| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Сохранение пороговых резонансов и отцепление собственных чисел от порога непрерывного спектра квантовых волноводов С. А. Назаров Институт проблем машиноведения Российской академии наук, г. Санкт-Петербург
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 7, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9426 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение1.1. МотивировкаВ статье [1] было введено понятие порогового резонанса (ПР) в сочленении нескольких полубесконечных цилиндрических квантовых волноводов (физические аспекты задачи см., например, в книге [2]), который происходит при возникновении на первом пороге (нижней грани непрерывного спектра) нетривиального ограниченного решения либо захваченной волны (ЗВ), исчезающей на бесконечности с экспоненциальной скоростью, либо почти стоячей волны (ПСВ), стабилизирующейся хотя бы в одном из рукавов-цилиндров к собственной функции задачи Дирихле на его сечении. Появление ПР существенно влияет на результаты асимптотического анализа сингулярно возмущенных спектральных задач, в частности при образовании одномерной модели (метрического графа) решетки тонких квантовых волноводов, т.е. спектральной задачи Дирихле на сочленении тонких цилиндров. Именно, как показано в работе [3], отсутствие ПР в задачах о пограничных слоях около узлов решетки приводит к условиям Дирихле в вершинах графа, который тем самым в пределе распадается на независимые звенья. Если же в задачах о пограничных слоях наблюдается ПР, то вершины графа снабжаются полноценными условиями сопряжения, соединяющими граф в единое целое, например классическими условиями сопряжения Кирхгофа или какими-то другими, в зависимости от набора ПСВ (см. общие результаты в [3] и конкретные примеры в [4], [5]). Наконец, простой ПР, инициированный ЗВ, сохраняет условия Дирихле в вершине, но привносит в спектр решетки собственное число, которое не порождено спектром метрического графа, а соответствующая собственная функция сугубо локализована вблизи узла решетки. Перечисленные возможности демонстрируют, что во многих задачах необходимо выяснить качество ПР, т.е. уточнить, какой из волн, ПСВ или ЗВ, образован этот резонанс. Изучению данного вопроса и посвящена настоящая работа. ПР могут возникать и на внутренних порогах (собственных числах задачи Дирихле на сечении цилиндра, превосходящих наименьшее из них). В этом случае данное в статье [1] определение ПР не годится, так как ограниченной является любая распространяющаяся волна. В работе [6] понятие ПСВ соотносится с энергетическим принципом излучения Умова–Мандельштама (см. [7], [8], а также, например, [9; гл. 1], [10; гл. 5] и др.) и требует обращения в нуль проекции вектора Умова–Пойнтинга (см. [7], [11]) на ось рукава-цилиндра. Этот вектор указывает направление движения энергии, т.е. по определению ПСВ не переносит энергию вдоль бесконечного цилиндра. Такой способ идентификации ПСВ годится и для периодических волноводов (см. статьи [6], [12], [13]). Поскольку в настоящей работе рассматривается только нижний порог непрерывного спектра (см. комментарии в п. 4.2), точное определение ПСВ мы не приводим и отсылаем читателя к публикациям [14], [12], [6]. В работе [15] найдено достаточное условие отсутствия ПР, а в работе [16] установлены два критерия, которые условно названы критериями отсутствия и существования ПР, так как первый из них помогает убедиться в том, что ограниченных решений на пороге нет, а второй – создать условия для их появления. Кроме того, второй критерий дает возможность различить ЗВ и ПСВ на пороге, однако использует довольно сложные объекты – унитарные оператор фиктивного рассеяния $\mathfrak S$ (см. [17]) и пороговую матрицу рассеяния $S$ (см. [18], [19]). Именно, ядра $\ker({\mathfrak S}-{\mathbb I})$ и $\ker(S-{\mathbb I})$ изоморфны подпространствам ЗВ и ПСВ соответственно; здесь ${\mathbb I}$ – либо тождественное отображение, либо единичная матрица. Иной, более простой, способ различать ЗВ и ПСВ был упомянут в статье [20], но, как оказалось1, его можно почерпнуть из работы [21] (см. также предшествующую работу [22]), в которой, в частности, изучен эффект “поглощения” непрерывным спектром точек дискретного спектра абстрактного уравнения
$$
\begin{equation}
({\mathfrak A}+\varepsilon{\mathfrak B}){\mathfrak u}^\varepsilon= {\mathfrak l}^\varepsilon{\mathfrak u}^\varepsilon
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
в гильбертовом пространстве ${\mathfrak H}$ (свойства операторов ${\mathfrak A}$ и ${\mathfrak B}$ нуждаются в уточнении; см. п. 4.5). Вместе с тем непосредственное применение результатов из [21] осложнено тем, что рассматриваемая далее спектральная задача поставлена в переменной области и для сведения ее к абстрактному уравнению (1.1) приходится делать “почти тождественное” преобразование координат, из-за которого асимптотические формулы перестают быть явными. Поэтому на протяжении всей статьи применяются асимптотические методы и лишь при обосновании асимптотик используется упомянутое преобразование координат. Далее изучается возможность сбережения ПР в том или ином его проявлении при гладкой локальной пологой – с малой высотой $\varepsilon\ll1$ – вариации границы квантового волновода. Показано, что при этом качество ПР может измениться, т.е. помимо сохранения ЗВ или ПСВ может произойти подмена ЗВ $\mapsto$ ПСВ (обратная ситуация ПСВ $\mapsto$ ЗВ невозможна; см. замечание 4). Попутно выясняется скорость отцепления собственного числа от порога, которая обычно составляет $O(\varepsilon)$ в случае ЗВ и $O(\varepsilon^2)$ в случае ПСВ. Именно в этом и заключается наблюдение, сделанное в упоминавшейся публикации [20]. К сожалению, в п. 4.5 будет показано, что тщательный подбор профиля возмущения границы позволяет обеспечить скорость $O(\varepsilon^2)$ отцепления собственного числа и в случае ЗВ, а значит, использовать расхождение скоростей для выяснения качества ПР нельзя. Подчеркнем, что указанная возможность не столь очевидна, как кажется на первый взгляд, поскольку обращение в нуль основного поправочного члена может сделать дискретный спектр пустым. В п. 3.2 и п. 3.4 в ситуациях ПСВ и ЗВ строятся полные асимптотические ряды для собственных чисел (СЧ) из дискретного спектра, причем вместо метода сращиваемых разложений, использованного при анализе основных поправочных членов, применяется метод составных разложений, предоставляющий более простой итерационный процесс. Вместе с тем младшие асимптотические члены в значительной степени бесполезны в прикладных вопросах, так как множитель $C_Q$ в оценках (3.33) и (3.58) растет со сверхстепенной скоростью при увеличении количества $Q$ асимптотических членов, включенных в частичную сумму ряда для собственного числа, и тем самым интервал $(0,\varepsilon_Q]$ действия асимптотической формулы становится исключительно малым. Например, в работах [23], [24] о тонких пластинах установлено, что привлечение в асимптотическое представление собственной частоты даже первого поправочного члена требует такой малости относительной толщины пластинки, что становится невозможной линеаризация уравнений теории упругости. Основные результаты работы – процедуры, позволяющие сохранить ПР при возмущении формы волновода. Используемые далее подходы и технические приемы, а также некоторые асимптотические формулы для СЧ, возникающих при нарушении этих процедур, во многом известны. Информация о СЧ приводится с целью сравнения или противопоставления эффектов, инициированных ЗВ или ПСВ, причем основное внимание уделяется изучению того, как качество ПР влияет на спектр возмущенного волновода. Обратим внимание на еще один нюанс: в случае ЗВ основная поправка в асимптотике СЧ вычисляется по классической формуле Адамара, но в случае ПСВ – по иной формуле (ср. статью [25]). 1.2. Постановка задачиПусть $\Pi=\{x=(y,z)\colon |y|<1/2, \,z\in{\mathbb R}\}$ – единичная полоса на плоскости, а $\Omega$ – область, совпадающая с $\Pi$ вне круга ${\mathbb B}_R=\{x\colon |x|<R\}$ радиусом $R<1/2$ и состоящая из рукавов $\Pi_\pm=\{x\colon \pm y>R\}$ и резонатора $\Theta=\{x\in\Omega\colon |y|<R\}$ (рис. 1, a), т.е. $\Omega$ интерпретируется как квантовый волновод (физическую подоплеку постановок спектральных задач Дирихле см., например, в книге [2]). Опишем возмущенный волновод $\Omega^\varepsilon$ (рис. 1, b–d). С этой целью, считая границу $\partial\Omega$ гладкой (для простоты класса $C^\infty$), выделим на ней открытую дугу $\Gamma$ внутри круга ${\mathbb B}_R$ и введем в окрестности ${\mathscr V}\supset\overline{\Gamma}$ локальную систему криволинейных координат $(n,s)$, где $n$ – ориентированное расстояние до $\partial\Omega$, $n<0$ в $\Omega\cap{\mathscr V}$, а $s$ – длина дуги на $\Gamma$, измеренная против часовой стрелки; при этом
$$
\begin{equation}
\Gamma=\{x\in{\mathscr V}\colon n=0,\,s\in(0,l)\}, \qquad l>0.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Зафиксируем профильную функцию $H\in C^\infty_c(\Gamma)$ и положим
$$
\begin{equation}
\Gamma^\varepsilon=\{x\in{\mathscr V}\colon n=\varepsilon H(s),\,s\in(0,l)\},
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0]$ – малый параметр; напоминаем, что ширина полосы $\Pi$ сведена к единице, т.е. с самого начала координаты и геометрические параметры сделаны безразмерными. Величину $\varepsilon_0>0$ выберем так, чтобы дуга (1.3) была определена при всех $\varepsilon_0\in (0,\varepsilon_0]$. В возмущенной области $\Omega^\varepsilon$ (см. рис. 1, b–d), имеющей границу
$$
\begin{equation}
\partial\Omega^\varepsilon=(\partial\Omega\setminus\Gamma)\cup\Gamma^\varepsilon,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
рассмотрим задачу Дирихле
$$
\begin{equation}
-\Delta u^\varepsilon(x)=\lambda^\varepsilon u^\varepsilon(x), \qquad x\in\Omega^\varepsilon,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
$$
\begin{equation}
u^\varepsilon(x)=0, \qquad x\in\partial\Omega^\varepsilon,
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
и ее вариационную формулировку
$$
\begin{equation}
(\nabla u^\varepsilon,\nabla\psi^\varepsilon)_{\Omega^\varepsilon}= \lambda^\varepsilon(u^\varepsilon, \psi^\varepsilon)_{\Omega^\varepsilon} \quad \forall\,\psi^\varepsilon\in H^1_0(\Omega^\varepsilon).
