| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 18 научных статьях (всего в 18 статьях) С. Е. Пастухова МИРЭА — Российский технологический университет, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9413 
Реферативные базы данных:
      § 1. ВведениеНастоящая работа относится к теории усреднения, начало которой было положено более 50 лет назад. Среди основных монографий по усреднению отметим [1]–[4]. Эллиптическое уравнение с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами является модельным в теории усреднения. Оно может описывать разнообразные физические процессы, а неоднородность коэффициентов отражает неоднородность среды, в которой процессы протекают. Это может быть, например, пористая среда, перфорированное пространство, композит. Теория упругости для тонких пластин с периодической композитной структурой приводит к уравнениям четвертого порядка с оператором вида
$$
\begin{equation}
A_\varepsilon=\sum_{i,j,s,t}\frac{\partial^2}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggl(a_{ijst}\biggl(\frac x\varepsilon\biggr) \,\frac{\partial^2}{\partial x_s\,\partial x_t}\biggr), \qquad \varepsilon\in (0,1),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где 1-периодический измеримый тензор четвертого порядка $a(x)=\{a_{ijst}(x)\}$ подчинен условиям симметрии, положительной определенности и ограниченности. В частности, эти условия обеспечивают эллиптичность оператора. Отметим, что в приложениях к композитам оператор $A_\varepsilon$ имеет заведомо негладкие коэффициенты $a_{ijst}(x)$. Даже для двухфазного упругого композита, фазы которого однородны и изотропны с разными модулями упругости, $a_{ijst}(x)$ – это кусочно постоянные функции, значения которых не меняются на каждой фазе, но испытывают скачок на границе фаз, причем граница фаз может быть тоже негладкой. Поэтому изучение операторов $A_\varepsilon$ с измеримыми коэффициентами является актуальной задачей. Вхождение малого параметра $\varepsilon$ в коэффициенты оператора $A_\varepsilon$ отражает мелкоячеистую структуру композита (коэффициенты оператора $\varepsilon$-периодичны), малая ячейка периодичности делает среду сильно неоднородной. Но при достаточно малых $\varepsilon$ наблюдается обратный эффект: сильно неоднородная на микроуровне среда описывается на макроуровне эффективными характеристиками (тензорами), которые постоянны и, значит, соответствуют однородной среде. Теория усреднения предоставляет формулы для отыскания эффективных, или усредненных, характеристик (тензоров), а также устанавливает близость исходной модели к усредненной при малых $\varepsilon$. Естественно возникает вопрос о погрешности усреднения. Оценки погрешности усреднения по параметру $\varepsilon$ всегда были в центре внимания в задачах усреднения. Долгое время такие оценки устанавливались лишь в предположениях завышенной гладкости данных задачи, как-то: коэффициентов уравнения, правой части уравнения или начальных данных для эволюционных уравнений. В последние два десятилетия удалось доказать оценки погрешности усреднения для разных типов уравнений в самых общих условиях, так что этим оценкам теперь можно придать операторную форму. Например, если резольвенту оператора (1.1) рассматривать как оператор в $L^2(\mathbb R^d)$, то результаты об усреднении оператора $A_\varepsilon$ можно представить в терминах резольвентной сходимости. Так, хорошо известный из [5] результат об усреднении и $G$-сходимости семейства операторов $A_\varepsilon$ означает, в частности, близость резольвенты оператора $A_\varepsilon$ к резольвенте усредненного оператора $A_0$ в смысле сильной операторной сходимости:
$$
\begin{equation*}
(A_\varepsilon+1)^{-1}f\to (A_0+1)^{-1}f \quad\text{в }\ L^2(\mathbb R^d) \quad\text{для любой }\ f\in L^2(\mathbb R^d).
\end{equation*}
\notag
$$
В [6] доказана более сильная равномерная резольвентная сходимость $A_\varepsilon$ к $A_0$ с оценкой скорости сходимости по параметру $\varepsilon$, а именно
$$
\begin{equation}
\|(A_\varepsilon+1)^{-1}-(A_0+1)^{-1}\|_{L^2(\mathbb R^d)\to L^2(\mathbb R^d)}\leqslant C\varepsilon,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где константа $C$ зависит только от размерности пространства и константы эллиптичности для исходного тензора $a(x)$. Отметим, что усредненный оператор $A_0$ имеет тот же вид, что и исходный, но существенно проще:
$$
\begin{equation*}
A_0=\sum_{i,j,s,t}\frac{\partial^2}{\partial x_i\,\partial x_j} \biggl(a^{\mathrm{hom}}_{ijst}\,\frac{\partial^2}{\partial x_s\,\partial x_t}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
и имеет постоянный тензор $a^{\mathrm{hom}}$. Этот результат далее будет уточнен. Повышенный интерес к операторным оценкам усреднения возник с появлением статьи М. Ш. Бирмана и Т. А. Суслиной [7], где спектральным методом была доказана оценка типа (1.2) для широкого класса матричных эллиптических операторов второго порядка. В последнее время усилиями многих авторов получены интересные результаты по операторным оценкам усреднения, притом различными методами. С точки зрения метода настоящая публикация продолжает серию работ, идущую от [8] (см. также обзор [9] и указанную там литературу), и в очередной раз демонстрирует эффективность метода сдвига, предложенного В. В. Жиковым. Этот метод успешно и продуктивно можно применять для дифференциальных эллиптических операторов произвольного четного порядка $2m\geqslant 4$. В настоящей статье подробно рассмотрен случай $m= 2$, может быть, наиболее важный с точки зрения приложений. По содержанию результатов настоящая работа – это прямое продолжение статьи [6]. Напомним, что основной результат в [6] – аппроксимация резольвенты оператора (1.1) в операторной $(L^2(\mathbb R^d)\to H^2(\mathbb R^d))$-норме с помощью суммы $(A_0+1)^{-1}+\varepsilon^2\mathscr{K}_\varepsilon$ резольвенты усредненного оператора и корректирующего оператора, так что выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\|(A_\varepsilon+1)^{-1}-(A_0+1)^{-1}-\varepsilon^2 \mathscr{K}_\varepsilon\|_{L^2 (\mathbb{R}^d)\to H^2 (\mathbb{R}^d)}\leqslant C\varepsilon
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
с постоянной $C$, зависящей только от размерности пространства и константы эллиптичности для исходного тензора $a(x)$. Оператор $\mathscr{K}_\varepsilon$ определяется через решения вспомогательных задач на ячейке периодичности – единичном кубе. Эти задачи обычно вводятся, чтобы определить усредненный тензор $a^{\mathrm{hom}}$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\|\varepsilon^2 \mathscr{K}_\varepsilon\|_{L^2 (\mathbb{R}^d)\to H^2 (\mathbb{R}^d)}\leqslant c, \qquad \| \mathscr{K}_\varepsilon\|_{L^2 (\mathbb{R}^d)\to L^2 (\mathbb{R}^d)}\leqslant c.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, оценка (1.2) в операторной $L^2(\mathbb R^d)$-норме может быть получена из (1.3) простым огрублением. В настоящей работе благодаря более тонкому использованию $H^2$-оценки типа (1.3) удается улучшить $L^2$-оценку (1.2) по порядку $\varepsilon$. Наш основной результат заключается в следующем: резольвента $(A_0+1)^{-1}$ усредненного оператора аппроксимирует резольвенту $(A_\varepsilon+1)^{-1}$ исходного оператора в $L^2$-операторной норме с остаточным членом порядка $\varepsilon^2$, т.е. верна оценка
$$
\begin{equation}
\|(A_\varepsilon+1)^{-1}-(A_0+1)^{-1}\|_{L^2 (\mathbb{R}^d)\to L^2 (\mathbb{R}^d)}\leqslant C\varepsilon^2
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
с константой в правой части того же типа, что в (1.2). Среди результатов об аппроксимации резольвенты $(A_\varepsilon\,{+}\,1)^{-1}$ без какого-либо корректора уместно привести следующую операторную оценку, доказанную в [6]:
$$
\begin{equation}
\|S^\varepsilon(A_\varepsilon+1)^{-1}-(A_0+1)^{-1}\|_{L^2 (\mathbb{R}^d)\to H^2 (\mathbb{R}^d)}\leqslant C\varepsilon,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где $S^\varepsilon$ – оператор сглаживания по Стеклову. Напомним, что для $\varphi\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^d)$ сглаживание по Стеклову (или среднее по Стеклову) определяется как
$$
\begin{equation}
