| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Бирациональная геометрия двойных пространств Фано индекса 2 с особенностями А. В. Пухликов Department of Mathematical Sciences, University of Liverpool, Liverpool, UK
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9363 
Реферативные базы данных:
    § 1. Формулировка основного результатаЦель настоящей работы – перенести результаты [1] на особые двойные пространства индекса 2. Попутно мы обобщим, усилим и уточним эти результаты. Пусть ${\mathbb P}={\mathbb P}^{M+1}$ – комплексное проективное пространство, где $M\geqslant 7$. Гиперповерхности степени $2M$ в ${\mathbb P}$ параметризуются точками проективного пространства
$$
\begin{equation*}
\mathscr W={\mathbb P}(H^0({\mathbb P},\mathscr O_{\mathbb P}(2M))).
\end{equation*}
\notag
$$
Если множество особых точек гиперповерхности $W\subset {\mathbb P}$ степени $2M$ имеет коразмерность $\geqslant 4$ в ${\mathbb P}$, то двойное накрытие $\sigma\colon V\to {\mathbb P}$, разветвленное над $W$, есть неприводимое факториальное многообразие. Если особенности $V$ терминальны, то $V$ есть многообразие Фано индекса 2:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Pic}V=\operatorname{Cl}V={\mathbb Z}H, \qquad K_V=-2H,
\end{equation*}
\notag
$$
где $H=\sigma^*H_{\mathbb P}$ есть $\sigma$-подъем класса гиперплоскости в ${\mathbb P}$. Такие многообразия реализуются как гиперповерхности во взвешенном проективном пространстве ${\mathbb P}(1,\dots,1,M)={\mathbb P}(1^{M+2},M)$, где уравнение $f(x_*)=0$ есть уравнение гиперповерхности $W$, а $w$ – координата веса $M$. Если $P\subset{\mathbb P}$ – линейное подпространство коразмерности 2, то проекция $\alpha_P\colon{\mathbb P}\dashrightarrow{\mathbb P}^1$ из этого подпространства индуцирует на $V$ структуру
$$
\begin{equation*}
\pi_P=\alpha_P\circ\sigma\colon V\dashrightarrow{\mathbb P}^1
\end{equation*}
\notag
$$
расслоения Фано–Мори, слоями которого являются двойные пространства Фано индекса 1. Рассмотрим целочисленную функцию
$$
\begin{equation*}
\gamma\colon\mathbb Z_{\geqslant 7}= \{M\mid M\geqslant 7\}\to{\mathbb Z},
\end{equation*}
\notag
$$
определенную следующим образом: $\gamma(7)=3$ и для $M\geqslant 8$ Под рационально связным расслоением мы понимаем, как обычно, сюръективный морфизм $\lambda\colon Y\to S$ проективных многообразий такой, что слой общего положения $\lambda^{-1}(s),s\in S$, и база $S$ рационально связны. Вот основной результат настоящей работы. Теорема 1. Существует открытое по Зарискому подмножество $\mathscr U\,{\subset}\, \mathscr W$ такое, что и двойное накрытие $\sigma\colon V\to{\mathbb P}$, разветвленное над любой гиперповерхностью $W\in \mathscr U$, есть неприводимое приведенное факториальное многообразие, имеющее, самое большее, терминальные особенности и удовлетворяющее следующим двум свойствам: (i) для любого рационально связного расслоения $\lambda\colon Y\to S$ над базой $S$ положительной размерности и любого бирационального отображения $\chi\colon V\dashrightarrow Y$ на тотальное пространство $Y$ (если таковые существуют) имеет место равенство $S={\mathbb P^1}$ и для некоторого изоморфизма $\beta\colon{\mathbb P}^1\to S$ и некоторого линейного подпространства $P\subset{\mathbb P}$ коразмерности 2 диаграмма коммутативна, т.е. $\lambda\circ\chi=\beta\circ\pi_P$;(ii) любое бирациональное отображение $\chi\colon V\dashrightarrow V'$ на многообразие Фано $V'$ с ${\mathbb Q}$-факториальными терминальными особенностями и числом Пикара $1$ есть бирегулярный изоморфизм. (В диаграмме утверждения (i) отображение $\pi_P$ является рациональным.) Из теоремы 1 немедленно вытекает стандартный набор фактов о бирациональной геометрии двойных накрытий $V\to{\mathbb P}$, разветвленных над гиперповерхностью $W\in \mathscr U$. Следствие 1. Для любого многообразия $V$, двулистно накрывающего проективное пространство ${\mathbb P}$ с ветвлением в некоторой гиперповерхности $W\,{\in}\,\mathscr U$, справедливы следующие утверждения. (i) На многообразии $V$ нет структур рационально связного расслоения (и тем самым расслоения Фано–Мори) над базой размерности $\geqslant 2$. В частности, на $V$ нет структур расслоения на коники и на поверхности дель Пеццо, а само многообразие $V$ нерационально. (ii) Предположим, что имеется бирациональное отображение $\chi\colon V\dashrightarrow V'$ на тотальное пространство расслоения Мори $\pi'\colon V'\to S'$ с $\operatorname{dim} S'\geqslant 1$. Тогда $S'={\mathbb P}^1$ и для некоторого подпространства $P\subset {\mathbb P}$ коразмерности 2 бирациональное отображение $\chi^{-1}\colon V'\dashrightarrow V$ есть раздутие подмногообразия $\sigma^{-1}(P)$ (в частности, $\chi^{-1}$ регулярно), причем для некоторого изоморфизма $\beta\colon {\mathbb P}^1\to S$ справедливо равенство (iii) Группы бирегулярных и бирациональных автоморфизмов многообразия $V$ совпадают: $\operatorname{Bir}V=\operatorname{Aut}V$. Доказательство. Первое утверждение следует из теоремы 1, п. (i), очевидным образом. Точно так же утверждение (iii) немедленно вытекает из теоремы 1, п. (ii).
