| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) Лагранжевы циклы Миронова в алгебраических многообразиях Н. А. Тюринab a Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, г. Дубна, Московская обл. b Международная лаборатория зеркальной симметрии и автоморфных форм, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9407 
Реферативные базы данных:
      Настоящая работа обобщает результат А. Е. Миронова, предложившего в статье [1] конструкцию минимальных и гамильтоново минимальных лагранжевых подмногообразий (возможно, с самопересечениями) в комплексном $\mathbb{C}^n$ и проективном $\mathbb{C} \mathbb{P}^n$ пространствах. Оказывается, такие лагранжевы подмногообразия, в дальнейшем называемые нами циклами Миронова, можно построить в любом алгебраическом многообразии $M$, допускающем вещественную структуру (или антиголоморфную инволюцию) с вещественной частью $M_{\mathbb{R}} \subset M$ половинной размерности и действие тора $T^k$, трансверсальное этой вещественной структуре. В этот класс алгебраических многообразий попадают комплексные квадрики, многообразия Грассмана, многообразия флагов и многое другое, так что в результате мы получаем достаточно большой круг новых примеров лагранжевых подмногообразий в алгебраических многообразиях. Напомним, что любое алгебраическое многообразие по самому своему определению допускает существование согласованной симплектической структуры, и классификация допускаемых лагранжевых подмногообразий является самостоятельной важной задачей, вводящей инварианты нового типа. В качестве наивного примера, связывающего проблему минимальности с лагранжевой геометрией, можно указать на тот факт, что лагранжевы вложения бутылки Клейна в алгебраическую поверхность становятся реализуемыми после раздутия поверхности, при этом проективная плоскость таких лагранжевых вложений не допускает. С другой стороны, общая идеология зеркальной симметрии исходит из сравнения алгебраической и лагранжевой геометрий зеркальных партнеров (см., например, [2]), в частности, зеркальным аналогом стабильного векторного расслоения выступает лагранжево подмногообразие со вспомогательной структурой, и как полвека назад важным предметом была геометрия векторных расслоений, так сегодня важным предметом выступает лагранжева геометрия алгебраических многообразий, в том числе – классификация допустимых типов. В то же время основная цель работы [1] – построение примеров гамильтоново минимальных подмногообразий и минимальных подмногообразий – в наших рассмотрениях становится отдельной задачей, поскольку она имеет смысл только для алгебраических многообразий, допускающих метрики Кэлера–Эйнштейна, поэтому мы посвятим этому вопросу отдельную работу. Пусть компактное симплектическое многообразие $(M, \omega)$ вещественной размерности $2n$ допускает гамильтоново действие $k$-мерного тора с отображениями моментов $\mu_1, \dots, \mu_k$. Функции $\mu_i\colon M\,{\to}\,\mathbb{R}$ коммутируют относительно стандартной скобки Пуассона, а также являются почти всюду алгебраически независимыми, т.е. детерминантальное подмножество $\Delta\,{=}\,\{X_{\mu_1}\,{\wedge}\,\cdots\,{\wedge}\,X_{\mu_k}\,{=}\,0\}\,{\subset}\,M$, в точках которого вырождается система гамильтоновых векторных полей $X_{\mu_i}$, имеет положительную коразмерность (см., например, [3]). В предыдущих работах (см., например, [2]) мы приводили примеры того, как строить лагранжевы подмногообразия и целые слоения: для этого использовались конструкции псевдоторической геометрии, обобщающей торическую геометрию. В торическом случае имеется выделенное множество лагранжевых торов, возникающих как торы Лиувилля в соответствующих вполне интегрируемых системах. Однако многообразие Грассмана $\operatorname{Gr} (1, 3)$ не является торическим, но при этом допускает существование неполного набора “первых интегралов” $F_1, F_2, F_3$. В самом деле, проективное пространство $\mathbb{C} \mathbb{P}^3$ является торическим многообразием, и если зафиксировать стандартный набор отображений моментов $f_1, f_2, f_3$, порождающих кэлеровы изометрии $\mathbb{C} \mathbb{P}^3$, то, поскольку это действие сохраняет проективные прямые, этим порождается естественное $T^3$-действие на $\operatorname{Gr}(1, 3)$. Это действие гамильтоново для кэлеровой структуры, порождаемой плюккеровым вложением $\operatorname{Gr} (1, 3)\,{\hookrightarrow}\, \mathbb{C} \mathbb{P}^5$ и ограничением на образ вложения стандартной метрики Фубини–Штуди; соответствующие отображения моментов $F_1, F_2, F_3$ могут быть явно выписаны в грассмановых координатах; см. [4]. Таким же образом неполный набор “первых интегралов” может быть определен на грассмановом многообразии $\operatorname{Gr} (1, n)$: стандартное действие $T^n$ на проективном пространстве $\mathbb{C} \mathbb{P}^n$ порождает соответствующее естественное действие на множестве проективных прямых, откуда имеем естественное гамильтоново $T^n$-действие на грассманиан $\operatorname{Gr}(1, n)$, реализованный как $2(n-1)$-мерное подмногообразие в проективном пространстве $\mathbb{C} \mathbb{P}^{(n+1)n/2}$, снабженном стандартной метрикой Фубини–Штуди. В то же время многообразие Грассмана допускает естественные вещественные структуры (антиголоморфные инволюции): образ плюккерова вложения есть вещественное подмногообразие относительно стандартной структуры $\sigma\colon [z_0: \ldots : z_N]\,{\to}\,[\overline z_0: \ldots : \overline z_N]$, откуда, в частности, имеем выделенное лагранжево подмногообразие $\operatorname{Gr}_{\mathbb{R}}(1, n)\subset \operatorname{Gr}(1, n)$; см. [4]. В таких случаях возможна следующая схема построения новых лагранжевых подмногообразий. Рассмотрим совместное множество уровней
$$
\begin{equation*}
N(c_1, \dots, c_k)=\{\mu_1=c_1, \dots, \mu_k=c_k\} \subset M.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда если найдется изотропное подмногообразие $S_0 \subset N(c_1, \dots, c_k)$ такое, что $\Delta \cap S_0=\varnothing$ и $X_{\mu_i}(p)$ трансверсально $T_p S_0$ в каждой точке $p \in S_0$ для каждого $i=1, \dots, k$, то верно следующее утверждение.
