| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Гомологические размерности банаховых пространств Ф. Кабелло Санчес, Х. М. Ф. Кастильо, Р. Гарсия Departamento de Matemáticas and IMUEx, Universidad de Extremadura, Badajoz, Spain
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9425 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение“Гомологическая теория банаховых пространств”, развитая к настоящему времени, вращается вокруг существования, значения и взаимоотношений функторов $\mathfrak L$ (линейные непрерывные операторы) и $\operatorname{Ext}$ (точные последовательности банаховых пространств по модулю эквивалентности). Такие отношения основаны на двух фактах:
Цель настоящей статьи – заложить основы изучения функтора $\operatorname{Ext}^n$ в категории банаховых пространств. Эта цель определяет общий тон статьи: первое определение, с которым столкнется читатель, – это определение точной последовательности длины $n$ и $\operatorname{Ext}^n$, $n$-го производного функтора от $\mathfrak L$ (функтор Hom в нашей объемлющей категории банаховых пространств). Мы не будем подробно останавливаться в этой статье на точном способе, которым работают производные функторы; вместо этого мы возьмем длинные гомологические последовательности в качестве краеугольного объекта, который оперативно определяет “производность”, как можно видеть в § 3. Мы добавили приложение (§ 7) с кратким описанием гомологических последовательностей и материал по последовательностям расслоенных произведений и копроизведений, который необходим для понимания статьи. Параграф 4 содержит основные результаты статьи. В целом они объединяют аппарат гомологической алгебры с конкретными результатами о банаховых пространствах: некоторые из них явно охватываются устоявшейся схемой изложения теории банаховых пространств, а другие получены совсем недавно. Параграф 5 содержит некоторый материал о проективной и инъективной размерностях банаховых пространств. Мы следуем идеям М. Водзицкого и развиваем некоторые из его результатов, приведенные в статье [3], которая до сих пор является основным справочником по этой теме. Наш основной результат в этом направлении состоит в том, что если $\mathscr K$ – пространство Кадеца, то $\operatorname{Ext}^n(\mathscr K, \mathscr K)$ отлично от нуля и, следовательно, проективная и инъективная размерности $\mathscr K$ бесконечны. Параграф 6 содержит некоторые наблюдения о “гомологическом взаимодействии” между банаховой категорией и большей категорией квазибанаховых пространств. Отметим в заключение, что, хотя изучение $\operatorname{Ext}^n$ в банаховых пространствах все еще находится в начальной стадии, связи между гомологической алгеброй и теорией локально выпуклых пространств были установлены В. П. Паламодовым в [4], [5] очень давно. Мы отсылаем читателя к монографии Й. Венгенрота [6] за красивым введением в эту тему и к [7] за более сложными результатами. § 2. Функтор $\operatorname{Ext}^n$ в банаховых пространствахВведем некоторые обозначения и приведем необходимые результаты из теории расширений Йонеды. Большинство из них подробно описано в [2; § 6] и [1; VII]. 2.1. Точные последовательностиТочная последовательность банаховых пространств – это (конечная или бесконечная) диаграмма где $i\in {\mathbb Z}$, образованная банаховыми пространствами и такими (непрерывными линейными) операторами, что ядро каждой стрелки совпадает с образом предыдущей; а $n$-точная последовательность $\mathscr E$ между $Y$ и $X$ – это точная последовательность вида с $n$ членами между $Y$ и $X$ и остальными членами $0$. Назовем $n$ длиной $\mathscr E$; $1$-точные последовательности – это популярные короткие точные последовательности. Морфизм $\varphi\colon \mathscr E \to \mathscr F$ между двумя $n$-точными последовательностями – это коммутативная диаграмма Для двух заданных $n$-точных последовательностей с одними и теми же концевыми пространствами $Y$ и $X$ мы будем писать $\mathscr E \to \mathscr F$ (или $\mathscr F \leftarrow \mathscr E$), чтобы отметить существование морфизма $\varphi\colon \mathscr E \to \mathscr F$ с $\varphi_-=\mathbf I_Y$ и $\varphi_+=\mathbf I_X$. Мы вводим отношение эквивалентности на классе $n$-точных последовательностей с фиксированными концами $Y$ и $X$, объявляя $\mathscr E \sim \mathscr F$ тогда и только тогда, когда имеется такое конечное число $n$-точных последовательностей с теми же концами $(\mathscr G_{j})_{1\leqslant j \leqslant k}$, что
$$
\begin{equation}
\mathscr E \longrightarrow \mathscr G_1 \longleftarrow \mathscr G_2 \longrightarrow \cdots \longleftarrow \mathscr G_k \longrightarrow \mathscr F.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Можно показать (см. [2; 6.40]), что требуются только две точные последовательности и три морфизма, чтобы установить, что $\mathscr E \sim \mathscr F$, т.е., таким образом, $\mathscr E \sim \mathscr F$ тогда и только тогда, когда имеется цепь вида (2.1) с $k=2$. Определим $\operatorname{Ext}^n(X, Y)$ как множество классов эквивалентности $n$-точных последовательностей между $Y$ и $X$. Договоримся, что $\operatorname{Ext}(X,Y)=\operatorname{Ext}^1(X,Y)$; если $Y=X$, то мы просто пишем $\operatorname{Ext}^n(X)$. Подчеркнем, что $\operatorname{Ext}^n(X, Y)$ – множество, даже если класс всех $n$-точных последовательностей между $Y$ и $X$ “слишком велик”, чтобы быть множеством. По этим теоретическим вопросам см. [2; 6.20]. Мы пишем $\mathscr E\in\operatorname{Ext}^n(X,Y)$, если $\mathscr E$ – $n$-точная последовательность между $Y$ и $X$, понимая под этим класс эквивалентности $\mathscr E$, который действительно принадлежит $\operatorname{Ext}^n(X,Y)$. 