| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Многообразия изоспектральных матриц-стрелок А. А. Айзенбергa, В. М. Бухштаберb a Факультет компьютерных наук, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», г. Москва b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9381 
Реферативные базы данных:
      § 1. ВведениеИзучение пространств изоспектральных эрмитовых или симметричных матриц находится на стыке нескольких областей математики, включая симплектическую геометрию, теорию представлений, торическую топологию и прикладную математику. Пусть $M_{n+1}$ – пространство всех эрмитовых матриц размера $n+1$, и пусть $M_\lambda\subset M_{n+1}$ – пространство всех эрмитовых матриц с фиксированным простым спектром $\lambda=\{\lambda_0,\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ (предполагается, что $\lambda_0<\lambda_1<\dots<\lambda_{n}$). Унитарная группа $U(n+1)$ действует на $M_{n+1}$ посредством сопряжения. Умножив эрмитову матрицу на $\sqrt{-1}$, получим косоэрмитову матрицу, поэтому такое действие можно отождествить с присоединенным действием $U(n+1)$ на своей касательной алгебре Ли. Для простого спектра $\lambda$ подмножество $M_\lambda$ является главной орбитой этого действия. Многообразие $M_\lambda$ диффеоморфно многообразию полных комплексных флагов $\mathrm{Fl}_{n+1}=U(n+1)/T^{n+1}$. Здесь
$$
\begin{equation*}
T^{n+1}=\{D=\operatorname{diag}(t_0,\dots,t_{n})\mid t_i\in \mathbb{C},\, |t_i|=1\}
\end{equation*}
\notag
$$
– максимальный компактный тор, состоящий из диагональных унитарных матриц. Тор действует на обоих пространствах $M_{n+1}$ и $M_\lambda$ сопряжением: $A\mapsto DAD^{-1}$. В координатах имеем
$$
\begin{equation}
(a_{ij})_{i,j=0,\dots,n}\mapsto (t_it_j^{-1}a_{ij})_{i,j=0,\dots,n}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Естественно рассмотреть подпространства многообразия флагов $M_\lambda\cong \mathrm{Fl}_{n+1}$, сохраняемые действием тора. Из формулы (1.1) следует, что действие тора сохраняет нули на заданных позициях. Следовательно, имеет смысл изучать пространства эрмитовых матриц с заданным спектром и нулями на заданных позициях. Классическим примером такого рода является пространство $M_{\mathbb{I}_{n},\lambda}$ изоспектральных трехдиагональных эрмитовых матриц. Это пространство изучалось в [32], [10], [16]. К. Томеи в [32] определил вещественный аналог этого пространства: он доказал, что это пространство является гладким многообразием и тип его диффеоморфизма не зависит от спектра. А. М. Блох, Х. Флашка и Т. Ратью в [10] изучили эрмитов случай и показали его связь с торическим многообразием типа $A_n$. Общая теория, развитая в фундаментальной работе М. Дэвиса и Т. Янушкевича [16], позволяет описать кольца когомологий и $T^n$-эквивариантных когомологий пространства $M_{\mathbb{I}_{n},\lambda}$. Вместо трехдиагональных матриц можно рассматривать ступенчатые эрмитовы матрицы (которые также называют обобщенными матрицами Хессенберга); см. [25], [17]. Ненулевые элементы этих матриц могут возникать только в окрестности диагонали, которая кодируется так называемой ступенчатой функцией Хессенберга. Пространства эрмитовых матриц можно изучать методами, аналогичными трехдиагональному случаю: свойства обобщенного потока Тоды используются для доказательства гладкости этих пространств. Мы собрали результаты о таких матричных многообразиях Хессенберга в [7]. Отметим, что тор, действующий на матричных многообразиях Хессенберга, может иметь размерность меньше, чем половина размерности многообразия. В этом случае применима теория $(2n,k)$-многообразий; см. [14]. Другой способ обобщения понятия трехдиагональной матрицы – разрешение двух дополнительных ненулевых элементов в верхнем правом и нижнем левом углах матрицы. Такие матрицы называются периодически трехдиагональными. Они естественно возникают при изучении дискретного оператора Шрёдингера в математической физике (см. [23], [21]). Исследование изоспектрального пространства таких матриц проведено в работе [5]. В настоящей работе мы изучаем изоспектральное пространство $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$ матриц, имеющих нули вне диагонали, первой строки и первого столбца. Матрицы такого вида мы будем называть матрицами-стрелками. Мы благодарны Тадеушу Янушкевичу1, который рассказал нам об этом замечательном объекте. В настоящей работе мы доказываем, что $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$ гладкое и тип его диффеоморфизма не зависит от $\lambda$; см. § 4. Действие тора $T=T^n$ на $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$ локально стандартно, поэтому пространство орбит $Q_n=M_{\operatorname{St}_n,\lambda}/T$ является многообразием с углами. В § 4 описана топология пространства орбит. Мы определяем кубический комплекс $\mathrm{Sq}_n$, являющийся объединением всех кубических граней $n$-мерного пермутоэдра, и доказываем, что пространство орбит $Q_n$ гомотопически эквивалентно пространству $\mathrm{Sq}_{n-1}$. Отсюда следует, что при $n\geqslant 3$ пространство орбит не является простым многогранником. Комбинаторная структура граней пространства $Q_n$ описана в § 6 при помощи общего понятия кластер-пермутоэдра. Семейство кластер-пермутоэдров содержит два известных объекта: обычный пермутоэдр и циклопермутоэдр Г. Ю. Паниной. Это семейство предоставляет интересный набор частично упорядоченных множеств, который, насколько нам известно, ранее в комбинаторной геометрии не изучался. Имеется естественное действие группы перестановок $\Sigma_n$ на многообразии $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$, а также на пространстве орбит $Q_n$. Мы доказываем, что фундаментальная область $\Sigma_n$-действия на $Q_n$ диффеоморфна некоторому специальному простому многограннику, обозначенному $\mathscr B_n$. В § 5 описана комбинаторика этого многогранника. Мы показываем, что $\mathscr B_n$ получается из куба срезкой граней коразмерности 2, и, следовательно, $\mathscr B_n$ имеет выпуклую дельцанову реализацию. В конце § 5 приведено замечание, связывающее нашу конструкцию многообразия $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$ с общей конструкцией симплектического подрыва, введенной в симплектической геометрии (см. [20]). Описание многогранника $\mathscr B_n$ позволяет воссоздать пространство орбит $Q_n$, состыковав $n!$ копий такого многогранника. Мы надеемся, что в будущем эта конструкция пространства $Q_n$ позволит разработать алгоритм эффективной диагонализации для матриц-стрелок. Нас особенно интересует случай матриц-стрелок размера $4\times 4$, т.е. случай $n=3$. Тогда пространство орбит $Q_3=M_{\operatorname{St}_3,\lambda}$ является полноторием, граница которого разбита регулярным образом на шестиугольники. Об этом факте нам также сообщил Тадеуш Янушкевич. Кольцо когомологий и эквивариантных когомологий самого пространства $M_{\operatorname{St}_3,\lambda}$ можно описать при помощи теории, разработанной первым автором в серии работ [1]–[4], [9]. В общем случае эта теория позволяет описать когомологии и эквивариантные когомологии многообразий с локально стандартным действием тора, пространства орбит которых имеют ацикличные собственные грани. Поскольку каждая грань пространства $Q_3$ является шестиугольником, мы можем применить теорию к многообразию $M_{\operatorname{St}_3,\lambda}$. В § 7 мы напомним понятия кольца Стенли–Райснера, $h$-, $h'$- и $h''$-чисел симплициальных комплексов, теорию Новик–Шварца и релевантные топологические результаты из работ [16], [22]. Теорема 7.1, основанная на этих результатах, дает описание гомологической структуры многообразия $M_{\operatorname{St}_3,\lambda}$. Многогранник $\mathscr B_3$ является кубом со срезанными скрещенными ребрами; этот многогранник играет важную роль в торической топологии. Исторически с него началось исследование высших произведений Масси в когомологиях момент-угол многообразий (активно развивающаяся область современных исследований; см. [12], [19]). В § 8 мы определяем и исследуем многообразие $X_n$, свойства которого во многом схожи со свойствами $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$. Это многообразие также обладает действием тора половинной размерности, и его пространство орбит гомеоморфно $Q_n$. Однако многообразие $X_n$ интереснее с топологической точки зрения. В случае $n=3$ мы описываем кольцо когомологий и показываем, что первый класс Понтрягина многообразия $X_3$ нетривиален. § 2. Пространства разреженных изоспектральных матрицДействие тора $T^{n+1}$ на изоспектральном множестве $M_\lambda$ не эффективно, поскольку скалярные матрицы действуют тривиально. Следовательно, имеется эффективное действие тора $T=T^n\cong T^{n+1}/\Delta(T^1)$. Неподвижные точки этого действия на $M_{\lambda}$ – это диагональные матрицы со спектром $\lambda$, т.е. матрицы вида $\operatorname{diag}(\lambda_{\sigma(0)},\lambda_{\sigma(1)},\dots,\lambda_{\sigma(n)})$ для всех возможных перестановок $\sigma\in \Sigma_{n+1}$. Действие является гамильтоновым. Действительно, $M_\lambda$ отождествляется с орбитой (ко)присоединенного действия $U(n+1)$ на (ко)касательной алгебре. На орбите имеется симплектическая форма Кириллова–Костана, и действие $U(n+1)$ (и, как следствие, действие $T^{n+1}$) на этой орбите гамильтоново. Отображение моментов для торического действия задается формулой
$$
\begin{equation*}
\mu\colon M_{\lambda} \to \mathbb{R}^{n+1}, \qquad A=(a_{i,j})\mapsto (a_{0,0},a_{1,1},\dots,a_{n,n})
\end{equation*}
\notag
$$
(образ этого отображения лежит в гиперплоскости $\{\sum_{i=0}^n a_{i,i}=\sum_{i=0}^n\lambda_i=\mathrm{const}\}\cong\mathbb{R}^n$). Из общей теоремы Атьи–Гиемина–Стернберга следует, что образом отображения моментов является пермутоэдр
