| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Бирациональные типы алгебраических орбифолдов Э. Крешa, Ю. Чинкельbc a Institut für Mathematik, Universität Zürich, Zürich, Switzerland b Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University, New York, NY, USA c Simons Foundation, New York, NY, USA
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9386 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеРассмотрим гладкое проективное многообразие $X$ размерности $n$ над полем $k$ характеристики $0$. Все рассматриваемые многообразия будут предполагаться неприводимыми, но не обязательно геометрически неприводимыми. В статье [14] введена группа Бернсайда многообразий как свободная абелева группа классов изоморфизма конечно порожденных полей степени трансцендентности $n$ над $k$. Для такого поля $K$ мы обозначим через $[K]$ соответствующую образующую. По многообразию $X$ определяется его класс продолженный по аддитивности до гладких проективных схем, которые не обязательно неприводимы. Для дополнения к дивизору с простыми нормальными пересечениями можно определить его класс в $\operatorname{Burn}_n$:
$$
\begin{equation}
[U]:=[X]-\sum_{1\leqslant i\leqslant \ell} [D_i\times \mathbb P^1]+ \sum_{1\leqslant i<j\leqslant \ell} [(D_i\cap D_j)\times \mathbb P^2]-\dotsb.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Это не только инвариант класса изоморфизма многообразия $U$, но и бирациональный инвариант в следующем смысле: $[U]=[U']$ в $\operatorname{Burn}_n$, если существуют квазипроективное многообразие $V$ и бирациональные проективные морфизмы Этот формализм использовался для доказательства специализации рациональности. Теперь предположим, что на $X$ задано точное действие конечной абелевой группы $G$. В этой ситуации определен $G$-эквивариантный бирациональный инвариант $X$, введенный в [13] и принимающий значения в группе Он записывает представление на нормальном расслоении в общей точке компонент множества неподвижных точек $X^G$.В настоящей статье мы исследуем бирациональные инварианты орбифолдов. Напомним, что (алгебраический) орбифолд – это гладкий отделимый неприводимый стек Делиня–Мамфорда конечного типа над $k$ с тривиальным общим стабилизатором. У такого стека есть грубое пространство модулей (см. [11]), которое отделимо и конечного типа над $k$. Назовем орбифолд квазипроективным (или проективным), если грубое пространство модулей – квазипроективное (или проективное) многообразие (см. [15]). Например, действие $G$ на $X$ определяет проективный орбифолд $[X/G]$. В настоящей статье рассматриваемые орбифолды предполагаются квазипроективными. Мы введем группу совмещающую свойства групп $\operatorname{Burn}_n$ и $\mathscr B_n(G)$.В $\overline{\operatorname{Burn}}_n$ мы сохраняем только информацию о представлениях конечных абелевых групп с точностью до автоморфизмов этих групп. Работая с $\overline{\operatorname{Burn}}_n$, мы построим бирациональный инвариант квазипроективных $n$-мерных орбифолдов. Из существования дивизориалификации (см. [6]) следует, что достаточно рассматривать конечные абелевы группы. Дивизориалификация – это последовательность раздутий с гладкими центрами, при помощи которой из общего орбифолда можно получить орбифолд, для которого все геометрические стабилизаторы абелевы. Для доказательства требуемой бирациональной инвариантности используется слабая факторизация (см. [2]), доказанная в функториальной форме в [3]. В § 2 мы устанавливаем представление группы Бернсайда многообразий соотношениями, аналогичными соотношениям ножниц, используемым в определении группы Гротендика многообразий. В § 3 мы определяем группу $\overline{\operatorname{Burn}}_n$. В § 4 мы определяем класс алгебраического орбифолда в $\overline{\operatorname{Burn}}_n$. В § 5 объясняется связь между инвариантами орбифолдов и модулярными кривыми. § 2. Группа Бернсайда и соотношения ножницПусть $k$ – поле характеристики $0$. Существует два подхода к группе Гротендика а именно, как к абелевой группе, порожденной классами алгебраических многообразий над $k$ с классическими соотношениями ножниц (здесь не имеет значения, если мы ограничимся только квазипроективными многообразиями), или через представление Биттнер (см. [8]), в котором участвуют только гладкие проективные многообразия. Мы не рассматриваем в настоящей статье дополнительную структуру кольца на $\mathrm K_0(\operatorname{Var}_k)$.В этом параграфе мы делаем наблюдение, заключающееся в том, что группа Бернсайда $\operatorname{Burn}_n$ также допускает задание соотношениями ножниц. Как отмечено в § 1, мы требуем только, чтобы многообразия были неприводимыми (а не геометрически неприводимыми). Лемма 2.1. Пусть $k$ – поле характеристики $0$ и $W$ – гладкое квазипроективное многообразие над $k$. Для любого непустого открытого $U\subset W$ существуют дивизоры $D_1,\dots,D_\ell$ такие, что $W\setminus D_1$ содержится в $U$, и все многообразия $D_1\setminus D_2$, $\dots$, $D_{\ell-1}\setminus D_\ell$, $D_\ell$ гладки. Доказательство. Пусть $Z=W\setminus U$. Из [12; теорема 7] следует, что для любого заданного вложения многообразия $W$ в проективное пространство общая гиперповерхность достаточно высокой степени, содержащая $Z$, определяет дивизор $D_1$ на $W$, особенности которого $D_1^{\mathrm{sing}}$ содержатся в $Z$, и не содержит неприводимых компонент $Z$. Если $D_1$ гладкий, то мы заканчиваем доказательство; положим $\ell=1$. Иначе имеется неравенство $\dim(D_1^{\mathrm{sing}})<\dim(Z)$, и мы завершаем доказательство индукцией по размерности $\dim(Z)$. Лемма доказана. Предложение 2.2. Пусть $k$ – поле характеристики $0$ и $n$ – натуральное число. Сопоставление классу $[k(X)]$ класса $[X]$ для гладких проективных многообразий $X$ размерности $n$ над $k$ определяет изоморфизм Доказательство. Проверим, что отображение из предложения корректно определено, т.е. что классы любой пары бирационально эквивалентных гладких проективных $n$-мерных многообразий равны по модулю модифицированных соотношений ножниц.
В силу слабой факторизации достаточно рассмотреть случай $X$ и $B\ell_YX$, где $X$ – гладкое проективное многообразие размерности $n$, а $Y$ – гладкое подмногообразие в $X$ размерности $d<n$. Из модифицированных соотношений ножниц следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [X]&=[Y\times \mathbb P^{n-d}]+[X\setminus Y], \\ [B\ell_YX]&=[\mathbb P(N_{Y/X})\times \mathbb P^1]+[X\setminus Y], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $N_{Y/X}$ – нормальное расслоение. Достаточно показать, что $[\mathbb P(N_{Y/X})\times \mathbb P^1]=[Y\times \mathbb P^{n-d}]$. Мы покажем в большей общности, что для любого гладкого квазипроективного $W$ размерности $e<n$ и векторного расслоения $F$ на $W$ ранга $r\leqslant n+1-e$ имеется равенство
$$
\begin{equation}
[\mathbb P(F)\times \mathbb P^{n+1-e-r}]=[W\times \mathbb P^{n-e}].
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Для любого гладкого квазипроективного многообразия $Z$ размерности $n-1$ имеем $[Z\times \mathbb A^1]=0$ (рассматривая замкнутое вложение $Z\times \{\infty\}\subset Z\times \mathbb P^1$) и поэтому получаем равенство
$$
\begin{equation*}
[W\times \mathbb P^{n-e}]=[W\times (\mathbb P^1)^{n-e}]
\end{equation*}
\notag
$$
(рассматривая замкнутое вложение $W\times \mathbb P^{n-e-1}\subset W\times \mathbb P^{n-e}$). Докажем (2.1) индукцией по $e$; случай $e=0$ очевиден. Пусть $U\subset W$ – непустое открытое подмножество, на котором $F$ тривиально, и пусть $D_1,\dots, D_\ell$ – дивизоры, как в лемме 2.1.
