| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 9 научных статьях (всего в 9 статьях) Алгоритм Висковатова для полиномов Эрмита–Паде Н. Р. Икономовa, С. П. Суетинb a Institute of Mathematics and Informatics, Bulgarian Academy of Sciences, Sofia, Bulgaria b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 9, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9410 
Реферативные базы данных:
      § 1. Случай $m=1$: набор рядов $[f_0,f_1]$ (нахождение полиномов Паде)1.1. Введение. Классический алгоритм ВисковатоваДля нахождения коэффициентов разложения заданного (в точке $z=0$ и, вообще говоря, формального) степенного ряда $f\in\mathbb C[[z]]$ в регулярную $C$-дробь (а тем самым и для нахождения полиномов Паде) наиболее известными являются $\mathrm{QD}$-алгоритм (см. [17] и [2; гл. 4, п. 4.3, теорема 4.3.5]) и алгоритм Висковатова (см. [29; § 4, с. 243–245] и [2; гл. 4, п. 4.2, формула (2.17)]). Оба алгоритма приводят к нахождению аппроксимаций Паде (в точке $z=0$) вида $[n/n]_f,[n+1/n]_f$ или $[n-1/n]_f,[n/n]_f$. При этом использование этих алгоритмов возможно только при условии определенной невырожденности исходного степенного ряда $f$ (иначе говоря, ряд $f$ должен находиться в “общем положении”). В настоящей работе предлагается обобщение классического алгоритма Висковатова на случай полиномов Эрмита–Паде 1-го типа для набора из $m+1$ формальных степенных рядов $f_0,\dots,f_m$, где $m\geqslant1$ и $f_j\in\mathbb C[[z]]$, $j=0,\dots,m$. При $m=1$ для набора рядов $[f_0,f_1]$ этот алгоритм (нахождения полиномов Эрмита–Паде) приводит к полиномам Паде. Тем самым он является естественным обобщением классического алгоритма Висковатова на случай полиномов Эрмита–Паде. Видимо, этому алгоритму можно сопоставить так называемую векторную непрерывную дробь (по этому поводу см. [2; гл. 8, п. 8.4], [14] и имеющуюся в этих работах библиографию). Но этот вопрос здесь нами не рассматривается. Рекуррентные соотношения, близкие к тем, которые обсуждаются в настоящей работе, и связанные с обобщением алгоритма Висковатова на случай полиномов Эрмита–Паде, получены в работах [20] и [14]; см. также [6], [4], [19] и [5]. Отметим, что А. Триасом при реализации HELM-алгоритма для нахождения полиномов Паде используется именно алгоритм Висковатова; см. [26]. Пусть $a(z):=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$, $b(z):=\sum_{k=0}^\infty b_kz^k$ – формальные степенные ряды, причем $b_0\neq0$. Алгоритм Висковатова разложения отношения рядов $a(z)/b(z)$ в регулярную $C$-дробь основан на следующем тождестве (см. [2; п. 4.2, формула (2.17)]):
$$
\begin{equation}
\frac{\sum_{k=0}^\infty a_kz^k}{\sum_{k=0}^\infty b_kz^k} =\frac{a_0}{b_0}+\frac{z}{\sum_{k=0}^\infty b_kz^k\bigm/ \sum_{k=0}^\infty(a_{k+1}-a_0b_{k+1}/b_0)z^k}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Применяя к ряду, возникающему в знаменателе правой части (1.1), аналогичное тождество, делаем следующий шаг в разложении отношения рядов $a(z)/b(z)$ в регулярную $C$-дробь вида
$$
\begin{equation}
v_0+\frac{z}{v_1+{\dfrac{z}{v_2+\dfrac{z}{v_3+\dotsb}}}}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
В таблице Паде для ряда $f(z):=a(z)/b(z)$ подходящие дроби регулярной $C$-дроби (1.2) образуют лестничную последовательность, состоящую из аппроксимаций Паде вида $[n/n]_f$ и $[n+1/n]_f$, $n=0,1,\dots$ . Отметим, что для формальных рядов Лорана, заданных в бесконечно удаленной точке $\zeta=\infty$ и имеющих вид разложения в чебышёвскую непрерывную дробь строятся с помощью алгоритма Якоби–Перрона. Существует многомерный аналог алгоритма Якоби–Перрона, позволяющий находить полиномы Эрмита–Паде для набора рядов Лорана вида (1.3); см. [15], [16] и имеющуюся там библиографию. Такие алгоритмы применимы для нахождения полиномов Эрмита–Паде также при определенных условиях невырожденности. При подобных условиях невырожденности для нахождения полиномов Эрмита–Паде для набора рядов Лорана вида (1.3) существуют и различные $\mathrm{QD}$-алгоритмы; см. прежде всего [27] и [28] и приведенную там библиографию.Наконец, отметим, что с прикладной точки зрения традиционный интерес к полиномам Эрмита–Паде 1-го типа связан прежде всего с тем, что на их основе строятся квадратичные аппроксимации Шафера (или, в другой терминологии, алгебраические аппроксимации); см. [20], [18], [21], [9], [10], [30], [1], [8], [25] и имеющиеся там ссылки. Вместе с тем недавно в [23; § 4, формулы (61)–(63)] был предложен новый подход к решению задачи аналитического продолжения, также основанный на полиномах Эрмита–Паде 1-го рода, но использующий только рациональные функции. В работе В. А. Комлова [11] этот подход получил должное теоретическое обоснование в достаточно широком классе многозначных аналитических функций. БлагодарностьАвторы выражают признательность рецензенту за ряд ценных замечаний, которые позволили улучшить изложение результатов, полученных в работе. 1.2. Полиномы Эрмита–Паде (полиномы Паде) для набора рядов $[f_0,f_1]$Здесь мы приведем алгоритм Висковатова к виду, удобному для дальнейшего использования. Положим
$$
\begin{equation*}
f_0=f_0(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}z^k=c_0+O(z), \qquad f_1=f_1(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}z^k=c_1+O(z);
\end{equation*}
\notag
$$
здесь и всюду в дальнейшем через $O(z)$ обозначаются степенные ряды, начинающиеся с первой степени переменного $z$. Тогда соотношение (1.1) можно представить в виде следующего тождества:
$$
\begin{equation}
\frac{f_1}{f_0}=\frac{c_1}{c_0}+\frac{z}{f_0\bigm/\biggl[\dfrac{1}z\biggl(f_1-\dfrac{c_1}{c_0}f_0 \biggr)\biggr]} =\frac{c_1}{c_0}+\frac{z}{f^{[1]}_1/f^{[1]}_0},
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где мы положили
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f^{[1]}_1:=f_0=:\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}^{[1]}z^k=c_1^{[1]}+O(z), \\ f_0^{[1]}:=\frac1z\biggl(f_1-\frac{c_1}{c_0}f_0\biggr) =\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}^{[1]}z^k=c_0^{[1]}+O(z). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично (1.4) для новых рядов $f_0^{[1]}$ и $f_1^{[1]}$ полагаем
$$
\begin{equation}
\frac{f_1^{[1]}}{f_0^{[1]}}=\frac{c_1^{[1]}}{c_0^{[1]}} +\frac{z}{f^{[2]}_1/f^{[2]}_0},
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_1^{[2]}:=f_0^{[1]}=:\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}^{[2]}z^k=c_1^{[2]}+O(z), \\ f_0^{[2]}:=\frac1z\biggl(f_1^{[1]}-\frac{c_1^{[1]}}{c_0^{[1]}}f_0^{[1]}\biggr) =\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}^{[2]}z^k=c_0^{[2]}+O(z). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (1.3) и (1.5) получаем следующее соотношение:
$$
\begin{equation}
\frac{f_1}{f_0}=\frac{f^{[0]}_1}{f^{[0]}_0}=\frac{c^{[0]}_1}{c^{[0]}_0} +\frac{z}{\dfrac{c^{[1]}_1}{c^{[1]}_0}+\dfrac{z}{f^{[2]}_1/f^{[2]}_0}},
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
в котором мы положили
$$
\begin{equation*}
f_0^{[0]}:=f_0=:\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}^{[0]}z^k=c_0^{[0]}+O(z), \qquad f_1^{[0]}:=f_1=:\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}^{[0]}z^k=c_1^{[0]}+O(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя к отношениям $f^{[2]}_1/f^{[2]}_0,f^{[3]}_1/f^{[3]}_0,\dots$ формулу вида (1.5), получаем (формальное) разложение отношения $f_1/f_0$ в регулярную $C$-дробь вида (1.2). 1.3. Матричный подходПусть $f^{[0]}_0:=f_0$, $f^{[0]}_1:=f_1$, $f^{[1]}_0$, $f^{[1]}_1$, $\dots$ – формальные ряды, имеющие тот же смысл, что и выше. Положим
$$
\begin{equation*}
M_1:=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, \qquad M_2:=\begin{pmatrix}z&0\\-\dfrac{c^{[0]}_1}{c^{[0]}_0}&1\end{pmatrix}, \qquad \vec{f}:=(f_1,f_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда имеем
$$
\begin{equation*}
M_1\binom{f_1}{f_0}=\binom{f_0}{f_1}, \qquad M_2\binom{f_0}{f_1}= \begin{pmatrix} zf_0 \\ f_1-\dfrac{c_1}{c_0}f_0\end{pmatrix} =z \begin{pmatrix} f_1^{[1]} \\ f_0^{[1]}\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation}
M^{[0]}:=M_2M_1= \begin{pmatrix}0&z\\1&-\dfrac{c^{[0]}_1}{c^{[0]}_0}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}P_1&P_2\\Q_1&Q_2\end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
где $P_1,P_2,Q_1,Q_2$ – полиномы от переменного $z$, $P_j,Q_j\in\mathbb C[z]$. Итак, имеем
$$
\begin{equation}
M^{[0]}\binom{f_1}{f_0}=z \begin{pmatrix}f_1^{[1]} \\ f_0^{[1]}\end{pmatrix}=O(z).
