| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) О В. З. Гринес, Е. В. Жужома, Е. Д. Куренков Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Нижний Новгород
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9372 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеИзвестно, что непрерывное отображение $\varphi\colon \mathbb{T}^2\to\mathbb{T}^2$ двумерного тора $\mathbb{T}^2$ индуцирует в фундаментальной группе $\pi_1(\mathbb{T}^2)$ гомоморфизм $\varphi_*$, который задается целочисленной матрицей $(\varphi_*)$. Если абсолютные величины собственных значений этой матрицы не равны нулю и единице, то будем говорить, что $\varphi$ индуцирует гиперболическое действие в группе $\pi_1(\mathbb{T}^2)$. Если гомоморфизм $\varphi_*$ является изоморфизмом, то $\varphi_*$ задается целочисленной унимодулярной матрицей, а гомотопический класс, содержащий отображение $\varphi$, которое индуцирует гиперболическое действие, содержит автоморфизм Аносова. В этом случае одно собственное значение матрицы $(\varphi_*)$ по модулю меньше единицы, а второе собственное значение больше единицы. Если все собственные значения матрицы $(\varphi_*)$ по модулю больше единицы, то $\varphi_*$ является сюръективным гомоморфизмом (эпиморфизмом), а гомотопический класс с отображением $\varphi$ содержит растягивающее отображение в смысле Шуба (см. [23]). Мы рассматриваем непрерывные отображения $\varphi\colon \mathbb{T}^2\to\mathbb{T}^2$, в гомотопическом классе которых нет автоморфизмов Аносова и растягивающих отображений. Другими словами, гомоморфизм $\varphi_*$ является эпиморфизмом, и одно собственное значение матрицы $(\varphi_*)$ по модулю меньше единицы, а второе собственное значение больше единицы. Алгебраическими представителями таких отображений являются эндоморфизмы Аносова, не являющиеся диффеоморфизмами и растягивающими отображениями (напомним, что алгебраический эндоморфизм тора называется гиперболическим, если абсолютные величины собственных значений задающей его целочисленной матрицы отличны по абсолютной величине от единицы; при этом автоморфизм называется растягивающим, если все собственные значения по абсолютной величине больше единицы, в противном случае эндоморфизм называется аносовским). Такие эндоморфизмы Аносова являются транзитивными $A$-эндоморфизмами (следовательно, имеют одно базисное множество, совпадающее с тором $\mathbb{T}^2$). Метод доказательства основного результата состоит в применении так называемой хирургической операции к алгебраическому $A$-эндоморфизму Аносова, который не является диффеоморфизмом и растягивающим отображением. В 1967 г. С. Смейл (см. [22]) предложил способ построения базисных множеств, исходя из транзитивного диффеоморфизма Аносова c помощью хирургической операции, в результате которой получается $DA$-диффеоморфизм ($DA$ – от первых букв словосочетания Derived from Anosov) с базисными множествами, имеющими топологическую размерность, меньшую, чем размерность несущего многообразия. Аккуратное описание хирургической операции для автоморфизма Аносова двумерного тора $\mathbb{T}^2$ имеется в монографиях [18], [20], а основные понятия и факты теории динамических систем см., например, в книгах [10], [3] и обзорах [1], [22]. Топологическая классификация одномерных базисных множеств (аттракторов и репеллеров) была получена в серии работ В. З. Гринеса, А. Ю. Жирова, Х. Х. Калая, Р. В. Плыкина [5]–[8], [11], [14] (см. также обзор [4] и книгу [10]). Идея хирургической операции состоит в том, что в малой окрестности неподвижной седловой точки диффеоморфизма Аносова образуются одна узловая и две седловые неподвижные точки. При этом одинаково возможны следующие два сценария: 1) узловая неподвижная точка является источником; 2) узловая неподвижная точка является стоком. В случае 1) неблуждающее множество полученного $DA$-диффеоморфизма состоит из источника и нетривиального одномерного аттрактора (так называемого растягивающегося аттрактора). В случае 2) неблуждающее множество полученного $DA$-диффеоморфизма состоит из стока и нетривиального одномерного репеллера (так называемого сжимающегося репеллера). Естественной задачей является обобщение хирургической операции для эндоморфизмов Аносова, не являющихся диффеоморфизмами. Поскольку хирургическая операция является локальным возмущением отображения, а эндоморфизм Аносова является локальным диффеоморфизмом, то, на первый взгляд, рассматриваемая задача не должна представлять собой значительную проблему. Однако, как показали авторы в работе [9], сценарий 1) не приводит к $DA$-эндоморфизму с нетривиальным одномерным растягивающимся аттрактором (предварительное численное моделирование было осуществлено в работе [12]). В настоящей работе устанавливается, что сценарий 2) хирургической операции, примененной к алгебраическому эндоморфизму Аносова двумерного тора, приводит к $DA$-эндоморфизму, неблуждающее множество которого содержит одномерный репеллер, устроенный локально как произведение канторова множества на отрезок. Более того, установлено, что неустойчивое $Df$-инвариантное подрасслоение касательного пространства к репеллеру не зависит от выбора орбиты точки, а полностью определяется только самой точкой. Важно отметить, что данным свойством не обладают, вообще говоря, даже сколь угодно малые возмущения гиперболических алгебраических эндоморфизмов тора, отличных от растягивающих и автоморфизмов. Следует также заметить, что, в отличие от диффеоморфизма, одномерный репеллер $A$-эндоморфизма может быть гомеоморфен окружности. Перейдем к определениям и формулировке основного результата настоящей работы. Пусть $M^n$ – $n$-мерное ($n\geqslant 1$) замкнутое многообразие. Будем называть $C^r$-гладкое ($r\geqslant 1$) сюръективное отображение $f\colon M^n\to M^n$ $C^r$-эндоморфизмом или $C^r$-гладким эндоморфизмом. Будем называть непрерывное сюръективное отображение $f$ непрерывным эндоморфизмом или $C^0$-эндоморфизмом. Орбитой (иногда говорят $f$-орбитой) точки $x_0\in M=M^n$ называется множество $\{x_i\}_{i=-\infty}^{\infty}$ $=O(x_0)$ такое, что $f(x_i)=x_{i+1}$ для любого $i\in\mathbb{Z}$. Множество $\{x_i\}_{i=0}^{\infty}=O^+(x_0)\subset O(x_0)$ называется положительной полуорбитой точки $x_0$. Положительная полуорбита определена однозначно, в то время как множество орбит, проходящих через фиксированную точку, в общем случае может быть континуальным. Для фиксированной орбиты $\{x_i\}_{-\infty}^{\infty}=O(x_0)$ множество $\{x_i\}_{i=-\infty}^0=O^-(x_0)$ называется отрицательной полуорбитой орбиты $O(x_0)$. Точка $x\in M$ эндоморфизма $f\colon M\to M$ называется неблуждающей, если для любой окрестности $U$ точки $x$ найдется $i \geqslant 1$ такое, что $f^i(U)\cap U\neq\varnothing$. Множество неблуждающих точек образует неблуждающее множество эндоморфизма $f$ и обозначается через $\operatorname{NW}(f)$. Известно, что для неблуждающего множества всегда имеет место включение Далее предполагаем, что эндоморфизм $f$ является $C^1$-гладким. Определение 1. Орбита $O(x_0)$ эндоморфизма $f$ называется гиперболической, если существует непрерывное расщепление касательного подрасслоения $T_{O(x_0)}M=\bigcup_{i=-\infty}^{\infty}T_{x_i}M$ в прямую сумму: Отметим, что неустойчивое подрасслоение $\mathbb{E}_{O(x_0)}^{\mathrm u}$ зависит от отрицательной полуорбиты $\{x_i\}_{i=-\infty}^0$, т.е., вообще говоря, $\mathbb{E}_{O(x_0)}^{\mathrm u}\neq\mathbb{E}_{O(y_0)}^{\mathrm u}$ для $x_0=y_0$ с $O(x_0)\neq O(y_0)$. С другой стороны, для устойчивого подрасслоения имеет место равенство $\mathbb{E}_{O(x_0)}^{\mathrm s}=\mathbb{E}_{O(y_0)}^{\mathrm s}$ для любых $O(x_0)$ и $O(y_0)$ таких, что $x_0=y_0$. Другими словами, $E^{\mathrm s}_{x_i}$ завит только от точки $x_i$ и не зависит от выбора проходящей через нее орбиты. Определение 2. Инвариантное множество $\Lambda$, т.е. такое, что $f(\Lambda)=\Lambda$, называется гиперболическим, если любая орбита, лежащая в $\Lambda$, является гиперболической, причем постоянные $c>0$, $0<\mu<1$ в вышеприведенных оценках не зависят от выбора орбиты (поэтому иногда говорят о равномерной гиперболичности). Заметим, что из определения гиперболичности множества $\Lambda$ следует, что в нем не может содержаться критических точек эндоморфизма $f$, т.е. таких точек $x$, для которых производная $Df_x \colon T_xM \to T_{f(x)}M$ является не взаимно однозначным линейным отображением. Эндоморфизм $f \colon M\to M$ называется эндоморфизмом Аносова, если многообразие $M$ является гиперболическим множеством. Эндоморфизм $f \colon M\to M$ называется $A$-эндоморфизмом, если его неблуждающее множество $\operatorname{NW}(f)$ гиперболическое и в $\operatorname{NW}(f)$ всюду плотны периодические точки. Напомним, что отображение $f \colon N\to N$ называется транзитивным, если существует точка $x\in N$, положительная полуорбита которой плотна в $N$. В работе [19] (см. также [17]) доказана спектральная теорема для $A$-эндоморфизмов, в которой утверждается, что неблуждающее множество $A$-эндоморфизма $f\colon M\to M$ единственным образом с точностью до нумерации представляется в виде объединения замкнутых и попарно не пересекающихся множеств:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{NW}(f)=\Omega_1\cup\dots\cup\Omega_l, \qquad \Omega_i\cap\Omega_j=\varnothing \quad\text{при }\ i\neq j,
\end{equation*}
\notag
$$
таких, что:
Множества $\Omega_1,\dots,\Omega_l$ называются базисными множествами. Определение 3. Базисное множество $\Omega$ называется строго инвариантным репеллером, если $f^{-1}(\Omega)=\Omega$ и существует окрестность $U$ множества $\Omega$ такая, что Основным результатом статьи является следующая теорема (определения из теории ламинаций приведены в § 2). Теорема. В каждом гомотопическом классе непрерывных отображений двумерного тора, индуцирующих гиперболическое действие в фундаментальной группе, существует $C^{\infty}$-гладкий $A$-эндоморфизм $f\colon \mathbb{T}^2\to\mathbb{T}^2$, являющийся накрытием и обладающий следующими свойствами: $\bullet$ спектральное разложение $f$ состоит из двух базисных множеств, где $O$ является неподвижной притягивающей точкой (стоком), а $\Lambda$ – нетривиальный строго инвариантный репеллер, локально гомеоморфный произведению отрезка на канторово множество;$\bullet$ топологическая размерность $\Lambda$ равна единице, и $\Lambda$ является объединением одномерных устойчивых многообразий своих точек, образующих минимальную ориентируемую ламинацию, нигде не плотную на $\mathbb{T}^2$ и состоящую из нетривиально рекуррентных слоев; $\bullet$ для любой точки $x_0\in\Lambda$ неустойчивое подрасслоение $\mathbb{E}_{O(x_0)}^{\mathrm u}$ и глобальное неустойчивое многообразие $W^{\mathrm u}(x_0, O(x_0))$ не зависят от отрицательной полуорбиты $\{x_i\}_{i=-\infty}^0$, т.