| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Полигомоморфизмы локально компактных групп Ю. А. Неретинabcd a Faculty of Mathematics, University of Vienna, Austria b Институт теоретической и экспериментальной физики имени А. И. Алиханова Национального исследовательского центра "Курчатовский институт", г. Москва c Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова d Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9412 
Реферативные базы данных:
      § 1. Полигомоморфизмы. Определение и формулировки утвержденийМы рассматриваем лишь локально компактные группы $G$, удовлетворяющие второй аксиоме счетности, т.е. локально компактные группы, имеющие счетную базу открытых подмножеств. Такие группы допускают левоинвариантную метрику (см., например, [1; теорема 8.3]), поэтому они являются сепарабельными метрическими пространствами. Они являются полными топологическими группами в смысле А. Вейля–Н. Бурбаки (см. [2; следствие III.3.1]). Такие группы имеют единственную с точностью до постоянного множителя левоинвариантную меру $\gamma(g)$ (мера Хаара), см. [3; теорема VII.1.1], [1; теорема 8.3], [4], [5; теорема 26.4], [6; гл. A]. Так как $G$ имеет структуру полного метрического пространства, борелевская структура на $G$ является стандартной (см., например, [7; § 12]), т.е. как борелевское пространство $G$ изоморфна прямой $\mathbb{R}$, счетному или конечному множеству. Как пространство с мерой группа $G$ является лебеговским пространством (см., например, [8; гл. 10]), как пространство с мерой $G$ может быть изоморфна интервалу, прямой, счетному или конечному множеству. Так как у нас есть мера, то есть и обычные пространства измеримых функций на $G$, например $L^2(G)$. Через $C_c(G)$ мы обозначим пространство непрерывных функций на $G$ с компактным носителем. Локально компактная группа называется унимодулярной, если мера Хаара является двусторонне инвариантной (см. [3; п. VII.1.3–4]). Пусть $L$ – подгруппа в $K$. Обозначим через $[K:L]$ индекс, т.е. число элементов в $K/L$. Пусть $X$ – множество, а $A\subset X$ – подмножество. Обозначим через $I_A(x)$ индикаторную функцию подмножества $A$, т.е. $I_A(x)=1$, если $x\in A$, и $0$ в противном случае. 1.1. Мультипликативные отношенияПусть $X$, $Y$ – множества. Отношение $X\rightrightarrows Y$ – это подмножество $R\subset X\times Y$. Для двух отношений $R\colon X\rightrightarrows Y$, $S\colon Y\rightrightarrows Z$ мы определим их произведение $SR\colon X\rightrightarrows Z$ как множество всех $(x,y)\in X\times Z$, для которых существует элемент $y\in Y$ такой, что $(x,y)\in R$, $(y,z)\in S$. Понятно, что это произведение ассоциативно. Для отношения $R\colon X\rightrightarrows Y$ мы определим: – образ $\operatorname{im} R$ как проекцию $R$ на $Y$; – область определения $\operatorname{dom} R$ как проекцию $R$ на $X$. Определим также псевдообратное отношение $R^\square\colon Y\rightrightarrows X$ как то же самое подмножество $R\subset X\times Y$, рассматриваемое как отношение из $Y$ в $X$. Очевидно, Для подмножества $A\subset X$ мы определим его образ $RA$ как множество всех $b\in Y$ таких, что существует элемент $a\in A$, удовлетворяющий $(a,b)\in R$. Замечание 1.1. Если $f\colon X\to Y$ – отображение, то его график $\Gamma(f)\subset X\times Y$ является отношением, $\operatorname{dom} \Gamma(f)=X$, а проекция $\Gamma(f)\to X$ инъективна. Частичная биекция $X\to Y$ – это взаимно однозначное отображение подмножества $A\subset X$ на подмножество $B\subset Y$. Отношение $R\colon X\rightrightarrows Y$ является частичной биекцией, если проекции $R\to X$ и $R\to Y$ инъективны. Пусть $G$, $H$ – группы. Мультипликативное отношение $R\colon G\rightrightarrows H$ – это подгруппа в $G\times H$. Очевидно, что произведение мультипликативных отношений является мультипликативным отношением. Для мультипликативного отношения $R\colon G\rightrightarrows H$ мы определим: – его ядро как пересечение $R$ с $G\subset G\times H$; – неопределенность как пересечение $R$ с $H\subset G\times H$. Следующее утверждение очевидно. Лемма 1.3. a) Ядро $\ker R$ является нормальной подгруппой в $\operatorname{dom} R$, а $\operatorname{indef} R$ – нормальной подгруппой в $\operatorname{im} R$. b) Мультипликативное отношение $R$ определяет канонический изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\iota (R)\colon \operatorname{dom} R/ \ker R\to \operatorname{im} R/\operatorname{indef} R.
\end{equation*}
\notag
$$
c) Подгруппы $\ker R$, $\operatorname{indef} R$, $\ker R\times \operatorname{indef} R$ нормальны в $R$. Мы определяем частичный изоморфизм $G\to H$ как изоморфизм между подгруппами $A\subset G$, $B\subset H$. Если группы $G$, $H$ аддитивны, то естественно говорить “аддитивное отношение”. Если они являются линейными пространствами, а $R$ – подпространством, то мы говорим “линейное отношение”. Линейные отношения и аддитивные отношения являются обычными математическими объектами (см., например, [9], [10]), мультипликативные отношения известны, но появляются не часто (см., например, [11; § 1.2]). 1.2. Категория полигомоморфизмовПусть $X$ – пространство с мерой $\xi$, а $Y$ – множество. Пусть $f$ – отображение $X\to Y$. Напомним, что образ $\upsilon$ меры $\xi$ при отображении $f$ – это мера на $Y$, определенная условием $\upsilon(B):=\xi(f^{-1}(B))$. Обозначим через $G^\circ$ унимодулярную группу $G$ (соответственно $H$) с фиксированной мерой Хаара $\gamma(g)$ (соответственно $\eta(h)$). Обозначим через $\overset{\leftarrow}{\pi}$ естественное отображение проектирования $G\times H\to G$, а через $\overset{\rightarrow}{\pi}$ – проектирование $G\times H\to H$. Полигомоморфизм $R^\circ\colon G^\circ \rightarrowtail H^\circ$ – это объект одного из следующих двух типов: 1) замкнутая подгруппа $R\subset G\times H$ с фиксированной мерой Хаара $\rho(r)$ такой, что образ меры $\rho$ под действием $\overset{\leftarrow}{\pi}$ (соответственно $\overset{\rightarrow}{\pi}$) мажорируется мерой $\gamma(g)$ (соответственно мерой $\eta(h)$); 2) нулевая мера $0=0_{G,H}$ на $G\times H$. Обозначим через $\operatorname{Polh}(G^\circ,H^\circ)$ множество всех полигомоморфизмов $G^\circ{\kern1pt}{\rightarrowtail}{\kern1pt}H^\circ$. Элементы этого множества автоматически удовлетворяют следующим свойствам (поэтому они могут быть включены в определение полигомоморфизмов). Предложение 1.4. Пусть $R^\circ\,{\in}\,\operatorname{Polh}(G^\circ,H^\circ)$, а $R$ – соответствующее мультипликативное отношение. Тогда справедливы следующие утверждения. a) Подгруппы $\ker R\subset G$, $\operatorname{indef} R\subset H$ компактны. b) Подгруппы $\operatorname{dom} R\subset G$, $\operatorname{im} R\subset H$ открыты. c) Группа $R$ унимодулярна. d) Образ меры $\rho(r)$ при проектировании $\overset{\leftarrow}{\pi}\colon R\to G$ – это мера на $\operatorname{dom} G$, имеющая вид $\alpha\gamma(g)$, где – постоянная такая, что $0<\alpha\leqslant 1$. Аналогично, образ $\rho(r)$ под действием $\overset{\rightarrow}{\pi} $ является мерой на $\operatorname{im} R$ вида $\beta\eta(h)$, где – постоянная, удовлетворяющая условию $0<\beta\leqslant 1$.Доказательство содержится в п. 2.1. Далее, пусть $R^\circ\in (G^\circ, H^\circ)$, $T^\circ\in \operatorname{Polh}(H^\circ, K^\circ)$ – два полигомоморфизма. Мы определим их произведение $S^\circ= T^\circ R^\circ\in \operatorname{Polh}(G^\circ, K^\circ)$ следующим образом: 1) мультипликативное отношение $S$ это $S:=TR$; 2) мы нормируем меру Хаара на $S$ в терминах ее проекций на $\operatorname{dom} S\subset G$ и $\operatorname{im} S \subset K$:
$$
\begin{equation}
\alpha(S^\circ) =\frac{\alpha(R^\circ)\, \alpha(T^\circ)} {[\operatorname{indef} R\colon (\operatorname{indef} R\cap \operatorname{dom} T)]};
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
$$
\begin{equation}
\beta(S^\circ) =\frac{\beta(R^\circ)\,\beta (T^\circ)}{[\ker T:(\ker T\cap \operatorname{im} R)]}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Произведение нулевого полигомоморфизма и любого другого полигомоморфизма является нулем,
$$
\begin{equation*}
0_{H,K} R^\circ=0_{G,K}, \qquad T^\circ\, 0_{G,H}=0_{G,K}, \qquad 0_{H,K}0_{G,H} =0_{G,K}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1.5. Это произведение корректно определено и ассоциативно, т.е. для любых $G^\circ$, $H^\circ$, $K^\circ$, $L^\circ$ и любых выполнено Замечание 1.6. Фактически определение произведения полигомоморфизмов становится теоремой, если мы рассматриваем полигомоморфизмы как частные случаи полиморфизмов, см. ниже пп. 1.5, 1.6. Таким образом, мы получаем категорию полигомоморфизмов. Объекты $G^\circ$ этой категории – унимодулярные локально компактные группы, снабженные фиксированными мерами Хаара. Множество морфизмов из $G^\circ$ в $H^\circ$ – это $\operatorname{Polh}(G^\circ,H^\circ)$. Для $R^\circ\in\operatorname{Polh}(G^\circ,H^\circ)$ обозначим через $(R^\circ)^\square$ ту же подгруппу в $G\times H$ с той же мерой Хаара, рассматриваемую как подгруппу в $H\times G$. Очевидно, отображения $R\mapsto R^\square$ определяют инволюцию в категории полигомоморфизмов, т.е.
$$
\begin{equation*}
(T^\circ R^\circ)^\square=(R^\circ)^\square (T^\circ)^\square.
