| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Об оценках объема нулей голоморфной функции, зависящей от комплексного параметра А. М. Кытмановa, А. Садуллаевb a Сибирский федеральный университет, г. Красноярск b National University of Uzbekistan, Tashkent, Uzbekistan
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 11, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9328 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеЕсли функция $f(\sigma,z)$ голоморфна от переменных $\sigma \in \mathbb{C}^{m} $ и $z\in\mathbb{C}$ в окрестности нуля $(0,0)$, $f(0,0)\,{=}\,0$, но $f(0,z)\,{\not\equiv}\, 0$, то согласно подготовительной теореме Вейерштрасса в некоторой окрестности $U\times V\ni(0,0)$ функция $f(\sigma,z)$ представляется в виде
$$
\begin{equation}
f(\sigma,z)=[z^{k} +c_{1} (\sigma)z^{k-1} +\dots+c_{k} (\sigma)]\varphi (\sigma,z),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $k > 0$, $c_{j} (\sigma)\in O(U)$, $j=1,2,\dots,k$, $\varphi (\sigma,z)\in O(U\times V)$ и $\varphi (\sigma,z)\ne 0$. Поэтому число корней функции $f(\sigma,z)$ по переменной $z$ в $V$ равно $k$ для любой фиксированной $\sigma \in U$. В случае, когда $f(0,z)\equiv 0$, естественно ожидать представление
$$
\begin{equation}
f(\sigma,z)=[c_{0} (\sigma)z^{k} +c_{1} (\sigma)z^{k-1} +\dots+c_{k} (\sigma)]\varphi (\sigma,z),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $k\geqslant 0$, $c_{j} (\sigma)\in O(U)$, $j=0,1,\dots,k$, $\varphi (\sigma,z)\in O(U\times V)$ и $\varphi (\sigma,z)\ne 0$. Это позволило бы доказать, что число корней функции $f(\sigma,z)$ в $V$ по переменной $z$ не превосходит $k$ для любой фиксированной $\sigma^0 \in U$, $f(\sigma^0,z)\not\equiv 0$. При $m=1$ такое представление действительно имеет место, ибо мы можем заранее выразить функцию $f(\sigma,z)$, $f(0,z)\equiv 0$, в виде $f(\sigma,z)=\sigma ^{p} \widetilde{f}(\sigma,z)$, $p>0$, $\widetilde{f}(0,z)\not\equiv 0$, и записать
$$
\begin{equation}
f(\sigma,z)=\sigma ^{p} [z^{k} +c_{1} (\sigma)z^{k-1} +\dots+c_{k} (\sigma)]\varphi (\sigma,z),
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где $p>0$, $k\geqslant 0$, $c_{j} (\sigma)\in O(U)$, $j=1,2,\dots,k$, $\varphi (\sigma,z)\in O(U\times V)$ и $\varphi (\sigma,z)\ne 0$. Ситуация не простая, когда $m>1$, $f(0,z)\equiv 0$. Как показывает пример Осгуда, в этом случае обобщенная подготовительная теорема Вейерштрасса (1.2) не всегда имеет место. Более того, в окрестности точки $0\in\mathbb{C}^{m} $ число нулей функции $f(\sigma,z)$ априори может неограниченно возрастать при подходе к $\sigma =0$. Чтобы наглядно представить ситуацию, мы приведем, несколько видоизменив, пример Осгуда. Пример 1 (Осгуд [1]). Берем в единичном круге $|\xi |<1$ голоморфную функцию $q(\xi)=\xi +\sum_{k=2}^{\infty }\xi ^{k!} $. Она голоморфно не продолжается вне единичной окружности, т.