Модифицированные соотношения ножниц и предположение индукции влекут равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &[\mathbb P(F)\times \mathbb P^{n+1-e-r}] =[D_\ell\times \mathbb P^{n+1-e} ]+[(D_{\ell-1}\setminus D_\ell)\times \mathbb P^{n+1-e} ] +\dotsb \\ &\qquad\qquad +[(D_1\setminus (D_2\cup\dots\cup D_\ell))\times \mathbb P^{n+1-e} ] + [(W\setminus(D_1\cup\dots\cup D_\ell))\times \mathbb P^{n-e}]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы завершаем рассуждение, применяя соотношения, где $1\leqslant i\leqslant \ell$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &[(W\setminus (D_{i+1}\cup\dots\cup D_\ell))\times \mathbb P^{n-e}] \\ &\qquad=[(D_i\setminus (D_{i+1}\cup\dots\cup D_\ell))\times \mathbb P^{n+1-e}] +[(W\setminus (D_i\cup\dots\cup D_\ell))\times \mathbb P^{n-e}]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Проверим, что обратное отображение в формуле (1.1) корректно определено, т.е. сохраняет модифицированные соотношения ножниц. Пусть $V$ – гладкое замкнутое подмногообразие размерности $d$ в многообразии $U$. Тогда $U$ может быть представлено как дополнение в гладком проективном многообразии $X$ к дивизору с простыми нормальными пересечениями $D_1\cup\dots\cup D_\ell$, с которым некоторое гладкое подмногообразие $Y\subset X$ имеет нормальное пересечение, причем $Y\,{\cap}\, U\,{=}\,V$. Для вычисления класса $[V\times \mathbb P^{n-d}]$ нужно воспользоваться вложением в $Y\,{\times}\, \mathbb P^{n-d}$ в качестве дополнения к дивизору с простыми нормальными пересечениями
$$
\begin{equation*}
(D_1\cap Y)\times \mathbb P^{n-d}\cup\dots\cup (D_\ell\cap Y)\times \mathbb P^{n-d},
\end{equation*}
\notag
$$
из чего следует, что для класса $[V\times \mathbb P^{n-d}]$ в $\operatorname{Burn}_n$ имеет место аналогичная формула. На раздутии $B\ell_YX$ имеется дивизор с простыми нормальными пересечениями $\widetilde{D}_1\cup\dots\cup \widetilde{D}_\ell\cup E$, где $\widetilde{D}_i$ обозначает собственный прообраз $D$, а $E$ – исключительный дивизор, что дает формулу для $[U\setminus V]$ в $\operatorname{Burn}_n$. Сравнивая формулы и пользуясь тем, что каждое пересечение без участия $E$ бирационально соответствующему пересечению в $X$, а каждое пересечение с участием $E$ бирационально произведению пересечения в $Y$ с проективным пространством подходящей размерности, мы получаем искомое соотношение.
Ясно, что композиция двух отображений $\operatorname{Burn}_n\to \operatorname{Burn}_n$ является тождественным отображением. Композиция в другом порядке тоже является тождественным отображением, что видно из модифицированных соотношений ножниц. § 3. Группа Бернсайда стековВ этом параграфе мы вводим группу $\overline{\operatorname{Burn}}_n$. Определение 3.1. Определим модуль весов $\overline{\mathscr B}$ как $\mathbb Z[t]$-модуль, являющийся фактором свободного $\mathbb Z$-модуля, порожденного парами $(A,S)$, состоящими из конечной абелевой группы $A$ и конечной системы образующих $S$ группы $A$, где действие $t$ добавляет элемент $0$ к $S$, по следующим соотношениям: – $(A,S)$ и $(A,S')$ эквивалентны, если $S'$ – перестановка $S$; – $(A,S)$ и $(A',S')$ эквивалентны, если некоторый изоморфизм $A\cong A'$ переводит $S$ в $S'$; – для всех $2\leqslant j\leqslant m$ пара $(A,S)$, где $S=(a_1,\dots,a_m)$, эквивалентна сумме
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{\varnothing\ne I\subset \{1,\dots,j\}} (-t)^{|I|-1} \bigl(A/\langle a_i-a_{i_0}\rangle_{i\in I}, \\ &\qquad (\overline a_{i_0},\overline a_1-\overline a_{i_0},\dots\text{(опускаем все $i\in I$)}\dots, \overline a_j-\overline a_{i_0},\overline a_{j+1},\dots,\overline a_m)\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где внутри суммы $i_0$ обозначает элемент из $I$, а рассматриваемая последовательность элементов из $A/\langle a_i-a_{i_0}\rangle_{i\in I}$ длины $1+(j-|I|)+(m-j)$ не зависит от выбора $i_0$. Пусть $[A,S]$ обозначает класс пары $(A,S)$ в $\overline{\mathscr B}$. Определим градуировку на $\overline{\mathscr B}$, полагая, что $[A,S]$ имеет степень $|S|$:
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathscr B}=\bigoplus_{n=0}^\infty \overline{\mathscr B}_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Относительно данной градуировки $\overline{\mathscr B}$ является градуированным $\mathbb Z[t]$-модулем, где на $\mathbb Z[t]$ рассматривается естественная градуировка. Представления определяют при помощи весов элементы в $\overline{\mathscr B}$. А именно, если $G$ – конечная диагонализируемая групповая схема с точным представлением (над произвольным полем), то существует пара $(A,S)$, где $A$ – двойственная по Картье к $G$ группа, а $S$ – последовательность весов в разложении $\rho$ в сумму $n$ одномерных линейных представлений. Элемент канонически определен представлением $\rho$.Ограничиваясь только группами $e$-кручения $A$ для положительного целого $e$ или только $p$-примарными группами $A$ для простого числа $p$, получаем $\mathbb Z[t]$-модуль $\overline{\mathscr B}^{[e]}$ и соответственно $\overline{\mathscr B}^{(p)}$. Очевидные гомоморфизмы из этих модулей в $\overline{\mathscr B}$ являются расщепленными мономорфизмами с расщеплением, заданными по формулам соответственно, где $A(p)$ обозначает $p$-примарную подгруппу $A$. Мы получаем
