| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Стационарные точки функции Минковского Д. Р. Гайфулинa, И. Д. Канb a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва b Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 10, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9419 
Реферативные базы данных:
   § 1. Введение1.1. Функция Минковского $?(\mathbf x)$Функцию $?(\mathbf x)$ (строго возрастающую, взаимно однозначно отображающую отрезок $[0,1]$ на себя, при этом почти везде имеющую равную нулю производную) впервые рассмотрел Г. Минковский (см. [1]) в 1911 г. Позже Р. Салем (см. [2]) дал равносильное определение функции $?(\mathbf x)$, которую стали называть функцией Минковского. Именно, если1
$$
\begin{equation}
\mathbf x =[x_1,x_2,\dots,x_t,\dots] =\cfrac{1}{\displaystyle{x_1+\cfrac{1}{\displaystyle{x_2 + \dots+\cfrac{1}{\displaystyle{x_t + \displaystyle{\dotsb} }}}}}}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
– конечное или бесконечное разложение числа $\mathbf x\in [0,1]$ в обыкновенную цепную дробь с натуральными неполными частными $x_1,x_2,\dots,x_t,\dots$, то
$$
\begin{equation*}
?(\mathbf x) = \frac{1}{2^{x_1-1}} - \frac{1}{2^{x_1+x_2-1}}+ \dots+ \frac{(-1)^{n+1}}{2^{x_1+x_2+\dots+x_n-1}}+ \dotsb.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция Минковского обладает рядом любопытнейших свойств (см. [2]–[5]). В частности, производная $?'(\mathbf x)$ (если для данного $\mathbf x$ она существует) может принимать только два значения – $0$ или $+\infty$. Дальнейшее повествование – о выборе между этими двумя значениями. 1.2. История вопросаДля иррационального числа $\mathbf x$ из (1.1) рассмотрим сумму $S_\mathbf x(t) $ элементов цепной дроби с индексами от $1$ до $t$: В [5] было показано, что значение производной $?'(\mathbf x)$ функции Минковского зависит от предельного поведения дроби $ S_\mathbf x(t)/t$; в частности, равенство $?'(\mathbf x)=+\infty$ связано с выполнением для всех достаточно больших $t$ неравенства $S_\mathbf x(t) /t<\kappa_1$, где
$$
\begin{equation}
\kappa_1=2\frac{\log(1+\sqrt{5})}{\log 2}-2=1.3884\dotsc\,.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
В последующих работах нескольких авторов – [6]–[10] – был доказан ряд теорем, уточняющих результаты из [5] о производной функции Минковского. В частности, в [7] был поставлен вопрос о том, можно ли как-либо сравнить предельное поведение величин $S_\mathbf x(t)$ и $\kappa_1t$, когда, наоборот, вместо равенства $?'(\mathbf x)=+\infty $ выполнено равенство $?'(\mathbf x)=0$. Для формулировки соответствующей теоремы из [7] определим действительную величину
$$
\begin{equation*}
\kappa_4=\sqrt{\frac{\kappa_1-1}{\log{2}}} =\frac{\sqrt{2\log (1+\sqrt{5})-3\log 2}}{\log 2}=0.7486\dotsc\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема A (см. [7]). (i) Рассмотрим произвольное $\varepsilon>0$. Пусть для иррационального $\mathbf x$ из $(0,1)$ производная $?'(\mathbf x)$ существует и выполнено равенство $?'(\mathbf x)=0$. Тогда для всех достаточно больших (в зависимости от $\mathbf x$ и $\varepsilon$) чисел $t$ выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\max_{u\leqslant t}(S_\mathbf x(u)-\kappa_1 u)\geqslant\kappa_4\sqrt{t\log t}(1- \varepsilon).
