| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Многомерные системы Хаара в функциональных пространствах Бесова П. Освальд Institute for Numerical Simulation, University of Bonn, Bonn, Germany
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9398 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеСистема Хаара функций одной переменной $H:=\{h_m\}_{m\in\mathbb{N}}$ послужила одним из первых примеров базиса Шаудера в некоторых классических функциональных пространствах на единичном отрезке $I:=[0,1]$ (см. обзор ранних результатов о базисных свойствах системы Хаара в функциональных пространствах в [3], [12; § III] и [29; п. 2.1]). В настоящее время существование базисов Шаудера в функциональных пространствах типа Бесова–Харди–Соболева доказано в большинстве случаев (по поводу обзора недавних результатов см. [27]). Ранее З. Чисельский с соавторами (см. [1]–[6]) построили семейства систем сплайнов, обобщающие классические системы Хаара, Фабера и Франклина, а также установили для них свойство базисности в пространствах Лебега–Соболева на $d$-мерных кубах и на гладких многообразиях при $1\leqslant p \leqslant \infty$. Системы всплесков дают примеры безусловных базисов Шаудера в пространствах Бесова обобщенных функций $B_{p,q}^s(\mathbb{R}^d)$ и в пространствах Лизоркина–Трибеля $F_{p,q}^s(\mathbb{R}^d)$ при $0<p,q<\infty$, $s\in \mathbb{R}$. По поводу результатов в этом направлении и их обобщений на случай пространств на областях из $\mathbb{R}^d$ см. [28], [29]. Нет необходимости специально отмечать, что не все квазибанаховы функциональные пространства обладают хорошими базисными свойствами. К примеру, пространство $L_1(I)$ не обладает безусловным базисом Шаудера (см. [12; теорема II.13]), а квазибанаховы пространства $L_p(I)$, $0<p<1$, не обладают базисами Шаудера, поскольку их сопряженное $L_p(I)'=\{0\}$ вырождено. В настоящей работе мы рассматриваем многомерную анизотропную тензорную систему Хаара
$$
\begin{equation}
\widetilde{H}^d = \underbrace{H\otimes \dots \otimes H}_{d \text{ раз}}, \qquad d\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
и ее изотропный аналог $H^d$ на единичном кубе $I^d\subset \mathbb{R}^d$ (последняя система называется системой всплесков Хаара в [29]) и изучаем базисные свойства в смысле Шаудера таких систем в пространствах Бесова ${B}_{p,q,1}^s(I^d)\subset L_p(I^d)$. В классической постановке такие функциональные пространства определяются в терминах $L_p$-модулей гладкости первого порядка (подробные определения даются в следующем параграфе), при этом эти пространства совпадают со своими аналогами для обобщенных функций ${B}_{p,q}^s(I^d)$ только при некоторых условиях на $p$, $q$, $s$. В настоящей работе мы в основном рассматриваем следующий диапазон изменения параметров: За исключением особого случая $s=0$ указанная выше область параметров является максимальной областью, для параметров из которой ${B}_{p,q,1}^s(I^d)$ является сепарабельным квазибанаховым пространством и содержит системы Хаара $\widetilde{H}^d$ и $H^d$. Более того, при таких параметрах пространство ${B}_{p,q,1}^s(I^d)$ может быть охарактеризовано в терминах наилучшего $L_p$-приближения кусочно постоянными функциями на двоичных разбиениях куба $I^d$. Этот результат будет использован ниже в доказательствах. Основной результат работы для системы всплесков Хаара $H^d$ дается следующей теоремой. Теорема 1.1. Пусть для $p$, $q$, $s$ выполнено условие (1.2). Тогда справедливы следующие утверждения. a) Если $1\leqslant p<\infty$, то система всплесков Хаара $H^d$ является безусловным базисом Шаудера в ${B}_{p,q,1}^s(I^d)$ во всем диапазоне рассматриваемых параметров $0< s <1/p$, $0<q<\infty$. b) Пусть $0<p<1$. Тогда система $H^d$ является безусловным базисом Шаудера в ${B}_{p,q,1}^s(I^d)$, если и только если $d(1/p-1)<s<1/p$, $0<q<\infty$. Если $s=d(1/p-1)$, $0<q\leqslant p$, то система $H^d$ (при поблочном упорядочивании) является базисом Шаудера в ${B}_{p,q,1}^s(I^d)$, не являющимся безусловным. Во всех других случаях система $H^d$ не является базисом Шаудера в ${B}_{p,q,1}^s(I^d)$. В этой теореме утверждения о безусловной базисности системы $H^d$ доказываются с помощью характеризации пространства ${B}_{p,q,1}^s(I^d)$ в терминах коэффициентов Хаара. В этой связи мы отсылаем читателя к теореме 3.1 из п. 3.2, в которой приводятся условия, при которых пространство ${B}_{p,q,1}^s(I^d)$ изоморфно некоторому весовому пространству последовательностей $\ell_q(\ell_p)$. Исключительный случай $s=0$ рассматривается в теореме 5.1 из п. 5.2. Мы также докажем следующий результат. Теорема 1.2. Если в условиях (1.2) $0<p<1$, то на пространстве Бесова ${B}_{p,q,1}^s(I^d)$ нет нетривиальных ограниченных линейных функционалов (т.е. ${B}_{p,q,1}^s(I^d)'=\{0\}$), если и только если $s<d(1/p-1)$, $0<q<\infty$ или $s=d(1/p-1)$, $1<q<\infty$. Как следствие, для таких параметров пространство ${B}_{p,q,1}^s(I^d)$ вообще не обладает базисом Шаудера – этот результат является более сильным, чем результат о том, что система всплесков Хаара $H^d$ не является базисом Шаудера. Для области параметров
$$
\begin{equation}
0<p <q \leqslant 1, \qquad s = d\biggl(\frac 1p-1\biggr)
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
(в которой согласно теореме 1.1 система $H^d$ не является базисом Шаудера в ${B}_{p,q,1}^s(I^d)$) имеет место непрерывное вложение ${B}_{p,q,1}^s(I^d)\subset L_1(I^d)$ и, как следствие, $L_\infty(I^d)\subset {B}_{p,q,1}^s(I^d)'$. Однако нам не известно, обладают ли пространства ${B}_{p,q,1}^s(I^d)$, удовлетворяющие (1.3), хотя бы одним (безусловным) базисом Шаудера. Стоит также отметить, что из наших результатов вытекает, что в доказательствах того, что система $H^d$ является базисом Шаудера в ${B}_{p,q,1}^s(I^d)$, мы можем рассматривать область значений параметра гладкости $\max(0,d(1/p -1)\leqslant s <1/p$), что дает оценку снизу для параметра $p$. Это условие будет неявно подразумеваться всюду ниже. С точки зрения базисности Шаудера в пространствах Бесова ${B}_{p,q,1}^s(I^d)$ тензорная система Хаара $\widetilde{H}^d$ имеет такие же свойства, как и система $H^d$, при $1 < p < \infty$, однако при $p<1$ ее свойства существенно отличны. Этот результат вытекает из теоремы 5.2 из п. 5.3, в которой также рассматривается случай $p=1$. Остановимся на известных ранее результатах, которые мотивировали настоящее исследование. Системы Хаара $\widetilde{H}^d$ и $H^d$ при $d>1$ были формально введены в 1970-х годах в работах [3] и [6]. Система $H^d$ была неявно введена еще в [25]. В случае функций одной переменной ($d=1$) утверждение a) теоремы 1.1 было по сути получено Х. Трибелем в [25] и С. Ропела в [21] при условии $q\geqslant 1$. Обобщения на случай $d\geqslant 1$ получены З. Чисельским в [3] и Х. Трибелем. В [29; § 2] содержится обзор результатов Х. Трибеля по этой задаче для пространств Бесова $B_{p,q}^s(\mathbb{R}^d)$ и $B_{p,q}^s(I^d)$. Начиная с [26] Х. Трибель рассматривал значения параметров $0<p,q<\infty$, $-\infty<s<\infty$, и доказал безусловную базисность в смысле Шаудера системы $H^d$ в пространстве $B_{p,q}^s(I^d)$ для области параметров
$$
\begin{equation*}
\max\biggl(d\biggl(\frac 1p-1\biggr),\frac 1p-1\biggr) < s < \min\biggl(1,\frac 1p\biggr), \qquad 0 < p,q <\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Этот результат составляет основное утверждение п. (i) теоремы 2.13 (случай $d=1$) и п. (i) теоремы 2.26 (случай $d>1$) из монографии [29]. Отметим, что при $0 <p,q\leqslant \infty$
$$
\begin{equation}
B_{p,q}^s(I^d) = B_{p,q,1}^s(I^d) \quad \Longleftrightarrow \quad \max\biggl(0,d\biggl(\frac 1p-1\biggr)\biggr) < s < \min\biggl(1,\frac 1p\biggr),
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
т.е. для параметров с условием (1.4) шкалы пространств $B_{p,q}^s(I^d)$ и $B_{p,q,1}^s(I^d)$ совпадают с точностью до эквивалентных квазинорм. Как следствие, за исключением области значений $1\leqslant s <1/p$ при $0<p<1$, свойство безусловной базисности в смысле Шаудера системы $H^d$ в пространствах $B_{p,q,1}^s(I^d)$ по существу следует из результатов X. Трибеля для пространств $B_{p,q}^s(I^d)$ во всех случаях, указанных в теоремах 1.1 и 3.1. Однако в настоящей работе мы дадим прямое доказательство для пространств $B_{p,q,1}^s(I^d)$, используя характеризацию наилучших кусочно постоянных $L_p$-приближений на двоичных разбиениях. Х. Трибель в [26] также установил, что для параметров, не лежащих в замыкании области (1.4) система всплесков Хаара $H^d$ не является базисом Шаудера в пространствах $B_{p,q}^s(I^d)$. Граничные случаи оставались неисследованными до появления недавней серии работ [8]–[10], [22], [23], в которой были изучены нерешенные случаи для шкал пространств $B_{p,q}^s$ и $F_{p,q}^s$. В частности, в работе [9] дается полный ответ о свойствах базисности Шаудера систем всплесков Хаара в пространствах $B_{p,q}^s(\mathbb{R}^d)$ и $B_{p,q}^s(I^d)$. В этих работах была также выявлена тонкая разница между случаями $\mathbb{R}^d$ и $I^d$ при критическом значении параметра гладкости $s=d(1/p-1)$, $0<p<1$, а также были даны корректные асимптотические оценки норм частичных сумм проекторов, построенных по системе $H^d$. Следует также упомянуть примыкающую к настоящему исследованию работу [31], в которой были изучены необходимые и достаточные условия на параметры $p,q,s,\tau$, при которых отображение $\displaystyle f \to (f,\chi_{I^d})_{L_2}=\int_{I^d} f\,dx$ может быть продолжено до ограниченного функционала на пространствах $B_{p,q}^{s,\tau}(\mathbb{R}^d)$ типа Бесова–Моррея–Кампанато. При $0<p<1$ свойство базисности в смысле Шаудера системы $H^d$ в пространствах $B_{p,q}^s(I^d)$ и $B_{p,q,1}^s(I^d)$ независимо изучалось автором настоящей работы в [18]. Эта работа является развитием более ранней работы автора [16], в которой некоторый частичный результат был сформулирован для случая $d=1$. А именно, там было доказано, что система Хаара $H$ функций одной переменной образует базис Шаудера в пространстве $B_{p,q,1}^{s}(I)$ для критического значения $s=1/p-1$ параметра гладкости, если $0<q\leqslant p<1$ (см. замечание в конце работы [16]). В [16] было также установлено, что сопряженное пространство к пространству $B_{p,q,1}^{s}(I)$ тривиально, если $0<s<1/p-1$, $0<p<1$ и $0<q<\infty$. Работа организована следующим образом. В § 2 даются необходимые определения и формулируются вспомогательные результаты о пространствах Бесова и кусочно постоянной $L_p$-аппроксимации по двоичным разложениям. В § 3 дается доказательство достаточности для значений параметров $p,q,s$ из основных результатов (теоремы 1.1 и 3.1). Необходимость этих условий доказывается в § 4, где также доказывается теорема 1.2 и строятся специальные контрпримеры для случая приближения кусочно постоянными функциями. Идейно близкие примеры были использованы в работе автора [16]. В заключительном § 5 даются некоторые замечания о системах сплайнов высокого порядка, а также приводятся аналогичные результаты для тензорной системы Хаара $\widetilde{H}^d$ и для исключительных случаев $s=0$ и $q=\infty$. § 2. Определения и вспомогательные результаты2.1. Системы ХаараДля начала напомним определение $L_\infty$-нормированных функций Хаара одной переменной. Через $\chi_\Omega$ мы будем обозначать характеристическую функцию измеримого по Лебегу множества $\Omega\subset \mathbb{R}^d$, а через $\Delta_{k,i}:=[(i-1)2^{-k},i2^{-k})$ – одномерный двоичный интервал длины $2^{-k}$, $k\in \mathbb{Z}_+$, $i\in\mathbb{Z}$. Тогда система Хаара $H=\{h_m\}_{m\in\mathbb{N}}$ функций одной переменной на отрезке $I:=[0,1]$ определяется следующим образом: $h_1=\chi_I$ и, далее,
$$
\begin{equation*}
h_{2^{k-1}+i}=\chi_{\Delta_{k,2i-1}}-\chi_{\Delta_{k,2i}}, \qquad i=1,\dots,2^{k-1}, \quad k\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
На протяжении всей работы мы будем рассматривать $L_\infty$-нормированные функции Хаара. Функции Хаара $h_m$ при $m\geqslant 2$ могут быть также индексированы своими носителями; при этом система Хаара получается путем сдвигов и растяжений одной фиксированной функции (всплеска Хаара $h_2:=\chi_{[0,1/2)}-\chi_{[1/2,1)}$). В самом деле,
$$
\begin{equation*}
h_{\Delta_{k-1,i}}:=h_2(2^{k-1}-i+1), \qquad i=1,\dots,2^{k-1}, \quad k\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Введенная выше индексация функций Хаара $h_m$ является естественным упорядочиванием и используется в литературе. Однако систему $H$ можно также определить как объединение двоичных блоков
$$
\begin{equation*}
H=\bigcup_{k=0}^\infty H_k, \qquad H_0=\{h_1\}, \quad H_k=\{h_{\Delta_{k-1,i}}\colon i=1,\dots,2^{k-1}\}, \quad k\in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
рассматривая произвольные упорядочивания внутри каждого блока $H_k$. Ниже мы будем работать с многомерными аналогами пространств
$$
\begin{equation*}
S_k=\operatorname{span}(\{h_m\}_{m=1}^{2^k}) =\operatorname{span}(\{\chi_{\Delta_{k,i}}\}_{i=1}^{2^k}), \qquad k=0,1,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
состоящих из кусочно постоянных функций относительно равномерного двоичного разбиения $T_k=\{\Delta_{k,i}\colon i=1,\dots,2^k\}$ единичного отрезка $I$ с шагом $2^{-k}$. Система всплесков Хаара на $d$-мерном кубе $I^d$, $d>1$, определяется поблочно следующим образом. Пусть разбиение $T_k^d$ куба $I^d$ состоит из всех двоичных кубов c длиной ребра $2^{-k}$. Каждый куб в $T_k^d$ есть $d$-кратное произведение одномерных отрезков $\Delta_{k,i}$, т.e.