(S^\varepsilon\varphi)(x)=\int_Y \varphi(x-\varepsilon\omega )\,d\omega , \qquad Y=\biggl[-\frac12,\frac12\biggr)^d.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Сглаживание по Стеклову естественно возникает в методе сдвига (см. [8]–[10]). Необходимые нам свойства оператора сглаживания $S^\varepsilon$, а также связанного с ним оператора сдвига $S^\varepsilon_\omega \colon \varphi(\,\cdot\,)\to\varphi(\,\cdot+\varepsilon\omega )$ приведены в п. 3.3. В нашем доказательстве сглаживание по Стеклову как составной элемент построенной аппроксимации появляется на промежуточном этапе. Но на заключительном этапе сглаживание можно опустить, упростив по форме окончательный результат (см. § 5). Аналоги оценок (1.2), (1.3), (1.5) для эллиптических операторов дивергентного вида произвольного четного порядка $2m\geqslant 4$ доказаны в [11]. $G$-сходимость и усреднение таких операторов изучались в обзоре [5], так что в [11] развиты некоторые подходы и идеи из [5]. Можно перенести оценку (1.4) на этот общий случай, чему посвящена отдельная публикация. Операторные оценки усреднения для уравнений высокого порядка изучались также в [12] и [13], где спектральным методом, развивающим подход из работы [7], были получены $L^2$-оценки типа (1.2) для матричных сильно эллиптических операторов. $L^2$-аппроксимация с остаточным членом порядка $\varepsilon^2$ для резольвенты дивергентного эллиптического оператора $A_\varepsilon$ второго порядка с $\varepsilon$-периодическими коэффициентами впервые была найдена в [14] и [15], причем в обеих работах – спектральным методом. Для оператора диффузии $A_\varepsilon=-\operatorname{div}a(x/\varepsilon)\nabla $, где $a(\,\cdot\,)$ – измеримая симметрическая 1-периодическая матрица с вещественными элементами, такая аппроксимация имеет вид суммы $(A_0\,{+}\,1)^{-1}\,{+}\,\varepsilon \mathscr{C}_\varepsilon$ с корректирующим оператором $\mathscr{C}_\varepsilon\,{=}\,\mathscr K_\varepsilon\,{+}\,(\mathscr K_\varepsilon)^*$, где $\mathscr K_\varepsilon f\,{=}\, N(x/\varepsilon)\cdot\nabla u$, $u\,{=}\,(A_0\,{+}\,1)^{-1}f$ и $N(\,\cdot\,)$ есть решение вспомогательной задачи на ячейке периодичности. При этом выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\|(A_\varepsilon+1)^{-1}-(A_0+1)^{-1}-\varepsilon \mathscr{C}_\varepsilon\|_{L^2 (\mathbb{R}^d)\to L^2 (\mathbb{R}^d)}\leqslant c\varepsilon^2
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
с константой в правой части, зависящей только от размерности пространства $d$ и константы эллиптичности для матрицы $a(\,\cdot\,)$. В частном случае, когда матрица $a(\,\cdot\,)$ соленоидальна, решение $N(\,\cdot\,)$ задачи на ячейке будет нулевым, так что корректирующий оператор отсутствует в (1.7), как и в (1.4). Наоборот, структура оператора $\mathscr{C}_\varepsilon$ может усложниться в (1.7), если оператор $A_\varepsilon$ несамосопряженный или матричный, а также с комплексными коэффициентами (см. [15]–[23]). Опишем структуру работы. Точная постановка задачи дана в § 2, а § 3 и § 4 носят вспомогательный или подготовительный характер. Непосредственное доказательство основного результата – оценки (1.4) – приведено в § 5. В § 6 обсуждаются близкие результаты и некоторые обобщения. § 2. Постановка задачи и основной результатРассмотрим в $\mathbb R^d$ уравнение четвертого порядка с параметром $\varepsilon\in ( 0,1)$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u^\varepsilon\in H^2(\mathbb R^d), \qquad A_\varepsilon u^\varepsilon+u^\varepsilon=f, \quad f\in L^2(\mathbb R^d), \\ A_\varepsilon =D^* \,a_\varepsilon(x)D. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Здесь $a_\varepsilon(x)\,{=}\,a(x/\varepsilon)$, при этом $a(y)\,{=}\,\{a_{ijst}(y)\}$ есть измеримый вещественнозначный тензор четвертого порядка, периодический с ячейкой периодичности $Y=[-1/2,1/2)^d$ и удовлетворяющий условиям симметрии и эллиптичности
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, a_{ijst}=a_{stij}, \qquad a_{ijst}=a_{jist}= a_{ijts}, \\ \exists\,\lambda>0\colon \quad \lambda\xi\cdot\xi\leqslant a(\,\cdot\,)\xi\cdot\xi\leqslant\lambda^{-1}\xi\cdot\xi \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
для любой симметрической матрицы $\xi=\{\xi_{ij}\}$, где через $\xi\,{\cdot}\,\eta$ обозначено скалярное произведение матриц $\xi\,{=}\,\{\xi_{ij}\}$ и $\eta\,{=}\,\{\eta_{ij}\}$, т.е. $\xi\,{\cdot}\,\eta=\xi_{ij}\eta_{ij}$. Как обычно, по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от $1$ до $d$ (если не оговорено иное). В силу свойств симметрии из (2.2) действие тензора $a$ на симметрическую матрицу $\xi$ есть симметрическая матрица $\eta=a\xi$, а для произвольной матрицы $\xi$ имеем равенство $a\xi=a\xi^s$, где $\xi^s=(1/2)(\xi+\xi^{\top})$ – симметрическая часть матрицы $\xi$. Определим дифференциальные операторы в (2.1). Полагаем
$$
\begin{equation*}
D\varphi=\nabla^2\varphi= \biggl\{\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggr\}_{i,j=1}^{d},
\end{equation*}
\notag
$$
так что оператор $D$ переводит скалярные функции в матричные. Тогда сопряженный оператор $D^*=\nabla^*\nabla^*=\operatorname{div}\,\operatorname{div}$ действует формально на матрицу $\eta=\{\eta_{ij}\}$ как $D^*\eta=\dfrac{\partial^2}{\partial x_i\,\partial x_j}\eta_{ij}$, сворачивая матрицу в скаляр. Равенство
$$
\begin{equation}
D^*\eta=f, \quad\text{где }\ \eta\in L^2(\mathbb R^d)^{d\times d}, \quad f \in L^2(\mathbb R^d),
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
понимается в смысле распределений на $\mathbb R^d$, т.е. в смысле интегрального тождества
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb R^d}\eta\cdot D\varphi\,dx=\int_{\mathbb R^d} f\varphi\,dx \quad \forall\, \varphi\in C_0^\infty(\mathbb R^d).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Итак, оператор $A_\varepsilon$ в развернутом виде определяется как
$$
\begin{equation*}
A_\varepsilon=\frac{\partial^2}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggl(a_{ijst}\biggl(\frac{x}{\varepsilon}\biggr)\, \frac{\partial^2}{\partial x_s\,\partial x_t}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
(имеем то же, что в (1.1)). Пример. Пусть тензор $a$ действует на матрицу $\xi$ как где $\operatorname{Tr}\xi=\xi_{ii}$ – след матрицы $\xi$, $E$ – единичная матрица, $\alpha$ – скалярная функция. Очевидно, что $a\xi\cdot\xi=\alpha(\operatorname{Tr}\xi)^2$, и для матрицы $\xi=D\varphi$ получаем В силу (2.3), (2.4) решение уравнения (2.1) понимается в смысле интегрального тождества
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb R^d }[a_\varepsilon(x) D u^\varepsilon \cdot D\varphi+ u^\varepsilon \varphi]\,dx =\int_{\mathbb R^d } f \varphi\,dx \quad \forall\, \varphi\in C_0^\infty(\mathbb R^d),
\end{equation*}
\notag
$$
где по замыканию пробные функции можно брать из $H^2(\mathbb R^d)$. По теореме Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве решение уравнения (2.1) существует и единственно, при этом выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\| u^\varepsilon\|_{H^2(\mathbb R^d)}\leqslant c(\lambda) \|f \|_{L^2(\mathbb R^d)}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Здесь уместно заметить, что в пространстве $ H^2(\mathbb R^d)$ можно задать эквивалентную норму через соотношение
$$
\begin{equation*}
\|\varphi\|^2_{H^2(\mathbb R^d)}=\int_{\mathbb R^d}(|\varphi|^2+|D\varphi|^2)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Предельным для (2.1) при $\varepsilon\to0$, или усредненным, будет уравнение, аналогичное исходному, но с постоянными коэффициентами
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u\in H^2(\mathbb R^d), \qquad A_0u+u=f, \quad f\in L^2(\mathbb R^d), \\ A_0 =D^*a^{\mathrm{hom}}D. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Постоянный тензор четвертого порядка $a^{\mathrm{hom}}$, принадлежащий классу (2.2), определен ниже; см. (3.4). Сформулируем наш основной результат. Теорема 1. Для разности решений задач (2.1) и (2.6) верна оценка Оценка (2.7) допускает операторную формулировку. Поскольку имеем $u^\varepsilon=(A_\varepsilon+1)^{-1}f$, $u=(A_0+1)^{-1}f$, то (2.7) можно переписать через разность резольвент:
$$
\begin{equation*}
\|(A_\varepsilon+1)^{-1}f-(A_0+1)^{-1}f\|_{L^2(\mathbb R^d)} \leqslant c_0\varepsilon^2\|f\|_{L^2(\mathbb R^d)} , \qquad c_0=\mathrm{const}(d,\lambda),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает оценка (1.4).
§ 3. Вспомогательные задачи3.1.Введем задачи на ячейке:
$$
\begin{equation}
N^{ij}\in \widetilde{H}^2_{\mathrm{per}}(Y), \qquad D^*_ya(y)(D_yN^{ij}(y)+e^{ij})=0, \quad i,j=1,\dots,d.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Здесь матрица $e^{ij}=\{e^{ij}_{sh}\}_{s,h}$ имеет элементы $e^{ij}_{sh}=\delta^i_s\delta^j_h$, где $\delta^i_s$ – символ Кронекера;
$$
\begin{equation*}
\widetilde{H}^2_{\mathrm{per}}(Y)=\{\varphi\in {H}^2_{\mathrm{per}}(Y)\colon\langle \varphi\rangle=0\}
\end{equation*}
\notag
$$
есть соболевское пространство 1-периодических функций с нулевым средним Равенство
$$
\begin{equation}
D^*_yb(y)=0, \qquad b\in L_{\mathrm{per}}^2(Y)^{d\times d},
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
означает выполнение интегрального тождества
$$
\begin{equation}
\langle b\cdot D\varphi\rangle=0, \qquad \varphi\in C^\infty_{\mathrm{per}}(Y),
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где по замыканию пробные функции можно брать из $\widetilde{H}^2_{\mathrm{per}}(Y)$. В теории усреднения известно, что равенство (3.2) можно понимать и в смысле распределений в $\mathbb R^d$. т.е. помимо (3.3) можно рассматривать интегральное тождество
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb R^d}b\cdot D\varphi\,dx=0, \qquad \varphi\in C_0^\infty(\mathbb R^d).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (3.2), (3.3) решение задач на ячейке удовлетворяет тождеству
$$
\begin{equation*}
\langle aD N^{ij}\cdot D\varphi\rangle=-\langle ae^{ij}\cdot D\varphi\rangle, \qquad \varphi\in \widetilde{H}^2_{\mathrm{per}}(Y).
