| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Критические процессы Гальтона–Ватсона со счетным множеством типов частиц и бесконечными вторыми моментами В. А. Ватутинa, Е. Е. Дьяконоваa, В. А. Топчийbc a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва b Математический центр в Академгородке, г. Новосибирск c Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9402 
Реферативные базы данных:
     § 1. Определение процесса и основные свойства его матрицы среднихМы рассматриваем неразложимый ветвящийся процесс Гальтона–Ватсона $\mathbf{Z}(n):=(Z_{j}(n))_{j\in\mathbb{N}}$ со счетным множеством типов частиц, помеченных числами $j\in\mathbb{N}:=\{1,2,\dots \}$. Компонента $Z_{j}(n)$, $n\in\mathbb{N}_{0}:= \mathbb{N}\cup\{0\}$, вектора $\mathbf{Z}(n)$ обозначает число частиц типа $j$ в процессе в момент $n$. Будем использовать обозначение $\delta_{ij}$ для символа Кронекера и обозначение $\mathbf{e}_{i}:=(\delta_{ij})_{j\in\mathbb{N}}$ для вектора, $i$-я компонента которого равна единице, а остальные равны нулю. Для описания эволюции интересующего нас ветвящегося процесса, начинающегося в момент $0$ с совокупности частиц различных типов, задаваемой вектором $\mathbf{Z}(0)$, необходимо указать распределения векторов
$$
\begin{equation*}
\mathbf{Z}_{i}=\mathbf{Z}_{i}(1):=\bigl\{\mathbf{Z}(1)\mid\mathbf{Z}(0)=\mathbf{e}_{i}\bigr\} =:(Z_{ij})_{j\in \mathbb{N}}=(Z_{ij}(1))_{j\in \mathbb{N}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем предполагать, что с вероятностью 1. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\mathbf{Z}_{i}(n):=\bigl\{\mathbf{Z}(n)\mid \mathbf{Z}(0)=\mathbf{e}_{i}\bigr\} =: (Z_{ij}(n))_{j\in \mathbb{N}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предполагая, что $\mathbf{s}=(s_{j})_{j\in \mathbb{N}}\in[0,1]^{\mathbb{N}}$, введем бесконечномерные векторы
$$
\begin{equation*}
\mathbf{F}(\mathbf{s}):=(F_{i}(\mathbf{s}))_{i\in \mathbb{N}},\qquad\mathbf{F}(n;\mathbf{s}):=(F_{i}(n;\mathbf{s}))_{i\in \mathbb{N}}
\end{equation*}
\notag
$$
производящих функций числа потомков частиц процесса с компонентами
$$
\begin{equation}
F_{i}(\mathbf{s}):=\mathbb{E}\biggl[ \prod_{j\in \mathbb{N}}s_{j}^{Z_{ij}}\biggr] =:\mathbb{E}\mathbf{s}^{\mathbf{Z}_{i}}=:\sum_{\mathbf{j}\in \mathbb{N}_{0}^{\mathbb{N}}}p_{i\mathbf{j}}\mathbf{s}^{\mathbf{j}},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
$$
\begin{equation}
F_{i}(n;\mathbf{s}) :=\mathbb{E}\biggl[ \prod_{j\in \mathbb{N}}s_{j}^{Z_{ij}(n)}\biggr] =:\mathbb{E}\mathbf{s}^{\mathbf{Z}_{i}(n)},
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где для любого $\mathbf{j}=(j_{i})_{i\in \mathbb{N}}\in \mathbb{N}_{0}^{\mathbb{N}}$
$$
\begin{equation*}
p_{i\mathbf{j}}:=\mathbf{P}\bigl(\mathbf{Z}(1)=\mathbf{j}\mid \mathbf{Z}(0)=\mathbf{e}_{i}\bigr) =\mathbf{P}( \mathbf{Z}_{i}(1)=\mathbf{j}).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу предположения (1.1) эти вероятностные производящие функции определены корректно. В соответствии со свойством ветвления процесса Гальтона–Ватсона каждая частица типа $i$, принадлежащая популяции, имеет единичную продолжительность жизни и, погибая, производит (независимо от предыстории процесса и размножения остальных частиц, существующих в данный момент) случайное число потомков, описываемых вектором $\mathbf{Z}_{i}$, распределение которого задается производящей функцией $F_{i}(\mathbf{s})$. Это свойство имеет следующее описание в терминах итераций производящих функций:
$$
\begin{equation}
\mathbf{F}(n+1;\mathbf{s})=\mathbf{F}(n;\mathbf{F}(\mathbf{s)})=\mathbf{F}(\mathbf{F}(n;\mathbf{s})) \quad \text{для всех }\ n\in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где $\mathbf{F}(1;\mathbf{s}):=\mathbf{F}(\mathbf{s})$. Первичная классификация ветвящихся процессов Гальтона–Ватсона со счетным множеством типов частиц (ниже мы используем короткое обозначение ВПГВ/$\infty $ для представителей таких процессов) дается в терминах матрицы математических ожиданий
$$
\begin{equation}
\mathbf{M}:=(M_{ij})_{i,j\in \mathbb{N}}:=(\mathbb{E}Z_{ij})_{i,j\in \mathbb{N}} =\biggl(\frac{\partial F_{i}(\mathbf{s})}{\partial s_{j}}\Bigm|_{\mathbf{s}=\mathbf{1}}\biggr) _{i,j\in \mathbb{N}}.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Для детального описания этой классификации напомним ряд асимптотических свойств степеней бесконечномерных матриц с неотрицательными элементами, заимствованных из работы [1]. Сначала опишем необходимые нам свойства абстрактной матрицы $M=(m_{ij})_{i,j\in \mathbb{N}}$, где $m_{ij}\geqslant 0$ для всех $(i,j)\in \mathbb{N}^{2}$, а затем применим их к изучению ВПГВ/$\infty $ с матрицей $\mathbf{M}$, определенной в (1.5). Обозначим через $M^{n}=(m_{ij}^{(n)})_{i,j\in \mathbb{N}}$ $n$-ю степень бесконечномерной матрицы $M$. Матрица $M$ с неотрицательными элементами называется неприводимой и апериодической, если для любой пары индексов $(i,j)$ найдется число $n\in \mathbb{N}$ такое, что $m_{ij}^{(n)}>0$ и наибольший общий делитель всех тех $n\in \mathbb{N}$, для которых $m_{ij}^{(n)}>0$, равен 1. Согласно теореме A статьи [1] для неприводимой матрицы $M$ существует число $R\in [ 0,\infty )$ такое, что для любой пары индексов $(i,j)$.Параметр $R$ является общим радиусом сходимости для функций
$$
\begin{equation*}
\mathscr{M}_{ij}(z):=\sum_{n=0}^{\infty }m_{ij}^{(n)}z^{n},
\end{equation*}
\notag
$$
где $m_{ij}^{(0)}:=\delta _{ij}$, а величина $1/R$ является аналогом максимального (по модулю) собственного значения неотрицательной конечномерной матрицы. Однако оператор, соответствующий бесконечномерной матрице, не обязательно является ограниченным. Из соотношения (1.6) следует, что для любой пары $(i,j)$ ряд
$$
\begin{equation}
\mathscr{M}_{ij}(r)=\sum_{n=0}^{\infty }m_{ij}^{(n)}r^{n}
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
сходится, если $0<r<R$, и расходится, если $r>R$. Если $r=R$, то возможны оба случая. Более того, согласно теореме B работы [1] ряды $\mathscr{M}_{ij}(R)$ либо одновременно сходятся для всех пар $(i,j)$, либо одновременно расходятся для всех $(i,j)$. Кроме того, пределы всех последовательностей $\{ m_{ij}^{(n)}R^{n},\,n\geqslant 1\} $ существуют и либо
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty }m_{ij}^{(n)}R^{n}=0 \quad \text{при всех }\ (i,j)\in \mathbb{N}^{2},
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
либо
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty }m_{ij}^{(n)}R^{n}>0 \quad\text{при всех }\ (i,j)\in\mathbb{N}^{2}.
