Операторные $E$-нормы и их использование

Рассмотрено семейство эквивалентных норм (названных операторными $E$-нормами) на алгебре $\mathfrak{B}(\mathscr{H})$ всех ограниченных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$, индуцированных положительным плотно определенным оператором $G$ в $\mathscr{H}$. Выбирая разные операторы $G$, можно получить операторные $E$-нормы, порождающие разные топологии, в частности сильную операторную топологию на ограниченных подмножествах в $\mathfrak{B}(\mathscr{H})$.
Доказана обобщенная версия теоремы Кречмана–Шлингемана–Вернера, которая показывает непрерывность представления Стайнспринга линейных вполне положительных отображений относительно нормы полной ограниченности с энергетическим ограничением на множестве линейных вполне положительных отображений и операторной $E$-нормы на множестве операторов Стайнспринга.
Показано, что операторные $E$-нормы естественно определяются на множестве линейных операторов, ограниченных относительно оператора $\sqrt{G}$, и превращают это множество в банахово пространство. Получены явные соотношения между операторными $E$-нормами и стандартными характеристиками относительно ограниченных операторов. С помощью операторных $E$-норм получены простые оценки сверху и оценки модуля непрерывности важных для приложений функций, зависящих от относительно ограниченных операторов.
Библиография: 29 названий.