| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 10 научных статьях (всего в 10 статьях) Топологический анализ биллиарда, ограниченного софокусными квадриками, в потенциальном поле С. Е. Пустовойтов Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9418 
Реферативные базы данных:
      § 1. ВведениеМатематический биллиард – это динамическая система, описывающая движение материальной точки в компактной ограниченной области с кусочно гладкой границей со стандартным отражением вектора скорости на границе. Эта классическая задача динамики рассматривалась и рассматривается многими математиками с разных точек зрения: вычисление траекторий, изучение эргодичности, задачи оптических систем, а также с топологической точки зрения. Изучением слоений Лиувилля различных биллиардов занимаются А. Т. Фоменко, В. В. Ведюшкина и их ученики (см. [1]–[8]), М. Раднович, В. Драгович (см. [9]) и многие другие. Наша предыдущая работа [10] была посвящена биллиарду в эллиптическом кольце с гуковским потенциалом. Настоящая работа посвящена описанию слоения Лиувилля биллиардов во всех плоских областях, ограниченных софокусными эллипсами и гиперболами, и таким образом является обобщением предыдущей. § 2. Необходимые сведенияНапомним основные определения и теоремы, связанные с теорией гамильтоновых интегрируемых систем. Более подробно о ней см. [11]. Определение 1. Гладкое многообразие $M^4$ называется симплектическим, если на нем задана симплектическая структура: невырожденная, замкнутая 2-форма $\omega$.
Определение 2. Динамическая система на симплектическом многообразии $(M^4,\omega)$ называется гамильтоновой, если на $M^4$ можно выбрать функцию $H$ так, что динамическая система запишется в виде $v=\operatorname{sgrad}H$ ($=\omega \operatorname{grad}H$); $H$ называется гамильтонианом. Определение 3. Если у гамильтоновой системы $v$ на $M^{4}$ есть две функции $f_1$, $f_2$, которые являются первыми интегралами, и верно: 1) $\{f_1, f_2\}=0$, 2) $f_1$ и $f_2$, функционально независимы, 3) векторные поля $\operatorname{sgrad}(f_i)$ полны, то такая система называется вполне интегрируемой по Лиувиллю. Определение 4. Отображением момента называется отображение $F$: $M^{4} \to \mathbb R^2$, где $F(x)=(f_1(x), f_2(x))$. Бифуркационной диаграммой $\Sigma(F)$ называется образ критических точек отображения момента на $\mathbb R^2$. При этом точка называется критической, если в ней падает ранг дифференциала отображения момента. Иначе точка называется регулярной. Теорема 1 (Лиувилля). Пусть на $M^{4}$ задана вполне интегрируемая гамильтонова система с гамильтонианом $H$ и $T_\xi$-регулярная, компактная, связная компонента поверхности уровня интегралов $f_1$, $f_2$ (прообраз регулярного значения $F$). Можно считать, что $f_1=H$. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. $T_\xi$ диффеоморфно тору $T^2$. Этот тор называется тором Лиувилля. 2. Слоение Лиувилля в некоторой окрестности тора Лиувилля диффеоморфно прямому произведению тора на диск $D^2$. Введем обозначение: $Q^3=\{x\in M^4\colon H(x)=\mathrm{const}\}$ – изоэнергетическое многообразие. Определение 5. Системы $v_1$ и $v_2$ на $Q_1^3$ и $Q_2^3$ соответственно называются лиувиллево эквивалентными, если существует послойный диффеоморфизм из $Q_1^3$ на $Q_2^3$, сохраняющий ориентацию как самих многообразий, так и ориентацию критических окружностей. Определение 6. 3-атомом называется прообраз критического значения отображения момента $F$ вместе со своей окрестностью в $Q^3$. Все $3$-атомы были классифицированы А. Т. Фоменко, А. В. Болсиновым, А. А. Ошемковым в [11]. Определение 7. Грубой молекулой называется граф, точки ребер которого представляют собой регулярные слои многообразия $Q^3$ (т.е. торы), а вершинам сопоставляются атомы, через которые происходят перестройки торов. Определение 8. Меченой молекулой называется грубая молекула, ребрам и вершинам которых сопоставляются числа, описывающие, как именно переходит тор Лиувилля из окрестности одного атома в тор Лиувилля окрестности другого атома по соединяющему их ребру. Более подробно см. [11]. Теорема 2 (Фоменко–Цишанга). Системы $v_1$ и $v_2$ на $Q_1^3$ и $Q_2^3$ лиувиллево эквивалентны тогда и только тогда, когда их меченые молекулы совпадают. § 3. Постановка задачиРассмотрим биллиард в ограниченной плоской области, границы которой заданы дугами кривых вида т.е. дугами софокусных квадрик. Здесь $\lambda$ – параметр квадрики. При $\lambda>-a$ квадрика – эллипс, при $-b<\lambda<-a$ – гипербола. Дуги выбраны так, что все ее углы между ними равны ${\pi}/{2}$ (рис. 1). Такие области были рассмотрены и классифицированы В. В. Ведюшкиной в [12]. В ее работе были рассмотрены биллиарды, для которых на материальную точку не действуют внешние силы.