е. каждая точка окружности $|\xi |=1$ является особой точкой для $q(z)$. Так как $q'(0)\ne 0$, то в некоторой окрестности нуля функция $w=q(\xi)$ имеет обратную $\xi =q^{-1} (w)$. Функция трех переменных $f(\sigma_{1},\sigma_{2},z)=\sigma_{1} q^{-1} (z)-\sigma_{2} $ голоморфна в некоторой окрестности $(0,0,0)\in\mathbb{C}^{3} $ и $f(0,0,z)\equiv 0$. Покажем, что она не представляется в виде (1.2). Предположим противное, что в некоторой окрестности нуля $f$ представляется в виде (1.2). Тогда ее нули образуют псевдоалгебраическое множество. С другой стороны, нулевым множеством функции $f$ является график $z=q({\sigma_{2}}/{\sigma_{1} })$, а функция $z=q({\sigma_{2} }/{\sigma_{1} })$ не может аналитически продолжаться вне конуса $|{\sigma_{2} }/{\sigma_{1} } |<1$. Противоречие.Настоящая работа посвящена оценке объема (числа) нулей при фиксированных точках $\sigma $ множества $\{z\colon f(\sigma,z)=0\}\subset\mathbb{C}^{n} $ голоморфной функции $f(\sigma,z)$, $\sigma \in \mathbb{C}^{m}$, $z\in \mathbb{C}^{n} $ (в окрестности, скажем, точки $(0,0)\in \mathbb{C}^{m+n}$). Такие оценки очень полезны в вопросах изучения осциллирующих интегралов
$$
\begin{equation*}
J(\lambda,\sigma)=\int_{\mathbb{R}^{n} }a(\sigma,x)e^{i\lambda \Phi (\sigma,x)}\,dx
\end{equation*}
\notag
$$
при $\lambda \to \infty $ (см. [2]–[4]). Здесь $a(\sigma,x)\in C_{0}^{\infty } (\mathbb{R}^{m} \times \mathbb{R}^{n})$ – так называемая амплитудная функция и $\Phi (\sigma,x)$ – функция фазы. А именно, часто в теории осциллирующих интегралов используются оценки интегралов типа
$$
\begin{equation}
\int_{V}\frac{dz}{|f(\sigma,z)|^{\varepsilon } }, \qquad \varepsilon >0,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где $f(\sigma,z)\in O(U\times V)$, $U\times V\subset \mathbb{C}^{m+n} $. В случае, когда $n=1$, т.е. когда $z\in\mathbb{C}$ и $f(0,z)\not\equiv 0$, представляя $f$ по теореме Вейерштрасса в виде (1.1), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{V}\frac{dz}{|f(\sigma, z)|^{\varepsilon } } =\int_{V}\frac{dz}{|[z^{k} +c_{1} (\sigma)z^{k-1} +\dots+c_{k} (\sigma)]\varphi (\sigma,z)|^{\varepsilon } } \\ &\ =C\int_{V}\frac{ dz}{|z^{k} +c_{1} (\sigma)z^{k-1} +\dots+c_{k} (\sigma)|^{\varepsilon } }=C \int_{V}\frac{dz}{|(z-\alpha_{1} (\sigma))\dotsb(z-\alpha_{k} (\sigma))|^{\varepsilon } } \\ &\ \leqslant C_{1} <\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
если $\varepsilon k\,{<}\,2\approx\varepsilon\,{<}\,{2}/{k} $, ибо $\displaystyle \int_{|z|\leqslant 1}{dw}/{|z|^{\beta } }\,{<}\,\infty $ для $\beta\,{<}\,2$. Здесь $\alpha_{1} (\sigma),\dots,\alpha_{k} (\sigma)$ – нули псевдополинома $z^{k} +c_{1} (\sigma)z^{k-1} +\dots+c_{k} (\sigma)$. Следовательно, в случае $f(0,z)\not\equiv 0$ интеграл (1.4) допускает требуемую оценку. Без условия $f(0,z)\not\equiv 0$ (т.е. если $f(0,z)\equiv 0$, то только при $n=1$) мы можем представить $f(\sigma,z)$ в виде (1.3). Следовательно, в (1.4) будет