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Здесь $\nabla=\operatorname{grad}$, $\Delta=\nabla\cdot\nabla$ – оператор Лапласа, $\lambda^\varepsilon$ – спектральный параметр, $(\ {,}\ )_{\Omega^\varepsilon}$ – натуральное скалярное произведение в пространстве Лебега $L^2(\Omega^\varepsilon)$, а $H^1_0(\Omega^\varepsilon)$ – пространство Соболева функций, подчиненных условию Дирихле (1.6). Поскольку билинейная форма в левой части интегрального тождества (1.7) положительно определена и замкнута в $H^1_0(\Omega^\varepsilon)$, задаче (1.7) (или (1.5), (1.6) в дифференциальной форме) отвечает (см., например, [26; гл. 10]) положительно определенный самосопряженный неограниченный оператор $A^\varepsilon$ в $L^2(\Omega^\varepsilon)$ с областью определения $H^2(\Omega^\varepsilon)\cap H^1_0(\Omega^\varepsilon)$. Спектр $\sigma^\varepsilon$ оператора $A^\varepsilon$ состоит из непрерывного спектра $\sigma^\varepsilon_c=[\pi^2,+\infty)$ и дискретного спектра $\sigma^\varepsilon_d\subset(0,\pi^2)$, возможно, пустого. Обследование последнего и составляет один из предметов настоящей работы при нескольких предположениях о предельной $(\varepsilon=0)$ задаче в исходной области $\Omega$ (см. рис. 1, a)
$$
\begin{equation}
\Delta u(x)=\lambda_\unicode{8224} u(x),\qquad x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
оператор $A^0$ которой приобретает все общие свойства оператора $A^\varepsilon$ задачи (1.5), (1.6). Именно, считаем, что на нижней грани $\lambda_\unicode{8224}=\pi^2$ непрерывного спектра $\sigma^0_c$ реализуется пороговый резонанс, т.е. у задачи (1.8), (1.9) имеется ограниченное решение: либо ПСВ
$$
\begin{equation}
u_{s t}(x)=\sum_\pm\chi_\pm(z)K_\pm\cos(\pi y)+\widetilde{u}_{s t}(x),
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
либо ЗВ принадлежащая пространству $H^1_0(\Omega)$ и нормированная условием При этом $\chi_\pm\in C^\infty({\mathbb R})$ – срезающие функции, локализующие волны в рукавах $\Pi_\pm$,
$$
\begin{equation}
\chi_\pm(z)=1\quad\text{при }\ \pm z>2 R, \qquad \chi_\pm(z)=0\quad\text{при }\ \pm z<R, \qquad 0\leqslant\chi\leqslant 1,
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
$K_\pm$ – коэффициенты, не обращающиеся одновременно в нуль (иначе $u_{st}$ не отличается от $u_{tr}$) и потому позволяющие ввести следующую нормировку волны (1.10): Остаток $\widetilde{u}=\widetilde{u}_{st}$ в (1.10) или сама ЗВ $\widetilde{u}=u_{t r}$ удовлетворяет соотношениям
$$
\begin{equation}
|\nabla^k\widetilde{u}(x)|\leqslant c_k e^{-\pi\sqrt{3}|z|}, \qquad k=0,1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
Оба решения, (1.10) и (1.11), можно выбрать вещественными. Всюду, кроме п. 4.2 и п. 4.4 считаем ПР простым, т.е. по предположению подпространство ограниченных решений задачи (1.8), (1.9) одномерно. Далее используем введенные в п. 1.1 аббревиатуры ЗВ, ПСВ и ПР; кроме того, НС и ДС – непрерывный и дискретный спектры, а СЧ и СФ – собственные число и функция. Замечание 1. При помощи изящного приема из [27] нетрудно построить квантовый волновод, у которого порог $\lambda_\unicode{8224}$ – это СЧ. Пусть волновод $\Omega_R=\Pi\cup\Theta_R$, образованный единичной полосой $\Pi$ и “раздувающимся” звездным относительно начала координат резонатором $\Theta_R=\{x\in\Theta\colon R^{-1}x\in\Theta\}$, обладает зеркальной симметрией относительно обеих осей системы координат $x$. Рассмотрим спектральную задачу Дирихле на четвертушке $\Omega^{\mathsf L}_R=\{x\in\Omega_R\colon x_1\,{>}\,0, x_2>0\}$ и заметим, что, во-первых, нижняя грань НС редуцированной задачи равна $4\pi^2$ и, во-вторых, согласно классическому принципу сравнения из [28] кратность ДС $\sigma^{\mathsf L}_d$ неограниченно возрастает при $R\to+\infty$, а СЧ сгущаются к нулю. Таким образом, СЧ, отцепившееся от искусственного порога $4\pi^2$ и монотонно непрерывно зависящее от параметра $R$, обязательно пересекает точку $\pi^2$. Этот сценарий повторяется многократно. Соответствующие СФ, продолженные по нечетности с $\Omega^{\mathsf L}_R$ на $\Omega_R$ через оси абсцисс и ординат, оказываются гладкими СФ задачи в цельном волноводе $\Omega_R$. По той схеме в случае многомерного волновода постановка искусственных условий Дирихле на нескольких плоскостях зеркальной симметрии позволяет на пороге НС образовать СЧ с любой заданной наперед кратностью. Приведенные ниже утверждения (ср. первоисточник [28]) являются простыми следствиями максиминимального принципа (см., например, [26; теорема 10.2.2]) и не требуют ограничений на параметр $\varepsilon$, а также какой-либо гладкости границ $\partial\Omega$ и $\partial\Omega^\varepsilon$. Лемма 1. 1) Пусть профильная функция $H$ неотрицательна, но не обращается в нуль всюду на $\Gamma$ (см. рис. 1, c). Тогда ДС $\sigma^\varepsilon_d$ не пуст. 2) Пусть функция $H$ неположительная и $\sigma^0_d=\varnothing$ (см. рис. 1, b). Тогда ДС $\sigma^\varepsilon_d$ пуст. Отметим, что, если в случае ЗВ $\lambda^\varepsilon\in \sigma^\varepsilon_d$ – возмущение СЧ $\lambda^0=\lambda_\unicode{8224}\in\sigma^0_p$ (точечный спектр), то в случае ПСВ $\lambda^\varepsilon<\lambda_\unicode{8224}$ спустилось вниз с порога, который не попадает в $\sigma^0_p$, и попутно ПСВ $u_{s t}$ превратилась в ЗВ $u^\varepsilon_{t r}$. 1.3. Строение статьи и обозначенияВ § 2 для обоих случаев, ЗВ и ПСВ, показано, как путем “точной настройки” профиля $H$ возмущения дуги (1.3) можно сохранить ПР у задачи (1.5), (1.6). При этом сбережение ПР при возмущении может произойти за счет превращения ЗВ в ПСВ, но не наоборот. Сама разработанная в публикациях [29], [14], [30] др. процедура настройки профиля для образования или сохранения СЧ внутри НС при разных типах возмущений краевых задач привлекается в статье для многих целей, в частности, при изучении в п. 3.5 поднятия СЧ с порога в НС при ПР, порожденном ЗВ. При образовании околопороговой точки ДС задачи (1.5), (1.6) (т.е. при опускании СЧ с порога) какая-либо настройка профиля не нужна: достаточно выполнения одного неравенства для функции $H$ (ср. теорему 4 и следствие из п. 3.4). Обоснование асимптотики традиционно опирается на лемму о “почти собственных” значениях и векторах (см. [31] и лемму 2) и проводится не только для главных членов асимптотики, но кратко и для полных асимптотических разложений (теорема 5 для ПСВ и теорема 6 для ЗВ). В п. 3.5 поясняется эффект поднятия СЧ с порога в случае СВ. В § 4 обсуждаются доступные обобщения полученных результатов, например, для многомерных квантовых волноводов. Поскольку соответствующие асимптотические процедуры нуждаются лишь в незначительных изменениях по сравнению с приведенными в § 2 и § 3, а также асимптотические анзацы в случаях ПСВ и ЗВ имеют схожие черты, в статье используются унифицированные обозначения, а именно, для порога $\lambda=\pi^2$ всюду используются символы $\lambda_\unicode{8224}$ или $\lambda^0$, а для ПСВ и ЗВ – общий символ $u^0$ и только при необходимости различать качество ПР используются символы $u_{s t}$ и $u_{t r}$ соответственно. Помимо разных обобщений, например, кратных ПР в п. 4.3 и п. 4.4 или ПР на внутренних порогах HC в п. 4.2, в пп. 4.4–4.6 обсуждаются способы распознавания ПСВ и ЗВ на пороге. Прежде всего, в п. 4.4 приведен пример возмущения границы, при котором скорость отцепления СЧ от порога в случае ЗВ составляет $O(\varepsilon^2)$, как и в случае ПСВ. Иными словами, сделанное в [20] наблюдение о расхождении скоростей отцепления не позволяет в общей ситуации отличить ЗВ от ПСВ. Точно так же общий результат из [21] предоставляет только достаточное условие погружения порога в точечный спектр, но не критерий (см. п. 4.5). Итак, для выяснения качества ПР годятся два подхода: – во-первых, заимствованное из [14] предложение 3 о возможности поднятия СЧ с порога, сложное для реализации из-за необходимости точной настройки профиля выше порога и опровергнутое в [32]–[34] для систем и дифференциальных уравнений высших порядков; – во-вторых, один из предложенных в [16] критериев возникновения ПР, который, впрочем, использует весьма сложный объект – унитарный оператор фиктивного рассеяния, введенный в [17] для квантовых цилиндрических волноводов и в [35] для волн на поверхности весомой жидкости, однако по-прежнему не известный для волноводов иной физической природы. В итоге возникающий во многих конкретных задачах вопрос о простом способе выявления СЧ на пороге остался во многом открытым. Впрочем, если каким-либо образом можно проделать эксперименты для нескольких форм возмущений, то добиться различающихся скоростей отцепления СЧ для ситуаций ЗВ и ПСВ все-таки можно. § 2. Сохранение порогового резонанса2.1. Сохранение СЧ на порогеОставить СЧ ${\mathfrak l}^0=0$ неизменным при возмущении ${\mathfrak A}+\varepsilon{\mathfrak B}$ самосопряженного положительного оператора ${\mathfrak A}$ в гильбертовом пространстве ${\mathfrak H}$ нетрудно: достаточно предположить, что оператор ${\mathfrak B}$ аннулирует ядро $\ker{\mathfrak A}$. Поскольку возмущение (1.3) границы $\partial\Omega$ в такую схему непосредственно не вкладывается (ср. п. 4.5), приходится применять более сложную процедуру (см., например, публикации [14], [30], [36] и др.) настройки профиля возмущения границы, считая его зависящим от нескольких дополнительных, подлежащих определению малых параметров $\tau^\varepsilon_1,\dots,\tau^\varepsilon_J=o(1)$ при $\varepsilon\to+0$:
$$
\begin{equation}
H^\varepsilon(s)=H_0(s)+\sum^J_{j=1}\tau^\varepsilon_j H_j(s).
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Если $\tau^\varepsilon_1=\dots=\tau^\varepsilon_J=0$, то профиль (2.1) обозначается $H$ или $H_0$, но дуга (1.3) всегда обозначается $\Gamma^\varepsilon$. Сначала найдем формулу для основной поправки в традиционном асимптотическом анзаце для CЧ
$$
\begin{equation}
\lambda^\varepsilon=\lambda'_\unicode{8224}+\varepsilon\lambda'+\dotsb.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Здесь и далее многоточие заменяет младшие асимптотические члены, несущественные в предпринимаемом формальном анализе. Продолжим с сохранением гладкости нормированную в $L^2(\Omega)$ СФ $u^0=u_{t r}\in H^1_0(\Omega)\cap C^\infty(\overline{\Omega})$ на окрестность дуги $\Gamma$ и запишем формулу Тейлора
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag u^0(n,s) &=u^0(0,s)+n\,\partial_n u^0(0,s)+O(n^2) \\ &=0+\varepsilon H(s)\,\partial_n u^0(0,s)+O(\varepsilon^2) \quad\text{на } \ \Gamma^\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
При этом не меняем обозначение для функций при перезаписи их в локальных координатах $n$ и $s$ (см. п. 1.2). Подставим анзац (2.2) для СЧ и анзац для СФ в задачу (1.5), (1.6) и соберем слагаемые порядка $\varepsilon$. В краевом условии Дирихле на возмущенной дуге $\Gamma^\varepsilon$ учтем формулу (2.3) и придем окончательно к задаче
$$
\begin{equation}
-\Delta u'(x)-\lambda^0 u'(x)=\lambda' u^0(x), \qquad x\in \Omega,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
$$
\begin{equation}
u'(x)=-H(s)\,\partial_n u^0(0,s), \qquad x\in\Gamma,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Понятно, что одним из условий разрешимости задачи (2.5)–(2.7) в классе функций, исчезающих на бесконечности с экспоненциальной скоростью (требование, необходимое для причисления (2.4) к СФ), служит равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \lambda' &=\lambda'\|u^0;L^2(\Omega)\|^2=-\int_\Omega u^0(x) (\Delta u'(x)+\lambda^0 u'(x))\,d x \\ & =\int_{\partial\Omega}u'(x)\,\partial_n u^0(x)\,d s = -\int_\Gamma H_0(s)|\partial_n u^0(0,s)|^2\,d s, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
полученное в результате подстановки в формулу Грина решений $u^0$ и $u'$. Замечание 2. Поскольку по теореме о единственности продолжения (см., например, книгу [37]) нормальная производная $\partial_n u^0$ не может обратиться в нуль всюду на дуге $\Gamma$, в условиях леммы 1, означающих, что дуга $\Gamma^\varepsilon$ лежит вне $\Omega$ и множество $\Omega^\varepsilon\setminus\Omega$ непусто (см. рис. 1, c), величина (2.8) отрицательна, а сумма (2.2) располагается строго ниже порога $\lambda_\unicode{8224}$ при малом $\varepsilon>0$. Для сохранения СЧ $\lambda^\varepsilon$ на пороге $\lambda_\unicode{8224}$ в первую очередь нужно соблюсти равенство $\lambda'=0$, а значит, и условие ортогональности В частности, основная часть $H_0$ профиля (2.1) должна менять знак на дуге $\Gamma$ (см. рис. 1, d). Вместе с тем на пороге ортогональность правых частей задачи (2.5)–(2.7) для СФ (в смысле формулы Грина) недостаточна для попадания решения $u'$ в пространство Соболева $H^1(\Omega)$. Дело в том, что в случае ЗВ при условии (2.8) эта задача гарантированно имеет только стабилизирующееся решение
$$
\begin{equation}
u'(x)=\sum_\pm \chi_\pm(z)K'_\pm\cos(\pi y)+\widetilde{u}'(x)
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
(ср. соотношения (1.10) и (1.15)), т.е. для включения $u'\in H^1(\Omega)$ нужно еще обратить в нуль коэффициенты $K'_\pm\in{\mathbb R}$. В п. 3.4 будет показано, что формулы не требуются при построении и обосновании асимптотики СЧ $\lambda^\varepsilon \in \sigma^\varepsilon_d\subset(0,\pi^2)$, однако без проверки равенств (2.11) обеспечить включение $\lambda^\varepsilon=\lambda_\unicode{8224}\in\sigma^\varepsilon_p$ невозможно. Сообщим с краткими комментариями известные сведения о разрешимости задачи (2.5)–(2.7) на пороге. Предложение 1. У задачи (1.8), (1.9) есть в точности два линейно независимых решения Разложение (2.12) выводится, например, при помощи метода Фурье, а существование решений $u_1$ и $u_2$ вне зависимости от того, является или нет порог $\lambda_\unicode{8224}$ СЧ, вытекает из общих результатов [10; гл. 5] (см. также публикации [14], [38]). В предположении отсутствия ПСВ можно выбрать такой (вещественный) базис в пространстве решений с линейным ростом на бесконечности:
$$
\begin{equation}
u_\pm(x)=\chi_\pm(z)z\cos(\pi y)+\sum_{\vartheta=\pm}\chi_\vartheta(z) M_{\pm\vartheta}\cos(\pi y)+\widetilde {u}_\pm(x).
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Замечание 3. Коэффициенты $M_{\pm\vartheta}$ образуют симметричную $(2\times 2)$-матрицу $M$. Последнее свойство выводится при помощи формулы Грина на усеченном волноводе $\Omega(T)=\{x\in\Omega\colon |z|<T\}$, $T>R$, и предельным переходом при $T\to+\infty$, а именно, Похожая на (2.14) выкладка, опирающаяся на формулу Грина для решений (2.10) и (2.13) и примененная в области $\Omega(T)$ с боковой поверхностью $(\partial\Omega)(T)$, позволяет вычислить коэффициенты $K'_\alpha$ при $\alpha=\pm$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \lambda'\int_\Omega u^0(x)u_\alpha(x)\,d x+\int_\Gamma H_0(s)\, \partial_n u^0(0,s)\,\partial_n u_\alpha(0,s)\,d s \\ \notag &\qquad =\lim_{T\to +\infty}\biggl(-\int_{\Omega(T)} u_\alpha(x)(\Delta u'(x) +\lambda_\unicode{8224} u'(x))\,d x-\int_{(\partial\Omega)(T)}u'(x)\,\partial_n u_\alpha(x)\,d s\biggr) \\ \notag &\qquad =\lim_{T\to +\infty}\sum_\pm\pm\int^{1/2}_{-1/2} \bigl(u'(y,\pm T)\,\partial_z u_\alpha(y,\pm T)-u_\alpha(y,\pm T)\,\partial_z u'(y,\pm T)\bigr)\,d y \\ &\qquad =\sum_\pm\pm\delta_{\alpha,\pm}K'_\pm\int^{1/2}_{-1/2} \cos^2(\pi y)\,d y=\frac{\alpha}{2}K'_\alpha. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Итак, в предположении $\lambda'=0$ равенства (2.11) обеспечены еще двумя условиями ортогональности
$$
\begin{equation}
\int_\Gamma H_0(s)\,\partial_n u^0(0,s)\,\partial_n u_\pm(0,s)\,d s=0.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Вместе с тем ограничения (2.9), (2.15) не дают возможность сразу же заключить, что анзац (2.4) представляет СФ задачи (1.5), (1.6) с параметром $\lambda^\varepsilon=\lambda_\unicode{8224}$, так как включение $u^\varepsilon\in H^1_0 (\Omega^\varepsilon)$ может быть нарушено из-за младших членов анзаца, игнорируемых на первом шаге формального асимптотического анализа. 2.2. Процедура точной настройки профиляПридадим точный смысл проведенным вычислениям. Продолжим функции $u^0$ и $u'$ по гладкости на окрестность $\mathscr V$ и будем искать СФ задачи (1.5), (1.6) с $\lambda^\varepsilon= \lambda_\unicode{8224}$ в виде
$$
\begin{equation}
u^\varepsilon(x)=u^0(x)+\varepsilon u'(x)+\varepsilon\widehat{u}^\varepsilon(x),
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
где функция $\widehat{u}^\varepsilon\in H^2(\Omega^\varepsilon)$ подлежит определению. Кроме того, слагаемое $H_0$ в представлении (2.1) профильной функции $H^\varepsilon$ удовлетворяет ограничениям (2.9) и (2.16), а остальные три $(J=3)$ слагаемых подчинены условиям ортогональности и нормировки
$$
\begin{equation}
I_j(H_k):=\int_\Gamma H_k(s)\,\partial_nu^0(0,s)\,\partial_nu_j(0,s)\,ds= \delta_{j,k}, \qquad j,k=1,2,3,
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
где $\delta_{j,k}$ – символ Кронекера, а $I_1(H_0)$ и $I_2(H_0)$, $I_3(H_0)$ – интегралы из левых частей равенств (2.9) и (2.16), т.е. последние сомножители в подынтегральном выражении из (2.18) определены так: $u_1=u^0$ и $u_2=u_+$, $u_3=u_-$. Поскольку гладкие функции $\partial_n u^0$ и $\partial_n u_\pm$ не обращаются в нуль на дугах $\gamma\subset\Gamma$ положительной длины и являются линейно независимыми по теореме о единственности продолжения (см., например, книгу [37]), выполнить требования (2.18) можно, причем множеством способов. Подставим анзац (2.17) в уравнение (1.5) на области $\Omega^\varepsilon$ и в краевое условие (1.6) на ее границе $\partial\Omega^\varepsilon$. В итоге получим следующую задачу для $\widehat{u}^\varepsilon$:
$$
\begin{equation}
-\Delta\widehat{u}^\varepsilon(x)-\lambda_\unicode{8224}\widehat{u}^\varepsilon(x) =\widehat{f}^\varepsilon(x) :=(\Delta+\lambda_\unicode{8224})(\varepsilon^{-1}u^0(x)+u'(x)), \qquad x\in\Omega^\varepsilon,
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{u}^\varepsilon(x)=\widehat{g}^\varepsilon(x) - \sum^3_{j=1}\tau^\varepsilon_j H_j(s)\,\partial_n u^0 (0,s):=-\varepsilon^{-1}u^0(x)-u'(x), \qquad x\in\Gamma,
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{u}^\varepsilon(x)=0, \qquad x\in\partial\Omega^\varepsilon\setminus\Gamma^\varepsilon.