2.2. Сращивание и разрезание последовательностейМножество $\operatorname{Ext}^n(X, Y)$ допускает естественную линейную структуру, операции которой определяются с помощью универсальных и коуниверсальных квадратов. Наши результаты настолько прозаичны, что все, что нам нужно знать об этой структуре, – это то, что она существует (и поэтому имеет смысл говорить, что какие-то гомологические последовательности точны; см. п. 7.2 по этому вопросу), и как выделить нулевой элемент, что несколько различается в зависимости от $n=1$ или $n\geqslant 2$: нуль в $\operatorname{Ext}(X,Y)$ – это (класс эквивалентности) последовательности прямой суммы где $\imath(y)=(y,0)$ и $\pi(y,x)=x$. Если $n\geqslant 2$, то нуль $\operatorname{Ext}^n(X,Y)$ – это (класс) последовательности Мы пишем $\operatorname{Ext}^n(X,Y)=0$, если любая $n$-точная последовательность между $Y$ и $X$ эквивалентна нулевой последовательности. Два элемента $\mathscr E\in \operatorname{Ext}^n(Z,Y)$ и $\mathscr F\in \operatorname{Ext}^m(X,Z)$ могут быть сращены с помощью $Z$, чтобы получить $(n+m)$-точную последовательность обозначаемую $\mathscr E\mathscr F$. Легко видеть, что класс $\mathscr E\mathscr F$ в $\operatorname{Ext}^{m+n}(X,Y)$ зависит только от классов $\mathscr E$ и $\mathscr F$ и что если $\mathscr E\sim 0$ или $\mathscr F\sim 0$, то $\mathscr E\mathscr F\sim 0$. Обратно, если $n\geqslant 2$, то любая точная последовательность может быть разрезана на более короткие куски следующим образом: выберем $1<i\leqslant n$; так как $\mathscr F$ точна в $F_i$, то $\ker f_i=\operatorname{Im} f_{i-1}$ и, если мы обозначим это пространство через $Z$, мы получим две точные последовательности причем ясно, что $\mathscr F= \mathscr L \mathscr R$. Вот очевидное следствие.Следствие 2.1. (a) Если $\operatorname{Ext}^n(X, \cdot)=0$, то $\operatorname{Ext}^m(X, \cdot)=0$ для всех $m>n$. (b) Если $\operatorname{Ext}^n(\cdot,Y)=0$, то $\operatorname{Ext}^m(\cdot,Y)=0$ для всех $m>n$. Как правило, из условия $\mathscr{EF}\sim 0$ не следует, что $\mathscr{E}\sim 0$ или $\mathscr{F}\sim 0$; см. [8; п. 6.4] или [9; п. 5.3] по поводу поразительных примеров, в которых $\mathscr{E} = \mathscr{F}$. Однако верна Лемма 2.1. (a) Пусть $\mathscr E$ – короткая точная последовательность и $\mathscr F\in \operatorname{Ext}^n(X,Z)$, где $n\geqslant 1$. Если $\operatorname{Ext}^n(X,E)=0$ и $\mathscr{EF}\sim 0$ в $\operatorname{Ext}^{n+1}(X,Y)$, то $\mathscr F\sim 0$. (b) Пусть $\mathscr F$ – короткая точная последовательность и $\mathscr E\in \operatorname{Ext}^n(Z,Y)$, где $n\geqslant 1$. Если $\operatorname{Ext}^n(F,Y)=0$ и $\mathscr{EF}\sim 0$ в $\operatorname{Ext}^{n+1}(X,Y)$, то $\mathscr E\sim 0$. Доказательство. (a) Взглянем на следующий отрезок “ковариантной” гомологической последовательности, связанной с $X$ и $\mathscr E$: и заметим, что морфизм $\operatorname{Ext}^{n}(X,Z)\longrightarrow \operatorname{Ext}^{n+1}(X,Y)$ переводит $\mathscr F$ в $\mathscr{EF}$. Чтобы доказать (b), используем контравариантную последовательность, связанную с $Y$ и $\mathscr F$. Лемма доказана.
§ 3. Редукция длиныПри работе в категориях с достаточным количеством проективных или инъективных элементов, как в случае банаховых пространств, хорошо известно представление $\operatorname{Ext}$ в терминах операторов. Мы начнем с проективного случая. Пусть $X$ – банахово пространство. Проективное представление $X$ – это короткая точная последовательность где $\mathscr{P}$ – проективное банахово пространство (необходимо изоморфное $\ell_1(I)$ для некоторого множества индексов $I$ согласно результату Г. Кёте [10; 3(6)]). Легко видеть, что $\mathscr{P}$ проективно тогда и только тогда, когда $\operatorname{Ext}(\mathscr{P},\cdot)=0$, и в этом случае $\operatorname{Ext}^{n}(\mathscr{P},\cdot)=0$ для всех $n \geqslant 1$ по следствию 2.1, (a). Теперь, если $Y$ – другое банахово пространство, то мы можем воспользоваться (контравариантной) гомологической последовательностью, чтобы получить длинную точную последовательность Так как $\operatorname{Ext}^{n}(\mathscr P, Y)=0$ для всех $n\geqslant 1$, то
$$
\begin{equation}
\operatorname{Ext}^{n+1}(X,Y)= \operatorname{Ext}^{n}(\kappa(X), Y)
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
в том смысле, что с точностью до эквивалентности любая $(n+1)$-точная последовательность между $Y$ и $X$ может быть получена как сращивание $\mathscr E\mathscr P$: Условие $\mathscr E\sim 0$ в $\operatorname{Ext}^{n}(\kappa(X), Y)$ равносильно условию $\mathscr E\mathscr P\sim 0$ в $\operatorname{Ext}^{n+1}(X, Y)$. Это частный случай леммы 2.1, (b). Интерпретация для $\operatorname{Ext}(X,Y)$ несколько отличается. Так как $\mathfrak L(\mathscr P, Y)\neq 0$, то точность в $\operatorname{Ext}(X,Y)$ означает, что любая короткая точная последовательность $0\longrightarrow Y\longrightarrow E\longrightarrow X\longrightarrow 0$ входит в диаграмму (обязательно послойных копроизведений) для некоторого $u\in \mathfrak L(\kappa(X), Y)$, который допускает расширение до $\mathscr{P}$ тогда и только тогда, когда расширение расщепимо. Это очевидно следует из свойства лифтинга $\mathscr P$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
\operatorname{Ext}(X,Y)=\frac{\mathfrak L(\kappa(X), Y)}{\imath^*[\mathfrak L(\mathscr{P}, Y)]},
