| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Версальные семейства эллиптических кривых с рациональным 3-кручением Б. М. Беккерa, Ю. Г. Зархинb a Математико-механический факультет, Санкт-Петербургский государственный университет b Department of Mathematics, Pennsylvania State University, University Park, PA, USA
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9429 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ связи с доказательством последней теоремы Ферма, данным А. Уайлсом (см. [10]), возрос интерес к явному построению семейств эллиптических кривых $E$ с предписанной структурой (классом изоморфизма) модуля Галуа для $n$-кручения $E[n]$ при малых $n$ (см. [5], [8], [6], [7], [1], а также [4], [2]). В настоящей статье мы рассматриваем случай $n=3$ и строим версальные семейства эллиптических кривых $E$ над произвольным полем $K_0$ характеристики, отличной от 2 и 3, в случае, когда $3$-кручение $E[3]$ либо определено над $K_0$, либо как $\operatorname{Gal}(K_0^s/K_0)$-модуль Галуа изоморфно $\mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3$, где $\mu_3$ – модуль Галуа корней степени 3 из 1. В дальнейшем мы называем отмеченной эллиптической кривой над полем $K_0$ пару $(E,O)$, состоящую из эллиптической кривой $E$, определенной над $K_0$, и ее точки $O\in E(K_0)$, которую мы принимаем за нуль группового закона на $E$. Eсли $(E_1, O_1)$ и $ (E_2, O_2)$ – две отмеченные эллиптические кривые над $K_0$, то под $K_0$-изоморфизмом $(E_1, O_1)\to (E_2, O_2)$ мы всегда понимаем $K_0$-бирегулярное отображение $E_1\to E_2$, переводящее $O_1$ в $O_2$. Такое отображение является изоморфизмом коммутативных алгебраических $K_0$-групп $(E_1, O_1)$ и $(E_2, O_2)$. Статья организована следующим образом. В § 2 содержатся вспомогательные результаты о точках порядка $3$ на эллиптических кривых, включая обсуждение вопросов рациональности (теорема 1). В § 3 строится двумерное версальное семейство эллиптических кривых c рациональным 3-кручением над произвольным полем $K_0$ характеристики, отличной от $2$ и $3$ (следствие 3). В § 4 строится двумерное версальное семейство эллиптических кривых c 3-кручением, изоморфным $\mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3$ над полями, не содержащими $\sqrt{-3}$ (теорема 4). В § 5 вычисляется спаривание Вейля между явно указанными точками порядка $3$ одного из рассматриваемых версальных семейств. § 2. Точки порядка $3$Пусть $K$ – алгебраически замкнутое поле характеристики $\operatorname{char} K\ne2$, $K_0$ – подполе поля $K$. Всякая отмеченная над $K_0$ эллиптическая кривая $(E,O)$ $K_0$-изоморфна эллиптической кривой $(E_f,\infty)$, где $E_f$ – гладкая проективная геометрически неприводимая кривая рода 1, заданная уравнением $y^2\,{=}\,f(x)$, а $f(x){\kern1pt}{\in}{\kern0.8pt}K_0[x]$ – приведенный многочлен степени 3 без кратных корней, $\infty$ – единственная “бесконечная” точка на $E_f$. Таким образом (в очевидных обозначениях), $K_0$-изоморфизм $(E_{f_1},\infty_1)\to (E_{f_2},\infty_2)$ переводит $\infty_1$ в $\infty_2$, и в дальнейшем эллиптическая кривая $(E_f,\infty)$ будет обозначаться просто $E_f$. Обозначим через
$$
\begin{equation*}
\iota\colon E_f \to E_f, \qquad (x,y) \mapsto (x,-y), \quad \infty \mapsto \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
инволюцию на $E_f$, заданную вышеприведенными формулами и совпадающую с умножением на $-1$ в коммутативной алгебраической группе $E_f$. Для любого натурального числа $n$ обозначим через $E[n]$ ядро умножения на $n$ в $E(K)$. Хорошо известно (см. [9]), что $E[n]$ – конечная подгруппа группы $E(K)$ (ее порядок делит $n^2$), все точки которой определены над алгебраическим замыканием $\overline{K}_0\subset K$ поля $K_0$, а если $\operatorname{char} K$ не делит $n$, то – даже над сепарабельным алгебраическим замыканием $K_0^s\subset \overline{K}_0\subset K$ поля $K_0$. В последнем случае $E[n]$ – свободный $\mathbb Z/n\mathbb Z$-модуль ранга $2$, снабженный естественным действием абсолютной группы Галуа $\operatorname{Gal}(K_0^s/K_0)$ поля $K_0$. Мы будем говорить, что $n$-кручение кривой $E$ рационально или определено над $K_0$, если $\operatorname{char} K \nmid n$ и все точки из $E[n]$ определены над $K_0$, т.е. модуль Галуа $E[n]$ изоморфен $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^2$ с тривиальным действием абсолютной группы Галуа поля $K_0$. В настоящей работе мы сосредоточимся на случае $n=3$. Под 3-оснащением отмеченной кривой $(E,O)$ над $K_0$ (ср. [3; определение 18]) мы понимаем выбор упорядоченной пары точек $P,Q \in E(K_0)$ порядка 3 на $E$, порождающих все $3$-кручение $E[3]$ на $E$. (Такой выбор возможен тогда и только тогда, когда $\operatorname{char} K\ne 3$ и все точки из $E[3]$ определены над $K_0$.) Таким образом, 3-оснащенная отмеченная эллиптическая кривая над $K_0$ представляет собой четверку $(E,O,P,Q)$, где точки $P, Q\in E[3]\cap E(K_0)$ таковы, что подгруппа $\langle P,Q\rangle$ в $E$, порожденная $P$ и $Q$, совпадает с $E[3]$; 3-оснащенная эллиптическая кривая $(E_f,\infty,P,Q)$ будет обозначаться просто $(E_f,P,Q)$. Если $\mathscr E_1\,{=}\,(E_1,O_1,P_1,Q_1)$ и $\mathscr E_2\,{=}\,(E_2,O_2,P_2,Q_2)$ – 3-оснащенные отмеченные эллиптические кривые над $K_0$, то под $K_0$-изоморфизмом $\mathscr E_1\to \mathscr E_2$ мы понимаем $K_0$-бирегулярное отображение $E_1\to E_2$, переводящее $O_1$ в $O_2$, $P_1$ в $P_2$ и $Q_1$ в $Q_2$. Нам понадобятся два следующих простых, но полезных утверждения. Лемма 1. Пусть $(E,O)$ – отмеченная эллиптическая кривая над полем $K_0$ с $\operatorname{char} K_0\ne3$. Тогда следующие условия эквивалентны. (i) $E[3] \subset E(K_0)$. (ii) Существуют точки $P$, $Q$ в $E(K_0)$ порядка $3$ такие, что четверка $(E,O,P,Q)$ – $3$-оснащенная отмеченная эллиптическая кривая над $K_0$. (iii) Существуют точки $P$, $Q$ порядка $3$ в $E(K_0)$ такие, что $P \ne \pm Q$. Доказательство. Напомним, что $E[3]$ – векторное пространство над полем $\mathbb F_3$. Выберем какой-нибудь его базис, состоящий из двух точек $P$, $Q$.
