| Математический сборник |
|
|
|
|
|
О дискрепансе с фиксированным объемом множеств типа Коробова А. С. Рубцоваab, К. С. Рютинab, В. Н. Темляковcdab a Лаборатория "Многомерная аппроксимация и приложения", Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Москва b Московский центр фундаментальной и прикладной математики c University of South Carolina, Columbia, SC, USA d Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9420 
Реферативные базы данных:
      § 1. ВведениеЭта статья является развитием недавней работы [1]. Она посвящена изучению величины типа дискрепанса – дискрепанса с фиксированным объемом – множества точек в единичном кубе $\Omega_d:=[0,1)^d$. Мы отсылаем читателя к следующим книгам и обзорным работам по теории дискрепанса и численному интегрированию: [2]–[9]. Новое важное наблюдение недавно было сделано в [10]. Утверждается, что новая версия дискрепанса – дискрепанс с фиксированным объемом гладкости $r$ – позволяет получить наилучший порядок скорости убывания дисперсии из результатов численного интегрирования (некоторые недавние результаты по дисперсии можно найти в [11]–[19]). Это наблюдение побуждает нас тщательно изучать эту новую модификацию дискрепанса, которая кажется интересной сама по себе. Дискрепанс с фиксированным объемом гладкости $r$ зависит от двух параметров гладкой функции-шапочки $h^r_B$ – ее гладкости $r$ и объема ее носителя $v:=\operatorname{vol}(B)$ (определение $h^r_B$ дается ниже). Приступим к формальному описанию постановки задачи и формулировке результатов. Обозначим через $\chi_{[a,b)}(x)$ характеристическую функцию одной переменной промежутка $[a,b) \subset \mathbb R$ и для $r=1,2,3,\dots$ последовательно определим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h^1_u(x) &:=\chi_{[-u/2,u/2)}(x), \\ h^r_u(x) &:=h^{r-1}_u(x)\ast h^1_u(x), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где Заметим, что $h^2_u$ – это функция-шапочка, т.е. $h_{u}^2(x)=\max\{u-|x|,\,0\}$. Пусть $\Delta_tf(x):=f(x)-f(x+t)$ – это первая разность. Будем говорить, что функция одной переменной $f$ имеет гладкость $1$ в $L_1$, если $\|\Delta_t f\|_1\leqslant C|t|$ для некоторой абсолютной постоянной $C<\infty$. В случае, когда $\|\Delta^r_t f\|_1 \leqslant C|t|^r$, где $\Delta^r_t:=(\Delta_t)^r$ – оператор $r$-й разности, $r\in \mathbb{N}$, говорим, что $f$ имеет гладкость $r$ в $L_1$. Тем самым $h^r_u(x)$ имеет гладкость $r$ в $L_1$ и носитель $(-ru/2,ru/2)$. Для параллелепипеда $B$ вида
$$
\begin{equation}
B:=B(\mathbf u,\mathbf z):=\prod_{j=1}^d \biggl[z_j-\frac{ru_j}2,\,z_j+\frac{ru_j}2\biggr)
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
определим
$$
\begin{equation}
h^r_{\mathbf u}(\mathbf x):=\prod_{j=1}^d h^r_{u_j}(x_j), \qquad h^r_B(\mathbf x):=h^r_{\mathbf u}(\mathbf x-\mathbf z).