Лемма. Торическое действие $T^k$ на подмногообразие $S_0$, порождаемое отображениями моментов $\mu_1, \dots, \mu_k$, определяет лагранжево (возможно, с самопересечениями) подмногообразие $T(S_0) \subset M$. Доказательство. В самом деле, касательное пространство $T_{\varphi^{\mathrm t}_{T^k} (p)} T(S_0)$ в произвольной точке $\varphi(p)$, полученной сдвигом вдоль потока $\varphi^{\mathrm t}_{T^k}$, индуцируемого гамильтоновым действием тора, есть прямая сумма линейной оболочки гамильтоновых векторных полей $\langle X_{\mu_1}, \dots, X_{\mu_k}\rangle$ и изотропного подпространства $T_p S_0$, сдвинутого гамильтоновым действием. Так как поток, индуцируемый $X_{\mu_i}$, сохраняет лагранжевость, то нам достаточно рассмотреть эту прямую сумму в точках самого $S_0$. Для любой такой точки оба прямых слагаемых изотропны по условию, симплектическая ортогональность $X_{\mu_i}(p)$ компоненте $T_p S_0$ следует из того, что $\mu_i|_{S_0}=\mathrm{const}$, откуда следует лагранжевость подпространства $T_{\varphi (p)} T(S_0)$.
При этом возможна следующая ситуация: пусть действие $T^k$ на отдельной точке $p\,{\in}\,S_0$ доставляет набор точек $T^k(p_0)\,{\ni}\,\{p_1,\dots, p_k\}$, так что множество $\{p_0, \dots, p_k\}$ есть пересечение $k$-мерного тора $T(p_0)$ и $S_0$ (из компактности $M$ и всех подмногообразий и из трансверсальности $X_{\mu_i}$ и $S_0$ следует конечность такого множества); тогда в каждой из точек $p_i$, $1 \leqslant i \leqslant k$, имеем пару подпространств $T_{p_i} S_0$, $\mathrm d \varphi^{\mathrm t}_{T^k}(T_{p_0})$, которые в общем случае могут не совпадать. Нетрудно видеть, что если для каждой $p_0 \in S_0$ порождаемые $T^k$-действием подпространства $\mathrm d \varphi^{\mathrm t}_{T^k}(T_{p_0})$ совпадают с $T_{p_i} S_0$, то в результате нашей конструкции получается гладкое лагранжево подмногообразие $T(S_0)$. В противном случае получаем или лагранжево погружение, или лагранжево подмногообразие с особенностями. Лемма доказана. В частности, если для каждой точки $p \in S_0$ малый $k$-мерный тор $T(p)$ пересекается с $S_0$ в единственной точке, то $T(S_0)$ – гладкое лагранжево подмногообразие. Заметим также, что условие $\Delta \cap S_0=\varnothing$ может быть ослаблено до следующего: пересечение $\Delta \cap S_0$ имеет положительную коразмерность в $S_0$; в этом случае $T(S_0)$ может иметь особенности, но, как мы увидим ниже, далеко не всегда. Возникает следующий вопрос: как в ситуации $(M, \omega, \mu_1, \dots, \mu_k)$, представленной выше, найти в совместных множествах уровней $N(c_1, \dots, c_k)$ запас изотропных подмногообразий, подходящих для достраивания до лагранжевых подмногообразий во всем $M$? Один из возможных способов следующий: пусть в $(M, \omega)$ уже имеется лагранжево подмногообразие $\widetilde S \subset M$, трансверсальное торическому действию, порождаемому $\mu_1, \dots, \mu_k$. Тогда для произвольного набора значений $(c_1, \dots, c_k)$ отображений моментов пересечение $N(c_1, \dots, c_k) \cap \widetilde S$ есть изотропное (возможно, негладкое) подмногообразие: в точках $\Delta \cap \widetilde S$ размерность “подскакивает” в зависимости от ранга системы дифференциалов $\langle \mathrm d \mu_1, \dots, \mathrm d \mu_k\rangle$, но при этом возникает следующий эффект. В точке $p \in \Delta \cap S_0$ торическое $k$-действие вырождается, скажем, до $(k-1)$-действия, но из-за вырождения линейной комбинации дифференциалов $\langle\mathrm d \mu_1, \dots, \mathrm d \mu_k\rangle$ соответствующая компонента в $S_0$ имеет меньшую коразмерность, и торическое действие достраивает эту компоненту до $n$-мерного подмногообразия (возможно, с особенностями), при этом такое многообразие является лагранжевым погружением. Замечание 1. Допуская некоторую вольность речи, преобразование имеющегося лагранжева подмногообразия можно назвать перестройкой лагранжева подмногообразия. Перестройка меняет как топологический тип лагранжева подмногообразия, так, возможно, и класс гомологий, задаваемый им. При этом нетрудно видеть, что построенный в результате лагранжев цикл по определению полностью содержится в $N(c_1, \dots, c_k)$ и инвариантен относительно гамильтонова действия каждого из отображений моментов $\mu_i$. Естественным источником лагранжевых подмногообразий, заведомо существующих во многих случаях и трансверсальных торическому действию, являются вещественные части алгебраических многообразий. В качестве примера процитируем [1]: пусть $M=\mathbb{C}^n$ снабжено стандартной кэлеровой формой $\Omega$; тогда произвольный набор функций вида