е. $\mathbb{E}_{O(x_0)}^{\mathrm u}=\mathbb{E}_{O(y_0)}^{\mathrm u}$ и $W^{\mathrm u}(x_0, O(x_0))=W^{\mathrm u}(x_0, O(y_0))$ для любых орбит $O(x_0), O(y_0)$ таких, что $x_0=y_0$; $\bullet$ дополнение $\mathbb T^2 \setminus \Lambda$ состоит из счетного числа областей, гомеоморфных двумерному открытому диску. Замечание. Согласно А. Пуанкаре и А. Данжуа (см. [15]) на двумерном торе существуют потоки класса $C^1$ с минимальными множествами, локально устроенными как произведение канторова множества на отрезок, дополнение к которым состоит как из конечного, так и из счетного множества областей, гомеоморфных диску. Из леммы 2.5 работы [5] следует, что дополнение до одномерного нетривиального аттрактора или репеллера $A$-диффеоморфизма двумерного тора всегда состоит из конечного числа областей, гомеоморфных диску. Однако отметим, что дополнение до репеллера $A$-эндоморфизма, удовлетворяющего теореме, состоит из счетного множества областей. Структура статьи следующая. В § 2 формулируются необходимые сведения. В § 3 приводится конструкция построения $DA$-эндоморфизма. В § 4 доказываются некоторые технические предложения, касающиеся свойств вспомогательного потока. В § 5 доказываются основные свойства построенного $DA$-эндоморфизма. Наконец, в § 6 доказывается основная теорема. § 2. Вспомогательные сведенияВ настоящем параграфе мы приведем некоторые вспомогательные определения и утверждения, которые нам понадобятся при доказательстве основного результата работы. Пусть $\Lambda$ – инвариантное гиперболическое множество некоторого $A$-эндоморфизма $f \colon M^n \to M^n$ замкнутого многообразия $M^n$. Тогда из теоремы 2.1 работы [19] следует, что существует константа $\varepsilon > 0$ такая, что локальные устойчивые и неустойчивые многообразия точек из $\Lambda$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W^{\mathrm s}_{x,\varepsilon} &= \{ y \in \mathbb T^2 \mid \rho(f^n(y), f^n(x)) < \varepsilon,\ n \geqslant 0 \}, \\ W^{\mathrm u}_{x, O(x),\varepsilon} &= \{ y \in \mathbb T^2 \mid \exists \, O(y) \text{ такое, что } \rho(y_{-n}, x_{-n}) < \varepsilon,\ n \geqslant 0 \}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $x_{-n}$ и $y_{-n}$ выбираются из орбит $O(x)$ и $O(y)$ соответственно, являются гладко вложенными дисками размерностей $\dim \mathbb E^{\mathrm s}(x)$ и $\dim \mathbb E^{\mathrm u}_{O(x)}$, которые касаются $\mathbb E^{\mathrm s}(x)$ и $\mathbb E^{\mathrm u}_{O(x)}$ соответственно. В [19; предложение 2.3] было также доказано, что гиперболическое множество $\Lambda$ эндоморфизма обладает структурой локального прямого произведения. Это означает, что существует такое $\varepsilon_0 > 0$, что для любого $0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon_0$ существует $\delta > 0$ такое, что для любых двух точек $x, y \in \Lambda$ таких, что $\rho(x, y) < \delta$, пересечение $W^{\mathrm s}_{x,\varepsilon} \cap W^{\mathrm u}_{y, O(y),\varepsilon}$ непусто и состоит ровно из одной точки. В дальнейшем в настоящей работе мы будем предполагать, что эндоморфизм $f \colon M \to M$ является накрытием. Тогда аналогично тому, как это делается для диффеоморфизмов, можно определить глобальные устойчивые и неустойчивые многообразия точек гиперболического множества $\Lambda$ следующим образом. Для произвольной точки $x \in \Lambda$ множество
$$
\begin{equation*}
\widetilde W^{\mathrm s}(x)=\bigcup_{k=0}^{\infty} f^{-k}(W^{\mathrm s}_{f^k(x),\varepsilon})
\end{equation*}
\notag
$$
будем называть глобальным устойчивым многообразием точки $x$. Заметим, что если накрытие $f$ не является диффеоморфизмом, то множество $\widetilde W^{\mathrm s}(x)$ не является связным. Однако множество
$$
\begin{equation*}
W^{\mathrm s}(x)=\bigcup_{k=0}^{\infty} \overline {f^{-k}(W^{\mathrm s}_{f^k(x),\varepsilon})}
\end{equation*}
\notag
$$
является связным, где $\overline{f^{-k}(W^{\mathrm s}_{f^k(x),\varepsilon}})$ есть поднятие диска $W^{\mathrm s}_{f^k(x),\varepsilon}$, содержащее точку $x$, в силу накрытия $f^k \colon M^n \to M^n$. Поэтому мы будем называть $W^{\mathrm s}(x)$ связным глобальным устойчивым многообразием точки $x$. Далее для краткости слово “глобальным” будем опускать. Для определения глобального неустойчивого многообразия зафиксируем орбиту $O(x) \subset \Lambda$ и назовем множество
$$
\begin{equation*}
W^{\mathrm u}(x, O(x))=\bigcup_{k=0}^\infty f^k(W^{\mathrm u}_{x_{-k}, O(p),\varepsilon}), \qquad x_{-k}\in O(x),
\end{equation*}
\notag
$$
глобальным неустойчивым многообразием точки $x$, соответствующим орбите $O(x)$. Из определения следует, что множество $W^{\mathrm u}(x, O(x))$ является связным. Приведем некоторые факты теории ламинаций на поверхностях. Подробное изложение теории ламинаций можно найти в [2]. $C^{r, l}$-гладкой $d$-мерной ламинацией на $n$-мерном многообразии $M^n$ ($1 \leqslant d \leqslant n - 1$, $0 \leqslant l \leqslant r \leqslant \infty$) называется замкнутое множество $\mathscr L \subset M^n$, которое является объединением $\bigcup_\alpha L_\alpha$ попарно не пересекающихся образов $L_\alpha$ некоторых $d$-мерных многообразий относительно некоторой $C^r$-гладкой инъективной иммерсии, и для любой точки $x \in \mathscr L$ существуют ее окрестность $U(x)$ и $C^l$-диффеоморфизм $\psi \colon U(x) \to \mathbb R^n$ такие, что любая компонента связности пересечения $U(x) \cap L_\alpha$ отображается диффеоморфизмом $\psi$ на открытое подмножество $d$-мерного подпространства $\{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb R^n \mid x_{d + 1}=c_{d + 1},\ \dots, \ x_{n}=c_{n}\}$, при этом ограничение $\psi$ на любую компоненту связности пересечения $U(x) \cap L_\alpha$ является $C^r$-диффеоморфизмом на образ. Пусть теперь $\mathscr L$ – одномерная ламинация, принадлежащая поверхности $M^2$. Введем на слое $L$ данной ламинации параметризацию $L(t)$, $-\infty < t < +\infty$. Тогда точка $x$ называется $\omega$-предельной ($\alpha$-предельной) для слоя $L$, если существует последовательность $t_n \to +\infty$ ($t_n \to -\infty$), $t_n \in \mathbb R$, такая, что $L(t_n)\,{\to}\, x$ при $n \to \infty$. Множество всех $\omega$-предельных ($\alpha$-предельных) точек слоя $L$ будем обозначать $\omega(L)$ ($\alpha(L)$). Объединение $\omega$-предельного и $\alpha$-предельного множеств слоя $L$ будем называть предельным множеством и обозначать $\lim(L)$. Положим $\operatorname{cl}(L)= \lim(L)\,{\cup}\, L$. Тогда множества $\omega(L), \alpha(L) \subset \lim(L) \subset \operatorname{cl}(L)$ являются замкнутыми множествами, состоящими из слоев ламинации $\mathscr L$, и, следовательно, сами образуют ламинации. Кроме того, если поверхность $M^2$ компактна, то каждое из указанных множеств непусто. Слой $L$ ламинации $\mathscr L$ будем называть рекуррентным, если выполнено включение $L \subset \omega(L) \cap \alpha(L)$; если, кроме того, слой$L$ является незамкнутой кривой, то мы будем называть его нетривиально рекуррентным. Подмножество $\mathscr L_1 \subset \mathscr L$ будем называть подламинацией, если подмножество $\mathscr L_1$ является ламинацией. Ламинацию $\mathscr L$ будем называть минимальной, если она не содержит собственных подламинаций. Ламинация $\mathscr L$ является минимальной тогда и только тогда, когда для любого ее слоя $L$ выполнено равенство $\lim(L)= \mathscr L$. Ламинацию $\mathscr L$, заданную на поверхности $M^2$, будем называть ориентируемой, если на слоях ламинации $\mathscr L$ можно ввести согласованную ориентацию, т.е. такую ориентацию, что для любого отрезка $\Sigma$, трансверсального слоям $\mathscr L$ (в топологическом смысле), все слои $\mathscr L$ пересекают $\Sigma$ с одинаковым индексом пересечения. Следующие утверждения о свойствах слоев ориентируемых ламинаций являются обобщениями известных результатов А. Г. Майера из [13] для траекторий потоков на поверхностях. Их доказательства носят чисто геометрический характер и фактически являются повторением соответствующих утверждений для траекторий потоков. Утверждение 1. Пусть $\mathscr L$ – одномерная ориентируемая ламинация на компактной ориентируемой поверхности $M^2$ и $L$ – ее слой такой, что он принадлежит предельному множеству $\lim(L')$ некоторого слоя $L'$. Тогда слой $L$ является рекуррентным1. Утверждение 2. Пусть $\mathscr L$ – одномерная ориентируемая ламинация на компактной ориентируемой поверхности $M^2$. Если $L$, $L'$ – нетривиально рекуррентные слои $\mathscr L$ такие, что $L' \subset \lim(L)$, то и $L \subset \lim(L')$. Утверждение 3. Пусть $\mathscr L$ – одномерная ориентируемая ламинация на поверхности $M^2$ рода $g$. Тогда в $\mathscr L$ может содержаться не более, чем $g$ нетривиально рекуррентных слоев $L_1, L_2, \dots, L_g$ таких, что $L_i \cap \lim(L_j)=\varnothing$ для любых $i \neq j$. Докажем здесь еще несколько свойств одномерных ламинаций на поверхностях, которые нам понадобятся при изучении свойств базисных множеств рассматриваемых в настоящей работе эндоморфизмов. Предложение 1. Пусть $\mathscr L$ – ориентируемая одномерная ламинация на компактной поверхности $M^2$ без замкнутых слоев. Тогда для любого ее слоя $L$ ламинация $\lim(L)$ состоит из нетривиально рекуррентных слоев. Доказательство. Пусть $L$ – произвольный слой ламинации $\mathscr L$. Рассмотрим произвольный слой $L'$ ламинации $\lim(L)$. Из утверждения 1 следует, что слой $L'$ является рекуррентным. Тогда в силу того, что в ламинации $\mathscr L$ нет замкнутых слоев, слой $L'$ является нетривиально рекуррентным. Предложение доказано. Предложение 2. Пусть $\mathscr L$ – ориентируемая одномерная ламинация на компактной поверхности $M^2$ без замкнутых слоев. Тогда если слой $L$ ламинации $\mathscr L$ является нетривиально рекуррентным, то ламинация $\operatorname{cl}(L)$ является минимальной. Доказательство. Пусть $\mathscr L_0$ – минимальная подламинация ламинации $\operatorname{cl}(L)$. Ламинация $\mathscr L_0$ существует в силу компактности поверхности $M^2$. Рассмотрим произвольный слой $L'$ ламинации $\mathscr L_0$. Из предложения 1 следует, что $L'$ является нетривиально рекуррентным слоем. Тогда из утверждения 2 следует включение $L \subset \lim(L')=\mathscr L_0$ (последнее равенство следует из минимальности $\mathscr L_0$). Следовательно, $\operatorname{cl}(L) \subset \lim(L')=\mathscr L_0$, и, значит, ламинация $\mathscr L_0$ совпадает с ламинацией $\operatorname{cl}(L)$, что доказывает минимальность последней. Предложение доказано. Предложение 3. Пусть $\mathscr L$ – ориентируемая одномерная ламинация на $\mathbb T^2$ без замкнутых слоев. Тогда $\mathscr L$ содержит единственную минимальную подламинацию $\mathscr L_0$. Доказательство. Существование минимальной ламинации $\mathscr L_0$ непосредственно вытекает из компактности поверхности $\mathbb T^2$. Предположим, что найдется минимальная подламинация $\mathscr L'_0$, отличная от $\mathscr L_0$. Рассмотрим два произвольных слоя $L$ и $L'$ ламинаций $\mathscr L_0$ и $\mathscr L'_0$ соответственно. Так как ламинация $\mathscr L$ не содержит замкнутых слоев, то из минимальности $\mathscr L_0$ и $\mathscr L'_0$ следует, что слои $L$ и $L'$ являются нетривиально рекуррентными, причем $\mathscr L_0=\lim(L)$ и $\mathscr L'_0=\lim(L')$. Из утверждения 3 следует, что выполнено хотя бы одно из включений $L \subset \lim(L')=\mathscr L'_0$ и $L' \subset \lim(L)=\mathscr L_0$, а тогда из утверждения 2 следует, что имеют место оба включения. Тогда из минимальности ламинаций $\mathscr L_0$ и $\mathscr L'_0$ вытекает, что $\mathscr L_0=\mathscr L'_0$. Предложение доказано.