\end{equation*}
\notag
$$
1.3. Пояснения к определениюОбсудим вкратце, что означает это понятие для некоторых естественных классов локально компактных групп. Конечные группы. Пусть группы $G$, $H$ конечны, нормируем меры, положив, что каждый элемент имеет меру 1. Подгруппа $R\subset G\times H$ может быть любой, она должна быть снабжена равномерной мерой. Полагая, что мера каждого элемента группы $R$ равна $\mathfrak r$, мы получаем неравенства на $\mathfrak r$:
$$
\begin{equation*}
\alpha(R^\circ) =\mathfrak r \# \operatorname{indef} R\leqslant1, \qquad \beta(R^\circ)= \mathfrak r\#\ker R\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\# X$ обозначает число элементов множества $X$. Категория полигомоморфизмов является своего рода “центральным расширением” категории мультипликативных отношений1. Объясним на примере конечных групп, откуда это центральное расширение берется. Обозначим через $\ell^2(G)$ пространство функций на $G$ с $\ell^2$-скалярным произведением. Заметим, что любой гомоморфизм $\rho\colon G\to H$ определяет оператор по формуле Если $\sigma$ – гомоморфизм $H\to K$, то Для мультипликативного отношения $R\colon G\rightrightarrows H$ мы можем определить следующий оператор $\ell^2(H)\to \ell^2(G)$: Легко показать, что для мультипликативных отношений $R\colon G\rightrightarrows H$, $T\colon H\rightrightarrows K$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\Pi_*(R)\,\Pi_*(T)=\#(\ker T\cap \operatorname{indef} R) \Pi_*(TR) \\ &\qquad=\frac{\# \operatorname{indef} T\#(\operatorname{indef} R\cap \operatorname{dom} T)}{\#\operatorname{indef} TR} \Pi_*(TR) =\frac{\#\ker R \#(\ker T\cap \operatorname{im} R)}{\#\ker TR}\Pi_*(TR). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Введем на $R$ равномерную меру, как выше, и модифицируем операторы, положив, что Легко видеть, что Обобщение этой конструкции на произвольные полигомоморфизмы обсуждается ниже в п. 1.7. Дискретные группы. Если $G$, $H$ дискретны (счетны), то на $R$ появляется дополнительное условие: группы $\ker R$ и $\operatorname{indef} R$ должны быть конечны. Отметим также, что это условие необходимо и достаточно для ограниченности оператора (1.3). Группы Ли. Для связных групп Ли понятие полигомоморфизма дает мало нового по сравнению с гомоморфизмами. По определению нетривиальных открытых подгрупп в связных группах нет, а компактных нормальных подгрупп в группах Ли мало. Поэтому остается не много возможностей удовлетворить условиям предложения 1.4, a), b), и леммы 1.3, a). Для читателя, знакомого с теорией групп Ли, приведем типичный пример полигомоморфизма между полупростыми группами. Рассмотрим группу $G:=\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ (группу вещественных матриц порядка 2 с определителем 1, она гомотопически эквивалентна окружности, соответственно, ее фундаментальная группа равна $\mathbb{Z}$). Обозначим через $G^{\sim n}$ ее $n$-листное накрытие. Группа $G^{\sim 6}$ вкладывается в $G^{\sim 2}\times G^{\sim 3}$ и может рассматриваться как мультипликативное отношение, остается как-нибудь отнормировать меру Хаара на $G^{\sim 6}$. Больше возможностей дает случай торов. Напомним, что тор – это факторгруппа $\mathbb{R}^n/ \mathbb{Z}^n$, мы снабдим его вероятностной мерой Хаара. Нам нужны замкнутые подгруппы в $\mathbb{R}^n/ \mathbb{Z}^n\times \mathbb{R}^m/ \mathbb{Z}^m$. Их легко описать. А именно, пусть $L$ – линейное подпространство в $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m$, заданное уравнениями с целыми коэффициентами,
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} {\displaystyle\sum_{i=1}^n p^i_\alpha x_i+\sum_{j=1}^m q^j_\alpha y_j=0}, \qquad \alpha=1, \dots, k, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
или в матричной форме $Px+Qy=0$. Образ $L$ при отображении $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n/ \mathbb{Z}^n\times \mathbb{R}^m/ \mathbb{Z}^m$ является замкнутой связной подгруппой в произведении торов, и все замкнутые связные подгруппы имеют такой вид. Далее, рассмотрим конечно порожденную подгруппу $\Gamma$ в линейном пространстве $\mathbb Q^k$ над рациональными числами. Возьмем множество $L_\Gamma$ векторов в $\mathbb{R}^{n+m}$, удовлетворяющих условию $Px+Qy\in \Gamma$, и спроектируем его на $ \mathbb{R}^n/ \mathbb{Z}^n\times \mathbb{R}^m/ \mathbb{Z}^m$. Эта конструкция дает нам все замкнутые подгруппы в произведении торов. Для того чтобы такая подгруппа была носителем полигомоморфизма, нужно, чтобы проекции $L$ на $\mathbb{R}^n$ и $\mathbb{R}^m$ были сюръективны. Отметим, что в этом случае знаменатели в формулах (1.1), (1.2) равны 1. Поэтому ничто на мешает нам без какой-либо потери содержания положить, что $\alpha=\beta=1$ для всех полигомоморфизмов. Вполне несвязные недискретные группы. Есть много вполне несвязных локально компактных групп, которые появляются в самых разных разделах математики (например, $p$-адические и адельные группы, группы Галуа с топологией Крулля, группы автоморфизмов и шароморфизмов (spheromorphisms) бесконечных деревьев, некоторые бесконечномерные группы над конечными полями). Заметим, что у любой такой группы $G$ есть “много” полиэндоморфизмов (т.е. полигомоморфизмов в себя). Приведем “массовые” примеры. 1) Пусть $\Omega\subset G$ – открытая подгруппа. Мы берем подгруппу $R\subset G\times G$, состоящую из точек вида $(g,g)$, где $g$ пробегает $\Omega$. Очевидно, $R\simeq \Omega$, и это определяет меру Хаара на $\Omega$. 2) Выберем открытую подгруппу $\Omega\subset G$ и компактную нормальную подгруппу2 $L\subset \Omega$. В качестве $R\subset G\times G$ возьмем группу, состоящую из элементов вида Далее снабжаем $R$ мерой Хаара (и умножаем ее на достаточно малый множитель, если это необходимо).3) Любой автоморфизм $\theta$ группы $G$ (например, внутренний автоморфизм) порождает полиэндоморфизм $G^\circ\rightarrowtail G^\circ$. В качестве $R$ мы берем график отображения $\theta$ и снабжаем его какой-нибудь мерой Хаара3. Далее мы можем перемножать полигомоморфизмы вида 1)–3). 1.4. Сходимость полигомоморфизмовМы определим сходимость на множестве $\operatorname{Polh}(G^\circ,H^\circ)$ как слабую сходимость мер (см., например, [8; § 8.1]) на $G\times H$. А именно, пусть $R_j^\circ=(R_j,\rho_j)$, $R^\circ=(R,\rho)$ – полигомоморфизмы $G\rightarrowtail H$. Последовательность $R^\circ_j$ сходится к $R^\circ$, если для любых функций $\varphi\in C_c(G)$ и $\psi \in C_c(H)$ мы имеем сходимость
$$
\begin{equation*}
\int_{R_j} \varphi(\overset{\leftarrow}{\pi}(r))\,\psi(\overset{\rightarrow}{\pi}(r))\,d \rho_j(r) \to\int_{R} \varphi(\overset{\leftarrow}{\pi}(r))\,\psi(\overset{\rightarrow}{\pi}(r))\,d \rho(r).
