| Математический сборник |
|
|
|
|
|
О компактификации носителя решения с задержкой по времени и об исчезновении решения С. П. Дегтярев Институт прикладной математики и механики, г. Донецк, Украина
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9377 
Реферативные базы данных:
      § 1. Введение и постановка задачиНастоящая работа является продолжением и в определенном смысле дополнением статьи автора [1]. Указанная статья была посвящена изучению поведения неотрицательного решения задачи Коши для вырождающегося квазилинейного уравнения с абсорбцией в начальные моменты времени. В частности, в ней было изучено явление так называемой мгновенной компактификации носителя решения. Это явление заключается в следующем: если начальные данные стремятся к нулю на бесконечности (в определенном интегральном смысле), то носитель решения будет компактным множеством в любой сколь угодно малый положительный момент времени, невзирая на то, что носитель начальных данных может совпадать со всем пространством. Опишем кратко историю данного вопроса. Впервые, по-видимому, явление мгновенной компактификации носителя решения задачи Коши для уравнения с абсорбцией было обнаружено в работе [2]. При этом начальные данные, рассмотренные в этой работе, представляли собой непрерывные функции, убывающие к нулю на бесконечности. Изучение явления мгновенной компактификации для непрерывных и убывающих к нулю на бесконечности начальных данных для уравнений второго порядка с абсорбцией было продолжено далее, в частности, в работах [3]–[7]. Для более общего класса решений, слабых, так называемых энергетических, решений, когда начальные данные не только не непрерывны, но и не являются локально ограниченными, эффект мгновенной компактификации носителя был впервые обнаружен в работе [8], причем для параболических уравнений произвольного порядка $2m$, $m \geqslant 1$, по пространственным переменным. В указанной работе начальные данные предполагались только интегрируемыми по всему пространству с определенной естественной степенью, позволяющей иметь конечной глобальную энергию решения. В терминах сформулированной чуть ниже задачи Коши (1.1), (1.2) это соответствует тому, что начальное данное $u_{0}(x) \in L_{\beta + 1}(R^{N})$. Условие глобальной интегрируемости начальных данных было отброшено далее, в работе [9]. В этой работе эффект мгновенной компактификации носителя решения параболических уравнений произвольного порядка был установлен для близкого к точному подклассу начальных данных $u_{0}(x) \in L_{\beta + 1,\,\mathrm{loc}}(R^{N})$, когда начальные данные только локально интегрируемы, а интегральные средние начальных данных по шарам фиксированного радиуса стремятся к нулю при стремлении центров шаров к бесконечности. Здесь же были получены оценки сверху радиуса носителя решения после его мгновенной компактификации в начальные моменты времени, т.е. при $t \to 0$. В продолжение данных исследований в работе [1] был уточнен класс возможных начальных данных и получены асимптотически точные двусторонние оценки носителя решения в начальные моменты времени. Отметим еще, что вопросы поведения носителя решения, близкие к рассматриваемым, изучались, в частности, в [10], [11]. Описанные выше результаты касались параболических уравнений с абсорбцией (см. (1.1)). Но оказалось, что весьма похожий эффект присущ и задачам Коши для уравнений с конвекцией вместо абсорбции. Это было обнаружено в работах [12], [13]. В этих работах было установлено, что если локальные интегралы по шарам от начальных данных стремятся к нулю на бесконечности, то явление мгновенной компактификации носителя происходит не сразу же в первые моменты времени, а с некоторой задержкой по времени – сразу же после некоторого момента $t_{0}$, зависящего от данных задачи. Были также установлены оценки размеров носителя решения после его компактификации. Ниже мы покажем, что данный эффект наблюдается также и для уравнений с абсорбцией при определенном поведении начальных данных, что и составляет наш главный интерес в настоящей работе. Что касается обращения решения в тождественный нуль за конечное время (“исчезновение решения”), то очень кратко отметим только, что ранее это