§ 3. Конструкция $DA$-эндоморфизма двумерного тораДля простоты изложения мы проведем построение эндоморфизма, удовлетворяющего основной теореме из § 1, отталкиваясь от конкретного алгебраического эндоморфизма Аносова. Построение требуемого эндоморфизма в каждом гомотопическом классе двумерного тора, индуцирующего гиперболическое действие в фундаментальной группе тора, полностью аналогично. Рассмотрим алгебраический эндоморфизм $g \colon \mathbb{T}^2\to\mathbb{T}^2$ двумерного тора $\mathbb{T}^2$, индуцированный матрицей $A=\begin{pmatrix}3 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$, являющийся двулистным накрытием. Отображение $g$ является гиперболическим эндоморфизмом Аносова с устойчивым $W^{\mathrm s}_g$ и неустойчивым $W^{\mathrm u}_g$ одномерными слоениями, которые определяются собственными векторами
$$
\begin{equation*}
\vec e_{\mathrm s}=\begin{pmatrix}1-\sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \vec e_{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1+\sqrt{2} \\ 1\end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
матрицы $A$ с собственными значениями
$$
\begin{equation*}
\lambda_{\mathrm s}=2-\sqrt{2}<1, \qquad \lambda_{\mathrm u}=2+\sqrt{2}>1
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно. Эти векторы взаимно перпендикулярны. При необходимости, заменив $\vec e_{\mathrm u}$, $\vec e_{\mathrm s}$ на $\vec e_{\mathrm u} / \|\vec e_{\mathrm u}\|$, $\vec e_{\mathrm s} / \|\vec e_{\mathrm s}\|$, можно считать, что векторы $\vec e_{\mathrm u}, \vec e_{\mathrm s}$ имеют единичную норму. Будем рассматривать пару $\vec e_{\mathrm u}, \vec e_{\mathrm s}$ в качестве базисных единичных векторов системы координат $(v_1;v_2)$ таким образом, что $(1,0)$ и $(0,1)$ суть координаты векторов $\vec e_{\mathrm u}$, $\vec e_{\mathrm s}$ соответственно. Преобразование $g$ имеет неподвижную точку $O$, являющуюся образом начала координат при естественной проекции плоскости на тор. Поскольку $\det g\,{=}\,2$, то полный прообраз $g^{-1}(O)$ состоит из двух точек, $O=(0,0)$ и $O_1=(1/2,1/2)\,{\neq}\, O$. Возьмем $r_0>0$ столь малым, чтобы $\lambda_{\mathrm u}r_0$-окрестности точек $O$ и $O_1$ не пересекались. Пусть $\delta\colon [0,\infty)\to [0,1]$ есть $C^{\infty}$-функция (так называемая bump-функция) такая, что $\delta(r)\equiv 1$ при $0\leqslant r\leqslant {r_0}/{2}$, $\delta(r)\equiv 0$ при $r\geqslant r_0$ и $\delta(r)$ строго монотонна на отрезке $[{r_0}/{2}, r_0]$. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dot{v}_1 = -v_1\cdot\ln\lambda_{\mathrm u}\cdot\delta(\sqrt{v_1^2+v_2^2}) , \\ \dot{v}_2 = 0 \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
и обозначим через $\varphi^t$ сдвиг на время $t$ вдоль траекторий этой системы. Зафиксируем некоторое число Положим и назовем отображение $f$ $DA$-эндоморфизмом тора.
§ 4. Свойства потока $\varphi^t$В настоящем параграфе мы докажем некоторые технические предложения, касающиеся свойств потока $\varphi^t$, которые нам понадобятся при дальнейшем изучении свойств $DA$-эндоморфизма $f$, а именно при доказательстве лемм 3 и 4. Обозначим через $L_c$ луч $v_1\geqslant 0, v_2=c$ на плоскости $\mathbb R^2$, где $0\leqslant c\leqslant r_0$. Каждый луч $L_c$ инвариантен относительно сдвига вдоль траекторий системы (3.1), если считать, что система (3.1) задана на всей плоскости $\mathbb R^2$. Тогда ограничение системы (3.1) на $L_c$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\dot{v}=-v\cdot\ln\lambda\cdot\delta(\sqrt{v^2+c^2});
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
здесь и далее для упрощения обозначений мы опустим индекс 1 у координаты $v_1$ и индекс $u$ у $\lambda_{\mathrm u}$. Сдвиг на время $t$ вдоль потока, порожденного уравнением (4.1), обозначим через $\varphi^t_c$. Рассмотрим уравнение $t_0\delta(c)=1$. В силу строгой монотонности функции $\delta$ на отрезке $[{r_0}/{2}, r_0]$ оно имеет единственный корень $\widetilde c$, принадлежащий интервалу $({r_0}/{2}, r_0)$. Предложение 4. Значение производной ${d\varphi_c^{t_0}}/{dv}$ отображения $\varphi_c^{t_0}$ в точке $v=0$ равняется $\lambda^{- t_0\delta(c)}$, причем Доказательство. Уравнение в вариациях для (4.1) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\dot y=\biggl[ -\ln \lambda \cdot \delta(\sqrt{v^2 + c^2}) - \frac{v^2 \ln \lambda}{\sqrt{v^2 + c^2}} \cdot \delta'(\sqrt{v^2 + c^2})\biggr]y.
\end{equation*}
\notag
$$
Решая его для $v(t) \equiv 0$ с начальными условиями $y(0)=1$, получаем
$$
\begin{equation}
\frac{d\varphi_c^{t_0}}{dv} \bigg|_{v=0}=\lambda^{- t_0\delta(c)}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Из строгой монотонности функции $\delta$ на отрезке $[{r_0}/{2}, r_0]$ следует (4.2). Предложение доказано. Предложение 5. Точка $w_1$ сдвигается потоком (4.1) за время $t_0$ в точку $w_2$, $\varphi^{t_0}_c(w_1)=w_2$, тогда и только тогда, когда имеет место равенство Доказательство. Поскольку то получаем Отсюда вытекает требуемое утверждение. Предложение доказано. Для фиксированного числа $\mu > 1$ определим отображение луча $L_c$ на себя:
$$
\begin{equation*}
f_{c, \mu}\colon v\mapsto \mu\cdot \varphi^{t_0}_c(v).
\end{equation*}
\notag
$$
Для любого $0 \leqslant c < r_0$ пусть – интервал на луче $L_c$. Предложение 6. Пусть $1 < \mu < \lambda^{t_0 \delta(c)}$. Тогда отображение $f_{c, \mu}$ имеет единственную неподвижную точку2 $v_{c, \mu}^*$ на интервале $I_c$, причем Доказательство. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
\Phi_c(w_1, w_2)=-\frac{1}{t_0\ln\lambda}\int_{w_1}^{w_2}\frac{d v}{v\delta(\sqrt{v^2+c^2})}.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Из предложения 5 следует, что значение функции $\Phi_c(w_1, w_2)$ численно равно времени движения из точки $w_1$ в точку $w_2$ в силу потока (4.1), деленному на $t_0$. Положим Тогда точка, отличная от нуля, является неподвижной точкой отображения $f_{c, \mu}$ тогда и только тогда, когда значение функции $F_{c, \mu}$ в ней равняется единице.
Оценим значение функции $F_{c, \mu}(v)$ при $v$, стремящемся к левому концу интервала $I_c$. Получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{v \to +0} F_{c, \mu}(v) &=\lim_{v \to +0} \Phi_c \biggl(v, \frac{1}{\mu} v \biggr) =\lim_{v \to +0}\biggl( -\frac{1}{t_0\ln\lambda}\int_{v}^{v/\mu}\frac{d \xi}{\xi\delta(\sqrt{\xi^2+c^2})}\biggr) \\ &=\frac{1}{\delta(c) \cdot t_0}\cdot\frac{\ln \mu}{\ln \lambda} < 1 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
в силу неравенства $ \mu < \lambda^{t_0 \delta(c)}$.
Оценим теперь значение функции $F_{c, \mu}(v)$ при $v$, стремящемся к правому концу интервала $I_c$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{x \to \sqrt{r_0^2 - c^2} - 0} F_{c, \mu}(v) &=\lim_{v \to \sqrt{r_0^2 - c^2} - 0} \Phi_c \biggl(v, \frac{1}{\mu} v\biggr) \\ &=\lim_{v \to \sqrt{r_0^2 - c^2} - 0} \biggl(-\frac{1}{t_0\ln\lambda}\int_{v}^{v/\mu}\frac{d \xi}{\xi\delta(\sqrt{\xi^2+c^2})}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что функция $\delta(v)$ является гладкой и $\delta(v)=0$ при $v\geqslant r_0$. Из этого следует, что
$$
\begin{equation*}
\frac{d\delta(\sqrt{v^2 + c^2})}{dv}\bigg|_{v=\sqrt{r_0^2 - c^2}}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку, кроме того,
$$
\begin{equation*}
\delta(\sqrt{v^2+c^2})\Big|_{v=\sqrt{r_0^2-c^2}}=\delta(r_0)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
то получаем, что $\delta(\sqrt{v^2+c^2})=o(\sqrt{r_0^2-c^2} - v)$ при $v\to\sqrt{r_0^2-c^2} - 0$. Поэтому интеграл
$$
\begin{equation*}
\int_{{1}/{\mu}\cdot\sqrt{r_0^2-c^2}}^{\sqrt{r_0^2-c^2}}\frac{d \xi}{\delta(\sqrt{\xi^2+c^2})}
\end{equation*}
\notag
$$
расходится и $\lim_{v\to \sqrt{r_0^2-c^2}-0}F_{c, \mu}(v)=+\infty$.
Таким образом, найдется по крайней мере одна точка $v_{c, \mu}^* \in I_c$ такая, что $F_{c, \mu}(v_{c, \mu}^*)=1$. Следовательно, точка $v_{c, \mu}^*\in I_c$ является неподвижной точкой отображения $f_{c, \mu}$. Заметим, что при $c < {r_0}/{2}$ имеет место неравенство $v_{c, \mu}^* > \sqrt{({r_0}/{2})^2 - c^2}$. Действительно, из (4.1), (4.3) и равенства $\delta(r)\equiv 1$ при $0\leqslant r\leqslant{r_0}/{2}$ получаем, что $\varphi_c^{t_0}(v)=\lambda^{-t_0 \delta(c)}v$ при $v \leqslant \sqrt{({r_0}/{2})^2 - c^2}$. Тогда из условия $\mu < \lambda^{t_0 \delta(c)}$ вытекает требуемое неравенство, из которого теперь непосредственно следует, что для любого $0 \leqslant c < r_0$ имеет место неравенство Для доказательства единственности неподвижной точки $v_{c, \mu}^*$ достаточно доказать неравенство ${df_{c, \mu}(v)}/{d v}|_{v=v_{c, \mu}^*}>1$ для любой неподвижной точки. Равенство $\Phi_c(w_1, w_2)=1$ является неявным заданием функции $w_2\,{=}\,{1}/{\mu}\,{\cdot}\, f_{c, \mu}(w_1)$. Поэтому, учитывая (4.5), получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{df_{c, \mu}}{dv}=-\mu\cdot\frac{\partial\Phi_c/\partial w_1}{\partial\Phi_c/\partial w_2}=\mu\cdot\frac{w_2\delta(\sqrt{w_2^2+c^2})}{w_1\delta(\sqrt{w_1^2+c^2})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $w_1=v_{c, \mu}^*$ и $w_2=\frac{1}{\mu}v_{c, \mu}^*$ имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{df_{c, \mu}(v)}{d v}\bigg|_{v=v_{c, \mu}^*} =\mu\cdot\frac{\frac{1}{\mu}\cdot v_{c, \mu}^* \cdot\delta\Bigl(\sqrt{\bigl(\frac{1}{\mu}v_{c, \mu}^*\bigr)^2+c^2}\Bigr)}{v_{c, \mu}^* \cdot\delta\Bigl(\sqrt{(v_{c, \mu}^*)^2+c^2}\Bigr)} =\frac{\delta\Bigl(\sqrt{\bigl(\frac{1}{\mu}v_{c, \mu}^*\bigr)^2+c^2}\Bigr)} {\delta\Bigl(\sqrt{(v_{c, \mu}^*)^2+c^2}\Bigr)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $\sqrt{\bigl(\frac{1}{\mu}v_{c, \mu}^*\bigr)^2+c^2}<\sqrt{(v_{c, \mu}^*)^2+c^2}$. Поскольку функция $\delta(v)$ на интервале $({r_0}/{2}, r_0)$ строго монотонно убывает, то с учетом (4.6) получаем
Предложение 6 доказано. В следующем предложении изучаются свойства точки $v^*_{c, \mu}$ в частном случае, когда $\mu= \lambda$. Предложение 7. Точка $v^*_{c, \lambda}$ непрерывно зависит от $c$, и если $c_1< c_2 < \widetilde c $, то $v^*_{c_2, \lambda}<v^*_{c_1, \lambda}$. Кроме того, $v_{c, \lambda}^*$ стремится к нулю при $c$, стремящемся к $\widetilde c$ слева. Доказательство. Сохраним обозначения, использовавшиеся при доказательстве предложения 6. Для доказательства первого утверждения оценим величину $\partial v^*_{c, \lambda}/\partial c$. Так как $v^*_{c, \lambda}$ является корнем уравнения $F_{c, \lambda}(v)=1$, то имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial v^*_{c, \lambda}}{\partial c} =-\frac{\partial F_{c, \lambda}(v) / \partial c}{\partial F_{c, \lambda}(v) / \partial v} \bigg|_{v=v^*_{c, \lambda}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial F_{c, \lambda}(v)}{\partial c}\bigg|_{v=v^*_{c, \lambda}} &= -\frac{1}{t_0\ln\lambda}\int_{v^*_{c, \lambda}}^{\xi^*_{c, \lambda}/\lambda}\frac{\partial}{\partial c}\biggl(\frac{1}{\xi\delta(\sqrt{\xi^2+c^2})}\biggr)\,d\xi \\ &=\frac{1}{t_0\ln\lambda}\int_{v^*_{c, \lambda}}^{v^*_{c, \lambda}/\lambda} \frac{c}{\xi \sqrt{\xi^2 + c^2}}\, \frac{\delta'(\sqrt{\xi^2 + c^2})}{\delta^2(\sqrt{\xi^2+c^2})}\,d\xi, \\ \frac{\partial F_{c, \lambda}(v)}{\partial v} \bigg|_{v=v^*_{c, \lambda}} &= -\frac{1}{t_0\ln\lambda} \biggl(\frac{1}{v^*_{c, \lambda} \delta\Bigl(\sqrt{(v^*_{c, \lambda} / \lambda)^2 + c^2}\Bigr)} - \frac{1}{v^*_{c, \lambda} \delta\Bigl(\sqrt{(v^*_{c, \lambda})^2 + c^2}\Bigr)}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда в силу (4.6) и строгой монотонности $\delta$ на отрезке $[{r_0}/{2}, r_0]$ получаем, что при $v=v^*_{c, \lambda}$ имеют место неравенства $\partial F_{c, \lambda}(v) / \partial c > 0$ и $\partial F_{c, \lambda}(v) / \partial v > 0$, и, следовательно, $\partial v^*_{c, \lambda}/\partial c < 0$.