$$
\begin{equation*}
T_k^d =\{ \Delta_{k,\mathbf{i}}:=\Delta_{k,i_1}\times \dots\times \Delta_{k,i_d}\colon \mathbf{i}=(i_1,\dots,i_d)\in \{1,\dots,2^k\}^d\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $S_k^d$ обозначим множество всех кусочно постоянных функций на $T_k^d$. Каждому $\Delta_{k-1,\mathbf{i}}\in T_{k-1}^d$, $\mathbf{i}\in \{1,\dots,2^{k-1}\}^d$, $k\in \mathbb{N}$, мы сопоставим множество $H^d_{k,\mathbf{i}}\subset S_k^d$ из $2^d-1$ многомерных функций Хаара с носителем $\Delta_{k-1,\mathbf{i}}$, определяемых всеми возможными тензорными произведениями:
$$
\begin{equation*}
\psi_{k,i_1}\otimes \psi_{k,i_2}\otimes \dots \otimes\psi_{k,i_d}, \qquad \psi_{k,i} = h_{\Delta_{k-1,i}}\text{ или } \chi_{\Delta_{k-1,i}},
\end{equation*}
\notag
$$
где по крайней мере одна из функций $\psi_{k,i_l}$ равна $h_{\Delta_{k-1,i_l}}$. Блоки $H_k^d$ из (2.1) задаются следующим образом. Блок $H_0^d$, являющийся исключительным, состоит из одной постоянной функции $\chi_{I^d}$. Блок $H_1^d$ совпадает с $H^d_{1,\mathbf{1}}$ и состоит из $2^d-1$ функций Хаара, где $\mathbf{1}=(1,\dots,1)$. В общем случае при $k\geqslant 2$ блок
$$
\begin{equation*}
H_k^d := \bigcup_{\Delta_{k-1,\mathbf{i}}\in T_{k-1}^d}H^d_{k,\mathbf{i}}
\end{equation*}
\notag
$$
состоит из $(2^d-1)2^{(k-1)d}$ функций Хаара уровня $k$. Ясно, что
$$
\begin{equation*}
S_k^d = \operatorname{span}\biggl(\bigcup_{l=0}^k H_l^d\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и что система $H^d$ является полной ортогональной системой в $L_2(I^d)$. Так как каждая функция Хаара в $H^d$ имеет носитель на $d$-мерном двоичном кубе, то мы иногда будем называть эту систему изотропной, в отличие от анизотропной тензорной системы Хаара $\widetilde{H}^d$, определенной в (1.1), где носителями тензорных функций Хаара $\widetilde{h}\in \widetilde{H}^d$ являются $d$-мерные двоичные прямоугольные параллелепипеды. Отметим, что система $\widetilde{H}^d$ может быть представлена в виде блоков $\widetilde{H}_k^d$, где при $k\geqslant 1$ блок $\widetilde{H}_k^d$ состоит из тензорных функций Хаара $\widetilde{h}\in S_k^d$, ортогональных подпространству $S_{k-1}^d$; при этом $\widetilde{H}_0^d=H_0^d=\{\chi_{I^d}\}$. Ясно, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{span}(\widetilde{H}_k^d)=\operatorname{span}(H_k^d), \qquad k\in \mathbb{Z}_+,
\end{equation*}
\notag
$$
так что система $\widetilde{H}^d$ получена поуровневым преобразованием системы $H^d$ (и наоборот). Базисные свойства системы $\widetilde{H}^d$ в пространствах $B_{p,q,1}^s(I^d)$ подробно рассматриваются в п. 5.3 (см. теорему 5.2). Оказывается, что при $0<p< 1$ две системы Хаара $H^d$ и $\widetilde{H}^d$ ведут себя в этом отношении совершенно по-разному. Как и в одномерном случае, упорядочивание функций Хаара внутри блоков $H_k^d$ может быть произвольным. Утверждение теоремы 1.1 имеет место при любом таком поблочном упорядочивании. Отметим, что в [9] были рассмотрены немного более общие упорядочивания для систем всплесков Хаара на кубах $I^d$ и в $\mathbb{R}^d$. 2.2. Функциональные пространстваТрадиционно функциональное пространство Бесова $B_{p,q,1}^s(I^d)$ определяется при $s>0$, $0<p,q\leqslant \infty$ как множество всех функций $f\in L_p(I^d)$ с конечной квазинормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{B_{p,q,1}^s}:= \begin{cases} (\|f\|_{L_p}^q+ \| t^{-s-1/q} \omega(t,f)_p\|_{L_q(I)}^q)^{1/q}, & 0<q<\infty, \\ \|f\|_{L_p}+ \sup_{t\in I} t^{-s} \omega(t,f)_p,&q=\infty. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Формально это определение имеет смысл при всех $s\in \mathbb{R}$ (дальнейшие комментарии по этому вопросу даются ниже). Здесь
$$
\begin{equation*}
\omega(t,f)_p:=\sup_{0<|y|\leqslant t} \|\Delta_y f\|_{L_p(I^d_y)}, \qquad t>0,
\end{equation*}
\notag
$$
обозначает $L_p$-модуль гладкости первого порядка, а
$$
\begin{equation*}
\Delta_y f(x):=f(x+y)-f(x), \qquad x\in I^d_y:=\{z\in I^d\colon z+y\in I^d\}, \quad y\in \mathbb{R}^d,
\end{equation*}
\notag
$$
обозначает разность вперед первого порядка. Здесь и далее мы используем стандартное соглашение: если рассматриваемая область является кубом $I^d$, то она не указывается в обозначениях для пространств и квазинорм, например, мы будем в этом случае писать $B_{p,q,1}^s$ вместо $B_{p,q,1}^s(I^d)$ и $\|\,{\cdot}\,\|_{L_p}$ вместо $\|\,{\cdot}\,\|_{L_p(I^d)}$. Исключением являются формулировки теорем. Далее через $c$, $C$ мы будем обозначать положительные постоянные, которые могут быть различны в разных формулах. При этом, если не оговорено обратное, предполагается, что эти постоянные зависят только от $p$, $q$, $s$ и $d$. По определению запись $A\approx B$ означает, что $cA\leqslant B\leqslant CA$ при некоторых таких постоянных $c$ и $C$. Пространство ${B}_{p,q,1}^s$ является квазибанаховым пространством, наделенным $\gamma$-квазинормой, где $\gamma=\min(p,q,1)$. По определению это означает, что функционал $\|\,{\cdot}\,\|_{{B}_{p,q,1}^s}$ является положительно однородным и удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation*}
\|f+g\|_{{B}_{p,q,1}^s}^{\gamma}\leqslant \|f\|_{{B}_{p,q,1}^s}^{\gamma}+\|g\|_{{B}_{p,q,1}^s}^{\gamma}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, $L_p$ — квазибанахово пространство с $\gamma$-квазинормой при $\gamma=\gamma_p:=\min(p,1)$. Если $0<q<\infty$, то пространства ${B}_{p,q,1}^s$ представляют интерес только при $0\leqslant s < 1/\gamma_p$. Действительно, если $f\in {B}_{p,q,1}^s$ при некотором $s\geqslant 1/\gamma_p$, $0<q<\infty$, то из свойств $L_p$-модулей гладкости первого порядка имеем $\omega(t,f)_p=\mathrm{o}(t^{1/\gamma_p})$, $t\to 0$, что, в свою очередь, влечет, что $\omega(t,f)_p=0$ при всех $t>0$ и $f(x)=\xi$ почти всюду на $I^d$ с некоторой константой $\xi\in\mathbb{R}$. Отсюда следует, что пространство ${B}_{p,q,1}^s$ вырождается во множество постоянных функций на $I^d$. С другой стороны, имеет место неравенство $\omega(t,f)_p\leqslant 2^{1/\gamma_p}\|f\|_{L_p}$, из которого следует, что
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{{B}_{p,q,1}^s}\approx \|f\|_{L_p}, \qquad f\in L_p, \qquad s<0.
\end{equation*}
\notag
$$
Иными словами, ${B}_{p,q,1}^s=L_p$ при $s<0$ (это равенство также верно при $s=0$ и $q=\infty$). Чтобы завершить это краткое обсуждение определения и свойств $B_{p,q,1}^s$-пространств, мы остановимся на мотивировке нашего основного предположения (1.2) об области параметров. Случай $s=0$ является в некотором роде исключительным и часто вообще не рассматривается (мы вернемся к нему в п. 5.2). Так как нашим основным вопросом является исследование свойств базисности в смысле Шаудера счетных систем $H^d$ и $\widetilde{H}^d$, то мы также можем исключить из рассмотрения все те параметры, для которых пространство ${B}_{p,q,1}^s$ является несепарабельным или не содержит кусочно постоянных функций на двоичных разбиениях. Требование сепарабельности исключает из рассмотрения пространства с $p=\infty$ или $q=\infty$. Так как для любой функции Хаара $h\in H_k^d$, $k=1,2,\dots$, где константы не зависят от $k$, то система $H^d$ не лежит в пространстве $B_{p,q,1}^s$ при $s\geqslant 1/p$, $0<q<\infty$. Таким образом, условия (1.2) на параметры являются естественными.Для полноты мы также дадим определение пространств Бесова обобщенных функций, используя двоичные разложения преобразований Фурье (см., например, [29; п. 1.1]). Через $\mathscr F\colon S'(\mathbb{R}^d) \to S'(\mathbb{R}^d)$ обозначим оператор преобразования Фурье на множестве обобщенных функций медленного роста. Рассмотрим гладкое разбиение единицы $\{\varphi_k\}_{k\in \mathbb{Z}_+}$, где функция $\varphi_0\in C^\infty(\mathbb{R}^d)$ такова, что $\varphi_0(x)=1$ при $|x|\leqslant 1$ и $\varphi_0(x)=0$ при $|x|\geqslant 3/2$ и $\varphi_k(x)=\varphi_0(2^{-k}x)- \varphi_0(2^{-k+1}x)$ при $x\in \mathbb{R}^d$ и $k\geqslant 1$. Тогда обобщенная функция медленного роста $f\in S'(\mathbb{R}^d)$ лежит в пространстве $B_{p,q}^s(\mathbb{R}^d)$ в случае, если $\min(p,q,1)$-квазинорма
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{B_{p,q}^s(\mathbb{R}^d)}:=\| (\| 2^{ks}\mathscr F^{-1}\varphi_k\mathscr F f\|_{L_p(\mathbb{R}^d)})_{k\in \mathbb{Z}_+}\|_{\ell_q(\mathbb{Z}_+)}
\end{equation*}
\notag
$$
является конечной. Меняя порядок взятия квазинорм на пространствах $L_p(\mathbb{R}^d)$, $\ell_q(\mathbb{Z}_+)$, мы приходим к определению пространств Лизоркина–Трибеля $F_{p,q}^s(\mathbb{R}^d)$. Пространства на областях определяются через соответствующие ограничения. В частности, для области $I^d$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, B_{p,q}^s=\{f\colon \exists\,g\in B_{p,q}^s(\mathbb{R}^d) \text{ такое, что } f=g|_{I^d}\}, \\ \|f\|_{B_{p,q}^s}:= \inf_{g\colon f=g|_{I^d}} \|g\|_{B_{p,q}^s(\mathbb{R}^d)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Дальнейшие детали по поводу этого определения, а также его многочисленных эквивалентных переформулировок содержатся в монографиях [27] и [29; гл. 1], в которых также даны ссылки на более ранние исследования. В частности, эквивалентность (1.4) отмечается в [29; п. 1.1]. 2.3. Кусочно постоянная $L_p$-аппроксимацияМы начнем с введения эквивалентной квазинормы на ${B}_{p,q,1}^s$. Ее определение основано на технике аппроксимации кусочно постоянными функциями на двоичных разбиениях. Через
$$
\begin{equation*}
E_k(f)_p:= \inf_{s\in S_k^d} \|f-s\|_{L_p},\qquad k=0,1,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
обозначим величину наилучшего приближения функции $f\in L_p$ классом $S_k^d$. Лемма 2.1. Пусть $0<p,q< \infty$, $0\leqslant s<1/p$ и $d\geqslant 1$. Тогда величина задает эквивалентную квазинорму на ${B}_{p,q,1}^s$. Этот результат вытекает из прямых и обратных неравенств между величиной наилучшего приближения $E_k(f)_p$ и модулями гладкости $\omega(t,f)_p$ (результаты такого рода получены рядом авторов). По поводу случая функций от одной переменной $d=1$, см., например, работы П. Л. Ульянова [30] и Б. И. Голубова [11] в случае $1\leqslant p<\infty$, а также Э. А. Стороженко, В. Г. Кротова и П. Освальда [24; § 2] в случае $0<p<1$. Лемма 2.1 является частным случаем [7; теорема 5.1]; по поводу случая $d=1$ и $0<p<1$ см. [15; теорема 6]. Доказательства в случае $s>0$ также покрывают случай $s=0$, не упомянутый в этих работах. Отметим, что в [7] диапазон изменения параметров $1\leqslant s< 1/p$, $0<p<1$, формально исключается из рассмотрения, но указанный выше результат также верен в случае кусочно постоянных приближений. При подходящей модификации квазинормы такая аппроксимативно-теоретическая характеризация также верна при $q=\infty$ и $0\leqslant s<1/p$. Эквивалентность норм (2.2) автоматически влечет, что множество двоичных ступенчатых функций
$$
\begin{equation*}
S^d:=\operatorname{span}(H^d)=\operatorname{span}(\{S_k^d\}_{k\in \mathbb{Z}_+})
\end{equation*}
\notag
$$
плотно в пространстве ${B}_{p,q,1}^s(I^d)$ для значений параметров из в леммы 2.1. Эта эквивалентность может быть использована для доказательства точных теорем вложения пространств ${B}_{p,q,1}^s$ в $L_r$. В частности, имеют место непрерывные вложения
$$
\begin{equation}
{B}_{p,p,1}^{d(1/p-1)} \subset {B}_{p,1,1}^{d(1/p-1)}\subset L_1, \qquad \frac{d-1}d < p < 1.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
