| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) Интерполяционные последовательности и неполные системы экспонент на кривых Р. А. Гайсин Институт математики с вычислительным центром, Уфимский федеральный исследовательский центр Российской академии наук, г. Уфа
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9370 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеТеорема Мюнца утверждает, что система $\{x^{\lambda_n}\}$ $(0<\lambda_n\uparrow\infty)$ полна в $C[a,b]$ $(0<a<b)$ тогда и только тогда, когда Пусть $I$ – отрезок, не параллельный мнимой оси. Для того чтобы система $\{e^{\lambda_n z}\}$ была полна в $C(I)$, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (1.1) (см. [1]). Для произвольных дуг $\gamma$ теорема Мюнца не имеет места. Она справедлива, если $\gamma$ есть ломаная, состоящая из конечного числа отрезков, но не имеющая вертикальных хорд (см. [2]). Для спрямляемых дуг $\gamma$, у которых все хорды имеют угловые коэффициенты, не превосходящие по модулю $q<1$, условие (1.1) достаточно для того, чтобы система $\{e^{\lambda_n z}\}$ была полна в $C(\gamma)$ (см. [3]). Здесь $C(\gamma)$ – пространство непрерывных на $\gamma$ функций $f$ с нормой $\|f\|=\max_{z\in\gamma}|f(z)|$. В случае, когда $\gamma$ составлена из конечного числа аналитических дуг $\gamma_s$: $y=f_{s}(x)$, $|f_{s}'(x)|<1$, такой же результат установлен в [4]. Позже этот факт для кусочно гладких дуг, составленных из гладких дуг $\gamma_s$ с теми же свойствами, был доказан в [1], но при дополнительном требовании $\inf_{n}(\lambda_{n+1}-\lambda_n)\,{>}\,0$. С другой стороны, в [3] и [5] показано, что если $\gamma$ – аналитическая дуга и то система $\{e^{\lambda_n z}\}$ не полна в $C(\gamma)$. В [6] этот результат получен для некоторого класса бесконечно дифференцируемых дуг, содержащего и множество всех аналитических дуг, а именно доказанаТеорема 1. Пусть выполняется условие (1.2), а Предположим, что последовательность $\{M_n\}_{n=0}^\infty$ ($M_n>0$, $M_0=1$) удовлетворяет следующим требованиям. $1^{0}$. Последовательность $\{M_n\}$ логарифмически выпукла: $M_n^2\leqslant M_{n-1}M_{n+1}$ ($n\geqslant1$). $2^{0}$. $\sup_{n\geqslant1}({M_{n+1}}/{M_n})^{1/n}<\infty$. $3^{0}$. Последовательность $\{m_n^{1/n}\}$, $m_n={M_n}/{n!}$, возрастающая. $4^{0}$. $\lim_{n\to\infty}|M_{2n}a_{2n}|^{1/(2n)}=0$. Если $\gamma=\{z\in\mathbb{C}\colon z=\varphi(t),\ 0\leqslant t\leqslant1\}$ – дуга класса $ E(M_n;\gamma)$, то система экспонент $\{e^{\lambda_n z}\}$ не полна в $C(\gamma)$. Здесь
$$
\begin{equation*}
E(M_n;\gamma)=\Bigl\{f\in C^\infty(\gamma)\colon \max_{z\in\gamma}|f^{(n)}(z)|\leqslant C_f M_n\ (n\geqslant0)\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что условия $1^0$, $3^0$ в теореме 1 будут выполнены, если последовательность $\{m_n\}$ логарифмически выпукла: $m_n^2\leqslant m_{n-1}m_{n+1}$ $(n\geqslant1)$. Пусть $\gamma=\{z\in\mathbb{C}\colon z=\varphi(t),\ 0\leqslant t\leqslant1;\ a=\varphi(0),\ b=\varphi(1)\}$ – спрямляемая дуга, а
$$
\begin{equation*}
C_{00}(M_n;\gamma)=\bigl\{f\in E(M_n;\gamma)\colon f^{(n)}(a)=f^{(n)}(b)=0\ (n\geqslant0)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В [7] доказана Теорема 2. Пусть $\Lambda=\{\lambda_n\}$ $(0<\lambda_n\uparrow\infty)$, $\varlimsup_{n\to\infty} (n/\lambda_n)<\infty$. Если класс $C_{00}(\widehat{M}_{n-2};\gamma)$ не является тривиальным (т.е. содержит функцию, не равную тождественно нулю), то система экспонент $\{e^{\pm\lambda_n z}\}$ не полна в $C(\gamma)$. Здесь1
$$
\begin{equation*}
\widehat{M}_n=\sup_{r>0}\frac{r^n}{Q(ir)} \quad (n\geqslant0),
\end{equation*}
\notag
$$
где $Q$ – целая функция экспоненциального типа, заданная произведением Вейерштрасса (1.3). В условиях теоремы 2 система $\{e^{\pm\lambda_n z}\}$ обладает также свойством минимальности – для нее существует биортогональная система в $C(\gamma)$ (см. [8]). Ясно, что $C_{00}(\widehat{M}_n;\gamma)\subset E(\widehat{M}_n,\gamma)$. Но в [8] не дан ответ на вопрос о том, при каких условиях класс $C_{00}(\widehat{M}_n;\gamma)$ нетривиален. Поэтому один из авторов данной работы (Дж. Сиддики) этот вопрос сформулировал в виде открытой проблемы (см. [9; проблема 1]; далее – проблема Сиддики). В случае, когда последовательность $\Lambda$ подчинена следующим условиям регулярности:
$$
\begin{equation}
\lambda_n\geqslant\mu_n, \qquad 0<\mu_n\uparrow\infty, \qquad \frac{n}{\mu_n}\downarrow0, \qquad \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\mu_n}<\infty,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
положительный ответ на проблему Сиддики дан в работе [10] для класса дуг ограниченного наклона, т.е. для дуг $\gamma$, все хорды которых имеют угловые коэффициенты, не превосходящие по модулю числа $q=q(\gamma)<\infty$. Как было отмечено, из условия нетривиальности класса Сиддики $C_{00}(\widehat{M}_{n-2};\gamma)$ (условия Сиддики) следует неполнота системы $\{e^{\lambda_n z}\}$ в $C(\gamma)$ для любой спрямляемой дуги $\gamma$. При выполнении условий регулярности (1.4) неполнота системы экспонент в $C(\gamma)$ разными способами, не опирающимися на условие Сиддики, доказана в статьях [11] (для $q(\gamma)<1$) и [12] (для $q(\gamma)<\infty$). Оказывается, группа условий (1.4) эквивалентна каждому из следующих условий (см. [13]): а) сходится билогарифмический интеграл (условие Левинсона)
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^d \ln\ln H(\delta)\,d\delta, \quad H(\delta)=\int_{0}^\infty Q(ir)e^{-\delta r}\,dr \qquad (\delta>0),
\end{equation*}
\notag
$$
где $d>0$ такое, что $H(d)=e$; б) $n(t)\leqslant \omega(t)$, где $n(t)=\sum_{\lambda_n\leqslant t}1$, $\omega=\omega(t)$ – некоторая положительная вогнутая функция, заданная на $\mathbb{R}_{+}=[0,\infty)$, такая, что Возникает вопрос: будет ли выполняться условие Сиддики, если система $\{e^{\pm\lambda_n z}\}$ не полна в $C(\gamma)$? В [14] доказано следующее утверждение. Пусть $\gamma$ – дуга ограниченного наклона, в каждой точке которой существуют обе односторонние производные (в концах – односторонние), причем $q(\gamma)<1$. Для того чтобы для любого $\varepsilon$ $(0<\varepsilon\leqslant1)$ класс $C_{00}(\varepsilon^n \widehat{M}_{n-2};\gamma)$ не был тривиальным, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\eta$ $(0<\eta\leqslant1)$ система экспонент $\{e^{\pm\lambda_n\eta z}\}$ была не полна в $C(\gamma)$. Этот результат для рассматриваемого класса дуг носит окончательный характер, но все же оставляет чувство неудовлетворенности из-за того, что он не сформулирован в терминах последовательности $\Lambda=\{\lambda_n\}$ показателей. В [12] доказан следующий результат. Пусть $\lim_{n\to\infty}(n/\lambda_n)=0$, $h(\delta)=h_{-}(\delta) h_{+}(\delta)$, где2
$$
\begin{equation*}
h_{+}(\delta)=\int_{0}^\infty Q(ir)e^{-\delta r}\,dr, \quad h_{-}(\delta)=\int_{0}^{\infty} |Q(r e^{i\delta})|^{-1} e^{-\delta r}\,dr \qquad(\delta>0).
