| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Вариационный метод для эллиптических систем с разрывными нелинейностями В. Н. Павленкоa, Д. К. Потаповb a Челябинский государственный университет b Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9401 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ 1972 г. в [1] была получена теорема существования слабых решений для системы эллиптических уравнений высокого порядка с разрывными по фазовым переменным нелинейностями и однородными граничными условиями Дирихле. Вариационный подход в данной статье базировался на понятии квазипотенциального оператора (этот термин был введен в монографии М. М. Вайнберга [2]). В работе [3] рассматривалась эллиптическая система
$$
\begin{equation*}
-\Delta u=f(x,u)-v, \quad -\Delta v = \delta u - \gamma v \quad\text{в }\ \Omega, \qquad u,v \in \mathring W_2^1(\Omega),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Delta$ – оператор Лапласа, $\Omega$ – ограниченная область в $\mathbb{R}^n$ с достаточно гладкой границей, $f(x,u)$ – суперпозиционно измеримая функция докритического роста на бесконечности, $\delta$ и $\gamma$ – неотрицательные константы. Изучаемая система эквивалентна интегро-дифференциальному уравнению
$$
\begin{equation}
{-}\Delta u + B u = f(x,u) \quad\text{в }\ \Omega, \qquad u \in \mathring W_2^1(\Omega),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $Bu\in \mathring W_2^1(\Omega)\cap W_2^2(\Omega)$ – решение задачи $-\Delta v\,{+}\, \gamma v\,{=}\,\delta u$ в $\Omega$, $v \in \mathring W_2^1(\Omega)$. Вариационным методом, основанным на теории критических точек К.-Ч. Чанга для локально липшицевых функций (см. [4]), доказана теорема существования обобщенного решения задачи (1.1), т.е. $u \in \mathring W_2^1(\Omega)\cap W_q^2(\Omega)$, $q>1$, удовлетворяющего включению $-\Delta u(x) + Bu(x) \in [\underline{f} (x,u(x)),\overline{f} (x,u(x))]$ почти всюду на $\Omega$. Здесь и далее через $\underline{f}(x,u)$ и $\overline{f}(x,u)$ будем обозначать $\liminf_{\eta \to u} f(x,\eta)$ и $\limsup _{\eta \to u} f(x,\eta)$ соответственно. В случае, когда $f(x,u) \equiv f(u) $ и $a \in \mathbb{R}$ – единственная точка разрыва функции $f(u)$, найдены условия, при которых решение задачи (1.1) принимает значения, равные $a$ лишь на множестве меры нуль. Такие решения называются полуправильными. В статье [5] дуальный вариационный принцип применялся к эллиптической системе вида
$$
\begin{equation}
{-}\Delta u(x) =a u(x)+b v(x) + f(v(x)), \quad -\Delta v(x) =c u(x)+a v(x) + g(u(x)) \quad\text{в }\ \Omega,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
$u(x)=v(x)=0$ на $\partial \Omega$. Здесь $\Omega$ – ограниченная область в $\mathbb{R}^n$ с гладкой границей, $a,b,c$ – вещественные числа, функции $f(v)$ и $g(u)$ разрывны каждая только в одной точке $v=\theta$ и $u=\xi$ соответственно, и в этих точках $f(v)$ и $g(u)$ имеют конечные односторонние пределы. Дополнительно предполагается существование положительных констант $m$ и $n$ таких, что функции $f(v)+mv$ и $g(u)+nu$ строго возрастающие на $\mathbb R$. Установлены теоремы существования сильного решения $(u,v)\in \mathring W_2^1(\Omega)\,{\times}\,\mathring W_2^1(\Omega)$ системы (1.2), для которого множества $\{ x \in \Omega\colon v(x) =\theta \}$ и $\{ x \in \Omega\colon u(x) =\xi\}$ имеют нулевую меру (полуправильные решения). Наиболее общие теоремы существования обобщенных решений эллиптических систем из двух уравнений вариационным методом были получены в [6]. Изучалась задача вида
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, -\Delta u=\lambda (a(x)u+b(x)v)+f(x,u(x),v(x)), \qquad x \in\Omega, \\ -\Delta v=\lambda (b(x)u+c(x)v)+g(x,u(x),v(x)), \qquad x \in\Omega, \\ u(x)=v(x)=0, \qquad x\in \partial \Omega, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Omega$ – ограниченная область в $\mathbb{R}^n$ с гладкой границей $\partial \Omega$, $\lambda$ – вещественный параметр, $a$, $b$, $c$ непрерывны в $\overline{\Omega}$ и $b(x) \geqslant 0$ на $\overline{\Omega}$, $b(x)\not\equiv 0$ на $\Omega$, $\max\{\max \{a(x), c(x)\}\colon x\in\overline{\Omega}\}>0$. Функции $f(x,u,v)$ и $g(x,u,v)$ суперпозиционно измеримые, локально ограниченные, и $f(x,0,0)=g(x,0,0)=0$. Для возможности применения вариационного подхода (теория критических точек для локально липшицевых функций) в работе [6] предполагалось, что выполняется следующее условие: $(\mathrm H_2)$ пусть $F\colon \Omega\times {\mathbb R}^2\to {\mathbb R}$ определяется равенством
$$
\begin{equation*}
F(x,t_1,t_2)=\int_0^{t_1}f(x,s,t_2)\,ds+\int_0^{t_2}g(x,0,s)\,ds
\end{equation*}
\notag
$$
и удовлетворяет равенствам
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \displaystyle F(x,t_1,t_2)=\int_0^{t_1}f(x,s,0)\,ds+\int_0^{t_2}g(x,t_1,s)\,ds, \\ \displaystyle F(x,t_1,t_2)=0\quad \text{тогда и только тогда, когда } t_1=t_2=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказаны теоремы существования обобщенного нетривиального решения при $\lambda\in (\lambda_k,\lambda_{k+1})$ и не менее двух нетривиальных обобщенных решений при $\lambda = \lambda_1>0$. Здесь $\lambda_k$ ($k \in \mathbb{N}$) – $k$-е собственное значение задачи
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, -\Delta \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} a(x) & b(x) \\ b(x) & c(x) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}, \qquad x \in \Omega, \\ u(x)=v(x)=0, \qquad x\in\partial \Omega. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Метод верхних и нижних решений применительно к эллиптическим системам позволяет установить теоремы существования сильных решений, в том числе и ненулевых. При этом предполагается, что нелинейности удовлетворяют условию квазимонотонности (см., например, [7]). В случае двух уравнений квазимонотонность нелинейностей $f(x,u,v)$ и $g(x,u,v)$ означает, что $f$ неубывающая по $v$, а $g$ неубывающая по $u$, причем существует постоянная $M>0$ такая, что $f(x,u,v)+Mu$ неубывающая по $u$, а $g(x,u,v)+Mv$ неубывающая по $v$. В настоящей работе эллиптическая система из двух уравнений с разрывными нелинейностями изучается вариационным методом, основанным на понятии квазипотенциального оператора (соответствующие определения см. в § 3). В этом случае условия на нелинейности, обеспечивающие возможность применения вариационного метода отличаются от условия $(\mathrm H_2)$ из работы [6]. Получены теоремы существования сильных и полуправильных решений. Отметим, что в [6] проблема существования сильных и полуправильных решений не рассматривалась. Понятие полуправильного решения для уравнения эллиптического типа с разрывной нелинейностью было введено М. А. Красносельским и А. В. Покровским в их совместной работе [8], а в статье [9] они доказали теорему существования полуправильного решения эллиптической краевой задачи с разрывной нелинейностью методом нижних и верхних решений (см. также [10]). Более общие результаты в этом направлении были получены в [11]. § 2. Постановка задачи и формулировка основных результатовВ ограниченной области $\Omega\subset {\mathbb R}^n$ рассматривается эллиптическая система из двух уравнений
