\mathscr N^\sigma(u),\, \mathscr N^\sigma(v),\, \mathscr N^\sigma(w),\,\mathfrak t_\sigma)$. Нам осталось доказать следующее утверждение. Предложение 5.3. Пусть $\mathbf {T}_0 \subseteq \mathbf {T}$ – максимальный тор в группе $\mathbf{ G}_0$. Предположим, что пара $(v,w)$ $K$-стабильна относительно пары $(v,u)$ по модулю $\mathbf {T}_0 $. Тогда существует такое $m \in\mathbb N$, что выполнено неравенство Чтобы доказать предложение 5.3, нам понадобятся две элементарные леммы. Лемма 5.4. Пусть $P$, $Q$ – выпуклые многогранники в пространстве $\mathbf M_{\mathbb R}$, и пусть $\Sigma$ – выпуклый полиэдральный конус в $\mathfrak t$. Тогда неравенство выполнено тогда и только тогда, когда имеет место включение $Q \subseteq (P-\overline{\Sigma^\vee})$. Лемма 5.5. Пусть $A$, $B$ – произвольные подмножества, а $\Sigma$ – выпуклый полиэдральный конус в пространстве $\mathfrak t$. Тогда включение равносильно включению $(A + \overline \Sigma) \subseteq (B + \overline \Sigma)$. Доказательство предложения 5.3. Заметим, что $\mathfrak t_{I}=\mathfrak t_0=\operatorname{Lie} (\mathbf T_0)$. Положим $\ker(\mathfrak t_{0})=\{\alpha \in \mathfrak t^* \mid \alpha(\xi)=0 \ \forall\, \xi\in \mathfrak t_{0}\}$.
Тогда по лемме 4.1 существуют набор конусов $\Sigma_i$, $i=1,\dots,N_0$, в пространстве $\ker(\mathfrak t_{0})$ и набор векторов $u_i \in \mathbf M_{\mathbb Z}$ такие, что на каждом из конусов $\Sigma_i$ выполнено равенство $\widehat l_{{\mathscr N}(u)}(x)=\langle u_i, x\rangle$. Подразбивая, если нужно, конусы $\Sigma_i$, можем предполагать, что все они выпуклы. Тогда по лемме 5.4 достаточно показать, что найдется число $m \in\mathbb N$ такое, что для любого $i \in\{1,\dots,N_0\}$ имеет место включение
$$
\begin{equation}
\biggl(\biggl(1-\frac1m\biggr){\mathscr N(v)} + \frac{1}mu_i\biggr) \subseteq ({\mathscr N(w)}-\overline{\Sigma_i^\vee}).
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
С другой стороны, из $K$-полустабильности пары $(v,u)$ получаем
$$
\begin{equation*}
\widehat l_{{\mathscr N}(u)}(x) \geqslant l_{\mathscr N(v)}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 5.4 для всех $i \in \{1,\dots,N_0\}$ выполнено включение
$$
\begin{equation}
\mathscr N(v) \subseteq (u_i-\overline{\Sigma_i^\vee}).
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Далее, для каждого из конусов $\Sigma_i$, $i \in \{1,\dots,N_0\}$, рассмотрим два случая:
$$
\begin{equation}
\operatorname{dist}(\partial(\mathscr N(v)-\overline{\Sigma_i^\vee}), \partial(\mathscr N(w)-\overline{\Sigma_i^\vee})) > 0,
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{dist}(\partial(\mathscr N(v)-\overline{\Sigma_i^\vee}), \partial(\mathscr N(w)-\overline{\Sigma_i^\vee}))=0.
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Случай 1. Предположим, что выполняется условие (5.9). Тогда, как в доказательстве предложения 3.1, найдется $\delta_i > 0$ такое, что для любого $\delta \in (0, \delta_i)$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\bigl((1-\delta)({\mathscr N(v)}-\overline{\Sigma_i^\vee}) + \delta u_i\bigr) \subseteq ({\mathscr N(w)}- \overline{\Sigma_i^\vee}).