\end{equation*}
\notag
$$
Если функция $h$ удовлетворяет билогарифмическому условию Левинсона
$$
\begin{equation}
\int_{0}^d \ln\ln h(\delta)\,d\delta<\infty, \qquad h(d)\geqslant e,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
то система $\{e^{\lambda_n z}\}$ усиленно не полна относительно прямоугольников (определение см. в [12], а также ниже, в § 4). Отсюда следует, что данная система не полна в $C(\gamma)$, где $\gamma$ – любая спрямляемая кривая. Выбирая $d>0$ подходящим образом, можно считать, что $h_{+}(d)\geqslant e$ и $h_{-}(d)\geqslant e$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\ln\ln h(\delta)\geqslant\frac{1}{2}(\ln\ln h_{+}(\delta)+\ln\ln h_{-}(\delta)).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, как известно, Значит,
$$
\begin{equation*}
\ln\ln h(\delta)\leqslant\ln\ln h_{+}(\delta)+\ln\ln h_{-}(\delta)+\ln2.
\end{equation*}
\notag
$$
Так что условие (1.5) равносильно выполнению условия Левинсона для каждой из функций $h_{+}$ и $h_{-}$. Пусть $W$ – класс положительных, неограниченно возрастающих и непрерывных на $\mathbb{R}_{+}$ функций $w$ таких, что (в этом случае говорят, что $w$ принадлежит классу сходимости $W$).Цель настоящей статьи – показать, что система $\{e^{\pm\lambda_n z}\}$ усиленно не полна относительно вертикальных полос, если будет выполнена следующая пара условий:
$$
\begin{equation}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\lambda_n}<\infty; \qquad \int_{0}^{\lambda_n} \frac{\mu(t;\lambda_n)}{t}\,dt \leqslant w(\lambda_n) \quad (n\geqslant1),
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
где $\mu(t;\lambda_n)$ – число точек $\lambda_k\neq\lambda_n$ из отрезка $\{h\colon |h-\lambda_n|\leqslant t\}$. Отметим, что условия (1.5) и (1.6) независимы (см. [12], [15]), но пара условий из (1.6) существенно слабее требований критерия Б. Берндсона интерполяционности последовательности $\Lambda\subset\mathbb{N}$ – достаточного условия сходимости билогарифмического интеграла (1.5) (более подробно об этом см. в [12]). Как показано в [15], [16], пара условий (1.6) равносильна условиям (1.2) и (1.7) или (1.2) и (1.8), где:
$$
\begin{equation}
{-}\ln\prod_{\substack{k\neq n\\ \lambda_n/2\leqslant\lambda_k\leqslant 2\lambda_n}} |1-\frac{\lambda_n}{\lambda_k}|\leqslant w(\lambda_n) \quad (n\geqslant1), \qquad w\in W;
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
$$
\begin{equation}
{-}\ln |Q'(\lambda_n)|\leqslant w(\lambda_n) \quad (n\geqslant1), \qquad w\in W.
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Следует также отметить, что критерий Б. Берндсона состоит также из двух условий: оценок $n(t)\leqslant w(t)$ и (1.7), но с некоторой вогнутой функцией $w\in W$ (см. [12]). С другой стороны, выполнение условий (1.6) необходимо и достаточно для того, чтобы последовательность $\Lambda$ была интерполяционной в следующем смысле (см. [16]): существует такая функция $w$ из $W$, что для всех $b_n\in\mathbb{C}$, $|b_n|\leqslant1$, найдется целая функция $g$ такая, что
$$
\begin{equation*}
g(\lambda_n)=b_n \quad (n\geqslant1), \qquad \max_{|z|=r}|g(z)|=M_g(r)\leqslant e^{w(r)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это определение можно распространить и на все различные комплексные узлы интерполяции $\lambda_n$ $(n\geqslant1)$, упорядоченные в порядке неубывания модулей. В случае, когда мажоранта $w\in W$ вогнута, аналогичное понятие введено в [2], [11]. Соответствующая последовательность $\Lambda$ называется при этом интерполяционной в смысле Павлова–Коревара–Диксона (см. [16]). Результаты настоящей статьи, в отличие от работ [2], [11] и [12], получены для более общего случая и без какого-либо предположения о вогнутости мажоранты $w$ – она принадлежит только классу сходимости $W$. § 2. Вспомогательные фактыНам понадобится один вариант леммы типа Бореля–Неванлинны, т.е. утверждение следующего характера. Для положительной неубывающей на $\mathbb{R}_{+}=[0,\infty)$ функции $u$ такой, что $u(x)\to\infty$ при $x\to\infty$, для всякого $\varepsilon>0$ при всех $x>0$ вне некоторого исключительного множества $E_{\varepsilon}\subset\mathbb{R}_{+}$ малой меры выполняется оценка где $h(x)$ – некоторая положительная функция, как правило, стремящаяся к нулю при $x\to\infty$.Данная оценка находит широкое применение в теории рядов экспонент целых и мероморфных функций. Имеются различные варианты и модификации этой леммы, которые значительно расширяют область ее применения (см. [17]). В [18] доказана Лемма 1. Пусть $w\in W$. Через $v=v(\sigma)$ обозначим решение уравнения где $u=u(\sigma)$ – некоторая неубывающая непрерывная на $\mathbb{R}_{+}$ функция, $u(\sigma)\to\infty$ при $\sigma\to\infty$. Тогда при $\sigma\to\infty$ вне некоторого объединения отрезков конечной суммарной длины выполняется где $L$ $(0<L<\infty)$ – фиксированная постоянная, $\delta=w(v(\sigma))/v(\sigma)$. Здесь докажем аналогичную лемму. В ней уточняются как сама оценка функции $u$, так и мера исключительного множества, вне которого верна эта оценка. Справедлива Лемма 2. Пусть $u$ и $w$ удовлетворяют условиям леммы 1, $v=v(\sigma)$ – решение уравнения (2.1). Тогда для каждого $a\geqslant0$, для всякого $\nu\in (0,1)$ при всех $\sigma\geqslant a$ вне некоторого множества $E\subset [a,\infty)$ конечной меры $mE$, выполняется оценка где $\delta={w(v(\sigma))}/{v(\sigma)}$. Эта лемма, как и лемма 1, доказывается по схеме доказательства леммы Бореля–Неванлинны (см. [17]). Поэтому обратим внимание только на отдельные моменты рассуждений, где уточняются требуемые оценки. Доказательство леммы 2. Пусть $\nu>0$, $E\subset [a,\infty)$ – замкнутое множество, на котором не выполняется оценка (2.2), т.е. Положим $E(\sigma)=E\cap[\sigma,\infty)$. Если $E(\sigma)=\varnothing$ для некоторого $\sigma\geqslant a$, то все доказано. В противном случае через $\sigma_1$ обозначим наименьшее число такое, что $\sigma_1\in E$.