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathscr B}=\bigoplus_p \overline{\mathscr B}^{(p)}, \qquad \overline{\mathscr B}^{(p)}=\varinjlim_j \overline{\mathscr B}^{[p^j]}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 3.3. Пусть $k$ – поле характеристики $0$ и $n$ – натуральное число. Группа есть абелева группа, порожденная парами $(K,\alpha)$, где: по модулю отождествления $(K(t),\beta)$ и $(K,t\beta)$, для $\beta\in \overline{\mathscr B}_{n-d-1}$. Пример 3.4. Для $\overline{\mathscr B}_2^{[5]}$ мы имеем образующие $t^2[0,()]$, $t[C_5,(1)]$, $[C_5,(1,1)]$, $[C_5,(1,2)]$, $[C_5,(1,4)]$, $[C_5\oplus C_5,((1,0),(0,1))]$ и соотношения § 4. Бирациональные инварианты орбифолдовВ этом параграфе мы введем бирациональные инварианты $n$-мерных орбифолдов над полем $k$ характеристики $0$ со значениями в $\overline{\operatorname{Burn}}_n$. Пусть $\mathscr X$ – орбифолд. Напомним из [5] (см. также [6]), что $\mathscr X$ называется дивизориальным относительно дивизора с простыми нормальными пересечениями $D_1\cup\dots\cup D_\ell$ на $\mathscr X$, если морфизм заданный линейными расслоениями $\mathscr O_{\mathscr X}(D_i)$, где $i=1,\dots,\ell$, представим; из этого следует, что стабилизаторы $\mathscr X$ диагонализируемы. Будем пользоваться этой терминологией применительно к произвольному конечному набору линейных расслоений.Дивизориалификация – это процедура, применяемая к орбифолду $\mathscr X$, которая дает последовательность раздутий вдоль гладких центров такую, что $\mathscr Y$ дивизориальный относительно подходящего дивизора с простыми нормальными пересечениями. Изначально это было построено в [5; алгоритм C] с предположением абелевости геометрических стабилизаторов, а потом данное условие было снято в [6].Как было объяснено в § 1, инвариантность при бирациональных проективных морфизмах является утверждением об инвариантности относительно отношения эквивалентности, заданного существованием третьего объекта (многообразия или стека Делиня–Мамфорда) с бирациональными проективными морфизмами в два исходных объекта. В настоящем параграфе мы интересуемся квазипроективными орбифолдами $\mathscr X$ и $\mathscr X'$, а отношение эквивалентности принимает форму существования стека Делиня–Мамфорда $\mathscr Y$ с бирациональными проективными морфизмами
$$
\begin{equation}
\mathscr Y\to \mathscr X, \qquad \mathscr Y\to \mathscr X'.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Напомним, что морфизм стеков проективен, если он факторизуется с точностью до $2$-изоморфизма как последовательность замкнутого вложения и проекции из проективного расслоения $\mathbb P(\mathscr E)$ для некоторого квазикогерентного пучка конечного типа $\mathscr E$; в частности, проективные морфизмы всегда представимы. В ситуации (4.1) можно предполагать без потери общности, что $\mathscr Y$ – тоже орбифолд, поскольку разрешение особенностей в функториальной форме, как в [20] и [7], приложимо к стекам. Если $\mathscr X$ и $\mathscr Y$ – квазипроективные орбифолды, то морфизм $\mathscr Y\to \mathscr X$ проективен тогда и только тогда, когда он представимый и собственный. (Каждый проективный морфизм является представимым и собственным. Обратное следует из того, что $\mathscr Y\to \mathscr X$ факторизуется с точностью до $2$-изоморфизма через $\mathscr X\times_XY$, где $X$ и $Y$ обозначают соответствующие грубые пространства модулей, из того, что $\mathscr X\to X$ и $\mathscr Y\to Y$ индуцируют биекции на геометрических точках, а также из того, что представимый собственный морфизм, индуцирующий биекцию на геометрических точках, является конечным, а значит, проективным.) Теорема 4.1. Пусть $k$ – поле характеристики $0$, $n$ – натуральное число и $\mathscr X$ – $n$-мерный квазипроективный орбифолд над $k$. Следующий способ сопоставления орбифолду $\mathscr X$ класса $[\mathscr X]\in \overline{\operatorname{Burn}}_n$ определяет инвариант относительно бирациональных проективных морфизмов. – При помощи дивизориалификации заменим $\mathscr X$ на квазипроективный орбифолд $\mathscr Y$, дивизориальный относительно конечного набора линейных расслоений. – Стратифицируем $\mathscr Y$ по типу изоморфизма геометрических стабилизаторов и запишем для каждой компоненты соответствующее нормальное расслоение
$$
\begin{equation*}
\mathscr Y=\coprod_G \mathscr Y_G, \qquad N_{Y,G}=N_{\mathscr Y_G/\mathscr Y}.
