| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Интегрированные решения неплотно определенных полулинейных интегро-дифференциальных включений: существование, топология и приложения Р. Пьеткун Toruń, Poland
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 7, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9331 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение и обозначенияЦелью настоящей работы является изучение следующего интегро-дифференциального включения в банаховом пространстве $E$:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \displaystyle \dot{u}(t)\in Au(t)+F\biggl(t,\int_0^tu(s)\,ds\biggr)&\text{на}\ I:=[0,T], \\ u(0)=x_0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $A\colon D(A)\subset E\to E$ – замкнутый линейный оператор, $F\colon I\times E\multimap E$ – многозначное возмущение, а $x_0\in E$ – заданная точка. Общий случай полулинейного дифференциального включения, описываемый системой
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dot{u}(t)\in Au(t)+F(t,u(t))&\text{на } I, \\ u(0)=x_0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $A$ – инфинитезимальный производящий оператор (генератор) $0$-кратно интегрированной полугруппы, подробно исследован в литературе. Теоретические основы методов, применяемых при исследовании полулинейных дифференциальных включений типа (2), и методов, использующих меры некомпактности, представлены в монографии [13]. Как известно, область определения $D(A)$ строго непрерывного генератора полугруппы должна быть плотной в $E$. Однако одно понятие, введенное в 80-е годы в работе Арендта [1], позволяет обобщить теорию на случай абстрактных задач Коши, в которых операторы не удовлетворяют условиям Хилле–Иоcиды. Основная идея, заложенная в этом понятии, заключается в следующем. Пусть $\{U_t\}_{t\geqslant 0}$ – $C_0$-полугруппа на $E$. Тогда $\displaystyle S(t):=\int_0^tU(s)\,ds$ задает семейство $\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$ ограниченных операторов со следующими свойствами:
Интегрированной полугруппой называется семейство операторов со свойствами (i)–(iii) (за более подробной информацией о введенном выше понятии мы отсылаем читателя к работам [14], [17], [23]). Генератор $A$ интегрированной полугруппы $\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$ представляет собой пример линейного оператора, не удовлетворяющего условиям Хилле–Иосиды. Для того чтобы найти решение $u\in C(I,D(A))$, которое является дифференцируемым и удовлетворяет условиям
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dot{u}(t)=Au(t)+f(t)&\text{на } I, \\ u(0)=x_0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3}
$$
обычно требуется наложить сильные условия гладкости как на $x_0$ ($x_0\in D(A)$, $x_0\in D(A^2)$), так и на $f$ в форме либо временно́й регулярности (т.е. $f\in W^{1,p}(I,E)$), либо пространственной регулярности (т.е. предполагая, что $f(t)$ принадлежит $D(A)$ п.в. на $I$). Без этих дополнительных предположений о регулярности задача (3) рассматривается в обобщенном смысле, определяемом формальным интегрированием обеих частей равенства в (3). В этом случае мы имеем дело с интегральными решениями в смысле Да Прато и Синистрари (см. [5])
$$
\begin{equation*}
u(t)=x_0+A\int_0^tu(s)\,ds+\int_0^tf(s)\,ds, \qquad t\in I;
\end{equation*}
\notag
$$
это, в частности, означает, что $\displaystyle \int_0^tu(s)\,ds\in D(A)$. Авторы работы [18] получили решения задачи с начальными условиями (2) в последнем смысле при следующих предположениях:
Нетрудно показать, что если у задачи (3) существует интегральное решение, то обязательно $x_0\in\overline{D(A)}$. Если же мы хотим еще больше ослабить условие гладкости на $x_0$, мы можем дважды проинтегрировать (3). Этот подход приводит к следующему определению (ср. с [23; определение 6.4]). Определение. Интегрированным решением задачи (1) называется непрерывная функция $u\colon I\to E$ такая, что где последний интеграл справа понимается в смысле Ауманна. Основными результатами настоящей работы являются теоремы о существовании интегрированных решений задачи (1) и топологическая характеризация множества этих решений в случае, когда оператор $A$ является генератором невырожденной экспоненциально ограниченной интегрированной полугруппы и многозначное возмущение имеет слабо секвенциально замкнутый график. Чтобы не налагать условия компактности, используются слабая топология и понятие меры некомпактности Де Блази. Применение теоремы 2.8 из [16] о поведении меры некомпактности $\beta$ при интегрировании позволяет нам переформулировать результаты и для случая нерефлексивных банаховых пространств. В § 2 представлены важные с технической точки зрения обобщения результата, известного в литературе как теорема о сходимости. В § 3 содержатся вышеупомянутые основные результаты работы (теорема 5 и теорема 7). Следствия, вытекающие из описанной ранее геометрической структуры множества интегрированных решений задачи Коши (1), собраны в § 4 в виде теорем и примеров, иллюстрирующих применение теоремы 7. Введем некоторые обозначения, используемые в настоящей работе. Пусть $(E,|\cdot|)$ – банахово пространство, $E^*$ – сопряженное к нему нормированное пространство и $\sigma(E,E^*)$ – слабая топология. Для подмножества $M$ банахова пространства $E$ обозначим через $(M,w)$ топологическое пространство $M$, наделенное относительной слабой топологией пространства $E$. Нормированное пространство ограниченных линейных операторов $S\colon E\,{\to}\,E$ обозначим через $\mathscr{L}(E)$. Для $S\in\mathscr{L}(E)$ через $\|S\|_{\mathscr L}$ обозначим норму $S$. Для произвольного $\varepsilon>0$ и $A\subset E$ через $B(A,\varepsilon)$ ($D(A,\varepsilon)$) обозначим открытую (замкнутую) $\varepsilon$-окрестность множества $A$ (через $D_C(0,R)$ обозначим шар в пространстве непрерывных функций). Для $x\in E$ обозначим $\operatorname{dist}(x,A):=\inf\{|x-y|\colon y\in A\}$. Кроме того, для двух непустых замкнутых ограниченных подмножеств $A$ и $B$ пространства $E$ символом $h(A,B)$ обозначим расстояние Хаусдорфа между $A$ и $B$, т.е. $h(A,B):=\max\bigl\{\sup\{\operatorname{dist}(x,B)\colon x\in A\}, \sup\{\operatorname{dist}(y,A)\colon y\in B\}\bigr\}$. Символы функциональных пространств $C(I,E)$, $L^p(I,E)$, $L^\infty(I,E)$, $H^2(\mathbb R^n)$ и $L^2(\mathbb R^n)$ используются в общепринятом смысле. Символы $\|\cdot\|$, $\|\cdot\|_p$ обозначают нормы соответственно в пространствах $C(I,E)$ и $L^p(I,E)$. Пусть $X$ – метрическое пространство, и пусть многозначное отображение $F\colon X\multimap E$ ставит в соответствие каждой точке $x \in X$ непустое подмножество $F(x)\subset E$. Отображение $F$ является (слабо) полунепрерывным сверху, если для любого (слабо) открытого подмножества $A$ из $E$ прообраз $F^{-1}(A)=\{x\in X\colon F(x)\subset A\}$ является открытым множеством в $X$. Скажем также, что $F\colon X\multimap E$ является хеминепрерывным сверху, если для любого $x^*\in E^*$ функция $\sigma(x^*,F(\,\cdot\,))\colon X\to\mathbb R\cup\{+\infty\}$ полунепрерывна сверху (как расширенно вещественнозначная функция), где $\sigma(x^*,F(x))=\sup_{y\in F(x)}\langle x^*,y\rangle$. Имеет место следующая характеризация: отображение $F\colon X\multimap E$ с выпуклыми значениями является слабо полунепрерывным сверху и имеет слабо компактные значения, если и только если из любой последовательности $(x_n,y_n)$ точек графика $\operatorname{Gr}(F)$ отображения $F$ такой, что $x_n\xrightarrow[n\to\infty]{X}x$, можно выделить подпоследовательность такую, что Пусть $H^\ast(\,\cdot\,)$ – функтор когомологий Александера–Спеньера с коэффициентами в поле рациональных чисел ${\mathbb Q}$ (см. [21]). Скажем, что непустое топологическое пространство $X$ является ациклическим, если приведенные когомологии $\widetilde H^q(X)$ равны $0$ для всех $q\geqslant 0$. Непустое компактное метрическое пространство $X$ является $R_\delta$-множеством, если оно представляет собой пересечение убывающей последовательности компактных стягиваемых метрических пространств. В частности, $R_\delta$-множества ацикличны. Полунепрерывное сверху отображение $F\colon E\multimap E$ называется ациклическим, если оно имеет ациклические компактные значения. Многозначное отображение $F\colon E\multimap E$ допустимо (в смысле [10; определение 40.1]), если существуют хаусдорфово топологическое пространство $\Gamma$ и две такие непрерывные функции $p,q\colon\Gamma\to E$, что $F(x)=q(p^{-1}(x))$ для любого $x\in E$, где $p$ является сюръективным совершенным отображением с ациклическими слоями. Очевидно, что любое ациклическое отображение является допустимым. Более того, композиция допустимых отображений является допустимым отображением (см. [10; теорема 40.6]). Вещественнозначная функция $\beta$, определенная на семействе ограниченных подмножеств $\Omega$ пространства $E$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\beta(\Omega):=\inf\bigl\{\varepsilon>0\colon\Omega\text{ имеет слабо компактную }\varepsilon\text{-сеть в }E\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
называется мерой некомпактности Де Блази. Отметим, что такая функция $\beta$ является мерой некомпактности в смысле общего определения, если пространство $E$ рассматривается со слабой топологией. Нетрудно проверить, что мера некомпактности $\beta$ регулярна, монотонна, несингулярна, полуаддитивна, алгебраически полуаддитивна и инвариантна относительно сдвигов (см. [6]). Напомним несколько результатов, имеющих большую практическую значимость. Первый из них – критерий слабой компактности подмножеств пространства $L^p(\Omega,E)$, впервые представленный в работе [24]. Теорема 1 (см. [24; следствие 9]). Пусть $(\Omega,\Sigma,\mu)$ – пространство с конечной безатомной мерой $\mu$ на $\Sigma$. Пусть $A$ – равномерно $p$-интегрируемое подмножество пространства $L^p(\Omega,E)$, где $p\in[1,\infty)$. Предположим, что для п.в. $\omega\in\Omega$ множество $\{f(\omega)\colon f\in A\}$ относительно слабо компактно в $E$. Тогда $A$ относительно слабо компактно. Следующие теоремы представляют собой два хорошо известных результата топологической теории неподвижной точки, которые нам необходимы для доказательств. Теорема 2 (см. [8; теорема 7.4]). Пусть $X$ – абсолютный экстензор для класса компактных метризуемых пространств и $F\colon X\multimap X$ – допустимое отображение такое, что $F(X)$ содержится в компактном метризуемом подмножестве пространства $X$. Тогда $F$ имеет неподвижную точку. Теорема 3 (см. [12; теорема 5.2.18]). Если $M$ – непустое компактное и выпуклое подмножество локально выпуклого пространства $E$ и $F\colon M\multimap M$ – выпуклое полунепрерывное сверху многозначное отображение с компактными значениями, то $F$ имеет неподвижную точку. § 2. Теорема сходимостиВ случае хеминепрерывных сверху отображений следующая теорема является аналогом соотношения, связывающего полунепрерывные сверху многозначные отображения и полупределы семейств множеств (ср. [3; предложение 1.4.7]). Теорема 4. Пусть $F\colon E\multimap E$ – хеминепрерывное сверху мультиотображение с замкнутыми выпуклыми значениями. Тогда Доказательство. Необходимость, по большому счету, очевидна. Она следует из того, что $(x,y)\in\overline{\operatorname{Gr}(F)}$, если и только если $y\in\operatorname{Lim\,sup}_{x'\to x}F(x')$, где верхний предел понимается в смысле Пенлеве–Куратовского. Нетрудно видеть, что этот предел содержится в $\bigcap_{\varepsilon>0}\bigcap_{\delta>0}\overline{\operatorname{co}}\bigcup_{x'\in B(x,\delta)}B(F(x'),\varepsilon)$.
Зафиксируем $y\in\bigcap_{\varepsilon>0}\bigcap_{\delta>0}\overline{\operatorname{co}}\bigcup_{x'\in B(x,\delta)}B(F(x'),\varepsilon)$. Пусть $x^*\in E^*$. По определению хеминепрерывности сверху имеем
$$
\begin{equation*}
\forall\,\varepsilon>0 \quad \exists\,\delta>0 \quad \sigma(x^*,F(B(x,\delta)))<\sigma(x^*,F(x))+\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\inf_{\varepsilon>0}\inf_{\delta>0}\sigma(x^*,F(B(x,\delta)))\leqslant \inf_{\varepsilon>0}\bigl(\sigma(x^*,F(x))+\varepsilon\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего свойства следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle x^*,y\rangle&\leqslant \sigma\biggl(x^*,\bigcap_{\varepsilon>0}\bigcap_{\delta>0}\overline{\operatorname{co}}\bigcup_{x'\in B(x,\delta)}B(F(x'),\varepsilon)\biggr) \leqslant \inf_{\varepsilon>0}\inf_{\delta>0}\sigma(x^*,\overline{\operatorname{co}}F(B(x,\delta))) \\ &=\inf_{\varepsilon>0}\inf_{\delta>0}\sigma(x^*,F(B(x,\delta)))\leqslant \inf_{\varepsilon>0}\bigl(\sigma(x^*,F(x))+\varepsilon\bigr) \\ &\leqslant \sigma(x^*,F(x))+|x^*|\inf_{\varepsilon>0}\varepsilon =\sigma(x^*,F(x)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $F$ имеет замкнутые выпуклые значения, это означает, что $y\in F(x)$, т.е. $(x,y)\in\operatorname{Gr}(F)$.
Теорема доказана. Пусть $(I,{\mathscr L}(I),\ell)$ – пространство с лебеговой мерой. Следующее свойство хеминепрерывных сверху мультиотображений с замкнутыми выпуклыми значениями является ключевым, хотя и сугубо техническим инструментом, используемым при доказательстве результатов, относящихся к дифференциальным включениям. Следствие 1 (теорема сходимости Плиша). Пусть $F\colon E\multimap E$ – хеминепрерывное сверху мультиотображение с замкнутыми выпуклыми значениями. Предположим, что функции $f_n,f\colon I\to E$ и $g_n,g\colon I\to E$ таковы, что Если выполнено одно из следующих условий:
то $f(t)\in F(g(t))$ п.в. на $I$. Доказательство. Утверждение можно вывести непосредственно из условия (i), как это уже неоднократно делалось ранее (ср. классическую ссылку [2]). Импликацию между условиями (i) и (ii) легко установить при дополнительном предположении, что $E^*$ обладает свойством Радона–Никодима. Сходимость  означает, что для любого $g\in L^\infty(I,E^*)$ имеет место $\displaystyle \int_I\langle g(t),f_n(t)\rangle\,dt\xrightarrow[n\to\infty]{}\int_I\langle g(t),f(t)\rangle\,dt$. Для любого $J\in{\mathscr L}(I)$ и $x^*\in E^*$ определим $g:=x^*{\bf 1}_J\in L^\infty(I,E^*)$. Тогда $\displaystyle \biggl\langle x^*,(\mathrm{D})\int_Jf_n\,d\ell\biggr\rangle\xrightarrow[n\to\infty]{} \biggl\langle x^*,(\mathrm{D})\int_Jf\,d\ell\biggr\rangle$. Следовательно,  .