Пусть $\sigma_1'$ – наименьшее из тех $\sigma$, для которых Тогда из (2.3) следует, что
$$
\begin{equation*}
0<\sigma_1'-\sigma_1\leqslant L \frac{w(v(\sigma_1))}{v(\sigma_1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\sigma_2$ – наименьшее число такое, что $\sigma_2\geqslant\sigma_1'$ и $\sigma_2\in E$. Возьмем за $\sigma_2'$ наименьшее из тех $\sigma$, для которых Тогда
$$
\begin{equation*}
0<\sigma_2'-\sigma_2\leqslant L \frac{w(v(\sigma_2))}{v(\sigma_2)}, \qquad u(\sigma_2)-u(\sigma_1)\geqslant\nu.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассуждая далее по индукции, найдем последовательности $\{\sigma_n\}$, $\{\sigma_n'\}$ такие, что
$$
\begin{equation}
0<\sigma_{n+1}'-\sigma_{n+1}\leqslant L \frac{w(v(\sigma_{n+1}))}{v(\sigma_{n+1})}, \qquad u(\sigma_{n+1})-u(\sigma_n)\geqslant\nu,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
причем Следовательно, с учетом (2.4) имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}(E\cap[0,\sigma_n])\leqslant L \sum_{k=1}^{n-1}\delta_k, \qquad \delta_k=\frac{w(v_k)}{v_k}, \quad v_k=v(\sigma_k).
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Если $2v_k\leqslant v_{k+1}$, то, очевидно,
$$
\begin{equation}
\delta_k\leqslant 2 \int_{v_k}^{v_{k+1}}\frac{w(t)}{t^2}\,dt.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
В противном случае, учитывая (2.1), (2.4), (2.5), имеем
$$
\begin{equation}
\delta_k \leqslant\frac{w(v_k)}{\nu v_k}[u(\sigma_{k+1})-u(\sigma_k)]=\frac{w(v_k)}{\nu v_k}[\ln w(v_{k+1})-\ln w(v_k)] \leqslant\frac{2}{\nu} \int_{v_k}^{v_{k+1}}\frac{dw(t)}{t}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Следовательно, из (2.5)–(2.7) окончательно получаем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mes}(E\cap[0,\sigma_n])\leqslant\frac{2L}{\nu} \,\frac{w(v_n)}{v_n}+2L \biggl(1+\frac{1}{\nu}\biggr) \int_{v_1}^{v_n}\frac{w(t)}{t^2}\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $w\in W$, то $w(t)=o(t)$ при $t\to\infty$, а если учесть, что $v_1\geqslant v(a)$, то требуемая оценка для $mE$ вытекает из предыдущего неравенства после предельного перехода. Значит, вне множества $E\subset\bigcup_{k=1}^\infty[\sigma_k,\sigma_k']$ верна оценка (2.2).
Лемма 2 доказана. Леммы 1 и 2 обычно применяются при получении асимптотических оценок для рядов Дирихле
$$
\begin{equation}
F(s)=\sum_{n=1}^\infty a_n e^{\lambda_n s} \quad (s=\sigma+it), \qquad 0<\lambda_n\uparrow\infty,
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
абсолютно сходящихся во всей плоскости. Полагая в лемме 2 $L\geqslant2$ и $u(\sigma)=\ln N+\ln\ln M_F(\sigma)$, где $N\geqslant1$ целое, $M_F(\sigma)=\sup_{|t|<\infty}|F(\sigma+it)|$ ($F$ – сумма ряда (2.8)), получаем следующее утверждение. Лемма 3. Пусть $w\in W$, $v=v(\sigma)$ – решение уравнения Тогда для любого $a\geqslant0$, для всякого $\nu\in (0,\ln 2)$ при всех $\sigma\geqslant a$ вне некоторого множества $E\subset[a,\infty)$, линейная мера $mE$ которого удовлетворяет условию верна оценка где $\delta={w(v(\sigma))}/{v(\sigma)}$, $\mu=e^{\nu}$. Далее мы будем иметь дело только с системами экспонент $\{e^{\lambda_n z}\}$, которые не полны во всей плоскости, даже на отрезках вещественной оси. Поэтому будем считать, что Лемма 4. Пусть в лемме 3 $N=4$, $w(t)\geqslant 2\ln(t+1)+2$ $(t\geqslant0)$. Положим Доказательство. Действительно, учитывая неравенство $\mu_{F}(\sigma)\leqslant M_{F}(\sigma)$ ($\mu_{F}(\sigma)$ – максимальный член ряда (2.8)) и оценку (2.11), при всех $\sigma\geqslant a$ вне множества $E$ имеем где $\delta={w(v(\sigma))}/{v(\sigma)}$.
Функция $\psi(t)=\ln t-\delta t$ $(t>0)$ достигает максимума в точке
$$
\begin{equation*}
t_0=\delta^{-1}=\frac{v(\sigma)}{w(v(\sigma))}<v(\sigma).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\psi(\infty)=-\infty$, то этот максимум равен
$$
\begin{equation*}
\psi(v(\sigma))=\ln v(\sigma)-w(v(\sigma))\leqslant-\frac{1}{2} w(v(\sigma)).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь также учтено, что $w(t)\geqslant 2\ln t$.
Таким образом, из (2.13) получаем, что при всех $\sigma\geqslant a$ вне $E$
$$
\begin{equation}
R[v(\sigma)]\leqslant C M_F^{\mu}(\sigma) e^{-\frac{1}{2}w(v(\sigma))}.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Учтем теперь, что в равенстве (2.9) $N=4$. Тогда из (2.14) окончательно получаем: при всех $\sigma\geqslant a$, но вне $E$
Лемма доказана. Лемма 5. Пусть $\Lambda=\{\lambda_n\}$, $0<\lambda_n\uparrow\infty$, $A$ – любое фиксированное число, $A>\lambda_1$, – квазиполином, Лемма доказана в [1]. Лемма 6 (лемма Карлемана–Мию). Пусть $g$ – функция, аналитическая в круге $M=\max_{|z-z_0|\leqslant R}|g(z)|$, $m=\max_{\gamma}|g(z)|$, где $\gamma$ – любая кривая, соединяющая точку $z_0$ с окружностью $\partial\overline{D}(z_0,R)$. Тогда Лемма основана на теореме о двух константах (см. [20]). Она приведена в [19]. § 3. Критерий интерполяционности последовательности $\{\pm\lambda_n\}$Пусть $\varlimsup_{n\to\infty}({n}/{\lambda_n})<\infty$. Не умаляя общности, будем считать, что $\lambda_1=1$. В терминах узлов вида $\pm\lambda_n$, $\lambda_n\in\Lambda$, докажем критерий интерполяционности в классе целых функций с мажорантой из класса сходимости $W$. Вопросы интерполяционности последовательности $\{p_n\}$ ($p_0=0$, $p_n\in\mathbb{N}$), а также последовательности $\{\pm p_n\}$ исследовались в ряде работ Дж. Коревара и М. Диксона; в статьях [2], [11], [19] показано, что если последовательность $\{p_n\}$ (или $\{\pm p_n\}$) интерполяционна3, то система степеней $\{z^{p_n}\}$ (или $\{z^{\pm p_n}\}$) усиленно не полна. Однако интерполяционность $\{\pm p_n\}$, равно как и интерполяционность $\{p_n\}$, была доказана Дж. Кореваром и М. Диксоном только для последовательностей конкретного вида, а именно для последовательностей А. И. Павлова (см. [11], [19])
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{p_n}<\infty,\qquad \frac{n}{p_n}\downarrow 0,
\end{equation*}
\notag