\end{equation*}
\notag
$$
– Для каждой группы $G$ обозначим через $Y_G$ грубое пространство модулей стека $\mathscr Y_G$ и определим элемент $[\mathscr X]$ так:
$$
\begin{equation*}
[\mathscr X]:=\sum_G ([Y_G],[N_{Y,G}])\in \overline{\operatorname{Burn}}_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Если в последнем шаге $Y_G$ неприводимое размерности $d$, то $[Y_G]$ – это ассоциированный элемент в $\operatorname{Burn}_d$, а $[N_{Y,G}]\in \overline{\mathscr B}_{n-d}$ – класс, ассоциированный с представлением $G$ в геометрической общей точке $\mathscr Y_G$. В общем случае мы понимаем $([Y_G],[N_{Y,G}])$ как сумму элементов в $\overline{\operatorname{Burn}}_n$, заданных неприводимыми компонентами. Доказательство. Пусть $\mathscr X'$ – квазипроективный орбифолд с бирациональным проективным морфизмом на $\mathscr X$. Дивизориализуем $\mathscr X'$ и получим $\mathscr Y'$. Диаграмму можно дополнить до $2$-коммутативного квадрата бирациональных проективных морфизмов квазипроективных орбифолдов, разрешая особенности замыкания в послойном произведении непустого открытого подстека, где морфизмы являются изоморфизмами. Таким образом, для доказательства теоремы достаточно показать, что для бирационального проективного морфизма квазипроективных орбифолдов $\mathscr Z\to \mathscr Y$ имеет место
Пусть $\mathscr L_1,\dots,\mathscr L_\ell$ – линейные расслоения, относительно которых $\mathscr Y$ дивизориален. Функториальная форма слабой факторизации в [3] применима к стекам и дает факторизацию $\mathscr Z\to \mathscr Y$ как композицию отображений дивизориальных проективных орбифолдов (относительно прообразов $\mathscr L_1,\dots,\mathscr L_\ell$), где каждое отображение или его обратное является раздутием с гладким центром. Пусть $\mathscr V$ – гладкий замкнутый подстек $\mathscr Y$ размерности $<n$ с грубым пространством модулей $V$, и пусть $\mathscr Z=B\ell_{\mathscr V}\mathscr Y$. Проверим (4.2) в этом случае. Слева мы разобьем $\mathscr Y_G$ на объединение компонент $\mathscr Y'_G$, не пересекающихся с $\mathscr V$, и компонент $\mathscr Y''$, нетривиально пересекающих $\mathscr V$, и применим модифицированные соотношения ножниц к $\mathscr Y''_G$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_G ([Y_G],[N_{Y,G}]) =\sum_G ([Y'_G],[N_{Y,G}]) \ \\ &\qquad +\sum_G \bigl([Y''_G\cap V],t^{\dim(\mathscr Y''_G)-\dim(\mathscr Y''_G \cap \mathscr V)}[N_{Y,G}]\bigr) +\sum_G ([Y''_G\setminus V],[N_{Y,G}]), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где во второй сумме справа размерности взяты по компонентам. Разбивая сумму в правой части равенства (4.2) аналогичным способом, мы получаем выражение с одинаковыми первыми и третьими суммами и со второй суммой, которая отличается от второй суммы в выражении выше на соотношения в $\overline{\mathscr B}$. Теорема доказана. Замечание 4.2. Над алгебраически замкнутым полем характеристики $0$, рассматривая орбиповерхности, у которых нетривиальные стабилизаторы имеют порядок $5$, мы видим, что четность числа изолированных особых точек с $C_5$-стабилизатором и разными весами, сумма которых отлична от нуля, не меняется при раздутиях точек. Это замечание имеет свое отражение в $2$-кручении в $\overline{\mathscr B}_2^{[5]}$, как видно из примера 3.4 и бирациональной инвариантности в теореме 4.1. В этом контексте мы отметим [5; пример 4.3], а именно наблюдение, что такая точка с $C_5$-стабилизатором не исчезнет при раздутиях. Пример 4.3. Функториальная дестекификация (см. [5]) орбифолда дает последовательность раздутий с гладкими центрами и операций корневых стеков вдоль гладких дивизоров, которые