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
(ii) Существует иррациональное $\mathbf x\in (0,1)$ такое, что $?'(\mathbf x)=0$ и для всех достаточно больших $t$ выполнено неравенство Замечание 1.1. Порядки оценок по параметру $t$ в неравенствах (1.3) и (1.4) совпадают (и равны $O(\sqrt{t\log t})$). Однако коэффициенты при $\sqrt{t\log t}$ различаются в $2\sqrt{2}$ раз. Поэтому сближение коэффициентов при $\sqrt{t\log t}$ в этих оценках представляет собой интересную открытую проблему. В настоящей работе неравенство (1.3) будет несколько усилено: соответствующая формула, в которой $\kappa_4$ заменяется большей величиной, содержится в теореме 1.1 ниже. 1.3. Основной результат настоящей работыГлавная цель настоящего исследования состоит в доказательстве следующей теоремы. Теорема 1.1. Пусть для иррационального $\mathbf x$ из $(0,1)$ производная $?'(\mathbf x)$ существует и выполнено равенство $?'(\mathbf x)=0$. Тогда для всех достаточно больших (в зависимости от $\mathbf x$) чисел $t$ выполнена оценка § 2. Основные обозначения и стартовые леммыПусть $A_t=(a_1 , a_2,\dots, a_t)$ – произвольная конечная последовательность из $t$ натуральных чисел, где $t\geqslant 0$ – целое. Тогда континуантами (см. [11]) конечных последовательностей $\varnothing,A_1,A_2, \dots,A_t$ называются числа
$$
\begin{equation*}
\langle \varnothing\rangle=1, \quad \langle A_1\rangle=a_1, \quad \langle A_2\rangle=a_2a_1+1, \quad \dots, \quad \langle A_t\rangle=a_{t}\langle A_{t-1}\rangle +\langle A_{t-2}\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Всюду далее будем считать, что с рассматриваемым иррациональным числом $\mathbf x\in (0,1)$ с помощью формулы (1.1) связана бесконечная последовательность натуральных чисел $(x_1, x_2, \dots, x_t, \dots)$. При $t=1,2,\dots$ ее подпоследовательности $(x_1, x_2, \dots, x_t)$ будут обозначены через $X_t$. Далее, через $\varphi_{\mathbf x}(\nu)$ при натуральных $\nu$ будем обозначать следующую разность:
$$
\begin{equation*}
\varphi_{\mathbf x}(\nu)=S_{\mathbf x}(\nu)-\kappa_1\nu.
\end{equation*}
\notag
$$
Настоящая работа является продолжением цикла статей [7]–[10] и имеет те же идейные корни. В частности, исходным пунктом для исследования нулевых значений производной функции Минковского является следующая лемма, первый аналог которой был доказан в [6]. Лемма 2.1 (см. [8; лемма 2.1]). Пусть для иррационального числа $\mathbf x$ из $(0,1)$ производная $?'(\mathbf x)$ существует и равна нулю. Тогда выполнено предельное соотношение Для дальнейших рассмотрений неравенство (1.5) из теоремы 1.1 запишем в виде
$$
\begin{equation}
\max_{u\leqslant t} \varphi_{\mathbf x}(u)\geqslant M\sqrt{t\log t} \biggl(1+\frac{\log\log t}{\log t}\biggr),
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $M>0$ – пока не определенная константа. Согласно теореме A имеет смысл рассматривать только те $M$, для которых выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
0.99\kappa_4 \leqslant M \leqslant 2\sqrt{2}\kappa_4 <3.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
План доказательства основной теоремы состоит в следующем. Сначала мы, используя принцип “от противного”, предположим, что неравенство (2.1) не выполнено на некоторой бесконечной последовательности натуральных чисел $t$, и в течение настоящего и следующего параграфов будем выводить следствия из этого предположения. Затем, в § 4, отрезок натуральных чисел от $1$ до $t$ будет разбит на два неравных подотрезка, для каждого из которых текущие построения будут обобщены путем их почти дословного повторения с некоторыми изменениями в обозначениях. Это разбиение на два отрезка позволит двумя различными способами оценить снизу число $M$ через само себя, что и приведет к вычислению $M$ как корня алгебраического уравнения. Лемма 2.2. Пусть $?'(\mathbf x) =0$, но для каждого элемента некоторой бесконечной последовательности $\mathcal {T}$, состоящей из натуральных чисел, не выполнено неравенство (2.1). Тогда для любого достаточно большого (в зависимости от числа $\mathbf x$) числа $t$ из $\mathcal {T}$ для каждого $\nu=1, 2,\dots, t$ выполнено неравенство а для любых целых $j$, $\nu_1$ и $\nu_2$ из интервала $[t^{2/3},t]$ имеют место неравенства Доказательство. Фиксируем произвольное число $t$ из $\mathcal {T}$. Обозначим через $\Theta_t$ множитель в круглых скобках, завершающий формулу (2.1). Ввиду невыполнения неравенства (2.1) при $\nu=1, 2,\dots, t$ получаем неравенство (2.3):
$$
\begin{equation}
\varphi_\mathbf x(\nu)=S_\mathbf x(\nu)-\kappa_1\nu<3\sqrt{t\log t}\,\Theta_t<4\sqrt{t\log t},
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
выполненное ввиду условия (2.2) для всех достаточно больших $t$.