Если выполнено условие (i), то $P$, $Q$ принадлежат $E(K_0)$ и порождают $E[3]$, т.е. $(E,O,P,Q)$ – $3$-оснащенная отмеченная эллиптическая кривая над $K_0$ и, таким образом, выполнено условие (ii). Если выполнено (ii) и $(E,O,P,Q)$ – $3$-оснащенная отмеченная эллиптическая кривая над $K_0$, то $P$ и $Q$ порождают $E[3]$ и, следовательно, $P \ne \pm Q$, что доказывает (iii). Если выполнено (iii), то $P$ и $Q$ порождают двумерное подпространство над $\mathbb F_3$ в $E[3]$. Поскольку само $E[3]$ двумерно, $P$ и $Q$ порождают все $E[3]$. Так как $P, Q \in E(K_0)$, мы получаем $E[3] \subset E(K_0)$, что доказывает (i). Лемма доказана. Лемма 2. Пусть $(E,O)$ – отмеченная эллиптическая кривая над полем $K_0$ с $\operatorname{char} K_0 \ne 3$. Предположим, что $\sqrt{-3}\not\in K_0$, и рассмотрим квадратичное расширение $K_3=K_0(\sqrt{-3})$ поля $K_0$, обозначив через $\sigma\colon K_3 \to K_3$ его единственный нетривиальный автоморфизм над $K_0$. Тогда следующие условия эквивалентны. (i) $\operatorname{Gal}(K_0^s/K_0)$-модуль $E[3]$ изоморфен $\mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3$. (ii) Существуют точки $P \in E(K_0)$ и $Q\in E(K_3)$ порядка $3$ такие, что $\sigma(Q)=-Q$. Доказательство. Пусть выполнено условие (i), т.е. существует изоморфизм $\operatorname{Gal}(K_0^s/K_0)$-модулей $\phi\colon E[3] \cong\mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3$. Рассмотрим в $\mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3$ элементы и положим $P:=\phi^{-1}(1\bmod 3) \in E[3]$, $Q=\phi^{-1}(\omega)\in E[3]$. Так как $\phi$ – изоморфизм $\operatorname{Gal}(K_0^s/K_0)$-модулей, то Это означает, что выполнено условие (ii).
Пусть выполнено условие (ii). Обозначим через $A$ (соответственно через $B$) одномерное $\mathbb F_3$-подпространство в $E[3]$, порожденное $P$ (соответственно $Q$). Из условий на $P$ и $Q$ вытекает, что $A$ и $B$ пересекаются только в нуле и являются $\operatorname{Gal}(K_0^s/K_0)$-подмодулями в $E[3]$, изоморфными $\mathbb Z/3\mathbb Z$ и $\mu_3$ соответственно. Из двумерности векторного пространства $E[3]$ вытекает, что $ E[3]$ равно $A\oplus B$ и, следовательно, изоморфно как $\operatorname{Gal}(K_0^s/K_0)$-модуль прямой сумме $\mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3$. Тем самым, выполнено условие (i). Лемма доказана. Замечание 1. В обозначениях леммы 2 четверка $(E,O,P,Q)$ является $3$-оснащенной отмеченной эллиптической кривой над $K_3$. Замечание 2. Пусть $E_f$ – эллиптическая кривая, удовлетворяющая условиям леммы 2. Пусть точки $P \in E_f(K_0)$ и $Q\in E_f(K_3)$ порядка $3$ такие, что $\sigma(Q)\,{=}\,{-}Q$. Тогда разность $x(P)-x(Q)$ абсцисс точек $P$ и $Q$ лежит в $K_0$ и не зависит от выбора таких $P$ и $Q$. Действительно, $x(P)\in K_0$ по условию. Далее, $\sigma (x(Q))=x(\sigma(Q))= x(-Q)=x(Q)$, откуда $x(Q)\in K_0$ и $x(P)-x(Q)\in K_0$. Пусть $P_1$, $Q_1$ – другая пара точек порядка 3 кривой $E_f$, для которой $P_1 \in E_f(K_0)$, $Q_1\in E_f(K_3)$ и $\sigma(Q_1)=-Q_1$. Так как $P_1=kP+lQ$ и $Q_1=mP+nQ$, где $k,l,m,n\in\{0,1,-1\}$, то $P_1=\sigma(P_1)=kP-lQ$, $-Q_1=\sigma(Q_1)=mP-nQ$. Из равенств $kP+lQ=kP-lQ$, $-mP-nQ=mP-nQ$ получаем, что $l=0, m=0$, и, таким образом, с учетом того, что $P_1$, $Q_1$ – точки порядка 3, получаем, что $P_1=kP$ и $Q_1=nQ$, где $k,n\in\{1,-1\}$. Так как $x(P)=x(-P)$ и $x(Q)=x(-Q)$, то $x(P)-x(Q)=x(P_1)-x(Q_1)$. Пусть теперь $E_g\colon y^2=g(x)$ – произвольная эллиптическая кривая над $K_0$, на которой существует пара точек $R$, $S$ порядка 3 таких, что $R \in E_g(K_0)$, $S\in E_g(K_3)$ и $\sigma(S)=-S$. Если существует $K_0$-изоморфизм $\varphi\colon E_g\to E_f$ отмеченных кривых, то $\varphi(R)=\pm P$, $\varphi(S)=\pm Q$ и $x(R)=x(P)u^2+r$, $x(S)=x(Q)u^2+r$ для некоторых $u\in K_0^{\times}$ и $r\in K_0$, откуда $x(R)-x(S)=(x(P)-x(Q))u^2$. Пусть теперь $(E,O)$ – произвольная отмеченная эллиптическая кривая над полем $K_0$ характеристики $\operatorname{char} K_0\ne3$ и $E[3]\cong\mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3 $ как $\operatorname{Gal}(K_0^s/K_0)$-модули. Кривая $(E,O)$ $K_0$-изоморфна кривой $E_f$ для некоторого $f$. Пусть точки $P\,{\in}\,E(K_0)$ и $Q\,{\in}\,E(K_3)$ таковы, что $\sigma(P)\,{=}\,P$ и $\sigma(Q)\,{=}\,{-}Q$, и $\varphi\colon (E,O)\,{\to}\,E_f$ – $K_0$-изоморфизм