| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Общий антиканонический элемент для трехмерных экстремальных стягиваний с одномерными слоями: исключительный случай Ш. Мориabc, Ю. Г. Прохоровd a Kyoto University Institute for Advanced Study, Kyoto University, Kyoto, Japan b Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University, Kyoto, Japan c Chubu University Academy of Emerging Sciences, Chubu University, Aichi, Japan d Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9388 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеНастоящая статья является продолжением серии статей о классификации экстремальных стягиваний с одномерными слоями (введение в предмет см. в обзоре [13]). Напомним, что росток экстремальной окрестности – это аналитический росток $(X, C)$ трехмерного многообразия $X$ с терминальными особенностями вдоль приведенной связной кривой $C$, допускающий стягивание $f\colon (X, C)\to (Z, o)$ такое, что $C=f^{-1}(o)_{\mathrm{red}}$, и такой, что дивизор $-K_X$ является $f$-обильным. Существует три типа ростков экстремальных окрестностей: флипповые, дивизориальные и $\mathbb{Q}$-расслоения на коники; все они являются важными компонентами в трехмерной программе минимальных моделей. Первый шаг в классификации – установить существование “хорошего” элемента в антиканонической линейной системе. Это так называемая “гипотеза об общем антиканоническом элементе (слоне)” М. Рида (см. [15]). В случае неприводимой центральной кривой $C$ эта гипотеза доказана. Теорема 1.1 (см. [2; теорема 2.2], [11]). Пусть $(X, C)$ – росток экстремальной окрестности с неприводимой центральной кривой $C$. Тогда общий элемент $D\in |{-}K_X|$ является нормальной поверхностью с дювалевскими особенностями. Более того, все возможности для общих элементов $|{-}K_X|$ были классифицированы. Во-первых, ростки экстремальных окрестностей с неприводимой центральной кривой делятся на два класса: полустабильные и исключительные. Такой росток $(X, C)$ называется полустабильным, если ограничение соответствующего стягивания $f\colon (X,C)\to (Z,o)$ на общий элемент $D\in |{-}K_X|$ имеет факторизацию Штейна $f_D\colon D\to D'\to f(D)$, где поверхность $D'$ имеет лишь дювалевские особенности типа $\mathrm{A}$ (см. [2]). Неполустабильные ростки экстремальных окрестностей называются исключительными. Полустабильные ростки экстремальных окрестностей делятся на две категории: $(\mathrm{k1A})$ и $(\mathrm{k2A})$, в то время как исключительные делятся на следующие категории: $\mathrm{cD/2}$, $\mathrm{cAx/2}$, $\mathrm{cE/2}$, $\mathrm{cD/3}$, $(\mathrm{IIA})$, $(\mathrm{II^\vee})$, $(\mathrm{IE^\vee})$, $(\mathrm{ID^\vee})$, $(\mathrm{IC})$, $(\mathrm{IIB})$, $(\mathrm{kAD})$ и $(\mathrm{k3A})$ (см. [2], [9] и [11]). Результат, сформулированный в теореме 1.1, очень важен в трехмерной геометрии. Например, существование хорошего элемента $D\in|{-}K_X|$ для флипповых стягиваний является достаточным условием для существования флипов (см. [1]) и существование хорошего элемента $D\in |{-}K_X|$ в случае $\mathbb{Q}$-расслоений на коники доказывает гипотезу Исковских об особенностях базы (см. [14], [9]). Гипотеза Рида была доказана также для произвольной центральной кривой $C$ в случае $\mathbb{Q}$-расслоений на коники над особой базой. Теорема 1.2 (см. [10]). Пусть $(X,C)$ – росток $\mathbb{Q}$-расслоения на коники, и пусть $f\colon (X,C)\to (Z,o)$ – соответствующее стягивание. Предположим, что точка $(Z, o)$ особа. Тогда общий элемент $D\in |{-}K_X|$ является нормальной поверхностью с дювалевскими особенностями. В настоящей статье мы изучим гипотезу Рида для ростков экстремальных окрестностей с приводимой центральной кривой. Наш основной результат – следующая теорема. Теорема 1.3. Пусть $(X,C)$ – росток экстремальной окрестности. Предположим, что $(X,C)$ удовлетворяет следующему условию: Тогда общий элемент $D\in |{-}K_X|$ является нормальной поверхностью с дювалевскими особенностями. Более того, для каждой неприводимой компоненты $C_i\subset C$, содержащей две негоренштейновы точки или точку типов $(\mathrm{IC})$ или $(\mathrm{IIB})$, двойственный граф $\Delta(D,C_i)$ имеет ту же форму, что и неприводимый росток экстремальной окрестности $(X,C_i)$ (см. теорему 5.1). Всюду на протяжении этой статьи мы используем стандартные обозначения $(\mathrm{IC})$, $(\mathrm{IIB})$ и т.д. для типов ростков экстремальных окрестностей $(X,C)$ с неприводимым центральным слоем (см. [2]). Иногда, если важно знать индексы особых точек, мы будем использовать нижние индексы. Например, $(\mathrm{kAD_{2,m}})$ означает, что индексы точек на $(X,C)$ равны 2 и $m$. Некоторые из нижних индексов могут быть опущены, если это не важно в данном рассмотрении, например, $(\mathrm{k2A_2})$ означает, что $(X,C)$ содержит точку индекса $2$ (и другую точку индекса $>1$). Согласно классификации бирациональных ростков экстремальных окрестностей условие $(*)$ в теореме 1.3 эквивалентно тому, что произвольная компонента $C_i\subset C$ типа $(\mathrm{k2A})$ имеет точку индекса $2$. Следствие 1.4. Пусть $(X,C)$ – росток экстремальной окрестности, и пусть $C_i\subset C$ – неприводимая компонента. (i) Если $C_i$ имеет тип $(\mathrm{IIB})$, то любая другая компонента $C_j\subset C$ имеет тип $(\mathrm{IIA})$ или $(\mathrm{II^\vee})$. (ii) Если $C_i$ имеет тип $(\mathrm{IC})$ или $(\mathrm{k3A})$, то любая другая компонента $C_j\,{\subset}\,C$, пересекающая $C_i$, имеет тип $(\mathrm{k1A})$ или $(\mathrm{k2A})$. (iii) Если $C_i$ имеет тип $(\mathrm{kAD})$, то любая другая компонента $C_j\subset C$, пересекающая $C_i$, имеет тип $(\mathrm{k1A})$, $(\mathrm{k2A})$, $\mathrm{cD/2}$ или $\mathrm{cAx/2}$. (iv) Если $C_i$ имеет тип $(\mathrm{k2A_2})$, то любая другая компонента $C_j\subset C$, пересекающая $C_i$, имеет тип $(\mathrm{k1A})$, $(\mathrm{IC})$ или $(\mathrm{k2A_{n,m}})$, $n,m\geqslant 3$. Имеются и другие ограничения на комбинаторику компонент кривой $C$. Это будет обсуждаться в последующих публикациях. Примеры ростков экстремальных окрестностей, удовлетворяющих условиям теоремы 1.3, могут быть найдены в дополнении к архивной версии настоящей работы [arhiv:2002.10693]. БлагодарностиСтатья была написана во время визита второго автора в Исследовательский институт математических наук, Киотский университет. Авторы благодарны институту за поддержку и гостеприимство. § 2. Предварительные сведения2.1.Напомним, что стягивание – это собственный сюръективный морфизм $f\colon X\to Z$ нормальных многообразий такой, что $f_*\mathscr{O}_X=\mathscr{O}_Z$. Определение 2.1. Пусть $(X,C)$ – аналитический росток трехмерного многообразия с терминальными особенностями вдоль приведенной связной полной кривой. Мы говорим, что $(X,C)$ – росток экстремальной окрестности, если существует стягивание $f\colon (X,C)\longrightarrow (Z,o)$ такое, что $C=f^{-1}(o)_{\mathrm{red}}$, и дивизор $-K_X$ является $f$-обильным. Далее, $f$ называется флипповым, если его исключительное множество совпадает с $C$, и дивизориальным, если его исключительное множество двумерно. Если стягивание $f$ не является бирациональным, то $Z$ – поверхность и $(X,C)$ называется ростком $\mathbb{Q}$-расслоения на коники. Лемма 2.2. Пусть $(X,C)$ – росток экстремальной окрестности. Предположим, что слой $C$ приводим. Тогда для любой связной собственной подкривой $C'\subsetneqq C$ росток $(X,C')$ является бирациональным ростком экстремальной окрестности. Доказательство. Ясно, что существует стягивание $f'\colon X\to Z'$ кривой $C'$ над $Z$ (см. [6; следствие 1.5]). Нам нужно показать только, что $f'$ является бирациональным. Предположим, что $(X,C')$ – росток $\mathbb{Q}$-расслоения на коники. Тогда существует следующая коммутативная диаграмма: где $f$ и $f'$ – $\mathbb{Q}$-расслоения на коники, стягивающие $C$ и $C'$ соответственно. Образ $\Gamma:=f'(C'')$ оставшейся части $C'':=C-C'$ является кривой $Z'$ такой, что $\varphi(\Gamma)=f(C)$ – точка, которую мы обозначим $o\in Z$. Следовательно, слой $f^{\prime -1}(\Gamma)=f^{-1}(o)$ двумерен. Противоречие. Лемма доказана. 2.2.Напомним основные определения техники $\ell$-структур; подробности см. в [6; § 8]. Пусть $(X,P)$ – трехмерная терминальная особенность индекса $m$. Всюду на протяжении этой статьи $\pi\colon (X^\sharp , P^\sharp ) \to (X, P )$ обозначает его накрытие индекса $1$. Для любого объекта $V$ на $X$ мы обозначим через $V^\sharp$ прообраз $V$ на $X^\sharp$. Пусть $\mathscr{L}$ – когерентный пучок на $X$ без подмодулей конечной длины $\,{>}\,0$. $\ell$-структура для $\mathscr{L}$ в точке $P$ – когерентный пучок $\mathscr{L}^\sharp$ на $X^\sharp$ без подмодулей конечной длины ${>}\,0$ с действием $\boldsymbol{\mu}_m$, снабженный изоморфизмом $(\mathscr{L}^\sharp)^{\boldsymbol{\mu}_m}\,{\simeq}\,\mathscr{L}$. $\ell$-базис для $\mathscr{L}$ в точке $P$ – набор $\boldsymbol{\mu}_m$-полуинвариантов $s_1^\sharp,\dots,s_r^\sharp\in \mathscr{L}^\sharp$, порождающих $\mathscr{L}^\sharp$ как $\mathscr{O}_{X^\sharp}$-модуль в $P^\sharp$. Пусть $Y$ – замкнутое подмногообразие в $X$. Заметим, что $\mathscr{L}$ – $\mathscr{O}_Y$-модуль, если и только если $\mathscr{L}^\sharp$ – $\mathscr{O}_{Y^\sharp}$-модуль. Мы говорим, что $\mathscr{L}$ является $\ell$-свободным $\mathscr{O}_Y$-модулем в $P$, если $\mathscr{L}^\sharp$ – свободный $\mathscr{O}_{Y^\sharp}$-модуль в $P^\sharp$. Пусть $\mathscr{L}$ – $\ell$-свободный $\mathscr{O}_Y$-модуль в $P$. Тогда $\ell$-базис для $\mathscr{L}$ в $P$ называется $\ell$-свободным, если он – свободный $\mathscr{O}_{Y^\sharp}$-базис. Пусть $\mathscr{L}$ и $\mathscr{M}$ – $\mathscr{O}_Y$-модули в $P$ с $\ell$-структурами $\mathscr{L}\subset \mathscr{L}^\sharp$ и $\mathscr{M}\subset \mathscr{M}^\sharp$. Определим операции $\mathbin{\widetilde\oplus}$ и $\mathbin{\widetilde\otimes}$:
Эти операции удовлетворяют стандартным свойствам (см. [6; предложение-определение 8.8.4]). Если $X$ – аналитическое трехмерное многообразие с терминальными особенностями и $Y$ – замкнутая подсхема в $X$, то введенные выше локальные определения операций $\mathbin{\widetilde\oplus}$ и $\mathbin{\widetilde\otimes}$ совпадают с соответствующими операциями на $X\setminus \operatorname{Sing} X$. Следовательно, они задают корректно определенные операции глобальных $\mathscr{O}_Y$-модулей. Лемма 2.3. Пусть $(D,C)$ – росток нормальной горенштейновой поверхности вдоль собственной приведенной связной кривой $C\,{=}\,\bigcup C_i$, где $C_i$ – неприводимые компоненты. Предположим, что имеют место следующая условия: (i) $K_D\sim 0$; (ii) существует бирациональное стягивание $\varphi\colon (D, C)\to (R,o)$ такое, что $\varphi^{-1}(o)_{\mathrm{red}}= C$; (iii) существует точка $P\in D$, которая не является дювалевской типа $\mathrm{A}$. Тогда $D$ имеет лишь дювалевские особенности на $C\setminus \{P\}$. Доказательство. Предположим, что существует точка $Q\in D\setminus \{P\}$, которая не является дювалевской. Если существует компонента $C_i\subset C$, проходящая через $Q$, но не проходящая через $P$, то мы можем стянуть ее: $D\to D'$ над $R$. Стягивание крепантно, поэтому образ $Q$ – снова недювалевская точка. Заменим $D$ на $D'$. Продолжая процесс, мы можем считать, что $P$ и $Q$ связаны некоторой компонентой $C_i\subset C$. Более того, уменьшая $C$, мы можем считать, что $C_i=C$, т.е. кривая $C$ неприводима. Так как поверхность $D$ горенштейнова, то точка $Q\in D$ не является логтерминальной, а точка $P\in D$ логтерминальна, только если она дювалевская типа $\mathrm{D}$ или $\mathrm{E}$. Следовательно, пара $(D, C)$ не является логканонической в $Q$ и не является чисто логтерминальной в $P$ (см. [3; теорема 4.15]). Пусть $H$ – общее гиперплоское сечение, проходящее через $P$. Для некоторых $0<\varepsilon$, $\delta \ll1$ пара $(D, (1-\varepsilon )C+\delta H)$ не является логканонической в $P$ и $Q$. Так как $-(K_D+(1-\varepsilon )C+\delta H)$ является $\varphi$-обильным, это противоречит лемме о связности Шокурова (см. [16]). Лемма доказана.