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Pe}_\lambda^n=\operatorname{conv}\{(\lambda_{\sigma(0)}, \lambda_{\sigma(1)},\dots,\lambda_{\sigma(n)})\mid \sigma\in\Sigma_{n+1}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы будем называть его пермутоэдром Хорна–Шура, поскольку описание диагоналей всех эрмитовых матриц с заданным спектром дается классическими результатами Шура и Хорна. Конструкция 2.1. Пусть $\Gamma=(V,E)$ – простой граф (т.е. граф без петель и кратных ребер) на множестве вершин $V=\{0,1,\dots,n\}$. Рассмотрим векторное подпространство эрмитовых матриц Пример 2.1. Если $\Gamma$ – полный граф на множестве $\{0,\dots,n\}$, то $M_{\Gamma,\lambda}=M_\lambda\cong \mathrm{Fl}_{n+1}$. Замечание 2.1. Не теряя общности, мы можем ограничиться только связными графами. Пусть $\Gamma_1,\dots,\Gamma_k$ – компоненты связности графа $\Gamma$ на множествах вершин $V_1,\dots,V_k\subset \{0,\dots,n\}$ соответственно. Пусть $\Omega$ – совокупность всех возможных разбиений множества $\{\lambda_0,\dots,\lambda_n\}$ на дизъюнктные подмножества $S_i$ мощностей $|A_i|$, $i=1,\dots,k$. Тогда $M_{\Gamma,\lambda}=\bigsqcup_\Omega \prod_{i=1}^k M_{\Gamma_i,S_i}$. Возникающие при этом комбинаторные структуры подробно описаны в § 6. Проблема 2.1. Описать все графы $\Gamma$, для которых $M_{\Gamma,\lambda}$ является гладким многообразием, чей тип диффеоморфизма не зависит от простого спектра $\lambda$. Замечание 2.2. Симплектическую форму Кириллова–Костана можно ограничить на подмножество $M_{\Gamma,\lambda}$, однако ограничение может не быть симплектическим, даже если $M_{\Gamma,\lambda}$ гладкое. Следовательно, теорема Атьи–Гиемина–Стернберга в общем случае не применима. Тем не менее имеется отображение $\mu\colon M_{\Gamma,\lambda}\to \mathbb{R}^{n+1}$, которое сопоставляет матрице ее диагональ. Это отображение постоянно на каждой орбите тора, следовательно, имеется также индуцированное отображение $\widetilde{\mu}\colon M_{\Gamma,\lambda}/T^n\to \mathbb{R}^{n+1}$ из пространства орбит. § 3. Древесные матрицыПусть $\Gamma$ – дерево на множестве вершин $\{0,1,\dots,n\}$. В этом случае элементы $M_\Gamma$ будем называть древесными матрицами. $2n$-мерное пространство $M_{\Gamma,\lambda}$ обладает эффективным действием компактного $n$-мерного тора. Благодаря этому факту древесные матрицы являются интересным объектом: они предоставляют естественные примеры действий тора половинной размерности. Отображение моментов
$$
\begin{equation*}
\mu\colon M_{\Gamma,\lambda}\to H\subset \mathbb{R}^{n+1}, \qquad H=\Bigl\{\sum a_{i,i}=\mathrm{const}\Bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
индуцирует отображение $n$-мерного пространства орбит $M_{\Gamma,\lambda}/T$ в пермутоэдр Шура–Хорна $\operatorname{Pe}_\lambda^n\subset H\cong \mathbb{R}^n$. Все вершины $\operatorname{Pe}_\lambda^n$ лежат в образе $\mu(M_{\Gamma,\lambda})$. В дальнейшем нам будет удобно кодировать древесные матрицы при помощи помеченных деревьев. Определение 3.1. Помеченным деревом $\Delta$ называется тройка $(\Gamma,a,b)$, где $\Gamma=(V,E)$ – дерево, $a\colon V\to \mathbb{R}$, $b\colon E\to \mathbb{C}$. Иными словами, помеченное дерево – это дерево, в котором каждой вершине $i\in V$ приписано вещественное число $a_i$, а каждому ребру $e\in E$ приписано комплексное число $b_e$. Помеченное дерево задает эрмитову матрицу $A_\Delta$ следующим образом. Элементами $A_\Delta$ являются
$$
\begin{equation*}
(A_\Delta)_{i,j}=\begin{cases} a_i, & \text{если } i=j, \\ b_e, & \text{если } i<j \text{ и }e=\{i,j\}\in E, \\ \overline{b}_e, & \text{если } i>j \text{ и }e=\{i,j\}\in E, \\ 0, & \text{если } i\neq j \text{ и } \{i,j\}\notin E. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Если, кроме того, в дереве зафиксирована некоторая вершина $k$, мы называем его корневым помеченным деревом с корнем $k$. Пример 3.1. Пусть $\mathbb{I}_n$ обозначает простой путь с ребрами $\{0,1\}$, $\{1,2\}$, $\dots$, $\{n-1,n\}$. Тогда $M_{\mathbb{I}_n,\lambda}$ – пространство трехдиагональных изоспектральных эрмитовых матриц. Классический результат (см. [32], [10]) утверждает, что $M_{\mathbb{I}_n,\lambda}$ является гладким многообразием и его тип диффеоморфизма не зависит от простого спектра $\lambda$. Из результата К. Томеи [32] следует, что $M_{\mathbb{I}_n, \lambda}/T^n$ диффеоморфно как многообразие с углами $n$-мерному пермутоэдру. Отображение моментов $\mu\colon \operatorname{Pe}^n\cong M_{\Gamma, \lambda}/T^n\to \operatorname{Pe}_\lambda^n$ не является изоморфизмом пермутоэдров. Это отображение задает биекцию между множествами вершин пермутоэдров, однако на внутренности пермутоэдра отображение не является ни инъективным, ни сюръективным. В случае $n=2$ образ отображения моментов показан на рис. 1 (объяснение этого рисунка дано в предложении 4.1 ниже). Пример 3.2. Пусть $\operatorname{St}_n$ обозначает граф-звезду с ребрами $\{0,1\}$, $\{0,2\}$, $\dots$, $\{0,n\}$. В этом случае матрицы из $M_{\operatorname{St}_n}$ имеют вид Мы называем такие матрицы матрицами-стрелками. Сформулируем несколько технических утверждений об общих древесных матрицах. Вначале заметим, что есть естественное определение древесной дроби, которое обобщает понятие цепной дроби. Определение 3.2. Пусть $\Delta=(\Gamma=(V,E),a,b)$ – корневое помеченное дерево с корнем $k\in V$. Определим древесную дробь $Q(\Delta,k)$, заданную корневым деревом $(\Delta,k)$, рекурсивно. 1. Пусть $\Delta$ – помеченное дерево с корнем $k$ и хотя бы одной другой вершиной. Удалив $k$ из $\Delta$, получаем, что дерево распадается на $s$ связных компонент, где каждая связная компонента является корневым помеченным деревом $\Delta_i$, корень $k_i$ которого является потомком вершины $k$. Пусть $b_1,\dots,b_s\in \mathbb{C}$ – метки на ребрах $\Delta$, соединяющих $k$ с его потомками. Положим
$$
\begin{equation*}
Q(\Delta,k)=a_k-\sum_{i=1}^s\frac{|b_i|^2}{Q(\Delta_i,k_i)}.
\end{equation*}
\notag
$$
2. Если дерево $\Gamma$ состоит из одной вершины $k$ с меткой $a_k\in \mathbb{R}$, то положим $Q(\Delta,k)=a_k$. В частности, для помеченного графа пути с корнем в начале пути древесная дробь $Q(\Delta,k)$ представляет собой цепную дробь
$$
\begin{equation*}
a_0-\cfrac{|b_1|^2}{a_1-\cfrac{|b_2|^2}{\ddots\cfrac{\vdots}{a_{n-1}-\cfrac{|b_n|^2}{a_n}}}}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3.1. Пусть $\Delta$ – помеченное дерево и $A_\Delta$ – соответствующая эрмитова матрица. Тогда диагональные элементы обратной матрицы задаются древесными дробями: Доказательство леммы представляет собой упражнение по линейной алгебре. Скажем, что $S$ является расщеплением дерева $\Gamma$, если $S$ является разбиением его множества вершин на 1- и 2-элементные подмножества, в котором все двухэлементные подмножества являются ребрами $\Gamma$. Пусть $S(\Gamma)$ – совокупность всех расщеплений дерева $\Gamma$. Для $S\in S(\Gamma)$ положим $\sigma(S)=(-1)^p$, где $p$ – количество ребер в расщеплении. Доказательство леммы – это еще одно упражнение по линейной алгебре. Нужно разложить определитель по строке, соответствующей листу дерева. Следствие 3.1. Для матрицы-стрелки (соответствующей графу-звезде) имеем Граф-звезда – это единственное дерево, для которого $\det(A_\Delta)$ не более чем квадратичен относительно переменных $|b_e|$. § 4. Пространство изоспектральных матриц-стрелокПусть $\Delta=(\operatorname{St}_n,a,b)$ – помеченный граф-звезда и $A_\Delta$ – соответствующая матрица-стрелка, заданная формулой (3.1). Рассмотрим изоспектральное пространство $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}\,{=}\,\{A_\Delta\mid \operatorname{Spec} A_\Delta\,{=}\,\lambda\}$. Опишем образ отображения моментов для таких матриц, т.е. множество всех возможных диагоналей $(a_0,\dots,a_n)\,{\in}\,\mathbb{R}^{n+1}$. Так как $a_0=\sum_{i=0}^n\lambda_i-\sum_{i=1}^na_i$, нам достаточно описать все возможные элементы $(a_1,\dots,a_n)\in \mathbb{R}^n$. Предложение 4.1. Пусть $I_j=[\lambda_{j-1},\lambda_j]\subset\mathbb{R}$ при $j=1,\dots,n$. Тогда $\mu(M_{\operatorname{St}_n,\lambda})$ совпадает с подмножеством где – объединение $n!$ кубов размерности $n$. Доказательство. Вначале заметим, что группа перестановок $\Sigma_n$ действует на графе-звезде $\Gamma$ перестановками лучей. Следовательно, имеем действие $\Sigma_n$ на векторном пространстве $M_{\operatorname{St}_n}$. Перестановочное действие сохраняет спектр, значит, имеется $\Sigma_n$-действие на $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$. Следовательно, без ограничения общности можно предполагать, что $a_1\leqslant a_2\leqslant\dots\leqslant a_n$.
Докажем, что при условии
$$
\begin{equation*}
\lambda_0<a_1<\lambda_1<a_2<\lambda_2<\dots<a_n<\lambda_n, \qquad a_0=\sum_{i=0}^n\lambda_i-\sum_{i=1}^na_i,
\end{equation*}
\notag
$$
существует матрица-стрелка $A_\Delta$ с диагональю $(a_0,\dots,a_n)$ и собственными значениями $\lambda_0,\dots,\lambda_n$. Отсюда будет следовать, что внутренность $\mathscr{R}_n$ лежит в образе отображения моментов. Рассмотрим многочлены $P(\lambda)=\prod_{i=0}^n(\lambda-\lambda_i)$, $Q(\lambda)=\prod_{i=1}^n(\lambda-a_i)$. Поделив $P(\lambda)$ на $Q(\lambda)$, получим Легко проверяется, что $\alpha=\sum_{i=0}^n\lambda_i-\sum_{i=1}^na_i=a_0$. Подставив все возможные $a_i$ в (4.1), получим
$$
\begin{equation*}
R(a_n)=P(a_n)<0, \quad R(a_{n-1})=P(a_{n-1})>0, \quad R(a_{n-2})=P(a_{n-2})<0,\quad\dotsc\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Для рациональной функции ${P(\lambda)}/{Q(\lambda)}$ имеется запись в виде суммы правильных дробей
$$
\begin{equation*}
\frac{P(\lambda)}{Q(\lambda)}=\lambda-a_0 + \frac{r_1}{\lambda-a_1}+\dots+\frac{r_n}{\lambda-a_n},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
r_i=\frac{R(a_i)}{\prod_{j\neq i}(a_i-a_j)}<0 \quad\text{при всех }\ i=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому можно положить $r_i=-|b_i|^2$ для некоторых $b_i\in\mathbb{C}$. Рассмотрим матрицу-стрелку $A_\Delta$ вида (3.1). Согласно лемме 3.1 верхний левый элемент матрицы $(A_\Delta-\lambda E)^{-1}$ записывается в виде древесной дроби
$$
\begin{equation*}
(A_\Delta^{-1})_{0,0}=\frac{1}{a_0-\lambda-\frac{|b_1|^2}{a_1-\lambda}-\dots- \frac{|b_n|^2}{a_n-\lambda}}=-\frac{1}{\frac{P}{Q}} =-\frac{\prod_{i=1}^n(\lambda-a_i)}{\prod_{i=0}^n(\lambda-\lambda_i)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта мероморфная функция имеет полюса в точках $\lambda_0,\dots,\lambda_n$. С другой стороны, функция $(A_\Delta-\lambda E)^{-1}$ голоморфна вне спектра матрицы $A_\Delta$. Следовательно, $\lambda_i$ и есть собственные значения матрицы $A_\Delta$.