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $\imath^*\colon \mathfrak L(\mathscr{P}, Y)\to \mathfrak L(\kappa(X), Y)$ – отображение ограничения. Предположим, что для любого банахова пространства $X$ выбрано проективное представление, как в ($\mathscr{P}$). Тогда каждому $X$ мы можем сопоставить последовательность “ядер”, определяемую индуктивно следующим образом: $\kappa^{1}(X)=\kappa(X)$ и $\kappa^{n+1}(X)=\kappa(\kappa^{n}(X))$. Например, мы можем взять $\kappa(X)=\ker Q$, где $Q\colon \ell_1(B_X) \to X$ – естественное отображение факторизации, но мы предпочитаем не специфицировать объект. Для любого $n\geqslant 1$ последовательным сращиванием можно построить $n$-точную последовательность Теперь, для данного $\mathscr E\in\operatorname{Ext}^n(X,Y)$, разлагая в короткие точные последовательности и шаг за шагом применяя свойство лифтинга $\mathscr P, \mathscr P_2,\dots$, получаем коммутативную диаграммуСправедливо следующее утверждение. Доказательство. Все тождества, кроме последнего, являются частными случаями (3.1), если учесть, что $\kappa^{k+1}(X)=\kappa(\kappa^k(X))$. Последнее равенство – это просто соотношение (3.2), примененное к $\kappa^{n-1}(X)$. Предложение доказано. Исходя из категорной двойственности (обращая стрелки), мы можем получить и инъективную версию. Во-первых, инъективное представление банахова пространства $Y$ – это короткая точная последовательность где $\mathscr I$ – инъективное банахово пространство (необходимо являющееся дополняемым подпространством некоторого $\ell_\infty(I)$ и поэтому представляющее собой $\mathscr L_\infty$-пространство, см. [11; следствие на с. 335]). Заметим, что $\mathscr{I}$ инъективно тогда и только тогда, когда $\operatorname{Ext}^{n}(\cdot, \mathscr{I})=0$ для всех $n \geqslant 1$. Если $X$ – другое банахово пространство, то мы можем воспользоваться ковариантной гомологической последовательностью, чтобы получить длинную точную последовательность Так как $\operatorname{Ext}^{n}(X, \mathscr I)=0$ для всех $n\geqslant 1$, то
$$
\begin{equation}
\operatorname{Ext}^{n+1}(X,Y)= \operatorname{Ext}^{n}(X, c\kappa(Y)), \qquad \operatorname{Ext}^1(X,Y)=\frac{\mathfrak L(X, c\kappa(Y))}{\pi_*[\mathfrak L(X, \mathscr I)]},
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $\pi_*[\mathfrak L(X, \mathscr I)]$ состоит из тех операторов $X\to c\kappa(Y)$, которые могут быть подняты в $\mathscr{I}$. Теперь зафиксируем инъективное представление, как в ($\mathscr{I}$), “для каждого банахова пространства” $Y$ и определим по индукции $c\kappa^1(Y)=c\kappa(Y)$ и $c\kappa^{k+1}(Y)=c\kappa(c\kappa^{k}(Y))$. Например, можно было бы взять $c\kappa(Y)=\operatorname{coker}(J)$, где $J\colon Y \to \ell_\infty(B_{Y^*})$ – очевидное вложение, но здесь удобна некоторая неопределенность. Тогда для любого $n\geqslant 1$ можно построить $n$-точную последовательность и мы получаем инъективный вариант предложения 3.1.§ 4. Вопросы об $\operatorname{Ext}^n$ на банаховых пространствахДо сих пор изучение $\operatorname{Ext}^n$ для банаховых пространств было сконцентрировано почти исключительно на коротких точных последовательностях. Это несколько особый случай по двум причинам. Во-первых, в короткой точной последовательности отображение $\imath$ является изоморфным вложением и $\pi$ определяет изоморфизм между $E/\imath[Y]$ и $X$. По этой причине среднее пространство $E$ здесь часто называется скрученной суммой $Y$ и $X$. Во-вторых, что более важно, отношение эквивалентности в $\operatorname{Ext}^1$ проще, чем в случае более длинной последовательности. Действительно, любой оператор $u$, входящий в коммутативную диаграмму с точными строками, является изоморфизмом по известной $3$-лемме и теореме об открытом отображении. В частности, $\mathscr E\sim 0$ в $\operatorname{Ext}(X,Y)$, т.е. эта последовательность эквивалентна последовательности прямой суммы тогда и только тогда, когда она расщепима, т.е. существует такой оператор $P\in\mathfrak L(E,Y)$, что $P\imath=\mathbf I_{Y}$, или, что равносильно, существует такой оператор $S\in\mathfrak L(X, E)$, что $\pi S=\mathbf I_{X}$.Некоторые важные характеристики банаховых пространств можно выразить равенствами вида $\operatorname{Ext}(X,Y)=0$. Вот несколько простых примеров:
– $X$ – $\mathscr L_1$-пространство $\Leftrightarrow$ $\operatorname{Ext}(X, U)=0$ для любого банахова пространства $U$, дополняемого во втором сопряженном (или просто рефлексивного). Импликация $\Rightarrow$ является частным случаем лифтинга Линденштрауса (а именно, леммы в [13]; см. также [14; предложение 2.1]). Обратное утверждение см. в [15; предложение 2]. – $Y$ – $\mathscr L_{\infty}$-пространство $\Leftrightarrow$ для любой последовательности конечномерных банаховых пространств $(F_n)$ имеем $\operatorname{Ext}(\ell_1(F_n), Y)=0$. Это очевидно эквивалентно [16; предложение 3.1]. – Сепарабельное банахово пространство $Y$ изоморфно $c_0$ $\Leftrightarrow$ $\operatorname{Ext}(X,Y) = 0$ для любого сепарабельного банахова пространства $X$. Импликация $\Rightarrow$ – это теорема Собчика, см. [17]. Обратное утверждение доказано М. Циппиным, см. [18]. – По теореме Джонсона–Циппина [19; следствие 3.1] $\operatorname{Ext}(H^*, Y)=0$ для любого подпространства $H$ пространства $c_0$ и любого $\mathscr L_\infty$-пространства $Y$. Многие проблемы трех пространств (общую информацию о проблемах трех пространств см. в [20]) сводятся к вопросу: верно ли, что $\operatorname{Ext}(X,Y)$ обращается в нуль для подходящего выбора $X$, $Y$? В частности, так называемая проблема Пале: “верно ли, что $\operatorname{Ext}(\ell_2)=0$?” решена отрицательно П. Энфло, Й. Линденштраусом и Ж. Пизье в [21], а затем Н. Дж. Калтоном и Н. Т. Пеком в [22]. Проблемы типа $\operatorname{Ext}^n=0$ почти не рассматривались в теории банаховых пространств. В связи с этим перед погружением в более серьезные вопросы мы установим $n$-версии предыдущих результатов. Теорема 4.1. При выполнении любого из следующих условий на $X$ и $Y$ равенство $\operatorname{Ext}^n(X, Y)=0$ верно для всех $n \geqslant 1$. 