$$
и последовательностей Т. Ковари $p_n\geqslant c n \ln n (\ln\ln n)^{2+\varepsilon}$ ($c>0$, $\varepsilon>0$). При этом интерполирующую целую функцию удается построить в виде ряда типа Лагранжа (см. в [19])
$$
\begin{equation*}
g(z)=\sum_{|k|=0}^{\infty} b_k \frac{Q(z)}{Q'(p_k)(z-p_k)} \biggl(\frac{z}{p_k}\biggr)^{2k m_k}
\end{equation*}
\notag
$$
(функция $Q$ введена выше формулой (1.3), а натуральные числа $m_k$ подбираются специальным образом). В общем случае, тем более в нашей ситуации, ряд типа Лагранжа не подходит. По этой причине авторы работ [11], [19] ограничились только частными примерами. В настоящей статье используется один метод Б. Берндсона, успешно примененный им для решения интерполяционной задачи в смысле Павлова–Коревара–Диксона для последовательности $\{p_n\}$ $(p_n\in\mathbb{N})$; см. [21]. Он основан на одном подходе Хёрмандера решения $\overline{\partial}$-проблемы в многомерном комплексном анализе. Почти одновременно с Б. Берндсоном этот метод в работе [22] использовали К. А. Бернстейн и Б. А. Тейлор (более подробно по этому поводу см. [23]). Как уже было отмечено (см. § 1), условия (1.6) являются необходимыми и достаточными для интерполяционности последовательности $\Lambda$ (см. [16]). Оказывается, условия (1.6) есть критерий интерполяционности4 и последовательности $M=\{\mu_{\pm n}\}$, $\mu_n=\lambda_n$, $\mu_{-n}=-\lambda_n$ $(n\in\mathbb{N})$. Справедлива следующая Теорема 3. Последовательность $M$ является интерполяционной тогда и только тогда, когда выполнены условия: a) $\sum_{n=1}^{\infty}(1/\lambda_n)<\infty$; b) $-\ln\prod_{\lambda_n/2\leqslant\lambda_k\leqslant2\lambda_n,\ k\neq n}|1-{\lambda_n}/{\lambda_k}|\leqslant w(\lambda_n)$ ($n\geqslant1$), где $w$ – некоторая функция из класса $W$. Доказательство достаточной части теоремы 3 основано на одной теореме существования Хёрмандера для $\overline{\partial}$-уравнений. Приведем формулировку этой теоремы. Теорема 4. Пусть $\varphi=\varphi(z)$ – функция, субгармоническая в $\mathbb{C}$, $g\in C^{\infty}(\mathbb{C})$. Тогда существует решение $u\in C^{\infty}(\mathbb{C})$ уравнения ${\partial u}/{\partial\overline{z}}=g$, удовлетворяющее условию Доказательство теоремы 3. Достаточность. Пусть где $h_n=\min(\min_{k\neq n, \ k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}}|\mu_n-\mu_k|,1)$.
Ясно, что $h_n=h_{-n}=\min(\min_{k\neq n,\ k\geqslant1}|\lambda_n-\lambda_k|,1)$ $(n\geqslant1)$. Заметим, что кольца $K_n$ $(n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\})$ попарно не пересекаются. Положим
$$
\begin{equation*}
A(z)=\sideset{}{'}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} b_n \Psi_n(z-\mu_n) =\sum_{\substack{n\neq0 \\ n=-\infty}}^{+\infty} b_n \Psi_n(z-\mu_n), \qquad \Psi_n(z)=\psi\biggl(\frac{z}{h_n}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $\psi\in C^{\infty}(\mathbb{C})$ выбрана так, что $\psi(z)=1$ при $|z|<1/4$ и $\psi(z)=0$ при $|z|>1/2$ ($\{b_n\}_{n=-\infty}^{+\infty}$ – любая заданная последовательность комплексных чисел, $|b_n|\leqslant1$). Нетрудно видеть, что $A\in C^{\infty}(\mathbb{C})$ и $A(\mu_k)=b_k$ $(k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\})$.
Пусть
$$
\begin{equation*}
\varphi(z)=\ln\prod_{\substack{n\neq0 \\ n=-\infty}}^{+\infty}\biggl|1-\frac{z^2}{\mu_n^2}\biggr|+v(z) =2\ln\prod_{n=1}^{\infty}\biggl|1-\frac{z^2}{\lambda_n^2}\biggr|+v(z),
\end{equation*}
\notag
$$
где $v$ – субгармоническая функция, которая будет выбрана позже. Точно так же, как и в статье [16], проверяется, что
$$
\begin{equation}
M_{\varphi}(r)=\max_{|z|=r}|\varphi(z)|\leqslant 2 w_1(r)+M_v(r),
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $w_1$ – функция из класса $W$.
Построим субгармоническую функцию $v$ так, чтобы величина $M_v(r)$ допускала оценку сверху через некоторую функцию из класса $W$ и при этом правая часть в (3.1) для функции $g={\partial A}/{\partial\overline{z}}$ была конечной. Несложно получить оценку
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{C}}\biggl|\frac{\partial A}{\partial\overline{\xi}}\biggr|^2 e^{-\varphi}\,d\lambda \leqslant C_1 \sideset{}{'}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}T_n,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
T_n=\frac{1}{h_n^2}\int_{K_n} e^{-v(\xi)} \prod_{k=1}^{\infty}\biggl|1-\frac{\xi^2}{\lambda_k^2}\biggr|^{-2}\,d\lambda(\xi),
\end{equation*}
\notag
$$
а $C_1=\max_{|x|\leqslant1/2}|{\partial\psi}/{\partial x}|^2$.
Заметим, что в силу дальнейшего выбора функции $v$ (она будет зависеть только от $|\xi|$) будем иметь $T_n=T_{-n}$ и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{C}}\biggl|\frac{\partial A}{\partial\overline{\xi}}\biggr|^2 e^{-\varphi}\,d\lambda \leqslant 2 C_1 \sum_{n=1}^{\infty}T_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
p(\xi)=\prod_{k=1}^{\infty}\biggl|1-\frac{\xi^2}{\lambda_k^2}\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Дословным повторением рассуждений из [16] получаем, что существует функция $w_2\in W$ такая, что для всех $n\geqslant1$
$$
\begin{equation*}
p(\xi)\geqslant e^{-w_2(\lambda_n)}, \qquad \xi\in K_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим теперь
$$
\begin{equation*}
w^{*}(r)=\int_{1}^{\infty} \ln\biggl(1+\frac{r^2}{t^2}\biggr)\,dw_2^{*}(t)+(w_2^{*}(1)+1)\ln(1+r^2),
\end{equation*}
\notag
$$
где $w_2^{*}=w_2+w_0$, а $w_0\in W$ – функция из оценки ${1}/{h_n}\leqslant e^{w_0(\lambda_n)}$ $(n\geqslant1)$. Отметим, что последняя оценка следует из условий a), b) теоремы и леммы 3 из работы [16]. Тогда если положить $v(z)=K w^{*}(|z|)$, то при $K\geqslant K_0>0$
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty} T_n\leqslant C_2 \sum_{n=1}^{\infty} e^{-w^{*}(\lambda_n)}<\infty, \qquad \int_{\mathbb{C}} \biggl|\frac{\partial A}{\partial\overline{\xi}}\biggr|^2 e^{-\varphi} \,d\lambda<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, интеграл в правой части (3.1) конечен.