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 5.5 мы получаем, что выполнено включение (рис. 3, a, b)
Случай 2. Предположим теперь, что выполнено условие (5.10). Тогда по предложению 4.3, (1) существует грань $\mathscr F^{\mathscr N(v)}$, лежащая в $\mathscr N(v)- \overline{\Sigma_i^\vee}$ и такая, что
$$
\begin{equation*}
\mathscr F^{\mathscr N(v)} \subseteq \partial(\mathscr N(w)-\overline{\Sigma_i^\vee}).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, из выпуклости конусов $\Sigma_i^\vee$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\mathscr N(v)-\overline{\Sigma_i^\vee}=\operatorname{Conv}\bigl(\{p-\overline{\Sigma_i^\vee} \mid p \in \operatorname{Vert}(\mathscr N(v))\}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{Conv}$ – выпуклая оболочка. Значит, верно включение между множествами вершин
$$
\begin{equation}
\operatorname{Vert}(\mathscr N(v)-\overline{\Sigma_i^\vee}) \subseteq \text{Vert}(\mathscr N(v)).
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
А поэтому должна существовать вершина $p \in \operatorname{Vert}(\mathscr N(v))\cap \partial(\mathscr N(w)-\overline{\Sigma_i^\vee})$ (рис. 3, c). Заметим, что
$$
\begin{equation*}
p \in \mathscr N(v) \subseteq \mathscr N(w), \qquad \partial(\mathscr N(w)-\overline{\Sigma_i^\vee}) \cap \overline{\mathscr N(w)} \subseteq \partial\mathscr N(w).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, приходим к выводу, что (рис. 3, c, d)
$$
\begin{equation}
\mathscr N(v) \cap \partial \mathscr N(w) \neq \varnothing.
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Теперь можно предполагать, что существуют грани $\mathscr F_{\mathscr I}^{\mathscr N(v)} \subseteq\mathscr N(v) \cap \partial \mathscr N(w)$ и $\mathscr F_{\mathscr J}^{\mathscr N(w)} \subseteq \mathscr N(w)$ такие, что $\mathscr F_{\mathscr I}^{\mathscr N(v)} \subseteq \mathscr F_{\mathscr J}^{\mathscr N(w)}$. Тогда имеет место включение
$$
\begin{equation}
\Omega_{\mathscr J}^{\mathscr N(w)} \subseteq \{x \mid l_{\mathscr N(v)}(x)=l_{\mathscr N(w)}(x)\}.
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
С другой стороны, грани $\mathscr F_{\mathscr I}^{\mathscr N(v)}$ и $\mathscr F_{\mathscr J}^{\mathscr N(w)}$ являются также соответственно гранями $(\mathscr N(v)\,{-}\,\overline{\Sigma_i^\vee})$ и $(\mathscr N(w)-\overline{\Sigma_i^\vee})$. Из выпуклости $\mathscr N(w)-\overline{\Sigma_i^\vee}$ следует, что для любой точки $\xi \in \Omega_{\mathscr J}^{\mathscr N(w)}$ найдется константа $c_\xi$ такая, что (рис. 3, d) $\langle\xi, y\rangle\leqslant c_\xi$ для любого $y \in(\mathscr N(w)-\overline{\Sigma_i^\vee})$. Следовательно, верно включение
$$
\begin{equation}
\Omega_{\mathscr J}^{\mathscr N(w)} \subseteq \overline{\Sigma_i}.
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Поэтому из (4.4) и (5.14) мы получаем
$$
\begin{equation}
l_{\mathscr N(v)}(x)=\widehat l_{\mathscr N(u)}(x)=\langle u_i, x\rangle \quad \forall\, x \in \Omega_{\mathscr J}^{\mathscr N(w)}.