Из условия (ii) вытекает условие (v). Предположим, что существуют такие $n_0\in\mathbb{N}$, $x_0^*\in E^*$ и подмножество $J\in{\mathscr L}(I)$, что $\ell(J)>0$ и $\langle x_0^*,f(t)\rangle>\sup_{m\geqslant n_0}\langle x_0^*,f_m(t)\rangle$ для любого $t\in J$. Множество $J$ имеет вид счетного объединения множеств
$$
\begin{equation*}
J_k:=\biggl\{t\in J\colon\langle x_0^*,f(t)\rangle>\sup_{m\geqslant n_0}\langle x_0^*,f_m(t)\rangle+\frac1k\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что множества $J_k$ измеримы, поскольку функция $I\ni t\mapsto\langle x_0^*,f(t)\rangle-\sup_{m\geqslant n_0}\langle x_0^*,f_m(t)\rangle-1/k\in\mathbb{R}$ является $\ell$-измеримой. Более того, должно найтись множество $J_{k_0}$ такое, что $\ell(J_{k_0})>0$. Теперь заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\langle x_0^*,(\mathrm{D})\int_{J_{k_0}}f\,d\ell\biggr\rangle &=\int_{J_{k_0}}\langle x_0^*,f(t)\rangle\,dt>\int_{J_{k_0}}\langle x_0^*,f_m(t)\rangle\,dt+\frac{\ell(J_{k_0})}{k_0} \\ &=\biggl\langle x_0^*,(\mathrm{D})\int_{J_{k_0}}f_m\,d\ell\biggr\rangle+\frac{\ell(J_{k_0})}{k_0} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $m\geqslant n_0$. В силу (ii) имеем
$$
\begin{equation*}
\biggl\langle x_0^*,(\mathrm{D})\int_{J_{k_0}}f\,d\ell\biggr\rangle \geqslant\biggl\langle x_0^*,(\mathrm{D})\int_{J_{k_0}}f\,d\ell\biggr\rangle+\frac{\ell(J_{k_0})}{k_0}
\end{equation*}
\notag
$$
– противоречие. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\forall\,n\geqslant 1 \quad\forall\,x^*\in E^* \quad \langle x^*,f(t)\rangle\leqslant \sup_{m\geqslant n}\langle x^*,f_m(t)\rangle \quad\text{п.в. на }\ I,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $f(t)\in\bigcap_{n=1}^\infty\overline{\operatorname{co}}\bigcup_{m=n}^\infty\{f_m(t)\}$ п.в. на $I$. Очевидно, из (iii) следует (iv) и из (iv) следует (v). Зафиксируем $t\in I$ так, чтобы одновременно выполнялись условия (6), (7) и (v). Возьмем $\varepsilon>0$ и $\delta>0$. В силу (6) существует такое $n\in\mathbb{N}$, что $B(g_m(t),\varepsilon_m)\subset B(g(t),\delta)$ и $\varepsilon_m<\varepsilon$ при $m\geqslant n$. Из (7) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline{\operatorname{co}}\bigcup_{m=n}^\infty\{f_m(t)\} &\subset\overline{\operatorname{co}}\bigcup_{m=n}^\infty\overline{\operatorname{co}}B(F(B(g_m(t),\varepsilon_m)),\varepsilon_m) \\ &\subset\overline{\operatorname{co}}\bigcup_{m=n}^\infty B(F(B(g_m(t),\varepsilon_m)),\varepsilon_m) \subset\overline{\operatorname{co}}B(F(B(g(t),\delta)),\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда имеем
$$
\begin{equation*}
f(t)\in\bigcap_{n=1}^\infty\overline{\operatorname{co}}\bigcup_{m=n}^\infty\{f_m(t)\} \subset\bigcap_{\varepsilon>0}\bigcap_{\delta>0}\overline{\operatorname{co}}\bigcup_{x\in B(g(t),\delta)}B(F(x),\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя теорему 4, получаем $f(t)\in F(g(t))$. Следствие 1 доказано. Следствие 2. Пусть $F\colon E\multimap E$ – мультиотображение с замкнутыми выпуклыми значениями, удовлетворяющее условию Предположим, что функции $f_n,f\colon I\to E$ и $g_n,g\colon I\to E$ таковы, что Если выполнено условие то $f(t)\in F(g(t))$ п.в. на $I$. Доказательство. Пусть
 . Тогда  и
$$
\begin{equation*}
\limsup_{n\geqslant N}\sigma(x^*,F(x_n))\leqslant \sigma(x^*,F(x))
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $x^*\in E^*$ и $N\geqslant 1$ вследствие (8). Таким образом,
$$
\begin{equation}
\forall\,x^*\in E^* \quad\sup_{N\geqslant 1}\inf_{n\geqslant N}\sup_{m\geqslant n}\sigma(x^*,F(x_m))\leqslant \sigma(x^*,F(x)).
\end{equation}
\tag{12}
$$
Возьмем $\varepsilon>0$. Существует такое $N\in\mathbb{N}$, что $\varepsilon_m<\varepsilon$ при $m\geqslant N$. Из (10) следует, что
$$
\begin{equation*}
\overline{\operatorname{co}}\bigcup_{m=N}^\infty\{f_m(t)\}\subset\overline{\operatorname{co}} \bigcup_{m=N}^\infty\overline{\operatorname{co}}B(F(g_m(t)),\varepsilon_m)\subset\overline{\operatorname{co}}\bigcup_{m=N}^\infty B(F(g_m(t)),\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
f(t)\in\bigcap_{n=1}^\infty\overline{\operatorname{co}}\bigcup_{m=n}^\infty\{f_m(t)\}\subset \bigcap_{n\geqslant N}\overline{\operatorname{co}}\bigcup_{m=n}^\infty B(F(g_m(t)),\varepsilon)
\end{equation*}
\notag
$$
и, наконец,
$$
\begin{equation*}
f(t)\in\bigcap_{\varepsilon>0}\bigcup_{N=1}^\infty\bigcap_{n=N}^\infty\overline{\operatorname{co}}\bigcup_{m=n}^\infty B(F(g_m(t)),\varepsilon) \quad\text{п.в. на }\ I.
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем $x^*\in E^*$. В силу (9) и (12) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle x^*,f(t)\rangle &\leqslant \sigma\biggl(x^*,\bigcap_{\varepsilon>0}\bigcup_{N=1}^\infty\bigcap_{n=N}^\infty\overline{\operatorname{co}}\bigcup_{m=n}^\infty B(F(g_m(t)),\varepsilon)\biggr) \\ &\leqslant \inf_{\varepsilon>0}\sup_{N\geqslant 1}\inf_{n\geqslant N}\sup_{m\geqslant n}\sigma(x^*,B(F(g_m(t)),\varepsilon)) \\ &\leqslant \sup_{N\geqslant 1}\inf_{n\geqslant N}\sup_{m\geqslant n}\sigma(x^*,F(g_m(t))) +\inf_{\varepsilon>0}\varepsilon|x^*|\leqslant \sigma(x^*,F(g(t))). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $f(t)\in F(g(t))$ п.в. на $I$.
Следствие доказано. § 3. Существование и топология решенийВ оставшейся части статьи мы будем использовать следующие условия:
Замечание 1. Линейный оператор $A$ называется генератором интегрированной полугруппы, если существуют такое число $\omega\in\mathbb R$, что $(\omega,\infty)\subset\rho(A)$, и такое сильно непрерывное экспоненциально ограниченное семейство $\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$ ограниченных операторов, что $S(0)=0$ и $\displaystyle(\lambda-A)^{-1}=\lambda\int_0^\infty e^{-\lambda t}S(t)\,dt$ для $\lambda>\omega$. Интегрированная полугруппа $\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$ называется невырожденной, если $\bigcap_{t\geqslant 0}\ker S(t)=\{0\}$. Замечание 2. Условие $(\mathrm{F}_4)$ неявно выражает тот факт, что для любого $r>0$ отображение $I\ni t\mapsto\sup_{|x|\leqslant r}\|F(t,x)\|^+\in\mathbb R_+$ ограничено. Верхний интеграл ограниченной $($но не обязательно измеримой$)$ функции $f\colon I\to\mathbb R_+$ – это величина Замечание 3. Если интегрированная полугруппа $\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$ экспоненциально стабильна в том смысле, что $\|S(t)\|\leqslant e^{-\omega t}$ для $t\geqslant 0$ при $\omega>0$, то предположение $(\mathrm{F}_4)$ принимает вид Пусть $N_F\colon C(I,E)\multimap L^1(I,E)$ – оператор Немыцкого, соответствующий $F$, т.е.
$$
\begin{equation*}
N_F(u):=\bigl\{w\in L^1(I,E)\colon w(t)\in F(t,u(t))\text{ для п.в. }t\in I\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 4. В предположениях $(\mathrm{F}_1)$–$(\mathrm{F}_5)$ оператор Немыцкого $N_F$ является слабо полунепрерывным сверху многозначным отображением с непустыми выпуклыми слабо компактными значениями (ср., например, с [21; предложение 1]). Также определим интегральный оператор Вольтерра $V\colon L^1(I,E)\to C(I,E)$ следующим соотношением:
$$
\begin{equation}
V(f)(t):=\int_0^tS(t-s)f(s)\,ds \quad\text{для }\ t\in I.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Лемма 1. Пусть выполнено условие $(\mathrm{A}_1)$. Тогда интегральный оператор $V\colon L^1(I,E)\to C(I,E)$, определенный соотношением (13), представляет собой ограниченный линейный мономорфизм с $\|V\|_{\mathscr L(L^1,C)}\leqslant Me^{\omega T}$. Доказательство. Воспользуемся теоремой 6.5 из [23] и самим определением интегрированного решения неоднородной задачи Коши (3). Оценка на норму $\|V\|_{\mathscr L(L^1,C)}$ выводится очевидным образом. Лемма доказана. С методологической точки зрения важно понимать, что множество $S_{F}(x_0)$ интегрированных решений задачи (1) совпадает с множеством неподвижных точек $\operatorname{Fix}(H)$ оператора $H\colon C(I,E)\multimap C(I,E)$, определенного формулой $H:=S(\,\cdot\,)x_0\,{+}\,V\,{\circ}\, N_F$. В самом деле, если $u\in\operatorname{Fix}(H)$, то $u=S(\,\cdot\,)x_0\,{+}\,V(f)$ для некоторого $f\in N_F(u)$. Благодаря теореме 6.5 из [23] мы знаем, что $u$ принадлежит $S_{F}(x_0)$. Предположим, что $u\in S_{F}(x_0)$. Это означает, что для некоторой функции $f\in N_F(u)$. Неоднородная задача Коши (3) имеет единственное интегрированное решение $x$, задаваемое формулой $x=S(\,\cdot\,)x_0+V(f)$. Это также является следствием применения теоремы 6.5 из [23]. Так как $u$ также является решением задачи (3), это означает, что $u=S(\,\cdot\,)x_0+V(f)$, т.е. $u\in\operatorname{Fix}(H)$.Напомним, что пространство $E$ называется слабо компактно порожденным, если в $E$ существует такое слабо компактное множество $K$, что $E=\overline{\operatorname{span}}(K)$. Лемма 2. Пусть $E$ – слабо компактно порожденное пространство. Предположим, что выполнены условия $(\mathrm{A}_2)$, $(\mathrm{F}_1)$ и $(\mathrm{F}_3)$–$(\mathrm{F}_5)$. Тогда множество решений $S_{F}(x_0)$ слабо компактно в $C(I,E)$. Доказательство. Докажем, что у множества $S_{F}(x_0)$ есть априорные оценки. В самом деле, предположим, что для любого $n\geqslant 1$ существует точка $x_n\in S_{F}(x_0)$ с $|x_n|>n$. Пусть $x_n=S(\,\cdot\,)x_0\,{+}\,V(f_n)$ для некоторого $f_n\in N_F(x_n)$. Согласно $(\mathrm{F}_4)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1\leqslant \varlimsup_{n\to\infty}\frac{\|x_{n}\|}{n} &\leqslant \varlimsup_{n\to\infty}\frac{\|S(\,\cdot\,)x_0+V(f_{n})\|}{n} \leqslant \varlimsup_{n\to\infty}\frac{Me^{\omega T}|x_0|+\|V\|_{\mathscr L}\|f_{n}\|_1}{n} \\ &\leqslant \lim_{n\to\infty}\frac{Me^{\omega T}|x_0|}{\|x_{n}\|} +Me^{\omega T}\varlimsup_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\overline{\int_I} \sup_{|x|\leqslant \|x_{n}\|}\|F(t,x)\|^+\,dt}{\|x_{n}\|}<1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Множество решений $S_{F}(x_0)$ сильно равностепенно непрерывно в $C(I,E)$. В самом деле, возьмем произвольное решение $u\in S_{F}(x_0)$. Тогда $u=S(\,\cdot\,)x_0+V(f)$ для некоторой функции $f\in N_F(u)$. Пусть $g\in L^1(I)$ – такая функция, что $\sup_{|x|\leqslant \|S_{F}(x_0)\|^+}\|F(t,x)\|^+\leqslant g(t)$ п.в. на $I$. Нетрудно видеть, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L |u(t)-u(\tau)| &\leqslant |S(t)x_0-S(\tau)x_0|+\biggl|\int_0^tS(t-s)f(s)\,ds-\int_0^\tau S(\tau-s)f(s)\,ds\biggr| \\ &\leqslant |S(t)x_0-S(\tau)x_0|+\int_0^\tau\|S(t-s)-S(\tau-s)\|_{\mathscr L}g(s)\,ds \\ &\qquad +Me^{\omega T}\int_\tau^tg(s)\,ds. \label{eq14} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме Лебега о мажорируемой сходимости и условию $(\mathrm{A}_2)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\lim_{t\to\tau}\sup_{u\in S_{F}(x_0)}|u(t)-u(\tau)|=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы произвольным образом выберем последовательность $(x_n)_{n=1}^\infty\subset S_{F}(x_0)$. Пусть $f_n\in N_F(x_n)$ – функция, для которой $x_n=S(\,\cdot\,)x_0+V(f_n)$. Нетрудно видеть, что из сильной равностепенной непрерывности $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ следует непрерывность функции $I\ni t\mapsto\beta((x_n(t))_{n=1}^\infty)\in\mathbb R_+$ (ср. с [15]). Согласно [16; теорема 2.8] имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\beta(\{x_n(t)\}_{n=1}^\infty) =\beta\bigl(\{S(t)x_0+V(f_n)(t)\}_{n=1}^\infty\bigr) \leqslant \beta\biggl(\biggl\{\int_0^tS(t-s)f_n(s)\,ds\biggr\}_{n=1}^\infty\biggr) \\ &\qquad\leqslant \int_0^t\|S(t-s)\|_{\mathscr L}\beta(\{f_n(s)\}_{n=1}^\infty)\,ds \leqslant Me^{\omega T}\int_0^t\eta(s)\beta(\{x_n(s)\}_{n=1}^\infty)\,ds \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для $t\in I$. В силу неравенства Гронуолла $\beta(\{x_n(t)\}_{n=1}^\infty)=0$ для любой точки $t\in I$. В частности, $\beta(\{f_n(t)\}_{n=1}^\infty)=0$ п.в. на $I$. Семейство $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ равномерно интегрируемо, поскольку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \lim_{\ell(J)\to 0}\sup_{n\geqslant 1}\int_J|f_n(t)|\,dt &\leqslant \lim_{\ell(J)\to 0}\overline{\int_J}\sup_{|x|\leqslant \|S_{F}(x_0)\|^+}\|F(t,x)\|^+\,dt \\ &\leqslant \lim_{\ell(J)\to 0}\int_J g(t)\,dt=0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
для некоторой функции $g\in L^1(I)$. В силу теоремы 1 из этого семейства можно выбрать такую подпоследовательность (которую также обозначим через $(f_n)_{n=1}^\infty$), что .
Заметим, что из условий $(\mathrm{F}_1)$, $(\mathrm{F}_5)$ вместе с предположением о $w$-$w$ секвенциальной замкнутости $\operatorname{Gr}(F(t,\cdot))$ следует условие (8). Положим $x:=S(\,\cdot\,)x_0+V(f)=w\text{-}\lim_{n\to\infty}S(\,\cdot\,)x_0+V(f_n)$. Тогда Лемма доказана. Основной результат о существовании интегрированных решений задачи Коши (1) представлен в следующем утверждении. Теорема 5. Пусть $E$ – слабо компактно порожденное пространство, и пусть выполнены условия $(\mathrm{A}_1)$, $(\mathrm{F}_1)$–$(\mathrm{F}_5)$. Тогда множество решений $S_{F}(x_0)$ задачи Коши (1) непусто. Доказательство. Предположим, что  . Это, в частности, означает, что $\sup_{t\in I}\beta(\{u_n(t)\}_{n=1}^\infty)=0$. Пусть $f_n\in N_F(u_n)$ при $n\geqslant 1$. Заметим, что семейство $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ равномерно интегрируемо, поскольку множество $\{u_n\}_{n=1}^\infty$ ограничено. (Последнее выводится аналогично (15).) С учетом того, что $\beta(\{f_n(t)\}_{n=1}^\infty)\leqslant \eta(t)\beta(\{u_n(t)\}_{n=1}^\infty)=0$ п.в. на $I$, переходя при необходимости к подпоследовательности, имеем ; это следует из теоремы 1. Боле того, выполнены условия следствия 2, откуда получаем $f\in N_F(u)$. Поскольку $S(\,\cdot\,)x_0\,{+}\,V(f_n)\,{\in}\, H(u_n)$ и  , ограничение $H\colon(X,w)\multimap(C(I,E),w)$ является полунепрерывным сверху отображением с выпуклыми компактными значениями для любого компактного множества $X\subset C(I,E)$.