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{ V}\frac{dz}{|f(\sigma,z)|^{\varepsilon } } &=\int_{ V}\frac{dz}{ |\sigma ^{p\varepsilon }|\, | [ z^{k} +c_{1} (\sigma)z^{k-1} +\dots+c_{k} (\sigma)]|^{\varepsilon }|\varphi (\sigma,z)|^{\varepsilon } } \\ &\leqslant C\int_{ V}\frac{dz}{ |\sigma ^{p\varepsilon }| \, | z^{k} +c_{1} (\sigma)z^{k-1} +\dots+c_{k} (\sigma)|^{\varepsilon } } < C_1 |\sigma ^{-p\varepsilon }| \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для $\varepsilon \leqslant {2}/{k}$. В общем случае мы имеем следующую нерешенную проблему. Проблема. Пусть $f(\sigma,z)$ – голоморфная функция в окрестности точки $(0,0)\in \mathbb{C}^{m+n}$, $\sigma \in \mathbb{C}^{m}$, $z\in \mathbb{C}^n $. Тогда существуют ли $\varepsilon >0$ и окрестность где $c(\sigma)=( c_1 (\sigma),c_2 (\sigma),\dots,c_N (\sigma)) \in O(U)$, $N\geqslant 1$, Следующая теорема является весьма полезной в этом направлении. Теорема 1. Пусть $f(\sigma,z)$, $\sigma =(\sigma_{1},\dots,\sigma_{m})$, $z\in \mathbb{C}$, – голоморфная функция от переменных $(\sigma,z)$ в окрестности замыкания поликруга $W=U(0,r)\times \{|z|< r\}\subset \mathbb{C}^{m+1}$, $r>0$. Обозначим через $N_{f,r} (\sigma)$ число корней с учетом кратностей функции $f(\sigma,z)$ переменного $z$ в круге $\{|z|<r\}$ при фиксированном $\sigma \in U$. Для удобства считаем, что $N_{f} (\sigma)=-1$, если $f(\sigma,z)\equiv 0$. Тогда $ N_{f,r} (\sigma)$ равномерно ограничена относительно $\sigma \in U$, т.е. Теорема не тривиальная, если учесть следующий пример. Пример 2. Берем $f(\sigma,z)=\sigma -e^{{z}/{\sigma } }$, $\sigma \in \mathbb{C}$, $z\in \mathbb{C}$. Функция голоморфна в $\mathbb{C}^{2} \setminus \{\sigma =0\}$ ($\sigma =0$ – особая прямая). При $\sigma \ne 0$ нули функции $f(\sigma,z)$ по $z$ равны $z=\sigma \ln \sigma =\sigma (\ln |\sigma |+i\arg \sigma +2k\pi i)$, $ k=0,\pm 1,\dots$ . Их числа не ограничены в единичном круге $\{|z|<r\}$, т.е. $N_{f,r} (\sigma)$ не ограничено сверху в $\mathbb{C}\setminus \{0\}$. Справедлив также многомерный аналог теоремы 1. В связи с тем, что его доказательство существенно отличается от доказательства теоремы 1, хотя использует некоторые ее моменты, мы приведем его отдельно. Теорема 2. Пусть функция $f(\sigma,z)$ голоморфна от переменных $z\in \mathbb{C}^{n} $ и голоморфно зависит от параметра $\sigma \in \mathbb{C}^{m} $ в окрестности замыкания некоторого поликруга $W=U\times V\subset \mathbb{C}^{m+n}$. Тогда существует число $M<\infty $ такое, что где $Z_{f(\sigma^{0},z)} =\{z\in V\colon f(\sigma^{0} ,z)=0\}$ – аналитическое множество коразмерности 1, нули функции $f(\sigma^{0} ,z)$ переменного $z$ при фиксированном $\sigma^{0} \in U$. § 2. Доказательство теоремы 1В доказательствах теорем 1 и 2 неоднократно используется следующая Лемма (см. [5]). Если функция $f(\sigma,z)$ принадлежит $O(U \times V)$, где $U \subset \mathbb{C}^{m}$, $V \subset \mathbb{C}^{n}$ – поликруги, то ее можно представить в виде где $\varphi (\sigma)\in O(U)$, $h(\sigma,z)\in O(U \times V)$, $\dim \mathfrak{J}_{h} \leqslant m-2$. Здесь $\mathfrak{J}_{h}=\{\sigma ^{0} \in U$: $h(\sigma ^{0},z)\equiv 0\}$. Лемма фактически означает, что нули $Z_{f} $ функции $f(\sigma,z)$ можно разделить на две части – вертикальную составляющую $\{(\sigma,z)\colon \varphi (\sigma)=0\}$ коразмерности $1$ и $Z_{h}$, причем вертикальная составляющая $Z_{h} $ имеет коразмерность больше $1$, $\operatorname{codim}\mathfrak{J}_{h}\geqslant 2$. Отметим, что в этой лемме поликруг $U $ можно заменить любой областью $D\subset \mathbb{C}^{m}$, в которой разрешима любая вторая проблема Кузена. Доказательство леммы. Разложим функцию $f(\sigma,z)$ в кратный ряд Хартогса:
$$
\begin{equation*}
f(\sigma,z)=\sum_{|k|=0}^{\infty }c_{k} (\sigma)z^{k},
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_{k} (\sigma)\,{\in}\, O(U)$, $k\,{=}\,(k_{1},k_{2},\dots,k_{n})$, $|k|\,{=}\,k_{1} +k_{2} +\dots+k_{n}$. Ясно, что $\mathfrak{J}_{f} =\{\sigma \in U \colon c_{k} (\sigma)=0$, $|k|=0,1,\dots\}$. Это множество является аналитическим (см., например, [6]), и, следовательно, множество $\mathfrak{J}_{f,m-1} $ точек $\sigma ^{0} \in U$, в которых локальная размерность $\mathfrak{J}_{f} $ равна $m-1$, тоже является аналитическим множеством, причем чистой размерности $m-1$.
Так как в поликруге разрешима любая вторая проблема Кузена, то достаточно доказать лемму для поликруга $U'\subset \subset U $, компактно лежащего в $U$. Пусть $\varphi_{1} (\sigma)$ – определяющая функция множества $\mathfrak{J}'_{f,m-1}=U' \cap \mathfrak{J}_{f,\, m-1}$; это означает, что $\mathfrak{J}'_{f,\, m-1} =\{z\in U'\colon \varphi_{1} (\sigma)=0\}$ и для любой функции $\psi (\sigma)\in O(U')$, $\psi (\sigma)=0$ $\forall\, \sigma \in \mathfrak{J}'_{f,m-1} $, отношение ${\psi (\sigma)}/{\varphi_{1} (\sigma)}$ принадлежит $O(U')$ (см. [7]). Отсюда вытекает, что отношение ${f(\sigma,z)}/{\varphi_{1} (\sigma)} $ является голоморфной функцией в $U'\times V$, ${f(\sigma,z)}/{\varphi_{1} (\sigma)} \in O(U'\times V)$. Следовательно, $f(\sigma,z)=\varphi_{1} (\sigma)f_{1} (\sigma,z)$, где $f_{1} (\sigma,z)\,{\in}\, O(U'\times V_{z})$. Если теперь $\operatorname{codim}\mathfrak{J}_{f_{1} } =1$, то мы применим ту же процедуру к $f_{1} (\sigma,z)\colon f_{1} (\sigma,z)=\varphi_{2} (\sigma)f_{2} (\sigma,z)$ и т.д. После конечного числа шагов (ибо $U'\subset \subset U $) мы приходим к равенству $f(\sigma,z)=\varphi_{1} (\sigma)\dotsb\varphi_{s} (\sigma)$, $f_{s} (\sigma,z)=\varphi (\sigma)h(\sigma,z)$, где $h(\sigma,z)\in O(U'\times V)$, $\operatorname{codim}\mathfrak{J}_{h} \geqslant 2$. Лемма доказана. Доказательство теоремы 1. Нам нужно доказать, что если функция $f(\sigma,z)$ голоморфна в окрестности замыкания поликруга $W=U\times V$, $U=\{|\sigma_1 |<r \}\times \dots \times \{|\sigma_m |<r \}$, $V= \{|z|<r\}$, $r>0$, то существует число $M$, не зависящее от $\sigma \in U$ и такое, что $N_{f} (\sigma, r)\leqslant M$ $\forall\, \sigma \in U$.