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
Последнее равенство следует из соотношения (5.15). Из (5.16) следует существование грани $\mathscr F_\mathscr K^{u_i-\overline{\Sigma_i^\vee}}$ многогранника ${u_i-\overline{\Sigma_i^\vee}}$ такой, что
$$
\begin{equation}
F_{\mathscr I}^{\mathscr N(v)} \subsetneq \mathscr F_\mathscr K^{u_i-\overline{\Sigma_i^\vee}}.
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
Поэтому, применяя (5.8) и (4.4), мы получаем (рис. 3, e, f)
$$
\begin{equation*}
\Omega_{\mathscr J}^{\mathscr N(w)} \subseteq (\Omega_\mathscr K^{u_i-\overline{\Sigma_i^\vee}} \cap \overline{\Sigma_i}).
\end{equation*}
\notag
$$
Из (5.15) следует
$$
\begin{equation}
\Omega_{\mathscr J}^{\mathscr N(w)} \subseteq (\Omega_\mathscr K^{u_i-\overline{\Sigma_i^\vee}} \cap\overline{\Sigma_i}) \subseteq (\Omega_{\mathscr I}^{\mathscr N(v)} \cap \overline{\Sigma_i}).
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
Заметим также, что имеют место соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (\Omega_{\mathscr J}^{\mathscr N(w)})^\vee=\operatorname{Span}_{\mathbb R_{\geqslant 0}}\{x-y \mid x \in \mathscr F_{\mathscr J}^{\mathscr N(w)},\,y \in \mathscr N(w)\}, \\ (\Omega_{\mathscr I}^{\mathscr N(v)} \cap \overline{\Sigma_i})^\vee=\operatorname{Span}_{\mathbb R_{\geqslant 0}}\{x-y\mid x \in \mathscr F_{\mathscr I}^{\mathscr N(v)}, \ y \in (\mathscr N(v)-\overline{\Sigma_i^\vee})\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в силу двойственности существует выпуклая область $\Omega$, содержащая грань $F_{\mathscr I}^{\mathscr N(v)}$, для которой выполнены включения (рис. 3, b)
$$
\begin{equation}
(\Omega \cap({\mathscr N(v)}-\overline{\Sigma_i^\vee})) \subseteq (\Omega \cap{(u_{i}-\overline{\Sigma_{i}^\vee})}) \subseteq (\Omega \cap{\mathscr N(w)}).
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
Напомним, что по (5.17) грань $F_{\mathscr I}^{\mathscr N(v)}$ содержится в грани $\mathscr F_\mathscr K^{u_i-\overline{\Sigma_i^\vee}}$ многогранника $u_i-\overline{\Sigma_i^\vee}$, вершиной которой является $u_i$. Мы можем уменьшить $\Omega$ до выпуклой области $\Omega'$ такой, что
$$
\begin{equation*}
F_{\mathscr I}^{\mathscr N(v)} \subseteq \Omega' \subsetneq \Omega, \qquad \operatorname{dist}(\partial\Omega,\partial\Omega') > 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, можем предполагать, что для каждого $i$ существует лишь одна грань $F_\mathscr I^{\mathscr N(v) }$ многогранника $\mathscr N(v)$ такая, что
$$
\begin{equation}
F_\mathscr I^{\mathscr N(v) } \subseteq \bigl(\partial (\mathscr N(v)-\overline{\Sigma_i^\vee}) \cap \partial(u_i -\overline{\Sigma_i^\vee}) \cap \partial (\mathscr N(w)-\overline{\Sigma_i^\vee}) \bigr).