$$
\begin{equation*}
f_i=\sum_{j=1}^n \lambda_{ij}|z_j|^2, \qquad i=1, \dots, k,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda_{ij} \in \mathbb{Z}$ и матрица $\Lambda=(\lambda_{ij} )$ имеет ранг $k$, индуцирует действие $k$-мерного тора на $M$. Гамильтоново действие каждой функции $f_i$ соответствует применению оператора $\widehat F_i=\operatorname{diag} (e^{i \lambda_{i1}t}, \dots, e^{i \lambda_{ik}t})$ к точке $(z_1, \dots, z_n)$ на $M$. Возьмем вещественную часть $M$, инвариантную относительно стандартной инволюции $\sigma\colon (z_1, \dots, z_n) \to (\overline z_1, \dots, \overline z_n)$, которая очевидным образом есть $\mathbb{R}^n \subset \mathbb{C}^n$, и ограничим на нее набор отображений моментов $f_1, \dots, f_k$. В вещественных координатах $(x_1, \dots, x_n)$ таких, что $z_i=x_i+i y_i$, функции $f_i$ превратятся в квадратичные вещественные функции (ср. с формулой (2) из [1]); следовательно, подмногообразие из работы [1] есть в точности $N(c_1, \dots, c_k) \cap \widetilde S$ в нашей терминологии, если в качестве $\widetilde S \subset M$ мы берем вещественную часть $M_{\mathbb{R}}=\mathbb{R}^n \subset \mathbb{C}^n= M$. Очевидным образом, торическое действие, порождающее $n$-мерное подмногообразие во всем $\mathbb{C}^n$ в [1], идентично представленному выше.
Таким образом, циклы Миронова возникают в случае, когда лагранжево подмногообразие $\widetilde S \subset M$ есть вещественная часть относительно антиголоморфной инволюции, трансверсальной торическому действию. Перейдем к общей формулировке. Пусть $X$ – компактное односвязное алгебраическое многообразие. С вещественной точки зрения это означает, что $X$ снабжено интегрируемой комплексной структурой $I$ и очень обильным голоморфным линейным расслоением $L \to X$, (неоднозначно) определяющим кэлерову форму $\omega$ на $X$ такую, что $[\omega]=c_1(L) \in H^2(X, \mathbb{Z})$. Пусть кэлерова структура $(I, \omega, g)$ допускает дейcтвие $k$-мерного тора $T^k$ кэлеровыми изометриями, натянутое на отображения моментов $\mu_1, \dots, \mu_k$ таких, что гамильтоновы векторные поля $X_{\mu_i}$ являются киллинговыми для метрики $g$. Пусть также имеется антиголоморфная инволюция $\sigma\colon X \to X$, согласованная с кэлеровой формой, так что $\sigma^* \omega=- \omega$. Назовем антиголоморфную инволюцию $\sigma$ трансверсальной $T^k$-действию, если в вещественных точках имеет место $X_{\mu_i}(x) \in T_x X_{\mathbb{R}}\in T_x$, если и только если $X_{\mu_i}(x)=0$. В частности, мы называем $T^k$-действие ортогональным антиголоморфной инволюции $\sigma\colon X \to X$, если, более того, $\mathrm d \sigma (X_{\mu_i})=- X_{\mu_i}$ для каждого $i=1, \dots, k$; из этого условия, очевидно, следует, что в каждой точке $X_{\mathbb{R}}$ гамильтоново поле $X_{\mu_i}$ или трансверсально $X_{\mathbb{R}}$, или обращается в нуль.Более явно условие ортогональности $T^k$-действия и антиголоморфной инволюции может быть выписано при вложении $\varphi\colon X \hookrightarrow \mathbb{C} \mathbb{P}^N$ полным линейным рядом $|L|$: в этом случае $\omega$ есть подъем $\varphi^* \Omega_{\mathrm{FS}}$ стандартной кэлеровой формы метрики Фубини–Штуди, и в подходящих координатах $[z_0: \ldots : z_N]$ отображения моментов $\mu_i$ имеют вид $\varphi^* F_i$, где
$$
\begin{equation*}
F_i=\frac{\sum_{j=0}^N \lambda_{ij} |z_j|^2}{\sum_{j=0}^N |z_j|^2}, \qquad i=1, \dots, k,
\end{equation*}
\notag
$$
а антиголоморфная инволюция $\sigma=\varphi^* \sigma_0$ есть подъем стандартной $\sigma_0\colon [z_0: \ldots : z_N] \to [\overline z_0: \ldots : \overline z_N]$ при условии вещественности образа $\varphi(X)$ в $\mathbb{C} \mathbb{P}^N$.