§ 3. Случаи малых индексовРостки экстремальных окрестностей индекса $2$ с произвольной центральной кривой были полностью классифицированы в [2; § 4] и [9; § 12]. Как несложное следствие мы имеем следующее Предложение 3.1. Пусть $(X,C)$ – росток экстремальной окрестности. Предположим, что все особенности $X$ имеют индекс $1$ или $2$, т.е. $2K_X$ – дивизор Картье. Тогда общий элемент $D\in |{-}K_X|$ – нормальная поверхность с дювалевскими особенностями и $D$ не содержит компонент $C$. Доказательство. Так как случай, когда $X$ горенштейново, тривиален, то мы предположим, что $X$ имеет по крайней мере одну точку индекса $2$, обозначим ее $P$. В бирациональном случае нет других негоренштейновых точек и все компоненты $C_i\subset C$ проходят через $P$ (см. [2; предложение 4.6]). Согласно [2; теорема 2.2] общий локальный элемент $D\in |{-}K_{(X,P)}|$ является на самом деле общим элементом линейной системы $|{-}K_X|$, и этот $D$ имеет лишь дювалевскую особенность (в $P$; см. [15; (6.4)]). Случай $\mathbb{Q}$-расслоения на коники см. в [9; доказательство 12.1] и [10; следствие 1.4]. Предложение доказано. Предложение 3.2. Пусть $(X,C)$ – росток экстремальной окрестности. Предположим, что кривая $C$ приводима и $(X,C)$ содержит точку $P$ одного из типов $\mathrm{cD/2}$, $\mathrm{cAx/2}$, $\mathrm{cE/2}$, $\mathrm{cD/3}$. Тогда имеет место одно из следующих утверждений. (i) $P$ – единственная негоренштейнова точка $X$, все компоненты проходят через $P$ и не пересекают друг друга вне точки $P$, а общий элемент $D\in |{-}K_X|$ – нормальная поверхность с дювалевскими особенностями. Более того, $D\cap C=\{P\}$. (ii) Существует компонента $C_i\subset C$, проходящая через $P$, такая, что росток $(X,C_i)$ является дивизориальным типа $(\mathrm{kAD})$. Более того, $(X,P)$ – особенность типа $\mathrm{cD/2}$ или $\mathrm{cAx/2}$. Доказательство. Напомним, что точки пересечения $C_i\cap C_j$ различных компонент $C_i, C_j\subset C$ негоренштейновы по [6; следствие 1.15], [4; предложение 4.2] и также по [9; лемма 4.4.2]. Если $P$ – единственная негоренштейнова точка $X$, то общий элемент $D\in |{-}K_{(X,P)}|$ – на самом деле общий элемент линейной системы $|{-}K_X|$ (см. [6; (0.4.14)]). Этот $D$ имеет лишь дювалевскую особенность (в $P$; см. [15; (6.4)]). Если существует негоренштейнова точка $Q\in X$, отличная от $P$, то мы можем считать, что $Q$ лежит на некоторой компоненте $C_i\subset C$, проходящей через $P$. Таким образом, $(X,C_i)$ – бирациональный росток экстремальной окрестности с двумя негоренштейновыми точками (см. лемму 2.2). Согласно [2; теорема 2.2] и [8] росток $(X,C_i)$ является дивизориальным типа $(\mathrm{kAD})$ и $(X,P)$ – особенность типа $\mathrm{cD/2}$ или $\mathrm{cAx/2}$. Предложение доказано.
§ 4. Методы продолженияТеорема 4.1 (см. [6; теорема 7.3], [9; предложение 1.3.7]). Пусть $(X, C\simeq \mathbb{P}^1)$ – неприводимый росток экстремальной окрестности, удовлетворяющий условию $(*)$ в теореме 1.3. Тогда для общего элемента $S\in |{-}2K_X|$ мы имеем $S\cap C=\{P\}$, где $P$ – точка индекса $r>2$ или гладкая точка (если $(X,C)$ имеет индекс $2$). Более того, пара $(X,\frac12 S)$ логтерминальна. Предложение 4.2 (см. [2; лемма 2.5], [11; предложение 2.1]). Пусть $(X, C)$ – росток экстремальной окрестности (кривая $C$ не обязательно неприводима), и пусть $S\in |{-}2K_X|$ – общий элемент. Предположим, что множество $\Sigma:=S\cap C$ конечно. (i) Если $(X, C)$ является бирациональным, то естественное отображение
$$
\begin{equation}
\tau\colon H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X))\to \boldsymbol{\omega}_{(S,\Sigma)}= H^0(S,\mathscr{O}_S(-K_X))
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
сюръективно, где $\boldsymbol{\omega}_{(S,\Sigma)}$ – дуализирующий пучок поверхности $(S,\Sigma)$. (ii) Если $(X, C)$ – росток $\mathbb{Q}$-расслоения на коники над неособой базисной поверхностью, то естественное отображение
$$
\begin{equation}
\overline \tau\colon H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X))\to \boldsymbol{\omega}_{(S,\Sigma)}/\Omega^2_{(S,\Sigma)}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
сюръективно, где $\Omega^2_{(S,\Sigma)}$ – пучок голоморфных $2$-форм на $(S,\Sigma)$. (iii) Если $(X, C)$ – росток $\mathbb{Q}$-расслоения на коники над неособой базисной поверхностью и $\Sigma=\Sigma_1 \amalg\Sigma_2$, $\Sigma_i\neq\varnothing$, то сюръективно. Доказательство. Для доказательства (i) мы отсылаем к [2; лемма 2.5].
Докажем (ii). Заметим, что по формуле присоединения $\mathscr{O}_S(K_S)= \mathscr{O}_S(-K_X)$. Пусть $f\colon (X,C)\to (Z,o)$ – соответствующее стягивание $\mathbb{Q}$-расслоения на коники, и пусть $g=f|_S\colon S\to Z$ – его ограничение на $S$. Так как базисная поверхность $Z$ неособа, согласно [9; лемма 4.1] существует канонический изоморфизм
$$
\begin{equation*}
R^1f^* \boldsymbol{\omega}_X \simeq \boldsymbol{\omega}_Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда мы применим предложение 2.1 из [11] в нашей ситуации: и получим сюръективность $\tau$.
Для доказательства (iii) мы рассмотрим отображение $g_i\colon S_i\to Z$, которое является ограничением $g$ на $S_i=(S,\Sigma_i)\subset S$ и индуцирует точную последовательность Тогда мы видим, что $g_2^*\colon \boldsymbol{\omega}_Z\to 0\oplus \boldsymbol{\omega}_{(S,\Sigma_2)}$ – расщепляющий гомоморфизм. Следовательно, гомоморфизм сюръективен. Предложение доказано.Лемма 4.3. Пусть $(\overline{X},\overline{C})$ – росток экстремальной окрестности с приводимой центральной кривой $\overline{C}$. Предположим, что $\overline X$ удовлетворяет условию $(*)$ в теореме 1.3 и что существует компонента $C\subset \overline C$ типа $(\mathrm{k1A})$, которая пересекает $\overline C\,{-}\,C$ в точке $P$ индекса $2$. Тогда общий элемент $D\in |{-}K_{\overline X}|$ не содержит $C$. Доказательство. На каждой неприводимой компоненте $C_i$ кривой $\overline{C}$ существует не более одной точки индекса ${>}\,2$. Пусть $\{P_a\}_{a \in A}$ – набор таких точек. Для каждой $C_i$ без точек индекса $\,{>}\,2$ выберем одну общую точку кривой $C_i$. Пусть $\{P_b\}_{b \in B}$ – набор таких точек. Для каждой $i \in A \cup B$ пусть $S_i \in |-2K_{(X,P_i)}|$ – общий элемент на ростке $(X,P_i)$, и положим $S=\sum_{i \in A \cup B} S_i$. Тогда $S$ продолжается до элемента $|{-}2K_X|$ согласно [6; теорема (7.3)]. Образующая $\sigma_b$ слоя $\mathscr{O}_{S,b}(-K_X)\simeq \mathscr{O}_{S,b}$ поднимается до $s \in H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X))$ согласно предложению 4.2, (i), если $(\overline X, \overline C)$ является бирациональный и поскольку $A\neq\varnothing$, и по предложению 4.2, (ii) в противном случае. В любом случае мы имеем $C \not\subset D$. Лемма доказана.