Нетрудно показать, что у оператора $H$ найдется инвариантный шар $D_C(0,R)$. Действительно, рассуждая от противного, предположим, что для любого $n\geqslant 1$ существуют $\|u_n\|\leqslant n$ и $v_n\in H(u_n)$ такие, что $\|v_n\|>n$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1&\leqslant \varlimsup_{n\to\infty}\frac{\|v_n\|}{n}\leqslant \varlimsup_{n\to\infty}\frac{\|S(\,\cdot\,)x_0+V(N_F(u_n))\|^+}{n} \\ &\leqslant \varlimsup_{n\to\infty}\frac{Me^{\omega T}|x_0|+\|V\|_{\mathscr L}\|N_F(u_n)\|_1^+}{n} \\ &\leqslant \lim_{n\to\infty}\frac{Me^{\omega T}|x_0|}{n}+Me^{\omega T}\varlimsup_{n\to\infty} \frac{\displaystyle\overline{\int_I}\sup_{|x|\leqslant n}\|F(t,x)\|^+\,dt}{\|n\|}<1 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
согласно $(\mathrm{F}_4)$.
Пусть радиус $R>0$ такой, что $H(D_C(0,R))\subset D_C(0,R)$. Зафиксируем $\widehat{x}\in D_C(0,R)$ и определим класс множеств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathscr A} &:=\bigl\{X\in 2^{D_C(0,R)}\setminus\{\varnothing\}\colon X\text{ является замкнутым выпуклым } \\ &\qquad \text{ и } \overline{\operatorname{co}}(\{\widehat{x}\}\cup H(X))\subset X\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда пересечение $X_0:=\bigcap_{X\in{\mathscr A}}X$ непусто и
$$
\begin{equation*}
\overline{\operatorname{co}}(\{\widehat{x}\}\cup H(M_0))\subset\bigcap_{X\in{\mathscr A}}\overline{\operatorname{co}}(\{\widehat{x}\}\cup H(X))\subset X_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\overline{\operatorname{co}}(\{\widehat{x}\}\,{\cup}\, H(X_0))\in{\mathscr A}$, имеем $X_0\subset\overline{\operatorname{co}}(\{\widehat{x}\}\,{\cup}\, H(X_0))$. Отсюда получаем равенство $X_0=\overline{\operatorname{co}}(\{\widehat{x}\}\cup H(X_0))$.
Покажем, что $X_0$ слабо компактно в $C(I,E)$. Поскольку
$$
\begin{equation}
\varphi(L):=\sup_{t\in I}e^{-Lt}\int_0^t e^{Ls}\eta(s)\,ds\xrightarrow[L\to+\infty]{}0,
\end{equation}
\tag{16}
$$
то можно выбрать константу $L_0>0$ таким образом, что $Me^{\omega T}\varphi(L_0)<1$. Пусть функция $\beta_{L_0}$ определена на классе всех ограниченных подмножеств пространства $C(I,E)$ формулой
$$
\begin{equation*}
\beta_{L_0}(X):=\max\Bigl\{\sup_{t\in I}e^{-L_0t}\beta(D(t))\colon D\subset X\text{ счетно }\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $\beta_{L_0}$ представляет собой несингулярную меру некомпактности на $C(I,E)$. Таким образом, всегда можно выбрать подмножество $\{u_n\}_{n=1}^\infty\subset H(X_0)$ так, что
$$
\begin{equation*}
\sup_{t\in I}e^{-L_0t}\beta(\{u_n(t)\}_{n=1}^\infty)=\beta_{L_0}(H(X_0))=\beta_{L_0}(X_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $u_n=S(\,\cdot\,)x_0+V(f_n)$, где $f_n\in N_F(v_n)$ и $v_n\in X_0$ при $n\geqslant 1$. Используя теорему 2.8 из [16], получаем следующую оценку:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{t\in I}e^{-L_0t}\beta(\{u_n(t)\}_{n=1}^\infty) =\sup_{t\in I}e^{-L_0t}\beta(\{S(t)x_0+V(f_n)(t)\}_{n=1}^\infty) \\ &\qquad \leqslant \sup_{t\in I}e^{-L_0t}\int_0^t\|S(t-s)\|_{\mathscr L}\beta(\{f_n(s)\}_{n=1}^\infty)\,ds \\ &\qquad \leqslant \sup_{t\in I}e^{-L_0t}Me^{\omega T}\int_0^t\eta(s)\beta(\{v_n(s)\}_{n=1}^\infty)\,ds \\ &\qquad \leqslant Me^{\omega T}\Bigl(\sup_{t\in I}e^{-L_0t}\int_0^te^{L_0s}\eta(s)\,ds\Bigr)\sup_{t\in I}e^{-L_0t}\beta(\{v_n(t)\}_{n=1}^\infty) \\ &\qquad \leqslant Me^{\omega T}\varphi(L_0)\sup_{t\in I}e^{-L_0t}\beta(\{u_n(t)\}_{n=1}^\infty). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем $\Gamma:=\sup_{t\in I}e^{-L_0t}\beta(\{u_n(t)\}_{n=1}^\infty)=0$. Рассмотрим произвольную последовательность $(x_n)_{n=1}^\infty\subset H(X_0)$. Для любого $n\geqslant 1$ найдутся функции $v_n\in X_0$ и $w_n\in N_F(v_n)$ такие, что $x_n=S(\,\cdot\,)x_0+V(w_n)$. Из условия $(\mathrm{F}_5)$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & e^{-L_0t}\beta(\{w_n(t)\}_{n=1}^\infty)\leqslant e^{-L_0t}\eta(t)\beta(\{v_n(t)\}_{n=1}^\infty) \\ &\qquad \leqslant \eta(t)\sup_{t\in I}e^{-L_0t}\beta(\{v_n(t)\}_{n=1}^\infty)\leqslant \eta(t)\Gamma. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\beta(\{w_n(t)\}_{n=1}^\infty)=0$ п.в. на $I$. В то же время последовательность $\{w_n\}_{n=1}^\infty$ равномерно интегрируема. Следовательно, переходя при необходимости к подпоследовательности, можно предполагать, что  . Из последнего следует что  , так что множество $H(X_0)$ относительно слабо компактно. Слабая компактность $\overline{\operatorname{co}}(\{\widehat{x}\}\cup H(X_0))$ следует из теоремы Крейна–Шмульяна. Следовательно, $X_0$ слабо компактно.
В итоге по теореме 3 полунепрерывное сверху многозначное отображение с выпуклыми компактными значениями $H\colon(X_0,w)\multimap(X_0,w)$ имеет хотя бы одну неподвижную точку. Эта неподвижная точка представляет собой решение задачи Коши (1). Теорема 5 доказана. Теорема 6 (теорема Лере–Шаудера для слабых топологий). Пусть $E$ – слабо нормальное $w^*$-сепарабельное банахово пространство и $U\subset E$ – слабо открытое подмножество. Предположим, что отображение $F\colon(\overline{U}^w,w)\multimap(E,w)$ секвенциально полунепрерывно сверху со слабо компактными выпуклыми значениями и существует элемент $x_0\in U$ такой, что выполнены следующие условия: Доказательство. Оно мало отличается от доказательства теоремы 3.2 из [19], так что мы приведем только его схему. Поскольку в $E$ слабая компактность и секвенциальная слабая компактность эквивалентны, а $\Sigma$ секвенциально слабо замкнуто в силу условий на $E$, то $\Sigma$ замкнуто в слабой топологии пространства $E$. Более того, $\Sigma\,{\subset}\, U$ вследствие (19). Далее, $(\overline{U}^w,w)$ является нормальным подпространством слабо нормального пространства $E$. Пусть $\theta\colon(\overline{U}^w,w)\to[0,1]$ – функция Урысона для непересекающихся замкнутых множеств $\Sigma$ и $\overline{U}^w\setminus U$, т.е. $\theta|_{\Sigma}\equiv 1$ и $\theta|_{\overline{U}^w\setminus U}\equiv 0$. Положим $D:=\overline{\operatorname{co}}(\{x_0\}\cup F(\overline{U}^w))$. Теперь определим вспомогательное отображение $\widehat{F}\colon D\multimap D$ условием
$$
\begin{equation*}
\widehat{F}(x):= \begin{cases} (1-\theta(x))x_0+\theta(x)F(x)&\text{при }x\in D\cap U, \\ \{x_0\}&\text{при }x\in D\setminus U. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что отображение $\widehat{F}\colon(D,w)\multimap(D,w)$ является секвенциально полунепрерывным сверху и имеет слабо компактные выпуклые значения. Рассмотрим множество $X=\overline{\operatorname{co}}(\{x_0\}\cup\widehat{F}(X))$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
MX\cap U\subset\overline{\operatorname{co}}(\{x_0\}\cup\widehat{F}(MX)=\overline{\operatorname{co}}(\{x_0\}\cup F(MX\cap U)).
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно (18) множество $X\cap U$ относительно слабо компактно. В силу теоремы Крейна–Шмульяна $X$ слабо компактно. Другими словами, отображение $\widehat{F}$ удовлетворяет следующему условию типа Мёнха:
$$
\begin{equation}
X\subset D, \quad X=\overline{\operatorname{co}}(\{x_0\}\cup\widehat{F}(X)) \quad\Longrightarrow \quad X\text{ слабо компактно}.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Определим класс множеств
$$
\begin{equation*}
{\mathscr A}:=\bigl\{X\in 2^{D}\setminus\{\varnothing\}\colon X\text{ замкнуто, выпукло и } \overline{\operatorname{co}}(\{x_0\}\cup\widehat{F}(X))\subset X\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда пересечение $X_0:=\bigcap_{X\in{\mathscr A}}X$ непусто и $X_0=\overline{\operatorname{co}}(\{x_0\}\cup\widehat{F}(X_0))$. Согласно (20) подмножество $X_0$ слабо компактно и к тому же $\widehat{F}$-инвариантно. Заметим, что $(X_0,w)$ является компактным метризуемым пространством в силу $w^*$-сепарабельности пространства $E$. Таким образом, многозначное отображение $\widehat{F}\colon(X_0,w)\multimap(X_0,w)$ является компактно допустимым. Поскольку $(X_0,w)$ также является ациклическим абсолютным экстензором для класса метризуемых пространств (теорема Дугунджи), то согласно теореме 7.4 из [8] отображение $\widehat{F}$ имеет неподвижную точку. Очевидно, что она также является неподвижной точкой отображения $F$.
Теорема 6 доказана. Следствие 3. Пусть $E$ – сепарабельное банахово пространство. Предположим, что выполнены условия $(\mathrm{A}_1)$, $(\mathrm{F}_1)$–$(\mathrm{F}_3)$ и $(\mathrm{F}_5)$. Также допустим, что вместо $(\mathrm{F}_4)$ выполнено следующее условие роста: Доказательство. Ввиду экспоненциальной ограниченности полугруппы $\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$ и условия роста (21) множество $\Sigma:=\{x\in C(I,E)\colon\exists\,\lambda\in[0,1]\ x\in\lambda H(x)\}$ ограничено (достаточно просто использовать неравенство Гронуолла). Более того, рассуждениями, почти аналогичными доказательству теоремы 5 (см. абзац, в котором мы показали, что $X_0$ является слабо компактным подмножеством $C(I,E)$), можно показать, что $\Sigma$ относительно слабо компактно. Зафиксируем радиус $R>0$ такой, что $\Sigma\subset D_C(0,R)$, и функционал $\xi\in{\mathscr E}:=C(I,E)^*$ такой, что $\|\xi\|_{\mathscr E}\leqslant 1$. Тогда $\Sigma\subset \xi^{-1}([-R,R])$. Определим множество $U:=\xi^{-1}((-R-1,R+1))$. Тогда $U$ является слабо открытой окрестностью нуля, причем $\Sigma\cap\overline{U}^w\setminus U\,{=}\,\varnothing$. В частности, выполнено граничное условие Лере–Шаудера (19). При доказательстве теоремы 5 мы также показали, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X\subset C(I,E)\quad\text{ограничено},\qquad X\subset\overline{\operatorname{co}}(\{0\}\cup H(X)) \\ \Longrightarrow\quad M \quad\text{относительно слабо компактно}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, условие типа Мёнха (18) также выполнено. В силу того, что $H\colon(\overline{U}^w,w)\multimap(C(I,E),w)$ является секвенциально полунепрерывным сверху отображением с выпуклыми слабо компактными значениями и $C(I,E)$ сепарабельно, получаем, что $\operatorname{Fix}(H)$ непусто по теореме 6.
Следствие доказано. Топология интегрированных решений выражается следующей структурной теоремой, сформулированной для сепарабельного банахова пространства $E$. Теорема 7. Пусть $E$ – сепарабельное банахово пространство. Предположим, что $A\colon D(A)\to E$ удовлетворяет условию $(\mathrm{A}_2)$ и мультиотображение $F\colon I\times E\multimap E$ удовлетворяет условиям $(\mathrm{F}_1)$–$(\mathrm{F}_5)$. Тогда множество решений задачи Коши (1) является $R_\delta$-множеством. Замечание 5. Насколько нам известно, для нашего доказательства топологическое предположение о сепарабельности пространства $E$ является необходимым. Для того чтобы применить теорему 2.8 из [16], нам необходимо предполагать, что $E$ является слабо компактно порожденным банаховым пространством. С другой стороны, метризационная теорема (см. [7; предложение 3.107]) верна в случае, когда $E^*$ является $w^*$-сепарабельным. Однако в силу теоремы 13.3 из [7] слабо компактно порожденное пространство $E$ с $w^*$-сепарабельным сопряженным пространством $E^*$ должно быть компактно порождено. Замечание 6. Предположение о равностепенной непрерывности полугруппы $\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$ является на самом деле умеренно ограничительным. Это требование слабее предположения о том, что $A$ удовлетворяет условию Хилле–Иосиды, характеризующему генераторы локально липшицевых непрерывных интегрированных полугрупп. Доказательство теоремы 7. Если банахово пространство $E$ сепарабельно, то его топологическое сопряженное пространство $E^*$, наделенное $w^*$-топологией $\sigma(E^*,E)$, также сепарабельно. Пусть $\{x_n^*\}_{n=1}^\infty$ – счетное $\sigma(E^*,E)$-плотное подмножество единичной сферы в $E^*$. Используя его, мы можем задать метрику $d$ на $E$ формулой
Очевидно, что топология, отвечающая этой $d$-метрике, слабее, чем слабая топология $\sigma(E,E^*)$ на $E$. Более того, топология $d$-метрики и слабая топология совпадают на слабо компактных подмножествах $E$ (ср. с [7; предложение 3.107]). Мы утверждаем, что существует непустое слабо компактное выпуклое множество $X\subset C(I,E)$ со следующими свойствами:
$$
\begin{equation}
S(t)x_0+\int_0^tS(t-s)\,\overline{\operatorname{co}}F(s,\overline{X(s)})\,ds\subset X(t) \quad\text{для любого }\ t\in I.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Пусть $X_0\,{=}\,D_C(0,R)$ и $X_n\,{=}\,\overline{Y_n}$, где $R>0$ таково, что $\|S_{F}(x_0)\|^+\leqslant R$. Положим
$$
\begin{equation*}
Y_n=\biggl\{y\in C(I,E)\colon y(t)\in S(t)x_0+\int_0^tS(t-s)\,\overline{\operatorname{co}}F(s,\overline{X_{n-1}(s)})\,ds \text{ для }t\in I\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно видеть, что множества $X_n$ корректно определены, непусты, ограничены, выпуклы и равностепенно непрерывны (равностепенная непрерывность следует из (14), а остальные свойства выполнены в силу теоремы 6 из [21]). Более того, $S_F(x_0)\subset X:=\bigcap_{n=0}^\infty X_n$. Используя представление Кастеня для хаусдорфова непрерывного мультиотображения $t\mapsto\overline{X_n(t)}$, можно записать $\overline{X_n(t)}=\overline{\{u_k(t)\}_{k=1}^\infty}$, где $\{u_k(t)\}_{k=1}^\infty\subset Y_n(t)$. Учитывая, что $\lim_{L\to\infty}\varphi(L)=0$, где функция $\varphi$ задана формулой (16), выберем число $L_0>0$ так, что $Me^{\omega T}\varphi(L_0)<1$. Пусть $u_k=S(\,\cdot\,)x_0+V(f_k)$ для некоторой функции $f_k\in N_{\overline{\mathrm{co}}F}\bigl(\overline{X_{n-1}(\,\cdot\,)}\bigr)$. В силу теоремы 2.8 из [16] имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{t\in I}e^{-L_0t}\beta(X_n(t)) =\sup_{t\in I}e^{-L_0t}\beta(\{u_k(t)\}_{k=1}^\infty) =\sup_{t\in I}e^{-L_0t}\beta(\{S(t)x_0+V(f_k)(t)\}) \\ &\quad\leqslant \sup_{t\in I}e^{-L_0t}Me^{\omega t} \int_0^t\beta(\{f_k(s)\}_{k=1}^\infty)\,ds\leqslant Me^{\omega t} \sup_{t\in I}e^{-L_0t}\int_0^t\eta(s)\beta(X_{n-1}(s))\,ds \\ &\quad\leqslant Me^{\omega t}\sup_{t\in I}e^{-L_0t}\int_0^te^{L_0s}\eta(s)\,ds \sup_{t\in I}e^{-L_0t}\beta(X_{n-1}(t)) \\ &\quad=Me^{\omega t}\varphi(L_0)\sup_{t\in I}e^{-L_0t}\beta(X_{n-1}(t)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $\sup_{t\in I}e^{-L_0t}\beta(X_n(t))\xrightarrow[n\to\infty]{}0$, а значит, $\sup_{t\in I}e^{-L_0t}\beta(X(t))=0$. Поскольку $\beta(X(I))=\beta\bigl(\bigcup_{t\in I}X(t)\bigr)=\sup_{t\in I}\beta(X(t))$ (согласно лемме 2 из [15]), то топологическое подпространство $(\overline{X(I)},\sigma(E,E^*))$ метризуемо с метрикой $d$ (определенной соотношением (22)). Утверждается, что $X$ содержится в некотором компактном подпространстве пространства $C\bigl(I,(\overline{X(I)},d)\bigr)$ с топологией равномерной сходимости. Возьмем $\varepsilon>0$. Существует целое $n_0\in\mathbb{N}$ такое, что для любых точек $t,\tau\in I$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\sup_{x\in X}\sum_{n=n_0}^\infty 2^{-n}|\langle x^*_n,x(t)-x(\tau)\rangle|<\frac\varepsilon2.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, существуют такие $\delta_i>0$, где $i\in\{1,\dots,n_0-1\}$, что для любых $t,\tau\in I$, удовлетворяющих условию $|t-\tau|<\delta_i$, выполнено
$$
\begin{equation*}
2^{-i}\sup_{x\in X}|\langle x_i^*,x(t)-x(\tau)\rangle|\leqslant \sup_{x\in X}|\langle x_i^*,x(t)-x(\tau)\rangle|<\frac\varepsilon2(n_0-1).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \sup_{x\in X}d(x(t),x(\tau)) \\ &\qquad\leqslant \sup_{x\in X}\sum_{n=1}^{n_0-1}2^{-n}|\langle x_n^*,x(t)-x(\tau)\rangle|+\sup_{x\in X}\sum_{n=n_0}^{\infty}2^{-n}|\langle x_n^*,x(t)-x(\tau)\rangle|<\varepsilon \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для любых точек $t,\tau\in I$ таких, что $|t-\tau|<\delta=\min_{1\leqslant i\leqslant n_0-1}\delta_i$. Иначе говоря, множество отображений $X$ равностепенно непрерывно относительно $d$. В то же время для любого $t\in I$ сечение $X(t)$ относительно компактно в пространстве $(\overline{X(I)},d)$. Следовательно, $X$ относительно компактно в $C\bigl(I,(\overline{X(I)},dr)\bigr)$ в силу теоремы Асколи.