Покажем теперь, что $v_{c, \lambda}^* \to 0$ при $c \to \widetilde c - 0$. Для этого оценим сверху величину $v_{c, \lambda}^*$. Вначале заметим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F_{c, \lambda}(x) &=\Phi \biggl( v, \frac{1}{\lambda} v \biggr) =- \frac{1}{t_0 \ln \lambda} \int_v^{v/\lambda} \frac{d\xi}{\xi\delta(\sqrt{\xi^2 + c^2})} \notag \\ &\geqslant - \frac{1}{t_0 \ln \lambda \cdot \delta \bigl( \sqrt{{v^2}/{\lambda^2} + c^2} \bigr)} \int_v^{v/\lambda} \frac{d\xi}{\xi}=\frac{1}{t_0 \cdot \delta \bigl( \sqrt{{v^2}/{\lambda^2} + c^2} \bigr)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Зафиксируем некоторое число $\varepsilon > 0$ и положим $w_c=(\lambda + \varepsilon) \sqrt{\widetilde c^2 - c^2}$. Заметим, что при $c$, достаточно близких к $\widetilde c$, в силу включения $\widetilde c \in ({r_0}/{2}, r_0 )$ имеет место неравенство $\sqrt{{w_c^2}/{\lambda^2} + c^2} < r_0$. Тогда из (4.7), строгой монотонности $\delta$ на отрезке $[{r_0}/{2}, r_0 ]$ и включения $\widetilde c \in ({r_0}/{2}, r_0)$ получаем, что при $c$, достаточно близких к $\widetilde c$, имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
F_{c, \lambda}(w_c) \geqslant \frac{1}{t_0 \cdot \delta \bigl( \sqrt{{w_c^2}/{\lambda^2} + c^2} \bigr)} > \frac{1}{t_0 \cdot \delta \bigl( \sqrt{({\lambda \sqrt{\widetilde c^2 - c^2}})^2/\lambda^2 + c^2} \bigr)} =\frac{1}{t_0 \cdot \delta(\widetilde c)}=1.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Из (4.8) следует, что точка $v_{c, \lambda}^*$ принадлежит отрезку $[0, w_c]$. Но поскольку $w_c \to 0$ при $c \to \widetilde c - 0$, то и $v_{c, \lambda}^* \to 0$ при $c \to \widetilde c - 0$.
Предложение 7 доказано. § 5. Основные свойства $DA$-эндоморфизмаВ этом параграфе мы докажем несколько свойств эндоморфизма $f$, вытекающих непосредственно из его построения. Лемма 1. Эндоморфизм $f\colon \mathbb{T}^2\to\mathbb{T}^2$ является локальным диффеоморфизмом и двулистным накрытием, гомотопным эндоморфизму $g$. Более того, слоение $W^{\mathrm u}_g$ инвариантно относительно эндоморфизма $f$: а кривая $W^{\mathrm u}_g(O)$ инвариантна относительно $f$: $f(W^{\mathrm u}_g(O))=W^{\mathrm u}_g(O).$ Доказательство. Так как $f$ есть композиция диффеоморфизма $\varphi^{t_0}$ и локального диффеоморфизма $g$, являющегося двулистным накрытием, то $f$ есть локальный диффеоморфизм, являющийся двулистным накрытием тора. Так как сдвиг $\varphi^{t_0}$ вдоль траекторий является отображением, гомотопным тождественному, то эндоморфизм $f$ гомотопен $g$. Поскольку траектории системы (3.1) параллельны оси $Ov_1$, то слоение $W^{\mathrm u}_g$ инвариантно относительно эндоморфизма $f$. Так как точка $O$ неподвижна относительно отображений $f$ и $g$, то слой $W^{\mathrm u}_g(O)$ инвариантен относительно $f$. Лемма доказана. Пусть $(v_1(t,(v_{10};v_{20})); v_2(t,(v_{10};v_{20})))$ – решение системы (3.1) с начальным условием $(0,(v_{10};v_{20}))$. Из (3.1) следует, что $v_2(t,(v_{10};v_{20}))=v_{20}$ для любого $t$. Поэтому якобиан диффеоморфизма
$$
\begin{equation*}
\varphi^{t_0}\colon (v_{10};v_{20})\to (v_1(t_0,(v_{10};v_{20}));v_2(t_0,(v_{10};v_{20})))
\end{equation*}
\notag
$$
равен
$$
\begin{equation*}
D(\varphi^{t_0})=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial v_1}{\partial v_{10}} &\dfrac{\partial v_1}{\partial v_{20}} \\ 0 & 1 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где ${\partial v_1}/{\partial v_{10}}$, ${\partial v_1}/{\partial v_{20}}$ вычисляются при $t=t_0$. Отсюда с учетом (3.3) получаем, что якобиан эндоморфизма $f$, вычисленный в любой точке $U(r_0)$, равен
$$
\begin{equation}
Df=\begin{pmatrix} \lambda_{\mathrm u} & 0 \\0 & \lambda_{\mathrm s} \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} \dfrac{\partial v_1}{\partial v_{10}} & \dfrac{\partial v_1}{\partial v_{20}} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \lambda_{\mathrm u}\cdot\dfrac{\partial v_1}{\partial v_{10}} & \lambda_{\mathrm u}\cdot\dfrac{\partial v_1}{\partial v_{20}} \\ 0 & \lambda_{\mathrm s} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Кроме того, можно считать, что равенство (5.1) имеет место на всем торе $\mathbb{T}^2$, поскольку вне окрестности $U(r_0)$ в силу (3.1) ${\partial v_1}/{\partial v_{10}}=1$ и ${\partial v_1}/{\partial v_{20}}=0$. Лемма 2. Точка $O=p_0$ является гиперболическим стоком эндоморфизма $f$ и $r_0/2$-окрестность $U(p_0,r_0/2)$ стока $p_0$ принадлежит его области притяжения: Доказательство. В $r_0/2$-окрестности $U(p_0,r_0/2)$ точки $p_0$ система (3.1) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\widehat{v}_1=-v_1\cdot\ln\lambda_{\mathrm u}, \qquad \widehat{v}_2=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому якобиан диффеоморфизма $\varphi^{t_0}$ равен
$$
\begin{equation*}
D\varphi^{t_0}=\begin{pmatrix}e^{-t_0\ln\lambda_{\mathrm u}} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, якобиан эндоморфизма $f$ в окрестности $U(r_0/2)$ равен
$$
\begin{equation}
Df=\begin{pmatrix} \lambda_{\mathrm u} & 0 \\ 0 & \lambda_{\mathrm s} \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} e^{-t_0\ln\lambda_{\mathrm u}} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} e^{-t_0\ln\lambda_{\mathrm u}}\lambda_{\mathrm u} & 0 \\ 0 & \lambda_{\mathrm s} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \lambda_{\mathrm u}^{-t_0+1} & 0 \\ 0 & \lambda_{\mathrm s} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Отсюда в силу (3.2) вытекает требуемое утверждение. Лемма доказана. Лемма 3. На инвариантной кривой-слое $W^{\mathrm u}_g(O)$ имеются ровно три неподвижные относительно $f$ точки $p_0$, $p_1$, $p_2$, причем $p_1$ и $p_2$ являются гиперболическими седлами и $p_0$ на $W^{\mathrm u}_g(O)$ находится между точками $p_1$, $p_2$. Доказательство. Для начала заметим, что на любом инвариантном относительно $g$ слое слоения $W^{\mathrm u}_g$ содержится ровно одна неподвижная относительно $g$ точка. Действительно, пусть $l$ – инвариантный относительно $g$ слой слоения $W^{\mathrm u}_g$. Так как ограничение $g|_l$ во внутренней метрике3 является линейным растяжением в $\lambda_{\mathrm u}$ раз, то на $l$ существует единственная неподвижная точка ограничения $g|_l$.
Для доказательства существования на $W^{\mathrm u}_g(O)$ ровно трех неподвижных относительно $f$ точек достаточно рассмотреть ограничение $f$ на $U(r_0)$. Действительно, вне данной окрестности $f$ совпадает с $g$ и, следовательно, в силу того, что $O$ – единственная неподвижная относительно $g$ точка, принадлежащая слою $W^{\mathrm u}_g(O)$, $f$ не имеет вне $U(r_0)$ неподвижных точек на слое $W^{\mathrm u}_g(O)$. Из (3.1) и (3.3) непосредственно вытекает, что на $U(r_0)$ эндоморфизм $f$ является линейным сжатием по второй координате $v_2$. Таким образом, любая неподвижная относительно $f$ точка, принадлежащая $U(r_0)$, лежит на прямой, задаваемой уравнением $v_2=0$. Ограничение $f$ на луч $v_1 \geqslant 0, v_2=0$ в окрестности $U(r_0)$ совпадает с отображением $f_{0, \lambda}$. Из леммы 2 и предложения 6 следует, что отображение $f_{0, \lambda}$ на данном луче имеет ровно две неподвижные точки, $v=0$, являющуюся гиперболическим стоком, и $v=x_{0, \lambda}^*$, являющуюся гиперболическим источником, откуда в силу симметрии системы (3.1) относительно осей координат вытекает утверждение леммы. Лемма доказана. Лемма 4. Существует гомеоморфная диску окрестность $V_0$ точки $p_0$, не содержащая, за исключением $p_0$, неблуждающих точек эндоморфизма $f$, такая, что: 1) $\operatorname{cl}f(V_0)\subset V_0$, $\bigcap_{n\geqslant 0}f^n(V_0)=p_0$; 2) $\lambda_{\mathrm u}\cdot{\partial v_1}/{\partial v_{10}}>1$ вне $V_0$. Доказательство. Сохраним обозначения, использовавшиеся при доказательстве леммы 3. Из определения отображения $f_{c, \lambda}$ непосредственно вытекает, что для любой точки $(v_1, c) \in U(r_0)$ имеет место равенство $f(v_1, c)=(f_{c, \lambda}(v_1), \lambda_{\mathrm s} c)$. Согласно предложению 6 отображение $f_{c, \lambda}$ на интервале $I_c$ имеет единственную неподвижную точку $v_{c, \lambda}^*$. Из предложения 7 следует, что объединение точек $(v_{c, \lambda}^*, c)$ при $0 \leqslant c \leqslant \widetilde c$ образует график монотонно убывающей непрерывной функции. Обозначим его через $d$. Рассмотрим объединение дуги $d$ с симметричными ей дугами относительно осей координат и начала координат; обозначим его через $C$.
