| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Максимальные алгебры Ли среди локально нильпотентных дифференцирований А. А. Скутин Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9360 
Реферативные базы данных:
      § 1. ВведениеВ своей монографии [1] Дж. Фройденбург высказал следующие гипотезы о строении максимальных по вложению подалгебр Ли среди локально нильпотентных дифференцирований алгебры многочленов от $n$ переменных (см. [1; 11.7]). Гипотеза 1. Алгебра Ли треугольных дифференцирований $\mathfrak{T}\,{=}\,\mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots\oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$ является максимальной по вложению алгеброй Ли, лежащей в $\operatorname{LND}(\mathbb{K}[x_1, \dots, x_n])$. Гипотеза 2. Пусть $\mathscr{A}$ – максимальная по вложению алгебра Ли, лежащая в $\operatorname{LND}(\mathbb{K}[x_1,\dots, x_n])$. Тогда $\mathscr{A}$ сопряжена c алгеброй Ли $\mathfrak{T}=\mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$. Как мы покажем дальше, гипотеза 1 верна, а гипотеза 2 не верна в общем случае. Однако на алгебру Ли $\mathscr{A}$ можно наложить некоторые естественные дополнительные условия, при которых гипотеза 2 все же имеет место. В этой работе мы докажем, что гипотеза 2 верна в следующей более слабой форме. Теорема 1. Пусть дана максимальная алгебра Ли $\mathscr{A}\subset\operatorname{LND}(\mathbb{K}[x_1,\dots, x_n])$ и известно, что $\ker\mathscr{A} := \bigcap_{D\in\mathscr{A}}\ker D=\mathbb{K}$. Тогда $\mathscr{A}$ сопряжена алгебре Ли $\mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$. § 2. Используемые утвержденияРассмотрим произвольную коммутативную алгебру $B$ с единицей, без делителей нуля над полем нулевой характеристики $\mathbb{K}$. Пусть также известно, что $B$ имеет конечную степень трансцендентности. Далее в работе всегда будем рассматривать только такие алгебры. Будем использовать следующие обозначения: – для произвольного конечного числа элементов $x_1, \dots, x_n$, лежащих в алгебре $B$, будем писать $A=\mathbb{K}[x_1,\dots, x_n]$ в том случае, когда элементы $x_i$ алгебраически независимы и алгебра $A\subseteq B$ порождается этими элементами; – для каждой алгебры Ли $\mathscr{A}$ определим $d(\mathscr{A})$ как ее ступень разрешимости, также обозначим через $\mathscr{A}^{(i)}$$i$-й коммутант алгебры Ли $\mathscr{A}$; – для произвольного семейства линейных операторов $S$ векторного пространства $V$ ядром $\ker S$ этого семейства будем называть пересечение ядер всех операторов, лежащих в множестве $S$; – для произвольной пары семейств линейных операторов $S_1$, $S_2$ векторного пространства $V$ обозначим через $[S_1, S_2]$ множество всевозможных коммутаторов вида $[A, B]=AB - BA$, где $A\in S_1$, $B\in S_2$; – для произвольного семейства линейных операторов $S$ векторного пространства $V$ и произвольного элемента $v\in V$ обозначим через $S(v)$ множество элементов вида $A(v)$, где $A$ – всевозможные операторы из $S$; – для произвольного семейства линейных операторов $S$ векторного пространства $V$ обозначим через $\operatorname{ad}S$ множество присоединенных эндоморфизмов $\{\operatorname{ad}A$: $X\to [A, X]\mid A\in S,\, X\in\operatorname{End}(V)\}$ векторного пространства $\operatorname{End}(V)$. Определение 1. Линейный оператор $A$ на векторном пространстве $V$ называется локально нильпотентным, если для каждого вектора $v$ из $V$ найдется натуральное число $k=k(v)>0$ такое, что $A^k(v)=0$. Определение 2. Множество линейных операторов $T$ на векторном пространстве $V$ будем называть локально нильпотентным, если для любой бесконечной