Функция спектрального сдвига, характеристическая функция сжатия и обобщенный интеграл

Пусть $T$ – сжимающее ядерное возмущение унитарного оператора $V$, $\{\lambda_k\}$ – дискретный спектр $T$. Для достаточно широкого класса функций $\Phi$ справедлива следующая формула следов
\begin{equation} \operatorname{tr}\{\Phi(T)-\Phi (V)\}=\sum_k\{\Phi(\lambda_k)-\Phi(\lambda_k/|\lambda_k|)\}+(B)\int_0^{2\pi}\Phi'(e^{i\varphi})\,d\Omega(\varphi), \tag{1} \end{equation}
являющаяся непосредственным аналогом известной формулы следов М. Г. Крейна для унитарных операторов. Функцию $\Omega$ естественно назвать “распределением” спектрального сдвига. Оно не является, вообще говоря, функцией ограниченной вариации, однако интеграл в (1) существует в более широком $B$-смысле.
В работе получено явное выражение для $\Omega$ в терминах характеристической функции $\Theta(\lambda)$ сжатия $T$ и установлена связь определенным образом понятой производной $\Omega'$ с матрицей рассеяния $S(\varphi)$ пары $(T,V)$:
$$ \det S(\varphi)=\exp\{-2\pi i\overline{\Omega'(\varphi)}\,\} \qquad \textrm{п.в.\ по мере Лебега}. $$

Найдено необходимое и достаточное условие того, что $\Omega$ имеет ограниченную вариацию. В частности, необходимое и достаточное условие содержит требование отсутствия у сжатия $T$ сингулярного спектра.
Основные утверждения имеют исчерпывающий характер.
Библиография: 58 названий.