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Тем самым из (1.8) получаем $Q_1f_1+Q_2f_0=O(z)$, где $Q_1=\mathrm{const}$, $ Q_2=\mathrm{const}$. Значит, $Q_2$ и $Q_1$ – полиномы Эрмита–Паде 1-го типа (полиномы Паде) для набора рядов $[f_0,f_1]$ и мультииндекса $\mathbf k=(0,0)$, поскольку порядок касания в (1.8) согласуется с мультииндексом $\mathbf k$: $|\mathbf k|+1=0+1=1$. Аналогично (1.8) имеем
$$
\begin{equation*}
M^{[1]} \begin{pmatrix} f_1^{[1]} \\ f_0^{[1]}\end{pmatrix} =z \begin{pmatrix} f_1^{[2]} \\ f_0^{[2]}\end{pmatrix}, \quad\text{где }\ M^{[1]}= \begin{pmatrix}0&z\\1&-\dfrac{c_1^{[1]}}{c_0^{[1]}}\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, получаем
$$
\begin{equation}
M^{[1]}M^{[0]}\begin{pmatrix} f_1\\f_0\end{pmatrix} =z^2 \begin{pmatrix} f_1^{[2]} \\ f_0^{[2]} \end{pmatrix}=O(z^2).
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Положим $A^{[0]}:=M^{[0]}$, $A^{[1]}:=M^{[1]}M^{[0]}$. Тогда
$$
\begin{equation}
A^{[1]}=M^{[1]}M^{[0]} = \begin{pmatrix} z&-\dfrac{c_1}{c_0}z \\ -\dfrac{c_1^{[1]}}{c_0^{[1]}}&z+\dfrac{c_1^{[1]}}{c_0^{[1]}} \dfrac{c_1}{c_0} \end{pmatrix} =:\begin{pmatrix} P_1^{[1]}&P_2^{[1]} \\ Q_1^{[1]}&Q_2^{[1]} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
где $\operatorname{deg}{Q_1^{[1]}}=0$, $\operatorname{deg}{Q_2^{[1]}}=1$. Из соотношения (1.9) вытекает, что $Q_2^{[1]}f_0+Q_1^{[1]}f_1=O(z^2)$. Следовательно, пара $Q_2^{[1]},Q_1^{[1]}$ – пара полиномов Эрмита–Паде (полиномов Паде) для набора рядов $[f_0,f_1]$ и мультииндекса $\mathbf k=\mathbf k^{[1]}=(1,0)$. Действуя далее аналогично (1.8) и (1.9), приходим последовательно к полиномам Эрмита–Паде для набора $[f_0,f_1]$ и мультииндексов $\mathbf k^{[2]}=(1,1)$, $\mathbf k^{[3]}=(2,1)$, $\mathbf k^{[4]}=(2,2)$, $\mathbf k^{[5]}=(3,2)$, $\dots$ . 1.4. Полиномы Эрмита–Паде для набора рядов $[f_0,f_1]$: случай произвольного $(n+1)$-го шага итерацииПусть $n\geqslant1$. Положим
$$
\begin{equation*}
f_1^{[n+1]}:=f_0^{[n]}=:c_1^{[n+1]}+O(z), \qquad f_0^{[n+1]}:=\frac1z\biggl(f_1^{[n]}-\frac{c_1^{[n]}}{c_0^{[n]}}f_0^{[n]}\biggr) =:c_0^{[n+1]}+O(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
M^{[n]}:= \begin{pmatrix}0&z\\1&-\dfrac{c_1^{[n]}}{c_0^{[n]}}\end{pmatrix}, \qquad A^{[n]}:=M^{[n]}\cdots M^{[0]}= \begin{pmatrix} P_1^{[n]}&P_2^{[n]} \\ Q_1^{[n]}&Q_2^{[n]} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $P_j^{[n]},Q_j^{[n]}$ – полиномы. Тогда
$$
\begin{equation}
A^{[n+1]}:=M^{[n+1]}A^{[n]}= \begin{pmatrix} P_1^{[n+1]}&P_2^{[n+1]} \\ Q_1^{[n+1]}&Q_2^{[n+1]} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
где $P_j^{[n+1]},Q_j^{[n+1]}\in\mathbb C[z]$. Из определения матрицы $M^{[n]}$ и (1.11) получаем следующие рекуррентные соотношения:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, P_j^{[n+1]}=zQ_j^{[n]}, \qquad Q_j^{[n+1]}=P_j^{[n]}-\frac{c_1^{[n+1]}}{c_0^{[n+1]}}Q_j^{[n]}, \\ j=1,2,\dots, \qquad n=1,2,\dotsc\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
Из (1.12) получаем трехчленное рекуррентное соотношение, связывающее полиномы $Q_j^{[n+1]}$, $j=1,2$, полученные на $(n+1)$-м шаге итерации, с полиномами, полученными на двух предыдущих шагах:
$$
\begin{equation}
Q_j^{[n+1]}(z)=-\frac{c_1^{[n+1]}}{c_0^{[n+1]}}Q_j^{[n]}(z)+zQ_j^{[n-1]}(z), \qquad j=1,2,\quad n=1,2,\dotsc.
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Начальные условия для соотношений (1.13) вытекают из (1.7) и (1.10):
$$
\begin{equation}
Q_1^{[0]}=Q_1=1, \qquad Q_2^{[0]}=Q_2=-\frac{c_1}{c_0}, \qquad Q_1^{[1]}=-\frac{c_1^{[1]}}{c_0^{[1]}}, \qquad Q_2^{[1]}=z+\frac{c_1^{[1]}}{c_0^{[1]}}\frac{c_1}{c_0}.
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
При этом имеем
$$
\begin{equation}
A^{[n]} \begin{pmatrix}f_1\\f_0\end{pmatrix} =z^{n+1}\begin{pmatrix} f_1^{[n+1]} \\ f_0^{[n+1]}\end{pmatrix} =O(z^{n+1}).
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
Справедлива следующая Теорема 1. 1) Пусть $n=2k$, $k\geqslant0$. Тогда $\operatorname{deg} Q_1^{[n]}=\operatorname{deg} Q_2^{[n]}=k$ и полиномы $Q_2^{[n]},Q_1^{[n]}$ – полиномы Эрмита–Паде для набора рядов $[f_0,f_1]$ и мультииндекса $\mathbf k^{[n]}=(k,k)$ (порядок касания равен $|\mathbf k^{[n]}|+1=2k+1=n+1$, см. (1.15)). 2) Пусть $n=2k+1$, $k\geqslant0$. Тогда $\operatorname{deg} Q_1^{[n]}=k$, $\operatorname{deg} Q_2^{[n]}=k+1$ и полиномы $Q_2^{[n]},Q_1^{[n]}$ – полиномы Эрмита–Паде для набора рядов $[f_0,f_1]$ и мультииндекса $\mathbf k^{[n]}=(k+1,k)$ (порядок касания равен $|\mathbf k^{[n]}|+1=2k+2=n+1$; см. (1.15)). Замечание 1. Здесь и всюду в дальнейшем при формулировке теорем 1–3 и соответствующих алгоритмов предполагаем, что исходные ряды $f_0,f_1,\dots,f_m$ находятся в “общем положении” (ср. [7]). В частности, подразумевается, что все полиномы, фигурирующие в утверждениях теорем 1–3, имеют в точности такую степень, как указано в формулировках теорем. В общем случае в соответствующих соотношениях для степени необходимо писать знак нестрогого неравенства. Замечание 2. Если мы начнем итерационный процесс с вектора-ряда ${}^{\mathsf T\!}(f_0,f_1)$ (здесь и далее ${}^{\mathsf T\!}\vec v$ обозначает операцию транспонирования по отношению к вектору-строке $\vec{v}$) вместо ${}^{\mathsf T\!}(f_1,f_0)$, то в результате получим последовательность аппроксимаций Паде вида $[n/n],[n/n+1]$, $n=0,1,\dotsc$ (вместо $[n/n],[n+1/n]$). Теорема 1 фактически хорошо известна (см. [2; гл. 4, теорема 4.2.1]; ср. также формулу (1.13) и [2; формула (2.76)]). Тем не менее для полноты изложения мы приведем здесь ее доказательство. Доказательство теоремы 1. Проведем доказательство индукцией по $k$.
1) Пусть $k=0$. Из (1.14) вытекает, что при $n=2k=0$ имеем $\operatorname{deg}{Q_1^{[0]}}=\operatorname{deg} Q_2^{[0]}=0$. Кроме того, из (1.13) и (1.14) при $n=2k+1=1$ мы получаем $\operatorname{deg} Q_1^{[1]}=0$, $\operatorname{deg} Q_2^{[1]}=1$. При $k=1$ из (1.13) получаем $\operatorname{deg} Q_1^{[2]}=\operatorname{deg} Q_2^{[2]}=1$ и $\operatorname{deg} Q_1^{[3]}=1$, $\operatorname{deg} Q_2^{[3]}=2$. 2) Предположим теперь, что утверждения теоремы 1 справедливы при $n=2k-1$ и $n=2k$, и докажем, что они остаются справедливыми при $n=2k+1$ и $n=2k+2$. При $n=2k+1$ из рекуррентного соотношения (1.13) получаем, что $Q_1^{[2k+1]}=a^{[2k+1]}Q_1^{[2k]}+zQ_1^{[2k-1]}$. Следовательно, имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{deg} Q_1^{[2k+1]}=\max\{\operatorname{deg} Q_1^{[2k]},1+\operatorname{deg} Q_1^{[2k-1]}\} =\max\{k,1+k-1\}=k.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, $Q_2^{[2k+1]}=a^{[2k+1]}Q_2^{[2k]}+zQ_2^{[2k+1]}$ и, следовательно, с учетом предположения индукции имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{deg} Q_2^{[2k+1]}=\max\{\operatorname{deg} Q_2^{[2k]},1+\operatorname{deg} Q_2^{[2k-1]}\} =\max\{k,1+k\}=k+1.