Заметим, что вложение $i\colon C\bigl(I,(\overline{X(I)},d)\bigr)\hookrightarrow(C(I,E),w)$ непрерывно. Значит, $X$ относительно слабо компактно в $C(I,E)$. На самом деле $X$ слабо компактно, поскольку оно слабо замкнуто. Следовательно, $X(I)$ также слабо компактно. Свойство (23) следует из того, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\{y\in C(I,E)\colon y(t)\in S(t)x_0+\int_0^tS(t-s)\overline{\operatorname{co}}F(s,\overline{X(s)})\,ds \text{ для }t\in I\biggr\}\subset Y_n
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $n\geqslant 1$.
Для подмножества $A\subset E$ определим $\operatorname{dist}(x,A):=\inf_{y\in A}d(x,y)$. Обозначим через $P\colon I\times E\multimap E$ проекцию на подмножество $\overline{X(t)}$ в метрике $d$, т.е.
$$
\begin{equation*}
P(t,x):=\bigl\{y\in\overline{X(t)}\colon d(x,y)=\operatorname{dist}(x,X(t))\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку замыкание $\overline{X(t)}$ является $d$-компактом, $P(t,x)$ должно быть непусто. Опираясь на слабую компактность построенного выше множества $X$, определим вспомогательное мультиотображение $\widetilde F\colon I\times E\multimap E$ формулой
$$
\begin{equation*}
\widetilde F(t,x):=\overline{\operatorname{co}}F(t,P(t,x)).
\end{equation*}
\notag
$$
Свойство (23) играет ключевую роль в доказательстве того, что $S_{\widetilde F}(x_0)=S_F(x_0)$. Можно показать, что $\widetilde F$ удовлетворяет условиям $(\mathrm{F}_1)$–$(\mathrm{F}_5)$. Ясно, что отображение $\widetilde F$ интегрируемо ограничено, а отображение $\widetilde F(t,\cdot)$ слабо компактно п.в. на $I$.
Свойства $(\mathrm{F}_2)$ и $(\mathrm{F}_3)$ требуют некоторых комментариев. Во-первых, заметим, что метрическое пространство $(E,d)$ сепарабельно. Поскольку отображение $t\mapsto X(t)$ непрерывно по Хаусдорфу в топологии, порожденной нормой пространства $E$, то отображение $X(\,\cdot\,)\colon I\multimap(E,d)$ измеримо, а функция $I\ni t\mapsto\operatorname{dist}(x,X(t))+{1}/{n}\in\mathbb R$ непрерывна. Таким образом, отображение $G_n\colon I\multimap(E,d)$, заданное формулой $G_n(t):=\bigl\{y\in E\colon d(x,y)\leqslant \operatorname{dist}(x,X(t))+{1}/{n}\bigr\}$, слабо измеримо. Заметим, что В силу теоремы 4.1 из [11] многозначное отображение $P(\cdot,x)\colon I\multimap(E,d)$ измеримо. Следовательно, рассматривая $P(\cdot,x)$ как отображение области значений $P(\cdot,x)\colon I\multimap(X(I),d)$ в свою область значений, получаем, что оно также является измеримым мультиотображением. Поскольку $(X(I),d)$ является польским пространством, то существует измеримая функция $p_x\colon I\to(X(I),d)$ такая, что $p_x(t)\in P(t,x)$ при $t\in I$ (см. [11; теорема 5.1]). Рассмотрим такую последовательность $(p_n\colon I\to X(I))_{n=1}^\infty$ простых функций, для которой $d(p_n(t),p_x(t))\xrightarrow[n\to\infty]{}0$ п.в. на $I$, т.е. п.в. на $I$. В соответствии с условием $(\mathrm{F}_2)$ существует измеримое отображение $f_n\colon I\to(E,|\cdot|)$ такое, что $f_n(t)\in F(t,p_n(t))$ п.в. на $I$. В силу $(\mathrm{F}_4)$ семейство $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ равномерно интегрируемо. Согласно $(\mathrm{F}_5)$ сечение $\{f_n(t)\}_{n=1}^\infty$ относительно слабо компактно в $E$. Следовательно, $(f_n)_{n=1}^\infty$ относительно слабо компактно в $L^1(I,E)$ в силу теоремы 1. Будем считать, переходя при необходимости к подпоследовательности, что . Согласно следствию 2 $f(t)\in F(t,p_x(t))$ п.в. на $I$. Значит, у $\widetilde F(\cdot,x)$ имеется измеримая селекция.
Пусть
$$
\begin{equation*}
\sigma(x^*,F(t,P(t,x_n)))=\sigma(x^*,F(t,z_n)) \quad\text{при }\ n\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Сразу из определения $P$ следует, что можно выбрать подпоследовательность  . Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varlimsup_{n\to\infty}\sigma(x^*,F(t,P(t,x_{k_n}))) &=\varlimsup_{n\to\infty}\sigma(x^*,F(t,z_{k_n})) \leqslant \sigma(x^*,F(t,z)) \\ &\leqslant \sigma(x^*,F(t,P(t,x))) =\sigma(x^*,\widetilde F(t,x)) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и в результате получаем
$$
\begin{equation*}
\varlimsup_{n\to\infty}\sigma(x^*,\widetilde F(t,x_n))\leqslant \sigma(x^*,\widetilde F(t,x)).
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее означает, что $\widetilde F$ удовлетворяет условию $(\mathrm{F}_3)$.
Определим многозначное приближение $F_n\colon I\times E\multimap E$ отображения $\widetilde F$ стандартным образом, т.е.
$$
\begin{equation*}
F_n(t,x):=\sum_{y\in E}\psi^n_y(x)\,\overline{\operatorname{co}}\widetilde F(t,B_d(y,2r_n)),
\end{equation*}
\notag
$$
где $r_n:=3^{-n}$, $B_d(y,2r_n)$ – шар в метрическом пространстве $(E,d)$ и семейство $\bigl\{\psi^n_y\colon(E,d)\to[0,1]\bigr\}_{y\in E}$ представляет собой локально липшицево разбиение единицы, носители которого образуют локально конечное покрытие, вписанное в покрытие $\{B_d(y,r_n)\}_{y\in E}$ пространства $(E,d)$. Кроме того, для любого $n\geqslant 1$ определим отображение $f_n\colon I\times E\to E$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
f_n(t,x):=\sum_{y\in E}\psi^n_y(x)g_y(t)\in F_n(t,x),
\end{equation*}
\notag
$$
где $g_y$ – измеримая селекция $\widetilde F(\cdot,y)$.
Если $H_n\colon C(I,E)\multimap C(I,E)$ – это оператор, заданный формулой $H_n:=S(\,\cdot\,)x_0+V\circ N_{F_n}$, то топологическое пространство $(\operatorname{Fix}(H_n),\sigma(C(I,E),C(I,E)^*))$ является компактом, метризуемым метрикой $d$. В самом деле, заметим, что $\varnothing\neq S_{F}(x_0)=S_{\widetilde F}(x_0)\subset\operatorname{Fix}(H_k)$ согласно теореме 5 и (23). Пусть $(u_n)_{n=1}^\infty\subset\operatorname{Fix}(H_k)$. Тогда $u_n=S(\,\cdot\,)x_0+V(f_n)$, где $f_n\in N_{F_k}(u_n)$. Напомним, что $F_k(t,x)\subset\overline{\operatorname{co}}\widetilde F(t,B(x,3r_k))$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
|f_n(t)|\leqslant \|F_k(t,u_n(t))\|^+\leqslant \|\overline{\operatorname{co}}\widetilde F(t,B(u_n(t),3r_k))\|^+\leqslant \|F(t,X(t))\|^+
\end{equation*}
\notag
$$
п.в. на $I$ и
$$
\begin{equation*}
\lim_{\ell(J)\to 0}\sup_{n\geqslant 1}\int_J|f_n(t)|\,dt \leqslant \lim_{\ell(J)\to 0}\overline{\int_J}\sup_{|x|\leqslant \|X\|^+}\|F(t,x)\|^+\,dt \leqslant \lim_{\ell(J)\to 0}\int_J g(t)\,dt=0
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого $g\in L^1(I)$. С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
\beta(\{f_n(t)\}_{n=1}^\infty)\leqslant \beta\bigl(\overline{\operatorname{co}}\widetilde F(t,B(\{u_n(t)\}_{n=1}^\infty,3r_k))\bigr) \leqslant \beta(F(t,X(t)))\leqslant \eta(t)\beta(X(t))
\end{equation*}
\notag
$$
для п.в. $t\in I$. В силу теоремы 1 последовательность $(f_n)_{n=1}^\infty$ относительно слабо компактна в $L^1(I,E)$. Следовательно, можно считать, переходя при необходимости к подпоследовательности, что . В результате  . Остается только показать, что $f\in N_{F_k}(u)$. Рассмотрим последовательность . Поскольку $\overline{\operatorname{co}}\widetilde F(t,B(y,2r_k))\subset\overline{\operatorname{co}}F(t,X(t))$ и множество $F(t,\cdot)$ квазикомпактно в слабой топологии, то отображение $F_k$ принимает слабо компактные значения по теореме Крейна–Шмульяна. Значит, существует вектор $y_n\in F_k(t,x_n)$ такой, что $\sigma(x^*,F_k(t,x_n))=\langle x^*,y_n\rangle$ для $n\geqslant 1$ и некоторого фиксированного $x^*\in E^*$. Поскольку множество $\overline{\operatorname{co}}F(t,X(t))$ также слабо компактно, то с точностью до перехода к подпоследовательности имеем  . Кроме того, для любого $m\geqslant 1$ существует вектор $z_m\in\operatorname{co}\{y_n\}_{n=m}^\infty$ такой, что $z_m\xrightarrow[m\to\infty]{E}y$. По определению $F_k$ тогда найдется такое число $\gamma>0$, что для всех $x_1,x_2\in X(I)$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h\bigl(F_k(t,x_1),F_k(t,x_2)\bigr) &\leqslant \sum_{y\in E}\bigl|\psi^n_y(x_1)-\psi^n_y(x_2)\bigr|\,\|\overline{\operatorname{co}}\widetilde F(t,B_d(y,2r_k))\|^+ \\ &\leqslant \gamma\,\|F(t,X(t))\|^+\,d(x_1,x_2) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
п.в. на $I$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\inf_{z\in F_k(t,x)}|y_n-z|\leqslant \lim_{n\to\infty}h(F_k(t,x_n),F_k(t,x))=0,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
\forall\,\varepsilon>0 \quad\exists\,N\in\mathbb{N} \quad \forall\,n\geqslant N \quad y_n\in B(F_k(t,x),\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\forall\,\varepsilon>0 \quad\exists\,N\in\mathbb{N} \quad\forall\,m\geqslant N \quad z_m\in B(F_k(t,x),\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
В результате $y\in D(F_k(t,x),\varepsilon)$ для любого $\varepsilon>0$. Это означает, что выполнено условие (8) следствия 2, поскольку
$$
\begin{equation*}
\limsup_{n\to\infty}\sigma(x^*,F_k(t,x_n)) =\lim_{n\to\infty}\langle x^*,y_n\rangle=\langle x^*,y\rangle\leqslant \sigma(x^*,F_k(t,x)).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, поскольку мы наконец получаем, что $f(t)\in F_k(t,u(t))$ для п.в. $t\in I$. Следовательно, $\operatorname{Fix}(H_k)$ слабо компактно в сепарабельном пространстве $C(I,E)$ и является метрическим компактом с метрикой $d$.
Нетрудно видеть, что $S_{\widetilde F}(x_0)=\bigcap_{n=1}^\infty\operatorname{Fix}(H_n)$. Включение $\subset$ очевидно, поскольку $\widetilde F(t,x)\subset F_n(t,x)$. Возьмем $u\in\bigcap_{n=1}^\infty\operatorname{Fix}(H_n)$. Предположим, что $u=S(\,\cdot\,)x_0\,{+}\,V(f_n)$, где $f_n\in N_{F_n}(u)$. Аналогично предыдущим рассуждениям можно показать, что последовательность $(f_n)_{n=1}^\infty$ относительно слабо компактна в пространстве $L^1(I,E)$. Таким образом, можно полагать, переходя при необходимости к подпоследовательности, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle x^*,z\rangle &=\lim_{n\to\infty}\langle x^*,f_{k_n}(t)\rangle\leqslant \liminf_{n\to\infty}\sigma(x^*,\widetilde F(t,B(u(t),3r_{k_n}))) \\ &= \liminf_{n\to\infty}\sigma(x^*,F(t,P(t,B(u(t),3r_{k_n})))) \\ &\leqslant \liminf_{n\to\infty}\sigma\bigl(x^*,F(t,\overline{P(t,B(u(t),3r_{k_n}))}^w)\bigr) \\ &=\limsup_{n\to\infty}\sigma(x^*,F(t,z_n))\leqslant \sigma(x^*,F(t,y))\leqslant \sigma(x^*,F(t,P(t,u(t)))) \\ &=\sigma(x^*,\widetilde F(t,u(t))). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем $z\,{\in}\, F(t,u(t))$, что означает $\overline{\operatorname{co}}w\text{-}\limsup_{n\to\infty}\{f_n(t)\}\,{\subset}{\kern1pt} F(t,u(t))$. В силу предложения 2.3.31 из [9] ясно, что $f(t)\in F(t,u(t))$ п.в. на $I$. Таким образом, $u=S(\,\cdot\,)x_0+V(f)\in S(\,\cdot\,)x_0+(V\circ N_F)(u)$, что доказывает вложение $\bigcap_{n=1}^\infty\operatorname{Fix}(H_n)\subset S_{\widetilde F}(x_0)$.