упрощают структуру стека. Операция корневого стека добавляет стабилизатор $\mu_n$ (для положительного целого $n$) вдоль дивизора (см. [10; § 2], [1; приложение B]), и результатом дестекификации является орбифолд, который получается из гладкого многообразия последовательностью операций корневых стеков вдоль компонент дивизора с простыми нормальными пересечениями. Одних раздутий не хватает, чтобы привести общий орбифолд к такому виду, как отмечено в замечании 4.2. Соответственно, мы можем рассматривать группу $\overline{\mathscr B}/\mathscr C$, где $\mathscr C$ обозначает подмодуль, порожденный классами пар прямых сумм конечных циклических групп ($r\,{\geqslant}\, 0$ произвольно) и наборов образующих, как препятствие к дестекификации при помощи одних раздутий. Имеем вложение
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathscr B}^{[p]}\subset \mathscr C \quad\text{для }\ p\in \{2,3\},
\end{equation*}
\notag
$$
что соответствует тому, что для дестекификации в этих случаях достаточно раздутий (см. [16], [19]). В табл. 1 показаны классы изоморфизма $\overline{\mathscr B}_2^{[p]}/(\mathscr C\cap \overline{\mathscr B}_2^{[p]})$ для некоторых простых $p\geqslant 5$. Таблица 1.Тип изоморфизма $\overline{\mathscr B}_2^{[p]}/(\mathscr C\cap \overline{\mathscr B}_2^{[p]})$
Следующий результат подтверждает очевидную закономерность. Предложение 4.4. Для простого $p\geqslant 5$ пусть $g=g(X_0(p))$ обозначает род модулярной кривой, т.е. Доказательство предложения 4.4, основывающееся на вычислениях с символами Манина (см. [17]), дано в § 5. Запись $0$ в табл. 1 для $p=7$ означает, что $\overline{\mathscr B}_2^{[7]}\subset \mathscr C$. На самом деле мы имеем также $\overline{\mathscr B}_3^{[7]}\subset \mathscr C$. Однако оказывается, что
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathscr B}_4^{[7]}/(\mathscr C\cap \overline{\mathscr B}_4^{[7]})\cong \mathbb Z/2\mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
$$
§ 5. Модулярные символы и доказательство предложения 4.4Эквивариантная группа Бернсайда, введенная в [13], связана с модулярными кривыми $X_1(N)$ для разных $N$. В этом параграфе похожую роль играют модулярные кривые
$$
\begin{equation*}
X_0(p)=\Gamma_0(p)\setminus\mathbb H\cup \{\mathrm{0,\infty}\}
\end{equation*}
\notag
$$
и соответствующие модулярные символы (см. [17]); установленная нами связь между двумерной бирациональной геометрией и модулярными кривыми остается загадочной для нас. Зафиксируем простое число $p\geqslant 5$. Мы будем рассматривать абелеву группу $\overline{\mathscr B}_2^{[p]}/(\mathscr C\cap \overline{\mathscr B}_2^{[p]})$ с образующими и соотношениями
$$
\begin{equation}
[C_p,(1,a)] =[C_p,(1,a^{-1})] \quad\text{для всех }\ a,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber [C_p,(1,a)] =[C_p,(1,a-1)]+[C_p,(1,a^{-1}-1)]
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\text{для }\ a\in \biggl\{3,\dots,\frac{p-1}{2}\biggr\}\cup\biggl\{\frac{p+3}{2},\dots,p-2\biggr\},
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
где $a^{-1}$ обозначает положительное целое число меньше $p$, обратное к $a\ \operatorname{mod}p$. (Имеем $[C_p,(1,1)]=t[C_p,(1)]\in \mathscr C$ и $[C_p,(1,p-1)]=t^2[0,()]\in \mathscr C$.) Модулярная группа
$$
\begin{equation*}
\Gamma_0(p)=\biggl\{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in \mathrm{SL}_2(\mathbb Z)\biggm| c\equiv 0\ \operatorname{mod} p \biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
имеет индекс $p+1$ в $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$ с представителями правых смежных классов