Из предложения 7 следует, что $C$ является замкнутой кривой без самопересечений, пересекающей оси координат в точках $(\pm v^*_{\varepsilon, \lambda}, 0)$, $(0, \pm \widetilde c)$. Кривая $C$ ограничивает открытый диск $D$ с началом координат внутри. Из предложений 6 и 7 вытекает, что все точки области $D$, за исключением $p_0$, являются блуждающими точками, положительные орбиты которых стремятся к $p_0$. Более того, поскольку вдоль ординаты эндоморфизм $f$ сжимает, то все точки кривой $C$, за исключением точек $p_1$ и $p_2$, также являются блуждающими (рис. 1). Покажем, что вне $D$, за исключением точек $(\widetilde c, 0)$ и $(-\widetilde c, 0)$, выполняется утверждение 2) леммы. Прежде всего заметим, что поскольку вне окрестности $U(r_0)$ в силу системы (3.1) выполняются равенства ${\partial v_1}/{\partial v_{10}}=1$ и ${\partial v_1}/{\partial v_{20}}\,{=}\,0$, то из (5.1) вытекает, что достаточно рассмотреть точку $(v', c)$ на луче $L_c$, лежащую вне $D$ и внутри окрестности $U(r_0)$. В силу симметрии отображения $f$ относительно замен $v_1$ на $-v_1$ и $v_2$ на $-v_2$ достаточно рассмотреть случай, когда $v' \geqslant 0$ и $c \geqslant 0$. Рассмотрим случай, когда $0 \leqslant c \leqslant \widetilde c$. Так как $(v', c)$ на луче $L_c$ лежит вне $D$, то $v_{c, \lambda}^* < v' < \sqrt{r_0^2 - c^2}$. Поэтому существует $1<\mu'<\lambda$ такое, что $v'=\mu'\varphi_c^{t_0}(v')$ (рис. 2). Следовательно, точка $v'$ является неподвижной точкой отображения $f_{c, \mu'}$, т.е. $v'=v^*_{c, \mu'}$. Для случая $c \geqslant \widetilde c$ в силу того, что ${d\varphi_c^{t_0}}/{dv} |_{v=0}= \lambda^{- t_0\delta(c)}$, получаем, что любая точка $(v',c)$ при $0 < v' < \sqrt{r_0^2 - c^2}$ является неподвижной точкой отображения $f_{c, \mu'}$ для некоторого $1 < \mu' < \lambda^{t_0 \delta(c)}$, т.е. $v'=v^*_{c, \mu'}$. Так как из предложения 6 следует, что ${df_{c, \mu'}(v)}/{dv}|_{v=v_{c, \mu'}^*} > 1$, то
$$
\begin{equation*}
\lambda\cdot\frac{\partial v_1}{\partial v_{10}}=\frac{d}{dv}f_{c,\lambda}= \frac{\lambda}{\mu'}\,\frac{d}{dv}f_{c,\mu'} > 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, неравенство $\lambda\cdot{\partial v_1}/{\partial v_{10}} > 1$ имеет место во всех точках множества $U(r_0) \setminus D$, у которых первая координата $v_1$ отлична от нуля. Рассмотрим теперь точки вида $(0, c)$ при $c > \widetilde c$. Поскольку ${d\varphi_c^{t_0}}/{dv} |_{v=0} > \lambda^{-1}$ при $c > \widetilde c$, то мы получаем, что $\lambda\cdot{\partial v_1}/{\partial v_{10}} > 1$ во всех точках вида $(0, c)$ при $c > \widetilde c$. Таким образом, неравенство $\lambda\cdot{\partial v_1}/{\partial v_{10}} > 1$ имеет место во всех точках множества $U(r_0) \setminus D$, кроме точек $(0, \pm\widetilde c)$. Рассмотрим дугу $d_\varepsilon$, совпадающую с $d$ при $c \geqslant \varepsilon$ и с отрезком $\{(v^*_{\varepsilon, \lambda}, c) \mid 0\,{\leqslant}\,c \,{\leqslant}\,\varepsilon\}$ при $c\,{\leqslant}\,\varepsilon$. Объединение дуги $d_\varepsilon$ с симметричными ей дугами относительно осей координат и начала координат обозначим через $C_\varepsilon$. Кривая $C_\varepsilon$ также является замкнутой кривой без самопересечений, пересекающей оси координат в точках $(\pm v^*_{\varepsilon, \lambda}, 0)$, $(0, \pm \widetilde c)$. Обозначим через $V_\varepsilon$ область, ограниченную кривой $C_\varepsilon$ и содержащую точку $p_0$. Нетрудно заметить, что область $V_\varepsilon$ удовлетворяет утверждению 1) леммы. Так как $f$ – $C^1$-гладкое отображение, а $V_\varepsilon$ мало отличается от $D$ при достаточно малых $\varepsilon$, то вне $V_\varepsilon$, за исключением точек $(0, \pm\widetilde c)$, выполняется утверждение 2) леммы. Обозначим через $V_0$ компоненту связности множества $f^{-1}(V_\varepsilon)$, содержащую точку $p_0$. Тогда $V_\varepsilon\subset V_0$ и, следовательно, неравенство $\lambda_{\mathrm u}\cdot{\partial v_1}/{\partial v_{10}}>1$ будет выполняться во всех точках $\mathbb T^2 \setminus V_0$. Лемма 4 доказана. Нетрудно заметить, что по построению для множества $V_0$ имеют место включения $W^{\mathrm s}_{p_0,\varepsilon} \subset V_0 \subset f^{-k}(W^{\mathrm s}_{p_0,\varepsilon})$ для некоторых $\varepsilon > 0$ и натурального $k$. Тогда непосредственно из определения глобального устойчивого многообразия $\widetilde W^{\mathrm s}(p_0)$ вытекает равенство
$$
\begin{equation*}
\widetilde W^{\mathrm s}(p_0)=\bigcup_{i\geqslant 0}f^{-i}(V_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5. Множество $\widetilde W^{\mathrm s}(p_0)$ гомеоморфно счетному объединению открытых двумерных дисков. Доказательство. Заметим, что из определения множеств $W^{\mathrm s}(p_0)$ и $\widetilde W^{\mathrm s}(p_0)$ (см. § 2) следует равенство $\widetilde W^{\mathrm s}(p_0)=\bigcup_{k=0}^\infty f^{-k}(W^{\mathrm s}(p_0))$.
Покажем сначала, что множество $W^{\mathrm s}(p_0)$ гомеоморфно открытому диску. Из определения $W^{\mathrm s}(p_0)$ непосредственно вытекает, что данное множество является открытым и связным. Покажем, что оно является односвязным. Рассмотрим произвольную замкнутую петлю $\eta \colon \mathbb S^1 \to W^{\mathrm s}(p_0)$. Из компактности $\mathbb S^1$ и непрерывности $\eta$ следует, что множество $\eta(\mathbb S^1)$ является компактным подмножеством $W^{\mathrm s}(p_0)$. Объединение $\bigcup_{k=0}^{\infty} \overline {f^{-k}(W^{\mathrm s}_{p_0,\varepsilon})}$, где под $\overline{f^{-k}(W^{\mathrm s}_{p_0,\varepsilon}})$ понимается поднятие диска $W^{\mathrm s}_{p_0,\varepsilon}$ в силу накрытия $f$, содержащее точку $p_0$, является открытым покрытием множества $\eta(\mathbb S^1)$. Из серии включений $\overline{f^{-k}(W^{\mathrm s}_{p_0,\varepsilon}}) \subset \overline{f^{-k - 1}(W^{\mathrm s}_{p_0,\varepsilon}})$, $k \in\{0\} \cup \mathbb N$, следует, что найдется $K \in \mathbb N$, для которого выполнено включение $\overline{f^{-K}(W^{\mathrm s}_{p_0,\varepsilon}}) \supset \eta(\mathbb S^1)$. Множество $\overline{f^{-K}(W^{\mathrm s}_{p_0,\varepsilon}}) \supset \eta(\mathbb S^1)$, будучи поднятием открытого диска, является открытым диском, и, следовательно, петля $\eta$ является стягиваемой в $W^{\mathrm s}(p_0)$. Таким образом, множество $W^{\mathrm s}(p_0)$ гомеоморфно отрытому диску. Так как отображение $f^k$ является $2^k$-листным накрытием для любого $k \in \{0\} \cup \mathbb N$, то множество $f^{-k}(W^{\mathrm s}(p_0))$ гомеоморфно объединению $2^k$ открытых дисков. Следовательно, множество $\widetilde W^{\mathrm s}(p_0)$ гомеоморфно объединению счетного числа открытых дисков. Лемма доказана. Лемма 6. Множество является непустым, замкнутым и строго инвариантным множеством, т.е. Доказательство. Из определения $\widetilde W^{\mathrm s}(p_0)$ следует, что точки $p_1, p_2$ не принадлежат множеству $\widetilde W^{\mathrm s}(p_0)$ и, следовательно, $\Lambda\neq\varnothing$. Кроме того, из определения множества $\widetilde W^{\mathrm s}(p_0)$ и неподвижности точки $p_0$ следует, что Отсюда получаем, что множество $\widetilde W^{\mathrm s}(p_0)$ является строго инвариантным, т.е. Поэтому $\Lambda$, будучи дополнением до открытого строго инвариантного множества, является замкнутым строго инвариантным множеством. Лемма доказана. Лемма 7. Множество $\Lambda$ гиперболическое, и неустойчивое многообразие $W^{\mathrm u}_f(q)$ для каждой точки $q\in\Lambda$ не зависит от отрицательной полуорбиты этой точки, а зависит только от самой точки $q$. Доказательство. Возьмем произвольную орбиту $O(x_0)=\{x_i\}_{-\infty}^{\infty}$, где $f(x_i)=x_{i+1}$ для любого $i\in\mathbb{Z}$, принадлежащую множеству $\Lambda$. В каждой точке $x_j\in O(x_0)$ согласно лемме 1 имеется одномерное подрасслоение $\mathbb{E}^{\mathrm u}_{x_j}$, касательное к слоению $W^{\mathrm u}(x_j)_g$. В координатах $(v_1;v_2)$ подрасслоение $\mathbb{E}^{\mathrm u}_{x_j}$ порождается вектором $\vec e_{\mathrm u}$, так как слои слоения $W^{\mathrm u}(x_j)_g$ задаются уравнениями $v_2=\mathrm{const}$. Из равенства (5.1) вытекает, что дифференциал $Df(x_j)$ имеет вид
$$
\begin{equation}
Df(x_j)=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ 0 & \lambda_{\mathrm s} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Поэтому семейство подрасслоений $\mathbb{E}^{\mathrm u}_{x_j}$ инвариантно относительно $Df|_{O(x_0)}$. Из леммы 4 и компактности множества $\Lambda$ следует, что Поэтому $\mathbb{E}^{\mathrm u}_{x_j}$ является равномерно растягивающим подрасслоением с коэффициентом растяжения, равномерно отделенным от единицы. Более того, поскольку на всем $\mathbb T^2$ имеется инвариантное относительно $Df$ одномерное распределение, порожденное вектором $\vec e_{\mathrm u}$, такое, что подрасслоение $\mathbb{E}^{\mathrm u}_{x_j}$ ему принадлежит, то мы получаем, что неустойчивое многообразие $W^{\mathrm u}_f(q)$ для каждой точки $q\in\Lambda$ не зависит от отрицательной полуорбиты этой точки, а зависит только от самой точки $q$. Другими словами, для любых орбит $O^{(1)}(q)$, $O^{(2)}(q)\subset\Lambda$ точки $q$ имеем $W^{\mathrm u}_f(q,O^{(1)}(q))=W^{\mathrm u}_f(q,O^{(2)}(q))$.
Существование устойчивого подрасслоения $\mathbb{E}^{\mathrm s}_{x_j}$ будем доказывать методом построения конусов. Из неравенства $a_{11}|_{\Lambda}\geqslant m>1$ следует существование числа $\alpha>0$ такого, что
$$
\begin{equation}
\lambda_{\mathrm s}+\alpha \Bigl|\max_{\Lambda}a_{12}\Bigr| < m.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Рассмотрим в касательном пространстве $T_{x_j}$ каждой точки $x_j\in O(x_0)$ конус
$$
\begin{equation*}
C(x_j)=\{(v_1;v_2)\colon |v_2|\geqslant\alpha |v_1|\}\subset T_{x_j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $f$ – это локальный диффеоморфизм, то его дифференциал $Df(x_j)$: $T_{x_j}\to T_{x_{j+1}}$ есть линейный изоморфизм касательных пространств. Изоморфизм $[Df(x_{j})]^{-1}\colon T_{x_{j+1}}\,{\to}\, T_{x_{j}}$, обратный к $Df(x_j)$, обозначим через $Df(x_{j+1})^{-1}$ (рис. 3).