§ 5. Обзор результатов [2; § 2]Нам нужно некоторое улучшение фактов о бирациональных ростках экстремальных окрестностей с неприводимым центральным слоем, доказанных в [2; § 2]. 5.1.Ниже для нормальной поверхности $D$ и кривой $C\subset D$ мы используем обычные обозначения графов $\Delta (D,C)$ минимального разрешения $D$ вблизи $C$: каждая вершина, помеченная $\bullet$, соответствует неприводимой компоненте $C$, а каждая вершина $\circ$ соответствует компоненте $E_i\subset E$ исключительного дивизора $E$ на минимальном разрешении поверхности $D$. Заметим, что в нашей ситуации ниже мы имеем $E_i^2=-2$ для всех $E_i$. Теорема 5.1 (см. [2; теорема 2.2], [8]). Пусть $(X,C\simeq\mathbb{P}^1)$ – бирациональный росток экстремальной окрестности, и пусть $D\in |{-}K_X|$ – общий элемент. Тогда $D$ – нормальная поверхность с дювалевскими особенностями. Более того, или $D\,{\cap}\, C$ – точка, или $D\supset C$, а для графа $\Delta(D,C)$ имеет место одна и только одна из следующих возможностей:
где $m$ и $k$ – индекс и осевая кратность (см. [6; определение-следствие 1a.5, (iii)]), особой точки $X$, а $n$ и $l$ – то же самое для другой негоренштейновой точки (если такая имеется). В случаях $(\mathrm{IC})$, $(\mathrm{IIB})$, $(\mathrm{kAD})$, $(\mathrm{k3A})$ и $(\mathrm{k2A_2})$ теорема 5.1 выводится из следующей. Теорема 5.2 (ср. [2; § 2], [8]). Пусть $(X,C)$ – бирациональный росток экстремальной окрестности с неприводимой центральной кривой типа $(\mathrm{IC})$, $(\mathrm{IIB})$, $(\mathrm{kAD})$, $(\mathrm{k3A})$ или $(\mathrm{k2A_2})$. Пусть $S\in |{-}2K_X|$ – общий элемент (так что $S\,{\cap}\, C\,{=}\,\{P\}$, где $P$ – точка индекса $r>2$). Пусть $\sigma_S\in H^0(S,\mathscr{O}_S(-K_X))$ – общее сечение. Тогда для любого сечения $\sigma\in H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X))$ такого, что Ниже мы дадим набросок доказательства теоремы 5.2, следуя [2; § 2]. Мы разберем возможности $(\mathrm{IC})$, $(\mathrm{IIB})$, $(\mathrm{k3A})$, $(\mathrm{kAD})$ и $(\mathrm{k2A_2})$ случай за случаем. 5.2. Случай $(\mathrm{IC})$Согласно [6; (A.3)] мы имеем следующее отождествление в $P$:
$$
\begin{equation*}
(X,C)= (\mathbb{C}^3_{y_1,y_2,y_4},\,\{y_1^{m-2}-y_2^2= y_4=0 \}) /\boldsymbol{\mu}_{m}(2,m-2,1).
\end{equation*}
\notag
$$
Общий дивизор $S\,{\in}\,|{-}2K_X|$ задается уравнением $y_1\,{=}\,\xi(y_2,y_4)$, где $\xi\,{\in}\, (y_2, y_4)^2$ – элемент такой, что $\operatorname{wt}(\xi) \equiv 2 \ \operatorname{mod} m$. Таким образом, мы имеем
$$
\begin{equation}
S\simeq \mathbb{C}^2_{y_2,y_4} /\boldsymbol{\mu}_{m}(m-2,1), \qquad \boldsymbol{\omega}_S=(\mathscr{O}_{S^\sharp,P^\sharp}\,\mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_4)^{\boldsymbol{\mu}_m},
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{\omega}_S \otimes \mathbb{C}_P = \mathbb{C} \cdot y_2^{(m-1)/2}\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_4\oplus \mathbb{C}\cdot y_4\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_4.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Далее,
$$
\begin{equation}
\operatorname{gr}_C^0\boldsymbol{\omega}^*=(P^\sharp)=\biggl(-1+\frac{m+1}2\cdot2P^\sharp\biggr)\simeq \mathscr{O}_C(-1),
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Omega^{-1}:=(\mathrm{d} y_1\wedge \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_4)^{-1}
\end{equation*}
\notag
$$
– $\ell$-свободный $\ell$-базис в $P$. Следовательно, $H^0(C,\operatorname{gr}_C^0 \boldsymbol{\omega}^*)=0$ и
$$
\begin{equation}
H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X))=H^0(X,\mathscr{I}_C \mathbin{\widetilde\otimes}\mathscr{O}_X(-K_X)),
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
где $\mathscr{I}_C$ – идеал, задающий $C$ в $X$. Далее, согласно [2; (2.10.4)]
$$
\begin{equation}
\operatorname{gr}_C^1\boldsymbol{\omega}^*=(5P^\sharp)\mathbin{\widetilde\oplus} (0),
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
где $\boldsymbol{\mu}_m$-полуинварианты
$$
\begin{equation}
(y_1^{m-2}-y_2^2)\cdot \Omega^{-1}, \quad y_4\cdot \Omega^{-1}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
образуют $\ell$-свободный $\ell$-базис в $P$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{gr}_C^1\boldsymbol{\omega}^*\simeq \begin{cases} \mathscr{O}_C(-1)\oplus \mathscr{O}_C, & \text{если $m\geqslant 9$,} \\ \mathscr{O}_C\oplus \mathscr{O}_C, & \text{если $m=7$,} \\ \mathscr{O}_C(1)\oplus \mathscr{O}_C, & \text{если $m=5$.} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы имеем естественные гомоморфизмы
$$
\begin{equation*}
\delta \colon H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X)) \to \operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^* \to (\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*)^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $(y_1-\xi)\cdot (\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*)^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp}=0$, то отображение $\delta$ раскладывается следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\delta \colon H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X)) \to \boldsymbol{\omega}_S \to (\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*)^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как и в [11; (3.1.1)], мы видим, что
$$
\begin{equation*}
\Omega^2_S \subset (\mathfrak m_{S, P}\cdot y_4 +\mathfrak m_{S,P}\cdot y_2^{(m-1)/2})\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_4 =\mathfrak m_{S,P}\cdot \boldsymbol{\omega}_S,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку для произвольных элементов $\phi_1$, $\phi_2$ множества порождающих кольца $\mathscr{O}_{S^\sharp}^{\boldsymbol{\mu}_m}$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\mathrm{d}\phi_1 \wedge \mathrm{d}\phi_2 \in \bigl((y_2,y_4)y_4+(y_2,y_4)y_2^{(m-1)/2}\bigr)\,\mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_4.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\delta$ раскладывается далее следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\delta \colon H^0(\mathscr{O}_X(-K_X)) \twoheadrightarrow \boldsymbol{\omega}_{S}/\Omega^2_{S} \twoheadrightarrow \boldsymbol{\omega}_S \otimes \mathbb{C}_P \to (\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*)^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp},
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее отображение – сюръекция, если $m=5$, и образ порождается элементом $y_4\Omega^{-1}$, если $m\geqslant 7$ (см. (5.3) и (5.7)). Если $m\geqslant 7$, это влечет, что коэффициент элемента $y_4\Omega^{-1}$ в $\sigma_S$ не равен нулю. Если $m=5$, то коэффициенты $y_4\Omega^{-1}$ и $(y_1^{m-2}-y_2^2)\Omega^{-1}$ в $\sigma_S$ независимы, а образ $\overline \sigma$ элемента $\sigma$ в $\operatorname{gr}_C^1\boldsymbol{\omega}^*$ не содержится в $\mathscr{O}_C(1)$. Следовательно, $\overline \sigma$ нигде не зануляется, и поэтому особое множество поверхности $D$ не пересекает $C\setminus \{P\}$. Тогда мы снова можем взять сечение $\sigma_S$ так, что оно содержит член $y_4\Omega^{-1}$. Следовательно, $D\in |{-}K_X|$ может быть задано уравнением $y_4+\cdots =0$. Тогда [2; вычисление 2.10.5] показывает, что поверхность $D$ дювалевская в $P$ и что ее граф такой, как граф типа $(\mathrm{IC})$ в теореме 5.1. 5.3. Случай $(\mathrm{IIB})$Согласно [6; (A.3)] росток $(X,C)$ в $P$ может быть задан следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (X,C) = \bigl(\{\phi=0\}\subset\mathbb{C}^4_{y_1,\dots,y_4},\,\{y_1^2-y_2^3=y_3=y_4=0\}\bigr)/\boldsymbol{\mu}_4(3,2,1,1), \\ \phi=y_1^2-y_2^3+\psi, \qquad \operatorname{wt}(\psi)\equiv 2\ \operatorname{mod} 4, \qquad \psi (0,0,y_3,y_4) \notin (y_3,y_4)^3. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Общий дивизор $S\in |{-}2K_X|$ задается уравнением $y_2=\xi(y_1,y_3,y_4)$, где $\xi \in (y_1,y_3,y_4)^2$ – элемент такой, что $\operatorname{wt}(\xi) \equiv 2 \ \operatorname{mod} 4$. Таким образом, $S$ является фактором гиперповерхности $\phi(y_1,\xi,y_3,y_4)=0$ в $\mathbb{C}^3_{y_1,y_3,y_4}$ по $\boldsymbol{\mu}_4(3,1,1)$. Мы имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \boldsymbol{\omega}_S &=\biggl(\mathscr{O}_{S^\sharp,P^\sharp}\, \frac{\mathrm{d} y_3\wedge \mathrm{d} y_4}{y_1+\cdots}\biggr)^{\boldsymbol{\mu}_4}, \\ \boldsymbol{\omega}_S \otimes \mathbb{C}_P &= \mathbb{C} \cdot y_3 \,\frac{\mathrm{d} y_3\wedge \mathrm{d} y_4}{y_1 +\cdots} \oplus \mathbb{C}\cdot y_4 \,\frac{\mathrm{d} y_3\wedge \mathrm{d} y_4}{y_1 + \cdots}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Далее,
$$
\begin{equation}
\operatorname{gr}_C^0\boldsymbol{\omega}^*=(P^\sharp)=(-1+3P^\sharp+ 2P^\sharp)\simeq \mathscr{O}_C(-1),
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Omega^{-1}:=\biggl(\frac{\mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3\wedge \mathrm{d} y_4}{\partial \phi/\partial y_1}\biggr)^{-1}
\end{equation*}
\notag
$$
– $\ell$-свободный $\ell$-базис в $P$. Следовательно, $H^0(C,\operatorname{gr}_C^0 \boldsymbol{\omega}^*)=0$ и
$$
\begin{equation}
H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X))=H^0(X,\mathscr{I}_C \mathbin{\widetilde\otimes}\mathscr{O}_X(-K_X)),
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
где $\mathscr{I}_C$ – идеал, задающий $C$ в $X$. Далее, согласно [2; (2.11)]
$$
\begin{equation}
\operatorname{gr}_C^1\boldsymbol{\omega}^*=(0)\mathbin{\widetilde\oplus} (1)\simeq \mathscr{O}_C\oplus\mathscr{O}_C(1),
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
где $\boldsymbol{\mu}_m$-инварианты образуют $\ell$-свободный $\ell$-базис в $P$. Как и в случае $(\mathrm{IC})$, мы имеем естественные гомоморфизмы
$$
\begin{equation*}
\delta \colon H^0(\mathscr{O}_X(-K_X)) \twoheadrightarrow \boldsymbol{\omega}_S \otimes \mathbb{C}_P \to (\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*)^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp},
\end{equation*}
\notag
$$
где последний гомоморфизм – изоморфизм (см. (5.8) и (5.12)). Таким образом, коэффициенты $y_3 \Omega^{-1}$ и $y_4 \Omega^{-1}$ в $\sigma_S$ независимы, поэтому [2; вычисление 2.11.2] показывает, что поверхность $D$ является дювалевской в $P$, а образ $\overline \sigma$ элемента $\sigma$ в $\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*$ не содержится в $\mathscr{O}_C(1)$. Следовательно, $\overline \sigma$ нигде не зануляется, а дивизор $D$ неособ вне $P$. Поэтому граф $\Delta(D,C)$ такой же, как граф типа $(\mathrm{IIB})$ в теореме 5.1. 5.4. Случай $(\mathrm{k3A})$Конфигурация особых точек на $(X,C)$ следующая: $P$ – точка типа $(\mathrm{IA})$ нечетного индекса $m\geqslant 3$, $Q$ – точка типа $(\mathrm{IA})$ индекса $2$ и $R$ – точка типа $(\mathrm{III})$. Согласно [6; (A.3)] и [2; (2.12)] мы получаем локальную структуру точек
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (X,C,P)&=(\mathbb{C}^3_{y_1,y_2,y_3},(y_1\text{-ось}),0) /\boldsymbol{\mu}_{m}\biggl(1,\frac{m+1}2,-1\biggr), \\ (X,C,Q)&=(\mathbb{C}^3_{z_1,z_2,z_3},(z_1\text{-ось}),0)/\boldsymbol{\mu}_2(1,1,1), \\ (X,C,R)&=\bigl(\{\gamma(w_1,w_2,w_3,w_4)=0\},(w_1\text{-ось}),0\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma \equiv w_1w_3 \ \operatorname{mod} (w_2,w_3,w_4)^2$. Для общего дивизора $S\in |{-}2K_X|$ мы имеем $S\cap C=\{P\}$, и $S$ задается уравнением $y_1=\xi(y_2,y_3)$, где $\xi \in (y_2,y_3)^2$ – элемент такой, что $\operatorname{wt}(\xi )\equiv 1 \ \operatorname{mod} m$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
S\simeq \mathbb{C}_{y_2,y_3}^2/\boldsymbol{\mu}_m\biggl(\frac{m+1}2,-1\biggr), \qquad \boldsymbol{\omega}_S=(\mathscr{O}_{S^\sharp,P^\sharp}\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3)^{\boldsymbol{\mu}_m},
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{\omega}_S \otimes \mathbb{C}_P = \mathbb{C} \cdot y_2\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3\oplus \mathbb{C}\cdot y_3^{(m-1)/2}\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3.