\end{equation*}
\notag
$$
При $n=2k+2$ из (1.13) получаем, что $Q_1^{[2k+2]}=a^{[2k+2]}Q_1^{[2k+1]}+zQ_1^{[2k]}$, и, следовательно, с учетом предположения индукции имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{deg} Q_1^{[2k+2]}=\max\{\operatorname{deg} Q_1^{[2k+1]},1+\operatorname{deg} Q_1^{[2k]}\} =\max\{k,1+k\}=k+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, $Q_2^{[2k+2]}=a^{[2k+2]}Q_2^{[2k+1]}+zQ_2^{[2k]}$, и, следовательно, с учетом предположения индукции имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{deg} Q_2^{[2k+2]}=\max\{\operatorname{deg} Q_2^{[2k+1]},1+\operatorname{deg} Q_2^{[2k]}\} =\max\{k+1,1+k\}=k+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1 доказана. 1.5. Алгоритм при $m=1$ (для набора рядов $[f_0,f_1]$)Даны два ряда
$$
\begin{equation*}
f_0=f_0(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}z^k=c_0+O(z), \qquad f_1=f_1(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}z^k=c_1+O(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Начальный шаг итерации ($n=0$). Положим $f_0^{[0]}:=f_0$, $f_1^{[0]}:=f_1$, $c_0^{[0]}:=c_0$, $c_1^{[0]}:=c_1$. Тем самым $c_{0,k}^{[0]}:=c_{0,k}$, $c_{1,k}^{[0]}:=c_{1,k}$ при $k=0,1,\dots$ и $f_0^{[0]}=c_0^{[0]}+O(z)$, $f_1^{[0]}=c_1^{[0]}+O(z)$. Пусть $a^{[0]}:=-c_1^{[0]}/c_0^{[0]}$. $1$-й шаг итерации ($n=1$). Положим
$$
\begin{equation}
f_1^{[1]}:=f_0^{[0]},\qquad f_0^{[1]}:=\frac1z\biggl(f_1^{[0]}-\frac{c_1^{[0]}}{c_0^{[0]}} f_0^{[0]}\biggr).
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
Тогда получаем
$$
\begin{equation*}
f_1^{[1]}=\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}^{[1]}z^k=c_1^{[1]}+O(z), \qquad f_0^{[1]}=\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}^{[1]}z^k=c_0^{[1]}+O(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $a^{[1]}:=-c_1^{[1]}/c_0^{[1]}$ и
$$
\begin{equation*}
Q_1^{[0]}:=1, \qquad Q_2^{[0]}:=a^{[0]}, \qquad Q_1^{[1]}:=a^{[1]}, \qquad Q_2^{[1]}:=z+a^{[1]}a^{[0]}.
\end{equation*}
\notag
$$
$(n+1)$-й шаг итерации ($n\geqslant 1$). Полагаем $a^{[n]}:=-c_1^{[n]}/c_0^{[n]}$ и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f_1^{[n+1]}:&=f_0^{[n]}=:\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}^{[n+1]}z^k=c_1^{[n+1]}+O(z), \\ f_0^{[n+1]}:&=\frac1z\biggl(f_1^{[n]}-\frac{c_1^{[n]}}{c_0^{[n]}}f_0^{[n]}\biggr) =\frac1z(f_1^{[n]}+a^{[n]}f_0^{[n]}) \\ &=\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}^{[n+1]}z^k=c_0^{[n+1]}+O(z). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
Полагаем $a^{[n+1]}:=-c_1^{[n+1]}/c_0^{[n+1]}$ и находим (см. (1.13))
$$
\begin{equation*}
Q_j^{[n+1]}(z)=a^{[n+1]}Q_j^{[n]}(z)+zQ_j^{[n-1]}(z), \qquad j=1,2, \quad n=1,2,\dotsc.
\end{equation*}
\notag
$$
§ 2. Случай $m=2$: набор рядов $[f_0,f_1,f_2]$2.1. ВведениеПусть даны три формальных степенных ряда
$$
\begin{equation*}
f_0=f_0(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}z^k, \qquad f_1=f_1(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}z^k, \qquad f_2=f_2(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{2,k}z^k.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $f_0=c_0+O(z)$, $f_1=c_1+O(z)$, $f_2=c_2+O(z)$. Получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}f_2\\f_1\\f_0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}f_0\\f_2\\f_1\end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix}z&0&0\\0&1&-\dfrac{c_2}{c_1}\\-\dfrac{c_1}{c_0}&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}f_0\\f_2\\f_1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}zf_0 \\ f_2-\dfrac{c_2}{c_1}f_1 \\ f_1-\dfrac{c_1}{c_0}f_0 \end{pmatrix} =z\begin{pmatrix}f^{[1]}_2 \\ f^{[1]}_1 \\ f^{[1]}_0\end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
f_2^{[1]}:=f_0, \qquad f_1^{[1]}:=\frac1z\biggl(f_2-\frac{c_2}{c_1}f_1\biggr), \qquad f_0^{[1]}:=\frac1z\biggl(f_1-\frac{c_1}{c_0}f_0\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_2^{[1]}&=\sum_{k=0}^\infty c_{2,k}^{[1]}z^k=c_2^{[1]}+O(z), \\ f_1^{[1]}&=\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}^{[1]}z^k=c_1^{[1]}+O(z), \\ f_0^{[1]}&=\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}^{[1]}z^k=c_0^{[1]}+O(z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, M_1:=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}, \qquad M_2:=\begin{pmatrix} z&0&0\\0&1&-\dfrac{c_2}{c_1}\\-\dfrac{c_1}{c_0}&0&1\end{pmatrix}, \notag \\ M^{[0]}:=M_2M_1=\begin{pmatrix}0&0&z\\1&-\dfrac{c_2}{c_1}&0\\0&1&-\dfrac{c_1}{c_0}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}P_1&P_2&P_3\\Q_1&Q_2&Q_3\\R_1&R_2&R_3\end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Тогда соотношения (1.2) примут вид
$$
\begin{equation}
M^{[0]}{}^{\mathsf T\!}\vec{f}=z{}^{\mathsf T\!}\vec{f}^{\,[1]},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\vec{f}:=(f_2,f_1,f_0)$, $\vec{f}^{\,[1]}:=(f^{[1]}_2,f^{[1]}_1,f^{[1]}_0)$, ${}^{\mathsf T}\vec{v}$ – операция транспонирования по отношению к вектору-строке $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f^{[0]}_0:=f_0=\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}^{[0]}z^k=c_0^{[0]}+O(z), \qquad f^{[0]}_1:=f_1=\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}^{[0]}z^k=c_1^{[0]}+O(z), \\ f^{[0]}_2:=f_2=\sum_{k=0}^\infty c_{2,k}^{[0]}z^k=c_2^{[0]}+O(z), \qquad a^{[0]}:=-\frac{c_2^{[0]}}{c_1^{[0]}}, \qquad b^{[0]}:=-\frac{c_1^{[0]}}{c_0^{[0]}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
2.2. Теоретические результатыПри $n\geqslant1$ пусть
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f_2^{[n+1]}:&=f_0^{[n]}=:\sum_{k=0}^\infty c_{2,k}^{[n+1]}z^k =c_2^{[n+1]}+O(z), \\ f_1^{[n+1]}:&=\frac1z\biggl(f_2^{[n]}-\frac{c_2^{[n]}}{c_1^{[n]}}f_1^{[n]}\biggr) =:\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}z^k=c_1^{[n+1]}+O(z), \\ f_0^{[n+1]}:&=\frac1z\biggl(f_1^{[n]}-\frac{c_1^{[n]}}{c_0^{[n]}}f_0^{[n]}\biggr) =:\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}z^k=c_0^{[n+1]}+O(z). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Положим аналогично (2.1)
$$
\begin{equation}
M^{[n]}:= \begin{pmatrix} 0&0&z\\1&-\dfrac{c_2^{[n]}}{c_1^{[n]}}&0\\0&1&-\dfrac{c_1^{[n]}}{c_0^{[n]}} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
A^{[n]}:=M^{[n]}\cdots M^{[0]}= \begin{pmatrix} P_1^{[n]}&P_2^{[n]}&P_3^{[n]} \\ Q_1^{[n]}&Q_2^{[n]}&Q_3^{[n]} \\ R_1^{[n]}&R_2^{[n]}&R_3^{[n]} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A^{[n+1]}: &=\begin{pmatrix} P_1^{[n+1]}&P_2^{[n+1]}&P_3^{[n+1]} \\ Q_1^{[n+1]}&Q_2^{[n+1]}&Q_3^{[n+1]} \\ R_1^{[n+1]}&R_2^{[n+1]}&R_3^{[n+1]} \end{pmatrix} =M^{[n+1]}A^{[n]}\notag \\ &=\begin{pmatrix} 0&0&z \\ 1&-\dfrac{c_2^{[n+1]}}{c_1^{[n+1]}}&0 \\ 0&1&-\dfrac{c_1^{[n+1]}}{c_0^{[n+1]}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} P_1^{[n]}&P_2^{[n]}&P_3^{[n]} \\ Q_1^{[n]}&Q_2^{[n]}&Q_3^{[n]} \\ R_1^{[n]}&R_2^{[n]}&R_3^{[n]} \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Из (2.5) получаем следующие рекуррентные соотношения для $j=1,2,3$ при $n\geqslant1$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, P_j^{[n+1]}=zR_j^{[n]}, \qquad Q_j^{[n+1]}=P_j^{[n]}-\frac{c_2^{[n+1]}}{c_1^{[n+1]}}Q_j^{[n]} =a^{[n+1]}Q_j^{[n]}+P_j^{[n]}, \\ R_j^{[n+1]} =Q_j^{[n]}-\frac{c_1^{[n+1]}}{c_0^{[n+1]}}R_j^{[n]} =b^{[n+1]}R_j^{[n]}+Q_j^{[n]}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где
$$
\begin{equation*}
a^{[n+1]}:=-\frac{c_2^{[n+1]}}{c_1^{[n+1]}}, \qquad b^{[n+1]}:=-\frac{c_1^{[n+1]}}{c_0^{[n+1]}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (2.6) окончательно находим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q_j^{[n+1]}(z)&=a^{[n+1]}Q_j^{[n]}(z)+zR^{[n-1]}(z), \\ R_j^{[n+1]}(z)&=b^{[n+1]}R_j^{[n]}(z)+Q_j^{[n]} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
для $j=1,2,3$ при $n=1,2,\dots$ . При этом начальные условия для трехчленных рекуррентных соотношений (2.7) вытекают из равенства $A^{[1]}=M^{[1]}M^{[0]}$ и имеют следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Q_1^{[0]}=1, \qquad Q_2^{[0]}=a^{[0]}, \qquad Q_3^{[0]}=0, \\ R_1^{[0]}=0, \qquad R_2^{[0]}=1, \qquad R_3^{[0]}=b^{[0]}, \\ Q_1^{[1]}=a^{[1]}, \qquad Q_2^{[1]}=a^{[1]}a^{[0]}, \qquad Q_3^{[1]}=z, \\ R_1^{[1]}=1, \qquad R_2^{[1]}=b^{[1]}+a^{[0]}, \qquad R_3^{[1]}=b^{[1]}b^{[0]}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Кроме того, из (2.4) вытекает, что
$$
\begin{equation}
A^{[n]} \begin{pmatrix} f_2\\f_1\\f_0\end{pmatrix} =M^{[n]}\dotsb M^{[0]} \begin{pmatrix}f_2\\f_1\\f_0\end{pmatrix} =z^{n+1} \begin{pmatrix} f^{[n+1]}_2 \\ f^{[n+1]}_1 \\ f^{[n+1]}_0 \end{pmatrix} =O(z^{n+1}).
