| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Проблема Хуа Ло-Кена с простыми числами специального вида К. М. Эминян Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9394 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПусть $n=e_{0}+e_{1}2+\dots+e_{k}2^{k}$ – представление натурального числа $n$ в двоичной системе счисления $(e_{j}=0, 1;\,j=0,1,\dots,k)$. Пусть $\mathbb{N}_{0}$ – множество натуральных чисел, двоичные разложения которых содержат четное число единиц, $\mathbb{N}_{1}=\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}_{0}$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\varepsilon(n)= \begin{cases} 1, &n\in\mathbb{N}_{0}, \\ -1, &n\in\mathbb{N}_{1}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
А. О. Гельфонд в 1968 г. доказал (см. [1]), что числа классов $\mathbb{N}_{0}$ и $\mathbb{N}_{1}$ регулярно распределены в арифметических прогрессиях. В 1991 г. автор (см. [2]) получил формулу
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{n\leqslant X \\ n\in \mathbb{N}_{0}}} \tau(n)=\frac{X}{2}(\ln X +2\gamma -1)+O(X^{\omega}\ln^{2}X),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tau(n)$ – число делителей числа $n$, $\omega=\bigl(1+\log_{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\bigr)/2=0.942\dots$, $\gamma$ – постоянная Эйлера. В 2010 г. К. Маудюит и Дж. Риват (см. [3]) вывели асимптотическую формулу для числа простых чисел из множества $\mathbb{N}_{0}$, не превосходящих $x$, главный член которой равен $\pi(x)/2$, а остаточный член имеет степенное понижение по сравнению с главным. В 2014 г. автор (см. [4]) получил оценку
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{p\leqslant N \\ p\in \mathbb{N}_{0}}}\varepsilon(p)e^{2\pi i \alpha p}=O(N^{1-\varkappa}), \qquad\varkappa>0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $p$ – простое число, справедливую для любого $\alpha \in \mathbb{R}$, а также на основании этой оценки решил тернарную проблему Гольбаха в простых числах из $\mathbb{N}_{0}$. В 2019 г. автор (см. [5]) решил аддитивную задачу о числе решений уравнения в простых числах $p_{1}$, $p_{2}$, $p_{3}$, $p_{4}$ и натуральных числах $x$ таких, что $p_{k}\in \mathbb{N}_{j_{k}}$, $k=1,2,3,4$, $x\in \mathbb{N}_{j_{5}}$, $n\geqslant 3$, где $(j_{1},\dots,j_{5})$ – произвольный набор из нулей и единиц.В настоящей статье продолжаются исследования автора арифметических свойств простых чисел из множества $\mathbb{N}_{0}$. В ней решается задача о числе решений уравнения в простых числах $p_{1}$, $p_{2}$, $p_{3}$, $p_{4}$, $p_{5}$, четыре из которых принадлежат $\mathbb{N}_{0}$ а пятое удовлетворяет неравенству где $c$ – константа из промежутка $(1,2]$.