Рассмотрим утверждение (ii). В силу теоремы 1, п. (i), имеем $S'={\mathbb P}^1$ и для некоторого линейного подпространства $P\subset{\mathbb P}$ коразмерности 2 бирациональное отображение $\chi$ переводит слои проекции $\pi_P$ в слои проекции $\pi'$. Тот факт, что $\chi$ индуцирует изоморфизм раздутия $V_P$ многообразия $V$ вдоль $\sigma^{-1}(P)$ и многообразия $V'$, доказан в § 3. Доказательство закончено. § 2. Условия общности положенияОткрытое подмножество $\mathscr U\subset \mathscr W$ состоит из гиперповерхностей $W\subset{\mathbb P}$, удовлетворяющих условиям, которые мы сейчас опишем. Пусть – уравнение гиперповерхности $W$ в ${\mathbb P}={\mathbb P}^{M+1}$.(R0) Для любого подпространства $P\subset{\mathbb P}$ коразмерности 3 ограничение $F|_P$ не есть квадрат многочлена (степени $M$). Пусть теперь $p\in W$ – некоторая точка и $z_1,\dots,z_{M+1}$ – система координат на аффинном подмножестве ${\mathbb A}^{M+1}\subset{\mathbb P}$, причем $p=(0,\dots,0)$. Запишем аффинное уравнение гиперповерхности $W$ относительно этой системы координат: где $q_i(z_*)$ однородны степени $i\geqslant 1$. Точка $p$ неособа на $W$ тогда и только тогда, когда $q_1\not\equiv 0$.(R1) Предположим, что $p\in W$ – неособая точка. Тогда справедливо неравенство (R2) Предположим, что $p\in W$ – особая точка. Тогда справедливо неравенство Множество $\mathscr U\subset\mathscr W$ состоит из гиперповерхностей, удовлетворяющих глобальному условию (R0), локальному условию (R1) в каждой неособой точке и локальному условию (R2) в каждой особой точке. Замечание 1. Считая для удобства обозначений, что $z_i=x_i/x_0$, и добавляя аффинную координату $y=w/x_0^M$, мы видим, что если $p\in W$ – особая точка, то локальное уравнение гиперповерхности $V$ (во взвешенном проективном пространстве ${\mathbb P}(1^{M+2},M)$) начинается с квадратичной формы ранг которой на 1 больше, чем $\operatorname{rk} q_2$; в частности, многообразие $V$ имеет, самое худшее, квадратичные особенности ранга $\geqslant 8$. В дальнейшем мы пользуемся этим увеличением ранга квадратичной особенности самого многообразия $V$ и некоторых гиперповерхностей и подмногообразий на $V$ за счет новой переменной $y$ без специальных оговорок, см., например, доказательство предложения 1 в § 3. Пусть $W\in\mathscr U$ – произвольная гиперповерхность. Рассмотрим двойное накрытие $\sigma\colon V\to{\mathbb P}$, разветвленное над $W$. В силу условия (R2) имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}W\subset{\mathbb P})\geqslant 7,
\end{equation}
\tag{1}
$$
так что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}V\subset V)\geqslant 7
\end{equation*}
\notag
$$
и потому $V$ есть неприводимое приведенное факториальное (в силу теоремы Гротендика, см. [2]) многообразие. В [3; п. 2.1] было показано, что условие иметь не более чем квадратичные особенности ранга $\geqslant r$ устойчиво относительно раздутий, так что особенности многообразия $V$, имеющего не более чем квадратичные особенности ранга $\geqslant 8$, терминальны. Доказательство. В основе доказательства лежат элементарные вычисления. Легко проверить, что коразмерность замкнутого подмножества $\mathscr W_0\subset\mathscr W$ гиперповерхностей, не удовлетворяющих условию (R0), есть (здесь $3(M-1)$ есть размерность грассманиана линейных подпространств коразмерности 3 в ${\mathbb P}$, смысл первых двух слагаемых очевиден).