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Подчеркнем, что в правую часть краевого условия (2.6) была помещена функция $H_0$, но в определение (1.3) возмущенной дуги – функция $H^\varepsilon$ из соотношения (2.1). Именно поэтому в условии Дирихле (2.20) присутствует сумма по $j=1,2,3$. По построению правые части задачи (2.19)–(2.21), имеющие компактные носители, малы, а именно,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \operatorname{supp}\widehat{f}^\varepsilon\subset\overline{\Omega^\varepsilon}\setminus\Omega, \qquad \operatorname{supp}\widehat{g}^\varepsilon\subset\Gamma^\varepsilon; \\ \begin{aligned} \, |\widehat{f}^\varepsilon(x)| &\leqslant c(\varepsilon^{-1}|\Delta u^0(x)+\lambda_\unicode{8224} u^0(x)| +|\Delta u' (x)+\lambda_\unicode{8224} u'(x)|) \\ &\leqslant c (\varepsilon^{-1}n^2+|n|)\leqslant c\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad \|\widehat{f}^\varepsilon;L^2(\Omega^\varepsilon)\|\leqslant c\varepsilon; \\ |\widehat{g}^\varepsilon(x)| &\leqslant \biggl|\varepsilon^{-1}n\,\partial_n u^0(x)+u'(x)+\sum^3_{j=1} \tau^\varepsilon_j H_j(s)\,\partial_n u^0(0,s)\biggr| \\ &\leqslant c(\varepsilon^{-1}n^2+|n|)\leqslant c\varepsilon. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Для того чтобы соблюсти условия разрешимости задачи (2.19)–(2.21) в классе затухающих на бесконечности функций, переведем ее из переменной области $\Omega^\varepsilon$ в исходную область $\Omega$ при помощи мало отличающейся от тождественной замены координат
$$
\begin{equation}
x\mapsto\mathbf x=\chi_\Gamma(x)(n-\varepsilon H^\varepsilon(s))+(1-\chi_\Gamma(x))x.
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
При этом $\chi_\Gamma\in C^\infty_c(\mathscr V)$ – функция, равная единице в фиксированной (не зависящей от $\varepsilon$) окрестности замкнутой дуги $\overline{\Gamma}$, а $x\mapsto(n-\varepsilon H^\varepsilon(s),s)$ – неравномерный сдвиг точек дуги (1.3) вдоль нормали к исходной дуге (1.2). Таким образом, замена (2.23) неособенная при малом $\varepsilon$, а также $\mathbf x=x$ вне $\Upsilon$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\nabla_x=\biggl(\frac{\partial}{\partial n},J(n,s)^{-1} \frac{\partial}{\partial s}\biggr)=\biggl(\frac{\partial}{\partial\mathbf n},J(\mathbf n+ \varepsilon H^\varepsilon(\mathbf s),\mathbf s)^{-1}\biggl(\frac{\partial}{\partial\mathbf s}- \varepsilon\frac{d H^\varepsilon}{d\mathbf s}(\mathbf s)\,\frac{\partial}{\partial\mathbf n}\biggr)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf n\,{=}\,n\,{-}\,\varepsilon H^\varepsilon(s)$, $\mathbf s=s$, а $J(n,s)=1+n \varkappa(s)$ – якобиан и $\varkappa$ – кривизна дуги $\Gamma$. В итоге оператор Лапласа
$$
\begin{equation}
\Delta_x=\frac{1}{J(n,s)}\,\frac{\partial}{\partial n} J(n,s)\,\frac{\partial}{\partial n}+\frac{1}{J(n,s)}\,\frac{\partial}{\partial s}\,\frac{1}{J(n,s)}\,\frac{\partial}{\partial s}
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
принимает вид
$$
\begin{equation}
\Delta_x=\Delta_{\mathbf x}+\varepsilon\mathbf L^\varepsilon(\tau^\varepsilon;\mathbf x,\nabla_{\mathbf x}).
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
При этом $\mathbf L^\varepsilon$ – дифференциальный оператор второго порядка с гладкими коэффициентами, равными нулю вне окрестности $\mathscr V\supset\Gamma$, полиномиально (квадратично) зависящими от параметров $\tau^\varepsilon=(\tau^\varepsilon_1,\tau^\varepsilon_2,\tau^\varepsilon_3)$ и допускающими оценку величиной $C(1+|\tau^\varepsilon|^2)$. Функции, переписанные в координатах $\mathbf x$, также будем обозначать полужирными литерами. В результате приходим к следующей задаче для остатка $\widehat{u}^\varepsilon(x)= \widehat{\mathbf u}^\varepsilon(\mathbf x)$ в представлении (2.17):
$$
\begin{equation}
-\Delta_{\mathbf x}\widehat{\mathbf u}^\varepsilon(\mathbf x)- \lambda_\unicode{8224}\widehat{\mathbf u}^\varepsilon (\mathbf x)=\widehat{\mathbf f}^\varepsilon(\mathbf x)+\varepsilon \mathbf L^\varepsilon(\tau^\varepsilon;\mathbf x,\nabla_{\mathbf x}) \widehat{\mathbf u}^\varepsilon(\mathbf x), \qquad\mathbf x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathbf u}^\varepsilon(\mathbf x)=\widehat{\mathbf g}^\varepsilon(\mathbf s)-\sum^3_{j=1} \tau^\varepsilon_j H_j(\mathbf s), \qquad\mathbf x\in \Gamma,
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathbf u}(\mathbf x)=0, \qquad\mathbf x\in\partial\Omega\setminus\Gamma.
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Подчеркнем, что замена $x\mapsto\mathbf x$ сохраняет криволинейную координату $\mathbf s=s$, так как она и в возмущенной области измерялась вдоль дуги $\Gamma$. Следовательно, в краевом условии (2.27) фигурируют прежние функции $H_1$, $H_2$, $H_3$ из представления (2.1), подчиненные соотношениям (2.18). Итак, считая на время правые части задачи (2.26)–(2.28) известными, превращаем три условия ее разрешимости
$$
\begin{equation}
\int_\Omega\bigl(\widehat{\mathbf f}^\varepsilon\,{+}\,\varepsilon\mathbf L^\varepsilon \widehat{\mathbf u}^\varepsilon\bigr)u_k \,d x \,{-}\,\int_\Gamma \biggl(\mathbf g^\varepsilon\,{-}\,\sum^3_{j=1}\tau^\varepsilon_j H_j\,\partial_n u^0\biggr)\partial_n u_k\,d s=0, \qquad k=1,2,3,
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
где $u_2=u_+$, $u_3=u_-$ и $u_1=u^0$, в уравнения
$$
\begin{equation}
\tau^\varepsilon_k=\mathbf Q^\varepsilon_k(\widehat{\mathbf u}^\varepsilon, \tau^\varepsilon) :=\int_\Gamma\widehat{\mathbf g}^\varepsilon\,\partial_n u_k\,d s -\int_\Omega\bigl(\widehat{{f}}^\varepsilon+\varepsilon \mathbf L^\varepsilon\widehat{\mathbf u}^\varepsilon\bigr)u_k\,dx, \qquad k=1,2,3.
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
В силу оценок (2.22) и ограниченности коэффициентов оператора $\mathbf L^\varepsilon$ величины $\tau^\varepsilon_k$ малы. Заменим их в соотношениях (2.27) выражениями $\mathbf Q^\varepsilon_k(\widehat{\mathbf u}^\varepsilon, \tau^\varepsilon)$. Таким образом, равенства (2.29) выполнены, и задача (2.26)–(2.28) приобретает решение $\widehat{\mathbf u}^\varepsilon\in H^2(\Omega)$, которое становится единственным при наложении условия ортогональности $(\widehat{{u}}^\varepsilon,u^0)_\Omega=0$ и далее обозначается
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathbf u}^\varepsilon=\mathbf Q^\varepsilon_\bullet (\widehat{\mathbf u}^\varepsilon,\tau^\varepsilon).
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
Четыре соотношения (2.31) и (2.30) сведем в одно абстрактное уравнение в банаховом пространстве $\mathbf H=H^2(\Omega)\times{\mathbb R}^3$
$$
\begin{equation}
(\widehat{\mathbf u}^\varepsilon,\tau^\varepsilon)= \mathbf Q^\varepsilon(\widehat{\mathbf u}^\varepsilon,\tau^\varepsilon).
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
При этом согласно упомянутым свойствам координат (2.23) и дифференциального оператора (2.25) $\mathbf Q^\varepsilon$ – сжимающий оператор на шаре $\mathbf B_\rho\subset\mathbf H$ малого, но не зависящего от $\varepsilon$ радиуса $\rho>0$. Следовательно, принцип Банаха сжимающих отображений (см., например, [39; гл. 2, § 4]) доставляет единственное решение $(\widehat{\mathbf u}^\varepsilon,\tau^\varepsilon)\in\mathbf B_\rho$. Кроме того, в силу упомянутых оценок справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\|\widehat{\mathbf u}^\varepsilon;H^2(\Omega)\|+|\tau^\varepsilon|\leqslant c\varepsilon.
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
Сделаем обратную замену $\mathbf x\mapsto x$ и подведем итог. Построено принадлежащее пространству $H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ и потому исчезающее на бесконечности с экспоненциальной скоростью решение (2.17) задачи (1.5), (1.6) со спектральным параметром $\lambda^\varepsilon=\lambda_\unicode{8224}$ в области $\Omega^\varepsilon$ с границей (1.4), профиль (2.1) возмущения которой найден при соблюдении соотношений (2.9), (2.16), (2.18) и извлечения параметров $\tau^\varepsilon_j$ из уравнения (2.32). Иными словами, установлено следующее утверждение. Теорема 1. Пусть в задаче (1.8), (1.9) реализуется простой ПР, порожденный ЗВ (1.11). Тогда существует профиль (2.1) возмущения границы (1.3), при котором $\lambda^\varepsilon=\lambda_\unicode{8224}$ – СЧ задачи (1.5), (1.6) в волноводе $\Omega^\varepsilon$. При этом ингредиенты $H_0$ и $H_1$, $H_2$, $H_3$ профильной функции $H^\varepsilon$ подчинены указанным выше требованиям, а параметры $\tau^\varepsilon_1$, $\tau^\varepsilon_2$, $\tau^\varepsilon_3$, в частности, удовлетворяют оценке (2.33). 2.3. Сохранение ПСВПрежде всего отметим, что в случае ПСВ процедура построения СЧ $\lambda^\varepsilon\in \sigma^\varepsilon_d\subset(0,\lambda_\unicode{8224})$ существенно отличается от намеченной в п. 2.1 для случая ЗВ и будет представлена в п. 3.1. В то же время сохранение ПСВ на пороге требует значительно меньших усилий, так как по сути использует только одно условие разрешимости вспомогательной задачи. Как упоминалось в п. 1.2, предполагаем, что у задачи (1.8), (1.9) нет ЗВ (1.11), а имеющуюся ПСВ (1.10) нормируем равенством (1.14). Предложение 2. При введенных ограничениях у задачи (1.8), (1.9) есть решение, представимое в виде Доказательство. Само утверждение получено в работе [38]. Поясним происхождение связей коэффициентов в разложениях (2.34) и (1.10). Аналогичные (2.14) и (2.15) выкладки, опирающиеся на формулу Грина в усеченном волноводе $\Omega(T)$ и привлекающие ПСВ (1.10) и общее решение (2.12) задачи (1.8), (1.9), приводят к ограничению т.е. в (2.12) можно взять $K^{1 p}_+=K_-$ и $K^{1 p}=K_+$. Искомое решение (2.34) определено с точностью до слагаемого $c_0 u^0$. Коэффициенты при ограниченных слагаемых $\chi_\pm(z)\cos(\pi y)$ у суммы $u^{0 p}+c_0 u^0$ можно зафиксировать так:
$$
\begin{equation}
K^{0 p}_+ +K_0 K_+=K_- K_0, \qquad K^{0 p}_- +K_0K_-=-K_+ K_0.
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
В самом деле матрица системы линейных уравнений (2.36) относительно неизвестных $c_0$ и $K_0$ неособенная, так как ее определитель равен единице согласно нормировке (1.14). Итак, коэффициент $K_0$ в правой части формулы (2.34) также определен.