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Неприводимая матрица $M$ называется:
Теперь мы вернемся к матрицам $\mathbf{M}=(M_{ij})_{i,j\in\mathbb{N}}$ и $\mathbf{M}^{n}:=(M_{ij}^{(n)})_{i,j\in \mathbb{N}}$ для ВПГВ/$\infty$, где $M_{ij}^{(n)}:=\mathbb{E}Z_{ij}(n)$, $M_{ij}=M_{ij}^{(1)}$. Свойства неотрицательных бесконечномерных матриц, которые мы упомянули выше, позволяют ввести следующую естественную классификацию ВПГВ/$\infty$ (см., например, [2]). Определение 1. ВПГВ/$\infty $ называется докритическим (соответственно критическим, надкритическим) и невозвратным (соответственно рекуррентным, нуль рекуррентным, положительно рекуррентным) в пространстве типов, если его матрица средних $\mathbf{M}$ имеет радиус сходимости $R>1$ (соответственно $R=1$, $R<1$) и является “$R$”-невозвратной (соответственно “$R$”-рекуррентной, “$R$”-нулевой рекуррентной, “$R$”-положительно возвратной). В настоящей работе мы рассматриваем только критические ВПГВ/$\infty$. Из соотношений (1.8) и (1.9) следует, что если ВПГВ/$\infty $ критический, то элементы последовательностей $\{ M_{ij}^{(n)},\, n\geqslant 1\} $ либо стремятся к нулю при $n\to \infty $ для всех $i$ и $j$, либо имеют положительные пределы для всех $i$ и $j$. Ниже мы рассматриваем только второй случай. Если матрица $\mathbf{M}$ математических ожиданий числа потомков ВПГВ/$\infty $ неприводима и “$1$”-положительна, то (см. теорему $D$ работы [1]) существуют и притом единственные (с точностью до мультипликативной константы) левый и правый собственные векторы $\mathbf{v}:= (v_{k})_{k\in\mathbb{N}}$ и $\mathbf{u}:=(u_{k})_{k\in \mathbb{N}}$ с положительными компонентами такие, что
$$
\begin{equation}
\mathbf{vM}=\mathbf{v}, \qquad \mathbf{Mu}^{\top}=\mathbf{u}^{\top}, \qquad \mathbf{v}\mathbf{u}^{\top}= \sum_{k=1}^{\infty }v_{k}u_{k}=1, \qquad \mathbf{v1}^{\top}<\infty ,
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
и при $n\to \infty$
$$
\begin{equation}
M_{ij}^{(n)}\to \frac{u_{i}v_{j}}{\,\mathbf{v}\,\mathbf{u}^{\top}}=u_{i}v_{j}
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
для всех $(i,j)\in\mathbb{N}^{2}$. Заметим, что если $\mathbf{M}$ – конечномерная неприводимая апериодическая матрица, имеющая перронов корень, равный $1$, то согласно теореме Перрона–Фробениуса $\mathbf{M}$ имеет положительные левый и правый собственные векторы $\mathbf{v}$ и $\mathbf{u}$, удовлетворяющие соотношениям (1.10), причем условие $\mathbf{v}\mathbf{1}^{\top}<\infty$ выполняется автоматически. Для неприводимых и “$1$”-положительных бесконечномерных матриц эта оценка, вообще говоря, неверна. В настоящей работе мы требуем конечности произведения $\mathbf{v}\mathbf{1}^{\top}$, оставляя случай $\mathbf{v}\mathbf{1}^{\top}=\infty $ для будущих исследований. Введем теперь важное определение, которое включает в себя основные ограничения на свойства матрицы $\mathbf{M}$, используемые далее. Обозначим $M_{i}:=\mathbb{E}Z_{i}=\sum_{j\in \mathbb{N}}M_{ij}$. Определение 2. Будем говорить, что матрица средних $\mathbf{M}=(\mathbb{E}Z_{ij})_{i,j\in\mathbb{N}} $ критического ВПГВ/$\infty$ принадлежит классу $\mathscr{M}_{1}$, и писать $\mathbf{M}\in\mathscr{M}_{1}$, если: Будем говорить, что $\mathbf{M}$ принадлежит подклассу $\mathscr{M}_{1}^{0}\subset\mathscr{M}_{1}$, если дополнительно Ясно, что соотношения (1.10) и условие (ii) имеют следующие покомпонентные представления:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sum_{j\in \mathbb{N}}M_{ij}u_{j}=u_{i}, \qquad\sum_{j\in \mathbb{N}}v_{j}M_{ji}=v_{i}, \qquad\sum_{j\in \mathbb{N}}v_{j}u_{j}=1, \\ \sum_{j\in \mathbb{N}}v_{j}=1, \qquad\sup_{i\in \mathbb{N}}u_{i}<\infty, \qquad v_{j}u_{j}>0 \quad \forall \,j\in \mathbb{N}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Заметим, что условие (iii) имеет довольно прозрачный смысл. Его первая часть выделяет из всех критических ВПГВ/$\infty $ такие процессы, частицы всех типов в которых производят с высокой вероятностью частицы типов с относительно небольшими метками. Таким образом, наша модель в некотором смысле близка к так называемым нижним ветвящимся процессам Хессенберга (см. [3]), в которых частицы типа $i$ могут производить частицы только типов $j\leqslant i+1$. Вторая часть условия (iii) предотвращает существование очень продуктивных частиц. Нам понадобится ряд вспомогательных функций, связанных с производящими функциями ВПГВ/$\infty$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, F_{ij}(s):=\mathbb{E}s^{Z_{ij}}, \qquad Q_{i}(n;\mathbf{s}):=1-F_{i}(n;\mathbf{s})=1- \mathbb{E}\mathbf{s}^{\mathbf{Z}_{i}(n)}, \\ \mathbf{Q}(n;\mathbf{s}):=(Q_{i}(n;\mathbf{s}))_{i\in \mathbb{N}}= \mathbf{1}-\mathbf{F}(n;\mathbf{s}), \qquad\mathbf{Q}(\mathbf{s}):=\mathbf{Q}(1; \mathbf{s})=\mathbf{1}-\mathbf{F}(\mathbf{s}), \\ Q_{i}(n):=Q_{i}(n;\mathbf{0})=\mathbb{P}\bigl(\mathbf{Z}(n)\neq 0\mid \mathbf{Z}(0)=\mathbf{e}_{i}\bigr), \\ \mathbf{Q}(n):=\mathbf{Q}(n;\mathbf{0}), \qquad q(n;\mathbf{s}):=\mathbf{vQ}^{\top}(n; \mathbf{s}), \qquad q(n):=q(n;\mathbf{0}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $x\geqslant 0$ и $U=\sup_{i\in \mathbb{N}}u_{i}$ введем функцию
$$
\begin{equation}
\Phi (x):= \begin{cases} x-\mathbf{vQ}^{\top}(\mathbf{1}-x\mathbf{u}), & \text{если } 0\leqslant xU\leqslant 1, \\ x-\mathbf{vQ}^{\top}(\mathbf{0}), & \text{если } xU>1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
Теперь мы можем сформулировать основной результат работы. Теорема 1. Пусть $\{ \mathbf{Z}_{i}(n),\,i\in \mathbb{N}\} $ – критический ВПГВ/$\infty$ с матрицей средних $\mathbf{M}\in\mathscr{M}_{1}^{0}$ и где $\alpha\in(0,1]$, а функция $\ell(x)$ медленно меняется при $x\to +0$. Тогда: 1) найдется такая функция $\ell_{1}(n)$, медленно меняющаяся при $n\to \infty$, что 2) для любого $i\in\mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
Q_{i}(n)=\mathbb{P}\bigl(\mathbf{Z}(n)\neq\mathbf{0}\mid \mathbf{Z}(0)= \mathbf{e}_{i}\bigr)\sim u_{i}n^{-1/\alpha}\ell_{1}(n),\qquad n\to \infty;
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
3) для каждого вектора $\boldsymbol{\lambda}=(\lambda_{k})_{k\in \mathbb N}$ с ограниченными компонентами и каждого $i\in\mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty }\mathbb{E}\bigl[e^{-(\boldsymbol{\lambda },\mathbf{Z} (n))q(n)}\mid \mathbf{Z}(n)\neq \mathbf{0},\,\mathbf{Z}(0) =\mathbf{e}_{i} \bigr] =1-(1+(\mathbf{v},\boldsymbol{\lambda })^{-\alpha})^{-1/\alpha}.
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
В частности, для любого вектора $(z_{1},\ldots,z_{m})\in\mathbb{R}_{+}^{m}$ предел существует и не зависит от $i$.Замечание 1. Из (1.18) вытекает, что при $n\to\infty$ где Отметим, что А. Н. Колмогоров (см. [4]) был первым, кто исследовал асимптотическое поведение критических ветвящихся процессов Гальтона–Ватсона с одним типом частиц. Статью Колмогорова дополнил А. М. Яглом (см. [5]), который изучал распределение числа частиц в критическом ветвящемся процессе Гальтона–Ватсона с одним типом частиц в предположении, что такой процесс не выродился в течение длительного времени. А. Ф. Йоффе и Ф. Л. Спитцер (см. [6]) распространили эти результаты на случай неразложимых критических ветвящихся процессов Гальтона–Ватсона с несколькими типами частиц. Во всех этих работах предполагалась конечность вторых моментов законов распределения числа непосредственных потомков частиц. В. М. Золотарев (см. [7]), допуская, что дисперсия числа потомков частиц критического марковского ветвящегося процесса с непрерывным временем может быть бесконечной, нашел асимптотическое представление для вероятности невырождения такого процесса и доказал теорему ягломовского типа для этого случая. Результаты Золотарева были дополнены Р. С. Слэком в работах [8], [9], в которых он рассмотрел случай, когда производящая функция числа потомков критического ветвящегося процесса Гальтона–Ватсона с одним типом частиц имеет вид где $\alpha \in (1,2]$, а функция $\ell (x)$ медленно меняется при $x\to +0$.Теоремы Слэка были независимо и почти одновременно перенесены на случай многотипных неразложимых критических процессов В. А. Ватутиным (см. [10]) и М. И. Гольдштейном и Ф. М. Хоппе (см. [11]). Основное предположение этих двух работ – это наше условие (1.15), сформулированное в терминах критического ветвящегося процесса Гальтона–Ватсона с конечным числом типов. Таким образом, теорема 1 является естественным обобщением основных результатов статей [10] и [11] на случай ВПГВ/$\infty$. Имеется несколько опубликованных результатов, в которых рассматриваются ВПГВ/$\infty$ (см., например, [2], [3], [12]–[15]). Статья С. М. Сагитова [2] является наиболее близкой к тематике нашей работы. Сагитов проанализировал случай дробно-линейных производящих функций числа потомков частиц различных типов. Он получил наряду с другими результатами асимптотическое представление для вероятности невырождения критического ВПГВ/$\infty $ и доказал условную предельную теорему ягломовского типа для такого процесса. Теорема 1 нашей статьи обобщает упомянутый результат Сагитова в двух направлениях. Во-первых, мы рассматриваем общий вид производящих функций числа непосредственных потомков частиц и, во-вторых, мы не предполагаем конечность вторых моментов числа непосредственных потомков частиц процесса. Структура оставшейся части работы такова. В § 2 мы докажем ряд утверждений, описывающих свойства производящих функций ВПГВ/$\infty, $ и покажем, что свойство дихотомии (которое гласит, что с вероятностью $1$ популяция либо вырождается, либо ее размер стремится к бесконечности) справедливо и для процессов, удовлетворяющих условиям теоремы 1. Одним из основных допущений теоремы 1 является условие (1.15), выраженное в терминах собственных векторов $\mathbf{v}$ и $\mathbf{u}$ матрицы средних $\mathbf{M}$ и одной переменной $x$. Цель § 3 – продемонстрировать, что в нашем случае исследование свойств итераций производящих функций численности потомства частиц, зависящих от счетного числа аргументов, может быть сведено к анализу некоторой функции, которая зависит только от одного аргумента. Для этого мы докажем теорему 2, показывающую, что функции $Q_{i} (n;\mathbf{s})$ могут быть хорошо аппроксимированы функциями $u_{i}q (n;\mathbf{s})$ для всех $i\in \mathbb{N}$. Это приближение позволяет нам завершить в § 4 доказательство теоремы 1 с помощью методов, близких к тем, которые использовались в работе [10] для случая марковских ветвящихся процессов с конечным числом типов частиц. § 2. Свойства производящих функцийВ этом параграфе мы докажем ряд утверждений, описывающих свойства производящих функций законов распределения числа непосредственных потомков частиц в критическом ВПГВ/$\infty$. Некоторые из этих утверждений очевидны для процессов Гальтона–Ватсона с конечным числом типов частиц. Однако для случая процессов со счетным множеством типов частиц доказательство этих утверждений требует определенных ограничений и усилий. Первым результатом такого рода является следующая лемма. Лемма 1. Если $\mathbf{M}\in\mathscr{M}_{1}$, то Если $\mathbf{M}\in \mathscr{M}_{1}^{0}$, то найдется константа $C\in (0,\infty )$ такая, что для всех $i$ и $n$, принадлежащих множеству $\mathbb{N}$.