Для того чтобы оценить коразмерность множества гиперповерхностей, не удовлетворяющих условиям (R1) и (R2), воспользуемся хорошо известным фактом: в пространстве квадратичных форм от $N$ переменных замкнутое множество форм ранга $\leqslant r$, где $r\leqslant N$, имеет коразмерность Теперь для того, чтобы оценить коразмерность замкнутого подмножества $\mathscr W_1\,{\subset}\,\mathscr W$ гиперповерхностей, нарушающих условие (R1) хотя бы в одной неособой точке, заметим, что линейную форму $q_1$ можно считать фиксированной, однако точка $p$ варьируется в ${\mathbb P}^{M+1}$. С учетом условия $p\in W$ получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\mathscr W_1\subset\mathscr W)\geqslant \frac12(M-3)(M-2)-(M+1)+1=\frac12M(M-7)+3.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом, коразмерность замкнутого подмножества $\mathscr W_2\subset\mathscr W$ гиперповерхностей, нарушающих условие (R2) хотя бы в одной особой точке, не меньше чем (слагаемое $+(M+1)$ дается условием $q_1\equiv 0$: по предположению, $p\in W$ – особая точка). Нетрудно проверить, что функция $\gamma(M)$, определенная выше, дает минимум этих трех выражений при $M\geqslant 7$. Теорема 2 доказана. Из теоремы 2 следует, что теорема 1 вытекает из следующего утверждения. Теорема 3. Для двойного накрытия $\sigma\colon V\to{\mathbb P}$, разветвленного над гиперповерхностью $W\in\mathscr U$, справедливы утверждения (i) и (ii) теоремы 1. Замечание 2. Для удобства читателя объясним, для чего на многообразие $V$ наложены условия общности положения (R0), (R1) и (R2) и почему мы рассматриваем многообразия размерности $\geqslant 8$. Для описания бирациональной геометрии двойных пространств индекса 2 с особенностями мы применяем метод максимальных особенностей: рассматривая подходящую подвижную линейную систему на многообразии $V$, мы доказываем, что она имеет максимальное подмногообразие вида $\sigma^{-1}(P)$, где $P\subset{\mathbb P}$ – линейное подпространство коразмерности 2 (для того чтобы это доказать, нужно исключить все другие возможности для максимальной особенности). После этого, раздувая подмногообразие $\sigma^{-1}(P)$ и беря собственный прообраз линейной системы на раздутии, мы получаем утверждения (i) и (ii) теоремы 1 и утверждение (ii) следствия 1. Эта работа требует некоторых свойств многообразия $V$, его подмногообразий и его раздутия вдоль прообраза $\sigma^{-1}(P)$ для каждого линейного подпространства $P\subset{\mathbb P}$ коразмерности 2. Точнее, условие (R1) (соответственно (R2)) необходимо для исключения максимальных особенностей, центр которых имеет высокую коразмерность, не содержится в множестве особых точек многообразия $V$, при этом, более того, не содержится (соответственно содержится) в дивизоре ветвления двойного накрытия $\sigma$ – см. доказательство предложения 6 (соответственно предложения 7). В дополнение к этому условие (R1) обеспечивает следующее геометрическое свойство двойного накрытия $\sigma \colon V\to {\mathbb P}$: прообраз на $V$ любого линейного подпространства коразмерности 2 имеет, самое худшее, квадратичные особенности ранга $\geqslant 3$, так что исключительный дивизор раздутия особой точки этого подмногообразия есть неприводимая квадрика, а условие (R2) обеспечивает применимость усиленного $4n^2$-неравенства, которое является основным инструментом в доказательстве предложения 7. Условие (R0) гарантирует, что $\sigma$-прообраз любого линейного подпространства коразмерности $3$ в ${\mathbb P}$ не распадается на две неприводимые компоненты, которые бирационально отображаются на это подпространство (нам это нужно в доказательстве предложения 5). Наконец, условия (R1) и (R2) играют важную роль в доказательстве предложения 1: на раздутии многообразия $V$ вдоль подмногообразия $\sigma^{-1}(P)$, где $P\subset{\mathbb P}$ – произвольное линейное подпространство коразмерности 2, имеется естественный морфизм на ${\mathbb P}^1$ (регуляризация рационального отображения $\pi_P\colon V\dashrightarrow {\mathbb P}^1$), и нам необходимо, чтобы глобальный канонический порог каждого слоя этого морфизма был не меньше 1. Ограничение $\operatorname{dim} V\geqslant 8$ необходимо, чтобы условия (R0), (R1) и (R2) были осмысленными: множество многообразий, нарушающих хотя бы одно из этих условий, должно иметь положительную коразмерность. Оставшаяся часть работы посвящена доказательству теоремы 3. § 3. Метод максимальных особенностейОба утверждения (i) и (ii) теоремы 1 и оставшаяся еще недоказанной часть утверждения (ii) следствия 1 устанавливаются с помощью метода максимальных особенностей (см. [4; гл. 2]). Многообразие $V$, двулистно накрывающее проективное пространство ${\mathbb P}$ с ветвлением в гиперповерхности $W\in\mathscr U$, с этого момента фиксировано. Пусть $\lambda\colon Y\to S$ – рационально связное расслоение над базой положительной размерности и $\Sigma_Y$ – линейная система дивизоров на $Y$, которая есть $\lambda$-подъем некоторой очень обильной линейной системы на базе $S$. Пусть, далее, $V'$ – многообразие Фано с ${\mathbb Q}$-факториальными терминальными особенностями и числом Пикара 1 и $\Sigma'=|{-}\,m'K_V'|$ – очень обильная линейная система, где $m'\gg 1$ достаточно велико. Предположим, что существует бирациональное отображение где либо $X=Y$, либо $X=V'$.