| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Фильтрация ветвления и деформации В. А. Абрашкинab a Department of Mathematical Sciences, Durham University, Durham, UK b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9322 
Реферативные базы данных:
      ВведениеПусть $\mathscr K$ – полное дискретно нормированное поле характеристики $p$ с конечным полем вычетов $k\simeq\mathbb{F}_{p^{N_0}}$, $N_0\in\mathbb{N} $. Пусть $\mathscr K_{<p}$ – максимальное $p$-расширение поля $\mathscr K$ с группой Галуа $\mathscr G_{<p}:=\operatorname{Gal} (\mathscr K_{<p}/\mathscr K)$ класса нильпотентности $<p$ и периода $p$. Преимущество группы $\mathscr G_{<p}$ (по сравнению со всей группой Галуа $\mathscr G$ поля $\mathscr K$) объясняется следующим фактом: всякая $p$-группа $G$ класса нильпотентности $s_0<p$ и периода $p$ представляется в виде $G(L)$, где $L$ – $\mathbb{F}_p$-алгебра Ли класса нильпотентности $s_0$ и множество $G(L):=L$ снабжено структурой группы с помощью операции Кемпбелла–Хаусдорфа, см. п. 1.2. Рассмотрим убывающую фильтрацию подгрупп ветвления в верхней нумерации $\{\mathscr G^{(v)}_{<p}\}_{v\geqslant 1}$ группы $\mathscr G_{<p}$. Эта фильтрация существенно отражает арифметические свойства поля $\mathscr K$, см. [7]. Первые результаты о структуре этих подгрупп ветвления были получены автором в [1] и содержали: a) построение отождествления $\mathscr G_{<p}= G(\mathscr L)$, где $\mathscr L$ – явно заданная $\mathbb{F}_p$-алгебра Ли (нильпотентная теория Артина–Шрайера); b) конструкцию идеалов $\mathscr L^{(v)}$ таких, что $\mathscr G_{<p}^{(v)}=G(\mathscr L^{(v)})$. Именно, были построены явные элементы $\mathscr F_{\alpha , -N}\in\mathscr L\otimes k$, где $\alpha\geqslant 1$ и $N\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$, позволяющие описывать идеалы $\mathscr L^{(v)}$: для заданного $v_0\geqslant 1$ существует $N(v_0)$ такое, что $\mathscr L^{(v_0)}$ – минимальный идеал в $\mathscr L$, удовлетворяющий условию: если $\alpha\geqslant v_0$ и $N\geqslant N(v_0)$, то $\mathscr F_{\alpha ,-N}\in \mathscr L^{(v_0)}\otimes k$. По поводу обобщения этих результатов см. [2], [3], их применения к аналогу гипотезы Гротендика см. [4], [5], а также к аналогу $\Gamma_{<p}=G(L)$ группы $\mathscr G_{<p}$ в случае локальных полей $K$ смешанной характеристики, содержащих $p$-е корни из единицы см. [8], [9], где, в частности, было получено описание соответствующих идеалов ветвления $L^{(v)}$ и интерпретация в их терминах соотношения Демушкина для $\Gamma_{<p}$. Основой используемого метода является новая техника (процедура линеаризации), позволяющая изучать свойства локальных полей в терминах алгебр Ли. Формулировки окончательных результатов в этих терминах выглядят довольно естественно и было бы трудно ожидать, что этого можно добиться, оставаясь в рамках теории групп. В некотором смысле этот факт может быть истолкован как свидетельство наличия скрытой “аналитической структуры” на группе Галуа, которая проявляется на уровне алгебры Ли в нашем случае. Как бы то ни было, изучение случая смешанной характеристики в значительной степени основано на информации, полученной для полей характеристики $p$ в работах [1]–[3]. Заметим, что в работе [1] доказательства не были получены полностью в терминах алгебр Ли. Проверка критерия, описывающего идеалы ветвления $\mathscr L^{(v)}$, не была “линеаризирована” и потребовала нетривиальных вычислений в обертывающей алгебре алгебры $\mathscr L$. Позже в работах [2] и [3] эти вычисления были обобщены на случай групп периода $p^M$, $M>1$ (но все еще класса нильпотентности $<p$). В то же время, стало понятно, что перенос этой деятельности на более сложные ситуации, например на случай многомерных локальных полей, потребует развития новых подходов и методов, см., например, [10]. В настоящей работе мы применяем процедуру линеаризации для получения результатов из [1] исключительно в рамках теории алгебр Ли. Для заданного $v_0>0$ мы характеризуем идеал ветвления $\mathscr L^{(v_0)}$ с помощью деформаций некоторой $\mathbb{F}_p$-алгебры Ли $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }$ с подходящим образом выбранным модулем коэффициентов. Эта алгебра снабжается действием формальной группы порядка $p$, определенным с помощью некоторого дифференцирования высшего порядка. Возникновение таких дифференцирований является новым явлением. Заметим, что в работах [8], [9] также появляется действие формальной группы порядка $p$, но оно связано с обычными дифференцированиями. Опишем вкратце основные этапы нашего подхода. Вначале с помощью нильпотентной теории Артина–Шрайера мы фиксируем (достаточно общий) эпиморфизм $\eta_e\colon \mathscr G\to G(\mathscr L)$, который индуцирует отождествление $\mathscr G_{<p}\simeq G(\mathscr L)$. Здесь $\mathscr L$ – проконечная $\mathbb{F}_p$-алгебра Ли такая, что ее расширение скаляров $\mathscr L_k:=\mathscr L\otimes k$ снабжено фиксированной системой проконечных образующих. Отображение $\eta_{e}$ зависит от элемента $e\in\mathscr L_{\mathscr K}:=\mathscr L\otimes\mathscr K$, выбор которого позже будет уточнен. Выберем $v_0\in\mathbb R$, $v_0\geqslant 1$. Нашей целью является описание идеала $\mathscr L^{(v_0)}\subset\mathscr L$ такого, что $\eta_e(\mathscr G^{(v_0)})=G(\mathscr L^{(v_0)})$. Для этого мы: a) определяем убывающую центральную фильтрацию алгебры $\mathscr L$ с помощью идеалов $\mathscr L=\mathscr L(1)\supset \dots \supset \mathscr L(s)\supset \dotsb$ и вводим алгебру $\overline{\mathscr L}=\mathscr L/\mathscr L(p)$ с индуцированной фильтрацией $\{\overline{\mathscr L}(s)\}_{s\geqslant 1}$ (отметим, что $\overline{\mathscr L}(p)=0$); b) фиксируем эпиморфизм $\mathbb{F}_p$-алгебр Ли $\mathscr V\colon \overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }\to \overline{\mathscr L}$, где алгебра $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }$ имеет нильпотентный класс $<p$ и снабжена центральной фильтрацией $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }(s)$ такой, что ${\mathscr V}(\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }(s))= \overline{\mathscr L}(s)$ и $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }(p)=0$; c) определяем эпиморфизм групп $\eta_{\overline e^{\unicode{8224} }}\colon \mathscr G\to G(\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} })$ такой, что
$$
\begin{equation*}
{\mathscr V}\eta_{\overline e^{\unicode{8224} }}= \eta_{e}\ \operatorname{mod}G(\mathscr L(p));
\end{equation*}
\notag
$$
d) задаем действие $\Omega_{\gamma }\colon \overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }\to\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }$ элементов группы $\gamma\in\mathbb{Z} /p$; e) определяем идеал $\overline {\mathscr L}[v_0]$ в $\overline{\mathscr L}$ как минимальный идеал такой, что для всех $\gamma\in\mathbb{Z} /p$, $\mathscr V^{-1}\overline{\mathscr L}[v_0]\supset \Omega_{\gamma }(\operatorname{Ker} {\mathscr V})$ (это условие не так легко использовать, так как действие $\mathbb{Z} /p$ определяется в терминах операции Кемпбелла–Хаусдорфа); f) доказываем, что действие $\Omega_{\gamma }$ задается в виде кодействия $\Omega_U\colon \overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }\to \overline {\mathscr L}^{\unicode{8224} }\otimes \mathbb{F}_p[U]$ формальной групповой схемы $\alpha_p=\mathbb{F}_p[U]$ с уравнением $U^p=0$ и косложением $\Delta U=U\otimes 1+1\otimes U$; g) если $d\Omega_U=B^{\unicode{8224} }U$ – дифференциал отображения $\Omega_U$ (здесь $B^{\unicode{8224} }\in \operatorname{Diff}\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }$), то $\overline{\mathscr L}[v_0]$ определяется как минимальный идеал в $\overline{\mathscr L}$, содержащий ${\mathscr V}B^{\unicode{8224} }(\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} })$; h) проверяем, что $\mathscr L^{(v_0)}=\overline{\operatorname{pr}}^{-1}\overline{\mathscr L}[v_0]$, где $\overline{\operatorname{pr}}$ является естественной проекцией из $\mathscr L$ в $\overline{\mathscr L}$. Полученное описание идеала $\mathscr L^{(v_0)}$ используется в § 4 для значительного упрощения процесса построения его явных образующих. Эти образующие возникали в [1] в качестве “линейных” компонент некоторых элементов из $\mathscr L^{(v_0)}$. Наш метод позволяет обойтись без проверки того, что эти компоненты порождают идеал $\mathscr L^{(v_0)}$. В заключительном § 5 мы связываем описание $\mathscr L^{(v_0)}$ с его описанием из работы [1], обсуждаем вопрос эффективного определения образующих этого идеала, а также показываем, как знание всех скачков ветвления в $\mathscr G_{<p}$ позволяет эффективно восстановить саму фильтрацию. Методы нашей работы могут быть обобщены как на случай групп Галуа периода $p^M$, так и на случай многомерных локальных полей характеристики $p$. В частности, в свое время “$p^M$-версия” [3] работы [1] потребовала значительных усилий для рассмотрения “нелинейных” компонент. Наш метод позволяет существенно упростить получение этого результата (готовится к печати). Мы также получаем более естественное обоснование работ [8], [9] и их “$p^M$-версий” (готовится к печати), включая случай многомерных локальных полей. Обозначение. Пусть $s\in\mathbb{N} $. Для произвольной топологической группы $G$ обозначим через $C_s(G)$ замыкание ее подгруппы, порожденной коммутаторами порядка $\geqslant s$. Если $L$ – топологическая алгебра Ли, то $C_s(L)$ будет обозначать замыкание идеала, порожденного всеми коммутаторами порядка $\geqslant s$. Для любых топологических $A$-модулей $M$ и $B$ мы полагаем $M_B:=M\widehat\otimes_AB$. § 1. Вспомогательные сведенияПусть $\mathscr K$ – поле характеристики $p$, $\mathscr K_{\mathrm{sep}}$ – его сепарабельное замыкание и $\mathscr G=\operatorname{Gal} (\mathscr K_{\mathrm{sep}}/\mathscr K)$. Условимся, что $\mathscr G$ действует на $\mathscr K_{\mathrm{sep}}$ следующим образом: если $g_1,g_2\in\mathscr G$ и $a\in\mathscr K_{\mathrm{sep}}$, то $g_1(g_2a)=(g_1g_2)a$. Обозначим через $\sigma $ морфизм взятия $p$-й степени в $\mathscr K_{\mathrm{sep}}$. В [1], [2] был построен нильпотентный аналог классической теории Артина–Шрайера циклических расширений полей характеристики $p$. Нам понадобится ковариантный аналог этой теории (см. обсуждение в [7]) для явного описания группы $\mathscr G_{<p}=\mathscr G/\mathscr G^pC_p(\mathscr G)$. 1.1. Алгебра Ли $\mathscr L$Допустим $\mathscr K=k((t))$, где $t$ – фиксированный униформизирующий элемент поля $\mathscr K$ и $k\simeq\mathbb{F}_{p^{N_0}}$, $N_0\in\mathbb{N} $. Выберем $\alpha_0\in k$ такой, что $\operatorname{Tr}_{k/\mathbb{F}_p}(\alpha_0)=1$. Пусть $\mathbb{Z}^+(p)=\{a\in\mathbb{N}\mid \operatorname{gcd}(a,p)=1\}$ и $\mathbb{Z}^0(p)=\mathbb{Z}^+(p)\cup\{0\}$. Пусть $\widetilde{\mathscr L}$ – проконечная свободная $\mathbb{F}_p$-алгебра Ли с (топологическим) модулем образующих $\mathscr K^*/\mathscr K^{*p}$ и $\mathscr L=\widetilde{\mathscr L}/C_p(\widetilde{\mathscr L})$. Определим множество
$$
\begin{equation*}
\{D_{0}\}\cup\{D_{an}\mid a\in\mathbb{Z}^+(p),\, n\in\mathbb{Z}/N_0\}
\end{equation*}
\notag
$$
топологических образующих $\mathscr L_k$ с помощью следующих отождествлений:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(\mathscr K^*/\mathscr K^{*p})\widehat\otimes_{\mathbb{F}_p}k= \operatorname{Hom}_{\mathbb{F}_p}(\mathscr K/(\sigma -\mathrm{id} )\mathscr K,k) \\ &\qquad =\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}_p}\biggl( \bigoplus_{a\in\mathbb{Z}^+(p)}kt^{-a}\oplus\mathbb{F}_p\alpha_0,k\biggr) =\prod_{a\in\mathbb{Z}^+(p)}\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}_p}(kt^{-a},k)\times kD_0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}_p}(kt^{-a},k)\,{=}\prod_{n\in\mathbb{Z} /N_0}kD_{an}$, где для любых $\alpha\,{\in}\,k$ и $a,b\,{\in}\,\mathbb{Z}^+(p)$, $D_{an}(\alpha t^{-b})\,{=} \delta_{ab}\sigma^n(\alpha )$. Заметим, что первое отождествление использует спаривание Витта, см. [11], [6], и $D_{0}$ возникает из $t\otimes 1\in(\mathscr K^*/\mathscr K^{*p})\widehat\otimes_{\mathbb{F}_p}k$. Для $n\in\mathbb{Z} /N_0$ положим $D_{0n}=t\otimes (\sigma^n\alpha_0)=(\sigma^n\alpha_0)D_0$. 1.2. Группы и алгебры Ли класса нильпотентности $<p$Основным ингредиентом нильпотентной теории Артина–Шрайера является эквивалентность категории $p$-групп некоторого класса нильпотентности $s_0<p$ и категории $\mathbb{Z}_p$-алгебр Ли того же класса нильпотентности $s_0$, см. [13], [12]. В случае объектов, аннулируемых умножением на $p$, эта эквивалентность может быть объяснена следующим образом. Пусть $L$ – $\mathbb{F}_p$-алгебра Ли класса нильпотентности $<p$, т.е. $C_p(L)=0$. Пусть $A$ – обертывающая алгебра для $L$. Тогда существует естественное вложение $L\subset A$, элементы $L$ порождают пополняющий идеал $J$ алгебры $A$ и имеется морфизм алгебр $\Delta \colon A\to A\otimes A$, однозначно определенный условиями $\Delta (l)=l\otimes 1+1\otimes l$ для всех $l\in L$. Применяя теорему Пуанкаре–Биркгоффа–Витта так же, как в [1; п. 1.3.3], получаем, что: – $L\cap J^p=0$; – $L\ \operatorname{mod}J^p=\{a\ \operatorname{mod}J^p\mid \Delta (a)\equiv a\otimes 1+1\otimes a\ \operatorname{mod}(J\otimes 1+1\otimes J)^p\}$; – множество $\operatorname{\widetilde{\exp}}(L)\ \operatorname{mod}J^p$ отождествляется с множеством всех “диагональных элементов по модулю степени $p$”, т.е. с множеством всех $a\in 1+J\ \operatorname{mod}J^p$ таких, что $\Delta (a) \equiv a\otimes a\ \operatorname{mod}(J\otimes 1\,{+}\,1\otimes J)^p$. (Здесь $\operatorname{\widetilde{\exp}}(x)=\sum_{0\leqslant i<p}x^i/i!$ – усеченная экспонента.) В частности, существует естественное вложение $L\subset A/J^p$, и в его терминах формула Кемпбелла–Хаусдорфа записывается в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
(l_1,l_2)\mapsto l_1\circ l_2=l_1+l_2+\frac{1}{2}[l_1,l_2]+\dotsb, \qquad l_1,l_2\in L,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{\widetilde{\exp}}(l_1)\operatorname{\widetilde{\exp}}(l_2)\equiv \operatorname{\widetilde{\exp}}(l_1\circ l_2)\ \operatorname{mod}J^p$. Снабдим множество $L$ структурой группы с помощью операции $\circ $ и обозначим полученную группу через $G(L)$. Отметим, что подмножество $I\subset L$ является идеалом в $L$ тогда и только тогда, когда $G(I)$ является нормальной подгруппой в $G(L)$. Очевидно, что $G(L)$ имеет период $p$ и класс нильпотентности $<p$. Соответствие $L\mapsto G(L)$ определяет эквивалентность категорий $p$-групп периода $p$ класса нильпотентности $s<p$ и $\mathbb{F}_p$-алгебр Ли того же класса нильпотентности $s$. Эта эквивалентность распространяется на категории проконечных $p$-групп и проконечных алгебр Ли. 1.3. Эпиморфизм $\eta_e\colon \mathscr G\to G(\mathscr L)$Пусть $L$ – конечная $\mathbb{F}_p$-алгебра Ли класса нильпотентности ${<}\,p$ и $L_{\mathrm{sep}}\,{:=}\,L_{\mathscr K_{\mathrm{sep}}}$. Элементы группы $\mathscr G\,{=}\operatorname{Gal} (\mathscr K_{\mathrm{sep}}/\mathscr K)$ и морфизм $\sigma $ действуют на $L_{\mathrm{sep}}$ посредством их действия на $\mathscr K_{\mathrm{sep}}$, $L_{\mathrm{sep}}|_{\sigma =\mathrm{id}}\,{=}\,L$ и $(L_{\mathrm{sep}})^{\mathscr G}=L_{\mathscr K}$. Ковариантная нильпотентная теория Артина–Шрайера утверждает, что для любого $e\in G(L_{\mathscr K})$ множество
$$
\begin{equation*}
\mathscr F(e)=\{f\in G(L_{\mathrm{sep}})\mid \sigma (f)=e\circ f\}
\end{equation*}
\notag
$$
непусто и при произвольном фиксированном $f\in \mathscr F(e)$ отображение $\tau\mapsto (-f)\circ\tau (f)$ является непрерывным гомоморфизмом $\pi_f(e)\colon \mathscr G\to G(L)$. Соответствие $e\mapsto\pi_f(e)$ имеет следующие свойства: a) если $f'\in\mathscr F(e)$, то $f'=f\circ l$, где $l\in G(L)$, и $\pi_f(e)$ и $\pi_{f'}(e)$ сопряжены с помощью $l$; b) для любого непрерывного гомоморфизма групп $\pi \colon \mathscr G\to G(L)$ существуют $e\in G(L_{\mathscr K})$ и $f\in \mathscr F(e)$ такие, что $\pi_f(e)=\pi $; c) для соответствующих элементов $e,e'\in G(L_{\mathscr K})$ и $f,f'\in G(L_{\mathrm{sep}})$ равенство $\pi_f(e)=\pi_{f'}(e')$ выполняется тогда и только тогда, когда существует $x\in G(L_{\mathscr K})$ такой, что $f'=x\circ f$, т.е. $e'=\sigma (x)\circ e\circ (-x)$. В работах [1]–[3] мы применяли эту теорию к алгебре Ли $\mathscr L$ из п. 1.1 вместе со специально выбранным элементом $e\in\mathscr L_{\mathscr K}$. Сейчас мы лишь предположим, что
$$
\begin{equation}
e\equiv \sum_{a\in\mathbb{Z}^0(p)} t^{-a}D_{a0} \ \operatorname{mod}C_2(\mathscr L_{\mathscr K}).