Далее, $\langle X_{j-1}\rangle \geqslant \Phi^{j-2}$ для всех $j\geqslant 2$, где $\Phi=(1+\sqrt{5})/2$. Данное неравенство получается при замене каждого элемента последовательности $X_{j-1}$ на число $1$. Отсюда и из свойства $?'({\mathbf x}) =0$ по лемме 2.1 получаем, что найдется $j_0=j_0(\mathbf x) $ такое, что для каждого $j\geqslant j_0$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\Phi^2} \geqslant\frac{\langle X_{j-1}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_\mathbf x(j) }} \geqslant\frac{\Phi^{j-2}}{\sqrt{2}^{\,S_\mathbf x(j)}}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Поскольку согласно (1.2) $\sqrt{2}^{\,\kappa_1}=\Phi $, то из (2.7), логарифмируя, получаем оценку (2.4).
Таким образом, согласно неравенствам (2.3) и (2.4) для $\nu_1$ и $\nu_2$ из интервала $[t^{2/3},t]$ должны выполняться неравенства
$$
\begin{equation}
|\varphi_\mathbf x(\nu_1) |\leqslant4\sqrt{t\log t}, \qquad |\varphi_\mathbf x(\nu_2) |\leqslant4\sqrt{t\log t}.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Применяя в (2.8) неравенство треугольника, получаем оценку (2.5). Лемма доказана. В дальнейшем, как и в лемме 2.2, в качестве одного из растущих параметров рассматривается натуральное число $j$, принадлежащее интервалу $[t^{2/3}, t]$ для достаточно большого $t$. Положим
$$
\begin{equation}
n=n(j)=\max_{1\leqslant u\leqslant j} x_u, \qquad N=N_j=\Bigl[\max_{1\leqslant u\leqslant j+1} \varphi_{\mathbf x}(u) +1+\kappa_1\Bigr ],
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где $[\alpha]=\max\{z\in\mathbb{Z}\mid z\leqslant \alpha \}$ – целая часть действительного числа $\alpha$. Лемма 2.3. В условиях леммы 2.2 при любом достаточно большом (в зависимости от числа $\mathbf x$) значении $t$ из $\mathcal {T}$ для любого $j\in[t^{2/3},t-1]$ выполнены неравенства Доказательство. Первая из оценок в (2.11) следует из определения числа $\mathbf n$ в (2.10).
Далее, применяя (2.4), при любом достаточно большом $t$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag x_{j } &= S_{\mathbf x}(j ) - S_{\mathbf x}(j-1) =(S_{\mathbf x}(j )-\kappa_1 (j ))-(S_{\mathbf x} (j-1)-\kappa_1(j-1)) +\kappa_1 \\ &=\varphi_{\mathbf x}(j )-\varphi_{\mathbf x}(j-1)+\kappa_1 \leqslant\max_{1\leqslant u\leqslant j} \varphi_{\mathbf x}(u)+\kappa_1\leqslant N. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
В частности, неравенство (2.12) выполнено при $x_{j}=n$, откуда следует вторая оценка в (2.11). Третья из них следует из определения числа $N$ в (2.9), последняя – из невыполнения неравенства (2.1). Лемма доказана. § 3. Нижние оценки континуантовДля конечной последовательности $X_j$ рассмотрим подпоследовательность всех тех ее элементов которые не равны $1$, где $\sigma=\sigma{(j)}$ – их количество. Иначе говоря, для $m=0,1,2,\dots$ натуральные числа $d_m$ можно определить индуктивно:
$$
\begin{equation*}
d_0 =0, \qquad d_m=\min\{d\in \mathbb{Z}\mid d_{m-1} <d\leqslant j,\, x_d >1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3.1. Пусть для иррационального $\mathbf x\in(0,1)$ для всех достаточно больших (в зависимости от числа $\mathbf x$) значений $t$ из некоторой бесконечной последовательности $\mathcal {T}$, состоящей из натуральных чисел, при $t^{2/3}\leqslant j \leqslant t-1$ выполнено неравенство Тогда для всех достаточно больших $t$ из $\mathcal {T}$ выполнены неравенства где Доказательство. Согласно (3.2) из предположения
$$
\begin{equation*}
j\geqslant t^{2/3} >\frac{8\sqrt{t\log t}}{1.5-\kappa_1},
\end{equation*}
\notag
$$
выполненного для всех достаточно больших $t$, следует
$$
\begin{equation*}
|\varphi_{\mathbf x}(j)|\leqslant8\sqrt{t\log t}<(1.5-\kappa_1)j.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation}
S_\mathbf x(j)=S_\mathbf x(j)-\kappa_1j+\kappa_1j=\varphi_\mathbf x(j)+\kappa_1j <(1.5-\kappa_1)j+\kappa_1j<1.5j.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Из (3.4) получаем, что доля количества элементов последовательности $X_j$, равных $1$, не меньше $1/2$. Именно при таком условии в [7; лемма 10] было доказано, что
$$
\begin{equation}
\langle 2, X_{j}\rangle \geqslant\frac{\Phi^j}{10}\prod^{n}_{k=2}\biggl(\frac{\mu_{k}}{\Phi^2}\biggr)^{r_k(j)},
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где $r_k(j)$ – количество тех индексов $m$ в интервале от $1$ до $j$, для которых $x_m=k$, число $n$ – из (2.9). Если каждую из перемножаемых в (3.5) степеней записать как произведение равных множителей, взятых в количестве $r_k(j)$ штук, то получим первое произведение из (3.3). Учтем также следующее из определения континуантов неравенство
$$
\begin{equation*}
\langle X_{j}\rangle \geqslant \frac{\langle 2, X_{j}\rangle}3,
\end{equation*}
\notag
$$
объясняющее замену числового коэффициента перед знаком первого произведения в (3.3) по сравнению с (3.5). Этим первое неравенство в (3.3) доказано.