$$
\begin{equation}
L_su_s=g_s(x,u_1,u_2), \qquad x\in\Omega, \quad s=1,2,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
с однородными граничными условиями Дирихле Здесь $\partial\Omega$ – граница области $\Omega$ из класса $C_{2,\alpha}$, $0<\alpha<1$,
$$
\begin{equation}
L_s v=-\sum_{i,j=1}^n(a_{ij}^{(s)}v_{x_i})_{x_j}+a^{(s)}v, \qquad s=1,2,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
– равномерно эллиптические дифференциальные операторы в области $\Omega$ с коэффициентами $a_{ij}^{(s)}\in C_{1,\alpha}(\overline{\Omega})$, $a^{(s)}\in C_{0,\alpha}(\overline{\Omega})$. Равномерная эллиптичность означает, что выполняются неравенства
$$
\begin{equation*}
\sum_{i,j=1}^n a_{ij}^{(s)}(x)\xi_i \xi_j\geqslant \nu_s |\xi|^2 \quad \forall\, \xi=(\xi_1,\dots ,\xi_n)\in {\mathbb R}^n, \qquad x\in\overline\Omega,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\nu_s>0$ – константы эллиптичности $L_s$, $s=1,2$. Предполагается, что функции $g_s(x,u)$, $s=1,2$, суперпозиционно измеримые на $\Omega\times {\mathbb R}^2$, т.е. для любой измеримой на $\Omega$ функции $u$ композиции $g_s(x,u(x))$ измеримые на $\Omega$. Кроме того, для почти всех $x\in\Omega$ справедливы оценки
$$
\begin{equation}
|g_s(x,u)|\leqslant a(x)+b|u|^\nu \quad \forall\, u\in {\mathbb R}^2, \qquad s=1,2,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где $a\in L_{(1+\nu)/\nu}(\Omega)$, $b$ – положительная константа, $\nu\in [0,1)$ ($a\in L_2(\Omega)$ при $\nu=0$), $|u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$, $u=(u_1,u_2)$. Из (2.4) следует, что для почти всех $x\in\Omega$ и любых $u\in {\mathbb R}^2$ конечны
$$
\begin{equation*}
\underline{g_s}(x,u)=\liminf_{\eta \to u} g_s(x,\eta), \quad \overline{g_s}(x,u)=\limsup_{\eta \to u} g_s(x,\eta), \qquad s=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Изучаются различные типы решений задачи (2.1), (2.2). Для формулировки определений и дальнейших выкладок билинейные формы на пространстве $E=\mathring W_2^1(\Omega)\times\mathring W_2^1(\Omega)$, порождаемые эллиптическими дифференциальными операторами $L_s$, $s=1,2$, удобно ввести равенствами
$$
\begin{equation*}
B_{L_s}(u,v)=\int_\Omega \biggl(\sum_{i,j=1}^n a_{ij}^{(s)}(x)u_{x_i}v_{x_j}+a^{(s)}(x)u(x)v(x)\biggr)\,dx \quad \forall\, u,v\in\mathring W_2^1(\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 1. Слабым обобщенным решением задачи (2.1), (2.2) называется функция $u\,{=}\,(u_1,u_2)\,{\in}\, E$, для которой существует измеримая на $\Omega$ функция $z=(z_1,z_2)$ такая, что $z_s(x)\in [\underline{g_s}(x,u(x)),\overline{g_s}(x,u(x))]$, $s=1,2$, почти всюду на $\Omega$ и Определение 2. Сильным обобщенным решением задачи (2.1), (2.2) называется функция $u\,{=}\,(u_1,u_2)\,{\in}\, W_q^2(\Omega)\times W_q^2(\Omega)$, $q>1$, удовлетворяющая граничным условиям (2.2) и для почти всех $x\in\Omega$ включениям Определения слабого и сильного решений задачи (2.1), (2.2) получаются из определений 1 и 2 соответственно заменой $z_s(x)$ на $g_s(x,u(x))$, $s=1,2$. Определение 3. Сильное решение $u(x)$ задачи (2.1), (2.2) называется полуправильным, если для почти всех $x\in\Omega$ значение $u(x)$ является точкой непрерывности $g_s(x,\cdot)$, $s=1,2$. Определения 1–3 отражают специфику эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями. Особый интерес представляют полуправильные решения, поскольку они важны для ряда прикладных задач. Для задач об отрывных течениях М. А. Гольдштика и М. А. Лаврентьева, для задачи о нагреве проводника при постоянном напряжении и постоянной температуре на поверхности проводника в случае, когда электропроводность материала при переходе через определенные температуры изменяется скачком, и для задачи В. Эленбааса об электрической дуге полуправильные решения были получены, например, в работах [12]–[15] соответственно. Основными результатами настоящей статьи являются теоремы 1 и 2. 1) коэффициент $a^{(s)}(x)$ дифференциального оператора $L_s$ неотрицательный на $\Omega$ ($s=1,2$); 2) существует каратеодориева функция $F(x,u)$ на $\Omega\times {\mathbb R}^2$ (т.е. она измерима по $x$ и непрерывна по $u$) такая, что для почти всех $x\in\Omega$ при произвольном выборе $u,h\in {\mathbb R}^2$ функция $F(x,u+th)$ абсолютно непрерывна по $t$ на отрезке $[0,1]$ и для почти всех $t\in [0,1]$ выполнено равенство где $g(x,u)=(g_1(x,u),g_2(x,u))$ и $zv=z_1v_1+z_2v_2$ для любых $z=(z_1,z_2)$ и $v=(v_1,v_2)\in {\mathbb R}^2$;3) функции $g_s(x,u)$, $s=1,2$, суперпозиционно измеримые, для них верны оценки (2.4) и для почти всех $x\in\Omega$
$$
\begin{equation}
g_s(x,u)\in [\underline{g_s}(x,u),\overline{g_s}(x,u)] \quad \forall\, u\in {\mathbb R}^2;
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