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
Из доказательства [2; лемма (2.12.2)] мы имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{gr}_C^0\boldsymbol{\omega}^*=\biggl(-1+\frac {m+1}2P^\sharp+Q^\sharp\biggr)\simeq \mathscr{O}_C(-1),
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
где $\ell$-свободный $\ell$-базис в $P$, $Q$ и $R$ соответственно может быть записан следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Omega_P^{-1}:=(\mathrm{d} y_1\wedge \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3)^{-1}, \qquad \Omega_Q^{-1}:=(\mathrm{d} z_1\wedge \mathrm{d} z_2\wedge \mathrm{d} z_3)^{-1}, \\ \Omega_R^{-1}:=\biggl(\frac{\mathrm{d} w_2\wedge \mathrm{d} w_3\wedge \mathrm{d} w_4}{\partial \gamma/\partial w_1}\biggr)^{-1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $H^0(C,\operatorname{gr}_C^0 \boldsymbol{\omega}^*)=0$ и
$$
\begin{equation}
H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X))=H^0(X,\mathscr{I}_C\mathbin{\widetilde\otimes}\mathscr{O}_X(-K_X)),
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
где $\mathscr{I}_C$ – идеал, задающий $C$ в $X$. Далее, как и в [2; (2.12.4)], мы можем далее добиться того, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{gr}_C^1\boldsymbol{\omega}^*=(0)\mathbin{\widetilde\oplus}\biggl(-1+\frac {m+3}2P^\sharp\biggr),
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
где $y_2\cdot \Omega_P^{-1}$, $z_2\cdot \Omega_Q^{-1}$, $w_2\cdot \Omega_R^{-1}$ образуют $\ell$-свободный $\ell$-базис для $(0)$ в $P$, $Q$ и $R$ соответственно, а $y_3\cdot \Omega_P^{-1}$, $z_3\cdot \Omega_Q^{-1}$, $w_4\cdot \Omega_R^{-1}$ образуют $\ell$-свободный $\ell$-базис для $(-1+(m+3)/2P^\sharp)$. Более того,
$$
\begin{equation*}
\gamma \equiv w_1w_3+c_1w_4^2+c_2w_4w_2+c_3w_2^2 \ \operatorname{mod} (w_3,w_2^2,w_2w_4,w_4^2)\cdot \mathscr{I}_C
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторых $c_1, c_2,c_3 \in \mathbb{C}$ таких, что $c_1 \neq0$, если $m \geqslant 5$ (см. [2; лемма (2.12.6)] и [8; замечание 2]), и $(c_1, c_2,c_3)\neq0$, если $m=3$ (см. [2; лемма (2.12.7)] и [8; замечание 2]). Как и в [11; (3.1.1)], мы получаем
$$
\begin{equation*}
\Omega^2_S\subset (\mathfrak m_{S,P}\cdot y_2 +\mathfrak m_{S,P}\cdot y_3^{(m-1)/2})\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3 =\mathfrak m_{S,P}\cdot \boldsymbol{\omega}_S,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку для произвольных элементов $\phi_1$, $\phi_2$ множества порождающих кольца $\mathscr{O}_{S^\sharp}^{\boldsymbol{\mu}_m}$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\mathrm{d}\phi_1 \wedge \mathrm{d}\phi_2 \in \bigl((y_2,y_3)y_2+(y_2,y_3)y_3^{(m-1)/2}\bigr)\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, образ гомоморфизма
$$
\begin{equation*}
\delta \colon H^0(\mathscr{O}_X(-K_X))\twoheadrightarrow \boldsymbol{\omega}_S \otimes \mathbb{C}_P \to (\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*)^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp},
\end{equation*}
\notag
$$
равен $(\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*)^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp}$, если $m=3$, и $\mathbb{C}\cdot y_2\Omega_P^{-1}$, если $m \geqslant 5$. Если $m\geqslant 5$, это влечет, что коэффициент $y_2\Omega_P^{-1}$ в образе $\overline \sigma$ элемента $\sigma$ в $\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*$ не равен нулю и поэтому нигде не зануляется. Если $m=3$, то коэффициенты $y_2\Omega_P^{-1}$ и $y_3\Omega_P^{-1}$ независимы и поэтому $\overline \sigma$ – общее глобальное сечение $\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^* \simeq \mathscr{O}_C\oplus\mathscr{O}_C$. Тогда доказательство [2; лемма (2.12.5)] показывает, что поверхность $D$ дювалевская и что ее граф такой, как граф типа $(\mathrm{k3A})$ в теореме 5.1. Лемма 5.3. В обозначениях п. 5.4 существует деформация $(X_\lambda, C_\lambda\simeq \mathbb{P}^1)$ ростка $(X,C)$, которая тривиальна вне $R$, такая, что для $\lambda\neq 0$ росток $(X_\lambda, C_\lambda)$ имеет циклическую факторособенность в $Q$ и имеет тип $(\mathrm{kAD})$ случая (5.22) (соответственно $(\mathrm{k2A_2})$), если $m \geqslant 5$ (соответственно $m=3$). Доказательство. Пусть $(X_\lambda, C_\lambda)$ – скрученное расширение (см. [6; 1b.8.1]) ростка
$$
\begin{equation*}
(X_\lambda, R) =\{ \gamma- \lambda w_2=0\}\supset (C_\lambda, R)= (w_1\text{-ось})
\end{equation*}
\notag
$$
при помощи $u=(w_2, w_4)$. Тогда в $\operatorname{gr}_{C_\lambda}^1 \mathscr{O}$ мы имеем $w_1w_3=\lambda w_2$ для $\lambda\neq 0$. Так как $\operatorname{gr}^1_C\boldsymbol{\omega}^*=\mathscr{O}_C \cdot w_2\Omega^{-1}_R\oplus \mathscr{O}_C\cdot w_4 \Omega^{-1}_R$ в $R$, то мы имеем в $R$
$$
\begin{equation*}
\operatorname{gr}^1_{C_\lambda}\boldsymbol{\omega}^*= \mathscr{O}_{C_\lambda} \cdot w_3\Omega^{-1}_R\oplus \mathscr{O}_{C_\lambda}\cdot w_4 \Omega^{-1}_R,
\end{equation*}
\notag
$$
где $w_3\Omega_R^{-1}= (\lambda w_1)^{-1} w_2\Omega_R^{-1}$. Поэтому
$$
\begin{equation}
\operatorname{gr}^1_{C_\lambda}\boldsymbol{\omega}^*= (R) \mathbin{\widetilde\oplus} \biggl(-1 +\frac {m+3} 2 P^\sharp\biggr).
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
Для $\lambda\neq 0$ росток $(X_\lambda, C_\lambda)$ имеет тип $(\mathrm{kAD})$ или $(\mathrm{k2A_2})$. Сравнивая (5.18) с (5.31) (соответственно учитывая п. 5.7), мы видим, что $(X_\lambda, C_\lambda)$ имеет тип $(\mathrm{kAD})$ (соответственно $(\mathrm{k2A_2})$), если $m \geqslant 5$ (соответственно $m=3$). Лемма доказана. 5.5. Случай $(\mathrm{kAD})$Конфигурация особых точек на $(X,C)$ следующая: $P$ – точка типа $(\mathrm{IA})$ нечетного индекса $m\geqslant 3$ и $Q$ – точка типа $(\mathrm{IA})$ индекса $2$. Согласно [6; (A.3)], [2; (2.13)] и [8] мы можем записать
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (X,C,P)&=(\mathbb{C}^3_{y_1,y_2,y_3},(y_1\text{-ось}),0)/\boldsymbol{\mu}_{m}\biggl(1,\frac{m+1}2,-1\biggr), \\ (X,C,Q)&=\bigl(\{\beta=0\}\subset \mathbb{C}^4_{z_1,\dots,z_4},(z_1\text{-ось}),0 \bigr) /\boldsymbol{\mu}_2(1,1,1,0), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\beta=\beta(z_1,\dots,z_4)$ – полуинвариант с $\operatorname{wt}(\beta)\equiv 0\ \operatorname{mod} 2$. Для общего дивизора $S\in |{-}2K_X|$ мы имеем $S\cap C=\{P\}$, и $S$ задается уравнением $y_1=\xi(y_2,y_3)$, где $\xi \in (y_2,y_3)^2$ такой, что $\operatorname{wt}(\xi) \equiv 1 \ \operatorname{mod} m$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, S\simeq \mathbb{C}_{y_2,y_3}^2/\boldsymbol{\mu}_m\biggl(\frac{m+1}2,-1\biggr), \qquad \boldsymbol{\omega}_S=(\mathscr{O}_{S^\sharp,P^\sharp}\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d}y_3)^{\boldsymbol{\mu}_m}, \nonumber \\ \boldsymbol{\omega}_S \otimes \mathbb{C}_P = \mathbb{C} \cdot y_2\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3\oplus \mathbb{C}\cdot y_3^{(m-1)/2}\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\operatorname{gr}_C^0\boldsymbol{\omega}^*=\biggl(-1+\frac {m+1}2P^\sharp+Q^\sharp\biggr)\simeq \mathscr{O}_C(-1),
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
где $\ell$-свободный $\ell$-базис в $P$ и $Q$ соответственно может быть записан следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\Omega_P^{-1}=(\mathrm{d} y_1\wedge \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3)^{-1}, \qquad \Omega_Q^{-1}=\biggl(\frac{\mathrm{d} z_1\wedge \mathrm{d} z_2\wedge \mathrm{d} z_3}{\partial\beta/\partial z_4}\biggr)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $H^0(C,\operatorname{gr}_C^0 \boldsymbol{\omega}^*)=0$ и
$$
\begin{equation}
H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X))=H^0(X,\mathscr{I}_C \mathbin{\widetilde\otimes}\mathscr{O}_X(-K_X)),
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
где $\mathscr{I}_C$ – идеал, задающий $C$ в $X$. Как и в [2; (2.13.3)], мы различим два подслучая:
$$
\begin{equation}
\ell(Q) \leqslant 1, \qquad i_Q(1) =1, \quad \operatorname{gr}_C^1\mathscr{O} \simeq \mathscr{O}\oplus \mathscr{O}(-1);
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
$$
\begin{equation}
\ell(Q) =2, \qquad i_Q(1) =2, \quad \operatorname{gr}_C^1\mathscr{O} \simeq \mathscr{O}(-1)\oplus \mathscr{O}(-1).