Замечание 2. Обратим внимание на разницу между оценками (2.1) и (2.2). В первом случае нижний предел сумм элементов по строкам конечен, в то время как во втором эти суммы равномерно ограничены. Ясно, что второе утверждение не является, вообще говоря, следствием первого. Доказательство леммы 1. Заметим, что $M_{i}=\mathbb{E}Z_{i}\leqslant\mathbb{E}[Z_{i};\,Z_{i}>K]\,{+}\,K$. Таким образом, вторая часть условия (iii) из определения 2 обеспечивает существование такой константы $W<\infty$, что Зафиксируем $\varepsilon \in (0,0.5)$ и, используя условие (iii) определения 2, выберем натуральное число $N=N(\varepsilon)$ так, чтобы выполнялось неравенство
$$
\begin{equation}
\sup_{k\in \mathbb{N}}\sum_{j\geqslant N}M_{kj}\leqslant \varepsilon.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Зафиксируем теперь число $i\in\mathbb{N}$. Вспоминая условия $\mathbf{v1}^{\top}=1$, $\mathbf{u}>\mathbf{0}$, $\mathbf{v}>\mathbf{0}$ и предельное соотношение (1.11), заключаем, что для $\delta :=\sum_{j\geqslant N}v_{j}$ существует число $n_{0}=n_{0}(i,N)$ такое, что оценка
$$
\begin{equation}
\sum_{j<N}M_{ij}^{(n)}\leqslant (1+\delta )u_{i}\sum_{j<N}v_{j}=(1-\delta^{2})u_{i}\leqslant u_{i}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
справедлива для всех $n\geqslant n_{0}$. Используя (2.4) и (2.5), получаем, что при $n\geqslant n_{0}$
$$
\begin{equation*}
M_{i}^{(n)}=\sum_{j<N}M_{ij}^{(n)}+\sum_{j\geqslant N}\sum_{k\in \mathbb{N} }M_{ik}^{(n-1)} M_{kj}\leqslant u_{i}+\varepsilon M_{i}^{(n-1)}
\end{equation*}
\notag
$$
или при $n\geqslant 1$
$$
\begin{equation}
M_{i}^{(n+n_{0})}\leqslant u_{i}\sum_{l=0}^{n-1}\varepsilon ^{l}+\varepsilon^{n}M_{i}^{(n_{0})}.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Отсюда и из (2.3) вытекает следующая оценка, справедливая для всех $i\in\mathbb{N}$:
$$
\begin{equation*}
M_{i}^{(n_{0})}=\sum_{j\in \mathbb{N}}\sum_{k\in\mathbb{N}}M_{ik}^{(n_{0}-1)}M_{kj} \leqslant WM_{i}^{(n_{0}-1)}\leqslant W^{n_{0}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Этот факт в сочетании с неравенством (2.6) завершает доказательство соотношения (2.1). Для проверки справедливости второго утверждения леммы 1 заметим, что $\mathbf{vM}^{n}=\mathbf{v}$, $\mathbf{M}^{n}\mathbf{u}^{\top}=\mathbf{u}^{\top}$ для всех $n\in \mathbb{N}$. Отсюда, используя условие (1.12), заключаем, что
$$
\begin{equation}
M_{i}^{(n)}=\sum_{j\in \mathbb{N}}\sum_{k\in \mathbb{N}}M_{ik}^{(n-1)}M_{kj}\leqslant C\sum_{j\in \mathbb{N}}\sum_{k\in \mathbb{N}}M_{ik}^{(n-1)}u_{k}v_{j}=Cu_{i}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
для всех $i,n\in\mathbb{N}$. Эта оценка влечет (2.2), поскольку $\| \mathbf{u}\|_{\infty }=U<\infty$ в силу условия (ii). Лемма доказана. Лемма 2. Если $\mathbf{M}\in \mathscr{M}_{1}$ и $\mathbf{F}(\mathbf{s})\neq \mathbf{Ms}$, то для каждого $i\in \mathbb{N}$ найдется $n=n(i)$ такое, что Доказательство. Предположим противное, т.е. что существует $i\in \mathbb{N}$, для которого Разобьем множество типов частиц на две части, $\mathscr{T}_{1}$ и $\mathscr{T}_{2}$. Припишем тип $i$ к классу $\mathscr{T}_{1}$, если для него выполнено условие (2.9), и к классу $\mathscr{T}_{2}$, если соотношение (2.8) выполнено для некоторого $n=n(i)$. Положим
$$
\begin{equation*}
\widehat{M}_{i}:=\sum_{k\in \mathscr{T}_{1}}\mathbb{E}Z_{ik}=\sum_{k\in \mathscr{T}_{1}}M_{ik}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\widehat{M}_{i}\geqslant 1$ для всех $i\in\mathscr{T}_{1}$. Легко показать по индукции, что для любого $i\in \mathscr{T}_{1}$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{M}_{i}^{(n+1)} &:=\sum_{k\in \mathscr{T}_{1}}\mathbb{E}Z_{ik}(n+1)=\sum_{k\in \mathscr{T}_{1}}M_{ik}^{(n+1)} =\sum_{k\in \mathscr{T}_{1}}\sum_{r\in \mathbb{N}}M_{ir}^{(n)}M_{rk} \\ &\,= \sum_{r\in \mathbb{N}}M_{ir}^{(n)}\widehat{M}_{r}\geqslant\sum_{r\in \mathscr{T}_{1}}M_{ir}^{(n)}\widehat{M}_{r}\geqslant \sum_{r\in \mathscr{T}_{1}}M_{ir}^{(n)}=\widehat{M}_{i}^{(n)}\geqslant 1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы идти дальше, нам нужно отдельно рассмотреть случаи $\mathscr{T}_{2}\neq\varnothing$ и $\mathscr{T}_{2}=\varnothing$. 1) Предположим сначала, что $\mathscr{T}_{2}\neq \varnothing $. Так как матрица $\mathbf{M}$ неприводима, то существуют $i_{0}\in\mathscr{T}_{1} $ и $j_{0}\in \mathscr{T}_{2}$, для которых $M_{i_{0}j_{0}}=:\Delta >0$ и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
M_{i_{0}}=\widehat{M}_{i_{0}}+\sum_{k\in\mathscr{T}_{2}}M_{i_{0}k}\geqslant 1+\Delta.
\end{equation*}
\notag
$$
По тем же соображениям получаем, что существует $n_{0}$ такое, что
$$
\begin{equation*}
M_{j_{0}i_{0}}^{(n_{0})}=\mathbb{E}Z_{j_{0}i_{0}}(n_{0})\geqslant \mathbb{P}\bigl( Z_{j_{0}i_{0}}(n_{0})>0\bigr) >0.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначая $\Delta _{1}:=M_{i_{0}j_{0}}M_{j_{0}i_{0}}^{(n_{0})}>0$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{M}_{i_{0}}^{(n_{0}+1)} &=\sum_{k\in \mathscr{T}_{1}}M_{i_{0}k}^{(n_{0}+1)}=\sum_{k\in \mathscr{T}_{1}}\sum_{r\in \mathbb{N}}M_{i_{0}r}M_{rk}^{(n_{0})} \\ &=\sum_{r\in \mathbb{N}}M_{i_{0}r}\widehat{M}_{r}^{(n_{0})} =\sum_{r\in\mathscr{T}_{1}}M_{i_{0}r}\widehat{M}_{r}^{(n_{0})} +\sum_{r\in \mathbb{N}\setminus \mathscr{T}_{1}}M_{i_{0}r}\widehat{M}_{r}^{(n_{0})} \\ &\geqslant\sum_{r\in \mathscr{T}_{1}}M_{i_{0}r}+M_{i_{0}j_{0}}M_{j_{0}i_{0}}^{(n_{0})} =\widehat{M}_{i_{0}}+\Delta _{1}\geqslant 1+\Delta _{1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя аналогичные рассуждения, заключаем, что для любого числа $q\,{\in}\,\mathbb{N}$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{M}_{i_{0}}^{((q+1) n_{0}+q+1)} &=\sum_{k\in \mathscr{T}_{1}}\sum_{r\in \mathbb{N}}M_{i_{0}r}^{(qn_{0}+q)}M_{rk}^{(n_{0}+1)} \geqslant \sum_{r\in \mathscr{T}_{1}}M_{i_{0}r}^{(qn_{0}+q)}\widehat{M}_{r}^{(n_{0}+1)} \\ &\geqslant\widehat{M}_{i_{0}}^{(qn_{0}+q)}+\Delta_{1}M_{i_{0}i_{0}}^{(qn_{0}+q)} \geqslant \Delta_{1}\sum_{t=1}^{q}M_{i_{0}i_{0}}^{(tn_{0}+t)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку матрица $\mathbf{M}$ является “$1$”-рекуррентной и “$1$”-положительной, то в силу (1.11)
$$
\begin{equation*}
\sum_{t=1}^{\infty }M_{i_{0}i_{0}}^{(tn_{0}+t)}=\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что при $q\to \infty $ что противоречит (2.2). Таким образом, если выполнено условие (2.9), то множество $\mathscr{T}_{2}$ может быть только пустым. 2) Предположим теперь, что выполнено условие (2.9) и $\mathscr{T}_{2}=\varnothing $. В этом случае $F_{i}(1;\mathbf{0})=F_{i}(\mathbf{0})=0$ для всех $i\in \mathbb{N}$. Следовательно, для всех $i\in \mathbb{N}$ производящие функции числа потомков могут быть записаны в виде
$$
\begin{equation*}
F_{i}(\mathbf{s})=\sum_{\mathbf j\in \mathbb{N}_{0}^{\mathbb{N}} \setminus \{\mathbf{0}\}}p_{i\mathbf j}\mathbf{s}^{\mathbf j}, \qquad F_{i}(\mathbf{1})=\sum_{\mathbf j\in \mathbb{N}_{0}^{\mathbb{N} }\setminus \{\mathbf{0}\}}p_{i\mathbf j}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
M_{i}=\widehat{M}_{i}=\sum_{\mathbf j\in \mathbb{N}_{0}^{\mathbb{N}}\setminus\{\mathbf{0}\}}\| \mathbf{j}\|_{1}p_{i\mathbf j}\geqslant 1
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $i\in \mathbb{N}$, где $\| \mathbf{j}\|_{1}=j_{1}+j_{2}+\dotsb$. Нетрудно проверить, что случай $M_{i}=1$ при всех $i\in \mathbb{N}$ возможен только тогда, когда $p_{i\mathbf j}=0$ для всех $\|\mathbf{j}\|_{1}\geqslant 2$, т.е. для $\mathbf{F}(\mathbf{s})\equiv \mathbf{Ms}$, что противоречит нашим предположениям. Следовательно, существуют $i_{0}$ и $\mathbf{j}_{0}$, $\|\mathbf{j}_{0}\| _{1}\geqslant 2$, такие, что $p_{i_{0}\mathbf j _{0}}>0$. Ясно, что в этом случае $M_{i_{0}}>1$. Далее, найдется $n_{0}$ такое, что $M_{i_{0}i_{0}}^{(n_{0})}=\Delta_{1}>0$. Повторяя теперь почти дословно аргументы, использованные при анализе случая $\mathscr{T}_{2}\neq\varnothing$, заключаем, что $M_{i_{0}}^{(n)}\to \infty $ при $n\to \infty $. Этот факт противоречит равномерной ограниченности величин $M_{i}^{(n)}$ для $i\in \mathbb{N}$. Таким образом, случай $\mathscr{T}_{2}=\varnothing $ также невозможен, если справедливо (2.9). Полученное противоречие доказывает (2.8). Лемма 2 доказана. Следующая лемма является уточнением леммы 2. Лемма 3. Если $\mathbf{M}\in\mathscr{M}_{1}$ и $\mathbf{F} (\mathbf{s})\neq \mathbf{Ms}$, то для всех $i\in\mathbb{N}$. Доказательство. Заметим сначала, что для всех $i\in \mathbb{N}$. Действительно, если бы это было не так, то при некотором $i$ было бы справедливо соотношение Таким образом, для доказательства леммы достаточно установить, что при наших условиях ветвящийся процесс обладает так называемым свойством дихотомии (см., например, [16; гл. II, §§ 6, 7])
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}\Bigl( \lim_{n\to \infty }\|\mathbf Z_{i}(n)\|_{1}=\infty\Bigr) +\mathbb{P}\Bigl( \lim_{n\to \infty }\|\mathbf Z_{i}(n)\|_{1}=0\Bigr) =1.