Асимптотическая формула для числа решений уравнения (1.1) в произвольных простых числах решена Хуа Ло-Кеном [6] в 1938 г. При $c=2$ И. М. Виноградов (см. [7]) вывел асимптотическую формулу для числа простых чисел, удовлетворяющих неравенству (1.2) и не превосходящих $x$. Другим способом эту же задачу решил Ю. В. Линник (см. [8]). В 1992 г. С. А. Гриценко (см. [9]) получил асимптотическую формулу для числа простых чисел, удовлетворяющих неравенству (1.2) при любом фиксированном $c\in (0,1]$, и решил некоторые аддитивные задачи с такими простыми числами. В 2003 г. ряд интересных результатов о простых числах, удовлетворяющих неравенству (1.2), при $0<c<1$ получил М. Е. Чанга (см. [10]). Сформулируем наш основной результат. Пусть $N\equiv 5 \ (\operatorname{mod} 24)$, $I(N)$ – число решений уравнения (1.1) в простых числах $p_{1}$, $p_{2}$, $p_{3}$, $p_{4}$, $p_{5}$. Пусть $J(N)$ – число решений уравнения (1.1) в простых числах $p_{1}$, $p_{2}$, $p_{3}$, $p_{4} \in \mathbb{N}_{0}$, а $p_{5}$ удовлетворяет неравенству (1.2). Замечание. Формула (1.3) является асимптотической со степенным понижением, так как § 2. ЛеммыДоказательство см. в [12; гл. 6]. Лемма 2. Пусть Тогда при любом $\beta \in \mathbb{R}$, $U>0$, $P\geqslant 1$ имеем Доказательство см. в [12; гл. 6]. Лемма 3. Пусть $r$ – натуральное число, $\alpha$ и $\beta$ – вещественные числа, $0< \Delta <0.25$, $\Delta \leqslant \beta -\alpha \leqslant 1-\Delta$. Тогда существует периодическая с периодом 1 функция $\psi(x)$, удовлетворяющая условиям: 1) $\psi(x)=1$ в интервале $\alpha +0.5 \Delta \leqslant x \leqslant \beta-0.5 \Delta$; 2) $0<\psi(x)<1$ в интервалах $\alpha - 0.5 \Delta < x < \alpha+ 0.5 \Delta$ и $\beta -0.5 \Delta < x < \beta+0.5 \Delta$; 3) $\psi(x)=0$ в интервале $\beta + 0.5 \Delta\leqslant x \leqslant1+ \alpha -0.5 \Delta$; 4) $\psi(x)$ разлагается в ряд Фурье вида гдеДоказательство см. в [13; гл. 1]. Лемма 4. Пусть $\alpha$ – произвольное вещественное число, $\Lambda(n)$ – функция Мангольдта. Тогда существует абсолютная постоянная $\varkappa>0$ такая, что Доказательство см. в [4]. Пусть $Q=P^{\varkappa/2}$. Лемма 5. Пусть $\alpha_{0}$ – произвольное действительное число, $m$ – натуральное число такое, что $0<m\leqslant P^{\varepsilon_0}$, $0<\varepsilon_0 \leqslant (10c)^{-1}$. Тогда справедлива оценка где $0<c_0=c_0(c)<1$. Доказательство. Введем обозначение
Применим тождество Вона (см., например, [12; гл. III, задача 9]) где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W_{1} &=\sum_{d \leqslant u} \mu(d) \sum_{d x \leqslant P}(\log x) e^{2 \pi i f(d x)}, \\ W_{2} &=\sum_{d\leqslant u} \mu(d) \sum_{n \leqslant u} \Lambda(n) \sum_{d n x \leqslant P} e^{2 \pi i f(\alpha {n} x)}, \\ W_{3} &=\sum_{u<x \leqslant P u^{-1}} a_x\sum_{u<y \leqslant Px^{-1}} \Lambda(y) e^{2 \pi i f(x y)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
a_{x}=\sum_{\substack{d \mid x\\ d \leqslant u }} \mu(d), \qquad u=P^{1/7}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим суммы $W_1$ и $W_2$. Пользуясь преобразованием Абеля, имеем
$$
\begin{equation*}
|W_{1}| \ll \ln ^{2} P \sum_{d \leqslant u}\biggl|\sum_{X_{1}<x \leqslant X_{2}} e^{2 \pi i f(d x)}\biggr|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $X_1<X_2 \leqslant 2X_1$, $X_2\leqslant Pd^{-1}$.