\end{equation}
\tag{5.23}
$$
5.6. Подслучай (5.23)Он разбирается аналогично п. 5.4. Поскольку $\ell(Q)=2$, то мы имеем
$$
\begin{equation*}
\beta\equiv z_1^2z_4 \ \operatorname{mod} (z_2,z_3,z_4)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Как и в [2; лемма (2.13.4)], мы можем добиться того, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{gr}_C^1\boldsymbol{\omega}^*=(0)\mathbin{\widetilde\oplus} \biggl(-1+\frac {m+3}2P^\sharp\biggr),
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
где
$$
\begin{equation}
(y_2\cdot \Omega_P^{-1},z_2\cdot \Omega_Q^{-1}), \quad (y_3\cdot \Omega_P^{-1},z_3\cdot \Omega_Q^{-1})
\end{equation}
\tag{5.25}
$$
образуют $\ell$-свободный $\ell$-базис в $P$ и $Q$ для $(0)$ и $(-1+(m+3)/2P^\sharp)$ соответственно и
$$
\begin{equation*}
\beta \equiv z_1^2z_4+c_1z_3^2+c_2z_2z_3+c_3z_2^2 \ \operatorname{mod}(z_4,z_3^2,z_2z_3,z_2^2)(z_2,z_3,z_4)
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторых $c_1,c_2,c_3 \in \mathbb{C}$ таких, что $(c_1,c_2,c_3)\neq0$, если $m=3$ согласно классификации трехмерных терминальных особенностей [15; теорема (6.1)], и $c_1 \neq0$, если $m \geqslant 5$ (см. [2; лемма (2.12.6)] и [8; замечание 2]). Остальная часть доказательства такая же, как в п. 5.4 (тип $(\mathrm{k3A})$), за исключением того, что мы используем [2; (2.13.5)] вместо [2; (2.12.6)]. Замечание 5.4. Наименьшая степень $\boldsymbol{\mu}_2$-инвариантной переменной $z_4$, которая появляется в $\beta$ (т.е. осевая кратность для $(X,P)$), остается той же самой для определяющего уравнения $D^\sharp$ при исключении переменной веса $\operatorname{wt}\equiv 1 \ \operatorname{mod} 2$. Таким образом, граф $\Delta(D,C)$ такой, как граф типа $(\mathrm{kAD})$ в теореме 5.1. Лемма 5.5. В ситуации п. 5.5 с условием (5.23) пусть $(X_\lambda,C_\lambda)$ – скрученное расширение ростка Доказательство. При $0\,{<}\,|\lambda|\,{\ll}\, 1$ малая окрестность $X_\lambda\,{\ni}\, Q$ имеет две особые точки на $C_\lambda$: циклический фактор в $Q$ и горенштейнову точку в $(\sqrt{\lambda},0,0,0)$. Лемма доказана. 5.7. Подслучай (5.22)Заметим, что в этом случае $m\geqslant 5$ (см. [2; лемма (2.13.10)] и [8]). Так как $\ell(Q)\leqslant 1$, то мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \beta\equiv z_4 \ \operatorname{mod} (z_2^2,z_3,z_4)(z_2,z_3,z_4) \\ \bigl(\text{соответственно }\beta\equiv (z_1z_3+z_2^2)\ \operatorname{mod} (z_2^2,z_3,z_4)(z_2,z_3,z_4)\bigr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно [2; лемма (2.13.10)] мы имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \operatorname{gr}^1_C \mathscr{O} = \biggl(\frac{m-1}{2}P^\sharp+Q^\sharp\biggr)\mathbin{\widetilde\oplus} (-1+P^\sharp+Q^\sharp) \\ \biggl(\text{соответственно } \operatorname{gr}^1_C \mathscr{O} = \biggl(\frac{m-1}{2}P^\sharp\biggr)\mathbin{\widetilde\oplus}(-1+P^\sharp+Q^\sharp)\biggr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.26}
$$
Умножая эти равенства тензорно на (5.20), получим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \operatorname{gr}^1_C \boldsymbol{\omega}^* = (1)\mathbin{\widetilde\oplus} \biggl(-1+\frac{m+3}{2}P^\sharp\biggr) \\ \biggl(\text{соответственно }\operatorname{gr}^1_C \boldsymbol{\omega}^* =(Q^\sharp)\mathbin{\widetilde\oplus}\biggl(-1+\frac{m+3}{2}P^\sharp\biggr)\biggr), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.27}
$$
где $(y_2\Omega^{-1}_P,z_3\Omega^{-1}_Q)$ (соответственно $(y_2\Omega^{-1}_P,z_4\Omega^{-1}_Q)$) является $\ell$-свободным $\ell$-базисом для первого $\ell$-слагаемого в $\operatorname{gr}^1_C \boldsymbol{\omega}^*$ и $(y_3\Omega^{-1}_P,z_2\Omega^{-1}_Q)$ – для второго. Возьмем идеал $\mathscr{J}\subset \mathscr{I}$, как в [2; леммы (2.13.10), (2.13.11)]. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (\mathscr{I}/\mathscr{J})\mathbin{\widetilde\otimes} \boldsymbol{\omega}^*=\biggl(-1+\frac{m+3}2P^\sharp\biggr), \qquad H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X))= H^0(\mathrm{F}^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J})), \\ \mathscr{J}^\sharp =(y_3^2,y_2)\quad \text{в }\ P, \qquad \mathscr{J}^\sharp =(z_2^2,z_3,z_4)\quad\text{в }\ Q. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда мы имеем по [2; лемма (2.13.11)]
$$
\begin{equation*}
\operatorname{gr}^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J}) =(0)\mathbin{\widetilde\oplus} \biggl(-1+ \frac{m+5}2P^\sharp+Q^\sharp\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
y_2\cdot \Omega_P^{-1}, \quad y_3^2\cdot \Omega_P^{-1}, \quad z_3\cdot \Omega_Q^{-1}, \quad z_2^2\cdot \Omega_Q^{-1} \quad (\text{соответственно } z_4\cdot\Omega_Q^{-1})
\end{equation}
\tag{5.28}
$$
образуют $\ell$-свободный $\ell$-базис в $P$ и $Q$. Таким образом, мы исследуем
$$
\begin{equation*}
H^0(\mathscr{O}_X(-K_X)) =H^0(F^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J})) \to\operatorname{gr}_C^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J})
\end{equation*}
\notag
$$
при помощи индуцированного гомоморфизма
$$
\begin{equation*}
H^0(\mathscr{O}_X(-K_X)) \to \operatorname{gr}^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J}) \to (\operatorname{gr}^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J}))^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp},
\end{equation*}
\notag
$$
который в силу $(y_1-\xi) \cdot (\operatorname{gr}^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J}))^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp} =0$ раскладывается как
$$
\begin{equation*}
H^0(\mathscr{O}_X(-K_X)) \to \boldsymbol{\omega}_S \to (\operatorname{gr}^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J}))^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp},
\end{equation*}
\notag
$$
и, далее,
$$
\begin{equation*}
\delta \colon H^0(\mathscr{O}_X(-K_X))\twoheadrightarrow \boldsymbol{\omega}_S\otimes \mathbb{C}_P \to (\operatorname{gr}^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J}))^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp},
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $\Omega_X^2 \subset \mathfrak m_{S,P}\cdot \boldsymbol{\omega}_S$, как и в случае $(\mathrm{k3A})$. Образ $\delta$ порождается элементом $y_2\cdot \Omega_P^{-1}$, если $m>5$, и элементами $y_2\cdot \Omega_P^{-1}$, $y_3^2\cdot\Omega_P^{-1}$, если $m=5$ (см. (5.19) и (5.28)). Следовательно, если сечение $\sigma_S$ выбрано общим, то образ $\overline \sigma$ отображения $\sigma$ в $\operatorname{gr}^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J})$ глобально порождает прямое слагаемое $\mathscr{O}_C$, если $m>5$, и общее глобальное сечение $\operatorname{gr}^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J}) \simeq \mathscr{O}_C\oplus\mathscr{O}_C$, если $m=5$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\overline \sigma\equiv \begin{cases} (\lambda_Py_2+\mu_Py_3^2)\Omega_P^{-1}& \text{в $P$,} \\ (\lambda_Qz_3+\mu_Qz_2^2)\Omega_Q^{-1} \ (\text{соответственно }(\lambda_Qz_3+\mu_Qz_4)\Omega_Q^{-1})& \text{в $Q$,} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, m\geqslant 7 &\quad\Longrightarrow\quad \lambda_P(P) \lambda_Q(Q)\neq 0, \\ m=5&\quad\Longrightarrow\quad \text{$\lambda_P(P)$ и $\mu_P(P)$ независимы, $\lambda_Q(Q)$ и $\mu_Q(Q)$ независимы.} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это значит, что соответствующий элемент $D\,{\in}\,|{-}K_X|$ неособ вне $P$ и $Q$, а поверхность $D$ дювалевская в $P$ и $Q$ согласно [2; вычисление (2.13.6)]. Подробности см. в замечании 5.4. Лемма 5.6. В ситуации п. 5.5 с условием (5.22) пусть $(X_\lambda,C_\lambda)$ – скрученное расширение (см. [6; определение 1b.8.1]) ростка $ (X_\lambda, P)= (X,P) \supset (C_\lambda, P)=(C,P)$ при помощи $u=(y_1^{(m-1)/2}y_2+\lambda y_1y_3,y_1,y_3)$. Тогда для $\lambda\neq 0$ росток $(X_\lambda,C_\lambda)$ имеет тип $(\mathrm{k2A_2})$. Доказательство. Ясно, что $(X_\lambda,C_\lambda)$ имеет тип $(\mathrm{k2A_2})$ или $(\mathrm{kAD})$ с условием (5.22), поскольку $\ell(Q)\leqslant 1$. В любом случае существует только одно (с точностью до умножения на константу) ненулевое сечение $s$ пучка $\operatorname{gr}_C^1\mathscr{O}$ (ср. (5.31)). Так как $s=y_1^{(m-1)/2}y_2\in \operatorname{gr}_C^1\mathscr{O}$ в $P$ (с точностью до константы), мы имеем расширение
$$
\begin{equation*}
s_\lambda = y_1^{(m-1)/2}y_2+\lambda y_1y_3= y_1(y_1^{(m-3)/2}y_2+\lambda y_3) \in \operatorname{gr}_{C_\lambda}^1\mathscr{O}
\end{equation*}
\notag
$$