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме Рисса доказывается существование единственного решения уравнения (3.1). Здесь уместно заметить, что в $\widetilde{H}^2_{\mathrm{per}}(Y)$ норму можно ввести стандартным образом, а также используя только второй градиент $\nabla^2=D$:
$$
\begin{equation*}
\|\varphi\|^2_{\widetilde{H}^2_{\mathrm{per}}(Y)}=\langle|\nabla^2\varphi|^2+ |\nabla\varphi|^2+|\varphi|^2\rangle, \qquad \|\varphi\|^2_{\widetilde{H}^2_{\mathrm{per}}(Y)}=\langle|D\varphi|^2\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Эквивалентность этих двух норм обеспечена неравенством Пуанкаре
$$
\begin{equation*}
\langle|\varphi|^2\rangle\leqslant C_P\langle|\nabla\varphi|^2\rangle \quad \forall\, \varphi \in H^1(Y), \qquad \langle\varphi\rangle=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тензор $a^{\mathrm{hom}}$, участвующий в (2.6), задается соотношениями
$$
\begin{equation}
a^{\mathrm{hom}}e^{ij}=\langle a(\,\cdot\,)(D_yN_{ij}(\,\cdot\,)+e^{ij})\rangle, \qquad i,j=1,\dots,d.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Данный тензор наследует свойства симметрии и положительной определенности (2.2). Это доказывается так же, как аналогичный факт из усреднения дивергентных эллиптических уравнений второго порядка (см., например, [3]–[5]). Отсюда в силу постоянства $a^{\mathrm{hom}}$ легко получить эллиптическую оценку для решения усредненного уравнения
$$
\begin{equation}
\|u\|_{H^4(\mathbb R^d)}\leqslant c(\lambda)\|f\|_{L^2(\mathbb R^d)}.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
3.2.В дальнейшем важную роль будет играть следующая лемма о представлении. Ее доказательство можно найти в [6], [11], [9]. Лемма 1. Пусть симметрическая матрица $ g=\{g_{st}\}_{s,t}\in L^2(Y)^{d\times d}$ имеет свойства $\langle g\rangle=0$, $ D^*g=0$. Тогда найдется семейство 1-периодических матриц $ G^{st}=\{G^{st}_{km}\}_{k,m}$, где $s,t=1,\dots,d$, таких, что Лемма 1 применима к матричной функции так как в силу (3.1) и (3.4) обеспечены условия3.3.Пусть $\varepsilon\in (0,1)$ и $\omega \in Y=[-1/2,1/2)^d$. Введем оператор сдвига
$$
\begin{equation*}
S^\varepsilon_\omega \varphi(x)=\varphi(x+\varepsilon\omega ).
\end{equation*}
\notag
$$
В доказательствах ниже этот оператор наряду с оператором сглаживания по Стеклову (см. (1.6)) будет играть ключевую роль. Напомним некоторые свойства этих операторов:
$$
\begin{equation}
\|S^\varepsilon_\omega \varphi-\varphi\| \leqslant c\varepsilon\|\nabla \varphi\|,
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
$$
\begin{equation}
\|S^\varepsilon\varphi-\varphi\| \leqslant c\varepsilon\|\nabla \varphi\|,
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
если $\varphi\in H^1(\mathbb R^d)$. Здесь $\|\cdot\|$ обозначает норму $\|\cdot\|_{L^2(\mathbb R^d)}$, а константа в правой части неравенств зависит лишь от размерности $d$. Оценка (3.9) уточняется:
$$
\begin{equation}
\|S^\varepsilon\varphi-\varphi\| \leqslant c\varepsilon^2\|\nabla^2 \varphi\|, \qquad c=\mathrm{const}(d),
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
если $\varphi\in H^2(\mathbb R^d)$. Свойства (3.8)–(3.10) можно доказать, используя формулу Тейлора для $\varphi(x+\varepsilon\omega )-\varphi(x)$ с подходящим остаточным членом.
§ 4. $H^2$-приближениеНаша главная цель – доказать $L^2$-оценку порядка $\varepsilon^2$ погрешности нулевого приближения $u$ для решения $u^\varepsilon$ исходного уравнения (см. (2.7)). В доказательстве этой оценки будем существенно опираться на полученный ранее (см. [6], [11], [9]) результат о приближении решения $u^\varepsilon$ в энергетической норме с дополнительным параметром интегрирования, который ниже формулируется как теорема 2. Повторим доказательство этой теоремы, потому что его элементы будут далее многократно использованы. 4.1.Наряду с нулевым приближением $u$ определим по решениям задач (2.6) и (3.1) функцию $v^\varepsilon(x)$:
$$
\begin{equation}
v^\varepsilon(x)=u(x)+\varepsilon^2 N(y)\cdot D u(x)= u(x)+\varepsilon^2 N^{ij}(y)\,\frac{\partial^2 u(x)}{\partial x_i\,\partial x_j}, \qquad y=\frac{x}{\varepsilon},
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
называемую первым приближением, и попытаемся доказать оценку
$$
\begin{equation*}
\|v^\varepsilon-u^\varepsilon\|_{H^2(\mathbb R^d)}\leqslant c\varepsilon \|f\|_{L^2(\mathbb R^d)}, \qquad c=\mathrm{const}(d,\lambda),
\end{equation*}
\notag
$$
в силу которой $v^\varepsilon$ можно было бы также назвать $H^2$-приближением к $u^\varepsilon$. Будем сначала считать, что функция $ u(x)$ бесконечно дифференцируема и вместе со своими производными убывает на бесконечности достаточно быстро, что обеспечено, например, если в уравнении (2.1) $f\in C_0^\infty(\mathbb R^d)$. В таких предположениях $v^\varepsilon\in H^2(\mathbb R^d)$ и можно оценить невязку функции $v^\varepsilon$ в уравнении (2.1). Верна формула дифференцирования двухмасштабной функции
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D\Phi\biggl(x,\frac x\varepsilon\biggr) &=\bigl[D_x\Phi(x,y)+\varepsilon^{-2}D_y\Phi(x,y)+\varepsilon^{-1}(\nabla_x\times\nabla_y)\Phi(x,y) \\ &\qquad +\varepsilon^{-1}(\nabla_y\times\nabla_x)\Phi(x,y)\bigr]\big|_{y=x/\varepsilon}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где из $d$-мерных векторов $\alpha$ и $\beta$ составлена матрица $\alpha\times\beta=\{\alpha_i\beta_j\}_{i,j}$ и, например, дифференциальный оператор $(\nabla_x\times\nabla_y)$ переводит скалярную функцию $\Phi(x,y)$ в матрицу смешанных производных второго порядка $\biggl\{ \dfrac{\partial^2 \Phi}{\partial x_i\,\partial y_j} \biggr\}_{i,j}$. Согласно этой формуле имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag D v^\varepsilon(x) &=Du(x)+D_y N^{ij}(y)\,\frac{\partial^2 u(x)}{\partial x_i\,\partial x_j} +\varepsilon \nabla \,\frac{\partial^2 u(x)}{\partial x_i\,\partial x_j} \times\nabla_yN^{ij}(y) \\ &\qquad + \varepsilon\nabla_yN^{ij}(y)\times\nabla \,\frac{\partial^2 u(x)}{\partial x_i\,\partial x_j} +\varepsilon^2N^{ij}(y)D\,\frac{\partial^2 u(x)}{\partial x_i\,\partial x_j}, \qquad y=\frac x\varepsilon, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
и в силу свойств симметрии тензора $a$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag a(y)D v^\varepsilon(x) &=a(y)(D_yN^{ij}(y)+e^{ij})\,\frac{\partial^2 u(x)}{\partial x_i\,\partial x_j} +2\varepsilon a(y)\nabla_yN^{ij}(y)\times\nabla \,\frac{\partial^2 u(x)}{\partial x_i\,\partial x_j} \\ &\qquad +\varepsilon^2 a(y) N^{ij}(y)D\,\frac{\partial^2 u(x)}{\partial x_i\,\partial x_j}, \qquad y=\frac x\varepsilon, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где $e^{ij}$ – матрица, введенная при описании задачи на ячейке (3.1). Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, R_\varepsilon :=a_\varepsilon Dv^\varepsilon-a^{\mathrm{hom}}Du =[a(y)(D_yN^{ij}(y)+e^{ij})-a^{\mathrm{hom}}e^{ij}]\,\frac{\partial^2 u(x)}{\partial x_i\,\partial x_j}\bigg|_{y={x}/{\varepsilon}}+r^1_\varepsilon(x), \\ r^1_\varepsilon:=2\varepsilon a_\varepsilon \biggl(\nabla N^{ij}_\varepsilon\times\nabla\, \frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggr) +\varepsilon^2 a_\varepsilon N_\varepsilon^{ij}D\,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где $ N^{ij}_\varepsilon=N^{ij}(x/\varepsilon)$, $\nabla N^{ij}_\varepsilon=(\nabla N^{ij})(x/\varepsilon)$, или, в более короткой записи,
$$
\begin{equation}
R_\varepsilon\stackrel{(3.6)}=g^{ij}_\varepsilon\, \frac{\partial^2 u(x)}{\partial x_i\,\partial x_j}+r^1_\varepsilon(x), \qquad g^{ij}_\varepsilon=g^{ij}\biggl(\frac x\varepsilon\biggr).