отмеченных эллиптических кривых. Сопоставим кривой $(E,O)$ разность $x(\varphi(P))-x(\varphi(Q))$ абсцисс точек $\varphi(P)$ и $\varphi(Q)$. По отмеченному выше $x(\varphi(P))-x(\varphi(Q))\in K_0$ и класс $\nu(E,O)$ разности $x(\varphi(P))-x(\varphi(Q))\in K_0^{\times}$ по модулю $K_0^{\times2}$ не зависит от выбора изоморфизма $\varphi$. Если $(E_i,O_i)$ ($i\,{=}\,1,2$) – $K_0$-изоморфные отмеченные эллиптические кривые, для которых $E_i[3]\cong\mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3 $, то $\nu(E_1,O_1)=\nu(E_2,O_2)\in K_0^{\times}/K_0^{\times2}$. Теорема 1. Пусть $E_f$ – эллиптическая кривая над $K$, заданная уравнением $y^2=f(x)$, где $f(x)$ – приведенный многочлен степени $3$ над $K$ без кратных корней. Пусть $P=(x_0,y_0)$ – $K$-точка кривой $E_f$. Если $P$ имеет порядок $3$, то существует единственный многочлен $v(x)\in K[x]$ степени $\leqslant 1$ такой, что $f(x)=(x-x_0)^3+v(x)^2$, причем $y_0= v(x_0)$. Обратно, пусть $x_0\in K$, $v(x)$ – многочлен над $K$ степени $\leqslant 1$ и многочлен $f(x)=(x-x_0)^3+v(x)^2$ не имеет кратных корней. Тогда точка $(x_0,v(x_0))$ имеет порядок $3$ на эллиптической кривой $E_f$. Доказательство. Пусть $P=(x_0,y_0)$ – $K$-точка порядка 3 на $E_f$. Тогда дивизор $3(P)-3(\infty)$ главный. Пусть функция $h$ такова, что $\operatorname{div}(h)=3(P)\,{-}\,3(\infty)$. Имеем $h\in L(3(\infty))\setminus L(2(\infty))$. По теореме Римана–Роха $\dim(L(3(\infty))=3$. Функции $1$, $x$, $y$ лежат в $L(3(\infty))$, так как $(x)_{\infty}=2(\infty)$ и $(y)_{\infty}=3(\infty)$. Кроме того, они линейно независимы, так как порядки их полюсов в $\infty$ различны. Значит, эти функции образуют базис пространства $L(3(\infty))$. Таким образом, функция $h$ единственным образом представляется в виде $h=\gamma y-\alpha-\beta x$, где $\alpha,\beta,\gamma\in K$. Так как $h\not\in L(2(\infty))$, то $\gamma\neq 0$, откуда следует $ (1/{\gamma})h=y- {\alpha}/{\gamma}-(\beta/\gamma) x.$ Пусть $v(x)={\alpha}/{\gamma}+ ({\beta}/{\gamma}) x$. Тогда Таким образом, дивизор нулей функции $y\,{-}\,v(x)$ совпадает с $3(P)$. В частности, $y_0=v(x_0)$. Заметим, что точка $\iota(P)=(x_0,-y_0)$ тоже имеет порядок 3. Дивизор нулей функции $y+v(x)$ равен $3(\iota(P))$. Так как $P\neq \iota(P)$, то дивизор нулей функции равен $3(P)+3(\iota(P))$. Это означает, что многочлен $f(x)-v^2(x)$ имеет вид $(x\,{-}\,x_0)^3$, откуда $f(x)=(x-x_0)^{3}+v^2(x)$. Единственность такого многочлена $v(x)$ при условии $v(x_0)=y_0$ очевидна.
Докажем обратное утверждение. Рассмотрим эллиптическую кривую $y^2=(x-x_0)^{3}+v^2(x)$, где $v(x)\in K[x]$ – многочлен степени $\leqslant 1$ и $v(a)\neq0$, и докажем, что точка $P=(x_0,y_0)$, где $y_0=v(x_0)$ имеет порядок $3$. Из равенства $y^2-v^2(x)=(x-x_0)^{3}$ вытекает, что нули функции $y\,{-}\,v(x)$ – точки с абсциссой $x_0$. Поскольку точка $P=(x_0,y_0)$ – нуль функции $y\,{-}\,v(x)$, а точки $P$ и $\iota(P)$ одновременно нулями этой функции быть не могут, то носитель дивизора нулей этой функции состоит из одной точки $P$. Так как дивизор полюсов этой функции имеет вид $3(\infty)$, то дивизор функции $y-v(x)$ равен $3(P)-3(\infty)$. Таким образом, $3\operatorname{cl}((P)-(\infty))=0$, и следовательно, точка $P$ имеет порядок, делящий $3$. Так как $P\neq \infty$, то порядок $P$ равен 3. Теорема доказана. Замечание 3. Вычислим дискриминант $\Delta(a,b)$ многочлена Напомним, что согласно стандартной формуле дискриминант приведенного кубического многочлена $x^3+Ax^2+Bx+C$ равен Подставляя в эту формулу $A=a^2$, $B=2ab$, $C=b^2$, получаем Тем самым, Это значит, что многочлен $x^3+(ax+b)^2$ не имеет кратных корней в том и только том случае, если $b \ne 0$, $4a^3-27b \ne 0$. Если $\operatorname{char} K =3$, то эти условия эквивалентны неравенствам $a \ne 0$, $b \ne 0$. Нам понадобится следующая простая лемма. Лемма 3. Пусть $K_0$ – подполе поля $K$ и $v(x)\in K[x]$ – многочлен степени ${\leqslant}\,1$ такой, что $v(x)^2 \in K_0[x]$. Предположим, что существуют $x_0, y_0 \in K_0$ такие, что $v(x_0)=y_0 \ne 0$. Тогда $v(x) \in K_0[x]$. Доказательство. Пусть $v(x)\,{=}\,ax\,{+}\,b$. Так как $v^2(x)\,{\in}\, K_0$, то $a^2, ab, b^2\,{\in}\, K_0$. Кроме того, $ax_0+b=y_0\in K_0$, откуда Если $x_0=0$, то из равенства $ax_0+b=y_0$ получаем $b=y_0\in K_0$, и в силу $ab\in K_0$ получаем, что $a\in K_0$. Если $x_0\neq0$, то из равенства (2.2) получаем, что $a\in K_0$, и опять в силу $ab\in K_0$ получаем, что $b\in K_0$. Лемма доказана. Следствие 1. Пусть $K_0$ – подполе поля $K$ и $f(x)\in K_0[x]\subset K[x]$ – кубический многочлен без кратных корней. Тогда если эллиптическая кривая $E_f$ имеет $K_0$-точку $P=(x_0,y_0)$ порядка $3$, то существует единственный многочлен $v(x)\,{\in}\,K_0[x]$ степени $\leqslant 1$, для которого $v(x_0)\,{=}\,y_0\neq0$, $f(x)\,{=}\,(x\,{-}\,x_0)^{3}+v^2(x)$. Доказательство. В силу теоремы 1 существует единственный многочлен $v(x)\in K[x]$ такой, что $v(x_0)=y_0$, $f(x)=(x-x_0)^{3}+v^2(x)$. Так как $P$ – точка порядка 3, то $y_0\neq0$. Из леммы 3 получим $v(x)\in K_0[x]$. Следствие доказано. Замечание 4. Для всякой отмеченной эллиптической кривой $(E, O)$ над $K_0$, имеющей $K_0$-точку $P$ порядка $3$, существует $K_0$-бирегулярный изоморфизм $\varphi$ между $E$ и эллиптической кривой, заданной уравнением вида $y^2\,{=}\,x^3\,{+}\,(ax\,{+}\,b)^2$, где $a,b\in K_0$, многочлен $x^3+(ax+b)^2$ не имеет кратных корней и $\varphi(O)=\infty$, $\varphi(P)=(0,v(0))$. Кроме того, две отмеченные (с помощью бесконечных точек) эллиптические кривые $y^2 =x^3+(ax+b)^2$ и $y^2 =x^3+(cx+d)^2$ изоморфны над $K_0$ в том и только том случае, если $a^3d=c^3b$. Замечание 5. (i) Пусть $\operatorname{char} K_0=3$ и $(E,O)$ – отмеченная эллиптическая кривая над $K_0$. Из теоремы 1 и замечания 3 вытекает, что группа $E(K_0)$ содержит точку порядка $3$ в том и только том случае, если $(E,O)$ изоморфна над $K_0$ эллиптической кривой $y^2 =x^3+(ax+b)^2$ (c отмеченной $\infty$) при некоторых ненулевых $a,b\in K_0$. (ii) Предположим дополнительно, что $K_0=\mathbb F_3$. Тогда согласно замечанию 3 для любых ненулевых $a,b \in \mathbb F_3$ кубический многочлен $x^3+(ax+b)^2$ не имеет кратных корней. Поскольку пары $(a,b)$ и $(-a,-b)$ задают один и тот же кубический многочлен $x^3+(ax+b)^2$, мы получаем, что существуют (с точностью до $\mathbb F_3$-изоморфизма) ровно две (отмеченные) эллиптические кривые над $\mathbb F_3$ такие, что их группы $\mathbb F_3$-точек содержат элемент порядка $3$; в частности, порядок $\#(E_i(\mathbb F_3))$ конечной коммутативной группы $E_i(\mathbb F_3)$ делится на $3$. Из оценок Хассе вытекает, что для любой эллиптической кривой $E$ над $\mathbb F_3$ порядок $\#(E(\mathbb F_3))$ группы $E(\mathbb F_3)$ не превосходит $3\,{+}\,2\sqrt{3}\,{+}\,1\,{<}\,8\,{<}\,3\,{\times}\, 3$. Отсюда следует, что либо $\#(E_i(\mathbb F_3))=3$ и $E_i(\mathbb F_3)\cong \mathbb Z/3\mathbb Z$, либо $\#(E_i(\mathbb F_3))=6$ и $E_i(\mathbb F_3)\cong \mathbb Z/6\mathbb Z$. У многочлена $x^3+(x+1)^2$ нет корней в $\mathbb F_3$, поэтому $E_1(\mathbb F_3)$ не содержит точек порядка 2 и, следовательно, $E_1(\mathbb F_3)\cong \mathbb Z/3\mathbb Z$. Многочлен $x^3+(x-1)^2$ имеет корень $-1 \in \mathbb F_3$, поэтому $E_{-1}(\mathbb F_3)$ содержит точку $(-1,0)$ порядка 2 и, следовательно, $E_{-1}(\mathbb F_3)\cong \mathbb Z/6\mathbb Z$.§ 3. Эллиптические кривые с рациональным 3-кручениемВсюду далее мы предполагаем, что $\operatorname{char}K_0\ne 2,3$. Следствие 2. Пусть $f(x)\in K_0[x]$ – приведенный кубический многочлен без кратных корней. Тогда $3$-кручение эллиптической кривой $E_f$ определено над $K_0$ в том и только том случае, если существуют $x_0, x_1\in K_0$, $x_0\neq x_1$, и многочлены $v_0(x), v_1(x)\in K_0[x]$ степени $\leqslant 1$ такие, что $v_0(x_0)\neq0$, $v_1(x_1)\neq0$ и $f(x)=(x-x_0)^3+v_0^2(x)=(x-x_1)^3+v_1^2(x)$. Обратно, пусть многочлены $v_0(x), v_1(x)\in K_0[x]$ степени $\leqslant 1$ таковы, что $v_0(x_0)\neq0, v_1(x_1)\neq0$, приведенный кубический многочлен $f(x):=(x-x_0)^3+v_0^2(x)$ не имеет кратных корней и выполняется равенство Тогда уравнение $y^2=(x-x_0)^3+v_0(x)^2$ определяет эллиптическую кривую, $3$-кручение которой определено над $K_0$. При этом точки $P=(x_0,v_0(x_0))$ и $Q=(x_1,v_1(x_1))$ лежат в группе $E_f(K_0)$, где они имеют порядок $3$ и образуют базис $\mathbb Z/3\mathbb Z$-модуля $E_f[3]$.Доказательство непосредственно вытекает из следствия 1. Опишем явно все такие эллиптические кривые. Заметим, что любая эллиптическая кривая с двумя парами $K_0$-точек порядка 3 изоморфна кривой, у которой абсциссы точек порядка 3 равны 0 и $-\alpha$, где $\alpha\in K_0^{\times}$. В этом случае требуемое равенство перепишется в виде откуда следует