\end{equation*}
\notag
$$
Последовательность $R^\circ_j$ сходится к $0_{G,H}$, если для любых $\varphi$, $\psi$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\int_{R_j} \varphi(\overset{\leftarrow}{\pi}(r))\,\psi(\overset{\rightarrow}{\pi}(r))\,d \rho_j(r)\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 1.7. Сходимость полигомоморфизмов можно определить следующим равносильным образом: $R_j^\circ$ сходится к $R^\circ$, если для любой функции $\theta\in C_c(G\times H)$ имеет место сходимость аналогично, $R_j^\circ$ сходится к $0_{G,H}$, если такие же последовательности интегралов сходятся к нулю. Предложение 1.8. a) Эта сходимость метризуема, множества полигомоморфизмов $\operatorname{Polh}(G^\circ,H^\circ)$ являются компактными. b) Произведение полигомоморфизмов раздельно непрерывно. Наше определение является перефразировкой сходимости Шаботи–Бурбаки подгрупп в локально компактной группе, см. [3; § VIII.5]; Н. Бурбаки нормирует меру Хаара на каждой подгруппе, мы разрешаем варьировать числовые множители. Компактность – это теорема VIII.5.1 Бурбаки. Замечание 1.9. Сходимость $R^\circ_j\to R^\circ$ влечет сходимость подмножеств $R_j\to R$. Известно много неэквивалентных определений сходимости на множестве замкнутых подмножеств метрического или топологического пространства, см., например, [13]. Наше пространство $G\times H$ локально компактно, и естественные топологии в этом случае совпадают. Например (см. [2; п. VIII.5.6]), мы можем взять левоинвариантную метрику $G\times H$, совместимую с топологией, и сказать, что последовательность $R_j$ замкнутых подгрупп сходится к $R$, если для любого $\varepsilon>0$ и любого компактного подмножества $K\subset G\times H$ для достаточно больших $j$ множество $K\cap R$ содержится в $\varepsilon$-окрестности множества $R_j$, а $K\cap R_j$ содержится в $\varepsilon$-окрестности множества $R$. (См. [14] об одном способе задать метрику на этом пространстве.) Замечание 1.10. Сходимость $R^\circ_j\to R^\circ$ не влечет сходимостей $\ker R_j\to \ker R_j$, $\operatorname{dom} R_j\to \operatorname{dom} R$, $\alpha(R_j^\circ) \to \alpha(R_j^\circ)$ и т.д. Однако имеют место следующие полунепрерывности. Если ядра $\ker R_j$ содержат некоторую подгруппу $L\subset G$, то начиная с некоторого $j$, то $\ker R$ содержит $L$. Если $\operatorname{dom} R_j$ содержатся в некоторой подгруппе $M\subset G$ начиная с некоторого $j$, то $\operatorname{dom} R$ содержится в той же подгруппе. Если $\alpha(R^\circ_j)\leqslant s$ начиная с некоторого $j$, то $\alpha(R^\circ)\leqslant s$. 1.5. Полиморфизмы. Предварительные сведенияПодробнее об обсуждаемой версии полиморфизмов см. [15], [12; § VIII.4]. 1.5.1. Категория полиморфизмовНапомним, что пространство $X$ с конечной или $\sigma$-конечной мерой $\xi$ является лебеговским, если оно эквивалентно как пространство с мерой объединению конечного или бесконечного промежутка прямой $\mathbb{R}$ (снабженной мерой Лебега) и конечного (возможно, пустого) или счетного множества точек, имеющих ненулевые меры. Замечание 1.11. Локально компактная группа $G$, снабженная мерой Хаара, как пространство с мерой, эквивалентна: – набору точек, имеющих равные положительные меры, если группа дискретна; – конечному интервалу $(a,b)\subset \mathbb{R}$, если группа компактна и бесконечна; – $\mathbb{R}$ в остальных случаях. Пусть $(X,\xi)$, $(Y,\upsilon)$ – лебеговские пространства. Назовем полиморфизмом $\mu\colon (X,\xi)\rightarrowtail(Y,\upsilon)$ меру $\alpha$ на $X\times Y$ такую, что проекция $\mu$ на $X$ мажорируется $\xi$ (т.е. для любого подмножества $A\subset X$ конечной меры выполнено $\xi(A)\geqslant \mu(A\times Y)$), а проекция $\mu$ на $Y$ мажорируется $\upsilon$. Мы разрешаем нулевые меры. Множество всех полиморфизмов $X\rightarrowtail Y$ мы обозначим через $\operatorname{Pol}(X,Y)$. Мы рассматриваем полиморфизмы как “многозначные отображения” $X\,{\to}\,Y$. А именно, для любого полиморфизма $\mu\colon X\rightarrowtail Y$ существует каноническое отображение (определенное почти всюду), переводящее точки $x\in X$ в условные меры (см., например, [8; § 10.4]) $\mu_x(y)$ на $Y$ так, что для любых подмножеств $A\subset X$, $B\subset Y$ конечной меры мы имеем Заметим, что $\mu_x(Y)\leqslant 1$ для почти всех $x\in X$, кроме того, выполнено условиеРассмотрим полиморфизмы $\mu\colon X\rightarrowtail Y$, $\nu\colon Y\rightarrowtail Z$. Определим их произведение $\varkappa=\nu\mu\colon X\rightarrowtail Z$ в терминах условных мер: Таким образом, мы получаем категорию, объекты которой являются лебеговскими пространствами, а морфизмы – это полиморфизмы.Пусть $\mu\colon X\rightarrowtail Y$ – полиморфизм. Определим сопряженный полиморфизм $\mu^\square\colon Y\to X$ как ту же самую меру, рассматриваемую как меру на $Y\times X$. 1.5.2. Линейные операторы, определенные полиморфизмамиДля любого полиморфизма $\mu\colon X\rightarrowtail Y$ мы определим полуторалинейную форму
$$
\begin{equation*}
S_\mu\colon L^2(X,\xi)\times L^2(Y,\upsilon)\to \mathbb{C}
\end{equation*}
\notag
$$
как
$$
\begin{equation*}
S_\mu(\varphi,\psi)= \int_{X\times Y} \varphi(x)\,\overline {\psi(y)}\, d\mu(x,y).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя неравенство Коши–Буняковского и определение полиморфизма, мы получаем
$$
\begin{equation}
|S_\mu(\varphi,\psi)|\leqslant \|\varphi\|_{L^2(X,\xi)}\|\psi\|_{L^2(Y,\upsilon)}.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Следовательно, существует ограниченный линейный оператор такой, что для всех $\varphi\in L^2(X,\xi) $, $\psi\in L^2(Y,\upsilon)$ выполнено
$$
\begin{equation*}
S_\mu(\varphi,\psi)=\langle \varphi, \Pi(\mu) \psi\rangle_{L^2(X,\xi)}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (1.4) операторы $\Pi(\mu)$ являются сжатиями, т.е. Явный вид этих операторов такой: где $\mu_x$ – условные меры, введенные выше. Замечание 1.12. Последнее выражение показывает, что $\Pi(\mu)$ переводит неотрицательные функции в неотрицательные. Обратно, скажем, что оператор $T\colon L^2(Y,\xi)\to L^2(X,\xi)$ является суб-марковским, если он удовлетворяет этому свойству и $\|T\|\leqslant 1$. Легко показать, что любой суб-марковский оператор представим в виде $T=\Pi(\mu)$ для некоторого полиморфизма $\mu$. Мера $\mu$ определена условием где $A\subset X$, $B\subset Y$ – подмножества конечной меры. Замечание 1.13. Мы можем описать оператор $\Pi(\mu)$ следующим способом. Рассмотрим ограниченную неотрицательную функцию $\psi$ на $Y$ и меру на $X\times Y$. Взяв ее проекцию на $X$, мы получим некоторую меру $\Phi$ на $X$. Для любого ограниченного измеримого множества $A\subset X$ выполнено $\Phi(A)=S_\mu(I_A,\psi)$, где $I_A$ – индикаторная функция. Понятно, что для множества $C\,{\subset}\,X$ нулевой меры выполнено $\Phi(C)=0$. Следовательно, мера $\Phi$ абсолютно непрерывна относительно $\xi$, и мы можем определить $\Pi(\mu)\psi$ как производную Радона– Никодима $d\Phi/d\xi$; явные формулы для производных Радона–Никодима см., например, в [16; § 10]. Из формулы (1.5) легко следует, что Поэтому мы получаем функтор из категории полиморфизмов в категорию гильбертовых пространств и ограниченных операторов.1.5.3. Топология на множествах $\operatorname{Pol}(X,Y)$Пусть $\mu_j$, $\mu$ – полиморфизмы $X\rightarrowtail Y$. Мы говорим, что $\mu_j$ сходится к $\mu$, если для любых подмножеств $A\,{\subset}\, X$, $B\subset Y$ конечной меры последовательность $\mu_j(A\times B)$ сходится к $\mu(A\times B)$. Легко показать, что эта сходимость равносильна слабой сходимости соответствующих суб-марковских операторов $\Pi(\mu_j)\to \Pi(\mu)$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\langle \varphi,\Pi(\mu_j)\psi\rangle_{L^2(X,\xi)}\to \langle \varphi,\Pi(\mu)\psi\rangle_{L^2(X,\xi)} \quad \text {для любых }\ \varphi\,{\in}\, L^2(X,\xi), \quad \psi\,{\in}\, L^2(Y,\upsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $H$, $K$ – сепарабельные гильбертовы пространства. Обозначим через $\mathscr C(H,K)$ множество всех сжимающих операторов $H\to K$, снабженное слабой операторной топологией. Это множество является метризуемым компактом, а умножения
$$
\begin{equation*}
\mathscr C(H,K)\times \mathscr C(K,L)\to \mathscr C(H,L)
\end{equation*}
\notag
$$