явление изучалось, в частности в [4] и, по существу, в [9]. Таким образом, в настоящей работе мы продолжаем изучение задачи Коши для уравнения второго порядка с абсорбцией, но не в начальный момент времени, а для более отдаленных от начального моментов времени. В частности, мы покажем, что если начальные данные имеют (в интегральном смысле) определенный ненулевой предел на бесконечности, то компактификация носителя происходит не в начальные моменты времени, а сразу после некоторого ненулевого момента времени, зависящего от предела начальных данных на бесконечности. Кроме того, мы покажем, что при условии ограниченности средних от начальной функции по шарам какого-либо заданного радиуса, решение превращается в тождественный нуль за конечное время. Сформулируем теперь точную постановку задачи, как это сделано в [1]. В области $R^{N} \times [0,T]$, $N$ – размерность пространства $R^{N}$, $T>0$, рассмотрим следующую задачу Коши:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}(| u|^{\beta-1}u(x,t))-\nabla(| \nabla u|^{p-2}\nabla u)+| u|^{r-1}u(x,t)=0, \qquad x\in R^{N}, \quad t>0,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
$$
\begin{equation}
| u|^{\beta-1}u(x,0)=| u_{0}|^{\beta-1}u_{0}(x), \qquad x\in R^{N},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $\nabla=({\partial}/{\partial x_{1}},\dots,{\partial}/{\partial x_{N}})$, а начальная функция $| u_{0}| ^{\beta-1} u_{0}(x)$ принадлежит классу $L_{1, \mathrm{loc}}(R^{N})$. Мы будем рассматривать случай медленной диффузии и сильной абсорбции, что выражается в ограничении на параметры задачи К настоящему времени хорошо известно (см. [8]–[20]), что существование слабого решения данной задачи Коши (которое определено чуть ниже в (1.5), (1.6)) и ряд его важных свойств определяются следующими параметрами, зависящими от показателей степеней в уравнении (1.1), удовлетворяющих (1.3):
$$
\begin{equation}
d=p-1-\beta , \qquad k=N(p-1-\beta )+\beta p=Nd+\beta p, \qquad d_{r}=p-1-r.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Известно (см. по этому поводу, например, [8]–[20]), что при определенных условиях на начальную функцию $| u_{0}|^{\beta -1}u_{0}(x)$ задача (1.1), (1.2) разрешима в слабом смысле и наблюдается явление мгновенной компактификации носителя решения, когда, несмотря на то что носитель начальной функции может совпадать со всем пространством $R^{N}$, у решения он становится компактным в любой сколь угодно малый момент времени $t>0$ и сжимается в начальные моменты времени. Под слабым решением задачи (1.1), (1.2) на интервале времени $[0,T]$ мы понимаем измеримую функцию, имеющую обобщенные производные первого порядка по пространственным переменным $x_{i}$ и обладающую следующими свойствами. 1) Для любой функции $\zeta\in C_{0}^{\infty}(R^{N})$ отображение
$$
\begin{equation}
t\in\lbrack0,T]\to\int_{R^{N}}| u|^{\beta -1}u(x,t)\zeta(x)\,dx
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
непрерывно. 2) Для любой финитной по $x$ достаточно гладкой функции $\eta(x,t)$ выполнено интегральное тождество, в котором должны быть конечны все входящие в него интегралы:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{R^{N}}| u|^{\beta-1}u(x,t)\eta\,dx +\sum _{i=1}^{N}\int_{0}^{t}\int_{R^{N}}| \nabla u|^{p-2}u_{x_{i}}\eta_{x_{i}}\,dx\,d\tau +\int _{0}^{t}\int_{R^{N}}| u|^{r-1}u\eta\, dx\,d\tau \\ &\qquad =\int_{R^{N}}| u_{0}|^{\beta-1}u_{0}(x)\eta (x,0)\,dx +\int_{0}^{t}\int_{R^{N}}| u|^{\beta -1}u(x,\tau)\eta_{\tau}(x,\tau)\,dx\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Из работ [14], [15] следует, что задача (1.1), (1.2) при заданном соотношении параметров (1.3) разрешима для начальных функций из $L_{\beta,\mathrm{loc}}(R^{N})$ или для локально конечных радоновских мер в качестве начальных данных, не слишком растущих на бесконечности. А именно, пусть для некоторого $R>0$
$$
\begin{equation}
|||u_{0}|||_{R,x_{0}}\equiv \sup_{\rho >R}\rho^{-{k}/{d}}\int_{B_{\rho }(x_{0})} \bigl||u_{0}|^{\beta -1}u_{0}(x)\bigr|\,dx<\infty ,
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