Если $X=Y$, положим $\Sigma$ – собственный прообраз $\Sigma_Y$ на $V$ относительно $\chi$. Если $X=V'$, пусть $\Sigma$ – собственный прообраз $\Sigma'$ относительно $\chi$. В любом случае, заменяя, если необходимо, $\Sigma_Y$ или $\Sigma'$ симметрическим квадратом этих линейных систем, можно считать, что – подвижная плюриантиканоническая линейная система на многообразии $V$. Напомним, что простой исключительный дивизор $E^*$ на некотором раздутии $\widetilde{V}\stackrel{\mu}{\to}V$ многообразия $V$ называется максимальной особенностью линейной системы $\Sigma$, если выполнено неравенство Нётера–Фано где $a(E^*)=a(E^*,V)$ – дискрепантность $E^*$ относительно $V$. Следующий факт хорошо известен.Теорема 4. (i) Если $X=Y$ – тотальное пространство рационально связного расслоения над базой $S$ положительной размерности, то линейная система $\Sigma$ обладает максимальной особенностью. (ii) Если $X=V'$ есть многообразие Фано с числом Пикара 1 и $n>m'$, то линейная система $\Sigma$ обладает максимальной особенностью. По поводу доказательства см. [4; гл. 2]. Наличие максимальной особенности у линейной системы $\Sigma$ можно выразить следующим образом: пара $(V,(1/n)\Sigma)$ не канонична. Ключевую роль в доказательстве теоремы 3 играет следующее утверждение. Теорема 5. Предположим, что линейная система $\Sigma\subset|2nH|$ обладает максимальной особенностью. Тогда существует линейное подпространство $P\subset{\mathbb P}$ коразмерности 2, удовлетворяющее неравенству Доказательству теоремы 5 посвящены § 5–8. Предполагая эту теорему доказанной, рассмотрим бирациональное отображение $\chi\colon V\dashrightarrow X$, причем если $X=V'$ – многообразие Фано, то предположим дополнительно, что $n>m'$. Пусть $P\subset{\mathbb P}$ – линейное подпространство коразмерности 2, удовлетворяющее неравенству (2). Через $|H_{\mathbb P}-P|$ обозначим пучок гиперплоскостей в ${\mathbb P}$, содержащих $P$, а через $|H-P|$ – подсистему линейной системы $|H|$, состоящую из дивизоров, содержащих $\sigma^{-1}(P)$. Пусть $\varphi\colon V^+\to V$ – раздутие подмногообразия $\sigma^{-1}(P)$. Через $E_P$ обозначим исключительный дивизор раздутия $\varphi$. Очевидно, $\varphi$ разрешает особенности пучка $|H-P|$ и $\pi=\pi_P\circ\varphi\colon V^+\to{\mathbb P}^1$ есть морфизм, слои которого изоморфны соответствующим дивизорам пучка $|H-P|$. Предложение 1. Многообразие $V^+$ и каждый слой проекции $\pi$ имеют, самое худшее, квадратичные особенности ранга $\geqslant 5$. В частности, эти многообразия факториальны и имеют терминальные особенности. Доказательство получается явными простыми вычислениями: относительно системы аффинных координат $z_1,\dots,z_{M+1}$ на ${\mathbb A}^{M+1}\subset{\mathbb P}$ с началом в точке $p\in P\cap W$, где можно предположить, что $z_i=x_i/x_0$, многообразие $V$ реализуется как гиперповерхность в аффинном пространстве ${\mathbb A}^{M+2}_{z_*,y}$, где $y=w/x_0^M$, заданная уравнением если точка $p\in W$ неособа, и уравнением если в точке $p\in W$ есть особенность. Если $R\in|H_{\mathbb P}-P|$ – произвольная гиперплоскость в пучке, то $\sigma^{-1}(R)\in|H-P|$ задается, соответственно, уравнением или Если точка $p\in W$ неособа, то $\sigma^{-1}(R)$ имеет особенность в точке $o=\sigma^{-1}(p)$ в единственном случае: когда $R=T_pW$. Согласно условию (R1), в этом случае точка $o=\sigma^{-1}(R)$ является квадратичной особенностью ранга $\geqslant 5$.Если точка $p\in W$ особа, то в силу условия (R2) ранг квадратичной формы $q_2(z_*)|_R$ не ниже 5 (поскольку при ограничении на гиперплоскость ранг квадратичной формы падает, самое большее, на 2), так что точка $o=\sigma^{-1}(R)$ есть квадратичная особенность ранга $\geqslant 6$. Таким образом, все слои проекции $\pi\colon V^+\to{\mathbb P}$ имеют не более чем квадратичные особенности ранга $\geqslant 5$, как и утверждалось. Отсюда следует, что и многообразие $V^+$ обладает этим свойством (что можно проверить и непосредственно с помощью явных формул раздутия $\varphi$). Второе утверждение предложения 1 вытекает из первого. Предложение доказано. Подъем дивизориального класса $\varphi^*H$ на $V^+$ обозначим также через $H$. Слой $\pi^{-1}(t)$ над точкой $t\in{\mathbb P}^1$ обозначим через $F_t$, а его класс в группе Пикара – через $F$. Канонический класс многообразия $V^+$ обозначим через $K^+$. Доказательство очевидно. Рассмотрим теперь собственный прообраз $\Sigma^+$ линейной системы $\Sigma$ на $V^+$. Это подвижная линейная система, причем для некоторых $m\in{\mathbb Z_+}$ и $l\in{\mathbb Z}$ имеет место включение Предложение 2 позволяет вычислить $m$ и $l$:
$$
\begin{equation*}