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Применяя лемму 1 к матрице $g^{ij}=\{g^{ij}_{st}\}_{s,t}$, имеем представление ее элементов
$$
\begin{equation*}
g^{ij}_{st}(y)=D^*_y G^{ij,st}(y), \qquad s,t=1,\dots,d,
\end{equation*}
\notag
$$
при этом для матричного потенциала $G^{ij,st}=\{ G^{ij,st}_{km}\}_{k,m}$ выполнено свойство косой симметрии $G^{ij,st}_{km}=-G^{ij,km}_{st}$. Отсюда (без суммирования по $i$ и $j$) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (g^{ij}_{st})_\varepsilon\,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j} &=D^*(\varepsilon^2 G^{ij,st}_\varepsilon) \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j} =D^* \biggl(\varepsilon^2 G^{ij,st}_\varepsilon \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggr) \\ &\qquad- \varepsilon^2G^{ij,st}_\varepsilon\cdot D \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j} -2\varepsilon(\operatorname{div}_y G^{ij,st})_\varepsilon\cdot \nabla \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где мы учли правило применения оператора $D^*$ к произведению матрицы $B$ и скаляра $b$:
$$
\begin{equation*}
D^*(Bb)=bD^*B+B\cdot Db+2(\operatorname{div} B)\cdot \nabla b, \qquad \operatorname{div} B=\biggl\{\frac{\partial}{\partial x_j} B_{ij}\biggr\}_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Из первого слагаемого в правой части равенства (4.6) формируется
$$
\begin{equation}
\biggl\lbrace D^*\biggl(G^{ij,st}_\varepsilon\,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggr)\biggr\rbrace_{s,t}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
– соленоидальная матрица. Свойство соленоидальности матрицы (4.7) означает выполнение интегрального тождества
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb R^d}D^*\biggl(G^{ij,st}_\varepsilon\,\frac{\partial^2u}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggr)\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_s\,\partial x_t}\,dx=0
\end{equation*}
\notag
$$
для любой $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb R^d)$, или, в более подробной записи (после интегрирования по частям),
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb R^d}\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}(G^{ij,st}_{km})_\varepsilon \,\frac{\partial^2}{\partial x_k\,\partial x_m}\,\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_s\,\partial x_t}\,dx=0,
\end{equation*}
\notag
$$
что имеет место в силу отмеченного выше свойства косой симметрии матрицы $\{ G^{ij,st}_{km}\}_{k,m}$.
$$
\begin{equation}
D^* R_\varepsilon=D^*(r^1_\varepsilon+r^2_\varepsilon),
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
где слагаемые $r^1_\varepsilon$, $r^2_\varepsilon$ матричные, $r^1_\varepsilon$ задано в (4.4) и
$$
\begin{equation}
r^2_\varepsilon=\biggl\lbrace-\varepsilon^2G^{ij,st}_\varepsilon\cdot D \,\frac{\partial^2u}{\partial x_i\,\partial x_j}- 2\varepsilon(\operatorname{div}_y G^{ij,st})_\varepsilon\cdot \nabla \,\frac{\partial^2u}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggr\rbrace_{s,t}.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Поэтому
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, A_\varepsilon v^\varepsilon+v^\varepsilon-f=A_\varepsilon v^\varepsilon+v^\varepsilon-Au-u =D^*(a_\varepsilon Dv^\varepsilon-a^{\mathrm{hom}}Du)+r^0_\varepsilon, \\ r^0_\varepsilon(x)=\varepsilon^2 N\biggl(\frac x\varepsilon\biggr)\cdot D u(x). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
С другой стороны, $f=A_\varepsilon u^\varepsilon+u^\varepsilon$, и в силу (4.4)–(4.8)
$$
\begin{equation}
A_\varepsilon (v^\varepsilon-u^\varepsilon)+v^\varepsilon-u^\varepsilon =D^*R_\varepsilon+r^0_\varepsilon=D^*(r^2_\varepsilon+r^1_\varepsilon)+r^0_\varepsilon.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Видим, что разность $v^\varepsilon-u^\varepsilon$ удовлетворяет несколько более общему уравнению, чем (2.1), а именно
$$
\begin{equation*}
A_\varepsilon z+z=D^*F+F_0, \qquad F\in L^2(\mathbb R^d)^{d\times d}, \quad F_0\in L^2(\mathbb R^d).
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае аналогом энергетической оценки типа (2.5) будет
$$
\begin{equation*}
\|z\|_{H^2(\mathbb R^d)}\leqslant C(\|F\|_{L^2(\mathbb R^d)^{d\times d}}+\|F_0\|_{L^2(\mathbb R^d)}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $v^\varepsilon-u^\varepsilon$ с учетом структуры правой части уравнения (4.11) удовлетворяет оценке
$$
\begin{equation}
\|v^\varepsilon-u^\varepsilon\|^2_{H^2(\mathbb R^d)}\leqslant c\varepsilon^2\int_{\mathbb R^d} \biggl|b\biggl(\frac x\varepsilon\biggr)\biggr|^2\,|\Phi(x)|^2\,dx,
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
где
$$
\begin{equation*}
|\Phi|^2=|\nabla^2 u|^2+|\nabla^3 u|^2+|\nabla^4 u|^2, \qquad \|\Phi\|_{L^2(\mathbb R^d)}\stackrel{(3.5)}\leqslant C\|f\|_{L^2(\mathbb R^d)},
\end{equation*}
\notag
$$
а осциллирующий множитель $b(y)$ формируют функции $N^{ij}(y)$, $G^{ij,st}(y)$ или $\nabla N^{ij}(y)$, $\operatorname{div} G^{ij,st}(y)$ (см. (4.4), (4.9), (4.10)). Отсюда можно напрямую получить желаемую $H^2$-оценку погрешности построенного приближения $v^\varepsilon$, если
$$
\begin{equation}
\|b\|_{L^\infty(Y)}\leqslant c, \qquad c=\mathrm{const}(\lambda,d).
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Эта оценка может быть верна в некотором частном случае (см. п. 4.4), но не в общем. 4.2.В отсутствие оценки (4.13) поступим следующим образом. Введем семейство возмущенных задач
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u_\omega^\varepsilon\in H^2(\mathbb R^d), \qquad A_\omega ^\varepsilon u_\omega ^\varepsilon+u_\omega ^\varepsilon=f, \quad f\in L^2(\mathbb R^d), \\ A_\omega ^\varepsilon =D^*a\biggl(\frac x\varepsilon+\omega \biggr)D, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
с параметром сдвига $\omega \in Y=[-1/2,1/2)^d$ в коэффициентах уравнения. Ввиду периодичности тензора $a$ усредненной для задачи (4.14) при всех $\omega $ является задача (2.6), а аналогом первого приближения (4.1) будет
$$
\begin{equation}
v_\omega ^\varepsilon(x)=u(x)+\varepsilon^2 N(y+\omega )\cdot D u(x), \qquad y=\frac x\varepsilon.
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Справедлива оценка типа (4.12)
$$
\begin{equation*}
\|v_\omega ^\varepsilon-u_\omega ^\varepsilon\|^2_{H^2(\mathbb R^d)}\leqslant c\varepsilon^2\int_{\mathbb R^d} \biggl|b\biggl(\frac x\varepsilon+\omega \biggr)\biggr|^2\,|\Phi(x)|^2\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
проинтегрировав которую по $\omega \in Y$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \int_{Y}\|v_\omega ^\varepsilon-u_\omega ^\varepsilon\|^2_{H^2(\mathbb R^d)}\,d\omega &\leqslant c\varepsilon^2\int_{Y}\int_{\mathbb R^d}\biggl|b\biggl(\frac x\varepsilon+\omega\biggr)\biggr|^2\,|\Phi(x)|^2\,dx \,d\omega \\ &\leqslant c\varepsilon^2\|b\|^2_{L^2_{\mathrm{per}}(Y)}\|\Phi\|^2_{L^2(\mathbb R^d)}\leqslant c_0\varepsilon^2\|f\|^2_{L^2(\mathbb R^d)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Здесь на втором шаге мы поменяли порядок интегрирования и учли оценку
$$
\begin{equation*}
\int_{Y} \biggl|b\biggl(\frac x\varepsilon+\omega \biggl)\biggr|^2\, d\omega =\|b\|^2_{L^2_{\mathrm{per}}(Y)}\leqslant c, \qquad c=\mathrm{const}(\lambda,d),
\end{equation*}
\notag
$$
которая, в отличие от (4.13), заведомо обеспечена свойствами функций $N^{ij}(y)$ и $G^{ij,st}(y)$. Итак, доказана Теорема 2. Для разности решения задачи (4.14) и его приближения (4.15) верна проинтегрированная (по $\omega $) оценка При выводе оценки (4.17) фактически использовано и доказано следующее утверждение (см. (4.16)), которое является одним из ключевых моментов в методе сдвига и на которое мы далее будем многократно ссылаться. Лемма 2. Пусть $\varphi\in L^1(\mathbb R^d)$, $ b\in L^1_{\mathrm{per}}(Y)$ и $b_\varepsilon^\omega (x)=b(x/\varepsilon+\omega )$. Тогда 4.3.Выясним, какие следствия можно извлечь из оценки (4.17). Прежде всего заметим, что функция $\widetilde{u}_\omega ^\varepsilon=S^\varepsilon_\omega u^\varepsilon=u^\varepsilon(x+\varepsilon\omega )$ является решением уравнения (4.14), но со смещенной правой частью $f(x+\varepsilon\omega )$, т.е.
$$
\begin{equation*}
A_\omega ^\varepsilon\widetilde{u}_\omega ^\varepsilon+\widetilde{u}_\omega ^\varepsilon=f(x+\varepsilon\omega ).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
A_\omega ^\varepsilon(u_\omega ^\varepsilon-\widetilde{u}_\omega ^\varepsilon)+u_\omega ^\varepsilon-\widetilde{u}_\omega ^\varepsilon=f(x)-f(x+\varepsilon\omega ).