Наши рассуждения подытоживает следующая Теорема. Пусть $X$ – компактное односвязное алгебраическое многообразие с кэлеровой формой $\omega$, индуцируемой поляризацией $L \to X$, допускающее существование гамильтонова $T^k$-действия, индуцируемого отображениями моментов $\mu_1, \dots, \mu_k$, и антиголоморфной инволюции $\sigma\colon X \to X$, согласованной с $\omega$. Если $T^k$-действие трансверсально $\sigma$, то $(X, \omega)$ как симплектическое многообразие допускает существование семейств $\mathbb{L}_l$ лагранжевых подмногообразий, как гладких, так и с самопересечениями, порождаемых торическим $T^l$-действием ($l=1, \dots, k$). Мы называем все такие подмногообразия циклами Миронова, поскольку их конструкция есть естественное обобщение основной конструкции из [1]. Прежде всего, заметим, что в представленных выше условиях конструкция может быть применена не к полному $k$-мерному тору, а к любому подтору размерности $l < k$, натянутому на любой поднабор $\mu_{i_1}, \dots, \mu_{i_l}$ отображений моментов. В этом случае мы различаем семейства циклов Миронова, вводя для них обозначения $\mathbb{L}_l$ в зависимости от “уровня” $l$. В том числе естественно полагать $\mathbb{L}_0$ состоящим из единственного элемента $X_{\mathbb{R}}$. При этом доказательства существования циклов Миронова разных уровней идентичны. Доказательство теоремы. Оно опирается на лемму, представленную выше: рассмотрим сначала случай общего набора значений $(c_1, \dots, c_k)$ отображений моментов $\mu_i$. Напомним, что согласно классическому результату М. Атьи (см. [3]) совокупное отображение (отображение “неполного” действия)
$$
\begin{equation*}
F_{\mathrm{act}}=(\mu_1, \dots, \mu_k)\colon X \to P_X \subset \mathbb{R}^k
\end{equation*}
\notag
$$
в качестве образа имеет выпуклый многогранник $P_X$; более того, образом детерминантального множества $\Delta \subset X$ будет объединение границы $P_X$ и некоторого конечного набора стенок так что каждая $H_i\,{\subset}\,P_X$ имеет размерность не больше $k\,{-}\,1$. Отсюда следует, что для общего набора значений $(c_1, \dots, c_k) \in \operatorname{Int} P_X$ совместное множество уровней $N(c_1, \dots, c_k)$ не пересекается с $\Delta$, откуда следует, что пересечение $N(c_1, \dots, c_k) \cap X_{\mathbb{R}}=S_0(c_1, \dots, c_k)$ есть гладкое изотропное подмногообразие в $N(c_1, \dots, c_k)$, трансверсальное гамильтоновым полям $X_{\mu_i}$ в каждой своей точке. Применяя лемму, получаем соответствующее лагранжево погружение $T(S_0(c_1, \dots, c_k)) \subset X$. Топологический тип этого подмногообразия зависит от следующего наблюдения: ортогональное действие $T^k$ разбивает $S_0(c_1, \dots, c_k)$ на классы эквивалентности точек (“дискретные орбиты”), лежащих на одном и том же малом $k$-мерном торе: и $T(S_0(c_1, \dots, c_k))$ естественно изоморфно $T^k$-расслоению над факторпространством $S_0(c_1, \dots, c_k)\,{/}\sim$; такое расслоение a priori может быть топологически нетривиально. Заметим при этом, что для каждой компоненты связности дополнения $\operatorname{Int} P_X \setminus \bigcup_{i=1}^d H_i$ топологические типы $S_0(c_1, \dots, c_k)$ могут быть различными, однако наиболее общим ответом является топологический тип $S^{n-k}$ в ориентируемом случае; таким образом, для произвольного односвязного алгебраического многообразия ожидаемым является существование циклов Миронова вида $(T^i \times S^{n-i})/ \Gamma$ для $i\leqslant k$, где $\Gamma$ – некоторая конечная группа. Теорема доказана. Далее, как уже отмечалось выше, для необщих наборов значений мы также будем получать лагранжевы подмногообразия, но уже, возможно, с самопересечениями. Пусть $(c_1, \dots, c_k) \in H_i$, так что $N(c_1, \dots, c_k)$ содержит непустое