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
Таким образом, по соотношению (5.19) мы получаем аналог (3.10), т.е.
$$
\begin{equation*}
\delta_i u_i + (1-\delta_i)\bigl(\Omega' \cap ({\mathscr N(v)}-\overline{\Sigma_i^\vee})\bigr) \subseteq \bigl(\Omega\cap{(u_{i}-\overline{\Sigma_{i}^\vee})}\bigr) \subseteq {\mathscr N(w)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta_i > 0$ достаточно мало. Следовательно, прибавляя конус $-\overline{\Sigma_{i}^\vee}$ к обеим частям приведенного выше соотношения, получаем
$$
\begin{equation}
\delta_i{(u_{i}-\overline{\Sigma_{i}^\vee})} + (1-\delta_i)\bigl((\Omega'-\overline{\Sigma_i^\vee}) \cap ({\mathscr N(v)}-\overline{\Sigma_i^\vee})\bigr) \subseteq ({\mathscr N(w)}-\overline{\Sigma_i^\vee}).
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
С другой стороны, аналогично (3.8) получаем из соотношения (5.20), что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dist}\bigl(({\mathscr N(v)}-\overline{\Sigma_i^\vee}) \setminus (\Omega'-\overline{\Sigma_i^\vee}),\partial({\mathscr N(w)}- \overline{\Sigma_i^\vee})\bigr) \geqslant \varepsilon_0 > 0
\end{equation*}
\notag
$$
для достаточно малого $\varepsilon_0$. Отсюда следует, что найдется такое $\delta_i'$, что
$$
\begin{equation}
\bigl( \delta_i'{(u_{i}-\overline{\Sigma_{i}^\vee})} + (1-\delta_i')[({\mathscr N(v)}-\overline{\Sigma_i^\vee})\setminus(\Omega'- \overline{\Sigma_i^\vee})]\bigr) \subseteq ({\mathscr N(w)}-\overline{\Sigma_i^\vee}).
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
Таким образом, воспользовавшись (5.21) и (5.22), заключаем, что существует такое $\delta > 0$, что для любого $i$ имеет место включение
$$
\begin{equation*}
\bigl(\delta (u_i-\overline{\Sigma_i^\vee}) + (1-\delta)({\mathscr N(v)}-\overline{\Sigma_i^\vee})\bigr)\subseteq ({\mathscr N(w)}- \overline{\Sigma_i^\vee}).
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 5.5 мы получаем соотношение (5.11). Положим $m_0=[1/{\delta}] + 1$; тогда (5.7) следует из (5.11) для всех $m \geqslant m_0$. Предложение доказано. Пользуясь предложением 5.2, докажем следующую теорему. Теорема 5.6. Пусть $\mathbf{U}$ – некоторое представление $\mathbf G$, и пусть $u \in \mathbf{U}$ – такой вектор, что пара $(v,u)$ является $K$-полустабильной. Предположим, что пара $(v,w)$ является $K$-стабильной относительно пары $(v,u)$ по модулю $\mathbf G_0\,{\subseteq}\,\mathbf G$, где $\mathbf G_0$ – стабилизатор пары $(v,w)$. Тогда найдется целое число $m$ такое, что верно следующее: для любой однопараметрической подгруппы $\lambda'(t)\,{\in}\,\mathscr M$ найдется подгруппа $\lambda_0(t)\,{\in}\, \mathscr M_0$ такая, что $\widetilde\lambda'(t)=\lambda_0(t) \cdot \lambda'(t)$ – однопараметрическая подгруппа группы $\mathbf G$, для которой имеет место соотношение Доказательство. Рассуждение аналогично доказательству предложения 4.3, (2). Для любой подгруппы $\lambda'(t)=\sigma^{-1} \cdot \lambda_{\xi}(t) \cdot \sigma$, где $\sigma \in \mathbf G$ и $\xi \in \mathfrak t$, существует элемент $\xi_0 \in \mathfrak t_\sigma$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\widehat l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(-\xi)=l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(-\xi'),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\xi'=\xi + \xi_0.$ Выберем подгруппы
$$
\begin{equation*}
\widehat\lambda_0(t)=\sigma^{-1} \cdot \lambda_{\xi_0}(t) \cdot \sigma\subseteq \mathbf G_0,\qquad \widehat\lambda'(t)=\widehat \lambda_0(t) \cdot \lambda'(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