Определение 9. Простейшей элементарной (плоской) областью $\Omega$ назовем двумерное связное, компактное, плоское гладкое риманово многообразие с кусочно гладким краем, которое имеет изометричное вложение в плоскость, причем граница его образа при этом вложении состоит из сегментов софокусных квадрик семейства (формула (3.1)), углы между которыми не превышают $\pi$.
Определение 10. Простейшая элементарная область $\Omega_1$ называется эквивалентной другой простейшей элементарной области $\Omega_2$, если $\Omega_2$ можно получить из $\Omega_1$ путем композиции следующих преобразований: 1) последовательным изменением параметра $\lambda_i$ каждой границы при неизменном параметре остальных, так, чтобы это значение параметра $\lambda_i$ не принимало значения $-b$; иными словами, сегменты во время деформации остаются либо эллиптическими (т.е. параметры квадрик, на которых располагаются эти сегменты, непрерывно меняются в пределах $(-b, \infty)$), либо гиперболическими (т.е. параметры квадрик, на которых располагаются эти сегменты, непрерывно меняются в пределах $(-a, -b]$), либо все время лежат на фокальной прямой (во все время деформации параметр остается равным $-b$); 2) симметрией относительно координатных осей.
Теорема 3 (Ведюшкиной). Всего классов простейших элементарных областей $12$ (см. табл. 1). Таблица 1.Биллиардные области
В настоящей статье рассмотрим новую задачу. А именно, к биллиардам, изучавшимся В. В. Ведюшкиной, добавим действие центрального гуковского потенциала $P=({k}/{2})(x^2+y^2)$. Ранее биллиард в эллиптической области с гуковским потенциалом был рассмотрен И. Ф. Кобцевым, а в кольцевой области – автором в [10]. Траектория материальной точки между ударами описывается системой уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \ddot{x} =-kx, \\ \ddot{y} =-ky. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Заметим, что при $k>0$ на точку действует сила, направленная к центру координат, при этом траекторией является дуга эллипса, а при $k<0$ сила отталкивает точку от начала координат, и соответствующая траектория является дугой гиперболы (в случае В. В. Ведюшкиной траекториями являются прямые линии). Рассмотрим симплектическое многообразие $(M^4, \omega)$, где $M^4=\{(x, y, \dot{x}, \dot{y})$: $(x, y) \in \Omega,\, (\dot{x}, \dot{y})\in T\Omega\}$ – фазовое пространство системы. Зададим симплектическую структуру так:
$$
\begin{equation}
\omega =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Определенная выше биллиардная система является гамильтоновой системой на $M^4$ c гамильтонианом $H=(\dot{x}^2+\dot{y}^2)/2+P$, который также является первым интегралом системы. Задача настоящей работы – найти второй первый интеграл, удовлетворяющий условию теоремы Лиувилля, и для каждого уровня интеграла $H$ построить полный инвариант Фоменко–Цишанга, т.е. меченую молекулу. Эта задача полностью решена (см. § 6). § 4. Разделение переменных и интегрируемостьПерейдем к эллиптическим координатам. Их связь с декартовыми координатами определяется системой
$$
\begin{equation}
\begin{cases} x^2=\dfrac{(a+\lambda_1)(a+\lambda_2)}{a-b}, \\ y^2=\dfrac{(b+\lambda_1)(b+\lambda_2)}{b-a}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Такой переход связан с тем, что в этих координатах дуги границы биллиардной области являются координатными кривыми. Гамильтониан в этих координатах имеет вид
$$
\begin{equation}
H=\frac{2(a+\lambda_1)(b+\lambda_1)}{\lambda_1-\lambda_2}\mu^2_1+\frac{2(a+\lambda_2)(b+\lambda_2)}{\lambda_2-\lambda_1}\mu^2_2 + \frac{k}{2}(\lambda_1+\lambda_2),
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где $\mu_1$ и $\mu_2$ – импульсы, соответствующие координатам $\lambda_1$ и $\lambda_2$. Оказывается, существует еще один первый интеграл. Он был получен методом, описанным В. В. Козловым в [13].