Отметим, что похожие рассуждения использовались Дж. Мозером (см. [24]) при изучении трехдиагональных матриц; он приписывает авторство этого метода Стилтьесу. Обратное рассуждение показывает, что собственные значения и диагональные элементы $a_1,\dots,a_n$ чередуются для любой матрицы-стрелки $A_\Delta$. Этот факт также следует из теоремы чередования Коши (см., например, [18]): если $A$ – эрмитова матрица размера $n$ и $A'$ – ее главная подматрица размера $n-1$, то собственные значения $A$ и $A'$ чередуются. Применяя эту теорему к матрице $A_\Delta$ и ее правой нижней подматрице, мы видим, что точки вне $\mathscr{R}_n$ не лежат в образе отображения моментов. Пример 4.1. В случае $n=2$ образ $\mu$ состоит из двух квадратов внутри шестиугольника. Матрицы-стрелки размера $3\times 3$ совпадают с трехдиагональными матрицами того же размера с точностью до перестановок строк и столбцов. Эти рассуждения поясняют приведенные ранее пример 3.1 и рис. 1. Пример 4.2. В случае $n=3$ образ отображения моментов $\mu(M_{\operatorname{St}_n,\lambda})$ является объединением шести кубов (рис. 2). Контур показывает выпуклую оболочку этих кубов, т.е. пермутоэдр Хорна–Шура $\operatorname{Pe}_\lambda^3$. Теорема 4.1. Пространство $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$ является гладким многообразием размерности $2n$. Пространство $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}^{\mathbb{R}}$ изоспектральных вещественных симметричных матриц-стрелок является гладким многообразием размерности $n$. Действие тора $T^n$ на $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$ и действие вещественного тора $\mathbb{Z}_2^n$ на $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}^\mathbb{R}$ локально стандартны. Для доказательства теоремы нам потребуется техническое утверждение, хорошо известное в линейной алгебре. Лемма 4.1. Пусть $d_i,\nu_i$, $i\in\{1,\dots,n\}$, – два набора чисел таких, что все $2n$ чисел попарно различны. Тогда квадратная матрица невырождена. Доказательство. Это утверждение следует из единственности разложения в сумму правильных дробей. Допустим, что $B\cdot(c_1,\dots,c_n)^\top=0$ для некоторого вектора $(c_1,\dots,c_n)\in \mathbb{R}^n$. Тогда рациональная функция имеет корни $d_1,\dots,d_n$. Поскольку степень числителя $R(d)$ меньше $n$, то $R(d)$ – тождественный нуль, а значит, $c_i=0$ при всех $i=1,\dots,n$. Значит, $B$ невырождена. Лемма доказана. Доказательство теоремы 4.1. Подпространство $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$ определяется в векторном пространстве $M_{\operatorname{St}_n}$ уравнениями
$$
\begin{equation}
\nonumber P_j(\underline{a},\underline{b}) =|b_1|^2\prod_{i\neq 0,1}(a_i-\lambda_j)+\dots+|b_n|^2\prod_{i\neq 0,n}(a_i-\lambda_j) -\prod_{i=0}^n(a_i-\lambda_j)=0
\end{equation}
\notag
$$
согласно следствию 3.1. Мы используем векторную запись
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial P_j}{\partial b} =\biggl(\frac{\partial P_j}{\partial b_1},\dots,\frac{\partial P_j}{\partial b_n}\biggr), \qquad \frac{\partial P_j}{\partial a} =\biggl(\frac{\partial P_j}{\partial a_1},\dots,\frac{\partial P_j}{\partial a_n}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Нам достаточно показать, что векторы $({\partial P_j}/{\partial b},{\partial P_j}/{\partial a})$, $j\in[n]$, линейно независимы во всех точках $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \frac{\partial P_j}{\partial b_k}=\overline{b}_k\prod_{i\neq 0,k}(a_i-\lambda_j), \\ \begin{split} \frac{\partial P_j}{\partial b} &=\biggl(\overline{b}_1\prod_{i\neq 0,1}(a_i-\lambda_j),\, \overline{b}_2\prod_{i\neq 0,2}(a_i-\lambda_j),\, \dots,\, \overline{b}_n\prod_{i\neq 0,n}(a_i-\lambda_j)\biggr) \\ &=\prod_{i=1}^n(a_i-\lambda_j)\biggl(\frac{\overline{b}_1}{a_1-\lambda_j}, \dots, \frac{\overline{b}_n}{a_n-\lambda_j}\biggr). \end{split} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Для начала рассмотрим общий случай: пусть все $a_i$, $i\in[n]$, различны. Аналогично доказательству предложения 4.1 мы можем предположить, что $a_1<\dots<a_n$. Значит, и $b_i\neq 0$ при всех $i\in[n]$.Из формулы (4.4) следует, что матрица, образованная векторами ${\partial P_j}/{\partial b}$, $j=1,\dots,n$, имеет вид
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{\partial P_j}{\partial b}\biggr) =\prod_{i=1}^n\overline{b}_i\prod_{i\neq j}(a_i-\lambda_j) \begin{pmatrix} \dfrac{1}{a_1-\lambda_1}&\dots&\dfrac{1}{a_n-\lambda_1} \\ \vdots&\ddots&\vdots \\ \dfrac{1}{a_1-\lambda_n}&\dots&\dfrac{1}{a_n-\lambda_n} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта матрица невырождена согласно лемме 4.1. Это соображение доказывает гладкость $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$ в точках общего положения.
Теперь допустим, что некоторые значения $\{a_i\}$ слипаются. Как отмечено в доказательстве предложения 4.1, могут возникать только попарные совпадения:
$$
\begin{equation*}
\dotsb<a_{j_1}=a_{j_1+1}<\dots<a_{j_2}=a_{j_2+1}<\dots<a_{j_s}=a_{j_s+1}<\dotsb,
\end{equation*}
\notag
$$
и каждая пара совпавших диагональных элементов определяет зажатое между ними собственное значение $\lambda_{j_l}=a_{j_l}=a_{j_l+1}$. Все прочие собственные значения по-прежнему лежат в открытых интервалах между $a_i$. Обозначим множество всех собственных значений, лежащих строго между $a_i$, через $F$, а множество собственных значений, происходящих из совпадающих диагональных элементов, – через $D$. Имеем $D=\{j_1,\dots,j_s\}$ и $F=\{0,\dots,n\}\setminus D$.
Пусть $A\in M_\Gamma$ – матрица, удовлетворяющая условию $a_{j_l}=a_{j_l+1}=\lambda_{j_l}$. Несложное вычисление показывает, что $\frac{\partial P_{j_l}}{\partial b}(A)=0$. Более того, в точке $A$ имеем при $j\neq j_l,j_l+1$ и
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial P_{j_l}}{\partial a_{j_l}}(A) =|b_{j_l+1}|^2\prod_{i\neq j_l,j_l+1}(a_i-\lambda_{j_l}), \qquad \frac{\partial P_{j_l}}{\partial a_{j_l+1}}(A) =|b_{j_l}|^2 \prod_{i\neq j_l,j_l+1}(a_i-\lambda_{j_l}).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассуждения, аналогичные общему случаю, показывают, что коэффициент при дроби $\frac{1}{\lambda-a_{j_l}}$ в разложении (приводимой) дроби $\frac{\prod_{i=0}^n(\lambda-\lambda_i)}{\prod_{i=1}^n(\lambda-a_i)}$ равен $-(|b_{j_l}|^2+|b_{j_l+1}|^2)$. Следовательно, $|b_{j_l}|^2+|b_{j_l+1}|^2\neq 0$ и одно из чисел $\frac{\partial P_{j_l}}{\partial a_{j_l}}(A)$, $\frac{\partial P_{j_l}}{\partial a_{j_l+1}}(A)$ не равно нулю. Не теряя общности, предположим, что $\frac{\partial P_{j_l}}{\partial a_{j_l}}(A)\neq 0$ при всех $l=1,\dots,s$.
Строки прямоугольной матрицы $\bigl(\frac{\partial P_j}{\partial b}(A)\bigr)$, соответствующие индексам $j\,{\in}\, F$ (т.е. $j\neq j_1,\dots,j_s$), линейно независимы согласно лемме 4.1. Кроме того, строки прямоугольной матрицы $\bigl(\frac{\partial P_j}{\partial b}(A),\frac{\partial P_j}{\partial a}(A)\bigr)$, соответствующие $j\in D$ (т.е. $j=j_l$ для некоторого $l$), имеют нули на всех позициях, кроме $\frac{\partial P_j}{\partial a_{j_l}}(A)$ и $\frac{\partial P_j}{\partial a_{j_l+1}}(A)$, и помимо того $\frac{\partial P_j}{\partial a_{j_l}}(A)\neq 0$. Следовательно, матрица $\bigl(\frac{\partial P_j}{\partial b}(A),\frac{\partial P_j}{\partial a}(A)\bigr)$ вида  имеет максимальный возможный ранг. Значит, $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$ гладкое во всех точках. Поскольку действие $T^n$ на $M_\Gamma=\mathbb{R}^{n+1}\times\mathbb{C}^n$ локально стандартно и гладкое подмногообразие $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$ сохраняется этим действием, то ограничение действия $T^n$ на $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$ также локально стандартно согласно теореме о слайсе. Теорема 4.1 доказана. Для удобства мы обозначаем пространство орбит $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}/T^n$ через $Q_n$. Предложение 4.2. Отображение $\widetilde{\mu}\colon Q_n\to \mathscr{R}_n$, индуцированное отображением моментов $\mu$, является гомотопической эквивалентностью. Доказательство. Достаточно доказать, что прообраз $\widetilde{\mu}^{-1}(a)$ стягиваем для каждой точки $a\in \mathscr{R}_n$. Условие на спектр задается набором уравнений
$$
\begin{equation}
|b_1|^2\prod_{i\neq 0,1}(a_i-\lambda_j)\,{+}\,\cdots\,{+}\,|b_1|^2\prod_{i\neq 0,n}(a_i-\lambda_j)=\prod_{i=0}^n(a_i-\lambda_j), \qquad j=0,1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
согласно следствию 3.1. Таким образом, если зафиксировать диагональные элементы $a_i$ и собственные значения $\lambda_i$, то всевозможные внедиагональные элементы $b_i$ лежат на пересечении эрмитовых вещественных квадрик специального вида. Переходя к пространству орбит, мы попросту забываем аргументы чисел $b_i$. Положив $c_i=|b_i|^2$, мы видим, что параметры $c_i$ удовлетворяют системе линейных уравнений, а также неравенствам $c_i\geqslant 0$. Если это множество непусто, то оно является выпуклым многогранником, а значит, стягиваемо. Предложение доказано. Замечание 4.1. Для точек $a\in\mathscr{R}_n$ в общем положении прообраз $\widetilde{\mu}^{-1}(a)$ является единственной точкой. В точках необщего положения прообраз $\widetilde{\mu}^{-1}(a)$ является кубом. Видно, что каждая пара совпавших значений $a_{j_l}=a_{j_l+1}$ задает отрезок в прообразе $\widetilde{\mu}$. Этот отрезок параметризован барицентрическими координатами $|b_{j_l}|^2,|b_{j_l+1}|^2$, удовлетворяющими условию $|b_{j_l}|^2+|b_{j_l+1}|^2=\mathrm{const}$ (заметим, что если $a_{j_l}=a_{j_l+1}$, то выражение $|b_{j_l}|^2+|b_{j_l+1}|^2$ обособляется во всех уравнениях (4.5)). Полный прообраз $\mu^{-1}(a)$ гомеоморфен произведению трехмерных сфер (3-сфера является момент-угол многообразием, соответствующим отрезку согласно общей теории момент-угол многообразий и момент-угол комплексов; см. [13]). Для описания гомотопического типа пространства орбит $Q_n\simeq \mathscr{R}_n$ нам потребуется описание комбинаторики пермутоэдра (подробности можно найти во многих источниках, например в [32]). Зафиксируем конечное множество $[n]=\{1,\dots,n\}$. Конструкция 4.1. Пусть $S=(S_1,\dots,S_k)$ – произвольное линейно упорядоченное разбиение множества $[n]=\{1,\dots,n\}$ на непустые подмножества, т.е. $S_i\,{\cap}\, S_j=\varnothing$ при $i\neq j$ и $[n]=\bigcup_iS_i$. Множество $P$ всех таких разбиений частично упорядочено: $S<S'$, если $S$ является правильно упорядоченным подразбиением $S'$. Известно, что $P$ изоморфно частично упорядоченному множеству граней пермутоэдра $\operatorname{Pe}^{n-1}$. Сам многогранник соответствует максимальному разбиению $(S_1=[n])$. Вершины соответствуют упорядоченным разбиениям $[n]$ на одноэлементные подмножества $(\{s_1\},\dots,\{s_n\})$, т.е. попросту перестановкам $\tau\in\Sigma_n$, $\tau(i)=s_i$. Между двумя вершинами пермутоэдра имеется ребро в том и только том случае, когда соответствующие перестановки отличаются на транспозицию элементов $i$ и $i+1$. В качестве следствия получаем стандартный факт, что одномерный остов пермутоэдра является графом Кэли группы перестановок $\Sigma_n$ с образующими $(1,2), (2,3), \dots, (n-1,n)$. Пусть $F_S$ – грань пермутоэдра, соответствующая упорядоченной перестановке $S=(S_1,\dots,S_k)$. Многогранник $F_S$ комбинаторно изоморфен произведению пермутоэдров $\operatorname{Pe}^{|S_1|-1}\,{\times}\,\cdots\,{\times}\,\operatorname{Pe}^{|S_k|-1}$. Если $|S_i|\leqslant 2$ для всех $i$, то соответствующая грань $F_S$ является произведением отрезков и точек. Мы будем называть такие грани кубическими. Кубическая грань пермутоэдра $\operatorname{Pe}^{n-1}$ имеет размерность не больше $[n/2]$. Замечание 4.2. Отметим один важный факт. Рассмотрим стандартную выпуклую реализацию пермутоэдра где $x_1<x_2<\dots<x_n$. Вершина $(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})$ в этой выпуклой реализации соответствует вершине $(\tau(1),\dots,\tau(n))$ в комбинаторном описании, если $\tau=\sigma^{-1}$. По этой причине наблюдается двойственность в обозначениях: в геометрических задачах удобно кодировать вершины пермутоэдра при помощи перестановок $\sigma$, а в комбинаторных – при помощи $\tau=\sigma^{-1}$. Определение 4.1. $\mathrm{Sq}_{n-1}$ обозначает клеточный комплекс, состоящий из всех кубических граней $(n-1)$-мерного пермутоэдра. Комплекс $\mathrm{Sq}_{n-1}$ связен: каждое ребро $\operatorname{Pe}^{n-1}$, очевидно, является кубической гранью, а значит, лежит в $\mathrm{Sq}_{n-1}$. Предложение 4.3. Пространство орбит $Q_n = M_{\Gamma,\lambda}/T\simeq \mathscr{R}_n$ гомотопически эквивалентно пространству $\mathrm{Sq}_{n-1}$. Доказательство. Построим промежуточный симплициальный комплекс $N$, который гомотопически эквивалентен обоим пространствам, $\mathrm{Sq}_{n-1}$ и $\mathscr{R}_n$.