$$
\begin{equation}
(v_0(x)-v_1(x))(v_0(x)+v_1(x))=\alpha(3x^2+3x\alpha+\alpha^2) =3\alpha(x-\eta_1\alpha)(x-\eta_2\alpha),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $\eta_1=1/(\varepsilon-1)$, $\eta_2=1/(\varepsilon^2-1)$, $\alpha\neq0$ и $\varepsilon$ – первообразный корень степени 3 из 1. Тогда
$$
\begin{equation*}
v_0(x)+v_1(x)=\alpha\mu(x-\eta_1\alpha), \qquad v_0(x)-v_1(x)=\frac 3{\mu}(x-\eta_2\alpha)
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого $\mu \in K^{\times}$. Получаем
$$
\begin{equation}
v_0(x)=\frac{\alpha\mu}2(x-\eta_1\alpha)+\frac3{2\mu}(x-\eta_2\alpha) =\biggl(\frac{\alpha\mu}2+\frac3{2\mu}\biggr)x-\biggl(\frac{\mu}2\eta_1\alpha^2+\frac3{2\mu}\eta_2\alpha\biggr),
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
$$
\begin{equation}
v_1(x)=\frac{\alpha\mu}2(x-\eta_1\alpha)-\frac3{2\mu}(x-\eta_2\alpha) =\biggl(\frac{\alpha\mu}2-\frac3{2\mu}\biggr)x-\biggl(\frac{\mu}2\eta_1\alpha^2-\frac3{2\mu}\eta_2\alpha\biggr),
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
$$
\begin{equation}
v_0(0)=-\frac{\mu}2\eta_1\alpha^2- \frac{3}{2\mu}\eta_2\alpha, \qquad v_1(-\alpha)=\frac{\alpha^2\mu}{2} \eta_2-\frac{3\alpha}{2\mu} \eta_1.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Теорема 2. Пусть $(E,O,P,Q)$ – $3$-оснащенная эллиптическая кривая над полем $K_0$. Тогда $(E, O, P, Q)$ $K_0$-изоморфна $(\mathscr E_{\mu,\alpha}, \infty, R_{\mu,\alpha}, S_{\mu,\alpha})$, где Обратно, для любых $\mu,\alpha\in K_0^{\times}$ таких, что многочлен в правой части равенства (3.5) не имеет кратных корней, точки $R_{\mu,\alpha}$ и $S_{\mu,\alpha}$, заданные формулами (3.6), лежат в $\mathscr E_{\mu,\alpha}(K_0)$ и имеют там порядок $3$. Доказательство. Прямое утверждение мы уже доказали. Для доказательства обратного заметим, что многочлен в правой части равенства (3.5) имеет вид $x^3+v_0(x)^2$, а также может быть представлен в виде $(x+\alpha)^3+v_1(x)^2$, где многочлены $v_0(x)$ и $v_1(x)$ заданы равенствами (3.2) и (3.3). Теперь результат немедленно вытекает из теоремы 2 с учетом равенств (3.4). Замечание 6. Из замечания 3 вытекает, что многочлен в правой части равенства (3.5) не имеет кратных корней в том и только том случае, если выполняются условия Следствие 3. Рассмотрим семейство эллиптических кривых (3.5) $\mathscr{E}_{\mu,\alpha}$ над $K_0$, где $\mu, \alpha \in K_0$ удовлетворяют следующим условиям: Тогда: (i) для всех таких $\mu$, $\alpha$ имеем $\mathscr{E}_{\mu,\alpha}[3]\subset \mathscr{E}_{\mu,\alpha}(K_0)$; (ii) для любой отмеченной эллиптической кривой $(E,O)$ над $K_0$ такой, что $E[3]\subset E(K_0)$, найдутся $\mu,\alpha \in K_0$, удовлетворяющие условиям (3.7) и такие, что $(E,O)$ изоморфна $(\mathscr{E}_{\mu,\alpha},\infty)$ над $K_0$. По лемме 1 требуемый результат вытекает из теоремы 2 и замечания 6. Замечание 7. Уравнение кривой (3.5) может быть также записано в виде Замечание 8. Уравнение (3.5) можно преобразовать к виду Выясним, при каких условиях эллиптические кривые $\mathscr{E}_{\lambda_1,\alpha_1}$ и $\mathscr{E}_{\lambda_2,\alpha_2}$ из семейства (3.9) изоморфны. Напомним, что произвольный $K_0$-изоморфизм отмеченных эллиптических кривых $\varphi\colon E_f\to E_g, $ где $E_f\colon y^2=f(x)$, $E_g\colon y^2=g(x)$ и $f(x), g(x)\in K_0[x]$ – кубические многочлены без кратных корней, имеет вид где $u\in K_0^{\times}$, $r\in K_0$. Применим это к кривым $\mathscr{E}_{\lambda_1,\alpha_1}$ и $\mathscr{E}_{\lambda_2,\alpha_2}$ (с отмеченными бесконечными точками). Всякий изоморфизм $\varphi\colon E_{\lambda_1,\alpha_1}\to E_{\lambda_2,\alpha_2}$ переводит точки порядка 3 в точки порядка 3. Пусть $P=(0, \beta)$, где $\beta= \lambda_1\eta_1\alpha_1^2-(1/{\lambda_1})\eta_2\alpha_1$ – одна из точек порядка 3 на $\mathscr{E}_{\lambda_1,\alpha_1}$. Если образ точки $P$ имеет абсциссу $0$, то $r=0$ и Если образ точки $P$ имеет абсциссу $-\alpha_2$, то $r=-\alpha_2$ и Рассмотрим первый случай. Тогда получаем
$$
\begin{equation*}
\alpha_2\lambda_2-\frac{1}{\lambda_2}=\biggl(\alpha_1\lambda_1-\frac{1}{\lambda_1}\biggr)u, \qquad \lambda_2\eta_1\alpha_2^2-\frac{1}{\lambda_2}\eta_2 \alpha_2 =\biggl(\lambda_1\eta_1\alpha_1^2-\frac{1}{\lambda_1}\eta_2\alpha_1\biggr)u^3,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует
$$
\begin{equation*}
\frac{(\alpha_2\lambda_2^2-1)^3}{\lambda_2^2(\lambda_2^2\eta_1\alpha_2^2-\eta_2\alpha_2)}= \frac{(\alpha_1\lambda_1^2-1)^3}{\lambda_1^2(\lambda_1^2\eta_1\alpha_1^2-\eta_2\alpha_1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Во втором случае запишем уравнение кривой $\mathscr{E}_{\lambda_2,\alpha_2}$ в виде
$$
\begin{equation}
\mathscr{E}_{\lambda_2,\alpha_2}\colon y^2=(x+\alpha_2)^3-\frac34\biggl(\biggl(\alpha_2\lambda_2+\frac1{\lambda_2}\biggr)x -\biggl(\alpha_2^2\lambda_2\eta_1+\frac1{\lambda_2}\eta_2\alpha_2\biggr)\biggr)^2.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Подставив выражения для $x$ и $y$ из равенства (3.12) в (3.13), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, u^6y^2=u^6x^3-\frac34\biggl(\biggl(\alpha_2\lambda_2+\frac1{\lambda_2}\biggr)(u^2x-\alpha_2) -\biggl(\alpha_2^2\lambda_2\eta_1+\frac1{\lambda_2}\eta_2\alpha_2\biggr)\biggr)^2, \\ u^6y^2=u^6x^3-\frac34\biggl(\biggl(\alpha_2\lambda_2+\frac1{\lambda_2}\biggr)u^2x-\alpha_2^2\lambda_2-\frac1{\lambda_2}\alpha_2 -\alpha_2^2\lambda_2\eta_1-\frac1{\lambda_2}\eta_2\alpha_2\biggr)^2, \\ u^6y^2=u^6x^3-\frac34\biggl(\biggl(\alpha_2\lambda_2+\frac1{\lambda_2}\biggr)u^2x -\biggl(\alpha_2^2\lambda_2(1+\eta_1)+\frac1{\lambda_2}\alpha_2(1+\eta_2)\biggr)\biggr)^2, \\ y^2=x^3-\frac34\biggl(\biggl(\alpha_2\lambda_2+\frac1{\lambda_2}\biggr)x\frac 1u -\biggl(\alpha_2^2\lambda_2(1+\eta_1)+\frac1{\lambda_2}\alpha_2(1+\eta_2)\biggr)\frac1{u^3}\biggr)^2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует
$$
\begin{equation*}
\alpha_2\lambda_2+\frac{1}{\lambda_2}=\biggl(\alpha_1\lambda_1-\frac{1}{\lambda_1}\biggr)v, \qquad \alpha_2^2\lambda_2\eta_2+\frac1{\lambda_2}\eta_1\alpha_2=\biggl(\lambda_1\eta_1\alpha_1^2-\frac{1}{\lambda_1}\eta_2\alpha_1\biggr)v^3,
\end{equation*}
\notag
$$
где $v=\pm u$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\frac{(\alpha_2\lambda_2^2+1)^3}{\lambda_2^2(\alpha_2^2\lambda_2^2(1+\eta_1)+\alpha_2(1+\eta_2))}= \frac{(\alpha_1\lambda_1^2-1)^3}{\lambda_1^2(\lambda_1^2\eta_1\alpha_1^2-\eta_2\alpha_1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы доказали следующее утверждение. Теорема 3. Пусть $(E,O)$ – отмеченная эллиптическая кривая над полем $K_0$, $3$-кручение которой определено над $K_0$. Тогда $(E, O)$ $K_0$-изоморфна эллиптической кривой § 4. Версальные семейства эллиптических кривых с $E[3]\simeq \mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3$Пусть $\operatorname{char} K\neq2,3$, $K_0$ – подполе поля $K$, не содержащее $\sqrt{-3}$, $K_3=K_0(\sqrt{-3})$, $f(x)\in K_0[x]$ – приведенный кубический многочлен без кратных корней и $E_f\colon y^2=f(x)$ – соответствующая эллиптическая кривая над $K_0$. Пусть модуль Галуа $E[3]$ изоморфен $\mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3$. Выберем $\sqrt{-3}\in K_3.$ По лемме 2 мы можем считать, что на $E_f$ найдутся $K_0$-точка $P=(x_0,b_1)$ порядка 3 и $K_3$-точка $Q=(-\alpha,\sqrt{-3}\,\beta)$ порядка 3, антиинвариантная относительно нетривиального автоморфизма расширения полей $K_3/K_0$, где $x_0, \alpha,\beta\in K_0$. Заменив отмеченную кривую $(E,O)$ на $K_0$-изоморфную, мы можем считать, что $x_0=0$, т.е. $P=(0,b_1)$. Применяя теорему 1 к полю $K_0$ и к полю $K_3$, мы получаем, что существуют многочлены $v_0(x)\in K_0[x]$ и $v_1(x)\in K_3[x]$ такие, что $\deg v_0(x)\leqslant 1$, $\deg v_1(x)\leqslant1$ и причем $b_1=v_0(0)$ и $\sqrt{-3}\,\beta=v_1(-\alpha)$, откуда следует Положим $v_2(x)\,{=}\,v_1(x)/\sqrt{-3}$. Заметим, что $v_2^2(x)\,{\in}\,K_0[x]$. Кроме того, $v_2(-\alpha)=\beta\neq0$. Из леммы 3 вытекает, что $v_2(x)\in K_0[x]$. Получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &3\alpha(x-\eta_1\alpha)(x-\eta_2\alpha)=(x+\alpha)^3-x^3=v_0(x)^2+3v_2(x)^2 \\ &\qquad =\bigl(v_0(x)+\sqrt{-3}\,v_2(x)\bigr)\bigl(v_0(x)-\sqrt{-3}\,v_2(x)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $v_0(x)=ax+b$, $v_2(x)=cx+d$, где $a,b,c,d\in K_0$, $a\neq0$, $b\neq0$. Тогда
$$
\begin{equation}
3\alpha(x\,{-}\,\eta_1\alpha)(x\,{-}\,\eta_2\alpha)\,{=}\, \bigl((a\,{+}{\kern1pt}\sqrt{-3}\,c)x\,{+}\,(b\,{+}{\kern1pt}\sqrt{-3}\,d)\bigr) \bigl((a\,{-}{\kern1pt}\sqrt{-3}\,c)x\,{+} \,(b\,{-}{\kern1pt}\sqrt{-3}\,d)\bigr).