на $(C_\lambda, P)$, которое порождает $(P^\sharp)\subset \operatorname{gr}_{C_\lambda}^1\mathscr{O}$. Согласно (5.26) росток $(X_\lambda,C_\lambda)$ имеет тип $(\mathrm{k2A_2})$ по п. 5.7. Лемма доказана. Лемма 5.7. В ситуации п. 5.5 с условием (5.22) и $\ell(Q)\,{=}\,1$ пусть $(X_\lambda,C_\lambda)$ – скрученное расширение (см. [6; 1b.8.1]) ростка при помощи $u=(z_1z_2,z_4)$. Тогда для $\lambda\neq 0$ росток $(X_\lambda,C_\lambda)$ имеет тип $(\mathrm{kAD})$ и $\ell(Q)=0$. На самом деле глобальное сечение $s$ пучка $\operatorname{gr}^1_C \mathscr{O}$ продолжается до сечения $s_\lambda\,{=}\,y_4$ пучка $\operatorname{gr}^1_{C_\lambda} \mathscr{O}$ в $Q$, и $s_\lambda$ обращается в нуль в $P^\sharp$ с кратностью $(m\,{-}\,1)/2\,{>}\,1$ по п. 5.7. Таким образом, $(X_\lambda, C_\lambda)$ имеет тип $(\mathrm{kAD})$. 5.8. Случай $(\mathrm{k2A_2})$Этот случай рассмотрен в [2; леммы (2.13.1), (2.13.9)]. Конфигурация особых точек на $(X,C)$ следующая: $P$ – точка типа $(\mathrm{IA})$ нечетного индекса $m\geqslant 3$, и $Q$ – точка типа $(\mathrm{IA})$ индекса $2$. Согласно [6; (A.3)], [2; (2.13)] и [8] мы можем записать
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (X,C,P)&=\bigl(\{\alpha=0\}\subset \mathbb{C}^4_{y_1,\dots,y_4},(y_1\text{-ось}),0\bigr)/\boldsymbol{\mu}_{m}(1,a,-1,0), \\ (X,C,Q)&=\bigl(\{\beta=0\}\subset \mathbb{C}^4_{z_1,\dots,z_4},(z_1\text{-ось}),0 \bigr) /\boldsymbol{\mu}_2(1,1,1,0), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $a$ целое, взаимно простое с $m$ и такое, что $m/2<a<m$, а $\alpha$ и $\beta$ – инварианты такие, что
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \alpha&=y_1y_3-\alpha_1(y_2,y_3,y_4), &\qquad \alpha_1 &\in (y_2,y_3)^2+(y_4), \\ \beta&=z_1z_3-\beta_1(z_2,z_3,z_4), &\qquad \beta_1 &\in (z_2,z_3)^2+(z_4). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\operatorname{gr}_C^0\boldsymbol{\omega}^*=(-1+aP^\sharp+ Q^\sharp)\simeq \mathscr{O}_C(-1),
\end{equation}
\tag{5.29}
$$
где $\ell$-свободный $\ell$-базис в $P$ и $Q$ соответственно может быть записан следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\Omega_P^{-1}=\biggl(\frac{\mathrm{d} y_1\wedge \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3}{\partial \alpha/\partial y_4}\biggr)^{-1}, \qquad \Omega_Q^{-1}=\biggl(\frac{\mathrm{d} z_1\wedge \mathrm{d} z_2\wedge \mathrm{d} z_3}{\partial \beta/\partial z_4}\biggr)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $H^0(C,\operatorname{gr}_C^0 \boldsymbol{\omega}^*)=0$ и
$$
\begin{equation}
H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X))=H^0(X,\mathscr{I}_C\mathbin{\widetilde\otimes}\mathscr{O}_X(-K_X)),
\end{equation}
\tag{5.30}
$$
где $\mathscr{I}_C$ – идеал, задающий $C$ в $X$. Как и в [2; теорема 2.13.8, следствие 2.12.9], мы имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{gr}_C^1\mathscr{O}=\mathscr{L} \mathbin{\widetilde\oplus} \operatorname{gr}_C^0\boldsymbol{\omega}, \qquad \operatorname{gr}_C^1\boldsymbol{\omega}^*=\mathscr{L}\mathbin{\widetilde\otimes} (\operatorname{gr}_C^0 \boldsymbol{\omega}^*)\mathbin{\widetilde\oplus}(0),
\end{equation}
\tag{5.31}
$$
где $\mathscr{L}$ – $\ell$-обратимый пучок такой, что $\mathscr{L}=(P^\sharp+Q^\sharp)$ (соответственно $(P^\sharp)$; $(Q^\sharp)$; $(0)$), если $y_4 \in \alpha$ и $z_4\in\beta$ (соответственно $y_4\in\alpha$ и $z_4\notin\beta$; $y_4\notin\alpha$ и $z_4\in\beta$; $y_4\notin\alpha$ и $z_4\notin\beta$). Мы также видим, что $y_3\Omega_P^{-1}$ (соответственно $y_4\Omega_P^{-1}$) и $y_2\Omega_P^{-1}$ образуют $\ell$-свободный $\ell$-базис для $\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*$ в $P$, если $y_4 \in \alpha$ (соответственно $y_4\notin \alpha$). Для общего дивизора $S\in |{-}2K_X|$ мы имеем $S\cap C=\{P\}$ и $S$ в $X$ задается уравнением где $\operatorname{wt}(\gamma) \equiv 2a \ \operatorname{mod} m$. Пусть $\Omega$ – порождающая дуализирующего пучка $\boldsymbol{\omega}_{S^\sharp}$ поверхности $S^\sharp$ в $P^\sharp$. Тогда
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{\omega}_S=(\mathscr{O}_{S^\sharp,P^\sharp}\Omega)^{\boldsymbol{\mu}_m}, \qquad \operatorname{wt}(\Omega) \equiv -a \ \operatorname{mod} m,
\end{equation}
\tag{5.33}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{\omega}_S \otimes \mathbb{C}_P = \mathbb{C} \cdot y_2\Omega \oplus \mathbb{C}\cdot y_3^{m-a}\Omega.
\end{equation}
\tag{5.34}
$$
Лемма 5.8. Индуцированное отображение равно нулю, где $\Omega_S^2$ – пучок голоморфных $2$-форм на $S$. Доказательство. Имеем
$$
\begin{equation}
\Omega=\pm \frac{\mathrm{d} y_1\wedge\mathrm{d} y_2}{\varDelta_{3,4}}=\cdots=\pm \frac{\mathrm{d} y_3\wedge\mathrm{d} y_4}{\varDelta_{1,2}}, \qquad \varDelta_{i,j}:= \begin{vmatrix} \dfrac{\partial \alpha}{\partial y_i}& \dfrac{\partial \alpha}{\partial y_j} \\ \dfrac{\partial \gamma}{\partial y_i}& \dfrac{\partial \gamma}{\partial y_j} \end{vmatrix}.
\end{equation}
\tag{5.36}
$$
Заметим, что $\operatorname{wt}(\varDelta_{i,j})\equiv 2a\,{-}\operatorname{wt}(y_i)\,{-}\operatorname{wt}(y_j) $ и $\operatorname{wt}(\Omega)\equiv -a \ \operatorname{mod} m$. Так как $\boldsymbol{\omega}_S\,{=}\,(\mathscr{O}_{S^\sharp}\Omega)^{\boldsymbol{\mu}_m}$, то достаточно показать, что для любых $\phi_1,\phi_2\,{\in}\, \mathbb{C}\{y_1,\dots,y_4\}^{\boldsymbol{\mu} _m}$ имеет место вложение
$$
\begin{equation}
\mathrm{d} \phi_1\wedge \mathrm{d} \phi_2\in \mathfrak{m}_{S,0}\cdot (\mathscr{O}_{S^\sharp}\Omega)^{\boldsymbol{\mu}_m}.
\end{equation}
\tag{5.37}
$$
Согласно (5.36) форма $\mathrm{d} \phi_1\wedge \mathrm{d} \phi_2$ – линейная комбинация следующих:
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial(\phi_1,\phi_2)}{\partial y_i\,\partial y_j}\, \mathrm{d} y_i\wedge \mathrm{d} y_j= \frac{\partial(\phi_1,\phi_2)}{\partial y_i\,\partial y_j} \varDelta_{k,l}\Omega, \qquad \{i,j,k,l\}=\{1,\dots,4\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\Xi[i,j,k,l]:=\frac{\partial \phi_1}{\partial y_i} \cdot \frac{\partial \phi_2}{\partial y_j} \cdot \frac{\partial \alpha}{\partial y_k}\cdot \frac{\partial \gamma}{\partial y_l}, \qquad \{i,j,k,l\}=\{1,\dots,4\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как ${\partial(\phi_1,\phi_2)}/ (\partial y_i\,\partial y_j) \varDelta_{k,l}$ – линейные комбинации $\Xi[i,j,k,l]$, то достаточно показать, что верно следующее:
$$
\begin{equation}
\Xi[i,j,k,l]\big|_{S^\sharp}\in (\mathfrak{m}_{S^\sharp})_{\operatorname{wt}=0}\cdot(\mathscr{O}_{S^\sharp})_{\operatorname{wt}=a}.
\end{equation}
\tag{5.38}
$$
Во-первых, мы заметим, что (5.38) имеет место, если $\{1,3 \}\subset \{i,j,k\}$. В самом деле, пусть, например, $i=1$, $j=3$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \phi_1}{\partial y_1},\, \frac{\partial \phi_2}{\partial y_3} \in \mathfrak{m}_{S^\sharp}, \qquad \operatorname{wt} \biggl( \frac{\partial \phi_1}{\partial y_1} \cdot \frac{\partial \phi_2}{\partial y_3} \biggr)\equiv0, \qquad \operatorname{wt} \biggl( \frac{\partial \alpha}{\partial y_k} \cdot \frac{\partial \gamma}{\partial y_l}\biggr)\equiv a
\end{equation*}
\notag
$$
(поскольку $\{\operatorname{wt}(y_k),\operatorname{wt}(y_l)\} = \{0,a\}$). Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \phi_1}{\partial y_1}\cdot \frac{\partial \phi_2}{\partial y_3}\in (\mathfrak{m}_{S^\sharp})_{\operatorname{wt}=0},\qquad \frac{\partial \alpha}{\partial y_k} \cdot \frac{\partial \gamma}{\partial y_l} \in(\mathscr{O}_{S^\sharp})_{\operatorname{wt}=a}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $l=3$ или $l=1$.
Пусть $l=3$. Тогда $\operatorname{wt}(\partial \gamma/\partial y_3) \equiv 2a+1$ и
$$
\begin{equation*}
\operatorname{wt} \biggl( \frac{\partial \phi_1}{\partial y_i}\biggr), \operatorname{wt}\biggl( \frac{\partial \phi_2}{\partial y_j}\biggr), \operatorname{wt}\biggl(\frac{\partial \alpha}{\partial y_k} \biggr) \equiv -1,-a, 0
\end{equation*}
\notag
$$
с точностью до перестановки $i$, $j$, $k$. Мы утверждаем, что любое произведение $\Pi$ трех мономов весов $ -1$, $-a$, $2a+1$ содержится в $(\mathfrak{m}_{S^\sharp})_{\operatorname{wt}=0} \cdot (\mathscr{O}_{S^\sharp})_{\operatorname{wt}=a}$. Это очевидно, если $ \Pi$ делится на $y_4$, $y_1 y_3 $ или $y_2$. Таким образом, достаточно рассмотреть случай, когда $\Pi$ – степень $y_1$ или $y_3$. В первом случае $\Pi$ делится на $y_1^{m-1} \cdot y_1^{m-a} \cdot y_1^{2a+1-m}= y_1^m \cdot y_1^a$, а во втором $\Pi$ делится на $y_3 \cdot y_3^a \cdot y_3^{2m-2a-1}=y_3^m \cdot y_3^{m-a}$, что и доказывает утверждение.