m=2n-\operatorname{mult}_{\sigma^{-1}(P)}\Sigma, \qquad l=2(\operatorname{mult}_{\sigma^{-1}(P)}\Sigma-n)\geqslant 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $m=0$, то линейная система $\Sigma^+\subset|lF|$ составлена из пучка $|F|$, что эквивалентно утверждению (i) теоремы 1. Поэтому, чтобы доказать это утверждение до конца, предположим, что $m\geqslant 1$, и покажем, что данное предположение приводит к противоречию. Для этого применим метод максимальных особенностей к многообразию $V^+$. Предложение 3. Линейная система $\Sigma^+$ обладает максимальной особенностью: для некоторого исключительного простого дивизора $E^+$ над $V^+$ выполнено неравенство Нётера–Фано т.е. пара $(V^+,(1/m)\Sigma^+)$ не канонична. Доказательство этого утверждения хорошо известно. Теперь доказательство утверждения (i) теоремы 1 завершается почти в одну строчку: пусть $F^*\in|F|$ – слой проекции $\pi$, пересекающий центр максимальной особенности $E^+$. Линейная система $\Sigma^*=\Sigma^+|_{F^*}$ непуста, хотя, возможно, уже не является подвижной. Пусть $D^*\in\Sigma^*$ – общий дивизор, $D^*\sim-mK_{F^*}$. Пара не канонична. Однако в [5; п. 2.2] было показано, что это невозможно (см. также доказательство [3; теорема 1.2 ]). Здесь нужно принять во внимание, что $F^*$ есть двойное накрытие проективного пространства ${\mathbb P}^M$, разветвленное над гиперповерхностью $W^*\subset{\mathbb P}^M$ степени $2M$, которая есть гиперплоское сечение гиперповерхности $W\subset{\mathbb P}$. Если $p\in W^*$ – некоторая точка и $z_1,\dots,z_M$ – система координат на ${\mathbb A}^M\subset{\mathbb P}^M$ с началом в $p$, то уравнение гиперповерхности $W^*$ можно записать в виде где $q^*_i(z_*)$ однородны степени $i\geqslant 1$. Если точка $p\in W^*$ неособа, то из условия (R1) получаем (ранг квадратичной формы при ограничении на гиперплоскость падает не больше, чем на 2). Если точка $p\in W^*$ особа, то из условия (R2) получаем (по той же причине). Таким образом, условия общности положения, наложенные на двойное пространство индекса 1 в [5], выполнены (это в точности условия (W1) и (W) в [3; § 3]), и потому глобальный канонический порог слоя $F^*$ не меньше 1. Часть (i) теоремы 1 доказана.§ 4. Бирегулярные уточненияРассмотрим теперь утверждения (ii) теоремы 1 и следствия 1, уточняющие и усиливающие основное “грубое” бирациональное утверждение (i) теоремы 1. Эти бирегулярные факты доказаны в [6]. Мы не будем воспроизводить доказательство полностью, лишь объясним его основные шаги, отсылая читателя к [6]. Прежде всего отметим, что если в обозначениях теоремы 4 имеет место неравенство $n\leqslant m'$, то хорошо известные рассуждения (см., например, доказательство [4; гл. 2, предложение 1.6]) показывают, что отображение $\chi\colon V\dashrightarrow V'$ есть бирегулярный изоморфизм. Поэтому можно предполагать, что $n>m'$, так что система $\Sigma$ имеет максимальную особенность, и по теореме 5 справедливо неравенство (2). Рассмотрим снова линейную систему $\Sigma^+\subset|{-}\,mK^++lF|$. Она не может быть составлена из пучка, поэтому $m\geqslant 1$. Если $m>m'$, то, учитывая, что $l\in{\mathbb Z}_+$, и рассуждая, как, например, в [4; гл. 2, предложение 1.2], получаем утверждение предложения 3 и приходим к противоречию дословно так же, как в относительном случае $X=Y$ (конец § 3 выше). Следовательно, можно предполагать, что $m\leqslant m'$. В этом случае рассуждаем дословно так же, как в [6; п. 1.4]. В сущности, это рассуждение почти дословно повторяет доказательство [4; гл. 2, предложение 1.6] с единственной разницей: отображение не может быть изоморфизмом, потому что $V^+$ и $V'$ имеют разные числа Пикара, Это завершает доказательство теоремы 1.Установим бирегулярное уточнение (ii) в следствии 1. Подробности см. в [6; п. 1.5] – здесь мы лишь опишем основные шаги рассуждений. Итак, пусть $\pi'\colon V'\to S'$ – расслоение Мори над базой положительной размерности и $\chi\colon V\dashrightarrow V'$ – бирациональное отображение. Согласно теореме 1 имеем $S'={\mathbb P}^1$ и для некоторого линейного подпространства $P\subset{\mathbb P}$ коразмерности 2 композиция переводит слои $\pi$ в слои $\pi'$. Далее,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Pic} V'\otimes{\mathbb Q}={\mathbb Q}K'\oplus{\mathbb Q}F'
\end{equation*}
\notag
$$
есть двумерное линейное пространство над ${\mathbb Q}$, где $K'=K_{V'}$, и $F'$ – класс слоя проекции $\pi'$. Выберем теперь линейную систему $\Sigma'$ на $V'$ по-другому: не поднимая ее с базы $S'$. Пусть – очень обильная полная линейная система. Ее собственный прообраз на $V^+$ удовлетворяет условию $l\in{\mathbb Z}_+$, если $l'\in{\mathbb Z}_+$ достаточно велико (напомним, что собственный прообраз пучка слоев $|F'|$ на $V^+$ есть пучок слоев $|F|$). Теперь если $m>m'$, то линейная система $\Sigma^+$ имеет максимальную особенность и мы получаем противоречие, как выше, ограничивая общий дивизор системы $\Sigma^+$ на слой $F^*$, пересекающий центр максимальной особенности. Следовательно, $m\leqslant m'$ и, рассуждая дословно, как в [6; п. 1.5], показываем, что $\chi^+$ есть изоморфизм в коразмерности 1. Отсюда вытекает, что есть очень обильная полная линейная система. Поэтому $\chi^+\colon V^+\to V'$ есть бирегулярный изоморфизм. Это завершает доказательство утверждения (ii) следствия 1. Оставшаяся часть работы посвящена доказательству ключевой теоремы 5. § 5. Максимальные подмногообразия коразмерности 2Зафиксируем подвижную линейную систему $\Sigma\subset|2nH|$, имеющую максимальную особенность $E^*$ на некотором раздутии $\mu\colon\widetilde{V}\to V$ двойного пространства $V$. Метод доказательства теоремы 5 является стандартным: предположим, что неравенство (2) не выполнено ни для одного линейного подпространства $P$ коразмерности 2, т.е.
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mult}_{\sigma^{-1}(P)}\Sigma\leqslant n.