Доказательство. Сначала разберем свободное движение точки между отражениями от стенок. Дифференцируя $F$ по времени $t$, получим Подставим значения $\dot\lambda_1$ и $\dot\mu_1$ из уравнений Гамильтона Можно убедиться, что после подстановки получим тождественный нуль. А значит, $F=\mathrm{const}$.
Теперь докажем, что функция $F$ сохраняется при отражении от любой стенки биллиарда, являющейся дугой квадрики указанного семейства (3.1). При отражении значение интеграла $H$ и координаты $\lambda_1$ не меняются. Поэтому достаточно проверить лишь неизменность величины $\mu_1^2$. Отметим, что закон отражения от софокусной квадрики в эллиптических координатах запишется так: если точка отражается от гиперболы, то вектор скорости изменится по правилу $(\dot\lambda_1, \dot\lambda_2)\to(-\dot\lambda_1, \dot\lambda_2)$, а если точка отражается от эллипса, то вектор скорости изменится по правилу $(\dot\lambda_1, \dot\lambda_2)\to(\dot\lambda_1, -\dot\lambda_2)$. Из уравнений Гамильтона вытекает формула Следовательно, вектор импульса $(\mu_1, \mu_2)$ будет меняться при отражении аналогично вектору скорости. Поэтому значение $\mu_1^2$ не меняется. Теорема доказана.Зафиксируем уровни интегралов $H=h$, $F=f$. Теорема 5. Справедлива следующая формула, связывающая компоненты вектора скорости точки с ее координатами (формула разделения переменных): где $ V(z)=(-({k}/{2})z^2+hz+f)(a+z)(b+z)$ – многочлен четвертого порядка. Гамильтоновы системы, допускающие уравнения подобного вида, были подробно исследованы М. П. Харламовым в [14]. Для доказательства теоремы 5 достаточно выразить импульсы $\mu_1$ и $\mu_2$ из формулы интеграла $F$ (4.3) и подставить их в уравнения Гамильтона (4.6). § 5. Области возможного движения и бифуркационные диаграммы
Определение 11. Областью возможного (допустимого) движения называется замкнутая область на биллиарде, в которой материальная точка может находиться при фиксированных значениях интегралов $h$ и $f$. Отметим, что области возможного движения являются проекциями торов Лиувилля на биллиардный стол (это будет доказано в § 7). Лемма 1. При фиксированных значениях $h$ и $f$ область, задаваемая системой неравенств $V(\lambda_i)\geqslant0$, является областью возможного движения.
Доказательство. Отметим следующее: если материальная точка при фиксированных значениях $h$ и $f$ может перемещаться через заданную точку $(\lambda_1, \lambda_2)$, то вследствие формулы (4.6) для этих координат $V(\lambda_i)\,{\geqslant}\,0$. И наоборот, если $V(\lambda_i)\,{\geqslant}\,0$, то, положив начальные условия $\dot\lambda_i\,{=}\,\pm\sqrt{8}/(\lambda_2-\lambda_1)\sqrt{V(\lambda_i)}$, получим движение через эту точку. Лемма доказана.