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Для начала определим непериодический дискрепанс с фиксированным объемом гладкости $r$, введенный и рассмотренный в [10]. Определение 1.1. Пусть $r\in\mathbb{N}$, $v\in (0,1]$ и $\xi:= \{\xi^\mu\}_{\mu=1}^m\subset [0,1)^d$ – множество точек. Дискрепанс с фиксированным объемом гладкости $r$ с равными весами определим как Хорошо известно, что кубатурные формулы Фибоначчи оптимальны по порядку для численного интегрирования функций двух переменных различных классов гладкости (см., например, [7], [20], [5]). Ниже приведен результат из [10], показывающий, что множество Фибоначчи имеет хороший дискрепанс с фиксированным объемом. Пусть $\{b_n\}_{n=0}^{\infty}$, $b_0=b_1=1$, $b_n=b_{n-1}+b_{n-2}$, $n\geqslant 2$, – числа Фибоначчи. Определим $n$-е множество Фибоначчи как
$$
\begin{equation*}
\mathcal F_n:=\biggl\{\biggl(\frac{\mu}{b_n},\biggl\{\frac{\mu b_{n-1}}{b_n}\biggr\}\biggr)\colon \mu=1,\dots,b_n\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В определении $\{a\}$ обозначает дробную часть числа $a$. Мощность множества $\mathcal F_n$ равна $b_n$. В [10] мы показали, что имеет место следующая оценка сверху. Теорема 1.1. Пусть $r\geqslant2$. Существуют числа $c,C>0$ такие, что для любого $v\geqslant c/b_n$ верна оценка Главным объектом изучения в работе [1] был периодический $L_p$-дискрепанс гладкости $r$ множества Фибоначчи. Чтобы ввести это понятие, определим периодизацию $\widetilde f$ (с периодом $1$ по каждой переменной) функции $f\in L_1(\mathbb R^d)$ с компактным носителем:
$$
\begin{equation*}
\widetilde f(\mathbf x):=\sum_{\mathbf m\in \mathbb Z^d} f(\mathbf m+\mathbf x),
\end{equation*}
\notag
$$
и для всех $B\subset [0,1)^d$ обозначим через $\widetilde h^r_{\mathbf u}$ периодизацию $h^r_{\mathbf u}$ из (1.2). Теперь мы можем определить периодический $L_p$-дискрепанс гладкости $r$. Определение 1.2. Для $r\in\mathbb{N}$, $1\leqslant p\leqslant \infty$ и $v\in(0,1]$ определим периодический $L_p$-дискрепанс гладкости $r$ множества точек $\xi$ как Случай $p=\infty$ был введен и изучался в [21]. Следующая верхняя оценка для $1\leqslant p<\infty$ была доказана в [1]. Теорема 1.2. Пусть $r\in\mathbb{N}$ и $1\leqslant p<\infty$. Существуют числа $c,C>0$ такие, что для всех $v\geqslant c/b_n$ выполнено При $p=\infty$ была доказана более слабая верхняя оценка [1]. Теорема 1.3. Пусть $r\geqslant 2$. Существуют числа $c,C>0$ такие, что для всех $v\geqslant c/b_n$ верна оценка Несколько комментариев, показывающих, что теоремы 1.2 и 1.3 в некотором смысле не могут быть улучшены, даны в [1]. Основной задачей настоящей работы является изучение кубатурных формул Коробова вместо кубатурных формул Фибоначчи с точки зрения дискрепанса с фиксированным объемом. Мы доказываем условный результат, предполагая, что кубатурные формулы Коробова точны на некотором подпространстве тригонометрических многочленов с гармониками из гиперболического креста. Есть результаты, гарантирующие существование таких кубатурных формул (см. обсуждение в § 3). Пусть $m\in\mathbb{N}$, $\mathbf a:=(a_1,\dots,a_d)$, $a_1,\dots,a_d\in\mathbb Z$. Рассмотрим следующие кубатурные формулы:
$$
\begin{equation*}
P_m (f,\mathbf a):=m^{-1}\sum_{\mu=1}^{m}f\biggl (\biggl \{\frac{\mu a_1} {m}\biggr\},\dots,\biggl \{\frac{\mu a_d}{m}\biggr\}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
которые называются кубатурными формулами Коробова. В случае $d\,{=}\,2$, $m\,{=}\,b_n$, $\mathbf a= (1,b_{n-1})$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
P_m (f,\mathbf a)=\Phi_n (f):=\frac{1}{b_n}\sum_{\mathbf y\in \mathcal F_n} f(\mathbf y).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\mathbf y^{\mu}:=\biggl (\biggl \{\frac{\mu a_1} {m}\biggr\},\dots,\biggl \{\frac{\mu a_d}{m}\biggr\}\biggr), \quad \mu=1,\dots,m, \qquad \mathcal K_m(\mathbf a):=\{\mathbf y^\mu\}_{\mu=1}^m.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $\mathcal K_m(\mathbf a)$ называется множеством Коробова. Далее, обозначим
$$
\begin{equation*}
S(\mathbf k, \mathbf a):=P_m(e^{i2\pi(\mathbf k,\mathbf x)},\mathbf a) =m^{-1}\sum_{\mu=1}^{m}e^{i2\pi(\mathbf k,\mathbf y^{\mu})}, \qquad \mathbf k\in \mathbb Z^d.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation}
P_m (f,\mathbf a)=\sum_{\mathbf k}\widehat f(\mathbf k) S(\mathbf k,\mathbf a), \qquad \widehat f(\mathbf k):=\int_{[0,1)^d} f(\mathbf x) e^{-i2\pi(\mathbf k,\mathbf x)}\,d\mathbf x,
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
где для простоты мы можем предполагать, что $f$ – тригонометрический многочлен. Ясно, что равенства (1.6) верны для $f$ с абсолютно сходящимся рядом Фурье. Легко видеть, что выполнено следующее соотношение:
$$
\begin{equation}
S(\mathbf k,\mathbf a)= \begin{cases} 1,&\mathbf k\in \mathcal L(m,\mathbf a), \\ 0,&\mathbf k\notin \mathcal L(m,\mathbf a), \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathcal L(m,\mathbf a):=\bigl\{ \mathbf k\colon (\mathbf a,\mathbf k) \equiv 0 \ (\operatorname{mod}{m})\bigr\} .