Предложение доказано. Примем асимптотический анзац (2.17) для решения $u^\varepsilon$ задачи (1.5), (1.6) со спектральным параметром $\lambda^\varepsilon=\lambda_\unicode{8224}$ и убедимся в том, что задача (2.5)–(2.7) с $\lambda'=0$ имеет ограниченное решение (2.10) при условии (2.9). Ввиду отсутствия ЗВ всегда существует решение (2.12), линейно растущее при $z\to\pm\infty$ (источники – [10; гл. 5] и [38]). Требование (2.9) и привычные выкладки (ср. формулы (2.14) и (2.15)) при $\lambda'=0$ приводят к равенству (2.35). Кроме того, коэффициенты при $\chi_\pm(z)z\cos(\pi y)$ у суммы $u_p+c_1 u^1$ принимают вид Благодаря связи (2.35) суммы (2.37) можно обратить в нуль подбором множителя $c_1$.Итак, ищем ПСВ в виде (2.17), где $u^0=u_{s t}$ и $u'$ – ограниченные функции (1.10) и (2.10). В профиле (2.1) оставляем один $(J=1)$ свободный параметр $\tau^\varepsilon=\tau_1$, а множитель $H_1$ при нем подчиним условию (ср. условия биортогональности (2.18)) Остаток $\widehat{\mathbf u}^\varepsilon$ из (2.17) и параметр $\tau^\varepsilon=\tau^\varepsilon_1$ из (2.1) находим из аналогичного (2.32) нелинейного уравнения в пространстве $\mathbf H=H^2(\Omega)\times{\mathbb R}$. Повторив с незначительными изменениями (упрощениями) рассуждения и выкладки из п. 2.2, приведшие к теореме 1, формулируем результат. Теорема 2. Пусть в задаче (1.8), (1.9) реализуется простой ПР, порожденный ПСВ (1.10). Тогда существует профиль (2.1) возмущения границы (1.3), при котором в задаче (1.5), (1.6) для волновода $\Omega^\varepsilon$ реализуется ПР, порожденный ПСВ. При этом ингредиенты $H_0$ и $H_1$ профильной функции подчинены соотношениям (2.9) и (2.38), а параметр $\tau^\varepsilon_1$ в (2.1) удовлетворяет оценке $|\tau^\varepsilon_1|\leqslant c\varepsilon^{1/2}$. 2.4. Превращение ЗВ в ПСВВ п. 2.1 для сохранения СЧ $\lambda^\varepsilon=\lambda_\unicode{8224}$ пришлось уничтожить коэффициенты $K'_\pm$ в разложении (2.10) поправочного члена $u'$ анзаца (2.4). Вместе с тем стабилизирующееся на бесконечности решение $u'$ задачи (2.5)–(2.7) с $\lambda'=0$ не уничтожает ПР, а лишь изменяет его качество: он становится инициированным ПСВ, а не ЗВ. Следовательно, как и в п. 2.2, для сохранения ПР требуется лишь один свободный параметр. В остальном процедура точной настройки профиля (2.1) остается той же, что и в предыдущих пунктах. Теорема 3. В условиях теоремы 1 существует профиль (2.1) возмущения границы (1.3), при котором в задаче (1.5), (1.6) для волновода $\Omega^\varepsilon$ реализуется ПР, порожденный ПСВ. При этом ингредиенты $H_0$ и $H_1$ профильной функции (2.39) подчинены соотношениям (2.9) и (2.38), а параметр $\tau^\varepsilon_1$ в (2.39) удовлетворяет оценке $|\tau^\varepsilon_1|\leqslant c\varepsilon^{1/2}$. Замечание 4. Превратить ПСВ в ЗВ при помощи малого возмущения границы, разумеется, невозможно, так как при этом коэффициенты $K_\pm$ в представлении (1.10) могут приобрести разве лишь малые возмущения, недостаточные для обращения их в нуль по причине нормировки (1.14). § 3. Асимптотика собственных чисел3.1. Случай ПСВНачнем рассмотрение с наиболее сложно устроенных, но в целом известных (см. статьи [25], [40]–[46], [20] и многие другие публикации) асимптотических конструкций, предположив наличие у задачи (1.8), (1.9) ограниченного и не затухающего решения (1.10), которое нормируем равенством (1.14). Для СЧ задачи (1.5), (1.6) примем асимптотический анзац
$$
\begin{equation}
\lambda^\varepsilon=\lambda_\unicode{8224}-\varepsilon^2\mu^2+\dots\in(0,\lambda_\unicode{8224}),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
который включает неизвестное положительное (это ограничение обязательно) число $\mu$ и отличается от анзаца (2.2) в случае ЗВ. Для построения соответствующей СФ $u^\varepsilon$ воспользуемся методом сращиваемых асимптотических разложений (см. [47], [48], [49; гл. 2] и др.) в интерпретации [20], [14], [30]. Именно, внутреннее, пригодное вблизи резонатора $\Theta$ разложение по-прежнему ищем в виде (2.4), но во внешние, справедливые в рукавах $\Pi_\pm$ на удалении от $\Theta$ разложения
$$
\begin{equation}
u^\varepsilon(x)=K_\pm e^{\mp z\sqrt{\lambda_\unicode{8224}-\lambda^\varepsilon}} \cos(\pi y)+\dotsb
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
включим медленно (множители при $z$ в показателях экспонент суть $O(\varepsilon)$) затухающие при $z\to\pm\infty$ волны – решения задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца (1.5) в единичной полосе $\Pi$. В силу (3.1) имеем
$$
\begin{equation}
\sqrt{\lambda_\unicode{8224}-\lambda^\varepsilon}=\varepsilon\mu+\dotsb,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
а значит, внешние разложения (3.2), которые предстоит срастить с внутренним разложением (2.4), принимают вид
$$
\begin{equation}
u^\varepsilon(x)=K_\pm(1 \mp \varepsilon\mu z+ O(\varepsilon^2z^2))+\dotsb.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Сама процедура сращивания предписывает поведение на бесконечности слагаемым $u^0$ и $u'$ анзаца (2.4). Формула (1.10) согласована с формулой (3.4) на уровне $1=\varepsilon^0$. Для того чтобы произвести сращивание на уровне $\varepsilon$, назначим коэффициенты представления
$$
\begin{equation}
u'(x)=\sum_\pm \chi_\pm(z)(K'_{0\pm}+K'_{1\pm}z) \cos(\pi y)+{\widetilde u}'(x)
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
решения задачи (2.5)–(2.7) с параметром $\lambda'=0$ (в соотношении (3.1) отсутствует слагаемое $O(\varepsilon)$). Как обычно, эта задача возникла в результате подстановки анзацев (3.1) и (2.4) в задачу (1.5), (1.6), применения формулы Тейлора (2.3) и сбора коэффициентов при $\varepsilon$. Ввиду отсутствия ЗВ общие результаты из [10; гл. 5] (см. их конкретизацию в статьях [20], [30], [38]) гарантируют, что без каких-либо ограничений на профильную функцию $H_0$ задача (2.5)–(2.7) с $\lambda'=0$ имеет решение (3.6), определенное с точностью до линейной комбинации $c_1u^1+c_0u^0$ решений (2.34) и (1.10) задачи (1.8), (1.9). Применив формулу Грина для $u'$ и $u^0=u_{st}$ тем же способом, что в выкладке (2.15) и в доказательстве предложения 1, получаем аналогичное (2.35) равенство
$$
\begin{equation}
K'_{1+}K_+-K'_{1-}K_-=-2\int_\Gamma H(s)|\partial_nu^0(0,s)|^2\,ds.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Считаем, что $\tau^\varepsilon_j=0$ в представлении (2.1), т.е. $H=H_0$ и процедура точной настройки не нужна. Зафиксируем каким-либо образом решение (3.6) и обозначим его через $u^\#$, а коэффициенты разложения – через $K^\#_{1\pm}$ и $K^\#_{0\pm}$. Рассмотрим общее решение $u'=u^\#+c_1u^1+c_0u^0$, у которого согласно представлениям (2.34) и (1.10) такие коэффициенты при линейном слагаемом $z\cos(\pi y)$: Подставим эти формулы в соотношения (3.5) и получим похожую на (2.36) систему линейных алгебраических уравнений
$$
\begin{equation}
{-}\mu K_+-c_1K_-=K^\#_{1+}, \qquad \mu K_=-c_1K_+=K^\#_{1-}.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
В силу ограничения (1.14) определитель матрицы этой системы равен единице, т.е. из системы (3.8) находим неизвестные $c_1$ и $\mu$ единственным образом. Осталось соблюсти ограничение $\mu>0$, использованное в формулах (3.3) и (3.1). С этой целью заменим в левой части равенства (3.7) коэффициенты $K'_{1\pm}$ их выражениями (3.5) и при учете (1.14) получим
$$
\begin{equation}
\mu=\mu_{st}:=2\int_\Gamma H(s)|\partial_nu^0(0,s)|^2\,ds>0.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
В итоге число $\mu$ из анзаца (3.1) действительно положительное, если положителен интеграл из правой части (3.9). Наконец, решение $u'$ определено с точностью до слагаемого $c'_0u^0$, а значит, коэффициенты $K'_{0\pm}$ в его представлении (3.6) можно зафиксировать следующим образом:
$$
\begin{equation}
K'_{0\pm}=\pm K'_{00}K_\mp, \qquad K'_{00}\in{\mathbb R}.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Напомним, что соотношение (3.10) удалось соблюсти и для коэффициентов при $\cos(\pi y)$ в разложении (2.34) линейно растущего решения $u^1$ из предложения 2. Сформулируем утверждение, которое будет доказано в п. 3.3. Теорема 4. Пусть в задаче (1.8), (1.9) реализуется простой ПР, порожденный ПСВ (1.10), и выполнено соотношение (3.9). Найдутся такие положительные $\varepsilon_2$ и $c_2$, что при $\varepsilon\in(0,\varepsilon_2]$ у задачи (1.5), (1.6) есть CЧ $\lambda^\varepsilon \in\sigma^\varepsilon_d$, для которого верна асимптотическая формула Замечание 5. В случае неотрицательной профильной функции $H$, не обращающейся в нуль всюду на дуге $\Gamma$ (см. рис. 1, c), интеграл $I_0(H)$ заведомо положителен и результат теоремы 4 согласуется с леммой 1, 1), которая все же не требует малости параметра $\varepsilon$. Если же функция $H$ меняет знак на $\Gamma$, но $I_0(H)>0$, то возникновение околопорогового СЧ (3.1) обусловлено малостью параметра $\varepsilon$. 3.2. Полные асимптотические ряды в случае ПСВВместо метода сращиваемых разложений, удобного при вычислении главных членов асимптотики и потому использованного в п. 3.1, применим метод составных разложений (см. первоисточник [31], монографии [49], [50] и др. публикации), который при построении бесконечных рядов приобретает ряд преимуществ, в частности, на каждом шаге итерационного процесса предельная задача в исходной области $\Omega$ решается в одном и том же функциональном пространстве $H^2(\Omega)$. Формальный асимптотический ряд для СЧ
$$
\begin{equation}
\lambda^\varepsilon\sim\sum_{j=0}^{\infty} \varepsilon^j\lambda_j
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
включает уже найденные в п. 3.1 члены
$$
\begin{equation}
\lambda_0=\lambda^0=\lambda_\unicode{8224}, \qquad \lambda_1=0, \qquad \lambda_2=-\mu_{st}^2,
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
а также члены $\lambda_3,\lambda_4,\lambda_5,\dots$, подлежащие определению. Ряд для СФ возьмем таким:
$$
\begin{equation}
u^\varepsilon(x)\sim\sum_{j=0}^{\infty} \varepsilon^j{\mathscr U}_j(x)+ \sum_\pm \chi_\pm(z){\mathscr K}_\pm^\varepsilon e^{\mp z\sqrt{\lambda_\unicode{8224}-\lambda^\varepsilon} } \cos(\pi y).
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Здесь $\chi_\pm$ – срезающие функции (2.10), локализующие волны в рукавах $\Pi_\pm$, ${\mathscr U}_j$ – функции, затухающие на бесконечности с экспоненциальной скоростью и продолженные по гладкости на окрестность ${\mathscr V}\supset \Gamma$, а коэффициенты раскладываются в формальные бесконечные ряды
$$
\begin{equation}
{\mathscr K}_\pm^\varepsilon\sim\sum_{j=0}^{\infty} \varepsilon^j {\mathscr K}_{j\pm}.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Начальные члены рядов (3.14) и (3.15) выберем так:
$$
\begin{equation}
{\mathscr U}_0(x)=u^0(x)-\sum_\pm\chi_\pm(z)K_\pm\cos(\pi y), \qquad {\mathscr K}_{0\pm}=K_\pm,
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
$$
\begin{equation}
{\mathscr U}_1(x)=u'(x)-\sum_\pm\chi_\pm(z)(\mp\mu zK_\pm -K'_\pm)\cos(\pi y), \qquad {\mathscr K}_{1\pm}=K_\pm'.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Членам ряда (3.15) также придадим аналогичный (3.10) вид
$$
\begin{equation}
{\mathscr K}_{j\pm}=\pm {\mathscr K}_{j0}K_\pm, \qquad j=1,2,3,\dotsc\,.
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Волны, фигурирующие как множители при срезках $\chi_\pm(z)$, удовлетворяют уравнению (1.5) в возмущенной области $\Omega^\varepsilon\setminus{\mathbb B}_R$ и краевому условию (1.6) на ее границе $\partial\Omega^\varepsilon\setminus{\mathbb B}_R$. Они допускают следующее расщепление при $\pm z\in[R,2R]$:
$$
\begin{equation}
e^{\mp z\sqrt{\lambda_\unicode{8224}-\lambda^\varepsilon} } \cos(\pi y)\sim\cos(\pi y)\sum_{q=0}^{\infty} \varepsilon^q\mu_q(\pm z).
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
При этом $\mu_q(z)$ – полином переменной $z$ степени $q$,
$$
\begin{equation}
\mu_0=1, \qquad \mu_1(z)=-\mu z, \qquad \mu_q(z)=-\frac{z}{2\mu} \lambda_{q+1}+{\widehat \mu}_q(z), \quad q=2,3,4,\dots,
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
а слагаемое ${\widehat \mu}_q$ зависит только от $\mu=\mu_{st}$ и $\lambda_3,\dots,\lambda_q$. В списках (3.13), (3.16) и (3.17) собраны величины, найденные в п. 3.1, и при учете расщепления (3.19) обнаруживаем, что суммарные коэффициенты при $1=\varepsilon^0$ и $\varepsilon$ в (3.14) совпадают соответственно с $u^0$ и $u'$, т.е. результаты применения методов сращиваемых и составных разложений, конечно же, совпадают. Найдем члены перечисленных выше рядов. С этой целью сначала заметим, что ряды Тейлора для членов ряда из (3.14) после перегруппировки приводят к разложению
$$
\begin{equation}
u^\varepsilon(x)\big|_{\Gamma^\varepsilon}\sim{\mathscr U}_0(0,s) +\sum_{j=1}^{\infty}\varepsilon^j({\mathscr U}_j(0,s)-{\mathscr G}_j(s)),
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
где коэффициенты ${\mathscr G}_j(s)$ – линейные комбинации производных $\partial_n^k{\mathscr U}_{j-k}(0,s)$, $k=1,\dots,j$. Затем подставим ряды (3.12), (3.14) и (3.21) в задачу (1.5), (1.6) и соберем множители при одинаковых степенях параметра $\varepsilon$. В итоге получим при $j\geqslant2$ такие краевые задачи:
$$
\begin{equation}
-\Delta{\mathscr U}_j(x)-\lambda_\unicode{8224} {\mathscr U}_j(x)={\mathscr F}_j(x), \qquad x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
$$
\begin{equation}
{\mathscr U}_j(x)={\mathscr G}_j(x), \qquad x\in\Gamma,
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
$$
\begin{equation}
{\mathscr U}_j(x)=0, \qquad x\in\partial\Omega\setminus\Gamma.