раздельно непрерывны. Отсюда следует, что множества $\operatorname{Pol}(X,Y)$ являются метризуемыми компактами, а операция умножения раздельно непрерывна. 1.5.4. Преобразования, сохраняющие меру и полиморфизмыПусть $(X,\xi)$ – пространство с $\sigma$-конечной непрерывной мерой (т.е. пусть $X$ эквивалентно $\mathbb{R}$). Обозначим через $\operatorname{Ams}(X)$ группу сохраняющих меру преобразований пространства $X$. Пусть $g\in\operatorname{Ams}(X)$. Рассмотрим отображение $X\to X\times X$, заданное формулой $x\mapsto (x,g(x))$, возьмем образ $\varkappa_g$ меры $\xi$ под действием этого отображения. Ясно, что $\varkappa_g$ – это полиморфизм $X\rightarrowtail X$ и что произведение сохраняющих меру преобразований соответствует произведению полиморфизмов. Легко показать, что группа $\operatorname{Ams}(X)$ плотна в полугруппе $\operatorname{Pol}(X,X)$. Таким образом, понятие полиморфизма расширяет понятие сохраняющего меру преобразования (эта идея, по-видимому, восходит к Э. Хопфу, см. [17]). 1.5.5. Ссылки о полиморфизмахПолиморфизмы и марковские (в разных вариантах) операторы – стандартные объекты эргодической теории, см., например, работы Э. Хопфа [17], Ж. Невё [18], А. М. Вершика [19], У. Кренгеля [20]. Есть несколько естественных групп преобразований пространств с мерой (преобразования, сохраняющие конечную или $\sigma$-конечную меру, преобразования, оставляющие меру квазиинвариантной и др.). Это дает несколько видов полиморфизмов, см. [15], [12; § VIII.4 и часть X]. Вариант, который обсуждается выше, соответствует группе преобразований, сохраняющих бесконечную непрерывную меру; вероятно, этот вариант появился в [15]. К. Шмидт и A. М. Вершик в [21] рассматривали полигомоморфизмы (“алгебраические полиморфизмы”) компактных групп $K$, удовлетворяющие более сильным условиям. В нашей терминологии это полигомоморфизмы $R^\circ$ из $K^\circ$ в себя такие, что $\operatorname{dom} R=K$, $\operatorname{im} R=K$ (кроме того, $\alpha(R^\circ)=\beta(R^\circ)=1$, но это условие в данном случае не существенно). В частности, это включает случай торов, обсуждавшийся в п. 1.3. 1.6. Полиморфизмы и полигомоморфизмыОчевидно, что любой полигомоморфизм является полиморфизмом. Теорема 1.14. Произведение полигомоморфизмов, введенное выше, соответствует произведению полиморфизмов. Доказательство занимает пп. 2.2–2.3. Эта теорема немедленно влечет ассоциативность произведения полигомоморфизмов (лемма 1.5) и раздельную непрерывность (предложение 1.8, b). 1.7. Линейные операторы в $L^2$, определяемые полигомоморфизмамиПусть $G$ – локально компактная группа, $\Phi$ – ее открытая подгруппа, а $\Delta$ – компактная нормальная подгруппа в $\Phi$. Обозначим через $L^2(\Phi)^\Delta\subset L^2(G)$ подпространство, состоящее из функций, у которых носитель содержится в $\Phi$ и которые инвариантны относительно $\Delta$. Обозначим через $P_{\Phi|\Delta}^G$ оператор ортогонального проектирования на подпространство $L^2(\Phi)^\Delta\subset L^2(G)$. Предложение 1.15. Пусть $R^\circ\in \operatorname{Polh}(G^\circ, H^\circ)$. Тогда оператор Явное описание операторов $\Pi(R^\circ)$ содержится в п. 2.4. Таким образом, операторы $\Pi(R^\circ)$ оказываются “частичными гомотетиями”. Согласно теореме 1.14 произведение $\Pi(T^\circ)\Pi(R^\circ)$ двух “частичных гомотетий” является “частичной гомотетий”, но новый коэффициент сжатия не является произведением коэффициентов. Сейчас мы сформулируем геометрическое утверждение, связанное с этим феноменом. Пусть $L$, $M$ – два замкнутых подпространства гильбертова пространства $H$. Рассмотрим ортогональные проекторы $P_L\colon H\to L$ и $P_M\colon H\to M$. Возьмем следующие самосопряженные операторы:
$$
\begin{equation*}
P_L P_M\big|_{L}=P_L P_M P_L\big|_{L}\colon L\to L, \qquad P_MP_L\big|_{M}=P_MP_L P_M\big|_{M}\colon M\to M.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что их спектральные типы совпадают с точностью до кратностей значения 0 и что эти типы являются инвариантами пары подпространств при действии унитарных преобразований (это аналог углов в элементарной геометрии, см., например, [10; § 2.5]). Предложение 1.16. Пусть $G$ – унимодулярная локально компактная группа, $\Phi$, $\Psi$ – открытые подгруппы, $\Delta$ – компактная нормальная подгруппа в $\Phi$, $\Gamma$ – компактная нормальная подгруппа в $\Psi$. Пусть пары $(\Phi,\Delta)$ и $(\Psi,\Gamma)$ различны. Тогда спектр оператора Доказательство содержится в п. 2.5. 1.8. Рациональные полигомоморфизмыПусть $K_1$, $K_2\subset G$ – открытые компактные подгруппы в локально компактной группе $G$. Тогда $K_1\cap K_2$ также является открытой компактной подгруппой. Однородное пространство $K_1/(K_1\cap K_2)$ дискретно и компактно, поэтому оно конечно. Следовательно, отношение мер подгрупп $K_1$ и $K_2$ рационально. Определим подкатегорию $\operatorname{Polh}_{\mathbb Q}$ категории полигомоморфизмов. Мы рассматриваем лишь унимодулярные локально компактные группы, имеющие открытые компактные подгруппы, причем меры Хаара нормируются так, что меры компактных открытых подгрупп рациональны. Рациональный полигомоморфизм $R^\circ\colon G^\circ \rightarrowtail H^\circ$ – это полигомоморфизм такой, что $\alpha(R^\circ)$, $\beta(R^\circ)$ рациональны. Так как индексы в формулах (1.1)–(1.2) являются целыми, произведения рациональных полигомоморфизмов являются рациональными. 1.9. ПолиэндоморфизмыТеперь рассмотрим унимодулярную локально компактную группу $G$, содержащую открытую компактную подгруппу $K_0$. Нормируем меру Хаара на $G$, положив, что мера подгруппы $K_0$ равна 1. Для любой пары $K_1\supset K_2$ открытых компактных подгрупп рассмотрим индекс $[K_1:K_2]$. Рассмотрим мультипликативную полугруппу $\Lambda=\Lambda(G)\subset\mathbb{N}$, состоящую из всевозможных произведений таких индексов. Обозначим через $\operatorname{Polh}_\Lambda(G^\circ,G^\circ)$ полугруппу всех полигомоморфизмов $G^\circ\rightarrowtail G^\circ$, состоящую из 0 и всех $R^\circ$ таких, что $\alpha(R^\circ)^{-1}$, $\beta(R^\circ)^{-1}\in \Lambda$. Теорема 1.17. Множество $\operatorname{Polh}_\Lambda(G^\circ,G^\circ)$ является компактной подполугруппой в $\operatorname{Polh}(G^\circ,G^\circ)$. Доказательство содержится в п. 2.6. 1.10. Пример: группа бесконечных матриц над конечным полемПусть $p$ – простое число, а $\mathbb F_p$ – поле из $p$ элементов. Рассмотрим бесконечномерное локально компактное линейное пространство над $\mathbb F_p$, удовлетворяющее второй аксиоме счетности. Таких пространств всего лишь три (это полуочевидно, мы приведем формальное доказательство ниже в п. 2.7). Первое пространство $\mathbb{V}_p^+$ – прямая сумма счетного числа копий поля $\mathbb F_p$, снабженная дискретной топологией. Второе пространство $\mathbb{V}_p^-$ – прямое произведение счетного числа копий поля $\mathbb F_p$, оно снабжено тихоновской топологией. Эти два пространства двойственны друг другу в смысле Понтрягина (о двойственности, см., например, [1; гл. 6]). Третье пространство – это $\mathbb{V}_p:= \mathbb{V}_p^-\oplus \mathbb{V}_p^+$, которое и является предметом нашего интереса. Нам удобно рассматривать $\mathbb{V}_p$ как пространство двухсторонних последовательностей
$$
\begin{equation}
v=(\dots, v_{-2}, v_{-1}, v_0, v_1, v_2,\dots),\qquad v_k\in \mathbb F_p,
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
таких, что $v_{j}=0$ для достаточно больших $j$. Для любого $m\in\mathbb{Z}$ рассмотрим подпространство $W^m\subset \mathbb{V}_p$, состоящее из векторов $v$ таких, что $v_l=0$ при $l>- m$,
$$
\begin{equation*}
\dots\supset W^{-1}\supset W^0\supset W^1\supset W^2\supset \dotsb.
\end{equation*}
\notag
$$
Топология на $\mathbb{V}_p$ определена из условия: подгруппы $W^m$ открыты и образуют базу окрестностей нуля. Последовательность $v^{(l)}\in \mathbb{V}_p$ сходится к $v$, если она содержится в некоторой подгруппе $W^m$ и сходится к $v$ покоординатно. Подгруппы $W^m$ компактны и изоморфны прямому произведению счетного числа циклических групп $\mathbb{Z}_p$, факторы $\mathbb{V}_p/W^m$ дискретны и изоморфны счетной прямой сумме циклических групп $\mathbb{Z}_p$. Мы нормируем меру Хаара $\varphi(v)$ на $\mathbb{V}_p$, полагая, что мера подгруппы $W^0$ равна 1. Рассмотрим группы $\mathrm{GL}(\mathbb{V}_p^+)$, $\mathrm{GL}(\mathbb{V}_p^-)$, $\mathrm{GL}(\mathbb{V}_p)$ всех непрерывных линейных операторов в этих пространствах. Теория представлений группы $\mathrm{GL}(\mathbb{V}_p^+)$ сравнительно проста (см. работу Т. Цанкова [23], классификацию представлений также несложно свести к результату Г. И. Ольшанского из [24]), группа $\mathrm{GL}(\mathbb{V}_p^-)$ изоморфна $\mathrm{GL}(\mathbb{V}_p^+)$. Группа $\mathrm{GL}(\mathbb{V}_p)$ была введена в [25], теория представлений этой группы нетривиальна, см. [25]–[27], у этой теории много аналогий с представлениями бесконечномерных вещественных классических групп в смысле Г. И. Ольшанского [28]. Обозначим через $\mathrm{GL}(\mathbb{V}_p)$ группу всех непрерывных линейных операторов в $\mathbb{V}_p$, мы можем также сказать, что $\operatorname{Aut}(\mathbb{V}_p)$ – группа непрерывных автоморфизмов абелевой группы $\mathbb{V}_p$. Обозначим через $J$ оператор левого сдвига в пространстве последовательностей (1.7). Очевидно, это преобразование переводит меру Хаара $\varphi(v)$ в меру $p\varphi(v)$. Обозначим через $\mathrm{GL}^0(\mathbb{V}_p)$ подгруппу в $\mathrm{GL}(\mathbb{V}_p)$, состоящую из преобразований, сохраняющих меру Хаара на $\mathbb{V}_p$. Очевидно, что группа $\mathrm{GL}(\mathbb{V}_p)$ является полупрямым произведением циклической группы, порожденной $J$, и нормальной подгруппы $\mathrm{GL}^0(\mathbb{V}_p)$. Таким образом, у нас есть сохраняющее меру действие группы $\mathrm{GL}^0(\mathbb{V}_p)$ автоморфизмами локально компактной группы $\mathbb{V}_p$, т.е. мы находимся в ситуации, обсуждавшейся в п. 1.9. Полугруппа $\Lambda(\mathbb{V}_p)$ состоит из степеней $p^j$, где $j\geqslant 0$. Замкнутые подгруппы в $\mathbb{V}_p\times\mathbb{V}_p$ – это то же самое, что линейные подпространства в $\mathbb{V}_p\oplus \mathbb{V}_p$. Теорема 1.18. Замыкание $\mathrm{GL}^0(\mathbb{V}_p)$ в $\operatorname{Polh}(\mathbb{V}_p,\mathbb{V}_p)$ совпадает со всей полугруппой $\operatorname{Polh}_\Lambda(\mathbb{V}_p,\mathbb{V}_p)$. Доказательство содержится в п. 2.8. Теорема 1.19. Любое унитарное представление $\rho$ группы $\mathrm{GL}^0(\mathbb{V}_p)$ продолжается по непрерывности до представления $\widetilde \rho$ полугруппы $\operatorname{Polh}_\Lambda(\mathbb{V}_p,\mathbb{V}_p)$, совместимого с инволюцией $R\mapsto R^\square$, т.е. $\widetilde{(R^\square)}=\widetilde{(R)^*}$.