последовательности операторов $A_1, A_2,\dots$, лежащих в $T$, и любого вектора $v\in V$ существует такое $k=k(v, \{A_i\})>0$, что выполнено равенство $A_k\dotsb A_1(v)=0$. Лемма 1. Пусть $T$ – локально нильпотентное множество линейных операторов на векторном пространстве $V$. Тогда для произвольного собственного векторного подпространства $U\subset V$ найдется элемент $v\in V\setminus U$, для которого $T(v)\subseteq U$. Доказательство. Рассмотрим произвольный вектор $v\in V\setminus U$. Из того, что множество $T$ является локально нильпотентным, имеем, что для некоторого конечного набора элементов $A_1,A_2,\dots,A_k$, лежащих в множестве $T$, элемент $A_k\dotsb A_1(v)$ не принадлежит множеству $U$, однако элементы $TA_k\dotsb A_1(v)$ лежат в множестве $U$. Теперь в качестве искомого элемента достаточно рассмотреть элемент $v'=A_k\dotsb A_1(v)$. Лемма доказана. Лемма 2. Рассмотрим произвольное локально нильпотентное множество линейных операторов $T$ на векторном пространстве $V$. Тогда для любого локально нильпотентного оператора $A$ на векторном пространстве $V$ такого, что $[A, T]\subseteq T$, имеем $T\cup\{A\}$ – локально нильпотентное множество линейных операторов на $V$. Доказательство. Пусть $U$ – максимальное по вложению линейное подпространство $V$, инвариантное для каждого линейного оператора из множества $T\cup\{A\}$ такое, что ограничение $T\cup\{A\}$ на $U$ является локально нильпотентным множеством линейных операторов. Предположим, что $U\ne V$. По лемме 1 существует элемент $v\in V\setminus U$ такой, что $Tv\subseteq U$. Рассмотрим линейное пространство $U'=\langle U, v, Av, A^2v,\dots \rangle$. Ясно, что $U'$ – инвариантное пространство для $A$ и $U'=\langle U, v, Av, A^2v,\dots, A^Nv \rangle$ для достаточно большого $N$, так как $A$ – локально нильпотентное дифференцирование. Докажем по индукции, что $TA^iv\subseteq U$ для $i\geqslant 0$. База индукции: при $i=0$ имеем Переход индукции от $i=1,\dots, k$ к $i=k+1$: Таким образом, $U'$ – инвариантное пространство для $T\cup\{A\}$ и операторы из $T\cup\{A\}$ переводят пространства $\langle U, A^iv, A^{i+1}v,\dots, A^Nv \rangle$ в пространства $\langle U, A^{i+1}v, A^{i+2}v,\dots, A^Nv \rangle$. Поэтому ограничение $T\,{\cup}\,\{A\}$ на $U'$ является локально нильпотентным множеством линейных операторов. Противоречие к максимальности $U$. Лемма доказана. Каждое локально нильпотентное дифференцирование алгебры $B$ также является локально нильпотентным линейным оператором на векторном пространстве $B_{\mathbb{K}}$. Поэтому все предыдущие леммы о локально нильпотентных операторах применимы к случаю локально нильпотентных дифференцирований. Причем в случае с дифференцированиями алгебры $B$ локально нильпотентным множеством дифференцирований алгебры $B$ называется произвольное множество дифференцирований алгебры $B$, являющееся локально нильпотентным множеством линейных операторов на векторном пространстве $B_{\mathbb{K}}$. Лемма 3. Множество $\mathbb{K} \partial_{x_1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$ является локально нильпотентным множеством дифференцирований алгебры $\mathbb{K}[x_1,\dots, x_n]$. Доказательство. Упорядочим переменные $x_1\prec\dots\prec x_n$ и введем лексикографический порядок на мономах. При действии дифференцирований из $\mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$ на произвольный многочлен порядок старшего монома этого многочлена уменьшается, откуда получаем доказательство леммы. Лемма 4. Рассмотрим произвольное локально нильпотентное множество дифференцирований $S$ алгебры $B$. Тогда для любого конечного множества локально нильпотентных дифференцирований $D_1, D_2,\dots, D_k$ такого, что имеем $S\cup\{D_1, D_2, \dots, D_k\}$ – локально нильпотентное подмножество дифференцирований алгебры $B$. Для доказательства леммы 4 достаточно воспользоваться индукцией по $k$ и леммой 2. Лемма 5. Рассмотрим произвольное подмножество $S$, лежащее в $\operatorname{Der}(B)$. Тогда для некоторого конечного числа элементов $D_1, \dots, D_k\in S$, $\ker S=\bigcap_{i=1}^k\ker D_i$. Более того, $k$ можно выбрать равным $\operatorname{tr.deg.