подмножество $\Delta \cap N(c_1, \dots, c_k)$ с минимальным вырождением. Тогда пересечение $X_{\mathbb{R}} \cap N(c_1, \dots, c_k)$ может содержать нетрансверсальный страт $K_1 \subset S_0(c_1, \dots, c_k)$ большей размерности, касательное пространство к которому моделируется изотропным подпространством, лежащим в $T X_{\mathbb{R}}$. В то же время в точках $K_1$ действие $k$-мерного тора редуцируется до $(k-1)$-мерного, откуда получаем $n$-мерное подмногообразие $T(S_0(c_1, \dots, c_k)) \subset X$ с самопересечениями. Аналогично рассматривается и случай произвольных вырождений. Замечание 2. Представленная конструкция цикла Миронова $T(S_0(c_1, \dots, c_k))$ предполагает следующие естественные деформации как лагранжева подмногообразия. Во-первых, выбор данных $(c_1, \dots, c_k)$ в $\operatorname{Int} P_X$, близких к фиксированным, позволяет построить $k$-мерное семейство непересекающихся лагранжевых подмногообразий: как было показано в [2], такие деформации не могут быть гамильтоновыми (в этом же удостоверяет и реализация значений $(c_1, \dots, c_k)$ как периодов $T(S_0(c_1, \dots, c_k))$). С другой стороны, естественной является и деформация вещественной части $X_{\mathbb{R}} \subset X$, если рассмотреть малую вариацию антиголоморфной инволюции $\sigma$, задаваемую инфинитезимальной кэлеровой изометрией: в этом случае периоды сохраняются и индуцируемая деформация цикла Миронова является гамильтоновой. Пример. Рассмотрим многообразие Грассмана $\operatorname{Gr}(1, 3)$ проективных прямых в $\mathbb{C} \mathbb{P}^3$. Так как проективное пространство является торическим многообразием и торическое действие естественно переносится на множество прямых, то $\operatorname{Gr}(1, 3)$ допускает естественное $T^3$-действие. С другой стороны, на многообразии $\operatorname{Gr}(1, 3)$ имеются антиголоморфные инволюции, согласованные с торическим действием и порождаемые стандартными антиголоморфными инволюциями на исходном $\mathbb{C} \mathbb{P}^3$. Зафиксируем однородные координаты $[z_0: \ldots : z_3]$ на $\mathbb{C} \mathbb{P}^3$ и рассмотрим тройку отображений моментов вида Для индуцируемых отображений моментов $\mu_1, \dots, \mu_3$ на $\operatorname{Gr}(1, 3)$ нетрудно найти детерминантальное множество $\Delta$: оно состоит в точности из тех прямых в $\mathbb{C} \mathbb{P}^3$, на которых гамильтоновы действия, порождаемые моментами $f_i$, становятся зависимыми. Например, если прямая содержится в плоскости $\{z_i=0\}$, то очевидным образом на ней $T^3$-действие вырождается; еще один случай вырождения – это когда прямая проходит через вершину базисного симплекса, именно эти четыре $\alpha$-плоскости и четыре $\beta$-плоскости соответствуют $\partial P_{\operatorname{Gr}(1,3)}$. Но кроме этого множества торическое действие вырождается еще на прямых, пересекающих противоположные “ребра” базисного симплекса: в самом деле, если одна точка $p_1$ лежит на прямой $\{z_0=z_1=0\}$, а другая точка $p_2$ лежит на прямой $z_3=z_4=0$, то под $T^3$-действием каждая из них описывает окружность, поэтому на прямой $\langle p_1, p_2\rangle$ действие также вырождается. Из этих рассуждений нетрудно вывести, что $P_{\operatorname{Gr}(1,3)} \subset \mathbb{R}^3$ есть правильный октаэдр, а образ $\Delta$, помимо его границы, составляют три диагональные плоскости, разделяющие октаэдр на пару четырехгранных пирамид. Все наши рассуждения явно формализуются: рассмотрим плюккерово вложение $\operatorname{Gr}(1, 3) \hookrightarrow \mathbb{C} \mathbb{P}^5$, образом которого является квадрика $Q=\{w_0 w_1-w_2 w_3+w_4 w_5=0\}$, при этом подходящие отображения моментов имеют вид
$$
\begin{equation*}
F_i=\frac{|w_{2i -2}|^2-|w_{2i -1}|^2}{\sum_{j=0}^5 |w_j|^2},\qquad i=1, 2, 3.