4) для почти всех $x\in\Omega$ при любых $u, h \in {\mathbb R}^2$ существует неотрицательный Тогда задача (2.1), (2.2) имеет сильное решение из пространства $W_q^2(\Omega)\times W_q^2(\Omega)$ с $q=(1+\nu)/\nu$ при $\nu\in (0,1)$ и $q=2$ при $\nu=0$, где $\nu$ – постоянная из оценок (2.4). Замечание 1. Условие 2) теоремы 1 (как и сформулированное в § 1 условие $(\mathrm H_2)$ из работы [6]) связано с возможностью применить вариационный метод. В § 6 настоящей статьи приводится класс нелинейностей, удовлетворяющих этому условию. Теорема 2. Пусть выполнены условия 1), 2) и 4) теоремы 1. Дополнительно будем предполагать, что выполнены условия: 3) функции $g_s(x,u)$, $s=1,2$, суперпозиционно измеримые и для них верны оценки (2.4); 5) для почти всех $x\in\Omega$ функция $g_s(x,u_1,u_2)$ неубывающая по $u_2$ на $\mathbb R$, если $s=1$, и по $u_1$ на $\mathbb R$, если $s=2$, причем существует постоянная $M>0$ такая, что $g_s(x,u_1,u_2)+Mu_s$ неубывающие по $u_s$ на $\mathbb R$, $s=1,2$. Тогда задача (2.1), (2.2) имеет полуправильное решение из пространства $W_q^2(\Omega)\times W_q^2(\Omega)$ с $q=(1+\nu)/\nu$ при $\nu\in (0,1)$ и $q=2$ при $\nu=0$, где $\nu$ – постоянная из оценок (2.4). Замечание. Как показано в [7], условий 3) и 5) теоремы 2 достаточно для существования сильного решения задачи (2.1), (2.2). Однако, как показывает пример 1 ниже, их не достаточно для существования полуправильного решения такой задачи. Пример 1. Рассмотрим задачу § 3. Предварительные сведенияПриведем необходимые определения и утверждения для уравнений с квазипотенциальными операторами, которые используются при доказательстве теорем 1 и 2. Полное изложение этих результатов содержится в [16] (см. также [17]). Пусть $E$ – вещественное банахово пространство, $E^*$ – сопряженное с $E$ пространство, $\langle z,x\rangle$ – значение функционала $z\in E^*$ на элементе $x\in E$. Определение 4. Оператор $T\colon E\to E^*$ называется радиально суммируемым, если функция $\varphi_{x,h}(t)=\langle T(x+th),h\rangle$ суммируема по Лебегу на отрезке $[0,1]$ для любых $x,h\in E$. Определение 5. Радиально суммируемый оператор $T\colon E\to E^*$ называется квазипотенциальным, если существует функционал $f\colon E\to\mathbb R$ такой, что Определение 6. Оператор $T\colon E\to E^*$ называется радиально непрерывным в точке $x\in E$, если $\lim_{t\to 0+}\langle T(x+th),h\rangle=\langle Tx,h\rangle$ для любого $h\in E$. В противном случае $x\in E$ называется точкой разрыва оператора $T$. Замечание 3. Если оператор $T\colon E\to E^*$ радиально непрерывный на $E$, то для его потенциальности необходимо и достаточно существование функционала $f\colon E\to \mathbb R$, удовлетворяющего (3.1). При этом $f$ является потенциалом оператора $T$. Последнее означает, что $f$ дифференцируем по Гато и его производная $f'(x)$ равна $Tx$ для любого $x\in E$. Однако квазипотенциальный оператор может иметь точки разрыва и не быть потенциальным. Так, если функция $g\colon \Omega\times {\mathbb R}\to {\mathbb R}$ ($\Omega$ – ограниченная область в ${\mathbb R}^n$) суперпозиционно измеримая, для почти всех $x\in\Omega$ сечение $g(x,\cdot)$ имеет в каждой точке $\mathbb R$ конечные односторонние пределы и Определение 8. Регулярным разрывом оператора $T\colon E\to E^*$ называется точка разрыва $x\in E$ оператора $T$, для которой существует $h\in E$ такой, что $\lim_{t\to 0+}\langle T(x+th),h\rangle <0$. Приведем простое достаточное условие регулярности разрыва (см. [16; предложение 1]). Предложение 1. Если $x\in E$ – точка разрыва оператора $T$ и для любого $h\in E$ существует $\lim_{t\to 0+}\langle T(x+th)-Tx,h\rangle\leqslant 0$, то $x$ – регулярный разрыв оператора $T$. Имеет место Теорема 3 (см. [16; теорема 2]). Пусть $T\,{=}\,T_1\,{+}\,T_2$, где $T_i\colon E\to E^*$ – квазипотенциальные операторы с квазипотенциалами $f_i$ соответственно, $i=1,2$, оператор $T_1$ монотонный, оператор $T_2$ компактный, причем все точки разрыва оператора $T$ регулярные, а пространство $E$ рефлексивное. Предположим, что где $f=f_1+f_2$. Тогда существует $x_0\in E$ такое, что $f(x_0)=\inf\{f(x)\colon x\in E\}$, $x_0$ – точка радиальной непрерывности оператора $T$ и $Tx_0=0$. При доказательстве теоремы 2 используются свойства нелинейностей $g_s(x,u)$, $s=1,2$, которые являются следствиями условия 4) этой теоремы. Перейдем к формулировке и обоснованию этих свойств. Определим на ${\mathbb R}^2$ отношение частичного порядка: $u=(u_1,u_2)\leqslant (v_1,v_2)=v$, если $u_1\leqslant v_1$ и $u_2\leqslant v_2$. Определение 9. Функция $\psi\colon {\mathbb R}^2\to {\mathbb R}$ называется монотонной, если для любых $u, v \in {\mathbb R}^2$ неравенство $u\leqslant v$ влечет $\psi (u)\leqslant \psi (v)$. Предложение 2. Пусть функция $\psi\colon {\mathbb R}^2\to {\mathbb R}$ неубывающая по обоим переменным, т.е. $\psi(\cdot,u_2)$ неубывающая на $\mathbb R$ для любого $u_2\in\mathbb R$ и $\psi(u_1,\cdot)$ неубывающая на $\mathbb R$ для произвольного $u_1\in\mathbb R$. Тогда $\psi$ – монотонная функция. Доказательство. Для любых $u=(u_1,u_2)$ и $v=(v_1,v_2)$ из неравенства $u\leqslant v$ следует поскольку функция $\psi$ неубывающая по обоим переменным. Монотонность $\psi$ доказана. Предложение 3. Пусть функция $\psi\colon {\mathbb R}^2\to {\mathbb R}$ неубывающая по обоим переменным. Тогда $\psi$ ограниченные множества в ${\mathbb R}^2$ переводит в ограниченные. Доказательство. Достаточно доказать, что $\psi$ ограничена на любом прямоугольнике $\Pi=[-\varepsilon_1,\varepsilon_1]\times [-\varepsilon_2,\varepsilon_2]$, где $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$ – положительные числа. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
(-\varepsilon_1,-\varepsilon_2)\leqslant u\leqslant (\varepsilon_1,\varepsilon_2) \quad \forall\, u\in\Pi.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу предложения 2 получим $\psi(-\varepsilon_1,-\varepsilon_2)\leqslant \psi(u)\leqslant\psi(\varepsilon_1,\varepsilon_2)$, что влечет ограниченность $\psi$ на $\Pi$. Замечание 4. Если функция $\psi\colon {\mathbb R}^2\to {\mathbb R}$ неубывающая по обоим переменным, то конечны $\underline{\psi}(u)=\liminf_{\eta \to u} \psi(\eta)$, $\overline{\psi}(u)=\limsup_{\eta \to u} \psi(\eta)$ для любого $u\in {\mathbb R}^2$. Лемма. Если функция $\psi\colon {\mathbb R}^2\to {\mathbb R}$ неубывающая по обоим переменным, то существуют и они равны $\overline{\psi} (u)$ и $\underline{\psi} (u)$ соответственно для произвольного $u=(u_1,u_2)\in {\mathbb R}^2$. Будем далее вместо $\eta_1\to u_1+$, $\eta_2\to u_2+$ ($\eta_1\to u_1-$, $\eta_2\to u_2-$) использовать обозначения $\eta\to u+$ ($\eta\to u-$), где $\eta=(\eta_1,\eta_2)$, $u=(u_1,u_2)$ взяты из ${\mathbb R}^2$. Доказательство леммы. Пусть $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$ – не равные нулю вещественные числа, $u=(u_1,u_2)\in {\mathbb R}^2$. Тогда
$$
\begin{equation*}
(u_1-|\varepsilon_1|,u_2-|\varepsilon_2|)\leqslant (u_1+\varepsilon_1,u_2+\varepsilon_2)\leqslant (u_1+|\varepsilon_1|,u_2+|\varepsilon_2|).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу монотонности $\psi$ следует из чего заключаем, что Поскольку противоположные неравенства в последних двух неравенствах очевидны, то делаем вывод о совпадении правых частей этих неравенств с $\underline{\psi}(u)$ и $\overline{\psi}(u)$ соответственно.