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
При таком предположении отображение $\pi_f(e)\ \operatorname{mod}\mathscr G^pC_2(\mathscr G)$ индуцирует изоморфизм групп $\mathscr G^{\mathrm{ab}}\widehat\otimes\mathbb{F}_p$ и $G(\mathscr L)/C_2(G(\mathscr L)) =\mathscr L^{\mathrm{ab}}=\mathscr K^*/\mathscr K^{*p}$, который совпадает с обратным к отображению взаимности локальной теории полей классов, см. [6]. Отсюда также вытекает, что $\pi_f(e)$ (будучи взятым по модулю $\mathscr G^pC_p(\mathscr G)$) индуцирует изоморфизм групп $\mathscr G_{<p}\simeq G(\mathscr L)$. Условимся, что выбор $f\in\mathscr F(e)$ фиксирован и будем использовать обозначение $\eta_e=\pi_f(e)$. 1.4. Вспомогательные поля $\mathscr K'_{\gamma }$Наш подход к изучению фильтрации ветвления в $\mathscr G_{<p}$ существенно использует конструкцию вполне разветвленного расширения $\mathscr K'$ поля $\mathscr K$ такого, что $[\mathscr K'\colon \mathscr K]=q$ и график функции Эрбрана $\varphi_{\mathscr K'/\mathscr K}$ имеет лишь одну точку излома $(r^*,r^*)$. Здесь $q=p^{N^*}$, $N^*\in\mathbb{N} $, и $r^*=b^*/(q-1)$, где $b^*\in\mathbb{Z}^+(p)$. Для простоты предположим, что $N^*\equiv 0\ \operatorname{mod}N_0$, т.е. $\sigma^{N^*}$ тождественно действует на поле вычетов $k$ поля $\mathscr K$. Более существенные ограничения на эти параметры будут введены в п. 2.1. Подробное объяснение конструкции поля $\mathscr K'$ содержится, например, в [3; п. 1.5]. Мы просто напомним, что если $r^*=m/n$ с взаимно простыми $m,n\in\mathbb{N} $, то $\mathscr K'=\mathscr K(U^n)\subset\mathscr K(u)(U)$, где $u^n=t$ и $U^q+r^*U=u^{-m}$. Из леммы Гензеля следует существование униформизирующего элемента $t_1$ в $\mathscr K'$ такого, что $t=t_1^qE(t_1^{b^*})^{-1}$, где $E(X)=\exp (X+\dots +X^{p^n}/p^n+\dotsb ) \in\mathbb{Z}_p[[X]]$ – экспонента Артина–Хассе. Нам понадобится следующее обобщение конструкции поля $\mathscr K'$. Для $\gamma\in\mathbb{Z} /p\setminus\{0\}$ пусть поле $\mathscr K'_{\gamma }=k((t_{\gamma }))$ таково, что: a) $[\mathscr K'_{\gamma }\colon \mathscr K]=q$; b) $\varphi_{\mathscr K'_{\gamma }/\mathscr K}(x)$ имеет лишь одну точку излома $(r^*,r^*)$; c) $\mathscr K'_{\gamma }=k((t_{\gamma }))$, где $t=t^{q}_{\gamma }E(\gamma t^{b^*}_{\gamma })^{-1}$. Поля $\mathscr K'_{\gamma }$ строятся точно так же, как и поле $\mathscr K'$. Более точно, $\mathscr K'_{\gamma }=\mathscr K(U_{\gamma }^n)\subset \mathscr K(u)(U_{\gamma })$, где $u^n=t$ и $U_{\gamma }^q+\gamma r^*U_{\gamma }=u^{-m}$. Отметим, что расширение $\mathscr K'_{\gamma }/\mathscr K$ является сепарабельным. 1.5. Критерий для идеалов ветвленияПусть $\mathscr K'_{\gamma }$ – поле из п. 1.4. Рассмотрим изоморфизм полей $\iota_{\gamma }\colon \mathscr K\to \mathscr K'_{\gamma }$ такой, что $\iota_{\gamma }\colon t\mapsto t_{\gamma }$ и $\iota_{\gamma }|_k=\mathrm{id}_k$. Пусть $e_{\gamma }=(\mathrm{id}_{\mathscr L}\otimes\iota_{\gamma })e$. Тогда $\sigma^{N^*}e_{\gamma }(t_{\gamma })=e(t_{\gamma }^q)$ – это результат подстановки $t\mapsto t_{\gamma }^q$ в $e=e(t)$ . Выберем $f_{\gamma }\in \mathscr F(e_{\gamma })$ и рассмотрим $\pi_{f_{\gamma }}(e_{\gamma })\colon \operatorname{Gal} (\mathscr K_{\mathrm{sep}}/\mathscr K'_{\gamma })\to G(\mathscr L)$. Для $Y\in \mathscr L_{\mathrm{sep}}$ и идеала $\mathscr I$ в $\mathscr L$ введем поле определения $Y\ \operatorname{mod}\mathscr I_{\mathrm{sep}}$ над, скажем, $\mathscr K$ как
$$
\begin{equation*}
\mathscr K(Y\ \operatorname{mod}\mathscr I_{\mathrm{sep}}):=\mathscr K_{\mathrm{sep}}^{\mathscr H},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathscr H=\{g\in\mathscr G\mid (\mathrm{id}_{\mathscr L}\otimes g)Y \equiv Y\ \operatorname{mod}\mathscr I_{\mathrm{sep}}\}$. Для произвольного расширения локальных полей $\mathscr E'/\mathscr E$ in $\mathscr K_{\mathrm{sep}}$ определим наибольшее число ветвления
$$
\begin{equation*}
v(\mathscr E'/\mathscr E)=\operatorname{max}\{v\mid \operatorname{Gal} (\mathscr K_{\mathrm{sep}}/\mathscr E)^{(v)} \text{ действует нетривиально на } \mathscr E'\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наш подход в [1]–[3] был основан на следующем критерии. Рассмотрим $v_0>0$, $r^*<v_0$ и вспомогательные поля $\mathscr K'_{\gamma }$ из п. 1.4. Предложение 1.1. Пусть $f=X_{\gamma }\circ \sigma^{N^*}(f_{\gamma })$. Тогда $\mathscr L^{(v_0)}$ является минимальным элементом в семействе всех идеалов $\mathscr I\subset \mathscr L$ таких, что Доказательство предложения аналогично его доказательству для $\gamma =1$, см., например, [3; п. 1.6]. Оно основано на следующих свойствах верхних чисел ветвления. Если $v=v(\mathscr K(f\ \operatorname{mod}\mathscr I_{\mathrm{sep}})/\mathscr K)$, то: – $v(\mathscr K_{\gamma }'(f_{\gamma }\ \operatorname{mod}\mathscr I_{\mathrm{sep}})/\mathscr K_{\gamma }')=v$; – $v(\mathscr K_{\gamma }'(f_{\gamma }\ \operatorname{mod}\mathscr I_{\mathrm{sep}})/\mathscr K)=\varphi_{\mathscr K_{\gamma }'/\mathscr K}(v)$; – если $v>r^*$, то $\varphi_{\mathscr K_{\gamma }'/\mathscr K}(v)=r^*+(v-r^*)/q<v$. Заметим, что $f=X_{\gamma } \circ \sigma^{N^*}f_{\gamma }$ влечет $e(t)=\sigma X_{\gamma }\circ \sigma^{N^*}e_{\gamma }\circ (-X_{\gamma })$. Обратно, допустим, что $X\in\mathscr L_{\mathrm{sep}}$ и
$$
\begin{equation}
e(t)=\sigma X\circ \sigma^{N^*}e_{\gamma }\circ (-X).
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Тогда $l=(-\sigma^{N^*}f_{\gamma })\circ (-X)\circ f\in\mathscr L_{\mathrm{sep}}|_{\sigma =\mathrm{id} }=\mathscr L$ и, заменяя $f_{\gamma }$ на $f_{\gamma }\circ l\in\mathscr F(e_{\gamma })$, мы получаем, что $f=X\circ \sigma^{N^*}f_{\gamma }$. Следовательно, в предложении 1.1 можно использовать тождество (1.2) вместо тождества $f=X_{\gamma }\circ \sigma^{N^*}f_{\gamma }$. Отметим, что для любого $\gamma $ существует единственный изоморфизм полей $\iota '_{\gamma }\colon \mathscr K'_{\gamma }\to \mathscr K$ такой, что $\iota '_{\gamma }(t_{\gamma })=t$ и $\iota '_{\gamma }|_k=\mathrm{id} $. Следовательно, если мы положим $e^{(q)}:=e(t^q)$ и $\gamma *e^{(q)}:=e(t^qE(\gamma t^{b^*})^{-1})$, то предложение 1.1 можно переформулировать следующим эквивалентным образом. Предложение 1.2. Если $X_{\gamma }\in \mathscr L_{\mathrm{sep}}$ таков, что то $\mathscr L^{(v_0)}$ является минимальным элементом в множестве всех идеалов $\mathscr I$ алгебры $\mathscr L$, удовлетворяющих условию $v(\mathscr K(X_{\gamma }\ \operatorname{mod}\mathscr I_{\mathrm{sep}})/\mathscr K)< qv_0-b^*$. Пусть $\widetilde{\mathscr J}\subset\mathscr L$ – замкнутый идеал и $\pi \colon \mathscr L\to L:=\mathscr L/\widetilde{\mathscr J}$ – естественная проекция. Тогда для $e_L=\pi_{\mathscr K}(e)\in L_{\mathscr K}$, $f_L:=\pi_{\mathrm{sep}}(f)\in L_{\mathrm{sep}}$, $\eta_{e_L}=\pi\eta_e\colon \mathscr G\to G(L)$ и $X_{\gamma L}:=\pi_{\mathrm{sep}}(X_{\gamma })$ имеется следующий аналог предложения 1.2. Предложение 1.3. $L^{(v_0)}:=\eta_{e_L}(\mathscr G^{(v_0)})$ – минимальный элемент в множестве идеалов $\mathscr I$ алгебры $L$ таких, что $v(\mathscr K(X_{\gamma L}\ \operatorname{mod}\mathscr I_{\mathrm{sep}})/\mathscr K)< qv_0-b^*$. 1.6. Алгебра Ли $\overline{\mathscr L}$ и эпиморфизм $\eta_{\overline e}$Введем весовую функцию на алгебре $\mathscr L_k$, $\operatorname{wt}\colon \mathscr L_k\to\mathbb{N} $, полагая на ее образующих $\operatorname{wt}(D_{an})=s$ при выполнении условия $(s-1)v_0\leqslant a<sv_0$. Это дает убывающую центральную фильтрацию с помощью идеалов $\mathscr L(s)=\{l\in\mathscr L\mid \operatorname{wt}(l)\geqslant s\}$ алгебры $\mathscr L$ таких, что $\mathscr L(1)=\mathscr L$. Весовая функция $\operatorname{wt}$ дает также убывающую фильтрацию идеалов $\mathscr J(s)$ в обертывающей алгебре $\mathscr A$ такую, что $\mathscr J(1)=\mathscr J$ и $(\mathscr J(s)+\mathscr J^p)\cap \mathscr L=\mathscr L(s)$ для всех $s$ (достаточно использовать теорему Пуанкаре–Биркгоффа–Витта). Рассмотрим $k$-подмодуль ${\mathscr N}$ в ${\mathscr L}_{\mathscr K}$, порожденный всеми $t^{-b}l$, где для некоторого $s\geqslant 1$ $l\in {\mathscr L}(s)_k$ и $b<sv_0$. Тогда ${\mathscr N}$ имеет естественную структуру $k$-алгебры Ли. Для произвольного $i\geqslant 0$ пусть ${\mathscr N}(i)$ является $k$-подмодулем в ${\mathscr L}_{\mathscr K}$, порожденным всеми $t^{-b}l$, где $l\in{\mathscr L}(s)$ и $b<(s-i)v_0$. Тогда ${\mathscr N}(i)$ является идеалом в ${\mathscr N}$. Пусть $\overline{\operatorname{pr}}\colon \mathscr L\to\overline{\mathscr L}:=\mathscr L/\mathscr L(p)$ – естественная проекция. Тогда $\overline{\mathscr L}(s)=\overline{\operatorname{pr}}(\mathscr L(s))$ – убывающая центральная фильтрация в $\overline{\mathscr L}$ такая, что $\overline{\mathscr L}(p)=0$. Пусть $\overline{\mathscr N}\subset \overline{\mathscr L}_{\mathscr K}$ – аналог алгебры $\mathscr N$, построенный с помощью алгебры Ли $\overline{\mathscr L}$, использованной вместо $\mathscr L$. Для $i\geqslant 0$ пусть $\overline{\mathscr N}(i)$ – соответствующие идеалы в $\overline{\mathscr N}$. Заметим, что $\overline{\mathscr N}(p-1)\subset\overline{\mathscr L}_{\mathrm m}$, где $\mathrm m =tk[[t]]$ (используем, что $\overline{\mathscr L}(p)=0$), и рассмотрим алгебру Ли $\widetilde{\mathscr N}=\overline{\mathscr N}/\overline{\mathscr N}(p-1)$. Введем дополнительно к (1.1) следующее ограничение: (теперь $\eta_e$ не является произвольным подъемом отображения взаимности).Пусть $\overline e:=\overline{\operatorname{pr}}_{\mathscr K}e\in\overline{\mathscr N}$ и $\overline f:=(\overline{\operatorname{pr}}_{\mathrm{sep}})f\in\overline{\mathscr L}_{\mathrm{sep}}$. Если $\eta_{\overline e}:=\overline{\operatorname{pr}}\cdot \eta_e$, то для любого $\tau\in\mathscr G$, $\overline{\eta }_{\overline e}(\tau )=(-\overline f)\circ \tau\overline f$. Проверим, что $\eta_{\overline e}$ зависит лишь от $\widetilde e:=\overline e\ \operatorname{mod}\overline{\mathscr N}(p-1)\in\widetilde{\mathscr N}$. Предложение 1.4. Пусть $\overline e'\in\overline{\mathscr L}_{\mathscr K}$ и $\overline e'\equiv \overline e\ \operatorname{mod}\overline{\mathscr N}(p-1)$. Тогда существует единственный $\overline f'\in\overline{\mathscr L}_{\mathrm{sep}}$ такой, что $\sigma \overline f'=\overline e'\circ \overline f'$ и $\overline f'\circ (-\overline f)\in\overline{\mathscr N}(p-1)$. Доказательство. Заметим, что $\sigma $ топологически нильпотентен на идеале $\overline{\mathscr N}(p-1)\subset\overline{\mathscr L}_{\mathrm m}$. Докажем с помощью индукции по $s\geqslant 1$ по модулю $\overline{\mathscr L}(s)_{\mathscr K}$ существование $\overline x\in\overline{\mathscr N}(p-1)$ такого, что $\overline e '= (\overline\sigma x)\circ \overline e\circ (-\overline x)$.
Если $s=1$, то доказывать нечего. Если $s\geqslant 1$ и $\overline x_s\in\overline{\mathscr N}(p-1)$ таков, что $\overline e'=(\sigma \overline x_s)\circ \overline e\circ (-\overline x_s)+A_s$, где $A_s\in\overline{\mathscr L}(s)_{\mathscr K}$, то $A_s\in\overline{\mathscr N}(p-1)\cap\overline{\mathscr L}(s)_{\mathscr K}$. Если $\delta =-\sum_{m\geqslant 0}\sigma^m(A_s)$, то $\overline x_{s+1}:=\overline x_s+\delta \in \overline{\mathscr N}(p-1)\cap \overline{\mathscr L}(s)_{\mathscr K}$, $\sigma \delta -\delta =A_s$ и Очевидно, что $\overline f'=\overline x\circ \overline f\in\overline{\mathscr L}_{\mathrm{sep}}$, где $\overline x:=\overline x_p$ удовлетворяет требованиям предложения. Если $\overline f''\in\overline{\mathscr L}_{\mathrm{sep}}$ тоже удовлетворяет этим условиям, то $\overline f''\circ (-\overline f') \in\overline{\mathscr N}(p-1)\cap \overline{\mathscr L}=0$ и $\overline f''=\overline f'$. Предложение доказано.§ 2. Алгебра Ли $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }$ и идеал $\overline{\mathscr L}[v_0]\subset\overline{\mathscr L}$В этом параграфе мы определяем $\mathbb{F}_p$-алгебру Ли $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }$ вместе с эпиморфизмом алгебр Ли ${\mathscr V}\colon \overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }\to \overline{\mathscr L}$ и его сечением $(j^0)^{-1}\colon \overline{\mathscr L}\simeq \overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }[0] \subset\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }$. Пусть $\alpha_{p}=\operatorname{Spec}\mathbb{F}_p[U]$, $U^p=0$ – формальная групповая схема над $\mathbb{F}_p$ с косложением $\Delta (U)=U\otimes 1+1\otimes U$. Мы определяем кодействие $\Omega_U\colon \overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }\to \mathbb{F}_p[U]\otimes \overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }$ этой групповой схемы на $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }$ и используем его для введения и описания идеала $\overline{\mathscr L}[v_0]$ в алгебре $\overline{\mathscr L}$. 2.1. Параметры $r^*$ и $N^*$Выберем $u^*\in\mathbb{N} $ и $w^*>0$. (Ниже мы положим $u^*=(p-1)(p-2)+1$ и $w^*=(p-1)v_0$.) Для $1\leqslant s<p$ обозначим через $\delta_0(s)$ минимум положительных значений выражения
$$
\begin{equation*}
v_0-\frac{1}{s}\biggl(a_1+\frac{a_2}{p^{n_2}}+\dots +\frac{a_u}{p^{n_u}}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $u\leqslant u^*$, все $n_i\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ и $a_i\in [0,w^*)\cap\mathbb{Z} $. Существование такого $\delta_0(s)$ легко доказывается индукцией по $u$ при фиксированном $s$. Положим $\delta_0:=\min\{\delta_0(s)\mid 1\leqslant s<p\}$. Пусть $r^*\in\mathbb{Q} $ таков, что $r^*=b_0^*/(q^*_0-1)$, где $q^*_0=p^{N^*_0}$, $N^*_0\geqslant 2$, $b^*_0\in\mathbb{N} $ и $\operatorname{gcd}(b_0^*,p(q^*_0-1))=1$. Множество всех таких $r^*$ всюду плотно в $\mathbb R_{>0}$, и можно считать, что $r^*\in (v_0-\delta_0, v_0)$. Для $1\leqslant u\leqslant u^*$ определим следующие подмножества в $\mathbb{Q}$. $A[u]$ – множество всех где $0=n_1\leqslant \dots \leqslant n_u$ и все $a_i\in [0,w^*)\cap\mathbb{Z} $. Если $M\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$, то обозначим через $A[u,M]$ подмножество в $A[u]$, состоящее из всех элементов, удовлетворяющих дополнительному условию $n_u\leqslant M$. Заметим, что $A[u,M]$ – конечное множество.$B[u]$ – множество всех чисел вида где все $0=m_1\leqslant \dots \leqslant m_u$, $b_i\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$, $b_1\ne 0$ и $b_1+\dots +b_u<p$. (В частности, $0\notin B[u]$.) Для $M\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$, $B[u,M]$ – подмножество в $B[u]$, состоящее из элементов, удовлетворяющих дополнительному ограничению $m_u\leqslant M$. Множество $B[u,M]$ также является конечным. Доказательство. Заметим, что $A[u]\subset\mathbb{Z} [1/p]$. Докажем $B[u]\cap\mathbb{Z} [1/p]=\varnothing $. Достаточно проверить, что для любых $n_1,\dots ,n_u, b_1,\dots, b_u\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ таких, что $0<b_1+\dots +b_u<p$, выполняется Так как $q^*_0\equiv 1\ \operatorname{mod}(q^*_0-1)$, то можно считать, что $n_i<N_0^*$. Но тогда $0<b_1p^{n_1}+\dots +b_up^{n_u}\leqslant (p-1)p^{N_0^*-1}<q^*_0-1$. Лемма доказана.Для $\alpha, \beta\in\mathbb{Q} $ положим $\rho (\alpha,\beta )=|\alpha -\beta |$. Доказательство. Применим индукцию по $u$. Если $u=1$, то доказывать нечего, так как $B[1]$ конечно. Допустим, что $u\geqslant 1$ и $\rho (\alpha ,B[u])>0$. Выберем число $M_u\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ такое, что $r^*(p-1)/p^{M_u+1}<\rho (\alpha ,B[u])/2$. Если $\beta\in B[u+1]\setminus B[u+1,M_u]$, то существует $\beta'\,{\in}\,B[u]$ такое, что $\rho (\beta ,\beta ')<\rho (\alpha,B[u])/2$. Тогда и мы получаем Лемма доказана.Доказательство аналогично доказательству леммы 2.2. Доказательство. Если $u_1=1$, то $A[u_1]$ конечно и применяем лемму 2.2. Допустим, что $u_1\geqslant 1$ и $\rho (A[u_1],B[u_2])=\delta >0$. Выберем $M_1\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ такое, что $w^*/p^{M_1}<\delta /2$. Если $\alpha\in A[u_1+1]\setminus A[u_1+1,M_1]$, то существует $\alpha '\in A[u_1]$ такое, что $\rho (\alpha ,\alpha ')<\delta /2$. Тогда для произвольного $\beta\in B[u_2]$ имеем Следовательно, для всех $\alpha\in A[u_1+1]$ Лемма доказана.Фиксируем значения $u^*=(p-1)(p-2)+1$ и $w^*=(p-1)v_0$ (заметим, что $B[u^*]=B[p-1]$, так как $u^*\geqslant p-1$). Выберем $N^*\in\mathbb{N} $, удовлетворяющее следующим условиям: C1) $N^*\equiv 0\ \operatorname{mod}N^*_0$; C2) $p^{N^*}\rho (A[u^*], B[u^*])\geqslant 2r^*(p-1)$; C3) $r^*(1-p^{-N^*})\in (v_0-\delta_0, v_0)$. Положим $q=p^{N^*}$ и $b^*=b^*_0(q-1)/(q_0-1)\in\mathbb{N} $. Заметим, что $r^*=b^*/(q-1)$ и $b^*\in\mathbb{Z}^+(p)$. 2.2. Множество $\mathfrak{A}^0$Используем введенные выше $r^*$, $N^*$ и $q=p^{N^*}$. Определение 2.6. ${\mathfrak{A}}^0$ – множество всех $\iota =p^m(q\alpha -(q-1)\beta )$, где $m\geqslant 0$, $\alpha \in A[u^*,m]$, $\beta \in B[u^*,m]\cup\{0\}$ и $|\iota |\leqslant b^*(p-1)$. (Отметим, что $p^m\alpha \in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ и $p^m\beta /r^*\in\mathbb{N} $.) Пусть $\mathfrak{A}^0_0:=\{\iota\in\mathfrak {A}^0\mid \beta =0\}$. Лемма 2.7. Допустим, что $\iota =p^m(q\alpha -(q-1)\beta )\in\mathfrak{A}^0$. Тогда: a) $\mathfrak{A}^0_0=\{qa\mid a\in [0,(p-1)v_0)\cap\mathbb{Z}\}$; b) если $\beta\ne 0$, то $m<N^*$ (в частности, $\mathfrak{A}^0$ – конечно); c) значения $p^m\alpha $ и $p^m\beta /r^*$ не зависят от представления $\iota $ в стандартном виде $p^m(q\alpha -(q-1)\beta )$ из определения $\mathfrak{A}^0$. Доказательство. a) Если $\iota\in\mathfrak{A}^0_0$, то $\iota =qp^m\alpha\in\mathfrak{A}^0_0\subset\mathfrak{A}^0$ означает, что $p^m\alpha /(p-1)\leqslant b^*/q=r^*(1-q^{-1})\in (v_0-\delta_0,v_0)$. Согласно определению $\delta_0$ из п. 2.1, неравенства $p^m\alpha /(p-1)<v_0$ и $p^m\alpha /(p-1)\leqslant v_0-\delta_0$ эквивалентны. Следовательно, $\mathfrak{A}^0_0\subset\{qa\mid a\in [0,(p-1)v_0)\cap\mathbb{Z}\}$. Обратное вложение очевидно. b) Если $\beta\in B[u^*,m]$ и $m\geqslant N^*$, то согласно предложению 2.5 $|\iota |> b^*(p-1)$, т.е. $\iota \notin \mathfrak{A}^0$. c) Если $\iota =p^{m'}(q\alpha '-(q-1)\beta ')$ – другое представление $\iota $, то $p^m\beta /r^*$ и $p^{m'}\beta '/r^*$ являются сравнимыми по модулю $q$ неотрицательными целыми числами, которые $<q$. Действительно, если $\beta /r^*=b_1+b_2p^{-m_2}+\dots +b_up^{-m_u}$, где все $0\leqslant m_i\leqslant m$ и $u\leqslant u^*$, то так как $m<N^*$. Аналогично, $p^{m'}\beta '/r^*<q$. Следовательно, эти числа совпадают и отсюда также вытекает, что $p^m\alpha =p^{m'}\alpha '$. Лемма доказана.