\end{equation*}
\notag
$$
В дальнейшем для $\mathcal M\subset \mathbb Z^d$ будем обозначать $\mathcal M':=\mathcal M\setminus\{\mathbf 0\}$. Для $N\in\mathbb{N}$ определим гиперболический крест как
$$
\begin{equation*}
\Gamma(N)=\Gamma(N,d):=\biggl\{\mathbf k=(k_1,\dots,k_d)\in\mathbb Z^d\colon \prod_{j=1}^d \max(|k_j|,1) \leqslant N\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\mathcal T(N,d):=\biggl\{f \colon f(\mathbf x)=\sum_{\mathbf k\in \Gamma(N,d)} c_\mathbf k e^{i2\pi (\mathbf k,\mathbf x)}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что условие
$$
\begin{equation}
P_m(f,\mathbf a)=\widehat f(\mathbf 0), \qquad f\in \mathcal T(N,d),
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
равносильно условию
$$
\begin{equation}
\Gamma(N,d)\cap \mathcal L(m,\mathbf a)'=\varnothing.
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Определение 1.3. Будем говорить, что кубатурная формула Коробова $P_m(\cdot,\mathbf a)$ точна на $\mathcal T(N,d)$, если выполнено условие (1.8) (или, что равносильно, условие (1.9)). Теорема 1.4. Предположим, что $P_m(\cdot,\mathbf a)$ точна на $\mathcal T(L,d)$ для некоторого $L\,{\in}\,\mathbb{N}$, $L\,{\geqslant}\,2$. Пусть $r\,{\in}\,\mathbb{N}$ и $1\leqslant p<\infty$. Существуют числа $c(r,d),C(r,d,p)\,{>}\,0$ такие, что для всех $v\geqslant c(r,d)/L$ верна оценка В случае $p=\infty$ мы доказываем более слабую оценку сверху. Теорема 1.5. Пусть $r\geqslant 2$. Предположим, что $P_m(\cdot,\mathbf a)$ точна на $\mathcal T(L,d)$ для некоторого $L\in\mathbb{N}$, $L\geqslant 2$. Существуют числа $c(r,d),C(r,d)>0$ такие, что для всех $v\geqslant c(r,d)/L$ верна оценка § 2. Доказательства теорем 1.4 и 1.5Доказательства обеих теорем близки. Мы дадим детальное доказательство теоремы 1.4 и отметим те изменения в нем, которые необходимо сделать для доказательства теоремы 1.5. Для непрерывной функции $d$ переменных, $1$-периодической по каждой переменной, рассмотрим кубатурную формулу Коробова $P_m(\cdot,\mathbf a)$. Для пробных функций $h^r_u$ одной переменной по свойству свертки выполнено
$$
\begin{equation*}
\widehat h^r_u(y)=\widehat h^{r-1}_u(y) \widehat h^1_u(y), \qquad y\in\mathbb R,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что при $y\neq 0$
$$
\begin{equation*}
\widehat h^r_u(y)=\biggl(\frac{\sin(\pi yu)}{\pi y}\biggr)^r.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\biggl|\widehat{{\widetilde h}^r_u}(k)\biggr| \leqslant \min\biggl(|u|^r,\frac{1}{|k|^r}\biggr) =\biggl(\frac{|u|}{k'}\biggr)^{r/2}\min\biggl(|k' u|^{r/2},\frac{1}{|ku|^{r/2}}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $k':=\max\{1,|k|\}$. (Здесь через $\widehat h$ мы обозначаем преобразование Фурье $h$ на $\mathbb R$. Это не должно привести к путанице.) Нам удобно будет использовать следующее сокращение для произведения: Имеем
$$
\begin{equation}
\widehat{{\widetilde h}^r_{B}}(\mathbf k)=e^{-i2\pi(\mathbf k,\mathbf z)} \widehat{{\widetilde h}^r_{\mathbf u}}(\mathbf k).