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |W_{2}| &\ll \sum_{d \leqslant u} \sum_{n \leqslant u} \Lambda(n) \biggl|\sum_{d n x \leqslant P} e^{2 \pi i f(d n x)}\biggr| \\ &\ll \sum_{d \leqslant u^{2}} \sum_{n\mid d} \Lambda(n) \biggl|\sum_{d x \leqslant P} e^{2 \pi i f(d x)}\biggr| \ll \ln ^{2} P \sum_{d \leqslant u^{2}} \biggl|\sum_{X_{3}<x \leqslant X_{4}} e^{2 \pi f(d x)}\biggr|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $X_3 <X_4\leqslant 2X_3$, $X_4\leqslant Pd^{-1}$. Отсюда имеем
$$
\begin{equation*}
|W_{1}|+|W_{2}| \ll \ln ^{2} P \sum_{d \leqslant u^{2}}|S_{d}{(X)}|,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
S_{d}(X)=\sum_{X<x \leqslant X_{1}} e^{2 \pi i f(d x)}, \qquad X<X_1\leqslant 2X, \quad X_1\leqslant P d^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сумму $S_d(X)$ оценим по третьей производной
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |S_{d}(X)| &\ll X\biggl(\frac{m d^{1/c} X^{1/c}}{X^{3}}\biggr)^{1/6} +X^{1/2}\biggl(\frac{X^{3}}{d^{1/c} X^{1/c}}\biggr)^{1/6} \\ &\ll X^{1/2}P^{1.1/(6c)}+X^{1-1/(6c)}d^{-1/(6c)} \\ &\ll P^{1/2+1.1/(6c)}d^{-1/2}+P^{1-1/(6c)}d^{-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
|W_{1}|+|W_{2}| \ll(P^{{1}/{2}+{1.1}/{(6 c)}} u+P^{1-{1}/{(6 c)}})\ln ^{3} P \ll P^{1-1/(6c)}\ln^3 P.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Оценим $W_3$. Имеем где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W_{3}(X, Y)&=\sum_{X<x \leqslant X_{1}} a_{x} \sum_{Y<y \leqslant Y_{1}} \Lambda(y) e^{2\pi i f(xy)}, \\ W_{4}(X)&=\sum_{X<x \leqslant X_{1}} a_{x} \sum_{P X_{1}^{-1}<y \leqslant P {x}^{-1}} \Lambda(y) e^{2\pi i f(xy)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$u<X<X_1\leqslant 2X$, $X_1\leqslant Pu^{-1}$, $u<Y<Y_1\leqslant 2Y$, $Y_1\leqslant PX_1^{-1}$.
Оценим $W_3(X,Y)$. Без ограничения общности считаем, что $X\geqslant Y$. Иначе поменяем порядок суммирования. По неравенству Коши
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|W_{3}(X, Y)|^{2} \ll \sum_{X<x \leqslant X_{1}} \tau^{2}(x) \sum_{X<x \leqslant X_{1}}\biggl| \sum_{Y< y \leqslant Y_{1}} \Lambda(y) e^{2\pi i f(xy)}\biggr|^2 \\ &\qquad\ll \biggl(Y X^{2}+X\sum_{Y<y \leqslant Y_{1}} \sum_{1 \leqslant h \leqslant Y} \biggl|\sum_{X<x \leqslant X_{1}} \exp\bigl(2 \pi i(f(x(y+h))-f(x y))\bigr)\biggr|\biggr)\ln ^5 P. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сумму по $x$ оценим по третьей производной
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \biggl|\sum_{X<x \leqslant X_{1}} \exp\bigl(2 \pi i(f(x(y+h))-f(x y))\bigr)\biggr| \\ &\qquad\ll X \biggl(\frac{m(X Y)^{1/c}}{X^{3}}\biggr)^{1/6} +X^{{1}/{2}}\biggl(\frac{X^{3} Y}{mh(X Y)^{1/c}}\biggr)^{1/6} \\ &\qquad\ll X \biggl(\frac{m(X Y)^{1/c}}{(X Y)^{3/2}}\biggr)^{1/6} +X\biggl(\frac{Y}{(X Y)^{1/c} h}\biggr)^{1/6}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так как $X\geqslant Y$.
Отсюда имеем
$$
\begin{equation}
|W_3(X,Y)|^2\ll \biggl(\frac{P^2}{u}+P^{2+1/(6c)-1/4}+P^{2-1/(6c)}\biggr)\ln^5 P.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Утверждение леммы 5 прямо следует из оценок (2.1) и (2.2). Лемма доказана. Лемма 6. Пусть Доказательство. Пусть $0 < u \leqslant P^{1/3}$ – параметр, значение которого будет выбрано позже. Пусть $d$ – натуральное число, $1\leqslant d\leqslant u^2$.