Осталось доказать, что существуют пределы (3.3). Пусть $\lim_{\eta\to u+}\psi(\eta)$ не существует для некоторого $u\in {\mathbb R}^2$. Тогда найдутся последовательности $(v_n)$ и $(v_n')$ в ${\mathbb R}^2$, $v_n=(v_{n1},v_{n2})$, $v_n'=(v_{n1}',v_{n2}')$, такие, что $v_{ns}\to u_s+$, $v_{ns}'\to u_s+$, $s=1,2$, $\psi(v_n)\to a$, $\psi(v_n')\to b$ и $a\neq b$. Пусть для определенности $a>b$. Фиксируем $\varepsilon>0$. Тогда существует натуральное число $n_0$ такое, что $\psi(v_n)>a-\varepsilon$, $\psi(v_n')<b+\varepsilon$ для любого $n>n_0$. Возьмем $\overline{n}>n_0$. Так как $v_{\overline{n}s}'>u_s$, $s=1,2$, и $v_n\to u+$, то существует $k(\overline{n})>n_0$ такое, что $v_{k(\overline{n})}\leqslant v_{\overline{n}}'$. В силу монотонности $\psi$ получим
$$
\begin{equation*}
a-\varepsilon<\psi(v_{k(\overline{n})})\leqslant\psi(v_{\overline{n}}')<b+\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $0<a-b<2\varepsilon$. Беря $\varepsilon=(a-b)/2$, получим противоречие. Существование $\lim_{\eta\to u+}\psi(\eta)$ доказано. Аналогично доказывается существование $\lim_{\eta\to u-}\psi(\eta)$.
Лемма доказана. § 4. Операторная постановка задачи (2.1), (2.2)Пусть $E=\mathring W_2^1(\Omega)\times\mathring W_2^1(\Omega)$ – гильбертово пространство со скалярным произведением
$$
\begin{equation*}
(u,v)=\int_\Omega\sum_{i=1}^n(u_{1x_i}v_{1x_i}+u_{2x_i}v_{2x_i})\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
$\|u\|=\sqrt{(u,u)}$, $u=(u_1,u_2)$, $v=(v_1,v_2)\in E$. Рассмотрим на $E\times E$ билинейную форму $B(u,v)=B_{L_1}(u_1,v_1)+B_{L_2}(u_2,v_2)$, $u=(u_1,u_2)$, $v=(v_1,v_2)$. Существует постоянная $C>0$ такая, что $|B(u,v)|\leqslant C\|u\|\cdot \|v\|$ для любых $u,v\in E$. Следовательно, линейный ограниченный оператор $A\colon E\to E^*$ однозначно определяется равенством $\langle Au,v\rangle=B(u,v)$ для любых $u, v \in E$. Так как операторы $L_1$ и $L_2$ формально самосопряженные, то $B(u,v)=B(v,u)$, что влечет равенство $\langle Au,v\rangle=\langle Av,u\rangle$ для любых $u,v\in E$. Из чего следует потенциальность $A$ и равенство его потенциала величине $\frac12 \langle Au,u\rangle$ (см. [2]). Пусть $p=1+\nu$ при $\nu\in (0,1)$, $p=2$ при $\nu=0$, где $\nu$ – постоянная из оценок (2.4). Тогда пространство $\mathring W_2^1(\Omega)$ компактно вложено в пространство $L_p(\Omega)$, поскольку $p<2n/(n-2)$. Отсюда следует, что $E$ компактно вложено в $E_1=L_p(\Omega)\times L_p(\Omega)$ с нормой
$$
\begin{equation*}
\|u\|_p=\biggl(\int_\Omega |u(x)|^p \,dx\biggr)^{1/p},
\end{equation*}
\notag
$$
где $u(x)=(u_1(x),u_2(x))$ и $|u(x)|=\sqrt{|u_1(x)|^2+|u_2(x)|^2}$. Обозначим оператор вложения пространства $E$ в пространство $E_1$ через $P$. Сопряженный с $P$ оператор $P^*$ будет компактным и является оператором вложения $E_1^*$ в $E^*$. Заметим, что $E_1^*=L_q(\Omega)\times L_q(\Omega)$, где $q=p/(p-1)$. Поскольку функции $g_s(x,u)$ суперпозиционно измеримые на $\Omega\times {\mathbb R}^2$, $s=1,2$, и для них верны оценки (2.4), то порождаемый $g(x,u)=(g_1(x,u),g_2(x,u))$ оператор Немыцкого $Gu=g(x,u(x))$ для любого $u\in E_1$ действует в $E_1^*$ и справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\|Gu\|_q\leqslant 2\|a\|_q+2b\|u\|_p^\nu \quad \forall\, u\in E_1.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Определим оператор $H\colon E\to E^*$ равенством
$$
\begin{equation*}
\langle Hu,v\rangle=\int_\Omega (g_1(x,u(x))v_1(x)+g_2(x,u(x))v_2(x))\,dx
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $u,v\in E$. Правая часть последнего равенства есть $\langle G(Pu),Pv\rangle$, что равно $\langle P^*G(Pu),v\rangle$. Следовательно, $H=P^*GP$. Отсюда следует компактность оператора $H$. Действительно, если $B$ – ограниченное множество в $E$, то $PB$ – ограниченное множество в $E_1$. В силу оценки (4.1) множество $G(PB)$ ограничено в $E_1^*$. Поскольку оператор $P^*$ компактный, то множество $H(B)$ предкомпактное. Осталось заметить, что равенство $Au-Hu=\theta$ ($\theta$ – нуль пространства $E^*$) равносильно
$$
\begin{equation}
B(u,v)=\int_\Omega (g_1(x,u(x))v_1(x)+g_2(x,u(x))v_2(x))\,dx \quad \forall\, v=(v_1,v_2)\in E.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Действительно, (4.2) эквивалентно равенствам
$$
\begin{equation*}
B_{L_s}(u_s,v_s)=\int_\Omega g_s(x,u)v_s(x)\,ds \quad \forall\, v=(v_1,v_2)\in E, \qquad s=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $B_{L_s}(u_s,0)=0$. Последнее означает, что $u(x)$ – слабое решение задачи (2.1), (2.2). Так как из принадлежности $u(x)$ к $E$ следует, что $g_s(x,u(x))\in L_q(\Omega)$, $s=1,2$, то $u(x)$ будет сильным решением задачи (2.1), (2.2) из пространства $W_q^2(\Omega)\times W_q^2(\Omega)$, если коэффициенты $a^{(s)}$, $s=1,2$, в (2.3) неотрицательные на $\Omega$. Это следствие теоремы 9.15 из [19] и единственности слабого решения применительно к задачам $L_su_s=f_s$, $x\in\Omega$, $u_s(x)=0$, $x\in\partial\Omega$, где $f_s\in L_q(\Omega)$, $s=1,2$.
§ 5. Доказательство основных результатовВ этом параграфе используется операторная постановка задачи (2.1), (2.2) из § 4. Доказательство теоремы 1. Согласно § 3 достаточно доказать, что существует $u_0\in E$, для которого $Tu_0=\theta$, где $\theta$ – нуль пространства $E^*$, $T=A\,{-}\,H$. Этот результат получается как следствие теоремы 3. Проверим выполнение ее условий. Выше было показано, что оператор $T_1=A$ потенциальный и его потенциал $f_1(u)$ равен $\frac12 \langle Au,u\rangle$. Так как операторы $L_s$, $s=1,2$, равномерно эллиптические, то в силу условия 1) теоремы 1 найдется постоянная $\chi>0$ такая, что Отсюда в силу линейности оператора $A$ следует его монотонность.