\end{equation*}
\notag
$$
Наша цель – привести это предположение к противоречию. Пусть $B=\mu(E^*)$ – центр максимальной особенности на $V$. Доказательство. Предположим противное: Мы знаем, что $\sigma(B)\subset{\mathbb P}$ не есть линейное подпространство коразмерности 2, потому что Проверим, что рассуждения, которые использовались в [1] для исключения максимальных особенностей этого типа, проходят и для двойных пространств с особенностями. Несколько злоупотребляя обозначениями, используем $P$ для линейного подпространства размерности 6 общего положения в ${\mathbb P}$. Поскольку $P\cap\operatorname{Sing} W = \varnothing$, имеем: есть неособое 6-мерное многообразие, двулистно накрывающее $P\cong{\mathbb P}^6$ с ветвлением в неособой гиперповерхности $W(P)=W\cap P$. Для численной группы Чжоу циклов коразмерности 2 имеем где $H_P$ есть $\sigma$-подъем класса гиперплоскости в $P$, так что и а потому $B\sim H^2$, или $2H^2$, или $3H^2$. Положим $\overline{B}=\sigma(B)\subset{\mathbb P}$. По предположению, $\operatorname{deg}\overline{B}\geqslant 2$.
Если $B=\sigma^{-1}(\overline{B})$, то доказательство [1; п. 2.1, предложение 2.1] проходит без изменений: общая секущая $L$ подмногообразия $B$ не задевает множества $\operatorname{ Sing}W$. Поэтому где $\operatorname{deg}\overline{B}\in\{2,4,6\}$ и $B\neq B'$. Случай $\operatorname{deg}\overline{B}=2$, когда $\overline{B}$ есть неприводимая квадрика в гиперплоскости $\langle\overline{B}\rangle\subset{\mathbb P}$, исключается дословно рассуждениями [1; п. 2.2], потому что общая 2-плоскость в $\langle\overline{B}\rangle$ не задевает множества $\operatorname{Sing} W$.Предположим, что $\operatorname{deg}\overline{B}=6$. Здесь с минимальными изменениями проходят рассуждения [1; п. 2.3]: пусть $C\subset\overline{B}$ – неприводимая кривая, которая не содержится в $W$, причем $C\cap\operatorname{Sing}W=\varnothing$. Получаем неравенство (в [1] размерность многообразия $V$ и проективного пространства ${\mathbb P}$ равна значению параметра $M$, в настоящей работе $\operatorname{dim}V=M+1$). Рассматривая самопересечение $Z=(D_1\circ D_2)$ линейной системы $\Sigma$, где $D_1,D_2\in\Sigma$ – общие дивизоры, получаем
$$
\begin{equation*}
8n^2=\operatorname{deg}Z\geqslant 6((\operatorname{mult}_B\Sigma)^2+ (\operatorname{mult}_{B'}\Sigma)^2)> 6\biggl(1+\frac{(M-2)^2}{(M-1)^2}\biggr)n^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Уже при $M=5$ это неравенство невозможно. Напомним, в настоящей работе $M\geqslant 7$. Случай $\operatorname{deg}\overline{B}=6$ исключен.
Предположим, что $\operatorname{deg}\overline{B}=4$. Здесь мы рассуждаем, как в [1; п. 2.4]: предложение 2.4 этой работы остается справедливым, а доказательство предложения 2.5 проходит дословно в случаях 1), 2) и 3). Рассмотрим последний случай 4), где в доказательство необходимо внести небольшие изменения. В [1; п. 2.4] $P$ обозначает общее линейное подпространство размерности 3 в ${\mathbb P}$, так что $B_P=\overline{B}\cap P$ есть кривая в ${\mathbb P}^3$. Это кривая степени 4, имеющая в случае 4) единственную двойную точку, так что подмногообразие $\overline{B}$ содержит линейное подпространство $\Pi\subset{\mathbb P}$ двойных точек, $\operatorname{ codim}(\Pi\subset{\mathbb P})=3$. Модифицируем данное в [1] доказательство следующим образом. Рассмотрим сеть гиперплоскостей в ${\mathbb P}$, содержащих $\Pi$. Обозначим эту линейную систему через $|H_{\mathbb P}-\Pi|$. Пусть $\Theta\in|H_{\mathbb P}-\Pi|$ – общий элемент. Очевидно, где $Q(\Theta)$ есть неприводимая квадрика в линейном подпространстве $\langle Q(\Theta)\rangle$ коразмерности 2. Эта квадрика не содержится в $W$, потому что $\overline{B}\not\subset W$ в силу теоремы Лефшеца. Далее, множество особых точек гиперповерхности $W\cap\langle Q(\Theta)\rangle$ имеет относительно подпространства $\langle Q(\Theta)\rangle$ коразмерность не меньше 3, так что 2-плоскость $\Lambda\subset\langle Q(\Theta)\rangle$ общего положения не пересекает этого множества и кривая $W\cap\Lambda$ неособа. Поэтому проходит доказательство леммы [1; лемма 2.1], утверждающей, что поверхность $S=\sigma^{-1}(\Lambda)$ содержится в базисном множестве линейной системы $\Sigma$. Однако плоскости $\Lambda$ заметают дивизор на ${\mathbb P}$, так что поверхности $S$ заметают дивизор на $V$. Это противоречие исключает случай $\operatorname{deg}B=4$ и завершает доказательство предложения 4.§ 6. Максимальные особенности с центром коразмерности 3Предположим теперь, что центр $B=\mu(E^*)$ максимальной особенности на $V$ имеет коразмерность 3. Необходимо привести это предположение к противоречию. Положим $\overline{B}=\sigma(B)$: это подмногообразие коразмерности 3 в проективном пространстве ${\mathbb P}$. Доказательство. Необходимо исключить возможность $\operatorname{deg}B=1$. Если бы это равенство выполнялось, подмногообразие $\overline{B}\subset{\mathbb P}$ было бы линейным подпространством, причем