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Следовательно, имеет место оценка сверху
$$
\begin{equation*}
|\widehat{{\widetilde h}^r_{B}}(\mathbf k)| \leqslant \prod_{j=1}^d \biggl(\frac{|u_j|}{k_j'}\biggr)^{r/2} \min\biggl(|k_j' u_j|^{r/2},\frac{1}{|k_j u_j|^{r/2}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\mathbf s\in \mathbb{N}_0^d$ определим
$$
\begin{equation*}
\rho(\mathbf s):=\bigl\{\mathbf k \in \mathbb Z^d\colon [2^{s_j-1}] \leqslant |k_j| < 2^{s_j},\, j=1,\dots,d \bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $[a]$ означает целую часть числа $a$, и получим, что для $\mathbf k\in\rho(\mathbf s)$
$$
\begin{equation}
|\widehat{{\widetilde h}^r_{B}}(\mathbf k)| \leqslant H_{\mathbf u}^r(\mathbf s) :=\biggl(\frac{2^d\mathrm{pr}(\mathbf u)}{2^{\|\mathbf s\|_1}}\biggr)^{r/2}\prod_{j=1}^d \min\biggl((2^{s_j}u_j)^{r/2},\frac{1}{(2^{s_j}u_j)^{r/2}}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Далее нам потребуются определенные суммы этих величин. Сначала рассмотрим
$$
\begin{equation*}
\sigma^r_{\mathbf u}(t):=\sum_{\|\mathbf s\|_1=t}\prod_{j=1}^d \min\biggl((2^{s_j}u_j)^{r/2},\frac{1}{(2^{s_j}u_j)^{r/2}}\biggr), \qquad t\in\mathbb{N}_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующая техническая лемма является частью (I) из [10; лемма 6.1]. Лемма 2.1. Пусть $r,t\in \mathbb{N}$ и $\mathbf u\in \mathbb R_+^d$ такие, что $\mathrm{pr}(\mathbf u)\geqslant 2^{-t}$. Тогда верна оценка Из этой леммы и (2.2) следует, что
$$
\begin{equation}
\sum_{\|\mathbf s\|_1=t} H_{\mathbf u}^r(\mathbf s)^2 \leqslant \biggl(\frac{2^d\mathrm{pr}(\mathbf u)}{2^t}\biggr)^{r}\sigma_{\mathbf u}^{2r}(t) \leqslant C_1(r,d) 2^{-2rt} \bigl(\log(2^{t} v)\bigr)^{d-1},
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $v:=\operatorname{vol}(B)=r^d \mathrm{pr}(\mathbf u)$, для всех $r\geqslant1$ и всех $t\in\mathbb{N}_0$ при $v\geqslant r^d2^{-t+1}$ и постоянной $C_1(r,d)<\infty$. Нам также понадобится результат из гармонического анализа – следствие теоремы Литтлвуда–Пэли. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\delta_\mathbf s(f,\mathbf x):=\sum_{\mathbf k\in\rho(\mathbf s)} \widehat f(\mathbf k)e^{i2\pi(\mathbf k,\mathbf x)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Известно, что при $p\in [2,\infty)$ верна оценка сверху
$$
\begin{equation}
\|f\|_p \leqslant C(d,p) \biggl(\sum_{\mathbf s\in\mathbb{N}_0^d}\|\delta_\mathbf s(f)\|_p^2\biggr)^{1/2}.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Отметим, что в доказательстве теоремы 1.5 мы используем неравенство треугольника
$$
\begin{equation}
\|f\|_\infty \leqslant \sum_{\mathbf s}\|\delta_\mathbf s(f)\|_\infty
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
вместо (2.4). Обозначим
$$
\begin{equation}
E^r_{\mathbf u}(\mathbf z):=\frac{1}{m}\sum_{\mu=1}^{m} \widetilde h^r_{\mathbf u}(\mathbf y^\mu-\mathbf z)- \int_{[0,1)^d} \widetilde h^r_{\mathbf u}(\mathbf x)\,d\mathbf x.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\widetilde D^{r}_p(\mathcal K_m(\mathbf a),v) =\sup_{\mathbf u\colon \operatorname{vol}(B(\mathbf u,\mathbf 0))=v}\|E^r_{\mathbf u}\|_p.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя равенства (1.6), (1.7) и (2.1), получим
$$
\begin{equation*}