Пусть $N$ – симплициальный комплекс, полученный из $\mathrm{Sq}_{n-1}$ заменой каждой кубической грани с вершинами $\{v_1,\dots,v_{2^k}\}$ на симплекс с тем же набором вершин. Естественное отображение $N\to \mathrm{Sq}_{n-1}$, которое тождественно на вершинах и линейно на симплексах, является гомотопической эквивалентностью (см. [6], где конструкции такого типа исследовались в рамках теории нерв-комплексов). Из предложения 4.1 следует, что $\mathscr{R}_n=\mu(M_{\Gamma,\lambda})$ является объединением кубов $\bigcup_{\tau\in \Sigma}I^n_{\tau}$, где $I^n_{\tau}=I_{\tau(1)}\times\dots\times I_{\tau(n)}$, $I_j=[\lambda_{j-1},\lambda_j]$. Все кубы $I^n_{\tau}$ выпуклые. Следовательно, нерв $N'$ покрытия $\bigcup_{\tau\in \Sigma}I^n_{\tau}=\mathscr{R}_n$ гомотопически эквивалентен пространству $\mathscr{R}_n$ согласно теореме Александрова о нерве. Проверяя покоординатно, видим, что кубы $I^n_{\tau_1}$, $I^n_{\tau_2}$ пересекаются в том и только том случае, когда для каждого $i\in[n]$ выполнено $|\tau_1(i)-\tau_2(i)|\leqslant 1$. Это значит, что
$$
\begin{equation}
\tau_1\tau_2^{-1}=(i_1,i_1+1)(i_2,i_2+1)\dotsb(i_s,i_s+1), \qquad i_{l+q}>i_l+1,
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
– произведение независимых транспозиций, переставляющих соседние элементы. Значит, вершины $F_{\tau_1}, F_{\tau_2}$ пермутоэдра $\operatorname{Pe}^{n-1}$ лежат в кубической грани $F_S$, соответствующей разбиению
$$
\begin{equation*}
S=\bigl(\{\tau(1)\},\{\tau(2)\},\dots, \{\tau(i_1),\tau(i_1+1)\},\dots,\{\tau(i_s),\tau(i_s+1)\}, \dots,\{\tau(n)\}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tau=\tau_1$ или $\tau=\tau_2$. Более общо, допустим, что набор кубов $I^n_{\tau_i}$, $i=1,\dots,l$, пересекается в совокупности. В этом случае каждая пара $i<j$ определяет собственное произведение транспозиций вида (4.6). Все перестановки $s_{1,j}=\tau_j\tau_1^{-1}$ имеют порядок 2 и коммутируют (поскольку $s_{1,j}s_{1,i}^{-1}=\tau_j\tau_i^{-1}$ также имеет порядок 2). Следовательно, имеется общее подразбиение на 1- и 2-элементные подмножества, которому подчинены все эти перестановки. Опять получаем, что все вершины $F_{\tau_i}$ лежат в одной кубической грани пермутоэдра. Следовательно, получаем $\mathrm{Sq}_{n-1}\simeq N = N'\simeq\mathscr{R}_n$.
Предложение доказано. Пример 4.3. При $n=3$ пространство орбит $Q_3$ и образ отображения моментов гомотопически эквивалентны комплексу $\mathrm{Sq}_2$. Этот комплекс является объединением всех кубических граней шестиугольника, т.е. попросту границей шестиугольника: $Q\simeq S^1$ (см. рис. 2). При $n=4$ пространство орбит $Q_4$ гомотопически эквивалентно $\mathrm{Sq}_3$. Этот кубический комплекс показан на рис. 3. Комплекс $\mathrm{Sq}_3$ гомотопически эквивалентен букету семи окружностей. § 5. Перестановочное действие и фундаментальный многогранникОпределение 5.1. Пусть $P$ – простой многогранник, $\dim P=n$ и $G_1,\dots, G_s$ – некоторый набор его граней коразмерности 2. Пусть $\mathscr{F}_i'$, $ \mathscr{F}_i''$ – гиперграни $P$ такие, что $\mathscr{F}_i'\cap\mathscr{F}_i''=G_i$. Если все подмножества $\{\mathscr{F}_i',\mathscr{F}_i''\}$, $i=1,\dots,s$, попарно не пересекаются, мы будем говорить, что совокупность $\{G_i\}$ находится в общем положении. Лемма 5.1. Если $\{G_1,\dots,G_s\}$ – совокупность в общем положении, то простой комбинаторный многогранник, полученный последовательной срезкой этих граней коразмерности 2, не зависит от порядка срезок. Доказательство. Утверждение следует из рассмотрения двойственных симплициальных сфер. Срезка грани коразмерности 2 соответствует звездному подразбиению ребра в симплициальной сфере. Условие общего положения означает, что подразбиваемые ребра не пересекаются. Независимость результата от последовательности подразбиений следует из определения звездного преобразования. Лемма доказана. Пусть $I^n=I_1\times\dots\times I_n$ – куб, где $I_j=[-1,1]$. Его гиперграни индексируются множеством $W=\{\pm1,\pm2,\dots,\pm n\}$: элемент $\delta k$, $\delta=\pm1$, кодирует грань вида
$$
\begin{equation*}
\mathscr{F}_{\delta k}=I_1\times\dots\times \stackrel{k}{\{\delta\}}\times\dots\times I_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Группа $\mathbb{Z}_2^n$ действует на множестве гиперграней: для элемента $\varepsilon=(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)\in\mathbb{Z}_2^n$, $\varepsilon=\pm1$, положим $\varepsilon \delta k=\varepsilon_k\delta k$. Для заданной транспозиции $\sigma_i=(i, i+1)\in\Sigma_n$, $i=1,\dots,n-1$, рассмотрим грань $F_{\sigma_i}$ коразмерности 2 в кубе $I^n$, имеющую следующий вид:
$$
\begin{equation*}
F_{\sigma_i}=I_1\times\dots\times \stackrel{i}{\{1\}}\times \stackrel{i+1}{\{-1\}}\times\dots\times I_n = \mathscr{F}_i\cap\mathscr{F}_{-(i+1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 5.2. Пусть $\mathscr B^n$ – простой многогранник, полученный из $I^n$ срезкой граней вида $F_{\sigma_i}$, $i=1,\dots,n-1$. Заметим, что сами грани $F_{\sigma_i}$ могут пересекаться, однако результат срезки корректно определен по лемме 5.1. Пример 5.1. Многогранник $\mathscr B^3$ получается из куба $I^3$ срезкой двух скрещивающихся ребер (рис. 4). Этот многогранник играет важную роль в торической топологии (см. [13; п. 4.9]), хотя и был определен при совершенно других обстоятельствах. Обозначим через $\mathscr{F}_{\sigma_i}$ гипергрань многогранника $\mathscr B^n$, полученную срезкой грани $F_{\sigma_i}$. Исходные гиперграни куба также остаются гипергранями $\mathscr B^n$, мы будем обозначать их теми же символами $\mathscr{F}_{\delta k}$. В итоге многогранник $\mathscr B^n$ имеет ровно $3n-1$ гиперграней. Когда в многограннике $P^n$ срезается грань коразмерности 2, полученная при срезке гипергрань $F^{n-1}_{\mathrm{cut}}$ имеет комбинаторный тип произведения $I^1\times G^{n-2}$ для некоторого многогранника $G^{n-2}$. Это легко увидеть, рассмотрев двойственную триангуляцию сферы: если ребро $e$ подразбито вершиной $v$, линк вершины $v$ является надстройкой над линком ребра $e$ в исходной триангуляции. Любая гипергрань $F_{\sigma_i}$ многогранника $\mathscr B^n$ имеет вид $I^1\times G_i$. Пусть $\alpha_i\colon F_{\sigma_i}\to F_{\sigma_i}$ – антиподальное отображение, т.е. отображение, постоянное на $G_i$ и антиподальное на отрезке $I^1$. Конструкция 5.1. Заметим, что группа перестановок $\Sigma_n$ действует на графе-звезде $\operatorname{St}_n$. Это действие индуцирует действие $\Sigma_n$ на пространстве матриц-стрелок, оно сохраняет спектр. Следовательно, имеется действие $\Sigma_n$ на $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$, которое коммутирует с действием тора с точностью до естественного действия $\Sigma_n$ на $T^n$. Обозначим через $\mathscr{N}$ полупрямое произведение $\mathscr{N}_n=T^n\rtimes\Sigma_n$, где $\Sigma_n$ действует на $T^n$ перестановкой координат. Группа $\mathscr{N}_n$ естественно возникает как нормализатор максимального тора $T^n$ в группе Ли $U(n)$. Имеем действие группы $\mathscr{N}_n$ на пространстве $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$. На пространстве орбит $Q^n=M_{\operatorname{St}_n,\lambda}/T^n$ имеется остаточное действие группы $\mathscr{N}/T^n\cong \Sigma_n$. На образе отображения моментов $\mathscr{R}_n=\bigcup_{\sigma\in\Sigma_n}I^n_\sigma$ также имеется естественное действие группы перестановок $\Sigma_n$, переставляющее координаты (в частности, это действие переставляет кубы в их объединении). То, что отображение $\widetilde{\mu}\colon Q_n\to \mathscr{R}_n$ является $\Sigma_n$-эквивариантным, следует из его определения. Аналогичные рассуждения справедливы и в вещественном случае. Конечная группа $\mathscr{N}^\mathbb{R}_n=\mathbb{Z}_2^n\rtimes\Sigma_n$ действует на $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}^{\mathbb{R}}$. Заметим, что группа $\mathscr{N}^\mathbb{R}_n$ изоморфна группе Вейля типа $B$. Предложение 5.1. При отображении $\widetilde{\mu}\colon Q_n\to \mathscr{R}_n$ прообраз отдельного куба $I^n_\sigma$ в множестве $\mathscr{R}_n=\bigcup_{\sigma\in\Sigma_n}I^n_\sigma$ диффеоморфен многограннику $\mathscr B^n$. Отображение $\widetilde{\mu}\colon \widetilde{\mu}^{-1}(I^n_\sigma)\to I^n_\sigma$ совпадает с отображением раздутия $\mathscr B^n\to I^n$, которое схлопывает срезы. Многогранник $\mathscr B^n$ является фундаментальной областью действия $\Sigma_n$ на $Q_n$, действия $\mathscr{N}_n$ на $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$ и действия $\mathscr{N}^\mathbb{R}_n$ на $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}^{\mathbb{R}}$. Доказательство. Без потери общности рассмотрим отдельный куб $I^n_{\mathrm{id}}=I_1\times\dots\times I_n$, соответствующий тривиальной перестановке $\mathrm{id}\in\Sigma$. Точки этого куба удовлетворяют условию $a_1\leqslant a_2\leqslant\dots\leqslant a_n$. Из § 4 следует (см. замечание 4.1), что прообраз $\widetilde{\mu}^{-1}(x)$ состоит из одной точки для общего $x\in I^n_{\mathrm{id}}$. Если у точки $x$ происходит совпадение $a_j=a_{j+1}$, то $x$ лежит в грани $F_{\sigma_i}$ коразмерности 2. Как было отмечено в замечании 4.1, в этом случае прообраз $\widetilde{\mu}^{-1}(x)$ является кубом размерности, равной числу попарных совпадений среди координат. Следовательно, прообраз $\widetilde{\mu}^{-1}(I^n_{\mathrm{id}})$ получается раздутием граней $F_{\sigma_1},\dots,F_{\sigma_{n-1}}$ в кубе. Предложение доказано. Пространство орбит $Q_n$ можно представить в виде объединения $n!$ копий многогранника $\mathscr B^n$, склеенных вдоль срезанных граней. А именно, имеем
$$
\begin{equation*}