где (здесь и всюду ниже) $B_{\rho }(x_{0})$ означает шар радиуса $\rho $ с центром в $x_{0}$, параметры $k$ и $d$ определены в (1.4), а интеграл по $B_{\rho }(x_{0})$ от модуля начальной функции в случае, если эта функция представляет собой радоновскую меру, означает полную вариацию этой меры по шару $B_{\rho }(x_{0})$. Отметим, что из конечности величины $|||u_{0}|||_{R,x_{0}}$ в (1.7) для некоторого $R>0$ вытекает ее конечность для любого $R>0$. Величина $|||u_{0}|||_{R,x_{0}}$ играет важную роль, так как известно (см. [14], [15]), что на некотором интервале времени $[0,T]$ для решения задачи (1.1), (1.2) справедлива оценка
$$
\begin{equation}
|||u(x,t)|||_{R,x_{0}}\leqslant C|||u_{0}|||_{R,x_{0}},
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
где константа $C$ не зависит от $R\geqslant R_{0}$ с некоторым фиксированным $R_{0}\,{>}\,0$. Здесь и всюду далее через $C$, $b$, $\gamma $ мы будем обозначать все абсолютные константы либо константы, зависящие только от заданных параметров $N$, $p$, $r$, $\beta $. Ниже в настоящей работе мы будем рассматривать начальные данные, ограниченные в смысле среднего значения так, чтобы была возможна компактификация носителя решения. В связи с этим мы определим следующие функции:
$$
\begin{equation}
f_{0}(R,x_{0})=\sup_{\rho >R}\oint_{B_{\rho}(x_{0})}\bigl||u_{0}|^{\beta-1}u_{0}(x)\bigr|\,dx =\omega_{N}^{-1}\sup_{\rho >R}\rho^{-N}\int_{B_{\rho }(x_{0})}\bigl||u_{0}|^{\beta -1}u_{0}(x)\bigr|\,dx,
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
$$
\begin{equation}
f_{0}(R)=\sup_{x_{0}\in R^{N},\,\rho >R}\oint_{B_{\rho}(x_{0})}\bigl||u_{0}|^{\beta-1}u_{0}(x)\bigr|\,dx,
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
где $\omega_{N}$ – объем единичного шара в $R^{N}$. Отметим, что ограниченность при $R\to \infty $ функций $f_{0}(R,x_{0})$ и $f_{0}(R) $ означает ограниченность в среднем начальных данных на бесконечности. Что касается свойств локального поведения решения, то из результатов работ [14], [15] следует, что слабое решение задачи локально ограничено при $t\,{>}\,0$ и, кроме того, $u_{x_{i}}\in L_{p,\mathrm{loc}}(R^{N}\times (0,T))$. Это, в частности, означает, что интегральное тождество (1.6) справедливо для финитных по $x$ пробных функций $\eta (x,t)\in L_{p,\mathrm{loc}}((0,T),W_{p,\mathrm{loc}}^{1}(R^{N}))$. Отметим также, что автору не известна единственность слабого решения задачи (1.1), (1.2), когда одновременно $\beta \neq 1$ и $p\neq 2$ и начальные данные $|u_{0}|^{\beta-1} u_{0}(x)$ не принадлежат $L_{1}(R^{N})$ (как в нашем случае, когда они принадлежат только $L_{1,\mathrm{loc}}(R^{N})$). В то же время единственность сильных решений рассматриваемой задачи следует из результатов работы [16]. В связи с этим ниже при доказательстве оценок размеров носителя решения мы считаем наше решение тем слабым решением, которое является пределом решений с гладкими финитными начальными данными (как и получается слабое решение в работах [14], [15]). Кроме того, в работах [14], [15] доказано, что интервал времени $[0,T]$ существования решения строго определяется поведением нормы $|||u_{0}|||_{R,0}$ при $R\to \infty $. При этом если т.е. в определенном смысле начальные данные не имеют строго предельного роста на бесконечности, то решение $u(x,t)$ существует на всей полуоси $t\in (0,\infty )$ и во все моменты времени выполнена оценка (1.8). Ниже мы будем предполагать ограниченность определенных выше функций $f_{0}(R,x_{0})$, так что в нашем случае решение всегда будет существовать во все моменты времени. Итак, мы предполагаем, что для некоторого $R_{0}>0$
$$
\begin{equation}
f_{0}(R,x_{0})\leqslant M_{0}, \qquad x_{0}\in R^{N}, \qquad R\geqslant R_{0},
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
где $M_{0}$ – положительная постоянная. Тогда функция $f_{0}(R)$ корректно определена и является невозрастающей функцией своего аргумента. Из сделанных предположений, как легко проверить, вытекает, что выполнено, в частности, следующее условие на начальную функцию (в терминах предельного роста):
$$
\begin{equation}
|||u_{0}|||_{R}\equiv\sup_{x_{0}\in R^{N}}|||u_{0}|||_{R,x_{0}}<\infty.
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Заметим, что из (1.13) легко следует, что
$$
\begin{equation}
|||u(x,t)|||_{R}\leqslant C_{0}|||u_{0}|||_{R}, \qquad t\in \lbrack 0,\infty ).