}_{\mathbb{K}}(B)-\operatorname{tr.deg.}_{\mathbb{K}}(\ker S)$. Доказательство. Предположим противное. Тогда найдется счетное семейство элементов $\{D_i\in S\}_{i=1}^{\infty}$ такое, что $\bigcap_{i=1}^{l+1}\ker D_i\subsetneqq\bigcap_{j=1}^l\ker D_j$ для всех $l$. Построим бесконечную цепочку элементов $\{x_l{\kern1pt}{\in}{\kern1pt}(\bigcap_{i=1}^l\ker D_i)\setminus (\bigcap_{j=1}^{l+1}\ker D_j)\}_{l=1}^{\infty}$. Применяя [1; предложение 1.8, (d)] к дифференцированиям $D_i$, получаем, что $x_1, x_2,\dots$ образует бесконечное алгебраически независимое семейство элементов, что противоречит условию того, что $\operatorname{tr.deg.}_{\mathbb{K}}(B)<\infty$. Лемма доказана. Следующая лемма является хорошо известным фактом в теории локально нильпотентных дифференцирований, поэтому мы приводим ее без доказательства. Лемма 6. Любая абелева алгебра Ли $\mathscr{A}$, лежащая в $\operatorname{LND}(B)$, такая, что $\ker\mathscr{A}=\mathbb{K}$, является конечномерной алгеброй Ли размерности не более чем $\operatorname{tr.deg.}_{\mathbb{K}}(B)$. § 3. Опровержение гипотезы 2 в общем случаеТеорема 2. Гипотеза 2 не верна в случае $n=3$. Доказательство. Рассмотрим локально нильпотентное дифференцирование $D=-P_z\partial y + P_y\partial z$, где $P_y=1 +y(xz+y^2)$, $P_z=(xz+y^2)/2$. Пусть $\mathscr{A}$ – максимальная по вложению подалгебра Ли в $\operatorname{LND}(\mathbb{K}[x, y, z])$, содержащая алгебру Ли $\mathbb{K}\cdot D$. В случае справедливости гипотезы 2 получаем, что $\mathscr{A}$ сопряжена треугольной алгебре Ли и $D$ является триангулизируемым дифференцированием, что противоречит [2; пример 3.5]. Теорема доказана.
§ 4. Основные свойства локально нильпотентных множеств дифференцированийТеорема 3. Пусть $S$ – произвольное локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B$, для которого $\ker S=\mathbb{K}$. Тогда найдутся $x_i$ такие, что $B=\mathbb{K}[x_1,\dots, x_n]$ и $S\subseteq \mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$. Доказательство. Рассмотрим семейство $\mathscr{P}$ подалгебр $A$ алгебры $B$, обладающих следующими свойствами: 1) $A$ инвариантна для каждого дифференцирования из $S$; 2) существуют алгебраически независимые элементы $a_1, a_2,\dots, a_k$ такие, что $A=\mathbb{K}[a_1,\dots, a_k]$ и $S|_A\subseteq\mathbb{K}\partial a_1\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[a_1, \dots, a_{k-1}]\partial a_k$. Введем частичный порядок на $\mathscr{P}$. Будем говорить, что для двух подалгебр $A_1, A_2\in\mathscr{P}$ выполнено $A_1\prec A_2$ тогда и только тогда, когда существуют элементы $a_{1}, a_{2},\dots, a_{k_1}$ и $a_{k_1+1}, a_{k_1+2},\dots,$ $a_{k_2}$ такие, что $A_1= \mathbb{K}[a_{1}, a_{2},\dots, a_{k_1}]$, $A_2=A_1[a_{k_1+1}, a_{k_1+2},\dots, a_{k_2}]\,{=}\,\mathbb{K}[a_{1},\dots, a_{k_2}]$ и $S|_{A_2}\,{\subseteq}\,\mathbb{K}\partial a_{1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[a_{1}, \dots, a_{k_2-1}]\partial a_{k_2}$. Ясно, что не существует бесконечной возрастающей цепочки подалгебр, лежащих в $\mathscr{P}$. Поэтому можно выбрать максимальную подалгебру $A$ из $\mathscr{P}$. Предположим, что $A\ne B$ и выберем произвольный элемент $b\in B\setminus A$ такой, что $Sb\subseteq A$ (такой элемент существует по лемме 1). Проверим, что $b$ алгебраически независим над $A$. Предположим противное: пусть для некоторых элементов $a_0, a_1, \dots, a_d\in A$ выполнено $a_0 + a_1b+\dots + a_db^d=0$, причем $a_d\ne 0$. Можем считать, что $d>0$ – минимально возможная степень аннулирующего многочлена. Заметим, что по построению алгебры $A$ и элемента $b$ элементы $D(a_j)$, $D(b)$ лежат в $A$ для всех $a_j$ и всех дифференцирований $D$, лежащих в $S$. Имеем $0=D(a_0 + a_1b+\dots + a_db^d)=(D(a_0)+a_1D(b))+\dots + (D(a_{d-1})+da_dD(b))b^{d-1} + D(a_d)b^d$ для всех $D\in S$. Поэтому в случае $a_d\notin\mathbb{K}$, подставляя в последнем равенстве вместо элемента $D\in S$ такой элемент $D'\in S$, что $a_d\notin\ker D'$, получим аннулирующий многочлен элемента $b$ степени $d$ со старшим коэффициентом, равным $D'(a_d)\ne 0$. Таким образом, из локальной нильпотентности множества дифференцирований $S$ после выполнения некоторого конечного числа таких операций получаем, что $b$ имеет аннулирующий многочлен степени $d$ со старшим коэффициентом, лежащим в поле $\mathbb{K}$. Можем считать, что $a_0 + a_1b+\dots + a_db^d$ – искомый многочлен с $a_d\in\mathbb{K}\setminus\{0\}$. Заметим тогда, что для каждого дифференцирования $D$ из $S$ выполнено $0=D(a_0 + a_1b+\dots + a_db^d)=(D(a_0)+a_1D(b))+\dots + (D(a_{d-1})+da_dD(b))b^{d-1}$, а значит, из минимальности $d$ получаем $D(a_{d-1})+da_dD(b)=D(a_{d-1}+da_db)=0$ для всех $D\in S$. Откуда $a_{d-1}+da_db\in\mathbb{K}$ и $b\in A$, что противоречит определению элемента $b$. В итоге получаем, что $A\,{\subsetneq}\,A[b]\,{\in}\,\mathscr{P}$. Противоречие с максимальностью $A\,{\in}\,\mathscr{P}$. Значит алгебра $A$ совпадает с $B$ и для некоторых элементов $x_1, x_2,\dots, x_n$, $B=\mathbb{K}[x_1,\dots, x_n]$ и $S\subseteq \mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$. Теорема доказана. Следствие 1. Пусть $S$ – произвольное локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B$. Тогда алгебра Ли $\mathscr{A}$, порожденная множеством $(\ker S)S$, является разрешимой алгеброй Ли, которая также является локально нильпотентным множеством дифференцирований алгебры $B$. Доказательство. Переходя к алгебре $B'=(\ker S \setminus\{0\})^{-1}B$ над полем $(\ker S \setminus\{0\})^{-1}\mathbb{K}$ и локально нильпотентному подмножеству дифференцирований $S'=(\ker S\setminus\{0\})^{-1}S$, можем считать, что $\ker S=\mathbb{K}$. По теореме 3 найдутся $x_i$ такие, что $B=\mathbb{K}[x_1,\dots, x_n]$ и $S\subseteq\mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus\dots\oplus\mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$. Утверждение следствия теперь вытекает из того, что $\operatorname{d} (\mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n})=n$ и леммы 3. Следствие доказано. Теорема 4. Множество дифференцирований $S$ алгебры $B$ является локально нильпотентным тогда и только тогда, когда каждое его конечное подмножество $S'\subseteq S$ является локально нильпотентным множеством дифференцирований алгебры $B$. Доказательство. Докажем, что если каждое конечное подмножество некоторого множества дифференцирований $S$ является локально нильпотентным, то и само $S$ является локально нильпотентным множеством дифференцирований. Ведем индукцию по степени трансцендентности алгебры $B$. В случае если $\operatorname{tr.deg.