По поводу случая $d=1$ см. [15], а по поводу случая $d>1$ см. [7; теорема 7.4]. Локальный вариант соответствующего неравенства для вложения будет применен ниже в § 3. В основе контрпримеров, которые будут построены в § 4 при $p\leqslant 1$, лежит простое наблюдение о наилучшем $L_p$-приближении константами, которое мы формулируем следующим образом. Лемма 2.2. Пусть $(\Omega,\mathscr{A},\mu)$ – пространство с конечной мерой и пусть функция $f\in L_p(\Omega):=L_p(\Omega,\mathscr{A},\mu)$, $0<p\leqslant 1$, равна константе $\xi_0$ на измеримом множестве $\Omega'\in \mathscr{A}$ меры $\mu(\Omega')\geqslant \mu(\Omega)/2$. Тогда т.e. наилучшее приближение функции $f$ константами в $L_p(\Omega)$ достигается на элементе $\xi=\xi_0$. Доказательство. Действительно, при сделанных выше предположениях из неравенства $|a+b|^p\leqslant |a|^p+|b|^p$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f-\xi\|_{L_p(\Omega)}^p&=\int_{\Omega\setminus \Omega'}|f(x)-\xi|^p\,d\mu(x) +\mu(\Omega')|\xi-\xi_0|^p \\ &\geqslant \int_{\Omega\setminus\Omega'}(|f(x)-\xi|^p +|\xi-\xi_0|^p)\,d\mu(x) \\ &\geqslant \int_{\Omega\setminus\Omega'}|f(x)-\xi_0|^p\,d\mu(x)=\|f-\xi_0\|_{L_p(\Omega)}^p \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при любом $\xi \in \mathbb{R}$; при этом равенство достигается при $\xi=\xi_0$. Лемма 2.2 доказана. Отметим, что эквивалентность (с точностью до констант, зависящих от параметров, но не от $f$) $L_p$-квазинорм и наилучших приближений константами также имеет место при $p\geqslant 1$ и более слабых предположениях об относительной мере $\Omega'$ (к примеру, для этого достаточно выполнения условия $\mu(\Omega')/ \mu(\Omega)\geqslant \delta>0$). Мы применим эту лемму к мере Лебега на двоичных кубах из $I^d$ и к специальным примерам ступенчатых функций, которые будут построены ниже. Отметим, что также возможны обобщения этого результата на случай аппроксимации многочленами и сплайнами (см. доказательство леммы на с. 535 в работе [16] для случая $d=1$). 2.4. Базисность в смысле ШаудераПоследовательность $(f_m)_{m\in \mathbb{N}}$ элементов квазибанахова пространства $X$ называется базисом Шаудера в $X$ (или базисом в смысле Шаудера), если любой элемент $f\in X$ разлагается единственным образом в ряд который сходится в $X$. Если любая перестановка последовательности $(f_m)_{m\in \mathbb{N}}$ образует базис Шаудера в $X$, то эта последовательность называется безусловным базисом Шаудера. Ниже мы воспользуемся следующим критерием, доказательство которого может быть легко распространено на случай квазибанаховых пространств.Лемма 2.3. Последовательность $(f_m)_{m\in \mathbb{N}}$ элементов квазибанахова пространства $X$ образует базис Шаудера в $X$, если и только если ее линейная оболочка плотна в $X$ и найдется последовательность $(\lambda_m)_{m\in \mathbb{N}}$ линейных непрерывных функционалов на $X$ таких, что причем соответствующие операторы частичных сумм равномерно ограничены на $X$. Более того, система $(f_m)_{m\in \mathbb{N}}$ образует безусловный базис Шаудера в $X$, если и только если, в дополнение к приведенным выше условиям, все операторы где $J$ – произвольное ограниченное подмножество $\mathbb{N}$, равномерно ограничены на $X$.Из леммы 2.3 непосредственно следует, что для того, чтобы пространство $X$ имело базис Шаудера, оно должно обладать достаточно богатым сопряженным пространством $X'$, состоящим из линейных непрерывных функционалов. Для дальнейшего нам потребуется следующее определение. Система $(f_m)_{m\in \overline{J}}$ с конечным или счетным индексным множеством $\overline{J}\subset \mathbb{N}$ называется безусловной в $X$, если выполнено свойство равномерной ограниченности
$$
\begin{equation*}
C_{\overline{J}}:=\sup_{J\subset \overline{J}}\|S_J\|_{X\to X} <\infty
\end{equation*}
\notag
$$
для операторов частичных сумм, где последовательность $(\lambda_m)_{m\in \overline{J}}$ определена выше. Иными словами, система является безусловной, если и только если она образует безусловный базис Шаудера в подпространстве $\overline{\mathrm{span}((f_m)_{m\in \overline{J}}})|_X$ пространства $X$. Если $H^d$ – базис Шаудера в квазибанаховом пространстве $X$ функций, определенных на $I^d$, то по лемме 2.3 его линейная оболочка $S^d=\operatorname{span}(H^d)$ должна быть плотна в $X$. Это условие выполнено для любого пространства $X={B}_{p,q,1}^{s}$ с параметрами, удовлетворяющими (1.2). Более того, так как $S^d\subset L_\infty\subset L_2$ и поскольку $H^d$ образует ортогональную систему в $L_2$, то любая двоичная ступенчатая функция $g\in S^d$ имеет единственное разложение по системе Хаара:
$$
\begin{equation}
g= \sum_{h\in H^d} \lambda_h(g) h, \qquad \lambda_h(g):=2^{kd}\int_{I^d} g h \,dx.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Так как для $g\in S^d$ ненулевыми являются только конечное число коэффициентов $\lambda_h(g)$, то суммирование в (2.4) происходит по конечному множеству и, соответственно, не возникает вопросов, связанных со сходимостью. Таким образом, необходимым условием того, чтобы система $H^d$ (при поблочном упорядочивании) образовывала базис Шаудера в $X$, является продолжимость коэффициентных функционалов $\lambda_h(g)$ в (2.4) до элементов пространства $X'$, при этом операторы частичных сумм до уровня $k$
$$
\begin{equation}
P_kg = \sum_{l=0}^k \sum_{h\in H^d_l} \lambda_h(g) h, \qquad k=0,1,\dots,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
должны образовывать последовательность равномерно ограниченных линейных операторов в $X$. Из-за локальности носителей функций Хаара в каждом из блоков $H^d_l$ и вследствие принятого упорядочивания элементов системы всплесков Хаара часто оказывается достаточным рассмотрение именно такой подпоследовательности операторов частичных сумм. Утверждения в части b) теоремы 1.1 о том, что система $H^d$ не является базисом Шаудера в ${B}_{p,q,1}^{s}$, будут установлены с помощью теоремы 1.2 или путем доказательства того, что операторы $P_k$ не являются равномерно ограниченными. Если пространство $X$ непрерывно вложено в $L_1$, то операторы $P_k$ частичных сумм до уровня $k$ продолжаются до ограниченных проекторов с образом $S_k^d$, при этом на двоичных кубах в $T_k^d$ такие операторы принимают постоянные значения, которые точно вычисляются усреднением. Это замечание будет нам полезно при вычислении значений операторов $P_kf$ конкретных функций $f$. Действительно, принимаемые оператором $P_kf$ постоянные значения на двоичных кубах $T_k^d$ равны
$$
\begin{equation}
P_kf(x)=2^{kd}\int_\Delta f(y)\, dy, \qquad x\in \Delta, \quad \Delta\in T_k^d , \quad k=0,1,\dots,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
если $f\in L_1$. Отметим, что коэффициентные функционалы $\lambda_h$ разложения по системе Хаара представляют собой конечные линейные комбинации функционалов из (2.6), и наоборот. Также отметим, что при $X=L_2\subset L_1$ оператор $P_k$ частичных сумм до уровня $k$ является ортогональным проектором на $S_k^d$.
§ 3. Доказательства: достаточные условия3.1. Базис в смысле Шаудера при $s=d(1/p-1)$, $p<1$Положительный результат из п. b) теоремы 1.1 о том, что система $H^d$ является базисом (но не безусловным базисом) Шаудера в пространстве $B_{p,q,1}^{d(1/p-1)}$ при параметрах из диапазона восходит к работе [16], где рассмотрен случай $d=1$. Здесь мы приведем доказательство в случае $d\geqslant 1$, данное в препринте [18]. По поводу аналогичных результатов для случая пространств Бесова обобщенных функций $B_{p,q}^s(\mathbb{R}^d)$ и $B_{p,q}^s$ мы отсылаем читателя к монографии [29] и работам [18] и [9].Согласно (2.3) для параметров из области (3.1) имеет место непрерывное вложение ${B}_{p,q,1}^{d(1/p-1)}\subset L_1$. Это влечет, что определенные в (2.4) хааровские коэффициентные функционалы $\lambda_h$ непрерывны на ${B}_{p,q,1}^s$. Более того, линейная оболочка $S^d=\operatorname{span}(H^d)$ плотна в пространстве ${B}_{p,q,1}^s$. С учетом лемм 2.1 и 2.3 нам достаточно установить неравенство
$$
\begin{equation}
\|Pg\|_{{A}_{p,q,1}^{d(1/p-1)}}\leqslant C\|g\|_{{A}_{p,q,1}^{d(1/p-1)}}, \qquad g\in B_{p,q,1}^{d(1/p-1)},
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
для любого оператора частичных сумм $P$ в разложении Хаара (2.4), где константа $C$ не зависит от $g$ и $P$ в случае, если параметры удовлетворяют условию (3.1). Вследствие соглашения об упорядочивании для системы $H^d$ любой оператор частичных сумм $P$ может быть для некоторого целого $k=0,1,\dots$ и некоторого подмножества $\overline{H}^d_{k+1}\subset H^d_{k+1}$ записан в виде
$$
\begin{equation}
{P}g=P_kg + \sum_{h\in \overline{H}^d_{k+1}} \lambda_h(g)h \in S_{k+1}^d.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
При $\overline{H}^d_{k+1}=\varnothing$ мы получаем $P=P_k$ как частный случай. Первый шаг доказательства неравенства (3.2) состоит в доказательстве неравенства
$$
\begin{equation}
\|{P}g\|_{L_p}^p\leqslant C 2^{kd(p-1)} \sum_{\Delta\in T_k^d} \|g\|_{L_1(\Delta)}^p
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
с константой $C=2^d$. Согласно (2.6) имеем
$$
\begin{equation*}
\|P_kg\|_{L_p}^p =\sum_{\Delta\in T_k^d} 2^{-kd} \biggl(2^{kd}\int_\Delta g \,dx\biggr)^p\leqslant 2^{kd(p-1)} \sum_{\Delta\in T_k^d} \|g\|_{L_1(\Delta)}^p.
\end{equation*}
\notag
$$
Оставшиеся $h\in \overline{H}^d_{k+1}$ можно сгруппировать по их кубам-носителям $\Delta\in T_k^d$. Каждая группа может содержать до $2^d-1$ функций Хаара с тем же носителем $\operatorname{supp}(h)=\Delta\in T_k^d$. По определению хааровских коэффициентных функционалов $\lambda_h(g)$ для каждого члена $\lambda_h(g)h$, ассоциированного с такой группой, мы имеем оценку
$$
\begin{equation*}
\|\lambda_h(g)h\|_{L_p}^p = |\lambda_h(g)|^p \|h\|_{L_p(\Delta)}^p \leqslant 2^{kdp}\|g\|_{L_1(\Delta)}^p 2^{-kd}=2^{kd(p-1)}\|g\|_{L_1(\Delta)}^p.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя обобщенное неравенство треугольника для $p$-квазинормы в пространстве $L_p$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|{P}g\|_{L_p}^p &\leqslant \|P_kg\|_{L_p}^p + \sum_{h\in \overline{H}^d_{k+1}} \|\lambda_h(g)h\|_{L_p}^p \\ &\leqslant 2^{kd(p-1)} \sum_{\Delta\in T_k^d} \|g\|_{L_1(\Delta)}^p + \sum_{\Delta\in T_k^d} (2^d-1)2^{kd(p-1)}\|g\|_{L_1(\Delta)}^p \\ &= 2^d 2^{kd(p-1)} \sum_{\Delta\in T_k^d} \|g\|_{L_1(\Delta)}^p , \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает (3.4). Далее, применяя к членам $\|g\|_{L_1(\Delta)}^p$ локально на $\Delta$ и после подходящего преобразования координат неравенство вложения, ассоциированное с (2.3), получим, что
$$
\begin{equation*}
\|g\|_{L_1(\Delta)}^p\leqslant C \biggl(2^{kd(1-p)}\|g\|_{L_p(\Delta)}^p+\sum_{l=k}^\infty 2^{ld(1-p)}E_{l}(g)_{p,\Delta}^p\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
при любом $\Delta\in T_k^d$, где
$$
\begin{equation*}
E_{l}(g)_{p,\Delta}:=\inf_{s\in S_{l}^d} \,\|g-s\|_{L_p(\Delta)}, \qquad l=k,k+1,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
обозначает локально наилучшее $L_p$-приближение двоичными степенными функциями, ограниченными на кубы $\Delta$ из $T_k^d$. Так как
$$
\begin{equation*}
\|g\|_{L_p}^p=\sum_{\Delta\in T_k^d} \|g\|_{L_p(\Delta)}^p, \qquad E_{l}(g)_{p}^p=\sum_{\Delta\in T_k^d} E_{l}(g)_{p,\Delta}^p, \quad l=k,k+1,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
то после подстановки в (3.4) получаем оценку
$$
\begin{equation}
\|{P}g\|_{L_p}^p\leqslant C\biggl(\|g\|_{L_p}^p+2^{kd(p-1)}\sum_{l=k}^\infty 2^{ld(1-p)}E_{l}(g)_{p}^p\biggr)
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
для $L_p$-квазинормы любой частичной суммы $Pg$ вида (3.3). Имея в нашем распоряжении вспомогательную оценку (3.5), получим оценку для $A_{p,q,1}^{d(1/p-1)}$-квазинормы разности $g-Pg$. Так как $Pg\in S_{k+1}^d$, то а при $l\leqslant k$ воспользуемся тривиальной оценкой Отсюда получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|g-Pg\|_{{A}_{p,q,1}^{d(1/p-1)}}^q &=\|g-Pg\|_{L_p}^q + \sum_{l=0}^\infty (2^{ld(1/p-1)} E_l(g-Pg)_{p})^q \\ &\leqslant C\biggl(2^{kd(1/p-1)q}\|g-Pg\|_{L_p}^q + \sum_{l=k+1}^\infty (2^{ld(1/p-1)} E_l(g)_{p})^q\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
равномерно по всем $P$ и $g\in B_{p,q,1}^{d(1/p-1)}$. Напомним, что для параметров (3.1) выполнено неравенство $0<d(1/p-1)<1/p$. Для оценки величины $\|g-Pg\|_{L_p}$ рассмотрим элемент $s_k\in S_k^d$ наилучшего $L_p$-приближения для $g$. Для этого элемента имеем Используя (3.5) и учитывая, что $Ps_k=P_ks_k=s_k$, оценим $\|g-Pg\|_{L_p}$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|g-Pg\|_{L_p}^p &\leqslant \|g-s_k\|_{L_p}^p+\|P(g-s_k)\|_{L_p}^p \notag \\ &\leqslant \|g-s_k\|_{L_p}^p+C\biggl(\|g-s_k\|_{L_p(I^d)}^p\,{+}\,2^{kd(p-1)}\sum_{l=k+1}^\infty 2^{ld(1-p)}E_{l}(g\,{-}\,s_k)_{p}^p\biggr) \notag \\ & \leqslant C2^{kd(p-1)}\sum_{l=k}^\infty 2^{ld(1-p)}E_{l}(g)_{p}^p. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Теперь мы можем закончить доказательство неравенства (3.2). Согласно (3.7) для первого слагаемого в правой части неравенства (3.6) имеем