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Справедлива следующая Теорема 2. Пусть $k=0,1,2,\dots$ . Тогда: 1) при $n=3k$ имеем $\operatorname{deg}{Q_1^{[n]}}=k$, $\operatorname{deg}{Q_2^{[n]}}=k$, $\operatorname{deg}{Q_3^{[n]}}=k$; 2) при $n=3k+1$ имеем $\operatorname{deg} R_1^{[n]}=k$, $\operatorname{deg} R_2^{[n]}=k$, $\operatorname{deg} R_3^{[n]}=k$, $\operatorname{deg}{Q_1^{[n]}}=k$, $\operatorname{deg}{Q_2^{[n]}}=k$, $\operatorname{deg}{Q_3^{[n]}}=k+1$; 3) при $n\,{=}\,3k\,{+}\,2$ имеем $\operatorname{deg} R_1^{[n]}\,{=}\,k$, $\operatorname{deg} R_2^{[n]}\,{=}\,k$, $\operatorname{deg} R_3^{[n]}\,{=}\,k\,{+}\,1$, $\operatorname{deg}{Q_1^{[n]}}\,{=}\,k$, $\operatorname{deg}{Q_2^{[n]}}=k+1$, $\operatorname{deg}{Q_3^{[n]}}=k+1$; 4) при $n=3k+3$ имеем $\operatorname{deg} R_1^{[n]}=k$, $\operatorname{deg} R_2^{[n]}=k+1$, $\operatorname{deg} R_3^{[n]}=k+1$. Из (2.9) получаем
$$
\begin{equation}
(R_1^{[n]},R_2^{[n]},R_3^{[n]}){}^{\mathsf T\!}(f_2,f_1,f_0)= R_1^{[n]}f_2+R_2^{[n]}f_1+R_3^{[n]}f_0=O(z^{n+1}).
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Из теоремы 2 и (2.10) вытекает Следствие. В условиях теоремы 2 для произвольного $n\in\mathbb N$ положим $k_2=\operatorname{deg}{R_1^{[n]}}$, $k_1=\operatorname{deg}{R_2^{[n]}}$, $k_0=\operatorname{deg}{R_3^{[n]}}$; $\mathbf k^{[n]}=(k_0,k_1,k_2)\in\mathbb Z_{+}^3$ – мультииндекс. Тогда имеем $|\mathbf k^{[n]}|=k_0+k_1+k_2=n-1$, и в силу (2.10) набор $[R_3^{[n]},R_2^{[n]},R_1^{[n]}]=[Q_{\mathbf k^{[n]},0},Q_{\mathbf k^{[n]},1}, Q_{\mathbf k^{[n]},2}]$ есть набор полиномов Эрмита–Паде 1-го типа для набора функций $[f_0,f_1,f_2]$ и мультииндекса $\mathbf k^{[n]}$ с порядком касания, равным $O(z^{|\mathbf k^{[n]}|+2})=O(z^{n+1})$. Доказательство теоремы 2. Проведем доказательство индукцией по $k$.
I) Пусть $k=0$. Справедливость утверждений пп. 1), 2) теоремы вытекает непосредственно из представлений (2.8). Из (2.7) получаем, что $Q_j^{[2]}=a^{[2]}Q_j^{[1]} +zR_j^{[0]}$, $j=1,2,3$. В силу (2.8) $R_1^{[0]}=0$, $R_j^{[0]}=\mathrm{const}_j\neq0$, $j=2,3$. Следовательно, из (2.8) вытекает, что $\operatorname{deg}{Q_1^{[2]}}\,{=}\,0$, $\operatorname{deg} Q_2^{[2]}=\operatorname{deg} Q_3^{[2]}=1$. Аналогично, из (2.7) имеем $R_j^{[2]}=b^{[2]}R_j^{[1]}+Q_j^{[1]}$. Следовательно, в силу (2.8) получаем, что $\operatorname{deg} R_1^{[2]}=\operatorname{deg} R_2^{[2]}=0$, $\operatorname{deg} R_3^{[2]}=1$. Утверждения п. 3) доказаны. Проверим справедливость утверждений п. 4). Из (2.7) получаем $R_j^{[3]}=b^{[3]} R_j^{[2]}+Q_j^{[2]}$. Отсюда в силу установленных выше свойств полиномов $R_j^{[2]}$ и $Q_j^{[2]}$ вытекает, что $\operatorname{deg} R_1^{[3]}=0$, $\operatorname{deg}R_2^{[3]}=\operatorname{deg} R_3^{[3]}=1$. Итак, при $k=0$ все утверждения пп. 1)–4) теоремы 2 верны. II) Предположим теперь, что пп. 1)–4) теоремы 2 справедливы при $n=3k$, $n=3k+1$, $n=3k+2$ и $n=3k+3$, и докажем, что при этом предположении эти утверждения справедливы и при замене $k$ на $k+1$, т.е. при $n=3k+3$, $n=3k+4$, $n=3k+5$ и $n=3k+6$. 1) Пусть $n=3(k+1)=3k+3$. Тогда в силу соотношений (2.7) и справедливости пп. 2), 3) теоремы 2 при $n=3k+1$ и $n=3k+2$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{deg} Q_1^{[3k+3]}&=\max\bigl\{\operatorname{deg} Q_1^{[3k+2]},1+\operatorname{deg} R_1^{[3k+1]}\bigr\} =\max\{k,1+k\}=k+1, \\ \operatorname{deg} Q_j^{[3k+3]}&=\max\{\operatorname{deg} Q_j^{[3k+2]},1+\operatorname{deg} R_j^{[3k+1]}\} =\max\{k+1,1+k\}=k+1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $j=2,3$.