Замечание 1. Отметим, что если координаты $(\lambda_1, \lambda_2)$ не являются корнями многочлена $V$, то в этой точке вектор скорости принимает четыре значения, если одна из координат является корнем, то два значения, а если обе координаты являются корнями, то вектор скорости нулевой (рис. 2). Также отметим, что области возможного движения не всегда являются двумерными. Они могут быть и одномерными (например, движение по фокальной прямой), и нульмерными (неподвижная точка).
Доказательство. Заметим, что $(a+\lambda_2)(b+\lambda_2)>0$, значит, при $k>0$ многочлен $-({k}/{2})z^2+hz+f$ обязан иметь два корня, иначе для любых значений $\lambda_2$$V(\lambda_2)<0$. Аналогично, $(a+\lambda_1)(b+\lambda_1)<0$, значит, при $k<0$ многочлен $-({k}/{2})z^2+hz+f$ также обязан иметь два корня. Лемма доказана. Обозначим два корня многочлена $-({k}/{2})z^2+hz+f$ через $\xi$ и $\eta$. Эти корни, вообще говоря, являются функциями от переменных $(h,f)$, и именно они определяют область возможного движения. Пример 1. Рассмотрим биллиард в области, ограниченной софокусными эллипсами с параметрами 0 и $\lambda_0$, параметр $k>0$, и корни многочлена $V$ удовлетворяют следующей цепочке неравенств: $-a<\eta<-b<\lambda_0<\xi<0$. Тогда согласно лемме 1 областью возможного движения будет область $\lambda_1\in[-a,\eta]$, $\lambda_2\in[\lambda_0,\xi]$ (рис. 3). Эта область является проекцией двух торов Лиувилля. Теперь изменим значения $h$ и $f$ так, чтобы корни удовлетворяли той же цепочке неравенств, что и в рассматриваемом примере. Область возможного движения изменится, но качественно она останется той же (не происходит бифуркации областей). Следовательно, решение данной цепочки неравенств относительно $(h, f)$ является областью в образе отображения момента, все точки которой регулярны. Такую открытую область назовем камерой образа отображения момента. Сам образ отображения момента является объединением замыканий камер, соответствующих всевозможным неравенствам на корни многочлена $V$. Бифуркационная диаграмма $\Sigma(F)$ состоит из некоторых границ камер, однако не все границы камер включаются в диаграмму (это будет показано ниже). Замечание 2. Будем обозначать бифуркационную диаграмму на образе отображения момента сплошными линиями. Штриховыми линиями будем обозначать те границы камер, которые не принадлежат бифуркационной диаграмме. Образ отображения момента для рассматриваемого примера изображен на рис. 4.
Определение 12. Области возможного движения, соответствующие регулярным точкам в образе отображения момента, будем называть регулярными, в противном случае – критическими. Определение 13. Если при непрерывном изменении значений интегралов регулярная область перестраивается в регулярную через критическую область возможного движения, будем говорить, что в этом случае происходит бифуркация областей возможного движения (ей соответствует бифуркация торов Лиувилля в $M^4$).
§ 6. Основной результатНапомним, что топологическую классификацию элементарных плоских биллиардов (с точностью до эквивалентности, описанной выше) без потенциала была дана В. В. Ведюшкиной в [12]. В той же работе для этого класса биллиардов была дана полная классификация их инвариантов Фоменко–Цишанга (т.е. меченых молекул). В нашей работе мы рассматриваем только плоские элементарные биллиарды (серии $A$ и $B$). Теорема 6. a) Полный список всех инвариантов Фоменко–Цишанга для рассматриваемых элементарных плоских биллиардов с потенциалом приведен в табл. 2. b) В табл. 1 представлена более подробная информация о классификации из табл. 2. Во втором столбце перечислены 12 плоских элементарных биллиардов. В третьем столбце перечислены инварианты Фоменко–Цишанга, соответствующие случаю притягивающего потенциала ($k>0$). Указанные номера молекул изображены в табл. 2. В четвертом столбце перечислены инварианты Фоменко–Цишанга, соответствующие случаю отталкивающего потенциала ($k<0$). c) В табл. 3 приведен полный список всех бифуркационных диаграмм рассматриваемой задачи. d) Всего неэквивалентных классов биллиардов указанного типа 12, а различных инвариантов Фоменко–Цишанга 18. e) Оказывается, все меченые молекулы, соответствующие притягивающему потенциалу, встречаются среди меченых молекул, соответствующих отталкивающему потенциалу. В этом смысле биллиард с отталкивающим потенциалом “богаче” биллиарда с притягивающим потенциалом. Таблица 2.Инварианты Фоменко–Цишанга
Таблица 3.Бифуркационные диаграммы.