$$
\begin{equation*}
2^{kd(1/p-1)q}\|g-Pg\|_{L_p}^q\leqslant C\biggl (\sum_{l=k}^\infty 2^{ld(1-p)}E_{l}(g)_{p}^p \biggr)^{q/p}\leqslant C\sum_{l=k}^\infty (2^{ld(1/p-1)}E_{l}(g)_{p})^q,
\end{equation*}
\notag
$$
где мы воспользовались неравенством
$$
\begin{equation}
\biggl(\sum_{l=0}^\infty a_l\biggr)^\gamma\leqslant \sum_{l=0}^\infty a_l^\gamma, \qquad a_l\geqslant 0, \quad 0<\gamma \leqslant 1,
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
с $\gamma=q/p\leqslant 1$ и $a_l=2^{ld(1-p)}E_{l}(g)_{p}^p$ при $l\geqslant k$, $a_l=0$ при $l<k$. Подставляя это неравенство в (3.6), имеем
$$
\begin{equation}
\|g-Pg\|_{{A}_{p,q,1}^{d(1/p-1)}}^q\leqslant C\sum_{l=k}^\infty (2^{ld(1/p-1)} E_l(g)_{p})^q\leqslant C\|g\|_{{A}_{p,q,1}^{d(1/p-1)}}^q, \qquad g\in B_{p,q,1}^{d(1/p-1)},
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
для параметров из области (3.1). Так как для таких параметров ${A}_{p,q,1}^{s}$-квазинорма является $q$-квазинормой, то неравенство (3.9) эквивалентно неравенству (3.2). Это доказывает то, что система $H^d$ является базисом Шаудера в ${B}_{p,q,1}^{d(1/p-1)}$ в указанном диапазоне параметров. При выполнении (3.1) система $H^d$ не является безусловным базисом (по поводу соответствующего контрпримера см. § 4). В следующем параграфе мы рассмотрим диапазон изменения параметров, для которых в теореме 1.1 утверждается, что система $H^d$ образует безусловный базис Шаудера в пространстве ${B}_{p,q,1}^{s}$. Для применения в следующем параграфе остановимся на одном факте, который мы получаем по ходу вывода неравенства (3.7). Рассмотрим $k$-й блок
$$
\begin{equation*}
Q_kg:=(P_{k}-P_{k-1})g = \sum_{h\in {H}^d_{k}} \lambda_h(g)h, \qquad k=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
разложения Хаара (2.4). Используя стандартные рассуждения, связанные с компактностью, а также инвариантность системы всплесков Хаара $H^d$ относительно двоичных сжатий и сдвигов, мы получаем следующую эквивалентность квазинорм:
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{h\in {H}^d_{k}\colon \operatorname{supp}(h)=\Delta} \gamma_h h\biggr\|_{L_p(\Delta)}^p \approx 2^{-kd}\sum_{h\in {H}^d_{k}\colon \operatorname{supp}(h)=\Delta} |\gamma_h|^p,\qquad 0<p<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
В этой эквивалентности константы не зависят от последовательности коэффициентов $(\gamma_h)_{h\in H^d}$ и двоичных кубов $\Delta\in T_{k-1}^d$, $k=1,2,\dots$ . Как следствие, имеем
$$
\begin{equation}
\biggl\|\sum_{h\in {H}^d_{k}} \gamma_h h\biggr\|_{L_p}^p \approx 2^{-kd}\sum_{h\in {H}^d_{k}} |\gamma_h|^p, \qquad 0<p<\infty,
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
где константы не зависят от $(\gamma_h)_{h\in H^d_k}$ и $k=1,2,\dots$ . Для $L_p$-квазинормы $Q_kg$ это дает
$$
\begin{equation*}
\|Q_kg\|_{L_p}^p=\biggl\|\sum_{h\in {H}^d_{k}} \lambda_h(g)h \biggl\|_{L_p}^p \approx 2^{-kd}\sum_{h\in {H}^d_{k}} |\lambda_h(g)|^p, \qquad 0<p<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
\sum_{h\in {H}^d_{k}} |\lambda_h(g)|^p \approx 2^{kd} \|Q_kg\|_{L_p}^p\leqslant C2^{kd} \bigl (\|g-P_kg\|_{L_p}^p+\|g-P_{k-1}g\|_{L_p}^p\bigr),
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
$k=1,2,\dots$, при любых $g\in L_1$ и $0<p<\infty$. С учетом (3.7) это дает оценку
$$
\begin{equation}
\sum_{h\in {H}^d_{k}} |\lambda_h(g)|^p \leqslant C2^{kdp}\sum_{l=k-1}^\infty 2^{ld(1-p)}E_{l}(g)_{p}^p, \qquad k=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
для $k$-го блока коэффициентов Хаара произвольной функции $g\in B_{p,p,1}^{d(1/p-1)}$ при $(d-1)/d < p < 1$. 3.2. Безусловность базиса ШаудераТеперь рассмотрим область изменения параметров
$$
\begin{equation}
\max\biggl(d\biggl(\frac 1p-1\biggr),0\biggr) < s < \frac 1p, \quad 0 < q < \infty, \quad \frac{d-1}d < p <\infty,
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
для которой получим утверждение о том, что система $H^d$ образует безусловный базис Шаудера в ${B}_{p,q,1}^{s}$. На самом деле мы докажем несколько более сильное утверждение. Теорема 3.1. Для параметров из области (3.13) отображение Доказательство. Для параметров из области (3.13) имеет место непрерывное вложение ${B}_{p,q,1}^{s}\subset L_1$. Это влечет, что отображение $\Lambda$ корректно определено на пространстве ${B}_{p,q,1}^{s}$. Ниже мы будем рассматривать в основном случай $(d-1)/d< p < 1$, являющийся частично новым. При $1\leqslant p<\infty$ утверждение теоремы полностью содержится в п. (i) теоремы 2.26 из [29], в котором утверждается существование указанного изоморфизма для пространства $B_{p,q}^s$, поскольку тогда из (3.13) вытекает, что пространства $B_{p,q}^s$ и $B_{p,q,1}^s$ совпадают с точностью до эквивалентных норм; см. также [19], [20]. Учитывая это, мы дадим только схему рассуждений, из которой требуемый результат для $1\leqslant p <\infty$ будет получен напрямую, без использования результатов для пространств Бесова обобщенных функций $B_{p,q}^s$.
Оценка сверху
$$
\begin{equation}
\|\Lambda g\|_{\ell_q^s(\ell_p)}\leqslant C\|g\|_{{B}_{p,q,1}^{s}}, \qquad g\in {B}_{p,q,1}^{s},
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
доказывается следующим образом. При $(d-1)/d< p < 1$ воспользуемся оценкой (3.12), обозначив на время
$$
\begin{equation*}
a_k:= \sum_{h\in {H}^d_{k}} |\lambda_h(g)|^p, \qquad k=0,1,\dotsc.
\end{equation*}
\notag
$$
В этих обозначениях имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|\Lambda g\|_{\ell_q^s(\ell_p)}^q &=\sum_{k=0}^\infty (2^{k(sp-d)}a_k)^{q/p} \notag \\ &\leqslant a_0^{q/p} + C \sum_{k=0}^\infty \biggl( 2^{k(sp-d(1-p))}\sum_{l=k}^\infty 2^{ld(1-p)}E_{l}(g)_{p}^p \biggr)^{q/p} \notag \\ & \leqslant C\biggl(\|g\|_{L_p}^{q} + \sum_{k=0}^\infty \biggl( 2^{k(sp-d(1-p))}\sum_{l=k}^\infty 2^{ld(1-p)}E_{l}(g)_{p}^p \biggr)^{q/p}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
На последнем шаге оценки мы пользуемся неравенством
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |a_0|^{q/p} &=\biggl|\int_{I^d} g(x)\,dx \biggr|^q\leqslant \|g\|_{L_1}^q \leqslant C\|g\|_{A_{p,p,1}^{d(1/p-1)}}^q \\ & \leqslant C\biggl( \|g\|_{L_p}^q +\biggl(\sum_{l=0}^\infty 2^{ld(1-p)}E_{l}(g)_{p}^p\biggr)^{q/p}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которое вытекает из определения $a_0$ и непрерывности вложения (2.3).
Далее нам неоднократно потребуется элементарное неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl(\sum_{l=k}^\infty b_l^r\biggr)^{1/r}\leqslant C 2^{-k\epsilon}\biggl(\sum_{l=k}^\infty (2^{l\epsilon}b_l)^q\biggr)^{1/q}, \qquad \varepsilon >0, \quad k=0,1,\dots,
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
которое имеет место при некоторой абсолютной постоянной $C$ для всех неотрицательных последовательностей $(b_l)_{l\in \mathbb{Z}_+}$ и произвольных $0 <r,q <\infty$. При $q\leqslant r$ имеем $C=1$, как легко следует из (3.8), однако при $q>r$ константа зависит от $\varepsilon$ и разности $1/r-1/q$, что следует из неравенства Гёльдера для последовательностей. Напомним, что при условии (3.13) имеют место неравенства $d(1/p-1) < s < 1/p$. Как следствие, можно выбрать $\varepsilon$ таким образом, чтобы $0 < \varepsilon < s-d(1/p-1)$, и применить (3.18) c $b_l=2^{ld(1/p-1)}E_{l}(g)_{p}$ и $r=p$. Как следствие, получаем
$$
\begin{equation*}
\biggl(\sum_{l=k}^\infty 2^{ld(1-p)}E_{l}(g)_{p}^p\bigr)^{q/p}\leqslant C 2^{-k\varepsilon q}\sum_{l=k}^\infty (2^{l(\varepsilon+d(1/p-1))}E_{l}(g)_{p})^q, \qquad k=0,1,\dotsc.
\end{equation*}
\notag
$$
Подстановка в (3.17) дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\Lambda g\|_{\ell_p(\ell_q)}^q &\leqslant C\biggl(\|g\|_{L_p}^{q} + \sum_{k=0}^\infty 2^{k(s-d(1/p-1)-\varepsilon)q}\sum_{l=k}^\infty (2^{l(\varepsilon+d(1/p-1))}E_{l}(g)_{p})^q\biggr) \\ &= C\biggl(\|g\|_{L_p}^{q} + \sum_{l=0}^\infty 2^{l(\varepsilon+d(1/p-1))q}E_{l}(g)_{p}^q \sum_{k=0}^l 2^{k(s-d(1/p-1)-\varepsilon)q} \biggr) \\ &\leqslant C\biggl(\|g\|_{L_p}^{q} + \sum_{l=0}^\infty (2^{ls}E_{l}(g)_{p})^q \biggr) = C\|g\|_{A_{p,q,1}^s}^q, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее неравенство имеет место, поскольку $s-d(1/p-1)-\varepsilon>0$. Это доказывает (3.16) в интервале $(d-1)/d <p<1$.
При $1\leqslant p<\infty$ воспользуемся неравенством
$$
\begin{equation*}
\|g-P_k g\|_{L_p} \leqslant C E_k(g)_p, \qquad g\in L_p, \qquad k\in \mathbb{Z}_+,
\end{equation*}
\notag
$$
которое вытекает из равномерной ограниченности проекторов $P_k$ в $L_p$ (по поводу подробностей см. формулу (5.3) в п. 5.2). Как и выше, используя (3.11), находим, что
$$
\begin{equation*}
a_k=\sum_{h\in {H}^d_{k}} |\lambda_h(g)|^p\leqslant C2^{kd}\|Q_kg\|_{L_p}^p\leqslant C2^{kd}E_{k-1}(g)_p^p, \qquad k=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
и $a_0\leqslant \|g\|_{L_p}^p$. Теперь неравенство (3.16) получается простой подстановкой выражения для $\ell_q^s(\ell_p)$-нормы образа $\Lambda g$ (см. (3.15)).
Чтобы установить оценку снизу в (3.15), достаточно доказать сюръективность $\Lambda$. Так как оператор $\Lambda$, очевидно, инъективен на любом пространстве Бесова $B_{p,q,1}^s$, вложенном в $L_1$, то из сюръективности вместе с (3.16) будет автоматически вытекать ограниченность обратного отображения $\Lambda^{-1}$, как следует из теоремы об открытом отображении для $F$-пространств (любое $\gamma$-квазинормированное банахово пространство и, в частности, любое пространство Бесова $B_{p,q,1}^s$ является $F$-пространством). Пусть $\Gamma=(\gamma_h)_{h\in H^d}$ – произвольная последовательность, имеющая конечную $\ell_q^s(\ell_p)$-квазинорму:
$$
\begin{equation}
\|\Gamma\|_{\ell_q^s(\ell_p)}:= \biggl(\sum_{k=0}^\infty \biggl(\sum_{h\in H^d_k} 2^{k(sp-d)}|\gamma_h|^p\biggr)^{q/p}\biggr)^{1/q} <\infty.
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Для доказательства сюръективности отображения $\Lambda$ нам требуется найти элемент $g\in B_{p,q,1}^s$ такой, что Мы приведем подробные рассуждения только в случае, когда $(d-1)/d < p < 1$ в (3.13); случай $1\leqslant p<\infty$ рассматривается аналогично (см. [21] для $d=1$ и [29] в случае $d>1$).
Положим
$$
\begin{equation*}
q_k:=\sum_{h\in H_k^d} \gamma_h h, \quad p_k:= \sum_{l=0}^k q_l, \qquad k\in \mathbb{Z}_+.
\end{equation*}
\notag
$$
Сначала покажем, что последовательность $(p_k)_{k\in \mathbb{Z}_+}$ является последовательностью Коши в $L_1$ при $s>d(1/p-1)$ в (3.19). Действительно, используя (3.10) и (3.18), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|p_m-p_k\|_{L_1} &\leqslant \sum_{l=k+1}^\infty \|q_l\|_{L_1}\leqslant C\sum_{l=k+1}^\infty 2^{-ld}\sum_{h\in {H}^d_{l}} |\gamma_h| \leqslant C\sum_{l=k}^\infty 2^{-ld}\biggl(\sum_{h\in {H}^d_{l}} |\gamma_h|^p\biggr)^{1/p} \\ &\leqslant C2^{-k(s-d(1/p-1))}\biggl(\sum_{l=k}^\infty \biggl(\sum_{h\in H^d_{l}} 2^{l(sp-d)}|\gamma_h|^p\biggr)^{q/p}\biggr)^{1/q} \\ &\leqslant C2^{-k(s-d(1/p-1))}\|\Gamma\|_{\ell_q^s(\ell_p)} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при любых $1\leqslant k < m<\infty$. В предпоследнем шаге оценивания мы применили неравенство (3.18) с $\varepsilon=s-d(1/p-1)>0$ и $r=1$ к последовательности
$$
\begin{equation*}
b_l=2^{-ld}\biggl(\sum_{h\in {H}^d_{l}} |\gamma_h|^p\biggr)^{1/p}, \qquad l\geqslant k.
\end{equation*}
\notag
$$
Приведенная выше оценка на $\|p_m-p_k\|_{L_1}$ показывает, что $(p_k)_{k\in\mathbb{Z}_+}$ является последовательностью Коши в $L_1$. Соответственно, она сходится к функции $g\in L_1$. Отсюда, очевидно, вытекает, что ряд Хаара с коэффициентами $\gamma_h$ сходится в метрике $L_1$ к функции $g$, т.e. где мы также учитываем принятое выше соглашение о поблочной упорядоченности функций Хаара. Поскольку система $H^d$ ортогональна любой функции Хаара $\lambda_h\in L_\infty=L_1'$, то отсюда также вытекает (3.20).
Остается показать, что построенная выше функция $g$ лежит в пространстве $B_{p,q,1}^s$. Имеем
$$
\begin{equation*}
E_k(g)_p^p\leqslant \|g-p_k\|_{L_p}^p\leqslant \sum_{l=k+1}^\infty\|q_l\|_{L_p}^p, \qquad k\in\mathbb{Z}_+,
\end{equation*}
\notag
$$
и, аналогично,
$$
\begin{equation*}
\|g\|_{L_p}^p\leqslant \sum_{l=0}^\infty\|q_l\|_{L_p}^p.