Следовательно, $v(z)=K w^{*}(|z|)$ – искомая функция, поскольку, как легко проверить, она является субгармонической в $\mathbb{C}$ функцией, а величина $M_v(r)=K w^{*}(r)$ представляет собой функцию из класса $W$ (см. в [16]). Отсюда и из оценки (3.2) следует, что где $w_3=2w_1+K w^{*}$ – функция из класса $W$.Применим теперь теорему Хёрмандера для $g={\partial A}/{\partial\overline{z}}$. Поскольку функция $\varphi$ выбрана так, что $e^{-\varphi}$ имеет неинтегрируемую особенность в каждой точке $\pm\lambda_n$, то согласно интегральному неравенству (3.1) должно быть $u(\pm\lambda_n)=0$ $(n\geqslant1)$. Рассмотрим уравнение
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial u}{\partial\overline{z}}=\frac{\partial A}{\partial\overline{z}}, \qquad u(\mu_n)=0 \quad (n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $u$ – решение этого уравнения (оно существует по теореме Хёрмандера). Положим $f=A-u$. Ясно, что $f$ – целая функция и $f(\mu_n)=b_n$ $(n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\})$.
Так как $|f|^2$ субгармоническая во всей плоскости, то для любого $\rho>0$, в частности при $1\leqslant\rho\leqslant r$,
$$
\begin{equation*}
|f(z)|^2\leqslant\frac{1}{\pi\rho^2}\int_{|\xi-z|\leqslant\rho} |f(\xi)|^2 \,d\lambda(\xi) <\int_{|\xi|\leqslant 2r} |f(\xi)|^2 \,d\lambda(\xi), \qquad r=|z|.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, поскольку $|f|^2\leqslant 2(|A|^2+|u|^2)$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{|z|\leqslant 2r} |f|^2\,d\lambda &\leqslant 2\int_{|z|\leqslant 2r} |A|^2\,d\lambda+2\int_{|z|\leqslant 2r} |u|^2\,d\lambda \\ &\leqslant 8\pi r^2+2\int_{|z|\leqslant 2r} |u|^2 \frac{e^{-\varphi}}{(1+|z|^2)^2} (1+|z|^2)^2 e^{\varphi} \,d\lambda. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, применяя оценку (3.1) Хёрмандера, получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{|z|\leqslant 2r} |f|^2 \,d\lambda \leqslant 8\pi r^2+2\exp\{2\ln(1+4r^2)+M_{\varphi}(2r)\} \int_{\mathbb{C}} |g|^2 e^{-\varphi} \,d\lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая теперь субгармоничность функции $|f|^2$ во всей плоскости и оценку (3.3), заключаем, что где $w_4\in W$. Таким образом, функция $f=A-u$ решает требуемую интерполяционную задачу. Достаточность теоремы доказана.
Необходимость. Пусть $M=\{\mu_n\}$ – интерполяционная последовательность, $w$ – соответствующая мажоранта из $W$, а $f$ – целая функция, которая решает задачу интерполяции для $b_1=1$, $b_n=0$, $n\in\mathbb{Z}\setminus \{0,1\}$. Тогда по неравенству Йенсена
$$
\begin{equation*}
n(r)\leqslant\mu(r)-1\leqslant\ln M_f(er)\leqslant w(er),
\end{equation*}
\notag
$$
где $n(r)=\sum_{\lambda_n\leqslant r} 1$, $\mu(r)=\sum_{|\mu_n|\leqslant r} 1$. Так как $w\in W$, то условие a) теоремы 3, очевидно, выполнено.
Убедимся, что выполнено и условие b). Действительно, зафиксируем $n\in\mathbb{N}$ и выберем целую функцию $f$, которая решает интерполяционную задачу для $b_n=1$ и $b_k=0$, $k\neq n$. Тогда имеем
$$
\begin{equation}
f(z)=\prod_{\substack{k\neq n \\ {|\mu_n|}/{2}<|\mu_k|<2|\mu_n|}}\biggl(1-\frac{z}{\mu_k}\biggr) G(z),
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где $G$ – целая функция (в случае отсутствия точек $\mu_k$ в указанном интервале считаем, что $G=f$). Видно, что $|G(z)|\leqslant |f(z)|$ при $|z|=4|\mu_n|$. Следовательно, по принципу максимума модуля
$$
\begin{equation}
|G(\mu_n)|\leqslant M_G(4|\mu_n|)\leqslant M_f(4|\mu_n|)\leqslant e^{w(4|\mu_n|)},
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где $w\in W$. С другой стороны, из (3.4) следует, что
$$
\begin{equation}
|G(\mu_n)|=\prod_{\substack{k\neq n \\ {|\mu_n|}/{2}<|\mu_k|<2|\mu_n|}} \biggl|1-\frac{\mu_n}{\mu_k}\biggr|^{-1},
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
поскольку $f(\mu_n)=1$. Значит, условие b) есть простое следствие оценок (3.5) и (3.6) с мажорантой $w(4\lambda_n)$.
Теорема 3 доказана. § 4. Усиленная неполнота системы $\{e^{\pm\lambda_n z}\}$Здесь будет доказано, что в условиях теоремы 3 система экспонент $\{e^{\pm\lambda_n z}\}$ усиленно не полна по семейству спрямляемых кривых из вертикальных полос по равномерной норме. Определение. Систему экспонент $\{e^{\pm\lambda_n z}\}$ будем называть усиленно не полной (относительно прямоугольников), если для всех $a$, $b$ $(0<a<\infty,\ 0<b\,{<}\,\infty)$ и $\beta$, $\beta\neq\pm\lambda_n$ $(n\geqslant1)$, Здесь $\|g\|_{\gamma}=\max_{\gamma}|g(z)|$, внутренний инфимум берется по всем квазиполиномам $\sum_{n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}} c_n e^{\mu_n z}$, $\mu_n=\lambda_n$, $\mu_{-n}=-\lambda_n$ $(n\in\mathbb{N})$, а внешний – по всем спрямляемым кривым $\gamma=\gamma(-a,a)$ из прямоугольника $P(a,b)=\{z=x+iy\colon |x|\leqslant a, |y|<b\}$, соединяющим вертикальные стороны (для системы $\{e^{\lambda_n z}\}$ аналогичное определение дано в [12]). Верна Теорема 5. Пусть выполняются условия (1.6). Тогда система экспонент $\{e^{\pm\lambda_n z}\}$ усиленно не полна относительно полос $P(a,\infty)$. Совокупность условий (1.6) равносильна условиям a) и b) теоремы 3. Поэтому теорема 5 верна для любой интерполяционной последовательности $M\,{=}\,\{\mu_n\}$. Следствие 1. Если выполняются условия (1.6), то система экспонент $\{e^{\pm\lambda_n z}\}$ не полна в $C(\gamma)$ ($\gamma$ – любая спрямляемая кривая). Это означает, что существует ненулевая комплексная мера Бореля $\mu$ на $\gamma$, преобразование Лапласа которой обращается в нуль в точках последовательности $\{\mu_n\}$.Следствие 2. Пусть $\gamma$ – дуга ограниченного наклона, в каждой точке которой существуют обе односторонние производные, причем угловые коэффициенты всех хорд по модулю не превосходят $q(\gamma)<1$. Тогда при условиях (1.6) класс Сиддики $C_{00}(\widehat{M}_{n-2};\gamma)$ нетривиален. Действительно, следствие 1, очевидно, справедливо и для системы $\{e^{\pm\eta\lambda_n z}\}$, $\eta>0$ любое. Следовательно, если $\gamma$ – дуга из следствия 2, то для любого $\varepsilon$, $0<\varepsilon\leqslant1$, класс $C_{00}(\varepsilon^n \widehat{M}_{n-2};\gamma)$ нетривиален (см. [14]). Замечание. Для последовательностей А. И. Павлова Отметим, что при выполнении условий (1.4) данная система не полна в $C(\gamma)$, если дополнительно предположить, что $\gamma$ – дуга ограниченного наклона (см. [12]). Дело в том, что в этом случае последовательность $\{p_n\}$, вообще говоря, не интерполяционная (условие 2) в (1.6) может и не выполняться; см. [15]). А последовательности А. И. Павлова являются интерполяционными и в более сильном смысле – в смысле Павлова–Коревара–Диксона. Именно этот факт и был существенно использован в статье [11] при доказательстве неполноты системы $\{e^{\pm\eta p_n z}\}$ в $C(\gamma)$. Доказательство теоремы 5. Пусть выполнены условия (1.6). Докажем, что система $\{e^{\mu_n z}\}$ ($\mu_n=\lambda_n$, $\mu_{-n}=-\lambda_n$; $n\in\mathbb{N}$) усиленно не полна относительно полос $P(a,\infty)$.