В самом деле, если $\mathfrak{J}_{f} =\{\sigma ^{0} \in \overline{U}\colon f(\sigma ^{0},z)\equiv 0\}=\varnothing$, то для каждой фиксированной точки $\sigma^{0}\,{\in}\,\overline{U}$ мы можем найти число $0\,{<}\,\delta\,{<}\,r\colon f(\sigma^{0},z)\ne 0$ на окружности $|z|=\delta$ (отметим, что $f(\sigma,z)$ голоморфна в окрестности замыкания поликруга $W=U\times V$). Тогда из непрерывности функции $f$ следует, что существует поликруг $U(\sigma ^{0})\colon f(\sigma,z)\ne 0$ $\forall\, \sigma \in U(\sigma ^{0})$, $|z|=\delta$ и согласно принципу аргумента (см., например, [8]) число нулей есть
$$
\begin{equation*}
N_{f} (\sigma,\delta)=\frac{1}{2\pi i} \int_{|w|=\delta}\frac{f'_{w} (\sigma,z)}{f(\sigma,z)}\,dz\leqslant M_{\sigma ^{0} } \quad \forall\, \sigma \in U(\sigma ^{0}).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь доказательство вытекает из существования конечного подпокрытия $\bigcup_{j=1}^{N}U(\sigma ^{j}) \supset \overline{U}$.
Если $\mathfrak{J}_{f} =\{\sigma ^{0} \in \overline{U}\colon f(\sigma ^{0},z)\equiv 0\}\ne \varnothing $, то представляем $f(\sigma,z)$ по приведенной лемме в виде
$$
\begin{equation*}
f(\sigma,z)=\varphi (\sigma)h(\sigma,z), \qquad \operatorname{codim}\mathfrak{J}_{h} \geqslant 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому достаточно доказать теорему 1 для случая, когда $ \operatorname{codim}\mathfrak{J}_{f} \geqslant 2$. Рассмотрим аналитическое множество $Z_{f}=\{f(\sigma,z)=0\}$. Так как $f$ голоморфна в окрестности поликруга $W$, то $Z_{f} \cap W$ имеет конечное число неприводимых компонент. Пусть $Z_{f}^{0}$ – одна из них. Тогда $f(\sigma,z)=0$ $\forall\, (\sigma,z)\in Z_{f}^{0} $, и кратность нуля функции $f(\sigma,z)$ переменного $z$ при фиксированном $\sigma $ постоянна на множестве обыкновенных по направлению $0z$ точек, т.е. постоянна и равна, скажем, $k$ на $Z_{f}^{0} \setminus S$, где $S$ – множество критических по направлению $0z$ точек $Z_{f}^{0} $. Так как $\dim\{\mathfrak{J}_{f} \times\mathbb{C}_{z} \}\cup S\leqslant m-1$, то $\{\mathfrak{J}_{f} \times\mathbb{C}_{z} \}\cup S$ не разбивает $Z_{f}^{0}$, $\dim Z_{f}^{0} =m$. Отсюда вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\exists\, M\colon N_{f} (\sigma,r)\leqslant M \quad\forall\, \sigma \in U\setminus \pi(\widehat{S}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widehat{S}$ – объединение критических множеств всех компонент, а $\pi(\widehat{S})$ – его проекция на $\mathbb{C}^{m} $. Так как $\widehat{S}$ не разбивает $Z_{f}$, то $N_{f} (\sigma,r)\leqslant M$ $\forall\, \sigma \in U$. (Напомним, что $N_{f} (\sigma^0,r)=-1$, если $f(\sigma^0,z)\equiv 0$.) Теорема 1 доказана. § 3. Доказательство теоремы 2Доказательство проводится в нескольких шагов индукцией по $n$. При $n=1$ оно верно согласно теореме 1. Предположим, что теорема 2 доказана для $n-1$, и докажем ее для $n$, т.