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Правая часть краевого условия (3.23) взята из (3.21), а правая часть уравнения (3.22) находится по формулам
$$
\begin{equation}
{\mathscr F}_j(x)={\mathscr F}^\#_j(x)+{\mathscr F}^\pm_j(x),
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
$$
\begin{equation}
{\mathscr F}^\pm_j(x)=[\Delta,\chi_\pm(z)]\biggl({\mathscr K}_{j\pm}\pm \frac{1}{2\mu}z\lambda_{j+1}K_\pm\biggr),
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} {\mathscr F}^\#_j(x) &=\sum_{p=1}^{j}\lambda_p{\mathscr U}_{j-p}(x) +\sum_\pm [\Delta,\chi_\pm(z)]K_\pm{\widehat \mu}_q(\pm z)\cos(\pi y) \\ &\qquad+\sum_\pm [\Delta,\chi_\pm(z)]\sum_{q=1}^{j-1} {\mathscr K}_{q\pm}\mu_{j-q}(\pm z)\cos(\pi y). \end{split}
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Воспользуемся индукцией, в качестве базы которой возьмем соотношения (3.13) и (3.16), (3.17). Предположим, что известны величины
$$
\begin{equation}
\lambda_0,\dots,\lambda_j, \quad {\mathscr U}_0,\dots,{\mathscr U}_{j-1}, \quad {\mathscr K}_{0\pm},\dots,{\mathscr K}_{j-1\pm},
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
и покажем, как вычисляются $\lambda_{j+1}$, ${\mathscr U}_j$ и ${\mathscr K}_{j\pm}$. Заметим, что функции ${\mathscr F}^\#_j$ из (3.27) и ${\mathscr G}_j$ из (3.21) зависят только от чисел и функций в списке (3.28), причем ${\mathscr G}_j$ имеет компактный носитель, а ${\mathscr F}^\#_j(x)$ ведет себя как $O(|z|^{j-1}e^{-\pi\sqrt{3}|z|})$ при $z\to\pm\infty$ (см. замечание 6). Таким образом, найдется решение ${\mathscr U}^\#_j$ задачи (3.22)–(3.24) с правыми частями ${\mathscr F}^\#_j$ и ${\mathscr G}_j$ (убрали из (3.25) слагаемое (3.26)), которое (решение) представимо в виде
$$
\begin{equation}
{\mathscr U}_j^\#(x)=\sum_\pm\mp\chi_\pm(z)\bigl({\mathscr K}_{j0}^\# K_\mp+ {\mathscr M}_j^\#K_\pm z\bigr)\cos(\pi y)+ {\widetilde{\mathscr U}}_j^\#(x),
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
где ${\mathscr K}_{j0}^\#$ и ${\mathscr M}_j^\#$ выражаются через величины (3.28), а остаток ${\widetilde{\mathscr U}}_j^\#$ характеризуется экспоненциальным затуханием на бесконечности, т.е. верны похожие на (1.13) оценки
$$
\begin{equation}
|\nabla^k{\widetilde{\mathscr U}}_j^\#(x)|\leqslant c_k|z|^{j-1}e^{-\pi|z|\sqrt{3}}, \qquad k=0,1,2,\dotsc\,.
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
Замечание 6. Появление степенных множителей в мажоранте из (3.30) обусловлено присутствием слагаемых $\lambda_p{\mathscr U}_{j-p}$ в правой части (3.27) уравнения (3.22). Действительно, согласно теории Кондратьева (см. [51]) об асимптотике решений эллиптических краевых задач в областях с цилиндрическими выходами на бесконечность (см., например, монографию [10; гл. 3, § 3]) решение ${\mathscr U}_j$ приобретает такое поведение: В силу формул (3.26) и (3.18) полное решение задачи (3.22)–(3.24) имеет вид
$$
\begin{equation}
{\mathscr U}_j(x)={\mathscr U}_j^\#(x)- \sum_\pm\chi_\pm(z) \biggl(\pm{\mathscr K}_{j0}K_\mp\mp\frac{1}{2\mu}z\lambda_{j+1}K_\mp z\biggr)\cos(\pi y)
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
и совпадает с исчезающим на бесконечности остатком в формуле (3.29) при выполнении равенств
$$
\begin{equation}
{\mathscr K}_{j0}=-{\mathscr K}^\#_{j0}, \qquad \lambda_{j+1}=2\mu{\mathscr M}^\#_j .
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
Итак, определены коэффициенты (3.13) ряда (3.15), член $\lambda_{j+1}$ представления (3.12) СЧ $\lambda^\varepsilon$, а член (3.31) первого ряда из (3.14) приобрел экспоненциальное затухание на бесконечности. Иными словами, индукционный переход совершен и построены полные асимптотические разложения СЧ и соответствующей СФ. Сформулируем утверждение, проверка которого будет прокомментирована в конце п. 3.3. Теорема 5. В условиях теоремы 4 для любого целого $Q\geqslant3$ найдутся положительные $\varepsilon_Q$ и $c_Q$, при которых для СЧ $\lambda^\varepsilon\in\sigma^\varepsilon_d$ задачи (1.5), (1.6) верна асимптотическая формула 3.3. Оправдание асимптотикиВ этом пункте сначала будет доказана оценка (3.12) остатка в представлении (3.1) СЧ $\lambda^\varepsilon\in\sigma^\varepsilon_d$ задачи (1.5), (1.6), построенном в п. 3.1. В пространстве Соболева $\mathscr H^\varepsilon=H^1_0(\Omega^\varepsilon)$ введем скалярное произведение
$$
\begin{equation}
\langle u^\varepsilon,\psi^\varepsilon\rangle=(\nabla u^\varepsilon,\nabla\psi^\varepsilon)_{\Omega^\varepsilon}
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
и положительно определенный симметричный и непрерывный, а значит, самосопряженный оператор ${\mathscr T}^\varepsilon$
$$
\begin{equation}
\langle{\mathscr T}^\varepsilon u^\varepsilon,\psi^\varepsilon\rangle= (u^\varepsilon,\psi^\varepsilon)_{\Omega^\varepsilon} \quad\forall\, u^\varepsilon, \psi^\varepsilon\in\mathscr H^\varepsilon.
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
Сравнивая определения (3.34), (3.35) и интегральное тождество (1.7), видим, что вариационная формулировка задачи (1.5), (1.6) эквивалентна абстрактному уравнению
$$
\begin{equation*}
\mathscr T^\varepsilon u^\varepsilon=t^\varepsilon u^\varepsilon \quad\text{в }\ \mathscr H^\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
причем спектральные параметры $\lambda^\varepsilon$ и $t^\varepsilon$ связаны соотношением Таким образом, согласно общим результатам из [26; теоремы 10.1.5 и 10.2.2] спектральной теории самосопряженных операторов $\tau^\varepsilon=0$ – единственная точка существенного спектра $\varsigma^\varepsilon_e$ оператора ${\mathscr T}^\varepsilon$, непрерывный спектр $\varsigma^\varepsilon_c$ занимает полуоткрытый интервал $(0,t_\unicode{8224}]$, а выше точки отсечки $t_\unicode{8224}=\lambda^{-1}_\unicode{8224}>0$ может располагаться дискретный спектр $\varsigma^\varepsilon_d$. Очередное утверждение, известное как лемма о “почти собственных” значениях и векторах оператора (см. первоисточник [31]), вытекает из спектрального разложения резольвенты (см., например, [26; гл. 6]). Лемма 2. Пусть $\mathbf U^\varepsilon$ и $\mathbf t^\varepsilon>t_\unicode{8224}$ таковы, что В качестве “почти собственного” значения оператора $\mathscr T^\varepsilon$ возьмем
$$
\begin{equation}
\mathbf t^\varepsilon=(\lambda_\unicode{8224}-\varepsilon^2\mu^2)^{-1},
\end{equation}
\tag{3.39}
$$
а для построения “почти собственного” вектора
$$
\begin{equation}
\mathbf U^\varepsilon=\|\mathscr W^\varepsilon;\mathscr H^\varepsilon\|^{-1}\mathscr W^\varepsilon
\end{equation}
\tag{3.40}
$$
применим асимптотическую конструкцию (см. первоисточник [52], а также [49; гл. 2], [53] и др. публикации), использующую “срезки с перехлестывающимися носителями”, а именно срезающие функции (1.13) и ${\mathscr X}^\varepsilon\in C^\infty({\mathbb R})$,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, {\mathscr X}^\varepsilon(z)=1 \quad\text{при }\ |z|<R+\varepsilon^{-1}, \qquad {\mathscr X}^\varepsilon(z)=0 \quad\text{при }\ |z|>2R+\varepsilon^{-1}, \\ 0\leqslant{\mathscr X}^\varepsilon\leqslant 1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.41}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag {\mathscr W}^\varepsilon(x) &=X^\varepsilon(z)\bigl(u^0(x)+\varepsilon u'(x)+\varepsilon^2 u^\varepsilon_\bullet(x)\bigr) \\ \notag &\qquad +\sum_\pm\chi_\pm(z)(K_\pm\pm\varepsilon K'_{00}K_\mp) e^{\mp\varepsilon \mu z}\cos(\pi y) \\ &\qquad -X^\varepsilon(z)\sum_\pm\chi_\pm(z)\bigl(K_\pm\mp\varepsilon\mu z K_\pm\pm\varepsilon K'_{00} K_\mp\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.42}
$$
При этом $u'$ – решение (3.6), коэффициенты $K_\pm$ и $K'_{00}$ взяты из формул (1.10) и (3.10), а $u^\varepsilon_\bullet$ – гладкая функция с носителем в окрестности ${\mathscr V}$, которая равна $-\varepsilon^{-2}(u^0(x)+\varepsilon u'(x))$ на $\Gamma^\varepsilon$ (см. определение (1.3) и правую часть условия Дирихле (2.6)) и удовлетворяет оценке
$$
\begin{equation}
\|u^\varepsilon_\bullet;H^2(\Omega\cap\mathscr V\|\leqslant c_\bullet \quad\text{при }\ \varepsilon\in(0,\varepsilon_0].
\end{equation}
\tag{3.43}
$$
Подчеркнем, что и в первом слагаемом из правой части (3.42), и в членах первой суммы присутствуют слагаемые, подвергшиеся сращиванию в п. 3.1, однако последнее вычитаемое устраняет это дублирование. Обработаем величину $\delta_\varepsilon$ из формулы (3.37). При учете соотношений (3.34), (3.35) и (3.39), (3.40) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \delta_\varepsilon &=\|{\mathscr W}^\varepsilon;{\mathscr H}^\varepsilon\|^{-1} \sup|\langle{\mathscr T}^\varepsilon{\mathscr W}^\varepsilon-\tau^\varepsilon {\mathscr W}^\varepsilon,{\mathscr V}^\varepsilon\rangle| \\ \notag &=\|{\mathscr W}^\varepsilon;{\mathscr H}^\varepsilon\|^{-1} (\lambda_\unicode{8224}-\varepsilon^2\mu^2)^{-1}\sup|(\nabla{\mathscr W}^\varepsilon,\nabla{\mathscr V}^\varepsilon)_{\Omega^\varepsilon}-(\lambda_\unicode{8224}-\varepsilon^2\mu^2)({\mathscr W}^\varepsilon,{\mathscr V}^\varepsilon)_{\Omega^\varepsilon}| \\ & =\|{\mathscr W}^\varepsilon;{\mathscr H}^\varepsilon\|^{-1}(\lambda_\unicode{8224}- \varepsilon^2\mu^2)^{-1}\sup| (\Delta{\mathscr W}^\varepsilon+(\lambda_\unicode{8224}-\varepsilon^2\mu^2) {\mathscr W}^\varepsilon,{\mathscr V}^\varepsilon)_{\Omega^\varepsilon}|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.44}
$$
Здесь супремум вычисляется по единичному шару в ${\mathscr H}^\varepsilon$, т.е. $\|{\mathscr V}^\varepsilon;{\mathscr H}^\varepsilon\|\leqslant 1$, а значит, $\|{\mathscr V}^\varepsilon;L^2(\Omega^\varepsilon)\|\leqslant C$. Сразу же заметим, что при малом $\varepsilon>0$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|{\mathscr W}^\varepsilon;{\mathscr H}^\varepsilon\| &\geqslant|K_\pm\pm \varepsilon K'_{00}K_\mp|^2\int^\infty_{2 R+1/\varepsilon} e^{-2\varepsilon\mu z}\,d z\int^{1/2}_{-1/2}\cos^2(\pi y)\,d y \\ &\geqslant\biggl|\frac{1}{2}K_\pm\biggr|^2\frac{1}{2\varepsilon\mu} e^{-2\mu(2 R\varepsilon+1)}\frac{1}{2}\geqslant \frac{c}{\varepsilon}, \qquad c>0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выбор знака плюс или минус обусловлен соотношениями (1.14) и $K_\pm\neq 0$. Кроме того, благодаря определениям срезок имеем $[\Delta,{\mathscr X}^\varepsilon_\pm]= [\Delta,{\mathscr X}^\varepsilon]+[\Delta,\chi_\pm]$, и поэтому