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Приравнивая старшие коэффициенты и корни многочленов в левой и правой частях равенства (4.1), получаем
$$
\begin{equation}
a^2+3c^2=3\alpha, \qquad \frac{b+\sqrt{-3}\, d}{a+\sqrt{-3}\, c}=-\eta_1\alpha.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Перепишем второе уравнение системы (4.2) в виде Так как $\eta_1=-(3+\sqrt3)/6$, то последнее равенство можно представить в виде
$$
\begin{equation*}
6b+6\sqrt{-3}\, d=(a+\sqrt{-3}\,c)(3+\sqrt{-3})\alpha,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
6b+6\sqrt{-3}\, d=(3a-3c)\alpha+(a+3c)\alpha\sqrt{-3},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем и $a\neq c$, поскольку $b\neq0$. В итоге получаем следующие ограничения на $a,b,c,d$:
$$
\begin{equation}
a^2+3c^2=3\alpha, \qquad 2b=(a-c)\alpha, \qquad 6d=(a+3c)\alpha, \qquad a\neq c,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
и в силу замечания 3 имеем $4a^3-27b\neq0$. Заметим, что
$$
\begin{equation}
4a^3-27b= 4a^3- \frac{27(a-c)(a^2+3c^2)}{6}=-\frac{3(a-3c)^3}{2}.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Обратно, пусть $a$ и $c$ – произвольные элементы поля $K_0$, удовлетворяющие условиям
$$
\begin{equation*}
a \ne 0,\qquad a-c \ne 0, \qquad a^2+3c^2\ne 0, \qquad a-3c\ne 0,
\end{equation*}
\notag
$$
которые эквивалентны набору неравенств так как $a^2+3c^2 \ne 0$, поскольку $a \ne 0$ и $\sqrt{-3}\not\in K_0$. Тогда равенства (4.4) однозначно определяют элементы
$$
\begin{equation*}
\alpha=\frac{a^2+3c^2}3\neq0, \qquad b=\frac{(a-c)\alpha}2\neq 0, \qquad d=\frac{(a+3c)\alpha}{6},
\end{equation*}
\notag
$$
для которых выполняется равенство (4.1) и многочлен $x^3+(ax+b)^2$ не имеет кратных корней. Следовательно, у эллиптической кривой модуль Галуа (над $K_0$) $E_f[3]$ изоморфен $\mathbb Z/3\mathbb Z\times \mu_3$. При этом точка
$$
\begin{equation}
P_{a,c}=(0,v_0(0))=(0,b_1)=\biggl(0, \frac{(a-c)\alpha}{2}\biggr)=\biggl(0, \frac{(a-c)(a^2+3c^2)}{6}\biggr)
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
лежит в $E_f(K_0)$ и имеет там порядок 3, а точка
$$
\begin{equation}
Q_{a,c}=(-\alpha, v_1(-\alpha))=\biggl(-\alpha, \frac{v_2(-\alpha)}{\sqrt{-3}}\biggr)= \biggl(-\frac{a^2+3c^2}3,\frac{(a-3c)(a^2+3c^2)}{18\sqrt{-3}}\biggr)
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
лежит в $E_f(K_3)$, имеет порядок $3$ и антиинвариантна относительно нетривиального автоморфизма поля $K_3=K_0(\sqrt{-3})$ над $K_0$. Отметим, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, v_0(x)=ax+\frac{(a-c)(a^2+3c^2)}6, \qquad v_1(x)=\frac{c}{\sqrt{-3}}x+\frac{(a+3c)(a^2+3c^2)}{18\sqrt{-3}}, \\ v_0(0)=\frac{(a-c)(a^2+3c^2)}6, \qquad v_1(-\alpha)=\frac{(a-3c)(a^2+3c^2)}{18\sqrt{-3}}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Таким образом, мы получаем двухпараметрическое семейство кривых над $K_0$
$$
\begin{equation}
\mathscr{E}^{\mathbf{t}}_{a,c}\colon y^2=x^3+\biggl(ax+\frac{(a-c)(a^2+3c^2)}{6}\biggr)^2
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
c параметрами $a,c \in K_0$, удовлетворяющими условиям и с модулем Галуа $\mathscr{E}^{\mathbf{t}}_{a,c}[3]$, изоморфным $\mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3$. Тем самым, мы доказали, что $(E,O)$ $K_0$-изоморфна отмеченной эллиптической кривой $(\mathscr{E}^{\mathbf{t}}_{a,c},\infty)$ для некоторых $a,c \in K_0$, удовлетворяющих условиям (4.6). Верно и обратное утверждение. Теорема 4. Рассмотрим семейство эллиптических кривых (4.10) $\mathscr{E}^{\mathbf{t}}_{a,c}$ над $K_0$, где $a, c \in K_0$ удовлетворяют условиям (4.6). Тогда: (i) для всех таких $a,c$ $\operatorname{Gal}(K_0^s/K_0)$-модуль $\mathscr{E}^{\mathbf{t}}_{a,c}[3]$ изоморфен $\mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3$; (ii) для любой отмеченной эллиптической кривой $(E,O)$ над $K_0$ такой, что $\operatorname{Gal}(K_0^s/K_0)$-модуль $E[3]$ изоморфен $\mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3$, найдутся $a, c\in K_0$, удовлетворяющие условиям (4.6) и такие, что $(E,O)$ изоморфна $(\mathscr{E}^{\mathbf{t}}_{a,c},\infty)$ над $K_0$. Доказательство. (i) Многочлен в правой части равенства (4.10) имеет вид $x^3+v_0(x)^2=(x+\alpha)^3+v_1(x)^2,$ где $v_0(x)$ и $v_1(x)$ задаются формулами (4.9) и $\alpha=(a^2+3c^2)/3\in K_0^{\times}$. Из теоремы 3 с учетом последнего равенства (4.9) вытекает, что на кривой $\mathscr{E}^{\mathbf{t}}_{a,c}$ имеются $K_0$-точка $P_{a,c}$ порядка 3 (4.7) и $K_3$-точка $Q_{a,c}$ порядка 3 (4.8), антиинвариантная относительно нетривиального автоморфизма расширения $K_3/K_0$. Из леммы 2 вытекает, что $\operatorname{Gal}(K_0^s/K_0)$-модуль $\mathscr{E}^{\mathbf{t}}_{a,c}[3]$ изоморфен $\mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3$.