\end{equation*}
\notag
$$
Как и выше, отсюда, используя леммы 2.1, а также (3.10) и (3.18) при $0<\varepsilon <s$, $r=p$ и $b_l=\|q_l\|_{L_p}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|g\|_{B_{p,q,1}^s}^q &\leqslant C\|g\|_{A_{p,q,1}^s}^q\leqslant C\sum_{k=0}^\infty \biggl(2^{ksp}\sum_{l=k}^\infty \|q_l\|_{L_p}^p\biggr)^{q/p} \\ &\leqslant C\sum_{k=0}^\infty 2^{k(s-\varepsilon)q}\biggl(\sum_{l=k}^\infty 2^{l\varepsilon q}\|q_l\|_{L_p}^q\biggr) \leqslant C \sum_{l=0}^\infty 2^{lsq}\|q_l\|_{L_p}^q \\ &\leqslant C \sum_{l=0}^\infty 2^{lsq}\biggl(2^{-ld}\sum_{h\in {H}^d_{l}} |\gamma_h|^p\biggr)^{q/p} =C\|\Gamma\|_{\ell_q^s(\ell_p)}^q. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это завершает доказательство теоремы 3.1 в случае $(d-1)/d<p< 1$.
Доказательство сюръективности отображения $\Lambda$ в случае $1\leqslant p <\infty$ аналогично. Упомянем незначительные различия. Вместо сходимости в метрике $L_1$ можно напрямую установить $L_p$-сходимость ряда Хаара с последовательностью коэффициентов $\Gamma$, поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|p_m-p_k\|_{L_p} &\leqslant \sum_{l=k+1}^\infty \|q_l\|_{L_p}\leqslant C2^{-ks} \biggl(\sum_{l=k+1}^\infty (2^{ls} \|q_l\|_{L_p})^q\biggr)^{1/q} \\ &\leqslant C2^{-ks}\biggl(\sum_{l=k}^\infty \biggl(2^{l(sp-d)}\sum_{h\in {H}^d_{l-1}} |\gamma_h|^p\biggr)^{q/p}\biggr)^{1/q}, \qquad 1\leqslant k<m <\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где мы воспользовались неравенством (3.18) с $\varepsilon=s>0$, $b_l=\|q_l\|_{L_p}$ и $r=1$, а затем использовали (3.10). При доказательстве соотношения $g\in B_{p,q,1}^s$ вместо применения свойств $p$-квазинормы при $p<1$ мы используем полуаддитивность нормы при $p\geqslant 1$:
$$
\begin{equation*}
E_k(g)_p\leqslant \sum_{l>k} \|q_l\|_{L_p}, \qquad \|g\|_{L_p}\leqslant \sum_{l=0}^\infty \|q_l\|_{L_p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оставшаяся часть доказательства повторяет ход рассуждения в случае $p <1$, за исключением очевидных модификаций, связанных с применением неравенства (3.18). Теорема 3.1 доказана. § 4. Доказательства: необходимые условия4.1. Доказательство теоремы 1.2Пусть параметры удовлетворяют условию (1.3). При $(d-1)/d<p<1$ пространство Бесова $B_{p,q,1}^s$ непрерывно вкладывается в $L_1$, если и только если
$$
\begin{equation*}
d\biggl(\frac 1p-1\biggr)<s<\frac 1p, \quad 0<q<\infty \quad\text{или} \quad s=d\biggl(\frac1p-1\biggr), \quad q\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
(см. (2.3)); при $p\geqslant 1$ это вложение очевидно. Поэтому во всех этих случаях сопряженное пространство к пространству $B_{p,q,1}^s$ бесконечномерно. Это доказывает необходимость условия в теореме 1.2. Для доказательства достаточности можно полагать, что $0<p< 1$. Рассуждая от противного, предположим, что найдется нетривиальный линейный непрерывный функционал $\varphi$ на пространстве $B_{p,q,1}^s$. Так как линейная оболочка характеристических функций $\chi_\Delta$ всех двоичных кубов из $I^d$ плотна в $B_{p,q,1}^s$, то найдется двоичный куб $\Delta_0$ такой, что $\varphi(\chi_{\Delta_0})\neq 0$. Без ограничения общности можно считать, что Каждый двоичный куб из $T_k^d$, $k\geqslant 0$, есть дизъюнктное объединение $2^d$ двоичных кубов из $T_{k+1}^d$. Как следствие, используя линейность $\varphi$, мы можем по индукции построить последовательность двоичных кубов $\Delta_k\in T_k^d$ такую, что
$$
\begin{equation*}
\Delta_0\supset \Delta_1\supset\dots\supset \Delta_k\supset \dotsb, \qquad \varphi(\chi_{\Delta_k})\geqslant 2^{-kd}, \quad k=0,1,\dotsc.
\end{equation*}
\notag
$$
Для заданной последовательности $a=(a_k)_{k\in \mathbb{Z}_+}$ рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
f_m = \sum_{l=0}^m a_l \chi_{\Delta_l} \in S^d_m, \qquad m=0,1,\dotsc.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Для функции $f_m$ ее квазинормы в пространствах $L_p$ и пространстве Бесова легко вычисляются. Действительно, $f_m$ постоянна на всех кубах $\Delta\in T_k^d$ (кроме $\Delta_k$) и равна константе $\xi_k:=\sum_{l=0}^k a_l$ на $\Delta'_k:=\Delta_k\setminus \Delta_{k+1}$, где
$$
\begin{equation*}
\mu(\Delta_k)>\mu(\Delta'_k)=(1-2^{-d})\mu(\Delta_k)=(1-2^{-d})2^{-kd}\geqslant \mu(\Delta_k)/2,
\end{equation*}
\notag
$$
а $\mu$ обозначает меру Лебега на $\mathbb{R}^d$. Тогда
$$
\begin{equation}
\|f_m\|_{L_p}^p \approx \sum_{n=0}^m 2^{-nd}\biggl|\sum_{l=0}^n a_l\biggr|^p.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Далее, применяя лемму 2.2 к $\Omega=\Delta_k$ и $\Omega'=\Delta'_k$, имеем
$$
\begin{equation}
E_k(f_m)_p^p=\|f_m-\xi_k\|_{L_p(\Delta_k)}^p \approx \sum_{n=k+1}^m 2^{-nd}\biggl|\sum_{l=k+1}^n a_l\biggr|^p, \qquad k=0,1,\dots,m-1,
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где, очевидно, $E_k(f_m)_p=0$ при $k\geqslant m$. Теперь выберем последовательность $(a_k)$ в (4.1) следующим образом: Подставляя в (4.2) и (4.3), при $0<p<1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\|f_m\|_{L_p}^p\approx \sum_{n=0}^m 2^{-nd}\biggl(\sum_{l=0}^n \frac{2^{ld}}{l+1}\biggr)^p \approx \sum_{n=0}^m \frac{2^{-nd(1-p)}}{(n+1)^p}\approx 1,
\end{equation*}
\notag
$$
и, аналогично,
$$
\begin{equation*}
E_k(f_m)_p^p\approx \sum_{n=k+1}^m \frac{2^{-nd(1-p)}}{(n+1)^p} \approx \frac{2^{-kd(1-p)}}{(k+1)^p}, \qquad k=0,1,\dots,m-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Те же рассуждения показывают, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \|f_m\|_{L_1}\approx \sum_{n=0}^m \frac{1}{n+1}\approx \ln(m+1), \qquad m=0,1,\dots, \\ \varphi(f_m)=\sum_{l=0}^m a_l \varphi(\chi_{\Delta_l})\geqslant \sum_{l=0}^m \frac{2^{ld}}{l+1}2^{-ld} \geqslant c\ln(m+1) \to \infty, \qquad m\to \infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Далее, для квазинормы функции $f_m$ в пространстве Бесова имеем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f_m\|_{B_{p,q,1}^{s}}^q &\leqslant C\|f_m\|_{A_{p,q,1}^{s}}^q = C\biggl(\|f_m\|_{L_p}^q+\sum_{k=0}^{m-1} (2^{ks}E_k(f_m)_p)^q\biggr) \\ &\leqslant C\biggl(1+\sum_{k=0}^{m-1} \biggl(\frac{2^{k(s-d(1/p-1))}}{k+1}\biggr)^q\biggr) \leqslant C\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^{k(s-d(1/p-1))q}}{(k+1)^q}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, если $0<s<d(1/p-1)$ и $0<q<\infty$ или если $s=d(1/p-1)$ и $1<q<\infty$, то последовательность $(f_m)_{m\in \mathbb{Z}_+}$ равномерно ограничена в пространстве $B_{p,q,1}^s$, что ввиду (4.4) противоречит предположению об ограниченности линейного функционала $\varphi$. Это доказывает достаточность в теореме 1.2. Отметим, что при $s<d(1/p-1)$ тот же результат можно доказать, рассматривая более простые примеры (см. [16] и [18]). 4.2. Случай $s=d(1/p-1)>0$, $0<q\leqslant p<1$В п. 3.1 мы показали, что система $H^d$ является базисом Шаудера в пространстве $B_{p,q,1}^{d(1/p-1)}$, если $0<q\leqslant p$ и $(d-1)/d<p<1$. Простые примеры показывают, что система $H^d$ не является безусловным базисом Шаудера таких пространств. Аналогичная схема рассуждений для похожей задачи применяется в [9; § 13]; похожая конструкция в случае $d=1$ используется в [14]. В случае $(d-1)/d <p<1$ рассмотрим последовательность
$$
\begin{equation*}
f_m=2^{md}\chi_{\Delta_m}\in S_m^d, \qquad \Delta_m:=[0,2^{-m})^d\in T_m^d, \quad m=0,1,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $E_k(f_m)_p=0$ при $k\geqslant m$. Используя лемму 2.2, находим, что
$$
\begin{equation*}
E_k(f_m)_p=\|f_m\|_{L_p} =2^{-md/p}2^{md}= 2^{-md(1/p-1)}, \qquad k=0,1,\dots,m-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, поскольку
$$
\begin{equation}
\|f_m\|_{B_{p,q,1}^{d(1/p-1)}}^q \approx \|f_m\|_{A_{p,q,1}^{d(1/p-1)}}^q=\|f_m\|_{L_p}^q\biggl(1 +\sum_{k=0}^{m-1} 2^{kd(1/p-1)q}\biggr)\approx 1
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
при $m=0,1,\dots$, квазинормы функции $f_m$ в пространстве $B_{p,q,1}^{d(1/p-1)}$ равномерно ограничены в рассматриваемом диапазоне изменения параметров. Коэффициенты ряда Хаара функции $f_m$ вычисляются легко:
$$
\begin{equation*}
\lambda_h(f_m)= \begin{cases} 1,& h\in H_0^d, \\ 2^{(k-1)d},& \Delta_m\subset \operatorname{supp}(h),\;h\in H_k^d,\, k=1,\dots,m, \\ 0 & \text{в других случаях}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда непосредственно следует, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{h\in H^d_l} \lambda_h(f_m) h =f_l-f_{l-1}, \qquad l=0,1,\dots,m,
\end{equation*}
\notag
$$
где мы для удобства положили $f_{-1}=0$. Теперь рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
g_{2k} :=\sum_{l=0}^k \sum_{h\in H^d_{2l}} \lambda_h(f_m) h = \sum_{l=0}^{2k} (-1)^lf_l = \sum_{l=0}^{2k} (-1)^l2^{ld}\chi_{\Delta_l},
\end{equation*}
\notag
$$
где $2k\leqslant m$. Эта функция имеет тот же тип, что и функции $f_{2k}$, рассмотренные в предыдущем параграфе, но у нее другая последовательность коэффициентов $a=((-1)^l2^{ld})_{l\in \mathbb{Z}_+}$ и другая последовательность вложенных двоичных кубов $\Delta_l\in T_l^d$. Используя (4.3), находим, что
$$
\begin{equation*}
E_l(g_{2k})_p\approx 2^{-ld(1/p-1)}, \quad l=0,\dots,2k-1, \qquad E_l(g_{2k})_p=0, \quad l\geqslant 2k,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
\|g_{2k}\|_{B_{p,q,1}^{d(1/p-1)}}^q\geqslant c \sum_{l=0}^{2k-1} (2^{ld(1/p-1)}E_l(g_{2k})_p)^q\geqslant ck, \qquad 2k \leqslant m,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. норма функции $g_{2k}$ неограниченно возрастает при $k,m\to \infty$ независимо от $q$, $0<q<\infty$ (и, в частности, в рассматриваемом случае, когда $0\,{<}\,q\,{\leqslant}\, p$). Однако это в совокупности с (4.5) противоречит безусловности системы $H^d$, так как функции $g_{2k}$ являются частичными суммами ряда Хаара для $f_m$ относительно специальных конечных индексных подмножеств $J_k$, что дает
$$
\begin{equation*}
\|P_{J_k}\|_{B_{p,q,1}^{d(1/p-1)}\to B_{p,q,1}^{d(1/p-1)}}\geqslant ck^{1/q}, \qquad k\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что по лемме 2.3 безусловность базиса Шаудера необходимо предполагает равномерную ограниченность операторов частичных сумм для любых конечных подмножеств базисной системы. 4.3. Случай $s=d(1/p-1)$, $(d-1)/d < p< q \leqslant 1$Для параметров
$$
\begin{equation}
s=d\biggl(\frac 1p-1\biggr), \qquad \frac{d-1}d < p< q \leqslant 1,
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
отмеченное в теореме 1.1, b) отсутствие свойства базисности в смысле Шаудера не может быть выведено из теоремы 1.2. Так как хааровские коэффициентные функционалы $\lambda_h$ непрерывны на пространстве $B_{p,q,1}^s$, то определенные в (2.5) операторы $P_k$ представляют собой ограниченные операторы. Однако они не равномерно ограничены на $B_{p,q,1}^s$ в случае, когда параметры удовлетворяют условию (4.6). Для проверки этого факта нам потребуются примеры другого типа. Такие примеры были введены в [18] в несколько другом виде. Зафиксируем произвольное $k\geqslant 1$ и выберем подмножество $T'\subset T_k^d$ таким образом, что каждый двоичный куб $\Delta\in T_{k-1} ^d$ содержит в точности $2^{d-1}$ кубов $\Delta'\in T'$ (и, таким образом, в точности $2^{d-1}$ кубов из $T^d_k\setminus T'$). При таком определении $T'$ содержит $2^{kd-1}$ кубов $\Delta'_i $, $i=1,\dots,2^{kd-1}$, из $T_k^d$, нумеруемых в произвольном порядке. Для каждого $i=1,\dots,2^{kd-1}$ выберем двоичный куб $\Delta_i\in T_{k+i}^d$, лежащий в $\Delta'_i$, и положим
$$
\begin{equation*}
f_k:= \sum_{i=1}^{2^{kd-1}} b_{i}\chi_{\Delta_i}, \qquad b_i:=2^{(k+i)d}i^{-\alpha}, \quad i=1,\dots,2^{kd-1},
\end{equation*}
\notag
$$
где число $\alpha < 1/q$ фиксировано. При таком построении ясно, что на каждом двоичном кубе $\Delta$ либо $f_k=0$ на подмножестве $\Omega'\subset \Delta$ меры $\mu(\Omega')\geqslant \mu(\Delta)/2$, либо $f_k$ является константой на $\Delta$. Для $\Delta\in T_l^d$ при $l<k$ из свойств $T'$ следует, что возможен только первый случай. Для $\Delta\in T_l^d$ при $l\geqslant k$ возможны три взаимно исключающих случая: 1) $\Delta\subset \Delta_i$ при некотором $i$, 2) $\Delta_i$ строго содержится в $\Delta$ при некотором $i$, 3) $\Delta$ не пресекается ни с каким кубом $\Delta_i$. В случаях 1) и 3) функция $f_k$ является константой на $\Delta$, а в случае 2) получаем, что $f_k=0$ на множестве $\Omega'\subset \Delta$ меры $\mu(\Omega')\geqslant (1-2^{-d})\mu(\Delta) \geqslant \mu(\Delta)/2$. Поэтому для вычисления величины наилучшего приближения мы можем воспользоваться леммой 2.2. Так как $p<1$, то при $l=0,\dots,k$ имеем