2) Пусть $n=3k+4$. Тогда в силу (2.7), п. 4) при $n=3k+3$ и п. 1) при $n=3k+3$ имеем при $j=1,2,3$
$$
\begin{equation*}
\operatorname{deg} R_j^{[3k+4]}=\max\{\operatorname{deg} R_j^{[3k+3]},\operatorname{deg} Q_j^{[3k+3]}\}=k+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, используя (2.7) и пп. 1), 3) теоремы 2 при $n=3k+3$ и $n=3k+2$ соответственно, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{deg} Q_j^{[3k+4]}&=\max\{\operatorname{deg} Q_j^{[3k+3]},1+\operatorname{deg} R_j^{[3k+2]}\}=k+1 \quad\text{при }\ j=1,2, \\ \operatorname{deg} Q_3^{[3k+4]}&=\max\{\operatorname{deg} Q_3^{[3k+3]},1+\operatorname{deg} R_3^{[3k+2]}\}=k+2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
3) Докажем справедливость утверждений п. 3) при $n=3k+5$. Из (2.7) и п. 2) при $n=3k+4$ получаем для $j=1,2$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{deg} R_j^{[3k+5]}&=\max\{\operatorname{deg} R_j^{[3k+4]},\operatorname{deg} Q_j^{[3k+4]}\} =\max\{k+1,k+1\}=k+1, \\ \operatorname{deg} R_3^{[3k+5]}&=\max\{\operatorname{deg} R_3^{[3k+4]},\operatorname{deg} Q_3^{[3k+4]}\} =\max\{k+1,k+2\}=k+2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, опираясь на (2.7) и доказанные пп. 1), 2), 4) теоремы 2 при $n=3k+3$, $n=3k+4$ и $n=3k+3$ соответственно, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{deg} Q_1^{[3k+5]}&=\max\{\operatorname{deg} Q_1^{[3k+4]},1+\operatorname{deg} R_1^{[3k+3]}\} =\max\{k+1,1+k\}=k+1, \\ \operatorname{deg} Q_j^{[3k+5]}&=\max\{\operatorname{deg} Q_j^{[3k+4]},1+\operatorname{deg} R_j^{[3k+3]}\} =k+2\quad\text{при }\ j=2,3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
4) Докажем теперь п. 4) при $n=3(k+1)+3=3k+6$. Используя (2.7) и справедливость п. 3) при $n=3k+5$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{deg} R_1^{[3k+6]}&=\max\{\operatorname{deg} R_1^{[3k+5]},\operatorname{deg} Q_1^{[3k+5]}\}=k+1, \\ \operatorname{deg} R_j^{[3k+6]}&=\max\{\operatorname{deg} R_j^{[3k+5]},\operatorname{deg} Q_j^{[3k+5]}\} =k+2 \quad\text{при }\ j=2,3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2 доказана. 2.3. Алгоритм при $m=2$ (для набора рядов $[f_0,f_1,f_2]$)Даны три ряда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_0=f_0(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}z^k=c_0+O(z), \qquad f_1=f_1(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}z^k=c_1+O(z), \\ f_2=f_2(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{2,k}z^k=c_2+O(z). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Начальный шаг итерации ($n=0$). Положим $f_0^{[0]}:=f_0$, $f_1^{[0]}:=f_1$, $f_2^{[0]}:=f_2$, $c_j^{[0]}:=c_j$, $j=0,1,2$, $a^{[0]}:=-c_2^{[0]}/c_1^{[0]}$, $b^{[0]}:=-c_1^{[0]}/c_0^{[0]}$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Q_1^{[0]}:=1, \qquad Q_2^{[0]}:=a^{[0]}, \qquad Q_3^{[0]}:=0, \\ R_1^{[0]}:=0, \qquad R_2^{[0]}:=1, \qquad R_3^{[0]}:=b^{[0]}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$1$-й шаг итерации ($n=1$). Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_2^{[1]}:=f_0^{[0]}=: \sum_{k=0}^\infty c_{2,k}^{[1]}z^k=c_2^{[1]}+O(z), \\ f_1^{[1]}:=\frac1z\biggl(f_2^{[0]}-\frac{c_2^{[0]}}{c_1^{[0]}}f_1^{[0]}\biggr) =\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}^{[1]}z^k=c_1^{[1]}+O(z), \\ f_0^{[1]}:=\frac1z\biggl(f_1^{[0]}-\frac{c_1^{[0]}}{c_0^{[0]}}f_0^{[0]}\biggr) =\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}^{[1]}z^k=c_0^{[1]}+O(z). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $a^{[1]}:=-c_2^{[1]}/c_1^{[1]}$, $b^{[1]}:=-c_1^{[1]}/c_0^{[1]}$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Q_1^{[1]}:=a^{[1]}, \qquad Q_2^{[1]}:=a^{[1]}a^{[0]}, \qquad Q_3^{[1]}:=z, \\ R_1^{[1]}:=1, \qquad R_2^{[1]}:=b^{[1]}+a^{[0]}, \qquad R_3^{[1]}:=b^{[1]}b^{[0]}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$(n+1)$-й шаг итерации ($n\geqslant1$). Положим при $n\geqslant1$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_2^{[n+1]}:=f_0^{[n]}=:\sum_{k=0}^\infty c_{2,k}^{[n+1]}z^k=c_2^{[n+1]}+O(z), \\ f_1^{[n+1]}:=\frac1z\biggl(f_2^{[n]}-\frac{c_2^{[n]}}{c_1^{[n]}}f_1^{[n]}\biggr) =\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}^{[n+1]}z^k=c_1^{[n+1]}+O(z), \\ f_0^{[n+1]}:=\frac1z\biggl(f_1^{[n]}-\frac{c_1^{[n]}}{c_0^{[n]}}f_0^{[n]}\biggr) =\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}^{[n+1]}z^k=c_0^{[n+1]}+O(z), \\ a^{[n+1]}:=-\frac{c_2^{[n+1]}}{c_1^{[n+1]}}, \qquad b^{[n+1]}:=-\frac{c_1^{[n+1]}}{c_0^{[n+1]}}, \\ Q_j^{[n+1]}(z)=a^{[n+1]}Q_j^{[n]}(z)+zR_j^{[n-1]}(z), \\ R_j^{[n+1]}(z)=b^{[n+1]}R_j^{[n]}(z)+Q_j^{[n]}(z), \qquad j=1,2,3. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
§ 3. Случай произвольного $m\in\mathbb N$: набор рядов $[f_0,\dots,f_m]$3.1. Введение и теоретические результатыПусть даны $m+1$ формальных рядов
$$
\begin{equation*}
f_j=f_j(z)=\sum_{j=1}^\infty c_{j,k}z^k, \qquad f_j\in\mathbb C[[z]], \quad j=0,\dots,m.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $f_j=c_j+O(z)$. Тогда имеем
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} 0&0&0&\dots&0&1\\ 1&0&0&\dots&0&0\\ 0&1&0&\dots&0&0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0&0&0&\dots&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}f_m\\f_{m-1}\\f_{m-2}\\\vdots\\f_0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}f_0\\f_m\\f_{m-1}\\\vdots\\f_1\end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\begin{pmatrix} z&0&0&0&0&\dots&0&0&0\\ 0&1&-\dfrac{c_m}{c_{m-1}}&0&0&\dots&0&0&0\\ 0&0&1&-\dfrac{c_{m-1}}{c_{m-2}}&0&\dots&0&0&0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0&0&0&0&0&\dots&0&1&-\dfrac{c_2}{c_1}\\ -\dfrac{c_1}{c_0}&0&0&0&0&\dots&0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}f_0\\f_m\\f_{m-1}\\\vdots\\f_1\end{pmatrix} \\ &\qquad =\begin{pmatrix}zf_0 \\ f_m-\dfrac{c_m}{c_{m-1}}f_{m-1}\\\vdots\\ f_2-\dfrac{c_1}{c_0}f_1 \\ f_1-\dfrac{c_1}{c_0}f_0\end{pmatrix} =z\begin{pmatrix} f^{[1]}_m \\ f^{[1]}_{m-1} \\ f^{[1]}_{m-2}\\\vdots\\f^{[1]}_0 \end{pmatrix}=O(z), \end{split}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_m^{[1]}:=f_0=:\sum_{k=0}^\infty c_{m,k}^{[1]}z^k=c_m^{[1]}+O(z), \\ f_j^{[1]}:=\frac1z\biggl(f_{j+1}-\frac{c_{j+1}}{c_j}f_j\biggr) =\sum_{k=0}^\infty c_{j,k}^{[1]}z^k=c_j^{[1]}+O(z), \qquad j=0,\dots,m-1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $c_j^{[0]}:=c_j$ и
$$
\begin{equation*}
f_j^{[0]}:=f_j=:\sum_{k=0}^\infty c_{j,k}^{[0]}z^k=c_j^{[0]}+O(z), \qquad j=0,\dots,m,
\end{equation*}
\notag
$$
$a_j^{[0]}:=-c_{j}^{[0]}/c_{j-1}^{[0]}$, $j=1,\dots,m$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, M_1:=\begin{pmatrix} 0&0&0&\dots&0&1\\ 1&0&0&\dots&0&0\\ 0&1&0&\dots&0&0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0&0&0&\dots&1&0\end{pmatrix}, \\ M_2:= \begin{pmatrix} z&0&0&0&0&\dots&0&0&0\\ 0&1&a_m^{[0]}&0&0&\dots&0&0&0\\ 0&0&1&a_{m-1}^{[0]}&0&\dots&0&0&0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0&0&0&0&0&\dots&0&1&a_2^{[0]}\\ a_1^{[0]}&0&0&0&0&\dots&0&0&1 \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и пусть
$$
\begin{equation}
M^{[0]}:=M_2M_1= \begin{pmatrix} 0&0&0&0&0&\dots&0&0&z\\ 1&a_m^{[0]}&0&0&0&\dots&0&0&0\\ 0&1&a_{m-1}^{[0]}&0&0&\dots&0&0&0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0&0&0&0&0&\dots&1&a_2^{[0]}&0\\ 0&0&0&0&0&\dots&0&1&a_1^{[0]} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Тогда имеем
$$
\begin{equation}
M^{[0]}{}^{\mathsf T\!}\vec{f}^{\,[0]}=z{}^{\mathsf T\!}\vec{f}^{\,[1]}=O(z), \quad\text{где }\ \vec{f}^{\,[0]}:=(f_0^{[0]},\dots,f_m^{[0]}), \quad \vec{f}^{\,[1]}:=(f_0^{[1]},\dots,f_m^{[1]}).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Положим теперь при $n\geqslant1$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_j^{[n]}:=-\frac{c_j^{[n]}}{c_{j-1}^{[n]}}, \qquad j=1,\dots,m, \\ f_m^{[n+1]}:=f_0^{[n]}=:\sum_{k=0}^\infty c_{m,k}^{[n+1]}z^k =c_m^{[n+1]}+O(z), \\ f_j^{[n+1]}:=\frac1z\biggl(f_{j+1}^{[n]}\,{-}\,\frac{c_{j+1}^{[n]}}{c_j^{[n]}}f_j^{[n]}\biggr) \,{=}\sum_{k=0}^\infty c_{j,k}^{[n+1]}z^k\,{=}\,c_j^{[n+1]}\,{+}\,O(z), \qquad j\,{=}\,0,\dots,m\,{-}\,1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation}
M^{[n]}:= \begin{pmatrix} 0&0&0&0&0&\dots&0&0&z\\ 1&a_m^{[n]}&0&0&0&\dots&0&0&0\\ 0&1&a_{m-1}^{[n]}&0&0&\dots&0&0&0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0&0&0&0&0&\dots&1&a_2^{[n]}&0\\ 0&0&0&0&0&\dots&0&1&a_1^{[n]} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
тогда аналогично (3.4) получаем при $n\geqslant1$
$$
\begin{equation}
M^{[n]}{}^{\mathsf T\!}\vec{f}^{\,[n]}=z{}^{\mathsf T\!}\vec{f}^{\,[n+1]}, \quad\text{где }\ \vec{f}^{\,[n]}:=(f_m^{[0]},\dots,f_0^{[0]})\in\mathbb C^{m+1}[[z]].