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
По свойству сдвига (3.8) имеем оценку для правой части из (4.19)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb R^d}(f(x)-f(x+\varepsilon\omega ))\varphi(x)\,dx &\leqslant \|f\|_{L^2(\mathbb R^d)}\|\varphi(x)-\varphi(x-\varepsilon\omega )\|_{L^2(\mathbb R^d)} \\ &\leqslant c\varepsilon\|f\|_{L^2(\mathbb R^d)}\|\nabla\varphi\|_{L^2(\mathbb R^d)}, \qquad c=\mathrm{const}(d). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, из энергетического равенства для (4.19) вытекает оценка
$$
\begin{equation*}
\|u_\omega ^\varepsilon-\widetilde{u}_\omega ^\varepsilon\|_{H^2(\mathbb R^d)}\leqslant \varepsilon C \|f\|_{L^2(\mathbb R^d)},
\end{equation*}
\notag
$$
благодаря которой заменяем в (4.17) $u_\omega ^\varepsilon$ на $\widetilde{u}_\omega ^\varepsilon=S^\varepsilon_\omega u^\varepsilon$ и выводим
$$
\begin{equation}
\int_{Y}\int_{\mathbb R^d}(|D(S^\varepsilon_\omega u^\varepsilon-v_\omega ^\varepsilon)|^2+|S^\varepsilon_\omega u^\varepsilon-v_\omega ^\varepsilon|^2)\,dx\,d\omega \leqslant c\varepsilon^2 \|f\|^2_{L^2(\mathbb R^d)}, \qquad c=\mathrm{const}(d,\lambda),
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
где мажоранта того же типа, что и в (4.17). В качестве других следствий из проинтегрированной оценки (4.18) получаются операторные оценки (1.2), (1.3), (1.5) (см. [6]). Уместно конкретизировать здесь оценку (1.3). Наряду с обычным первым приближением (4.1) введем первое приближение со сглаженным корректором
$$
\begin{equation}
\hat{v}^\varepsilon(x)= u(x)+\varepsilon^2 N\biggl(\frac x\varepsilon\biggr)\cdot S^\varepsilon( D u)(x),
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
где $ S^\varepsilon$ – оператор сглаживания по Стеклову (см. (1.6)). По свойствам сглаживания $ S^\varepsilon$ (см. [10], [9]) приближение (4.21) есть элемент пространства $H^2(\mathbb R^d)$ при любой правой части $f\,{\in}\,L^2(\mathbb R^d)$ в исходном уравнении. Согласно теореме 3.4 из [6] верна оценка
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb R^d}\bigl[|u^\varepsilon-\hat{v}^\varepsilon|^2+|D(u^\varepsilon-\hat{v}^\varepsilon)|^2\bigr]\,dx\leqslant c\varepsilon^2\|f\|_{L^2(\mathbb R^d)}^2, \qquad c=\mathrm{const}(d,\lambda),
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
которая обеспечивает операторную оценку (1.3). Легко понять, какой вид имеет корректирующий оператор в ней. Оценка (4.22) следует фактически из (4.20). 4.4.В [6] отдельно изучается важное для приложений уравнение
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u^\varepsilon\in H^2(\mathbb R^d), \qquad A_\varepsilon u^\varepsilon+u^\varepsilon=f, \quad f\in L^2(\mathbb R^d), \\ A_\varepsilon =\Delta a\biggl(\frac x\varepsilon\biggr)\Delta, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
где $\Delta=\sum_i\partial_{x_i}^2$ – оператор Лапласа, $a(y)$ – вещественнозначная измеримая периодическая функция с ячейкой периодичности $Y=[-1/2,1/2)^d$ такая, что
$$
\begin{equation}
\exists\,\lambda>0\colon \quad \lambda\leqslant a(\,\cdot\,)\leqslant \lambda^{-1} \quad \text{для п.в.}\ y\in Y.
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
Тензор четвертого порядка, который порождает оператор $A_\varepsilon$ из (4.23), обсуждался в примере в § 2. Для (4.23) при условии (4.24) усредненным будет уравнение с билапласианом $\Delta^2$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u\in H^2(\mathbb R^d), \qquad A u+u=f, \quad f\in L^2(\mathbb R^d), \\ A =a^{\mathrm{hom}}\Delta^2, \qquad a^{\mathrm{hom}}=\langle a^{-1}\rangle^{-1}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
Первое приближение имеет вид
$$
\begin{equation}
v^\varepsilon(x)=u(x)+\varepsilon^2 N(y)\Delta u(x), \qquad y=\frac x\varepsilon,
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
где $N$ – решение задачи на ячейке:
$$
\begin{equation}
N\in \widetilde{H}^2_{\mathrm{per}}(Y), \qquad \Delta_ya(y)(\Delta_yN(y)+1)=0.
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
При этом выполнена оценка (см. теорему 2.2 в [6])
$$
\begin{equation}
\|u^\varepsilon-v^\varepsilon\|_{H^2(\mathbb R^d)}\leqslant c\varepsilon \|f\|_{L^2(\mathbb R^d)}, \qquad c=\mathrm{const}(d,\lambda),
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
откуда следует, в частности, операторная оценка (1.2). Видим, что более простая структура оператора $A_\varepsilon$ в (4.23) обусловливает более простую схему усреднения (см. (4.25)–(4.28)) по сравнению с общим случаем. Частично это объясняется тем, что функция $N$ из (4.27) является фактически решением уравнения второго порядка $\Delta_yN(y)=\langle a^{-1}\rangle^{-1}a(y)^{-1}-1$. Как следствие, $N,\nabla N, \Delta N\in L^\infty(Y)$, значит, приближение (4.26) принадлежит пространству $H^2(\mathbb R^d)$, и не надо вводить дополнительный параметр интегрирования в $H^2$-оценке, как это делается в (4.17). Оценка (2.7), а вместе с ней операторная оценка (1.4) могут быть доказаны для частного вида задачи (4.23) короче и проще, чем в общем случае. Это полностью соответствует тому факту, что $H^2$-оценка (4.28) получается короче и проще, чем оценка (4.17) для общего случая. § 5. $L^2$-приближениеВ этом параграфе будет доказана теорема 1. 5.1.Чтобы избежать громоздких формул, введем обозначения
$$
\begin{equation}
N_{\varepsilon,\omega }(x):=N\biggl( \frac{x}{\varepsilon}+\omega \biggr), \qquad U^\varepsilon_\omega (x):=N_{\varepsilon,\omega }(x)\cdot D u(x).
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Тогда оценка (4.17) принимает вид
$$
\begin{equation}
\int_{Y} \|u^\varepsilon_\omega (\,\cdot\,)\,{-}\,u(\,\cdot\,)\,{-}\,\varepsilon^2 U^\varepsilon_\omega (\,\cdot\,)\|^2_{H^2(\mathbb{R}^d)}\,d\omega \leqslant C\varepsilon^2 \|f\|^2_{L^2(\mathbb{R}^d)}, \qquad C=\mathrm{const}(d,\lambda).
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
В частности, $ \|u^\varepsilon_\omega -u-\varepsilon^2 U^\varepsilon_\omega \|_{Y\times\mathbb{R}^d}\leqslant C\varepsilon \|f\|$ и корректно определена $L^2$-форма
$$
\begin{equation}
I:=(u+\varepsilon^2 U^\varepsilon_\omega -u^\varepsilon_\omega ,h)_{Y\times\mathbb{R}^d}, \qquad h\in L^2(\mathbb R^d).
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Здесь и далее используем упрощенные обозначения для скалярного произведения и нормы в $L^2(\mathbb{R}^d)$ и $L^2(Y\times\mathbb{R}^d)$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)=(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)_{L^2(\mathbb{R}^d)}, \qquad \|\cdot\|=\|\cdot \|_{L^2(\mathbb{R}^d)}, \\ (\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)_{Y\times\mathbb{R}^d}=(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)_{L^2(Y\times\mathbb{R}^d)}, \qquad \|\cdot\|_{Y\times\mathbb{R}^d}=\|\cdot \|_{L^2(Y\times\mathbb{R}^d)}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
не различая в обозначениях пространства скалярных и векторных функций. Наша ближайшая цель – исследовать форму (5.3), а точнее, оценить ее сверху через $L^2$-нормы функций $f$ и $h$. По соображениям плотности можно считать, что $f,h\in C_0^\infty(\mathbb R^d)$. В частности, это условие для $f$ обеспечивает свойство $u+\varepsilon^2 U^\varepsilon_\omega \in H^2(\mathbb R^d)$. Введем аналогичное (4.14) уравнение с правой частью $h$, а именно
$$
\begin{equation}
v_\omega ^\varepsilon\in H^2(\mathbb R^d), \qquad A_\omega ^\varepsilon v_\omega ^\varepsilon+v_\omega ^\varepsilon=h;
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
усредненным для него будет а первое приближение берется в виде
$$
\begin{equation}
v+\varepsilon^2V^\varepsilon_\omega , \qquad V^\varepsilon_\omega :=N_{\varepsilon,\omega }\cdot D v, \quad N_{\varepsilon,\omega }(x)= N\biggl(\frac x\varepsilon+\omega \biggr),
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
при этом выполнена аналогичная (5.2) оценка, из которой, в частности, в обозначениях (5.4) имеем
$$
\begin{equation}
\|Dv^\varepsilon_\omega -D(v+\varepsilon^2V^\varepsilon_\omega )\|_{Y\times\mathbb{R}^d}\leqslant C\varepsilon \|h\|, \qquad C=\mathrm{const}(d,\lambda).
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Напомним, что решение $v^\varepsilon_\omega $ понимается в смысле интегрального тождества
$$
\begin{equation}
(a_\varepsilon^\omega Dv^\varepsilon_\omega , D\varphi)+(v^\varepsilon_\omega ,\varphi)=(h,\varphi) \quad \forall\, \varphi\in C_0^\infty(\mathbb R^d),
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
где по замыканию пробные функции можно брать из $H^2(\mathbb R^d)$. Кроме того, для решений (5.5) и (5.6) справедливы соответственно проинтегрированная (по $\omega $) энергетическая и эллиптическая оценки
$$
\begin{equation}
\int_Y\|v^\varepsilon_\omega (\,\cdot\,) \|^2_{H^2(\mathbb{R}^d)}\,d\omega \leqslant C \|h\|^2,
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
с константой $C=\mathrm{const}(d,\lambda)$. 5.2.Перейдем непосредственно к анализу формы (5.3). Из интегрального тождества (5.9) на пробной функции $\varphi=u+\varepsilon^2 U^\varepsilon_\omega -u^\varepsilon_\omega \in H^2(\mathbb R^d)$ (после дополнительного интегрирования по $\omega \in Y$) получаем
$$
\begin{equation}
I=(a_\varepsilon^\omega Dv^\varepsilon_\omega , D(u+\varepsilon^2 U^\varepsilon_\omega -u^\varepsilon_\omega ))_{Y\times\mathbb{R}^d}+(v^\varepsilon_\omega ,u+\varepsilon^2 U^\varepsilon_\omega -u^\varepsilon_\omega )_{Y\times\mathbb{R}^d}.