Доказательство содержится в п. 2.9. 1.11. Проблема замыканияРассмотрим унитарное представление $\rho$ топологической группы $G$ в гильбертовом пространстве $H$. Рассмотрим множество $\rho(G)$ унитарных операторов вида $\rho(g)$, где $g$ пробегает $G$, и замкнем его в пространстве всех ограниченных операторов по отношению к слабой операторной топологии. Легко проверить, что это замыкание $\overline{\rho(G)}$ является компактной полугруппой. Г. И. Ольшанский, см., например, [24], показал, что такие полугруппы могут быть интересными алгебраическими объектами и эффективным средством исследования унитарных представлений бесконечномерных групп $G$, подробнее см. [12]. Пусть теперь группа $G$ действует преобразованиями пространства с мерой $X$. Тогда она действует в $L^2(X)$, и мы приходим к вопросу о слабом замыкании. Этот вопрос может быть переформулирован как вопрос о замыкании групп в полугруппах полиморфизмов. Вероятно, первая задача такого рода (замыкание бесконечномерной ортогональной группы, действующей на пространстве с гауссовой мерой) была решена Э. Нельсоном в [29] (см. также [6; § 12]), для нескольких действий бесконечномерных групп замыкания были описаны в [30]–[32]. Наша теорема 1.18 дает дополнительный пример этого рода. Задача о слабом замыкании не интересна для вещественных или $p$-адических полупростых групп (обычно получается одноточечная компактификация, см. [33]). С другой стороны, есть много интересных результатов о замыкании для сохраняющих меру эргодических действий абелевых групп, таких как $\mathbb{Z}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{Z}^n$. Для общих (в смысле бэровской категории) преобразований такие замыкания являются огромными и связаны с централизаторами преобразований в полугруппах марковских операторов, см. [34]–[36]. Для неперемешивающих действий проблема о слабом замыкании обычно трудна, см. [37], некоторые относительно простые примеры для пространств с бесконечными мерами изучены в [38], [39]. Пример 1.20. a) Рассмотрим счетное пространство $\mathbb{V}_p^+$ (см. п. 1.10) со считающей мерой. Легко проверить, что замыкание группы $\mathrm{GL}(\mathbb{V}_p^+)$ в $\operatorname{Polh}(\mathbb{V}_p^{+},\mathbb{V}_p^+)$ состоит из частичных линейных биекций $\mathbb{V}_p^+\to \mathbb{V}_p^+$, причем эти биекции снабжены считающими мерами. Согласно [23] полугруппа частичных линейных биекций действует во всех линейных унитарных представлениях группы $\mathrm{GL}(\mathbb{V}_p^+)$. b) Снабдим $\mathbb{V}_p^-$ вероятностной мерой Хаара. Легко показать, что замыкание группы $\mathrm{GL}(\mathbb{V}_p^-)$ в $\operatorname{Polh}(\mathbb{V}_p^-,\mathbb{V}_p^-)$ состоит из полигомоморфизмов $R^\circ$ таких, что $\operatorname{dom} R=\mathbb{V}_p^-$, $\operatorname{im} R=\mathbb{V}_p^-$, а мера Хаара на $R$ является вероятностной. § 2. Доказательства2.1. Непосредственные следствия, вытекающие из определения полигомоморфизмаДокажем утверждения a)–d) предложения 1.4. Напомним, что $R$ – подгруппа в $G\times H$, снабженная левоинвариантной мерой Хаара. Утверждение a). Компактность ядра и неопределенности полигомоморфизма. Пусть даны локально компактная группа $N$, ее замкнутая нормальная подгруппа $K$ и факторгруппа $M$. Обозначим левоинвариантные меры Хаара на этих группах через $\nu(n)$, $\varkappa(k)$, $\mu(m)$ соответственно. Для элемента $n\in N$ обозначим через $\dot n$ его образ в $M$. Согласно [3; предложение VII.2.10] имеет место следующая формула интегрирования:
$$
\begin{equation}
\int_N f(n)\,d\gamma(n)=\int_{M}\int_{K} f(\dot n k)\,d\varkappa(k)\,d \mu(m).
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Предположим, что $K$ не компактна. Рассмотрим образ меры $\nu(n)$ при гомоморфизме $N\to M$. Тогда компактные подмножества $U$ в $M$ с непустыми внутренностями имеют бесконечные меры. Действительно, пусть $\widetilde U\subset N$ – прообраз $U$. Применяя формулу интегрирования к индикаторной функции $I_{\widetilde U}$, мы получаем $\infty$. Мы применяем это замечание к группе $N=R$, ее подгруппе $K=\operatorname{indef} R$ и факторгруппе $N=\operatorname{dom} R$ и получаем, что проекция меры $\rho(r)$ на $G$ может мажорироваться мерой Хаара $\rho(g)$ лишь в случае, когда $\operatorname{indef} R$ компактна. Чтобы убедиться в компактности $\ker R$, мы берем группу $N=R$, подгруппу $K=\ker R$ и факторгруппу $M=\operatorname{im} R$. Утверждение b). Область определения и образ полигомоморфизма – открытые подгруппы6. Подгруппа $R$ является объединением счетного семейства компактных множеств, поэтому ее образ $\operatorname{dom} R$ также является объединением счетного семейства компактных множеств и тем самым является борелевским множеством. Эта подгруппа имеет ненулевую меру. Пусть $A$ – множество ненулевой меры в локально компактной группе. Тогда согласно [4; § 11] множество $AA^{-1}$ содержит окрестность 1. Поэтому подгруппа ненулевой меры содержит окрестность единицы, а поэтому открыта. Утверждение c). Унимодулярность группы $R$. Мы применяем формулу (2.1) к $N=R$, $K=\operatorname{indef} R$, $M=\operatorname{dom} R$. Так как $\operatorname{dom} R$ – открытая подгруппа в унимодулярной группе $G$, она унимодулярна. Подгруппа $\operatorname{indef} R$ компактна, следовательно, она унимодулярна, и, более того, мера Хаара сохраняется при всех автоморфизмах группы. Формула (2.1) показывает, что $\displaystyle \int f(hgh^{-1})\,d\gamma(g)=\int f(g)\,d\gamma(g)$ для всех $h$, что влечет унимодулярность $R$. Утверждение d). Пусть $g\in\operatorname{dom} R$. Тогда существует элемент $h\in H$ такой, что $(g,h)\in R$. Мера Хаара на $R$ инвариантна относительно левого сдвига на $(g,h)$. Следовательно, ее проекция $\nu$ на $G$ инвариантна относительно сдвига на $g$. Следовательно, $\nu$ – мера Хаара на $\operatorname{dom} R$. 2.2. Носитель произведения полиморфизмовЦель этого пункта – лемма 2.2, которая понадобится при обсуждении произведения полигомоморфизмов. Пусть $X$, $Y$ – полные сепарабельные метрические пространства. Мы скажем, что отношение $R\colon X\rightrightarrows Y$ является би-собственным, если проекции $R\to X$ и $R\to Y$ являются собственными отображениями. Равносильное определение: отношение $R\colon X\rightrightarrows Y$ би-собственно, если 1) $R\subset X\times Y$ является замкнутым множеством; 2) для любого компакта $A\subset X$ множество $RA\subset Y$ компактно; 3) для любого компакта $B\subset Y$ множество $R^\square B\subset X$ компактно. Лемма 2.1. Пусть $R\colon X\rightrightarrows Y$, $S\colon Y\rightrightarrows Z$ – би-собственные отношения. Тогда $SR$ – би-собственное отношение. Доказательство. Достаточно проверить, что $SR\,{\subset}\,X\times Z$ замкнуто. Пусть последовательность $(x_j, z_j)\in X\times Z$ сходится к $(x^\circ,z^\circ)$. Тогда существует последовательность $y_j\in Y$ такая, что $(x_j,y_j)\in R$, $(y_j,z_j)\in S$. Множество $\Xi\subset X$, состоящее из последовательности $x_j$ и ее предела $x^\circ$, является компактным. Поэтому компактно и множество $R\Xi\subset Y$. Это множество содержит последовательность $(x_j,y_j)$, поэтому из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность $(x_{j_k},y_{j_k})$, обозначим ее предел через $(x^\circ,y^\circ)$. В силу замкнутости $R$ этот предел содержится в $R$. Ясно, что $y_{j_k}$ сходится к $y^\circ$, а поэтому $(y^\circ, z^\circ)\in S$. Следовательно, $(x^\circ, z^\circ)\in SR$. Пусть $X$, $Y$ – локально компактные полные метрические сепарабельные пространства, снабженные мерами $\xi$, $\upsilon$ соответственно. Мы говорим, что полиморфизм $\mu\colon X\rightarrowtail Y$ является би-собственным c носителем $R$, если: 1) $R\colon X\rightrightarrows Y$ является би-собственным отношением; 2) $\mu$ имеет носитель в $R$, т.е. $\mu((X\times Y)\setminus R)=0$. Лемма 2.2. Пусть $X$, $Y$, $Z$ – локально компактные полные метрические пространства, а $\xi$, $\upsilon$, $\zeta$ – меры на этих пространствах. Пусть полиморфизм $\mu\in\operatorname{Pol}(X,Y)$ является би-собственным с носителем в $R$, а $\nu\in\operatorname{Pol}(Y,Z)$ – би-собственным с носителем в $S$. Тогда произведение $\varkappa:=\nu\mu$ является би-собственным с носителем в произведении отношений $SR$. Сначала мы докажем следующую лемму. Лемма 2.3. Пусть $(X,\xi)$, $(Y,\upsilon)$ – локально компактные полные метрические пространства с мерами. Пусть $\mu\in\operatorname{Pol}(X,Y)$ – би-собственный полиморфизм с носителем в $R\subset X\times Y$. Для точки $y_0\in Y$ рассмотрим множество $R^\square y_0$, т.е. множество всех $x\in X$ таких, что $(x,y_0)\in R$. Тогда для любой окрестности $U$ множества $R^\square y_0$ существует окрестность $V$ точки $y_0$ такая, что для любой функции $\varphi$ c носителем в $V$ функция $\Pi(\mu) \varphi$ имеет носитель в $U$.