Докажем квазипотенциальность оператора $T_2=-H$. Рассмотрим функционал
$$
\begin{equation*}
f_2(u)=\int_\Omega F(x,u(x))\,dx, \qquad u=(u_1,u_2)\in E,
\end{equation*}
\notag
$$
определенный на $E$. Здесь $F$ – функция из условия 2) теоремы 1. Покажем, что $f_2$ – квазипотенциал оператора $H$, т.е.
$$
\begin{equation*}
f_2(u+h)-f_2(u)=\int_0^1\langle H(u+th),h\rangle\,dt \quad \forall\, u,h\in E.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условия 2) теоремы 1 для любых $u,h\in E$ и почти всех $x\in\Omega$ выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}F(x,u(x)+th(x))=g_1(x,u(x)+th(x))h_1(x)+g_2(x,u(x)+th(x))h_2(x)
\end{equation*}
\notag
$$
для почти всех $t\in [0,1]$. Интегрируя обе части последнего равенства по $t$ на отрезке $[0,1]$ с учетом абсолютной непрерывности $F(x,u(x)\,{+}\,th(x))$ относительно $t$ на $[0,1]$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &F(x,u(x)+h(x))-F(x,u(x)) \\ &\qquad =\int_0^1 (g_1(x,u(x)+th(x))h_1(x)+g_2(x,u(x)+th(x))h_2(x))\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрирование по $x$ на $\Omega$ последнего равенства дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & f_2(u+h)-f_2(u) \\ &\qquad= \int_\Omega\biggl(\int_0^1 (g_1(x,u(x)+th(x))h_1(x)+g_2(x,u(x)+th(x))h_2(x))\,dt\biggr)\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось применить теорему Фубини о перестановке интегралов (см. [20]). В результате получим
$$
\begin{equation}
f_2(u+h)-f_2(u)=\int_0^1 \langle H(u+th),h\rangle\,dt.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Квазипотенциальность $H$ установлена.
Компактность оператора $H$ была доказана в § 4. Установим регулярность точек разрыва оператора $T=T_1+T_2$, где $T_1=A$, $T_2=-H$. Согласно предложению 1 из § 3 для этого достаточно доказать, что для любых $u,h\in E$ существует $\lim_{t\to 0+}\langle T(u\,{+}\,th)\,{-}\,Tu,h\rangle \,{\leqslant}\, 0$. Для произвольных $u,h\in E$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\langle T(u+th)-Tu,h\rangle \\ &\qquad= \langle A(u+th)-Au,h\rangle -\int_\Omega (g(x,u(x)+th(x))-g(x,u(x)))h(x)\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Здесь использовано обозначение $zh$ вместо $z_1h_1+z_2h_2$ для произвольных $z=(z_1,z_2)$, $h=(h_1,h_2)\in {\mathbb R}^2$. Предел при $t\to 0+$ первого слагаемого в правой части равенства (5.3) равен нулю, так как $A$ – линейный непрерывный оператор. Согласно условию 4) теоремы 1 для почти всех $x\in\Omega$ существует
$$
\begin{equation*}
\lim_{t\to 0+}(g(x,u(x)+th(x))-g(x,u(x)))h(x)\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что существует суммируемая на $\Omega$ функция $\psi (x)$, ограничивающая сверху модуль подынтегральной функции в (5.3) при почти всех $x\in\Omega$ и $t\in (0,1)$. Отсюда в силу теоремы Лебега о переходе к пределу под знаком интеграла будет следовать существование предела правой части в (5.3) при $t\to 0+$ и его неотрицательность. Напомним, что $u,h\in E$ и $E$ компактно вложено в $L_p(\Omega)\times L_p(\Omega)$, $p=1+\nu$, $\nu\in (0,1)$. Поэтому $|u|$ и $|h|$ принадлежат пространству $L_p(\Omega)$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
|u|^\nu\in L_q(\Omega), \quad\text{где }\ q=\frac{p}{p-1}=\frac{1+\nu}{\nu},
\end{equation*}
\notag
$$
так как
$$
\begin{equation*}
\int_\Omega |u(x)|^{\nu q}\,dx=\int_\Omega |u(x)|^{1+\nu}\,dx=\int_\Omega |u(x)|^p\,dx<+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом оценки (2.4) имеем для почти всех $x\in\Omega$ и $t\in (0,1)$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|g(x,u(x)+th(x))h(x)-g(x,u(x))h(x)| \\ &\qquad\leqslant|g(x,u(x)+th(x))h(x)|+|g(x,u(x))h(x)| \\ &\qquad\leqslant 2|a(x)|\cdot|h(x)|+b|u(x)+th(x)|^\nu|h(x)|+b|u(x)|^\nu|h(x)| \\ &\qquad\leqslant2|a(x)|\cdot|h(x)|+b(2^\nu(|u|^\nu+|h|^\nu)+|u(x)|^\nu)|h(x)| \\ &\qquad=2|a(x)|\cdot|h(x)|+b((2^\nu+1)|u|^\nu|h(x)|+2^\nu|h|^{\nu+1})\equiv\psi (x), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $a\in L_q(\Omega)$ – функция из оценки (2.4). В силу неравенства Гёльдера функции $|a(x)|\cdot |h(x)|$, $|u|^\nu |h(x)|$ суммируемы на $\Omega$ и $|h|^{\nu+1}=|h|^p$ принадлежит пространству $L_1(\Omega)$. Следовательно, $\psi (x)\in L_1(\Omega)$. Таким образом, доказано, что для любых $u,h\in E$ существует $\lim_{t\to 0+}\langle T(u+th)-Tu,h\rangle\leqslant 0$. Итак, все точки разрыва оператора $T$ регулярные.
Осталось проверить условие (3.2) теоремы 3 (коэрцитивность квазипотенциала $f$ оператора $T$). В силу неравенства (5.1) имеем
$$
\begin{equation*}
f_1(u)\geqslant\frac{\chi}{2}\|u\|^2 \quad \forall\, u\in E,
\end{equation*}
\notag
$$
$\chi$ – положительная константа. Оценим $f_2(u)$. Поскольку квазипотенциал оператора $H$ определен с точностью до аддитивной постоянной, то можно считать, что $f(0)=0$ (см., например, [21]). Тогда, полагая в (5.2) $u=0$, получим
$$
\begin{equation*}
f_2(h)=\int_0^1\langle H(th),h\rangle\,dt \quad\forall\, h\in E.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\langle H(th),h\rangle=\langle G(tPh),Ph\rangle$ ($P$ – оператор вложения $E$ в $E_1$), то
$$
\begin{equation*}
|\langle H(th),h\rangle|\leqslant \|G(tPh)\|_q\cdot \|Ph\|_p \quad \forall\, h\in E, \qquad t\in [0,1], \quad q=\frac{p}{p-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу оценки (4.1) имеем для любого $h\in E$ и $t\in [0,1]$
$$
\begin{equation*}
|\langle H(th),h\rangle |\leqslant (2\|a\|_q+2bt^\nu \|Ph\|_p^\nu)\cdot \|Ph\|_p\leqslant C_1\|h\|+C_2\|h\|^{1+\nu},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\nu\in [0,1)$ – постоянная из неравенств (2.4), $C_1=2\|a\|_q\cdot \|P\|$, $C_2=2b\|P\|^{1+\nu}$. Отсюда следует, что $f_2(h)\leqslant C_1\|h\|+C_2\|h\|^{1+\nu}$. Поэтому для любого $h\in E$ имеем
$$
\begin{equation*}
f(h)=f_1(h)-f_2(h)\geqslant\frac{\chi}{2}\|h\|^2-C_1\|h\|-C_2\|h\|^{1+\nu},
\end{equation*}
\notag
$$
из чего (с учетом того, что $\nu<1$) заключаем, что функционал $f$ коэрцитивен и, значит, условие (3.2) теоремы 3 выполняется. Как следствие теоремы 3 получаем существование $u_0\in E$, удовлетворяющего равенству $Tu_0=\theta$, такого, что $u_0$ является точкой радиальной непрерывности оператора $T$.