1) $Y$ инъективно или $X$ проективно. 2) $X$ сепарабельно, а $Y$ сепарабельно инъективно. Более общим образом, $\operatorname{dens}(X)<\aleph$, а $Y$ $\aleph$-инъективно. В частности, отсюда следует 3). 3) Теорема Собчика порядка $n$: $\operatorname{Ext}^n(X, c_0) = 0$ для любого сепарабельного пространства $X$. 4) Лифтинг Линденштрауса порядка $n$: $X$ – $\mathscr L_1$-пространство, а $Y$ дополняемо в своем втором сопряженном. В частности, для любой меры $\mu$ имеем $\operatorname{Ext}^n(L_1(\mu)) = 0$. 5) Теорема Джонсона–Циппина порядка $n$: если $H$ – подпространство $c_0$, а $Y$ – $\mathscr L_\infty$-пространство, то $\operatorname{Ext}^n(H^*, Y)=0$. Доказательство. 1) очевидно. 2) почти так же очевидно, если понять, что при $\operatorname{dens}(X)<\aleph$ можно выбрать проективное представление ($\mathscr P$) с $\mathscr P=\ell_1(I)$ и $|I|<\aleph$ так, чтобы $\operatorname{dens} (\kappa(X))\leqslant \operatorname{dens}(\ell_1(I))=|I|<\aleph$. Повторяя это рассуждение, мы видим, что можно выбрать $\mathscr P_n$, а тогда и $\kappa^n(X)$, с характером плотности, меньшим $\aleph$. Теперь по предложению 3.1 имеем
и факторпространство равно нулю, так как по самому определению $\aleph$-инъективности любой оператор $\kappa^{n}(X)\to Y$ продолжается на $\mathscr P_n$. Чтобы доказать 4), используем предложение 3.1 в виде $\operatorname{Ext}^n(X, Y)= \operatorname{Ext}^1(\kappa^{n-1}(X), Y)$. Из классического результата [11; предложение 5.2] следует, что если $X$ – $\mathscr L_1$-пространство, то $\kappa(X)$ – тоже $\mathscr L_1$-пространство, и поэтому лифтинг Линденштрауса достаточен для нашего вывода. Наконец, 5) сводится к основному случаю $n=1$ с помощью предложения 3.2: имеем $\operatorname{Ext}^n(X, Y) = \operatorname{Ext}(X, c\kappa^{n-1}(Y))$, и снова [11; предложеиие 5.2] говорит нам, что $c\kappa^{n-1}(Y)$ должно быть $\mathscr L_\infty$-пространством. Теорема доказана. Предыдущие результаты приводят к некоторым частичным ответам на следующие общие вопросы: – охарактеризовать банаховы пространства $X$ и $ Y$ с $\operatorname{Ext}^n(X, Y)=0$; – охарактеризовать банаховы пространства $X$, для которых $\operatorname{Ext}^n(X)\,{=}\,0$. Тем не менее было бы ошибкой думать, что результаты порядка $n$ являются простыми обобщениями результатов первого порядка. Доказательство следующего результата основано на построенном Ж. Бургейном недополняемом подпространстве $\ell_1$, изоморфном $\ell_1$. Насколько нам известно, значение этого факта при исследовании $\operatorname{Ext}^2$ было впервые отмечено М. Водзицким (см. [3]), которому принадлежат части 3) и 4) следующего результата. Предложение 4.1. Существует такое банахово пространство $\mathscr B$, что: 1) $\mathscr B$ – не $\mathscr L_\infty$-пространство (равносильно, $\mathscr B^*$ – не $\mathscr L_1$-пространство); 2) $\operatorname{Ext}^n(S, \mathscr B)=0$ для любого сепарабельного пространства $S$ и всех $n\geqslant 2$, но $\operatorname{Ext}^2(\cdot, \mathscr B)\neq0$; 3) $\operatorname{Ext}^n(\mathscr B^*,\cdot)=0$ для всех $n\geqslant 2$; 4) $\operatorname{Ext}^n(\cdot,\mathscr B^{**})=0$ для всех $n\geqslant 2$. Доказательство. В доказательстве [23; теорема 7] Ж. Бургейн показывает, что существует такая постоянная $C>0$, что для любого $\varepsilon>0$ и любого достаточно большого $n\in \mathbb{N}$ существует $N(n)$ и $n$-мерное подпространство $E_n$ пространства $\ell_1^{N(n)}$, которое $C$-изоморфно $\ell_1^n$ и для которого любая проекция $P\colon \ell_1^{N(n)}\to E_n$ удовлетворяет условию $\|P\|\geqslant C^{-1} (\log \log n)^{1-\varepsilon}$. Рассматривая точную последовательность и сопряженную последовательность мы видим, что любое линейное сечение $S_n$ факторотображения в последней последовательности имеет норму, не меньшую $C^{-1} (\log \log n)^{1-\varepsilon}$, так как $S_n^*$ – проекция $\ell_1^{N(n)}$ на $E_n$. Кроме того, каждое $E_n^*$ $C$-изоморфно $\ell_\infty^n$. Амальгамируя последовательности (4.2), получаем короткую точную последовательность которая не расщепляется, так как если $S$ – линейное сечение $Q$, то ограничение $S$ на $n$-ю координату с последующей очевидной проекцией $c_0(\ell_\infty^{N(n)})$ на $n$-й сомножитель является сечением $Q_n$. То же рассуждение применимо к Если мы обозначим $c_0( E_n^\perp)$ через $\mathscr B$ (в честь Ж. Бургейна), то $c_0(\ell_\infty^{N(n)})$ изометрично $c_0$, в то время как $c_0(E_n^*)$ изоморфно $c_0$, и (4.3) дает нетривиальную точную последовательность вида $0\longrightarrow \mathscr B\longrightarrow c_0\longrightarrow c_0\longrightarrow 0$, которая является примером “сепарабельно инъективной резольвенты длины 1” для $\mathscr B$. Так как второе сопряженное к $\mathscr B$ естественно изоморфно $\ell_\infty( E_n^\perp)$, то нетривиальность (4.4) означает, что $\mathscr B$ не может быть $\mathscr L_\infty$-пространством, так как второе сопряженное к любому $\mathscr L_\infty$-пространству является инъективным банаховым пространством. Это доказывает 1).