Второе из них следует из оценки $\mu_d\geqslant d+1$, справедливой для любого натурального $d$. Лемма доказана. Напомним, что величина $\mathbf n$ была определена в (2.10). Лемма 3.2. В условиях леммы 3.1 для всех достаточно больших (в зависимости от числа $\mathbf x$) значений $t$ из $\mathcal {T}$ при $t^{2/3}\leqslant j \leqslant t-1$ выполнено Доказательство. Первое неравенство в (3.6) совпадает с оценкой (3.3).
Оценим снизу произведение из (3.6). Для этого учтем неравенство $x_{d_m}\leqslant \mathbf n$, следующее из (2.11), и рассмотрим изложенный далее алгоритм, изменяющий последовательность элементов (3.1) (и даже, возможно, уменьшающий их количество), но сохраняющий их сумму. На каждом шаге, если еще найдется пара элементов $x_{d_i}$ и $x_{d_m}$ таких, что $i, m\leqslant \sigma$ и $2< x_{d_i}\leqslant x_{d_m} < \mathbf n$, заменим эти элементы на числа $x_{d_i}-1$ и $x_{d_m}+1$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
x_{d_i}(x_{d_m}+2) =x_{d_i}x_{d_m} +2x_{d_i}<x_{d_i}x_{d_m}+x_{d_i}+x_{d_m}+1=(x_{d_i}+1)(x_{d_m}+1),
\end{equation*}
\notag
$$
то рассмотренная замена, оставляя без изменения $\mathbf n$, уменьшает произведение из (3.6). После завершения каждого такого шага алгоритма числа $x_{d_i}-1$ и $x_{d_m}\,{+}\,1$ переобозначим снова через $x_{d_i}$ и $x_{d_m}$ соответственно. После этого перейдем к следующему шагу и т.д. Так как бесконечное уменьшение произведения из (3.6) невозможно, то после некоторого количества шагов такого алгоритма все (за исключением, быть может, одного) элементы (3.1) окажутся замененными одним из чисел $2$ или $\mathbf n$. Этим завершается первая стадия алгоритма.
Следующая его стадия состоит в замене каждых $\mathbf n$ элементов из измененной последовательности (3.1), равных $2$ (если они еще есть), на два числа $\mathbf n$. При таких заменах сумма чисел (3.1) также не изменяется. Однако в произведении в (3.6) произойдет замена $({(2+1)}/{\Phi^2 })^{\mathbf n}$ на $({(\mathbf n+1)}/{\Phi^2 })^{2}$. Поскольку $\mathbf n\geqslant 50$, то произведенная замена приведет к уменьшению произведения из (3.6): показательная функция растет быстрее многочлена. После некоторого количества шагов этой стадии алгоритма в последовательности (3.1) останется менее чем $\mathbf n$ элементов, равных 2, и не более одного элемента, отличного от $\mathbf n$ или $2$; все остальные элементы из (3.1) превратятся в $\mathbf n$. Сумма же не равных $\mathbf n$ (их будет не более чем $\mathbf n$ штук) элементов окажется не превосходящей числа $3\mathbf n$. Отметим, что в ходе работы всего алгоритма сумма чисел в (3.1) (пусть она была равна $S$) не изменилась. Поэтому по окончании алгоритма количество равных $\mathbf n$ элементов оценивается снизу величиной ${( S-3\mathbf n}/{\mathbf n})$. Отсюда, поскольку $S=S_{\mathbf x}(j)-j +\sigma(j)\geqslant S_{\mathbf x}(j)-j$, получаем
$$
\begin{equation*}
\prod^{\sigma(j)}_{j=1} \frac{x_{d_j}+1}{\Phi^2} \geqslant\biggl(\frac{\mathbf n+1}{\Phi^2}\biggr)^{(S-3\mathbf n)/\mathbf n} >\frac{1}{\mathbf n^{3}}\biggl(\frac{\mathbf n }{\Phi^2}\biggr)^{S/\mathbf n} \geqslant\frac{1}{\mathbf n^{3}}\biggl(\frac{\mathbf n}{\Phi^2}\biggr)^{(S_{\mathbf x}(j)-j)/\mathbf n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этой оценки получаем второе неравенство в (3.6). Равенство в (3.6) получается тождественным преобразованием степеней. Лемма доказана. Величина $N$, участвующая далее в формулировке, была определена в (2.9). Лемма 3.3. В условиях леммы 3.1 для всех достаточно больших (в зависимости от числа $\mathbf x$) значений $t$ из $\mathcal {T}$ при $t^{2/3}\leqslant j \leqslant t-1$ выполнены неравенства Доказательство. Пользуясь неравенством (3.6), получаем:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{\langle