Следствие 2.8. Допустим, что $\iota =p^m(q\alpha -(q-1)\beta )\in\mathfrak{A}^0$. Тогда сумма “$p$-цифр” $b_1+\dots +b_u$ соответствующего разложения $\beta /r^* =b_1+b_2p^{-m_2}+\dots +b_up^{-m_u}$ зависит лишь от $\iota $. В обозначениях п. 2.2 допустим, что $\iota =p^m(q\alpha -(q-1)\beta )\in{\mathfrak{A}}^0$. По лемме 2.7 $p^m\alpha $ зависит только от $\iota $ и может быть представлено в виде $a_1p^{n_1}+a_2p^{n_2}+\dots +a_up^{n_u}$, где все коэффициенты $a_i\in [0,(p-1)v_0))\cap \mathbb{Z} $, $0\leqslant n_i\leqslant m$, $n_1=m$ и $u\leqslant u^*$. Определение 2.10. $\kappa (\iota )$ – минимальное натуральное число такое, что для любого представления $p^m\alpha $ из предыдущего определения $\kappa (\iota )\leqslant u$. Замечание 2.11. a) Если $\iota\in\mathfrak{A}^0$, то $\kappa (\iota )\leqslant u^*$ и $\operatorname{ch}(\iota )\leqslant p-1$; b) если $\iota\in\mathfrak{A}^0_0$, то $\operatorname{ch}(\iota )=0$; c) если $\iota\in\mathfrak{A}^0_0$ и $\iota\ne 0$, то $\kappa (\iota )=1$. 2.3. Алгебры Ли ${\mathscr L}^{\unicode{8224} }$ и $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }$Пусть $\iota =p^m(q\alpha -(q-1)\beta )\in\mathfrak{A}^0$ задано в стандартном виде из п. 2.2. Пусть $w^0(\iota )$ – минимальное натуральное число такое, что $\iota < w^0(\iota )b^*$. Определение 2.12. Подмножество $\mathfrak{A}^+(p)$ состоит из $\iota\in\mathfrak{A}^0$ таких, что – $\iota >0$; – $\operatorname{gcd}(p^m\alpha ,p^m\beta /r^*,p)=1$; – $w^0(\iota )+\operatorname{ch}(\iota )\leqslant p-1$; – $\kappa (\iota )\leqslant (p-2)\operatorname{ch}(\iota )+w^0(\iota )$. Замечание 2.13. Для всех $\iota\in\mathfrak{A}^+(p)$, $(p-2)\operatorname{ch}(\iota )+w^0(\iota )\leqslant (p-2)^2+p-1\,{=}\,u^*$. Элементы $\{t^{-\iota }\mid \iota\in \mathfrak{A}^+(p)\}$ ведут себя “хорошо” по модулю $(\sigma -\mathrm{id} )\mathscr K$, т.е. естественное отображение $\sum_{\iota\in\mathfrak{A}^+(p)}kt^{-\iota }\to \mathscr K/(\sigma -\mathrm{id} )\mathscr K$ является вложением. Этот факт вытекает из следующего предложения. Предложение 2.14. Пусть $v_p$ – $p$-адический показатель, $v_p(p)=1$. Тогда: a) все $\iota p^{-v_p(\iota )}$, где $\iota\in\mathfrak{A}^+(p)$, являются попарно различными; b) если $\iota\in\mathfrak{A}^+(p)$ и $\operatorname{ch}(\iota )=1$, то $\iota p^{-v_p(\iota )}\geqslant qv_0-b^*$. Доказательство. a) Пусть $\iota =p^m(q\alpha -(q-1)\beta )\in \mathfrak{A}^+(p)$. Если $\operatorname{ch}(\iota )=0$, то $\iota\mapsto \iota p^{-v_p(\iota )}$ отождествляет $\{\iota\in\mathfrak{A}^+(p)\mid \operatorname{ch}(\iota )=0\}$ с множеством $\mathbb{Z}^+(p)\cap [0,(p-1)v_0)$, см. лемма 2.7, a). Замечание 2.15. Аналогично, если $1\leqslant s<p$ и $a\in \mathbb{Z}^+(p)\cap [0,(p-1)v_0)$, то $a<sv_0$ тогда и только тогда, когда $qa<sb^*$. Если $\operatorname{ch}(\iota )\geqslant 1$, то $\iota p^{-m}\notin p\mathbb{N} $, т.е. $m\geqslant v_p(\iota )$. Действительно, из $\iota p^{-m}=q\alpha -(q-1)\beta \in p\mathbb{N} $ вытекает (используем, что $q\alpha\in p\mathbb{N} $ так как $m<N^*$) $p^{-m}(b_1+b_2p^{m_2}+\dots +b_up^{m_u})\in p\mathbb{N}$, где все $m_i\in [0,m]$. Но это число $\leqslant \operatorname{ch}\iota <p$. Противоречие. Затем согласно предложению 2.5
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \iota p^{-v_p(\iota )} &\geqslant \iota p^{-m}=|q\alpha -(q-1)\beta | \\ &>\frac{b^*}{q}(p-1)=r^*(1-q^{-1})(p-1)>(v_0-\delta_0)(p-1) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(используем свойство C3) из п. 2.1). Если $\iota \in\mathfrak{A}^0_0$, то $\iota p^{-v_p(\iota )}=a< (p-1)v_0$ влечет $a<(v_0-\delta_0)(p-1)$ согласно выбору $\delta_0$, см. п. 2.1. С другой стороны, для всех $\iota\in \mathfrak{A}^+(p)$, для которых выполнено $\operatorname{ch}(\iota )\geqslant 1$, значения $\iota p^{-v_p(\iota )}$ являются различными (используем, что $\operatorname{gcd}(p^m\alpha ,p^m\beta /r^*)\not\equiv 0\ \operatorname{mod}p$) и превосходят $(v_0-\delta_0)(p-1)$. b) Здесь $\iota p^{-\iota_p(\iota )}=\iota p^{-m}=q\alpha -b^*$. Если $\alpha\geqslant v_0$, то $\iota p^{-v_p(\iota )}\geqslant qv_0-b^*$. Если $\alpha <v_0$, то $\iota p^{-v_p(\iota )}\leqslant q(v_0-\delta_0-r^*(q-1)/q))<0$, см. условие C3) из п. 2.1. Противоречие. Предложение полностью доказано. Пусть $\widetilde{\mathscr L}_k^{\unicode{8224} }$ – алгебра Ли над $k$ с множеством свободных образующих
$$
\begin{equation*}
\{D^{\unicode{8224} }_{\iota n}\mid \iota\in\mathfrak{A}^+(p),\,n\in\mathbb{Z} /N_0\}\cup \{D^{\unicode{8224} }_0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим (как в п. 1.1) $D^{\unicode{8224} }_{0n}=\sigma^n(\alpha_0)D_0^{\unicode{8224} }$, используем обозначение $\sigma $ для $\sigma $-линейного автоморфизма $\widetilde{\mathscr L}^{\unicode{8224}}_k$ такого, что $\sigma \colon D^{\unicode{8224}}_{\iota n}\mapsto D^{\unicode{8224}}_{\iota ,n+1}$, и определим $\mathbb{F}_p$-алгебры Ли $\widetilde{\mathscr L}^{\unicode{8224}}:=\widetilde{\mathscr L}^{\unicode{8224}}_k|_{\sigma =\mathrm{id} }$ и $\mathscr L^{\unicode{8224}}=\widetilde{\mathscr L}^{\unicode{8224}}/C_p(\widetilde{\mathscr L}^{\unicode{8224}})$. Отметим, что $\widetilde{\mathscr L}^{\unicode{8224} }\otimes k=\widetilde{\mathscr L}^{\unicode{8224} }_k$, и это согласуется с обозначением расширения скаляров из введения. Определим $w^0$-вес следующим образом: $w^{0}(D^{\unicode{8224} }_{\iota n}):=w^{0}(\iota )$. Обозначим через $\{\mathscr L^{\unicode{8224}}(s)\}_{s\geqslant 1}$ минимальную центральную фильтрацию в алгебре $\mathscr L^{\unicode{8224}}$ такую, что все $D^{\unicode{8224}}_{\iota n}$ с $w^{0}(D^{\unicode{8224}}_{\iota n})\geqslant s$ лежат в $\mathscr L^{\unicode{8224}}(s)_k$. Это означает, что $\mathscr L^{\unicode{8224} }(s)_k$ является идеалом в $\mathscr L^{\unicode{8224} }_k$, порожденным как $k$-модуль всеми коммутаторами $[\dots [D^{\unicode{8224} }_{\iota_1n_1}, D^{\unicode{8224} }_{\iota_2n_2}], \dots ,D^{\unicode{8224} }_{\iota_rn_r}]$ такими, что $w^{0}(\iota_1)+\dots +w^{0}(\iota_r)\geqslant s$. Заметим, что $C_s(\mathscr L^{\unicode{8224} })\subset \mathscr L^{\unicode{8224} }(s)$. Пусть $\mathscr A^{\unicode{8224} }$ – обертывающая алгебра для $\mathscr L^{\unicode{8224} }$. Для $m\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ пусть $\mathscr A^{\unicode{8224} }[m]_k$ является $k$-подмодулем в $\mathscr A^{\unicode{8224} }_k$, порожденным всеми мономами $D^{\unicode{8224} }_{\iota_1n_1} \cdots D^{\unicode{8224} }_{\iota_rn_r}$ такими, что $\operatorname{ch}(\iota_1)+\dots +\operatorname{ch}(\iota_r)=m$. Полагая $\mathscr A^{\unicode{8224} }[m]=\mathscr A^{\unicode{8224} }\cap\mathscr A^{\unicode{8224} }[m]_k$, мы получаем градуировку в категории $\mathbb{F}_p$-алгебр ${\mathscr A}^{\unicode{8224} }=\bigoplus_{m\geqslant 0}{\mathscr A}^{\unicode{8224} }[m]$ и индуцированную градуировку $\mathscr L^{\unicode{8224} }=\bigoplus_{m\geqslant 0}\mathscr L^{\unicode{8224} }[m]$ в категории алгебр Ли. Для $s\,{\geqslant}\, 1$ положим $\mathscr L^{\unicode{8224}}(s)[m]\,{=}{\kern1pt}\mathscr L^{\unicode{8224}}(s)\,{\cap}{\kern1pt}\mathscr L^{\unicode{8224} }[m]$. Тогда $\mathscr L^{\unicode{8224} }(s){\kern1pt}{=}\bigoplus_{m\geqslant 0}\mathscr L^{\unicode{8224} }(s)[m]$. Пусть $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }$ – фактор $\mathscr L^{\unicode{8224} }$ по идеалу $\sum_{s+m\geqslant p}\mathscr L^{\unicode{8224} }(s)[m]$. Тогда образ фильтрации алгебры $\mathscr L^{\unicode{8224} }$ дает центральную фильтрацию $\{\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }(s)\}_{s\geqslant 1}$ в $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }$ такую, что $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }(p)\,{=}\,0$. У нас также имеются индуцированные градуировки $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }=\bigoplus_{m\geqslant 0}\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }[m]$ и $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }(s)=\bigoplus_{m\geqslant 0}\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }(s)[m]$, где $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }(s)[m]:=\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }(s)\cap \overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }[m]$. Определение 2.17. Если $l\in\mathscr L^{\unicode{8224} }[m]_k$ или $l\in\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }[m]_k$, $l\ne 0$, то $\operatorname{ch}(l):=m$. Очевидно, для любых $m_1$, $m_2$ $[\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }[m_1],\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }[m_2]] \subset \overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }[m_1+m_2]$. 2.4. Алгебра Ли $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$Пусть ${\mathscr N}^{\unicode{8224}}$ – $k$-подмодуль в ${\mathscr L}^{\unicode{8224} }_{\mathscr K}$, порожденный элементами вида $t^{-b}l$, где $l\in{\mathscr L}^{\unicode{8224}}(s)[m]_k$ и $b<(s+m)b^*$. Очевидно, ${\mathscr N}^{\unicode{8224}}$ – $k$-подалгебра Ли в ${\mathscr L}^{\unicode{8224}}_{\mathscr K}$ и для $j\geqslant 0$, $t^{jb^*}{\mathscr N}^{\unicode{8224}}$ – идеалы в ${\mathscr N}^{\unicode{8224}}$. Введем аналогичным образом $k$-подалгебры $\overline{\mathscr N}^{\unicode{8224} }$ в $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }_{\mathscr K}$ (порожденные всеми $t^{-b}l$, где $l\in\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224}}[m](s)_k$ и $b<(s+m)b^*$) и их идеалы $t^{jb^*}\overline{\mathscr N}^{\unicode{8224}}$. Отметим, что $t^{(p-1)b^*}\overline{\mathscr N}^{\unicode{8224}}\subset \overline{\mathscr L}^{\unicode{8224}}_{\mathrm m }$ (используем, что $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224}}(p)=0$). Положим $\widetilde {\mathscr N}^{\unicode{8224}}=\overline{\mathscr N}^{\unicode{8224}}/t^{(p-1)b^*}\overline{\mathscr N}^{\unicode{8224}}$. Отметим, что градуировка из п. 2.3 индуцирует градуировки $\overline{\mathscr N}^{\unicode{8224}}=\bigoplus_{m\geqslant 0}{\overline{\mathscr N}}^{\unicode{8224}}[m]$ и $\widetilde {\mathscr N}^{\unicode{8224}}=\bigoplus_{m\geqslant 0}\widetilde {\mathscr N}^{\unicode{8224}}[m]$. Определение 2.18. Пусть $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$ – $k$-подмодуль в $\widetilde{\mathscr N}^{\unicode{8224} }$, порожденный элементами вида $t^{-\iota }l$ c $l\in\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }(s)[m]_k$ такими, что: a) $\iota\in\mathfrak{A}^0$; b) $\iota +\operatorname{ch}(\iota )b^*<(s+m)b^*$; c) $\operatorname{ch}(\iota )\geqslant m$, $\kappa (\iota )\leqslant (p-2)m+s$. Замечание 2.19. Условие b) означает, в частности, что $t^{-\iota }l \in t^{\operatorname{ch}(\iota )b^*}\widetilde{\mathscr N}^{\unicode{8224}}$. Пусть $\mathscr N^{\mathrm{sp}}$ является $k$-подмодулем в $\mathscr N^{\unicode{8224} } \subset \mathscr L^{\unicode{8224} }_{\mathscr K}$, порожденным элементами $t^{-\iota }l$ такими, что $l\in\mathscr L^{\unicode{8224} }(s)[m]$, $\iota\in \mathfrak{A}^0$, $\iota +\operatorname{ch}(\iota )b^*<(s+m)b^*$, $\operatorname{ch}(\iota )\geqslant m$ и $\kappa (\iota )\leqslant (p-2)m+s$. Тогда образ $\mathscr N^{\mathrm{sp}}$ при естественном отображении $\mathscr N^{\unicode{8224} }\to \overline{\mathscr N}^{\unicode{8224} }\to \widetilde{\mathscr N}^{\unicode{8224} }$ совпадает с $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$. Пусть $\mathscr I^{\mathrm{sp}}$ – подмодуль в $\mathscr N^{\unicode{8224} }$, порожденный всеми $t^{-b}l$ такими, что $l\in\mathscr L^{\unicode{8224} }(s)[m]$ и либо $s+m\geqslant p$, либо $b<(s+m)b^*-(p-1)b^*$. Тогда образ ${\mathscr I}^{\mathrm{sp}}$ при естественном отображении ${\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\to\widetilde{\mathscr N}^{\unicode{8224} }$ является нулевым. Лемма 2.20. a) $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$ – подалгебра Ли в $\widetilde{\mathscr N}^{\unicode{8224}}$. b) Для любого $j\geqslant 0$, $t^{jb^*}\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$ является идеалом в $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$. Доказательство. a) Допустим, что $w_1=t^{-\iota_1}l_1$ и $w_2=t^{-\iota_2}l_2$ принадлежат ${\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$. Предположим, что для $j=1,2$ имеет место $l_j\in {\mathscr L}^{\unicode{8224} }(s_j)[m_j]$, где $s_j=w^{0}(l_j)$ и $m_j=\operatorname{ch}(l_j)$. Докажем, что образ $\widetilde w$ элемента $w=[w_1,w_2]\in\mathscr N^{\unicode{8224} }$ в $\widetilde{\mathscr N}^{\unicode{8224} }$ принадлежит $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$. Пусть $s=s_1+s_2$ и $m=m_1+m_2$. Тогда $l=[l_1,l_2]\in\mathscr L^{\unicode{8224} }(s)[m]_k$. Можно считать, что $s+m<p$ (в противном случае $l\in\mathscr I^{\mathrm{sp}}$ и $\widetilde w=0$). Проверим, что $\iota =\iota_1+\iota_2\in\mathfrak{A}^0$. Можно считать, что $\iota \geqslant (s+m)b^*-(p-1)b^*$ (в противном случае $w\in\mathscr I^{\mathrm{sp}}$ и $\widetilde w=0$). Из этого вытекает, что $\iota >-(p-1)b^*$. Так как $w_1,w_2\in\mathscr N^{\mathrm{sp}}$, мы получаем также, что
$$
\begin{equation*}
\iota +(\operatorname{ch}(\iota_1)+\operatorname{ch}(\iota_2))b^*<(s+m)b^* \leqslant (p-1)b^* ,
\end{equation*}
\notag
$$
и из этого следует, что $\iota <(p-1)b^*$. Можно считать, что $m'=\operatorname{ch}(\iota_1)+\operatorname{ch}(\iota_2)<p$ (в противном случае для $j=1,2$ имеем $w_j\in t^{\operatorname{ch}(\iota_j)b^*}{\mathscr N}^{\unicode{8224} }$, $w\in t^{m'b^*}\widetilde{\mathscr N}^{\unicode{8224} }\subset\mathscr I^{\mathrm{sp}}$ и $\widetilde w=0$). В дополнение к этому $\kappa (\iota )\leqslant \kappa (\iota_1)+\kappa (\iota_2) \leqslant (p-2)m+s<u^*$. В результате $\iota \in \mathfrak{A}^0$. Наконец, $\operatorname{ch}(\iota )=m'\geqslant m_1+m_2=m$, $[w_1,w_2]\in {\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$ и $w\in\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$. b) Пусть $t^{-\iota }l\in\mathscr N^{\mathrm{sp}}$ задан в обозначениях из определения 2.18. Можно считать, что $s+m<p$ и $\iota \geqslant (s+m)b^*-(p-1)b^*$. Докажем, что образ $\widetilde w$ элемента $w=t^{-\iota +jb^*}l$ в $\widetilde{\mathscr N}^{\unicode{8224} }$ принадлежит $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$. Пусть $\iota '=\iota -jb^*$. Можно считать, что $\iota '\geqslant (s+m)b^*-(p-1)b^*$ (в противном случае, $w\in\mathscr I^{\mathrm{sp}}$ и $\widetilde w=0$). Тогда $-(p-1)b^*<\iota '\leqslant \iota <(p-1)b^*$. Пусть $\operatorname{ch}(\iota )+j<p$, тогда $\iota '=\iota -jb^*\in\mathfrak{A}^0$. Действительно, $\operatorname{ch}(\iota ')=\operatorname{ch}(\iota )+j<p$ и $\kappa (\iota ')=\kappa (\iota )<u^*$. Следовательно, $w=t^{-\iota '}l\in\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$, так как $\iota '+\operatorname{ch}(\iota ')b^*=\iota -jb^*+(\operatorname{ch}(\iota )+j)b^*<(s+m)b^*$, $\operatorname{ch}(\iota ')\geqslant\operatorname{ch}(\iota )\geqslant m$ и $\kappa (\iota ')=\kappa (\iota )\leqslant (p-2)m+s$. Если $\operatorname{ch}(\iota )+j\geqslant p$, то (как ранее) $w=t^{jb^*}t^{-\iota }l\in t^{(\operatorname{ch}(\iota )+j) b^*}\widetilde{\mathscr N}^{\unicode{8224} }\subset\mathscr I^{\mathrm{sp}}$ и $\widetilde w=0$. Лемма доказана. Рассмотрим градуировку $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\,{=}\bigoplus_{m\geqslant 0}\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}[m]$ (отметим, что $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}[p-1]\,{=}\,0$). Любой элемент из $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}[m]$ возникает как сумма элементов вида $t^{-\iota }l$, где для некоторого $s\geqslant 1$, $l\in\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }(s)[m]_k$, $\iota +\operatorname{ch}(\iota )b^*<(s+m)b^*$, $\operatorname{ch}(\iota )\geqslant m$ и $\kappa (\iota )\leqslant (p-2)m+s$. Определение 2.21. Для $j\geqslant 0$ и $s\geqslant 1$ пусть: a) $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\langle j\rangle $ – $k$-подмодуль в $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$, порожденный всеми $t^{-\iota } l\in \widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$ такими, что для некоторого $m\geqslant 0$, $t^{-\iota } l\in \widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}[m]$ и $\operatorname{ch}(\iota )\geqslant m+j$; b) $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}(s, j\rangle $ – подмодуль в $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\langle j\rangle $, порожденный $t^{-\iota }l$ (в использованных выше обозначениях) такими, что $l\in C_s(\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224}}_k)$. Отметим, что: – $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\langle 0\rangle =\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}(1, 0\rangle =\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$; – все $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\langle j\rangle $ и $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}(s, j\rangle $ являются идеалами в $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$; – для всех $j_1,j_2$ и $s_1,s_2$ имеются вложения $[\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\langle j_1\rangle ,\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\langle j_2\rangle ] \subset\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\langle j_1+j_2\rangle $ и $[\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}(s_1, j_1\rangle ,\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}(s_2, j_2\rangle ] \subset\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}(s_1+s_2, j_1+j_2\rangle $; – $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\langle p-1\rangle =0$. – для произвольного $\iota\in\mathfrak{A}^0(p)$, имеем $t^{-\iota}D^{\unicode{8224} }_{\iota 0}\in \widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$. 2.5. Действие $\Omega_{\gamma}$Пусть $\gamma\in\mathbb{Z} /p$. Если $\iota =p^n(q\alpha -(q-1)\beta )\in \mathfrak{A}^0$ и $t^{-\iota }l\in\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$ с $l\in\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }_k$, то по лемме 2.20
$$
\begin{equation*}
\Omega_{\gamma }(t^{-\iota }l):=t^{-\iota } \operatorname{\widetilde{\exp}}(\gamma (p^n\alpha ) t^{b^*})l\in\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $w\in\widetilde {\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$, то существует единственное представление $w=\sum_{\iota\in\mathfrak{A}^0}t^{-\iota }l_{\iota }$, где все $t^{-\iota }l_{\iota }\in\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$, и мы полагаем
$$
\begin{equation*}
\Omega_{\gamma }(w)=\sum_{\iota\in\mathfrak{A}^0} \Omega_{\gamma }(t^{-\iota }l_{\iota }).