\end{equation*}
\notag
$$
Известно (см. условие 2.1 и доказательство предложения 2.2 в работе [17]), что если для каждого $k\in \mathbb{N}$ существуют индекс $m_{k}$ и положительное число $d_{k}$ такие, что
$$
\begin{equation}
\inf_{i\in \mathbb{N}}\mathbb{P}\bigl(\|\mathbf{Z}_{i}(m_{k})\|_{1}=0\mid 1\leqslant \|\mathbf{Z}_{i}(1)\|_{1}\leqslant k\bigr) \geqslant d_{k},
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
то соответствующий процесс обладает свойством дихотомии. Мы утверждаем, что соотношение (2.11) справедливо, если существуют индекс $m_{0}$ и число $d_{0}\in (0,1)$ такие, что
$$
\begin{equation}
\inf_{i\in \mathbb{N}}\mathbb{P}\bigl(\|\mathbf{Z}_{i}(m_{0})\| _{1}=0\bigr) \geqslant d_{0}.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Действительно, выберем $\mathbf{r}=(r_{j})_{j\in \mathbb{N}}\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}_{0}$ и рассмотрим множество событий $\mathscr{A}_{i,m}:=\{\|\mathbf{Z}_{i}(m)\|_{1}=0\}$ и
$$
\begin{equation*}
\mathscr{B}_{i,k}:=\{1\leqslant \|\mathbf{Z}_{i}(1)\|_{1}\leqslant k\} =\sum_{1\leqslant \| \mathbf{r}\| _{1}\leqslant k}\{Z_{ij}=r_{j}\}_{j\in \mathbb{N} }=:\sum_{1\leqslant \| \mathbf{r}\| _{1}\leqslant k}\mathscr{B}_{i\mathbf{r}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}(\mathscr{A}_{i,m_{0}+1}\mid \mathscr{B}_{i\mathbf{r}})=\prod_{j\in \mathbb{N}}\mathbb{P}^{r_{j}}(\mathscr{A}_{j,m_{0}})\geqslant d_{0}^{k}
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $i\in \mathbb{N}$, то применение формулы полной вероятности дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbb{P}(\mathscr{A}_{i,m_{0}+1}\mid \mathscr{B}_{i,k}) &=\frac{\sum_{1\leqslant\|\mathbf{r}\| _{1}\leqslant k}\mathbb{P}(\mathscr{A}_{i,m_{0}+1}\mathscr{B}_{i\mathbf{r}})} {\mathbb{P}(\mathscr{B}_{i,k})} \\ &=\frac{\sum_{1\leqslant \| \mathbf{r}\| _{1}\leqslant k} \mathbb{P}(\mathscr{A}_{i,m_{0}+1}\mid \mathscr{B}_{i\mathbf{r}})\mathbb{P}(\mathscr{B}_{i\mathbf{r}})}{\mathbb{P}(\mathscr{B}_{i,k})} \geqslant d_{0}^{k}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эта оценка доказывает (2.11) при $m_{k}=m_{0}+1$ и $d_{k}=d_{0}^{k}$. Покажем теперь, что оценка (2.12) действительно имеет место в условиях леммы 3. Согласно первому равенству в условии (iii) из определения 2 и неравенству (2.3) для любого $\varepsilon \in (0,1)$ существует $N=N(\varepsilon )$ такое, что
$$
\begin{equation}
\sup_{i\in \mathbb{N}}\mathbb{P}\biggl(\sum_{j>N}Z_{ij}>0\biggr) \leqslant \sup_{i\in \mathbb{N}}\sum_{j>N}M_{ij}\leqslant \varepsilon \sup_{i\in \mathbb{N}}M_{i}\leqslant \varepsilon W.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Мы разделим множество типов частиц на две группы, $\mathrm{T}_{1}:= \{j\leqslant N\}$ и $\mathrm{T}_{2}:=\{j>N\}$, и рассмотрим множества
$$
\begin{equation*}
\mathscr{A}_{i,m}^{\mathrm{T}_{1}}:=\biggl\{ \sum_{j\leqslant N}Z_{ij}(m)=0\biggr\}, \qquad \mathscr{A}_{i,m}^{\mathrm{T} _{2}}:=\biggl\{ \sum_{j>N}Z_{ij}(m)=0\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (2.13) имеем
$$
\begin{equation}
P_{2}(1):=\inf_{i\in \mathbb{N}}\mathbb{P}(\mathscr{A}_{i,1}^{\mathrm{T}_{2}}) \geqslant 1-\varepsilon W.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Ввиду второго равенства в условии (iii) из определения 2 для любого $\varepsilon \in (0,1)$ найдется натуральное число $K=K(\varepsilon )$ такое, что
$$
\begin{equation}
\sup_{i\in \mathbb{N}}\mathbb{E}[ Z_{i};\,Z_{i}>K] \leqslant \varepsilon M_{i}\leqslant \varepsilon W.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Аналогично (2.14) имеем
$$
\begin{equation}
\inf_{i\in \mathbb{N}}\mathbb{P}(Z_{i}\leqslant K)\geqslant 1-\varepsilon W.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Согласно лемме 2 для каждого $i$ существует $n(i)$ такое, что $Q_{i}(n(i);\,\mathbf{0})<1$. Таким образом, существуют $n_{0}$ и $\theta \in (0,1)$ такие, что для всех $i\in\mathrm{T}_{1}$ и $n\geqslant n_{0}$
$$
\begin{equation}
Q_{i}(n;\mathbf{0})\leqslant Q_{i}(n_{0};\mathbf{0})\leqslant 1-\theta <1
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
или
$$
\begin{equation}
P_{1}(n):=\inf_{i\in \mathrm{T}_{1}}\mathbb{P}(\mathscr{A}_{i,n})>\theta >0
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
при $n\geqslant n_{0}$. Очевидно, что если $\mathscr{B}_{1}$ и $\mathscr{B}_{2}$ – два таких события, что $\mathbb{P}(\mathscr{B}_{1})>1-\sigma _{1}$ и $\mathbb{P} (\mathscr{B}_{2})>1-\sigma_{2}$ для некоторых констант $\sigma_{1}, \sigma_{2}\in(0,1)$, то справедливо неравенство $\mathbb{P}(\mathscr{B}_{1}\mathscr{B}_{2})>1- \sigma _{1}-\sigma _{2}$. Используя это простое наблюдение и вспоминая (2.14) и (2.16), заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \inf_{i\in \mathbb{N}}\mathbb{P}(\mathscr{A}_{i,n_{0}+1}) &\geqslant\inf_{i\in \mathbb{N}}\mathbb{P}(\mathscr{A}_{i,n_{0}+1};\,Z_{i}\leqslant K, \mathscr{A}_{i,1}^{\mathrm{T}_{2}}) \\ &\geqslant \inf_{i\in \mathbb{N}}\mathbb{P}(\mathscr{A}_{i,n_{0}+1}\mid Z_{i}\leqslant K,\mathscr{A}_{i,1}^{\mathrm{T}_{2}})(1-2\varepsilon W) \\ &\geqslant \inf_{i\in \mathrm{T}_{1}}\mathbb{P}^{K}(\mathscr{A}_{i,n_{0}}) (1-2\varepsilon W)\geqslant \theta ^{K}(1-2\varepsilon W). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая $\varepsilon \in (0,0.5W^{-1})$, убеждаемся в справедливости оценки (2.12), что и завершает доказательство леммы 3. Лемма 3 позволяет убедиться в справедливости следующего результата. Лемма 4. Если $\mathbf{M}\in \mathscr{M}_{1}$ и $\mathbf{F} (\mathbf{s})\neq\mathbf{Ms}$, то $F_{i}(n;\mathbf{s})\to 1$ при $n\to\infty$ равномерно по $i\in\mathbb{N}$ и $\mathbf{s}\in(0,1]^{\mathbb{N}}$. Доказательство. Ясно, что
Вспоминая лемму 3, мы видим, что для любого фиксированного $i\in \mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
\sup_{s\in [ 0,1]^{\mathbb{N}}}( 1-F_{i}(n;\mathbf{s})) =\sup_{s\in [ 0,1]^{\mathbb{N}}}Q_{i}(n;\mathbf{s})\leqslant Q_{i}(n; \mathbf{0})\to 0
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
при $n\to \infty $. Покажем, что сходимость в (2.19) является равномерной по $i\in \mathbb{N}$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\mathbf{1}-\mathbf{F}(n;\mathbf{s})=\mathbf{1}-\mathbf{F}(1;\mathbf{F}(n-1; \mathbf{s}))\leqslant \mathbf{M}(\mathbf{1}-\mathbf{F}(n-1;\mathbf{s})),
\end{equation*}
\notag
$$
то для любого $N\in \mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
Q_{i}(n;\mathbf{s})\leqslant \sum_{j\in \mathbb{N}}M_{ij}Q_{j}(n-1;\mathbf{s}) \leqslant \sum_{j\leqslant N}M_{ij}Q_{j}(n-1;\mathbf{s})+\sum_{j>N}M_{ij}.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
В силу условия (iii) из определения 2, описывающего свойства матриц, принадлежащих классу $\mathscr{M}_{1}$, для любого $\varepsilon >0$ найдется число $N=N(\varepsilon)$, удовлетворяющее оценке (2.4). С другой стороны, для фиксированного $N$ и $i\in \mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
\sum_{j\leqslant N}M_{ij}\leqslant \frac{\sum_{j\leqslant N}M_{ij}u_{j}}{\min_{k\leqslant N}u_{k}} \leqslant \frac{\sum_{j\in \mathbb{N}}M_{ij}u_{j}}{\min_{k\leqslant N}u_{k}} =\frac{u_{i}}{\min_{k\leqslant N}u_{k}}\leqslant \frac{U}{\min_{k\leqslant N}u_{k}}.