Другими словами,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Df(x_j)\circ Df(x_{j+1})^{-1}=\mathrm{id}\colon T_{x_{j+1}}\to T_{x_{j+1}}, \\ Df(x_{j+1})^{-1}\circ Df(x_j)=\mathrm{id}\colon T_{x_{j}}\to T_{x_{j}}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Из (6.1) следует, что $Df(x_{j+1})^{-1}$ в базисе $(\vec e_{\mathrm u};\vec e_{\mathrm s})$ определяется матрицей
$$
\begin{equation}
Df(x_{j+1})^{-1}=\frac{1}{\Delta} \begin{pmatrix} \lambda_{\mathrm s} & -a_{12} \\ 0 & a_{11} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
где $a_{11}$, $a_{12}$ вычисляются в точке $x_j$ и $\Delta=a_{11}\lambda_{\mathrm s}$. Для
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\vec v}=(v_1;v_2)^{\top}=v_1\vec e_{\mathrm u}+v_2\vec e_{\mathrm s}\in C(x_{j+1}), \qquad |v_1|\neq 0,
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
Df(x_{j+1})^{-1}\boldsymbol{\vec v}=\frac{1}{\Delta} \begin{pmatrix} \lambda_{\mathrm s} & -a_{12} \\ 0 & a_{11} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} =\frac{1}{\Delta}\ \begin{pmatrix} \lambda_{\mathrm s}\cdot v_1-a_{12}v_2 \\ a_{11}v_2 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (5.4) и неравенство $|v_2|\geqslant\alpha |v_1|$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha |\lambda_{\mathrm s}\cdot v_1-a_{12}v_2| &\leqslant\alpha\lambda_{\mathrm s}|v_1|+\alpha|a_{12}|\cdot|v_2|\leqslant\lambda_{\mathrm s}|v_2|+\alpha|a_{12}|\cdot|v_2| \\ &=(\lambda_{\mathrm s}+\alpha|a_{12}|)|v_2| < m|v_2|\leqslant a_{11}|v_2|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $Df(x_{j+1})^{-1}\boldsymbol{\vec v}$ принадлежит внутренности $\operatorname{int}C(x_j)$ конуса $C(x_j)$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
Df(x_{j+1})^{-1}(C(x_{j+1}))\subset \operatorname{int}C(x_j)\subset C(x_j).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
Df(x_k)^{-k}=Df(x_1)^{-1}\circ Df(x_2)^{-1}\circ\cdots\circ Df(x_k)^{-1}\colon T_{x_k}\to T_{x_0}, \qquad k\geqslant 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Из изложенного вытекает следующее включение для любого $j\in\mathbb{N}$:
$$
\begin{equation*}
Df(x_{j})^{-j}(C(x_{j}))\subset \operatorname{int} C(x_0)\subset C(x_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждой точки $x_0\in\Lambda$ положим
$$
\begin{equation*}
\bigcap_{j\geqslant 1}Df(x_j)^{-j}(C(x_j))\stackrel{\rm def}{=}L_{x_0}\subset \operatorname{int}C(x_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $L_{x_0}$ как пересечение вложенных друг в друга конусообразных множеств является множеством касательного пространства $T_{x_0}$, инвариантным относительно умножения на действительные числа. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, L_{x_0}=\bigcap_{j\geqslant 1}[Df(x_1)^{-1}\circ\cdots\circ Df(x_j)^{-1}](C(x_j)), \\ L_{f(x_0)}=\bigcap_{j\geqslant 2}[Df(x_2)^{-1}\circ\cdots\circ Df(x_j)^{-1}](C(x_j)) , \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
то, учитывая (5.5), получаем, что $Df(L_{x_0})=L_{f(x_0)}$, т.е. множества $L_{x_j}$ инвариантны относительно $Df$. Покажем, что $L_0=L_{x_0}$ является прямой в пространстве $T_{x_0}$. Возьмем векторы $\boldsymbol{\vec v}=(v_1;v_2)^{\top}=v_1\vec e_{\mathrm u}+v_2\vec e_{\mathrm s}$, $\boldsymbol{\vec w}=(w_1;w_2)^{\top}=w_1\vec e_{\mathrm u}+w_2\vec e_{\mathrm s}\in C(x_{j+1})$, $|w_1|, |v_1|\neq 0$. Пусть $Df(x_{j+1})^{-1}\boldsymbol{\vec v}=(v_1^{(1)};v_2^{(1)})^{\top}$, $Df(x_{j+1})^{-1}\boldsymbol{\vec w}=(w_1^{(1)};w_2^{(1)})^{\top}$. В силу (5.6) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|\frac{v_1^{(1)}}{v_2^{(1)}}-\frac{w_1^{(1)}}{w_2^{(1)}}\biggr| &=\biggl|\frac{\lambda_{\mathrm s}\cdot v_1-a_{12}v_2}{a_{11}v_2}-\frac{\lambda_{\mathrm s}\cdot w_1-a_{12}w_2}{a_{11}w_2}\biggr| =\biggl|\frac{\lambda_{\mathrm s}\cdot(v_1w_2-v_2w_1)}{a_{11}v_2w_2}\biggr| \\ &=\frac{\lambda_{\mathrm s}}{a_{11}}\biggl|\frac{v_1}{v_2}-\frac{w_1}{w_2}\biggr| \leqslant \frac{\lambda_{\mathrm s}}{\min_{\Lambda}a_{11}}\biggl|\frac{v_1}{v_2}-\frac{w_1}{w_2}\biggr| =\frac{\lambda_{\mathrm s}}{m}\biggl|\frac{v_1}{v_2}-\frac{w_1}{w_2}\biggr|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{v_1^{(j+1)}}{v_2^{(j+1)}}-\frac{w_1^{(j+1)}}{w_2^{(j+1)}}\biggr| \leqslant\frac{\lambda_{\mathrm s}^{j+1}}{m^{j+1}}\biggl|\frac{v_1}{v_2}-\frac{w_1}{w_2}\biggr|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $Df(x_{j+1})^{-j-1}\boldsymbol{\vec v}=(v_1^{(j+1)};v_2^{(j+1)})^{\top}$, $Df(x_{j+1})^{-j-1}\boldsymbol{\vec w}=(w_1^{(j+1)};w_2^{(j+1)})^{\top}$. Поскольку ${\lambda_{\mathrm s}}/{m}<1$, то
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{v_1^{(j+1)}}{v_2^{(j+1)}}-\frac{w_1^{(j+1)}}{w_2^{(j+1)}}\biggr|\to 0 \quad\text{при }\ j\to\infty .
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекает, что $L=\bigcap_{j\geqslant 1}Df(x_j)^{-j}(C(x_j))$ есть прямая, которая определяет одномерное подрасслоение в пространстве $T_{x_0}$. Обозначим это подрасслоение через $\mathbb{E}^{\mathrm s}_{x_0}$. Так как в качестве $x_0$ можно взять любую точку множества $\Lambda$, то мы получаем подрасслоение $\mathbb{E}^{\mathrm s}_x$ для всех точек $x\in\Lambda$. Поскольку подрасслоение $\mathbb{E}^{\mathrm s}_{x}$, $x\in\Lambda$, получается геометрически как пересечение вложенных друг в друга конусов, то из непрерывности и изоморфности отображений $Df$, $Df^{-1}$ вытекает инвариантность $\mathbb{E}^{\mathrm s}_{\Lambda}$ относительно $Df$, $Df(\mathbb{E}^{\mathrm s}_x)=\mathbb{E}^{\mathrm s}_{f(x)}$, $x\in\Lambda$. Подрасслоение $\mathbb{E}^{\mathrm s}_{x}$, $x\in\Lambda$, является равномерно сжимающим. Действительно, возьмем вектор $(a,b)^{\top}\in\mathbb{E}^{\mathrm s}_{x}$ для некоторой точки $x\in\Lambda$. Тогда в силу того, что матрица $Df$ имеет треугольный вид, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &Df(x) \begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ 0 & \lambda_{\mathrm s} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{11}a+a_{12}b \\ \lambda_{\mathrm s}\cdot b\end{pmatrix}, \qquad \dots \\ &\qquad \dots ,\qquad Df^n(x) \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} A \\ \lambda_{\mathrm s}^n\cdot b \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Векторы $(a,b)^{\top}\in\mathbb{E}^{\mathrm s}_{x}$, $\dots$, $(A,\lambda_{\mathrm s}^n\cdot b)^{\top}\in\mathbb{E}^{\mathrm s}_{f^n(x)}$ равномерно отделены от прямой $v_2=0$, порожденной вектором $\vec e_{\mathrm u}$, поскольку они лежат в конусе $C(x)$ вида $|v_2|\geqslant \alpha|v_1|$, где $\alpha>0$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\|(v_1,v_2)^{\top}\| \leqslant |v_1|\,\|\vec e_{\mathrm u}\| + |v_2|\,\|\vec e_{\mathrm s}\|=|v_1| + |v_2|\leqslant\biggl(1 + \frac 1 \alpha\biggr)|v_2|.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $M=\sup_{\|\boldsymbol{\vec v}\|=1} \|v_2\vec e_{\mathrm u}\|=\sup_{\|\boldsymbol{\vec v}\|=1} |v_2|$, где $\boldsymbol{\vec v}=v_1\vec e_{\mathrm u}+v_2\vec e_{\mathrm s}$. Данный супремум конечен, так как норма является непрерывной функцией, а множество единичных по норме векторов компактно. Тогда для любого вектора $\boldsymbol{\vec v}=v_1\vec e_{\mathrm u}+v_2\vec e_{\mathrm s}$ имеет место неравенство $|v_2| \leqslant M \|\boldsymbol{\vec v}\|$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\biggl\|Df^n(x)\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}\biggr\| =\|(A,\lambda_{\mathrm s}^n\cdot b)^{\top}\| \leqslant\biggl(1 + \frac 1\alpha\biggr)\cdot\lambda_{\mathrm s}^n\cdot |b| \leqslant \lambda_{\mathrm s}^n\cdot\biggl(1 + \frac 1\alpha\biggr) \cdot M \cdot \|(a,b)^{\top}\|,
\end{equation*}
\notag
$$
что доказывает равномерную сжимаемость подрасслоения $\mathbb{E}^{\mathrm s}_{x}$, $x\in\Lambda$. Лемма 7 доказана. Отметим, что согласно лемме 7 неустойчивое многообразие $W^{\mathrm u}_f(q)$ каждой точки $q\in\Lambda$ не зависит от отрицательной полуорбиты (лежащей в $\Lambda$) этой точки, а зависит только от самой точки $q$. Поэтому для такой точки обозначение неустойчивого многообразия $W^{\mathrm u}_f(q)$ корректно. Следствие. Для каждой точки $q\in\Lambda$ неустойчивое многообразие $W^{\mathrm u}_f(q)$ всюду плотно в $\mathbb{T}^2$. Доказательство. Согласно лемме 1 имеет место равенство $W^{\mathrm u}_f(q)=W^{\mathrm u}_g(q)$ для любой точки $q\in\Lambda\setminus W^{\mathrm u}_g(p_0)$, а для точек $q \in W^{\mathrm u}_g(p_0)$ имеет место включение $W^{\mathrm u}_f(q) \subset W^{\mathrm u}_g(p_0)$. Так как $W^{\mathrm u}_g(q)$ всюду плотно в $\mathbb{T}^2$, то достаточно доказать лемму только для $W^{\mathrm u}_f(p_1)$ и $W^{\mathrm u}_f(p_2)$. Из лемм 1, 3 вытекает равенство Поскольку каждый из полуслоев множества $W^{\mathrm u}_g(p_0)\setminus\{p_0\}$ всюду плотен в $\mathbb{T}^2$, то неустойчивые многообразия $W^{\mathrm u}_f(p_1)$, $W^{\mathrm u}_f(p_2)$ всюду плотны в $\mathbb{T}^2$. Следствие доказано.
§ 6. Доказательство основной теоремыДоказательство основной теоремы будет фактически вытекать из следующих лемм, представляющих самостоятельный интерес. Лемма 8. Для любой точки $q\in\Lambda$ устойчивое многообразие $W^{\mathrm s}_f(q)$ принадлежит $\Lambda$. Включение $W^{\mathrm s}_f(q)\subset\Lambda$ для любого $q \in \Lambda$ следует непосредственно из определения устойчивого многообразия точки $q \in \Lambda$. Лемма 9. Множество $\Lambda$ является одномерной ориентируемой $C^{0, 0}$-ламинацией без замкнутых слоев. Доказательство. Так как множество $\Lambda$ является замкнутым, то для доказательства того, что $\Lambda$ является одномерной $C^{0, 0}$-ламинацией, достаточно доказать, что для любой точки из $\Lambda$ существует гомеоморфизм, заданный в некоторой окрестности данной точки, распрямляющий слои $\Lambda$. Зафиксируем для каждой точки $x \in \Lambda$ некоторую орбиту $O(x)$ эндоморфизма $f$. Для упрощения обозначений будем опускать символ $O(x)$ в записи локального неустойчивого многообразия $W^{\mathrm u}_{x,O(x),\varepsilon}$ эндоморфизма $f$. Кроме того, везде в этой лемме, где речь идет об устойчивых и неустойчивых многообразиях эндоморфизма $f$, мы не используем индекс $f$; когда же речь пойдет об инвариантных многообразиях эндоморфизма $g$, мы будем использовать индекс $g$.