Теорема 1 доказана. Доказательство теоремы 2. Все условия теоремы 1, кроме включения (2.5), содержатся в формулировке теоремы 2. Из условия 5) теоремы 2 следует, что функции неубывающие по переменным $u_1$, $u_2$ для почти всех $x\in\Omega$. В силу предложения 2 отсюда следует монотонность этих функций на ${\mathbb R}^2$ для почти всех $x\in\Omega$, из чего заключаем, что для почти всех $x\in\Omega$ верны неравенства
$$
\begin{equation*}
h_s(x,u_1-\varepsilon,u_2-\varepsilon)\leqslant h_s(x,u)\leqslant h_s(x,u_1+\varepsilon,u_2+\varepsilon)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $u=(u_1,u_2)\in {\mathbb R}^2$ и $\varepsilon>0$, $s=1,2$. Переходя к пределу при $\varepsilon\to 0+$, в силу леммы из § 3 получим для почти всех $x\in\Omega$
$$
\begin{equation*}
\underline{g_s}(x,u)\leqslant g_s(x,u)\leqslant \overline{g_s}(x,u) \quad \forall\, u\in {\mathbb R}^2, \qquad s=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Включение (2.5) доказано.
Из теоремы 1 заключаем, что существует элемент $u_0\in E$, который является точкой радиальной непрерывности оператора $T$ и удовлетворяет равенству $Tu_0=0$. Из радиальной непрерывности $T$ в точке $u_0$ следует, что для любого $h\in E$ существует
$$
\begin{equation*}
\lim_{t\to 0+}\langle T(u_0+th),h\rangle =\langle T(u_0),h\rangle .
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что $u_0$ – полуправильное решение задачи (2.1), (2.2). Допустим противное. Тогда мера множества $D=\bigcup_{s=1}^2D_s$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_s &=\{x\in\Omega\colon u_0(x) - \text{ точка разрыва } g_s(x,\cdot)\} \\ &=\{x\in\Omega\colon \underline{g_s}(x,u_0(x))<\overline{g_s}(x,u_0(x))\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$s=1,2$, не равна нулю. Это равносильно тому, что либо $D_1$, либо $D_2$ имеют меру, не равную нулю. Пусть для определенности $\operatorname{mes} D_1\neq 0$. Тогда ненулевую меру имеет хотя бы одно из множеств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, D_{11}=\{x\in D_1\colon g_1(x,u_0(x))\neq \underline{g_1}(x,u_0(x))\}, \\ D_{12}=\{x\in D_1\colon g_1(x,u_0(x))\neq \overline{g_1}(x,u_0(x))\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $D_1=D_{11}\cup D_{12}$, поскольку $g_1(x,u_0(x))\in [\underline{g_1}(x,u_0(x)),\overline{g_1}(x,u_0(x))]$ почти всюду на $\Omega$. Если $\operatorname{mes} D_{11}\neq 0$, то возьмем $h=(h_1,h_2)\in E$ такое, что $h_s(x)<0$ на $\Omega$, $s=1,2$. Для того чтобы $h$ обладало указанными свойствами, достаточно, чтобы $h_1=h_2$ было решением однородной задачи Дирихле
$$
\begin{equation*}
\Delta u=1, \quad x\in\Omega, \qquad u(x)=0 \quad\text{на }\ \partial\Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы из § 3 получаем, что для почти всех $x\in\Omega$ существует
$$
\begin{equation*}
\lim_{t\to 0+}(g_s(x,u_0+th(x))-g_s(x,u_0(x)))=\underline{g_s}(x,u_0(x))-g_s(x,u_0(x)), \qquad s=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
C учетом включения $g_s(x,u_0(x))\in [\underline{g_s}(x,u_0(x)),\overline{g_s}(x,u_0(x))]$ отсюда следует, что для почти всех $x\in\Omega$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{t\to 0+}((g_1(x,u_0+th(x))-g_1(x,u_0(x)))h_1(x) \\ &\qquad\qquad +(g_2(x,u_0+th(x))-g_2(x,u_0(x)))h_2(x)) \\ &\qquad=(\underline{g_1}(x,u_0(x))-g_1(x,u_0(x)))h_1+ (\underline{g_2}(x,u_0(x))-g_2(x,u_0(x)))h_2\geqslant 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что это неравенство строгое на $D_{11}$, из чего, применяя теорему Лебега о переходе к пределу под знаком интеграла, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \lim_{t\to 0+}\langle T(u_0+th)-Tu_0,h\rangle= \lim_{t\to 0+}(\langle A(u_0+th)-Au_0,h\rangle \\ &\qquad\qquad -\int_\Omega \bigl((g_1(x,u_0+th(x))-g_1(x,u_0(x)))h_1(x) \\ &\qquad\qquad+(g_2(x,u_0+th(x))-g_2(x,u_0(x)))h_2(x)\bigr)\,dx \\ &\qquad= -\int_\Omega ((\underline{g_1}(x,u_0(x))-g_1(x,u_0(x)))h_1(x) \\ &\qquad\qquad +(\underline{g_2}(x,u_0(x))-g_2(x,u_0(x)))h_2(x))\,dx<0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Полученное неравенство противоречит радиальной непрерывности оператора $T$ в точке $u_0$. Случай, когда $\operatorname{mes} D_{12}\neq 0$, рассматривается аналогично случаю $\operatorname{mes}D_{11} \ne 0$ с выбором $h=(h_1,h_2)\in E$ такого, что $h_s(x)>0$ на $\Omega$, $s=1,2$, а в последующих выкладках $\underline{g_s}$ заменяется на $\overline{g_s}$, $s=1,2$.
Теорема 2 доказана. Замечание 5. Для $h=(h_1,h_2)\in {\mathbb R}^2$, для которого $h_1h_2\geqslant 0$, существование и неотрицательность предела (2.6) следует из условия 5) теоремы 2. Действительно, если $h=(h_1,h_2)$ и $h_s\geqslant 0$ или $h_s\leqslant 0$, $s=1,2$, то из леммы из § 3 заключаем, что существует предел (2.6), который равен Пример 2. Пусть $\psi(u_1,u_2)=1$, если $u_2>-u_1$, и $\psi(u_1,u_2)=-1$, если $u_2\,{<}\,{-}u_1$. На прямой $u_2=-u_1$ имеем $\psi(u)=1$, если $u_1<-1$ или $u_1\,{\geqslant}\, 0$, и $\psi(u)=(-1)^n$, если $u_1\in [-1/n,-1/(n\,{+}\,1))$, $n\in\mathbb N$. Данная функция монотонная и по $u_1$, и по $u_2$, но $\lim_{t\to 0+}\psi(th)$, $h=(-1,1)$, не существует. Заметим, что данная функция суперпозиционно измеримая. § 6. Классы нелинейностей, удовлетворяющих условиям теорем 1 и 2Пусть $\Omega$ – ограниченная область в ${\mathbb R}^n$. Будем говорить, что функция $f$: $\Omega\times {\mathbb R}\to {\mathbb R}$ удовлетворяет условию (i), если $f(\cdot,s)$ измерима для любого $s\,{\in}\,\mathbb R$ на $\Omega$ и для почти всех $x\in\Omega$ сечение $f(x,\cdot)$ имеет в каждой точке $s\in\mathbb R$ конечные односторонние пределы $f(x,s-)$ и $f(x,s+)$ и непрерывно справа на $\mathbb R$, т.