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
Не останавливаясь подробно на истории изучаемого вопроса (отсылаем читателя по этому поводу к работам [1]–[8]), отметим только работы [1]–[7] в данном направлении. Далее, поскольку мы рассматриваем слабые решения, определим следующее множество:
$$
\begin{equation}
D(t)=\inf_{\rho >0}\{ \rho\colon u(x,t)\equiv 0,\,| x| >\rho \}
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
– верхняя граница носителя решения $u(x,t)$ задачи (1.1), (1.2). Сформулируем теперь результат статьи [1] о мгновенной компактификации носителя решения в начальные моменты времени. Для этого определим, кроме величин (1.4), важный для нас показатель относительно которого следует отметить, что он аналогичен показателю, полученному в работе [20] при оценке размеров носителя решения в ситуации, в определенном смысле противоположной рассматриваемой нами, – когда $r\,{>}\,p>1+\beta$ и первоначально компактный носитель решения начинает расширяться.Кроме того, определим функцию
$$
\begin{equation}
\varphi_{t}(x_{0})=\frac{1}{\omega_{N}t^{N\varkappa}}\int_{|x-x_{0}| <t^{\varkappa}}| u_{0}(x)|^{\beta}\,dx \equiv \oint_{B_{t^{\varkappa}}(x_{0})}| u_{0}(x)|^{\beta}\,dx,
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
а также функцию
$$
\begin{equation}
\varphi_{t}(\rho)\equiv\sup_{| x_{0}|=\rho}\varphi_{t}(x_{0}).
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
Теорема 1 (см. [1; теорема 1]). Если начальная функция в (1.2) неотрицательна (неположительна), то решение задачи (1.1), (1.2) обладает свойством мгновенной компактификации носителя тогда и только тогда, когда для начальной функции $|u_{0}|^{\beta -1}u_{0}(x)$ (которая может быть радоновской мерой) выполнено следующее условие (H): При этом для любого $\varepsilon >0$ существуют такие зависящие от $u_{0}(x)$ константы $t_{0}=t_{0}(\varepsilon )$, $\gamma_{0} $, $\gamma_{1}$, $M_{1}$, что на интервале времени $[0,t_{0}]$ справедливы следующие оценки сверху и снизу размеров носителя решения: Если же начальная функция, удовлетворяющая указанным выше условиям, произвольно меняет знак, то оценка (1.19) размера носителя сверху имеет место и в этом случае. Дальнейшее содержание статьи построено по следующему плану. В § 2 мы приведем некоторые вспомогательные утверждения (по большей части некоторые результаты работы [1]), на которых будет основываться дальнейшее изложение. В этом же параграфе мы опишем схему доказательства теоремы 1, которая и будет использована нами в последующих параграфах. В § 3 мы сформулируем и докажем аналог теоремы 1 в случае начальных данных, не стремящихся к нулю на бесконечности, а имеющих в среднем конечный предел. Наконец, в последнем § 4 мы докажем теорему об обращении решения в нуль за конечное время. Отметим также, что при получении нужных нам интегральных соотношений мы будем умножать уравнение (1.1) на различные пробные функции с последующим интегрированием. Эти операции оправдываются выбором в интегральном тождестве (1.6) в качестве пробных функций срезок от стекловских усреднений решения, произведением нужных промежуточных операций и последующим предельным переходом по параметру усреднения в окончательном соотношении. Этот процесс вполне стандартен и описан, например, в [21], поэтому мы не останавливаемся на этом подробно. § 2. Вспомогательные утвержденияВ этом параграфе мы приведем, во-первых, простые оценки, связывающие норму $|||v|||_{R}$ некоторой функции $v(x)$ и функцию $f_{0}(R)$ из (1.10) для $v(x)$. Они будут применены к начальной функции $u_{0}(x)$. Во-вторых, мы приведем некоторые вспомогательные оценки решения задачи (1.1), (1.2), которые были использованы в [1] для доказательства теоремы 1 предыдущего параграфа при изучении поведения решения в начальные моменты времени, и кратко опишем схему доказательства этой теоремы. Эти же оценки будут использованы нами в настоящей статье при изучении поведения носителя решения в целом по времени. Лемма 1. Пусть для некоторой функции $v(x)$ при $R\geqslant R_{0}$ ограничена функция $f_{0}(R)$. Тогда ее норма $|||v|||_{R}$ конечна и справедлива оценка Доказательство. Доказательство следует непосредственно из определений нормы $|||v|||_{R}$ и функции $f_{0}(R)$. Действительно, рассмотрим величину для $\rho \geqslant R_{0}$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\rho^{-k/d}\int_{B_{\rho }(x_{0})}\bigl| |v|^{\beta -1}v(x)\bigr|\,dx =\rho^{-\beta p/d}\rho^{-N}\int_{B_{\rho }(x_{0})}\bigl| | v|^{\beta -1}v(x)\bigr|\,dx \\ &\qquad =C\rho^{-\beta p/d}\oint_{B_{\rho}(x_{0})}\bigl| | v|^{\beta-1}v(x)\bigr| \,dx \leqslant C\rho^{-\beta p/d}f_{0}(R), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где мы воспользовались определением функции $f_{0}(R)$ в (1.10). Рассматривая теперь супремум левой части последнего неравенства по $\rho \geqslant R_{0}$ и $x_{0}$, ввиду определения нормы $|||v|||_{R}$ приходим к утверждению леммы. Лемма 2 (см. [1; лемма 2.1]). Пусть $0<R_{1}<R_{2}$, $R_{2}=Rt^{\varkappa },R_{1}=(1-\sigma )R_{2}$, $B_{R_{i}}=B_{R_{i}}(x_{0})=\{x\colon |x-x_{0}<R_{i}|\}$, $x_{0}\in R^{N}$. Тогда существует константа $\gamma_{2}=\gamma_{2}(R,\sigma )$ такая, что если Эта лемма, по существу, утверждает, что если энергия решения в некотором шаре в течение определенного промежутка времени не превосходит некоторой величины, пропорциональной промежутку времени (т.е. в определенном смысле остается “малой” по сравнению с промежутком времени), то решение на самом деле тождественно равно нулю в некотором меньшем концентрическом шаре уже в течение несколько меньшего промежутка времени. Возникает вопрос о том, как проверить условие этой леммы в связи с поведением локальных средних от начальных данных и времени (которые фигурируют в условиях теоремы 1). Важным шагом в этом направлении является следующая лемма, которая еще не дает такой связи непосредственно с начальными данными, но дает оценку энергии решения в терминах локальной массы самого решения. Сформулируем оценку энергии решения, фигурировавшей в лемме 2, через массу решения. Справедлива следующая лемма (ср. [17]). Лемма 3 (см. [1; лемма 3.1]). Пусть $0<r_{1}<r_{2}$, $0<t_{2}<t_{1}<t$, $B_{r_{i}}$ – шары с центром в $x_{0}$ радиуса $r_{i}$. Тогда для решения $u(x,\tau )$ задачи (1.1), (1.2) справедлива оценка Из предыдущих двух утверждений путем подсчета возникающих показателей выводится условие малости локальной энергии решения в терминах малости (по сравнению с моментом времени) локальной массы решения. Сформулируем это условие в виде леммы. Лемма 4 (см. [1; лемма 3.2]). Пусть $R_{1}$, $R_{2}$ и $Y(t/2,R_{2})$ такие же, как в лемме 2, $R_{3}=R_{2}(1+\sigma )$. Тогда существует константа $\gamma_{3}>0$ такая, что условие леммы 2 выполнено, т.е. если Следующее утверждение дает оценку максимума модуля решения через массу решения. Оно носит вспомогательный характер. Лемма 5 (см. [1; лемма 4.1], ср. [17], а также см. [18], [19]). Пусть $0<t_{2}<t_{1}<t$, $0<R_{1}<R_{2}$, $B_{R_{i}}=B_{R_{i}}(x_{0})$. Тогда где Все предыдущие утверждения были сформулированы в терминах локальных свойств самого решения, в частности в терминах такой важной для нас характеристики, как локальная масса решения. Последним шагом является оценка локальной массы самого решения через локальную массу начальных данных. Это делается путем локальных интегральных оценок с существенным использованием предыдущей леммы в соответствующих оценках. Следующее утверждение содержит условие для оценки локальной массы решения на определенном интервале времени через локальную массу начальных данных задачи по несколько более широкому множеству. Лемма 6. Пусть задано $R>0$, $\sigma \in (0,1)$, $x_{0}\in R^{N}$. Обозначим Существует такая константа $\gamma_{5}=\gamma_{5}(\sigma ,\beta,p,r,u_{0})$, что если то выполненоДоказательство этой леммы представляет из себя часть доказательства [1; лемма 5.3], при этом условие (2.8) является доказанным в [1] условием (5.22) из [1; лемма 5.3]. Доказательство теоремы 1 из предыдущего параграфа основывается именно на сформулированных выше утверждениях. Приведем краткое описание этого доказательства, поскольку та же схема доказательства будет