Замечание 3. Итак, все инварианты для биллиардов притягивающего потенциала $k>0$ встречаются в случае отталкивающего потенциала $k<0$. Этот интересный эффект объясняется тем, что в случае $k>0$ бифуркация областей возможного движения может происходить только по отрезку фокальной прямой, а при $k<0$ бифуркация происходит как по фокальной, так и по вертикальной прямой. § 7. Доказательство основного результата (теорема 6)Доказательство, а именно вычисление меченых молекул, проведем в несколько шагов. Доказательство теоремы 6. Шаг 1. Докажем, что прообраз любой регулярной области возможного движения в фазовом пространстве $M^4$ гомеоморфен объединению двумерных торов. Для этого заметим, что любая регулярная область является либо объединением нескольких односвязных подобластей, либо областью, гомеоморфной кольцу. Сначала докажем, что прообраз любой односвязной области гомеоморфен тору (см. рис. 2). Разобьем область на эллипсы, софокусные стенкам биллиарда. Эти эллипсы делятся на дуги областью возможного движения. Напомним, что с помощью формулы (4.6) каждой точке области возможного движения можно сопоставить либо четыре, либо два вектора, либо один нулевой вектор. Оснастим каждую точку полученных дуг софокусных эллипсов векторами скорости согласно формуле (4.6). Для внутренних точек области это четыре вектора, для границ – либо два, касательных к границе, либо два, полученных из четырех векторов отождествлением согласно закону отражения. В углах области возможного движения (все они прямые) возникает единственный нулевой вектор. Прообразом в $M^4$ каждой полученной дуги оснащенного софокусного эллипса, не являющегося граничным, являются две окружности. Умножим эти окружности на отрезок и склеим полученные цилиндры по граничным окружностям в соответствии с тем, что на софокусных эллипсах, лежащих на границе области, векторы скоростей отождествляются по закону отражения. Заметим, что если задать ориентацию на граничных окружностях, согласованную с ориентацией цилиндров, то при склейке пар окружностей их ориентации в паре либо одновременно одинаковые, либо одновременно противоположные. Следовательно, мы получили двумерный тор (а не бутылку Клейна). Теперь разберем случай области, гомеоморфной кольцу (рис. 5). Как и выше, разобьем область возможного движения на оснащенные софокусные эллипсы. Прообраз в $M^4$ каждого такого не граничного эллипса гомеоморфен четырем окружностям. Умножим их на отрезок и склеим цилиндры по границам, согласно склейке векторов скорости на граничных эллипсах. Как и выше, задав ориентацию на границах цилиндров, получим два тора. Эти торы отвечают за движение точки на биллиарде по и против часовой стрелки соответственно. Отметим, что в этом случае движения точки по отрезкам вертикальной или фокальной прямых не возникает. Дело в том, что такое движение было бы критическим и соответствовало бы критическим областям возможного движения, а такие на этом шаге не рассматриваются (о них см. шаг 2). Шаг 2. Теперь вычислим атомы. Для этого посмотрим, как перестраиваются регулярные области возможного движения при переходе из одной камеры бифуркационной диаграммы в другую. Заметим, что для всех биллиардов перестройки областей возможного движения возникают при переходе из одной камеры образа отображения момента в другую. Приведем классификацию (полный список) таких перестроек: (0) выход границы области на границу биллиарда; (1) склейка односвязных подобластей по одному отрезку фокальной прямой; (2) склейка односвязных подобластей по двум отрезкам фокальной прямой в одну неодносвязную область; (3) склейка односвязных подобластей по одному отрезку вертикальной прямой; (4) склейка односвязных подобластей по двум отрезкам вертикальной прямой в одну неодносвязную область; (5) перестройка