Чтобы доказать первую часть 2), рассмотрим сепарабельное банахово пространство $X$. Используя ковариантную последовательность, в которой зафиксировано первое переменное $X$, мы получаем точную последовательность Так как $\operatorname{Ext}^{n}(X, c_0)=0$ для всех $n\geqslant 1$, то $\operatorname{Ext}^{n}(X, \mathscr B)=0$ для всех $n\geqslant 2$. Заменяя $\mathscr B$ на $\mathscr B^{**}$ и $c_0$ на $\ell_\infty$ и оставив предположение сепарабельности для $X$, получаем 4), хотя в этом случае мы можем остановиться на $\operatorname{Ext}^2$ ввиду следствия 2.1. Чтобы доказать 3), просто используем контравариантную последовательность и проективное представление (на самом деле – резольвенту) $0\longrightarrow\ell_1\longrightarrow\ell_1\longrightarrow\mathscr B^*\longrightarrow 0$, сопряженное к (4.3).Наконец, чтобы доказать, что $\operatorname{Ext}^2(\cdot, \mathscr B)\neq 0$, рассмотрим инъективное представление $\mathscr B$ получаемое из вложения $\mathscr B= c_0( E_n^\perp) \longrightarrow c_0(\ell_\infty^{N(n)}) \longrightarrow \ell_\infty(\ell_\infty^{N(n)})=\ell_\infty$. Теперь рассмотрим инъективное представление $c\kappa(\mathscr B)$, и срастим их, чтобы получить 2-точную последовательность Так как $\ell_\infty$ инъективно, то мы знаем из леммы 2.1, (a), что если $\mathscr I\mathscr H\sim 0$, то $\mathscr H$ расщепляется, чего не может быть. Действительно, если $\mathscr H$ расщепляется, то “подпространство” $c\kappa(\mathscr B)=\ell_\infty/\mathscr B$ было бы инъективным как дополняемое подпространство инъективного пространства. Чтобы убедиться, что это не так, мы заметим сначала, что $\mathscr B=c_0( E_n^\perp)$ содержит дополняемое подпространство, изоморфное $c_0$ (просто выберем по вектору в каждом $ E_n^\perp$), так что $\mathscr B= \mathscr C\oplus \mathscr D$, где $\mathscr C$ изоморфно $c_0$. С другой стороны, по теореме Линденштрауса–Розенталя сепарабельное пространство вкладывается в $\ell_\infty$ единственным образом, см. [24]; поэтому есть изоморфизмы
$$
\begin{equation*}
\ell_\infty/\mathscr B\, \approx\, \ell_\infty/\mathscr C \oplus \ell_\infty/\mathscr D\, \approx\, \ell_\infty/c_0 \oplus \ell_\infty/\mathscr D
\end{equation*}
\notag
$$
и так как $\ell_\infty/c_0 $ не инъективно (результат Амира [12; теорема 1.25]), то и $\ell_\infty/\mathscr B$ не инъективно. Предложение 4.1 доказано. Перейдем теперь к новым, может быть, неожиданным результатам. В. П. Паламодов в [5; § 12] задал следующий вопрос 6: верно ли, что $\operatorname{Ext}^2(\cdot,Y)=0$ для любого пространства Фреше? (Отрицательный) ответ на вопрос В. П. Паламодова был дан Й. Венгенротом в [25; вопрос 6]. Более конкретное решение в области банаховых пространств дано в [26]. Вопрос о том, верно ли, что $\operatorname{Ext}^2(\ell_2)= 0$, задан в [8], повторен в [26] и недавно был разрешен отрицательно в [9; теорема 4.6]. Собственно, в [9; следствие 5.1] показано, что $\operatorname{Ext}^2(X,Y)\neq0$, если $X$ и $Y$ – банаховы пространства, содержащие $\ell_2^n$ равномерно дополняемым образом, например если они имеют нетривиальный тип $p>1$. Отметим следующее простое замечание, прежде чем продолжить. Лемма 4.1. Если $A$ и $B$ – дополняемые подпространства $X$ и $Y$ соответственно и $\operatorname{Ext}^n(X, Y)=0$, то $\operatorname{Ext}^n(A, B)=0$. Доказательство. Пусть $\imath\colon A\,{\to}\, X$ и $\jmath\colon B\,{\to}\, Y$ – вложения и пусть $P\colon X\,{\to}\, A$ и $Q\colon Y\to B$ – соответствующие проекторы. Любой $\mathscr F\in \operatorname{Ext}^n(A, B)$ можно записать в виде $Q\jmath\mathscr F P\imath$ с $\jmath\mathscr F P\in \operatorname{Ext}^n(X, Y)$. Лемма доказана. Напомним, что континуум-гипотеза ($\mathsf{CH}$) утверждает равенство $\aleph_1=\mathfrak c$, $\mathsf{ZFC}$ – обычная формулировка теории множеств, с аксиомой выбора, а $\mathsf{MA}$ обозначает аксиому Мартина. Предложение 4.2. 1. Существует $\mathscr L_\infty$ пространство $X$ с $\operatorname{Ext}^2(X)\neq 0$. 2. При условии $\mathsf{CH}$, $\operatorname{Ext}^2(X, c_0)\neq 0$, если $X$ – одно из пространств $c_0(\aleph_1)$, $\ell_\infty$, $\ell_\infty/c_0$. Доказательство. Часть 1 следует идее доказательства предложения 4.1 с помощью предыдущей леммы: так как ненулевая, то можно взять $X=c_0\oplus \bigl(\ell_\infty(\mathfrak c)/(\ell_\infty/c_0)\bigr)$ и применить предыдущую лемму.