w_{\widehat\lambda'}(v)=w_{\lambda'}(v),\qquad w_{\widehat\lambda'}(w)=w_{\lambda'}(w).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда по предложению 5.2 получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, mw_{\widehat\lambda'}(v,w) &=m ( l_{{\mathscr N^\sigma}(w)}(-\xi')-l_{{\mathscr N^\sigma}(v)}(-\xi')) \\ &\geqslant \widehat l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(-\xi')-l_{{\mathscr N^\sigma}(v)}(-\xi') = w_{\widehat\lambda'}(v) + \widehat l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(-\xi'). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, по определению функции $\widehat l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(-\xi')$ существует такой элемент $\xi_0' \in \mathfrak t_\sigma$, что
$$
\begin{equation*}
\widehat l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(-\xi')=l_{{\mathscr N^\sigma}(u)}(-\xi-\xi_0 + \xi_0')=-w_{\widetilde\lambda'}(u),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde\lambda'=\widetilde\lambda'(t)=\sigma^{-1}\cdot \lambda_{\xi + \xi_0-\xi_0'}(t) \cdot \sigma=\lambda_0(t) \cdot\lambda'(t)$, и, кроме того, Таким образом, мы заключаем, что Теорема доказана. Доказательство теоремы 1.6. Для $\lambda'=\lambda$ из теоремы 5.6 мы выбираем $\lambda_0=\lambda_0(t)$, как в (5.24). Пусть $\widetilde\lambda=\lambda\,{\cdot}\, \lambda_0$. Тогда $\widetilde\lambda\,{\cdot}\, {\lambda}^{-1}=\lambda_0 \subseteq \mathbf G_0$, что означает, что $\widetilde\lambda \sim \lambda$. Более того, по (5.23) выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
m w_{\widetilde\lambda}(v,w) \geqslant w_{\widetilde\lambda}(v,u).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, рассматривая пару $(v,u)=(v, \mathbf I)$, мы получаем требуемое соотношение (1.8). Теорема доказана. § 6. Одно приложение к геометрииВ этом параграфе мы обсуждаем приложение теоремы 1.6 к теории $K$-стабильности поляризованных многообразий. Пусть $M$ – проективное многообразие с поляризацией, заданной обильным линейным расслоением $L$. По теореме Кодаиры о вложении для достаточно большого натурального числа $\ell$ базис пространства $H^0(M, L^\ell)$ задает вложение $\varphi_\ell \colon M \mapsto \mathbb{C} P^{N}$, где $N=\dim_\mathbb{C}H^0(M,L^\ell)-1$. Любой другой базис этого же пространства задает вложение вида $\sigma\,{\cdot}\, \varphi_\ell$ для некоторого $\sigma \in \mathbf{G}=\mathbf{SL}(N+1, \mathbb{C})$. Фиксируем число $\ell$ и вложение $\varphi_\ell$, как выше. Любой однопараметрической подгруппе $\lambda(t)$ мы можем поставить в соответствие предельное многообразие $M_0=\lim \lambda(t)(\varphi_\ell(M))$ и обобщенный инвариант Футаки $f_{M_0}(\lambda)$ (см., например, [6]), который равен весу Чжоу–Мамфорда, рассмотренному в работах [5] и [4]. Следуя [2] и [3], выразим инвариант $f_{M_0}(\lambda)$ в терминах координаты Чжоу и гипердискриминанта $M$. Рассмотрим грассманиан $G(N-n-1,N)$ подпространств размерности $N-n-1$ в пространстве $\mathbb{C}^N$. Положим
$$
\begin{equation}
Z_M=\{ P \in G(N-n-1, N)\mid P \cap M \neq\varnothing\}.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Тогда $Z_M$ является неприводимым дивизором в $G(N\,{-}\,n\,{-}\,1,N)$ и задает ненулевой однородный многочлен $R_M \in \mathbb{C}[M_{(n+1)\times (N+1)}] $, единственный с точностью до умножения на константу и имеющий степень $(n+1) d$, где $M_{k\times l}$ обозначает пространство матриц размера $k\times l$. Будем называть $R_M$ координатой Чжоу или $M$-результантом многообразия $M$. Далее, рассмотрим вложение Сегре
$$
\begin{equation*}
M \times \mathbb{C} P^{n-1} \subset \mathbb{C} P^N\times \mathbb{C} P^{n-1} \mapsto \mathbb{P}(M_{n\times (N+1)}^\vee),
\end{equation*}
\notag
$$
где $M_{k\times l}^\vee$ обозначает пространство, двойственное к $M_{k\times l}$. Определим множество, которое является дивизором в $\mathbb{P}(M_{n\times (N+1)}^\vee)$ степени $\overline d=(n (n+1)-\mu)d$:
$$
\begin{equation}
Y_M=\{ H\subset\mathbb{P}(M_{n\times (N+1)}^\vee)\mid T_p(M\times \mathbb{C} P^{n-1}) \subset H \text{ для некоторого } p\}.