е. для случая, когда $z\in \mathbb{C}^{n} $. Как и выше, достаточно доказать теорему для случая, когда $\operatorname{codim} \mathfrak{J}_{f} \geqslant 2$, где $\mathfrak{J}_{f} =\{\sigma ^{0} \in U\colon f(\sigma ^{0},z)\,{\equiv}\, 0\}$. Кроме того, без нарушения общности считаем, что $U= \{|\sigma_1 | <1,\dots,|\sigma_m |<1 \}$, $V= \{|z_1 |<1,\dots,|z_n |<1 \}$, $f(\sigma, z)$ голоморфна в окрестности замыкания поликруга $W=U\times V$ и аналитическое множество $Z_{f} =\{f(\sigma,z)=0\}$, $\dim Z_{f} =m+n-1$, является неприводимым. 1) Идея доказательства такова: фиксируем $\sigma^{0} \notin \mathfrak{J}_{f}$ и рассмотрим пересечение $Z_f \cap \{\sigma=\sigma_{0}\}$, $\dim Z_f \cap \{\sigma=\sigma_{0}\}=n-1$. Для каждой координатной прямой $z_j$, $1\leqslant j \leqslant n$, оценим объем проекции $Z_f \cap \{\sigma=\sigma_{0}\}$ на координатную плоскость $z^{j}=(z_1,\dots,z_{j-1}, z_{j+1},\dots,z_n)$ c учетом кратностей и затем, используя теорему Виртенгера, дадим равномерную оценку объема $\operatorname{Vol}_{2n-2} ( Z_f\,{\cap}\, \{\sigma\,{=}\,\sigma_{0}\})$. 2) Выделим $n$-ю координату $z_{n}$ и введем обозначения $z=(z_{1},\dots,z_{n-1},z_{n})=({}'z,z_{n})$ и $V\,{=}\,{}'V\times V_{n}$. Пусть $Z^{n}_{f} \subset Z_{f} $ – совокупность обыкновенных по направлению $0z_{n} $ точек, т.е. точек $(\sigma ^{0},{}'z^{0},z_{n}^{0})\in Z_{f} $ таких, что существует прямое произведение шаров $B=B_{\sigma } \times B_{{}'z} \times B_{z_{n} }\ni(\sigma ^{0},{}'z^{0},z_{n}^{0})$, для которого проекция $\pi_{n} (\sigma,{}'z,z_{n})=(\sigma,{}'z)\colon Z_{f} \cap B\to B_{\sigma } \times B_{{}'z} $ является гомеоморфизмом. Пусть $k$ – кратность нуля функции $f(\sigma ^{0},{}'z^{0},z_{n})$ по переменной $z_{n} $ в круге $B_{z_{n} } $ при фиксированном $(\sigma ^{0},{}'z^{0})$. В силу гомеоморфизма $\pi_{n}\colon Z_{f} \cap B\to B_{\sigma } \times B_{{}'z} $ при любом фиксированном $(\sigma,{}'z)\in B_{\sigma } \times B_{{}'z} $ функция $f(\sigma,{}'z,z_{n})$ равна нулю с кратностью $k$. Отметим, что $Z_{f} \setminus Z^{n}_{f} $ не разбивает аналитическое множество $Z_{f}$. На множестве $Z^{n}_{f} $ функция $f(\sigma,{}'z,z_{n})$ равна нулю, причем при фиксированных $(\sigma,{}'z)$ кратность нуля по переменной $z_{n} $ постоянна и