Доказательство проведем методом от противного: пусть это не так, т.е. для некоторых $a$ $(0<a<\infty)$ и $\beta\neq\mu_n$ $(n\neq0)$ для любого $\varepsilon>0$
$$
\begin{equation*}
\inf_{\gamma(-a,a)}\inf_{c_n}\biggl\|e^{\beta z}-\sum_{n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}} c_n e^{\mu_n z}\biggr\|_{\gamma(-a,a)}<\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что найдутся такие кривая $\gamma_{\varepsilon}=\gamma(-a,a)$ и квазиполином $\sum_{n\neq0,\ |n|\leqslant m} c_n e^{\mu_n z}$, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\|e^{\beta z}-\sum_{\substack{n\neq0 \\ |n|\leqslant m}} c_n e^{\mu_n z}\biggr\|_{\gamma_{\varepsilon}}<\varepsilon
\end{equation*}
\notag
$$
(некоторые из $c_n$ могут равняться нулю). Отсюда получаем где
$$
\begin{equation*}
g(s)=g_{\varepsilon}(s)=a_{\beta}' e^{\beta s}-\sum_{\substack{n\neq0 \\ |n|\leqslant m}} a_n e^{\mu_n s}\quad(s=\sigma+i\theta),\qquad a_{\beta}'=\varepsilon^{-1}, \quad a_n=c_n \varepsilon^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для фиксированного $k\in\mathbb{N}$ положим
$$
\begin{equation*}
w^{*}(t)=\begin{cases} k \max(2\ln(t+1)+2,\,N_q(et),\,N(et)) &\text{при}\ \ t\geqslant a, \\ \dfrac{w^{*}(a)}{a}t &\text{при}\ \ 0\leqslant t<a; \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $q(t)$ – это наименьшая неубывающая мажоранта последовательности $\{-\ln|Q'(\lambda_n)|\}$ (считаем, что $q(t)\equiv0$ при $0\leqslant t<\lambda_1$), а
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Q(\lambda)=\prod_{n=1}^{\infty} \biggl(1-\frac{\lambda^2}{\lambda_n^2}\biggr), \\ N_q(t)=\int_{0}^t \frac{q(x)}{x}\,dx, \qquad N(t)=\int_{0}^t \frac{n(x)}{x}\,dx, \quad n(x)=\sum_{\lambda_n\leqslant t} 1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Величина $\varepsilon>0$ будет выбрана нами позднее. Пока будем считать, что $0<\varepsilon\leqslant e^{-|\beta|a}$. В силу условий (1.6)
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^\infty \frac{q(x)}{x^2}\,dx<\infty, \qquad \int_{0}^\infty \frac{n(x)}{x^2}\,dx<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, функции $N_q(t)$ и $N(t)$ принадлежат $W$, а значит, и $w^{*}\in W$. Мы воспользовались тем хорошо известным фактом, что функции $q(x)$ и $N_q(x)$, а также $n(x)$ и $N(x)$ имеют одинаковые категории роста, в частности, принадлежат или не принадлежат классу сходимости одновременно. Имея это в виду, положим $u(\sigma)=\ln 4+\ln\ln M_g(\sigma)$ и перепишем уравнение (2.1) в виде
Как выпуклая функция $\ln M_g(\sigma)$ непрерывна на $\mathbb{R}$, причем по крайней мере на одном из отрезков $[-a,0]$ или $[0,a]$ эта функция монотонна. Заменяя при необходимости $z$ на $-z$, можно считать, что функция $M_g(\sigma)$ не убывает на отрезке $[0,a]$, причем $M_g(\sigma)\uparrow\infty$ при $\sigma\to +\infty$. Поскольку $w^{*}\in W$, $w^{*}(0)=0$, а согласно выбору $\varepsilon>0$ и неравенств Коши
$$
\begin{equation*}
M_g(\sigma)\geqslant a_{\beta}' e^{\beta\sigma}\geqslant(\varepsilon e^{|\beta|a})^{-1}>1,
\end{equation*}
\notag
$$
то уравнение (4.2) при каждом $\sigma\geqslant0$ имеет решение $v=v(\sigma)$. Так как функция $w^{*}(t)$ непрерывная и возрастающая, то функция $v(\sigma)$ непрерывна и не убывает на $\mathbb{R}_{+}$.
Далее, из (4.1) следует, что где $\gamma(0,a)$ – часть кривой $\gamma_{\varepsilon}=\gamma(-a,a)$, соединяющая вертикальные стороны полосы $P_{+}=\{z=x+iy\colon 0\leqslant x\leqslant a,\, |y|<\infty\}$.Имеем $g(s)=g_{+}(s)+g_{-}(s)$, где
$$
\begin{equation*}
g_{-}(s)=\sum_{0<n\leqslant m_{-}} a_{-n} e^{-\lambda_n s}, \quad g_{+}(s)=\sum_{0<n\leqslant m_{+}} a_n e^{\lambda_n s}, \qquad m_{-},m_{+}\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим функцию $R[v(\sigma)]=R_{-}[v(\sigma)]+R_{+}[v(\sigma)]$, где
$$
\begin{equation*}
R_{-}[v(\sigma)]=\sum_{\lambda_n\geqslant v(\sigma)} |a_{-n}| e^{-\lambda_n \sigma}, \qquad R_{+}[v(\sigma)]=\sum_{\lambda_n\geqslant v(\sigma)} |a_n| e^{\lambda_n \sigma},
\end{equation*}
\notag
$$
$a_{-n}$ и $a_n$ – коэффициенты квазиполиномов $g_{-}(s)$ и $g_{+}(s)$ соответственно. Согласно лемме 3 для любого $\nu>0$, $\mu=e^{\nu}<2$, для всех $\sigma\geqslant0$ вне некоторого множества $E\subset\mathbb{R}_{+}$,
$$
\begin{equation}
mE\leqslant 2L \biggl(1+\frac{1}{\nu}\biggr) \int_{v(0)}^{\infty} \frac{w^{*}(t)}{t^2}\,dt,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
для $M_g(\sigma+L\delta)$ выполняется оценка (2.11). Следовательно, если учесть (4.2), то, как и в лемме 4, при $\sigma\geqslant0$ вне $E$
$$
\begin{equation*}
R_{+}[v(\sigma)]\leqslant \mu_{g}(\sigma+\delta) \sum_{\lambda_n\geqslant v(\sigma)} e^{-\lambda_n \delta}\leqslant M_g(\sigma+\delta) \sum_{\lambda_n\geqslant v(\sigma)} e^{-\lambda_n \delta}\leqslant C\ [M_g(\sigma)]^{\mu-2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mu=e^{\nu}<2$, $C=\sum_{n=1}^{\infty} \lambda_n^{-1}$, $\mu_{g}(\sigma)$ $(\sigma\geqslant0)$ – максимальный член квазиполинома $g(s)$, $\delta={w^{*}(v(\sigma))}/{v(\sigma)}$. Аналогично, для всех $\sigma\geqslant\delta$
$$
\begin{equation*}
R_{-}[v(\sigma)]\leqslant \mu_{g}(\sigma-\delta) \sum_{\lambda_n\geqslant v(\sigma)} e^{-\lambda_n \delta}\leqslant M_g(\sigma) \sum_{\lambda_n\geqslant v(\sigma)} e^{-\lambda_n \delta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, если учесть, что $\mu>1$, и оценить последнюю сумму как в лемме 4, то для всех $\sigma\geqslant\delta$ имеем
$$
\begin{equation*}
R_{-}[v(\sigma)]\leqslant C M_g^{-1}(\sigma)\leqslant C M_g^{\mu-2}(\sigma).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для всех $\sigma\geqslant\delta={w^{*}(v(\sigma))}/{v(\sigma)}$ вне множества $E\subset\mathbb{R}_{+}$, мера которого удовлетворяет неравенству (4.4),
$$
\begin{equation}
R[v(\sigma)]\leqslant 2C M_g^{\mu-2}(\sigma), \qquad \mu=e^{\nu}<2.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Далее, в уравнении (4.2) правая часть, как мы видели, не меньше $4\ln(1/\tau)$ $(\tau=\varepsilon e^{|\beta|a}<1)$, а значит, $w^{*}(v(\sigma))\geqslant 4\ln(1/\tau)$. Поскольку $w^{*}(t)=o(t)$ при $t\to\infty$, то $\varepsilon_0$ можно выбрать еще и так, чтобы при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_0$ было и
$$
\begin{equation*}
\sup_{g} \frac{w^{*}(v(\sigma))}{v(\sigma)}\leqslant\frac{a}{3},
\end{equation*}
\notag
$$
где точная верхняя грань берется по всем квазиполиномам $g=g_{\varepsilon}$ рассматриваемого вида (см. формулу (4.1)).