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Тем самым из (3.6) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
M^{[n]}\cdots M^{[0]}{}^{\mathsf T\!}\vec{f}^{\,[0]}=z^{n+1}{}^{\mathsf T\!}\vec{f}^{\,[n+1]}=O(z^{n+1}),
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation}
A^{[n]}{}^{\mathsf T\!}\vec{f}^{\,[0]}=z^{n+1}{}^{\mathsf T\!}\vec{f}^{\,[n+1]}=O(z^{n+1}),
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где $A^{[n]}:=M^{[n]}\cdots M^{[0]}$. При этом $A^{[0]}=M^{[0]}$, где матрица $M^{[0]}$ задана представлением (3.3). Пусть
$$
\begin{equation}
A^{[n]}= \begin{pmatrix}\vec{A}_1^{\,[n]}\\\vdots\\\vec{A}_{m+1}^{\,[n]}\end{pmatrix}, \quad\text{где }\ \vec{A}_j^{\,[n]}:=(A_{j,1}^{[n]},\dots,A_{j,m+1}^{[n]}), \quad j=1,\dots,m+1.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Из определения матрицы $A^{[n]}$ вытекает, что Следовательно, из (3.5) получаем
$$
\begin{equation}
\vec{A}_j^{\,[n+1]}=\vec{A}_{j-1}^{\,[n]}+a_{m+2-j}^{[n+1]}\vec{A}_j^{\,[n]} =a_{m+2-j}^{[n+1]}\vec{A}_j^{\,[n]}+\vec{A}_{j-1}^{\,[n]}, \qquad j=2,\dots,m+1.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Теперь, используя (3.9), преобразуем (3.10) к следующему виду при $n\geqslant1$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \vec{A}_2^{\,[n+1]}=a_m^{[n+1]}\vec{A}_2^{\,[n]}+z\vec{A}_{m+1}^{\,[n-1]}, \\ \vec{A}_j^{\,[n+1]}=a_{m+2-j}^{[n+1]}\vec{A}_j^{\,[n]}+\vec{A}_{j-1}^{\,[n]}, \qquad j=3,\dots,m+1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Соотношения (3.11) представляют собой трехчленные рекуррентные соотношения для $m$ строк $\vec{A}_j^{\,[n+1]}$, $j=2,\dots,m+1$, матрицы $A^{[n+1]}$. Первая строка находится по формуле (3.9). Из (3.11) вытекает, что для того, чтобы вычислить элементы строк $\vec{A}_j^{\,[n+1]}$, $j=2,\dots,m+1$, матрицы $A^{[n+1]}$ рекуррентным образом, достаточно знать элементы строк $\vec{A}_j^{\,[1]}$, $j=2,\dots,m+1$, матрицы $A^{[1]}$ и $(m+1)$-ю строку $\vec{A}_{m+1}^{\,[0]}$ начальной матрицы $A^{[0]}$. Найдем нужные строки. Из (3.3) и равенства $A^{[0]}=M^{[0]}$ получаем
$$
\begin{equation*}
\vec{A}_{m+1}^{\,[0]} =(\underbrace{0,0,0,0,\dots,0,1,a_1^{[0]}}_{m+1})\in\mathbb C^{m+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из определения $A^{[1]}:=M^{[1]}M^{[0]}$ и (3.5) (при $n=1$) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \vec{A}_2^{\,[1]}&=(a_m^{[1]},a_m^{[1]}a_m^{[0]},0,0,\dots,0,0,z)\in\mathbb C^{m+1}, \\ \vec{A}_j^{\,[1]}&=(0,\dots,0,\underbrace{1,a_{m+2-j}^{[1]}+a_{m+3-j}^{[0]}, a_{m+2-j}^{[1]}a_{m+2-j}^{[0]}}_{j-2\,,j-1\,,j},0,\dots,0), \qquad j=3,\dots,m, \\ \vec{A}_{m+1}^{\,[1]}&=(0,0,\dots,0,1,a_1^{[1]}+a_2^{[0]},a_1^{[1]}a_1^{[0]}) \in\mathbb C^{m+1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Таким образом, начальные условия (3.12) для рекуррентных соотношений (3.11) задаются $m+1$ векторами из пространства $\mathbb C^{m+1}$. В силу (3.11) все элементы $A_{j,k}^{[n]}$ – полиномы переменного $z$, $A_{j,k}^{[n]}\in\mathbb C[z]$ при всех $n=0,1,\dots$, $j,k=1,\dots,m+1$. Для произвольного вектора $\vec{c}=(c_1,\dots,c_{m+1})\in\mathbb C^{m+1}$ положим Имеем аналогично (3.11)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_{2,k}^{[n+1]}&=a_n ^{[n+1]}A_{2,k}^{[n]}+z A_{m+1,k}^{[n-1]}, \qquad k=1,\dots,m+1, \\ A_{j,k}^{[n+1]}&=a_{m+2-j}^{[n+1]}A_{j,k}^{[n]}+A_{j-1,k}^{[n]}, \qquad k=1,\dots,m+1, \quad j=3,\dots,m+1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Справедлива следующая Теорема 3. Пусть $m\in\mathbb N$, $n\geqslant m-1$ и $n=m-1+(m+1)k+\ell$, где $\ell\in\{0,\dots,m\}$, $k\in\{0,1,2,\dots\}$ ($\ell\,{=}\,(n\,{-}\,m\,{+}\,1)\ (\operatorname{mod}{m\,{+}\,1})$). Тогда справедливы следующие утверждения. 1) При $\ell=0$ имеем $\operatorname{deg} A_{m+1,s}^{[n]}=k$ при всех $s=1,\dots,m+1$. Вектор ${}^{\mathsf B}\vec{A}_{m+1}^{\,[n]}=\vec{Q}_{\mathbf k^{[n]}}(\vec{f}) =(Q_{\mathbf k^{[n]},0},Q_{\mathbf k^{[n]},1},\dots,Q_{\mathbf k^{[n]},m})$ – вектор полиномов Эрмита–Паде 1-го типа для вектора-ряда ${}^{\mathsf B}\vec{f}=(f_0,\dots,f_m)$ и мультииндекса $\mathbf k^{[n]}=(k,k,\dots,k)$. Порядок касания равен $|\mathbf k^{[n]}|+m=(m+1)k+m=n+1$, т.е.
$$
\begin{equation}
{}^{\mathsf B}\vec{Q}_{\mathbf k^{[n]}}(\vec{f}){}^{\mathsf T\!}\vec{f}=\vec{A}_{m+1}^{\,[n]}{}^{\mathsf T\!}\vec{f}=O(z^{n+1}).
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
2) При $\ell\,{=}\,1,\dots,m$ имеем $\operatorname{deg}{A}_{m+1,m+1-s}^{[n]}\,{=}\,k\,{+}\,1$ для индексов $s\,{=}\,0,\dots,\ell\,{-}\,1$ и $\operatorname{deg}{A}_{m+1,m+1-s}^{[n]}=k$ для индексов $s=\ell,\dots,m$. Вектор ${}^{\mathsf B}\vec{A}_{m+1}^{\,[n]}=\vec{Q}_{\mathbf k^{[n]}}(\vec{f}) =(Q_{\mathbf k^{[n]},0},Q_{\mathbf k^{[n]},1},\dots,Q_{\mathbf k^{[n]},m})$ – вектор полиномов Эрмита–Паде 1-го типа для вектор-функции ${}^{\mathsf B}\vec{f}=(f_0,\dots,f_m)$ и мультииндекса Порядок касания равен $|\mathbf k^{[n]}|+m=(m+1)k+m+\ell=n+1$, т.е.Итак, при любом $n\geqslant m-1$ полиномы $Q_{\mathbf k^{[n]},j}=A_{m+1,m+1-j}^{[n]}$, $j=0,\dots,m$, – это полиномы Эрмита–Паде 1-го типа для набора $[f_0,\dots,f_m]$ и мультииндекса $\mathbf k^{[n]}=(k_0,\dots,k_m)$, где $k_j= \operatorname{deg}{A_{m+1,m+1-j}^{[n]}}$, $j=0,\dots,m$, и порядок касания равен
$$
\begin{equation*}
|\mathbf k^{[n]}|+m=\sum_{j=0}^m \operatorname{deg}{A}_{m+1,m+1-j}^{[n]}+m=n+1
\end{equation*}
\notag
$$
(мультииндекс $\mathbf k^{[n]}$ однозначно определяется по заданному числу $n\geqslant m-1$). Замечание 3. Отметим, что, действуя вышеуказанным рекуррентным образом, к моменту вычисления набора полиномов Эрмита–Паде, соответствующего мультииндексу $(k\,{+}\,1,k\,{+}\,1,k\,{+}\,1,\dots,k\,{+}\,1,k\,{+}\,1)$, мы уже вычислили все наборы полиномов Эрмита–Паде, соответствующих мультиндексам $(k,k,k, \dots,k,k)$, $(k+1,k,k,\dots,k,k)$, $(k+1,k+1,k,\dots,k,k)$, $\dots$, $(k+1,k+1,k+1, \dots,k+1,k)$. Согласно [15] такие индексы называются правильными. Замечание 4 (ср. замечание 2). Если начать итерационный процесс с вектор-функции $\vec{f}^{\,[0]}=(f_0,\dots,f_m)\in\mathbb C^{m+1}$ (вместо $\vec{f}^{\,[0]}=(f_m,\dots,f_0)$), то в результате получим полиномы Эрмита–Паде 1-го типа для мультииндексов $(k,\dots,k,k,k)$, $\dots$, $(k,\dots,k,k,k+1)$, $(k,\dots,k,k+1,k+1)$, $\dots$ . Если же положить
$$
\begin{equation*}
\vec{f}^{\,[0]}=(\underbrace{f_{s-1},\dots,f_0}_{s},f_m,\dots,f_s),
\end{equation*}
\notag
$$
то в результате итерационного процесса получим полиномы Эрмита–Паде для мультииндексов
$$
\begin{equation*}
(k,\dots,k),(k,\dots,k,\underbrace{k+1}_s,k,k,\dots,k), (k,\dots,k,\underbrace{k+1,k+1}_{s,s+1},k,\dots,k)
\end{equation*}
\notag
$$
(ср. [14]). Замечание 5. Отметим, что известны различные варианты рекуррентных соотношений для полиномов Эрмита–Паде. Такие соотношения широко используются в теоретических исследованиях при изучении свойств этих полиномов (см., например, [12], [3], [24], [22], [13] и имеющуюся там библиографию). Однако, как правило, эти результаты получены для набора рядов Лорана, заданных в бесконечно удаленной точке, и имеют, вообще говоря, более сложный характер, чем трехчленные соотношения вида (3.11). Доказательство теоремы 3. Для вектора $\vec{p}(z):=(p_1(z),\dots,p_{m+1}(z))\in\mathbb C^{m+1}[z]$, где $p_j(z)\in\mathbb C[z]$, положим Для векторов $\vec{p}(z)$ и $\vec{q}(z)$, $\vec{p},\vec{q}\in\mathbb C^{m+1}[z]$, неравенство $\operatorname{deg}\vec{p}\geqslant\operatorname{deg}\vec{q}$ по определению означает, что $\operatorname{deg}\vec{p}-\operatorname{deg}\vec{q}\in \mathbb Z^{m+1}_{+}$. Аналогично, неравенство $\operatorname{deg}\vec{p}>\operatorname{deg}\vec{q}$ означает, что $\operatorname{deg}\vec{p}-\operatorname{deg}\vec{q}\in \mathbb N^{m+1}$.