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & (\Delta+\lambda_\unicode{8224}-\varepsilon^2\mu^2){\mathscr W}^\varepsilon= I^\varepsilon_1+I^\varepsilon_2+I^\varepsilon_3:={\mathscr X}^\varepsilon(\Delta+\lambda_\unicode{8224}-\varepsilon^2\mu) \\ \notag &\qquad\qquad\times\biggl(u^0+\varepsilon u'+\varepsilon^2 u^\varepsilon_\bullet-\sum_\pm\chi_\pm(K_\pm\mp\varepsilon\mu z K_\pm\pm\varepsilon K'_{00}K_\mp)\biggr) \cos(\pi y) \\ \notag &\qquad +[\Delta,{\mathscr X}^\varepsilon]\biggl(u^0+\varepsilon u'-\sum_\pm (K_\pm\mp\varepsilon\mu \chi z K_\pm\pm\varepsilon K'_{00}K_\mp\biggr)\cos(\pi y) \\ &\qquad +\sum_\pm[\Delta,\chi_\pm]\bigl((K_\pm\pm\varepsilon K'_{00}K_\mp) e^{\mp\varepsilon\mu z}- (K_\pm\mp\varepsilon\mu z K_\pm\pm\varepsilon K'_{00}K_\mp)\cos(\pi y)\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.45}
$$
Согласно формулам (1.10), (3.6), (2.5)–(2.7) и (3.43) функция
$$
\begin{equation*}
I^\varepsilon_1=-\varepsilon^2\mu^2{\mathscr X}^\varepsilon(\widetilde{u}^0+ \varepsilon\widetilde{u}')+\varepsilon^2(\Delta+ \lambda_\unicode{8224}-\varepsilon^2\mu^q2)u^\varepsilon_\bullet
\end{equation*}
\notag
$$
экспоненциально затухает на бесконечности, и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
|(I^\varepsilon_1,{\mathscr V}^\varepsilon)_{\Omega^\varepsilon}|\leqslant c\varepsilon^2\| {\mathscr V}^\varepsilon;L^2(\Omega^\varepsilon)\|\leqslant C\varepsilon^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Такое же затухание обнаруживаем и у последней суммы в выражении
$$
\begin{equation*}
I^\varepsilon_2=[\Delta,{\mathscr X}^\varepsilon](\widetilde{u}^0+ \varepsilon\widetilde{u}'),
\end{equation*}
\notag
$$
причем удаленное расположение носителей коэффициентов коммутатора $[\Delta,{\mathscr X}^\varepsilon]$ (см. определение (3.41)) приводит к оценке
$$
\begin{equation*}
|(I^\varepsilon_2,{\mathscr V}^\varepsilon)_{\Omega^\varepsilon}|\leqslant c e^{-\rho/\varepsilon}, \qquad\rho>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, формула Тейлора для присутствующих в выражении $I^3$ экспонент и определение (1.13) срезок показывают, что
$$
\begin{equation*}
|I^\varepsilon_3(x)|\leqslant c\varepsilon^2, \qquad \operatorname{supp} I^\varepsilon_3\subset\{x\in{\overline \Omega}^\varepsilon\colon |z|\leqslant2R\},
\end{equation*}
\notag
$$
а значит,
$$
\begin{equation*}
|(I^\varepsilon_3,{\mathscr V})_{\Omega^\varepsilon}|\leqslant c\varepsilon^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Собирая полученные неравенства, находим, что величина (3.44) не превосходит $c_\bullet\varepsilon^{3/2}$. Таким образом, формулы (3.38) и (3.39) влекут за собой соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\begin{cases} |\lambda^\varepsilon-\lambda_\unicode{8224}+\varepsilon^2\mu^2|\leqslant c_\bullet\varepsilon^{5/2}\lambda^\varepsilon(\lambda_\unicode{8224}-\varepsilon^2\mu^2), \\ \lambda^\varepsilon\leqslant (1+c_\bullet\varepsilon^{5/2}\lambda^\varepsilon)(\lambda_\unicode{8224}-\varepsilon^2\mu^2) \end{cases} \\ &\ \ \Longrightarrow\quad \begin{cases} \lambda^\varepsilon\leqslant 2 c_\bullet(\lambda_\unicode{8224}-\varepsilon^2\mu^2)\leqslant 2 c_\bullet\lambda_\unicode{8224}, \\ |\lambda^\varepsilon-\lambda_\unicode{8224}+\varepsilon^2\mu^2|\leqslant 2c_\bullet\varepsilon^{5/2}(\lambda_\unicode{8224} \lambda^\varepsilon\leqslant2c_\bullet\varepsilon^{5/2}\lambda_\unicode{8224}^2 \end{cases} \text{при}\quad c_\bullet\varepsilon^{5/2}\lambda_\unicode{8224}\leqslant \frac{1}{2} \\ &\ \ \Longleftrightarrow\quad \varepsilon\leqslant\varepsilon_\bullet. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, выведено неравенство (3.11), однако с мажорантой $2c_\bullet\varepsilon^{5/2}\lambda_\unicode{8224}^2$ вместо $c_0\varepsilon^3$; впрочем, для величин $c_\bullet$ и $\varepsilon_\bullet$, подобных $c_0$ и $\varepsilon_0$, в теореме 4 получены “почти явные” выражения. Для уточнения мажоранты в финальной оценке точности асимптотического приближения можно воспользоваться обычным приемом: добавить в конструкции (3.39) и (3.42) дополнительные асимптотические члены, построенные в п. 3.2, и тем самым улучшить оценку величины $\delta_\varepsilon$ из (3.37) и (3.44), но затем присоединить лишние члены к остатку. Тем же способом можно вывести неравенства (3.33) для частичных сумм ряда (3.12). Более того, возможность добавлять в приближенные формулы сколь угодно много “лишних” членов построенного бесконечного ряда позволяет не заботиться о точности оценок. Обоснование асимптотических представлений СФ также обеспечено леммой о “почти собственных” значениях и векторах в “усовершенствованном варианте” (см. первоисточник [31] и многочисленные публикации, где такой вариант применялся). Соответствующие утверждения во всех вариантах не приводятся в статье, потому что, во-первых, они легко предсказуемы и, во-вторых, основной объект анализа – спектр. 3.4. Полные асимптотические ряды в случае ЗВКак упоминалось в п. 1.1 и вытекает из полученных предварительно формул (2.2) и (2.8) для СЧ $\lambda^\varepsilon$ и СФ $u^\varepsilon$ задачи (1.5), (1.6), асимптотические ряды в рассматриваемом случае ЗВ отличаются от рядов (3.12) и (3.14) в случае ПСВ:
$$
\begin{equation}
\lambda^\varepsilon\sim\sum_{j=0}^{\infty} \varepsilon^{j/2}\lambda_j,
\end{equation}
\tag{3.46}
$$
$$
\begin{equation}
u^\varepsilon(x)\sim\sum_{j=0}^{\infty} \varepsilon^{j/2}{\mathscr U}_j(x)+ \sum_\pm \chi_\pm(z){\mathscr K}_\pm^\varepsilon e^{\mp z\sqrt{\lambda_\unicode{8224}-\lambda^\varepsilon} } \cos(\pi y).
\end{equation}
\tag{3.47}
$$
Далее считаем, что $\tau^\varepsilon_j=0$ и $H^\varepsilon=H_0$ у профильной функции (2.2). Согласно вычислениям из п. 2.1 с учетом формул (2.2), (2.8) и (1.12), (2.4) имеем
$$
\begin{equation}
\lambda_0=\lambda^0=\lambda_\unicode{8224}, \qquad \lambda_1=0, \qquad \lambda_2=\lambda'=-\mu_{tr}^2:= -\int_\Gamma H_0(s)|\partial_n u_{tr}(0,s)|^2\,ds,
\end{equation}
\tag{3.48}
$$
$$
\begin{equation}
{\mathscr U}_0(x)=u^0(x)=u_{tr}(x), \qquad {\mathscr U}_1(x)=0.
\end{equation}
\tag{3.49}
$$
Вместе с тем видно явное сходство асимптотических конструкций: в этом пункте малый параметр $\varepsilon$ заменен его квадратным корнем $\sqrt{\varepsilon}$. Поэтому далее приводим формулы, похожие на формулы (3.20), но выглядящие проще, со скудными комментариями. Значительно упрощается и весь итерационный процесс. Для коэффициентов ${\mathscr K}_\pm^\varepsilon$ при фигурирующих в (3.47) волнах и для самих волн выполнены расщепления
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, {\mathscr K}_\pm^\varepsilon\sim\sum_{j=0}^{\infty} \varepsilon^{j/2} {\mathscr K}_{j\pm}, \qquad {\mathscr K}_{0\pm}=0, \quad{\mathscr K}_{1\pm}=0, \quad {\mathscr K}_{2\pm}=K'_\pm, \\ e^{\mp z\sqrt{\lambda_\unicode{8224}-\lambda^\varepsilon} } \cos(\pi y)\sim\cos(\pi y)\sum_{q=0}^{\infty} \varepsilon^{q/2}\mu_q(\pm z), \qquad \mu_0(z)=1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.50}
$$
Коэффициенты $K'_\pm$ взяты из представления (2.8) ограниченного решения $u'$ задачи (2.5)–(2.7), и к тому же имеем
$$
\begin{equation*}
{\mathscr U}_2(x)=u'(x)-\sum_\pm\chi_\pm(z)K'_\pm\cos(\pi y)= {\widetilde u}'(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, начальные члены ряда (3.47) исчезают на бесконечности с экспоненциальной скоростью. Это же свойство нужно придать решению ${\mathscr U}_j$ при $j\geqslant3$ уравнения
$$
\begin{equation}
{-}\Delta{\mathscr U}_j(x)-\lambda_\unicode{8224} {\mathscr U}_j(x)={\mathscr F}_j(x)+ \sum_\pm{\mathscr K}_{j\pm}[\Delta,\chi_\pm(z)]\cos(\pi y),\qquad x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{3.51}
$$
с краевыми условиями (3.23), (3.24). Правая часть уравнения (3.51) получена привычной подстановкой рядов (3.46), (3.47) и (3.50) в уравнение (1.5) и сбором коэффициентов при одинаковых степенях малого параметра $\varepsilon$. Именно,
$$
\begin{equation}
{\mathscr F}_j(x)=\lambda_ju^0(x)+{\mathscr F}^\#_j(x)+{\mathscr F}^\pm_j(x),
\end{equation}
\tag{3.52}
$$
$$
\begin{equation}
{\mathscr F}^\#_j(x)=\sum_{p=1}^{j-1}\lambda_p{\mathscr U}_{j-p}(x) +\sum_\pm [\Delta,\chi_\pm(z)]{\mathscr K}_{q\pm} \mu_{j-q}(\pm z)\cos(\pi y).
\end{equation}
\tag{3.53}
$$
Правая часть краевого условия (3.24) берется из аналогичного (3.21) разложения
$$
\begin{equation}
u^\varepsilon(x)\big|_{\Gamma^\varepsilon}\sim{\mathscr U}_0(0,s) +\sum_{j=1}^{\infty}\varepsilon^{j/2}({\mathscr U}_j(0,s)-{\mathscr G}_j(s)).
\end{equation}
\tag{3.54}
$$
Предположим, что найдены величины2
$$
\begin{equation}
\lambda_0,\dots,\lambda_{j-1}, \qquad {\mathscr U}_0,\dots,{\mathscr U}_{j-1}, \qquad {\mathscr K}_{0\pm},\dots,{\mathscr K}_{j-1\pm},
\end{equation}
\tag{3.55}
$$
и покажем, как определяются числа $\lambda_j$, ${\mathscr K}_j$ и затухающая функция ${\mathscr U}_j\in H^2(\Omega)$. Функция (3.52) попадает в пространство $L^2(\Omega)$, и неоднородность условия Дирихле (3.23) имеет компактный носитель. Следовательно, задача (3.47), (3.23), (3.24) с данными ${\mathscr F}^\#_j$ из (3.53) и ${\mathscr G}_j$ из (3.54) имеет ограниченное решение
$$
\begin{equation}
{\mathscr U}_j^\#(x)=\sum_\pm\chi_\pm(z){\mathscr K}_{j\pm}^\# \cos(\pi y)+ {\widetilde{\mathscr U}}_j^\#(x)
\end{equation}
\tag{3.56}
$$
при условии
$$
\begin{equation}
\lambda_j=\lambda_j\int_\Omega |u_{tr}(x)|^2\,dx=-\int_\Omega {\mathscr G}_j u_{tr}(x)\,dx+\int_\Gamma {\mathscr G}_j\,\partial_n u_{tr}(x)\,dx.