Часть 2 следует из [27; теорема 1], где показано, что при условии $\mathsf{CH}$ имеем $\operatorname{Ext}(X,\ell_\infty/c_0)\neq 0$ при таком выборе $X$. Таким образом, $X$ может заменить $c\kappa^2(c_0)$ в предыдущей диаграмме. Предложение доказано. Только что доказанный результат содержит трудное место: верно ли, что $\operatorname{Ext}^2(c_0(\aleph_1), c_0)=0$ в $\mathsf{ZFC}$? С одной стороны, $\operatorname{Ext}(c_0(\aleph_1), c_0)\neq 0$ в $\mathsf{ZFC}$, что удостоверяется хорошо известной нетривиальной точной последовательностью $0\longrightarrow c_0 \longrightarrow C(\Delta_M)\longrightarrow c_0(\aleph_1)\longrightarrow 0$, в которой $C(\Delta_M)$ – подпространство $\ell_\infty$, порожденное $c_0$ и характеристическими функциями почти дизъюнктного семейства размера $\aleph_1$; см. [28; пример 2] или [12; п. 2.2.4]. С другой стороны, $\operatorname{Ext}^2(C(\Delta_M), c_0)=\operatorname{Ext}^2(c_0(\aleph_1), c_0)$, так как $\operatorname{Ext}(c_0)=\operatorname{Ext}^2(c_0)=0$. Наконец, при [$\mathsf{MA} + \aleph_1<\mathfrak c$] имеем $\operatorname{Ext}(C(\Delta_M), c_0)=0$ (см. [29; следствие 5.3]), а это открывает дверь для предположения, что в этой аксиоматике также выполнено $\operatorname{Ext}^2(c_0(\aleph_1), c_0)=\operatorname{Ext}^2(C(\Delta_M), c_0)=0$. Для $\mathscr L_1$-пространств ситуация совершенно иная, как показывает следующий пример Водзицкого. Ключевым моментом является то, что если $X$ – сепарабельное $\mathscr L_1$-пространство, не изоморфное $\ell_1$, например, $X=L_1$, то $\kappa(X)$, которое можно считать сепарабельным, является $\mathscr L_1$-пространством, не изоморфным $\ell_1$. На самом деле $\kappa(X)$ не дополняется в своем втором сопряженном: в противном случае проективное представление $X$ расщепимо (теорема 4.1, 4)), что вынудило бы $ X $ быть проективным и, следовательно, изоморфным $\ell_1$. Повторяя рассуждение, получаем, что все ядра $\kappa^n(X)$ – $\mathscr L_1$-пространства, не изоморфные $\ell_1$, и что последовательности ненулевые в $\operatorname{Ext}^n(X, \kappa^{n}X)$. Таким образом, $Y=X\oplus \kappa^{n}X$ – $\mathscr L_1$-пространство, для которого $\operatorname{Ext}^n(Y)\neq 0$.Мы завершим этот параграф следующим замечанием об $\operatorname{Ext}^3$. Как показано в [9; следствие 5.1], $\operatorname{Ext}^2(\ell_p)\neq 0$ для $1<p<\infty$, и это – классический результат в теории банаховых пространств, утверждающий, что $L_1$ содержит изометрические копии $\ell_p$ при $1<p\leqslant 2$; см. [30; теорема 6.4.17]. Эти копии недополняемы, и поэтому у нас есть нетривиальные последовательности Так как $\operatorname{Ext}^2(L_1,\ell_p)=0$ по теореме 4.1, (4), то, выбирая любой ненулевой элемент $\mathscr E\in \operatorname{Ext}^2(\ell_p)$, получаем, что $\mathscr{EF}$ – ненулевой элемент $\operatorname{Ext}^3(L_1/\imath[\ell_p],\ell_p)$ по лемме 2.1, (b). Конечно, также $\operatorname{Ext}^2(L_1/\imath[\ell_p],\ell_p)\neq 0$: можно взять $\mathscr{DF}$ с ненулевым $\mathscr D$ в $\operatorname{Ext}(\ell_p)$.§ 5. Гомологическая размерность банаховых пространствИзучение различных гомологических размерностей модулей и алгебр – классическая тема гомологий банаховых и топологических алгебр, см. [31; гл. 7], [32; III.6], [33; III.5]. Однако в банаховых пространствах проблема была рассмотрена, насколько нам известно, только М. Водзицким [3]. Следуя [3], мы определяем проективную размерность $\operatorname{pd}(X)$ банахова пространства $X$ как наименьшее целое число $n$, для которого $\operatorname{Ext}^{n+1}(X,\cdot)=0$, или, что то же, наименьшее такое $n$, что $\kappa^n(X)$ проективно; аналогично, инъективная размерность ${\operatorname{id}}(X)$ – это наименьшее $n$, для которого $\operatorname{Ext}^{n+1}(\cdot, X)=0$ или $c\kappa^n(X)$ инъективно. М. Водзицкий рассматривает и другие варианты, такие как абсолютно чистая и чистая инъективная размерность и плоская размерность $X$, обозначаемая $\operatorname{fd}(X)$ и определяемая как наименьшее целое число $n$, для которого существует $n$-точная последовательность в которой $\mathscr F_i$ – $\mathscr L_1$-пространства для всех $0\leqslant i\leqslant n$. Это может быть понято как плоская резольвента $X$, так как дуальное пространство к $\mathscr L_1$-пространству уже инъективно.В [3] показано, что $\operatorname{pd}(\mathscr B^*){\kern1pt}{=}\operatorname{id}(\mathscr B^{**})$ (см. теорему 4.1), а также что $\operatorname{pd}(X)\,{=}\,\infty$, если $X$ – $\mathscr L_1$-пространство, не изоморфное никакому $\ell_1(I)$; см. замечания, завершающие предыдущий параграф. Это практически все, что в настоящее время известно о поведении $\operatorname{pd}$, $\operatorname{id}$, $\operatorname{fd}$. Как отмечено в [3], ожидается, что для большинства “классических” пространств, за очевидными исключениями, эти размерности равны $\infty$. Однако у нас не так много доказательств, подтверждающих эту гипотезу: на самом деле мы не знаем, как построить большие последовательности с рефлексивными концами. Очевидные кандидаты на роль концов – это следующие пространства, взятые из [34]: пусть $(G_n)_{n\geqslant 1}$ – последовательность конечномерных пространств, плотная в множестве “всех конечномерных пространств” относительно расстояния Банаха–Мазура в том смысле, что для любого конечномерного пространства $F$ и $\varepsilon>0$ найдется такое $n$, что $d(F,G_n)<1+\varepsilon$. Положим
$$
\begin{equation*}
\mathscr C_ p=\begin{cases} \ell_p(\mathbb N, G_n), & 1\leqslant p<\infty, \\ c_0(\mathbb N, G_n), &p=\infty. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти пространства используются для проверки, является ли банахово пространство $\mathscr L_1$-пространством. Действительно, $X$ – $\mathscr L_1$-пространство тогда и только тогда, когда $\operatorname{Ext}(X,\mathscr C_p)=0$ для некоторого (или, что равносильно, для любого) $p$, $1 \leqslant p < \infty$. Если, кроме того, $X$ сепарабельно, то $X$ является $\mathscr L_1$-пространством тогда и только тогда, когда $\operatorname{Ext}(X,\mathscr C_\infty)=0$. Доказательство можно найти в [35; следствие 5.4]. Отсюда немедленно следует, что $\operatorname{fd}(X)$ – это наименьшее целое $n$, для которого $0=\operatorname{Ext}^{n+1}(X,\mathscr C_p)$ для некоторого (или любого) $1\leqslant p < \infty$. Легко предположить, что $\operatorname{Ext}^n(\mathscr C_p)\neq 0$ для всех $n$, раз это выполняется для $n=1,2,3$ (мы опустим доказательство). Следующий результат, касающийся пространства Кадеца $\mathscr K$, дополняет [3]. Это пространство, независимо открытое М. И. Кадецом, А. Пельчинским и П. Войтащиком, см. [36]–[38], сепарабельно, имеет свойство ограниченной аппроксимации и содержит дополняемую копию любого сепарабельного банахова пространства со свойством ограниченной аппроксимации. Предложение 5.1. $\operatorname{Ext}^n(\mathscr K)\neq 0$ для всех $n$. В частности, справедливы равенства $\operatorname{pd}\mathscr K= \operatorname{id}\mathscr K=\infty$. Доказательство. Так как $\operatorname{pd} L_1=\infty$ при $n\geqslant 1$, то $\operatorname{Ext}^n(L_1,\kappa^n L_1)\neq 0$. И $L_1$, и $\kappa^n L_1$ имеют свойство ограниченной аппроксимации (это $\mathscr L_1$-пространства), они вкладываются как дополняемые подпространства в $\mathscr K$ и поэтому $\operatorname{Ext}^n(\mathscr K)\neq 0$ по лемме 4.1. Предложение доказано. На самом деле, можно доказать, что если $X$ и $Y$ – сепарабельные банаховы пространства, не обязательно имеющие свойство ограниченной аппроксимации и такие, что $\operatorname{Ext}^n(X,Y)\neq 0$, то $\operatorname{Ext}^n(X,\mathscr K)\neq 0$ и $\operatorname{Ext}^n(\mathscr K,Y)\neq 0$. Следующая проблема может оказаться очень трудной, поскольку только неравенства $\operatorname{pd}(\ell_2), \operatorname{id}(\ell_2)\geqslant 3$ известны сейчас. Проблема. Вычислить проективную (или плоскую) и инъективную размерности сепарабельного гильбертова пространства. § 6. Банаховы пространства в сопоставлении с квазибанаховымиЛюбое банахово пространство является также квазибанаховым пространством, и поэтому любая точная последовательность банаховых пространств может рассматриваться как точная последовательность квазибанаховых пространств. (Основные источники по квазибанаховым пространствам – монографии [39] и [40].) Поэтому естественно рассмотреть взаимодействие между категорией $\mathbf Q$ квазибанаховых пространств и её подкатегорией $\mathbf B$ банаховых пространств, так что мы добавим несколько замечаний по этому поводу. Все определения и результаты в § 2 и § 7 работают в категории $\mathbf Q$ в точности так же, как в $\mathbf B$. Напротив, за очевидным исключением леммы 4.1, ни один из результатов § 2, 3 и 5 не сохраняется в $\mathbf Q$, так как в этой категории нет инъективных объектов, кроме 0 (это следует из [12; доказательство предложения 3.45]), а единственными проективными пространствами являются конечномерные. Действительно, пусть $X$ – квазибанахово пространство. Тогда, по теореме Аоки–Ролевич (см. [39; теорема 1.3]), для некоторого множества индексов $I$ и некоторого $0<p\leqslant 1$ (а потому и для любого $0<q<p$) существует факторотображение $Q_p\colon \ell_p(I)\to X$. Если бы $X$ было проективно в $\mathbf Q$, оно было бы изоморфно дополняемому подпространству пространства $\ell_p(I)$ и дополняемому подпространству в $\ell_q(I)$. Из результатов У. Стайлса [41; теорема 2] следует, что $X$ конечномерно. Учитывая это, мы будем писать $\operatorname{Ext}^n_{\mathbf Q}$, чтобы упомянуть точную последовательность квазибанаховых пространств, и писать $\operatorname{Ext}^n_{\mathbf B}$ при ссылке на категорию банаховых пространств. Несмотря на то, что в $\mathbf Q$ недостаточно много инъективных или проективных объектов, из результатов [42] следует, что $\operatorname{Ext}^n_{\mathbf Q}(X,Y)$ – множества, если $X$ и $Y$ – квазибанаховы пространства. Основная проблема в том, что вполне возможно иметь два банаховых пространства $X$, $Y$ и короткую точную последовательность в которой $Z$ – квазибанахово пространство, не изоморфное банахову пространству. Таким образом, $\operatorname{Ext}_{\mathbf Q}(X, Y)$ может быть строго больше $\operatorname{Ext}_{\mathbf B}(X, Y)$. Возможно, наиболее экстремальный контрпример получается, если $Y=\mathbb{K}$ – основное поле (которое инъективно в $\mathbf B$ по теореме Хана–Банаха) и $X=\ell_1$ (пространство, проективное в $\mathbf B$), так что, в частности, $\operatorname{Ext}_{\mathbf B}(\ell_1, \mathbb{K})=0$. Однако М. Рибе в [43], Н. Калтон в [44] и Дж. Робертс в [45] независимо и почти одновременно, около 1980 г., и В. А. Смирнов и В. А. Шейхман в [46] около 1990 г. построили примеры нетривиальных элементов $\operatorname{Ext}_{\mathbf Q}(\ell_1, \mathbb{K})$. Контрпример М. Рибе – простейший из этих четырех и приведен также в [39; гл. 5, § 4] и [40; разд. 4].Существуют также пары банаховых пространств, для которых $\operatorname{Ext}_{\mathbf Q}(X, Y)=\operatorname{Ext}_{\mathbf B}(X, Y)$, т.е. любое квазибанахово пространство $Z$, участвующее в короткой точной последовательности как $(\mathscr Z)$, необходимо (изоморфно) банахову пространству. На самом деле это зависит только от факторпространства $X$. Действительно, если мы будем называть квазибанахово пространство $X$ $K$-пространством при условии $\operatorname{Ext}_{\mathbf Q}(X, \mathbb{K})\,{=}\,0$, то классический результат С. Диерольфа (см. [47]) показывает, что банахово пространство $X$ является $K$-пространством тогда и только тогда, когда $\operatorname{Ext}_{\mathbf Q}(X,Y)=\operatorname{Ext}_{\mathbf B}(X,Y)$ для всех банаховых пространств $Y$. В то время как $\ell_1$ не является $K$-пространством, другие важные семейства банаховых пространств являются $K$-пространствами; среди них $B$-выпуклые пространства (см. [39; теорема 5.18]), а также $\mathscr L_\infty$-пространства и их факторы (см. [48; теорема 6.5]). Отсюда получаем следствие, в котором $C[0,1]/\ell_1$ означает фактор $C[0,1]$ по любому подпространству, изоморфному $\ell_1$. Предложение 6.1. $\operatorname{Ext}_{\mathbf Q}^2(C[0,1]/\ell_1, \mathbb{K})\neq 0$, однако $\operatorname{Ext}_{\mathbf B}^2(C[0,1]/\ell_1, \mathbb{K})=0$. Доказательство. Утверждение после “однако” очевидно, так как $\mathbb{K}$ инъективно как банахово пространство. Для доказательства первой части предложения применим контравариантную последовательность (7.4) к с $B=\mathbb{K}$ и посмотрим на Пространство $\operatorname{Ext}_{\mathbf Q}(C[0,1], \mathbb{K})$ равно нулю по уже упомянутой теореме Калтона–Робертса; таким образом, если мы срастим нетривиальную последовательность в $\operatorname{Ext}_{\mathbf Q}(\ell_1, \mathbb{K}) $, например, последовательность Рибе с $(\mathscr C)$, то мы получим нетривиальную 2-точную последовательность Предложение доказано.