(1) либо $\sigma^{-1}(\overline{B})=B\cup B'$, где $B'\neq B$, (2) либо $\overline{B}\subset W$. Если реализуется случай (1), то ограничение $F|_{\overline{B}}$ уравнения гиперповерхности $W$ на $\overline{B}$ есть полный квадрат, что невозможно в силу условия (R0). Если реализуется случай (2), то нетрудно проверить, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}((\operatorname{Sing} W\cap\overline{B})\subset \overline{B})=3,
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}((\operatorname{ Sing} W\cap\overline{B})\subset{\mathbb P})=6,
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит неравенству (1). Этим доказательство предложения 5 завершено. Теперь доказательство [1; предложение 3.1] проходит дословно, исключая возможность $\operatorname{codim}(B\cap V)=3$. § 7. Максимальные особенности с центром коразмерности $\geqslant 4$: неособый случайПредположим теперь, что центр $B=\mu(E^*)$ максимальной особенности имеет коразмерность $\geqslant 4$, причем так что $\overline{B}=\sigma(B)\not\subset\operatorname{Sing}W$. Эта возможность исключается рассуждениями [1; § 6], однако наличие у гиперповерхности $W$ особенностей приводит к тому, что некоторые фрагменты рассуждений нуждаются в модификации. В случае $\overline{B}\,{\not\subset}\, W$ никаких изменений не нужно: рассуждения [1; п. 6.1] проходят дословно. Поэтому считаем, что $\overline{B}\subset W$. Сохраняя обозначения [1; § 6], пусть $o\in B$ – точка общего положения (в частности, $o\not\in\operatorname{Sing}V$) и $p=\sigma(o)\in\overline{B}$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\varphi\colon V^+\to V, \qquad \varphi_{\mathbb P}\colon{\mathbb P}^+\to{\mathbb P}
\end{equation*}
\notag
$$
– раздутия точек $o$ и $p$ соответственно (эти обозначения уже использовались в § 3 и в § 4, но в старом смысле они больше не понадобятся; мы вновь используем эти обозначения в новом смысле, потому что они согласованы с обозначениями [1; § 6]). Пусть $E=\varphi^{-1}(o)$ и $E_{\mathbb P}=\varphi^{-1}_{\mathbb P}(p)$ – исключительные дивизоры. Из $8n^2$-неравенства (см. [1; предложение 4.1] или [4; гл. 2, п. 4.1]) следует, что имеется некоторое линейное подпространство $\Pi\subset E$ коразмерности 2, удовлетворяющее неравенству
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mult}_oZ+\operatorname{ mult}_{\Pi}Z^+>8n^2
\end{equation*}
\notag
$$
(здесь $Z$, как и выше, есть самопересечение подвижной линейной системы $\Sigma$, а $Z^+$ – его собственный прообраз на $V^+$). Через ${\mathbb T}$, как и в [1; п. 6.2], обозначим гиперплоскость ${\mathbb P}(T_PW)\subset E_{\mathbb P}$, которая естественно отождествляется с гиперплоскостью ${\mathbb P}(T_o\sigma^{-1}(W))\subset E$. Это отождествление будет молчаливо предполагаться в ходе рассуждений. Напомним, что по нашему предположению $p\not\in\operatorname{Sing}W$ – неособая точка дивизора ветвления: именно поэтому (с небольшими изменениями) проходит доказательство из [1; § 6]. Морфизм $\sigma$ индуцирует рациональное отображение степени 2 которое не является двойным накрытием. Его ограничение на исключительный дивизор есть проекция $E\cong{\mathbb P}^M$ из некоторой точки $\xi\not\in{\mathbb E}\setminus{\mathbb T}$ на гиперплоскость ${\mathbb T}$, рассматриваемую теперь как гиперплоскость ${\mathbb T}\subset E_{\mathbb P}$ (см. [1; § 6]). Теперь простой случай, когда $\xi\in\Pi$, так что $\Pi_{\mathbb P}=\sigma_E(\Pi)\subset{\mathbb T}$ имеет в ${\mathbb T}$ коразмерность $2$, а в $E_{\mathbb P}$ – коразмерность $3$, исключается дословным повторением рассуждений [1; п. 6.2]. Остается исключить трудный случай, когда $\xi\not\in\Pi$, так что $\Pi_{\mathbb P}=\sigma_E(\Pi)\subset{\mathbb T}$ есть гиперплоскость в ${\mathbb T}$ и линейное подпространство коразмерности $2$ в $E_{\mathbb P}$. Здесь мы рассуждаем, как в [1; п. 6.3]. Пусть $\Lambda\subset{\mathbb P}$ – единственное подпространство коразмерности 2 такое, что $p\in\Lambda$ и $\Lambda^+\cap E_{\mathbb P}=\Pi_{\mathbb P}$, где $\Lambda^+\subset{\mathbb P}^+$ – собственный прообраз. В силу предположения (R2) об особенностях гиперповерхности $W$ имеем: $Q=\sigma^{-1}(\Lambda)$ есть неприводимое подмногообразие. Доказательство. Пусть $z_1,\dots,z_{M+1}$ – аффинные координаты с началом в точке $p$ и – уравнение гиперповерхности $W$ в этих координатах. В окрестности точки $o$ локальное уравнение подмногообразия $Q\subset{\mathbb A}^M$ имеет вид Поскольку $\Pi_{\mathbb P}\subset{\mathbb T}=\{q_1=0\}$, имеем уравнение где (обозначая аффинную часть подпространства $\Lambda$ тем же символом) $\Lambda\subset\{q_1=0\}$. Поэтому $q_2|_{\Lambda}$ есть ограничение квадратичной формы $q_2$ на некоторую гиперплоскость в касательной гиперплоскости $\{q_1=0\}$. Следовательно, условие (R1) дает неравенство так что подмногообразие $Q$ имеет в точке $o$ квадратичную особенность ранга $\geqslant 3$. Поэтому квадрика $Q^+\cap E$ есть квадратичная гиперповерхность ранга $\geqslant 3$ в своей линейной оболочке $\langle Q^+\cap E\rangle$, которая не может содержать линейного подпространства $\Pi$ (подпространство $\Pi$ есть гиперплоскость в $\langle Q^+\cap E\rangle$). Предложение доказано. Следовательно, имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mult}_oQ+\operatorname{mult}_{\Pi}Q^+= \operatorname{deg}Q=2,