E^r_{\mathbf u}(\mathbf z)=\sum_{\mathbf k\neq 0} \widehat{{\widetilde h}^r_{\mathbf u}}(\mathbf k)S(\mathbf k,\mathbf a) e^{-i2\pi(\mathbf k,\mathbf z)} =\sum_{\mathbf k\in \mathcal L(m,\mathbf a)' } \widehat{{\widetilde h}^r_{\mathbf u}}(\mathbf k) e^{-i2\pi(\mathbf k,\mathbf z)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (2.4) видно, что нам осталось оценить сверху $\|\delta_s(E_{\mathbf u}^r)\|_p$. Если $t\neq 0$ такое, что $2^t\leqslant L$, то для $\mathbf s$ с $\|\mathbf s\|_1=t$ выполнено $\rho(\mathbf s)\subset \Gamma(L)$. Тогда из предположения (1.9) следует, что $S(\mathbf k,\mathbf a)=0$ для $\mathbf k\in\rho(\mathbf s)$ и, следовательно, $\delta_s(E^r_{\mathbf u})=0$. Пусть $t_0\in \mathbb{N}$ – наименьшее такое число, что $2^{t_0}>L$, т.е. $t_0>\log L$. Тогда из (2.4) для $p\in[2,\infty)$ получаем
$$
\begin{equation}
\|E^r_{\mathbf u}\|_p \leqslant C(d,p) \biggl(\sum_{t=t_0}^\infty \sum_{\|\mathbf s\|_1=t}\|\delta_s(E^r_{\mathbf u})\|_p^2\biggr)^{1/2}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Более того, из (1.9) следует, что при $t\geqslant t_0$ выполнено
$$
\begin{equation}
\#\bigl(\rho(\mathbf s)\cap \mathcal L(m,\mathbf a)\bigr) \leqslant C_2(d) 2^{t-t_0}, \qquad \|\mathbf s\|_1=t.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Оценка (2.8) следует из такого простого факта. Предложение 2.1. Предположим, что параллелепипед $P$ такой, что $P^-{\kern1pt}{:=} \{\mathbf k\,{-}\,\mathbf n\colon \mathbf k,\mathbf n\,{\in}\, P\}$ не содержит точек из $\mathcal L(m,\mathbf a)'$. Тогда для любого сдвинутого параллелепипеда $\widetilde{P}\,{:=}\,\{\mathbf k'\colon \mathbf k'\,{=}\,\mathbf k\,{+}\,\mathbf n,\,\mathbf k\,{\in}\, P\}$ выполнено $|\mathcal L(m,\mathbf a)'\cap \widetilde{P}|\,{\leqslant}\, 1$. Доказательство. Действительно, пусть есть две различные точки $\mathbf k'_i=\mathbf k_i+\mathbf n$, $i=1,2$, из $\mathcal L(m,\mathbf a)'\cap \widetilde{P}$, тогда $\mathbf k_1-\mathbf k_2$ лежит в $\mathcal L(m,\mathbf a)'\cap P^-$. Это противоречит предположению относительно $P^-$. Предложение доказано. Оценка (2.8) получается, поскольку множество $\rho(\mathbf s)$ является объединением $O(d)$ диадических параллелепипедов таких, как $\{\mathbf k \in \mathbb Z^d\colon [2^{s_j-1}] \leqslant k_j < 2^{s_j}, j=1,\dots,d\}$, а любой из них представляется в виде объединения $2^{t-t_0}$ сдвигов аналогичных параллелепипедов, содержащихся в $\Gamma(L)$. В силу равенства Парсеваля
$$
\begin{equation*}
\|\delta_s(E^r_{\mathbf u})\|_2=\sqrt{\sum_{\mathbf k\in\rho(\mathbf s)\cap \mathcal L(m,\mathbf a)}|\widehat{{\widetilde h}^r_{\mathbf u}}(\mathbf k)|^2} \leqslant \sqrt{\#\bigl(\rho(\mathbf s)\cap \mathcal L(m,\mathbf a)\bigr)}\cdot H_{\mathbf u}^r(\mathbf s),
\end{equation*}
\notag
$$
и по неравенству треугольника
$$
\begin{equation*}
\|\delta_s(E_{\mathbf u}^r)\|_\infty \leqslant \#\bigl(\rho(\mathbf s)\cap \mathcal L(m,\mathbf a)\bigr) H_{\mathbf u}^r(\mathbf s).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, используя неравенство при $2\leqslant p\leqslant \infty$, получим, что
$$
\begin{equation*}
\|\delta_s(E^r_{\mathbf u})\|_p \leqslant \bigl(\#(\rho(\mathbf s)\cap \mathcal L(m,\mathbf a))\bigr)^{1-1/p} H_{\mathbf u}^r(\mathbf s).