Положим $P_{v}(s)=g(s)-R[v(\sigma)]$, $v=v(\sigma)$. Пользуясь формулами для коэффициентов (2.15), будем иметь
$$
\begin{equation}
P_{v}(s)=\sum_{|\mu_n|<v} a_n e^{\mu_n s}=\sum_{|\mu_n|<v}\biggl(\frac{1}{2\pi i} \int_{|t|=\delta/6} \psi_{v,n}(t) P_{v}(t+s)\,dt\biggr),
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где $\delta={w^{*}(v)}/{v}$, $v=v(\sigma)$ $(\sigma\geqslant0)$, $\psi_{v,n}(t)$ – функции, ассоциированные по Борелю с
$$
\begin{equation*}
\frac{Q_{v}(\lambda)}{(\lambda-\mu_n)Q_{v}'(\mu_n)}, \qquad |\mu_n|<v,
\end{equation*}
\notag
$$
параметр $s=\sigma+i\theta$ выбирается так, что $s\in\gamma(0,a)$, а
$$
\begin{equation*}
Q_{v}(\lambda)=\prod_{|\mu_n|<v} \biggl(1-\frac{\lambda^2}{\mu_n^2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Для показателей $\mu_n$, $|\mu_n|<v$, имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{|Q'_{v}(\mu_n)|}\leqslant \frac{1}{|Q'(\mu_n)|}\leqslant e^{q(v)}\leqslant e^{\frac{1}{k} w^{*}(v)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $v=v(\sigma)$, $k\in\mathbb{N}$, функции $q(t)$ и $w^{*}(t)$ были введены выше. Следовательно, учитывая (4.2), получаем
$$
\begin{equation}
\frac{1}{|Q'_{v}(\mu_n)|}\leqslant M_{g}^{4/k}(\sigma), \qquad k\in\mathbb{N}, \quad \sigma\geqslant0.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Теперь из (4.6) с учетом (4.5) получим: для любого $\nu$, $0<\nu\leqslant1/2$ (тогда $\mu=e^{\nu}<2$), для всех $\sigma\geqslant a/3$ вне множества $E\subset\mathbb{R}_{+}$
$$
\begin{equation*}
|g(s)|\leqslant |P_{v}(s)|+R[v(\sigma)] \leqslant \frac{\delta}{6} \max_{|\xi-s|\leqslant \delta/6} |P_{v}(\xi)| \sum_{|\mu_n|<v} \max_{|t|=\delta/6} |\psi_{v,n}(t)|+2C M_{g}^{\mu-2}(\sigma).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда для всех $\sigma\geqslant a/3$, $\sigma\notin E$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag M_{g}(\sigma) &\leqslant \frac{\delta}{6} \Bigl[\max_{|\xi-s|\leqslant\delta/6} |g(\xi)|+\max_{|\xi-s|\leqslant\delta/6} R[v(\operatorname{Re}\xi)]\Bigr] \\ &\qquad\times \sum_{|\mu_n|<v} \max_{|t|=\delta/6} |\psi_{v,n}(t)|+2C M_{g}^{\mu-2}(\sigma). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Поскольку в (4.8) $0<\sigma-\delta/6\leqslant\operatorname{Re}\xi\leqslant\sigma+\delta/6<\sigma+\delta$, то те же рассуждения, при помощи которых была получена оценка (4.5) для $R[v(\sigma)]$, показывают, что при всех $\sigma$, $\sigma-\delta/6\geqslant\delta$, т.е. $\sigma\geqslant7\delta/6$, вне того же множества $E$
$$
\begin{equation}
\max_{|\xi-s|\leqslant\delta/6} R[v(\operatorname{Re}\xi)]\leqslant 2C M_{g}^{\mu-2}(\sigma).
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Поскольку $\delta\leqslant a/3$ при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_0$, то оценка (4.9) имеет место для всех $\sigma\geqslant 7a/18$, т.е. по крайней мере для всех $\sigma\geqslant a/2$, но вне $E$.
Оценим теперь $|\psi_{v,n}(t)|$ на контуре $\{t\colon |t|=\delta/6\}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{Q_{v}(\lambda)}{\lambda-\mu_n}\biggr| =\frac{1}{|\mu_n|}\biggl|1+\frac{\lambda}{\mu_n}\biggr| \prod_{\substack{k\neq n \\ |\mu_k|<v}} \biggl|1-\frac{\lambda^2}{\mu_k^2}\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, нетрудно убедиться в том, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{|\mu_n|}\leqslant\frac{1}{2}\biggl(1+\frac{1}{\mu_n^2}\biggr) \leqslant\frac{1}{2} M(1), \qquad \biggl|1+\frac{\lambda}{\mu_n}\biggr|\leqslant 2\biggl(1+\frac{r^2}{\mu_n^2}\biggr), \quad r=|\lambda|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $M(r)=\max_{|\lambda|=r}|Q(\lambda)|=Q(ir)$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{Q_{v}(\lambda)}{\lambda-\mu_n}\biggr|\leqslant M(1) Q_{v}(ir), \qquad |\lambda|=r,
\end{equation*}
\notag
$$
а так как для всякого $t_0$, $|t_0|=\delta/6$, при соответствующем выборе $\varphi_0$, $0\leqslant\varphi_0\,{\leqslant}\, 2\pi$,
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_{0}^{\infty e^{i \varphi_0}} Q_{v}(z) e^{-zt}\,dz\biggr| \leqslant \int_{0}^{\infty} Q_{v}(ir) e^{-\delta r/6}\,dr,
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation}
\sum_{|\mu_n|<v}\max_{|t|=\delta/6} |\psi_{v,n}(t)| \leqslant M(1) \sum_{|\mu_n|<v} \frac{1}{|Q'_{v}(\mu_n)|} \int_{0}^{\infty} Q_{v}(ir) e^{-\delta r/6}\,dr.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\ln Q_{v}(ir)=\int_{0}^{v} \ln\biggl(1+\frac{r^2}{t^2}\biggr)\,dn(t),
\end{equation*}
\notag
$$
то, интегрируя последний интеграл по частям и оценивая полученное выражение сверху, получаем Именно эта оценка для частичного произведения нам и подходит, а она проверяется непосредственно. Вспоминая определение величины $v=v(\sigma)$, имеем также
$$
\begin{equation}
n(v)\leqslant N(ev)\leqslant \frac{1}{k} w^{*}(v)=\frac{4}{k} \ln M_{g}(\sigma).