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&0\\1&1 \end{pmatrix},\, \dots, \begin{pmatrix} 1&0\\p-1&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&-1\\1&0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\Gamma_0(p)$ действует стандартным образом на верхней полуплоскости $\mathbb H$, а также на $\mathbb Q\cup \{i\infty\}$ с двумя орбитами, соответствующими каспам $0$, $\infty\in X_0(p)$. Здесь $0$ относится к множеству всех $b/d\in \mathbb Q$ с $p\nmid d$, а $\infty$ – к множеству $a/c\in \mathbb Q$ с $p\,{\mid}\, c$. Вещественная структура на $X_0(p)$ определяется стандартным комплексным сопряжением $\mathbb H\to \mathbb H$, $z\mapsto -\overline z$. Хорошо известно, что множество вещественных точек $X_0(p)$ связно. Применяя символы Манина (см. [17]) к $\Gamma_0(p)$, мы получаем представление $H_1(X_0(p),\mathbb Z)$ через образующие и соотношения. Для доказательства предложения 4.4 надо показать, что данные соотношения вместе с дополнительными соотношениями, отражающими, что сумма любого цикла с его комплексно сопряженным равна нулю, соответствуют соотношениям (5.1)–(5.4). На самом деле мы используем более простые соотношения, которые дают гомологии не римановой поверхности $X_0(p)$, а соответствующего орбифолда со стабилизаторами в эллиптических точках. Фактор $\mathbb H$ по $\Gamma_0(p)/\{\pm 1\}$ – это орбифолд, который компактифицируется при помощи каспов до Орбифолды и их топологические инварианты объяснены, например, в [18], а удобная ссылка на орбикривые – это [4]. Заметим, что группу $H_1(X_0(p)_{\mathrm{orb}},\mathbb Z)$ можно также задать непосредственно как группу гомологий дополнения к эллиптическим точкам по модулю соотношений, заключающихся в том, что подходящая кратность малой петли вокруг эллиптической точки обращается в нуль. Если $p\equiv 1\ \operatorname{mod}4$, то существует пара комплексно сопряженных эллиптических точек в $X_0(p)_{\mathrm{orb}}$, для которой стабилизатор (представляющей точки в $\mathbb H$) имеет порядок $2$ в $\Gamma_0(p)/\{\pm 1\}$; для каждой из них дважды взятая малая петля полагается равной нулю в гомологиях. Если $p\equiv 1\ \operatorname{mod}3$, то существует пара комплексно сопряженных эллиптических точек, для которых стабилизатор имеет порядок $3$ в $\Gamma_0(p)/\{\pm 1\}$; для каждой из них трижды взятая малая петля равна нулю. Приведем нужные нам результаты из [17] с подходящими модификациями в рамках теории орбифолдов. Мы сохраняем обозначения (5.1)–(5.4) относительно $a$ и $a^{-1}$, а для $a\notin \{p-2,(p-1)/2\}$ определяем положительные целые числа $a'$ и $a''$ меньше $p$ условиями
$$
\begin{equation*}
a'\equiv -a^{-1}-1\ \operatorname{mod}p, \qquad a''\equiv -(a+1)^{-1}\ \operatorname{mod}p.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5.1 (см. [17; (1.4)]). Имеет место сюръективный гомоморфизм сопоставляющий элементу $\gamma\in \Gamma_0(p)$ образ $\{0,\gamma\cdot 0\} $ в $X_0(p)$ геодезической в $\mathbb H\,{\cup}\, \mathbb Q$ из $0$ в $\gamma\,{\cdot}\, 0$. Ядро порождено коммутатором $\Gamma_0(p)$ и параболическими элементами в $\Gamma_0(p)$. Лемма 5.2 (см. [17; (1.5)–(1.9)]). Абелева группа $H_1(X_0(p)_{\mathrm{orb}},\mathbb Z)$ допускает представление образующими Далее доказательство предложения 4.4 использует один алгебраический результат вместе с топологическим рассуждением. Лемма 5.3. Определен изоморфизм определенный по формуле $[C_p,(1,a)]\mapsto \{0,1/a\}$ для всех $a$. Доказательство. Предположим, что $2\leqslant b\leqslant (p-3)/2$. Вычтем одно из другого соотношения (5.4) при $a=b+1$ и при $a=p-b$ и заметим, что правые члены сократятся благодаря (5.1). Получим