\end{equation*}
\notag
$$
Соответствие $w\mapsto \Omega_{\gamma }(w)$ задает корректно определенное действие элементов $\gamma $ (аддитивной) группы $\mathbb{Z} /p$ на алгебре Ли $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$. Это действие является унипотентным, так как для произвольного $n\in \widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\langle j\rangle $, $\Omega_{\gamma }(n)\equiv n\ \operatorname{mod}\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\langle j+1\rangle $. Выберем $\overline{e}^{\mathrm{sp}}\in\overline{\mathscr N}^{\unicode{8224} }$, удовлетворяющее следующим двум условиям:
$$
\begin{equation}
\overline{e}^{\mathrm{sp}}\equiv \sum_{\iota\in\mathfrak{A}^0(p)}t^{-\iota }D^{\unicode{8224}}_{\iota 0} \ \operatorname{mod}C_2(\overline{\mathscr L}_{\mathscr K}) ;
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{e}^{\mathrm{sp}}:=\overline e^{\mathrm{sp}}\ \operatorname{mod}t^{(p-1)b^*}\overline{\mathscr N}^{\unicode{8224} } \in\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Выбор $\overline{e}^{\mathrm{sp}}$ позволяет связать с определенным выше действием $\Omega_{\gamma }$ “сопряженное” действие $A^{\unicode{8224} }_{\gamma }$ на $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }$ следующим образом. Предложение 2.22. Для любого $\gamma \in\mathbb{Z} /p$ существуют единственные элемент $\widetilde{c}_{\gamma}\in\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\langle 1\rangle $ и автоморфизм $A^{\unicode{8224} }_{\gamma }\in \operatorname{Aut}_{\operatorname{Lie}}\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }$ такие, что a) $\sigma \widetilde c_{\gamma }\in\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\langle 1\rangle $ и $ \Omega_{\gamma } (\widetilde{e}^{\mathrm{sp}})= (\sigma \widetilde{c}_{\gamma })\circ (A^{\unicode{8224} }_{\gamma } \otimes\mathrm{id}_{\mathscr K}) \widetilde{e}^{\mathrm{sp}}\circ (- \widetilde{c}_{\gamma })$; b) для любого $\iota\in\mathfrak{A}^{0}(p)$ $A^{\unicode{8224} }_{\gamma }(D^{\unicode{8224} }_{\iota 0})-D^{\unicode{8224} }_{\iota 0} \in \bigoplus_{m<\operatorname{ch}(\iota )}\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224}}[m]_k$. Лемма 2.23. Пусть $j,s\geqslant 1$ и $n\in\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}(s,j\rangle $. Тогда существуют однозначно определенные элементы $\mathscr S(n),\mathscr R(n) \in\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}(s,j\rangle $ такие, что a) $\mathscr R(n)=\sum_{\iota\in\mathfrak{A}^+(p)} t^{-\iota }l_{\iota }$, где все $l_{\iota}\in C_s(\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} })_k$ (если $\operatorname{ch}(\iota )<j$, то $l_{\iota }=0$); b) $n=\mathscr R(n)+(\sigma -\mathrm{id} )\mathscr S(n)$. Доказательство. Заметим, что произвольный $n\in\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}(s, j\rangle $ возникает в качестве суммы элементов вида $t^{-\iota }l$, где для некоторых $m^0$ и $s^0$ выполнено, что $l\in\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }(s^0)[m^0]_k\cap C_s(\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} })_k$, $\iota +\operatorname{ch}(\iota )b^*<(s^0+m^0)b^*$, $\operatorname{ch}(\iota )\geqslant m^0+j$ и $\kappa (\iota )\leqslant (p-2)m^0+s^0$. При доказательстве существования элементов $\mathscr S(n)$ и $\mathscr R(n)$ мы можем считать, что $n=t^{-\iota }l$. Пусть $\iota <0$. Положим $\mathscr R(n)=0$ и $\mathscr S(n)=-\sum_{m\geqslant 0} t^{-\iota p^m}\sigma^ml$. Если $-\iota p^m\geqslant b^*(p-1)$, то $t^{-\iota p^m}\sigma^ml\in t^{b^*(p-1)}\widetilde{\mathscr N}^{\unicode{8224} }=0$. Если $-\iota p^m<b^*(p-1)$, то: – $\iota p^m+\operatorname{ch}(\iota p^m)b^*\leqslant \iota +\operatorname{ch}(\iota )b^*<(s^0+m^0)b^*$; – $m^0=\operatorname{ch}(l)=\operatorname{ch}(\sigma^ml)$ i $\operatorname{ch}(\iota p^m)=\operatorname{ch}(\iota )\geqslant m^0+j$; – $\kappa (\iota p^m)=\kappa (\iota )$. Следовательно, если $\iota <0$, то $\mathscr R(n),\mathscr S(n)\in\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}(s,j\rangle $. Пусть $\iota >0$. Отметим, что если $p^{m(\iota )}$ – максимальная степень $p$ такая, что $\iota =p^{m(\iota )}\iota_1$ и $\iota_1\in\mathfrak{A}^0$, то $\iota_1\in\mathfrak{A}^+(p)$. Для этого достаточно проверить только последнее неравенство для $\kappa (\iota_1)= \kappa (\iota )$ из определения 2.12. Используя, что $t^{-\iota }l\in \widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$, $w^0(\iota )\geqslant 1$ и $\operatorname{ch}(\iota )\geqslant m^0+1$, получаем, что
$$
\begin{equation*}
(p-2)\operatorname{ch}(\iota )+w^0(\iota )\geqslant (p-2)m^0+p-1 \geqslant (p-2)m^0+s^0\geqslant\kappa (\iota_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь полагаем
$$
\begin{equation*}
\mathscr R(n)=t^{-\iota_1}\sigma^{-m(\iota )}l, \qquad \mathscr S(n)=\sum_{0\leqslant m<m(\iota )}\sigma^m(\mathscr R(n)).
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, если $0\leqslant m\leqslant m(\iota )$, то $\sigma^m\mathscr R(n)\in\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\langle j\rangle $. Действительно, – $\iota_1p^m+\operatorname{ch}(\iota_1p^m)b^*\leqslant \iota +\operatorname{ch}(\iota )b^*<(s^0+m^0)b^*$; – $\operatorname{ch}(\iota_1p^m)=\operatorname{ch}(\iota )\geqslant m^0+j$, $\sigma^{-m(\iota )+m}l\in\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }(s^0)[m^0]_k\cap C_s(\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224}})_k$; – $\kappa (\iota_1p^m)=\kappa (\iota )$. Итак, мы доказали существование $\mathscr R(n)$ и $\mathscr S(n)$. Единственность вытекает из того, что при $j\geqslant 1$ $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\langle j\rangle |_{\sigma =\mathrm{id} }=0$ и соответствующие $t^{-\iota }$ независимы по модулю подгруппы $(\sigma -\mathrm{id} )\mathscr K$, см. предложение 2.14. Лемма доказана. Продолжим доказательство предложения 2.22. Применим индукцию по $i\geqslant 1$, чтобы доказать предложение по модулю $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}(i, i\rangle $. Если $i=1$, то положим $\widetilde{c}_{\gamma }=0$, $A^{\unicode{8224} }_{\gamma }=\mathrm{id} $ и используем, что $\Omega_{\gamma }(\widetilde{e}^{\mathrm{sp}})- \widetilde{e}^{\mathrm{sp}} \in \widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}(1, 1\rangle $. Пусть $1\leqslant i<p$ и для $ \widetilde{c}_{\gamma }\in\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}(1, 1\rangle $ и $A_{\gamma }^{\unicode{8224}}\in\operatorname{Aut}_{\operatorname{Lie}}(\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} })$
$$
\begin{equation*}
H=\Omega_{\gamma } \widetilde{e}^{\mathrm{sp}}- (\sigma \widetilde{c}_{\gamma })\circ (A^{\unicode{8224} }_{\gamma } \otimes\mathrm{id}_{\mathscr K})\widetilde{e}^{\mathrm{sp}}\circ (- \widetilde{c}_{\gamma })\in \widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}(i, i\rangle .
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\mathscr R(H),\mathscr S(H)\in \widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}(i, i\rangle $. Положим $\mathscr R(H)=\sum_{\operatorname{ch}(\iota )\geqslant i+m}t^{-\iota }H_{\iota m}$, где все $H_{\iota m}\in \widetilde{\mathscr L}^{\unicode{8224} }[m]_k\cap C_i(\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} })_k$. Определим $A^{\unicode{8224} \prime}_{\gamma }\in\operatorname{Aut}_{\operatorname{Lie}}(\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} })$, полагая для всех соответствующих $\iota $ и $m$ $A_{\gamma }^{\unicode{8224} \prime }(D^{\unicode{8224} }_{\iota 0})=A^{\unicode{8224} }_{\gamma }(D^{\unicode{8224} }_{\iota 0})-\sum_{m}H_{\iota m}$. Положим также $\widetilde{c}^{\prime }_{\gamma }= \widetilde{c}_{\gamma }-{\mathscr S}(H)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\Omega_{\gamma } \widetilde{e}^{\mathrm{sp}}\equiv (\sigma \widetilde{c}^{\prime }_{\gamma 1})\circ (A^{\unicode{8224} \prime }_{\gamma } \otimes\mathrm{id}_{\mathscr K})\widetilde{e}^{\mathrm{sp}}\circ (- \widetilde{c}^{\prime }_{\gamma })\ \operatorname{mod} \widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}(i+1, i+1\rangle .
\end{equation*}
\notag
$$
Единственность доказывается аналогичным образом, с использованием индукции по $i$ и утверждения о единственности из леммы 2.23. Предложение 2.22 доказано. Очевидно, мы имеем также следующие свойства. Следствие 2.24. Для любых $\gamma ,\gamma_1\in\mathbb{Z} /p$: a) $A^{\unicode{8224} }_{\gamma +\gamma_1}= A^{\unicode{8224} }_{\gamma }A^{\unicode{8224} }_{\gamma_1}$; b) $\Omega_{\gamma }(\widetilde{c}_{\gamma_1}) \circ (A^{\unicode{8224} }_{\gamma_1}\otimes\mathrm{id}_{\mathscr K}) {\widetilde c}_{\gamma }= \widetilde{c}_{\gamma +\gamma_1}$; c) если $l\in\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }[m]$, то $A^{\unicode{8224} }_{\gamma }(l)-l\in \bigoplus_{m'<m} \overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }[m']$, например, $A^{\unicode{8224} }_{\gamma }|_{\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224}}[0]}=\mathrm{id} .$ 2.6. Действие $\Omega_U$Пусть $A^{\unicode{8224} }:=A^{\unicode{8224} }_{\gamma }|_{\gamma =1}$. Тогда для $\gamma =n\ \operatorname{mod}p$, $A^{\unicode{8224} }_{\gamma }=A^{\unicode{8224} n}$, в частности, $A^{\unicode{8224} p}=\mathrm{id}_{\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }}$. Согласно следствию 2.24, п. c) для всех $m\geqslant 0$
$$
\begin{equation*}
(A^{\unicode{8224} }_{\gamma }- \mathrm{id}_{\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }}) \biggl(\bigoplus_{m'\leqslant m}\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }[m']\biggr) \subset\bigoplus_{m'<m}\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }[m'].