}_{\mathbb{K}}(B)=0$, имеем $\operatorname{LND}(B)=\{0\}$, $S=\{0\}$, и утверждение леммы очевидно. Из следствия 1 получаем, что алгебра Ли $\mathscr{A}$, порожденная множеством $S$, также обладает тем свойством, что каждое ее конечное подмножество образует локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B$. Поэтому можем считать, что $S=\mathscr{A}$ – алгебра Ли. Рассматривая алгебру Ли $\mathscr{A}'=(\ker\mathscr{A}\setminus\{0\})^{-1}\mathscr{A}$ над полем $\mathbb{K}'=(\ker\mathscr{A}\setminus\{0\})^{-1}\mathbb{K}$ и алгебру $B'= (\ker\mathscr{A}\setminus\{0\})^{-1}B$, можем считать, что $\ker\mathscr{A}=\mathbb{K}$. Применяя следствие 1, а также лемму 5 к множествам дифференцирований $\mathscr{A}$, $\mathscr{A}^{(1)}$, получаем, что существует достаточно большая конечнопорожденная разрешимая подалгебра Ли $\mathscr{B}\subset\mathscr{A}$, являющаяся локально нильпотентным множеством дифференцирований алгебры $B$, такая, что $\ker\mathscr{B}=\ker\mathscr{A}=\mathbb{K}$ и $\ker\mathscr{B}^{(1)}=\ker\mathscr{A}^{(1)}$. Поэтому из теоремы 3 получаем, что для некоторых элементов $x_i$$B=\mathbb{K}[x_1,\dots, x_n]$ и $\mathscr{B}\subseteq \mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\mathbb{K}[x_1] \subseteq \ker(\mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n})^{(1)}\subseteq \ker\mathscr{B}^{(1)}= \ker\mathscr{A}^{(1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\pi\colon \mathscr{A}\to\mathscr{A}|_{\ker\mathscr{A}^{(1)}}$ – гомоморфизм ограничения алгебры Ли $\mathscr{A}$ на инвариантную подалгебру $\ker\mathscr{A}^{(1)}$. Понятно, что каждое дифференцирование, лежащее в $\ker\pi$, содержит $\ker\mathscr{A}^{(1)}$, а следовательно, и $\mathbb{K}[x_1]$, в своем ядре. Рассмотрим алгебру $B'= (\mathbb{K}[x_1]\setminus\{0\})^{-1}B$ степени трансцендентности не более чем $\operatorname{tr.deg}_{\mathbb{K}}(B)-1$ и алгебру Ли $\mathscr{P}= (\mathbb{K}[x_1]\setminus\{0\})^{-1}\ker\pi$. Алгебра Ли $\mathscr{P}$ является множеством дифференцирований алгебры $B'$ меньшей степени трансцендентности, чем $B$, откуда по предположению индукции $\mathscr{P}$ – локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B'$, а значит, $\ker\pi$ – локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B$. Заметим, что $\mathscr{A}^{(1)}\subseteq\ker\pi$, поэтому $\mathscr{A}|_{\ker\mathscr{A}^{(1)}}\cong\mathscr{A}/\ker\pi$ является абелевой алгеброй Ли, лежащей в $\operatorname{LND}(\ker\mathscr{A}^{(1)})$ (мы воспользовались условием теоремы для одноэлементных подмножеств). По лемме 6 получаем, что $\mathscr{A}/\ker\pi$ – конечномерная алгебра Ли, откуда $\ker\pi$ – локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B$, имеющее конечную коразмерность в $\mathscr{A}$. Применяя лемму 4 к множеству $\ker\pi$ и произвольному конечному базису $\{D_1, \dots, D_q\}$ факторпространства $\mathscr{A}/\ker\pi$, получаем, что $\ker\pi\cup\{D_1,\dots, D_q\}$ – локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B$. А значит, из следствия 1 получаем, что $\mathscr{A}= \langle\ker\pi\cup\{D_1,\dots, D_q\}\rangle$ – локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B$. Теорема доказана. Следствие 2. Пусть $S_1\subset S_2\subset\dotsb$ – возрастающая цепочка вложенных друг в друга локально нильпотентных множеств дифференцирований алгебры $B$. Тогда $\bigcup_{i\geqslant 1} S_i$ также является локально нильпотентным множеством дифференцирований алгебры $B$. Теорема 5. Пусть $S$ – произвольное локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B$. Тогда множество $\operatorname{ad}(S)$ является локально нильпотентным множеством линейных операторов на векторном пространстве $\operatorname{Der}(B)$. Доказательство. Рассмотрим алгебру $B'=(\ker