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя это неравенство с (2.3), (2.7) и (2.8), в конечном итоге получаем для всех $v=\operatorname{vol}(B)\geqslant 2r^d 2^{-t_0}$ и $p\in[2,\infty)$, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|E^r_{\mathbf u}\|_p &\leqslant C \biggl(\sum_{t=t_0}^\infty 2^{2(t-t_0)(1-1/p)} \sum_{\|\mathbf s\|_1=t}H_{\mathbf u}^r(\mathbf s)^2\biggr)^{1/2} \\ &\leqslant C' \biggl(\sum_{t=t_0}^\infty 2^{2(t-t_0)(1-1/p)} 2^{-2rt} \bigl(\log(2^{t} v)\bigr)^{d-1}\biggr)^{1/2} \\ &=C' 2^{-r t_0} \biggl(\sum_{t=0}^\infty 2^{2t(1-1/p-r)} \bigl(\log(2^{t+t_0} v)\bigr)^{d-1}\biggr)^{1/2} \\ &\leqslant C'' 2^{-r t_0} \bigl(\log(2^{t_0} v)\bigr)^{(d-1)/2} \biggl(\sum_{t=0}^\infty t 2^{2t(1-1/p-r)}\biggr)^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя соотношение $t_0\geqslant\log L$ и неравенство $\|E^r_{\mathbf u}\|_p\leqslant\|E^r_{\mathbf u}\|_2$ при $p<2$, завершаем доказательство теоремы 1.4. (Здесь мы воспользовались тем, что $r> 1-1/p$ при $p<\infty$.) Как было сказано ранее, в доказательстве теоремы 1.5 мы используем неравенство (2.5) вместо (2.4). Более того, мы используем оценку
$$
\begin{equation*}
\sum_{\|\mathbf s\|_1=t} H_{\mathbf u}^r(\mathbf s) \leqslant C_1(r,d) 2^{-rt}\bigl(\log(2^{t} v)\bigr)^{d-1},
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $r\geqslant1$ вместо (2.3). Однако заметим, что для сходимости последнего ряда необходимо, чтобы $r>1$. Из этого следует, что
$$
\begin{equation*}
\|E_{\mathbf u}^r\|_\infty \leqslant C(r,d) L^{-r}\bigl(\log(Lv)\bigr)^{d-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
§ 3. Дисперсия множеств типа КоробоваНапомним определение дисперсии. Пусть $d\geqslant 2$ и $[0,1)^d$ – единичный куб размерности $d$. Для $\mathbf x,\mathbf y \in [0,1)^d$ с координатами $\mathbf x=(x_1,\dots,x_d)$ и $\mathbf y=(y_1,\dots,y_d)$ будем писать $\mathbf x < \mathbf y$, если это неравенство выполнено покоординатно. При $\mathbf x<\mathbf y$ будем обозначать через $[\mathbf x,\mathbf y)$ параллелепипед со сторонами, параллельными осям координат $[x_1,y_1)\times\cdots\times[x_d,y_d)$, и определим
$$
\begin{equation*}
\mathcal B:=\bigl\{[\mathbf x,\mathbf y)\colon \mathbf x,\mathbf y\in [0,1)^d,\,\mathbf x<\mathbf y\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $T$ – это множество точек в $[0,1)^d$ мощности $|T|=n$, где $n\geqslant 1$. Объем наибольшего параллелепипеда из $[0,1)^d$ со сторонами, параллельными осям координат, не содержащего точек $T$, называется дисперсией $T$:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{disp}(T):=\sup_{B\in\mathcal B\colon B\cap T=\varnothing} \operatorname{vol}(B).
\end{equation*}
\notag
$$
Интересной экстремальной задачей является нахождение или получение оценки минимальной дисперсии множеств точек фиксированной мощности:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{disp*}(n,d):=\inf_{T\subset [0,1)^d,\, |T|=n} \operatorname{disp}(T).