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, существует $B^{\unicode{8224} }\in \operatorname{End}_{\operatorname{Lie}}\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }$ такое, что для всех $m\geqslant 0$ выполнено $B^{\unicode{8224} }(\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }[m])\subset\bigoplus_{m'<m}\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }[m']$ и для всех $\gamma\in\mathbb{Z} /p$ имеет место $A^{\unicode{8224} }_{\gamma }=\operatorname{\widetilde{\exp}}(\gamma B^{\unicode{8224} })$. Дифференцирование $B^{\unicode{8224} }$ восстанавливается с помощью методов из [8; § 3]. Именно, определим кодействие формальной конечной групповой схемы $\alpha_p=\operatorname{Spec} \mathbb{F}_p[U]$ на $\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$ следующим образом (здесь $U^p=0$ и косложение задано с помощью $\Delta U=U\otimes 1+1\otimes U$). Если $\iota =p^n(q\alpha -(q-1)\beta )\in \mathfrak{A}^0$ и $t^{-\iota }l\in\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}$, где $l\in\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }_k$, то положим
$$
\begin{equation*}
\Omega_{U}(t^{-\iota }l):=t^{-\iota } \operatorname{\widetilde{\exp}}( U\otimes (p^n\alpha ) t^{b^*})l\in \mathbb{F}_p[U] \otimes \widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате
$$
\begin{equation}
\Omega_U(\widetilde{e}^{\mathrm{sp}})=\sigma (\widetilde c_U) \circ (A^{\unicode{8224}}_U\otimes\mathrm{id} )\widetilde{e}^{\mathrm{sp}}\circ (-\widetilde c_U),
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где все $\gamma\in\mathbb{Z} /p $, $A^{\unicode{8224} }_U=\operatorname{\widetilde{\exp}}(UB^{\unicode{8224} })$ и $\widetilde{c}_U|_{U=\gamma }= \widetilde{c}_{\gamma }$. В работе [8] также было получено, что – $\widetilde{c}_U= \widetilde{c}^{(1)}U+\dots + \widetilde{c}^{(p-1)}U^{p-1}$, где все $c^{(j)},\sigma c^{(j)} \in\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\langle j\rangle $; – коцикл $ \widetilde{c}_U$ определяется однозначно по его линейной части $\widetilde{c}^{(1)}$; – действие $\Omega_U=\sum_{0\leqslant i<p}\Omega^{i}U^i$ (здесь $\Omega^0=\mathrm{id} $) однозначно восстанавливается по его дифференциалу $d\Omega_U:=\Omega^1U$. 2.7. Идеалы $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224}}[v_0]$ и $\overline{\mathscr L}[v_0]$Напомним, что $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224}}[0]$ является минимальной подалгеброй Ли в $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224}}$ такой, что $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224}}[0]_k$ содержит все $D^{\unicode{8224} }_{\iota n}$ с $\iota\in\mathfrak{A}^0_0(p)=\{\iota\in\mathfrak{A}^0(p)\mid \operatorname{ch}(\iota )=0\}$. Тогда $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224}}[0]$ имеет индуцированную фильтрацию $\{\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224}}(s)[0]\}_{s\geqslant 1}$, и существует эпиморфизм фильтрованных алгебр Ли $\mathscr V^{0}\colon \overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }\to\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }[0]$ такой, что $D^{\unicode{8224} }_{\iota n}\mapsto D^{\unicode{8224} }_{\iota n}$ при $\iota\in\mathfrak{A}^0_0(p)$ и $D^{\unicode{8224} }_{\iota n}\mapsto 0$ в противном случае. По лемме 2.7 $\mathfrak{A}^0_0(p)=\{qa\mid a\in [0,(p-1)v_0)\cap \mathbb{Z}^+(p)\}$. Согласно замечанию 2.15 соответствия $D^{\unicode{8224} }_{qa,n}\mapsto D_{an}$ определяют изоморфизм фильтрованных алгебр Ли $j^0\colon \overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }[0]\to \overline{\mathscr L}$. Пусть $\mathscr V:=j^0\mathscr V^0\colon \overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }\to\overline{\mathscr L}$. Определим идеал $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224}}[v_0]$ как минимальный идеал в $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224}}$, содержащий все $A^{\unicode{8224} }_{\gamma }(\operatorname{Ker}\mathscr V)$, $\gamma\in\mathbb{Z} /p$. Положим $\overline{\mathscr L}[v_0]=\mathscr V(\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224}}[v_0])$. Тогда $\overline{\mathscr L}[v_0]$ – минимальный идеал в $\overline{\mathscr L}$ такой, что $\mathscr V^{-1}(\overline{\mathscr L}[v_0])$ инвариантен относительно всех $A^{\unicode{8224}}_{\gamma }$. Замечание 2.25. $\operatorname{Ker}\mathscr V_k$ является идеалом в $\overline{\mathscr L}_k^{\unicode{8224} }$, порожденным элементами $D_{\iota n}^{\unicode{8224} }$ такими, что $\operatorname{ch}\iota\geqslant 1$. Согласно предложению 2.14, а) для всех таких $\iota $, $\iota p^{-v_p(\iota )}\geqslant (p-1)v_0$. В частности, все $D_{\iota p^{-v_p(\iota )},n}\in\mathscr L(p)_k$. Следовательно, проекция $\overline{\operatorname{pr}}$ пропускается через эпиморфное отображение алгебр Ли $\overline{\eta }^{\unicode{8224} }\colon \mathscr L\to\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }$. В частности, $\overline{\operatorname{pr}}^{-1}\overline{\mathscr L}[v_0]=(\overline{\eta }^{\unicode{8224}})^{-1}\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }[v_0]$. Доказательство. Пусть $l'=\mathscr V^0(l)$. Тогда $l\in l'+\operatorname{Ker}\mathscr V$ и, следовательно, $A^{\unicode{8224} }_{\gamma }(l)\in A^{\unicode{8224} }_{\gamma }(l')+ A^{\unicode{8224} }_{\gamma }(\operatorname{Ker}\mathscr V)\subset l'+\mathscr V^{-1}\overline{\mathscr L}[v_0]$. Остается применить $\mathscr V$ к этому вложению. (Используем, что $A^{\unicode{8224} }_{\gamma }|_{\operatorname{Im}\mathscr V^0}=\mathrm{id} $.) Предложение доказано. Идеал $\overline{\mathscr L}[v_0]$ может быть также определен в терминах действия $\Omega_U$. Если $B^{\unicode{8224} }$ – дифференцирование из п. 2.6, то $\overline{\mathscr L}[v_0]$ возникает как минимальный идеал в $\overline{\mathscr L}$ такой, что $\overline{\mathscr L}[v_0]_k$ содержит все элементы $\mathscr VB_k^{\unicode{8224} }(D^{\unicode{8224} }_{\iota 0})$, где $\iota \in \mathfrak{A}^0(p)$ и $\operatorname{ch}(\iota )\,{\geqslant}\,1$ (если $\iota\in\mathfrak{A}^0_0(p)$, то $B^{\unicode{8224} }(D^{\unicode{8224} }_{\iota 0})=0$). Это вытекает из следующего предложения. Предложение 2.27. Пусть ${\mathscr I}$ является идеалом в $\overline{\mathscr L}$. Тогда следующие условия эквивалентны: a) для любого $\gamma\in\mathbb{Z} /p$, $A^{\unicode{8224} }_{\gamma }(\operatorname{Ker} \mathscr V)\subset \mathscr V^{-1}({\mathscr I})$; b) $B^{\unicode{8224} }(\operatorname{Ker}\mathscr V)\subset \mathscr V^{-1}({\mathscr I})$. Доказательство. Из a) вытекает b), так как для любого $l\in \overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }$ имеется невырожденная система линейных соотношений с $\gamma =1,\dots,p-1$. Обратно, из b) следует, что для всех $s\,{\geqslant}\, 1$, $B^{\unicode{8224} s}(\operatorname{Ker} {\mathscr V})\,{\subset}\, B^{\unicode{8224} }(\operatorname{Ker}\mathscr V)$. Действительно, $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }\,{=}\operatorname{Ker}\mathscr V\oplus\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }[0]$ влечет, что $\mathscr V^{-1}(\mathscr I)\,{=}\operatorname{Ker}\mathscr V\oplus (j^0)^{-1}(\mathscr I)$. Следовательно, $B^{\unicode{8224}2}(\operatorname{Ker}\mathscr V)\,{\subset}\, B^{\unicode{8224} }(\mathscr V^{-1}(\mathscr I))\,{=}\,B^{\unicode{8224} }(\operatorname{Ker}\mathscr V)$ (используем, что $B^{\unicode{8224} }|_{\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }[0])}\,{=}\,0$). Остается использовать соотношения (2.4). Предложение доказано. 2.8. Алгебры Ли $\mathscr N^{(q)}$, $\overline{\mathscr N}^{(q)}$ и $\widetilde{\mathscr N}^{(q)}$Определим аналог $\mathscr N^{(q)}\subset\mathscr L_{\mathscr K}$ алгебры $\mathscr N$ как $k$-модуль, порожденный элементами $t^{-a}l$ такими, что $s\geqslant 1$, $l\in\mathscr L(s)_k$ и $a<sb^*$. Этот модуль является алгеброй Ли, причем $e^{(q)}$ вместе со всеми $\gamma *e^{(q)}$, где $\gamma\in\mathbb{Z} /p$ (см. п. 1.5), лежит в $ \mathscr N^{(q)}$. Аналогично определим алгебры Ли $\overline{\mathscr N}^{(q)}$ (используем алгебру Ли $\overline{\mathscr L}$ вместо $\mathscr L$) и $\widetilde{\mathscr N}^{(q)}=\overline{\mathscr N}^{(q)}/t^{(p-1)b^*}\overline{\mathscr N}^{(q)}$. Эти алгебры получаются из $\mathscr N^{(q)}$ с помощью естественной проекции $\overline{\operatorname{pr}}_{\mathscr K}\colon \mathscr L_{\mathscr K}\to\overline{\mathscr L}_{\mathscr K}$. Соответствующие образы $e^{(q)}$ в $\overline{\mathscr N}^{(q)}$ и $\widetilde{\mathscr N}^{(q)}$ будут обозначаться через $\overline e^{(q)}$ и соответственно $\widetilde{e}^{(q)}$. Отметим, что существуют естественные отождествления $\overline{\mathscr N}^{(q)}=\mathscr V_{\mathscr K}(\overline{\mathscr N}^{\unicode{8224} })$ и $\widetilde{\mathscr N}^{(q)}=\mathscr V_{\mathscr K}(\widetilde{\mathscr N}^{\unicode{8224} })$, где $\overline{\mathscr N}^{\unicode{8224} }$, $\widetilde{\mathscr N}^{\unicode{8224} }$ и $\mathscr V_{\mathscr K}$ были определены в п. 2.4. 2.9. Образующие алгебры $\overline{\mathscr L}[v_0]$Введем условие совместимости
$$
\begin{equation}
\mathscr V_{\mathscr K}(\overline e^{\mathrm{sp}})=\overline e^{(q)}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Согласно предложению 2.27 $\overline{\mathscr L}[v_0]$ является минимальным идеалом в $\overline{\mathscr L}$ таким, что для всех $\iota\in\mathfrak{A}^0(p)$ с $\operatorname{ch}(\iota )\geqslant 1$ выполнено $\mathscr V_kB^{\unicode{8224} }_k(D^{\unicode{8224} }_{\iota 0}) \in \overline{\mathscr L}[v_0]_k$. (Отметим, что из этого следует, что $\mathscr VB^{\unicode{8224} }(C_2(\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }))\subset [\overline{\mathscr L}[v_0],\overline{\mathscr L}]$.) Предложение 2.28. Если $\operatorname{ch}(\iota )\geqslant 2$, то $\mathscr V_kB^{\unicode{8224} }_k(D^{\unicode{8224} }_{\iota 0}) \in [\overline{\mathscr L}[v_0],\overline{\mathscr L}]_k$. Доказательство. Пусть $\widetilde{e}^{(q)}=\sum_{a}t^{-qa}l_a^{(q)}$ и $\widetilde{e}^{\mathrm{sp}}= \sum_{\iota}t^{-\iota }l_{\iota }^{\mathrm{sp}}$, где все $l_a^{(q)}\in\overline{\mathscr L}_k$ и $l_{\iota }^{\mathrm{sp}}\in\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }_k$. Заметим, что: – если $a\in\mathbb{Z}^0(p)$, то $l_a^{(q)}\equiv D_{a0}\ \operatorname{mod}C_2(\overline{\mathscr L})_k$; – если $a\notin \mathbb{Z}^0(p)$, то $l_a^{(q)}\in C_2(\overline{\mathscr L})_k$; – если $\iota =qa$ с $a\in\mathbb{Z} $, то $\mathscr V_k(l^{\mathrm{sp}}_{\iota })=l_a^{(q)}$, а в противном случае $\mathscr V_k(l_{\iota }^{\mathrm{sp}})=0$; – если $\iota\in\mathfrak{A}^0(p)$, то $l^{\mathrm{sp}}_{\iota }\equiv D^{\unicode{8224} }_{\iota 0}\ \operatorname{mod} C_2(\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} })_k$, а в противном случае $l_{\iota }^{\mathrm{sp}}\in C_2(\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} })_k$. Используя формализм из п. 2.6, получаем
$$
\begin{equation}
\Omega_U(\widetilde{e}^{\mathrm{sp}})\equiv (U\sigma \widetilde{c}^{1})\circ (\widetilde{e}^{\mathrm{sp}}+U(B^{\unicode{8224} } \otimes\mathrm{id}_{\mathscr K})\widetilde{e}^{\mathrm{sp}}) \circ (-U\widetilde{c}^{1})\ \operatorname{mod}U^2\widetilde{\mathscr N}^{\unicode{8224} },
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где $\widetilde{c}^{1},\sigma\widetilde c^1\in\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\langle 1\rangle $. Отметим, что
$$
\begin{equation*}
\Omega_U(\widetilde{e}^{\mathrm{sp}})\equiv \widetilde{e}^{\mathrm{sp}}+ U\sum_{\iota }(p^m\alpha )_{\iota }t^{-\iota +b^*}l_{\iota }^{\mathrm{sp}} \ \operatorname{mod}U^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\iota =q(p^m\alpha )_{\iota }-(q-1)(p^m\beta )_{\iota }$. Применяя $\mathscr V_{\mathscr K}$ к соотношению (2.6) и полагая $\widetilde x:=\mathscr V_{\mathscr K}\widetilde c^1$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\widetilde{e}^{(q)}+U\sum_{a} at^{-qa +b^*}l_{a}^{(q)} \\ &\qquad \equiv(U\sigma\widetilde{x})\circ \biggl(\widetilde{e}^{(q)}+U\sum_{\iota }t^{-\iota } \mathscr V_kB^{\unicode{8224} }_k(l_{\iota }^{\mathrm{sp}})\biggr) \circ (-U\widetilde x)\ \operatorname{mod}U^2\widetilde{\mathscr N}^{(q)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Пусть $\widetilde f_1, \widetilde f_2\in\widetilde{\mathscr N}^{(q)}$ таковы, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (U\sigma \widetilde{x})\circ \widetilde{e}^{(q)}\equiv \widetilde{e}^{(q)}+U(\sigma \widetilde{x}+\widetilde{f}_1) \ \operatorname{mod}U^2, \\ \widetilde{e}^{(q)}\circ (-U\widetilde{x})\equiv \widetilde{e}^{(q)}+U(- \widetilde{x}+\widetilde{f}_2) \ \operatorname{mod}U^2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\widetilde f_1$ и $\widetilde f_2$ имеются точные формулы (см., например, [8; п. 3.2]), однако нам понадобится лишь то, что эти выражения являются $\mathbb{F}_p$-линейными комбинациями коммутаторов $[\dots [\sigma \widetilde{x}, \widetilde{e}^{(q)}],\dots ,\widetilde{e}^{(q)}]$ и соответственно $[\dots [\widetilde{x},\widetilde{e}^{(q)}],\dots ,\widetilde{e}^{(q)}]$. Сравнивая коэффициенты при $U$ в (2.7), получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{a} at^{-qa +b^*}l_{a}^{(q)}=\sigma\widetilde{x}-\widetilde{x}+\sum_{\iota }t^{-\iota } \mathscr V_kB^{\unicode{8224} }_k(l_{\iota }^{\mathrm{sp}})+\widetilde f_1+\widetilde f_2.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Заметим, что: a) $\widetilde{c}^{1},\sigma\widetilde c^1\in\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\langle 1\rangle $ влечет, что $\widetilde x,\sigma \widetilde x\in \sum_{\operatorname{ch}(\iota )\geqslant 1} t^{-\iota }\overline{\mathscr L}_k$; b) $\{\ y\in\sum_{\operatorname{ch}(\iota )\geqslant 1} t^{-\iota }\overline{\mathscr L}_k\mid \sigma y=y\}=0$; c) если $\iota\not\in\mathfrak{A}^0(p)$, то $\mathscr V_kB_k^{\unicode{8224} }(l_{\iota }^{\mathrm{sp}})\in [\overline{\mathscr L}[v_0],\overline{\mathscr L}]_k$; d) если $\iota\in\mathfrak{A}^0(p)$, то $\mathscr V_kB^{\unicode{8224} }_k(l_{\iota }^{\mathrm{sp}}) \equiv \mathscr V_kB^{\unicode{8224} }_k(D^{\unicode{8224} }_{\iota 0}) \ \operatorname{mod}[\overline{\mathscr L}[v_0],\overline{\mathscr L}]_k$. Пусть $\widetilde x= \sum_{\iota } t^{-\iota }x_{\iota }$ и $\widetilde f_1+\widetilde f_2= \sum_{\iota }t^{-\iota }f_{\iota }$, где $x_{\iota },f_{\iota }\in\overline{\mathscr L}_k$ и обе суммы берутся по $\iota \in\mathfrak{A}^0$ таким, что $\operatorname{ch}(\iota )\geqslant 1$. Пусть $\widetilde x[m]$ – часть первой суммы, содержащая все слагаемые $t^{-\iota }x_{\iota }$ с $\operatorname{ch}(\iota )=m$. Аналогично определим часть $\widetilde f[m]$ второй суммы. Заметим, что $\widetilde f[m]$ является линейной комбинацией коммутаторов вида $[\dots [\widetilde x[m],\widetilde e^{(q)}],\dots ,\widetilde e^{(q)}]$ и $[\dots [\sigma (\widetilde x[m]),\widetilde e^{(q)}],\dots ,\widetilde e^{(q)}]$. Теперь из (2.8) и сравнения d) следует, что для любого $m\geqslant 2$
$$
\begin{equation*}
\mathscr H[m]\equiv -\widetilde f[m]\in \ \operatorname{mod}[\overline{\mathscr L}[v_0], \overline{\mathscr L}]_{\mathscr K},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathscr H[m]:=\sigma (\widetilde x[m])-\widetilde x[m]+ \sum_{\operatorname{ch}(\iota )=m}t^{-\iota }\mathscr V_kB^{\unicode{8224} }_k(D^{\unicode{8224} }_{\iota 0})$. Пусть $\overline{\mathscr D}(s):=[\overline{\mathscr L}[v_0],\overline{\mathscr L}]+\overline{\mathscr L}(s)$. Докажем индукцией по $s\geqslant 1$, что $\widetilde x[m]\in\overline{\mathscr D}(s)_{\mathscr K}$ и $\mathscr V_kB_k^{\unicode{8224} }(D^{\unicode{8224}}_{\iota 0}) \in\overline{\mathscr D}(s)_k$ (здесь $\operatorname{ch}(\iota )=m$). Если $s=1$, то доказывать нечего. Пусть наше утверждение доказано для $s<p$. Тогда $\widetilde f[m]\in\overline{\mathscr D}(s+1)_{\mathscr K}$ и, следовательно, $\mathscr H[m]\in \overline{\mathscr D}(s+1)_{\mathscr K}$. Теперь из аналога леммы 2.23 следует, что $\widetilde x[m]$ и $\sum_{\operatorname{ch}(\iota )=m}t^{-\iota } \mathscr V_kB^{\unicode{8224} }_k(D^{\unicode{8224} }_{\iota 0})$ лежит в $\overline{\mathscr D}(s+ 1)_{\mathscr K}$. В частности, все $\mathscr V_kB_k^{\unicode{8224} }(D_{\iota 0})\in\overline{\mathscr D}(s+1)_k$. Предложение доказано, так как $\overline{\mathscr D}(p)=[\overline{\mathscr L}[v_0],\overline{\mathscr L}]$. Следствие 2.29. $\overline{\mathscr L}[v_0]$ является минимальным идеалом в $\overline{\mathscr L}$ таким, что для всех $\iota\in\mathfrak{A}_1^0(p):= \{\iota \in\mathfrak{A}^0(p)\mid \operatorname{ch}(\iota )=1\}$ выполнено $\mathscr V_kB^{\unicode{8224} }_k(D^{\unicode{8224} }_{\iota 0}) \in \overline{\mathscr L}[v_0]_k$. § 3. Применение к фильтрации ветвления3.1. Формулировка основного результатаНапомним, что в § 1 мы зафиксировали выбор элемента $e\in\mathscr L_{\mathscr K}$, удовлетворяющего условиям (1.1) и (1.3). Мы также зафиксировали выбор $f\in\mathscr L_{\mathrm{sep}}$ такого, что $\sigma f=e\circ f$ и определили эпиморфизм $\eta_e=\pi_f(e)\colon \mathscr G\to G(\mathscr L)$, который индуцирует отождествление $\mathscr G_{<p}\simeq G(\mathscr L)$. Условия (1.1) и (1.3) означают, что $\eta_e$ является “достаточно хорошим” подъемом отображения взаимности локальной теории полей классов. Нашей целью является описание идеала $\mathscr L^{(v_0)}$ в алгебре $\mathscr L$ такого, что $\eta_e(\mathscr G^{(v_0)})=\mathscr L^{(v_0)}$, в терминах идеалa $\overline{\mathscr L}[v_0]$, определенного в § 2. В следующем пункте наш результат будет связан с явным описанием идеала $\mathscr L^{(v_0)}$ из работы [1]. Рассмотрим параметры $\delta_0, r^*, N^*, q$ из § 2 (они полностью зависят от начального значения $v_0\geqslant 1$). Заметим, если $e^{(q)}=\sigma^{N^*}(e)$ и $f^{(q)}=\sigma^{N^*}(f)$, то соответствующий морфизм $\pi_{f^{(q)}}(e^{(q)})$ совпадает с $\eta_e$. Идеал $\overline{\mathscr L}[v_0]\subset\overline{\mathscr L}$ был определен в терминах действия формальной группы $\alpha_p$ на элемент $\widetilde{e}^{\mathrm{sp}}=\overline{e}^{\mathrm{sp}}\ \operatorname{mod}t^{(p-1)b^*}\overline{\mathscr N}^{\unicode{8224} } \in\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\subset\widetilde{\mathscr N}^{\unicode{8224} }$, удовлетворяющий предположению (2.1). В п. 2.8 было сформулировано условие совместимости (2.5), связывающее элементы $e$ и $\overline{e}^{\mathrm{sp}}$. Это условие автоматически удовлетворяется если, например, $e=\sum_{a\geqslant 0}t^{-a}l_a$, где все $l_a\in\mathscr L_k$. Теорема 3.1. Если выполнено условие (2.5), то $\mathscr L^{(v_0)}=\overline{\operatorname{pr}}^{-1}\overline{\mathscr L}[v_0]$. Замечание 3.2. Согласно замечанию 2.25 эта теорема также утверждает, что существует эпиморфизм алгебр Ли $\overline{\eta }^{\unicode{8224} }\colon \mathscr L\to\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }$ такой, что $\mathscr L^{(v_0)}=(\overline{\eta }^{\unicode{8224} })^{-1}\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224}}[v_0]$. 3.2. Индуктивное предположениеДокажем теорему индукцией по $s_0\,{\geqslant}\, 1$ в следующем виде (утверждение теоремы получается при $s_0=p$):
$$
\begin{equation}
\mathscr L^{(v_0)}+C_{s_0}(\mathscr L)=\overline{\operatorname{pr}}^{-1}(\overline{\mathscr L}[v_0])+\mathscr L(s_0).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Очевидно, случай $s_0=1$ выполнен, так как $C_1(\mathscr L)=\mathscr L(1)=\mathscr L$. Пусть (3.1) выполнено для некоторого $1\leqslant s_0<p$. Заметим, что для любого $\gamma\in\mathbb{Z} /p$ образ $\gamma *\widetilde{e}^{(q)}$ элемента $\gamma *\overline e^{(q)}$ в $\widetilde{\mathscr N}^{(q)}$ совпадает с $\mathscr V_{\mathscr K} \Omega_{\gamma }(\widetilde{e}^{\mathrm{sp}})$. Предложение 3.3. Существует $x_{\gamma}\in t^{b^*} \sum_{1\leqslant s<s_0}t^{-sb^*}\mathscr L(s)_{\mathrm m}\subset\mathscr N^{(q)}$ такой, что Доказательство. Из предложения 2.22, a) следует, что