\end{equation}
\tag{3.57}
$$
Осталось заметить, что при ${\mathscr K}_{j\pm}={\mathscr K}_{j\pm}^\#$ полное решение ${\mathscr U}_j$ задачи (3.47), (3.23), (3.24) совпадает с остатком ${\widetilde{\mathscr U}}_j^\#$ в разложении (3.56), который удовлетворяет нужным неравенствам (3.30). Сформулируем оценку погрешности приближения СЧ $\lambda^\varepsilon\in \sigma^\varepsilon_d$ частичной суммой ряда (3.46). Эта оценка выводится при помощи указанных в п. 3.3 выкладок и рассуждений с некоторыми упрощениями, так как главный член ряда (3.47) – истинная СФ предельной задачи, изначально принадлежащая пространству $H^2(\Omega)$. Теорема 6. Пусть в задаче (1.8), (1.9) реализуется простой ПР, порожденный ЗВ (1.11), а величина $\mu_{tr}$ из (3.48) положительна. Тогда для любого целого $Q\geqslant2$ найдутся положительные $\varepsilon_Q$ и $c_Q$, при которых для СЧ $\lambda^\varepsilon\in\sigma^\varepsilon_d$ задачи (1.5), (1.6) верна асимптотическая формула Оценка (3.58) при $Q=2$ служит оправданием формального вычисления в п. 2.1 главной поправки в асимптотике СЧ задачи (1.5), (1.6). Для удобства цитирования сформулируем этот результат как отдельное утверждение. Следствие. В условиях теоремы 6 верна асимптотическая формула Еще раз обращаем внимание на видимые различия в формулах из теорем 4 и 6, относящихся к случаям ПСВ и ЗВ соответственно. 3.5. СЧ в НСПриведенное ниже утверждение известно (см., например, статью [14]). Предложение 3. Пусть существует положительная бесконечно малая последовательность $\{\varepsilon_m\}_{m=1}^\infty$, для которой задача (1.5), (1.6) с малым параметром $\varepsilon=\varepsilon_m$ имеет СЧ $\lambda^{\varepsilon_m}$. 1) Если
$$
\begin{equation*}
\lambda^{\varepsilon_m}\to-0 \quad \textit{(предел снизу)},
\end{equation*}
\notag
$$
то на пороге $\lambda_\unicode{8224}$ в задаче (1.8), (1.9) реализуется ПР. 2) Если
$$
\begin{equation*}
\lambda^{\varepsilon_m}\to+0\quad \textit{(предел сверху)},
\end{equation*}
\notag
$$
то порог $\lambda_\unicode{8224}$ – это СЧ задачи (1.8), (1.9) и ПР порожден ЗВ. Иными словами, с порога, на котором реализуется простой ПР с ПСВ, СЧ может лишь спуститься, но в случае порога, у которого ПР связан с ЗВ, СЧ может появиться с любой из двух сторон от точки $\lambda_\unicode{8224}$. Замечание 7. Предложение 3 справедливо на всех3 порогах НС квантовых и акустических волноводов (соответственно спектральные задачи Дирихле и Неймана для оператора Лапласа). Вместе с тем в работах [34] и [32], [33] обнаружен эффект поднятия СЧ с нулевого порога НС двумерного упругого тела и пластины Кирхгофа, у которых точка $\lambda=0$ не может быть СЧ. Таким образом, предложение 3, 2), вообще говоря, не верно для систем дифференциальных уравнений и уравнений высших порядков. Как пояснено в п. 2.1 и п. 2.4, для образования СЧ в ДС требуется неравенство $\lambda'<0$ для величины (2.8). Вырожденный случай (2.9) обсуждается в п. 4.4. Убедимся в том, что при условии
$$
\begin{equation}
\lambda'=\mu_{tr}^2=-\int_\Gamma H_0(s)|\partial_nu_{tr}(0,s)|^2\,ds>0
\end{equation}
\tag{3.59}
$$
(см. рис. 1, b и лемму 1, 2) при $H\leqslant0$) за счет подбора параметров $\tau^\varepsilon_j$ в представлении (2.1) профильной функции $H^\varepsilon$ можно образовать СЧ
$$
\begin{equation}
\lambda^\varepsilon=\lambda_\unicode{8224}+\varepsilon\mu_{tr}^2+\varepsilon\tau^\varepsilon_0,
\end{equation}
\tag{3.60}
$$
вкрапленное в НС задачи (1.5), (1.6). Для спектрального параметра (3.60) существуют две распространяющиеся от $\mp\infty$ к $\pm\infty$ волны
$$
\begin{equation*}
w^\varepsilon_\pm(x)=e^{\pm iz\sqrt{\lambda^\varepsilon-\lambda_\unicode{8224}}}\cos(\pi y),
\end{equation*}
\notag
$$
а условия излучения Зоммерфельда (см., например, монографии [54], [55], [10]) предписывают решению неоднородной задачи (1.5), (1.6)
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, -\Delta u^\varepsilon(x)-\lambda^\varepsilon u^\varepsilon(x)=f^\varepsilon(x), \qquad x\in \Omega, \\ u^\varepsilon(x)=0, \qquad x\in\partial\Omega, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
с гладкой финитной (для простоты) правой частью $f^\varepsilon\in C^\infty_c({\overline \Omega})$ следующее поведение на бесконечности:
$$
\begin{equation*}
u^\varepsilon(x)=\sum_\pm\chi_\pm(z)c^\varepsilon_\pm\cos(\pi y)+\widetilde{u}^\varepsilon(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициенты $c^\varepsilon_\pm$ могут быть произвольными, но остаток $\widetilde{u}^\varepsilon$ должен удовлетворять оценкам (1.15). Иными словами, для включения $u^\varepsilon\in H^1_0(\Omega)$ нужно обратить в нуль именно коэффициенты рассеяния $c^\varepsilon_\pm$. Для этого понадобятся два ($J=2$) свободных параметра $\tau^\varepsilon_1$ и $\tau^\varepsilon_2$ в представлении (2.1), а еще один параметр $\tau^\varepsilon_0$ берется из анзаца (3.60). Как и в п. 2.2, примем анзац (2.17) для СФ задачи (1.5), (1.6), в котором $u^0=u_{tr}$ – это СФ предельной задачи (1.8), (1.9), $u'$ – решение (2.10) задачи (2.5)–(2.7), а ${\widehat u}^\varepsilon\in H^2(\Omega^\varepsilon)$ – малая поправка, подлежащая определению. Ингредиенты $H_0$ и $H_1=H_+$, $H_2=H_-$ профильной функции (2.1) подчиним условиям знакоопределености, ортогональности и нормировки
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\int_\Omega H_0(s)|\partial_n u^0(0,s)|^2\,ds >0, \qquad \int_\Omega H_\pm(s)|\partial_n u^0(0,s)|^2\,ds=0, \\ \int_\Omega H_\pm(s)\,\partial_n u^0(0,s)\, \partial_n u_\vartheta(0,s)\,ds =\delta_{\vartheta,\pm}, \qquad \vartheta=\pm, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.61}
$$
в которых участвуют решения (2.13) задачи (1.8), (1.9) с линейным ростом при $|z|\to\infty$. Способ сведения задачи в $\Omega^\varepsilon$ для ${\widehat u}^\varepsilon$ с параметрами $\tau^\varepsilon=(\tau^\varepsilon_0,\tau^\varepsilon_1,\tau^\varepsilon_2)$ к абстрактному уравнению (2.32) для $({\widehat u}^\varepsilon, \tau^\varepsilon) \in\mathbf H$ отличается от представленного в п. 2.2, хотя схема исследования самого уравнения остается без каких-либо изменений. Подставим анзацы для СЧ (3.60) и СФ (2.17) в задачу (1.5), (1.6) и получим задачу, из которой следует найти неизвестные $\tau^\varepsilon_0\in{\mathbb R}$ и $\widehat{u}^\varepsilon\in H^2(\Omega^\varepsilon)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, -\Delta\widehat{u}^\varepsilon(x)-\lambda_\unicode{8224}\widehat{u}^\varepsilon(x) =\tau^\varepsilon_0u^0(x)+\widehat{f}^\varepsilon(x), \qquad x\in\Omega^\varepsilon, \\ \widehat{u}^\varepsilon(x)=\widehat{g}^\varepsilon(s)- \sum_{j=1,2}\tau^\varepsilon_j H_j(s)\,\partial_n u^0 (0,s), \qquad x\in\Gamma, \\ \widehat{u}^\varepsilon(x)=0, \qquad x\in\partial\Omega^\varepsilon\setminus\Gamma^\varepsilon. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом
$$
\begin{equation}
\widehat{f}^\varepsilon(x)=\varepsilon^{-1} (\Delta+\lambda_\unicode{8224})u^0(x)+(\Delta+\lambda_\unicode{8224}+\varepsilon \mu^2_{tr}))u'(x) +\varepsilon (\mu^2_{tr}+\tau^\varepsilon_0)(u'(x)+\widehat{u}^\varepsilon(x)),
\end{equation}
\tag{3.62}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{g}^\varepsilon(x)=\varepsilon^{-1}u^0(x)+u'(x)- \sum_{j=1,2}\tau^\varepsilon_j H_j(s)\,\partial_n u^0(0,s).
\end{equation}
\tag{3.63}
$$
Поскольку функции $u^0$ и $u'$ удовлетворяют задачам (1.8), (1.9) и (2.5)–(2.7) соответственно, первые два слагаемых из правой части (3.62) имеют компактные носители на множестве ${\overline{\Omega^\varepsilon}}\setminus\Omega$, а их $L^2(\Omega^\varepsilon\cap{\mathscr V})$-нормы не превосходят $c\varepsilon$. По тем же причинам верны соотношения (2.22) для функции (3.63). Наконец, последнее слагаемое в (3.62), имеющее порядок $\varepsilon$, исчезает на бесконечности согласно построению $u'$ и $\widehat{u}^\varepsilon$ (см. ниже). Сделаем замену координат (2.23) и с учетом введенных в п. 2.2 обозначений получим похожую на (2.26)–(2.28) задачу
$$
\begin{equation}
-\Delta_{\mathbf x}\widehat{\mathbf u}^\varepsilon(\mathbf x)- \lambda_\unicode{8224}\widehat{\mathbf u}^\varepsilon (\mathbf x)=\tau^\varepsilon_0\mathbf u_{tr}(\mathbf x) +\widehat{\mathbf f}^\varepsilon(\mathbf x)+\varepsilon \mathbf L^\varepsilon(\tau^\varepsilon;\mathbf x,\nabla_{\mathbf x}) \widehat{\mathbf u}^\varepsilon(\mathbf x), \qquad\mathbf x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{3.64}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathbf u}^\varepsilon(\mathbf x)=\widehat{\mathbf g}^\varepsilon(\mathbf s)-\sum^3_{j=1} \tau^\varepsilon_j H_j(\mathbf s), \qquad\mathbf x\in \Gamma,
\end{equation}
\tag{3.65}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathbf u}(\mathbf x)=0, \qquad\mathbf x\in\partial\Omega\setminus\Gamma.
\end{equation}
\tag{3.66}
$$
Единственное отличие от материала п. 2.2 – появление в правой части уравнения (3.64) слагаемого $\tau^\varepsilon_0\mathbf u_{tr}(\mathbf x)$, включающего образ $\mathbf u_{tr}$ СФ $u^0=u_{tr}$ (продолженной нулем с исходной $\Omega$ на возмущенную область $\Omega\cup{\mathscr V}\subset\Omega^\varepsilon$) при замене $x\mapsto\mathbf x$. Благодаря нормировке (1.12) и свойствам отображения (2.23) справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\|\mathbf u_{tr}-u_{tr};L^2(\Omega)\|\leqslant c\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
и условие разрешимости задачи (3.64)–(3.66) в классе ограниченных функций (ср. разложение (2.10))
$$
\begin{equation}
\tau^\varepsilon_0=-T_\varepsilon^{-1}\biggl(\int_\Omega \bigl(\widehat{\mathbf f}^\varepsilon+\varepsilon\mathbf L^\varepsilon \widehat{\mathbf u}^\varepsilon\bigr)u_{tr}\,d x- \int_\Gamma\biggl(\mathbf g^\varepsilon-\sum_{j=1,2} \tau_j^\varepsilon H_j\,\partial_nu_{tr}\biggr)\partial_n u_{tr}\,d s\biggr)
\end{equation}
\tag{3.67}
$$
содержит ограниченный множитель $T_\varepsilon^{-1}$, а именно
$$
\begin{equation*}
T_\varepsilon=\int_\Omega\mathbf u_{tr}(x)u_{tr}(x)\,dx, \qquad T_\varepsilon\geqslant\frac{1}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку профильные функции $H_1$ и $H_2$ удовлетворяют ограничениям (3.61), последняя сумма по $j=1,2$ из (3.67) обратилась в нуль и равенство (3.67) стало таким:
$$
\begin{equation*}
\tau^\varepsilon_0=\mathbf Q^\varepsilon_0 (\widehat{\mathbf u}^\varepsilon,\tau^\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Еще два ($k=\pm$) равенства вида (2.30) обеспечивают существование решения $\widehat{\mathbf u}^\varepsilon\in H^2(\Omega)$ задачи (3.64)–(3.66), которое становится единственным при условии $(\mathbf u_{tr},u_{tr})_{\Omega}=0$ и превращается в выражение (2.31). В итоге получается искомое абстрактное уравнение (2.32) со сжимающим оператором $\mathbf Q^\varepsilon$, и принцип Банаха (см. [39; гл. 2, § 4]) доставляет единственное решение $(\widehat{\mathbf u}^\varepsilon,\tau^\varepsilon)\in\mathbf H$, подчиненное оценке (2.33). Сформулируем установленный результат. Теорема 7. Пусть в задаче (1.8), (1.9) реализуется простой ПР, порожденный ЗВ (1.11), а ингредиенты $H_0$, $H_1=H_+$, $H_2=H_-$ профиля (2.1) возмущения дуги $\Gamma^\varepsilon$ подчинены требованиям (3.61). Тогда найдутся такие величины $\tau^\varepsilon_0=O(\varepsilon)$ и $\tau^\varepsilon_\pm=O(\varepsilon)$, что у задачи (1.5), (1.6) в возмущенном волноводе $\Omega^\varepsilon$ с границей, заданной формулами (1.3) и (2.1), имеется СЧ (3.60), вкрапленное в НС. § 4. Варианты, следствия, обобщения4.1. Форма волноводаМногие геометрические ограничения введены в § 1 лишь для упрощения изложения, но не доказательств, которые нуждаются лишь в незначительной правке при переходе к более общим постановкам задач, описываемым в данном пункте. Прежде всего отметим, что все выводы (но не конкретные формулы – им нужно подбирать понятные аналоги) остаются в силе и для многомерных квантовых волноводов $\Omega^\varepsilon\subset {\mathbb R}^d$, $d\geqslant3$, с цилиндрическими рукавами где $\omega$ – область в евклидовом пространстве ${\mathbb R}^{d-1}$ с компактным замыканием ${\overline \omega}=\omega\cup\partial\omega$. При этом фигурирующие в предыдущих параграфах величины $\lambda_\unicode{8224}=\pi^2$ и $\sqrt{3}\pi$ нужно заменить величинами $\Lambda_1$ и $\sqrt{\Lambda_1-\Lambda_2}$, определенными по последовательности
$$
\begin{equation}
0<\Lambda_1<\Lambda_2\leqslant\Lambda_3\leqslant\dots\leqslant\Lambda_k\dots\to+\infty
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
СЧ задачи Дирихле для оператора Лапласа на сечении $\omega$ цилиндров (4.1), а амплитудную часть $\cos (\pi y)$ волн – первой собственной функцией $U_1(y)$ упомянутой модельной задачи в $\omega$. Гладкость границы $\partial\omega$ сечения не играет существенной роли, так как в доказательствах можно оперировать вариационными постановками задач. Бесконечная дифференцируемость профильной функции $H$ и возмущаемой части $\Gamma$ поверхности резонатора $\Theta=\Omega\setminus({\overline \Pi}_+\cup{\overline \Pi}_-)$ нужна лишь при построении полных асимптотических рядов, а при выводе и оправдании главного члена асимптотики СЧ $\lambda^\varepsilon$ задачи (1.5), (1.6) достаточно, чтобы объекты принадлежали классу Гёльдера $C^{1,\alpha}$, $\alpha\in(0,1)$, однако для липшицевых границ формула Адамара может быть нарушена (ср. публикации [56] и [57]). При разнообразных сингулярных возмущениях границы (рис. 2, a–d) асимптотический анализ привлекает соответствующие асимптотические методы (см. монографии [48]–[50] и др.), а результирующие асимптотические формулы приобретают сходное строение, но скорости отцепления СЧ $\lambda^\varepsilon$ от порога $\lambda_\unicode{8224}$ меняются в обоих случаях, ПСВ и ЗВ, однако приводить эти формулы не будем и сошлемся, например, на работы [44], [20], [58], [59]. 4.2. Пороги внутри НСКак установлено в работе [14] (ср. предложение 3), результаты о спускании и поднятии СЧ сохраняются и для внутренних простых порогов НС (точки $\Lambda_k=\pi^2k^2$ в плоском волноводе и точки $\Lambda_k\in(\Lambda_{k-1},\Lambda_{k+1})$ последовательности (4.2) в многомерном; при этом $k=2,3,4,\dots$). Вместе с тем из-за наличия осциллирующих (распространяющихся) волн процедура точной настройки профиля возмущения (1.3) нужна не только сверху, но и снизу от порога $\Lambda_k$ (см. статьи [14], [30] и др.). 4.3. Кратности ПРВ замечании 1 упомянут осесимметричный многомерный квантовый волновод, у которого порог $\lambda=\lambda_\unicode{8224}$ – это СЧ оператора $A^0$ задачи (1.8), (1.9) с произвольной заданной наперед кратностью $P$. В этом случае вблизи порога появляются СЧ
$$
\begin{equation*}
\lambda^\varepsilon_p=\lambda_\unicode{8224}+\varepsilon\lambda'_p+O(\varepsilon^2) \in(0,\lambda_\unicode{8224}), \qquad p=1,\dots,P_d,
\end{equation*}
\notag
$$
оператора $A^\varepsilon$ задачи (1.5), (1.6); здесь $\lambda'_1,\dots, \lambda'_{P_d}$ – отрицательные СЧ ($P\times P$)-матрицы $M$ с элементами
$$
\begin{equation}
M_{pq}=-\int_\Gamma H(s)\,\partial_nu^0_p(0,s)\,\partial_nu^0_q(0,s)\,ds,
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
а $u^0_1,\dots,u^0_P$ – ортонормированные в $L^2(\Omega)$ СФ задачи (1.8), (1.9). Положительные СЧ матрицы $M$ могут породить СЧ оператора $A^\varepsilon$, однако для этого нужна точная настройка профильной функции (2.1), аналогичная описанной в п. 3.5. Логично предсказать, что существует профиль $H^\varepsilon(s)$ в виде (2.1), при котором у задачи (1.5), (1.6) имеется $P_d$ СЧ в ДС и $P_c$ СЧ в НС оператора $A^\varepsilon$ (разумеется, $P_d+P_c\leqslant P$), однако опубликованных результатов на эту тему автор не знает. Случай ПР, порожденного ПСВ, оказывается чуть более сложным: до сих пор не известен пример квантового волновода, у которого на пороге $\lambda_\unicode{8224}$ есть две линейно независимые4 ПСВ. Подчеркнем, что, в отличие от ЗВ, более двух разных ПСВ быть не может, так как волны $u^1_{st}$ и $u^2_{st}$ должны иметь в представлении (1.10) линейно независимые в ${\mathbb R}^2$ столбцы коэффициентов $K^1=(K^1_+,K^1_-)$ и $K^2=(K^2_+,K^2_-)$. Вместе с тем при наличии $u^1=u^1_{st}$ и $u^2=u^2_{st}$ по схеме из п. 3.1 можно убедиться в том, что в случае отрицательно определенной ($2\times2$)-матрицы $M$ с элементами (4.3) ДС $\sigma^\varepsilon_d$ задачи (1.5), (1.6) содержит два СЧ
$$
\begin{equation*}
\lambda^\varepsilon_p=\lambda_\unicode{8224}+\varepsilon^2\lambda'_p+O(\varepsilon^3) \in(0,\lambda_\unicode{8224}), \qquad p=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Если же у матрицы $M$ есть $j=1$ или $j=2$ неположительных СЧ, то кратность ДС $\sigma^\varepsilon_d$ может прирасти разве лишь на $2-j$. В следующем пункте будет рассмотрен двойной ПР с одной ЗВ и одной ПСВ, хотя автор не знает конкретного волновода с такими характеристиками. 4.4. Взаимодействие ЗВ и ПСВПусть у задачи (1.8), (1.9) есть на пороге две волны, (1.10) и (1.11), но других линейно независимых с ними ограниченных решений нет. Поскольку ПСВ $u^0=u_{st}$ и линейно растущее решение $u^1$ (см. формулы (1.10) и (2.34) соответственно) определены с точностью до слагаемого $cu_{tr}$, далее считаем, что Покажем, при каких условиях в ДС задачи (1.5), (1.6) появляются два СЧ, $\lambda^\varepsilon_{tr}$ и $\lambda^\varepsilon_{st}$, с разными скоростями отцепления от порога.Начнем с построения приближения к СФ $u^\varepsilon_{tr}$, которая отвечает СЧ (2.4). При этом (отрицательное) поправочное слагаемое в асимптотике СЧ
$$
\begin{equation}
\lambda'=-\mu^2_{tr}=-\int_\Gamma H(s)|\partial_n u_{tr}(0,s)|^2\,ds
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
вычисляется по формуле (2.8). Изменения в материале из п. 2.1 и п. 3.5 нужны, потому что при наличии ПСВ $u^0$ имеется только одно (а не два $u_\pm$, как при отсутствии ПСВ; см. формулы (2.13)) решение $u^1$ с ростом (2.34) на бесконечности. Поэтому подбором коэффициентов $c'_p$ линейной комбинации $c'_0u^0+c'_1u^1$, добавленной к произвольно зафиксированному решению задачи (2.5)–(2.7), можно выбрать такое ее решение:
$$
\begin{equation}
u'_{tr}(x)=\sum_\pm\chi_\pm(z)(\pm a_0 K_\mp\mp a_1K_\pm z) \cos(\pi y)+ {\widetilde{u}}'_{tr}(x).