е. $f(x,s)=f(x,s+)$ для любого $s\in\mathbb R$. Заметим, что такая функция суперпозиционно измеримая на $\Omega\times\mathbb R$ (см. [22]) и для почти всех $x\in\Omega$ функция $f(x,\cdot)$ на каждом отрезке числовой прямой ограниченная и измеримая, а значит, суммируемая. Отсюда следует, что для почти всех $x\in\Omega$ функция $\varphi (s)={\displaystyle\int_0^sf(x,t)\,dt}$ абсолютно непрерывна на $\mathbb R$ и для почти всех $s\in\mathbb R$ существует производная $\varphi' (s)=f(x,s)$ (см. [20]). Рассмотрим функции $f_j(x,s)$, $\psi_j(x,s)$, $j\,{=}\,1,2$, удовлетворяющие условию (i), и положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_1(x,u_1,u_2)&=f_1(x,u_1)\int_0^{u_2}f_2(x,s)\,ds+\psi_1(x,u_1), \\ g_2(x,u_1,u_2)&=f_2(x,u_2)\int_0^{u_1}f_1(x,s)\,ds+\psi_2(x,u_2), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$x\in\Omega$, $u=(u_1,u_2)\in {\mathbb R}^2$. Функции $g_1(x,u)$, $g_2(x,u)$ суперпозиционно измеримые на $\Omega\times {\mathbb R}^2$. Покажем, что для них выполняется условие 2) теоремы 1. Пусть
$$
\begin{equation*}
F(x,u_1,u_2)=\int_0^{u_1}f_1(x,s)\,ds \int_0^{u_2}f_2(x,s)\,ds+\int_0^{u_1}\psi_1(x,s)\,ds+\int_0^{u_2}\psi_2(x,s)\,ds,
\end{equation*}
\notag
$$
$x\in\Omega$, $u=(u_1,u_2)\in {\mathbb R}^2$. Эта функция каратеодориева на $\Omega\times {\mathbb R}^2$ (измеримая по $x$ на $\Omega$ для всех $u\in {\mathbb R}^2$ и для почти всех $x\in\Omega$ непрерывна по $u$ на ${\mathbb R}^2$). Более того, для почти всех $x\in\Omega$ и произвольных $u,h\in {\mathbb R}^2$ функция $F(x,u\,{+}\,th)$ абсолютно непрерывна по $t$ на отрезке $[0,1]$ и существует производная $\dfrac{d}{dt}F(x,u\,{+}\,th)$. Для почти всех $t\in [0,1]$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{d}{dt}F(x,u+th) \\ &\qquad =f_1(x,u_1+th_1)h_1\int_0^{u_2+th_2}f_2(x,s)\,ds+f_2(x,u_2+th_2)h_2 \int_0^{u_1+th_1}f_1(x,s)\,ds \\ &\qquad\qquad +\psi_1(x,u_1+th_1)h_1+\psi_2(x,u_2+th_2)h_2 \\ &\qquad= g_1(x,u+th)h_1+g_2(x,u+th)h_2=g(x,u+th)h, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $g(x,u)=(g_1(x,u),g_2(x,u))$. Следовательно, условие 2) теоремы 1 выполняется. Для того чтобы выполнялось включение (2.5) в условии 3) теоремы 1 и условие 4) этой теоремы, дополнительно потребуем: a) для почти всех $x\in\Omega$ справедливы неравенства $sf_j(x,s)\geqslant 0$ для любого $s\in\mathbb R$ ($j=1,2$); b) $f_j(x,s-)\leqslant f_j(x,s+)$, $\psi_j(x,s-)\leqslant\psi_j(x,s+)$ для почти всех $x\in\Omega$ и всех $s\in\mathbb R$, $j=1,2$. Из условия a) следует, что для почти всех $x\in\Omega$ интегралы $\displaystyle\int_0^s f_j(x,s)\,ds$, $j=1,2$, неотрицательны для произвольного $s\in\mathbb R$. Так как функции $f_j(x,s)$, $\psi_j(x,s)$, $j=1,2$, непрерывны справа для почти всех $x\in\Omega$, то $f_j(x,s)=f_j(x,s+)$, $\psi_j(x,s)=\psi_j(x,s+)$ для почти всех $x\in\Omega$ и $s\in\mathbb R$. Отсюда следует, что для почти всех $x\in\Omega$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \underline{g_1}(x,u)&=\liminf_{\eta\to u}g_1(x,\eta)=f_1(x,u_1-)\int_0^{u_2}f_2(x,s)\,ds+\psi_1(x,u_1-), \\ \overline{g_1}(x,u)&=\limsup_{\eta\to u}g_1(x,\eta)=f_1(x,u_1)\int_0^{u_2}f_2(x,s)\,ds+\psi_1(x,u_1) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $u=(u_1,u_2)\in {\mathbb R}^2$. Аналогично для почти всех $x\in\Omega$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \underline{g_2}(x,u)&=f_2(x,u_2-)\int_0^{u_1}f_1(x,s)\,ds+\psi_2(x,u_2-), \\ \overline{g_2}(x,u)&=f_2(x,u_2)\int_0^{u_1}f_1(x,s)\,ds+\psi_2(x,u_2) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $u=(u_1,u_2)\in {\mathbb R}^2$, из чего заключаем, что справедливо включение (2.5) в условии 3) теоремы 1, так как $g_j(x,u)=\overline{g_j}(x,u)$, $j=1,2$, для почти всех $x\in\Omega$ и произвольных $u\in\mathbb R$. Проверим выполнение условия 4) теоремы 1. Рассмотрим возможные варианты выбора $h=(h_1,h_2)\in {\mathbb R}^2$. Пусть $h_1\geqslant 0$, $h_2\,{\in}\,\mathbb R$. Тогда для почти всех $x\in\Omega$ существует $\lim_{t\to 0+}(g_1(x,u+th)-g_1(x,u))h_1=0$ при всех $u\in {\mathbb R}^2$, так как
$$
\begin{equation*}
\lim_{t\to 0+}f_1(x,u_1+th_1)=f_1(x,u_1), \qquad \lim_{t\to 0+}\psi_1(x,u_1+th_1)=\psi_1(x,u_1),
\end{equation*}
\notag
$$
если $h_1\geqslant 0$, поскольку $f_1(x,\cdot)$, $\psi_1(x,\cdot)$ непрерывны справа на $\mathbb R$ для почти всех $x\in\Omega$. Если $h_1<0$, $h_2\in\mathbb R$, то для почти всех $x\in\Omega$ существует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \lim_{t\to 0+}(g_1(x,u+th)-g_1(x,u))h_1 \\ &\qquad=((f_1(x,u_1-)-f_1(x,u_1))\int_0^{u_2}f_2(x,s)\,ds +(\psi_1(x,u_1-)-\psi_1(x,u_1)))h_1\geqslant 0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при любых $u\in {\mathbb R}^2$, поскольку $f_1(x,u_1-)\leqslant f_1(x,u_1)$, $\psi_1(x,u_1-)\leqslant \psi_1(x,u_1)$ для почти всех $x\in\Omega$. Аналогично доказывается, что если $h_1\in\mathbb R$, $h_2\geqslant 0$, то для почти всех $x\in\Omega$ а в случае $h_1\in\mathbb R$, $h_2<0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{t\to 0+}(g_2(x,u+th)-g_2(x,u))h_2 \\ &\qquad =((f_2(x,u_2-)-f_2(x,u_2))\int_0^{u_1}f_1(x,s)\,ds +(\psi_2(x,u_2-)-\psi_2(x,u_2)))h_2\geqslant 0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для произвольного $u\in {\mathbb R}^2$. Таким образом, для почти всех $x\in\Omega$ существует
$$
\begin{equation*}
\lim_{t\to 0+}(g(x,u+th)-g(x,u))h\geqslant 0 \quad \forall\, u,h\in {\mathbb R}^2,
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, условие 4) теоремы 1 выполнено. Осталось выяснить, какие должны быть ограничения на рост $f_j(x,s)$ и $\psi_j(x,s)$, $j=1,2$, чтобы для $g_j(x,u)$, $j=1,2$, были верны оценки (2.4). Будем предполагать, что для почти всех $x\in\Omega$
$$
\begin{equation}
|f_j(x,s)|\leqslant c_1 |s|^{\nu-1},\quad \text{если } |s|>s_0>0,
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
$$
\begin{equation}
|f_j(x,s)|\leqslant c_2,\quad \text{если } |s|\leqslant s_0,