$$
\begin{equation*}
E_l(f_k)_p^p=\|f_k\|_{L_p}^p= \sum_{i=1}^{2^{kd-1}} 2^{-(k+i)d}b_{i}^p =\sum_{i=1}^{2^{kd-1}} 2^{-(k+i)d(1-p)}i^{-\alpha p}\approx 2^{-kd(1-p)}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $l=k+1,\dots,k+2^{kd-1}-1$ мы аналогично находим, что
$$
\begin{equation*}
E_l(f_k)_p^p=\biggl\|\sum_{i=l+1-k}^{2^{kd-1}} b_{i}\chi_{\Delta_i}\biggr\|_{L_p}^p= \sum_{i=l+1-k}^{2^{kd-1}} 2^{-(k+i)d(1-p)}i^{-\alpha p}\approx 2^{-ld(1-p)}(l-k)^{-\alpha p},
\end{equation*}
\notag
$$
при этом $E_l(f_k)_p\,{=}\,0$ при $l\,{\geqslant}\, k+2^{kd-1}$. Отсюда, применяя лемму 2.1 при $s=d(1/p-1)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|f_k\|_{B_{p,q,1}^{d(1/p-1)}}^q \approx \|f_k\|_{A_{p,q,1}^{d(1/p-1)}}^q \\ &\qquad\approx 2^{-kd(1/p-1)q}\sum_{l=0}^k 2^{ld(1/p-1)q} + \sum_{l=k+1}^{k+2^{kd-1}-1} (2^{ld(1/p-1)} 2^{-ld(1/p-1)} (l-k)^{-\alpha})^q \\ &\qquad\approx 1 + \sum_{i=1}^{2^{kd-1}} i^{-\alpha q}\approx2^{kd(1-\alpha q)}, \qquad k=1,2,\dots, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где мы воспользовались тем, что $\alpha q < 1$. Из построения $T'$ мы также можем вычислить величину наилучшего приближения частичных сумм $P_kf_k$ конечного ряда Хаара для функции $f_k$. Действительно, используя (2.6), находим, что
$$
\begin{equation*}
P_kf_k(x)= \begin{cases} 2^{kd}2^{-(k+i)d}b_i=2^{kd} i^{-\alpha},& x\in \Delta'_i, \ \ i=1,\dots,2^{kd-1}, \\ 0, & x\in \Delta',\ \ \Delta'\in T_k^d\setminus T'. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $P_kf_k\in S_k^d$, то $E_l(P_kf_k)_p=0$ при $l\geqslant k$. По правилу выбора кубов $\Delta'_i\in T'$ на любом $\Delta\in T_l^d$ при $l<k$ имеем $P_kf_k=0$ на объединении всех кубов $\Delta'\in T^d_k\setminus T'$, пересекающих $\Delta$, что в точности составляет половину меры куба $\Delta$. Поэтому применима лемма 2.2, из которой следует, что
$$
\begin{equation*}
E_l(P_kf_k)_p^p=\|P_kf_k\|_p^p= \sum_{i=1}^{2^{kd-1}} 2^{-kd}(2^{kd}i^{-\alpha})^p = 2^{-kd(1-p)}\sum_{i=1}^{2^{kd-1}} i^{-\alpha p}
\end{equation*}
\notag
$$
при $l=0,\dots,k-1$. Как следствие, имеем
$$
\begin{equation*}
\|P_kf_k\|_{B_{p,q,1}^{d(1/p-1)}}^q \approx 2^{kd(1/p-1)q}\|P_kf_k\|_p^q \approx \biggl(\sum_{i=1}^{2^{kd-1}} i^{-\alpha p}\biggr)^{q/p} \approx 2^{kd(1/p-1)q},
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $\alpha <1/q <1/p$ в рассматриваемой области параметров. Сравнивая полученные выше оценки бесовских квазинорм для $P_kf_k$ и $f_k$, мы находим, что
$$
\begin{equation*}
\|P_k\|_{B_{p,q,1}^{d(1/p-1)}\to B_{p,q,1}^{d(1/p-1)}} \geqslant \frac{\|P_kf_k\|_{B_{p,q,1}^{d(1/p-1)}}}{\|f_k\|_{B_{p,q,1}^{d(1/p-1)}}}\geqslant c2^{kd(1/p-1/q)}, \qquad k\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
при $0< p < q$. Таким образом, операторы частичных сумм $P_k$ не равномерно ограничены, поэтому система $H^d$ не может быть базисом Шаудера в $B_{p,q,1}^{d(1/p-1)}$ для параметров, лежащих в области (4.6). Это замечание завершает доказательство необходимости в теореме 1.1.
§ 5. Замечания и обобщения5.1. Системы сплайнов высокого порядкаЗадача о базисности в смысле Шаудера для систем сплайнов порядка $m>1$ в пространствах Лебега–Соболева и в пространствах Бесова $B_{p,q,m}^s$, определяемых модулем гладкости $m$-го порядка
$$
\begin{equation*}
\omega_m(t,f)_p:=\sup_{0\leqslant |y|\leqslant t} \|\Delta_y^m f\|_{L_p(I^d_{y,m})}, \qquad t>0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Delta^m_y$ – $m$-я разность вперед c шагом $y$ и $I^d_{y,m} =\{x\in I^d\colon x+my\in I^d\}$, также рассматривалась в литературе (см. [1], [4]–[6] в случае $1\leqslant p \leqslant \infty$). Отметим, что, за исключением работы [6], в этих работах случай $d>1$ исследовался только при использовании конструкций, основанных на тензорных произведениях, т.e. при этом возникали аналоги системы $\widetilde{H}^d$, а не системы всплесков Хаара $H^d$. По поводу случая $0<p<1$ см. работу [16], в которой рассматривались ортогональные системы сплайнов в одномерном случае. В [29; п. 2.5] также исследовался вопрос о безусловной базисности в смысле Шаудера для многомерных систем сплайн-всплесков в пространствах Бесова $B_{p,q}^s(\mathbb{R}^d)$ и Лизоркина–Трибеля $F_{p,q}^s(\mathbb{R}^d)$. Не вдаваясь в подробности, мы отметим, что аналоги приведенных выше результатов справедливы в пространствах $B_{p,q, m}^s$ также для ортогональных систем сплайн-всплесков $m$-го порядка в диапазоне параметров
$$
\begin{equation*}
0< s <\min\biggl(m,m-1+\frac1p\biggr), \qquad 0<p,q <\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти результаты могут быть доказаны с использованием того же подхода, что и для системы Хаара $H^d$. Более конкретно, рассмотрим ортогональную систему Чисельского $F^m$ порядка $m\geqslant 1$ из функций одной переменной. Это система $\{f_n^{m-2},\,n\geqslant -m+2\}$ из работ [1], [2], получающаяся ортогонализацией Грама–Шмидта подходящей системы B-сплайнов степени $m-1$, построенной по двоичным разбиениям $T_k$ единичного отрезка $I$, $k=0,1,\dots$ . Аналог $F^{m,d}$ строится по методу из работ [6; § 10] или [29; п. 2.5.1], где функции $f_n^{m}$ играют роль всплесков, а B-сплайны играют роль масштабирующих функций. Отметим, что то, что мы в настоящей работе называем порядком $m$, в указанных выше работах означает, соответственно, степень $m-1$ и $C^{m-2}$-гладкость сплайнов и используется там по-разному. Используя свойство экспоненциального убывания функций Чисельского $f_n^{m-2}$, а также характеризацию пространства $B_{p,q,m}^s$ в терминах наилучших приближений из [7] (эта характеризация имеет место для рассматриваемого диапазона значений параметра гладкости $s$), можно сначала доказать неравенство
$$
\begin{equation*}
\|{P}^mg\|_{L_p}^p\leqslant C 2^{kd(p-1)} \sum_{\Delta\in T_k^d} \|g\|_{L_1(\Delta)}^p, \qquad 0<p\leqslant 1, \qquad g\in L_1,
\end{equation*}
\notag
$$
аналог ключевой оценки (3.4) (для случая операторов частичных сумм $P^m$ уровня $k$ для $F^{m,d}$), а потом воспользоваться рассуждениями из доказательства теоремы 1.1 из п. 3.1. Это по сути приводит к положительным результатам в области параметров $\max(0,d(1/p-1)) < s <\min(m,m-1+1/p)$ и $0< q<\infty$, а также на критической линии $s=d(1/p-1)$, $0<q\leqslant p < 1$; по поводу случая $d=1$ см. [16]. Контрпримеры для оставшихся случаев в диапазоне $0<s\leqslant d(1/p-1)$, $0<p<1$, можно построить с помощью линейных комбинаций B-сплайнов с достаточно разнесенными носителями, как это сделано в [16] в случае $d=1$ (см. лемму на стр. 535 в [16]). В нашем случае возникают дополнительные технические сложности из-за того, что операторы частичных сумм не являются локальными, как в хааровском случае ($m=1$), но эту сложность можно преодолеть, воспользовавшись экспоненциальным убыванием соответствующих операторных ядер и с учетом достаточного разнесения носителей в этих примерах. Так как при $m\geqslant 2$ и $d>1$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
F^{m,d}\not\subset B_{p,q,m}^s \quad \text{при }\ s\geqslant m, \quad 0<q<\infty, \quad 0<p<1,
\end{equation*}
\notag
$$
то ограничение $0<s<m$ при $0<p<1$ является естественным. В этом заключается отличие от случая $m=1$, в котором вложение $H^d\subset B_{p,q,1}^s$ также имеет место при $1\leqslant s <1/p$, $0<p<1$. Это приводит к вопросу о том, обладают ли пространства $B_{p,q,m}^s$ конкретными базисами из сплайнов для оставшихся значений
$$
\begin{equation}
m\leqslant s <m-1+\frac 1p, \qquad 0<q<\infty, \qquad 0<p<1,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
также в случае $d>1$. Для того чтобы система из сплайнов принадлежала пространству $B_{p,q,m}^s$ в этом диапазоне параметров, желательно, чтобы она состояла из сплайнов, которые локально являются многочленами точной общей степени $m-1$ и в то же время были бы глобально $C^{m-2}$-гладкими. Такими свойствами обладают сплайны, обладающие максимальной гладкостью в пространствах $L_p$, $0<p<1$, в том смысле, что их модуль гладкости $m$-го порядка убывает с максимально возможной скоростью $\mathrm{O}(t^{m-1+1/p})$ при $t\to 0$. Конструкции, основанные на тензорных произведениях, такие как $F^{m,d}$, приводят к $C^{m-2}$-гладким сплайнам локальной координатной степени $m-1$, но общей степени $d(m-1)>m-1$, у которых модуль гладкости $m$-го порядка будет убывать только со скоростью $\mathrm{O}(t^{m})$. Насколько известно автору настоящей работы, системы сплайнов, удовлетворяющие всем желательным свойствам для построения базисов Шаудера в пространствах $B_{p,q,m}^s$ с параметрами из диапазона (5.1), существуют только в специальных случаях. Например, при $m=2$ полуортогональные предвсплесковые системы, построенные на двоичных симплициальных разбиениях куба $I^d$, являются кандидатами на роль базисной системы для любой размерности $d>1$. При $m=3$ и $d=2$ представляется потенциально возможным получение такой конструкции с помощью пространств сплайнов Пауэлла–Сабина, построенных по двоичным трингуляциям квадрата $I^2$ с помощью треугольников, специальным образом разбитых на 12 подтреугольников ($12$-split Powell–Sabin spline space); см. [17]. Однако, на взгляд автора, вполне вероятно, что задача покрытия всего диапазона параметров (5.1) не несет в себе никакой иной пользы, кроме чисто академического интереса. 5.2. Исключительный случай $s=0$, $1\leqslant p < \infty$За исключением небольшого числа работ в литературе по функциональным пространствам Бесова (таких, как $B_{p,q,1}^s$) рассматривается только случай $s>0$, хотя данное в п. 2.2 определение формально приводит ко вполне осмысленным пространствам также и для $s=0$. Доказательство нашей теоремы 1.2 показывает, что утверждение о тривиальности сопряженного пространства остается в силе также и в случае $s=0$ при условии, что $0<p<1$ и $0<q<\infty$. Таким образом, вопрос о базисности в смысле Шаудера системы $H^d$ в пространстве $B_{p,q,1}^0$ представляет интерес только при $1\leqslant p<\infty$. Так как для этого диапазона параметров система $H^d$ образует базис Шаудера в $L_p=B_{p,\infty,1}^0$ (причем безусловный базис Шаудера при $1<p<\infty$), то можно ожидать положительных результатов в этом направлении и для пространства $B_{p,q,1}^0$ с $0<q<\infty$. К сожалению, наше доказательство безусловной базисности в теореме 1.1 и набросок доказательства, приведенный в конце п. 3.2, существенно используют предположение о том, что $s>0$. Соответственно, для получения следующего результата мы воспользуемся альтернативным подходом, навеянным результатами работы [13].Теорема 5.1. Система всплесков Хаара $H^d$ является безусловным базисом Шаудера в пространстве $B_{p,q,1}^0(I^d)$, если и только если $1<p<\infty$ и $0<q<\infty$. Эта система образует условный базис Шаудера при $p=1$ и $0<q<\infty$ (в предположении естественного упорядочивания). Доказательство. Мы воспользуемся следующими хорошо известными результатами. Так как $H^d$ – базис Шаудера в $L_p$, $1\leqslant p<\infty$, то
$$
\begin{equation}
E_k(g)_p \approx \|g-P_kg\|_{L_p}, \qquad k=0,1,\dots,
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
при всех $g\in L_p$, $1\leqslant p<\infty$. Действительно,
$$
\begin{equation}
E_k(g)_p \leqslant \|g-P_kg\|_{L_p} \leqslant \|g-s_k\|_{L_p}+\|P_k(g-s_k)\|_{L_p} \leqslant CE_k(g)_p,
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
поскольку $P_ks_k=s_k$ для элемента наилучшего приближения $s_k\in S_k^d$ и так как операторы частичных сумм $P_k$ равномерно ограничены на $L_p$ (см. лемму 2.3). Таким образом, если $P$ – оператор частичных сумм для системы $H^d$ вида (3.3), то $E_l(Pg)_p=0$ при $l>k$, поскольку $Pg\in S_{k+1}^d$, и, далее,
$$
\begin{equation}
E_l(Pg)_p\leqslant \|Pg-P_lPg\|_{L_p} = \|P(g-P_lg)\|_{L_p}\leqslant C\|g-P_lg\|_{L_p}\leqslant C E_l(g)_p
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
при $l=0,\dots,k$, поскольку операторы $P$ и $P_l$ коммутируют и так как операторы $P$ равномерно ограничены в $L_p$. Вместе с леммой 2.1 при $s=0$ это доказывает равномерную ограниченность операторов $P$ и, как следствие, базисность в смысле Шаудера системы $H^d$ в пространстве $B_{p,q,1}^0$ при всех $1\leqslant p<\infty$ и $0<q<\infty$ (в предположении естественного упорядочивания).