Оценим сумму
$$
\begin{equation*}
S_{d, X}(\alpha)=\sum_{X<x \leqslant X_{1}} \exp(2 \pi i \alpha d^{2} x^{2}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $X<X_1\leqslant 2X$, $X_1\leqslant Pd^{-1}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |S_{d, X}(\alpha)|^{2} &\ll X+\sum_{X<x \leqslant X_{1}} \sum_{\substack{X<x+h \leqslant X_{1}\\ h\geqslant 1}} \exp\bigl(2 \pi i \alpha d^{2}((x+h)^{2}-x^{2})\bigr) \\ &\ll X\,{+}\sum_{1 \leqslant h \leqslant X}\biggl|\sum_{X<x \leqslant X_{1}-h}\exp(2 \pi i \alpha 2 h d^{2} x)\biggr| \,{\ll}\, X\,{+}\sum_{h \leqslant X d^{2}}\! \min \biggl(X, \frac{1}{\|\alpha h\|}\biggr) \\ &\ll X\,{+}\,\biggl(\frac{X d^{2}}{q}\,{+}\,1\biggr)(X\,{+}\,q \ln q) \,{\ll}\, X \,{+}\,(X d)^{2}\biggl(\frac{1}{q}\,{+}\,\frac{1}{X d^{2}}\biggr)\biggl(1\,{+}\,\frac{q}{X}\biggr) \ln P \\ &\ll X+(X d)^{2}\biggl(\frac{1}{q}+\frac{1}{X}\biggr) \ln P+q \ln P \ll P u^{2} \ln P+\frac{P^{2}}{Q} \ln P, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation}
\sum_{d \leqslant u^{2}}|S_{d, X}(\alpha)|\ll \sqrt{P\ln P} u^{3}+\frac{P \sqrt{\ln P}}{\sqrt{Q}} u^{2}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Оценим сумму
$$
\begin{equation*}
W(X, Y)=\sum_{X<x \leqslant X_{1}} a_{x} \sum_{Y<y \leqslant Y_{1}} \Lambda(y) \exp(2 \pi i \alpha x^{2} y^{2}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $u<X<X_1\leqslant 2X$, $u<Y<Y_1\leqslant 2Y$, $XY\leqslant P$.
Воспользуемся неравенством Гёльдера
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |W(X, Y)| &\ll \biggl(\sum_{X<x \leqslant X_{1}} \tau^{4/3}(x)\biggr)^{3/4}\biggl(\sum_{X<x \leqslant X_{1}}\biggl|\sum_{Y<y \leqslant Y_{1}} \Lambda(y) \exp(2 \pi i \alpha x^{2} y^{2})\biggr|^{4}\biggr)^{1/ 4} \\ &\ll X^{3/4+\varepsilon/4}\biggl(\sum_{X<x \leqslant X_{1}} \biggl|\sum_{2 Y^{2}<k \leqslant 2 Y_{1}^{2}} \rho(k) \exp(2 \pi i \alpha k x^{2})\biggr|^{2}\biggr)^{1/ 4}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\rho(k)=\sum_{Y<y_{1} \leqslant Y_1}\sum_{\substack{Y<y_{2} \leqslant Y_{1}\\y_1^2+y_2^2=k}} \Lambda(y_{1}) \Lambda(y_{2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
0 \leqslant \rho(k) \leqslant \ln ^{2} k \sum_{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=k} 1 \leqslant \ln ^{2} k \cdot 4 \sum_{d \mid k} \chi_{4}(d) \leqslant4\tau(k)\ln^2 k\ll k^{\varepsilon /4}
\end{equation*}
\notag
$$
(здесь $\chi_4$ – неглавный характер по модулю 4).