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Этот дивизор задает однородный многочлен $\Delta_M$ из $\mathbb{C}[M_{n\times (N+1)}]$, единственный с точностью до умножения на константу и имеющий степень $\overline d$. Будем называть $\Delta_M$ гипердискриминантом многообразия $M$. Положим
$$
\begin{equation*}
r=(n+1) d \overline d, \qquad \mathbf{V}=C_r [M_{(n+1)\times (N+1)}], \qquad \mathbf{W}=C_r [M_{n \times (N+1)}],
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_r[\mathbb{C}^k]$ обозначает пространство однородных многочленов степени $r$ на $\mathbb{C}^k$. Следуя работе [3], поставим в соответствие многообразию $M$ пару $(R(M), \Delta(M))$ в пространстве $\mathbf{V} \times \mathbf{W}$, где $R(M)=R_M^{\overline d}$ и $\Delta(M)=\Delta_M^{(n+1)d}$. В работе [2] было доказано равенство
$$
\begin{equation}
f_{M_0}(\lambda) =w_\lambda(R(M))-w_\lambda(\Delta(M)).
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Напомним, что поляризованное многообразие $(M,L)$ называется $K$-полустабильным относительно $L^\ell$, если $f_{M_0}(\lambda)\geqslant 0$ для всех $\lambda$. Аналогично, $(M,L)$ называется $K$-стабильным относительно $L^\ell$, если оно $K$-полустабильно и $f_{M_0}(\lambda)\,{>}\,0$ для всех $\lambda$ таких, что Это определение эквивалентно обычному определению $K$-стабильности для многообразия Фано $(M, K_M^{-l})$ из работы [5], поскольку условие (6.4) выполнено для специальных вырождений, индуцированных $\lambda$ (см. [1]). Если подгруппа $\operatorname{Aut}_0(M, L)$ нетривиальна, то стабилизатор $\mathbf{G}_0 \subseteq \mathbf{G}$ пары векторов $(R(M), \Delta(M))$ тоже нетривиален. В этом случае поляризованное многообразие $(M,L)$ является $K$-стабильным по модулю $\operatorname{Aut}_0(M, L)$ относительно $L^\ell$, если пара векторов $(R(M),\Delta(M))$ является $K$-стабильной по модулю $\mathbf G_0$. Для многообразия Фано $(M, K_M^{-l})$ это условие эквивалентно $K$-полистабильности (см. [5]). Из теоремы 1.6 получаем следующее утверждение. Теорема 6.1. Пусть $(M,L)$ – поляризованное многообразие и $\ell$ – натуральное число, как выше. Предположим, что $(M,L)$ является $K$-стабильным по модулю $\operatorname{Aut}_0(M, L)$ относительно $L^\ell$. Тогда существует целое число $m$ такое, что для любой однопараметрической подгруппы $\lambda(t) \in \mathscr M$ выполнено
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LiTiaZhu21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|