Зафиксируем $k\geqslant1$. Заметим, что для любого вектора $x\in\operatorname{Fix}(H_k)$ существует в точности одно отображение $f\in N_{F_k}(x)$ такое, что $x=S(\,\cdot\,)x_0\,{+}\,V(f)$. Это вытекает непосредственно из того факта, что $x$ как интегрированное решение имеет вид $\displaystyle x(t)=tx_0+A\int_0^tx(s)\,ds+\int_0^t(t-s)f(s)\,ds$ для $t\in I$. Поскольку однозначное отображение $f_k\colon I\times E\to E$ удовлетворяет условиям $(\mathrm{F}_1)$–$(\mathrm{F}_5)$, интегральное уравнение
$$
\begin{equation}
u(t)=S(t)x_0\,{+}\int_0^\tau S(t\,{-}\,s)f(s)\,ds\,{+}\int_\tau^t S(t\,{-}\,s)f_k(s,u(s))\,ds \quad\text{для }\ t\in[\tau,T],
\end{equation}
\tag{24}
$$
где $f\in N_F(x)$, имеет решение (в этом легко убедиться, если внимательно проанализировать доказательство теоремы 5).
Следует отметить, что для любого слабо компактного подмножества $C\subset E$ существует константа $\gamma_C>0$ такая, что
$$
\begin{equation*}
|f_k(t,x_1)-f_k(t,x_2)|\leqslant \gamma_C\|F(t,X(t))\|^+d(x_1,x_2)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x_1,x_2\in C$ и для п.в. $t\in I$. Если $u_1,u_2$ – два решения уравнения (24), то получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |u_1(t)-u_2(t)| &\leqslant \int_\tau^t\|S(t-s)\|_{\mathscr L}|f_k(s,u_1(s))-f_k(s,u_2(s))|\,ds \\ &\leqslant \int_\tau^t\|S(t-s)\|_{\mathscr L}\gamma_{u_1(I)\cup u_2(I)} g(s)\,d(u_1(s),u_2(s))\,ds \\ &\leqslant Me^{\omega T}\gamma_{u_1(I)\cup u_2(I)}\int_\tau^tg(s)|u_1(s)-u_2(s)|\,ds, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $g\in L^1(I)$ такова, что $g(t)\geqslant\sup_{|x|\leqslant \|X\|^+}\|F(t,x)\|^+$ п.в. на $I$. Таким образом, уравнение (24) имеет единственное решение $u[\tau,x(\tau)]$.
Пусть гомотопия $h\colon[0,1]\times\operatorname{Fix}(H_k)\to\operatorname{Fix}(H_k)$ задана формулой
$$
\begin{equation*}
h(\lambda,x)(t):= \begin{cases} x(t),&t\in[0,\lambda T], \\ u[\lambda T;x(\lambda T)](t),&t\in[\lambda T,T]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $h$ корректно определена. Заметим, что $h(0,x)=u_0$ для всех $x\in\operatorname{Fix}(H_k)$, где
$$
\begin{equation*}
u_0(t)=S(t)x_0+\int_0^tS(t-s)f_k(s,u_0(s))\,ds, \qquad t\in I.
\end{equation*}
\notag
$$
В то же время $h(1,\cdot)=\mathrm{id}_{\operatorname{Fix}(H_k)}$. Пусть последовательности $(x_n)_{n=1}^\infty\subset\operatorname{Fix}(H_k)$ и $(\lambda_n)_{n=1}^\infty\subset[0,1]$ таковы, что $x_n\xrightarrow[n\to\infty]{\operatorname{Fix}(H_k)}x$ и $\lambda_n\xrightarrow[n\to\infty]{}\lambda$. Пусть для определенности $\lambda_n\nearrow\lambda$. Возможны два случая: $t<\lambda T$ и $t\geqslant\lambda T$. Если $t<\lambda T$, то мы имеем дело со сходимостью  . Теперь допустим, что $t\geqslant\lambda T$, $x_n\,{=}\,S(\,\cdot\,)x_0\,{+}\,V(f_n)$, $x\,{=}\,S(\,\cdot\,)x_0\,{+}\,V(f)$, $ u_n:=h(\lambda_n,x_n)$, $u:=h(\lambda,x)$ и последовательность $\{x^*_m\}_{m=1}^\infty$ образует $w^*$-плотное подмножество сопряженного пространства $E^*$. Из теоремы 1 следует, что  с точностью до выделения подпоследовательности. Таким образом,  и, следовательно, $V(f)=V(g)$. В результате по лемме 1. Поскольку то получим
Заметим, что множество $K:=\overline{\bigcup_{n=1}^\infty u_n(I)}^w\cup u(I)$ слабо компактно. Оценки на отрезке $[\lambda T,T]$ имеют следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\beta\bigl(\{u_n(t)\}_{n=1}^\infty\bigr) \\ &\qquad =\beta\biggl(\biggl\{S(t)x_0+\int_0^{\lambda_n T}S(t-s)f_n(s)\,ds+\int_{\lambda_n T}^t S(t-s)f_k(s,u_n(s))\,ds\biggr\}_{n=1}^\infty\biggr) \\ &\qquad \leqslant Me^{\omega T}\int_0^{\lambda_n T}\beta(\{f_n(s)\}_{n=1}^\infty)\,ds+Me^{\omega T}\int_{\lambda_n T}^t\beta\bigl(f_k(s,\{u_n(s)\}_{n=1}^\infty)\bigr)\,ds \\ &\qquad \leqslant Me^{\omega T}\int_0^t\eta(s)\beta(X(s))\,ds=0, \\ & \sup_{n\geqslant 1}|u_n(t)-u_n(\tau)| \\ &\qquad \leqslant |S(t)x_0-S(\tau)x_0|+\sup_{n\geqslant 1}\int_0^{\lambda_n T}\|S(t-s)-S(\tau-s)\|_{\mathscr L}|f_n(s)|\,ds \\ &\qquad\qquad +\sup_{n\geqslant 1}\int_{\lambda_n T}^\tau\|S(t-s)-S(\tau-s)\|_{\mathscr L}|f_k(s,u_n(s))|\,ds \\ &\qquad\qquad +\sup_{n\geqslant 1}\int_\tau^t\|S(t-s)\|_{\mathscr L}|f_k(s,u_n(s))|\,ds \\ &\qquad\leqslant |S(t)x_0-S(\tau)x_0|+\int_0^\tau\|S(t-s)-S(\tau-s)\|_{\mathscr L}g(s)\,ds \\ &\qquad\qquad +Me^{\omega T}\int_\tau^tg(s)\,ds, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $g\in L^1(I)$ удовлетворяет условию $g(t)\geqslant\sup_{|x|\leqslant \|X\|^+}\|F(t,x)\|^+$ п.в. на $I$. Следовательно, семейство $\{ u_n(I)\}_{n=1}^\infty$ сильно равностепенно непрерывно и $\beta\bigl(\bigcup_{n=1}^\infty u_n(I)\bigr)=\sup_{t\in I}\beta(\{u_n(t)\}_{n=1}^\infty)=0$. Отсюда следует слабая компактность $K$. В этой связи для любого $n\geqslant 1$ и для п.в. $t\in I$ имеем
$$
\begin{equation}
|f_k(t,u_n(t))-f_k(t,u(t))|\leqslant \gamma_K\|F(t,X(t))\|^+d(u_n(t),u(t)).
\end{equation}
\tag{26}
$$
Для любого $\varepsilon>0$ существует такое $m_0\in\mathbb{N}$, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{m=m_0}^\infty2^{-m}|\langle x^*_m,u_n(t)-u(t)\rangle|\leqslant \frac{\varepsilon}{3}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (25) и (26) можно выбрать $N\in\mathbb{N}$ так, что для $m\in\{1,\dots,m_0-1\}$ и $n\geqslant N$ имеет место
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|\langle x^*_m,u_n(t)-u(t)\rangle| \\ &\qquad \leqslant \biggl|\biggl\langle x^*_m,\int_0^{\lambda_n T}S(t-s)f_n(s)\,ds-\int_0^{\lambda T}S(t-s)f(s)\,ds\biggr\rangle\biggr| \\ &\qquad\qquad +\biggl|\biggl\langle x^*_m,\int_{\lambda_n T}^tS(t-s)f_k(s,u_n(s))\,ds-\int_{\lambda T}^tS(t-s)f_k(s,u(s))\,ds\biggr\rangle\biggr| \\ &\qquad \leqslant \frac{\varepsilon}{3}+|x^*_m|\int_{\lambda_n T}^{\lambda T}\|S(t-s)\|_{\mathscr L}| f_k(s,u_n(s))|\,ds \\ &\qquad\qquad+|x^*_m|\int_{\lambda T}^t\|S(t-s)\|_{\mathscr L}| f_k(s,u_n(s))-f_k(s,u(s))|\,ds \\ &\qquad \leqslant \frac{\varepsilon}{3}+Me^{\omega T}\biggl(\int_{\lambda_n T}^{\lambda T}g(s)\,ds+\gamma_K\int_{\lambda T}^tg(s)\,d(u_n(s),u(s))\,ds\biggr) \\ &\qquad \leqslant \frac{2}{3}\varepsilon+Me^{\omega T}\gamma_K\int_{\lambda T}^tg(s)\,d(u_n(s),u(s))\,ds, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $g\in L^1(I)$ удовлетворяет условию $g(t)\geqslant\sup_{|x|\leqslant \|X\|^+}\|F(t,x)\|^+$ п.в. на $I$. Значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d(u_n(t),u(t)) &=\sum_{m=1}^\infty2^{-m}|\langle x^*_m,u_n(t)-u(t)\rangle|\leqslant \frac{\varepsilon}{3}+\sum_{m=1}^{m_0-1}2^{-m}|\langle x^*_m,u_n(t)-u(t)\rangle| \\ &\leqslant \frac{\varepsilon}{3}+\sum_{m=1}^{m_0-1}2^{-m}\biggl(\frac{2}{3}\varepsilon+Me^{\omega T}\gamma_K\int_{\lambda T}^tg(s)\,d(u_n(s),u(s))\,ds\biggr) \\ &\leqslant \varepsilon+Me^{\omega T}\gamma_K\int_{\lambda T}^tg(s)\,d(u_n(s),u(s))\,ds \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\geqslant N$. В результате получаем
$$
\begin{equation*}
d(u_n(t),u(t))\leqslant \varepsilon\exp(Me^{\omega T}\gamma_K\|g\|_1),
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $d(u_n(t),u(t))\xrightarrow[n\to\infty]{}0$ при $t\geqslant\lambda T$. В самом деле, мы ранее показали, что  при $t\in I$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\sup_{\substack{ n\geqslant 1 \\ t\in I}}|h(\lambda_n,x_n)(t)|\leqslant Me^{\omega T}(|x_0|+\|g\|_1),
\end{equation*}
\notag
$$
где $g\in L^1(I)$ удовлетворяет условию $g(t)\geqslant\sup_{|x|\leqslant \|X\|^+}\|F(t,x)\|^+$ для п.в. $t\in I$, отсюда следует слабая сходимость  . Это означает, что $h$ является непрерывным отображением в смысле относительной слабой топологии на $\operatorname{Fix}(H_k)$.
Резюмируя, получаем, что множество решений $S_{F}(x_0)$ представляется в виде пересечения убывающей последовательности компактных стягиваемых метрических пространств $(\operatorname{Fix}(H_n),d)$. Теорема 7 доказана. Следствие 4. Пусть выполнено условие (21). В предположениях теоремы 7, за исключением условия $(\mathrm{F}_4)$, множество решений задачи Коши (1) является $R_\delta$-множеством. § 4. ПриложенияСформулированная в § 3 теорема 7 о геометрической структуре множества решений $S_{F}(x_0)$ позволяет использовать подход, имитирующий метод оператора сдвига вдоль траекторий, для доказательства существования интегральных решений нелокальной задачи Коши. Так, рассмотрим следующую граничную задачу:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \displaystyle\dot{x}(t)\in Ax(t)+F\biggl(t,\int_0^tx(s)\,ds\biggr)&\text{на }I, \\ x(0)\in G(x), \end{cases}
\end{equation}
\tag{27}
$$
где $G\colon C(I,E)\multimap E$. Применяя вышеупомянутый подход, можно доказать следующую теорему. Теорема 8. Пусть $E$ – сепарабельное банахово пространство. Допустим, что $A\colon D(A)\to E$ является генератором такой невырожденной равностепенно непрерывной интегрированной полугруппы $\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$, что $\|S(t)\|_{\mathscr L}\leqslant e^{\omega t}$ при $t\geqslant 0$. Далее, предположим, что $F\colon I\times E\multimap E$ удовлетворяет условиям $(\mathrm{F}_1)$–$(\mathrm{F}_5)$. Пусть $G\colon C(I,E)\multimap E$ – многозначный оператор, ограничение которого $G|_{X}\colon(X,w)\multimap(E,w)$ на любое слабо компактное подмножество $X\subset C(I,E)$ является допустимым отображением. Если $G$ удовлетворяет условиям: Доказательство. Определим многозначное отображение $P\colon E\multimap E$ формулой $P=G\circ S_F$, где $S_F\colon E\multimap C(I,E)$ – отображение множества решений, заданное условием
Покажем, что существует такое $R>0$, что $P(D(0,R))\subset D(0,R)$. Предположим противное. Тогда существуют элементы $x_n\in E$ и $y_n\in P(x_n)$ такие, что $|x_n|\leqslant n$ и $|y_n|>n$ при $n\geqslant 1$. Если $y_n\in G(u_n)$, то либо $(u_n)_{n=1}^\infty$ ограничена, либо $\|u_n\|\xrightarrow[n\to\infty]{}+\infty$. В первом случае найдется такой радиус $\widehat{R}>0$, что $G(\{u_n\}_{n=1}^\infty)\subset D(0,\widehat{R})$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
1\leqslant \limsup_{n\to\infty}\frac{|y_n|}{n}\leqslant \limsup_{n\to\infty}\frac{\|G(u_n)\|^+}{n}\leqslant \lim_{n\to\infty}\frac{\widehat{R}}{n}=0
\end{equation*}
\notag
$$
– противоречие. Допустим, что $\|u_n\|\xrightarrow[n\to\infty]{}+\infty$ и $\lim_{n\to\infty}\frac{|x_n|}{\|u_n\|}=0$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1&=\limsup_{n\to\infty}\frac{\|u_n\|}{\|u_n\|} \\ &\leqslant e^{\omega T}\biggl(\limsup_{n\to\infty}\frac{|x_n|}{\|u_n\|} +\limsup_{n\to\infty}\frac{1}{\|u_n\|}\overline{\int_I}\sup_{|x|\leqslant \|u_n\|}\|F(t,x)\|^+\,dt\biggr)<1 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
– противоречие. Теперь предположим, что $\|u_n\|\xrightarrow[n\to\infty]{}+\infty$ и что существуют $\varepsilon>0$ и $(k_n)_{n=1}^\infty$ такие, что $|x_{k_n}|>\varepsilon\|u_{k_n}\|$ при $n\geqslant 1$. С учетом предположения $(\mathrm{G}_2)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1&\leqslant \limsup_{n\to\infty}\frac{|y_{k_n}|}{k_n} <\limsup_{n\to\infty}\frac{\|G(u_{k_n})\|^+}{k_n} \\ &\leqslant \limsup_{n\to\infty}\frac{a\|u_{k_n}\|^\alpha+d}{k_n} \leqslant \limsup_{n\to\infty}\frac{a\varepsilon^{-\alpha}(k_n)^\alpha+d}{k_n}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Другими словами, найдется шар $D(0,R)$, инвариантный относительно оператора типа Пуанкаре $P$.