\end{equation*}
\notag
$$
Известно, что Неравенство (3.1) с $C^*(d)=2^{d-1}\prod_{i=1}^{d-1}p_i$, где $p_i$ – это $i$-е простое число, было доказано в [13] (см. также [14]). Авторы [13] использовали множество Халтона–Хаммерсли из $n$ точек (см [3]). Неравенство (3.1) с $C^*(d)=2^{7d+1}$ было доказано в [11]. Авторы [11], следуя Г. Ларчеру, использовали $(t,r,d)$-сети (см. результаты о $(t,r,d)$-сетях в [22], [3] и определение 3.1 ниже). Определение 3.1. $(t,r,d)$-сеть (с основанием $2$) – это множество $T$ из $2^r$ точек в $[0,1)^d$ такое, что каждый диадический параллелепипед $[(a_1-1)2^{-s_1}, a_12^{-s_1})\times\cdots\times[(a_d-1)2^{-s_d},a_d2^{-s_d})$, $1\leqslant a_j\leqslant 2^{s_j}$, $j=1,\dots,d$, объема $2^{t-r}$ содержит в точности $2^t$ точек из $T$. В [10] было показано, как хорошие оценки сверху для дискрепанса с фиксированным объемом могут быть использованы для доказательства хороших оценок сверху для дисперсии. Этот факт стал одной из мотивировок для изучения дискрепанса с фиксированным объемом. Теорема 3.1 ниже была выведена из теоремы 1.1 (см. [10]). Оценка сверху в теореме 3.1 вместе с тривиальной оценкой снизу показывает, что множество Фибоначчи имеет наилучшую по порядку скорость убывания дисперсии. Читатель может найти другие недавние результаты о дисперсии в [15]–[17] и [12]. Перейдем к новым результатам о дисперсии множеств типа Коробова. Нам понадобится следующее простое утверждение. Предложение 3.1. Пусть $\operatorname{disp}(\xi) \geqslant v$. Тогда $D^r(\xi,v)\geqslant (vr^{-d})^r$. Предложение 3.1 является усилением следующего тривиального неравенства:
$$
\begin{equation}
D^1(\xi):=\sup_{v\leqslant 1}D^1(\xi,v) \geqslant \operatorname{disp}(\xi).
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Доказательство предложения 3.1. Пусть параллелепипед $B\in \mathcal B$ не пересекает множество $\xi$, т.е. $B\cap \xi=\varnothing$. Положим $v=\operatorname{vol}(B)$. Заметим, что для $B\in \mathcal B$ выполнено $\widetilde h^r_B(\mathbf x)=h^r_B(\mathbf x)$. Тогда из определения 1.1 величины $D^r(\xi,v)$ следует
$$
\begin{equation}
\biggl|\int_{\Omega_d} h^r_B(\mathbf x)\,d\mathbf x- \frac1m\sum_{\mu=1}^m h^r_B(\mathbf y^\mu)\biggr|\leqslant D^r(\xi,v).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Предположение о том, что $B$ не содержит точек множества, влечет и, таким образом, из (3.4) мы получаем Поскольку из определения функций $h^r_B(\mathbf x)$ следует, что мы завершаем доказательство предложения. Теорема 3.2. Предположим, что кубатурная формула $P_m(\cdot,\mathbf a)$ точна на $\mathcal T(L,d)$ при некотором $L\in\mathbb{N}$, $L\geqslant 2$. Существует положительное число $C_1(d)>0$ такое, что верна оценка Доказательство. Доказательство основано на теореме 1.5. Зафиксируем некоторое $r\in \mathbb{N}$, $r\geqslant 2$, скажем, $r=2$. Если $v\leqslant c(2,d)L^{-1}$, где $c(2,d)$ – это число из теоремы 1.5, то теорема 3.2 с $C_1(d)\geqslant c(2,d)$ доказана. Пусть $v\geqslant c(2,d)L^{-1}$. Тогда по теореме 1.5 имеем
$$
\begin{equation*}
\widetilde D^{2}_\infty(\mathcal K_m(\mathbf a),v) \leqslant C(2,d)L^{-2}\bigl(\log (Lv)\bigr)^{d-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применив предложение 3.1 при $r=2$ и неравенство $D^r(\xi,v)\leqslant\widetilde{D}^r_\infty(\xi,v)$, получим оценку $(v2^{-d})^2\leqslant C(2,d)L^{-2}(\log (Lv))^{d-1}$. Тем самым $Lv\leqslant C'(2,d)$. Положив $C_1(d):=\max(c(2,d),C'(2,d))$, мы завершим доказательство теоремы 3.2. Дадим несколько комментариев. Множества ФибоначчиКак мы упомянули выше, при $d=2$, $m=b_n$, $\mathbf a=(1,b_{n-1})$ выполнено равенство $P_m(f,\mathbf a)=\Phi_n(f)$. Для этого случая обозначим $\mathcal L(n):=L(m,\mathbf a)$. Иными словами,
$$
\begin{equation*}