(ii) Это утверждение уже доказано. Теорема доказана. Замечание 9. В силу замечания 2 класс элемента $\alpha=(a^2+3c^2)/3\in K_0^{\times}$ по модулю $K_0^{\times2}$ определен однозначно классом $K_0$-изоморфизма кривых $\mathscr{E}^{\mathbf{t}}_{a,c}$. Теорема 5. Пусть $K_0=\mathbb R$ – поле вещественных чисел. Для любой отмеченной эллиптической кривой $(E,O)$ над $\mathbb R$ найдется $t\in \mathbb R$, удовлетворяющее условиям для которого $(E,O)$ изоморфна над $\mathbb R$ отмеченной эллиптической кривой $(\mathscr E_t,\infty)$, где Обратно, для любого $t\,{\in}\,\mathbb R$, удовлетворяющего условиям (4.11), $(\mathscr E_t,\infty)$ – отмеченная эллиптическая кривая. При этом точка $(0, (3t^2+6t-1)/(2+6t^2))$ лежит в $E_t(\mathbb R)$ и имеет порядок $3$, а точка $(-1,(9t^2\,{+}\,6t\,{-}\,3)/(6\sqrt{-3}\,{+}\,18\sqrt{-3}\,t^2))$ лежит в $E_t(\mathbb C)$, имеет порядок $3$ и антиинвариантна относительно комплексного сопряжения. Доказательство. Хорошо известно, что $E[3]\setminus \{ O\}$ содержит две вещественные и две антиинвариантные относительно комплексного сопряжения точки. Поэтому можно считать, что $E=\mathscr E_{a,c}^{\mathbf{t}}$. Заметим, что при $K_0$-изоморфизме $x\mapsto u^2x$, $y\mapsto u^3y$, где $u\in K_0^{\times}$, кривая $E_{a,c}$ переходит в кривую $E_{ua,uc}$. Отсюда с учетом неравенства $\alpha=(a^2+3c^2)/3>0$ вытекает, что в каждом классе $\mathbb R$-изоморфизма кривых $E_{a,c}$ существует кривая, для которой $a^2+3c^2=3$. Построим однопараметрическое семейство таких кривых $E_{a,c}$. Рациональная параметризация кривой $a^2+3c^2=3$ имеет вид Получаем $a-c=(3t^2+6t-1)/(1+3t^2)$, и уравнение кривой (4.10) принимает вид
$$
\begin{equation}
\mathscr E_t\colon y^2=x^3+\biggl(\frac{6t}{1+3t^2}x+\frac{3t^2+6t-1}{2+6t^2} \biggr)^2.
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Из замечания 3 и равенства (4.5) вытекает, что многочлен в правой части равенства (4.13) не имеет кратных корней тогда и только тогда, когда выполняются условия
$$
\begin{equation*}
\frac{3t^2+6t-1}{2+6t^2}\neq0, \qquad \frac{6t}{1+3t^2}-3\frac{1-3t^2}{1+3t^2}\neq0,
\end{equation*}
\notag
$$
которые можно представить в виде
$$
\begin{equation*}
t\neq0, \qquad t\neq -1\pm\frac2{\sqrt3}, \qquad t\neq-1, \qquad t\neq -\frac13.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь оба утверждения теоремы непосредственно вытекают из теоремы 4 и ее доказательства. Теорема доказана. § 5. Вычисление спаривания ВейляПусть $\operatorname{char} K\neq2,3$ и $(E,O)=(\mathscr{E}_{\mu,\alpha},\infty)$ – отмеченная эллиптическая кривая над $K$, заданная уравнением
$$
\begin{equation*}
y^2=x^3+v_0(x)^2,\quad\text{где }\ v_0(x)=\frac{\alpha\mu}2(x-\eta_1\alpha)+\frac3{2\mu}(x-\eta_2\alpha),
\end{equation*}
\notag
$$
причем
$$
\begin{equation*}
x^3+v_0(x)^2=(x+\alpha)^3+v_1^2(x),\quad\text{где }\ v_1(x)=\frac{\alpha\mu}2(x-\eta_1\alpha)-\frac3{2\mu}(x-\eta_2\alpha),
\end{equation*}
\notag
$$
$\eta_1=1/(\varepsilon-1)$, $\eta_2=1/(\varepsilon^2-1)$, $\alpha\neq0$ и $\varepsilon$ – первообразный корень степени 3 из 1. Мы знаем, что точки $P=(0,v_0(0))$ и $Q=(-\alpha, v_1(-\alpha))$ лежат в $E(K)$ и имеют там порядок $3$. Наша цель – вычислить значение $e_3(P,Q)$ спаривания Вейля для точек $P$, $Q$. Доказательство. Рассмотрим дивизоры $D_P=(P)-(\infty)$ и $D_Q=(Q)-(\infty)$ на $E$. Пусть $w$ – корень многочлена $x^3+v_0(x)^2$ и $\mathfrak W=(w,0)$. Рассмотрим дивизор $D_{\mathfrak W}=(\mathfrak W)-(\infty)$. Класс линейной эквивалентности дивизора $D_{\mathfrak W}$ имеет порядок 2. Следовательно, класс линейной эквивалентности дивизора $D=D_P-D_{\mathfrak W}$ имеет порядок 6. Так как $\operatorname{div}(x-w)=2((\mathfrak W)-(\infty))$, то $2D\sim 2D_P$. Имеем
$$
\begin{equation*}
e_6(P,Q)=e_6(P-\mathfrak W,Q)=e_3(2(P-\mathfrak W),Q)=e_3(2P,Q)=(e_3(P,Q))^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычислим $e_6(P,Q)$. Пусть $g_Q=(y-v_1(x))^2$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{div}(g_Q)=2\operatorname{div}(y-v_1(x))=6(Q)-6(\infty)=6D_Q.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим функцию $g\,{=}\,{(y-v_0(x))^2}/{(x-w)^3}$. Так как $\operatorname{div}(y\,{-}\,v_0(x))\,{=}\,3(P)-3(\infty)$ и $\operatorname{div}(x-w)=2(\mathfrak W)-2(\infty)$, то $\operatorname{div}(g)=6(P)-6(\mathfrak W)=6D$. Так как $g(\infty)=1$, то
$$
\begin{equation*}
g(D_Q)=\frac{g(Q)}{g(\infty)}=-\frac{(v_1(-\alpha)-v_0(-\alpha))^2}{(\alpha+w)^3} =-\frac{9\alpha^2(1+\eta_2)^2}{\mu^2(\alpha+w)^3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $v_1(w)^2=-(\alpha+w)^3$, то Следовательно, откуда получаем $e_3(P,Q)=\pm\varepsilon^2$. Так как $e_3(P,Q)$ и $\varepsilon^2$ – кубические корни из 1, то $e_3(P,Q)=\varepsilon^2$. Теорема доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BekZar21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|