Рассмотрим последовательность
$$
\begin{equation*}
|f_n(t)|\leqslant \|F(t,u_n(t))\|^+\leqslant b(t)(1+|u_n(t)|)\leqslant b(t)\Bigl(1+\sup_{n\geqslant 1}\|u_n\|\Bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $n\geqslant 1$ и для п.в. $t\in I$. В то же время
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \beta(\{u_n(t)\}_{n=1}^\infty) &=\beta\bigl(\{S(t)x_n+V(f_n)(t)\}_{n=1}^\infty\bigr) \\ &\leqslant \|S(t)\|_{\mathscr L}\beta(\{x_n\}_{n=1}^\infty)+\int_0^t\|S(t-s)\|_{\mathscr L}\beta(\{f_n(s)\}_{n=1}^\infty)\,ds \\ &\leqslant \int_0^t\eta(s)\beta(\{u_n(s)\}_{n=1}^\infty)\,ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\sup_{t\in I}\beta(\{u_n(t)\}_{n=1}^\infty)=0$, и в результате $\beta(\{f_n(t)\}_{n=1}^\infty)=0$ п.в. на $I$. В силу теоремы 1, переходя при необходимости к подпоследовательности, можно считать, что . Очевидно,  . Следовательно,  для любого $t\in I$. Поскольку $\sup_{n\geqslant 1}\|u_n\|<\infty$, последнее означает, что . Предположения теоремы сходимости выполнены (ср. со следствием 2), так что заключаем, что $f\in N_F(u)$. На этом основании получаем включение $u\in S_{F}(x)$. Таким образом, для любого фиксированного относительно слабо компактного подмножества $X\subset E$ оператор $S_{F}\colon(X,w)\multimap(C(I,E),w)$ является полунепрерывным сверху отображением со слабо компактными значениями. Теперь можно применить структурную теорему (теорему 7), чтобы доказать допустимость оператора типа Пуанкаре $P\colon(X,w)\multimap(E,w)$ (напомним, что композиция двух допустимых отображений также допустима).
Повторим рассуждения, использованные при доказательстве теоремы 5. Зафиксируем $\widehat{x}\in D(0,R)$ и определим класс множеств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathscr A} &:=\bigl\{X\in 2^{D(0,R)}\setminus\{\varnothing\}\colon X\text{ является замкнутым} \\ &\qquad\qquad \text{и выпуклым и } \overline{\operatorname{co}}(\{\widehat{x}\}\cup P(X))\subset X\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда пересечение $X_0:=\bigcap_{X\in{\mathscr A}}X$ непусто и имеет вид $X_0=\overline{\operatorname{co}}(\{\widehat{x}\}\cup P(X_0))$. Покажем, что $X_0$ слабо компактно в $E$. Пусть $u_n=S(\,\cdot\,)x_n+V(f_n)$, где $f_n\in N_F(u_n)$ и $x_n\in X_0$. Положим
$$
\begin{equation*}
\Delta(\Omega):=\bigl\{D\in 2^\Omega\setminus\{\varnothing\}\colon D\text{ счетно}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу теоремы 2.8 из [12] имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \beta\bigl(\{u_n(t)\}_{n=1}^\infty\bigr) &=\beta\bigl(\{S(t)x_n+V(f_n)(t)\}_{n=1}^\infty\bigr) \\ &\leqslant \beta\bigl(S(t)\{x_n\}_{n=1}^\infty\bigr) +\beta\biggl(\biggl\{\int_0^tS(t-s)f_n(s)\,ds\biggr\}\biggr) \\ &\leqslant \|S(t)\|_{\mathscr L}\beta\bigl(\{x_n\}_{n=1}^\infty\bigr)+\int_0^t\|S(t-s)\|_{\mathscr L}\beta\bigl(\{f_n(s)\}_{n=1}^\infty\bigr)\,ds \\ &\leqslant e^{\omega t}\max_{D\in\Delta(X_0)}\beta(D)+\int_0^te^{\omega(t-s)}\eta(s) \beta\bigl(\{u_n(s)\}_{n=1}^\infty\bigr)\,ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначая правую часть этого неравенства через $\rho$, получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\rho'(t)=\omega\rho(t)+\eta(t)\beta(\{u_n(t)\}_{n=1}^\infty)\leqslant (\omega+\eta(t))\rho(t)
\end{equation*}
\notag
$$
п.в. на $I$. Решение этого дифференциального неравенства приводит к оценке
$$
\begin{equation*}
\beta(\{u_n(t)\}_{n=1}^\infty)\leqslant \rho(t) \leqslant \max_{D\in\Delta(X_0)}\beta(D)\exp\biggl(\omega t+\int_0^t\eta(s)\,ds\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
при $t\in I$. Отсюда с учетом $(\mathrm{G}_1)$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \max_{D\in\Delta(X_0)}\beta(D) &=\max_{D\in\Delta(P(X_0))}\beta(D)\leqslant \max_{D\in\Delta(S_{F}(X_0))}\beta(G(D)) \\ &\leqslant \max_{D\in\Delta(S_{F}(X_0))}\beta(D(T))\leqslant \max_{D\in\Delta(X_0)}\beta(D)\,e^{\omega T+\|\eta\|_1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (28) имеем $\max_{D\in\Delta(X_0)}\beta(D)=0$. По теореме Эберлейна–Шмульяна множество $X_0$ должно быть слабо компактным.
Таким образом, получаем, что допустимый оператор $P\colon X_0\multimap X_0$ из выпуклого подмножества $X_0$ локально выпуклого пространства $(E,w)$ в компактное метризуемое подмножество $X_0$ имеет по крайней мере одну неподвижную точку в силу теоремы 2. Эта неподвижная точка является решением граничной задачи (27). Теорема 8 доказана. Следствие 5. Пусть оператор $G\colon C(I,E)\multimap E$ имеет слабо секвенциально замкнутый график, ациклические значения, отображает ограниченные множества в относительно слабо компактные множества и удовлетворяет условию сублинейного роста $(\mathrm{G}_2)$. Тогда с учетом оставшихся предположений теоремы 8 $($разумеется, кроме условия $(\mathrm{G}_1))$ нелокальная задачи Коши (27) имеет решение. Замечание 7. Следствие 5 наглядно демонстрирует преимущества теоремы 8 перед теоремой 2.2 из [4] хотя бы в контексте сепарабельного банахова пространства и невырожденных интегрированных полугрупп. Без использования структурной теоремы, т.е. теоремы 7, нельзя ослабить условие на топологию значений граничного оператора. Обратимся теперь к многозначному волновому уравнению
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \displaystyle \square\,u(t,x)=f_2(t,x)+\Delta\int_0^tf_1(s,x)\,ds, \\ \displaystyle f_1(t,x)\,{\in}\biggl[h^1_1\biggl(t,x,\int_{\mathbb R^n}k_1^1(t,y)\,dy\biggr), h^1_2\biggl(t,x,\int_{\mathbb R^n}k_2^1(t,y)\,dy\biggr)\biggr], \\ \displaystyle f_2(t,x)\,{\in}\biggl[h^2_1\biggl(t,x,\int_{\mathbb R^n}k_1^2(t,y)u(t,y)\,dy\biggr), h^2_2\biggl(t,x,\int_{\mathbb R^n}k_2^2(t,y)u(t,y)\,dy\biggr)\biggr] \end{cases}
\end{equation}
\tag{29}
$$
на $I\times\mathbb R^n$ при условиях Коши
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \partial_tu(0,x)=\mathring{u}_2&\text{на } \mathbb R^n, \\ u(0,x)=\mathring{u}_1&\text{на } \mathbb R^n, \end{cases}
\end{equation}
\tag{30}
$$
где $\square$ обозначает оператор Д’Аламбера и $k_i^1(t,\cdot)\in L^1(\mathbb R^n)$, $k_i^2(t,\cdot)\in L^2(\mathbb R^n)$ для п.в. $t\in I$ и $i=1,2$. Обозначим через $\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle$ скалярное произведение в $L^2(\mathbb R^n)$. Слабым решением задачи (29), (30) назовем такую функцию $w\in C(I,L^2(\mathbb R^n))$, что для любой функции $v\in H^2(\mathbb R^n)$ выполнено $\langle w(\,\cdot\,),v\rangle\in W^{2,1}(I)$ и
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \displaystyle \frac{d^2}{dt^2}\,\langle w(t),v\rangle=\langle w(t),\Delta v\rangle+\langle f_2(t),v\rangle+\biggl\langle\int_0^tf_1(s)\,ds,\Delta v\biggr\rangle&\text{п.в. на } I, \\ \displaystyle \frac{d}{dt}\,\langle w(t),v\rangle|_{t=0}=\langle\mathring{u}_2,v\rangle, \\ w(0)=\mathring{u}_1 \end{cases}
\end{equation}
\tag{31}
$$
для некоторых функций $f_1,f_2\in L^1(I,L^2(\mathbb R^n))$, удовлетворяющих оценкам
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \displaystyle h_1^1\biggl(t,x,\int_{\mathbb R^n}k_1^1(t,y)\,dy\biggr) \leqslant f_1(t,x)\leqslant h_2^1\biggl(t,x,\int_{\mathbb R^n}k_2^1(t,y)\,dy\biggr), \\ \displaystyle h_1^2\biggl(t,x,\int_{\mathbb R^n}k_1(t,y)(w(t,y)-\mathring{u}_1(y))\,dy\biggr) \leqslant f_2(t,x) \\ \displaystyle \qquad\leqslant h_2^2\biggl(t,x,\int_{\mathbb R^n}k_2(t,y)(w(t,y)-\mathring{u}_1(y))\,dy\biggr) \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
для п.в. $t\,{\in}\, I$ и п.в. $x\in\mathbb R^n$. Обозначим множество всех слабых решений задачи (29), (30) через ${\mathscr S}(\mathring{u}_1,\mathring{u}_2)$. Наши предположения относительно функций $h_j^i\colon I\times\mathbb R^n\times\mathbb R\to\mathbb R$ состоят в следующем:
Теорема 9. Если выполнены предположения $(\mathrm{h}_1)$–$(\mathrm{h}_3)$, то для любых функций $\mathring{u}_1,\mathring{u}_2\in L^2(\mathbb R^n)$ множество решений ${\mathscr S}(\mathring{u}_1,\mathring{u}_2)$ ациклично в пространстве $C(I,L^2(\mathbb R^n))$, наделенном слабой топологией. Доказательство. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, E:=L^2(\mathbb R^n)\times L^2(\mathbb R^n), \qquad D(A):=H^2(\mathbb R^n)\times L^2(\mathbb R^n), \\ E_0:=H^1(\mathbb R^n)\times L^2(\mathbb R^n), \qquad D(A_0):=H^2(\mathbb R^n)\times H^1(\mathbb R^n). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что гильбертово пространство $E$ наделено нормой а пространство $E_0$ – нормой
$$
\begin{equation*}
\||(x,y)\||:=\bigl(\|x\|_2^2+\langle \nabla x,\nabla x\rangle_{L^2(\mathbb R^n,\mathbb R^n)}+\|y\|_2^2\bigr)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Линейный оператор $A\colon D(A)\to E$, заданный соотношением $A(u_1,u_2):=(u_2,\Delta u_1)$, порождает экспоненциально ограниченную невырожденную интегрированную полугруппу $\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$ на $E$ такую, что
$$
\begin{equation*}
S(t)(\mathring{u}_1,\mathring{u}_2)=\biggl(\int_0^tw(s)\,ds,w(t)-\mathring{u}_1\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где отображение $w\in C^2([0,\infty),L^2(\mathbb R^n))$ удовлетворяет условиям
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \dfrac{d^2}{dt^2}\,\langle w(t),v\rangle=\langle w(t),\Delta v\rangle, \\ \dfrac{d}{dt}\,\langle w(t),v\rangle|_{t=0}=\langle\mathring{u}_2,v\rangle, \\ w(0)=\mathring{u}_1 \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
для любой функции $v\in H^2(\mathbb R^n)$ (см. [23; теорема 7.1]). Это следует из того факта, что часть $A_0\colon D(A_0)\to E_0$ оператора $A$ порождает сильно непрерывную полугруппу $\{T_0(t)\}_{t\geqslant 0}$ на $(E_0,\||\cdot\||)$, удовлетворяющую условию $\|T_0(t)\|_{\mathscr L}\leqslant e^{2t}$ (см. [20; 7.4.5]).
Мы утверждаем: резольвентное множество $\rho(A)$ содержит интервал $(2,\infty)$. Для любой пары $(f_1,f_2)\in C^\infty_0(\mathbb R^n)\times C^\infty_0(\mathbb R^n)$ существует единственная пара $(u_1,u_2)\in D(A)$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} u_1-\lambda u_1=f_1, \\ u_2-\lambda\Delta u_1=f_2 \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
для любого вещественного $\lambda\neq 0$ (см. [20; лемма 7.4.3]). С учетом этого получаем следующую оценку:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|(f_1,f_2)\|_E^2 =\langle u_1-\lambda u_2,u_1-\lambda u_2\rangle+\langle u_2-\lambda\Delta u_1,u_2-\lambda\Delta u_1\rangle \\ &\ =\|u_1\|_2^2+\lambda^2\|u_2\|_2^2-\lambda\langle u_1,u_2\rangle +\|u_2\|_2^2-\lambda\langle\Delta u_1,u_2\rangle-\lambda\langle u_2,\Delta u_1\rangle+\lambda^2\|\Delta u_1\|_2^2 \\ &\ \geqslant\|u_1\|_2^2+\|u_2\|_2^2-2\lambda\langle u_1,u_2\rangle =\|(u_1,u_2)\|_E^2-2\lambda\langle u_1,u_2\rangle\geqslant(1-\lambda)\|(u_1,u_2)\|_E^2 \\ &\ \geqslant(1-2\lambda)^2\|(u_1,u_2)\|_E^2 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $\lambda\in(0,1/2)$. Другими словами, для любого $\lambda\in(0,1/2)$ и $f\in C^\infty_0(\mathbb R^n)\times C^\infty_0(\mathbb R^n)$ существует единственный вектор $u\in D(A)$ такой, что $u-\lambda Au=f$ и Поскольку $C^\infty_0(\mathbb R^n)\times C^\infty_0(\mathbb R^n)$ плотно в $E$ и оператор $A$ замкнут, из (32) следует $\text{Im}(\lambda+A)=E$ при $\lambda>2$, т.е. $(2,\infty)\subset\rho(A)$. Из (32) также следует, что
$$
\begin{equation}
\|R_\lambda\|_{\mathscr L}\leqslant \frac{1}{\lambda-2} \quad\text{при }\ \lambda>2,
\end{equation}
\tag{33}
$$
где $R_\lambda:=(\lambda+A)^{-1}$.
Для любой пары $(u_1,u_2)\in D(A_0)$ ее норма $\||\cdot\||$ удовлетворяет следующей оценке:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \||(u_1,u_2)\||^2 &=\|u_1\|_2^2+\int_{\mathbb R^n}\langle\nabla u_1(x),\nabla u_1(x)\rangle_{\mathbb R^n}\,dx+\|u_2\|_2^2 \\ &=\|u_1\|_2^2-\langle\Delta u_1,u_1\rangle+\|u_2\|_2^2\leqslant \|u_1\|_2^2+\|\Delta u_1\|_2\|u_1\|_2+\|u_2\|_2^2 \\ &\leqslant \|u_1\|_2^2+\frac{1}{2}\|u_1\|_2^2+\frac{1}{2}\|\Delta u_1\|_2^2+\|u_2\|_2^2 \\ &\leqslant \frac{3}{2}\bigl(\|u_1\|_2^2+\|u_2\|_2^2\bigr)+\frac{1}{2}\bigl(\|u_2\|_2^2+\|\Delta u_1\|_2^2\bigr) \\ &=\frac{3}{2}\|(u_1,u_2)\|_E^2+\frac{1}{2}\|A(u_1,u_2)\|_E^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\|(u_1,u_2)\|_E\leqslant \||(u_1,u_2)\||\leqslant \sqrt{2}\bigl(\|(u_1,u_2)\|_E+\|A(u_1,u_2)\|_E\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с тем для любого начального значения $x\in D(A_0)$ существует единственное решение $u\in C^1(\mathbb R_+,D(A_0))$ абстрактной задачи Коши
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dot{u}(t)=Au(t), \\ u(0)=x, \end{cases}
\end{equation}
\tag{34}
$$
удовлетворяющее условиям
$$
\begin{equation*}
\|u(t)\|_E\leqslant \||u(t)\||\leqslant e^{2t}\||x\||\leqslant \sqrt{2}\,e^{2t}(\|x\|_E+\|Ax\|_E).