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Лемма 3 и оценки (2.19)–(2.21) приводят к неравенствам
$$
\begin{equation*}
\sup_{\mathbf{s}\in [ 0,1]^{\mathbb{N}},\,i\in \mathbb{N}}Q_{i}(n; \mathbf{s})\leqslant \frac{U}{{\min_{k\leqslant N}u_{k}}}\sup_{j\leqslant N}Q_{j}(n-1;\mathbf{0})+\varepsilon \leqslant 2\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
справедливым для всех достаточно больших значений $n$. Лемма 4 доказана. § 3. Предельная теорема для отношенийПоложим $\mathbf{S}:=\{ \mathbf{s}\in [ 0,1]^{\mathbb{N}},\,\mathbf{s}\neq\mathbf{1}\}$. Следующая важная теорема является бесконечномерным аналогом теоремы 1 из [18; гл. VI, § 1] и позволяет свести задачу исследования асимптотических свойств производящих функций $F_{i}(n;\mathbf{s})$ к анализу асимптотического поведения функции $\Phi(q(n;\mathbf{s}))$. Теорема 2. Пусть $\{ \mathbf{Z}_{i}(n),\,i\in \mathbb{N}\}$ – критический ВПГВ/$\infty$ с матрицей средних $\mathbf{M}\in \mathscr{M}_{1}^{0}$ и $\mathbf{F}(\mathbf{s})\neq \mathbf{Ms}$. Тогда Для справедливости соотношения (3.1) в случае процессов со счетным множеством типов частиц наряду со стандартными условиями (i) из определения 2, наложенными на матрицу средних, необходимы дополнительные условия (iii) и (iv), которые фактически обеспечивают желаемую равномерную сходимость по $i\in \mathbb{N}$. Эти дополнительные условия выполняются автоматически для процессов Гальтона–Ватсона с конечным числом типов частиц. Мы разобьем доказательство теоремы 2 на несколько лемм. Для бесконечномерного вектора $\mathbf{s}\,{=}\,(s_{j})_{j\,\in\mathbb{N}}\,{\in}\, [0,1]^{\mathbb{N}}$ введем обозначение $\mathbf{s}_{j}:=(s_{i} \delta _{ij}+1-\delta _{ij})_{i\in \mathbb{N}}$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, F_{ij}(s_{j}):=F_{i}(\mathbf{s}_{j})=\mathbb{E}s_{j}^{Z_{ij}}, \qquad Q_{ij}(s_{j}):=Q_{i}(\mathbf{s}_{j})=1-\mathbb{E}s_{j}^{Z_{ij}}, \\ \mathscr{N}_{ij}(\mathbf{s}) :=\sum_{k=0}^{Z_{ij}-1}s_{j}^{k}\biggl(1-\prod_{l=j+1}^{\infty }s_{l}^{Z_{il}}\biggr) =\frac{1-s_{j}^{Z_{ij}}}{1-s_{j}}\biggl( 1-\prod_{l=j+1}^{\infty }s_{l}^{Z_{il}}\biggr) , \\ N_{ij}(\mathbf{s}):=\mathbb{E}\mathscr{N}_{ij}(\mathbf{s}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5. Если все элементы матрицы средних $\mathbf{M}=(\mathbb{E}Z_{ij})_{i,j\in \mathbb{N}}$ конечны, то для каждого $i\in \mathbb{N}$ справедливо следующее представление: Доказательство. Используя определения функций в (1.2), запишем следующую цепочку очевидных преобразований:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 1-\prod_{l=1}^{\infty }s_{l}^{Z_{il}} &=(1-s_{1}^{Z_{i1}})-( 1-s_{1}^{Z_{i1}})\biggl( 1-\prod_{l=2}^{\infty }s_{l}^{Z_{il}}\biggr) +1-\prod_{l=2}^{\infty }s_{l}^{Z_{il}} \notag \\ &=(1-s_{1}^{Z_{i1}})-(1-s_{1})\sum_{k=0}^{Z_{i1}-1}s_{1}^{k} \biggl(1-\prod_{l=2}^{\infty}s_{l}^{Z_{il}}\biggr) +\biggl[ 1-\prod_{l=2}^{\infty }s_{l}^{Z_{il}}\biggr] \notag \\ &=(1-s_{1}^{Z_{i1}})-(1-s_{1})\mathscr{N}_{i1}(\mathbf{s})+\biggl[1-\prod_{l=2}^{\infty }s_{l}^{Z_{il}}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Заметим, что все слагаемые, входящие в эту цепочку, имеют конечные математические ожидания, и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag Q_{i}(\mathbf{s}) &=1-F_{i}(\mathbf{s})=\mathbb{E}\biggl(1-\prod_{l=1}^{\infty }s_{l}^{Z_{il}}\biggr) \\ & =\mathbb{E}\biggl(1-\prod_{l=2}^{\infty }s_{l}^{Z_{il}}\biggr) +Q_{i1}(s_{1})-(1-s_{1})N_{i1}(\mathbf{s}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Применяя к первому слагаемому из правой части формулы (3.4) цепочку преобразований, аналогичную (3.3), и повторяя эту процедуру для $1-\prod_{l=j+1}^{\infty }s_{l}^{Z_{il}}$, где параметр $j\in \mathbb{N}\setminus \{1\}$ последовательно принимает значения, увеличивающиеся на 1, получаем желаемое равенство
$$
\begin{equation*}
Q_{i}(\mathbf{s})=\sum_{j\in \mathbb{N}}Q_{ij}(s_{j})-\sum_{j \in \mathbb{N}}N_{ij}(\mathbf{s})(1-s_{j}).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Теорема 3. Пусть $\{\mathbf{Z}_{i}(n),\,i\in \mathbb{N}\}$ – критический ВПГВ/$\infty$ с матрицей средних $\mathbf{M}\in\mathscr{M}_{1}$ и $\mathbf{F}(\mathbf{s})\neq \mathbf{Ms}$. Тогда и, кроме того, Замечание 3. Утверждение теоремы 3 всегда справедливо для ветвящегося процесса Гальтона–Ватсона с конечным числом типов частиц. Однако для случая ВПГВ/$\infty $ это, вообще говоря, не так. Именно поэтому нам пришлось потребовать выполнения условия (iii) из определения 2. Доказательство теоремы 3. Так как
$$
\begin{equation*}
\mathbb{E}(1-z^{Z_{i}})\leqslant \sum_{j\in \mathbb{N}}\mathbb{E} (1-z^{Z_{ij}}) \leqslant \sum_{j\in \mathbb{N}}(1-z)\mathbb{E}Z_{ij}=(1-z) \mathbb{E}Z_{i},
\end{equation*}
\notag
$$
то достаточно доказать лишь соотношение (3.5). Согласно второй части условия (iii) из определения 2 для любого $\varepsilon >0$ существует натуральное число $K=K(\varepsilon)$ такое, что С другой стороны, для любого фиксированного $k\leqslant K$ справедливо представление
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, k(1-z)-(1-z^{k}) &=(1-z)\biggl( k-\sum_{j=0}^{k-1}z^{j}\biggr) \\ &\leqslant(1-z)\biggl(K-\sum_{j=0}^{K-1}z^{j}\biggr)=o(1-z),\quad z\uparrow 1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\mathbb{P}( 0<Z_{i}\leqslant K)\leqslant \mathbb{E}Z_{i}=M_{i}$ для любого фиксированного $K\in \mathbb{N}$, то
$$
\begin{equation*}
0\leqslant \sup_{i\in \mathbb{N}}M_{i}^{-1}\mathbb{E}\bigl[(1-z)Z_{i}-(1-z^{Z_{i}});\,Z_{i}\leqslant K\bigr]=o(1-z),\quad z\uparrow 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для $\varepsilon\,{>}\,0$ и $K\,{=}\,K(\varepsilon)$, выбранных выше, можно найти число $\Delta >0$ такое, что для $0\leqslant 1-z<\Delta $
$$
\begin{equation}