Положим $\vec{e}_1:=(1,0,\dots,0)\in\mathbb Z^{m+1}$ и $\vec{e}_{m+1}:=(1,1,\dots,1)\in\mathbb N^{m+1}$. Следующая лемма справедлива в условиях теоремы 3 и лежит в основе доказательства этой теоремы. Лемма. Пусть $n\geqslant m-1$. Тогда имеем Пусть $n=m-1+(m+1)k+\ell$, где $\ell=(n-(m-1))\ (\operatorname{mod}m+1)\in\{0,1, \dots,m\}$, $k=0,1,\dots$ . Тогда справедливы следующие соотношения: Из соотношений (3.16) и (3.17) при $s=m+1-\ell$ и $j=\ell-1$ для $\ell\geqslant1$ получаем соответственно
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{m+1}&=(\underbrace{k,\dots,k}_{m+1-\ell}, \underbrace{k+1,\dots,k+1}_{\ell}), \\ \operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_1&=(\underbrace{k+1,\dots,k+1}_{m+2-\ell}, \underbrace{k+2,\dots,k+2}_{\ell-1}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Тем самым из (3.18) вытекает, что $\operatorname{deg}{A}^{[n]}_{m+1,j}=k$ при $j=1,\dots,m+1-\ell$ и $\operatorname{deg} A^{[n]}_{m+1,j}=k+1$ при $j=m+1-\ell+1,\dots,m+1$. Эквивалентным образом эти соотношения записываются в следующем виде: $\operatorname{deg} A^{[n]}_{m+1,m+1-s}=k+1$ при $s=0,\dots,\ell-1$ и $\operatorname{deg} A^{[n]}_{m+1,m+1-s}=k$ при $s=\ell,\dots,m$. Непосредственно отсюда вытекает справедливость утверждений пп. 1), 2) теоремы 3. Теорема 3 доказана. Доказательство леммы. Проведем доказательство индукцией по $n$.
1) Пусть $n=m-1$. Имеем
$$
\begin{equation}
A^{[n]}=M^{[n]}A^{[n-1]}=M^{[n]}\dotsb M^{[1]}M^{[0]},
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
где матрица $M^{[0]}$ имеет вид (3.3), матрица $M^{[n]}$ имеет аналогичный вид (3.5). Пусть $M^{[p]}$ – матрица, которая получается из матрицы $M^{[n]}$ заменой $n$ на $p$, $p=0,1,\dots,n$. Тогда $M^{[p]}\in\operatorname{GL}_{\mathbb C}(m+1,m+1)$. При этом $\det M^{[p]}=(-1)^pz\not\equiv0$.
Пусть $B_2:=M^{[p]}B_1$, где $B_1\in\operatorname{GL}_{\mathbb C}(m+1,m+1)$. Тогда матрица $B_2$ – результат умножения слева матрицы $B_1$ на матрицу $M^{[p]}$, и непосредственно из структуры (3.5) матрицы $M^{[p]}$ вытекает, что имеют место следующие факты. 1) Последняя, $(m+1)$-я, строка матрицы $B_1$ умножается на $z$ и становится первой строкой матрицы $B_2$; тем самым степень соответствующих полиномиальных элементов исходной матрицы $B_1$ увеличивается ровно на 1. 2) Вторая строка матрицы $B_2$ получается следующим образом: вторая строка матрицы $B_1$ умножается на элемент $a^{[p]}_m$ и складывается с элементом первой строки матрицы $B_1$. 3) При $j\geqslant2$ соответствующая $j$-я строка матрицы $B_2$ получается следующим образом: $j$-я строка матрицы $B_1$ умножается на элемент $a^{[p]}_{m-j+2}$ и складывается с элементом $(j-1)$-й строки матрицы $B_1$. Отсюда уже с учетом явного вида (3.3) матрицы $M^{[0]}$ вытекает, что при $n=m-1$ матрица $A^{[m-1]}=M^{[m-1]}\dotsb M^{[0]}$ имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} *&*z+*&*z+*&*z+*&\dots&*z+*&*z+*&*z+*\\ *&*&*z+*&*z+*&\dots&*z+*&*z+*&*z+*\\ *&*&*&*z+*&\dots&*z+*&*z+*&*z+*\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ *&*&*&*&\dots&*&*&*z+*\\ c_m&c_{m-1}&c_{m-2}&c_{m-3}&\dots&c_2&c_1&c_0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
где через “$*$” и “$*z+*$” обозначены соответственно некоторые комплексные величины и некоторые полиномы переменного $z$ 1-й степени с комплексными коэффициентами. Точное значение этих величин и явный вид этих полиномов нам здесь не важен. Величины $c_0,c_1,\dots,c_m$ – некоторые комплексные постоянные, не все одновременно1 равные нулю. При этом из (3.6) и (3.7) вытекает, что выполняется соотношение
$$
\begin{equation}
c_0f_0+c_1f_1+\dots +c_{m-1}f_{m-1}+c_mf_m=O(z^m)=O(z^{n+1}).
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Соотношение (3.21) означает, что нетривиальный набор постоянных величин $[c_0,c_1,\dots,c_{m-1},c_m]$ является набором полиномов Эрмита–Паде 1-го типа для набора рядов $[f_0,f_1,\dots,f_{m-1},f_m]$ и мультииндекса $\mathbf k^{[m-1]}=(0,0,\dots,0,0)$ с соответствующим порядком касания, равным $|\mathbf k^{[m-1]}|+m=m=n+1$.
Таким образом, непосредственно из представления (3.20) вытекает, что при $n=m-1$ утверждения леммы справедливы. 2) Предположим теперь, что утверждения леммы справедливы при некотором $n\geqslant m-1$, и докажем, что отсюда вытекает справедливость этих утверждений при замене $n$ на $n+1$. Пусть $n=m-1+(m+1)k+\ell$, $\ell=(n-m+1)\ (\operatorname{mod}m+1)\in\{0,\dots,m\}$. a) Докажем неравенство (3.15), т.е. соотношение $\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_j\geqslant\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_{j+1}$ при $j=1,\dots,m$. Поскольку по предположению индукции выполняется соотношение (3.18), то в силу (3.9) имеем $\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[m+1]}_1=(k+1,\dots,k+1)$ при $\ell=0$ и
$$
\begin{equation*}
\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[m+1]}_1 =(\underbrace{k+1,\dots,k+1}_{m+1-\ell},\underbrace{k+2,\dots,k+2}_{\ell})
\end{equation*}
\notag
$$
при $\ell\geqslant1$. При этом
$$
\begin{equation*}
\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}=(k,\underbrace{k+1,\dots,k+1}_m)
\end{equation*}
\notag
$$
при $\ell=0$ и $\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}=(k+1,\dots,k+1)$ при $\ell=1$. Отсюда вытекает, что $\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_1>\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_1$ при всех $\ell$. В силу формул (3.16) и (3.17), справедливых по предположению индукции, получаем, что $\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_1>\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_1$.
Отсюда в силу рекуррентных соотношений (3.10) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_1\geqslant\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_1 =\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_2.
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Неравенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_j\geqslant\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_{j+1}, \qquad j=2,\dots,m,
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
вытекает из рекуррентного соотношения (3.10) в силу предположения индукции. Таким образом, получаем из (3.22) и (3.23), что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_j\geqslant\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}, \qquad j=1,2,\dots,m.