Применяя индукцию, базой которой является соотношение (5.3), получим равенство для всех $a$. Используя (5.8) и (5.1), перепишем (5.4) в виде для $a\notin \{(p-1)/2,p-2\}$.Доказательство завершается при помощи сравнения соотношений (5.1), (5.2), (5.8), (5.9) с (5.5)–(5.7) и с дополнительными соотношениями в определении факторгруппы в утверждении леммы. В то время как группа $H_1(X_0(p),\mathbb Z)$ свободная ранга $2g$ (где $g$ – это род кривой $X_0(p)$), в группе $H_1(X_0(p)_{\mathrm{orb}},\mathbb Z)$ может быть кручение:
$$
\begin{equation*}
H_1(X_0(p)_{\mathrm{orb}},\mathbb Z)\cong \begin{cases} \mathbb Z/6\mathbb Z\oplus \mathbb Z^{2g}, & \text{если }p\equiv 1\ \operatorname{mod}12, \\ \mathbb Z/2\mathbb Z\oplus \mathbb Z^{2g}, & \text{если }p\equiv 5\ \operatorname{mod}12, \\ \mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mathbb Z^{2g}, & \text{если }p\equiv 7\ \operatorname{mod}12, \\ \mathbb Z^{2g}, & \text{если }p\equiv 11\ \operatorname{mod}12. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Комплексное сопряжение действует на $H_1(X_0(p)_{\mathrm{orb}},\mathbb Z)$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\biggl\{0,\frac{1}{a}\biggr\}\mapsto \biggl\{0,\frac{1}{p-a}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5.3 отождествляет $\overline{\mathscr B}_2^{[p]}/(\mathscr C\cap \overline{\mathscr B}_2^{[p]})$ с фактором группы $H_1(X_0(p)_{\mathrm{orb}},\mathbb Z)$ по элементам, имеющим вид суммы цикла и его сопряженного. Комплексное сопряжение действует тривиально на $H_1(X_0(p)_{\mathrm{orb}},\mathbb Z)_{\mathrm{tors}}$. Для $p\equiv 1\ \operatorname{mod}4$ индекс пересечения $\operatorname{mod}2$ с кривой, инвариантной относительно сопряжения и соединяющей эллиптические точки порядка $2$, выделяет $H_1(X_0(p)_{\mathrm{orb}},\mathbb Z)[2]$ эквивариантно как прямое слагаемое в $H_1(X_0(p)_{\mathrm{orb}},\mathbb Z)$. Теперь мы видим, что $\overline{\mathscr B}_2^{[p]}/(\mathscr C\cap \overline{\mathscr B}_2^{[p]})$ есть прямая сумма группы $\mathbb Z/2\mathbb Z$ при $p\equiv 1\ \operatorname{mod}4$, тривиальной группы при $p\equiv 3\ \operatorname{mod}4$ и фактора группы $H_1(X_0(p),\mathbb Z)$ по элементам, имеющим вид суммы цикла и его сопряженного. Последнюю группу можно описать, выбрав триангуляцию вещественной поверхности $X_0(p)$, инвариантную относительно сопряжения, и используя спектральную последовательность, связывающую эквивариантные гомологии пространства $X_0(p)$ с гомологиями групп с коэффициентами в $H_j(X_0(p),\mathbb Z)$, с одной стороны, и с гомологиями групп с коэффициентами в группах $j$-цепей, с другой стороны, для $j=0,1,2$ (ср. [9; п. VII.7]). (Все гомологии групп рассматриваются для группы $\mathbb Z/2\mathbb Z$, соответствующей комплексному сопряжению.) Мы опускаем детали и приводим только сам результат:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H_i(\mathbb Z/2\mathbb Z,H_1(X_0(p),\mathbb Z))=0 \quad\text{для всех }\ i\geqslant 1, \\ H^{\mathbb Z/2\mathbb Z}_j(X_0(p),\mathbb Z)\cong \begin{cases} \mathbb Z,&\text{если $j=0$}, \\ \mathbb Z/2\mathbb Z\oplus \mathbb Z^g,&\text{если $j=1$}, \\ \mathbb Z/2\mathbb Z,&\text{если $j\geqslant 2$}. \end{cases} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из обращения в нуль группы $H_1(\mathbb Z/2\mathbb Z,H_1(X_0(p),\mathbb Z))$ следует отсутствие кручения в факторе группы $H_1(X_0(p),\mathbb Z)$ по элементам, имеющим вид суммы цикла и его сопряженного. Следовательно, данный фактор изоморфен $\mathbb Z^g$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KreTsc21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|