S\setminus\{0\})^{-1}B$ над полем $\mathbb{K}'=(\ker S\setminus\{0\})^{-1}\mathbb{K}$ и локально нильпотентное множество дифференцирований $S'=(\ker S\setminus\{0\})^{-1}S$ алгебры $B'$. Из теоремы 3 следует, что существуют $x_i$ такие, что $B'=\mathbb{K}'[x_1,\dots, x_n]$, $S\subseteq\mathbb{K}'\partial_{x_1}\oplus\mathbb{K}'[x_1]\partial_{x_2}\oplus \dots\oplus\mathbb{K}'[x_1,\dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$. Умножая элементы $x_i\in B'$ на подходящие элементы из $\ker S\subseteq\mathbb{K}'$, можем считать, что $x_i\in B$. Пусть $\{b_1, b_2,\dots, b_k\}$ – базис трансцендентности алгебры $\ker S$. Для каждого дифференцирования $D\in\operatorname{Der}(B)$ рассмотрим его координаты $D_1=D(b_1)$, $D_2=D(b_2)$, $\dots$, $D_k=D(b_k)$, $D_{k+1}=D(x_1)$, $D_{k+2}= D(x_2)$, $\dots$, $D_{k+n}=D(x_n)$. Высотой $\operatorname{height}(D)$ дифференцирования $D$ будем называть максимальное число $t>0$ такое, что $D_1=D_2=\dots=D_{t}=0$. В случае, если $\operatorname{height}(D)=n+k$, имеем $\ker D\supseteq\mathbb{K}[b_1,\dots, b_k, x_1,\dots, x_n]$ – алгебра степени трансцендентности, равной $\operatorname{tr.deg.}_{\mathbb{K}}(B)$, являющаяся алгебраически замкнутой в $B$ (мы воспользовались [1; предложение 1.8, (d)]), а следовательно, $\ker D=B$, $D=0$.
Введем частичный порядок на множестве $\operatorname{Der}(B)$. Для произвольных дифференцирований $D, E\in\operatorname{Der}(B)$ будем говорить, что $D\prec E$, если $h=\operatorname{height}(D)\geqslant \operatorname{height}(E)$ и порядок $(h+1)$-й координаты дифференцирования $D$ как многочлена в $\mathbb{K}'[x_1, \dots, x_n]$ (считаем, что на многочленах уже введен лексикографический порядок с $x_1\prec x_2\prec\dots\prec x_n$) строго меньше порядка соответствующей координаты дифференцирования $E$. По построению порядка на $\operatorname{Der}(B)$ понятно, что не существует бесконечной строго убывающей последовательности дифференцирований. Рассмотрим произвольную последовательность дифференцирований $\partial_1,\partial_2,\ldots\in S$ и произвольное дифференцирование $0\ne D\in\operatorname{Der}(B)$. Для каждого $i\leqslant k$ и произвольных $\partial_k\in S$, $E\in\operatorname{Der}(B)$ имеем, что $i$-я координата дифференцирования $(\operatorname{ad}\partial_k)(E)$ равна $(\operatorname{ad}\partial_k)(E)_i = [\partial_k, E](b_i) = \partial_k E(b_i) = \partial_k E_i$. Таким образом, $(\operatorname{ad}\partial_N\cdots\operatorname{ad}\partial_1)(D)_i = (\partial_N\cdots\partial_1)(D_i)$ для всех $N>0$. Из локальной нильпотентности множества $S$ имеем, что для достаточно большого натурального $N$ $(\operatorname{ad}\partial_N\cdots\operatorname{ad}\partial_1)(D)_i = 0$ для всех $i\leqslant k$. Откуда, рассматривая дифференцирование $\widehat{D} = (\operatorname{ad}\partial_N\cdots\operatorname{ad}\partial_1)(D)$ и меньшую последовательность $\partial_{N+1}, \partial_{N+2}, \ldots\in S$, можем считать, что $\operatorname{height}(D)\geqslant k$. Далее, имеем $D(b_i) = 0$ для всех $i\leqslant k$, откуда $\ker S\subseteq\ker D$, а значит, $D$ можно представить в виде $D = D_{h+1}\partial_{x_{h+1-k}} + \dots + D_{k+n}\partial_{x_n}$, где $h = \operatorname{height}(D)\geqslant k$. Поэтому для $\partial_1 = f_0^{(1)}\partial_{x_1}+\dots +f_{n-1}^{(1)}\partial_{x_n}\in S$, $f_i^{(1)}\in\mathbb{K}'[x_1,\dots, x_{i-1}]$ получаем, что $(\operatorname{ad}\partial_1)(D)_{h+1} = (\sum_{i=1}^{h+1-k}f_{i-1}^{(1)}\partial_{x_i})(D_{h+1})$ имеет меньший лексикографический порядок, чем $D_{h+1}$, а значит, $(\operatorname{ad}\partial_{1})(D)\prec D$. Повторяя аналогичное рассуждение