односвязной области в односвязную по фокальной прямой через фокус. Рассмотрим все эти случаи. В случае выхода области возможного движения на границу (0) эта область не меняется с точностью до эквивалентности, описанной выше (см. определение 5). Следовательно, бифуркаций торов не происходит, а соответствующая точка в образе отображения момента лежит на штриховой линии. Рассмотрим случай (1) (рис. 6). Критическим движением является отрезок фокальной прямой, по которому происходит склейка. Разобьем критическую область возможного движения на оснащенные эллипсы. Внутренним точкам отрезка склейки соответствуют два вектора скорости, направленные по фокальной прямой, во всех остальных точках неграничного эллипса – по четыре вектора. Следовательно, в прообразе неграничного эллипса лежат две восьмерки (критические слои 2-атома $B$). Умножим их на отрезок. Получим два “цилиндра”. Границей каждого из них является пара восьмерок. Склеим эти два “цилиндра” по их границам в соответствии со склейкой векторов скорости на границе области возможного движения. Так же, как и на шаге 1, зададим ориентацию на границах “цилиндров”, согласованную с ориентацией самих “цилиндров”. При склейке соответствующих границ в двух склеиваемых парах восьмерок их ориентация одновременно либо одинаковая, либо противоположная. В обоих случаях получается один и тот же критический слой 3-атома $B$. Иными словами, бифуркация торов при перестройке типа (1) происходит по атому $B$. Аналогично рассматривается случай (3) (рис. 7). Теперь рассмотрим случай (2) (рис. 8). Критическим движением являются отрезки фокальной прямой, по которым происходит склейка. Разобьем критическую область возможного движения на оснащенные эллипсы. Во внутренних точках отрезка склейки лежат два вектора скорости, направленные по фокальной прямой, во всех остальных точках неграничного эллипса – по четыре вектора. Следовательно, прообраз каждого неграничного эллипса гомеоморфен двум парам окружностей. В каждой паре окружности имеют две общие точки. Иными словами, имеем два экземпляра особых слоев 2-атома $C_2$. Умножим каждый из них на отрезок и склеим по границе согласно правилу склеек векторов скоростей на границе области. Как и в предыдущих случаях, учет ориентаций дает нам особый слой атома $C_2$. Случай (4) разбирается аналогично (рис. 9). Случай (5) более сложен (рис. 10). Всем внутренним точкам области возможного движения соответствуют четыре вектора скорости, за исключением точек фокальной прямой. Фокусу соответствует целая окружность векторов скорости, а в других точках фокальной прямой имеем по два вектора скорости, направленные вдоль нее. Такой перестройке соответствует бифуркация через атом $A^*$. Подробнее об этом вычислении см. работу В. В. Ведюшкиной [12]. Стоит отметить, что кроме приведенных случаев бифуркаций имеет место бифуркация односвязной области возможного движения в неодносвязную через два фокуса. Такая бифуркация встречается только в случае эллиптического биллиарда. Этот случай биллиарда в эллипсе с потенциалом был полностью разобран И. Ф. Кобцевым. Таким образом, мы вычислили атомы для всех возможных перестроек областей возможного движения нашей задачи. Шаг 3. После вычисления атомов следующим шагом является вычисление грубых молекул. Для этого выберем уровень интеграла $H=h_0$ и на образе отображения момента проведем прямую $h=h_0$. Эта прямая пересекает его по конечному отрезку, а бифуркационную диаграмму – в нескольких точках на этом отрезке. Каждой такой точке соответствует особый слой некоторого атома в прообразе отображения момента, всем остальным точкам соответствует объединение торов (в соответствии с областью возможного движения согласно утверждениям на шаге 1). Сам атом вычисляется согласно утверждениям шага 2. В качестве