Q_n=\bigcup_{\sigma\in\Sigma_n}\mathscr B^n_\sigma/\sim, \qquad \mathscr B^n_\sigma\cong \mathscr B^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Отношение $\sim$ отождествляет точку $x\in\mathscr{F}_{\sigma_i}$ многогранника $\mathscr B^n_\sigma$ с точкой $\alpha_i(x)\in\mathscr{F}_{\sigma_i}$ многогранника $\mathscr B^n_\tau$ в случае, когда $\sigma=\tau\sigma_i$. Напомним, что $\alpha_i$ обозначает антиподальную инволюцию гиперграни $\mathscr{F}_{\sigma_i}$. Об этой инволюции не стоит забывать: когда мы переходим от $\mathscr B^n_\sigma$ к $\mathscr B^n_\tau$, барицентрические координаты $|b_{i}|^2,|b_{i+1}|^2$ на срезе меняются местами. Пример 5.2. В случае $n=3$ пространство $Q_3$ получается стыковкой шести копий многогранника $\mathscr B^3$, изображенного на рис. 4. Результат стыковки показан на рис. 5. Видно, что $Q_3$ является полноторием, и его граница регулярным образом разбита на шестиугольники. Заметим, что при стыковке мы не получаем дополнительных граней, изображение нужно сгладить на стыках. Эта конструкция похожа на конструкцию оригами-шаблонов в теории торических оригами-многообразий; см. [15], [9]. Многообразие $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}^\mathbb{R}$ является малым накрытием над $Q_n=M_{\operatorname{St}_n,\lambda}^\mathbb{R}/\mathbb{Z}_2^n$, в котором стабилизаторы действия $\mathbb{Z}_2^n\circlearrowright M_{\operatorname{St}_n,\lambda}^\mathbb{R}$ являются координатными подгруппами в $\mathbb{Z}_2^n$. Построенное клеточное подразбиение $Q_n$ можно поднять до $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}^\mathbb{R}$, и мы получаем следующее утверждение. Теорема 5.1. Многообразие $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}^\mathbb{R}$ естественным образом разбивается на $2^nn!$ клеток, комбинаторно изоморфных многограннику $\mathscr B^n$. А именно, где отношение эквивалентности $\sim$ порождено отношениями следующего вида: $\bullet$ точка $x\in\mathscr{F}_{\sigma_i}\subset \mathscr B^n_{\sigma,\varepsilon}$ отождествляется с точкой $\alpha_i(x)\in\mathscr{F}_{\sigma_i}\subset\mathscr B^n_{\tau,\varepsilon}$, если $\sigma\tau^{-1}=\sigma_i$; $\bullet$ точка $x\in\mathscr{F}_{\delta k}\subset\mathscr B^n_{\sigma,\varepsilon_1}$ отождествляется с точкой $x\in\mathscr{F}_{\delta k}\subset\mathscr B^n_{\sigma,\varepsilon_2}$, если
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_1\varepsilon_2^{-1}=(+1,\dots,+1,\stackrel{k}{-1},+1,\dots,+1).
\end{equation*}
\notag
$$
Каждая клетка коразмерности $s$ клеточного разбиения $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}^\mathbb{R}$ лежит ровно в $2^{n-s}$ клетках максимальной размерности. Замечание 5.1. Отметим связь многообразия $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$ с общей конструкцией симплектического подрыва. Подробности о симплектическом подрыве можно найти в работе [20]. Допустим, что имеется гамильтоново действие компактной группы Ли $K$ на симплектическом многообразии $M$. Имеется отображение моментов $\Phi\colon M\,{\to}\, \mathfrak{k}^*$, где $\mathfrak{k}$ – касательная алгебра Ли группы $K$. Пусть $T$ – максимальный тор в $K$, $\mathfrak{t}$ – его касательная алгебра, а $\mathfrak{t}^*_+$ – замкнутая камера Вейля в двойственном пространстве к $\mathfrak{t}$. Используя форму Киллинга, можно отождествить алгебры Ли с двойственными алгебрами и предполагать, что векторное пространство $\mathfrak{t}^*$ вложено как подпространство в $\mathfrak{k}^*$. При всех описанных выборах рассмотрим открытое симплектическое подмногообразие $\Phi^{-1}((\mathfrak{t}^*_+)^\circ)$ – прообраз открытой камеры Вейля при отображении моментов. Рассматривается определенная компактификация этого пространства. А именно, нужно взять замкнутый прообраз $\Phi^{-1}(\mathfrak{t}^*_+)$ и отождествить две точки $m_1$, $m_2$ прообраза в случае, если $m_2=gm_1$ для некоторого элемента $g$ коммутанта $[K_{\Phi(m_1)},K_{\Phi(m_1)}]$. Здесь $K_{\Phi(m_1)}$ – стабилизатор точки $\Phi(m_1)\in \mathfrak{t}^*_+$ относительно (ко)присоединенного действия $K$ на $\mathfrak{t}$. Пространство $M_{\mathrm{impl}}=\Phi^{-1}(\mathfrak{t}^*_+)/\sim$, определенное выше, называется подорванным кросс-сечением. В нашем случае в роли $M$ выступает многообразие $M_\lambda$ эрмитовых матриц размера $n+1$ с заданным простым спектром $\lambda$. Как было отмечено в § 1, действие $U(n+1)$ сопряжениями на $M_\lambda$ гамильтоново, а отображение моментов – тождественное отображение. Рассмотрим подгруппу $U(n)\subset U(n+1)$ – вложение подматриц в правый нижний угол. Эта подгруппа будет играть роль $K$ из общей конструкции. Индуцированное действие $K=U(n)$ на $M_\lambda$ снова гамильтоново, а его отображение моментов $\Phi$ сопоставляет каждой матрице $A\in M_\lambda$ ее правый нижний $(n\times n)$-угол. Максимальный тор $T\subset K=U(n)$ состоит из унитарных диагональных матриц размера $n$. Вложение $\mathfrak{t}^*\subset \mathfrak{k}^*$ задается диагональными матрицами, следовательно, пространство $\Phi^{-1}(\mathfrak{t}^*)$ в точности совпадает с пространством всех матриц-стрелок со спектром $\lambda$. Камера Вейля $\mathfrak{t}^*_+$ состоит из наборов $a=(a_1,\dots,a_n)$ с условием $a_1\leqslant a_2\leqslant \dots \leqslant a_n$ (в то время как группой Вейля является группа перестановок $\Sigma_n$). Следовательно, $M_{\mathrm{impl}}$ является фактором пространства $\mu^{-1}(I^n_{\mathrm{id}})$ по некоторому отношению (напомним, что $I^n_\sigma$ – единичный куб в объединении $\mathscr{R}_n$, соответствующий перестановке $\sigma$). Прообраз $\Phi^{-1}(a)$ непуст в том и только том случае, когда возникают не более чем попарные совпадения среди $a_i$. В этом случае легко показать, что подгруппа $[K_{a},K_{a}]$ является произведением подгрупп $\operatorname{SU}(2)$; каждый множитель $\operatorname{SU}(2)$ соответствует паре совпавших значений. Вспомнив замечание 4.1, мы видим, что пространство $\Phi^{-1}(\mathfrak{t}^*_+)/\sim$ является (по крайней мере с топологической точки зрения) торическим многообразием над кубом. Следовательно, симплектическим подрывом $U(n)$-действия на $M_\lambda$ (т.е. орбите коприсоединенного представления группы $U(n+1)$) является торическое многообразие $(\mathbb{C}P^1)^n$. Эти наблюдения подсказывают, как обобщить определение многообразия $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$ и распространить полученные результаты на другие типы групп Ли. Замечание 5.2. Заметим, что многогранник $\mathscr B^n$ имеет выпуклую дельцанову реализацию, поскольку получается из куба последовательностью срезок граней коразмерности $2$. Следовательно, существует симплектическое торическое многообразие над $\mathscr B^n$. Заметим, что это симплектическое многообразие не совпадает с подорванным кросс-сечением, описанным в замечании 5.1. § 6. Комбинаторика стратовВ этом параграфе $\Gamma$ – произвольный граф на множестве $V$, $|V|=n$, $\Delta=(\Gamma,a,b)$ – помеченное дерево, $A_\Delta$ – соответствующая эрмитова матрица, а $M_{\Gamma,\lambda}$ – пространство всех матриц формы $\Gamma$ с простым спектром $\lambda$. Пространство орбит $M_{\Gamma,\lambda}/T^n$ стратифицировано по размерности орбит. Допустим, что орбита $[A]\in M_{\Gamma,\lambda}/T^n$ представляется матрицей $A$ такой, что $b_e=0$, $e\in W$, для некоторого множества ребер $W$. Убрав ребра $W$ из графа $\Gamma$, мы получим новый граф $\widetilde{\Gamma}$ на том же множестве вершин $V$. Пусть $k$ – количество связных компонент графа $\widetilde{\Gamma}$. Видно, что размерность орбиты $T^nA$ равна $n-k$. Вообще говоря, множество матриц с нулями на позициях $e\in W$ может быть несвязно, поскольку спектр $\lambda$ может по-разному распределяться между блоками матрицы. Эти рассуждения мотивируют следующее определение. Определение 6.1. Пусть $\Gamma$ – граф на множестве вершин $V$, $|V|=n$. Пусть $\widetilde{\Gamma}\subset \Gamma$ – подграф на $V$ и $V_1,\dots,V_k$ – множества вершин связных компонент графа $\widetilde{\Gamma}$. Рассмотрим $\mathscr{V}=\{V_1,\dots,V_k\}$ – неупорядоченное разбиение множества $V$. Скажем, что две биекции $p_1,p_2\colon V\to[n]$ эквивалентны относительно $\mathscr{V}$ (или просто $\mathscr{V}$-эквивалентны), если они отличаются лишь перестановками внутри подмножеств $V_i$, т.е. Класс $\mathscr{V}$-эквивалентных биекций будем называть кластером, подчиненным разбиению $\mathscr{V}$. Пусть $\mathscr{P}_\Gamma$ обозначает множество всех кластеров, подчиненных разбиениям подграфов $\widetilde{\Gamma}\subset\Gamma$ на связные компоненты. Определим частичный порядок на $\mathscr{P}_\Gamma$. Заметим, что из вложения подграфов $\widetilde{\Gamma}'\subset \widetilde{\Gamma}$ следует, что разбиение $\widetilde{\mathscr{V}}'$ является подразбиением разбиения $\widetilde{\mathscr{V}}$. Скажем, что кластер $[p']$, подчиненный разбиению $\widetilde{\mathscr{V}}'$, меньше, чем кластер $[p]$, подчиненный разбиению $\widetilde{\mathscr{V}}$, если $p$ и $p'$ являются $\mathscr{V}$-эквивалентными. Иными словами, $p'<p$, если $p'$ является измельчением $p$. Частично упорядоченное (ч.у.) множество $\mathscr{P}_\Gamma$ называется кластер-пермутоэдром, соответствующим графу $\Gamma$. Замечание 6.1. Кластер-пермутоэдр дерева является градуированным ч.у. множеством: ранг кластера, подчиненного подграфу $\widetilde{\Gamma}$, равен рангу этого подграфа, т.е. числу ребер в его остовном лесе. Следовательно, ранг равен числу вершин графа $\widetilde{\Gamma}$ минус число его связных компонент. Заметим, что ч.у. множество $\mathscr{P}_\Gamma$ обладает наибольшим элементом, представленным кластером, подчиненным всему графу $\Gamma$. Элементы этого кластера можно произвольным образом переставлять. Минимальные элементы ч.у. множества $\mathscr{P}_\Gamma$ соответствуют разбиению множества вершин на $n$ точек: такие кластеры кодируются всеми возможными перестановками $p\colon V\to[n]$. Это означает, что у $\mathscr{P}_\Gamma$ имеется в точности $n!