0\leqslant \sup_{i\in \mathbb{N}}M_{i}^{-1}\mathbb{E}\bigl[(1-z)Z_{i}-(1-z^{Z_{i}});\,Z_{i}\leqslant K\bigr] \leqslant \frac{\varepsilon (1-z)}2.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Объединяя (3.6) и (3.7), получаем соотношение (3.5). Теорема доказана. Нам понадобятся следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\mathscr{Q}_{n}=\mathscr{Q}(n;\mathbf{s}):=\sup_{i\in \mathbb{N}}Q_{i}(n;\mathbf{s}), \qquad \mathscr{F}_{n}=\mathscr{F}(n; \mathbf{s}):=\inf_{i\in \mathbb{N}}F_{i}(n;\mathbf{s}).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 6. Пусть $\{ \mathbf{Z}_{i}(n),\,i\in \mathbb{N}\}$ – критический ВПГВ/$\infty $ с матрицей средних $\mathbf{M}\in \mathscr{M}_{1}^{0}$ и $\mathbf{F}(\mathbf{s})\neq \mathbf{Ms}$. Тогда для каждого $i$ справедливо представление в котором Доказательство. Напомним, что $\sup_{i\in \mathbb{N}}M_{i}<\infty $ согласно (2.2). По определению
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &Q_{j}(n;\mathbf{s})N_{ij}(\mathbf{F}(n;\mathbf{s})) =\mathbb{E}\biggl[\bigl( 1-F_{j}^{Z_{ij}}(n;\mathbf{s})\bigr) \biggl( 1-\prod_{l=j+1}^{\infty }F_{l}^{Z_{il}}(n;\mathbf{s})\biggr) \biggr] \\ &\qquad \leqslant \mathbb{E}\biggl[ (1-\mathscr{F}_{n}^{Z_{ij}})\biggl( 1-\prod_{l=j+1}^{\infty }\mathscr{F}_{n}^{Z_{il}}\biggr)\biggr] =\mathbb{E}\Bigl[ \bigl(1-\mathscr{F}_{n}^{Z_{ij}}\bigr)\Bigl( 1-\mathscr{F}_{n}^{\sum_{l>j}Z_{il}}\Bigr) \Bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя равенство $(1\,{-}\,x)(1\,{-}\,y)\,{=}\,1\,{-}\,x\,{+}\,1\,{-}\,y\,{-}\,1\,{+}\,xy$, легко видеть, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &Q_{j}(n;\mathbf{s})N_{ij}(\mathbf{F}(n;\mathbf{s})) \leqslant \mathbb{E}\Bigl[ (1-\mathscr{F}_{n}^{Z_{ij}})\Bigl( 1-\mathscr{F}_{n}^{\sum_{l>j}Z_{il}}\Bigr) \Bigr] \notag \\ &\qquad=\mathbb{E}(1-\mathscr{F}_{n}^{Z_{ij}} +\mathbb{E}\Bigl(1-\mathscr{F}_{n}^{\sum_{l>j}Z_{il}}\Bigr) -\mathbb{E}\Bigl(1-\mathscr{F}_{n}^{\sum_{l\geqslant j} Z_{il}}\Bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Из (3.9) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0 &\leqslant \sum_{j\in \mathbb{N}}Q_{j}(n;\mathbf{s})N_{ij}(\mathbf{F}(n;\mathbf{s})) \notag \\ &\leqslant\sum_{j\in \mathbb{N}}\Bigl( \mathbb{E}( 1-\mathscr{F}_{n}^{Z_{ij}}) +\mathbb{E}\Bigl( 1-\mathscr{F}_{n}^{\sum_{l>j}Z_{il}}\Bigr) -\mathbb{E}\Bigl( 1-\mathscr{F}_{n}^{\sum_{l\geqslant j}Z_{il}}\Bigr)\Bigr) \notag \\ &=\sum_{j\in \mathbb{N}}\mathbb{E}(1-\mathscr{F}_{n}^{Z_{ij}}) -\mathbb{E}\Bigl( 1-\mathscr{F}_{n}^{\sum_{l\in \mathbb{N}}Z_{il}}\Bigr) \leqslant \sum_{j\in \mathbb{N}}\mathbb{E}Z_{ij}\mathscr{Q}_{n}-\mathbb{E}(1-\mathscr{F}_{n}^{Z_{i}}) \notag \\ &=\mathbb{E}Z_{i}\mathscr{Q}_{n}-\mathbb{E}(1-\mathscr{F}_{n}^{Z_{i}}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Заметим, что ряд во второй строке формулы (3.10) сходится равномерно по $i\in \mathbb{N}$ в силу оценок
$$
\begin{equation*}
\mathbb{E}\Bigl( 1-w^{\sum_{l\geqslant j}Z_{il}}\Bigr) -\mathbb{E}\Bigl(1-w^{\sum_{l>j}Z_{il}}\Bigr) \leqslant \mathbb{E}(1-w^{Z_{ij}})\leqslant \mathbb{E}Z_{ij}(1-w).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (3.5) при $x=\mathscr{Q}(n;\mathbf{s})$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &\leqslant \lim_{n\to \infty }\sup_{s\in \mathbf{S},\,i\in \mathbb{N}} \frac{\sum_{j\in \mathbb{N}}Q_{j}(n;\mathbf{s})N_{ij}(\mathbf{F}(n; \mathbf{s}))}{M_{i}\mathscr{Q}(n;\mathbf{s})} \\ &\leqslant \lim_{n\to \infty }\sup_{s\in \mathbf{S},\,i\in \mathbb{N}} \frac{\mathbb{E}Z_{i}\mathscr{Q}(n;\mathbf{s})-\mathbb{E}( 1-\mathscr{F}^{Z_{i}}(n;\mathbf{s})) }{M_{i}\mathscr{Q}(n;\mathbf{s})}=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. Лемма доказана. Лемма 7. Пусть $\{ \mathbf{Z}_{i}(n),\,i\in \mathbb{N}\} $ – критический ВПГВ/$\infty $ с матрицей средних $\mathbf{M}\in \mathscr{M}_{1}$ и $\mathbf{F}(\mathbf{s})\neq \mathbf{Ms}$. Тогда для каждого $i\in \mathbb{N}$ справедливо представление Доказательство. Рассмотрим функцию имеющую частные производные Из этого неравенства вытекает, что функция $f_{ij}(s_{j})$ является невозрастающей, причем $f_{ij}(1)=0$ в силу определения. Следовательно, $f_{ij}(s_{j})\geqslant 0$ для $s_{j}\in [ 0,1]$. Отсюда и из определения функции $f_{ij}(s)$ нетрудно заключить, что
$$
\begin{equation*}
f_{ij}(s_{j})\leqslant f_{ij}(1-\| \mathbf{1}-\mathbf{s}\| _{\infty })= \mathbb{E}\bigl[Z_{ij}\| \mathbf{1}-\mathbf{s}\| _{\infty }-1 +(1-\| \mathbf{1}-\mathbf{s}\| _{\infty })^{Z_{ij}}\bigr],
\end{equation*}
\notag
$$
и утверждение леммы 7 очевидным образом следует из теоремы 3. Теперь мы получим оценки для величин $Q_{i}(n;\mathbf{s})$, $i\in\mathbb{N}$, в терминах функции $Q_{1}(n;\mathbf{s})$. Лемма 8. Пусть $\{ \mathbf{Z}_{i}(n),\,i\in \mathbb{N}\} $ – критический ВПГВ/$\infty$ с матрицей средних $\mathbf{M}\in \mathscr{M}_{1}^{0}$ и $\mathbf{F}(\mathbf{s})\neq \mathbf{Ms}$. Тогда найдутся такие константы $C_{1}$ и $C_{2}$, что для всех достаточно больших значений $n$ Доказательство. Используя соотношение (3.2), в котором аргумент $\mathbf{s}$ заменен на $\mathbf{F}(n-1;\mathbf{s})$, и соотношение (3.8), в котором функция $\mathbf{F}(n;\mathbf{s})$ заменена на $\mathbf{F}(n-1;\mathbf{s})$, а также принимая во внимание (3.11), приходим к соотношению где $\epsilon _{i}(\mathbf{Q}(n-1;\mathbf{s}))=\epsilon _{1,i}(\mathbf{Q} (n-1;\mathbf{s}))+\epsilon _{2,i}(\mathbf{Q}(n-1;\mathbf{s}))$ и Умножая левую и правую части соотношения (3.12) на $v_{i}$ и суммируя полученные равенства по $i$, получаем
$$
\begin{equation}
q(n;\mathbf{s})=\mathbf{vQ}^{\top}(n;\mathbf{s})=q(n-1;\mathbf{s})+\epsilon ( \mathbf{Q}(n-1;\mathbf{s})),
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\epsilon (\mathbf{Q}(n-1;\mathbf{s})):=\sum_{i\in \mathbb{N} }v_{i}M_{i}\epsilon _{i}(\mathbf{Q}(n-1;\mathbf{s})).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (3.13)
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty }\sup_{s\in \mathbf{S}}\frac{|\epsilon (\mathbf{Q}(n-1;\mathbf{s}))|}{\mathscr{Q}(n-1;\mathbf{s})}=0.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Из представления (3.12) и оценки (2.2) следует, что при достаточно больших $n$ справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
Q_{i}(n;\mathbf{s})\leqslant 2M_{i}\mathscr{Q}_{n-1}, \qquad \mathscr{Q}_{n}\leqslant 2\mathfrak{m}\mathscr{Q}_{n-1}.