для дифференцирований $(\operatorname{ad}\partial_{1})(D)$, $(\operatorname{ad}\partial_2\operatorname{ad}\partial_1)(D),\dots$, получаем, что $D\succ (\operatorname{ad}\partial_{1})(D)\succ(\operatorname{ad} \partial_2\operatorname{ad}\partial_1)(D) \succ\cdots$ – последовательность дифференцирований, сходящаяся к $0$. Из произвольности последовательности $\{\partial_i\in S\}$ следует, что $\operatorname{ad}S$ – локально нильпотентное множество линейных операторов на векторном пространстве $\operatorname{Der}(B)$. Теорема доказана. § 5. Доказательство теоремы 1Мы докажем несколько более сильное утверждение, имеющее место для всех коммутативных алгебр $B$ с единицей, без делителей нуля, конечной степени трансцендентности. Теорема 6. Пусть дана алгебра Ли $\mathscr{A}$, лежащая в $\operatorname{LND}(B)$, и известно, что $\ker\mathscr{A}=\mathbb{K}$. Тогда найдутся $x_i$ такие, что $B=\mathbb{K}[x_1,\dots, x_n]$ и $\mathscr{A}\subseteq\mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$. Для доказательства теоремы 6 остается показать, что всякая алгебра Ли, лежащая в $\operatorname{LND}(B)$, образует локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B$, после чего применить теорему 3. Утверждение. Всякая алгебра Ли $\mathscr{A}$, лежащая в $\operatorname{LND}(B)$, образует локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B$. Доказательство. По следствию 2 каждая возрастающая цепочка вложенных локально нильпотентных множеств дифференцирований алгебры $B$, лежащих в $\mathscr{A}$, имеет верхнюю грань. Поэтому по лемме Цорна существует максимальное по вложению локально нильпотентное множество дифференцирований $S\subseteq\mathscr{A}$, которое по следствию 1 является подалгеброй Ли в $\mathscr{A}$. Предположим, что $S\ne\mathscr{A}$. По теореме 5$\operatorname{ad}S$ – локально нильпотентное множество линейных операторов на $\operatorname{Der}(B)$. Применим лемму 1 к локально нильпотентному множеству линейных операторов $(\operatorname{ad}S)|_{\mathscr{A}}$ на векторном пространстве $\mathscr{A}$ и собственному подпространству $S\subsetneqq\mathscr{A}$. Получим, что $(\operatorname{ad}S)(D)=[S, D]\subseteq S$ для некоторого элемента $D\in\mathscr{A}\setminus S$, откуда по лемме 4$S\cup\{D\}$ – локально нильпотентное множество дифференцирований, большее, чем $S$. Противоречие. Утверждение доказано.
§ 6. Доказательство гипотезы 1Теорема 7. Алгебра Ли $\mathfrak{T}=\mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots\oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$ является максимальной по вложению алгеброй Ли, лежащей в $\operatorname{LND}(\mathbb{K}[x_1, \dots, x_n])$. Доказательство. Рассмотрим максимальную по вложению алгебру Ли $\mathscr{A}$, вложенную в $\operatorname{LND}(\mathbb{K}[x_1, \dots, x_n])$, такую, что $\ker\mathscr{A}=\mathbb{K}$ (в качестве примера такой алгебры Ли можно рассмотреть произвольную максимальную по вложению алгебру Ли, содержащую $\mathfrak{T}$ и лежащую в $\operatorname{LND}(\mathbb{K}[x_1, \dots, x_n])$). По теореме 1 получаем, что алгебра Ли $\mathscr{A}$ сопряжена некоторой подалгебре $\mathscr{A}'$ алгебры Ли $\mathfrak{T}$. Из максимальности $\mathscr{A}'$ среди подалгебр Ли в $\operatorname{LND}(B)$ получаем, что $\mathfrak{T}=\mathscr{A}'$ – максимальная по вложению алгебра Ли, лежащая в $\operatorname{LND}(\mathbb{K}[x_1, \dots, x_n])$. Теорема доказана. БлагодарностьАвтор выражает благодарность И. В. Аржанцеву за постановку задачи и внимание к работе. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sku21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|