$ атомов независимо от графа $\Gamma$. Пример 6.1. Пусть $\Gamma$ – простой путь с ребрами $(1,2), (2,3),\dots,(n-1,n)$. Его подграф представлен последовательностью графов-путей, а соответствующее разбиение множества вершин имеет вид Пример 6.2. Пусть $\Gamma$ – простой цикл на множестве вершин $[n]$, т.е. граф с ребрами $(1,2),(2,3),\dots, (n-1,n),(n,1)$. В этом случае кластеры, подчиненные разбиениям подграфов на компоненты связности, являются циклически упорядоченными разбиениями множества $[n]$. Ч.у. множество таких циклически упорядоченных разбиений называется циклопермутоэдром; оно было определено и исследовано в работах Г. Ю. Паниной; см. [28]. Сформулируем несколько базовых свойств общих кластер-пермутоэдров. Предложение 6.1. Пусть $p\in \mathscr{P}_\Gamma$ – элемент кластер-пермутоэдра, подчиненный разбиению $\mathscr{V}=\{V_1,\dots,V_k\}$ множества вершин графа $\Gamma$, и пусть $\Gamma_i$ – индуцированный подграф графа $\Gamma$ на множестве $V_i$. Тогда нижний порядковый идеал изоморфен прямому произведению частично упорядоченных множеств Доказательство напрямую следует из конструкции частичного порядка кластер-пермутоэдра. Напомним основные определения из теории ч.у. множеств. Определение 6.2. Ч.у. множество $S$ называется симплициальным, если у него есть единственный наименьший элемент $\widehat{0}\subset S$ и для каждого $I\in S$ нижний порядковый идеал $S_{\leqslant I}=\{J\in S\mid J\leqslant I\}$ изоморфен булевой решетке. Элементы симплициального ч.у. множества называются симплексами. Если любые два симплекса $I,J\in S$ имеют наибольшую нижнюю границу, то $S$ называется симплициальным комплексом. Мы будем называть ч.у. множество $S$ простым (или двойственно симплициальным), если $S^*$ является симплициальным. Здесь $S^*$ – это множество $S$ с противоположным порядком. По определению симплициального комплекса каждый симплекс однозначно определяется множеством своих вершин. Симплициальный комплекс $S$ называется флаговым, если из условия, что некоторый набор $\sigma$ вершин попарно соединен ребрами, следует, что $\sigma$ является симплексом $K$. Предложение 6.2. Если $\Gamma$ дерево, то ч.у. множество $\mathscr{P}_\Gamma$ простое. Множество $\mathscr{P}_\Gamma^*$ является флаговым симплициальным комплексом. Доказательство. Допустим, что элемент $p\in\mathscr{P}_\Gamma$ подчинен разбиению $\mathscr{V}=\{V_1,\dots,V_k\}$. Это подразбиение однозначно определяет лес $\widetilde{\Gamma}\subset\Gamma$. Пусть $\{e_1,\dots,e_{k-1}\}$ – множество ребер графа $\Gamma$, которые не лежат в $\widetilde{\Gamma}$. Верхний порядковый идеал $\{q\in \mathscr{P}_\Gamma\mid q\geqslant p\}$ изоморфен булевой решетке подмножеств множества $\{e_1,\dots,e_{k-1}\}$. Аналогичными рассуждениями проверяются условия на симплициальный комплекс и свойство флаговости. Предложение доказано. Пример 6.3. Пусть $\Gamma=\operatorname{St}_n$ – граф-звезда с ребрами $(0,1),(0,2),\dots,(0,n)$. Его кластер-пермутоэдр обладает свойством, что каждый нижний порядковый идеал вновь является кластер-пермутоэдром графа-звезды. Действительно, любой подграф графа $\operatorname{St}_n$ является дизъюнктным объединением дискретного множества вершин $\{i_1,\dots,i_s\}\subset\{1,\dots,n\}$ и графа-звезды на оставшихся вершинах. Этот пример особенно интересен в связи с результатами из § 4. Пространство $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$ является гладким многообразием с действием тора половинной размерности. Следовательно, пространство орбит $Q_n=M_{\operatorname{St}_n,\lambda}/T$ имеет структуру многообразия с углами. Ч.у. множество граней этого многообразия с углами изоморфно кластер-пермутоэдру $\mathscr{P}_{\operatorname{St}_n}$ согласно рассуждениям в начале этого параграфа. Рассмотрим подробнее случай $n=3$ – звезду с тремя лучами. Вначале заметим, что граф-звезда $\operatorname{St}_2$ – это простой путь на трех вершинах и его кластер-пермутоэдр $\mathscr{P}_\Gamma$ – это ч.у. множество граней шестиугольника согласно примеру 3.1. Все двумерные грани пространства $Q_3$ являются шестиугольниками. Действительно, каждая из этих граней является пространством орбит многообразия трехдиагональных ($3\times3$)-матриц. Это пространство орбит является пермутоэдром размерности $2$, т.е. шестиугольником. Как показано в § 5, пространство $Q_3$ является полноторием, чья граница правильным образом разбита на шестиугольники: каждая вершина содержится ровно в трех шестиугольниках. Комбинаторику этого шестиугольного разбиения можно описать в терминах кластер-пермутоэдра (рис. 6). Отметим, что клеточный комплекс $\partial Q_3$ является нанотрубкой с хиральными векторами $(2,2)$ и $(4,-2)$, если пользоваться терминологией, принятой в геометрии и химии (см. [11]). § 7. Матрицы-стрелки $4\times 4$В этом параграфе мы используем результаты работ [2], [3], [9] для описания колец когомологий и эквивариантных когомологий многообразия $M_{\operatorname{St}_3,\lambda}$. Напомним основные определения. Рассмотрим многообразие с углами $Q$, $\dim Q=n$. Допустим, что каждая вершина пространства $Q$ содержится ровно в $n$ гипергранях (такие многообразия с углами названы хорошими в [22], также их называют многообразиями с гранями). Назовем $Q$ гомологическим почти многогранником (или просто почти многогранником), если все его собственные грани ацикличны. Если, кроме того, сам $Q$ ацикличен, то назовем его гомологическим многогранником. Пусть $\mathscr{P}_Q$ обозначает ч.у. множество граней $Q$. Ч.у. множество $K_Q=\mathscr{P}_Q^*$ с обращенным порядком является симплициальным для любого хорошего многообразия с углами. Если $Q$ является почти многогранником, то симплициальное ч.у. множество $K_Q$ является гомологическим многообразием (см. определение ниже). Мы приводим определения для симплициальных комплексов, поскольку общие симплициальные ч.у. множества в наших примерах не возникают. Определение 7.1. Рассмотрим симплициальный комплекс $K$ на множестве вершин $[m]$ и его симплекс $I\in K$. Линком симплекса $I$ называется симплициальный комплекс $\operatorname{link}_KI=\{J\subseteq[m]\setminus I\mid I\cap J \in K\}$. В частности, имеем $\operatorname{link}_K\varnothing=K$. Комплекс $K$ называется чистым, если все его максимальные по включению симплексы имеют одинаковые размерности. Чистый симплициальный комплекс $K$ размерности $n-1$ называется гомологическим многообразием, если для любого непустого симплекса $I\in K$, $I\neq\varnothing$, комплекс $\operatorname{link}_KI$ имеет такие же гомологии, как сфера соответствующей размерности: Замечание 7.1. Во всех определениях зафиксировано кольцо коэффициентов. Если кольцо коэффициентов опущено в записи, то предполагается, что коэффициенты – в группе $\mathbb{Z}$. Определение 7.2. Пусть $R$ – поле или кольцо $\mathbb{Z}$ и $R[m]=R[v_1,\dots,v_m]$ – алгебра многочленов от $m$ образующих, $\deg v_i=2$. Кольцом Стенли–Райснера симплициального комплекса $K$ называется факторкольцо Кольцо $R[K]$ имеет естественную структуру $R[m]$-модуля. Определение 7.3. Пусть $K$ – чистый симплициальный комплекс размерности $n-1$. Функция $\lambda\colon [m]\to R^n$ называется характеристической функцией на $K$, если для каждого максимального симплекса $I=\{i_1,\dots,i_n\}$ набор $\{\lambda(i_1),\dots,\lambda(i_n)\}$ образует базис свободного модуля $R^n$. Каждая функция $\lambda\colon [m]\to R^n$ определяет последовательность элементов степени 2 в кольце $R[K]$, как описано ниже (мы будем называть элементы степени 2 линейными, потому что все градуировки у нас четные и это не приводит к путанице). Пусть $\lambda(i)=(\lambda_{i,1},\dots,\lambda_{i,n})\in R^n$, $i\in[m]$. Рассмотрим $\theta_j=\lambda_{1,j}v_1+\dots+\lambda_{m,j}v_m\in R[K]$, $j=1,\dots,n$. Пусть $\Theta$ – идеал в $R[K]$, порожденный линейными элементами $\theta_1,\dots,\theta_n$. Лемма 7.1 (см., например, [13]). Пусть $R$ – поле. Тогда множество линейных элементов $\theta_1,\dots,\theta_n$ образует линейную систему параметров в $R[K]$ в том и только том случае, когда $\lambda\colon [m]\to R^n$ является характеристической функцией. В дальнейшем $\lambda\colon[m]\to R^n$ всегда обозначает характеристическую функцию. Пример 7.1. Пусть $c\colon [m]\to [n]$ – правильная раскраска вершин комплекса $K$, т.е. отображение, которое принимает различные значения на концах любого ребра $K$. Такой раскраске можно сопоставить характеристическую функцию $\lambda_c\colon[m]\to R^n$, $\lambda_c(i)=e_{c(i)}$, где $e_1,\dots,e_n$ – фиксированный базис модуля $R^n$. Для характеристической функции $\lambda_c$ элементы линейной системы параметров имеют вид Характеристические функции такого вида будем называть хроматическими. Предложение 7.1 (Р. Стенли, Дж. Райснер, [29], [31], П. Шенцель, [30]). Если $K$ – гомологическая сфера, то $R[K]$ – кольцо Коэна–Маколея. В этом случае $\theta_1,\dots,\theta_n$ образуют регулярную последовательность в $R[K]$, т.е. $R[K]$ является свободным модулем над подкольцом $R[\theta_1,\dots,\theta_n]$. Если $K$ – гомологическое многообразие, то $R[K]$ является кольцом Буксбаума, т.е. $\theta_1,\dots,\theta_n$ образуют слабо регулярную последовательность. Напомним основные комбинаторные характеристики симплициальных комплексов. Пусть $f_j$ обозначает число $j$-мерных симплексов в $K$ при $-1\leqslant j\leqslant n-1$, в частности, $f_{-1}=1$ (формально пустой симплекс имеет размерность $-1$). $h$-числа комплекса $K$ определяются формулами
$$
\begin{equation}
\sum_{j=0}^nh_jt^{n-j}=\sum_{j=0}^nf_{j-1}(t-1)^{n-j},
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
где $t$ – формальная переменная. Пусть $\widetilde{\beta}_j(K)=\dim \widetilde{H}_j(K)$ – приведенное число Бетти комплекса $K$, $h'$-числа и $h''$-числа комплекса $K$ определяются формулами
$$
\begin{equation}
h_j'=h_j+C_{n}^{j}\biggl(\sum_{s=1}^{j-1}(-1)^{j-s-1}\widetilde{\beta}_{s-1}(K)\biggr) \quad\text{при }\ 0\leqslant j\leqslant n,