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Применяя (3.12) для $n$, последовательно принимающих значения $n+1,\ldots, n+l$, приходим к соотношению
$$
\begin{equation}
Q_{i}(n+l;\mathbf{s})=M_{i}\epsilon _{i}^{\ast }(n,l;\mathbf{s})+\sum_{j\in \mathbb{N}}M_{ij}^{(l)}Q_{j}(n;\mathbf{s}),
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
в котором
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, M_{i}\epsilon _{i}^{\ast }(n,1;\mathbf{s})=M_{i}\epsilon _{i}(\mathbf{Q}(n;\mathbf{s})), \\ M_{i}\epsilon _{i}^{\ast }(n,k;\mathbf{s})=\sum_{j\in \mathbb{N}}M_{ij}M_{j}\epsilon _{j}^{\ast }(n,k-1;\mathbf{s})+M_{i}\epsilon _{i}( \mathbf{Q}(n+k-1;\mathbf{s})), \qquad k>1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду (3.13), (3.16) и (2.2) имеем
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty }\sup_{s\in \mathbf{S},\,i\in \mathbb{N}}\frac{ |\epsilon _{i}^{\ast }(n,l;\mathbf{s})|}{\mathscr{Q}(n;\mathbf{s})}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\mathbf{M}\in\mathscr{M}_{1}^{0}$, то, вспоминая первое неравенство из (1.12), заключаем, что
$$
\begin{equation}
M_{ij}^{(n)}=\sum_{k\in \mathbb{N}}M_{ik}M_{kj}^{(n-1)}\leqslant Cu_{i}\sum_{k\in \mathbb{N}}v_{k}M_{kj}^{(n-1)}=Cu_{i}v_{j} \quad \forall\, i,j\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Далее, используя второе неравенство из (1.12) для соответствующего $m\in\mathbb{N}$, получаем
$$
\begin{equation}
M_{1j}^{(n+m)}=\sum_{k\in \mathbb{N}}M_{1k}^{(m)}M_{kj}^{(n)}\geqslant c\sum_{k\in \mathbb{N}}v_{k}M_{kj}^{(n)}=cv_{j} \quad \forall\, j\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Зафиксируем $l\geqslant m$. Соотношения (3.18) и (3.19) влекут неравенства
$$
\begin{equation*}
M_{ij}^{(l)}\leqslant Cu_{i}v_{j}\leqslant \frac{CM_{1j}^{(l)}u_{i}}{c} \quad\forall\,i,j\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, используя (3.17), выводим оценку
$$
\begin{equation}
Q_{i}(n+l;\mathbf{s})\leqslant \frac{2Cu_{i}}{c}\sum_{j\in \mathbb{N} }M_{1j}^{(l)} Q_{j}(n;\mathbf{s}) \quad\forall\, i\in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
которая в силу соотношения $\|\mathbf{u}\|_{\infty }=U<\infty$ приводит к неравенству
$$
\begin{equation}
\mathscr{Q}(n+l;\mathbf{s})=\mathscr{Q}_{n+l}\leqslant \frac{2CU}{c}\sum_{j\in \mathbb{N}} M_{1j}^{(l)}Q_{j}(n;\mathbf{s}).
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Используя теперь (3.17) с $i=1$, несложно получить следующие уточнения соотношений (3.20) и (3.21):
$$
\begin{equation}
Q_{i}(n+l;\mathbf{s})\leqslant \frac{4Cu_{i}}{c}Q_{1}(n+l;\mathbf{s}) \quad \forall\, i\in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
$$
\begin{equation}
\mathscr{Q}_{n+l}=\mathscr{Q}(n+l;\mathbf{s})\leqslant \frac{4CU}{c}Q_{1}(n+l;\mathbf{s}).
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Лемма 8 доказана. Лемма 9. Если $\mathbf{M}\in \mathscr{M}_{1}^{0}$ и $\mathbf{F}(\mathbf{s})\neq \mathbf{Ms}$, то для любого фиксированного $n\in\mathbb{N}$ Доказательство. Ясно, что
$$
\begin{equation*}
q(n;\mathbf{s})\geqslant v_{1}Q_{1}(n;\mathbf{s}), \qquad \mathbf{s}\in(0,1]^{\mathbb{N}}.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, оценка (3.23) и условия (1.13) позволяют заключить, что для достаточно больших значений $n$ справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
q(n;\mathbf{s})\leqslant \frac{4CU}{c}Q_{1}(n;\mathbf{s}).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, функции $q(n;\mathbf{s})$ и $Q_{1}(n;\mathbf{s})$ имеют один и тот же порядок при $n\to\infty$. Этот факт, оценка (3.22) и сходимость ряда $\sum_{i=1}^{\infty}v_{i}$ влекут (3.24). Таким образом,
$$
\begin{equation*}
0<\liminf_{n\to \infty }\inf_{s\in\mathbf{S}}\frac{q(n;\mathbf{s})} {Q_{1}(n;\mathbf{s})} \leqslant\limsup_{n\to \infty }\sup_{s\in\mathbf{S}}\frac{q(n;\mathbf{s})}{Q_{1}(n;\mathbf{s})}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы коротко будем записывать эти соотношения в виде
$$
\begin{equation}
q(n;\mathbf{s})\asymp Q_{1}(n;\mathbf{s}),\qquad n\to\infty.
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Сходные обозначения будут использоваться и в других аналогичных ситуациях. Учитывая неравенство (3.23) и определение величины $\mathscr{Q}(n+l;\mathbf{s})$, мы будем писать
$$
\begin{equation}
\mathscr{Q}_{n+l}=\mathscr{Q}(n+l;\mathbf{s}) \asymp Q_{1}(n+l;\mathbf{s}),\qquad n\to\infty,
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
для любого фиксированного $l$. Принимая во внимание условие (iv) из определения 2 и соотношение (3.28), преобразуем (3.17) к виду
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &Q_{i}(n+l;\mathbf{s})-u_{i}q(n;\mathbf{s})-M_{i}\epsilon _{i}^{\ast }(n,l; \mathbf{s}) \\ \notag &\qquad =\sum_{j=1}^{N}(M_{ij}^{(l)}-u_{i}v_{j})Q_{j}(n;\mathbf{s})- \sum_{j=N+1}^{\infty} u_{i}v_{j}Q_{j}(n;\mathbf{s})+\sum_{j=N+1}^{\infty }M_{ij}^{(l)}Q_{j}(n;\mathbf{s}) \\ &\qquad =:I_{1}(i,N,l,n;\mathbf{s})+I_{2}(i,N,n;\mathbf{s})+I_{3}(i,N,l,n;\mathbf{s}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
Оценки (3.18), (3.23), (3.27), (3.28) и равенство $\mathbf{v1}^{\top}=1$ позволяют заключить, что
$$
\begin{equation}
\lim_{N\to\infty}\sup_{i,n\in\mathbb{N},\,s\in \mathbf{S}}\biggl|\frac{I_{2}(i,N,n;\mathbf{s})}{u_{i}Q_{1}(n;\mathbf{s})}\biggr|=0,
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
$$
\begin{equation}
\lim_{N\to\infty}\sup_{i,l,n\in\mathbb{ N},\,s\in\mathbf{S}}\biggl|\frac{I_{3}(i,N,l,n;\mathbf{s})}{u_{i}Q_{1}(n;\mathbf{s})}\biggr|=0,
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
где $Q_{1}(n;\mathbf{s})$ может быть заменено на $q(n;\mathbf{s})$. Зафиксируем $\varepsilon >0$. В силу (3.30) и (3.31) найдется такое натуральное число $N=N(\varepsilon )$, что
$$
\begin{equation}
|I_{2}(i,N(\varepsilon ),n;\mathbf{s})|+|I_{3}(i,N(\varepsilon),l,n;\mathbf{s})| \leqslant 0.25\,\varepsilon u_{i}q(n;\mathbf{s}).
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
Ввиду (1.11), условий (1.13) и оценки (3.23) найдутся такие числа $C_{1}$ и $l_{0}=l_{0}(\varepsilon )$, что при всех $l\geqslant l_{0}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |I_{1}(i,N(\varepsilon ),l,n;\mathbf{s})| &\leqslant N(\varepsilon )C_{1} \mathscr{Q}(n;\mathbf{s})\sup_{j\leqslant N(\varepsilon )}\bigl|M_{ij}^{(l)}-u_{i}v_{j}\bigr| \nonumber \\ &\leqslant0.25\,\varepsilon u_{i}q(n;\mathbf{s}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
В силу (3.27), (3.28) и (3.16) при любом фиксированном $l$ справедливо соотношение $Q_{1}(n\,{+}\,l;\mathbf{s})\asymp Q_{1}(n;\mathbf{s})$, $n\to\infty$. Следовательно, при $l=l_{0}$ и $n>n_{2}=n_{2}(\varepsilon )$ третий член в левой части соотношения (3.29) может быть оценен как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bigl|M_{i}\epsilon ^{\ast }(n,l_{0};\mathbf{s})\bigr| =u_{i}\biggl|\frac{M_{i} }{u_{i}} \epsilon^{\ast}(n,l_{0};\mathbf{s})\biggr| \leqslant Cu_{i}\bigl|\epsilon^{\ast }(n,l_{0};\mathbf{s}) \bigr| \leqslant0.5\,\varepsilon u_{i}q(n;\mathbf{s}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
Объединяя (3.32), (3.33) и (3.34) и используя разложение (3.29), приходим к (3.25). Так как $\mathbf{vu}^{\top}$ $=1$, то соотношение (3.26) немедленно следует из (3.25). Лемма 9 доказана. Доказательство теоремы 2. В силу (3.26) для любого $\varepsilon \in (0,1)$, $l_{0}=l_{0}(\varepsilon )$ и всех $n\geqslant n_{0}$ имеем
$$
\begin{equation*}
q(n+l_{0};\mathbf{s})=q(n;\mathbf{s})-(q(n;\mathbf{s})-q(n+l_{0};\mathbf{s} ))\geqslant (1-\varepsilon )q(n;\mathbf{s}).