\end{equation*}
\notag
$$
Выделим подмножество $B=\{w_0 w_1=w_2 w_3=w_4 w_5=0\} \subset Q$, которое состоит в точности из $\alpha$- и $\beta$-плоскостей, описанных выше. Нетрудно видеть, что $F_{\mathrm{act}}=(F_1, F_2, F_3)$ отображает $Q$ в октаэдр $P_Q \subset \mathbb{R}^3$ с вершинами $(\pm 1, 0, 0)$, $(0, \pm 1, 0)$, $(0, 0, \pm1)$, при этом $\partial P_Q$ есть в точности образ $B$. Дополнение $Q \setminus B$ может быть расслоено над проективной прямой
$$
\begin{equation*}
\psi\colon Q \setminus B \to \mathbb{C} \mathbb{P}^1 \subset \mathbb{P}(\langle t_0, t_1, t_2\rangle)
\end{equation*}
\notag
$$
по правилу $t_0=w_0 w_1$, $t_1=w_2 w_3$, $t_2=w_4 w_5$, так что $t_0-t_1+t_2 =0$ в однородных координатах $[t_0: t_1: t_2]$, при этом слои отображения $\psi^{-1}(p)=D_p \subset Q \setminus B$ сохраняются гамильтоновым действием каждой из функций $F_i$ и потому являются торическими многообразиями. Фиксируя набор значений $(c_1, c_2, c_3) \in \operatorname{Int} P_Q \subset \mathbb{R}^3$, мы выделяем в каждом слое $D_p$ трехмерный лиувиллев тор $T_p(c_1, c_2, c_3)$, за исключением следующих трех случаев: если $t_i=0$, то слой является приводимым, и для значения $c_i=0$ в этом слое трехмерный лиувиллев тор редуцируется до двумерного (заметим, что этот случай как раз соответствует диагонали октаэдра, как и отмечено выше).
С другой стороны, вещественная часть $Q_{\mathbb{R}}^0\,{\subset}\,Q\,{\setminus}\,B$ при отображении $\psi$ переходит в вещественную окружность $S^1_{\mathbb{R}} \subset \mathbb{C} \mathbb{P}^1$, на которой лежат все три вещественные точки с одной из координат, равной нулю, поэтому нам достаточно исследовать слои над этой окружностью. Так как в каждом слое мы по конструкции будем размножать вещественные точки торическим действием, натянутым на $F_1, F_2, F_3$, то можно сразу записать ответ
$$
\begin{equation*}
T(S_0(c_1, c_2, c_3))=\bigcup_{p \in S^1_{\mathbb{R}}} \{D_p \cap N(c_1, c_2, c_3)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для наборов значений $c_i$ имеются четыре случая: (общий) ни одно из $c_i$ не равно нулю; $l$ значений равны нулю, где $l =1, 2, 3$. В общем случае $D_p\,{\cap}\, N(c_1, c_2, c_3)$ – всегда лиувиллев трехмерный тор, откуда получаем $T(S_0(c_1, c_2, c_3))=T^4$. В остальных случаях мы получаем лагранжевы сферы с самопересечениями. Проиллюстрируем это случаем, соответствующим максимальному вырождению, когда $c_1=c_2=c_3=0$. Рассмотрим вещественную дугу $\gamma_{01} \subset S^1_{\mathbb{R}} \subset \mathbb{C} \mathbb{P}^1$, соединяющую точки $t_0=0$ и $t_1=0$, и запараметризуем ее так: $\gamma_{01}=[\cos^2 \theta :-\sin^2 \theta:-1]$, где $\theta$ – вещественный параметр. Совместное множество уровней $N(0,0,0)$ определено условиями $|w_0|=|w_1|$, $|w_2|=|w_3|$, $|w_4|=|w_5|$ (см. вид функций $F_i$ выше); так как описываемое нами множество $T^{01}(S_0(0, 0, 0))$ не пересекается с гиперплоскостью $\{w_5=0\}$, то мы можем положить $w_5=-1$ и перейти к аффинным координатам $W_i= {w_i}/{w_5}$, где $i=0, \dots, 4$. В аффинной системе получаем соотношения, описывающие $T^{01}(S_0(0,0,0))$, в виде
$$
\begin{equation*}
\{W_4=1,\, W_0 W_1=\cos^2 \theta,\, W_2 W_3=- \sin^2 \theta,\, |W_0|=|W_1|,\, |W_2|=|W_3|\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\theta$ – вещественный параметр. Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
T^{01}(S_0(0,0,0))=\{W_0=e^{i \varphi_1} \cos \theta,\, W_1=\overline W_0,\, W_2=i e^{i \varphi_2} \sin \theta,\, W_3=- \overline W_2\},
\end{equation*}
\notag
$$
что дает гладкую сферу $S^4$.