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, h_j'' = h_j'-C_{n}^{j}\widetilde{\beta}_{j-1}(K) = h_j+C_{n}^{j}\biggl(\sum_{s=1}^{j}(-1)^{j-s-1}\widetilde{\beta}_{s-1}(K)\biggr) \\ \text{при }\ 0\leqslant j\leqslant n-1, \quad h''_n=h'_n. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
Результат суммирования по пустому множеству индексов полагается нулевым. Предложение 7.2 (Р. Стенли, Дж. Райснер, [29], [31], П. Шенцель, [30]). Для каждого чистого симплициального комплекса $K$ размерности $n-1$ справедлива формула Для гомологической сферы $K$ выполнено $\operatorname{Hilb}(R[K]/\Theta;t)=\sum_ih_it^{2i}$. Для гомологического многообразия $K$ выполнено $\operatorname{Hilb}(R[K]/\Theta;t)=\sum_ih'_it^{2i}$. Предложение 7.3 (И. Новик, Э. Шварц, [26], [27]). Пусть $K$ – связное ориентируемое гомологическое многообразие размерности $n-1$. Однородная компонента модуля $R[K]/\Theta$ в градуировке $2j$ содержит векторное подпространство $(I_{\mathrm{NS}})_{2j}\cong C_{n}^{j}\widetilde{H}^{j-1}(K;R)$, являющееся тривиальным $R[m]$-подмодулем (т.е. $R[m]_+(I_{\mathrm{NS}})_{2j}=0$). Пусть $I_{\mathrm{NS}}=\bigoplus_{j=0}^{n-1}(I_{\mathrm{NS}})_{2j}$ – сумма всех таких подмодулей, за исключением подмодуля в компоненте максимальной размерности. Тогда факторалгебра $R[K]/\Theta/I_{\mathrm{NS}}$ является алгеброй с двойственностью Пуанкаре, и для нее справедлива формула $\operatorname{Hilb}(R[K]/\Theta/I_{\mathrm{NS}};t)=\sum_ih''_it^{2i}$. В частности, из этой теоремы следуют обобщенные соотношения Дена–Соммервилля для многообразий $h''_j=h''_{n-j}$. Пусть $\Lambda^*R^n$ – внешняя алгебра над $R^n$. Для характеристической функции $\lambda\colon [m]\to R^n$ и ориентированного симплекса $I=\{i_1,\dots,i_s\}\in K$ рассмотрим ненулевую внешнюю форму
$$
\begin{equation*}
\lambda_I=\lambda(i_1)\wedge\dots\wedge\lambda(i_s)\in \Lambda^sR^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 7.4 (см. [2], [4]). Пусть $K$ – связное ориентируемое гомологическое многообразие, $\dim K=n-1$, и пусть $\theta_1,\dots,\theta_n$ – линейная система параметров, соответствующая характеристической функции $\lambda$. Пусть $R=\mathbb{Q}$ или $R=\mathbb{Z}$. Тогда компонента алгебры $R[K]/\Theta$ в градуировке $2j$ аддитивно порождена элементами и выполнены следующие утверждения. (1) Все аддитивные соотношения на элементы $v_I$ в модуле $R[K]/\Theta$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\sum_{I\in K,\,|I|=j}\langle\omega,\lambda_I\rangle \sigma(I) v_I,
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
где $\mu$ пробегает по $(\Lambda^kR^n)^*$, а $\sigma$ пробегает по векторному пространству всех симплициальных $(j-1)$-кограниц комплекса $K$: $\sigma\in \mathscr{C}^{j-1}(K;R)$, $\sigma=d\tau$. (2) Все аддитивные соотношения на элементы $v_I$ в модуле $R[K]/\Theta/I_{\mathrm{NS}}$ при $j<n$ имеют вид (7.5), где $\sigma$ пробегает по пространству симплициальных коциклов: $\sigma\in \mathscr{C}^{j-1}(K;R)$, $d\sigma=0$. В частности, это утверждение дает явную формулу для порождающих идеала Новик–Шварца $I_{\mathrm{NS}}\subset R[K]/\Theta$. В работе [8] мы назвали соотношения (7.5) соотношениями типа Минковского по аналогии с терминологией, принятой в торической геометрии. Было показано, что эти соотношения имеют простое геометрическое объяснение, происходящее из теории мультимногогранников. Описанная выше теория позволяет исследовать когомологическую структуру многообразий с действием тора половинной размерности. Рассмотрим $2n$-мерное многообразие $X$, на котором локально стандартно действует тор $T^n$. В этом случае пространство орбит $Q=X/T$ является хорошим многообразием с углами. Пусть $K_Q$ – симплициальное ч.у. множество, двойственное к ч.у. множеству граней $Q$. Пусть $[m]$ – множество вершин $K_Q$ и, как следствие, $\{\mathscr{F}_1,\dots,\mathscr{F}_m\}$ – множество гиперграней $Q$. Прообразом гиперграни $\mathscr{F}_i\subset Q$ при отображении $p\colon X\to Q$ является подмногообразие $X_i\subset X$ коразмерности $2$, которое называется характеристическим подмногообразием. Класс когомологий, двойственный к $[X_i]\in H_{2n-2}(X)$, обозначим через $v_i\in H^2(X;\mathbb{Z})$ (для корректной определенности этого класса нужно каким-либо образом ориентировать $X_i$). Стабилизатор точки $x$, лежащей во внутренности гиперграни $\mathscr{F}_i$, – некоторая одномерная подгруппа. Она имеет вид $\lambda(i)(S^1)$, где $\lambda(i)\in \operatorname{Hom}(S^1,T^n)\cong\mathbb{Z}^n$. Поскольку действие локально стандартно, отображение $\lambda$ является характеристической функцией на $K_Q$. Если $Q$ – гомологический многогранник, то $K_Q$ – гомологическая сфера. Если $Q$ – почти многогранник, то $K_Q$ – гомологическое многообразие. Собственные грани почти многогранника $Q$ задают гомологическое клеточное разбиение границы $\partial Q$, двойственное к $K_Q$; см. подробности в [1]. Предложение 7.5 (М. Масуда, Т. Панов, [22]). Если $Q$ – гомологический многогранник, то имеют место изоморфизмы Предложение 7.6 (см. [9]). Если $Q$ – ориентируемый связный почти многогранник и отображение проекции $p\colon X\to Q$ имеет сечение, то (в прямой сумме колец единицы отождествляются). Предложение 7.7 (см. [3]). Допустим, что $Q$ – ориентируемый связный почти многогранник и проекция $p\colon X\to Q$ имеет сечение. (1) Пусть $A^*(X;R)$ – подкольцо в $H^*(X;R)$, порожденное классами $v_i$ характеристических подмногообразий. Имеется последовательность эпиморфизмов
$$
\begin{equation*}
R[K_Q]/\Theta\twoheadrightarrow A^*(X;R) \twoheadrightarrow R[K_Q]/\Theta/I_{\mathrm{NS}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Компонента $A^{2j}(X;R)$ аддитивно порождена классами $v_I$, $I\in K_Q$, $|I|=j$. Соотношения на эти классы в $A^{2j}(X;R)$ при $j<n$ имеют вид (7.5), где $\sigma\in \mathscr{C}^{j-1}(K;R)\cong \mathscr{C}_{n-j}(\partial Q;R)$ пробегает по всем клеточным цепям, которые равны нулю в $H_{n-j}(Q;R)$. (2) Подмодуль $A^+=\bigoplus_{j>0}A^{2j}(X;R)$ является идеалом в $H^*(X;R)$. Имеется изоморфизм колец Все нетривиальные произведения в правой части задаются $\smallsmile$-произведениями в когомологиях и относительных когомологиях.Применим описанную технику к шестимерному многообразию $M_{\operatorname{St}_3,\lambda}$ изоспектральных матриц-стрелок размера $4\times 4$. Согласно результатам из § 4 и § 5 пространство орбит $Q_3=M_{\operatorname{St}_3,\lambda}/T^3$ является многообразием с углами, гомеоморфным $D^2\times S^1$, а его граница разбита на шестиугольники, как показано на рис. 7, a. Значит, $Q^3_{\operatorname{St}}$ является почти многогранником. Заметим, что отображение $p\colon M_{\operatorname{St}_3,\lambda}\to Q_3$ имеет сечение. Действительно, $Q_3$ можно отождествить с пространством всех вещественных матриц-стрелок с неотрицательными элементами вне диагонали. Очевидно, что такое подмножество вкладывается в $M_{\operatorname{St}_3,\lambda}$. Симплициальный комплекс $\mathscr{P}_{\operatorname{St}_3}^*$, двойственный к $\partial Q_3$, является триангуляцией двумерного тора на $12$ вершинах; она показана на рис. 7, b. Видно, что ее $f$-вектор равен $(f_{\{-1\}},f_0,f_1,f_2)=(1,12,36,24)$, $h$-вектор равен $(1,9,15,-1)$, а $h'$-вектор равен $(1,9,15,1)$. Все стабилизаторы действия $T^3$ на $M_{\operatorname{St}_3,\lambda}$ являются координатными подторами в $T^3$. Следовательно, характеристическая функция $\lambda$ этого действия является хроматической. Она происходит из правильной раскраски комплекса $\mathscr{P}_{\operatorname{St}_3}^*$, показанной на рис. 7, c. Предложения 7.6 и 7.7, примененные к $M_{\operatorname{St}_3,\lambda}$, дают следующий результат. Теорема 7.1. Имеют место изоморфизмы $H^*_T(M_{\operatorname{St}_3,\lambda};R)\cong R[\mathscr{P}_{\operatorname{St}_3}^*]\oplus H^*(S^1;R)$. Подкольцо $A^*(M_{\operatorname{St}_3,\lambda};R)\subset H^*(M_{\operatorname{St}_3,\lambda};R)$, порожденное классами $v_i$ характеристических подмногообразий, имеет вид где: $\bullet$ идеал $\Theta$ кольца Стенли–Райснера $R[\mathscr{P}_{\operatorname{St}_3}^*]$ порожден линейными формами
$$
\begin{equation*}
\theta_1=v_1+v_3+v_4+v_8, \quad \theta_2=v_5+v_9+v_{10}+v_{12}, \quad \theta_3=v_2+v_6+v_7+v_{11}
\end{equation*}
\notag
$$
(нумерация вершин показана на рис. 7); $\bullet$ идеал $\mathscr{I}$ аддитивно порожден элементами
$$
\begin{equation*}
v_8v_{11}+v_7v_8+v_4v_7+v_4v_{11},\quad v_8v_{10}+v_4v_{12},\quad v_5v_7+v_9v_{11}
\end{equation*}
\notag
$$
(выбор этих элементов не канонический). Градуированные компоненты подкольца $A^*$ имеют размерности $(1,0,9,0, 12, 0,1)$. Факторкольцо $H^*(M_{\operatorname{St}_3,\lambda})/A^+$ имеет следующие нетривиальные компоненты: $R$ в градуировке $0$, $R$ в градуировке $1$, $R^3$ в градуировке $2$ и $R$ в градуировке $5$. Произведение в факторкольце $H^*(M_{\operatorname{St}_3,\lambda})/A^+$ тривиально. Целочисленные когомологии многообразия $X^6_{\operatorname{St}}$ свободны от кручения, а числа Бетти равны $(1,1,12,0,12,1,1)$. Доказательство. Два утверждения требуют пояснений: форма образующих идеала $\mathscr{I}$ и отсутствие кручения в когомологиях. Согласно предложению 7.7 соотношения на классы $v_I\,{=}\,v_{i_1}\dotsb v_{i_k}\,{\in}\,H^*(X^6_{\operatorname{St}})$ задаются всеми возможными внешними формами и всеми возможными клеточными циклами $\partial Q^3_{\operatorname{St}}$, исчезающими в гомологиях $Q^3_{\operatorname{St}}$. Каждая такая пара задает соотношение $\sum_{I}\sigma(I)\langle\omega,\lambda_I\rangle v_I$. Существует единственный базисный цикл в $\partial Q^3_{\operatorname{St}}$, который гомологичен нулю в $Q^3_{\operatorname{St}}$. Этот цикл можно распознать, проанализировав образ отображения моментов (см. рис. 2). Исчезающий цикл показан на рис. 7.