\end{equation*}
\notag
$$
При $\lambda>2$ функция $w(t):=R_\lambda u(t)$ является решением задачи (34) с нормой
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|w(t)\|_E &\leqslant \sqrt{2}\,e^{2t}\bigl(\|R_\lambda x\|_E+\|AR_\lambda x\|_E\bigr) \\ &\leqslant \sqrt{2}\,e^{2t}\bigl(\|R_\lambda x\|_E+\lambda\|R_\lambda x\|_E+\|x\|_E\bigr) \\ &\leqslant \sqrt{2}\biggl(\frac{1+\lambda}{\lambda -2}+1\biggr)e^{2t}\|x\|_E \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
согласно (33). Пусть $\displaystyle v(t)\,{:=}\int_0^tu(s)\,ds$ – интегрированное решение. Тогда $\displaystyle v(t)=\lambda\int_0^tw(s)\,ds-w(t)+R_\lambda x$. Более того, оператор $A$ порождает интегрированную полугруппу $\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$, заданную соотношением $S(t)x=v(t)$ для векторов $x$ из плотного подпространства $D(A_0)$ пространства $E$ (см. [17; теорема 4.2]). Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|S(t)x\|_E &\leqslant \lambda\int_0^t\|w(s)\|_E\,ds+\|w(t)\|_E+\|R_\lambda x\|_E \\ &\leqslant (1+\lambda)\sqrt{2}\biggl(\frac{1+\lambda}{\lambda -2}+1\biggr)e^{2t}\|x\|_E+\frac{1}{\lambda-2}\|x\|_E\leqslant \frac{\sqrt{2}\,\lambda(2\lambda+1)}{\lambda-2}e^{2t}\|x\|_E \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $x\in E$ и $\lambda>2$. В результате получаем следующую экспоненциальную оценку для полугруппы $\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$:
$$
\begin{equation*}
\|S(t)x\|_E\leqslant \sqrt{2}\inf_{\lambda\in(2,\infty)}\frac{\lambda(2\lambda+1)}{\lambda-2}e^{2t}\|x\|_E =\sqrt{2}(4\sqrt{5}+9)e^{2t}\|x\|_E.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта полугруппа также равностепенно непрерывна, поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|S(t)-S(\tau)\|_{\mathscr L} &=\sup_{\|(\mathring{u}_1,\mathring{u}_2)\|_E\leqslant 1}\|(S(t)-S(\tau))(\mathring{u}_1,\mathring{u}_2)\|_E \\ &\leqslant \int_\tau^t\|w(s)\|_2\,ds+\|w(t)-w(\tau)\|_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Определим многозначные отображения $F_1\colon I\multimap L^2(\mathbb R^n)$ и $F_2\colon I\times L^2(\mathbb R^n)\multimap L^2(\mathbb R^n)$ формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_1(t) &:=\biggl\{v\in L^2(\mathbb R^n)\colon h^1_1\biggl(t,x,\int_{\mathbb R^n}k_1^1(t,y)\,dy\biggr) \\ & \leqslant v(x)\leqslant h^1_2\biggl(t,x,\int_{\mathbb R^n}k_2^1(t,y)\,dy\biggr) \text{ п.в. на }\mathbb R^n\biggr\}, \\ F_2(t,u) &:=\biggl\{v\in L^2(\mathbb R^n)\colon h^2_1\biggl(t,x,\int_{\mathbb R^n}k_1^2(t,y)u(y)\,dy\biggr) \\ & \leqslant v(x)\leqslant h^2_2\biggl(t,x,\int_{\mathbb R^n}k_2^2(t,y)u(y)\,dy\biggr)\text{ п.в. на }\mathbb R^n\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть отображение $F\colon I\times E\multimap E$ задано формулой $F(t,(u_1,u_2)):=F_1(t)\times F_2(t,u_2)$. Допустим, что оно является многозначным возмущением абстрактного полулинейного интегро-дифференциального включения (1). Чтобы применить следствие 4, нам нужно проверить выполнение условий $(\mathrm{A}_2)$ и $(\mathrm{F}_1)$–$(\mathrm{F}_5)$. Что касается условия $(\mathrm{A}_2)$, мы проверили его выполнение выше. Предположения $(\mathrm{F}_1)$ и $(\mathrm{F}_2)$ вытекают непосредственно из условия $(\mathrm{h}_1)$.
Возьмем $(u_1,u_2)\in E$ и $(f_1,f_2)\in F(t,(u_1,u_2))$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |f_1(x)| &\leqslant \max\biggl\{\biggl|h_1^1\biggl(t,x,\int_{\mathbb R^n}k_1^1(t,y)\,dy\biggr)\biggr|, \biggl|h_2^1\biggl(t,x,\int_{\mathbb R^n}k_2^1(t,y)\,dy\biggr)\biggr|\biggr\}\leqslant c_1(t,x), \\ |f_2(x)| &\leqslant \max_{1\leqslant i\leqslant 2}\biggl\{\biggl|h_i^2\biggl(t,x,\int_{\mathbb R^n}k_i^2(t,y)u_2(y)\,dy\biggr)\biggr|\biggr\}\leqslant c_2(t,x,\|u_2\|_2), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \|f_1\|_2\leqslant b_1(t)&\text{п.в. на }I, \\ \|f_2\|_2\leqslant b_2(t)(1+\|u_2\|_2)&\text{п.в. на }I. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\|F(t,(u_1,u_2))\|^+_2\leqslant b_1(t)+b_2(t)(1+\|u_2\|_2)\leqslant (b_1(t)+b_2(t))(1+\|(u_1,u_2)\|_E).
\end{equation*}
\notag
$$
Другими словами, $F$ удовлетворяет условию сублинейного роста (21). Заметим также, что мультиотображение $F(t,\cdot)$ вполне непрерывно (п.в. на $I$), т.е. оно отображает ограниченные множества в относительно слабо компактные множества (напомним, что пространство $L^2(\mathbb R^n)$ рефлексивно).
Остается обосновать условие $(\mathrm{F}_3)$. Допустим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_2^k(x)\in\biggl[h_1^2\biggl(t,x,\int_{\mathbb R^n}k_1^2(t,y)u_2^k(y)\,dy\biggr), h_2^2\biggl(t,x,\int_{\mathbb R^n}k_2^2(t,y)u_2^k(y)\,dy\biggr)\biggr] \\ \qquad\text{п.в. на }\ \mathbb R^n, \\ z_j^k:=\int_{\mathbb R^n}k_j^2(t,y)u_2^k(y)\,dy\xrightarrow[k\to\infty]{}z_j:=\int_{\mathbb R^n}k_j^2(t,y)u_2(y)\,dy \\ \qquad\text{для п.в. }\ t\in I \quad\text{и }\ j=1,2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\overline{\operatorname{co}}\bigcup_{m=k}^\infty\{f_2^m(x)\} \subset\Bigl[\inf_{m\geqslant k}h_1^2(t,x,z^k_1),\sup_{m\geqslant k}h_2^2(t,x,z^k_2)\Bigr],
\end{equation*}
\notag
$$
и в силу условия $(\mathrm{h}_2)$ для п.в. $x\in\mathbb R^n$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigcap_{k=1}^\infty\overline{\operatorname{co}}\bigcup_{m=k}^\infty\{f_2^m(x)\} &\subset\Bigl[\sup_{k\geqslant 1}\inf_{m\geqslant k}h_1^2(t,x,z^k_1),\inf_{k\geqslant 1}\sup_{m\geqslant k}h_2^2(t,x,z^k_2)\Bigr] \\ &\subset\bigl[h_1^2(t,x,z_1),h_2^2(t,x,z_2)\bigr] \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для п.в. $t\in I$. Поскольку $f_2(x)\in\bigcap_{k=1}^\infty\overline{\operatorname{co}} \bigcup_{m=k}^\infty\{f_2^m(x)\}$ п.в. на $\mathbb R^n$ (ср. со следствием 1), получаем $f_2\in F_2(t,u_2)$. Заметим, что $F_1(t)$ является слабо замкнутым подмножеством пространства $L^2(\mathbb R^n)$. Значит, $f_1\in F_1(t)$. Следовательно, график $F(t,\cdot)$ секвенциально замкнут в $(E,w)\times(E,w)$ для п.в. $t\in I$.
Пользуясь следствием 4, убеждаемся, что множество $S_{F}(\mathring{u}_1,\mathring{u}_2)$ всех интегрированных решений задачи
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dot{u}(t)\in Au(t)+F\biggl(t,{\displaystyle\int_0^tu(s)\,ds}\biggr) \quad\text{на }\ I, \\u(0)=(\mathring{u}_1,\mathring{u}_2) \end{cases}
\end{equation}
\tag{35}
$$
образует $R_\delta$-подмножество пространства $C(I,E)$, наделенного слабой топологией. Рассмотрим проекцию $\Pi\colon S_{F}(\mathring{u}_1,\mathring{u}_2)\to C(I,L^2(\mathbb R^n))$, заданную формулой $\Pi(u_1,u_2):=u_2$.
Пусть $(u_1,u_2)\in S_{F}(\mathring{u}_1,\mathring{u}_2)$. Положим $w:=u_2+\mathring{u}_1$. Заметим, что $w\in C(I,L^2(\mathbb R^n))$. Более того, поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \displaystyle u_1(t)=t\mathring{u}_1+\int_0^tu_2(s)\,ds+\int_0^t(t-s)f_1(s)\,ds,&t\in I, \\ \displaystyle u_2(t)=t\mathring{u}_2+\Delta\int_0^tu_1(s)\,ds+\int_0^t(t-s)f_2(s)\,ds,&t\in I, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторой пары $(f_1,f_2)\in N_F((u_1,u_2))$, то для любого $v\in H^2(\mathbb R^n)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\langle w(t),v\rangle =\langle\mathring{u}_1,v\rangle+t\langle\mathring{u}_2,v\rangle +\biggl\langle\Delta\int_0^tu_1(s)\,ds,v\biggr\rangle +\biggl\langle\int_0^t(t-s)f_2(s)\,ds,v\biggr\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{d}{dt}\langle w(t),v\rangle =\langle\mathring{u}_2,v\rangle+\langle u_1(t),\Delta v\rangle+\biggl\langle\int_0^tf_2(s)\,ds,v\biggr\rangle \\ &\qquad=\langle\mathring{u}_2,v\rangle+t\langle\mathring{u}_1,\Delta v\rangle+\int_0^t\biggl\langle u_2(s)+\int_0^sf_1(\tau)\,d\tau,\Delta v\biggr\rangle\,ds+\int_0^t\langle f_2(s),v\rangle\,ds; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
это означает, что отображение $w$ удовлетворяет системе (31). С другой стороны, если допустить, что $w$ является слабым решением задачи (29), (30), то $u:=(u_1,u_2)$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \displaystyle u_1(t):=t\mathring{u}_1+\int_0^tu_2(s)\,ds+\int_0^t(t-s)f_1(s)\,ds,&t\in I, \\ u_2(t):=w(t)-\mathring{u}_1,&t\in I, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
образует интегральное решение задачи (35). В самом деле, интегрируя дважды, получаем
$$
\begin{equation*}
\langle w(t),v\rangle =\langle\mathring{u}_1,v\rangle+\langle t\mathring{u}_2,v\rangle+\biggl\langle\int_0^tu_1(s)\,ds,\Delta v\biggr\rangle+\biggl\langle\int_0^t(t-s)f_2(s)\,ds,v\biggr\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
для $t\in I$. Поскольку оператор $\Delta$ является самосопряженным на $L^2(\mathbb R^n)$, имеем $\displaystyle\int_0^t(u_1(s),u_2(s))\,ds\in D(A)$ и
$$
\begin{equation*}
u_2(t)=t\mathring{u}_2+\Delta\int_0^tu_1(s)\,ds+\int_0^t(t-s)f_2(s)\,ds, \qquad t\in I,
\end{equation*}
\notag
$$
где $f_2\in N_{F_2}(u_2)$. Отсюда получаем $(u_1,u_2)\in S_{F}((\mathring{u}_1,\mathring{u}_2))$.
Фактически мы показали, что $\mathring{u}_1+\Pi(S_{F}(\mathring{u}_1,\mathring{u}_2))={\mathscr S}(\mathring{u}_1,\mathring{u}_2)$. Нетрудно видеть, что отображение $\widetilde{\Pi}\colon(S_{F}(\mathring{u}_1,\mathring{u}_2),w) \to(\Pi(S_{F}(\mathring{u}_1,\mathring{u}_2),w)$ является непрерывным, сюръективным и собственным. Более того, при внимательном изучении множества
$$
\begin{equation*}
\bigl\{(u_1,u_2)\in S_{F}(\mathring{u}_1,\mathring{u}_2)\colon u_2=v\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
становится ясно, что оно по существу является множеством $R_\delta$-типа. С практической точки зрения это означает, что слой $\Pi^{-1}(\{v\})$ является ациклическим подмножеством пространства $(C(I,E),w)$. Следовательно, $\widetilde{\Pi}$ является отображением Вьеториса и $\widetilde H^*\bigl((S_{F}(\mathring{u}_1,\mathring{u}_2),w)\bigr)\approx\widetilde H^*\bigl((\Pi(S_{F}(\mathring{u}_1,\mathring{u}_2)),w)\bigr)$ (в силу теоремы Вьеториса–Бегла для функтора когомологий Александера–Спеньера; см. [23; теорема 6.9.15]). Понятно, что множество решений ${\mathscr S}(\mathring{u}_1,\mathring{u}_2)$ должно быть ациклическим подмножеством $(C(I,L^2(\mathbb R^n)),w)$.