Доказательство. Найдем $\Pi(\mu)\varphi$, применив замечание из п. 1.5.2. Для этого мы должны спроектировать меру $\psi(y) \mu(x,y)$ на пространство $X$. Понятно, что для функции $\varphi$, чей носитель лежит в малой окрестности точки $y_0$, носитель меры $\psi(y) \mu(x,y)$ лежит в малой окрестности множества $(X\times y_0)\cap R$. Носитель проекции меры $\psi(y) \mu(x,y)$ лежит в малой окрестности множества $R^\square y$. Лемма доказана. Доказательство леммы 2.2. Пусть $(x_0,z_0)\notin SR$. Мы должны показать, что для вещественных функций $\varphi\in C_c(X)$ с носителем в достаточно малой окрестности $A$ точки $x_0$ и $\theta\in C_c(Z)$ с носителем в достаточно малой окрестности $B$ точки $z$ выполнено $\displaystyle\int_{X\times Z} \varphi(x)\,\theta(z)\,d\varkappa(x,z)=0$. Мы имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \int_{X\times Z} \varphi(x)\theta(z)\,d\varkappa(x,z) &=\bigl\langle \varphi,\Pi(\varkappa)\theta\bigr\rangle_{L^2(X,\xi)} =\bigl\langle \varphi,\Pi(\mu)\Pi(\nu)\theta\bigr\rangle_{L^2(X,\xi)} \\ &=\bigl\langle \Pi(\mu^\square)\varphi,\Pi(\nu)\theta\bigr\rangle_{L^2(Y,\upsilon)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
В силу леммы 2.3 носитель функции $\Pi(\nu)\theta$ лежит в малой окрестности множества $S^\square z_0$, а носитель функции $\Pi(\mu^\square)\varphi$ лежит в малой окрестности множества $R x_0$. Условие $(x_0,z_0)\notin SR$ равносильно тому, что эти множества не пересекаются. Поэтому (2.2) равно нулю для функций $\varphi$, $\theta$ с достаточно малыми носителями, что и требовалось показать. Остальные утверждения вытекают из леммы 2.1. Лемма доказана. 2.3. Произведение полигомоморфизмовПусть даны два полигомоморфизма $R^\circ\colon G^\circ\rightarrowtail H^\circ$, $T\colon H^\circ\to K^\circ$. Отметим, что индексы
$$
\begin{equation*}
[\ker T:(\ker T\cap \operatorname{im} R)], \qquad [\operatorname{indef} R:(\operatorname{indef} R\cap \operatorname{dom} T)]
\end{equation*}
\notag
$$
в формулах (1.1), (1.2) конечны. Действительно, подгруппа $\operatorname{im} R$ открыта (и, следовательно, замкнута). Следовательно, подгруппа $\operatorname{im} R\cap \operatorname{indef} T$ открыта и замкнута в компактной группе $\operatorname{indef} T$. Следовательно, однородное пространство $(\operatorname{indef} T)/(\operatorname{im} R\cap \operatorname{indef} T)$ конечно. Далее, мы вычислим произведение $T^\circ$ и $R^\circ$ как произведение полиморфизмов и покажем, что оно совпадает с произведением $T^\circ R^\circ$ как полигомоморфизмов. В силу леммы 2.2 носитель произведения содержится в замкнутой подгруппе $TR$. Мы должны показать, что мера на $TR$ – это мера Хаара. Обозначим через $L_G(u)$ преобразование $v\mapsto uv$ группы $G$. Для $R^\circ$ мы имеем следующее тождество с полигомоморфизмами:
$$
\begin{equation*}
L_H(h) R^\circ= R^\circ L_G(g) \quad \text{при }\ (g,h)\in R.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $(h,k)\in T$, то $T^\circ L_H(h) = L_K(k) T^\circ$, и, следовательно, Поэтому полиморфизм $T^\circ R^\circ$ определяется мерой Хаара на $TR$. Остается найти нормирующие константы $\alpha(T^\circ R^\circ )$, $\beta(T^\circ R^\circ )$. Лемма 2.4. Пусть $R^\circ\in\operatorname{Polh}(G^\circ, H^\circ)$, а $\Pi(R^\circ)\colon L^2(H,\eta)\to L^2(G,\gamma)$ – соответствующий оператор. a) Пусть $B\subset \operatorname{im} R$ – компактное множество ненулевой меры, инвариантное относительно $\operatorname{indef} R$. Тогда b) Пусть $Z\subset \operatorname{indef} R$ – подгруппа конечного индекса $N$. Пусть $h_1$, …, $h_N$ – представители классов смежности $\operatorname{indef} R/Z$. Пусть $D\subset \operatorname{im} R$ – компактное множество ненулевой меры, инвариантное относительно $Z$, причем множества $h_j C$ попарно не пересекаются. Тогда Замечание 2.5. a) В силу того, что подгруппа $\operatorname{indef} R$ нормальна в $\operatorname{im} R$, левая $(\operatorname{indef} R)$-инвариантность $B$ равносильна правой $(\operatorname{indef} R)$-инвариантности. b) Для любого компактного множества $D$ выполнено Доказательство леммы 2.4. a) Мы вычисляем $\Pi(R^\circ) I_B$, используя замечание из п. 1.5.2. Мера (1.6) сосредоточена на множестве $M$ всех $(a,b)\in G\times H$ таких, что $(a,b)\in R$, $b\in B$, эта мера совпадает с мерой Хаара $\rho(r)$ на этом множестве. Если $(a,b)\in M$ и $q\in \operatorname{indef} R^\circ$, то $(a,bq)\in M$. Следовательно, $M$ совпадает с прообразом $R^\square B$ относительно проекции $R\to G$. Проектируя меру Хаара, ограниченную на $M$, на $G$, мы получаем меру $\alpha(R^\circ)\,\gamma$, ограниченную на $R^\square B$. b) Очевидно, для любого множества $D\subset H$ и $h\in \operatorname{indef} R$ выполнено Поэтому в нашем случае все функции $ \Pi(R^\circ)I_{h_jC}$ равны между собой. Совпадают и множества $R^\square (h_j C)$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\Pi(R^\circ)I_{C}=\frac 1N\sum_j \Pi(R^\circ)I_{h_jC}=\frac 1N\sum_j \Pi(R^\circ)I_{\bigcup h_jC}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя к последнему множеству утверждение a) леммы 2.4, получаем Конец доказательства теоремы 1.14. Рассмотрим компактное подмножество $C\subset \operatorname{im} (TR)$, содержащее окрестность единицы и инвариантное относительно компактной подгруппы В силу леммы 2.4, a)
$$
\begin{equation*}
\Pi((TR)^\circ) I_C=\alpha((TR)^\circ)I_{R^\square T^\square C}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу той же леммы и (2.3) мы имеем
$$
\begin{equation*}
\Pi(R^\circ)\Pi(T^\circ) I_C=\alpha(T^\circ)\Pi(R^\circ) I_{T^\square C}=\alpha(T^\circ)\Pi(R^\circ) I_{\operatorname{im} R\cap T^\square C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $\operatorname{im} R\cap T^\square C$, вообще говоря, не является $(\operatorname{indef} R)$-инвариантным. Однако в силу выбора $C$ оно $(\operatorname{indef} R\cap \operatorname{dom} T)$-инвариантно. Применяя к последнему выражению лемму 2.4, b), мы получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\alpha(T^\circ)\alpha(R^\circ)}{[\operatorname{indef} R:(\operatorname{indef} R\cap \operatorname{dom} T)} I_{R^\square T^\square C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисление константы $\beta(T^\circ R^\circ)$ аналогично. Теорема 1.14 доказана. 2.4. Явное описание операторов $\Pi(R^\circ)$ и доказательство предложения 1.15Здесь дается описание операторов в $L^2$, соответствующих полигомоморфизмам. Мы используем обозначения п. 1.7. Пусть $G$ – локально компактная группа, $\Phi$ – ее открытая подгруппа, $\Delta$ – компактная нормальная подгруппа в $\Phi$. Нормируем меру Хаара на группе $\Phi/\Delta$ как образ меры $\gamma(g)\big|_{\Phi}$ при отображении $\Phi\to\Phi/\Delta$. Рассмотрим “диагональное” отображение $\Phi\to \Phi\times (\Phi/\Delta)$, переводящее $g\in\Phi$ в $(g,g\Delta)$. Мы определим полигомоморфизм
$$
\begin{equation*}
\mu^\circ_G[\Phi|\Delta]\in\operatorname{Polh}(G^\circ,(\Phi/\Delta)^\circ)
\end{equation*}
\notag
$$
как образ меры $\gamma(g)\big|_{\Phi}$ при “диагональном” отображении (в частности, $\alpha=\beta\,{=}\,1$). С другой стороны, отображение $\Phi\to \Phi/\Delta$ индуцирует оператор
$$
\begin{equation*}
\Pi(\mu^\circ_G[\Phi|\Delta])\colon L^2(\Phi/\Delta)\to L^2(\Phi)\subset L^2(G).
\end{equation*}
\notag
$$
Это изометрическое вложение $L^2(\Phi/\Delta)\to L^2(G)$, образ которого есть $L^2(\Phi)^\Delta$. Сопряженный оператор
$$
\begin{equation*}
\Pi(\mu^\circ_G[\Phi|\Delta]^\square)\colon L^2(G)\to L^2(\Phi/\Delta)
\end{equation*}
\notag
$$
может быть описан следующим образом: мы ограничиваем функцию $f\in L^2(G)$ на открытую подгруппу $\Phi$, берем ее среднее под действием компактной группы $\Delta$ и рассматриваем среднее как функцию на $\Phi/\Delta$. Пусть $R^\circ\in \operatorname{Polh}[G^\circ,H^\circ]$. Мы разложим его в произведение $R^\circ=T^\circ S^\circ Q^\circ$,
$$
\begin{equation*}
G^\circ\stackrel{Q^\circ}{\rightarrowtail}(\operatorname{dom} R/\ker R)^\circ\stackrel{S^\circ}{\rightarrowtail} (\operatorname{im} R/\operatorname{indef} R)^\circ\stackrel{T^\circ}{\rightarrowtail} H^\circ,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
Q^\circ=\mu^\circ_G[\operatorname{dom} R|\ker R], \qquad T^\circ=\mu^\circ_H[\operatorname{im} R|\operatorname{indef} R]^\square.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы определить $S^\circ$, мы рассмотрим каноническое отображение
$$
\begin{equation*}
R\to (\operatorname{dom} R/\ker R)\times (\operatorname{im} R/\operatorname{indef} R).
\end{equation*}
\notag
$$
Его образ – это график изоморфизма
$$
\begin{equation*}
\Sigma\colon (\operatorname{dom} R/\ker R)\to (\operatorname{im} R/\operatorname{indef} R).