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
$j=1,2$, $c_1$, $c_2$ – положительные константы, $\nu\in (0,1)$. Заметим, что из (6.1) и (6.2) следует существование постоянной $c_3>0$ такой, что для почти всех $x\in\Omega$
$$
\begin{equation}
|f_j(x,s)|\leqslant c_3 \quad \forall\, s\in\mathbb R.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Потребуем, чтобы для $\psi_j(x,u)$ для почти всех $x\in\Omega$ выполнялись неравенства
$$
\begin{equation}
|\psi_j(x,s)|\leqslant a(x)+c_4 |s|^{\nu} \quad \forall\, s\in\mathbb R,
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
где $j\,{=}\,1,2$, $a\,{\in}\, L_{(1+\nu)/\nu}(\Omega)$, $c_4$ – положительная константа. Из оценок (6.1)–(6.4) для почти всех $x\in\Omega$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|g_1(x,u_1,u_2)|=\biggl|f_1(x,u_1)\int_0^{u_2}f_2(x,s)\,ds+\psi_1(x,u_1)\biggr| \\ &\quad \leqslant(\nu^{-1}c_1|u_2|^\nu+c_2s_0)c_3+a(x)+c_4|u_1|^\nu\leqslant a_1(x)+c_5|u|^\nu \quad \forall\, u=(u_1,u_2)\in {\mathbb R}^2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_1(x)=a(x)+c_2c_3s_0$, $c_5=\nu^{-1}c_1c_3+c_4$. Аналогично для почти всех $x\in\Omega$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|g_2(x,u_1,u_2)|=\biggl|f_2(x,u_2)\int_0^{u_1}f_1(x,s)\,ds+\psi_2(x,u_2)\biggr| \\ &\qquad \leqslant a_1(x)+c_5|u|^\nu \quad \forall\, u=(u_1,u_2)\in {\mathbb R}^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для того, чтобы были верны оценки (2.4), достаточно, чтобы для функций $f_j(x,s)$, $\psi_j(x,s)$, $j=1,2$, выполнялись неравенства (6.1), (6.2) и (6.4). Итак, если функции $f_j(x,s)$, $\psi_j(x,s)$, $j=1,2$, удовлетворяют перечисленным выше условиям, то построенные по ним нелинейности $g_1(x,u)$ и $g_2(x,u)$ удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Выделим теперь из класса нелинейностей, удовлетворяющих условиям теоремы 1, указанного выше, подкласс нелинейностей, для которых выполняются условия теоремы 2. Пусть функции $f_j(x,s)$ и $\psi_j(x,s)$, $j=1,2$, удовлетворяют условию (i), сформулированному в начале § 6, и по ним, как и выше, строятся нелинейности $g_1(x,u_1,u_2)$ и $g_2(x,u_1,u_2)$. Предположим, что для почти всех $x\in\Omega$ имеем $f_j(x,s)=0$, если $s<0$, $f_j(x,s)\geqslant 0$, если $s\geqslant 0$, $j=1,2$. Более того, существуют положительные постоянные $M_1$ и $M_2$ такие, что функции $f_j(x,s)+M_js$ и $\psi_j(x,s)+M_js$ неубывающие на $\mathbb R$ по $s$ для почти всех $x\in\Omega$, $j=1,2$. Дополнительно предполагается, что для почти всех $x\in\Omega$ справедливы оценки
$$
\begin{equation}
f_j(x,s)\leqslant \widetilde{c}_1 s^{\nu-1-\varepsilon}, \quad\text{если }\ s>s_0>0,
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
$$
\begin{equation}
f_j(x,s)\leqslant \widetilde{c}_2, \quad\text{если }\ 0\leqslant s\leqslant s_0,
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
где $j=1,2$, $\widetilde{c}_1$, $\widetilde{c}_2$ – положительные константы, $\nu\in (0,1)$, $\varepsilon>\nu$. Из (6.5) и (6.6) следует существование $\widetilde{c}_3>0$ такой, что для почти всех $x\in\Omega$ имеют место неравенства $f_j(x,s)\leqslant \widetilde{c}_3$ для любого $s\in\mathbb R$ ($j=1,2$). Потребуем, чтобы для $\psi_j(x,u)$ при почти всех $x\in\Omega$ были верны неравенства (6.4), $j=1,2$, $a\in L_{(1+\nu)/\nu}(\Omega)$, $c_4>0$. Как и ранее, можно показать, что для $g_j(x,u)$, $j=1,2$, верны оценки (2.4) для почти всех $x\in\Omega$. Осталось проверить выполнение условия 5) теоремы 2. Так как для почти всех $x\in\Omega$ имеем $f_j(x,s)=0$ при $s<0$ и $f_j(x,s)\geqslant 0$ при $s\geqslant 0$, то для почти всех $x\in\Omega$ функции $g_1(x,u_1,u_2)$ неубывающая по $u_2$ на $\mathbb R$ для любого $u_1\in\mathbb R$ и $g_2(x,u_1,u_2)$ неубывающая по $u_1$ на $\mathbb R$ для любого $u_2\in\mathbb R$. Пусть $M>0$. Для почти всех $x\in\Omega$ для любых вещественных $u_1$ и $\widetilde{u}_1$, удовлетворяющих неравенству $u_1\geqslant \widetilde{u}_1$, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &(g_1(x,u_1,u_2)+Mu_1)-(g_1(x,\widetilde{u}_1,u_2)+M\widetilde{u}_1) \\ \notag &\quad=(g_1(x,u_1,u_2)-g_1(x,\widetilde{u}_1,u_2))+M(u_1-\widetilde{u}_1) \\ \notag &\quad=((f_1(x,u_1)+M_1u_1)-(f_1(x,\widetilde{u}_1)+M_1\widetilde{u}_1))\int_0^{u_2}f_2(x,s)\,ds \\ \notag &\quad\qquad -M_1(u_1-\widetilde{u}_1)\int_0^{u_2}f_2(x,s)\,ds+(\psi_1(x,u_1)+M_1u_1) \\ &\quad\qquad -(\psi_1(x,\widetilde{u}_1)+M_1\widetilde{u}_1) -M_1(u_1-\widetilde{u}_1)+M(u_1-\widetilde{u}_1). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
В силу (6.5), (6.6) получим для почти всех $x\in\Omega$ и $u_2\geqslant s_0$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &\leqslant\int_0^{u_2}f_2(x,s)\,ds =\int_0^{s_0}f_2(x,s)\,ds+\int_{s_0}^{u_2}f_2(x,s)\,ds\leqslant \widetilde{c}_2s_0+\int_{s_0}^{u_2}\widetilde{c}_1s^{\nu-1-\varepsilon}\,ds \\ &=\widetilde{c}_2s_0-\frac{\widetilde{c}_1}{\varepsilon-\nu}u_2^{\nu-\varepsilon}+\frac{\widetilde{c}_1}{\varepsilon-\nu}s_0^{\nu-\varepsilon}\leqslant \widetilde{c}_2s_0+\frac{\widetilde{c}_1}{\varepsilon-\nu}s_0^{\nu-\varepsilon}=\widetilde{c}_4. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу (6.7) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(g_1(x,u_1,u_2)+Mu_1)-(g_1(x,\widetilde{u}_1,u_2)+M\widetilde{u}_1) \\ &\qquad\geqslant -(\widetilde{c}_4+1)M_1(u_1-\widetilde{u}_1)+M(u_1-\widetilde{u}_1)\geqslant 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
если $M\geqslant (\widetilde{c}_4+1)M_1$. Аналогичный результат верен также для $g_2(x,u_1,u_2)$, если выбрать $M\geqslant (\widetilde{c}_4\,{+}\,1)M_2$. Таким образом, условие 5) теоремы 2 выполняется для достаточно большого $M$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PavPot21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|