X_{j}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf x}(j+1)}} &>\frac{\Phi^j({\mathbf n}/{\Phi^2})^{{(S_{\mathbf x}(j)-j)}/{n}}}{30\mathbf n^{3}\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf x}(j+1)}} =\frac{\Phi^j({\mathbf n}/{\Phi^2})^{{(\kappa_1j+\varphi_{\mathbf x}(j)-j)}/{\mathbf n}}} {30\mathbf n^{3}\sqrt{2}^{\,\kappa_1(j+1)+\varphi_{\mathbf x}(j+1)}} \\ &>\frac{({\mathbf n}/{\Phi^{2}})^{{(\kappa_1-1)j}/{\mathbf n}}} {50\mathbf n^{3}\sqrt{2}^{\,\varphi_{\mathbf x}(j+1)}} \,\frac{\Phi^j({\mathbf n}/{\Phi^2})^{{-|\varphi_{\mathbf x}(j)|}/{\mathbf n}}}{\sqrt{2}^{\,\kappa_1j}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Последний множитель в (3.8) преобразуем с помощью равенства $\sqrt{2}^{\,\kappa_1}=\Phi$ и неравенства (3.2). Тогда оценка (3.8) превращается в первую из оценок в (3.7).
Но эта оценка монотонно убывает по $\mathbf n$: числитель стремится к $1$, а знаменатель – к бесконечности. Поскольку согласно лемме 2.3 $\mathbf n\leqslant N+50$, то этой монотонностью доказано и второе неравенство в (3.7). Лемма доказана. Для всей оставшейся части текста положим
$$
\begin{equation*}
\Theta_t =1+O\biggl(\frac{\log\log{t}}{\log t}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Первая часть следующей теоремы похожа на первую часть теоремы A и отличается от нее только остаточным слагаемым оценки (1.3); напротив, вторая часть следующей теоремы содержит резерв для уточнения оценки (1.3) по существу, в главном слагаемом. Теорема 3.1. Пусть для иррационального $\mathbf x$ из (1.1) производная $?'(\mathbf x)$ существует и выполнено равенство $?'(\mathbf x)=0$. Тогда для всех достаточно больших чисел $t$: во-первых, выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\max_{1\leqslant u\leqslant t} \varphi_{\mathbf x}(u) \geqslant N_{t-1} -1-\kappa_1>\kappa_4\sqrt{t \log{t}}\,\Theta_t;
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
во-вторых, для любого $j$ из интервала $t^{2/3}\leqslant j\leqslant t-1$ имеет место неравенство Доказательство. Достаточно считать, что условия леммы 2.2 выполнены: в противном случае все уже доказано. Но тогда согласно лемме 2.2 условия лемм 3.1 и 3.3 также выполнены, поэтому справедливы неравенства (3.7).
На основании леммы 2.1 можем сделать вывод, что при всех достаточно больших $j$ (или, что то же самое, при всех достаточно больших $t$) левые части неравенств (3.7) меньше, чем $1/50$. Поэтому та же оценка справедлива и для каждой из двух правых частей в (3.7). Это наблюдение приводит к неравенствам
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\mathbf n}{\Phi^{2}}\biggr) ^{((\kappa_1-1)j-8\sqrt{t\log t})/\mathbf n} <\mathbf n^{3}\sqrt{2}^{\,\varphi_{\mathbf x}(j+1)},
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{N+50}{\Phi^{2}}\biggr)^{((\kappa_1-1)j-8\sqrt{t\log t})/(N+50)} <(N+50)^3\sqrt{2}^{\,\varphi_{\mathbf x}(j+1)}.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Для доказательства неравенства (3.9) положим $j=t-1$. Логарифмируя неравенство (3.12) и домножая на $N+50$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl(\kappa_1-1-8\sqrt{\frac{\log j}{j}}\biggr)j \log\frac{N+50}{\Phi^{2}} \\ &\qquad <3(N+50)\log(N+50)+(N+50)\varphi_{\mathbf x}(j+1)\log\sqrt{2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Учитывая, что ввиду (2.9) $\varphi_{\mathbf x}(j+1)< N$, из (3.13) получаем
$$
\begin{equation*}
\biggl(\kappa_1-1-8\sqrt{\frac{\log j}{j}}\biggr)j \log\frac{N+50}{\Phi^{2}}<(N^2\log{\sqrt{2}}+3N\log{N}) \biggl(1+O\biggl(\frac{\log N}{N}\biggr)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation}
\biggl(\kappa_1-1-8\sqrt{\frac{\log j}{j}}\biggr)j \log\frac{N+50}{\Phi^{2}} <N^2(\log{\sqrt{2}})\biggl(1+O\biggl(\frac{\log N}{N}\biggr)\biggr).