Пусть теперь $l=1$. Аналогично предыдущему случаю покажем, что любое произведение $\Pi$ мономов весов $-a$, $1$, $2a-1$ содержится в $(\mathfrak{m}_{S^\sharp})_{\operatorname{wt}=0} \cdot (\mathscr{O}_{S^\sharp})_{\operatorname{wt}=a}$. Снова мы можем считать, что $\Pi$ – это степень $y_1$ или $y_3$. Во втором случае $\Pi$ делится на $y_3^a\,{\cdot}\,y_3^{m-1}\,{\cdot}\, y_3^{2m-2a+1}= y_3^{3m-a}=y_3^m\,{\cdot}\,y_3^{2m-a}$. В первом случае, аналогично, $\Pi$ делится на $y_1^a$. Из уравнения (5.32) видно, что моном $y_1^{2a-m}$ содержится в $(y_2,y_3) \mathfrak{m}_{S^\sharp}$, и мы имеем $y_1^a \in (\mathfrak{m}_{S^\sharp})_{\operatorname{wt}=0} \cdot (\mathscr{O}_{S^\sharp})_{\operatorname{wt}=a}$, поскольку $a > 2a-m$. Лемма доказана. По лемме 5.8 гомоморфизм $\delta$ раскладывается, как и в других случаях:
$$
\begin{equation}
\delta \colon H^0(\mathscr{O}_X(-K_X))\twoheadrightarrow \boldsymbol{\omega}_S\otimes \mathbb{C}_P \to (\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*)^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp}.
\end{equation}
\tag{5.39}
$$
Таким образом, мы видим, что $\delta$ сюръективен, если и только если $a=m-1$ и $y_4 \in\alpha$. Если отображение $\delta$ не является сюръективным, то $y_2\Omega_P^{-1}$ порождает его образ, который является вторым слагаемым $(0)$ в $\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*$, и поэтому $\overline \sigma$ – сечение, нигде не обращающееся в нуль. Остальная часть такая же, как в [2; (2.13.9)]. Это завершает доказательство теоремы 5.2. Предложение 5.9. Пусть $(X,\overline C)$ – росток экстремальной окрестности, у которого центральный слой $\overline C$ приводим. Предположим, что $\overline C$ содержит компоненту $C$ типа $(\mathrm{k2A_2})$ и другую компоненту $C'$ типа $(\mathrm{k1A})$, пересекающиеся в точке $P$ индекса $m>2$. Предположим далее, что $(X,\overline C)$ удовлетворяет условию $(*)$ в теореме 1.3. Тогда общий элемент $D\in |{-}K_{X}|$ дювалевский в окрестности кривой $C \cup C'$. Доказательство. Случай п. 5.8 типа $(\mathrm{k2A_2})$ теоремы 5.2 показывает, что общий элемент $D$ ($\supset C$) линейной системы $|{-}K_{\overline{X}}|$ дювалевский в окрестности кривой $C$. Если $D\not \supset C'$, то $D\cap C'=\{P\}$, поскольку в противном случае $D$ содержит горенштейнову точку $P'$ многообразия $X$, и поэтому $D\cdot C'>1$, что противоречит $D\cdot C'=-K_X\cdot C'<1$ согласно [6; (2.3.1)], [9; (3.1.1)]. Таким образом, мы можем считать, что $D\supset C'$. Мы используем обозначения п. 5.8. Принимая во внимание случаи $(\mathrm{IA})$ и $(\mathrm{IA^\vee})$ из [6; A.3], мы видим, что условие того, что дивизор $D$, заданный уравнением $y_2+ \cdots=0$, содержит кривую $C'$, означает, что $(X,C')$ имеет тип $(\mathrm{IA})$, кривая $C'^\sharp$ неособа в $P^\sharp$ и $y_1$ или $y_3$ можно взять как координату на $C'^\sharp$.
Лемма 5.10. $y_3$ – координата на $C'^\sharp$, и поэтому мы можем считать, что $C'^\sharp$ – $y_3$-ось по модулю $\boldsymbol{\mu}_m$-эквивариантной замены координат. Доказательство. Предположим, что $y_1$ – координата на $C'^\sharp$. Тогда $\mathscr{I}_{C'}^\sharp$ порождается
$$
\begin{equation*}
y_1^a \gamma_2+\delta_2, \quad y_1^{m-1} \gamma_3 + \delta_3, \quad y_1^m \gamma_4+\delta_4,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma_i \in \mathscr{O}_X$ и $\delta_i \in (y_2,y_3,y_4)^2\mathscr{O}_X^\sharp$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\mathscr{I}_C^\sharp + \mathscr{I}_{C'}^\sharp \subset (y_2,y_3,y_4,y_1^a)
\end{equation*}
\notag
$$
и $\boldsymbol{\omega}_X^\sharp\otimes \mathscr{O}_X^\sharp/(\mathscr{I}_C^\sharp+\mathscr{I}_{C'}^\sharp)$ содержит ненулевой $\boldsymbol{\mu}_m$-инвариантный элемент $y_1^{m-a}\Omega_P$ в силу $m-a <a$. Рассматривая точную последовательность
$$
\begin{equation*}
0 \to \operatorname{gr}_{C \cup C'}^0 \boldsymbol{\omega} \to \operatorname{gr}_C^0 \boldsymbol{\omega} \oplus \operatorname{gr}_{C'}^0 \boldsymbol{\omega} \to (\boldsymbol{\omega}_X^\sharp \otimes \mathscr{O}_X^\sharp /(\mathscr{I}_C^\sharp + \mathscr{I}_{C'}^\sharp))^{\boldsymbol{\mu}_m} \to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
мы видим, что $H^1(\operatorname{gr}_{C \cup C'}^0 \boldsymbol{\omega}) \neq0$. Это влечет, что $(\overline{X},C\cup C')$ – росток расслоения на коники и $C \cup C'$ – его целый слой (см. [9; следствие 4.4.1]). Однако $(C+C'\cdot D) <2$, что невозможно. Лемма доказана. Начиная с этого места мы предположим, что $C'^\sharp$ – $y_3$-ось. Следовательно, $y_2$, $y_1$ (или $y_4$) образуют $\ell$-свободный $\ell$-базис пучка $\operatorname{gr}_{C'}^1\mathscr{O}$, и $y_2\Omega_P^{-1},y_1\Omega_P^{-1}$ (или $y_4\Omega_P^{-1}$) образуют $\ell$-свободный $\ell$-базис пучка $\operatorname{gr}_{C'}^1 \boldsymbol{\omega}^*$ в $P$. Далее, мы видим, что $\operatorname{gr}_{C'}^1(\boldsymbol{\omega}^*)$ имеет глобальное сечение $\overline \sigma=(y_2+ \cdots)\Omega_P^{-1}$, индуцированное сечением $\sigma$, задающим $D$. Мы также заметим, что $\operatorname{gr}_{C'}^0 \boldsymbol{\omega}^*=((m-a)P^\sharp)$, поскольку вес $\operatorname{wt}'$ для $C'$ равен $\operatorname{wt}' \equiv -\operatorname{wt}\ \operatorname{mod} m$. Согласно случаю $(\mathrm{k2A_2})$ в п. 5.8 теоремы 5.2 дивизор $D$ определен в $P$ согласно где $\varPsi_i$ – инвариантные функции согласно (5.33), (5.34). Имеются сюръекции
$$
\begin{equation*}
H^0(\mathscr{O}_X(-K_X))\twoheadrightarrow \boldsymbol{\omega}_S/\Omega_S^2\twoheadrightarrow \boldsymbol{\omega}_S\otimes \mathbb{C}_P
\end{equation*}
\notag
$$
согласно (4.1) и (4.2) в первом случае и по лемме 5.8 во втором. В частности, $\Psi_2(P)\neq 0$. Так как $C'=(y_3\text{-ось})/\boldsymbol{\mu}_m$, то мы имеем $D\not\supset C'$. Это противоречит нашему предположению. Таким образом, нами доказано, что общий антиканонический элемент $D$ для $(\overline{X},\overline{C})$ является дювалевским в окрестности кривой $C \cup C'$. Предложение 5.9 доказано.
§ 6. Доказательство основной теоремыОбозначения 6.1. Пусть $(\overline{X},\overline{C})$ – росток экстремальной окрестности с приводимым центральным слоем $\overline{C}$ такой, что на каждой неприводимой компоненте $C_i$ кривой $\overline{C}$ существует не более одной точки индекса ${>}\,2$. Пусть $\{P_a\}_{a \in A}$ – набор таких точек. На каждой компоненте $C_i$ без точек индекса ${>}\,2$ выберем одну общую точку. Пусть $\{P_b\}_{b \in B}$ – набор таких точек. Для каждого индекса $i \in A \cup B$ пусть $S_i \in |{-}2K_{(X,P_i)}|$ – общий элемент на ростке $(X,P_i)$, и положим $S=\sum_{i \in A \cup B} S_i$. Тогда $S$ продолжается до элемента $|{-}2K_X|$ согласно [6; теорема (7.3)]. Доказательство основной теоремы 1.3. Возьмем общий элемент $\sigma_i \in \mathscr{O}_{S_i}(-K_X)$, и пусть Согласно (i) или (ii) предложения 4.2 сечение $\sigma_S \ \operatorname{mod} \Omega_S^2$ поднимается до Пусть $C_{\mathrm{main}} \subset \overline C$ – объединение неприводимых компонент типов $(\mathrm{IC})$, $(\mathrm{IIB})$, $(\mathrm{kAD})$, $(\mathrm{k3A})$ и $(\mathrm{k2A_2})$.
По теореме 5.2 дивизор $D:=\{s=0\} \supset C_{\mathrm{main}}$ дювалевский в окрестности кривой $C_{\mathrm{main}}$, и для каждой неприводимой компоненты $C$ кривой $C_{\mathrm{main}}$ граф $\Delta(D,C)$ такой, как в теореме 5.1, по теореме 5.2. Если $C_{\mathrm{main}}=\varnothing$, то все доказано по предложениям 3.1 и 3.2. Таким образом, мы предположим, что $C_{\mathrm{main}}\neq\varnothing$ и что каждая неприводимая компонента $C\subset \overline C$ пересекает $C_{\mathrm{main}}$ (так как особые точки кривой $\overline C$ негоренштейновы на $\overline X$; см. [6; следствие 1.15], [9; лемма 4.4.2]). Тогда поверхность $D$ нормальна и кривая $C_{\mathrm{main}}$ связна. Если $C\not \subset D$, то и поверхность $D$ дювалевская в окрестности $C$, поскольку $C \cdot D < 1$ (см. [6; (0.4.11.1)]) и $D$ – дивизор Картье вне $C_{\mathrm{main}}$ (см. [6; следствие 1.15]).Предположим, что $C_{\mathrm{main}}$ содержит компоненту одного из типов $(\mathrm{IC})$, $(\mathrm{IIB})$, $(\mathrm{kAD})$ или $(\mathrm{k3A})$, и пусть $C \subset D$. Пусть $\upsilon\colon D\to D_0$ – стягивание кривой $C_{\mathrm{main}}$ и $P_0:=\upsilon(C_{\mathrm{main}})$. Тогда точка $P_0\in D_0$ дювалевская типа $\mathrm{D}$ или $\mathrm{E}$ (поскольку $\upsilon$ крепантно и в силу теоремы 5.1). Применим лемму 2.3 к $D_0$. Мы получим, что поверхность $D_0$ имеет лишь дювалевские особенности и то же самое верно для $D$. Если $C$ пересекает $C_{\mathrm{main}}$ в точке индекса $2$, то $D\not\supset C$ по лемме 4.3. Случай, когда $C_{\mathrm{main}}$ состоит из кривых типа $(\mathrm{k2A_2})$ и $C$ пересекает $C_{\mathrm{main}}$ в точке $P$ индекса $m>2$, разбирается в предложении 5.9. Теорема доказана. Доказательство следствия 1.4. Если компонента $C_i\,{\subset}\,C$ имеет тип $(\mathrm{IIB})$, то она содержит точку $P$ типа $\mathrm{cAx/4}$ и все другие компоненты $C_j\subset C$, проходящие через $P$, имеют типы $(\mathrm{IIA})$ или $(\mathrm{II^\vee})$. Но согласно [6; теоремы 6.4, 9.4] $P$ – единственная негоренштейнова точка на $C_j$. Так как многообразие $X$ не является горенштейновым в любой точке пересечения $C_i\cap C_j$ согласно [6; следствие 1.15] и [9; лемма 4.4.2], то все компоненты $C_k\subset C$ должны проходить через $P$. Это доказывает (i).