Из этих неравенств следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|W(X, Y)| \\ &\qquad\ll X^{3/4}\biggl(\sum_{2 Y^{2}<k_1 \leqslant 2 Y_{1}^{2}} \sum_{2 Y^{2}<k_{2} \leqslant 2 Y_{1}^{2}}\biggl|\sum_{X<x \leqslant X_{1}} \exp(2 \pi i \alpha(k_{1}-k_{2}) x^{2})\biggr|\biggr)^{1/ 4}P^{\varepsilon /2} \\ &\qquad\ll X Y^{1/2} P^{\varepsilon/2}+X^{3/4}\biggl(\sum_{1 \leqslant k \leqslant Y^{2}} Y^{2}\biggl|\sum_{X<x \leqslant X_{1}} \exp(2 \pi i \alpha k x^{2})\biggr|\biggr)^{1/4} P^{\varepsilon/2} \\ &\qquad\ll X Y^{1/2} P^{\varepsilon/2}+(X Y)^{3/4}\biggl(\sum_{1 \leqslant k \leqslant Y^{2}}\biggl|\sum_{X \leqslant x \leqslant X_{1}} \exp(2 \pi i \alpha k x^{2})\biggr|^{2}\biggr)^{1/8} P^{\varepsilon/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{1 \leqslant k \leqslant Y^{2}}\biggl|\sum_{X<x \leqslant X_{1}} \exp(2 \pi i \alpha k x^{2})\biggr|^{2} \\ &\qquad\ll X Y^{2} +\sum_{1 \leqslant k \leqslant Y^{2}} \sum_{X<x \leqslant X_{1}} \sum_{\substack{X<x+h\leqslant X_1\\ h \neq 0}} \exp(2 \pi i \alpha k((x+h)^{2}-x^{2})) \\ &\qquad \ll X Y^{2}+ \sum_{1 \leqslant k \leqslant Y^{2}} \sum_{1 \leqslant h \leqslant X} \min \biggl(X, \frac{1}{\|2\alpha k h\|}\biggr) \\ &\qquad \ll X Y^{2}+\sum_{1 \leqslant z \leqslant 2 X Y^{2}} \tau(z) \min \biggl(X, \frac{1}{\|\alpha z\|}\biggr) \ll X Y^{2}+\biggl(\frac{X Y^{2}}{q}+1\biggr)(X+q) P^{\varepsilon} \\ &\qquad =X Y^{2}+(X Y)^{2}\biggl(\frac{1}{q}+\frac{1}{X Y^{2}}\biggr)\biggl(1+\frac{q}{X}\biggr) P^{\varepsilon} \\ &\qquad \ll XY^{2}+(XY)^{2}\biggl(\frac{1}{q}+\frac{1}{X}\biggr) P^{\varepsilon}+q P^{\varepsilon} \ll \frac{P^{2+\varepsilon}}{u}+\frac{P^{2+\varepsilon}}{Q}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
|W(X,Y)|\ll \frac{P^{1+\varepsilon/2}}{u^{1/8}}+\frac{P^{1+\varepsilon/2}}{Q^{1/8}}.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Выберем значение $u$: $u=Q^{4/17}$.
Теперь утверждение леммы 6 прямо следует из тождества Вона. Лемма доказана. Лемма 7. Пусть Доказательство. Пусть $z=\theta(q\tau)^{-1}$. Рассмотрим сумму
$$
\begin{equation*}
S_{2}(\alpha)=\sum_{n \leqslant P} \varepsilon(n) \Lambda(n)\exp\biggl(2\pi i \frac{a}{q}n^{2}\biggr) \exp(2\pi i z n^{2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Применим преобразование Абеля
$$
\begin{equation*}
S_{2}(\alpha)=-\int_{2}^{P} \mathbb{C}(u)\, d \exp(2 \pi i z u^{2}) +\mathbb{C}(P) \exp(2\pi i z P^{2}),
\end{equation*}
\notag
$$
где отсюда имеем где $u_0\in[1,P]$ – то число, при котором величина $|\mathbb{C}(u)|$ максимальна.