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Снова логарифмируя теперь неравенство (3.14), при $j=t-1$, $N=N_{t-1}$ получаем
$$
\begin{equation}
\log\frac{N+50}{\Phi^{2}}=\log{N_{t-1}}+O(1)>\frac{1}{2}(\log{t})\Theta_t.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Подставляя неравенство (3.15) в (3.14), получаем
$$
\begin{equation}
(N_{t-1})^2\log{\sqrt{2}} >\frac{1}{2}\biggl(\kappa_1-1-O\biggl(\sqrt{\frac{\log t}t}\biggr)\biggr)\Theta_tt \log{t}.
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Знак “$O$” в (3.16) берется от функции, убывающей быстрее, чем в $\Theta_t$, поэтому Решая неравенство (3.17) относительно $N_{t-1}$, получаем вторую оценку в (3.9). Первая из них следует из определения числа $N_{t-1}$ в (2.9), так что неравенство (3.9) доказано.
Аналогично предыдущим выкладкам, логарифмируем неравенство (3.11) и домножим на $\mathbf n$, получая
$$
\begin{equation*}
(\kappa_1-\Theta_t)j\log\frac{\mathbf n}{\Phi^{2}} <3\mathbf n\log{\mathbf n}+\mathbf n\varphi_{\mathbf x}(j+1)\log{\sqrt{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Решая полученную оценку относительно $\varphi_{\mathbf x}(j)$, выводим неравенство (3.10). Теорема доказана. Хотя оценка (3.9) далее нигде не используется, но она иллюстрирует рассматриваемый метод оценки максимума величин $\varphi_{\mathbf x}(j)$. Далее будет показано, что оценку (3.9) можно еще усилить (поскольку предстоит доказать более сильную оценку (1.5)). § 4. Две оценки величины $M$Для любого $t$ из $\mathcal {T}$ в последовательности $X_t$ рассмотрим ее подпоследовательности $X^{-}$ и $X^{+}$, образованные элементами $x_\nu$ с индексами $\nu$, пробегающими соответственно целые числа из интервалов $[t^{2/3}+1, (2/3) t-1]$ и $ ((2/3) t-1,t-1 ]$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi^{-}=\varphi_{\mathbf x}\biggl(\biggl[\frac23 t-1\biggr]\biggr)-\varphi_{\mathbf x}([t^{2/3}+1]), \qquad \varphi^{+}=\varphi_{\mathbf x}(t-1)-\varphi_{\mathbf x}\biggl(\biggl[\frac23 t-1\biggr]\biggr), \\ S^{-}=S_{\mathbf x}\biggl(\biggl[\frac23 t-1\biggr]\biggr)-S_{\mathbf x}([t^{2/3}+1]), \qquad S^{+}=S_{\mathbf x}(t-1)-S_{\mathbf x}\biggl(\biggl[\frac23 t\biggr]\biggr), \\ \mathbf n^{-}=\max\{\max\{X^{-}\},50\}, \qquad \mathbf n^{+}=\max\{\max\{X^{+}\},50\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\varphi_{\mathbf x}(t-1)=\varphi^{+}+\varphi^{-}+\varphi_{\mathbf x}([t^{2/3}+1]) \geqslant\varphi^{+}+\varphi^{-}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
ввиду неравенства (2.4). Кроме того, согласно (2.5) выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
|\varphi^{-}|<8\sqrt{t\log t}, \qquad |\varphi^{+} |<8\sqrt{t\log t},
\end{equation*}
\notag
$$