примера рассмотрен кольцевой биллиард при $k>0$ (рис. 11 и 12). Итогом этого шага является полный список всех грубых молекул нашей задачи. Все они перечислены в табл. 2. В этой таблице все грубые молекулы снабжены метками, вычислению которых посвящен следующий шаг 4. Шаг 4. Это последний шаг доказательства, на котором мы вычислим все метки. Определение 14. Полуокрестностью атома называется прообраз в $Q^3$ полуокрестности соответствующей этому атому критической точки на отрезке, образованном пересечением образа отображения момента и прямой $h=h_0$. Для вычисления меток выберем допустимые базисы в каждой полуокрестности каждого атома, вычислим матрицы склейки и уже по ним вычислим метки. Более подробно об алгоритме вычисления меток см. [11] и [12]. Начнем с биллиардов, являющихся частью кольцевого биллиарда. Это – биллиарды 2–8 в табл. 1. Они характеризуются тем, что проекциями критических циклов атомов являются отрезки фокальной и вертикальной прямых, причем эти отрезки лежат в области, ограниченной двумя эллипсами. Выберем базис вблизи атомов, степени вершин которых в графе превосходят 1 (т.е. это не атомы $A$). Базисный цикл $\lambda$ проходит вблизи критического цикла, базисный цикл $\mu$ является дополнительным. Для рассматриваемых биллиардов прообраз отрезка фокальной прямой и вертикальной прямой соответствует одним и тем же базисным циклам с точностью до ориентации. Поэтому любая матрица склейки на внутренних ребрах имеет вид Соответственно, метки будут равны $r=\infty$, $\varepsilon=1$.Чтобы вычислить матрицы склейки на граничных ребрах молекулы, найдем допустимый базис на торах Лиувилля вблизи атомов $A$. Заметим, что при минимальных значениях интеграла $F$ (т.е. там, где торы “рождаются”), соответствующих какой-либо рассматриваемой молекуле, проекция цикла $\lambda$ на биллиард стягивается по отрезку вертикальной прямой. Следовательно, для ребер, соответствующих подобным атомам $A$, матрица склейки оказывается такой же, как и в предыдущем случае, т.е. Следовательно, метки имеют вид $r=\infty$, $\varepsilon=1$.При максимальных значениях интеграла $F$ (т.е. там, где торы “умирают”, исчезают) проекция базисного цикла $\lambda$ на биллиард стягивается по эллипсу, софокусному границам биллиарда. Матрица склейки имеет вид Следовательно, метки таковы: $r=0$, $\varepsilon=1$. Таким образом, мы вычислили метки на всех ребрах грубых молекул для всех описанных выше биллиардов (т.е. для являющихся частью кольцевой области, см. выше). Иными словами, подсчитаны полные инварианты Фоменко–Цишанга. Пример перестроек областей и базисных циклов для молекулы 16 приведен на рис. 13. Здесь циклы $\lambda$ обозначены сплошными линиями, циклы $\mu$ – штриховыми.Остальные случаи рассмотрим по отдельности. Напомним, что случай эллипса полностью проанализирован И. Ф. Кобцевым, поэтому здесь мы его не рассматриваем. Биллиард 9. Из шага 3 следует, что все грубые молекулы для этого случая оказываются двух типов: 1 и 17 (см. табл. 2). Рассмотрим перестройку и циклы, соответствующие молекуле 1 (рис. 14). Вычислим матрицы склеек. Для указанного на рис. 14 перехода номер 1 матрица склейки равна Следовательно, метки таковы: $r=0$, $\varepsilon=1$. Для указанного на рис. 14 перехода номер 2 матрица склейки имеет вид Следовательно, метки таковы: $r=\infty$, $\varepsilon=1$.Поскольку молекула 17 имеет простой вид $A$–$A$, то этот случай разбирается тривиально. Биллиард 11. Из шага 3 следует, что все грубые молекулы для этого случая оказываются двух типов: 8 и 17 (см. табл. 2). Рассмотрим перестройку и циклы, соответствующие молекуле 8 (рис. 15). Заметим, что перестройка областей возможного движения происходит по фокальной прямой через фокус. Матрица склейки для изображенного на рис. 15 перехода номер 1 имеет вид Следовательно, метки имеют вид: $r=0$, $\varepsilon=1$. Матрица склейки для изображенного на рис. 15 перехода номер 2 имеет вид Следовательно, метки имеют вид: $r=0$, $\varepsilon=1$. Метка $n={-0}/{1}+{-1}/{1}=-1$.