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Теперь мы обратимся к уравнению, которому удовлетворяет функция $u+\varepsilon^2 U^\varepsilon_\omega -u^\varepsilon_\omega \in H^2(\mathbb R^d)$. Это аналог уравнения (4.11), а именно
$$
\begin{equation}
(A^\omega _\varepsilon+1) (u+\varepsilon^2 U^\varepsilon_\omega -u^\varepsilon_\omega )=D^*(r^1_{\varepsilon,\omega }+r^2_{\varepsilon,\omega })+r^0_{\varepsilon,\omega },
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
где $r^i_{\varepsilon,\omega }$ получаются из $r^i_{\varepsilon}$, $i=0,1,2$, определенных в (4.10), (4.4), (4.9), заменой “быстрой” переменной $x/\varepsilon$ на смещенную переменную $x/\varepsilon+\omega $. Интегральное тождество для уравнения (5.13) на пробной функции $v^\varepsilon_\omega $ дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &(a_\varepsilon^\omega D(u+\varepsilon^2 U^\varepsilon_\omega -u^\varepsilon_\omega ),Dv^\varepsilon_\omega )_{Y\times\mathbb{R}^d}+(u+\varepsilon^2 U^\varepsilon_\omega -u^\varepsilon_\omega ,v^\varepsilon_\omega )_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ &\qquad=(r^1_{\varepsilon,\omega }+r^2_{\varepsilon,\omega },Dv^\varepsilon_\omega )_{Y\times\mathbb{R}^d}+(r^0_{\varepsilon,\omega },v^\varepsilon_\omega )_{Y\times\mathbb{R}^d}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
Сравнивая (5.12) и (5.14), ввиду симметричности тензора $a_\varepsilon^\omega $ получаем представление для формы (5.3)
$$
\begin{equation}
I=(r^0_{\varepsilon,\omega },v^\varepsilon_\omega )_{Y\times\mathbb{R}^d} +(r^1_{\varepsilon,\omega },Dv^\varepsilon_\omega )_{Y\times\mathbb{R}^d} +(r^2_{\varepsilon,\omega },Dv^\varepsilon_\omega )_{Y\times\mathbb{R}^d}=:I_0+I_1+I_2.
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Оценим каждое слагаемое $I_i$. Поскольку $r^0_{\varepsilon,\omega }=\varepsilon^2 N_\varepsilon^\omega \cdot D u=\varepsilon^2 N(x/\varepsilon+\omega )\cdot D u(x)$, то по лемме 2
$$
\begin{equation*}
\|r^0_{\varepsilon,\omega }\|_{Y\times\mathbb{R}^d}^2 \leqslant \varepsilon^4\int_Y\int_{\mathbb R^d} \biggl| N\biggl(\frac x\varepsilon+\omega \biggr)\biggr|^2|D u|^2\,dx \,d\omega \leqslant \varepsilon^4\langle|N|^2\rangle\|Du\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, учитывая оценки (5.10) и (3.5) для $v^\varepsilon_\omega $ и $u$, имеем
$$
\begin{equation*}
I_0:=(r^0_{\varepsilon,\omega },v^\varepsilon_\omega )_{Y\times\mathbb{R}^d}\leqslant \|v^\varepsilon_\omega \|_{{Y\times\mathbb{R}^d}} \|r^0_{\varepsilon,\omega }\|_{{Y\times\mathbb{R}^d}}\leqslant c\varepsilon^2\|f\|\,\|h\|,
\end{equation*}
\notag
$$
или, коротко, Здесь и далее через $\cong$ обозначаем приближенное (с ошибкой порядка $\varepsilon^2$) равенство, полученное из точного равенства отбрасыванием слагаемых $T$, допускающих оценку
$$
\begin{equation*}
|T|\leqslant c\varepsilon^2\|f\|\,\|h\|, \qquad c=\mathrm{const}(d,\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Удовлетворяющие этой оценке слагаемые $T$ называем несущественными. Замечание 1. При анализе слагаемых $I_1$, $I_2$ в (5.15) будем использовать соотношения, аналогичные (4.4)–(4.9), но со сдвигом $\omega \in Y$ по “быстрой” переменной $x/\varepsilon$. Не воспроизводя эти соотношения, ссылаемся на них через номера соответствующих аналогов при $\omega =0$, снабжая эти номера индексом $\omega $. Согласно замечанию 1 стоящее в (5.13) слагаемое $r^1_{\varepsilon,\omega }$ задано соотношением в (4.4)$_\omega $, так что имеем цепочку равенств
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I_1 &:=(r^1_{\varepsilon,\omega },Dv^\varepsilon_\omega )_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ &= \notag \biggl(2\varepsilon a^\omega _\varepsilon\biggl(\nabla N^{ij}_{\varepsilon,\omega }\times\nabla \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggr) +\varepsilon^2 a^\omega _\varepsilon N_{\varepsilon,\omega }^{ij}D\,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j} ,Dv^\varepsilon_\omega \biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ \notag &\cong 2\varepsilon\biggl( a^\omega _\varepsilon\biggl(\nabla N^{ij}_{\varepsilon,\omega }\times\nabla \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggr), Dv^\varepsilon_\omega \biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ &\cong2\varepsilon\biggl( a^\omega _\varepsilon\biggl(\nabla N^{ij}_{\varepsilon,\omega }\times\nabla \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggr), D\biggl(v+\varepsilon^2V_\varepsilon^\omega \biggr)\biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
где последовательно отброшены несущественные слагаемые
$$
\begin{equation}
\biggl(\varepsilon^2 a^\omega _\varepsilon N_{\varepsilon,\omega }^{ij}D\,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j} ,Dv^\varepsilon_\omega \biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d}\cong 0,
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
$$
\begin{equation}
2\varepsilon\biggl( a^\omega _\varepsilon\biggl(\nabla N^{ij}_{\varepsilon,\omega }\times\nabla \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggr) ,D(v^\varepsilon_\omega -v-\varepsilon^2V_\varepsilon^\omega )\biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d}\cong 0.
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
Доказываем соотношение (5.18), как (5.16), используя лемму 2 и оценки для $v^\varepsilon_\omega $ и $u$. При обосновании (5.19) используем приведенные выше аргументы и дополнительно оценку (5.8). Например,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl( a^\omega _\varepsilon N_{\varepsilon,\omega }^{ij}D\,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j} ,Dv^\varepsilon_\omega \biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d} \leqslant \biggl\| a^\omega _\varepsilon N_{\varepsilon,\omega }^{ij}D\,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggr\|_{Y\times\mathbb{R}^d} \|Dv^\varepsilon_\omega \|_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ &\qquad \stackrel{ (4.18)}\leqslant c\|N\|_{L^2(Y)}\biggl\|D\,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggr\|\, \|Dv^\varepsilon_\omega \|_{Y\times\mathbb{R}^d}\stackrel{ (3.5),(5.10)}\leqslant C\|f\|\,\|h\|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует (5.18). Для дальнейшего анализа формы $I_1$ произведем аналогичное (4.3) вычисление:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a^\omega _\varepsilon D(v+\varepsilon^2V_\varepsilon^\omega ) &\stackrel{(5.7)}=a(y)(DN^{pq}(y)+e^{pq})\,\frac{\partial^2 v(x)}{\partial x_p\,\partial x_q} \\ &\qquad +\varepsilon 2 a(y)\nabla_yN^{pq}(y)\times\nabla \,\frac{\partial^2 v(x)}{\partial x_p\,\partial x_q} +\varepsilon^2 a(y) N^{pq}(y)D\,\frac{\partial^2 v(x)}{\partial x_p\,\partial x_q}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $y=x/\varepsilon+\omega $. Переходя к кратким обозначениям $DN^{pq}_{\varepsilon,\omega }=(DN^{pq})(x/\varepsilon+\omega )$, $a^\omega _\varepsilon=a(x/\varepsilon+\omega )$ и т.д., получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I_1 &\stackrel{(5.17)}\cong 2\varepsilon\biggl( \nabla N^{ij}_{\varepsilon,\omega }\times\nabla \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j} ,a^\omega _\varepsilon D(v+\varepsilon^2V_\varepsilon^\omega )\biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ &\,\,\,{\kern1pt}\cong 2\varepsilon\biggl( \nabla N^{ij}_{\varepsilon,\omega }\times\nabla \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j} ,a^\omega _\varepsilon(DN^{pq}_{\varepsilon,\omega }+e^{pq})\,\frac{\partial^2 v}{\partial x_p\,\partial x_q} \biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
где на первом шаге мы использовали симметричность тензора $a^\omega _\varepsilon$, а на втором шаге отбросили два несущественных слагаемых (несущественность слагаемых показывается продемонстрированным уже выше методом на основе леммы 2). Далее заметим, что в силу (3.6)
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a^\omega _\varepsilon(DN^{pq}_{\varepsilon,\omega }+e^{pq})=g^{pq}_{\varepsilon,\omega }+a^{\mathrm{hom}}e^{pq}, \qquad g^{pq}_{\varepsilon,\omega }=g^{pq}\biggl(\frac x\varepsilon+\omega \biggr), \\ a^\omega _\varepsilon(DN^{pq}_{\varepsilon,\omega }+e^{pq})\,\frac{\partial^2 v}{\partial x_p\,\partial x_q}=g^{pq}_{\varepsilon,\omega }\,\frac{\partial^2 v}{\partial x_p\,\partial x_q}+a^{\mathrm{hom}}Dv. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation}
I_1\stackrel{(5.20)}\cong 2\varepsilon\biggl( \nabla N^{ij}_{\varepsilon,\omega }\times\nabla \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j} ,\,g^{pq}_{\varepsilon,\omega }\,\frac{\partial^2 v}{\partial x_p\,\partial x_q} \biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d},
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
если учесть, что
$$
\begin{equation*}
\biggl( \nabla N^{ij}_{\varepsilon,\omega }\times\nabla \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j} ,a^{\mathrm{hom}}Dv \biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d} =\biggl(\langle \nabla N^{ij}_{\varepsilon,\omega }\rangle_\omega \times\nabla \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j} ,a^{\mathrm{hom}}Dv \biggr) =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это равенство верно, так как здесь лишь множитель $\nabla N^{ij}_{\varepsilon,\omega }$ зависит от $\omega $ и
$$
\begin{equation*}