\mathcal L(n):=\bigl\{\mathbf k=(k_1,k_2)\in\mathbb Z^2\colon k_1 + b_{n-1} k_2\equiv 0 \ (\operatorname{mod} {b_n})\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующая лемма хорошо известна (см., например, [5; с. 274]). Лемма 3.1. Существует абсолютная постоянная $\gamma > 0$ такая, что для всех $n > 2$ для гиперболического креста размерности $2$ выполнено Объединение результатов теоремы 3.2 с леммой 3.1 влечет теорему 3.1. Специальные множества типа КоробоваЗафиксируем $L\in \mathbb{N}$. Нас интересует наименьшее такое $m$, что существует кубатурная формула Коробова, которая точна на $\mathcal T(L,d)$. При $d=2$ кубатурная формула Фибоначчи – это наилучший, в некотором смысле, выбор. При $d\geqslant 3$ неизвестны кубатурные формулы Коробова, которые были бы так же хороши, как кубатурная формула Фибоначчи при $d=2$. Сформулируем несколько известных результатов в этом направлении. Рассмотрим случай $\mathbf a=(1,a,a^2,\dots,a^{d-1})$, $a\in\mathbb{N}$. Для него в обозначении $\mathcal K_m(\mathbf a)$ и $P_m(\cdot,\mathbf a)$ будем использовать скаляр $a$ вместо вектора $\mathbf a$, а именно, $\mathcal K_m(a)$ и $P_m(\cdot,a)$. Следующая лемма FL.2 – это простой и известный результат (см., например, [5; с. 285]). Лемма FL.2. Пусть $m$ и $L$ – простое и натуральное число соответственно такие, что Существует натуральное число $a\in [1,m)$ такое, что для всех $\mathbf k\in\Gamma(L,d)$, $\mathbf k\ne\mathbf 0$ Комбинируя результаты теоремы 3.2 и леммы FL.2, получаем следующее предложение 3.2. Предложение 3.2. Существует положительное число $C_2(d)$, зависящее только от $d$, со следующим свойством. Для любого $L\in \mathbb{N}$, $L\geqslant 2$, найдутся простое число $m\leqslant C_2(d)|\Gamma(L,d)|$ и натуральное число $a\in[1,m)$ такие, что Поскольку $|\Gamma(L,d)|\asymp L (\log L)^{d-1}$, то из предложения 3.2 вытекает, что для любого простого $m$ найдется натуральное число $a\in[1,m)$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{disp}(\mathcal K_m(a,d)) \leqslant C(d)m^{-1}(\log m)^{d-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Комбинируя неравенство (3.3) вместе с очень интересным результатом из [23], утверждающим, что для любого $m$ найдется вектор $\mathbf a$ такой, что
$$
\begin{equation*}
D^1(\mathcal K_m(\mathbf a)) \leqslant C(d)m^{-1}(\log m)^{d-1} \log\log m,
\end{equation*}
\notag
$$
мы получаем для такого $\mathbf a$
$$
\begin{equation*}
\operatorname{disp}(\mathcal K_m(\mathbf a)) \leqslant C(d)m^{-1}(\log m)^{d-1} \log\log m.
\end{equation*}
\notag
$$
Приведем следствие предложения 3.2. Следствие 3.1. Пусть $C_1(d)$ – число из теоремы 3.2 и $p$ – простое число. Существует натуральное число $a \in [1, p)$ такое, что для любого набора отрезков натуральных чисел $I_1, \dots, I_d \subset [1, p]$, удовлетворяющих условию существует натуральное число $\mu \in [1, p]$ такое, что Доказательство. Положим где $C(d)$ достаточно мало, чтобы было выполнено (3.7). По лемме FL.2 существует натуральное число $a \in [1, p)$ такое, что $P_p(\cdot, a)$ точна на $\mathcal T(L,d)$.
Обозначим $ I_j:=[x_j, y_j]$, $j=1, \dots, d$. Тогда для $\widetilde{I}_j:=[{x_j}/{p}, {y_j}/{p}]$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\prod_{j=1}^d |\widetilde{I}_j| \geqslant \frac{C_1(d) (\log{p})^{d-1}}{p}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу теоремы 3.2 множество $\mathcal K_p(a)$ пересекает параллелепипед $\widetilde{I}_1 \times \dots \times \widetilde{I}_d$ по крайней мере по одной точке. Следовательно, существует натуральное число $\mu \in [1, p]$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \biggl\{\dfrac{\mu}{p}\biggr\} \in \widetilde{I}_1, \\ \biggl\{\dfrac{\mu a}{p}\biggr\} \in \widetilde{I}_2, \\ \vdots \\ \biggl\{\dfrac{\mu a^{d-1}}{p} \biggr\} \in \widetilde{I}_d, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует (3.9). БлагодарностьАвторы выражают благодарность рецензентам за полезные комментарии и предложения.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{RubRyuTem21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|