Для доказательства более сильного утверждения о безусловной базисности в случае $1<p<\infty$ мы снова воспользуемся критерием безусловной базисности из леммы 2.3. Так как система $H^d$ является безусловным базисом Шаудера в $L_p$, $1<p<\infty$, то
$$
\begin{equation}
\|P_J g\|_{L_p}\leqslant C \|g\|_{L_p}, \qquad P_J g:=\sum_{h\in J} \lambda_h(g) h,
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
для всех $g\in L_p$ и любых конечных подмножеств $J$ системы $H^d$. Так как проекторы $P_J$ и $P_k$ коммутируют, то, как и в п. 5.4, отсюда также следует, что
$$
\begin{equation}
E_k(P_J g)_p\leqslant C E_k(g)_p, \qquad k=0,1,\dots, \qquad g\in L_p.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Пользуясь (5.5)–(5.6) и леммой 2.1, мы оценим $B_{p,q,1}^0$-квазинорму $P_J g$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|P_J g\|_{B_{p,q,1}^0}^q &\leqslant C \|P_J g\|_{A_{p,q,1}^0}^q = C\biggl(\|P_J g\|_{L_p}^q + \sum_{k=0}^\infty E_k(P_J g)_p^q\biggr) \\ &\leqslant C\biggl(\|g\|_{L_p}^q + \sum_{k=0}^\infty E_k(g)_p^q\biggr) = C \| g\|_{A_{p,q,1}^0}^q \leqslant C\| g\|_{B_{p,q,1}^0}^q. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это доказывает безусловную базисность системы $H^d$ в $B_{p,q,1}^0$ при $1<p<\infty$, $0<q<\infty$.
Окончательно, для доказательства того, что система $H^d$ не является безусловным базисом в $B_{p,q,1}^0$ при $p=1$, $0<q<\infty$, мы снова воспользуемся примером функций $f_m$ из п. 4.2. Так как утверждение леммы 2.2 также выполнено при $p=1$, то
$$
\begin{equation*}
E_l(f_m)_1 =\begin{cases} 1,& l<m, \\ 0,& l\geqslant m, \end{cases}, \qquad E_l(g_{2k})_1 \begin{cases} \approx 2k-l,& l<2k, \\ =0,& l\geqslant 2k, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $g_{2k}=P_{J_k}f_m$ при специальном выборе индексного множества $J_k\subset H^d$ и $2k\,{\leqslant}\, m$. Подстановка в формулы эквивалентных $A_{1,q,1}^0$-квазинорм этих функций дает
$$
\begin{equation*}
\|f_m\|_{B_{1,q,1}^0}^q\approx m,\qquad \|g_{2k}\|_{B_{1,q,1}^0}^q=\|P_{J_k}f_m\|_{B_{1,q,1}^0}^q \approx \sum_{l<2k} (2k-l)^q \approx k^{q+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь для доказательства того, что семейство $\{P_J\}$ операторов частичных сумм не является равномерно ограниченными в $B_{1,q,1}^0$, $0<q<\infty$, выберем $k\approx m/2$ и положим $m\to \infty$. Как следствие, получаем, что система $H^d$ образует только условный базис Шаудера в $B_{1,q,1}^0$. Теорема 5.1 доказана. Возникает вопрос, верен ли аналог теоремы 3.1 также для пространств $B_{p,q,1}^0$ при $1<p<\infty$, $0<q<\infty$? В принципе, ответ на этот вопрос положителен, но оказывается более сложным, чем описание в терминах $\ell_q^s(\ell_p)$-пространств. Действительно, для этой цели можно использовать характеризацию типа Литтлвуда–Пэли пространств $L_p$ в терминах разложений по системе $H^d$, т.е. эквивалентность норм
$$
\begin{equation}
\|f\|_{L_p} \approx\biggl \| \biggl(\sum_{l=0}^\infty \sum_{h\in H^d_l} 2^{-ld}\lambda_h(f)^2 |h|^2\biggr)^{1/2}\biggr\|_{L_p}, \qquad f\in L_p, \quad 1<p<\infty,
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
см. [29; следствие 2.28, (2.223)], что вместе c (5.2) и леммой 2.1 дает соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|g\|_{B_{p,q,1}^0}^q &\approx \|g\|_{A_{p,q,1}^0}^q \approx \|g\|_{L_p}^q + \sum_{k=0}^\infty \|g-P_kg\|_{L_p}^q \\ &\approx \sum_{k=0}^\infty \biggl\|\biggl(\sum_{l=k}^\infty\sum_{h\in H^d_l} 2^{-ld}\lambda_h(g)^2 |h|^2\biggr)^{1/2}\biggr\|_{L_p}^q. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что $|h|^2=\chi_\Delta$, где $\Delta$ – куб-носитель функции Хаара $h\in H^d$. По-видимому, вряд ли можно ожидать, что приведенную выше эквивалентную квазинорму для пространства $B_{p,q,1}^0$, $1<p<\infty$, $0<q<\infty$, можно выписать в более простом виде, за исключением специального случая $p=2$, когда имеется следующее простое представление:
$$
\begin{equation*}
\|g\|_{B_{2,q,1}^0}^q\approx \sum_{k=0}^\infty \biggl(\sum_{l=k}^\infty \sum_{h\in H^d_l} 2^{-2ld}\lambda_h(g)^2\biggr)^{q/2}, \qquad 0<q<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
При $q=2$ имеем еще более простое выражение:
$$
\begin{equation*}
\|g\|_{B_{2,2,1}^0}^2\approx \sum_{k=0}^\infty \sum_{h\in H^d_k} (k+1)2^{-2kd}\lambda_h(g)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
5.3. Базисные свойства тензорной системы Хаара $\widetilde{H}^d$ в пространстве $B_{p,q,1}^s$Первые конструкции базисов Шаудера для банаховых пространств гладких функций на многомерных кубах и многообразиях [1], [4], [5] были основаны исключительно на тензорных произведениях базисов Шаудера для функций одной переменной. Позже в связи с необходимостью построения систем с лучшей локализацией и для рассмотрения случая квазибанаховых пространств конструкции, основанные на всплесках, приобрели бо́льшую популярность. На самом деле, в более поздних работах, таких как [29], тензорные конструкции исследуются только для функциональных пространств с доминирующей смешанной гладкостью. В этой связи возникает следующий вопрос: может ли тензорная система Хаара $\widetilde{H}^d$ образовать базис Шаудера в некоторых сепарабельных функциональных пространствах Бесова $B_{p,q,1}^s$, содержащих эту систему? Отметим, что если тензорные функции Хаара в системе
$$
\begin{equation*}
\widetilde{H}^d = \bigcup_{k=0}^\infty \widetilde{H}_k^d
\end{equation*}
\notag
$$
упорядочены по блокам $\widetilde{H}^d_k$, то множество операторов частичных сумм $\widetilde{P}$ для системы $\widetilde{H}^d$ содержит $\{P_k\}_{k\in \mathbb{Z}_+}$ в качестве подпоследовательности. Как следствие, в предположении такого упорядочивания системы $\widetilde{H}^d$ операторы частичных сумм $\{\widetilde{P}\}$ равномерно ограничены в $B_{p,q,1}^s$, только если система всплесков Хаара $H^d$ с естественным упорядочиванием образует базис Шаудера в этом пространстве. В этом случае можно надеяться, что система $\widetilde{H}^d$ также является базисом Шаудера. Это действительно так в случае $1\leqslant p <\infty$: правильно упорядоченная тензорная система Хаара $\widetilde{H}^d$ образует базис Шаудера в $B_{p,q,1}^s$ при $1\leqslant p<\infty$, $0<q<\infty$, $0\leqslant s <1/p$ (который даже является безусловным базисом при $1<p<\infty$). По-видимому, этот результат известен, но автор не смог найти его в литературе. Однако при $0<p<1$ простой пример показывает, что система $\widetilde{H}^d$ не является базисом Шаудера в $B_{p,q,1}^s$ при любом ее упорядочивании. Теорема 5.2. Пусть $d>1$, $0<q<\infty$, $0\leqslant s <1/p$. Тогда: a) тензорная система Хаара $\widetilde{H}^d$ является безусловным базисом Шаудера в $B_{p,q,1}^s(I^d)$, если и только если $1<p<\infty$; при $p=1$ эта система является условным базисом Шаудера при подходящем поблочном упорядочивании; b) если $0<p<1$, то семейство ортогональных в $L_2$ проекторов на одномерные подпространства, порожденных тензорными функциями Хаара $\widetilde{h}\in \widetilde{H}^d$, не может быть равномерно ограниченным в $B_{p,q,1}^s(I^d)$; как следствие, система $\widetilde{H}^d$ не может быть базисом Шаудера в $B_{p,q,1}^s(I^d)$ при $0\,{<}\,p\,{<}\,1$ при любом ее упорядочивании. Доказательство. Шаг 1. Начнем с п. b). Для $k=1,2,\dots$ рассмотрим характеристическую функцию $f_k:=\chi_{[0,2^{-k})^d}\in S^d_k$ и следующую тензорную функцию Хаара:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{h}_k:= h_{[0,2^{-(k-1)})}\otimes \chi_I\otimes \dots \otimes \chi_I = h_{2^{k-1}+1} \otimes h_1\otimes \dots \otimes h_1\in \widetilde{H}^d_k
\end{equation*}
\notag
$$
(см. обозначения в п. 2.1). Из лемм 2.1 и 2.2 находим, что
где $a_{q,s,k}:=\sum_{l=0}^{k} 2^{lsq}$, причем $0\leqslant s<1/p$, $0<q<\infty$. Далее, применяя лемму 2.2 локально на кубах $\Delta\in T_l^{d}$ при $l<k$, находим, что $E_l(\widetilde{h}_k)_p = \|\widetilde{h}_k\|_{L_p} = 2^{-(k-1)/p}$ при всех $l<k-1$ и $E_{k-1}(\widetilde{h}_k)_p= 2\cdot 2^{-k/p} = 2^{1-1/p}\|\widetilde{h}_k\|_{L_p}$ при $l=k-1$. Как следствие,
$$
\begin{equation*}
\|\widetilde{h}_k\|_{B_{p,q,1}^s}^q\approx \|\widetilde{h}_k\|_{L_p}^q +\sum_{l=0}^{k-1} 2^{lsq}E_l(\widetilde{h}_k)_p^q \approx \|\widetilde{h}_k\|_{L_p}^q\biggl(1+\sum_{l=0}^{k-1} 2^{lsq} \biggr)\approx 2^{-kq/p}a_{q,s,k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Собирая полученные выше оценки вместе с
$$
\begin{equation*}
\|\widetilde{h}_k\|_{L_2}^2 = 2^{-k+1}, \qquad \int_{I^d} f_k\widetilde{h}_k \,dx = 2^{-kd},
\end{equation*}
\notag
$$
мы получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|\Lambda_{\widetilde{h}_k}f_k\|_{B_{p,q,1}^s}^q = (2^{k-1} 2^{-kd})^q \|\widetilde{h}_k\|_{B_{p,q,1}^s}^q, \\ \|\Lambda_{\widetilde{h}_k}\|_{B_{p,q,1}^s\to B_{p,q,1}^s}^q\geqslant \frac{\|\Lambda_{\widetilde{h}_k}f_k\|_{B_{p,q,1}^s}^q}{\|f_k\|_{B_{p,q,1}^s}^q}\approx \frac{2^{-k(d-1)q}2^{-kq/p}}{2^{-kdq/p}}=2^{k(1/p-1)(d-1)q}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $0<p<1$ и $d>1$, то отсюда вытекает, что $\{\Lambda_{\widetilde{h}_k}\}_{k=1,2,\dots}$ и, следовательно, всё семейство $\{\Lambda_{\widetilde{h}}\}_{\widetilde{h}\in\widetilde{H}^d}$ не может быть равномерно ограниченным в $B_{p,q,1}^s$.
В итоге, так как $\Lambda_{\widetilde{h}}$ есть разность двух последовательных операторов частичных сумм ряда по системе $\widetilde{H}^d$ при любом ее упорядочивании, то последовательность операторов частичных сумм также не может быть равномерно ограниченной на $B_{p,q,1}^s$. С учетом леммы 2.3 это показывает, что ни при каком упорядочивании система $\widetilde{H}^d$ не может быть базисом Шаудера в $B_{p,q,1}^s$ в указанном диапазоне изменения параметров при $0<p<1$. Шаг 2. Покажем, что система $\widetilde{H}^d$ является безусловным базисом Шаудера в $B_{p,q,1}^s$ при любых параметрах
$$
\begin{equation}
1 < p <\infty, \qquad 0<q<\infty, \qquad 0\leqslant s <\frac 1p.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Для этой цели напомним, что из лемм 2.1 и (5.2) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\|f\|_{B_{p,q,1}^s}^q\approx \|f\|_{A_{p,q,1}^s}^q \approx \|f\|_{L_p}^q + \sum_{k=0}^\infty (2^{ks}\|f-P_kf\|_{L_p})^q, \qquad f\in B_{p,q,1}^s,
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
для параметров из области (5.8). Если $ 0<s<1/p$, то из (3.18) при $\varepsilon\in (0,s)$, $r=1$ и $b_l=\|(P_{l+1}-P_l)f\|_{L_p}$ имеем оценку
$$
\begin{equation*}
\|f-P_kf\|_{L_p}^q \leqslant \biggl(\sum_{l=k}^\infty \|(P_{l+1}-P_l)f\|_{L_p} \biggr)^q \leqslant C2^{-k\varepsilon q}\sum_{l=k}^\infty \bigr(2^{l\varepsilon}\|(P_{l+1}-P_l)f\|_{L_p}\bigr)^q.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя ее в (5.9) и меняя порядок суммирования, мы получаем оценку сверху для эквивалентности норм
$$
\begin{equation}
\|f\|_{B_{p,q,1}^s}^q\approx \sum_{k=0}^\infty (2^{ks}\|(P_k-P_{k-1})f\|_{L_p})^q, \qquad f\in B_{p,q,1}^s, \quad 0 < s < \frac 1p
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
(здесь мы положили $P_{-1}=0$). Оценка снизу очевидна, если подставить
$$
\begin{equation*}
\|(P_{k}-P_{k-1})f\|_{L_p}\leqslant \|f-P_{k}f\|_{L_p} + \|f-P_{k-1}f\|_{L_p}
\end{equation*}
\notag
$$
в правую часть (5.10) и сравнить полученный результат с (5.9).