Начиная с этого места, мы можем считать, что $C=C_i\,{\cup}\, C_j$. Мы также можем предполагать, что $C_j$ не имеет тип $(\mathrm{k2A_{n,m}})$, $n,m\geqslant 3$ (в противном случае все доказано). Таким образом, $(X,C)$ удовлетворяет условию $(*)$ в теореме 1.3. Пусть $f\colon (X,C)\to (Z,o)$ – соответствующее стягивание. Рассмотрим общий элемент $D\in |{-}K_X|$ и факторизацию Штейна
$$
\begin{equation}
f_D\colon D\supset C \to f' D_Z\ni o_Z \to f(D)\ni o.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
По теореме 1.3 поверхность $D$ имеет лишь дювалевские особенности. Стягивание $f'\colon D\to D_Z$ крепантно, и точка $D_Z\ni o_Z$ дювалевская. Теперь мы заметим, что ростки $(D,C_i)$ и $(D,C_j)$ такие, как это описано в теореме 5.1. Таким образом, вся конфигурация $\Delta(D,C)$ – одна из диаграмм Дынкина $\mathrm{A}$, $\mathrm{D}$ или $\mathrm{E}$. В частности, $\Delta(D,C)$ не имеет вершин валентности $\geqslant 4$ и не более одной вершины, обозначим ее $v$, валентности 3. С другой стороны, по теореме 5.2 конфигурация $\Delta(D,C)$ получается “склеиванием” конфигураций $\Delta(D,C_i)$, описанных в теореме 5.1, вдоль одной связной компоненты белого подграфа. Так как вся конфигурация $\Delta(D,C)$ дювалевская, то не более одной компоненты кривой $C$ имеет тип $(\mathrm{IC})$, $(\mathrm{IIB})$, $(\mathrm{kAD})$ или $(\mathrm{k3A})$.
Для доказательства (ii) достаточно заметить, что все особенности вдоль $C_i$ имеют тип $\mathrm{cA}$, и поэтому экстремальные ростки $\mathrm{cD/m}$, $\mathrm{cAx/2}$, $\mathrm{cE/2}$, $(\mathrm{IIA})$ и $(\mathrm{II^\vee})$ не могут быть компонентами $(X,C)$. Аналогичные соображения применяются в (iii), но в этом случае допустимы особенности $\mathrm{cD/2}$ и $\mathrm{cAx/2}$ (см. [8]). Остается доказать (iv). 6.1.Пусть $T$ – точка кривой $C_j$. Несложно заметить, что скрученное расширение $(X_{j,\lambda}, C_{j,\lambda})$ (см. [6; 1b.8.1]) ростка $(X_{j,\lambda},T) \supset (C_{j,\lambda}, T)$ элементом $u$ в окрестности $C_{j,\lambda}$ может естественно содержать окрестность $C_i$, если (a) $T \notin C_i$ или (b) $(X_{j,\lambda},T) \supset (C_{j,\lambda}, T)$ – тривиальная деформация, т.е. $X_{j,\lambda}\,{=}\,X_j$ и $C_{j,\lambda}\,{=}\,C_j$. В окрестности кривой $C_j$ мы можем последовательно применять деформации ростка $(X,C)$, которые тривиальны в окрестности $C_i$. Мы будем делать это так, что $(X,C_j)$ деформируется по следующему правилу:
Наконец, мы придем к ростку $(X,C_j)$ типа $(\mathrm{k2A_2})$. На самом деле шаг (a) применим к точке $T$ типа $(\mathrm{III})$ $\notin C_i$ для деформации 2), а шаг (b) применим точке к $T$ индекса $m$ для деформации 3). 6.2.Для применения деформации 1) нам нужно в качестве $T$ взять точку $Q$ индекса $2$ с $\ell(Q)=2$. Предположим, что $Q \in C_i$, в этом случае дивизор $D$ не может быть дювалевским, поскольку графы $\Delta(D,C_j)$ типа $\mathrm{D_k}$, $k\geqslant 8$, и $\Delta(D,C_i)$ типа $\mathrm{A_q}$, $q \geqslant 4$, связаны в точке $Q$ индекса 2. Таким образом, $Q\notin C_i$ и шаг (a) применим, и мы можем считать, что $C_j$ имеет тип $(\mathrm{k2A_2})$. Остается исключить случай, когда обе компоненты кривой $C$ имеют тип $(\mathrm{k2A_2})$. Это следует из леммы 6.4 ниже. Следствие доказано. Лемма 6.2. Пусть $(X,C)$ – росток экстремальной окрестности такой, что любая компонента $C_i\subset C$ имеет тип $(\mathrm{k2A})$. Предположим, что общий элемент $D\in |{-}K_X|$ дювалевский. Тогда общее гиперплоское сечение $H\in |\mathscr{O}_X|_C$, проходящее через $C$, имеет лишь циклические факторособенности и пара $(H,C)$ логканонична и чисто логтерминальна вне $\operatorname{Sing}(C)$. Замечание 6.3. Если в условиях леммы 6.2 росток $(X,C)$ является $\mathbb{Q}$-расслоением на коники, то его базисная поверхность неособа. В самом деле, если базисная поверхность особа, то согласно [10; теорема 1.3] каждая компонента $C_i\subset C$ должна быть локально импримитивна. Доказательство леммы 6.2. Пусть $f\colon (X,C)\to (Z,o)$ – соответствующее стягивание. Заметим, что $D\supset C$. Рассмотрим факторизацию Штейна (6.1). Легко видеть, что конфигурация $\Delta(D,C)$ – линейная цепочка. Следовательно, $D_Z\ni o_Z$ – (дювалевская) особенность типа $\mathrm{A}$. Тогда соображения в доказательстве предложения 2.6 в [12] применимы и показывают, что пара $(X,D+H)$ логканонична. Так как $D\supset C$, то пара $(X,H)$ чисто логтерминальна по теореме Бертини. Следовательно, поверхность $H$ нормальна, и по обращению присоединения пара $(H,C)$ логканонична. Более того, $C=D\cap H$ и $K_H+C$ – дивизор Картье на $H$. Согласно классификации двумерных логканонических пар (см. [3; теорема 4.15]) особенности поверхности $H$ – циклические факторы и пара $(H,C)$ чисто логтерминальна вне $\operatorname{Sing}(C)$. Лемма доказана. Лемма 6.4. Пусть $(X,C)$ – росток экстремальной окрестности, где кривая $C$ приводима и имеет в точности две компоненты. Тогда обе компоненты не могут иметь тип $(\mathrm{k2A_2})$. Доказательство. Предположим противное. Вычисления ниже аналогичны вычислениям в [7; предложение 2.6]. Пусть $C=C_1\cup C_2$, пусть $C_1\cap C_2=\{P_0\}$, и пусть $P_i\in C_i$, $i=1,2$, – негоренштейнова точка, отличная от $P_0$. Пусть $H\,{\in}\,|\mathscr{O}_X|_C$ – общее гиперплоское сечение, проходящее через $C$. Согласно лемме 6.2 поверхность $H$ имеет лишь циклические факторособенности. Рассмотрим минимальное разрешение $\mu\colon \widetilde H\to H$ и запишем где $\Theta$ – эффективный $\mathbb{Q}$-дивизор с носителем в исключительном множестве (дивизор кодискрепантностей). Пусть $\widetilde C_i$ – собственный прообраз кривой $C_i$. Тогда $K_{\widetilde H}\cdot \widetilde C_i<K_H\cdot C_i<0$. Следовательно, $\widetilde C_i$ – $(-1)$-кривая на $\widetilde H$. Более того, Так как $H$ – дивизор Картье на $X$ такой, что пара $(X,H)$ чисто логтерминальна, то особенности поверхности $H$ имеют тип $\mathrm{T}$ (см. [5]). Следовательно,
$$
\begin{equation*}
(H\ni P_i) \simeq (\mathbb{C}/\boldsymbol{\mu}_ {m_i^2 p_i}(1, m_i p_i a_i-1) \ni 0)
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторых положительных $m_i,p_i,a_i$ таких, что $a_i<m_i$ и $\gcd (m_i,a_i)=1$. Здесь $m_i$ – индекс $P_i$. Запишем $\Theta=\Theta_0+\Theta_1+\Theta_2$, так что $\operatorname{Supp}(\Theta_i)=\mu^{-1}(P_i)$. Вычисления со взвешенными раздутиями (см. [2; 10.1–10.3]) показывают, что коэффициенты $\Theta_i$ в концах цепочки $\operatorname{Supp}(\Theta_i)$ равны $(m_i-a_i)/m_i$ и $a_i/m_i$. Так как кривые $\widetilde C_1$ и $\widetilde C_2$ пересекают различные концы цепочки $\operatorname{Supp}(\Theta_0)$, то с точностью до перестановок $P_1$ и $P_2$ и замен порождающих группы $\boldsymbol{\mu}_ {m_i^2 p_i}$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\Theta_1\cdot\widetilde C_1=\frac{a_1}{m_1}, \qquad \Theta_0\cdot \widetilde C_1= \frac{m_0-a_0}{m_0}, \qquad \Theta_0\cdot \widetilde C_2= \frac{a_0}{m_0}, \qquad \Theta_2\cdot \widetilde C_2= \frac{m_2-a_2}{m_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation}
\delta_1:= a_0m_1 -a_1 m_0, \qquad \delta_2:= a_2m_0 -a_0 m_2.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Тогда по (6.2)
$$
\begin{equation*}
-K_H\cdot C_1=\frac{a_0}{m_0} -\frac{a_1}{m_1}= \frac{\delta_1} {m_0m_1}>0, \qquad -K_H\cdot C_2=\frac{a_2}{m_2} -\frac{a_0}{m_0}= \frac{\delta_2} {m_0m_2}>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, положим
$$
\begin{equation}
\varDelta_i:=m_0^2 p_0+m_i^2 p_i -m_0p_0m_ip_i \delta_i, \qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
C_i^2 =\frac{-\varDelta_i}{m_0^2 p_0m_i^2 p_i}, \qquad C_1\cdot C_2= \frac1{m_0^2 p_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как конфигурация стягиваема, то мы имеем $\varDelta_i>0$ и
$$
\begin{equation}
\varDelta_1\varDelta_2-m_1^2 p_1 m_2^2 p_2\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
Предположим, что $m_0 > 2$. Так как $C_i$ имеет тип $(\mathrm{k2A_2})$, то $m_1 =m_2= 2$. Тогда $a_1=a_2=1$, и (6.3) влечет что невозможно. Следовательно, $m_0=2$. Тогда $a_0=1$, и соотношение (6.4) может быть записано следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\varDelta_i=m_i^2 p_i -2p_0(m_ip_i \delta_i-2)>0, \qquad i=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $m_ip_i \delta_i-2>0$. Тогда (6.5) принимает вид Собирая эти неравенства вместе, мы получим Противоречие доказывает лемму. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{MorPro21} |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|