$$
\begin{equation*}
\gamma *\widetilde e^{(q)}= (\sigma\widetilde x_{\gamma })\circ (\mathscr VA^{\unicode{8224} }_{\gamma }\otimes \mathrm{id}_{\mathscr K})\widetilde e^{\mathrm{sp}}\circ (-\widetilde x_{\gamma }),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde x_{\gamma }=\mathscr V_{\mathscr K}(\widetilde c_{\gamma })\in \mathscr V_{\mathscr K}(\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\langle 1\rangle )\subset \mathscr V_{\mathscr K}(t^{b^*}\widetilde{\mathscr N}^{\unicode{8224} })= t^{b^*}\widetilde{\mathscr N}^{(q)}$ (используем замечание 2.19). Напомним, что $\overline e^{\mathrm{sp}}\in\overline{\mathscr N}^{\unicode{8224}}$ является подъемом элемента $\widetilde{e}^{\mathrm{sp}}\in\widetilde{\mathscr N}^{\mathrm{sp}}\subset \widetilde{\mathscr N}^{\unicode{8224}}$ таким, что $\mathscr V_{\mathscr K}(\overline e^{\mathrm{sp}})=\overline e^{(q)}$ и $\sigma $ нильпотентен на ядре проекции $\overline{\mathscr N}^{\unicode{8224}}\to\widetilde{\mathscr N}^{\unicode{8224}}$. Следовательно, действуя, как в доказательстве предложения 1.4, можно установить существование единственного подъема $\overline x_{\gamma }\in t^{b^*}\overline{\mathscr N}^{(q)}$ элемента $\widetilde x_{\gamma }$ такого, что
$$
\begin{equation}
\gamma *\overline e^{(q)}=(\sigma \overline x_{\gamma })\circ (\mathscr VA^{\unicode{8224} }_{\gamma } \otimes\mathrm{id}_{\mathscr K})\overline e^{\unicode{8224}} \circ (-\overline x_{\gamma }).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Из предложения 2.26 вытекает, что $(\mathscr VA^{\unicode{8224} }_{\gamma }\otimes\mathrm{id}_{\mathscr K})\overline e^{\unicode{8224} } \equiv \overline e^{(q)}\ \operatorname{mod}\overline{\mathscr L}[v_0]_{\mathscr K}$, и мы получаем следующее сравнение:
$$
\begin{equation}
\gamma *e^{(q)}\equiv (\sigma x_{\gamma }) \circ e^{(q)}\circ (-x_{\gamma})\ \operatorname{mod} \overline{\operatorname{pr}}^{-1}\overline{\mathscr L}[v_0]_{\mathscr K},
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $x_{\gamma }\in\mathscr L_{\mathscr K}$ – произвольный подъем элемента $\overline x_{\gamma }$. Мы можем выбрать $x_{\gamma}\in t^{b^*} \sum_{1\leqslant s<s_0}t^{-sb^*}\mathscr L(s)_{\mathrm m}$ при рассмотрении этого сравнения по модулю идеала $(\overline{\operatorname{pr}}^{-1}\overline{\mathscr L}[v_0]+\mathscr L(s_0))_{\mathscr K}$. Остается использовать индуктивное предположение. Предложение доказано. Замечание 3.4. a) Благодаря критерию из п. 1.5 сравнение (3.3) уже влечет, что $\mathscr L^{(v_0)}\subset\overline{\operatorname{pr}}^{-1}\overline{\mathscr L}[v_0]$ (используем, что все $x_{\gamma }$ определены над $\mathscr K$). b) В приведенном выше доказательстве также получено, что $\sigma\overline x_{\gamma }\in t^{b^*}\overline{\mathscr N}^{(q)}$ и $\sigma x_{\gamma}\in t^{b^*} \sum_{1\leqslant s<s_0}t^{-sb^*}\mathscr L(s)_{\mathrm m}$. Для (некоммутативных) переменных $U$ и $V$ из некоторой $\mathbb{F}_p$-алгебры Ли $L$ класса нильпотентности $<p$ положим $\delta^0(U,V):=U\circ V-(U+V)$. Заметим, если $U$ и $V$ корректно определены по модулю $C_{s_0}(L)$, то $\delta^0(U,V)$ корректно определен по модулю $C_{s_0+1}( L)$. Пусть $y_{\gamma }=\gamma *e^{(q)}-e^{(q)}+\delta^0(\gamma *e^{(q)},x_{\gamma })-\delta^0(\sigma x_{\gamma },e^{(q)})$. Лемма 3.5. Для любого $\gamma\in \mathbb{Z} /p$ существует $X_{\gamma }\in\mathscr L_{\mathrm{sep}}$ такой, что a) $\gamma *e^{(q)}\equiv (\sigma X_{\gamma })\circ e^{(q)}\circ (-X_{\gamma })\ \operatorname{mod}([\mathscr L^{(v_0)},\mathscr L]+ C_{s_0+1}(\mathscr L))_{\mathrm{sep}}$; b) $X_{\gamma }\equiv x_{\gamma }\ \operatorname{mod}(\mathscr L^{(v_0)}+C_{s_0}(\mathscr L))_{\mathrm{sep}}$. Доказательство. Из предложения 3.3 вытекает, что Следовательно, существует $X_{\gamma }\in\mathscr L_{\mathrm{sep}}$ такой, что $\sigma X_{\gamma }-X_{\gamma }=y_{\gamma }$ и $X_{\gamma }$ удовлетворяет сравнению b). Остается заметить, что a) эквивалентно сравнению по модулю $([\mathscr L^{(v_0)},\mathscr L]+C_{s_0+1}(\mathscr L))_{\mathrm{sep}}$ и по тому же модулю мы имеем $\delta^0(\gamma *e^{(q)},X_{\gamma })\equiv \delta^0(\gamma *e^{(q)}, x_{\gamma })$ и $\delta^0(\sigma X_{\gamma },e^{(q)})\equiv \delta^0(\sigma x_{\gamma }, e^{(q)})$.Элемент $y_{\gamma }$ может быть однозначно записан в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
y_{\gamma }=\sum_{\substack{m\geqslant 0\\ a\in\mathbb{Z}^+(p)}}t^{-ap^m}l_{am}+l_O,
\end{equation*}
\notag
$$
где все $l_{am}\in\mathscr L_k$ и $l_O\in\mathscr L_{O}$ (и $O=k[[t]]\subset\mathscr K$). Согласно предложению 1.3 идеал $\mathscr L^{(v_0)}+C_{s_0+1}(\mathscr L)$ является минимальным идеалом в множестве всех идеалов $\mathscr I$ таких, что: – $\mathscr I\supset [\mathscr L^{(v_0)},\mathscr L]+C_{s_0+1}(\mathscr L)$; – если $a\in\mathbb{Z}^+(p)$ и $a\geqslant qv_0-b^*$, то $l^{(a)}:=\sum_{m\geqslant 0}\sigma^{-m}l_{am}\in\mathscr I_k$. Предложение 3.6. Имеется вложение $\mathscr L(s_0+1)\subset \mathscr L^{(v_0)}+C_{s_0+1}(\mathscr L)$, или (эквивалентным образом) если $a\geqslant s_0v_0$, то все $D_{an}\in\mathscr L^{(v_0)}_k+C_{s_0+1}(\mathscr L)_k$. Доказательство. Имеем $e^{(q)}, \gamma *e^{(q)}\in\mathscr N^{(q)}$ и $\gamma *e^{(q)}-e^{(q)}\in t^{b^*}\mathscr N^{(q)}$. Теперь из предложения 3.3 получаем, что $y_{\gamma }\equiv\gamma *e^{(q)}-e^{(q)}$ по модулю
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &[t^{b^*}\mathscr N, \mathscr N]\subset (t^{b^*}\mathscr N)\cap C_2(\mathscr L)_{\mathscr K} \\ &\qquad \subset \sum_{2\leqslant s_1+s_2\leqslant s_0}[\mathscr L(s_1), \mathscr L(s_2)]_{\mathrm m}t^{-(s_1+s_2-1)b^*}+\mathscr L(s_0+1)_{\mathscr K}\cap C_2(\mathscr L)_{\mathscr K} \\ &\qquad \subset t^{-(s_0-1)b^*}\mathscr L_{\mathrm m}+\mathscr L(s_0+1)_{\mathscr K}\cap C_2(\mathscr L)_{\mathscr K}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3.7. Имеется вложение $\mathscr L(s_0+1)\cap C_2(\mathscr L)\subset [\mathscr L^{(v_0)},\mathscr L]+C_{s_0+1}(\mathscr L)$. Доказательство. Из определения идеала $\mathscr L(s_0+1)$ следует, что $k$-модуль $\mathscr L(s_0+1)_k\cap C_2(\mathscr L)_k$ порожден коммутаторами такими, что $r\geqslant 2$ и $\operatorname{wt} (D_{a_1n_1})+\dots +\operatorname{wt}(D_{a_rn_r})\geqslant s_0+1$. Здесь $\operatorname{wt} (D_{a_in_i})=s_i$, где $(s_i-1)v_0\leqslant a_i<s_iv_0$. Следовательно, если $s_i':=\min\{s_i,s_0\}$, то $\sum_{i}s_i'\geqslant s_0+1$ (используем, что $r\geqslant 2$). По индуктивному предположению все $D_{a_in_i}\in\mathscr L(s_i')_k \subset \mathscr L^{(v_0)}_k+C_{s_i'}(\mathscr L)_k$ и, следовательно, наш коммутатор принадлежит идеалу $[\mathscr L^{(v_0)},\mathscr L]_k+C_{s_0+1}(\mathscr L)_k$. Лемма доказана. Из леммы 3.7 следует, что для $a\geqslant (s_0-1)b^*$ все $l^{(a)}$ по модулю идеала $[\mathscr L^{(v_0)},\mathscr L]_k+C_{s_0+1}(\mathscr L)_k$ происходят из коммутаторов первого порядка (т.е. из линейных комбинаций образующих $D_{an}$). Более точно, пусть
$$
\begin{equation*}
\sum_{a\in\mathbb{Z}^+(p)}t^{-aq}(E(at^{b^*})-1)D_{a0}= \sum_{a',u}\alpha (a',u)t^{-qa'+ub^*}D_{a'0},
\end{equation*}
\notag
$$
где $a'$ и $u$ пробегают $\mathbb{Z}^+(p)$ и соответственно $\mathbb{N} $ и все $\alpha (a',u)\in \mathbb{F}_p$ (заметим, что $\alpha (a',1)=a'$). Доказательство. Пусть $a_0\in\mathbb{Z}^0(p)$ и $a_0\geqslant s_0v_0$. Тогда $a=qa_0-b^*\geqslant (s_0-1)b^*$ и $l^{(a)}\equiv a_0D_{a_00}+ \{k-\text{линейная комбинация всех } D_{a'm'} \mathrm{ с } a'>a_0\}$ по модулю $[\mathscr L^{(v_0)},\mathscr L]_k +C_{s_0+1}(\mathscr L)_k$. Лемма доказана. Так как все такие $l^{(a)}$ должны принадлежать идеалу $\mathscr L^{(v_0)}+C_{s_0+1}(\mathscr L)$, из этого вытекает, что все $D_{a_00}$ с $a_0\geqslant s_0v_0$ (или, эквивалентным образом, имеющие вес $\geqslant s_0+1$) должны принадлежать идеалу $\mathscr L^{(v_0)}_k+C_{s_0+1}(\mathscr L)_k$. Предложение 3.6 доказано. 3.3. Интерпретация в алгебре $\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }$Остается доказать, что в алгебре $\overline{\mathscr L}$ выполнено $\overline{\mathscr L}^{(v_0)}+C_{s_0+1}(\overline{\mathscr L})= \overline{\mathscr L}[v_0]+\overline{\mathscr L}(s_0+1)$. По предложению 3.6 и замечанию 3.4 достаточно проверить, что
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathscr L}^{(v_0)}+\overline{\mathscr L}(s_0+1)\supset \overline{\mathscr L}[v_0]+\overline{\mathscr L}(s_0+1).
\end{equation*}
\notag
$$
Используем индуктивное предложение в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathscr L}[v_0]+\overline{\mathscr L}(s_0)=\overline{\mathscr L}^{(v_0)}+\overline{\mathscr L}(s_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Из определения $\overline{\mathscr L}[v_0]$ и предложения 2.28 вытекает, что $\overline{\mathscr L}[v_0]+\overline{\mathscr L}(s_0+1)$ является минимальным идеалом в множестве идеалов ${\mathscr I}$ алгебры $\overline{\mathscr L}$ таких, что: – ${\mathscr I}\supset \overline{\mathscr D}(s_0+1):=[\overline{\mathscr L}[v_0], \overline{\mathscr L}]+\overline{\mathscr L}(s_0+1)=[\overline{\mathscr L}^{(v_0)}, \overline{\mathscr L}]+\overline{\mathscr L}(s_0+1)$; – если $\iota\in\mathfrak {A}_1^0(p)$, то $\mathscr V_kB_k^{\unicode{8224} }(D^{\unicode{8224} }_{\iota 0})\in {\mathscr I}_k$. Мы должны доказать, что для любого $\iota\in\mathfrak{A}_1^0(p)$
$$
\begin{equation*}
\mathscr V_kB_k^{\unicode{8224} }(D^{\unicode{8224} }_{\iota 0}) \in \overline{\mathscr L}_k^{(v_0)}+\overline{\mathscr L}(s_0+1)_k
\end{equation*}
\notag
$$
или, эквивалентным образом, для любого $\gamma\ne 0$
$$
\begin{equation*}
\mathscr V_k(A^{\unicode{8224} }_{\gamma }-\mathrm{id}_{\overline{\mathscr L}_k})(D^{\unicode{8224} }_{\iota 0})\in\overline{\mathscr L}^{(v_0)}_k +\overline{\mathscr L}(s_0+1)_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Фиксируем $\gamma\ne 0$ и рассмотрим равенство (3.2). По предложению 2.26 имеем $(\mathscr VA^{\unicode{8224}}_{\gamma }\otimes\mathrm{id}_{\mathscr K})\overline{e}^{\unicode{8224}} \equiv \overline{e}^{(q)}\ \operatorname{mod}(\overline{\mathscr L}[v_0]+\overline{\mathscr L}(s_0))_{\mathscr K}$. Следовательно, существует ${Z}_{\gamma } \in (\overline{\mathscr L}[v_0]+\overline{\mathscr L}(s_0))_{\mathrm{sep}}$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\sigma Z_{\gamma }- Z_{\gamma }= (\mathscr V(A^{\unicode{8224} }_{\gamma }-\mathrm{id}_{\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }}) \otimes\mathrm{id}_{\mathscr K})\overline e^{\unicode{8224}},
\end{equation*}
\notag
$$
и мы получаем (используем, что $(\overline{\mathscr L}[v_0]+\overline{\mathscr L}(s_0+1)) \ \operatorname{mod}\overline{\mathscr D}(s_0+1)$ – абелева алгебра)
$$
\begin{equation*}
\gamma *\overline{e}^{(q)}= \sigma (\overline x_{\gamma }\circ Z_{\gamma })\circ \overline e^{(q)}\circ (-(\overline x_{\gamma }\circ { Z}_{\gamma }))\ \operatorname{mod} \overline{\mathscr D}(s_0+1)_{\mathrm{sep}} .
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, идеал $\overline{\mathscr L}^{(v_0)}+\overline{\mathscr L}(s_0+1)\supset\overline{\mathscr D}(s_0+1)$ является минимальным в семействе всех идеалов ${\mathscr I}$ таких, что – $\overline{\mathscr L}[v_0]+\overline{\mathscr L}(s_0+1)\supset {\mathscr I}\supset \overline{\mathscr D}(s_0+1)$; – $v(\mathscr K(Z_{\gamma }\ \operatorname{mod}{\mathscr I}_{\mathrm{sep}})/\mathscr K)<qv_0-b^*$ (используем, что $\overline x_{\gamma }$ определен над $\mathscr K$). Из предложения 2.28 получаем следующее сравнение по модулю $\overline{\mathscr D}(s_0+1)_{\mathscr K}$:
$$
\begin{equation*}
(\mathscr V(A^{\unicode{8224} }_{\gamma }-\mathrm{id}_{\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }}) \otimes\mathrm{id}_{\mathscr K})\overline e^{\unicode{8224} }\equiv \sum_{\operatorname{ch}(\iota )=1} t^{-\iota }{\mathscr V_k}(A^{\unicode{8224} }_{\gamma }- \mathrm{id}_{\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }})_kD^{\unicode{8224} }_{\iota 0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для любого $\iota\in\mathfrak{A}_1^0(p)$ рассмотрим $\overline W_{\gamma \iota }:= \mathscr V_{k}(A^{\unicode{8224} }_{\gamma }-\mathrm{id}_{\overline{\mathscr L}^{\unicode{8224} }})_k D^{\unicode{8224} }_{\iota 0}\in\overline{\mathscr L}_k.$ Напомним, что $\overline{\mathscr L}[v_0]_k+\overline{\mathscr L}(s_0+1)_k$ порожден всеми $\overline W_{\gamma \iota }$ и элементами идеала $\overline{\mathscr D}(s_0+1)_k$. Затем
$$
\begin{equation*}
Z_{\gamma }\equiv \sum_{\operatorname{ch}(\iota )=1} Z_{\gamma \iota } \ \operatorname{mod}\overline{\mathscr D}(s_0+1)_{\mathrm{sep}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $Z_{\gamma \iota }\in (\overline{\mathscr L}[v_0]+\overline{\mathscr L}(s_0+1)/\overline{\mathscr D}(s_0+1))_{\mathrm{sep}}$, $\sigma Z_{\gamma \iota }- Z_{\gamma \iota }=t^{-\iota }W_{\gamma \iota }$ и $W_{\gamma \iota }:=\overline{W}_{\gamma \iota }\ \operatorname{mod}\overline{\mathscr D}(s_0+1)_k \in \overline{\mathscr L}[v_0]_k+\overline{\mathscr L}(s_0+1)_k/\overline{\mathscr D}(s_0+1)_{k}$. Выше определенные $Z_{\gamma \iota }$ возникают из элементарных уравнений Артина–Шрайера. Действительно, пусть $\{\omega_j\}$ является (конечным) $\mathbb{F}_p$-базисом алгебры $\overline{\mathscr L}[v_0]+\overline{\mathscr L}(s_0+1)/\overline{\mathscr D}(s_0+1)$. Тогда для некоторого $w_{\gamma\iota j}\in k$ $W_{\gamma \iota }=\sum_jw_{\gamma \iota j}\omega_j$ и $Z_{\gamma\iota }=\sum_jz_{\gamma \iota j}\omega_j$, где $z_{\gamma \iota j}^p-z_{\gamma \iota j}=w_{\gamma \iota j}t^{-\iota }$. В частности, для любого фиксированного $\iota $ (и $\gamma $) $\mathscr K(Z_{\gamma \iota })$ является композитом всех полей $\mathscr K(z_{\gamma \iota j})$. Следовательно, $\mathscr K(Z_{\gamma \iota })/\mathscr K$ – элементарное абелево $p$-расширение, являющееся либо тривиальным, либо имеющим лишь одно (верхнее) число ветвления, $\iota p^{-v_p(\iota )}$. В результате мы получили, что – расширение $\mathscr K( Z_{\gamma }\ \operatorname{mod}{\mathscr I}_{\mathrm{sep}})/\mathscr K$ совпадает с композитом всех расширений $\mathscr K(Z_{\gamma\iota }\ \operatorname{mod}({\mathscr I}/\overline{\mathscr D}(s_0+1))_{\mathrm{sep}})/\mathscr K$ (используем, что для различных $\iota $ эти расширения линейно разделены, так как согласно предложению 2.14, a) их числа ветвления различны). В частности, – если $W_{\gamma\iota }\notin \mathscr I_k$, то поле $\mathscr K(Z_{\gamma\iota }\ \operatorname{mod}(\overline{\mathscr I}/\overline{\mathscr D}(s_0+1))_{\mathrm{sep}})/\mathscr K$ является конечным абелевым расширением с единственным числом ветвления $\iota p^{-v_p(\iota )}$; – согласно предложению 2.14, a) числа ветвления различных нетривиальных расширений $\mathscr K(Z_{\gamma\iota }\ \operatorname{mod}({\mathscr I}/\overline{\mathscr L}^*(s_0+1))_{\mathrm{sep}})/\mathscr K$ являются различными. Итак, наибольшее верхнее число ветвления расширения $\mathscr K(Z_{\gamma }\ \operatorname{mod}\mathscr I_{\mathrm{sep}})/\mathscr K$ равняется $\max\{\iota p^{-v_p(\iota )}\mid W_{\gamma\iota }\notin \mathscr I_k\}$. Согласно предложению 2.14, b) если $\iota\in\mathfrak{A}_1^0(p)$, то $\iota p^{-v_p(\iota )}\geqslant qv_0-b^*$. Из этого вытекает, что наибольшее верхнее число ветвления $v(\mathscr K(Z_{\gamma }\ \operatorname{mod}{\mathscr I}_{\mathrm{sep}})/\mathscr K)<qv_0-b^*$, если и только если все $W_{\gamma\iota }\in\mathscr I_k$, т.е. $\mathscr I= \overline{\mathscr L}[v_0]+\overline{\mathscr L}(s_0+1)$. Теорема 3.1 полностью доказана. § 4. Построение явных образующих идеала $\overline{\mathscr L}{[v_0]}$4.1. Выбор элемента $e\,{\in}\,\mathscr L_{\mathscr K}$В работах [1]–[3] мы выбирали изоморфизм групп $\mathscr G_{<p}\simeq G(\mathscr L)$, индуцированный эпиморфизмом $\eta_e=\pi_f(e)\colon \mathscr G\to G(\mathscr L)$ с помощью специального выбора элемента $e\in\mathscr L_{\mathscr K}$. В этой работе мы используем более общий элемент $e$, предполагая, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{\widetilde{\exp}}e\equiv 1+ \sum_{s,a_i} \eta (a_1,\dots ,a_s)t^{-(a_1+\dots +a_s)}D_{a_10}\dots D_{a_s0} \ \operatorname{mod}\mathscr J^p_{\mathscr K}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Здесь $\mathscr J$ – пополняющий идеал в обертывающей алгебре $\mathscr A$ алгебры Ли $\mathscr L$. В сумме (4.1) $1\leqslant s<p$, индексы $a_1,\dots ,a_s$ пробегают $\mathbb{Z}^0(p)$ и “структурные константы” $\eta (a_1,\dots ,a_s)\in k$ удовлетворяют следующим тождествам: $\mathrm I_{\mathrm e}$) $\eta (a_1)=1$; $\mathrm{II}_{\mathrm e}$) если $0\leqslant s_1\leqslant s<p$, то
$$
\begin{equation*}
\eta (a_1,\dots ,a_{s_1})\eta (a_{s_1+1},\dots ,a_s)= \sum_{\pi\in I_{s_1s}} \eta (a_{\pi (1)},\dots ,a_{\pi (s)}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $I_{s_1s}$ состоит из всех подстановок $\pi $ порядка $s$ таких, что последовательности $\pi^{-1}(1),\dots ,\pi^{-1}(s_1)$ и $\pi^{-1}(s_1+1),\dots ,\pi^{-1}(s)$ являются возрастающими (т.е. $I_{s_1s}$ – множество всех “вставок” упорядоченного множества $\{1,\dots ,s_1\}$ в упорядоченное множество $\{s_1+1,\dots ,s\}$). Условие ${\rm I_e}$) означает, что $e$ удовлетворяет $(1.1)$ из § 1. Условие ${\rm II}_e$) означает, что
$$
\begin{equation*}
\Delta (\operatorname{\widetilde{\exp}}(e))\equiv \operatorname{\widetilde{\exp}}(e)\otimes\operatorname{\widetilde{\exp}}(e)\ \operatorname{mod} (\mathscr J_{\mathscr K}\widehat\otimes 1+1\widehat\otimes \mathscr J_{\mathscr K})^p,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $\operatorname{\widetilde{\exp}}(e)$ является диагональным элементом по модулю степени $p$. Следовательно, элемент $e$ является $k$-линейной комбинацией коммутаторов вида $t^{-(a_1+\dots +a_r)}[\dots [D_{a_10},\dots ],D_{a_s0}]$. В частности, $e$ удовлетворяет условию (1.3) из § 1 и условие совместимости (2.5) тоже выполнено. Следовательно, можно использовать теорему 3.1 для вычисления образующих идеала ветвления $\mathscr L^{(v_0)}$. Заметим, что в большинстве приложений результатов работ [1]–[3] мы использовали простейший выбор $e=\sum_{a\in\mathbb{Z}^0(p)}t^{-a}D_{a0}$, где все $\eta (a_1,\dots ,a_s)=1/s!$. 4.2. Формулировка основного результатаДля $\overline a=(a_1,\dots ,a_s)$, где все $a_i\in\mathbb{Z}^0(p)$, положим $\eta (\overline a)=\eta (a_1,\dots ,a_s)$. Определение 4.1. Пусть $\overline n=(n_1,\dots ,n_s)$, $s\geqslant 1$. Допустим, что существует разбиение $0=i_0<i_1<\dots <i_r=s$ такое, что если $i_j<u\leqslant i_{j+1}$, то $n_u=m_{j+1}$ и $m_1>m_2>\dots >m_r$. В этом случае положим где $\overline a^{(j)}=(a_{i_{j-1}+1}, \dots ,a_{i_j})$. В противном случае положим $\eta (\overline a,\overline n)_s=0$. (Мы часто будем использовать более простое обозначение $\eta (\overline a,\overline n)$ вместо $\eta (\overline a,\overline n)_s$.) Если $s=0$, то полагаем $\eta (\overline a,\overline n)_s=1$. Для $\overline a=(a_1,\dots ,a_s)$, $\overline n=(n_1,\dots ,n_s)$, положим $D_{(\overline a,\overline n)}=D_{a_1n_1}\cdots D_{a_sn_s}$. Заметим, если $e_{(N^*,0]}:=\sigma^{N^*-1}(e)\circ \sigma^{N^*-2}(e)\circ \dots\circ \sigma (e)\circ e$, то
$$
\begin{equation*}
\operatorname{\widetilde{\exp}}e_{(N^*,0]}\equiv \sum_{\overline a, \overline n}\eta (\overline a,\overline n)_s D_{(\overline a, \overline n)}\ \operatorname{mod}\mathscr J_{\mathscr K}^p.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\alpha\geqslant 0$ и $N\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0} $ определим $\mathscr F^0_{\alpha ,-N}\in{\mathscr L}_k$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\mathscr F^0_{\alpha ,-N}=\sum_{\substack {1\leqslant s<p\\ a_i, n_i }}a_1\eta (\overline a,\overline n)[\dots [D_{a_1 n_1}, D_{a_2 n_2}],\dots ,D_{a_s n_s}].