\langle \nabla N^{ij}_{\varepsilon,\omega }\rangle_\omega = \int_Y \nabla N^{ij}\biggl(\frac x\varepsilon+\omega \biggr)\,d\omega =\langle \nabla N^{ij}\rangle=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем к анализу формы $I_2$ из суммы (5.15). По определению величины $r^2_{\varepsilon,\omega }$ из (5.13), учитывая замечание 1, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I_2 &:=(r^2_{\varepsilon,\omega },Dv^\varepsilon_\omega )_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ \notag &\!\!\!\stackrel{(4.9)_\omega }=-\biggl(\varepsilon^2G^{ij,st}_{\varepsilon,\omega }\cdot D \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}+ 2\varepsilon(\operatorname{div}_y G^{ij,st})_{\varepsilon,\omega }\cdot \nabla \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j},\,\frac{\partial^2 }{\partial x_s\,\partial x_t}v^\varepsilon_\omega \biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ &\!\!\stackrel{(5.8)}\cong -\biggl( \varepsilon^2G^{ij,st}_{\varepsilon,\omega }\cdot D \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j} \nonumber \\ &\qquad+ 2\varepsilon(\operatorname{div}_y G^{ij,st})_{\varepsilon,\omega } \cdot \nabla \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}, \,\frac{\partial^2 }{\partial x_s\,\partial x_t} (v+\varepsilon^2 V^\varepsilon_\omega )\biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
Здесь на последнем шаге отброшено слагаемое вида
$$
\begin{equation*}
\biggl(\ldots,\frac{\partial^2 }{\partial x_s\,\partial x_t}(v^\varepsilon_\omega -v-\varepsilon^2 V^\varepsilon_\omega )\biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d}\cong 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Его несущественность доказывается стандартным образом, так как за многоточием скрывается длинное выражение, для которого верна оценка
$$
\begin{equation*}
\|\dots\|_{Y\times\mathbb{R}^d}\leqslant \varepsilon\|u\|_{H^4(\mathbb R^d)}\sum_{i,j,s,t}\|G^{ij,st}\|_{H^2(Y)}\leqslant c \varepsilon\|f\|, \qquad c=\mathrm{const}(d,\lambda),
\end{equation*}
\notag
$$
в силу лемм 2 и 1, а также эллиптической оценки для $u$. Вернемся в представлении $I_2$ к матрице $g^{ij}$, используя соотношение (4.6)$_\omega $ (см. замечание 1). А именно, сначала в силу соленоидальности матрицы (4.7)$_\omega $ запишем скалярное произведение из (5.22) как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \biggl(D^*\biggl(\varepsilon^2 G^{ij,st}_{\varepsilon,\omega }\,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggr) - \varepsilon^2G^{ij,st}_{\varepsilon,\omega }\,{\cdot}\, D \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j} \\ &\qquad\qquad -2\varepsilon(\operatorname{div}_y G^{ij,st})_{\varepsilon,\omega }\,{\cdot}\, \nabla \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j},\,\frac{\partial^2 }{\partial x_s\,\partial x_t}(v+\varepsilon^2 V^\varepsilon_\omega )\biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & D^*\biggl(\varepsilon^2 G^{ij,st}_{\varepsilon,\omega }\,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggr) - \varepsilon^2G^{ij,st}_{\varepsilon,\omega }\,{\cdot}\, D \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}- 2\varepsilon(\operatorname{div}_y G^{ij,st})_{\varepsilon,\omega }\,{\cdot}\, \nabla \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j} \\ &\qquad \stackrel{(4.6)_\omega } = (g^{ij}_{st})_{\varepsilon,\omega } \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, из (5.22) выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_2 &\cong \biggl((g^{ij}_{st})_{\varepsilon,\omega } \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}, \,\frac{\partial^2 }{\partial x_s\,\partial x_t}(v+\varepsilon^2 V^\varepsilon_\omega )\biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ &=\biggl((g^{ij})_{\varepsilon,\omega } \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}, D(v+\varepsilon^2 V^\varepsilon_\omega )\biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисления, аналогичные тем, которые проведены в (4.2), дают
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D(v+\varepsilon^2 V^\varepsilon_\omega ) &=Dv(x)+D_y N^{pq}(y)\,\frac{\partial^2 v(x)}{\partial x_p\,\partial x_q} +\varepsilon \nabla \,\frac{\partial^2 v(x)}{\partial x_p\,\partial x_q} \times\nabla_yN^{pq}(y) \\ &\quad+ \varepsilon\nabla_yN^{pq}(y)\times\nabla \,\frac{\partial^2 v(x)}{\partial x_p\,\partial x_q}+\varepsilon^2N^{pq}(y)D\,\frac{\partial^2 v(x)}{\partial x_p\,\partial x_q}, \qquad y=\frac x\varepsilon+\omega . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, учитывая симметричность матрицы $g^{ij}$, можно записать последнее представление для $I_2$ как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_2 &\cong\biggl( (g^{ij})_{\varepsilon,\omega } \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}, D(v+\varepsilon^2 V^\varepsilon_\omega )\biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ &=\biggl( g^{ij}_{\varepsilon,\omega } \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}, (DN^{pq}_{\varepsilon,\omega }+e^{pq}) \,\frac{\partial^2 v}{\partial x_p\,\partial x_q}+ 2\varepsilon \nabla N^{pq}_{\varepsilon,\omega }\times\nabla \,\frac{\partial^2 v}{\partial x_p\,\partial x_q} \\ &\qquad +\varepsilon^2 N_{\varepsilon,\omega }^{pq}D\,\frac{\partial^2 v}{\partial x_p\,\partial x_q} \biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d}; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
здесь мы перешли к кратким обозначениям $N_{\varepsilon,\omega }^{pq}=N^{pq}(x/\varepsilon+\omega )$, $DN^{pq}_{\varepsilon,\omega }=(DN^{pq})(x/\varepsilon+\omega )$ и т.д. Отбрасываем явно несущественное слагаемое порядка $\varepsilon^2$ и получаем
$$
\begin{equation*}
I_2\cong \biggl(g^{ij}_{\varepsilon,\omega } \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}, (DN^{pq}_{\varepsilon,\omega }+e^{pq}) \,\frac{\partial^2 v}{\partial x_p\,\partial x_q}+ 2\varepsilon \nabla N^{pq}_{\varepsilon,\omega }\times\nabla \,\frac{\partial^2 v}{\partial x_p\,\partial x_q}\biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу свойств (3.7) матрицы $g^{ij}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\langle g^{ij}\cdot (D N^{pq}+e^{pq})\rangle=\langle g^{ij}\cdot D N^{pq}\rangle+\langle g^{ij}\rangle\cdot e^{pq}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда замена внутреннего интеграла по $\omega $ на среднее периодической функции дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(g^{ij}_{\varepsilon,\omega } \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}, (DN^{pq}_{\varepsilon,\omega }+e^{pq}) \,\frac{\partial^2 v}{\partial x_p\,\partial x_q} \biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ &\quad = \int_{\mathbb R^d}\dotsb \biggl(\int_Y g^{ij}_{\varepsilon,\omega }\cdot (D N^{pq}_{\varepsilon,\omega }+e^{pq})\,d\omega \biggr)\,dx =\int_{\mathbb R^d}\dotsb \langle g^{ij}\cdot (D N^{pq}+e^{pq})\rangle\,dx=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Как следствие упрощаeм $I_2$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I_2 &\cong\biggl(g^{ij}_{\varepsilon,\omega } \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}, 2\varepsilon \nabla N^{pq}_{\varepsilon,\omega }\times\nabla \,\frac{\partial^2 v}{\partial x_p\,\partial x_q}\biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ &=2\varepsilon\biggl(g^{pq}_{\varepsilon,\omega } \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_p\,\partial x_q}, \nabla N^{ij}_{\varepsilon,\omega }\times\nabla \,\frac{\partial^2 v}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.23}
$$
где мы переобозначили индексы для последующего сравнения форм $I_1$ и $I_2$. В итоге из (5.15), (5.16), (5.21), (5.23) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I&=I_0+I_1+I_2 \\ &\cong 2\varepsilon\biggl( \nabla N^{ij}_{\varepsilon,\omega }\times\nabla \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j},\, g^{pq}_{\varepsilon,\omega }\,\frac{\partial^2 v}{\partial x_p\,\partial x_q} \biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ &\qquad +2\varepsilon\biggl(g^{pq}_{\varepsilon,\omega } \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_p\,\partial x_q}, \nabla N^{ij}_{\varepsilon,\omega }\times\nabla \,\frac{\partial^2 v}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ &=2\varepsilon\biggl( (g^{pq}_{\varepsilon,\omega }\nabla N^{ij}_{\varepsilon,\omega })\,{\cdot}\,\nabla \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j} ,\,\frac{\partial^2 v}{\partial x_p\,\partial x_q} \biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ &\qquad+ 2\varepsilon\biggl( \frac{\partial^2 u}{\partial x_p\,\partial x_q},\, (g^{pq}_{\varepsilon,\omega } \nabla N^{ij}_{\varepsilon,\omega })\,{\cdot}\,\nabla \,\frac{\partial^2 v}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggr)_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ &=2\varepsilon\biggl( \langle g^{pq}\nabla N^{ij}\rangle\cdot\nabla \,\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j} ,\,\frac{\partial^2 v}{\partial x_p\,\partial x_q} \biggr) \\ &\qquad+2\varepsilon\biggl( \frac{\partial^2 u}{\partial x_p\,\partial x_q}, \langle g^{pq} \nabla N^{ij}\rangle\cdot\nabla \,\frac{\partial^2 v}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggr)=0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
ввиду симметричности матрицы $g^{pq}$. Равенство нулю вытекает из того, что $\langle g^{pq}\nabla N^{ij}\rangle$ – постоянный вектор и
$$
\begin{equation*}
\biggl( \frac{\partial^3 u}{\partial x_i\,\partial x_j\,\partial x_l}, \,\frac{\partial^2 v}{\partial x_p\,\partial x_q} \biggr) =-\biggl( \frac{\partial^2 u}{\partial x_p\,\partial x_q},\,\frac{\partial^3 v}{\partial x_i\,\partial x_j\,\partial x_l}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для определенной в (5.3) формы установлено, что
$$
\begin{equation}
(u+\varepsilon^2 U^\varepsilon_\omega - u^\varepsilon_\omega ,h)_{Y\times\mathbb{R}^d}\cong 0, \qquad h\in L^2(\mathbb R^d).