§ 7. Приложение. Гомологические последовательности7.1. Универсальные и коуниверсальные квадратыДля заданных операторов $\alpha\colon Y\to A$ и $\beta\colon Y\to B$, действующих между банаховыми пространствами, связанный с ними универсальный квадрат имеет вид Вершина универсального квадрата $\operatorname{PO}=\operatorname{PO}(\alpha,\beta)$ – это факторпространство прямой суммы $A\oplus_1 B$ по замыканию подпространства $\Delta=\{(\alpha y,-\beta y)\colon y\in Y\}$. Отображение $\overline \alpha$ есть композиция вложения $B$ в $A\oplus_1 B$ и естественного факторотображения $A\oplus_1 B\to (A\oplus_1 B)/\overline\Delta$, так что $\overline \alpha(b)=(0,b)+\overline\Delta$, и аналогично $\overline \beta(a)=(a,0)+\overline\Delta$. Все это превращает (7.1) в коммутативную диаграмму: $\overline \beta\alpha=\overline \alpha\beta$. Универсальный квадрат (7.1) имеет следующее универсальное свойство: если $\beta'\colon A\to C$ и $\alpha'\colon B\to C$ – такие операторы, что $\beta'\alpha=\alpha'\beta$, то существует единственный оператор $\gamma\colon \operatorname{PO}\to C$, удовлетворяющий условию $\beta'=\gamma \overline \beta$, $\alpha'=\gamma \overline \alpha$.Конструкция коуниверсальных квадратов двойственна конструкции универсальных квадратов в категорном смысле, т.е. “стрелки обращаются”. Для данных операторов $\alpha\colon A\to X$ и $\beta\colon B\to X$, связанный с ними коуниверсальный квадрат имеет вид Вершина коуниверсального квадрата – пространство $\operatorname{PB}=\operatorname{PB}(\alpha,\beta)=\{(b,a)\in B\oplus_\infty A\colon \beta (b)=\alpha(a) \}$. Подчеркнутые стрелки являются сужениями проекций на соответствующий сомножитель. Коуниверсальный квадрат имеет следующее универсальное свойство: если $\alpha'\colon C\to B$, $ \beta'\colon C\to A$ – такие операторы, что $\beta\alpha'=\alpha\beta'$, то существует единственный оператор $\gamma\colon C\to \operatorname{PB}$, удовлетворяющий условиям $ {\underline \alpha} \gamma=\alpha'$ и $ {\underline \beta} \gamma=\beta'$. Для заданной точной последовательности и оператора $\beta\colon Y\to B$, универсальная последовательность $\beta\mathscr F$ дается нижней последовательностью в диаграмме Здесь слева стоит универсальный квадрат для операторов $f_0$ и $\beta$, тогда как $\overline{f_1}$ получается из $f_1$ и нулевого отображения $0\colon B\to F_2$ и универсального свойства $\operatorname{PO}$.Дуально, если $\alpha\colon A\to X$ – оператор, то коуниверсальная последовательность для $\mathscr F$ и $\alpha$ дается нижней последовательностью в коммутативной диаграмме Здесь справа – коуниверсальный квадрат для операторов $f_n$ и $\alpha$, а $\underline{f_{n-1}}$ получается из ${f_{n-1}}$ и $0\colon F_{n-1}\to A$ с помощью универсального свойства $\operatorname{PB}$.Ясно, что если $\mathscr E\sim \mathscr F$, то $\beta \mathscr E\sim \beta \mathscr F$ и $\mathscr E\alpha \sim \mathscr F\alpha$. 7.2. Длинные последовательностиДлинные гомологические последовательности (известные также как Hom–Ext последовательности) связывают пространства операторов и последовательные пространства $\operatorname{Ext}^n$. Для этой статьи достаточно следующего описания. Начнем с ковариантного случая. Пусть – короткая точная последовательность, и пусть $A$ – другое банахово пространство. Тогда следующая последовательность точна: (Приносим извинения за обилие меток.) Поясним значение стрелок. Первое появление морфизмов $\imath_*$ и $\pi_*$ – это простая композиция слева: если $a\in\mathfrak L(A,Y)$, то $\imath_*(a)=\imath a$, и то же относится к $\pi_*$. Первый морфизм $\mathscr Z_*$ переводит оператор $a\colon A\to X$ в вершину коуниверсального квадрата $\mathscr Za$. Остальные $\imath_*$ и $\pi_*$ действуют с помощью универсальных квадратов: если $\mathscr E\in\operatorname{Ext}^n(A,Y)$, то $\imath_*(\mathscr E)=\imath \mathscr E$ – нижняя последовательность в диаграмме универсальных квадратов То же относится к $\pi_*$. Остальные $\mathscr Z_*$ действуют сращиванием в $X$: если $\mathscr F\in\operatorname{Ext}^n(A,X)$, то $\mathscr Z_*(\mathscr F)= \mathscr Z \mathscr F$, как в диаграмме Это завершает описание последовательности (7.3). Доказательство линейности и точности см., например, в [2; теорема 6.42] или в [1; VII. теорема 5.1], если хочется изучить оригинальное доказательство Шануеля.Перейдем к еще более краткому описанию контравариантной последовательности. Снова рассмотрим $(\mathscr Z)$ и новое “пространство значений” $B$. Тогда следующая последовательность точна: Значение стрелок здесь должно быть очевидным: при первом появлении $\pi^*$ и $\imath^*$ действуют как композиция справа; все остальные морфизмы – с помощью коуниверсальных квадратов. Что касается стрелок, помеченных $\mathscr Z^*$, то первая из них действует с помощью универсальных квадратов, а остальные – сращиванием. Точность этой последовательности доказана в [2; теорема 6.43].БлагодарностьАвторы отмечают огромные усилия рецензента в составлении подробного отчета по тексту, содержавшему недопустимо большое количество ошибок, опечаток и неточностей. Его замечания помогли нам во время подготовки настоящей, читаемой версии статьи.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{CabCasGar21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|