которые для $X^{-}$ и $X^{+}$ далее будут использоваться в качестве аналога оценок (2.3) и (2.4). Подобный подход уже применялся выше в леммах 3.1–3.3. Для чисел $\mathbf n^{+}$ и $\mathbf n$ через $\mu$ обозначим их отношение: Будем рассматривать $\mu\in (0,1]$ как некоторый действительный параметр, пригодный для оптимизации. Напротив, число $\mathbf n^{-}$ далее не понадобится, так как оно заменяется величиной $\mathbf n$ ввиду неравенства $\mathbf n^{-}\leqslant \mathbf n$.Будем обобщать доказанные ранее вспомогательные утверждения путем прямой аналогии между $X_t$ с одной стороны и $X^{-}$, $X^{+}$ с другой. Лемма 4.1. В условиях леммы 3.1 для всех достаточно больших чисел $t$ выполнены неравенства Для получения неравенств (4.3) и (4.4) достаточно повторить рассуждения из доказательства леммы 3.2 применительно к континуантам $\langle X^{-}\rangle$ и $\langle X^{+}\rangle$. Для иллюстрации выведем неравенство (4.4). Ввиду леммы 3.1 и аналогичного (3.4) неравенства в последовательности
$$
\begin{equation*}
X^{+}=\bigl(x^+_1,x^+_2,\dots,x^+_{(t/3)(1+O(t^{-1}))}\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
доля элементов, равных $1$, превышает $0.5$. Следовательно, для данной последовательности выполнено равенство (3.3) с $j={(t/3)(1+O(t^{-1}))}$ в виде
$$
\begin{equation}
\langle X^+\rangle \geqslant\frac{\Phi^j}{30}\prod^{\sigma^+}_{m=1}\frac{ x^+_{d_m}+1}{\Phi^2},
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где $\sigma^+$ – число элементов $X^+$, больших $1$. Далее из (4.5) почти дословным повторением аргументов доказательства леммы 3.2 выводим аналог неравенства (3.6) для $X^+$ и $j= {(t/3)(1+O(t^{-1}))}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle X^+\rangle &>\frac{\Phi^{t/3}}{30{\mathbf n}^{3}} \biggl(\frac{\mathbf n^+}{\Phi^2}\biggr)^{(S^+ -{(t/3) (1+O(t^{-1}))})/{\mathbf n^{+}}} \\ & =\frac{1}{30\mathbf n^{3}} \biggl(\frac{\mathbf n^{+}}{\Phi^2}\biggr)^{{S^{+}}/{\mathbf n^{+}}} \biggl(\frac{\Phi^{2+\mathbf n^{+}}}{\mathbf n^{+}}\biggr)^{t(1+O(t^{-1}))/{3\mathbf n^{+}}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось доказать. Лемма 4.2. В условиях леммы 3.1 для всех достаточно больших чисел $t$ выполнены неравенства Для получения неравенств (4.6) достаточно повторить рассуждения из доказательства леммы 3.3 применительно к континуантам $\langle X^{-}\rangle$ и $\langle X^{+}\rangle$, используя результат леммы 4.1 вместо леммы 3.2. Действительно: каждое из неравенств (4.3) и (4.4) аналогично неравенству (3.6), поэтому из них следуют цепочки неравенств, полностью аналогичные формуле (3.8). Лемма 4.3. В условиях леммы 2.2 для всех достаточно больших чисел $t$ выполнено неравенство Доказательство. Первое из неравенств в (4.7) следует из (4.1). Повторим рассуждения из доказательства теоремы 3.1 применительно к континуантам $\langle X^{-}\rangle$ и $\langle X^{+}\rangle$, используя результат леммы 4.2 вместо леммы 3.3. Тогда получим два неравенства.
Во-первых,
$$
\begin{equation}
\varphi^{-} >\frac{(\kappa_4)^2\cdot ({2}/{3})t\cdot2\log{\mathbf n }}{{\mathbf n }}\Theta_t \geqslant\frac{4(\kappa_4)^2t\log{\bigl(M\sqrt{t\log{t}}\bigr)}}{{3M\sqrt{t\log{t}}}}\Theta_t =\frac{2(\kappa_4)^2\sqrt{t\log{t}}}{3 M }\Theta_t.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Здесь мы воспользовались оценкой (2.11). Константу “$+53$” в выкладках не пишем, так как она входит в $\Theta_t$.