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь: – $\overline a=(a_1,\dots ,a_s)$, $n_1=0$ и все $n_i\geqslant -N$; – $\alpha =\gamma (\overline a,\overline n)=a_1p^{n_1}+a_2p^{n_2}+\dots +a_sp^{n_s}$. Заметим, что ненулевые слагаемые в выражении для $\mathscr F_{\alpha , -N}^0$ появляются, только если $0=n_1\geqslant n_2\geqslant\dots \geqslant n_s$ и $\alpha\in A[p-1,N]$. Наш результат о явных образующих идеала $\overline{\mathscr L}[v_0]$ можно сформулировать следующим образом. Пусть $\overline{\mathscr F}^0_{\alpha ,-N}$ является образом элемента $\mathscr F^0_{\alpha ,-N}$ в $\overline{\mathscr L}_k$. Если $\iota =qp^m\alpha -p^mb^*\in\mathfrak{A}^0_1$ – стандартное представление из п. 2.2, то условимся указывать на зависимость $\alpha $ и $m$ от $\iota $, полагая $\alpha =\alpha [\iota ]$ и $m=m[\iota ]$. Напомним, что $\alpha [\iota ]\in A[p-1,m[\iota ]]$ и $m[\iota ]<N^*$. Пусть $m(\iota )$ – максимальное неотрицательное целое число такое, что $\iota p^{m(\iota )}\leqslant (p-1)b^*$. Для любого $\iota\in\mathfrak{A}^0_1$ фиксируем $m_{\iota }\geqslant m(\iota )$. Теорема 4.2. $\overline{\mathscr L}[v_0]$ является минимальным идеалом в алгебре $\overline{\mathscr L}$ таким, что для всех $\iota\in\mathfrak{A}^0_1$ с $\alpha [\iota ]\geqslant v_0$, $\overline{\mathscr F}^0_{\alpha [\iota ], -(m[\iota ]+m_{\iota })}\in\overline{\mathscr L}[v_0]_k$. Эта теорема доказывается ниже в пп. 4.3–4.6. 4.3. Рекуррентное соотношениеВ этом пункте мы будем проводить вычисления в обертывающей алгебре $\overline{\mathscr A}$ алгебры Ли $\overline{\mathscr L}$. Заметим, что естественное вложение $\overline{\mathscr L}_{\mathscr K}\subset \overline{\mathscr A}_{\mathscr K}$ остается инъективным, будучи рассмотренным по модулю $\overline{\mathscr J}_{\mathscr K}^p$. Это проверяется аналогично соответствующему свойству $\mathbb{F}_p$-алгебр Ли из п. 1.2. Следующая лемма вытекает из универсальных свойств обертывающих алгебр. Лемма 4.3. Пусть $I$ – идеал в алгебре Ли $L$ класса нильпотентности $<p$, $A$ – обертывающая алгебра для $L$ с пополняющим идеалом $J$ и $J_I:=IA$ – соответствующий (двусторонний) идеал в $A$. Тогда: a) $(J_I+J^p)\cap L=I$; b) $(JJ_I+J_IJ+J^p)\cap L=[I,L]$. Рассмотрим соотношение (2.5) и выберем $\widetilde{e}^{\mathrm{sp}}= \sum_{\iota }t^{-\iota }l_{\iota }^{\mathrm{sp}}$ такой, что для всех $\iota\in\mathfrak{A}^0(p)$ с $\operatorname{ch}(\iota )\geqslant 1$ выполнено $l_{\iota }^{\mathrm{sp}}=D^{\unicode{8224} }_{\iota 0}$ при $\iota\in\mathfrak{A}^0(p)$ и $l_{\iota }^{\mathrm{sp}}=0$ в противном случае. Другими словами, часть $\widetilde{e}^{\mathrm{sp}}$, которая “аннулируется при отображении $\mathscr V_{\mathscr K}$”, совпадает с $\sum_{\operatorname{ch}(\iota ) \geqslant 1 }t^{-\iota }D_{\iota 0}^{\unicode{8224} }$. Заметим, что $\operatorname{\widetilde{\exp}}(U*\overline{e}^{(q)})\equiv \operatorname{\widetilde{\exp}}\overline{e}^{(q)}+ \overline{\mathscr E}U\ \operatorname{mod} \overline{\mathscr A}_{\mathscr K}U^2$, где
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathscr E}= \sum_{\substack{s\geqslant 1\\a_i\in \mathbb{Z}^0(p)}}\eta (a_1,\dots ,a_s) t^{-(a_1+\dots +a_s)q+b^*}(a_1+\dots +a_s)D_{a_10}\cdots D_{a_s0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применим $\operatorname{\widetilde{\exp}}$ к (2.7) и найдем подъем $\overline x$ элемента $\widetilde x$ в $\overline{\mathscr N}^{(q)}$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{\widetilde{\exp}}\overline e^{(q)}+\overline{\mathscr E}U\equiv (1+U\sigma\overline x) \biggl(\operatorname{\widetilde{\exp}}\overline e^{(q)}+U \sum_{\operatorname{ch}(\iota )\geqslant 1}t^{-\iota }\mathscr V_kB^{\unicode{8224} }_k(D^{\unicode{8224} }_{\iota 0})\biggr)(1-U\overline x)
\end{equation*}
\notag
$$
по модулю $\overline{\mathscr J}_{\mathscr K}^pU+\overline{\mathscr A}_{\mathscr K}U^2$ (действуем аналогично доказательству предложения 1.4). Сравнивая коэффициенты при $U$ и полагая $\mathscr V_kB^{\unicode{8224} }_k(D^{\unicode{8224} }_{\iota 0})=V_{\iota 0}$, получаем в $\overline{\mathscr A}_{\mathscr K}$ следующее сравнение по модулю $\overline{\mathscr J}_{\mathscr K}^{p}$:
$$
\begin{equation}
\sigma \overline x-\overline x+\sum_{\iota }t^{-\iota }V_{\iota 0}\equiv \overline{\mathscr E}+(\operatorname{\widetilde{\exp}}\overline e^{(q)}-1)\cdot \overline x- \sigma \overline x\cdot (\operatorname{\widetilde{\exp}}\overline e^{(q)}-1).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Это равенство дает рекуррентную процедуру для однозначного определения элементов $\overline x\in \sum_{\operatorname{ch}(\iota )\geqslant 1} t^{-\iota }\overline{\mathscr L}_k+t^{(p-1)b^*}\overline{\mathscr N}^{(q)}$ и $V_{\iota 0}\in\overline{\mathscr L}_k$. 4.4. Некоторые комбинаторные тождестваПусть
$$
\begin{equation*}
-e_{[0,N^*)}:=(-e)\circ (-\sigma e)\circ\dots\circ (-\sigma^{N^*-1}e).
\end{equation*}
\notag
$$
Определим константы $\eta^o(\overline a,\overline n)\in k$ с помощью следующего сравнения:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{\widetilde{\exp}}(-e_{[0,N^*)})\equiv \sum \eta^o(\overline a,\overline n)D_{(\overline a,\overline n)} \ \operatorname{mod}\mathscr J_{\mathscr K}^p.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\eta^o(\overline a):=\eta^o(\overline a,\overline 0)$. Легко видеть, что если существует разбиение из определения $\eta $-констант в п. 4.2 такое, что $m_1<m_2<\dots <m_r$, то
$$
\begin{equation*}
\eta^o(\overline a, \overline n)_s=\sigma^{m_1} \eta^o(\overline a^{(1)})\cdot \sigma^{m_2} \eta^o(\overline a^{(2)})\dotsb\sigma^{m_r}\eta^o(\overline a^{(r)}).
\end{equation*}
\notag
$$
В противном случае $\eta^o(\overline a,\overline n)_s=0$. Мы иногда будем использовать более простое обозначение $\eta (1,\dots ,s)$ вместо $\eta (\overline a,\overline n)_s$ и использовать аналогичное соглашение для $\eta^o$. Например, равенства
$$
\begin{equation*}
e_{(N^*,0]}\circ (-e_{[0,N^*)})=e_{[0,N^*)}\circ (-e_{(N^*,0]})=0
\end{equation*}
\notag
$$
могут быть записаны как следующие тождества:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{0\leqslant s_1\leqslant s}\eta (1,\dots ,s_1)\eta^o(s_1+1,\dots ,s) \\ &\qquad =\sum_{0\leqslant s_1\leqslant s}\eta^o(1,\dots ,s_1)\eta (s_1+1,\dots ,s)=\delta_{0s} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
(здесь $\delta_{0s}$ – символ Кронекера). Для $1\leqslant s_1\leqslant s<p$ рассмотрим подмножество $\Phi_{ss_1}$ подстановок $\pi $ порядка $s$ таких, что $\pi (1)=s_1$ и для любого $1\leqslant l\leqslant s$ подмножество $\{\pi (1),\dots ,\pi (l)\}$ отрезка $[1,s]$ является “связным”, т.е. существует $n(l)\in\mathbb{N}$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\{\pi (1),\dots ,\pi (l)\}=\{n(l),n(l)+1,\dots ,n(l)+l-1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
По определению положим $\Phi_{s0}=\Phi_{s,s+1}=\varnothing $. Пусть $B_{s_1}(1,\dots ,s)=\sum_{\pi\in\Phi_{ss_1} }\eta (\pi (1),\dots ,\pi (s))$. Заметим, что: – $B_0(1,\dots ,s)=B_{s+1}(1,\dots ,s)=0$; – $B_1(1,\dots ,s)=\eta (1,2,\dots ,s)$; – $B_s(1,\dots ,s)=\eta (s,s-1,\dots ,1)$. Лемма 4.4. Пусть $0\leqslant s_1\leqslant s<p$. Тогда: a) $B_{s_1}(1,\dots ,s)+B_{s_1+1}(1,\dots ,s)=\eta (s_1,\dots ,1) \eta (s_1+1,\dots ,s)$; b) $\eta^o(1,\dots ,s)=(-1)^s\eta (s,s-1,\dots ,1)$; c) для переменных $X_1,\dots ,X_s$, Доказательство. a) Вытекает из того, что все вставки упорядоченного множества $(s_1,\dots,1)$ в упорядоченное множество $(s_1+1,\dots s)$ являются “связными” и начинаются либо с $s_1$, либо с $s_1+1$. b) Очевидно, из a) следует, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{0\leqslant s_1\leqslant s}(-1)^{s_1} \eta (s_1,\dots ,1)\eta (s_1+1,\dots ,s)=\delta_{0s}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь наше утверждение вытекает из соотношения (4.3). c) Достаточно заметить, что правая часть является линейной комбинацией мономов $X_{i_1}\cdots X_{i_s}$ таких, что для любого $l\geqslant 1$, $\{j\mid i_j\in [1,l]\}$ – “связный” отрезок $l$ целых чисел. Лемма доказана. 4.5. Элементы Ли $\overline{\mathscr F}[\iota ]$ и $\overline{\mathscr F}[\iota ]_0$Введем следующие обозначения: – $\overline n=(n_1,\dots ,n_s)\geqslant M$ означает, что все $n_i\geqslant M$; подобным образом интерпретируем $\overline n>M$, $\overline n\leqslant M$ и $\overline n<M$; – $\gamma (\overline a,\overline n)=a_1p^{n_1}+\dots +a_sp^{n_s}$. Для $1\leqslant s_1\leqslant s$ положим $\gamma^*_{[s_1,s]}(\overline a,\overline n)= \sum_{s_1\leqslant u\leqslant s}a_up^{n_u}$, где $n_u^*=0$ при $n_u=M(\overline n):=\max\{n_1,\dots ,n_s\}$ и $n_u^*=-\infty $ (т.е. $p^{n_u^*}=0$) в противном случае. Для $\iota\in\mathfrak{A}^0_1$ введем
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathscr F}[\iota ]=\sum_{(\overline a,\overline n)}\sum_{1\leqslant s_1\leqslant s} \eta^o(1,\dots ,s_1-1)\eta (s_1,\dots ,s) \gamma_{[s_1,s]}^{*}(\overline a,\overline n)D_{(\overline a,\overline n)}\in\overline{\mathscr A}_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь первая сумма берется по всем $(\overline a,\overline n)$ длины $1\leqslant s<p$ таким, что $\overline n\geqslant 0$ и $\gamma (\overline a,\overline n)-p^{M(\overline n)}b^*=\iota $. Отметим, что $M(\overline n)$ зависит лишь от $\iota $ и, следовательно, все ненулевые слагаемые в $\overline{\mathscr F}[\iota ]$ зависят от $(\overline a,\overline n)$ с одним и тем же значением $M(\overline n)$. Пусть $\overline{\mathscr F}[\iota ]_0$ – часть соответствующей суммы, взятая при условии $m(\overline n):=\min\{n_1,\dots ,n_s\}=0$. Тогда для любых $\iota\in\mathfrak{A}^0_1$ и $m\geqslant 0$
$$
\begin{equation*}
\sigma^m\overline{\mathscr F}[\iota ]_0+\sigma^{m-1} \overline{\mathscr F}[\iota p]_0+\dots +\overline{\mathscr F}[\iota p^m]_0=\overline{\mathscr F}[\iota p^m].