\end{equation*}
\notag
$$
Мера Хаара на этом графике определяется как образ меры $\rho(r)$. Операторы $\Pi(Q^\circ)$, $\Pi(T^\circ)$ были описаны выше в этом пункте,
$$
\begin{equation*}
\Pi(S^\circ) f(q)=\beta(R^\circ) f(\Sigma(q)), \quad \text{где } \ q\in \operatorname{im} R/\operatorname{indef} R.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство предложения 1.15. Таким образом, оператор $\Pi(R^\circ)$ разлагается в произведение трех операторов. Оператор $\Pi(T^\circ)$ – это оператор проектирования
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L^2(H) &\simeq L^2(\operatorname{im} R)^{\operatorname{indef} R}\oplus(L^2(\operatorname{im} R)^{\operatorname{indef} R})^\bot \\ &\to L^2(\operatorname{im} R)^{\operatorname{indef} R}\simeq L^2(\operatorname{im} R/\operatorname{indef} R). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее мы применяем оператор который является унитарным с точностью до скалярного множителя. Последний оператор дает изометрическое вложение Понятно, что произведение является частичной изометрией с точностью до скалярного множителя, начальное подпространство – $L^2(\operatorname{im} R)^{\operatorname{indef} R}$, конечное подпространство – $L^2(\operatorname{dom} R)^{\ker R}$. Предложение доказано. 2.5. Доказательство предложения 1.16Напомним, что $\Phi$, $\Psi$ – открытые подгруппы в $G$, $\Delta$ – нормальная подгруппа в $\Phi$, а $\Gamma$ – нормальная подгруппа в $\Psi$. Положим
$$
\begin{equation*}
V:= L^2(\Phi)^\Delta, \qquad W:=L^2(\Psi)^\Gamma\subset L^2(G).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через проекторы на эти подпространства. Мы хотим показать, что самосопряженный оператор расщепляется в прямую сумму нулевого оператора и скалярного оператора. Мы можем перейти к подпространствам $V\ominus (V\cap W^\bot)$, $W\ominus (W\cap V^\bot)$. Действительно, $Q$ равен нулю на $V\cap W^\bot$, а $W\cap V^\bot$ не содержится в образе оператора $Q$. Поэтому, достаточно показать, что $PQ\big|_{V\ominus (V\cap W^\bot)}$ является скалярным оператором. Далее, пусть функция $f\in V$ имеет носитель в $\Phi\setminus \Psi$. Очевидно, $Qf=0$. Но $f\in V$ является $\Delta$-инвариантной, следовательно, носитель $f$ на самом деле содержится в
$$
\begin{equation*}
\Phi\setminus \Delta(\Phi\cap\Psi)=\Phi\setminus (\Phi\cap\Psi)\Delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, без ограничения общности мы можем предположить, что
$$
\begin{equation*}
\Phi=\Delta\cdot (\Phi\cap \Psi),\qquad\Psi=\Gamma\cdot (\Phi\cap \Psi).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что (при этом условии) $f\in V$ определена своим ограничением на $\Phi\,{\cap}\,\Psi$, и это ограничение $\Delta\cap \Psi$-инвариантно. Обратно, любая $\Delta\cap \Psi$-инвариантная функция из $L^2(\Phi\cap\Psi)$ продолжается на всю подгруппу $\Phi$ по $\Delta$-инвариантности (и нулем на $G\setminus \Phi$). При этом для двух функций $f_1$, $f_2\in V$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\langle f_1,f_2\rangle_{L^2(G)}=\bigl\langle f_1\big|_\Phi,f_2\bigr|_\Phi\bigr\rangle_{L^2(\Phi)} =[\Delta:(\Delta\cap \Psi)]\bigl\langle f_1\big|_{\Phi\cap \Psi}, f_2\big|_{\Phi\cap \Psi}\bigr\rangle_{L^2(\Phi\cap \Psi)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичные высказывания верны для элементов подпространства $W$. Если $f\in V$, $h\in W$, то
$$
\begin{equation*}
\langle f,h\rangle_{L^2(G)}= \bigl\langle f\big|_{\Phi\cap \Psi}, h\big|_{\Phi\cap \Psi}\bigr\rangle_{L^2(\Phi\cap \Psi)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор $Q\big|_V$ описывается следующим образом: мы берем функцию $f\in V$ и усредняем по $\Gamma$ функцию $f\big|_{\Phi\cap \Psi}$. Отметим, что
$$
\begin{equation}
Qf\big|_{\Phi\cap \Psi}=\frac 1{[\Gamma:(\Gamma\cap \Phi)]} \bigl\{\text{усреднение $f\big|_{\Phi\cap \Psi}$ по отношению к $\Gamma\cap \Phi$} \bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Отметим, что подгруппы $\Delta\cap \Psi$ и $\Gamma\cap \Phi$ нормальны в $\Phi\cap \Psi$, поэтому усреднение по $\Gamma\cap \Phi$ оставляет $\Delta\cap \Psi$-инвариантную функцию $\Delta\cap \Psi$-инвариантной. Лемма 2.6. Пусть $f\in V\ominus (V\cap W^\bot)$. Тогда функция $f\big|_{\Phi\cap\Psi}$ инвариантна по отношению к подгруппе $(\Delta\cap \Psi)\cdot (\Gamma\cap \Phi)$.
Доказательство. Пространство $V\cap W^\bot$ состоит из функций $f$ таких, что выражение (2.4) равно 0. Соответственно $V\ominus(V\cap W^\bot)$ состоит из $\Gamma\,{\cap}\,\Phi$-инвариантных элементов $V$. Лемма доказана. Доказательство предложения 1.16. Для функции $f\in V\ominus (V\cap W^\bot)$ обозначим через $\widetilde f$ ее ограничение на $\Phi\cap\Psi$. Формула (2.4) дает Аналогичная формула для оператора $P$ приводит к равенству и мы получаем желаемое утверждение. 2.6. Доказательство теоремы 1.17 (полугруппы $\operatorname{Polh}_\Lambda(G^\circ,G^\circ)$ замкнуты)Пусть последовательность полигомоморфизмов $R_j^\circ=(R_j,\rho_j)$, содержащихся в полугруппе $\operatorname{Polh}_\Lambda(G^\circ,G^\circ)$, сходится к полигомоморфизмy $R^\circ=(R,\rho) \in \operatorname{Polh}(G^\circ,G^\circ)$. Нам надо доказать, что $R^\circ \in \operatorname{Polh}_\Lambda(G^\circ,G^\circ)$. Через $\rho_j$, $\rho$ мы будем обозначать также соответствующие меры на $G\times G$. Без ограничения общности мы можем считать, что последовательность $\alpha(R^\circ_j)$ сходится (иначе мы перейдем к подпоследовательности). Если она сходится к 0, то $R^\circ_j$ сходится к нулевому полигомоморфизмy. В противном случае без ограничения общности мы можем положить, что последовательность $\alpha(R^\circ_j)$ постоянна. Аналогично, мы можем положить, что последовательность $\beta(R^\circ_j)$ постоянна. Рассмотрим компактную открытую подгруппу $L\subset \operatorname{dom} R^\circ$, содержащую $\ker R$. Обозначим $M:=RL$. Тогда $L\times M$ является компактной открытой подгруппой в $G\times H$. Мы имеем слабую сходимость
$$
\begin{equation*}
\rho\big|_{L\times M}=\lim_{j\to\infty} \rho_j\big|_{L\times M}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, $\overset{\leftarrow}{\pi} (R_j\cap (L\times M))$ является открытой подгруппой в $L$ некоторого индекса $p_j$. Без ограничения общности мы можем считать, что $p_j$ не зависит от $j$ или $p_k\to \infty$. Во втором случае мы имеем
$$
\begin{equation*}
\gamma\bigl(\overset{\leftarrow}{\pi} (\rho_j\big|_{L\times M})\bigr) \leqslant \gamma\bigl(\overset{\leftarrow}{\pi} (\rho_j\big|_{L\times H})\bigr) = \frac \alpha{p_j}\gamma(L)
\end{equation*}
\notag
$$
и $R^\circ_j$ сходится к нулю. Поэтому достаточно рассмотреть первый случай. Группы $R_j\cap (L\times M)$ являются открытыми подгруппами в $R_j\cap (L\times H)$ индексов $q_j$. Аналогично, без потери общности мы можем положить, что последовательность $q_j$ постоянна. Мы получаем
$$
\begin{equation*}
\gamma\bigl(\overset{\leftarrow}{\pi} (\rho_j\big|_{L\times M}) \bigr)=\frac{\alpha}{pq}\, \gamma(L).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\rho_j(L\times M)=(\alpha/(pq)) \gamma(L)$. Переходя к пределу, мы получаем $\rho(L\times M)=(\alpha/(pq)) \gamma(L)$ и $\alpha(R^\circ)=(1/(pq)) \alpha$. Теорема доказана. 2.7. Локально компактные линейные пространства над конечным полемЗдесь мы доказываем сформулированное в начале п. 1.10 утверждение о классификации локально компактных линейных пространств над полем $\mathbb F_p$. Итак, пусть $V$ – бесконечное локально компактное линейное пространство над $\mathbb F_p$, равносильно $V$ – абелева локально компактная подгруппа, все элементы которой удовлетворяют тождеству $p\cdot v=0$ для всех $v\in V$. Возможны три случая. Первый случай. Пусть $V$ дискретно и, следовательно, счетно. Любое счетное линейное пространство над $\mathbb F_p$ изоморфно $\mathbb{V}_p^+$. Второй случай. Пусть $V$ компактно и бесконечно. Группа $V^\circ$, двойственная по Понтрягину к компактной группе $V$, является дискретной. Следовательно, $V$ двойственно к $\mathbb{V}_p^+$, т.е. $V\simeq \mathbb{V}_p^-$. Третий случай. Пусть $V$ не компактно и не дискретно. Для любого характера $\chi$ из $V$ в мультипликативную группу комплексных чисел выполнено $\chi(v)^p=1$, т.е. значения $\chi$ имеют вид $e^{2\pi i/p}$. Согласно двойственности Понтрягина характеры разделяют точки $V$. Следовательно, $V$ вполне несвязно, и, следовательно, $V$ содержит некоторую компактную открытую подгруппу $W$ (см. [1; теорема 7.5]). Если $W$ конечна, то $V$ счетно, если $V/W$ конечно, то $V$ компактно. Поэтому мы можем опустить эти случаи. Итак, $W\simeq \mathbb{V}_p^-$, $V/W\simeq \mathbb{V}_p^+$. Далее, мы берем базис $e_j$ в $V/W$ и выбираем представителей $\widetilde e_j\in V$. Тогда линейная оболочка векторов $\widetilde e_j$ является дискретным линейным подпространством в $V$, дополнительным к $W$. 