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
5.3.Если заменить в (5.3) решение $u^\varepsilon_\omega $ задачи (4.14) на функцию $S^\varepsilon_\omega u^\varepsilon:=u^\varepsilon(x\,{+}\,\varepsilon\omega )$, являющуюся смещенным решением исходной задачи, то получаем форму
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I' &:= (u+\varepsilon^2 U^\varepsilon_\omega - S^\varepsilon_\omega u^\varepsilon ,h)_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ &=(u^\varepsilon_\omega - S^\varepsilon_\omega u^\varepsilon ,h)_{Y\times\mathbb{R}^d}+ (u+\varepsilon^2 U^\varepsilon_\omega - u^\varepsilon_\omega ,h)_{Y\times\mathbb{R}^d} \stackrel{(5.24)} \cong (u^\varepsilon_\omega - S^\varepsilon_\omega u^\varepsilon ,h)_{Y\times\mathbb{R}^d}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.25}
$$
Заметим, что функция $S^\varepsilon_\omega u^\varepsilon=u^\varepsilon(x+\varepsilon\omega )$ удовлетворяет уравнению (4.14) со смещенной правой частью $S^\varepsilon_\omega f=f(x+\varepsilon\omega )$, так что
$$
\begin{equation*}
(A_\omega ^\varepsilon+1) (u_\omega ^\varepsilon-S^\varepsilon_\omega u^\varepsilon)=f-S^\varepsilon_\omega f
\end{equation*}
\notag
$$
и, кроме того, Тогда из интегрального тождества (5.9) для решения $v_\omega ^\varepsilon$ на пробной функции $\varphi=u_\omega ^\varepsilon-S^\varepsilon_\omega u^\varepsilon$ выводим соотношение
$$
\begin{equation*}
I'\stackrel{(5.25)}\cong (u^\varepsilon_\omega - S^\varepsilon_\omega u^\varepsilon ,h)_{Y\times\mathbb{R}^d}=(f-S^\varepsilon_\omega f ,v_\omega ^\varepsilon)_{Y\times\mathbb{R}^d}.
\end{equation*}
\notag
$$
Привлекая первое приближение $v+\varepsilon^2 V_\omega ^\varepsilon$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I' &\cong(f-S^\varepsilon_\omega f ,v+\varepsilon^2 V_\omega ^\varepsilon)_{Y\times\mathbb{R}^d}+ (f-S^\varepsilon_\omega f ,v_\omega ^\varepsilon-v-\varepsilon^2 V_\omega ^\varepsilon)_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ &\cong (f-S^\varepsilon_\omega f ,v+\varepsilon^2 V_\omega ^\varepsilon)_{Y\times\mathbb{R}^d}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.26}
$$
В (5.26) отброшено слагаемое, которое является несущественным. В самом деле, полагая
$$
\begin{equation*}
z_\omega ^\varepsilon:= v_\omega ^\varepsilon-v-\varepsilon^2 V_\omega ^\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
по свойствам сдвига имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (f-S^\varepsilon_\omega f ,z_\omega ^\varepsilon)_{Y\times\mathbb{R}^d} &=(f ,z_\omega ^\varepsilon- S^\varepsilon_{-\omega } z_\omega ^\varepsilon)_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ &\leqslant \|f\|\,\|z_\omega ^\varepsilon- S^\varepsilon_{-\omega } z_\omega ^\varepsilon\|_{Y\times\mathbb{R}^d} \stackrel{(3.8)} \leqslant c\varepsilon \|f\|\|\nabla z_\omega ^\varepsilon\|_{Y\times\mathbb{R}^d}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Остается учесть неравенство $\|\nabla z_\omega ^\varepsilon\|_{Y\times\mathbb{R}^d}\leqslant c\varepsilon \|h\|$, вытекающее из проинтегрированной (по $\omega $) оценки типа (4.17) для $v_\omega ^\varepsilon$. Отбрасывая в представлении (5.26) явно несущественное слагаемое (порядка $\varepsilon^3$), выводим по свойствам операторов сдвига и сглаживания $S^\varepsilon_\omega $ и $S^\varepsilon$ цепочку соотношений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I' &\cong (f-S^\varepsilon_\omega f,v)_{Y\times\mathbb{R}^d}=(f,v- S^\varepsilon_{-\omega }v)_{Y\times\mathbb{R}^d} \nonumber \\ &=(f,v- S^\varepsilon v)\leqslant \|f\|\,\|v- S^\varepsilon v\|\stackrel{(3.10)}\cong 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.27}
$$
5.4.Наконец, изучим форму, которая получается из формы (5.25) заменой $h$ на $S^\varepsilon_\omega h$, а именно
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I'' &:= (u+\varepsilon^2 U^\varepsilon_\omega - S^\varepsilon_\omega u^\varepsilon ,S^\varepsilon_\omega h)_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ \notag &\,=(u+\varepsilon^2 U^\varepsilon_\omega - S^\varepsilon_\omega u^\varepsilon,h)_{Y\times\mathbb{R}^d} +(u+\varepsilon^2 U^\varepsilon_\omega - S^\varepsilon_\omega u^\varepsilon , S^\varepsilon_\omega h-h)_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ &\!\!\!\stackrel{(5.27)} \cong (u+\varepsilon^2 U^\varepsilon_\omega - S^\varepsilon_\omega u^\varepsilon, S^\varepsilon_\omega h-h)_{Y\times\mathbb{R}^d}\cong 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.28}
$$
Заключительное равенство нулю верно в силу аргументов, аналогичных использованным при упрощении в (5.26). Действительно, полагая на сей раз
$$
\begin{equation*}
z_\omega ^\varepsilon:= u+\varepsilon^2 U_\omega ^\varepsilon-S^\varepsilon_\omega u^\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
по свойствам сдвига получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, ( z_\omega ^\varepsilon, S^\varepsilon_\omega h-h)_{Y\times\mathbb{R}^d} &=( S^\varepsilon_{-\omega } z_\omega ^\varepsilon-z_\omega ^\varepsilon,h)_{Y\times\mathbb{R}^d} \\ &\leqslant \|h\|\,\|z_\omega ^\varepsilon- S^\varepsilon_{-\omega } z_\omega ^\varepsilon\|_{Y\times\mathbb{R}^d} \stackrel{(3.8)} \leqslant c\varepsilon \|h\|\|\nabla z_\omega ^\varepsilon\|_{Y\times\mathbb{R}^d}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Остается учесть неравенство $\|\nabla z_\omega ^\varepsilon\|_{Y\times\mathbb{R}^d}\leqslant c\varepsilon \|f\|$, вытекающее из проинтегрированной (по $\omega $) оценки (4.20). Теперь в самой форме $I''$ опустим несущественное слагаемое $\varepsilon^2 U^\varepsilon_\omega $, что дает
$$
\begin{equation*}
I''\cong (u- S^\varepsilon_\omega u^\varepsilon ,S^\varepsilon_\omega h)_{Y\times\mathbb{R}^d}= \int_Y\int_{\mathbb R^d} h(x+\varepsilon\omega )(u(x)-u^\varepsilon(x+\varepsilon\omega ))\,dx\,d\omega .
\end{equation*}
\notag
$$
После замены координат во внутреннем интеграле получаем представление
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I'' &\cong \int_Y\int_{\mathbb R^d} h(x)(u(x-\varepsilon\omega )-u^\varepsilon(x))\,dx\,d\omega \\ &=\int_{\mathbb R^d} h(x)\biggl(\int_Y u(x-\varepsilon\omega )\,d\omega -u^\varepsilon(x)\biggr)\,dx\stackrel{(1.6)} =(h,S^\varepsilon u-u^\varepsilon)\cong (h, u-u^\varepsilon), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.29}
$$
где естественно возникло среднее по Стеклову $S^\varepsilon u$, но оно в силу (3.10) заменено на саму функцию $u$. Из (5.28), (5.29) следует “равенство” $(h, u-u^\varepsilon)\cong 0$, которое по принятому соглашению (см. пояснения к (5.16)) означает, что
$$
\begin{equation*}
|(h, u-u^\varepsilon)|\leqslant c \varepsilon^2\|f\|\,\|h\|, \qquad c=\mathrm{const}(d,\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекает искомая оценка (2.7). Теорема 1 доказана. § 6. Некоторые замечанияЗамечание 2. Метод сдвига применялся ранее для вывода $L^2$-операторных оценок усреднения вида (1.7) в [19]–[23], где изучались эллиптические операторы второго порядка в самых разных ситуациях, в том числе несамосопряженные операторы с ослаблением периодичности или со свойствами вырождения в коэффициентах. Например, задача диффузии изучалась в периодически перфорированном пространстве в [21], с локально периодическими коэффициентами в [19], с неограниченными периодическими коэффициентами из пространства BMO в [22]. Особо выделим статью [23], где рассматривались операторы четвертого порядка, которые получены из операторов второго порядка сингулярным возмущением. Любое подобное отступление от классической самосопряженной постановки возможно и в задаче (1.1). Метод сдвига допускает такое обращение. Замечание 3. В [24] результаты настоящей работы обобщены на случай однородных эллиптических операторов произвольного четного порядка $2m\,{\geqslant}\,4$, причем не обязательно самосопряженных. Оценка типа (1.4) доказана для оператора вида Кроме того, если в предположении (6.2) отказаться от условия симметрии, то для резольвенты оператора (6.1) в $L^2$-операторной норме найдена аппроксимация вида $(A_\varepsilon+1)^{-1}\,{=}\,(A_0\,{+}\,1)^{-1}\,{+}\,\varepsilon \mathscr K_1\,{+}\,O(\varepsilon^2)$ с некоторым корректором $\mathscr K_1$. Замечание 4. В кратком сообщении [25] для матричного самосопряженного эллиптического дифференциального оператора $A_\varepsilon$ четвертого порядка с $\varepsilon$-периодическими коэффициентами, подчиненного определенному условию факторизации, указаны аппроксимации резольвенты по операторной $L^2$-норме с остаточным членом порядка $O(\varepsilon^3)$. Замечание 5. Результаты настоящей работы были изложены в пленарном докладе “Аппроксимации резольвенты в усреднении эллиптических операторов высокого порядка” на Суздальской международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (3–8 июля 2020 г., online), на заседании, посвященном 80-летию со дня рождения В. В. Жикова (программу конференции см. на http://cloud.mail.ru/public/3MeW/5DH6sq4ti).
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pas21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|