Аналогично эквивалентности (5.7) для системы $H^d$, в нашем случае для системы $\widetilde{H}^d$ при $1<p<\infty$, имеет место эквивалентность норм типа Литтлвуда–Пэли:
$$
\begin{equation}
\|g\|_{L_p} \approx \biggl\|\biggl(\sum_{\widetilde{h}\in\widetilde{H}^d} (\mu(\operatorname{supp}(\widetilde{h}))^{-1} \lambda_{\widetilde{h}}(g)\widetilde{h})^2\biggr)^{1/2}\biggr\|_{L_p}, \qquad g\in L_p,
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
где $\mu(\cdot)$ – мера Лебега на $I^d$ (см. [29; следствие 2.28, (2.223)]). Подставляя этот результат в (5.10), мы получаем следующую характеризацию $B_{p,q,1}^s$-квазинормы при $1<p<\infty$, $0<q<\infty$ и $0<s<1/p$:
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{B_{p,q,1}^s}^q\approx \sum_{k=0}^\infty \biggl(2^{ks}\biggl \| \biggl(\sum_{\widetilde{h}\in\widetilde{H}^d_k} (\mu(\operatorname{supp}(\widetilde{h}))^{-1}\lambda_{\widetilde{h}}(f)\widetilde{h})^2\biggr)^{1/2} \biggr\|_{L_p}\biggr)^q, \qquad f\in B_{p,q,1}^s.
\end{equation*}
\notag
$$
При $s=0$ мы имеем аналогичную характеризацию $B_{p,q,1}^0$-квазинормы при подстановке (5.11) в (5.9). Это показывает, что $\widetilde{H}^d$ – безусловный базис Шаудера в пространстве $B_{p,q,1}^s$ в диапазоне параметров (5.8).
Шаг 3. При $p=1$ мы установим свойство базисности в смысле Шаудера только для специального поблочного упорядочивания системы $\widetilde{H}^d$. Используемая идея далеко не нова (см., например, [1; § 11] или [4; § 4, 5]). В работе [4] случай системы Хаара соответствует значениям параметров $r=1$ и $k=0$. Для ясности ограничимся рассмотрением случая $d=2$ (общий случай доказывается по индукции по $d$). Рассмотрим систему Хаара $H=\{h_m\}_{m\in \mathbb{N}}$ функций одной переменной с естественным упорядочением, введенным в п. 2.1. Соответствующие операторы частичных сумм, которые мы обозначим через $Q_n$, являются ортогональными проекторами $L_2$ на подпространство $\operatorname{span}(\{h_m\}_{m=1,\dots,n})$, при этом эти операторы равномерно ограничены на $L_1$. При таком упорядочивании системы $H$ мы индексируем блоки $\widetilde{H}_{k}^2$ тензорной системы Хаара
$$
\begin{equation*}
\widetilde{H}^2=\{\widetilde{h}_{i_1,i_2}:=h_{i_1}\otimes h_{i_2}, \ (i_1,i_2)\in\mathbb{N}^2\}
\end{equation*}
\notag
$$
следующим образом: при $k=0$ положим $\widetilde{H}^2_0=\{\widetilde{h}_1:=\widetilde{h}_{1,1}\}$ и при $k\geqslant 0$ определим
$$
\begin{equation}
\widetilde{H}^2_{k+1}=\underbrace{\biggl(\bigcup_{i=1}^{2^{k}} \{\widetilde{h}_{2^{k}+i,n}\}_{n=1,\dots,2^{k+1}}\biggr)}_{\widetilde{H}'_{k+1}} \bigcup \underbrace{\biggl(\bigcup_{i=1}^{2^{k}} \{\widetilde{h}_{n,2^{k}+i}\}_{n=1,\dots,2^{k}}\biggr)}_{\widetilde{H}''_{k+1}}.
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
В подблоках $\widetilde{H}'_{k+1}$ и $\widetilde{H}''_{k+1}$ из (5.12) предполагается, что функции упорядочены лексикографически относительно пар индексов $(i,n)$. При таком соглашении любой оператор частичных сумм $\widetilde{P}$ по системе $\widetilde{H}^2$ является линейной комбинацией нескольких проекторов $Q_{n_1,n_2}=Q_{n_1}\otimes Q_{n_2}$. Действительно, аналогично (3.3) любой оператор частичных сумм $\widetilde{P}$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\widetilde{P} g=P_kg + \Delta\widetilde{P} g; \qquad \Delta \widetilde{P} g:=\sum_{\widetilde{h}\in \overline{\widetilde{H}}^2_{k+1}} \lambda_{\widetilde{h}}(g)\widetilde{h} \in S_{k+1}^2
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого $k=0,1,\dots$ и некоторого начального отрезка $\overline{\widetilde{H}}^2_{k+1}$ системы ${\widetilde{H}}^2_{k+1}$ при указанном упорядочивании. Ясно, что $P_k=Q_{2^k,2^k}$. Если сечение $\overline{\widetilde{H}}^2_{k+1}$ содержится в $\widetilde{H}'_{k+1}$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta \widetilde{P} &= (Q_{2^k+i-1}-Q_{2^k})\otimes Q_{2^{k+1}} + (Q_{2^k+i}-Q_{2^k+i-1})\otimes Q_n \\ &= Q_{2^k+i-1,2^{k+1}} - Q_{2^k,2^{k+1}} + Q_{2^k+i,n} - Q_{2^k+i-1,n} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при некоторых $n=1,\dots, 2^{k+1}$ и $i=1,\dots, 2^k$. Иначе, мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta \widetilde{P} &= (Q_{2^{k+1}}-Q_{2^k})\otimes Q_{2^{k+1}} + Q_{2^k}\otimes (Q_{2^k+i-1}-Q_{2^k}) + Q_n\otimes(Q_{2^k+i}\,{-}\,Q_{2^k+i-1}) \\ &= Q_{2^{k+1},2^{k+1}}-Q_{2^{k},2^{k+1}} +Q_{2^{k+},2^{k}+i-1}-Q_{2^{k},2^{k}}+ Q_{n,2^{k}+i}-Q_{n,2^{k}+i-1} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при некоторых $n=1,\dots, 2^{k}$ и $i=1,\dots, 2^k$. Таким образом, $\widetilde{P}$ всегда является линейной комбинацией нескольких тензорных проекторов $Q_{n_1,n_2}$. Так как тензорные произведения равномерно ограниченных в $L_1$ операторов также равномерно ограничены в $L_1$, то
$$
\begin{equation}
\|\widetilde{P} g\|_{L_1} \leqslant C\|g\|_{L_1}, \qquad g\in L_1,
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
равномерно по всем операторам частичных сумм $\widetilde{P}$. Таким образом, система $\widetilde{H}^d$ является базисом Шаудера в $L_1$ при $d=2$. По индукции этот результат верен при всех $d>1$. По-видимому, этот результат известен в литературе, но мы приводим доказательство из-за отсутствия соответствующих ссылок.
Теперь в рассматриваемом диапазоне параметров базисность в смысле Шаудера системы $\widetilde{H}^d$ в $B_{1,q,1}^s$ вытекает из (5.13) с использованием тех же рассуждений, что и при доказательстве теоремы 5.1 в п. 5.2. Шаг 4. Легко проверяется, что система $\widetilde{H}^d$ не является безусловным базисом в пространстве $B_{1,q,1}^s$ ни при каких $0\leqslant s <1$ и $0<q<\infty$. Действительно, так как система Хаара $H$ функций одной переменной не является безусловной в $L_1(I)$, то по лемме 2.3 найдутся последовательности кусочно постоянных функций $g'_k\in S_{k+1}$ и индексные множества $J'_k\subset \{1,\dots,2^{k+1}\}$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\|P_{J'_k}g'_k\|_{L_1(I)}}{\|g'_k\|_{L_1(I)}}\to\infty, \qquad k\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь положим
$$
\begin{equation*}
g_k:=g'_k\otimes h_{2^{k}+1}\otimes \dots\otimes h_{2^k+1}\in \mathrm{span}(\widetilde{H}^d_{k+1})=\mathrm{span}(H^d_{k+1})=S_{k+1}^d\ominus_{L_2} S_k^d
\end{equation*}
\notag
$$
и рассмотрим индексное множество $J_k$ относительно заданного упорядочивания системы $H^d$, соответствующего тензорным произведениям функций Хаара $h_n\otimes h_{2^{k}+1}\otimes \dots\otimes h_{2^k+1}$ при $n\in J'_k$. Ясно, что также имеет место сходимость
$$
\begin{equation}
\frac{\|\widetilde{P}_{J_k}g_k\|_{L_1}}{\|g_k\|_{L_1}} \to \infty, \qquad k\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
Далее, рассмотрим квазинормы функций $g_k$ и $\widetilde{P}_{J_k}g_k$ в пространстве $B_{1,q,1}^s$. Так как эти функции лежат в $S^d_{k+1}$, но не ортогональны в смысле $L_2$ к $S_k^d$, то $E_l(g_k)_1=E_l(\widetilde{P}_{J_k}g_k)_1=0$ при $l>k$, а при $l\leqslant k$ имеем $P_lg_k=P_l\widetilde{P}_{J_k}g_k=0$ и из (5.2) находим, что
$$
\begin{equation*}
E_l(g_k)_{1}\approx \|g_k\|_{L_1}, \qquad E_l(\widetilde{P}_{J_k}g_k)_1\approx \|\widetilde{P}_{J_k}g_k\|_{L_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя эти соотношения в выражения для $A_{1,q,1}^s$-норм и используя лемму 2.1, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\|\widetilde{P}_{J_k}\|_{B_{1,q,1}^s\to B_{1,q,1}^s} \geqslant\frac{\|\widetilde{P}_{J_k}g_k\|_{B_{1,q,1}^s}}{\|g_k\|_{B_{1,q,1}^s}} \approx \frac{\|\widetilde{P}_{J_k}g_k\|_{A_{1,q,1}^s}}{\|g_k\|_{A_{1,q,1}^s}} \approx \frac{\|\widetilde{P}_{J_k}g_k\|_{L_1}}{\|g_k\|_{L_1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Однако ввиду (5.14) это противоречит критерию безусловной базисности из леммы 2.3.
Теорема 5.2 доказана. 5.4. Исключительный случай $q=\infty$Так как при $0<s\leqslant \max(1,1/p)$ пространство $B_{p,\infty,1}^s$ несепарабельно, для него не существует базиса Шаудера. Однако в этой ситуации можно говорить о (безусловной) базисности в смысле Шаудера системы $(f_m)_{m\in\mathbb{N}}$ в квазибанаховом пространстве $X$ относительно ее замыкания в $X$. В этом случае система $(f_m)_{m\in\mathbb{N}}$ называется (безусловной) базисной последовательностью в $X$. В частности, можно рассмотреть следующий вопрос: является ли система $H^d$ (безусловной) базисной последовательностью в $B_{p,\infty,1}^s$ при $0 < s \leqslant 1/p$? Так как $B_{p,\infty,1}^0=L_p$, то случай $s=0$ не требует рассмотрения. В случае $d=1$ и $1\leqslant p <\infty$, В. Г. Кротов (см. [13], [14]) подробно исследовал базисность в смысле Шаудера и безусловную базисность системы Хаара $H$ функций одной переменной для обобщенных классов Никольского
$$
\begin{equation*}
\Lambda^\omega_p(I):=\biggl\{f\in L_p(I)\colon \|f\|_{\Lambda^\omega_p}:=\|f\|_{L_p} +\sup_{0<t<1} \frac{\omega(t,f)_p}{\omega(t)} < \infty\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\omega(t)$ – подходящая функция сравнения. Если $\omega(t)=t^s$, то в частном случае $\Lambda^\omega_p(I)= B_{p,\infty,1}^s(I)$. В частности, из результатов работ [13], [14] следует, что при $1\leqslant p<\infty$ система $H$ является безусловной базисной последовательностью в $B_{p,\infty,1}^s(I)$ при $0<s< 1/p$, а при $s=1/p$ она является условной базисной последовательностью. Недавно этот вопрос изучался в [9] для системы всплесков Хаара в пространствах $B_{p,\infty}^s(\mathbb{R}^d)$ и $B_{p,\infty}^s$ при $0<p<\infty$. Наши рассмотрения из § 3 и § 4 по существу дают ответы на аналогичные вопросы для пространства $B_{p,\infty,1}^s$, которые мы приведем без доказательства. Примеры из п. 4.1 показывают, что при $0<s\leqslant d(1/p-1)$, $0<p<1$, ограниченные линейные функционалы на $B_{p,\infty,1}^s$ должны быть тривиальными на замыкании $H^d$. Как следствие, система $H^d$ не является базисной последовательностью в $B_{p,\infty,1}^s$. Для диапазона параметров
$$
\begin{equation}
\max\biggl(d\biggl(\frac 1p-1\biggr),0\biggr) < s < \frac1{p}, \qquad \frac{d-1}d < p < \infty,
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
путем незначительного изменения аргументов из доказательства теоремы 3.1 можно показать, что система $H^d$ является безусловной базисной последовательностью в $B_{p,\infty,1}^s$, что согласуется с приведенными выше результатами для $d=1$. Более точно, определенное в (3.14) отображение $\Lambda$ задает изоморфизм между $B_{p,\infty,1}^s$ и пространством последовательностей $\ell_\infty^s(\ell_p)$, состоящим из всех последовательностей $\Gamma=(\gamma_h)_{h\in H^d}$ с конечной квазинормой
$$
\begin{equation*}
\|\Gamma\|_{\ell_\infty^s(\ell_p)} :=\sup_{k\geqslant 0} 2^{k(s-d/p)}\biggl(\sum_{h\in H^d_k} |\gamma_h|^p \biggr)^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, для диапазона параметров (5.15), рассуждая, как в п. 3.2, можно установить эквивалентность норм
$$
\begin{equation*}
\|g\|_{B_{p,\infty,1}^s}\approx \|\Lambda g\|_{\ell_\infty^s(\ell_p)} :=\sup_{k\geqslant 0} 2^{k(s-d/p)}\biggl(\sum_{h\in H^d_k} |\lambda_h(g)|^p \biggr)^{1/p}
\end{equation*}
\notag
$$
для функций $g\in B_{p,\infty,1}^s$. Отсюда можно извлечь безусловную базисность системы $H^d$ в замыкании этой системы в $B_{p,\infty,1}^s$. Это подпространство можно отождествить со множеством всех таких функций $g\in B_{p,\infty,1}^s$, что $2^{ks}E_k(g)_p \to 0$ при $k\to \infty$. За исключением диапазона параметров $1\leqslant s <1/p$, $(d-1)/d <p<1$ такие результаты также имеются в литературе (см., например, [2], [29]). При $s=1/p$, $(d-1)/d < p < \infty$, система всплесков Хаара $H^d$ является лишь условной базисной последовательностью. Так как пространство $B^{1/p}_{p,\infty,1}$ не может быть охарактеризовано в терминах последовательности $(E_k(f)_p)_{k\in\mathbb{Z}_+}$, то следует работать с оригинальным определением квазинормы пространства $B^{1/p}_{p,\infty,1}$ в терминах модулей гладкости. Мы оставляем детали читателю. В заключение автор выражает благодарность Институту численного моделирования за поддержку и благоприятную атмосферу для творчества. Автор особенно благодарен T. Ульриху (T. Ullrich, Технический университет г. Хемниц), В. Зикелю (W. Sickel, Университет г. Йена) и А. Камонт (A. Kamont, Институт математики Польской Академии Наук, г. Гданьск) за информацию о своих последних исследованиях и за комментарии к первоначальным вариантам статьи. Также автор выражает искреннюю признательность рецензенту, чьи глубокие замечания были учтены в окончательном варианте.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Osw21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|