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Подчеркнем, что векторы $(+K_-,-K_+)$ и $(-K_+,+K_-)$ коэффициентов из (4.6) ортогональны в ${\mathbb R}^2$ векторам $(K_+,K_-)$ и $(K_-,K_+)$ коэффициентов из (1.10) и (2.34) соответственно. Как обычно, используя формулу Грина в усеченном волноводе $\Omega(T)$ для захваченной волны $u'_{tr}$ и решений $u^p$, подчиненных условиям (4.4), получаем равенства
$$
\begin{equation*}
a_{1-p}=-\int_\Gamma H(s)\,\partial_n u_{tr}(0,s)\partial_n u^p(0,s)\,ds, \qquad p=0,1.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, как выглядят начальные члены асимптотики, найденные при помощи метода сращивания (в п. 3.4 применялся метод составных разложений, а в п. 2.1 нарушение включения $u'_{tr}\in H^1(\Omega)$ игнорировалось). Внутреннее разложение ищем в виде
$$
\begin{equation}
u^\varepsilon_{tr}(x)=u_{tr}(x)+\sqrt{\varepsilon}\, bu_{st}(x)+\varepsilon u'_{tr}(x) +\dotsb,
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где $u'_{tr}$ – решение (4.6) задачи (2.5)–(2.7). Коэффициент $b$ определяется в результате сращивания внутреннего разложения с внешними, а именно
$$
\begin{equation}
u^\varepsilon_{tr}(x)=\sqrt{\varepsilon} (bK_\pm \pm \sqrt{\varepsilon}\, a_0 K_\mp)e^{\mp z\sqrt{\lambda_\unicode{8224}-\lambda^\varepsilon}} \cos(\pi y)+\dotsb.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Обозначим $-\mu_{tr}^2$ отрицательную по предположению величину (2.8) из списка (3.48) и получим формулы (3.3) и (3.4) с заменой $\mu\mapsto\mu_{tr}>0$. Следовательно, разложения (4.8) принимают вид
$$
\begin{equation}
u^\varepsilon_{tr}(x)=\sqrt{\varepsilon}\, bK_\pm\cos(\pi y)\pm \varepsilon (a_0K_\mp-\mu_{tr}b K_\pm z) \cos(\pi y)+\dotsb.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Первое слагаемое справа в (4.9) согласовано с поведением на бесконечности члена $\sqrt{\varepsilon}\, bu_{st}(x)$ анзаца (4.7). В силу представления (4.6) последнее выделенное слагаемое в (4.9) сращивается с членом $\varepsilon u'_{tr}(x)$ из формулы (4.7) при условии
$$
\begin{equation*}
\mp a_1 K_\pm z=\mp \mu_{tr}bK_\pm z \quad \Longleftrightarrow\quad b=\mu_{tr}^{-1}a_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Начальные члены асимптотики СФ $u^\varepsilon_{tr}$ вычислены, и незначительная модификация выкладок и рассуждений из п. 3.4 позволяют построить полные асимптотические ряды для СЧ
$$
\begin{equation}
\lambda^\varepsilon_{tr}=\lambda_\unicode{8224}- \varepsilon \mu_{tr}^2+O(\varepsilon^{3/2}).
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
В предположении (3.7) о величине $\mu_{st}>0$ конструкция СФ, отвечающей второму СЧ
$$
\begin{equation}
\lambda^\varepsilon_{st}=\lambda_\unicode{8224}- \varepsilon^2 \mu_{st}^2+O(\varepsilon^3)
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
из ДС задачи (1.5), (1.6), нуждается лишь в очевидных изменениях по сравнению с п. 2.1. А именно, главный член внутреннего разложения (2.4) ищем в виде и обнаруживаем, что условие ортогональности
$$
\begin{equation*}
\int_\Gamma H(s)\bigl(\partial_nu_{st}(0,s)+b\,\partial_nu_{tr}(0,s)\bigr)\,\partial_nu_{tr}(0,s)\,ds=0,
\end{equation*}
\notag
$$
необходимое для существования решения (3.6) задачи (2.5)–(2.7) с $\lambda'=0$ (член $\varepsilon\lambda'$ отсутствует в (4.11)), дает выражение
$$
\begin{equation*}
b=-\mu_{tr}^{-2}\int_\Gamma H(s)|\partial_nu_{st}(0,s)|^2\,ds=-\frac{1}{2}\mu_{tr}^{-2} \mu_{st}
\end{equation*}
\notag
$$
для неизвестного коэффициента в (4.12). В остальном построения из п. 2.1 не требуют существенных изменений. Итак, неравенства $\mu_{tr}>0$ и $\mu_{st}>0$ для величин из (4.5) и (3.9) соответственно обеспечивают появление двух точек ДС $\sigma^\varepsilon_d$, которые с разными скоростями $O(\varepsilon)$ и $O(\varepsilon^2)$ отцепляются от порога. 4.5. Вырожденный случай для ЗВВернемся к рассмотрению ПР, порожденного ЗВ $u_{tr}$ при отсутствии ПСВ, но допустим, что величина $\mu_{tr}$ из (4.5) обратилась в нуль, т.е. $\lambda'=0$ в анзаце (2.2), который теперь нуждается в уточнении:
$$
\begin{equation}
\lambda^\varepsilon=\lambda_\unicode{8224}+\varepsilon^2\lambda''+\dotsb.
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Аналогично изменяем внутреннее разложение (2.4):
$$
\begin{equation}
u^\varepsilon(x)=u_{tr}(x)+\varepsilon u'(x)+\varepsilon^2 u''(x) +\dotsb.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
При этом $u'$ – решение задачи (2.5)–(2.7) при $\lambda'=0$, которое существует и принимает вид (2.10) благодаря предположению $\mu_{tr}=0$ и наличию двух решений (2.13) с линейным ростом на бесконечности. Составим задачу для второго члена анзаца (4.14):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta u''(x)-\lambda_\unicode{8224} u''(x)=\lambda'' u_{tr}(x), \qquad x\in\Omega, \notag \\ u''(x)=g''(x), \qquad x\in\Gamma, \\ u''(x)=0, \qquad x\in\partial\Omega\setminus\Gamma. \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Согласно формуле Тейлора (2.8) для $u'$ и ее усовершенствованию для $u_{tr}$ получаем
$$
\begin{equation*}
g''(x)=-H(s)\,\partial_nu'(0,s) -\frac{1}{2}H(s)^2\,\partial_n^2u_{tr}(0,s).
\end{equation*}
\notag
$$
Анализируя оператор Лапласа (2.24) в системе криволинейных координат $(n,s)$, видим, что в силу условия Дирихле для $u_{tr}$ имеем $\partial_su_{tr}(0,s)=0$, $\partial_su_{tr}(0,s)=0$ на $\Gamma$, а значит,
$$
\begin{equation}
\partial_n^2u_{tr}(0,s)=-\varkappa(s)\,\partial_nu_{tr}(0,s).
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
В силу соотношений (4.15) и (4.16) условие разрешимости задачи (4.15) в классе ограниченных функций (ср. представление (2.10)) выводится при помощи выкладки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda'' &=\lambda''\|u_{tr};L^2(\Omega)\|^2\,{=}\,{-}\int_\Omega u_{tr}(x)\bigl(\Delta u''(x)+\lambda_\unicode{8224} u''(x)\bigr)\,dx\,{=} \int_\Gamma g''(s)\,\partial_n u_{tr}(0,s)\,ds \\ & =\frac{1}{2}\int_\Gamma\varkappa(s)H(s)^2|\partial_nu_{tr}(0,s)|^2\,ds- \int_\Gamma H(s)\,\partial_nu_{tr}(0,s)\,\partial_nu'(0,s)\,ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Краевое условие на $\Gamma$ в задаче (2.5)–(2.7) показывает, что последний интеграл равен
$$
\begin{equation}
-\int_\Gamma u'(0,s)\,\partial_nu'(0,s)\,ds= \int_\Omega \bigl(\lambda_\unicode{8224} |u'(x)|^2-|\nabla u'(x)|^2\bigr)\,dx.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Несмотря на то, что функция (2.10) может не затухать на бесконечности, интеграл (4.17) сходится абсолютно, так как подынтегральное выражение в нем исчезает при $|z|\to\infty$ с экспоненциальной скоростью: вклад слагаемых $K_\pm\cos(\pi y)$ аннулируется, поскольку $\lambda_\unicode{8224}=\pi^2$. Итак,
$$
\begin{equation}
\lambda''=\frac{1}{2}\int_\Gamma\varkappa(s)H(s)^2|\partial_nu_{tr}(0,s)|^2\,ds +\int_\Omega \bigl(|\nabla u'(x)|^2-\lambda_\unicode{8224} |u'(x)|^2\bigr)\,dx.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Первое слагаемое в правой части формулы (4.18) отрицательно на вогнутом ($\varkappa<0$) участке $\Gamma$ границы $\partial\Omega$, однако определить знак интеграла (4.17) затруднительно. Иными словами, непонятно, можно ли соблюсти условие $\lambda''<0$, помещающее точку (4.13) в ДС задачи (1.5), (1.6). Для обеспечения нужного ограничения для основной асимптотической поправки в анзаце (4.13) введем вариацию $H^\varepsilon(s)=H(s)+\varepsilon H^\#(s)$ профиля возмущения (1.3) дуги (1.2) (ср. формулу (2.1)) и тем самым добавим в выражение (4.18) слагаемое
$$
\begin{equation}
\lambda^\#=-\int_\Gamma H(s)^\#|\partial_nu_{tr}(0,s)|^2\,ds
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
(ср. выкладку (2.8)). Величину (4.19) можно сделать большой отрицательной за счет подходящего выбора функции $H^\#$. Таким образом, и в случае ЗВ скорости отцепления СЧ (4.13) от порога можно придать тот же порядок $\varepsilon^2$, что и в случае ПСВ. 4.6. Аналогии с общим результатом Б. СаймонаПосле замены координат (2.23) спектральная задача (1.5), (1.6) принимает вид
$$
\begin{equation}
-\Delta \mathbf u^\varepsilon(\mathbf x)-\varepsilon\mathbf L^\varepsilon(\mathbf x, \nabla_\mathbf x) \mathbf u^\varepsilon(\mathbf x)= \lambda^\varepsilon\mathbf u^\varepsilon(\mathbf x), \qquad \mathbf x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbf u^\varepsilon(\mathbf x)=0, \qquad \mathbf x\in\partial\Omega .
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
При этом для упрощения выкладок в процедуре точной настройки профиля возмущения в § 2 и п. 3.5 была сознательно упущена возможность оставить краевую задачу формально самосопряженной. Поскольку умножение уравнения (4.20) на якобиан $J(n,s)$ перехода $x\mapsto\mathbf x$ приводит к краевой задаче, допускающей вариационную постановку, к спектру задачи (4.20), (4.21) можно применить общие результаты из [21]. Так, теорема 2.1 из статьи [21] предоставляет следующие две возможности: $1^\circ)$ $\lim_{\varepsilon\to+0}\varepsilon^{-1}(\lambda^\varepsilon- \lambda_\unicode{8224})=0$; $2^\circ)$ $\lambda_\unicode{8224}\in\sigma^0_p$. Ситуация $1^\circ)$ согласуется с теоремой 4, в которой ПР порожден ПСВ, а ситуация $2^\circ)$ – со следствием из п. 3.4, в котором порог $\lambda_\unicode{8224}$ является СЧ. Пример из п. 4.4 демонстрирует, что ситуация $1^\circ)$ не отвергает включение $\lambda_\unicode{8224}\in\sigma^0_p$, когда ПР инициирован ЗВ. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Naz21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|