2.8. Замыкание группы $\mathrm{GL}^0(\mathbb{V}_p)$ в полугруппе полигомоморфизмовЗдесь мы доказываем теорему 1.18 о замыкании группы $\mathrm{GL}^0(\mathbb{V}_p)$ в полугруппе полигомоморфизмов пространства $\mathbb{V}_p$. Нужно показать, что каждый элемент множества $\operatorname{Polh}_\Lambda(\mathbb{V}_p,\mathbb{V}_p)$ содержится в замыкании $\overline{\mathrm{GL}}$ группы $\mathrm{GL}^0(\mathbb{V}_p)$. Отметим, что в этом и следующем пунктах доказательства существенно опираются на результаты [26]. Для $m>0$ обозначим через $\theta_m\colon \mathbb{V}_p\rightarrowtail \mathbb{V}_p$ линейное отношение, состоящее из $(v,v')$ таких, что $v_j=v_j'=0$ при $j\geqslant m$, $v_i=v_i'$ при $-m<i<m$ и $v_j$, $v_j'$ произвольны, если $v_j\leqslant -m$. Итак,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \ker \theta_m=W^m, \qquad \operatorname{indef} \theta_m=W^m, \qquad \operatorname{dom} \theta_m=W^{-m}, \qquad \operatorname{im} \theta_m=W^{-m}, \\ \operatorname{dom} \theta_m/ \ker \theta_m\simeq \mathbb F_p^{2m-1}\simeq \operatorname{im} \theta_m/\operatorname{indef} \theta_m, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb F_p^{2m-1}$ состоит из векторов $(v_{-m+1}, v_{-m+2},\dots, v_{m-1})$. Изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dom} \theta_m/ \ker \theta_m\to \operatorname{im} \theta_m/\operatorname{indef} \theta_m
\end{equation*}
\notag
$$
– это тождественное отображение $\mathbb F_p^{2m-1}\to \mathbb F_p^{2m-1}$. Мы определим полигомоморфизмы $\theta^\circ_m\in \operatorname{Polh}(\mathbb{V}_p,\mathbb{V}_p)$, положив $\alpha(\theta^\circ_m)=\beta(\theta^\circ_m)=1$. Лемма 2.7. a) Полиморфизмы $\theta_m^\circ \in \overline{\mathrm{GL}}$. b) Последовательность $\theta_m^\circ$ сходится к единичному полигомоморфизмy при $m\to\infty$. Доказательство. Разложим пространство $\mathbb{V}_p$ в произведение трех пространств с мерой где $V^-$ состоит из последовательностей $(\dots, v_{m-1},v_m)$, пространство $\mathbb F_p^{2m-1}$ – из векторов а $V^+$ – из векторов $(v_m, v_{m+1}, \dots)$. Пространство $V^+$ счетно, и меры всех точек равны $1$. Пространство $\mathbb F_p^{2m-1}$ конечно, и меры всех точек равны $p^{-m}$. Мера на $V^-$ – произведение равномерных вероятностных распределений $\mathbb F_p$. Мера $W^0$ равна 1. Рассмотрим последовательность
$$
\begin{equation*}
S_j^+= \begin{pmatrix} 0&1_j&0\\ 1_j&0&0\\ 0&0&1_\infty \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
линейных преобразований пространства $V^+$. Понятно, что она сходится в полугруппе $\operatorname{Polh}(V^+,V^+)$ к дельта-функции, сосредоточенной в $0$. Далее, рассмотрим последовательность
$$
\begin{equation*}
S_j^-:=\begin{pmatrix} 1_\infty&0&0\\ 0&0&1_j\\ 0&1_j&0 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
линейных преобразований пространства $V^-$. Очевидно, она сходится к произведению равномерных мер на $V^-\times V^-$ в топологии $\operatorname{Polh}(V^-,V^-)$. Мы можем рассматривать $S_j^+$ и $S_j^-$ как полигомоморфизмы всего пространства $\mathbb{V}_p$. Тогда мы имеем слабый предел
$$
\begin{equation*}
\lim_{j\to\infty}\lim_{i\to\infty} S^+_i S^-_j =\theta_m^\circ.
\end{equation*}
\notag
$$
b) Рассмотрим компактную подгруппу $W^l$ с $l>0$, вектор $v\in W^{-k}$ и индикаторную функцию $I_{v+W^l}$. Тогда при $m>\max(l,k)$ мы имеем $\Pi(\theta^\circ_m)I_{v+W^l}=I_{v+W^l}$. Лемма доказана. В силу раздельной непрерывности произведения утверждение a) влечет такое следствие. Лемма 2.8. Для любого $g\in \mathrm{GL}^0$ выполнено $\theta^\circ_m g \theta^\circ_m\in \overline{\mathrm{GL}}$. Лемма 2.9. Фиксируем $m>0$. Пусть $R^\circ\in \operatorname{Polh}_\Lambda(\mathbb{V}_p,\mathbb{V}_p)$. Тогда существует элемент $g\in \mathrm{GL}^0$ такой, что более того, мы можем выбрать матрицу $g$ финитной, т.е. такой, что $g-1$ имеет лишь конечное число ненулевых матричных элементов. Доказательство. Положим $Q^\circ_m:=\theta^\circ_m R^\circ \theta^\circ_m$. Тогда Следовательно, $Q^\circ_m$ определяет полигомоморфизм т.е. $\mathbb F^{2m-1}\rightarrowtail \mathbb F^{2m-1}$, меры на обеих копиях пространства $\mathbb F^{2m-1}$ являются равномерными, а мера точки равна $p^{-m}$. В частности, мы можем применить этот довод к $\theta^\circ_m g \theta^\circ_m$, где $g$ – финитная матрица. Этот полигомоморфизм определяет полигомоморфизм $\chi^\circ(g)$ из $\mathbb F^{2m-1}$ в себя. Соответствующее линейное отношение $\chi(g)\colon \mathbb F^{2m-1}\rightrightarrows \mathbb F^{2m-1}$ состоит из $(u,v)$ таких, что существуют $x\in W^m$, $y\in W^m$, удовлетворяющие
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} x\\u\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g_{11}&g_{12}&g_{13}\\ g_{21}&g_{22}&g_{23}\\ g_{31}&g_{32}&g_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y\\v\\0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что $\chi(g)$ есть характеристическое линейное отношение для $g$ в смысле [26; п. 1.5]. Далее, мы должны найти нормировку меры Хаара $\theta^\circ_m g \theta^\circ_m$. Вычисляя $\alpha(\theta^\circ_m \cdot g \theta^\circ_m)$ по формуле (1.1), мы получаем В обозначениях [26; п. 1.5]$\operatorname{rk} g_{13}$ является инвариантом $\eta(g)$. Таким образом, мы получаем полигомоморфизм $\chi^\circ(g)\colon \mathbb F^{2p-1}\rightarrowtail \mathbb F^{2p-1}$ такой, что мера любой точки $\chi(g)$ равна $p^{-m-\operatorname{rk} g_{13}-\dim\operatorname{indef} \chi(g)}$, и
$$
\begin{equation*}
\beta(\chi^\circ(g))=p^{-\mathrm{rk}\, g_{13}-\dim\operatorname{indef} \chi(g)+\dim \ker(g)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим произвольное линейное отношение $Q\colon \mathbb F^{2m-1}\rightrightarrows \mathbb F^{2m-1}$ и полигомоморфизм $Q^\circ$ c $\alpha(Q^\circ)=p^{-\mu}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\beta(Q^\circ)=\alpha(Q^\circ)\,p^{\dim\ker Q-\dim\operatorname{indef} P}.
\end{equation*}
\notag
$$
У нас $\beta\leqslant 1$. В силу [26; предложение 1.8] любой такой полигомоморфизм может возникнуть как $\chi^\circ(g)$ для финитной $g$. Лемма доказана. Лемма 2.10. Для любого полигомоморфизма $R^\circ \in \operatorname{Polh}(\mathbb{V}_p,\mathbb{V}_p)$ последовательность $Q_m^\circ:=\theta_m^\circ R^\circ \theta_m^\circ$ сходится к $R^\circ$. Также
Доказательство. Фиксируем $W_k$ и два вектора $v$, $w\in W_{-l}$. Понятно, что последовательность становится постоянной после $m=\max(k,l)$. Лемма доказана. Теорема 1.18 следует из лемм 2.8–2.10. 2.9. Полугрупповые продолжения унитарных представлений группы $\mathrm{GL}^0(\mathbb{V}_p)$Ниже приводится доказательство теоремы 1.19, оно основывается на [12; теорема VIII.1.10]. Определим категорию $\overline{\mathscr K}$, объекты которой – пространства, объектами которой являются пространства $\mathbb F^{2m-1}_p$, снабженные мерами Хаара, нормированными, как выше, и пространство $\mathbb{V}_p$. Морфизмы – это полигомоморфизмы. Определим подкатегорию $\mathscr K$, объектами которой являются пространства $\mathbb F^{2m-1}_p$ с теми же морфизмами. Для любых $m<n<\infty$ мы определим линейное отношение $\lambda_{mn}\colon \mathbb F^{2m-1}\rightrightarrows \mathbb F^{2n-1}$ как подпространство, состоящее из векторов
$$
\begin{equation*}
(v_{-m+1}, \dots, v_{m-1})\oplus (v_{-n+1},\dots, v_{-m}, v_{-m+1}, \dots, v_{m-1},0,\dots,0).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы также определяем линейные отношения $\lambda_{m\infty}\colon \mathbb F^{2m-1}\rightrightarrows \mathbb{V}_p$, состоящие из векторов
$$
\begin{equation*}
(v_{-m+1}, \dots, v_{m-1})\oplus (\dots, v_{-m-1}, v_{-m}, v_{-m+1}, \dots, v_{m-1},0, 0\dots).
\end{equation*}
\notag
$$
Определим соответствующие полигомоморфизмы $\lambda_{mn}^\circ$, $\lambda_{m\infty}^\circ$, полагая, что $\alpha(\cdot)$, $\beta(\cdot)$ равны 1. Определим сопряженные полигомоморфизмы $\mu_{mn}^\circ:=(\lambda_{mn}^\circ)^\square$, $\mu_{m\infty}^\circ=(\lambda_{m\infty}^\circ)^\square$. Легко проверить, что мы получаем структуру упорядоченной категории в смысле [12; § III.4]. В силу [26] любое унитарное представление группы $\mathrm{GL}^0(\mathbb{V}_p)$ порождает представление категории $\mathscr K$. Наша лемма 2.10 позволяет применить теорему аппроксимации [12; теорема VIII.1.10 ], поэтому любое $*$-представление категории $\mathscr K$ продолжается до представления категории $\overline{\mathscr K}$. Следовательно, унитарное представление группы $\mathrm{GL}^0(\mathbb{V}_p)$ продолжается до представления полугруппы полиэндоморфизмов $\operatorname{Polh}_\Lambda(\mathbb{V}_p,\mathbb{V}_p)$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ner21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|