использована нами в последующих параграфах. Так как по условиям теоремы $\varphi_{t}(\rho )\to 0$, $\rho \to \infty $, то для точек $x_{0}\in R^{N}$ с достаточно большим $| x_{0}| $ проверяются условия леммы 6. Здесь, упрощенно говоря, используется малость переменной $t$ в соотношении с радиусом $R$ соответствующего шара. Далее, поскольку верна лемма 6, мы получаем оценку (2.9) локальной массы решения через локальную массу начальной функции. Это позволяет заключить, что для достаточно далеких от начала координат точек $x_{0}\in R^{N}$ выполнено условие (2.5) леммы 4 и, следовательно, в окрестности такой точки $x_{0}$ выполнена оценка (2.4), т.е. в этой окрестности энергия решения достаточно мала по сравнению с временем $t$. Но тогда в силу леммы 2 решение $u(x,t)$ тождественно равно нулю в окрестности $x_{0}$ в этот момент времени. Точный подсчет величин всех участвующих в оценках показателей и необходимой величины $| x_{0}| $ и приводит к доказательству теоремы. Реализация этой схемы в условиях, отличных от теоремы 1, т.е. при начальных данных, не стремящихся в среднем к нулю на бесконечности, и в моменты времени, не являющиеся малыми, и составляет содержание последующих параграфов. § 3. Компактификация носителя при начальных данных, средние которых имеют предел на бесконечностиВ настоящем параграфе мы будем предполагать, что начальные данные $u_{0}(x)$ удовлетворяют условию
$$
\begin{equation}
\frac{1}{|B_{R}(x_{0})|}\int_{B_{R}(x_{0})}|| u_{0}|^{\beta -1}u_{0}(x)|\,dx\to a>0, \qquad R>R_{0}>0, \qquad |x_{0}|\to \infty ,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $a$ – заданная положительная постоянная. Таким образом, ввиду определения функции $f_{0}(R)$ для начальных данных $u_{0}(x)$ существует такая постоянная $M_{0}$, что Кроме того, мы для простоты будем предполагать в этом и следующем параграфах, что начальные данные, а следовательно, и решение неотрицательны. Аналогично § 1 определим функции
$$
\begin{equation}
\begin{split} \varphi_{M,t}(x_{0}) &=\frac{1}{\omega_{N}Mt^{N\varkappa}}\int_{| x-x_{0}| <Mt^{\varkappa}}| u_{0}(x)|^{\beta }\,dx \\ &\equiv \oint_{BM_{t^{\varkappa }}(x_{0})}| u_{0}(x)|^{\beta }\,dx, \qquad M>0, \quad\varkappa =\frac{p-1-r}{p(\beta -r)}>0, \end{split}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
$$
\begin{equation}
\varphi_{M,t}(\rho )\equiv \sup_{| x_{0}| =\rho}\varphi_{M,t}(x_{0}).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Теорема 2. Пусть выполнено условие (3.1) на начальную функцию $u_{0}(x)$. Тогда существуют константы $M=M(u_{0},p,\beta ,r,a)$ , $\gamma_{0}=\gamma_{0}(u_{0},p,\beta ,r,a)$ и момент $t_{a}$, определяемый соотношением т.е. Доказательство. Мы будем рассматривать моменты времени $t>t_{a}$. Отметим вначале, что для таких $t$ выполнено неравенство так как при сделанных нами предположениях о параметрах задачи, как нетрудно проверить,
Дальнейшее доказательство можно условно разбить на два этапа. Сначала мы покажем, что в нашей ситуации справедливы условия леммы 6 и, таким образом, справедлива оценка локальной массы решения через соответствующую локальную массу начальной функции. А затем мы последовательно применим леммы § 2 по описанной там схеме доказательства теоремы 1. Из условия (3.1) следует, что вне некоторого достаточно большого шара радиуса $R_{2a}$ выполнено соотношение
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{|B_{R}(x_{0})|}\int_{B_{R}(x_{0})}| u_{0}|^{\beta -1}u_{0}(x)\,dx\leqslant 2a, \qquad |x_{0}|\geqslant R_{2a}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим точку $x_{0}\in R^{N}$ с $|x_{0}|\geqslant R_{2a}$ и рассмотрим массу решения в шаре некоторого радиуса $R$ с центром в этой точке, т.е. рассмотрим величину Проверим, что существует такая достаточно большая константа $M$, что выполнено условие (2.8) леммы 6 с $R=Mt^{\varkappa }$ и некоторым $\sigma \in (0,1)$. То есть проверим, что для такого $R$ выполнено
$$
\begin{equation}
I\equiv t^{\beta/k}R^{-1}E^{d/k}\leqslant \gamma_{5}, \qquad t\geqslant t_{a}, \qquad E\equiv \int_{B_{R(1+\sigma )}(x_{0})}u^{\beta }\,dx .