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Пока параметр $k$ был произвольным. Будем считать, что $k\geqslant12$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{n(v)}{v}<\frac{1}{12} \,\frac{w^{*}(v)}{v}=\frac{\delta}{12},
\end{equation*}
\notag
$$
и оценка для $Q_{v}(ir)$ с учетом соотношений (4.11) может быть записана в виде
$$
\begin{equation}
\ln Q_{v}(ir)\leqslant \frac{\delta}{12}r+\frac{8}{k} \ln M_{g}(\sigma).
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Примем во внимание (4.7), а также очевидное неравенство $n(v)\leqslant e^{n(v)}$. Тогда с учетом оценок (4.11), (4.12) из (4.10) окончательно будем иметь
$$
\begin{equation}
\sum_{|\mu_n|<v}\max_{|t|=\delta/6} |\psi_{v,n}(t)|\,{\leqslant}\, M(1) M_{g}^{8/k}(\sigma) M_{g}^{8/k}(\sigma)\int_{0}^{\infty} e^{-\delta r/12}\,dr \,{\leqslant}\, M(1) \frac{12}{\delta} M_{g}^{16/k}(\sigma).
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Таким образом, учитывая (4.13), из (4.8), (4.9) получаем: для любого $\nu\in (0,1/2]$ для всех $\sigma\geqslant a/2$, но вне множества $E$
$$
\begin{equation}
M_{g}(\sigma)\leqslant 2 M(1) M_{g}^{16/k}(\sigma) \Bigl[\max_{|\xi-s|\leqslant\delta/6} |g(\xi)|+2C M_{g}^{\mu-2}(\sigma)\Bigr] +2C M_g^{\mu-2}(\sigma),
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
где $\mu=e^{\nu}$, $\sigma\in [a/2,+\infty)$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
M_{g}(\sigma)\leqslant 2 M(1) M_{g}^{16/k}(\sigma) \max_{|\xi-s|\leqslant\delta/6} |g(\xi)| +4 M(1)C M_{g}^{\mu+16/k-2}(\sigma)+2C M_{g}^{\mu-2}(\sigma).
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Но $M(1)>1$, а при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_0$ и $M_{g}(\sigma)>1$. Значит, для последних слагаемых в (4.15) получаем
$$
\begin{equation*}
4 M(1)C M_{g}^{\mu+16/k-2}(\sigma)+2C M_{g}^{\mu-2}(\sigma) \leqslant 6 M(1)C M_{g}^{\mu-2+16/k}(\sigma), \qquad C=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda_n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для $\sigma\in [a/2,+\infty)\setminus E$
$$
\begin{equation*}
M_{g}(\sigma)\leqslant 2 M(1) M_{g}^{16/k}(\sigma) \max_{|\xi-s|\leqslant \delta/6} |g(\xi)|+6 M(1)C M_{g}^{\mu-2+16/k}(\sigma).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь пока $k\geqslant12$, $0<\nu\leqslant1/2$. Применяя лемму Карлемана–Мию (лемма 6), с учетом (4.3) получаем следующее: для всех $\sigma\in [a/2,2a/3]\setminus E$ (при $\sigma\leqslant2a/3$ имеем сдвиг $\sigma+\delta\leqslant a$)
$$
\begin{equation}
M_{g}(\sigma)\leqslant 2 M(1) M_{g}^{16/k}(\sigma) M_{g}^{3/4}(\sigma+\delta)+6 M(1)C M_{g}^{\mu-2+16/k}(\sigma).
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Но, как уже было показано, для всех $\sigma\geqslant0$ вне $E$
$$
\begin{equation*}
M_{g}(\sigma+\delta)\leqslant M_{g}^{\mu}(\sigma), \qquad \mu=e^{\nu}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, из (4.16) получаем
$$
\begin{equation*}
M_{g}(\sigma)\leqslant 2 M(1) M_{g}^{3\mu/4+16/k}(\sigma)+6 M(1)C M_{g}^{\mu-2+16/k}(\sigma),
\end{equation*}
\notag
$$
а так как $M_{g}(\sigma)>1$, $\mu<2$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, M_{g}^{1-16/k}(\sigma)\leqslant 2 M(1)(1+3C) [M_{g}^{3\mu/4}(\sigma)+M_{g}^{\mu-2}(\sigma)] \leqslant 4 M(1)(1+3C) M_{g}^{3\mu/4}(\sigma), \\ \sigma\in \biggl[\frac{a}{2},+\infty\biggr)\setminus E. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге для всех $\sigma\geqslant a/2$ вне $E\subset\mathbb{R}_{+}$
$$
\begin{equation}
M_{g}^{1-16/k-3\mu/4}\leqslant 4 M(1)[1+3C]=C_0<\infty.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Выберем теперь параметры $k$, $\mu=e^{\nu}$. Возьмем $\mu=8/7$, $k=224$. Тогда $1-16/k-3\mu/4=1/14$. Поскольку $M_{g}(\sigma)\geqslant 1/\tau$, то из (4.17) окончательно получаем
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{1}{\tau}\biggr)^{1/14} \leqslant M_{g}^{1/14}(\sigma)\leqslant C_0<\infty,
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
где
$$
\begin{equation*}
C_0=4 M(1)[1+3C], \quad M(1)=\prod_{n=1}^{\infty} \biggl(1+\frac{1}{\mu_n^2}\biggr), \quad C=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda_n},\qquad \tau=\varepsilon e^{|\beta|a}<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось выбрать $\varepsilon$, $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_0$. Для этого вспомним, что оценка (4.18) верна для всех $\sigma\geqslant a/2$, но вне $E\subset\mathbb{R}_{+}$, мера которого
$$
\begin{equation*}
mE\leqslant 2L \biggl(1+\frac{1}{\nu}\biggr) \int_{v(0)}^{\infty} \frac{w^{*}(t)}{t^2}\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где $L\geqslant2$ фиксировано, а $\nu$ такое, что $e^{\nu}= 8/7$.
Поскольку $w^{*}(t)\leqslant dt$ $(t\geqslant0)$, а $w^{*}(v(0))=4\ln M_{g}(0)\geqslant 4\ln(1/\tau)$, то $v(0)\geqslant 4 d^{-1} \ln(1/\tau)$, $\tau=\varepsilon e^{|\beta|a}$. Следовательно, можно выбрать $\varepsilon=\varepsilon^{*}\leqslant\varepsilon_0$ так, что $mE\leqslant a/7$ и $\tau^{*}<C_0^{-14}$, где $\tau^{*}=\varepsilon^{*} e^{|\beta|a}$. С другой стороны, поскольку длина отрезка $[a/2,2a/3]$ равна $a/6$, то согласно (4.18) найдется $\sigma^{*}\in [a/2,2a/3]\setminus E$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\tau^{*}}\leqslant M_{g}(\sigma^{*})\leqslant C_0^{14},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $\tau^{*}\geqslant C_0^{-14}$. А это противоречит нашему выбору $\tau^{*}$.
Теорема 5 доказана. БлагодарностиАвтор выражает благодарность участникам семинара “Комплексный и гармонический анализ” (ИМВЦ УФИЦ РАН) за обсуждение работы, а рецензентам – за полезные замечания и рекомендации. Автор также признателен профессорам К. Г. Малютину и А. М. Гайсину за постоянное внимание к исследуемым здесь задачам. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gai21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|