Получено неравенство Преобразуем $\mathbb{C}(u_0)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbb{C}(u_{0}) &=\sum_{n \leqslant u_{0}} \varepsilon(n) \Lambda(n) \exp\biggl(2 \pi i \frac{a}{q}n^{2}\biggr) = \sum_{l=1}^{q} \exp\biggl(2 \pi i \frac{a l^{2}}{q}\biggr) \sum_{\substack{n \leqslant u_{0}\\n\equiv l \ (\operatorname{mod} q)}} \varepsilon({n}) \Lambda(n) \\ &=\sum_{l=1}^{q} \exp\biggl(2 \pi i \frac{a l^{2}}{q}\biggr) \sum_{n \leqslant u_{0}} \varepsilon(n)\Lambda(n)\frac{1}{q}\sum_{b=1}^{q}\exp\biggl(2\pi i \frac{b(n-l)}{q}\biggr) \\ & =\frac{1}{q} \sum_{b=1}^{q} \sum_{l=1}^{q} \exp\biggl(2 \pi i \frac{a l^{2}-b l}{q}\biggr) \sum_{n\leqslant u_{0}} \varepsilon(n) \Lambda(n) \exp\biggl(2 \pi i \frac{bn}{q}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
|\mathbb{C}(u_{0})| \leqslant \frac{1}{q} \sum_{b=1}^{q}\biggl|\sum_{l=1}^{q} \exp\biggl(2 \pi i \frac{a l^{2}-b l}{q}\biggr)\biggr|\, \biggl|\sum_{n\leqslant u_{0}} \varepsilon(n) \Lambda(n) \exp\biggl(2 \pi i \frac{bn}{q}\biggr)\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя лемму 4, получим
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sum_{n \leqslant u_{0}} \varepsilon(n) \Lambda(n)\exp\biggl(2 \pi i \frac{b n}{q}\biggr)\biggr|\ll P^{1-\varkappa};
\end{equation*}
\notag
$$
отсюда получается, что Следовательно, Лемма 7 доказана. § 3. Доказательство теоремы 1Пусть
$$
\begin{equation*}
S_{0}(\alpha)=\sum_{\substack{p \leqslant P \\p\in \mathbb{N}_{0}}} \exp(2 \pi i \alpha p^{2}), \qquad T_{0}(\alpha)=\sum_{\substack{p \leqslant P \\\{(1/2)p^{1/c}\}<1/2}} \exp(2 \pi i \alpha p^{2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, J(N)=\int_{0}^{1} S_{0}^{4}(\alpha) T_{0}(\alpha) \exp(-2 \pi i \alpha N)\, d \alpha. \\ T_{0}(\alpha)=\frac{1}{2} T(\alpha)+O(\Delta P)+ \sum_{0<|m|\leqslant \Delta^{-1}\ln N}c_{m}T_m(\alpha), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
T(\alpha)=\sum_{p\leqslant P} \exp(2 \pi i \alpha p^{2}), \qquad T_{m}(\alpha)=\sum_{p\leqslant P} \exp\biggl(2 \pi i \biggl(\alpha p^{2}+\frac{1}{2}mp^{1/c}\biggr)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{0}^{1}|S_{0}(\alpha)|^{4} d \alpha={\underset{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}=p_{3}^{2}+p_{4}^{2}}{\sum_{p_{1} \leqslant P}\dotsb\sum_{p_{4} \leqslant P}}} \frac{1+\varepsilon(p_{1})}{2} \dotsb \frac{1+\varepsilon(p_{4})}{2} \\ &\qquad \leqslant {\underset{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}=p_{3}^{2}+p_{4}^{2}\leqslant N}{\sum_{p_{1} \leqslant P} \dotsb \sum_{p_{4} \leqslant P}}} 1 \leqslant \sum_{n \leqslant N} \tau^{2}(n) \ll N \ln ^{3} N, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так как
$$
\begin{equation*}
\sum_{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}=n} 1=4 \sum_{d \mid n} \chi_{4}(d)\leqslant 4\tau(n),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\chi_{4}(d)$ – неглавный характер по модулю 4. Заметим, что аналогично доказываются оценки
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{1}|T(\alpha)|^{4}\,d \alpha\ll N\ln^3 N, \qquad \int_{0}^{1}|S_{\varepsilon}(\alpha)|^{4}\,d \alpha\ll N\ln^3 N,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