Все множество $T(S_0(0,0,0))$ составлено из трех таких же компонент:
$$
\begin{equation*}
T(S_0(0,0,0))=T^{01}(S_0(0,0,0)) \cup T^{12}(S_0(0,0,0)) \cup T^{20}(S_0(0, 0, 0)),
\end{equation*}
\notag
$$
каждая пара из которых пересекается по двумерному тору. Таким образом, соответствующий цикл Миронова есть тройка гладких лагранжевых попарно пересекающихся четырехмерных сфер.
Аналогичные рассуждения показывают, что при двух нулевых значениях $c_i$ мы получаем пару лагранжевых сфер, пересекающихся по паре двумерных торов, а в случае наименьшего вырождения (когда только одно $c_i$ равно нулю) мы получаем лагранжеву сферу с самопересечением по двумерному тору. Таким образом, множество $\mathbb{L}_3$ состоит из лагранжевых торов и сфер. Далее, рассмотрим гамильтоново действие на квадрике $Q$ только двух отображений моментов, скажем $F_1$ и $F_2$; тогда отображение “неполного” действия
$$
\begin{equation*}
F_{\mathrm{act}}=(F_1, F_2)\colon Q \to P_Q \subset \mathbb{R}^2
\end{equation*}
\notag
$$
имеет в качестве образа квадрат с вершинами $(\pm 1, 0), (0, \pm 1)$, причем
$$
\begin{equation*}
F_{\mathrm{act}} (\Delta)=\partial P_Q \cup H_1 \cup H_2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $H_i$ – диагонали квадрата. Покажем, что в этом случае можно реализовать $T^2 \times S^2$ как гладкое лагранжево подмногообразие.
Для этого выделим из $Q=\{w_0 w_1-w_2 w_3+w_4 w_5=0\}$ вещественную часть относительно антиголоморфной структуры $\sigma\colon w_i \to \overline w_i$. Рассмотрим вещественное преобразование однородных координат
$$
\begin{equation*}
w_{2i}=x_{2i}+x_{2i+1}, \quad w_{2i+1}=x_{2i}-x_{2i+1}, \qquad i=0, 1, 2;
\end{equation*}
\notag
$$
очевидно, что в этих новых координатах $Q_{\mathbb{R}}\,{\subset}\,Q$ описывается как множество с вещественными $x_i$. Если отнормировать $w_i$ так, что $\sum_{i=0}^5 |w_i|=1$, то
$$
\begin{equation*}
Q_{\mathbb{R}}=\biggl\{x_0^2+x_3^2+x_4^2=\frac{1}{4},\, x_1^2+x_2^2+x_5^2=\frac{1}{4}\biggr\} \cong S^2 \times S^2.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, зафиксируем пару некритических значений $c_1, c_2 \in \operatorname{Int} P_Q$ таких, что $ 0 < c_i < 1$. Тогда в предположении нормировки имеем
$$
\begin{equation*}
\{|w_0|^2-|w_1|^2=c_1\}|_{Q_{\mathbb{R}}}=\{4 x_0 x_1=c_1\} \subset Q_{\mathbb{R}}
\end{equation*}
\notag
$$
и аналогичное выражение для функции $F_2$ и значения $c_2$, откуда получаем, что множество $N(c_1, c_2) \cap Q_{\mathbb{R}}$ описывается условиями
$$
\begin{equation*}
x_0^2+x_3^2+x_4^2=\frac{1}{4}, \qquad x_1^2+x_2^2+x_5^2 =\frac{1}{4}, \qquad x_0 x_1=\frac{c_1}{4}, \qquad x_2 x_3=\frac{c_2}{4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Действие тора $T^2$, натянутого на $F_1, F_2$, индуцирует “дискретные орбиты”, состоящие из сопряженных точек $[\pm x_0\,{:}\,\pm x_1\,{:}\,\pm x_2\,{:}\,\pm x_3\,{:}\,x_4\,{:}\,x_5]$, поэтому в случае $c_1, c_2 \neq 0$ действие свободно, и соответствующее факторпространство может быть описано добавлением условий $x_0> 0$, $x_2 >0$, откуда видно, что это множество изоморфно двумерной сфере. Отсюда для положительных некритических значений $c_i$ получаем, что $\mathbb{L}_2$ содержит гладкие лагранжевы вложения топологического типа $T^2 \times S^2$.
Аналогично, для случая единственного отображения моментов $F_1$ имеем в качестве $P_Q$ отрезок $[-1, 1]$ с единственным внутренним критическим значением $c_1\,{=}\,0$. Для некритического положительного значения $0\,{<}\,c_1\,{<}\,1$ имеем
$$
\begin{equation*}
N(c_1) \cap Q_{\mathbb{R}}=\biggl\{x_0^2+w_3^2+x_4^2=\frac{1}{4},\, x_1^2+x_2^2+x_5^2=\frac{1}{4},\, x_0 x_1=\frac{c_1}{4}\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
что дает пару трехмерных сфер $S^3_+$ и $S^3_-$, где знаками различаются случаи положительных и отрицательных пар $x_0, x_1$. Эти сферы сопряжены торическим действием, порождаемым $F_1$; таким образом, $\mathbb{L}_1$ содержит гладкое лагранжево вложение топологического типа $S^3 \times T^1$.