Как уже было отмечено, молекула 17 разбирается тривиально. Биллиард 10. Все грубые молекулы для этого случая оказываются типов 1, 6, 7, 17 (см. табл. 2). Вычисление меток для молекулы 1 проводится аналогично той же молекуле для биллиарда 9. Рассмотрим перестройки областей возможного движения и проекции базисных циклов, соответствующие молекуле 6 (рис. 16). Матрица склейки для изображенного на рис. 16 перехода номер 1 имеет вид Следовательно, метки имеют следующий вид: $r=0$, $\varepsilon=1$. Для всех остальных перестроек областей возможного движения матрица склейки имеет вид Следовательно, метки имеют следующий вид: $r=\infty$, $\varepsilon=1$. Таким образом, мы вычислили все метки молекулы 6.Теперь разберем молекулу 7. На рис. 17 изображены соответствующие этой молекуле перестройки областей возможного движения. Каждая область соответствует одной из трех групп ребер в молекуле. При этом, как нетрудно заметить, на каждом ребре при переходе из полуокрестности одного атома в полуокрестность другого базисные циклы $\lambda$ и $\mu$ меняются местами с точностью до ориентации. Следовательно, все матрицы склеек имеют вид Следовательно, метки имеют вид: $r=0$, $\varepsilon=1$. Метка $n=0$ для каждого атома $B$.Случай молекулы 17 тривиален. Биллиард 12. Все грубые молекулы для этого случая оказываются типов 5, 8, 9, 10, 17 (см. табл. 2). Аналогично предыдущим случаям, рассмотрим каждую молекулу. Случай молекулы 8 разбирается аналогично той же молекуле для биллиарда 11. В случае молекулы 5 области возможного движения перестраиваются так, что ни одна из них не пересекается с некоторой окрестностью фокального отрезка (рис. 18). Следовательно, он аналогичен случаю биллиарда, лежащего целиком в кольце, и полностью разобран. Теперь рассмотрим молекулу 9. Соответствующие перестройки областей возможного движения и базисные циклы изображены на рис. 19. Заметим, что на ребрах, трансцендентных атому $A^*$, матрицы склейки те же, что и в случае биллиарда 10, так как базисные циклы остаются теми же. Для остальных перестроек матрицы вычисляются аналогично рассмотренным ранее биллиардам, лежащим в кольце. Наконец, рассмотрим случай молекулы 10. Перестройки областей возможного движения и базисные циклы изображены на рис. 20. Матрица склейки для изображенного на рис. 20 перехода номер 1 имеет вид Следовательно, метки имеют следующий вид: $r=0$, $\varepsilon=1$.Матрица склейки для изображенного на рис. 20 перехода номер 3 имеет вид Следовательно, метки имеют вид: $r={1}/{2}$, $\varepsilon=-1$. Метка $n$ атома $A^*$ имеет вид $n=-1+0=-1$.Матрица склейки для изображенного на рис. 20 перехода номер 5 имеет вид Следовательно, метки имеют вид: $r=0$, $\varepsilon=-1$. Метка $n$ атома $B$ равна $n=0+0=0$.Итак, были получены инварианты Фоменко–Цишанга для всех изоэнергетических поверхностей $Q^3$ для каждого из двенадцати биллиардов. Следовательно, теорема 6 доказана. § 8. Лиувиллево эквивалентные системыТеперь приведем примеры интегрируемых систем, лиувиллево эквивалентных рассмотренным биллиардам. Согласно теореме Фоменко–Цишанга 2 для этого достаточно сопоставить соответствующие инварианты Фоменко–Цишанга с полученными в теореме 6. Теорема 7. В табл. 4 приведены интегрируемые системы динамики твердого тела, лиувиллево эквивалентные рассматриваемым биллиардам с гуковским потенциалом в своих соответствующих зонах энергии. При этом номера биллиардов см. в табл. 1. Таблица 4.Эквивалентные системы
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pus21} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|