равна $k$. Так как, кроме того, функция $f$ голоморфна в некоторой окрестности замыкания $\overline{W}=\overline{U}\times \overline{V}$, то существует константа $C$ такая, что количество нулей $N_{f}^{n} (\sigma,{}'z)$ функции $f(\sigma,{}'z,z_{n})$ при фиксированных $(\sigma,{}'z)\in U\times {}'V \setminus \mathfrak{J}^{n}_{f} $ по переменной $z_{n} \in V_{n}$ с учетом их кратностей не превосходит $C k$. Здесь $\mathfrak{J}^{n}_{f} =\{(\sigma ^{0}, {}'z^0) \in U \times {}'V$: $f(\sigma ^{0}, {}'z^0, z_n)\equiv 0\}$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
0\leqslant N_{f}^{n} (\sigma,{}'z)\leqslant C_{n} \quad \forall\, (\sigma,{}'z)\in U\times{{}'V} \setminus \mathfrak{J}^{n}_{f},
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $C_{n}$ – константа, не зависящая от $(\sigma,{}'z)\notin \mathfrak{J}^{n}_{f}. $ 3) Процедуру из п. 2) мы можем проделать для каждого $n,n-1,\dots,1$. Получим
$$
\begin{equation}
0\leqslant N_{f}^{j} (\sigma,z^{j})\leqslant C_{j} \quad \forall\, (\sigma,z^{j})\in U\times{V^j} \setminus \mathfrak{J}^{j}_{f}, \quad j=1,2,\dots,n,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $z^j = ( z_1,\dots,z_{j-1},z_{j+1},\dots,z_n)$, $\mathfrak{J}^{j}_{f}=\{(\sigma ^{0}, z^{j,0}) \in U \times{}{}'V \colon f(\sigma ^{0}, z^{j,0}, z_j)\equiv 0\}$, $C_j$ – константа, не зависящая от $(\sigma, z^{j})\notin \mathfrak{J}^{j}_{f}$, $N_{f}^{j} (\sigma,\,z^{j})$ – количество нулей функции $f(\sigma, z^{j}, z_j)$ при фиксированных $(\sigma,z^{j}) \in U\times V^{j}\setminus \mathfrak{J}^{j}_{f}$ по переменной $z_j$ в круге $V_j= \{ |z_j |<1 \}$ с учетом кратностей и
$$
\begin{equation*}
V^j= \{ |z_1 |<1,\dots,|z_{j-1} |<1, |z_{j+1} |<1,\dots,|z_n |<1 \} \subset \mathbb{C}^{n-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $\pi_j (\sigma, z)\,{=}\,(\sigma, z^j)$ и положим $Z^{-}_f =Z_f \setminus \bigl(\bigcup_{j=1}^{n} {\pi ^{-1}_j}(\mathfrak{J}^{j}_{f})\bigr)$. При фиксированном $\sigma ^{0} \in U$ пересечение $Z^{-1}_f (\sigma^0) = Z^{-1}_f \cap \{\sigma=\sigma^0 \}\subset \mathbb{C}^n$ обладает свойством, что согласно (3.2) его проекция на каждый $V^j$ не более, чем $C_j$ – кратное. Отсюда по теореме Виртингера (см., например, [7], [9]) получаем
$$
\begin{equation}
\operatorname{Vol}_{2n-2}{Z^{-}_f} (\sigma ^0)\,{\leqslant}\, C_1\operatorname{Vol}_{2n-2}(V^1)+C_2\operatorname{Vol}_{2n-2}(V^2)+\dots +C_n\operatorname{Vol}_{2n-2}(V^n) = C.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
4) Остается оценить объем вертикальных составляющих