Заметим, что подобный анализ может быть реализован для случая произвольной комплексной квадрики $Q \subset \mathbb{C} \mathbb{P}^n$ полного ранга, при этом ожидаемым ответом является следующий: любой из топологических типов $T^k\,{\times}\,S^{n-k-1}$ реализуется гладким лагранжевым вложением. Однако более интересным и трудным случаем является случай многообразия Грассмана $\operatorname{Gr}(1, n)$ прямых в $\mathbb{C} \mathbb{P}^n$. Покажем, что конструкция циклов Миронова применима в этом случае. Покажем, что многообразие Грассмана $\operatorname{Gr}(1, n)$ обладает торическим действием $T^n$, ортогональным естественной вещественной структуре, и поэтому наша конструкция циклов Миронова хорошо применима для этого многообразия. Напомним (см. [4]) реализацию грассманиана в терминах плюккерова вложения. В проективном пространстве $\mathbb{P}(\Lambda^2 \mathbb{C}^{n+1})$ фиксируем набор однородных координат $w_{i, j}$, $0 \leqslant i < j \leqslant n$, и для каждого набора $0 \leqslant i_1 < i_2 < i_3 < i_4 \leqslant n$ индексов имеем уравнение $w_{i_1, i_2} w_{i_3, i_4}-w_{i_1, i_3} w_{i_2, i_4}+w_{i_1, i_4} w_{i_2, i_3}=0$, определяющее квадрику $Q(i_1, \dots, i_4)$; совокупность всех этих уравнений определяет образ $\operatorname{Gr}(1, n) \subset \mathbb{P}(\Lambda^2 \mathbb{C}^{n+1})$. При этом поскольку вещественный грассманиан $\operatorname{Gr}_{\mathbb{R}}(1, n)$ определен в точности теми же формулами, только над $\mathbb{R}$, то естественная антиголоморфная инволюция $\sigma\colon [ w_{i, j}] \mapsto [\overline w_{i, j}]$ имеет в качестве неподвижного множества $\operatorname{Gr}_{\mathbb{R}}(1, n)$. Действие $n$-мерного тора явно описывается в плюккеровых координатах: рассмотрим гладкие функции вида
$$
\begin{equation*}
F_k=\frac{\sum_{j=0, \dots, \widehat{i}, \dots, n} |w_{k, j}|^2}{\sum_{i, j} |w_{i, j}|^2}, \qquad k=0, \dots, n;
\end{equation*}
\notag
$$
нетрудно видеть, что сумма всех $F_i$ тождественно равна 2, но любой поднабор длины $n$ доставляет множество коммутирующих отображений моментов, алгебраически независимых почти всюду. Гамильтоново действие каждой $F_k$ на точку $[w_{i,j}]$ таково: если $i$ или $j$ равно $k$, то $w_{i,j} \mapsto e^{it} w_{i, j}$, в противном случае действие тривиально. Отсюда следует, что каждая квадрика $Q(i_1, \dots, i_k)$ инвариантна относительно гамильтонова действия $F_k$: если $k=i_l$, то в каждом из трех мономов уравнения $Q(i_1, \dots, i_4)$ найдется равно по одной переменной с одним и тем же действием $w_{i, j} \mapsto e^{it} w_{i, j}$, поэтому уравнение в целом остается тем же для любого $t$; в противном случае $F_k$ на все переменные действует тривиально.
Нетрудно видеть, что $T^n$-действие на $\operatorname{Gr} (1, n)$, описанное выше, ортогонально вещественной части $\operatorname{Gr}_{\mathbb{R}}(1, n)$. Следовательно, для достаточно общих значений, скажем первых $n$ отображений моментов $F_0, \dots, F_{n-1}$, можно ожидать: 1) гладкости пересечения
$$
\begin{equation*}
S_0(c_0, \dots, c_{n-1})= \operatorname{Gr}_{\mathbb{R}}(1, n) \cap \{F_0=c_0,\dots,F_{n-1}=c_{n-1}\};
\end{equation*}
\notag
$$
2) регулярности факторизации $S_0 (c_0, \dots, c_{n-1})$ по дискретным орбитам, порождаемым действием $T^n$. В итоге естественно предполагать, что список реализуемых лагранжевыми циклами Миронова топологических типов также достаточно длинный, а именно, мы закончим эту работу следующей гипотезой. Гипотеза. Многообразие Грассмана $\operatorname{Gr}(1, n)$, снабженное симплектической структурой, индуцируемой плюккеровым вложением, допускает существование гладких лагранжевых циклов Миронова не менее $n$ различных топологических типов. Как было показано в примере, эта гипотеза верна при $n=3$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tyu21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|