Рассмотрим произвольную точку $x \in \Lambda$. Обозначим через $\delta$ константу, существующую в силу локальной структуры прямого произведения на $\Lambda$, для которой пересечение $W^{\mathrm s}_{y,\varepsilon} \cap W^{\mathrm u}_{z,\varepsilon}$ непусто и состоит ровно из одной точки для любых $y, z \in \Lambda$ таких, что $\rho(y, z) < \delta$ для некоторого фиксированного $\varepsilon$ (см. § 2). Пусть $U$ – замкнутая окрестность точки $x$ диаметра меньше $\delta$ такая, что компонента линейной связности пересечения $U$ с кривой $W^{\mathrm u}_g(x)$, содержащая точку $x$, является замкнутым интервалом $I$, а пересечение $U$ с локальным устойчивым многообразием $W^{\mathrm s}_{x,\varepsilon}$ является замкнутым интервалом $J$. В силу замкнутости множеств $I$ и $\Lambda$ пересечение $\Lambda \cap I$ является замкнутым подмножеством $I$. Тогда для любой пары точек $y \in \Lambda \cap I$ и $z \in J$ пересечение $W^{\mathrm s}_{y,\varepsilon} \cap W^{\mathrm u}_{z,\varepsilon}$ непусто и состоит из единственной точки. Выберем пару отрезков $I_1$ и $J_1$, обладающих следующими свойствами: 1) $x \in I_1 \subset I$, $x \in \operatorname{int}J_1 \subset J_1 \subset J$; 2) $W^{\mathrm s}_{x_i,\varepsilon} \cap W^{\mathrm u}_{y_j,\varepsilon} \in U$ для любых $i, j= 1, 2$, где $x_1$, $x_2$ – концы отрезка $I_1$ ($x_1, x_2 \in \Lambda$), а $y_1$, $y_2$ – концы отрезка $J_1$; 3) точка $x$ является внутренней точкой множества $I_1 \cap \Lambda$ в индуцированной топологии (заметим, что при таком требовании либо одна из точек $x_1$, $x_2$, либо обе могут, вообще говоря, совпадать с точкой $x$). Существование таких отрезков непосредственно вытекает из непрерывной зависимости локальных устойчивых и неустойчивых многообразий от точки (см., например, [19; теорема 2.1]). Тогда кривые $W^{\mathrm s}_{x_1,\varepsilon}$, $W^{\mathrm s}_{x_2,\varepsilon}$, $W^{\mathrm u}_{y_1,\varepsilon}$, $W^{\mathrm u}_{y_2,\varepsilon}$ ограничивают замкнутое множество $V$ такое, что пересечение $V \cap \Lambda$ является замкнутой окрестностью точки $x$ в $\Lambda$ (рис. 4). Покажем, что пересечение $V \cap \Lambda$ совпадает с множеством $V \cap \bigcup_{y \in I_1 \cap \Lambda} W^{\mathrm s}_{y, \varepsilon}$. Действительно, в силу конструкции множества $V$ для любой точки $z \in V \cap \Lambda$ пересечение $W^{\mathrm s}_{z,\varepsilon} \cap I_1$ непусто и состоит из единственной точки $w$, тогда в силу леммы 8 получаем, что $w \in W^{\mathrm s}_{z,\varepsilon} \subset \Lambda$, и, следовательно, имеет место включение $z \in W^{\mathrm s}_{w,\varepsilon} \subset \bigcup_{y \in I_1 \cap \Lambda} W^{\mathrm s}_{y, \varepsilon}$. Построим гомеоморфизм $\psi \colon V \to [0, 1] \times [0, 1]$, распрямляющий слои $\Lambda$. Для этого зададим на $V$ пару трансверсальных слоений. В качестве первого из них возьмем слоение $V \cap \bigcup_{y \in J_1} W^{\mathrm u}_{y,\varepsilon}$, совпадающее с ограничением слоения $W^{\mathrm u}_g$ на множество $V$. Дополним теперь множество $V \cap \bigcup_{x \in I_1 \cap \Lambda} W^{\mathrm s}_{x, \varepsilon}$ до слоения на $V$. Введем в окрестности $V$ гладкие локальные координаты так, чтобы кривые $W^{\mathrm u}_{y,\varepsilon}$ лежали на прямых $y=\mathrm{const}$. Так как множество $I_1 \cap \Lambda$ замкнуто, то его дополнение $I_1 \setminus \Lambda$ состоит не более чем из счетного числа открытых интервалов. Пусть $x'$, $x''$ – границы некоторого такого интервала из $I_1 \setminus \Lambda$. В выбранных локальных координатах кривые $W^{\mathrm s}_{x',\varepsilon}$, $W^{\mathrm s}_{x'',\varepsilon}$ представляют собой графики $C^\infty$-гладких функций $x=\xi_1(y)$, $x=\xi_2(y)$. Рассмотрим область, ограниченную кривыми $W^{\mathrm s}_{x',\varepsilon}$, $W^{\mathrm s}_{x'',\varepsilon}$, $W^{\mathrm u}_{y_1,\varepsilon}$, $W^{\mathrm u}_{y_2,\varepsilon}$, и построим в ней липшицево по переменной $x$ поле направлений, на границе совпадающее с множеством касательных к кривым $\xi_1$, $\xi_2$, по формуле
$$
\begin{equation*}
k(x, y)=\frac{x - \xi_2(y)}{\xi_1(y) - \xi_2(y)}\,\frac{d \xi_1(y)}{dy} + \frac{\xi_1(y) - x}{\xi_1(y) - \xi_2(y)}\,\frac{d \xi_2(y)}{dy}.
\end{equation*}
\notag
$$
Интегральные кривые данного поля направлений образуют второе слоение на $V$, трансверсальное первому. Теперь нетрудно построить гомеоморфизм $\psi$, переводящий слои каждого из построенных слоений на координатные линии квадрата $[0, 1] \times [0, 1]$. Отсутствие замкнутых слоев непосредственно вытекает из того, что слоями ламинации $\Lambda$ являются глобальные устойчивые многообразия, которые по своему построению являются незамкнутыми кривыми. Ориентируемость $\Lambda$ непосредственно следует из ориентируемости слоения $W^{\mathrm u}_g$ и трансверсальности слоев $\Lambda$ к слоям $W^{\mathrm u}_g$. Лемма 9 доказана. Лемма 10. $\Lambda$ содержит единственную минимальную подламинацию $\Lambda_0$, состоящую из нетривиально рекуррентных слоев. Более того, $\Lambda_0=\lim(L)$ для любого слоя $L$ из ламинации $\Lambda$. Доказательство. Существование и единственность минимальной ламинации $\Lambda_0$ непосредственно вытекает из предложения 3. Докажем вторую часть утверждения. Рассмотрим произвольный слой $L$ ламинации $\Lambda$. Из предложения 1 следует, что ламинация $\lim(L)$ состоит из нетривиально рекуррентных слоев. Рассмотрим произвольный слой $L' \subset \lim(L)$, тогда из предложения 2 следует, что ламинация $\operatorname{cl}(L')$ является минимальной и, значит, $\operatorname{cl}(L')\,{=}\,\Lambda_0$. Таким образом, имеет место включение $L' \subset \Lambda_0$, и в силу произвольности $L'$ получаем равенство $\Lambda_0=\lim(L)$. Лемма доказана. Лемма 11. Множество $\Lambda_0$ является назад-инвариантным относительно эндоморфизма $f$, т.е. $f^{-1}(\Lambda_0)=\Lambda_0$. Доказательство. Обозначим через $L_1$ слой ламинации $\Lambda$, проходящий через неподвижную точку $p_1$ эндоморфизма $f$, т.е. $L_1=W^{\mathrm s}_f(p_1)$. Пусть $L_2$ – слой ламинации $\Lambda$, являющийся поднятием слоя $L_1$ в силу накрытия $f$, не проходящим через неподвижную точку $p_1$, т.е. $L_2=W^{\mathrm s}_f(p'_1)$, где $p'_1$ – прообраз точки $p_1$ относительно эндоморфизма $f$, отличный от $p_1$. Тогда имеют место равенства $f(L_2)=f(L_1)=L_1$.
Из леммы 10 непосредственно следует, что $\Lambda_0=\lim(L_1)= \lim(L_2)$. Рассмотрим произвольную точку $x \in f^{-1}(\Lambda_0)$. Так как имеет место включение $f(x) \in \Lambda_0$, то найдется последовательность точек $\{y_i\}_{i \in \mathbb N}$, $y_i \in L_1$, сходящаяся к точке $f(x)$. В силу того, что $f$ является накрытием, найдутся окрестности $V$ и $W$ точек $x$ и $f(x)$ соответственно такие, что ограничение $f|_V \colon V \to W$ является диффеоморфизмом. Тогда в окрестности $V$ найдется последовательность точек $\{y'_i\}_{i \in \mathbb N}$, сходящаяся к точке $x$, такая, что $f(y'_i)=y_i$. Из включения $y'_i \in L_1 \cup L_2$ следует, что найдется подпоследовательность $\{y'_{i_j}\}_{j \in \mathbb N}$, состоящая из точек, принадлежащих только одному из слоев $L_1$ или $L_2$. Таким образом, имеет место по крайней мере одно из включений $x \in \lim(L_1)$ и $x \in \lim(L_2)$. Отсюда вытекает $x \in \Lambda_0$, и, следовательно, в силу произвольности выбора точки $x \in f^{-1}(\Lambda_0)$ имеет место включение $f^{-1}(\Lambda_0) \subset \Lambda_0$. Поскольку множество $f^{-1}(\Lambda_0)$, будучи прообразом замкнутого множества при непрерывном отображении, является замкнутым, то оно является подламинацией ламинации $\Lambda_0$. Из минимальности ламинации $\Lambda_0$ получаем, что $f^{-1}(\Lambda_0)= \Lambda_0$. Лемма доказана. Лемма 12. Устойчивое многообразие $W^{\mathrm s}_f(p_1)$ точки $p_1$ принадлежит минимальной подламинации $\Lambda_0$. Доказательство. Рассмотрим ограничение эндоморфизма $f$ на кривую $W^{\mathrm u}_g(p_0)$. Для удобства будем считать, что на кривой $W^{\mathrm u}_g(p_0)$ задана внутренняя метрика. Тогда из леммы 1 и того факта, что $W^{\mathrm u}_g(p_0)$ является незамкнутой кривой без самопересечений, следует, что ограничение $f$ на кривую $W^{\mathrm u}_g(p_0)$ является диффеоморфизмом во внутренней метрике кривой. Обозначим этот диффеоморфизм через $h$. Из леммы 3 вытекает, что отображение $h$ имеет ровно три неподвижные точки: $p_0, p_1, p_2$, причем точки $p_1, p_2$ являются гиперболическими источниками, а $p_0$ – гиперболическим стоком. Обозначим через $l_1$ объединение компоненты линейной связности $W^{\mathrm u}_g(p_0) \setminus p_1$, не содержащей точки $p_0$, и точки $p_1$. Покажем, что все точки на $l_1$ стремятся к $p_1$ под действием $h^{-1}$. Рассмотрим произвольную точку $x \in l_1$, отличную от $p_1$, тогда в силу того, что $h$ является диффеоморфизмом, последовательность $\{h^{-i}(x)\}_{i \in \mathbb N}$ является монотонной последовательностью на кривой $l_1$. Нетрудно заметить, что каждый последующий член данной последовательности расположен на $l_1$ ближе к $p_1$, чем предыдущий, так как в противном случае из того, что $p_1$ – сток диффеоморфизма $h^{-1}$, следовало бы, что на кривой $l_1$ существует еще одна неподвижная точка, отличная от $p_1$. Таким образом, последовательность $\{h^{-i}\}_{i \in \mathbb N}$ должна сходиться к некоторой точке $x^* \in l_1$. Но точка $x^*$ должна быть неподвижной точкой диффеоморфизма $h$ и, следовательно, совпадает с $p_1$.
Так как кривая $l_1$ всюду плотна на $\mathbb T^2$ и трансверсально пересекает слои $\Lambda$, то на $l_1$ должна найтись точка $y \in \Lambda_0$. Рассмотрим последовательность $\{h^{-i}(y)\}_{i \in \mathbb N}$, сходящуюся к $p_1$. Из леммы 11 следует, что последовательность $\{h^{-i}(y)\}_{i \in \mathbb N}$ целиком содержится в $\Lambda_0$. Тогда из замкнутости $\Lambda_0$ следует, что $p_1 \in \Lambda$, и, значит, выполнено включение $W^{\mathrm s}_f(p_1) \subset \Lambda_0$. Лемма доказана. Лемма 13. Множества $\bigcup_{n=0}^\infty f^{-n}(W^{\mathrm s}_f(p_1))$ и $\bigcup_{n=0}^\infty f^{-n}(W^{\mathrm s}_f(p_1))$ всюду плотны в $\Lambda$. Доказательство. Рассуждения проведем для точки $p_1$, для точки $p_2$ доказательство аналогично. Рассмотрим произвольную точку $q \in \Lambda$ и ее произвольную окрестность $U_q$. Пусть $I$ – компонента линейной связности пересечения $W^{\mathrm u}_f(q) \cap U_q$, содержащая точку $q$. Для доказательства леммы достаточно показать, что найдется $N \geqslant 0$ такое, что $f^{N}(I) \cap W^{\mathrm s}_f(p_1)$, так как в этом случае
Напомним, что из равенства (5.1) следует, что дифференциал $Df(x)$ имеет вид
$$
\begin{equation}
Df(x)=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ 0 & \lambda_{\mathrm s} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Для удобства будем считать, что на $\mathbb T^2$ задана стандартная риманова метрика и касательные векторы к координатным линиям $(v_1=t, v_2=\mathrm{const})$ и $(v_1=\mathrm{const}, v_2=t)$ являются единичными и ортогональными. Пусть $J$ – произвольная дуга, лежащая на некотором слое слоения $W^{\mathrm u}_g$. Тогда для ее длины имеет место равенство $\displaystyle L(J)=\int_{t_1}^{t^2} |v'_1(t)|\,dt$, где $\psi\colon [t_1, t_2] \to \mathbb T^2$ – некоторая гладкая параметризация дуги $J$. В силу инвариантности слоения $W^{\mathrm u}_g$ относительно $f$ и диагонального вида дифференциала $Df$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
L(f(J))= \int_{t_1}^{t_2} |a_{11}(v_1(t), v_2(t)) v'_1(t)|\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\eta=\min_{x \in \mathbb T^2 \setminus V} a_{11}$, где $V_0$ – окрестность, определенная в лемме 4. Тогда из леммы 4 следует, что $\eta > 1$. Таким образом, если дуга $J$ не пересекается с $V_0$, то $L(f(J)) \geqslant \eta L(J)$.