Во-вторых, неравенство
$$
\begin{equation}
\varphi^{+} >\frac{(\kappa_4)^2\cdot ({1}/{3})t\cdot2\log{n^{+}}}{{n^{+}}}\Theta_t =\frac{1}{{3\mu M}}(\kappa_4)^2\sqrt{t\log{t}}\,\Theta_t
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
получается аналогично, с использованием равенства (4.2). Складывая оценки (4.8) и (4.9), получаем и второе из неравенств в (4.7). Лемма доказана. Лемма 4.4. В условиях леммы 2.2 для каждого достаточно большого числа $t$ для некоторого $j$ из интервала $(2/3)t-1\leqslant j<t$ выполнено неравенство Доказательство. Рассмотрим последовательность $X^{+}$ и выберем в ней тот элемент $x_{j+1}$, который равен $n^{+}$. Поскольку $ j\geqslant (2/3)t-1$ и
$$
\begin{equation*}
\varphi_{\mathbf x}(j+1) =\varphi_{\mathbf x}(j)+x_{j+1}-\kappa_1=\varphi_{\mathbf x}(j)+n^{+}-\kappa_1,
\end{equation*}
\notag
$$
то из (3.10), пользуясь тем, что длина последовательности $X^+$ равна $ {t}/{3}+O(1)$, получаем неравенство
Применяя в (4.11) равенство (4.2) и заменяя $n$ на $M\sqrt{t\log{t}}\Theta_t$ с помощью оценки (2.11), получаем оценку (4.10). Лемма доказана. Теорема 4.1. В условиях леммы 2.2 для каждого достаточно большого числа $t$, для любого $\mu\in(0,1)$, представимого в виде (4.2), при $0.99\kappa_4\leqslant M\leqslant 2\sqrt{2}\kappa_4$ имеют место неравенства Доказательство. Первые неравенства в (4.12) и (4.13) следуют из невыполнения неравенства (2.1). Для получения вторых из них заметим следующее. Каковы бы ни были значения $\mu$ и $M$, мы каждый раз для нижней оценки максимума величин $\varphi_{\mathbf x}(j)$ можем воспользоваться любым из неравенств (4.7) или (4.10). Поэтому вторые неравенства в (4.12) и (4.13) следуют из лемм 4.3 и 4.4. Наконец, неравенства (4.14) получаются при решении неравенств (4.12) и (4.13) относительно $M$. Теорема доказана. Название параграфа относилось к оценкам (4.14). § 5. Доказательство теоремы 1.1Фиксируем $\mu\in(0,1)$ и обозначим минимальное $M$ из интервала $0.99\kappa_4\leqslant M\leqslant 2\sqrt{2}\kappa_4$, при котором выполняются неравенства (4.14), через $\mathcal{M}=\mathcal{M}(\mu)$. Рассмотрим правые части (4.14), т.е. числа
$$
\begin{equation}
f(\mu)=\kappa_4\sqrt{\frac{(1+2\mu)\Theta_t}{3\mu}}, \qquad g(\mu)=\kappa_4\sqrt{\frac{2\Theta_t}{3(1-\mu \Theta_t)}},
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
как функции аргумента $\mu$, изменяющегося в подмножестве интервала $(0,1)$. При распространении определения функций (5.1) на весь интервал $(0,1)$ минимум величин $\mathcal{M}(\mu)$ по всей области их определения может только уменьшиться. Поскольку $\Theta_t$ стремится к 1 при $t\to+\infty$, то
$$
\begin{equation*}
\lim_{t\to+\infty}\lim_{\mu\to0+0}f(\mu)=+\infty>g(0), \qquad \lim_{t\to+\infty}\lim_{\mu\to1-0}g(\mu)=+\infty>f(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, $f(\mu)$ убывает, а $g(\mu)$ возрастает. Отсюда и из непрерывности функций $f(\mu)$ и $g(\mu)$ следует, что найдется $\mu\in (0,1)$ такое, что $f(\mu)=g(\mu)\Theta_t$. Отсюда и из смысла числа $\mathcal{M}$ получаем, что минимальное $M=\mathcal{M}$, удовлетворяющее неравенствам (4.14), достигается на той паре чисел $M$ и $\mu$, для которых эти неравенства обращаются в равенства, т.е.
$$
\begin{equation}
\kappa_4\sqrt{\frac{(1+2\mu)\Theta_t}{3\mu}}=M=\kappa_4\sqrt{\frac{2\Theta_t}{3(1-\mu \Theta_t)}}.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Приравнивая квадратные корни из (5.2), получаем квадратное уравнение на $\mu$, имеющее единственный положительный корень
$$
\begin{equation}
\mu=\frac12\biggl(1+O\biggl(\frac{\log\log t}{\log t}\biggr)\biggr).
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Подставляя (5.3) в (5.2), находим: $M=(2/\sqrt{3})\kappa_4\Theta_t$. Наконец, при подстановке найденного значения $M$ в (2.1) получается оценка (1.5). Теорема 1.1 доказана. Авторы благодарны профессору Н. Г. Мощевитину за постановку темы исследования и обсуждение результатов. Д. Р. Гайфулин также желает поблагодарить профессора В. В. Бересневича за приглашение посетить университет в г. Йорк, в котором родилась идея этой работы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GayKan21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|