\end{equation*}
\notag
$$
2) Докажем теперь соотношения (3.16) и (3.17) для следующего шага индукции, т.е. при $n+1$. Рассмотрим два случая: $\ell\in\{0,\dots,m-1\}$ и $\ell=m$. a) Пусть $\ell\in\{0,\dots,m-1\}$. Тогда $\ell+1\in\{1,\dots,m\}$ и $n+1=m-1+(m+ 1)k+\ell+1$. Из (3.9) и (3.16) при $s=m+1-\ell$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_1 &=\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_{m+1}+\vec{e}_{m+1} =(\underbrace{k+1,\dots,k+1}_{m+1-\ell},\underbrace{k+2,\dots,k+2}_{\ell}) \\ &=(\underbrace{k+1,\dots,k+1}_{m+1-j},\underbrace{k+2,\dots,k+2}_{j})\bigr|_{j=\ell} =\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_{\ell'-j}\bigr|_{j=\ell'-1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\ell'=\ell+1$. Тем самым формула (3.17) доказана при $n+1$ и $j=\ell=\ell'-1$.
Поскольку по предположению индукции $\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{j-1}\geqslant\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_j$ при $j=2,\dots, m+1$, то из (3.10) получаем, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_j=\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{j-1}, \qquad j=2,\dots,m+1.
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Следовательно, при $\ell\in\{1,\dots,m-1\}$ и $\ell'=\ell+1\in\{2,\dots,m\}$ в силу (3.16) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_{\ell'+s}=\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{\ell+s} =(\underbrace{k,\dots,k}_{s},\underbrace{k+1,\dots,k+1}_{m+1-s}), \\ s=1,\dots,m+1-\ell'=1,\dots,m-\ell. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
Тем самым (3.16) доказано для $(n+1)$-го шага индукции.
Докажем формулу (3.17). В силу (3.10) и неравенства (3.15) имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_{\ell'-j}=\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{\ell'-j-1} =\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{\ell-j} =(\underbrace{k+1,\dots,k+1}_{m+1-j},\underbrace{k+2,\dots,k+2}_{j}),
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
где $j=0,\dots,\ell'-2=0,\dots,\ell-1$. При $j=\ell'-1=\ell$ имеем $\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_{\ell'-j}=\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_1$, и справедливость формулы (3.26) установлена выше.
b) Пусть теперь $\ell=m$. Тогда $n+1=m-1+(m+1)(k+1)$ и $\ell'=0$. В таком случае из (3.9) и (3.18) имеем $s=m+1-s$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_1 &=\vec{e}_1+\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{m+1}= (k,\underbrace{k+1,\dots,k+1}_m)+\vec{e}_1 =(k+1,\underbrace{k+2,\dots,k+2}_m) \\ &=\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_{\ell'+s}\bigr|_{\ell'=0,s=1} =(\underbrace{k+1,\dots,k+1}_s,\underbrace{k+2,\dots,k+2}_{m+1-s})\bigr|_{s=1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее имеем при $s=2,\dots,m+1$, $s-1=s'=m-j'$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_{\ell'+s}=\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_s =\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{s-1}=\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{m-j'} \\ &\qquad=(\underbrace{k+1,\dots,k+1}_{m+1-j'},\underbrace{k+2,\dots,k+2}_{j'} =(\underbrace{k+1,\dots,k+1}_{s},\underbrace{k+2,\dots,k+2}_{m+1-s}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, (3.16) доказано на $(n+1)$-м шаге для $\ell=m$.
Лемма доказана. 3.2. Алгоритм при произвольном $m\in\mathbb N$ (для набора рядов вида $[f_0, \dots,f_m]$)3.2.1. Построение новых рядов $f_0^{[n]},\dots,f_m^{[n]}$, $n=1,2,\dots$Пусть даны $m\in\mathbb N$ и ряды
$$
\begin{equation*}
f_0,\dots,f_m\in\mathbb C[[z]], \qquad f_j=f_j(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{j,k}z^k=c_j+O(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Начальный шаг итерации ($n=0$). Полагаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_j^{[0]}:=f_j=\sum_{k=0}^\infty c_{j,k}z^k =:\sum_{k=0}^\infty c^{[0]}_{j,k}z^k=c_j^{[0]}+O(z), \qquad j=1,\dots,m, \\ a_j^{[0]}:=-\frac{c_j^{[0]}}{c_{j-1}^{[0]}}, \qquad j=1,\dots,m. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$1$-й шаг итерации ($n=1$). Полагаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_m^{[1]}:=f_0^{[0]}=:\sum_{k=0}^\infty c_{m,k}^{[1]}z^k=c_m^{[1]}+O(z), \\ f_j^{[1]}:=\frac1z\biggl(f_{j+1}^{[0]}-\frac{c_{j+1}^{[0]}}{c_j^{[0]}}f_j^{[0]}\biggr) =\sum_{k=0}^\infty c_{j,k}^{[1]}z^k=c_j^{[1]}+O(z), \qquad j=0,\dots,m-1, \\ a_j^{[1]}:=-\frac{c_j^{[1]}}{c_{j-1}^{[1]}}, \qquad j=1,\dots,m. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$(n+1)$-й шаг итерации ($n\geqslant1$). Полагаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_m^{[n+1]}:=f_0^{[n]}=:\sum_{k=0}^\infty c_{m,k}^{[n+1]}z^k =c_m^{[n+1]}+O(z), \\ f_j^{[n+1]}:=\frac1z(f_{j+1}^{[n]}+a_{j+1}^{[n]}f_j^{[n]}) =\sum_{k=0}^\infty c_{j,k}^{[n+1]}z^k=c_j^{[n+1]}+O(z), \qquad j=0,\dots,m-1, \\ a_j^{[n+1]}:=-\frac{c_j^{[n+1]}}{c_{j-1}^{[n+1]}}, \qquad j=1,\dots,m. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, по заданному набору рядов $f_0,\dots,f_m\in\mathbb C[[z]]$ мы построили новые ряды $f_0^{[n]},\dots,f_m^{[n]}\in\mathbb C[[z]]$ и нашли величины $a_1^{[n]},\dots,a_m^{[n]}\in\mathbb C$ при всех $n=0,1,2,\dots$ . Замечание 6. Отметим, что основная цель шага 3.2.1 – это именно нахождение $m$ величин $a_1^{[n]},\dots,a_m^{[n]}\in\mathbb C$ ($n=1,2,\dots$). Замечание 7. Из описания шага 3.2.1 вытекает, что процедуры вычисления новых рядов $f^{[n+1]}_0,\dots,f^{[n+1]}_m$ по рядам $f^{[n]}_0,\dots,f^{[n]}_m$ могут выполняться параллельно. 3.2.2. Построение полиномов Эрмита–Паде для мультииндекса $\mathbf k^{[n]}\in\mathbb Z_{+}^{m+1}$ (см. (3.27)) при $n\geqslant m-1$Построение полиномов Эрмита–Паде естественным образом разбивается на несколько шагов. Начальный шаг итерации ($n=0$). Полагаем
$$
\begin{equation*}
\vec{A}_{m+1}^{\,[0]}:=(0,0,0,\dots,0,1,a_1^{[0]})\in\mathbb C^{m+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
$1$-й шаг итерации ($n=1$). Полагаем
$$
\begin{equation*}
\vec{A}_2^{\,[1]}:=(a_m^{[1]},a_m^{[1]}a_m^{[0]},0,0,\dots,0,0,z)\in\mathbb C^{m+1},
\end{equation*}
\notag
$$
для $j=3,\dots,m+1$ полагаем
$$
\begin{equation*}
\vec{A}_j^{\,[1]}:=(0,\dots,0, \underbrace{1,a_{m+2-j}^{[1]}+a_{m+3-j}^{[0]},a_{m+2-j}^{[1]}a_{m+2-j}^{[0]}}_{j-2,\,\,j-1,\,\,j}, 0,\dots,0)\in\mathbb C^{m+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
$(n\,{+}\,1)$-й шаг итерации ($n\geqslant m-1$). Полагаем $\ell:=(n-(m-1)) (\operatorname{mod}m+1)\in\{0,\dots,m\}$, находим $k$ из соотношения $n-(m-1)=(m+1)k+\ell$ (имеем $\ell=0,\dots,m$, $k:=(n-(m-1)-\ell)/(m+1)\in\mathbb Z_{+}$, $k=0,1,\dots$). Полагаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathbf k^{[n]} :=(\underbrace{k+1,\dots,k+1}_{\ell},\underbrace{k,\dots,k}_{m+1-\ell})\in\mathbb Z_{+}^{m+1}, \\ \vec{A}_2^{\,[n+1]}:=a_m^{[n+1]}\vec{A}_2^{\,[n]}+z\vec{A}_{m+1}^{\,[n-1]}, \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
для $j=3,\dots,m+1$ полагаем
$$
\begin{equation*}
\vec{A}_j^{\,[n+1]}:=a_{m+2-j}^{[n+1]}\vec{A}_j^{\,[n]}+\vec{A}_{j-1}^{\,[n]}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда при всех $n\geqslant m-1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\vec{A}_{m+1}^{\,[n]}{}^{\mathsf T\!}\vec{f}=O(z^{n+1}),
\end{equation*}
\notag
$$
и вектор $\vec{Q}_{\mathbf k^{[n]}}(\vec{f}): =(A_{m+1,m+1}^{[n]},\dots,A_{m+1,1}^{[n]}) =(Q_{\mathbf k^{[n]},0},\dots,Q_{\mathbf k^{[n]},m})$ – вектор полиномов Эрмита–Паде 1-го типа для вектора-ряда ${}^{\mathsf B}\vec{f}:=(f_0,\dots,f_m)$ и мультииндекса $\mathbf k^{[n]}=(k_0,\dots,k_m)$, где $k_j= \operatorname{deg}{A_{m+1,m+1-j}^{[n]}}$, $j=0,\dots,m$, и порядок касания равен
$$
\begin{equation*}
|\mathbf k^{[n]}|+m=\sum_{j=0}^m \operatorname{deg}{A}_{m+1,m+1-j}^{[n]}+m=n+1
\end{equation*}
\notag
$$
(мультииндекс $\mathbf k^{[n]}$ однозначно определяется по заданному числу $n\geqslant m-1$; см. (3.27)).
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{IkoSue21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|