Рассмотрим последовательность $\{f^k(q)\}_{k \in \mathbb N}$. Зафиксируем некоторую ее предельную точку $q^*$. В силу инвариантности $\Lambda$ относительно $f$ и замкнутости $\Lambda$ имеет место включение $q^* \in \Lambda$. Пусть $\{k_i\}_{i \in \mathbb N}$ – возрастающая последовательность натуральных чисел такая, что $f^{k_i}(q) \to q^*$. Поскольку кривая $W^{\mathrm u}_g(q^*)$ пересекается с $V_0$, а любой участок дуги $f^{k_i}(I)$, не пересекающийся с $V_0$, увеличивается за одну итерацию $f$ не менее чем в $\eta$ раз, то найдется элемент $N_1$ последовательности $\{k_i\}_{i \in \mathbb N}$ такой, что $f^{N_1}(I) \cap V_0 \neq \varnothing$. Рассматривая вместо дуги $I$ произвольную компоненту линейной связности $I_1$ множества $I \setminus q$, по аналогичным соображениям получаем, что для некоторого достаточно большого $N_2$ имеет место $f^{N_2}(I) \cap V_0 \neq \varnothing$. Таким образом, без ограничения общности можно считать, что каждая из компонент линейной связности множества $f^{N_1}(I) \setminus f^{N_1}(q)$ пересекается с $V_0$. Пусть $q_1$, $q_2$ – точки, принадлежащие различным компонентам линейной связности $I \setminus q$, такие, что $f^{N_1}(q_1), f^{N_1}(q_2) \in V_0$. Так как $V_0$ принадлежит бассейну притяжения стока $p_0$, то $f^{k_i}(q_1), f^{k_i}(q_2) \to p_0$. Из того, что $f^{k_i}(q) \to q^* \in \Lambda$, теперь следует, что при некотором достаточно большом $N \in \{k_i\}_{i \in \mathbb N}$ по крайней мере одна из компонент линейной связности кривой $f^N(I) \setminus f^N(q)$ пересечется с $W_f^{\mathrm s}(p_1)$ (рис. 5). Лемма доказана. Лемма 14. Имеют место следующие утверждения. 1. Множества $W^{\mathrm s}_f(p_1)$ и $W^{\mathrm s}_f(p_2)$ всюду плотны в $\Lambda$. 2. Справедливо равенство $\Lambda=\Lambda_0$. 3. Топологическая размерность множества $\Lambda$ равна единице: $ \dim\Lambda =1$. 4. Множество $\Lambda$ локально гомеоморфно прямому произведению канторова множества на отрезок. 5. В множестве $\Lambda$ содержится всюду плотное подмножество трансверсальных гомоклинических точек. Доказательство. Из леммы 13 следует, что глобальное устойчивое многообразие
$$
\begin{equation*}
\widetilde W^{\mathrm s}(p_i)=\bigcup_{n=0}^{+\infty}f^{-n}(W^{\mathrm s}_f(p_i)), \qquad i=1, 2,
\end{equation*}
\notag
$$
плотно в $\Lambda$ (определение неустойчивого многообразия дано в § 2). Но из лемм 11 и 12 следует, что выполнено включение Из минимальности ламинации $\Lambda_0$ следует, что замыкание кривой $W^{\mathrm s}_f(p_i)$ содержит $\bigcup_{n=0}^{+\infty}f^{-n}(W^{\mathrm s}_f(p_i))$. Отсюда немедленно вытекает равенство $\Lambda=\Lambda_0$. Поэтому множества $W^{\mathrm s}_f(p_1)$ и $W^{\mathrm s}_f(p_2)$ всюду плотны в $\Lambda$. Утверждения 1, 2 доказаны.
Докажем утверждение 3. Покажем, что множество $\Lambda$ является замкнутым нигде не плотным множеством. Предположим противное, тогда существует область $B$ на $\mathbb T^2$, в которой $\Lambda$ плотно, но тогда из замкнутости $\Lambda$ следует, что $B \setminus \Lambda=\varnothing$. Так как дополнение $\mathbb T^2 \setminus \Lambda$ открыто и непусто, то множество $\Lambda$ не является всюду плотным, а тогда существует точка $x \in \Lambda$, принадлежащая границе $\partial \Lambda$. Пусть $L$ – слой $\Lambda$, содержащий точку $x$, а $\Sigma$ – некоторая достаточно малая секущая для $\Lambda$, проходящая через точку $x$. Из минимальности $\Lambda$ следует, что слой $L$ всюду плотен в $\Lambda$, а тогда кривая $L$ пересекается с $B$. В силу непрерывной зависимости слоев ламинации на компактных множествах слои $\Lambda$, пересекающие $B$, должны пересекать $\Sigma$ по некоторому множеству $\Sigma_1$, содержащему открытый интервал $\Sigma_2 \subset \Sigma$, содержащий точку $x$. Получаем противоречие с тем, что $x \in \partial \Lambda$; это доказывает, что $\Lambda$ нигде не плотно в $\mathbb T^2$. Из того, что $\Lambda$ нигде не плотно, следует неравенство $\dim\Lambda\leqslant 1$. Так как $\Lambda$ содержит одномерные кривые $W^{\mathrm s}_f(q)$, $q\in\Lambda$, то $\dim\Lambda\geqslant 1$. Отсюда получаем равенство $\dim\Lambda =1$. Докажем утверждение 4. Пусть $\Sigma$ – замкнутая достаточно малая секущая к $\Lambda$. Из леммы 9 следует, что множество $\Lambda$ локально гомеоморфно прямому произведению множества $\Sigma \cap \Lambda$ на отрезок. Из минимальности ламинации $\Lambda$ следует, что множество $\Sigma \cap \Lambda$ не имеет изолированных точек. В силу теоремы Гуревича (см. [16]) для компактного множества $A$ и одномерного множества $B$ имеет место равенство $\dim (A \times B)=\dim A + 1$. Тогда из равенства $\dim \Lambda=1$ следует, что множество $\Sigma \cap \Lambda$ является нульмерным. Таким образом, множество $\Sigma \cap \Lambda$, будучи нульмерным совершенным компактным подмножеством метрического пространства, является канторовым множеством. Докажем утверждение 5. Поскольку каждое из устойчивых многообразий $W^{\mathrm s}_f(p_1)$, $W^{\mathrm s}_f(p_2)$ всюду плотно в $\Lambda$, а в силу следствия из § 5 каждое из неустойчивых многообразий $W^{\mathrm u}_f(p_1)$, $W^{\mathrm u}_f(p_2)$ всюду плотно на $\mathbb{T}^2$, то в $\Lambda$ всюду плотны гомоклинические точки $W^{\mathrm u}_f(p_1)\,{\cap}\, W^{\mathrm s}_f(p_1)$, $W^{\mathrm u}_f(p_2)\,{\cap}\, W^{\mathrm s}_f(p_2)$. Из наличия гиперболической структуры вытекает, что все эти точки являются трансверсальными гомоклиническими точками. Лемма 14 доказана. Лемма 15. Для любой точки $q\in\Lambda$ ограничения $f|_{W^{\mathrm s}_f(q)}$, $f|_{W^{\mathrm u}_f(q)}$ эндоморфизма $f$ на $W^{\mathrm s}_f(q)$ и $W^{\mathrm u}_f(q)$ соответственно являются взаимно однозначными отображениями Доказательство. Из условий леммы следует, что ограничение $f|_{W^{\mathrm s}_f(q)}$ ($f|_{W^{\mathrm u}_f(q)}$) эндоморфизма $f$ на $W^{\mathrm s}_f(q)$ ($W^{\mathrm u}_f(q)$) может быть задано в виде гладкой функции $y=h^{\mathrm s}(x)$ ($y=h^{\mathrm u}(x)$), определенной на прямой $\mathbb R$. При этом $h^{\mathrm s}(x)$ ($h^{\mathrm u}(x)$) имеет непрерывную производную в каждой точке и является локальным диффеоморфизмом.
Теперь предположим, что утверждение леммы неверно. Тогда существуют различные точки $a, b$ на прямой $\mathbb R$ такие, что $h^{\mathrm s}(a)=h^{\mathrm s}(b)$ ($h^{\mathrm u}(a)=h^{\mathrm u}(b)$). Но тогда по теореме Ролля существует точка из интервала $(a,b)$, в которой производная функции $h^{\mathrm s}(x)$ ($h^{\mathrm u}(x)$) равна нулю, что противоречит существованию производной обратной функции к $h^{\mathrm s}(x)$ ($h^{\mathrm u}(x)$) в окрестности этой точки. Лемма доказана. Лемма 16. Множество $\Lambda$ состоит из неблуждающих точек, и периодические точки плотны в $\Lambda$. Доказательство. Покажем, что сколь угодно близко к трансверсальной гомоклинической точке $q_0$ из $W^{\mathrm s}_f(p_1) \cap W^{\mathrm u}_f(p_1)$ существуют периодические точки. Обозначим через $[p_1,q_0]^{\mathrm s}$ (соответственно $[p_1,q_0]^{\mathrm u}$) дугу многообразия $W^{\mathrm s}_f(p_1)$ (соответственно $W^{\mathrm u}_f(p_1)$) с концевыми точками $p_1$, $q_0$.
Докажем сначала, что существует замкнутая окрестность $P$ дуги $[p_1,q_0]^{\mathrm s}$ такая, что для некоторого $k\in\mathbb{N}$ ограничение $f^k|_{P}$ является диффеоморфизмом на свой образ, образующим на $P$ отображение типа подковы Смейла (рис. 6). Действительно, так как каждая из дуг $[p_1,q_0]^{\mathrm s}$, $[p_1,q_0]^{\mathrm u}$ компактна, а их пересечение трансверсально, то оно состоит из конечного числа точек $\{p_1, q_0, q_2, \dots, q_l\}$. Пусть $q_{\mathrm s}$ – ближайшая из них к $p_1$ точка на дуге $[p_1, q_0]^{\mathrm s}$, отличная от нее самой. Возьмем дугу $[p_1,q'_0]^{\mathrm s}\subset W^{\mathrm s}_f(p_1)$ такую, что
$$
\begin{equation*}
[p_1,q_0]^{\mathrm s}\subset [p_1,q'_0]^{\mathrm s}, \quad [p_1,q'_0]^{\mathrm s}\cap [p_1,q_0]^{\mathrm u}=[p_1,q_0]^{\mathrm s}\cap [p_1,q_0]^{\mathrm u}, \qquad q_0 \not\in [f(q'_0), p_1]^{\mathrm s}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу трансверсальности пересечений $W^{\mathrm s}_f(p_1)$ с $W^{\mathrm u}_f(p_1)$ такая дуга существует. Пусть $t \in \mathbb N$ – целое число такое, что точка $f^t(q'_0)$ лежит на дуге $[p_1, q_0]^{\mathrm s}$ между точками $q_{\mathrm s}$ и $p_1$. Далее, на $[p_1,q_0]^{\mathrm u}$ возьмем точку $\widetilde{p}$, достаточно близкую к $p_1$, такую, что $f^k(\widetilde{p})=q_0$ для некоторого $k\in\mathbb{N}$ и $[p_1, q'_0]^{\mathrm s} \cap [p_1, f^t(\widetilde p)]^{\mathrm u}\,{=}\,\{p_0\}$. Поскольку на $[p_1,q_0]^{\mathrm u}$ имеются точки, неограниченно близкие к $p_1$ из отрицательной полуорбиты точки $q_0$, то такая точка $\widetilde{p}$ существует. Положим $T=[p_1,q'_0]^{\mathrm s}\cup [p_1,\widetilde{p}]^{\mathrm u}$. Из леммы 15 и равенства $[p_1, q'_0]^{\mathrm s} \cap [p_1, f^t(\widetilde p)]^{\mathrm u}=\{p_0\}$ следует, что ограничения итераций $f,\dots,f^k$ на $T$ являются диффеоморфизмами на образ. Так как множество $T$ компактное, то для каждой итерации $f^j$, $1\leqslant j\leqslant k$, существует окрестность $U_j$ множества $T$ такая, что ограничение $f^j|_{U_j}\colon U_j\to f^j(U_j)$ является диффеоморфизмом на свой образ. Отсюда вытекает, что пересечение $\bigcap_{j=1}^kU_j$ содержит требуемую замкнутую окрестность $P$. Поскольку $f^k|_{P}\colon P\to f^k(P)$ и $p_1$ является неподвижной гиперболической точкой относительно $f^k$, то можно применить теорему Смейла из [22] (см. также [21] и [20]) о существовании сколь угодно близких к $q_0$ периодических точек. Так как $q_0$ принадлежит замыканию множества периодических точек, то $q_0$ является неблуждающей точкой. Отсюда в силу плотности множества трансверсальных гомоклинических точек в $\Lambda$ вытекает, что $\Lambda$ состоит из неблуждающих точек и периодические точки плотны в $\Lambda$. Лемма 16 доказана. Лемма 17. Устойчивое многообразие $\widetilde W^{\mathrm s}_f(p_0)$ точки $p_0$ всюду плотно в $\mathbb{T}^2$. В силу равенства $\mathbb{T}^2\setminus \widetilde W^{\mathrm s}_f(p_0)=\Lambda$ достаточно доказать, что $\Lambda$ нигде не плотно. Но данный факт немедленно вытекает из того, что в силу леммы 14 множество $\Lambda$ локально гомеоморфно прямому произведению канторова множества на отрезок. Доказательство теоремы. Из лемм 2, 7 и 16 вытекает, что $f$ является $A$-эндоморфизмом и равенство $ \operatorname{NW}(f)=\{O\}\,{\cup}\,\Lambda $ представляет собой спектральное разложение неблуждающего множества на базисные множества. При этом $O$ является тривиальным аттрактором (стоком), а $\Lambda$ в силу леммы 14 является строго инвариантным репеллером, локально гомеоморфным прямому произведению канторова множества на отрезок. Второй пункт утверждения теоремы непосредственно следует из лемм 8, 9, 14 и 17. Третий пункт утверждения теоремы непосредственно вытекает из лемм 1 и 3. Последнее утверждение следует из леммы 5. Теорема доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GriZhuKur21} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|