Отсутствие кручения в $\mathbb{Z}[K]/\Theta/\mathscr{I}$ проверяется прямым вычислением, основанным на части (1) предложения 7.4. Теорема доказана. § 8. Двойник многообразия $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$В [7] мы ввели понятие подмногообразий двойников в многообразии полных комплексных флагов. Пусть $X\subset M_{\lambda}\cong \mathrm{Fl}_{n}$ является гладким $T$-инвариантным подмногообразием в многообразии полных флагов. Мы определяем другое гладкое $T$-инвариантное подмногообразие $\widetilde{X}=p_lp_r^{-1}(X)$, названное двойником многообразия $X$. В этой формуле $p_l\colon U(n)\to\mathrm{Fl}_n$ (соответственно $p_r\colon U(n)\to\mathrm{Fl}_n$) – отображение проекции для действия тора на $U(n)$ умножением слева (соответственно справа):
$$
\begin{equation}
\mathrm{Fl}_n\cong T^n\setminus U(n)\stackrel{p_l}{\longleftarrow}U(n)\stackrel{p_r}{\longrightarrow} U(n)/T^n\cong \mathrm{Fl}_n.
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
Видно, что $\widetilde{X}/T\cong X/T$, поскольку оба пространства совпадают с двойным фактором $T\setminus p_lp_r^{-1}(X)/T$. Тем не менее характеристические данные $T$-многообразий $X$ и $\widetilde{X}$, вообще говоря, различны. Двойники могут быть недиффеоморфны. Конструкция 8.1. Опишем двойника многообразия $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$. Комплексный флаг в $\mathbb{C}^{n+1}$ можно естественным образом отождествить с последовательностью одномерных векторных подпространств $L_0,L_1,\dots,L_n\,{\subset}\,\mathbb{C}^{n+1}$, удовлетворяющих условию попарной ортогональности: $L_i\perp L_j$, $i\neq j$. Рассмотрим диагонализуемый оператор $S\colon \mathbb{C}^{n+1}\to\mathbb{C}^{n+1}$ с различными вещественными собственными значениями и определим подмножество $X_n\subset \mathrm{Fl}_{n+1}$: Действие тора $T^{n+1}$ на $\mathbb{C}^{n+1}$ индуцирует эффективное действие тора $T^n=T^{n+1}/\Delta(T^1)$ на пространстве $X_n$. Можно положить $S\,{=}\,\Lambda\,{=}\operatorname{diag}(\lambda_0,\lambda_1,\dots,\lambda_n)$. Заметим, что также имеется действие $\Sigma_n$ на $X_n$, которое просто переставляет прямые $L_1,\dots,L_n$. Это действие коммутирует с действием $T^n$, а значит, получаем комбинированное действие прямого произведения $T^n\times\Sigma_n$ на $X_n$. Предложение 8.1. Пространство $X_n$ является двойником многообразия $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$. В частности, $X_n$ является гладким многообразием. Его пространство орбит относительно действия тора $T^n$ изоморфно как многообразие с углами пространству $Q_n$ и гомотопически эквивалентно комплексу $\mathrm{Sq}_{n-1}$. Пространство орбит комбинированного $(T^n\times\Sigma_n)$-действия на $X_n$ диффеоморфно многограннику $\mathscr B^n$. Доказательство. Напомним конструкцию из нашей работы [7]. Для эрмитовой матрицы $A$ рассмотрим спектральное разложение $A=U^{-1}\Lambda U$. Унитарная матрица $U$ определена однозначно с точностью до умножения слева на унитарную диагональную матрицу. Пусть задано пространство $X\subset M_\lambda$ матриц с заданным спектром такое, что действие тора сохраняет $X$. Тогда пространство-двойник имеет вид Пусть $e_0,e_1,\dots,e_n$ – стандартный базис $\mathbb{C}^{n+1}$. Тогда $\widetilde{X}$ отождествляется с совокупностью флагов для всех возможных унитарных матриц $U\in U(n)$, удовлетворяющих условию $U^{-1}\Lambda U\in X$.
Пусть $L_i=U\langle e_i\rangle$. Условие $U^{-1}\Lambda U\in M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$ эквивалентно условию
$$
\begin{equation*}
U^{-1}\Lambda U(e_i)\subset \langle e_0,e_i\rangle \quad\text{при }\ i\neq 0,
\end{equation*}
\notag
$$
которое совпадает с условием Следовательно, двойник $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$ в точности совпадает с пространством $X_n$. Поскольку $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$ гладкое, таким же является и $X_n$. Пространства орбит многообразия и его двойника совпадают (см. подробности в [7]).
Предложение доказано. Замечание 8.1. В работе [7] было отмечено, что полупростые регулярные многообразия Хессенберга являются двойниками многообразий изоспектральных ступенчатых матриц. Заметим, что в отличие от этой ситуации двойник $X_n$ многообразия $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$ не является алгебраическим подмногообразием в $\mathrm{Fl}_{n+1}$. Замечание 8.2. Многообразие $M_{\operatorname{St}_{n},\lambda}$ является подмногообразием в $M_{\operatorname{St}_{n}}\cong \mathbb{R}^{3n+1}$, определяемым системой гладких функций с невырожденными пересечениями гиперповерхностей уровня. Следовательно, $M_{\operatorname{St}_{n},\lambda}$ имеет тривиальное нормальное расслоение и все его классы и числа Понтрягина тривиальны. Однако это может быть не выполнено для его двойника $X_n$. Именно поэтому двойник $X_n$ является более интересным объектом с топологической точки зрения. Конструкция 8.2. Опишем характеристическую функцию многообразия $X_n$. Напомним, что гиперграни пространства орбит $X_n/T\cong Q_n$ кодируются кластерами, подчиненными разбиению $\{\{j\},\{0,1,\dots,\widehat{j},\dots,n\}\}$ при $j\neq 0$; см. § 6. Такой кластер имеет вид для некоторой биекции $p\colon \{0,1,\dots,n\} \to \{0,1,\dots,n\}$. Гипергрань $F_{[p]}$, соответствующая этому кластеру, состоит из флагов $\{L_i\}\in X_n$ таких, что $L_j=\langle e_{p(j)}\rangle$. Эти флаги сохраняет одномерная подгруппа $T_{p(j)}\subset T^n$, являющаяся образом $p(j)$-й координатой окружности тора $T^{n+1}$ в факторе $T^n=T^{n+1}/\Delta(T^1)$. В частности, характеристическая функция на $X_n$ принимает $n+1$ значений. Эта функция точно не является хроматической. Пример 8.1. Значения характеристической функции многообразия $X_3$ показаны на рис. 8. Характеристическая функция принимает четыре значения в $\mathbb{Z}^3$, сумма которых равна нулю, поэтому можно без ограничения общности считать, что значениями являются $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$ и $(-1,-1,-1)$. Эти значения происходят из правильной раскраски гиперграней гексагонального разбиения тора в четыре цвета. Раскраска гиперграни определяется числом, стоящим в отдельной вершине кластера, кодирующего гипергрань. Заметим, что проекция на фактор $X_3\to X_3/T\cong Q_3$ обладает сечением. Действительно, у пространства $Q_3\simeq S^1$ нет вторых когомологий, поэтому любое главное $T$-расслоение над внутренностью $Q_3$ тривиально. Следующее предложение доказывается полностью аналогично теореме 7.1. Предложение 8.2. Имеют место изоморфизмы $H^*_T(X_3;R)\cong R[\mathscr{P}_{\operatorname{St}_3}^*]\oplus H^*(S^1;R)$. Подкольцо $A^*(X_3;R)\subset H^*(X_3;R)$, порожденное классами $v_i$ характеристических подмногообразий, имеет вид где: $\bullet$ идеал $\Theta$ кольца Стенли–Райснера $R[\mathscr{P}_{\operatorname{St}_3}^*]$ порожден линейными формами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \theta_1=v_4+v_6+v_{10}-v_1-v_5-v_{11}, \quad \theta_2=v_3+v_7+v_{12}-v_1-v_5-v_{11}, \\ \theta_3=v_2+v_8+v_9-v_1-v_5-v_{11} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
для нумерации вершин, показанной на рис. 7; $\bullet$ идеал $\mathscr{I}$ аддитивно порожден элементами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, v_5v_7-v_7v_8+v_8v_{11}-v_{11}v_{12}, \quad v_8v_{10}-v_8v_{11}+v_4v_{11}-v_4v_9, \\ v_4v_7-v_5v_7+v_{11}v_{12}-v_4v_{11} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(выбор этих элементов не канонический). Градуированные компоненты подкольца $A^*$ имеют размерности $(1,0,9, 0, 12, 0,1)$. В когомологиях $X^6_{\operatorname{St}}$ нет кручения, а числа Бетти равны $(1,1,12,0, 12,1,1)$. Первый класс Понтрягина многообразия $X_3$ имеет вид $p_1=\sum_{i=1}^{12}v_i^2\in A^*\subset H^*(X_3)$. Прямым вычислением доказывается, что этот класс нетривиален. В действительности интеграл этого класса по любому характеристическому подмногообразию равен $\pm8$ (для выбора знака требуется указать полиориентацию). Это вычисление делается при помощи упрощения выражения $v_ip_1$ с использованием соотношений в кольце когомологий, описанных в предложении 8.2. БлагодарностиАвторы выражают глубокую признательность Тадеушу Янушкевичу, рассказавшему об общих пространствах разреженных изоспектральных матриц и, в частности, о пространстве изоспектральных матриц-стрелок и некоторых его свойствах. Авторы также благодарны Мегуми Хараде, которая заметила, что пространства матриц-стрелок можно изучать в рамках теории симплектических подрывов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AyzBuc21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|