\end{equation*}
\notag
$$
Эта оценка в сочетании с (3.25) и (3.26) приводит к неравенству
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl|Q_{i}(n+l_{0};\mathbf{s})-u_{i}q(n+l_{0};\mathbf{s})\bigr| \\ &\qquad\leqslant |Q_{i}(n+l_{0};\mathbf{s})\,{-}\,u_{i}q(n;\mathbf{s})|\,{+}\,u_{i}|q(n;\mathbf{s})\,{-}\,q(n+l_{0};\mathbf{s})| \\ &\qquad\leqslant 2\varepsilon u_{i}q(n;\mathbf{s})=2\varepsilon u_{i}\frac{q(n;\mathbf{s})}{q(n+l_{0};\mathbf{s})}q(n+l_{0};\mathbf{s}) \leqslant \frac{2\varepsilon }{1-\varepsilon }q(n+l_{0};\mathbf{s}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которое влечет соотношение (3.1) в силу того, что $\varepsilon >0$ можно выбрать сколь угодно малым. Теорема доказана. § 4. Доказательство теоремы 1Напомним, что
$$
\begin{equation*}
\Phi (x)=x-\mathbf{v}\mathbf{Q}^{\top}(\mathbf{1}-x\mathbf{u}) =x^{1+\alpha }\ell (x)
\end{equation*}
\notag
$$
в силу условия (1.15). Положим
$$
\begin{equation*}
B(n;\mathbf{s}):=\mathbf{vQ}^{\top}(n;\mathbf{s})-\mathbf{vQ}^{\top}(\mathbf{F}(n; \mathbf{s}))
\end{equation*}
\notag
$$
и докажем сначала бесконечномерный аналог леммы 2 из работы [10]. Лемма 10. Если выполнены условия теоремы 1, то Доказательство. Рассуждения, проводимые ниже для обоснования соотношения (4.1), почти дословно совпадают с доказательством леммы 2 из [10], и мы приводим их здесь только для полноты изложения. Введем функцию
$$
\begin{equation*}
B(\mathbf{s}):=\mathbf{v}(\mathbf{1}-\mathbf{s})^{\top}-\mathbf{vQ}^{\top}(\mathbf{s}).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что для $\mathbf{s}=(s_{1},s_{2},\dots )\in \mathbf{S}$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial B(\mathbf{s})}{\partial s_{i}} &=-v_{i}-\sum_{j=1}^{\infty}v_{j} \frac{\partial Q_{j}(\mathbf{s})}{\partial s_{i}} =-v_{i}+\sum_{j=1}^{\infty }v_{j} \frac{\partial F_{j}(\mathbf{s})}{\partial s_{i}} \\ &\leqslant -v_{i}+\sum_{j=1}^{\infty}v_{j}\mathbb{E}Z_{ji}=-v_{i}+v_{i}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, функция $B(\mathbf{s})$ является монотонно убывающей по отношению к каждому аргументу – координате вектора $\mathbf{s}$. В силу теоремы 2 для любого $\varepsilon >0$ найдется такое $N=N(\varepsilon)$, что
$$
\begin{equation*}
(1-\varepsilon )u_{i}q(n;\mathbf{s})\leqslant Q_{i}(n;\mathbf{s})\leqslant (1+\varepsilon )u_{i}q(n;\mathbf{s})
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $n\geqslant N$, всех $i\in\mathbb{N}$ и $\mathbf{s}\in\mathbf{S}$. Следовательно, при $n\geqslant N$
$$
\begin{equation*}
B(\mathbf{1}-(1-\varepsilon )q(n;\mathbf{s})\mathbf{u})\leqslant B(\mathbf{1}- \mathbf{Q}(n;\mathbf{s}))\leqslant B(\mathbf{1}-(1+\varepsilon )q(n;\mathbf{s}) \mathbf{u}).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу равенств $B(\mathbf{1}-\mathbf{Q}(n;\mathbf{s}))=B(n;\mathbf{s})$ и $B(\mathbf{1}- x\mathbf{u})=\Phi(x)$ следует, что при $n\geqslant N$
$$
\begin{equation*}
\Phi \bigl((1-\varepsilon)q(n;\mathbf{s})\bigr)\leqslant B(n;\mathbf{s})\leqslant\Phi \bigl((1+\varepsilon)q(n;\mathbf{s})\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно нашим условиям функция $\ell(x)$ является медленно меняющейся при $x\to+0$. Следовательно (см., например, теорему 1.1 из [19; гл. 1, п. 1.2]), при $x\to+0$ равномерно по $z\in[ a,b]$, $0<a<b<\infty$. Зафиксируем $\varepsilon_{0} \in(0,1)$. Так как $q(n;\mathbf{s})\leqslant q(n; \mathbf{0})$ и $\lim_{n\to\infty}q(n;\mathbf{0})=0$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to\infty}\sup_{\mathbf{s}\in\mathbf{S}}\frac{ \Phi((1\pm\varepsilon) q(n;\mathbf{s}))}{\Phi(q(n;\mathbf{s}))} \\ &\qquad=(1\pm\varepsilon )^{1+\alpha} \lim_{n\to\infty}\sup_{\mathbf{s}\in \mathbf{S}}\frac{\ell((1\pm\varepsilon) q(n;\mathbf{s}))}{\ell(q(n;\mathbf{s}))} =(1\pm\varepsilon)^{1+\alpha }. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Устремляя теперь $\varepsilon$ к $+0$, выводим соотношение (4.1). Лемма 10 доказана. Следующее утверждение является бесконечномерным аналогом леммы 3 работы [10]. Лемма 11. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда Доказательство. В силу равенства $\Phi (x)=x^{1+\alpha }\ell (x)$ для проверки справедливости соотношения (4.2) достаточно показать, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty }\sup_{\mathbf{s}\in \mathbf{S}}\biggl|\frac{q(n+1,\mathbf{s})}{q(n;\mathbf{s})}-1\biggr|=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь осталось только заметить, что желаемое равенство является следствием оценок (3.14), (3.15), (3.27) и (3.28). Лемма доказана. Доказательство теоремы 1. Используя лемму 10, запишем равенство
$$
\begin{equation*}
B(k;\mathbf{s})={q(k;\mathbf{s})-q(k+1;\mathbf{s})=\Phi (q(k;\mathbf{s}))}( 1+\varepsilon (k;\mathbf{s})),
\end{equation*}
\notag
$$
где Отсюда, полагая $q(0;\mathbf{s}):=\mathbf{v}(\mathbf{1}-\mathbf{s}) ^{\top}$, получаем где $\lim_{n\to \infty }\sup_{\mathbf{s}\in \mathbf{S}}|\varepsilon _{1}(n;\mathbf{s})|=0$. Лемма 11 и монотонность функции $\Phi (x)$ по $x$ позволяют переписать предыдущее соотношение в виде
$$
\begin{equation}
\int_{q(n;\mathbf{s})}^{q(0;\mathbf{s})}\frac{dx}{\Phi (x)}=n(1+\varepsilon_{2}(n;\mathbf{s})),
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где $\lim_{n\to \infty }\sup_{\mathbf{s}\in \mathbf{S}}|\varepsilon _{2}(n;\mathbf{s})|=0$. Полагая $\mathbf{s}=\mathbf{0} $ и вспоминая, что $\Phi (x)=x^{1+\alpha }\ell (x)$ при $x\to +0$, получаем в силу свойств медленно меняющихся функций (см. теорему 1 из [20; гл. VIII, § 9]), что
$$
\begin{equation*}
q^{\alpha }(n)\ell (q(n))\sim (\alpha n)^{-1}, \qquad n\to \infty ,
\end{equation*}
\notag
$$
или (см. свойство $5^{\circ }$ в [19; гл. 1, п. 1.5]) где функция $\ell _{1}(n)$ медленно меняется при $n\to \infty $. Это доказывает равенство (1.16). Соотношение (1.17) следует из (1.16) и теоремы 2. Докажем теперь утверждения (1.18) и (1.19). Пусть $\boldsymbol{\lambda} =(\lambda_{j})_{j\in\mathbb{N}}$ – бесконечномерный вектор с неотрицательными компонентами, а
$$
\begin{equation}
s_{i}=s(n;\lambda_{i})=\exp\{ -\lambda_{i}q(n)\} , \qquad i=1,2,\dotsc\,.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Положим $q(0;\mathbf{s}):=\mathbf{v}(\mathbf{1}-\mathbf{s})^{\top}$. Соотношение $\Phi (q(n))/q(n)\sim (\alpha n)^{-1}$, $n\to\infty$, и замена переменных $x\to zq(n)$ позволяют преобразовать (4.3) к виду
$$
\begin{equation}
\int_{q(n;\mathbf{s})/q(n)}^{q(0;\mathbf{s})/q(n)}\frac{\Phi (q(n))\,d{z}}{\Phi(zq(n))}=\frac{1+\varepsilon_{2}(n;\mathbf{s})}{\alpha},
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где $\varepsilon_{2}(n;\mathbf{s})\to0$ при $n\to\infty$. Заметим, что при $n\to\infty$
$$
\begin{equation}
\frac{\Phi (q(n))}{\Phi (zq(n))}\to \frac{1}{z^{1+\alpha }}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
равномерно по $z$ из любого конечного интервала $0<a\leqslant z\leqslant b<\infty$. Согласно нашим предположениям компоненты вектора $\boldsymbol{\lambda }$ ограничены и $\mathbf{v1}^{\top}=1$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty }\frac{q(0;\mathbf{s})}{q(n)}=(\mathbf{v}, \boldsymbol{\lambda }).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как правая часть равенства (4.5) имеет предел при $n\to \infty$, то левая часть равенства (4.5) также имеет предел при $n\to \infty$. Следовательно, существует
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\frac{q(n;\mathbf{s})}{q(n)}=:1-\phi(\boldsymbol{\lambda}).
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, предельное значение положительно. Действительно, если бы это было не так, то в силу (4.6) интеграл в левой части (4.5) должен был бы расходиться. Используя еще раз (4.6), переходя к пределу в (4.5) при $n\to\infty$ и выполняя интегрирование, получаем
$$
\begin{equation*}
(1-\phi (\boldsymbol{\lambda }))^{-\alpha }-(\mathbf{v},\boldsymbol{ \lambda })^{-\alpha }=1,
\end{equation*}
\notag
$$
что в свою очередь приводит к равенству
$$
\begin{equation*}
\phi (\boldsymbol{\lambda})=1-(1+(\mathbf{v},\boldsymbol{\lambda } )^{-\alpha })^{-1/\alpha }.
\end{equation*}
\notag
$$
Вспоминая теперь теорему 2 и выбирая $\mathbf{s}$ такое же, как в (4.4), приходим к соотношениям
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty }\mathbb{E}\bigl[e^{-(\boldsymbol{\lambda },\mathbf{Z}(n)) q(n)}\mid \mathbf{Z}(n)\neq \mathbf{0},\mathbf{Z}(0) =\mathbf{e}_{i}\bigr] \\ &\qquad =1-\lim_{n\to \infty }\frac{Q_{i}(n;\mathbf{s})}{Q_{i}(n)} =1-\lim_{n\to \infty }\frac{q(n;\mathbf{s})}{q(n)}=\phi (\boldsymbol{\lambda }). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее эквивалентно утверждению (1.18), которое в свою очередь влечет (1.19). Теорема 1 доказана. Укажем в заключение, что постановка задачи об исследовании асимптотического поведения вероятности невырождения критических ветвящихся процессов со счетным множеством типов частиц и бесконечными вторыми моментами числа потомков, доказательства леммы 2 и теоремы 1 принадлежат В. А. Ватутину, леммы 1, 3 и 4 были доказаны Е. Е. Дьяконовой, а результаты, включенные в § 3, получил В. А. Топчий. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VatDyaTop21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|