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Имеем, обозначая $R_{\sigma }=R(1+\sigma )$,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I &=t^{\beta/k}R^{-1}\biggl(\sup_{0<\tau <t}\int_{B_{R(1+\sigma )}(x_{0})}u^{\beta }\,dx\biggr)^{d/k} \\ \notag &=(1+\sigma )t^{\beta/k}\sup_{0<\tau <t} \biggl( R_{\sigma}^{-k/d}\int_{B_{R(1+\sigma )}(x_{0})}u^{\beta }\,dx\biggr)^{d/k} =Ct^{\beta/k}\sup_{0<\tau <t}|||u(\cdot ,\tau )|||_{R_{\sigma }}^{d/k} \\ &\leqslant CC_{0}t^{\beta/k}|||u_{0}|||_{R_{\sigma}}^{d/k}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
где мы воспользовались оценкой решения (1.14). Пользуясь неравенством (2.1) леммы 1, продолжим оценку (3.9) так:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I &\leqslant CC_{0}t^{\beta/k}(f_{0}(R_{\sigma })R_{\sigma }^{-\beta p/d})^{d/k} \leqslant C_{\sigma }C_{0}M_{0}^{d/k}t^{\beta/k}R^{-\beta p/k} \\ &=C_{\sigma }C_{0}M_{0}^{d/k}t^{\beta/k}(Mt^{\varkappa})^{-\beta p/k} =\frac{C_{\sigma}C_{0}M_{0}^{d/k}}{M^{\beta p/k}}t^{\beta/k-\varkappa\beta p/k} \\ &=\frac{C_{\sigma }C_{0}M_{0}^{d/k}}{M^{\beta p/k}}t^{-\beta d/(k(\beta -r))} \leqslant \frac{C_{\sigma}C_{0}M_{0}^{d/k}}{M^{\beta p/k}}t_{a}^{-\beta d/(k(\beta -r))}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где мы воспользовались определениями $d$ и $\varkappa $ и их положительностью. Таким образом, выбирая $M$ достаточно большим в зависимости от данных задачи, мы можем добиться выполнения условия (3.8) при $t\geqslant t_{a}$. Следовательно, на основании леммы 6 доказано, что при сделанном выборе $M$ для любого $x_{0}\in R^{N}$ выполнена оценка массы решения через массу начальной функции в шарах радиуса $Mt^{\varkappa }$ с центром в этой точке, т.е.
$$
\begin{equation}
\sup_{0<\tau <t}\int_{B_{Mt^{\varkappa }}(x_{0})}u^{\beta}(x,\tau )\,dx \leqslant 2\int_{B_{Mt^{\varkappa }(1+\sigma )}(x_{0})}u_{0}^{\beta }(x)\,dx.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Переходим теперь к применению этой оценки для доказательства теоремы. Пусть $t>t_{a}$ фиксирован. Из определения $t_{a} $ следует, что при таком $t$ выполнено Далее, из условия (3.1) вытекает, что для $x_{0}\in R^{N}$ с достаточно большим $| x_{0}| $ выполнено
$$
\begin{equation}
\oint_{B_{Mt^{\varkappa }}(x_{0})}u_{0}^{\beta }(x)\,dx <\frac{\gamma_{3}}{2}t^{\beta/(\beta -r)}.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation}
R(t)=\inf_{\rho } \biggl\{\rho\colon \oint_{B_{Mt^{\varkappa}}(x_{0})}u_{0}^{\beta }(x)\,dx <\frac{\gamma_{3}}{2}t^{\beta/(\beta -r)},\, | x_{0}| >\rho\biggr \},
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
т.е. $R(t)$ – в точности из (3.7). Рассмотрим теперь $x_{0}$ с $| x_{0}| >R(t)$. Для такого $x_{0}$ в силу (7.8) выполнено соотношение (3.14). Но тогда оценка (3.10) дает
$$
\begin{equation}
\sup_{0<\tau <t}\int_{B_{Mt^{\varkappa}/(1+\sigma)}(x_{0})}u^{\beta }(x,\tau )\,dx \leqslant 2\int_{B_{Mt^{\varkappa }}(x_{0})}u_{0}^{\beta }(x)\,dx <\gamma_{3}t^{\beta/(\beta -r)}.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Следовательно, выполнено условие леммы 4 с $R=Mt^{\varkappa }/(1+\sigma )^{2}$. Но эта лемма гарантирует выполнение условий леммы 2, а последняя утверждает, что решение $u(x,t)\equiv 0$ на шаре $B_{R_{1}}(x_{0})$ с $R_{1}=M(1-\sigma )t^{\varkappa }/(1+\sigma )^{2}$. Последнее утверждение и завершает доказательство теоремы 2 в силу определения $R(t)$. § 4. Исчезновение решения за конечное времяВ этом параграфе мы покажем, что при ограничениях на данные задачи, даже несколько более общих, чем в предыдущем параграфе, просто при ограниченности средних значений от начальных данных по шару какого-либо одного фиксированного радиуса, решение обращается в тождественный нуль за конечное время. Естественно, этот момент времени определяется параметрами задачи и ее начальными данными. Докажем сначала одно несложное вспомогательное утверждение, касающееся