\end{equation*}
\notag
$$
и рассуждения [1; п. 6.3] исключают максимальную особенность в трудном случае. Мы исключили все возможности для максимальной особенности, если ее центр $B$ не содержится в $\operatorname{Sing}V$. § 8. Максимальные особенности с центром коразмерности $\geqslant 4$: особый случайПредположим теперь, что $B\subset\operatorname{Sing}V$, так что $\overline{B}\subset\operatorname{Sing}W$, причем $B$ имеет максимальную размерность среди всех центров максимальных особенностей линейной системы $\Sigma$. В частности, в силу условия (R2) имеем $\operatorname{codim}(B\,{\subset}\, V)\,{\geqslant}\,7$. Этот случай представляет серьезные трудности для той техники исключения, которая была доступна в 2009 г. и использовалась в [1]. Пусть $Z=(D_1\circ D_2)$ – самопересечение подвижной системы $\Sigma$, так что $Z\sim 4n^2H^2$ и $\operatorname{ deg}Z=8n^2$. Доказательство. Пусть $o\in B$ – точка общего положения. Достаточно проверить, что росток квадратичной особенности $o\in V$ удовлетворяет предположениям усиленного $4n^2$-неравенства (см. [7; § 2]). Пусть $z_1,\dots,z_{M+1}$ – координаты на аффинной карте ${\mathbb A}^{M+1}\subset{\mathbb P}$, причем $p=\sigma(o)=(0,\dots,0)$, так что многообразие $V$ в окрестности точки $o$ есть гиперповерхность
$$
\begin{equation*}
\{y^2=q_2(z_*)+\dots+q_{2M}(z_*)\}\subset{\mathbb A}^{M+2}_{y,z_*}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим общее линейное подпространство (т.е. аффинное подпространство, содержащее точку $o$) $P\subset{\mathbb A}^{M+2}$ размерности 7. В силу условия (R2) точка $o$ есть изолированная квадратичная особенность многообразия $V_P=V\cap P$ максимального ранга, так что для раздутия этой точки имеем: $V^+_P$ неособо в окрестности исключительного дивизора $Q_P=\varphi_P^{-1}(o)$, который является неособой квадрикой в ${\mathbb P}^6$. Поскольку размерность $\operatorname{ dim}B$ максимальна среди размерностей всех центров максимальных особенностей системы $\Sigma$, подмногообразие $B$ не содержится строго в другом центре максимальной особенности этой системы. Следовательно, ограничение $\Sigma_P=\Sigma|_{V_P}$ есть подвижная линейная система на $V_P$, причем пара $(V_P,(1/n)\Sigma_P)$ канонична вне точки $o$ в некоторой окрестности этой точки, но имеет точку $o$ центром неканонической особенности. Для самопересечения $Z_P$ системы $\Sigma_P$ в силу [7; § 1] имеем неравенство Однако $Z_P=(Z\circ V_P)$ есть сечение цикла $Z$ общим линейным подпространством $P\ni o$, так что Это завершает доказательство предложения 7. Для исключения особого случая осталось заметить, что мы получили неравенство которое невозможно. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы 5.§ 9. Исторические замечания и благодарностиОсновная теорема работы [1] была первым результатом типа бирациональной жесткости для большого класса многообразий Фано индекса 2 произвольной $(\geqslant 5)$ размерности. В этой работе двойные пространства индекса 2 предполагались неособыми. За [1] последовал новый прорыв – описание бирациональной геометрии общих неособых гиперповерхностей Фано индекса 2 размерности $\geqslant 16$ в проективном пространстве [8]. В [7] было доказано усиленное $4n^2$-неравенство для особенностей полного пересечения, существенно упростившее исключение максимальных особенностей, центр которых содержится в особом множестве многообразия. Это позволило перенести результаты о бирациональной геометрии многообразий Фано индекса 2 на многообразия с особенностями и, в частности, получить эффективную оценку коразмерности дополнения ко множеству тех многообразий, на которые распространяется основная теорема. Для гиперповерхностей Фано индекса 2 это сделано в [6], двойным пространствам Фано индекса 2 посвящена настоящая работа. Отметим, что хотя доказательство усиленного $4n^2$-неравенства в полном объеме использует доказанное в [9] обобщение [10; предложение 5], для многообразий с гиперповерхностными (в частности, квадратичными) особенностями достаточно последнего результата. Теоремы типа бирациональной жесткости, доказанные в последние десять лет, как правило, относятся к семействам многообразий Фано и расслоений Мори, которые могут иметь особенности ограниченного типа (см., например, [11]–[15] – этот список далеко не полный). Двойные накрытия проективного пространства играют роль пробного камня в такой работе с самых первых шагов теории бирациональной жесткости, см. [16]–[18]. Квадратичные особенности ограниченного снизу ранга, как показал опыт [19], [20], являются наиболее естественным классом особенностей для переноса “неособых” результатов в “особый” контекст. БлагодарностиАвтор благодарит сотрудников отделов алгебраической геометрии и алгебры Математического института им. В. А. Стеклова за интерес к его работе. Автор также благодарит коллег по группе алгебраической геометрии в Ливерпульском университете за творческую атмосферу и общую поддержку. Автор благодарит рецензента за работу над статьей и ряд полезных замечаний. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Puk21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|