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Vol}_{2n-2} [ \pi ^{-1}(\mathfrak{J}^{j}_{f}) \cap \{\sigma = \sigma^0 \}], \qquad j=1,2,\dots,n, \quad \sigma^0 \notin \mathfrak{J}_{f},
\end{equation*}
\notag
$$
скажем, без нарушения общности для $j=n$ (см. п. 2)). Фиксируем $z^0_n \in V_n$ и рассмотрим функцию $f(\sigma,{}'z, z^0_n) \in O (\overline{U} \times {{}'\overline{V}})$. По индуктивному предположению существует число $M_n(z^0_n)<\infty $ такое, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{Vol}_{2n-4}(Z_{f(\sigma^0,{}'z, z^0_n)}\cap {{}'V}) \leqslant M_n(z^0_n) \quad\forall\,\sigma^0 \in U \setminus \mathfrak{J}(z^0_n),
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где $\mathfrak{J}(z^0_n) =\{\sigma ^{0} \in U\colon f(\sigma ^{0},{}'z,z_{n}^0)\equiv 0\}$, а константа $M_n(z^0_n)$ не зависит от $\sigma ^{0}$. Сравним условия $f(\sigma ^{0},{}'z, z_{n}^{0})\equiv 0$ (по ${}'z$) и $f(\sigma ^{0},z)\equiv 0 $ (по $z$). Ясно, что если $f(\sigma^{0}, z)\equiv 0$, то
$$
\begin{equation*}
f(\sigma^{0},{}'z,z_{n}^{0})\equiv 0 \quad\forall\, z^0_n \in V_n,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $\mathfrak{J}_f \subset \mathfrak{J}(z^0_n)$. Однако нетрудно видеть, что $\bigcap_{z_n \in V_n}\mathfrak{J}(z_n) = \mathfrak{J}_{f} $, и по свойствам аналитических множеств существует конечное число точек $ \{ z^1_n, z^2_n,\dots, z^J_n \}$, $\bigcap_{j=1}^{J}\mathfrak{J}(z_n^j) = \mathfrak{J}_{f}$. Следовательно, если $\sigma^0 \notin \mathfrak{J}_{f}, $ то
$$
\begin{equation*}
\exists\, j\colon\sigma^0 \notin \mathfrak{J}(z_n^j).
\end{equation*}
\notag
$$
Если мы теперь обозначим $M_{n} =\max \{M_{n} (z_{n}^{1}),M_{n} (z_{n}^{2}),\dots,M_{n} (z_{n}^{J})\}$, то согласно (3.4) для любого $\sigma^0 \in U \setminus \mathfrak{J}_f $ существует номер $j$ такой, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{Vol}_{2n-4}(Z_{f(\sigma^0,{}'z, z^j_n)}\cap {{}'V}) \leqslant M_n.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Если $f (\sigma^0,{}'z^0, z_n) \equiv 0$, т.е. $(\sigma^0,{}'z^0) \in \mathfrak{J}_{f}^n$, то $f (\sigma^0,{}'z^0, z_n^j) \equiv 0$, т.е. $(\sigma^0,{}'z^0) \in Z_{f (\sigma^0,{}'z^0, z_n^j)}$. Следовательно, $\mathfrak{J}_{f}^n \cap \{\sigma=\sigma^0\}\subset Z_{f (\sigma^0,{}'z^0, z_n^j)} \cap {}'V$ и согласно (3.5)
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Vol}_{2n-2}[ \pi^{-1}(\mathfrak{J}_{f}^n)\cap \{\sigma=\sigma^0\} ] \leqslant C\cdot M_n, \qquad \sigma^0 \notin \mathfrak{J}_{f}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KytSad21} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|