S_{\varepsilon}(\alpha)=\sum_{p\leqslant P}\varepsilon(n) \exp(2 \pi i \alpha p^{2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем параметры $\Delta$, $\Delta_{1}$, $\Delta_{2}$, $\Delta_{3}$. Положим $\Delta^{-1}\ln N=P^{\varepsilon_{0}}$, где $\varepsilon_0=(10c)^{-1}$; $\Delta_1 =P^{-c_0}$, где $c_0$ – константа из леммы 5; $Q=P^{\varkappa/2}$, где $\varkappa$ – константа из леммы 4; $\Delta_2 = Q^{-1/36}$, $\Delta_3 = P^{-\varkappa /2}$. Пусть $0<|m|\leqslant \Delta^{-1}\ln N$. По лемме 3 имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T_m(\alpha) &=O(P\Delta_1), \\ J(N) &= \frac{1}{2}\int_{0}^{1}S_{0}^4 (\alpha) T(\alpha)e^{-2\pi i \alpha N}\,d \alpha+ O(P^3(\Delta+\Delta_1)\ln^3 P) \\ & =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\biggl(\frac{S_{\varepsilon}(\alpha)+T(\alpha)}{2}\biggr)^{4}T(\alpha)e^{-2\pi i \alpha N}\,d\alpha+O(P^3(\Delta+\Delta_1)\ln^3 N) \\ &=\frac{1}{32}\int_{0}^{1}T^{5}(\alpha)e^{-2\pi i \alpha N}\,d \alpha+ O\biggl(\sum_{\nu =1}^{4} \dbinom 4 \nu \int_{0}^{1}|S_{\varepsilon}(\alpha)|^{\nu} |T(\alpha)|^{5-\nu} \,d \alpha \biggr) \\ &\qquad +O(P^3(\Delta +\Delta_1)\ln^3 N). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Определим множества $E_1$, $E_{2}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, E_1=\biggl\{\alpha \in [0,1];\ \alpha =\frac{a}{q}+\frac{\theta}{q\tau}, \ (a,q)=1, \ |\theta|<1, \ 1\leqslant q\leqslant Q, \ \tau=P^2 Q^{-1}\biggr\}, \\ E_2=[0,1]\setminus E_1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При $1\leqslant \nu \leqslant 4$ оценим интеграл $\displaystyle\int_{0}^{1}|S_{\varepsilon}(\alpha)|^{\nu} |T(\alpha)|^{5-\nu} \,d \alpha$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{0}^{1}|S_{\varepsilon}(\alpha)|^{\nu} |T(\alpha)|^{5-\nu} \,d \alpha =\int_{E_1}|S_{\varepsilon}(\alpha)|^{\nu} |T(\alpha)|^{5-\nu} \,d \alpha+ \int_{E_2}|S_{\varepsilon}(\alpha)|^{\nu} |T(\alpha)|^{5-\nu} \,d \alpha \\ &\ \leqslant \max_{\alpha \in E_1}|S_{\varepsilon}(\alpha)|\int_{0}^1 |S_{\varepsilon}(\alpha)|^{\nu-1} |T(\alpha)|^{5-\nu} \,d \alpha +\max_{\alpha \in E_2}|T(\alpha)|\int_{0}^1 |S_{\varepsilon}(\alpha)|^{\nu} |T(\alpha)|^{4-\nu} \,d \alpha. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользуемся неравенством Гёльдера и неравенством
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^1 |S_{\varepsilon}(\alpha)|^{4}\,d \alpha \leqslant \int_{0}^{1}|T(\alpha)|^{4} \,d \alpha,
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \int_{0}^1 |S_{\varepsilon}(\alpha)|^{\nu}\,d \alpha \leqslant \int_{0}^{1}|T(\alpha)|^{5-\nu} \,d \alpha \\ &\qquad \leqslant O\Bigl(\max _{\alpha \in E_{1}}|S_{\varepsilon}(\alpha)|+\max _{\alpha \in E_{2}}|T(\alpha)|\Bigr) \int_{0}^{1}|T(\alpha)|^{4} \,d \alpha \\ &\qquad =O\Bigl(\max _{\alpha \in E_{1}}|S_{\varepsilon}(\alpha)| P^{2} \ln ^{3} N\Bigr)+ O\Bigl(\max _{\alpha \in E_{2}}|T(\alpha)| P^{2} \ln ^{3} N\Bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из лемм 4 и 5 следует следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \max_{\alpha \in E_{2}}|T(\alpha)| P^{2} \ln ^{3} N=O(P^3 Q^{-1/36}\ln^3 P)=O(P^3 \Delta_2 \ln^3 N), \\ \max_{\alpha \in E_{1}}|S_{\varepsilon}(\alpha)| P^{2} \ln ^{3} N=O(P^3 \Delta_3 \ln^3 N). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы пришли к равенству
$$
\begin{equation*}
J(N)=\frac{1}{32} I(N)+O\bigl(P^{3}(\Delta+\Delta_{1}+\Delta_{2}+\Delta_{3}) \ln ^{3} P\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, выбирая
$$
\begin{equation*}
k_{0}=\frac{1}{2} \min \biggl(\frac{\varepsilon_{0}}{2}, \frac{c_{0}}{2},-\frac{\varkappa}{72}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
получаем Теорема 1 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Emi21} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|