соотношения поведения средних значений функций по шарам разного радиуса. А именно, покажем, что если ограничены средние значения функции по шарам некоторого фиксированного радиуса $r>0$, то и средние значения этой функции по шарам любого большего радиуса $R>r$ ограничены той же величиной с точностью до множителя, зависящего только от размерности пространства. Лемма 7. Пусть функция $v(x)$ определена в $R^{N}$, неотрицательна и локально интегрируема. Пусть, далее, Тогда существует такая константа $C(N) $, что для любого $R>r$ Доказательство. Пусть шар $B_{R}=B_{R}(0)$ имеет, не ограничивая общности, центр в нуле. Поместим этот большой шар в еще больший куб $K_{Lr}$ с центром симметрии в нуле, гранями, параллельными координатным плоскостям, и длиной ребра $2Lr$, где натуральное число $L$ подобрано так, что т.е. $L=[R/r]+1$, $[R/r]\geqslant 1$ – целая часть соответствующего числа. Разобьем куб $K_{Lr}$ на $(2L)^{N}$ кубов с ребрами длиной $r$ и гранями, параллельными координатным плоскостям. Поместим каждый из этих меньших кубов в свой шар $B_{r}$ радиуса $r$ и с центром в центре симметрии соответствующего малого куба. Всего таких малых шаров, естественно, $(2L)^{N}$. Оценим теперь интеграл по большему шару $B_{R}$ от функции $v(x)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{B_{r}}v(x)\,dx &\leqslant \int_{K_{Lr}}v(x)\,dx\leqslant \sum_{B_{r}}\int_{B_{r}}v(x)\,dx \\ &=r^{N}\sum_{B_{r}}\frac{1}{r^{N}}\int_{B_{r}}v(x)\,dx\leqslant ( 2Lr)^{N}M_{1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где мы воспользовались предположением (4.1). Разделив обе части этого неравенства на $R^{N}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{R^{N}}\int_{B_{R}}v(x)\,dx\leqslant \biggl(\frac{2Lr}{R}\biggr)^{N}M_{1} \leqslant 2^{N}\biggl(1+\frac{r}{R}\biggr)^{N}M_{1}\leqslant 4^{N}M_{1},
\end{equation*}
\notag
$$
где мы учли соотношение (4.3). Последнее неравенство и доказывает лемму. Перейдем теперь к вопросу о тождественном обращении решения в нуль за конечное время. Справедлива следующая теорема как следствие теоремы 2. Теорема 3. Пусть начальные данные задачи (1.1), (1.2) неотрицательны и удовлетворяют условию с некоторым фиксированным $r>0$. Тогда существует такое $T_{0}=T_{0}(p,\beta ,r,M_{1})$, что решение этой задачи $u(x,t)$ тождественно равно нулю при $t>T_{0}$: Доказательство. Доказательство этой теоремы полностью повторяет доказательство теоремы 2 с заменой предела средних на бесконечности – числа $a$ – на верхнюю оценку средних $M_{1}$.
Заметим, во-первых, что в силу леммы 7 и условия (4.4) начальные данные полностью удовлетворяют условиям теоремы 2, за исключением предела средних на бесконечности. Выберем $T_{0}$ из условия
$$
\begin{equation*}
\gamma_{3}T_{0}^{\beta/(\beta -r)}=\frac{M_{1}}{\omega_{N}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma_{3}$ – малая константа из теоремы 2, $\omega _{N}$ – объем единичного шара в $R^{N}$, и будем рассматривать $t>T_{0}$. Далее, так же, как и в теореме 2, мы получаем неравенство (3.10) и в нашем случае, т.е. оценку локальной массы решения через локальную массу начальной функции:
$$
\begin{equation*}
\sup_{0<\tau <t}\int_{B_{Mt^{\varkappa }}(x_{0})}u^{\beta }(x,\tau)\,dx \leqslant 2\int_{B_{Mt^{\varkappa }(1+\sigma )}(x_{0})}u_{0}^{\beta}(x)\,dx
\end{equation*}
\notag
$$
при достаточно большом $M$ и $t>T_{0}$. При этом в силу выбора $T_{0}$ видим, что выполнено условие
$$
\begin{equation*}
\sup_{0<\tau <t}\int_{B_{Mt^{\varkappa}/(1+\sigma)}(x_{0})}u^{\beta }(x,\tau )\,dx \leqslant 2\int_{B_{Mt^{\varkappa }}(x_{0})}u_{0}^{\beta }(x)\,dx <\gamma_{3}t^{\beta/(\beta -r)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь доказательство теоремы 3 завершается в точности так же, как и в теореме 2, на базе утверждений § 2. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Deg21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|