Теорема 9 доказана. Рассмотрим следующую начально-краевую задачу на $I\times\mathbb R$:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \displaystyle \frac{\partial}{\partial t}u(t,x)-\sum_{j=0}^ka_j D^j u(t,x)=U(t)u(t,\cdot)(x)+h(t,x)&\text{в } I\times\mathbb R, \\ u(0,x)=\mathring{u}(x)&\text{на }\mathbb R, \\ \|h(t,\cdot)\|_2\leqslant r(t,u(t,\cdot))&\text{на }I. \end{cases}
\end{equation}
\tag{36}
$$
Обозначим комплексное гильбертово пространство $L^2(\mathbb R,\mathbb{C})$ через $E$. Пусть отображения $r\colon I\times E\to\mathbb R_+$ и $U(t)\colon E\to E$ удовлетворяют следующим предположениям:
Слабым решением задачи (36) назовем такую функцию $u\in C(I,E)$, что $\langle u(\,\cdot\,),v\rangle\in W^{1,1}(I)$ для любого $v\in H^k(\mathbb R)$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \displaystyle \frac{d}{dt}\langle u(t),v\rangle\,{=}\,\langle\mathring{u},v\rangle\,{+}{\kern0.8pt}\biggl\langle u(t),\sum_{j=0}^ka_j D^j v\biggr\rangle \,{+}{\kern0.8pt}\biggl\langle\int_0^tU(s)u(s)\,{+}\,h(s)\,ds,v\biggr\rangle &\text{п.в. на }I, \\ u(0)=0 \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторой функции $h\in L^1(I,E)$ такой, что $\|h(t)\|_2\leqslant r(t,u(t))$ п.в. на $I$. Определим многочлен $p(x):=\sum_{j=0}^ka_j(ix)^j$ (здесь $i$ – мнимая единица). Пусть $a_0,\dots,a_k\in\mathbb{C}$ и $\omega:=\max\{0,\sup_{x\in\mathbb R}\operatorname{Re}(p(x))\}$. Зафиксируем константу $L_0>1$ так, чтобы $|p(x)|>|a_kx^k|/2$ для $|x|\geqslant L_0$. Положим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M &:=\biggl(\frac{32(L_0)^{-2k+1}}{(2k-1)|a_k|^2}+2L_0T^2 \nonumber \\ &\qquad\quad +4T^2\biggl(\frac{k(k+1)R}{|a_k|}\biggr)^2L_0^{-1}+4L_0T^2\sup_{|x|\leqslant L_0}\frac{|p'(x)|}{|p(x)|}\biggr)^{1/2}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
где $R:=\max_{1\leqslant j\leqslant k}|a_j|$. Теорема 10. Допустим, что выполнены предположения $(\mathrm{U}_1)$ и $(\mathrm{r}_1)$–$(\mathrm{r}_3)$. Далее, пусть $a_k\neq0$ и $a_j(-i)^{3j}\in\mathbb R$ при $j=0,\dots,k$. Если $\sup_{x\in\mathbb R}\operatorname{Re}(p(x))<\infty$, то для любого $\mathring{u}\in L^2(\mathbb R)$ множество ${\mathscr S}(\mathring{u})$ слабых решений задачи (36) образует $R_\delta$-подмножество пространства $C(I,L^2(\mathbb R,\mathbb{C}))$ со слабой топологией. Доказательство. Рассмотрим дифференциальный оператор $A\colon D(A)\,{\to}\,E$, заданный формулой $Af:=\sum_{j=0}^ka_jD^jf$ и определенный на
$$
\begin{equation*}
D(A):=\biggl\{f\in E\colon \sum_{j=0}^ka_jD^jf\in E\text{ дистрибутивно}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $a_k\neq 0$, имеем $D(A)=H^k(\mathbb R)$ (см. [26; теорема 10.14]). Условие $a_j(-i)^{3j}\in\mathbb R$ при $j=0,\dots,k$ означает, что дифференциальный оператор $A$ самосопряжен на $E$ (ср. с теоремой 10.12 из [26]). В силу теоремы 4.1 из [14] оператор $A$ порождает непрерывную по норме интегрированную полугруппу $\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$ на пространстве $E$, заданную соотношением
$$
\begin{equation*}
S(t)f:=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\widetilde{\phi_t}\ast f,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\displaystyle \phi_t(x):=\int_0^te^{p(x)s}\,ds$ и $\sim$ обозначает обратное преобразование Фурье. Несложными вычислениями можно показать, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\phi_t\|_2^2 &\leqslant \int_{-\infty}^{-L_0}\frac{|e^{p(x)t}-1|^2}{|p(x)|^2}\,dx +\int_{-L_0}^{L_0}|e^{p(x)t}t|^2\,dx +\int_{L_0}^\infty\frac{|e^{p(x)t}-1|^2}{|p(x)|^2}\,dx \\ &\leqslant \int_{-\infty}^{-L_0}\frac{16e^{2\omega t}}{|a_kx^k|^2}\,dx +\int_{-L_0}^{L_0}t^2e^{2\omega t}\,dx +\int_{L_0}^\infty\frac{16e^{2\omega t}}{|a_kx^k|^2}\,dx \\ & =\biggl(\frac{32(L_0)^{-2k+1}}{(2k-1)|a_k|^2}+2L_0t^2\biggr)e^{2\omega t}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При $|x|\geqslant L_0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{|p'(x)|}{|p(x)|} &=\frac{|\sum_{j=1}^kja_ji^jx^{j-1}|}{|p(x)|}\leqslant 2\frac{\sum_{j=1}^kj|a_j|\, |x^{j-1}|}{|a_kx^k|} \\ &=2\sum_{j=1}^k\frac{j|a_j|}{|a_k|\,|x^{k-j+1}|} \leqslant \frac{2R}{|a_k|}\sum_{j=1}^k\frac{j}{|x|} =\frac{k(k+1)R}{|a_k|\, |x|}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\frac{d}{dx}\phi_t\biggr\|_2^2 &\leqslant 2\biggl(\,\int_{-\infty}^\infty\biggl|\frac{p'(x)}{p(x)}te^{p(x)t}\biggr|^2\,dx +\int_{-\infty}^\infty\biggl|\frac{p'(x)}{p(x)}\phi_t(x)\biggr|^2\,dx\biggr) \\ &\leqslant 2\biggl(\,\int_{|x|\geqslant L_0}\frac{t^2e^{2\omega t}(k(k+1)R)^2}{|a_k|^2|x|^2}\,dx+\int_{-L_0}^{L_0} \biggl|\frac{p'(x)}{p(x)}te^{p(x)t}\biggr|^2\,dx\biggr) \\ &\leqslant 4\biggl(t^2\biggl(\frac{k(k+1)R}{|a_k|}\biggr)^2L_0^{-1}+L_0t^2\sup_{|x|\leqslant L_0}\frac{|p'(x)|}{|p(x)|}\biggr)e^{2\omega t}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|\phi_t\|_{1,2}&\leqslant \biggl(\frac{32(L_0)^{-2k+1}}{(2k-1)|a_k|^2} +2L_0t^2 \\ &\qquad +4t^2\biggl(\frac{k(k+1)R}{|a_k|}\biggr)^2L_0^{-1}+4L_0t^2\sup_{|x|\leqslant L_0}\frac{|p'(x)|}{|p(x)|}\biggr)^{1/2}e^{\omega t}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{38}
$$
Применяя лемму 4.4 из [14], (37) и (38), получаем следующую экспоненциальную оценку для нашей полугруппы: Таким образом, предположение $(\mathrm{A}_2)$ выполнено.
Определим мультиотображение $F\colon I\times E\multimap E$ формулой
$$
\begin{equation*}
F(t,u):=U(t)u+\bigl\{v\in E\colon \|v\|_2\leqslant r(t,u)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из условий $(\mathrm{U}_1)$ и $(\mathrm{r}_1)$ сразу следует, что $F$ удовлетворяет условиям $(\mathrm{F}_1)$, $(\mathrm{F}_2)$. Более того,
$$
\begin{equation*}
\|F(t,u)\|_2^+\leqslant \|U(t)\|_{\mathscr L}\|u\|_2+r(t,u)\leqslant (b(t)+\|U(t)\|_{\mathscr L})(1+\|u\|_2) \quad\text{п.в. на }\ I,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. выполнено условие (21). Множество $\bigcup_{u\in\Omega}\bigl\{v\in E\colon \|v\|_2\leqslant r(t,u)\bigr\}$ относительно слабо компактно для п.в. $t\in I$ и для любого ограниченного $\Omega\subset E$, поскольку $E$ рефлексивно. Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \beta(F(t,\Omega)) &\leqslant \beta(U(t)\Omega)+\beta\biggl(\bigcup_{u\in\Omega}\bigl\{v\in E\colon \|v\|_2\leqslant r(t,u)\bigr\}\biggr) \\ & \leqslant \|U(t)\|_{\mathscr L}\beta(\Omega) \quad\text{п.в. на }I. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Что касается условия $(\mathrm{F}_3)$, то допустим, что В силу следствия 4 мы знаем, что множество $S_{F}(\mathring{u})$ всех интегрированных решений задачи Коши (1) является непустым $R_\delta$-множеством в пространстве $C(I,E)$, наделенном слабой топологией. Возьмем $u\in{\mathscr S}(\mathring{u})$ и $v\in H^k(\mathbb R^n)$. Поскольку $\langle u(\,\cdot\,),v\rangle\in W^{1,1}(I)$, мы имеем
$$
\begin{equation*}
\langle u(t),v\rangle=\langle t\mathring{u},v\rangle+\biggl\langle\int_0^tu(s)\,ds,Av\biggr\rangle +\biggl\langle\int_0^t(t-s)U(s)u(s)+h(s)\,ds,v\biggr\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку оператор $A$ самосопряжен на $E$ и $a_k\neq 0$, то получаем включение $\displaystyle \int_0^tu(s)\,ds\in D(A)$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
u(t)=t\mathring{u}+A\int_0^tu(s)\,ds+\int_0^t(t-s)U(s)u(s)+h(s)\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $U(\,\cdot\,)u(\,\cdot\,)\in L^1(I,E)$ при $u\in C(I,E)$ и, таким образом, выполнено условие $(\mathrm{U}_1)$. Определим отображение $f\colon I\to E$ формулой $f(t):=U(t)u(t)\,{+}\,h(t)$ при $t\,{\in}\, I$. Тогда $f\,{\in}\, N_F(u)$. Следовательно, $u\,{\in}\, S_{F}(\mathring{u})$. Проводя рассуждения в обратную сторону, зафиксируем $u\in S_{F}(\mathring{u})$. Тогда существует отображение $f\in N_F(u)$ такое, что $f(t)=U(t)u(t)+h(t)$, где $h\in L^1(I,E)$ удовлетворяет условию $\|h(t)\|_2\leqslant r(t,u(t))$ п.в. на $I$. Для любого $v\in H^k(\mathbb R^n)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle u(t),v\rangle &=\langle t\mathring{u},v\rangle+\biggl\langle A\int_0^tu(s)\,ds,v\biggr\rangle+\biggl\langle\int_0^t(t-s)U(s)u(s)+h(s)\,ds,v\biggr\rangle \\ &=t\langle\mathring{u},v\rangle+\int_0^t\langle u(s),Av\rangle\,ds+\int_0^t\biggl\langle\int_0^sU(\tau)u(\tau)+h(\tau)\,d\tau,v\biggr\rangle\,ds \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
на $I$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}\,\langle u(t),v\rangle=\langle\mathring{u},v\rangle+\langle u(t),Av\rangle+\biggl\langle\int_0^tU(s)u(s)+h(s)\,ds,v\biggr\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
п.в. на $I$, т.е. $u\in{\mathscr S}(\mathring{u})$. В итоге имеем ${\mathscr S}(\mathring{u})=S_{F}(\mathring{u})$, откуда следует доказываемое утверждение.
Теорема 10 доказана. Замечание 8. В силу теоремы 4.4.1 из [25] определенный выше оператор $A$ порождает $C_0$-полугруппу изометрий. Мягкое решение задачи (36) при $\mathring{u}\in L^2(\mathbb R)=\overline{D(A)}$ совпадает с решением в смысле Да Прато–Синистрари, т.е. с такой функцией $u\in C(I,E)$, что Пусть $\Omega\subset\mathbb R^N$ – открытое ограниченное подмножество с регулярной границей $\Gamma$. Рассмотрим следующую неплотно определенную полулинейную систему управления с обратной связью:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \displaystyle \frac{\partial x}{\partial t}-\Delta x=U(t)x(t,\cdot)(z)\cdot u(t,z) &\text{п.в. на }I\times\Omega, \\ \displaystyle x|_{I\times\Gamma}=0, \quad x(0,z)=x_0(z) &\text{п.в. на } \Omega, \\ \displaystyle u(t,z)\in U(t,z,x(t,z)) &\text{п.в. на } I\times\Omega, \ \widehat{u}\in L^1(I,C(\overline{\Omega})), \end{cases}
\end{equation}
\tag{41}
$$
где $\widehat{u}(t):=u(t,\cdot)$. Многозначное отображение обратной связи $U\colon I\times\overline{\Omega}\times\mathbb R\multimap\mathbb R$ удовлетворяет условиям:
Интегрированным решением $x$ задачи (41) назовем такую функцию $x\in C(I,C(\overline{\Omega}))$, что
$$
\begin{equation*}
x(t)=tx_0+\Delta\int_0^tx(s)\,ds+\int_0^t(t-s)\,U(s)x(s)\cdot u(s)\,ds \quad\text{на }\ I,
\end{equation*}
\notag
$$
где отображение $u\,{\in}\, L^1(I,C(\overline{\Omega}))$ такое, что $u(t)(z)\,{\in}\, U(t,z,x(t)(z))$ п.в. на $I\,{\times}\,\Omega$. Теорема 11. Пусть $\{U(t)\}_{t\in I}\subset{\mathscr L}(C(\overline{\Omega}))$, отображение $U(\,\cdot\,)x$ измеримо для любой функции $x\in C(\overline{\Omega})$ и $\|U(\,\cdot\,)\|_{\mathscr L}\in L^\infty(I)$. При условиях $(\mathrm{U}_1)$–$(\mathrm{U}_4)$ множество ${\mathscr S}(x_0)$ интегрированных решений системы управления с обратной связью (41) удовлетворяет условию $R_\delta$ для любого $x_0\in C(\overline{\Omega})$. Доказательство. Положим $E:=C(\overline{\Omega})$, $C_0(\overline{\Omega}):=\{u\in E\colon u=0\text{ на }\Gamma\}$ и $Au:=\Delta u$, где
$$
\begin{equation*}
D(A):=\bigl\{u\in C_0(\overline{\Omega})\colon\Delta u\in E\text{ в смысле обобщенных функций}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу [5; предложение 14.6] $A$ порождает аналитическую сжимающую полугруппу
$$
\begin{equation*}
e^{At}=\frac{1}{2\pi i}\int_{+C}e^{\lambda t}R(\lambda,A)\,d\lambda
\end{equation*}
\notag
$$
на $E$, где $+C$ – подходящим образом ориентированный путь на комплексной плоскости. Заметим, что $\overline{D(A)}=C_0(\overline{\Omega})\subsetneq E$. Из теоремы 10.2 в [5] следует, что
$$
\begin{equation*}
R(\lambda,A)x=\int_0^{+\infty}e^{-\lambda t}e^{At}x\,dt
\end{equation*}
\notag
$$
для любых таких $x\in E$ и $\lambda\in\mathbb{C}$, что $\operatorname{Re}\lambda>0$. Формула $\displaystyle S(t):=\int_0^te^{A\tau}\,d\tau$ при $t\geqslant 0$ определяет сильно непрерывное экспоненциально ограниченное семейство операторов $\{S(t)\}_{t\geqslant 0}\subset{\mathscr L}(E)$ такое, что $S(0)=0$. В силу теоремы 10.1 из [5] полугруппа $\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$ невырождена. Ясно, что $(0,\infty)\subset\rho(A)$ и $\displaystyle R(\lambda,A)=\lambda\int_0^\infty e^{-\lambda t}S(t)\,dt$. Другими словами, оператор $A$ является генератором равностепенно непрерывной интегрированной полугруппы $\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$.
Поскольку отображение $U(t,{\cdot}\,,x(\,\cdot\,))$ полунепрерывно снизу, то отображение $U(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,,x(\,\cdot\,))$ является ${\mathscr L}(I)\,{\otimes}\,{\mathscr B}(\overline{\Omega})$-измеримым и пространство $(I,{\mathfrak L}(I),\ell)$ является $m$-проективным, отображение $U(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,,x(\,\cdot\,))$ допускает представление Каратеодори–Кастеня $(u_n^x)_{n=1}^\infty$, т.е. $U(t,z,x(z))=\overline{\{u_n^x(t,z)\}_{n=1}^\infty}$. Пусть мультиотображение $F\colon I\times E\multimap E$ таково, что $F(t,x):=U(t)x\,{\cdot}\operatorname{co}(\{u_n^x(t,\cdot)\}_{n=1}^\infty)$, где “$\,{\cdot}\,$” обозначает умножение в кольце $C(\overline{\Omega})$. Поскольку отображения $U(\,\cdot\,)$: $I\to E$ и $I\ni t\mapsto u_n^x(t,\cdot)\subset E$ измеримы, то многозначное отображение $t\mapsto \{U(t)x\cdot u_n^x(t,\cdot)\}_{n=1}^\infty$ также измеримо. Отсюда получаем, что измеримо также и отображение в выпуклые оболочки $t\mapsto\operatorname{co}\{\{U(t)x\cdot u_n^x(t,\cdot)\}_{n=1}^\infty$. В итоге отображение $F(\cdot,x)$ удовлетворяет условию $(\mathrm{F}_2)$. Из условия $(\mathrm{U}_4)$ следует, что семейство $\bigcup_{x\in E}\{u_n^x(t,\cdot)\}_{n=1}^\infty$ равностепенно непрерывно. С учетом условия $(\mathrm{U}_3)$ отсюда следует компактность отображения $\bigcup_{x\in M}\{u_n^x(t,\cdot)\}_{n=1}^\infty\colon E\multimap E$ для п.в. $t\in I$. Стандартным образом проверяется, что $\beta(K\,{\cdot}\, M)\leqslant \|K\|^+\beta(M)$, если подмножество $K\subset E$ относительно компактно, а $M\subset E$ ограничено. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \beta(F(t,M)) &\leqslant \beta\biggl(\operatorname{co}\biggl(U(t)M\cdot\biggl(\bigcup_{x\in M}\{u_n^x(t,\cdot)\}_{n=1}^\infty\biggr)\biggr)\biggr) \\ &\leqslant \biggl\|\bigcup_{x\in M}\{u_n^x(t,\cdot)\}_{n=1}^\infty\biggr\|^+\|U(t)\|_{\mathscr L}\beta(M) \leqslant \xi(t)(1+\|\Omega\|^+)\|U(t)\|_{\mathscr L}\beta(M) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
п.в. на $I$ в силу $(\mathrm{U}_3)$. Следовательно, выполнено условие $(\mathrm{F}_5)$ с $\eta:=\xi(1+\|\Omega\|^+)\|U(\,\cdot\,)\|_{\mathscr L}$.
Поскольку $U(t,{\cdot}\,,{\cdot}\,)$ хеминепрерывно сверху, то секвенциальная полунепрерывность сверху отображения $F(t,\cdot)\colon(E,w)\multimap(E,w)$ непосредственным образом следует из теоремы Риса–Маркова и теоремы сходимости Плиша. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\|F(t,x)\|^+ \,{\leqslant}\, \|U(t)\|_{\mathscr L}\|x\|\,\bigl\|\{u_n^x(t,\cdot)\}_{n=1}^\infty\bigr\|^+\,dt \,{\leqslant}\, (1+\|\Omega\|^+)\|U(t)\|_{\mathscr L}\xi(t)(1+\|x\|)
\end{equation*}
\notag
$$
в силу $(\mathrm{U}_3)$. Следовательно, выполнено условие (21).
Можно эквивалентным образом переформулировать задачу управления с обратной связью (41) в виде задачи (1) с определенными выше $A$ и $F$. Поскольку выполнены предположения следствия 4, мы приходим к доказываемому утверждению. Теорема 11 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pie21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|