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, $\overline{\mathscr F}[\iota ]= \sum_{\iota ', m}\sigma^m\overline{\mathscr F}[\iota ']_0$, где сумма берется по всем $\iota '\in\mathfrak {A}^0_1$ и $m\geqslant 0$ таким, что $\iota 'p^m=\iota $. Предложение 4.5. Если $\iota =qp^m\alpha -p^mb^*\in\mathfrak{A}^0_1$ (стандартное обозначение), то $\overline{\mathscr F}[\iota p^n]=\sigma^{m+n}\overline{\mathscr F}^0_{\alpha , -(m+n)}$. Доказательство. Имеем
$$
\begin{equation*}
\sigma^{-(m+n)}\overline{\mathscr F}[\iota p^n]= \sum_{\substack{1\leqslant s_1\leqslant s<p\\ (\overline a,\overline n)}} \eta^o(1,\dots ,s_1-1)\eta (s_1,\dots ,s) \gamma_{[s_1,s]}^{*}(\overline a,\overline n)D_{(\overline a,\overline n)},
\end{equation*}
\notag
$$
где сумма берется по $(\overline a,\overline n)$ с $M(\overline n)=0$, $\overline n\geqslant -(m+n)$ и $\gamma (\overline a,\overline n)=\alpha $. По лемме 4.4 выполнено $\eta^o(1,\dots ,s_1-1)=(-1)^{s_1-1}\eta (s_1-1,\dots ,1)$, и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{\substack{1\leqslant s_1\leqslant s<p \\ (\overline a,\overline n) }} (-1)^{s_1-1}(B_{s_1-1}(1,\dots ,s)+ B_{s_1}(1,\dots ,s))\gamma^*_{[s_1,s]}(\overline a,\overline n)D_{(\overline a\overline n)} \\ &\qquad =\sum_{\substack{1\leqslant s_1\leqslant s<p \\ (\overline a,\overline n)}} (-1)^{s_1-1}B_{s_1}(1,\dots ,s)(\gamma^*_{[s_1,s]}(\overline a,\overline n)- \gamma^*_{[s_1+1,s]}(\overline a,\overline n)){D}_{(\overline a,\overline n)} \\ &\qquad =\sum_{\substack{1\leqslant s<p \\ (\overline a,\overline n)}}\ \sum_{1\leqslant s_1\leqslant s} (-1)^{s_1-1} B_{s_1}(1,\dots ,s)a_{s_1}p^{n_{s_1}^*}{D}_{(\overline a\overline n)} \\ &\qquad =\sum_{\substack{1\leqslant s<p \\ (\overline a,\overline n)}}\ \sum_{\substack{1\leqslant s_1\leqslant s\\ \pi\in\Phi_{ss_1}}} (-1)^{s_1-1}\eta ({\pi (1)},\dots ,{\pi (s)}) a_{s_1}p^{n_{s_1}^*}D_{(\overline a,\overline n)} \\ &\qquad =\sum_{\substack{1\leqslant s<p \\ (\overline a,\overline n)}} \eta (1,\dots ,s)a_1 \sum_{\substack{1\leqslant s_1\leqslant s\\ \pi\in\Phi_{ss_1} }} (-1)^{s_1-1}D_{a_{\pi^{-1}(1)}n_{\pi^{-1}(1)}}\cdots D_{a_{\pi^{-1}(s)}n_{\pi^{-1}(s)}} \\ &\qquad =\sum_{\substack{1\leqslant s<p\\(\overline a,\overline n)}} \eta (1,\dots ,s)a_1[\dots [D_{a_1n_1},D_{a_2n_2}],\dots ,D_{a_sn_s}] =\overline{\mathscr F}^0_{\alpha ,-(m+n)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. Следствие 4.6. Все $\overline{\mathscr F}[\iota p^m]$ и $\overline{\mathscr F}[\iota p^m]_0$ лежат в $\overline{\mathscr L}_k$. 4.6. Решение рекуррентных соотношений (4.2)Для $\iota\in\mathfrak{A}^0$ пусть – $m(\iota ):=\max\{m\mid \iota p^m \in\mathfrak{A}^0\} (=\max\{m\mid |\iota p^m|\leqslant (p-1)b^*\})$; – $\mathfrak{A}_1^{\operatorname{prim}}=\mathfrak{A}^0_1\setminus p\mathfrak{A}^0_1$ (отметим, что $\mathfrak{A}^0_1(p)= \{\iota\in\mathfrak{A}^{\operatorname{prim}}_1\mid \iota >0\}$). Положим $\overline{\mathscr D}:=[\overline{\mathscr L}[v_0],\overline{\mathscr L}]$, $\overline{\mathscr L}[v_0](s):=\overline{\mathscr L}[v_0]+\overline{\mathscr L}(s)$ и $\overline{\mathscr D}(s):=\overline{\mathscr D}+\overline{\mathscr L}(s)$. Очевидно, $\overline{\mathscr L}[v_0]=\overline{\mathscr L}[v_0](p)$ и $\overline{\mathscr D}=\overline{\mathscr D}(p)$. Предложение 4.7. a) $\overline x\equiv \sum_{\iota ,m} \overline{\mathscr F}[\iota p^m] t^{-\iota p^m}\ \operatorname{mod}\overline{\mathscr L}[v_0]_{\mathscr K}$, где сумма берется по всем $i\in\mathfrak{A}^{\operatorname{prim}}_1$ и $m\geqslant 0$; b) если $\iota\in\mathfrak{A}_1^0(p)$, то $V_{\iota 0}\equiv - \sigma^{-m(\iota )}\overline{\mathscr F}[\iota p^{m(\iota )}] \ \operatorname{mod}\overline{\mathscr D}_k.$ Доказательство. Применим индукцию по $1\leqslant s_0< p$ предполагая, что a) выполняется по модулю $\overline{\mathscr L}[v_0](s_0)_{\mathscr K}$. Выведем из этого, что a) и b) выполнены по модулю идеалов $\overline{\mathscr L}[v_0](s_0+1)_{\mathscr K}$ и соответственно $\overline{\mathscr D}(s_0+1)_k$. Очевидно, a) выполнено по модулю $\overline{\mathscr L}[v_0](1)_{\mathscr K}=\overline{\mathscr L}_{\mathscr K}$. Пусть $1\leqslant s_0<p$ и a) выполняется по модулю $\overline{\mathscr L}[v_0](s_0)_{\mathscr K}$. Применяя это предположение к правой части (4.2), получаем (используем (4.3)), что
$$
\begin{equation}
\sigma\overline x-\overline x+\sum_{\iota }t^{-\iota }V_{\iota 0} \equiv -\sum_{\iota , m}\overline{\mathscr F}[\iota p^m]_0t^{-\iota p^m}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
по модулю ($\overline{\mathscr J}\overline{\mathscr J}_{\overline{\mathscr L}[v_0](s_0)}+ \overline{\mathscr J}_{\overline{\mathscr L}[v_0](s_0)}\overline{\mathscr J} +\overline{\mathscr J}^p)_{\mathscr K}$, см. обозначения из леммы 4.3. (Здесь правая сумма берется по всем $\iota\in\mathfrak{A}^{\operatorname{prim}}_1$ и $m\geqslant 0$.) Так как обе части сравнения (4.4) принадлежат $\overline{\mathscr L}_{\mathscr K}$, из леммы 4.3, b) вытекает, что (4.4) выполняется по модулю $[\overline{\mathscr L}[v_0](s_0),\overline{\mathscr L}]_{\mathscr K}=\overline{\mathscr D}(s_0+1)_{\mathscr K}$. Замечание 4.8. Так как $\overline x, \sigma \overline x\in\overline{\mathscr N}^{(q)}$, то из соотношения (4.4) следует, что $\overline{\mathscr F}[\iota p^m]_0\in \overline{\mathscr D}(s_0+1)_k=\overline{\mathscr D}_k+\overline{\mathscr L}(s_0+1)_k$, если $\iota p^m>s_0b^*$. Применим операторы $\mathscr S$ и $\mathscr R$ из леммы 2.23 для нахождения элементов $\sum_{i\in\mathfrak{A}^0(p)}t^{-\iota }V_{\iota 0}$ и $\overline x$ по модулю $\overline{\mathscr D}(s_0+1)_{\mathscr K}$. Пусть $\overline x=\overline x^++\overline x^-$, где $\overline x^+$ (соответственно $\overline x^-$) – линейная комбинация элементов алгебры $\overline{\mathscr L}_k$ с положительными (соответственно отрицательными) степенями $t$. Если $\iota <0$, то $\mathscr S(\overline{\mathscr F}[\iota p^m]_0t^{-\iota p^m})= -\sum_{n\geqslant 0}\sigma^n\overline{\mathscr F}[p^m\iota ]_0t^{-\iota p^{n+m}}$ и, следовательно, $\overline x^+\equiv \sum_{\iota ,m} \overline{\mathscr F}[\iota p^m]t^{-\iota p^m}\ \operatorname{mod}\overline{\mathscr D}(s_0+1)_{\mathscr K}$, где сумма берется по всем $\iota \in\mathfrak{A}^{\operatorname{prim}}_1\setminus \mathfrak{A}^0_1(p)$ и $m\geqslant 0$. Это дает п. a) по модулю $\overline{\mathscr L}[v_0](s_0+1)_{\mathscr K}\supset \overline{\mathscr D}(s_0+1)_{\mathscr K}$ на уровне положительных степеней $t$. Пусть $\iota \in\mathfrak{A}^0_1(p)$. Тогда $\mathscr R(t^{-\iota p^m}\overline{\mathscr F}[\iota p^m]_0)= t^{-\iota }\sigma^{-m}\overline{\mathscr F}[\iota p^m]_0$ и
$$
\begin{equation*}
V_{\iota 0}t^{-\iota }\equiv-t^{-\iota } \sum_{0\leqslant m\leqslant m(\iota )}\sigma^{-m}\overline{\mathscr F}[\iota p^m]_0 \equiv-t^{-\iota }\sigma^{-m(\iota )}\overline{\mathscr F}[\iota p^{m(\iota )}]
\end{equation*}
\notag
$$
по модулю $\overline{\mathscr D}(s_0+1)_{\mathscr K}$. Часть b) доказана. Мы получили следующие сравнения по модулю $\overline{\mathscr L}[v_0](s_0+1)_{\mathscr K}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathscr S(\overline x^-) &\equiv -\sum_{\iota ,m} \mathscr S(t^{-\iota p^m}\overline{\mathscr F}[\iota p^m]_0) \equiv -\sum_{\iota , m} \sum_{0\leqslant m_1<m}t^{-\iota p^{m_1}} \sigma^{-m+m_1}\overline{\mathscr F}[\iota p^m]_0 \\ &\equiv -\sum_{\iota , m}t^{-\iota p^{m}} \sum_{m_1>m} \sigma^{-m_1+m}\overline{\mathscr F}[\iota p^{m_1}]_0 \,{\equiv}\,{-}\sum_{\iota , m}t^{-\iota p^{m}} \!\sum_{\substack{m_1+m_2=m \\ m_2<0}} \sigma^{m_2}\overline{\mathscr F}[\iota p^{m_1}]_0 \\ &\equiv \sum_{\iota , m}t^{-\iota p^{m}} \sum_{\substack{m_1+m_2=m \\m_1, m_2\geqslant 0}} \sigma^{m_2}\overline{\mathscr F}[\iota p^{m_1}]_0= \sum_{\iota ,m}\overline{\mathscr F}[\iota p^m]t^{-\iota p^m} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(здесь $\iota $ и $m$ пробегают $\mathfrak{A}^0_1(p)$ и соответственно $\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$), так как
$$
\begin{equation*}
\sum_{m_2+m_1=m} \sigma^{m_2}\overline{\mathscr F}[\iota p^{m_1}]_0= \overline{\mathscr F}[\iota p^m]\equiv \sigma^{m-m(\iota )}V_{\iota } \ \operatorname{mod} \overline{\mathscr L}[v_0](s_0+1)_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Этим завершается доказательство индуктивного шага для п. a). Предложение доказано. Следствие 4.9. $\overline{\mathscr L}[v_0]$ является минимальным идеалом в $\overline{\mathscr L}$ таким, что $\overline{\mathscr L}[v_0]_k$ содержит все $\overline{\mathscr F}[\iota p^{m_{\iota}}]$. Доказательство. Если $m>m(\iota )$, то $\iota p^m>(p-1)b^*$ и согласно замечанию 4.8 $\overline{\mathscr F}[\iota p^m]_0\in \overline{\mathscr D}_k$. Следовательно, $\overline{\mathscr F}[\iota p^{m_{\iota }}]\equiv \sigma^{m_{\iota }-m(\iota )}\overline{\mathscr F} [\iota p^{m(\iota )}]\ \operatorname{mod}\overline{\mathscr D}_k$. Следствие доказано. Теорема 4.2 полностью доказана. § 5. Эффективный выбор параметровТеорема 4.2 дает явное описание идеала ветвления $\mathscr L^{(v_0)}$, но это описание зависит от выбора параметров $\delta_0$, $b^*$ и $N^*$, участвующих в построении модуля коэффициентов $\mathfrak{A}^0$. Более точно, соответствующие порождающие элементы $\overline{\mathscr F}^0_{\alpha [\iota ], -(m[\iota ]+m(\iota ))}$ идеала $\mathscr L^{(v_0)}_k$ зависят от рациональных чисел $\alpha [\iota ]\geqslant v_0$ и целых чисел $m[\iota ]$, возникающих из соответствующих $\iota\in\mathfrak{A}^0_1(p)$. Значения $\delta_0$, $b^*$ и $N^*$ могут быть конкретизированы достаточно конструктивным образом непосредственно из определений, но трудно ожидать, что это можно сделать более или менее оптимальным образом. Одной из причин этого является то, что выбор $\delta_0$, $b^*$ и $N^*$ зависит от всего множества $\mathfrak{A}^0$, a конструкция образующих использует лишь подмножество $\mathfrak{A}^0_1(p)\subset \mathfrak{A}^0$. Как мы отмечали во введении, аналог теоремы 4.2 был получен в [1] с помощью других методов и был сформулирован в терминах образующих ${\mathscr F}^0_{\alpha ,-N}$ с произвольными рациональными $\alpha\geqslant v_0$ и некоторым граничным значением $\widetilde{N}(v_0)$ таким, что $N\geqslant \widetilde{N}(v_0)$. В п. 5.1 мы выводим этот аналог из теоремы 4.2 и показываем, что он выполнен с граничным значением $\widetilde{N}(v_0)=N^*-1$. Следует отметить, что (неоправданное) увеличение $\widetilde{N}(v_0)$ приводит к соответствующему увеличению числа зависимых образующих среди $\mathscr F^0_{\alpha ,-N}$, $\alpha\geqslant v_0$. В результате описание идеала $\mathscr L^{(v_0)}$ становится более сложным. В п. 5.2 мы используем свойство левой непрерывности фильтрации ветвления для получения “гибких” граничных значений $\widetilde{N}(v_0,\alpha )$, которые зависят от параметра $\alpha $. Это позволяет получить более эффективное явное описание всей фильтрации ветвления $\{\mathscr L^{(v)}\}_{v\geqslant 1}$ при условии, что нам известно множество всех ее скачков. 5.1. Связь с основным результатом работы [1]В работе [1] (см. также [3]) была получена следующая теорема. Теорема 5.1. Существует $\widetilde N(v_0)\in\mathbb{N} $ такое, что если $N\geqslant \widetilde N(v_0)$ фиксировано, то $\mathscr L^{(v_0)}$ является минимальным идеалом в $\mathscr L$ таким, что для всех $\alpha\geqslant v_0$ элементы $\mathscr F^0_{\alpha ,-N}\in\mathscr L^{(v_0)}_k$. Предложение 5.2. Теорема 5.1 справедлива с $\widetilde{N}(v_0)=N^*-1$. Доказательство. Пусть $\mathscr L_N^{\star }[v_0]$ – минимальный идеал в $\mathscr L$ такой, что для всех $\alpha\geqslant v_0$ $\mathscr F^0_{\alpha,-N}\in\mathscr L_N^{\star }[v_0]_k$. Надо доказать, что если $N\geqslant N^*-1$, то $\mathscr L_N^{\star }[v_0]=\mathscr L^{(v_0)}$. Применяя индукцию по $s\geqslant 1$, получаем, что при $a\geqslant sv_0$ выполняется $D_{a0}\in\mathscr L_N^{\star }[v_0]_k+C_{s+1}(\mathscr L)_k$ (используем, что $\mathscr F^0_{a,-N}\in\mathscr L_N^{\star }[v_0]_k$, см., например, лемму 3.7 или [9; лемма 2.3]). Отсюда следует, что $\mathscr L(p)\subset\mathscr L_N^{\star }[v_0]$. Обозначим через $\overline{\mathscr L}_N^{\star }[v_0]$ образ идеала $\mathscr L_N^{\star }[v_0]$ в $\overline{\mathscr L}=\mathscr L/\mathscr L(p)$. Из теоремы 4.2 вытекает, что $\overline{\mathscr L}[v_0]$ уже является минимальным идеалом в алгебре $\overline{\mathscr L}$ таким, что $\{\mathscr F^0_{\alpha [\iota ], -N}\mid \iota\in\mathfrak{A}^0_1(p)\}\subset\overline{\mathscr L}[v_0]_k$ (используем, что $m_{\iota }$ можно выбрать так, чтобы $m[\iota ]+m_{\iota }=N\geqslant N^*-1$). Следовательно, остается проверить, что для любых $\alpha\geqslant v_0$ выполнено $\overline{\mathscr F}^0_{\alpha ,-N}\in\overline{\mathscr L}[v_0]_k$. Отметим, что $\overline{\mathscr F}^0_{\alpha ,-N}\ne 0$ влечет $\alpha \in A[p-1,N]$. Теперь согласно предложению 2.5 $p^{N+1}(q\alpha -b^*)\geqslant q(q\alpha -(q-1)r^*)>(p-1)b^*$, и наше предложение вытекает из следующей леммы. Лемма 5.3. Пусть $M\geqslant 0$ и $p^{M+1}(q\alpha -b^*)>(p-1)b^*$. Тогда a) $\overline{\mathscr F}^0_{\alpha ,-M}\in\overline{\mathscr L}[v_0]_k$; b) если к тому же $p^{M}(q\alpha -b^*)>(p-1)b^*$, то Доказательство. Применим индукцию по $M\geqslant 0$. Пусть $M=0$, т.е. $p(q\alpha -b^*)>(p-1)b^*$. Здесь $\overline{\mathscr F}^0_{\alpha ,-M}=\overline {\mathscr F}^0_{\alpha ,0}$ является линейной комбинацией коммутаторов где $a_1'+\dots +a_r'=\alpha $. Рассмотрим два случая.(i) Если $q\alpha -b^*>(p-1)b^*$, то $\alpha >pb^*/q>(p-1)(v_0-\delta_0)$, и из этого вытекает, что $\alpha \geqslant (p-1)v_0$, см. лемму 2.7, a). Следовательно, эти коммутаторы принадлежат идеалу $\overline{\mathscr L}(p)=0$. (Действительно, если $(s_i-1)v_0\leqslant a_i'<s_iv_0$, то $\sum_i\operatorname{wt}(D_{a_i'0})=\sum_is_i>\alpha /v_0\geqslant p-1$.) (ii) Если $q\alpha -b^*\leqslant (p-1)b^*$, то $\iota :=q\alpha -b^*\in\mathfrak{A}^0_1(p)$ и $m(\iota )=0$. Теперь из теоремы 4.2 следует, что $\overline{\mathscr F}^0_{\alpha ,0}\in\overline{\mathscr L}[v_0]_k$. Пусть $M\geqslant 1$. Рассмотрим следующие два случая: (i) Если $qp^M\alpha -p^Mb^*\leqslant (p-1)b^*$, то существуют $\iota\in\mathfrak{A}^0_1(p)$ и $n\geqslant 0$ такие, что $\iota p^n=qp^M\alpha -p^Mb^*\in\mathfrak{A}^0_1$ и, следовательно, $m(\iota )=n\leqslant M$. Теперь из теоремы 4.2 с $m_{\iota }=M-n$ получаем, что $\overline{\mathscr F}^0_{\alpha ,-M}=\sigma^{-M} \overline{\mathscr F}[\iota p^n]\in\overline{\mathscr L}[v_0]_k$. (ii) Пусть теперь $p^M(q\alpha -b^*)>(p-1)b^*$. Докажем одновременно оставшийся случай из a) и утверждение п. b). По индуктивному предположению $\overline{\mathscr F}^0_{\alpha ,-(M-1)}\in\overline{\mathscr L}[v_0]_k$. Заметим, $\overline{\mathscr F}^0_{\alpha ,-M}-\overline{\mathscr F}^0_{\alpha ,-(M-1)}$ является линейной комбинацией элементов вида
$$
\begin{equation}
[\dots [\overline{\mathscr F}^0_{\alpha ', -(M-1)},D_{a_1',-M}],\dots ,D_{a_r',-M}],
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где $\alpha =\alpha '+(a_1'+\dots +a_r')/p^M$, $r\geqslant 1$ и $\alpha '\in A[p-1,M-1]$. Надо доказать, что (5.1) лежит в $[\overline{\mathscr L}[v_0],\overline{\mathscr L}]_k$. Пусть $s\in\mathbb{N} $ таков, что $sb^*/q>a_1'+\dots +a_r'\geqslant (s-1)b^*/q$. Тогда $a_1'+\dots +a'_r\geqslant (s-1)v_0$ (см. п. 2.1) и $\sum_{i}\operatorname{wt}(D_{a'_i,-M})\geqslant s$. (Если $(s_i-1)v_0\leqslant a_i'<s_iv_0$, то $\sum_is_i>(a_1'+\dots +a_r')/v_0\geqslant s-1$.) Можно допустить, что $s\leqslant p-2$, так как в противном случае (5.1) лежит в $\overline{\mathscr L}(p)_k=0$. Теперь из неравенства $a_1'+\dots +a_r'<sb^*/q$ вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\frac{(p-1)b^*}{p^M}<q\alpha -b^* \leqslant q\alpha '-b^*+\frac{sb^*}{p^M}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, Если $p^M(q\alpha '-b^*)>(p-1)b^*$, то согласно индуктивному предположению получаем $\overline{\mathscr F}^0_{\alpha ', -(M-1)}\in\overline{\mathscr L}[v_0]_k$ и (5.1) лежит в $[\overline{\mathscr L}[v_0],\overline{\mathscr L}]_k$. Если $p^M(q\alpha '-b^*)\leqslant (p-1)b^*$, то $\iota ':=p^M(q\alpha '-b^*)\in\mathfrak{A}^0_1$, $m(\iota ')=0$ (используем, что $\iota '>b^*$) и, следовательно, $\overline{\mathscr F}[\iota ']\in\overline{\mathscr L}[v_0]_k$. Теперь из (5.2) и замечания 4.8 вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathscr F}[\iota ']_0\in [\overline{\mathscr L}[v_0],\overline{\mathscr L}]_k+\overline{\mathscr L}(p-s)_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, из $\alpha '\in A[p-1,M-1]$ следует, что $p^M\alpha '\equiv 0\ \operatorname{mod}p$ и, значит, $\iota '/p\in\mathfrak{A}^0_1$. Теперь из тождества $\overline{\mathscr F}[\iota ']=\overline{\mathscr F}[\iota ']_0+\sigma \overline{\mathscr F}[\iota '/p]$ мы выводим, что $\overline{\mathscr F}[\iota '/p]\in\overline{\mathscr L}[v_0]_k+\overline{\mathscr L}(p-s)_k$, и из $\sigma^{M-1}\overline{\mathscr F}^0_{\alpha ', -(M-1)}=\overline{\mathscr F}[\iota '/p]$ получаем, что
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathscr F}^0_{\alpha ', -(M-1)}\in\overline{\mathscr L}[v_0]_k+\overline{\mathscr L}(p-s)_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, коммутатор $[\dots [\overline{\mathscr L}(p-s)_k, D_{a_1',-M}],\dots ,D_{a'_r,-M}] \subset\overline{\mathscr L}(p)=0$, так как $\sum_{i}\operatorname{wt}(D_{a_i',-M})\geqslant s$. Это доказывает, что (5.1) лежит в $[\overline{\mathscr L}[v_0],\overline{\mathscr L}]_k$. Лемма 5.3 доказана. Замечание 5.4. Если в использованных выше обозначениях выполнено неравенство $p^M(q\alpha -b^*)>(p-1)b^*$, то 5.2. Переменные граничные значенияПусть $v\geqslant 1$. Определим весовую функцию $\operatorname{wt}_v$ на $\mathscr L_k$ такую, что $\operatorname{wt}_v(D_{an})=s\in\mathbb{N} $ при $(s-1)v\leqslant a<sv$. Обозначим через $\mathscr L_v(p)$ идеал элементов из $\mathscr L$ с $\operatorname{wt}_v$-весом $\geqslant p$. Заметим, что в обозначениях из п. 1.6 выполнено $\operatorname{wt}=\operatorname{wt}_{v_0}$. Определим другую весовую функцию $\operatorname{wt}_v^{+}$ на $\mathscr L_k$ так, чтобы $\operatorname{wt}^{+}(D_0)=1$ и для $a\in\mathbb{Z}^+(p)$, $\operatorname{wt}_v^+(D_{an})=s$ при $(s-1)v<a\leqslant sv$. Обозначим через $\mathscr L_v^+(p)$ идеал элементов, имеющих $\operatorname{wt}_v^+$-вес $\geqslant p$. Очевидно, имеется следующее свойство. Допустим, $v>1$ и $v^{\flat }\in [1,v)$ таковы, что для любого $v'\in (v^{\flat }, v]$ выполнено $\mathscr G_{<p}^{(v')}=\mathscr G_{<p}^{(v)}$. Существование $v^{\flat }$ вытекает из левой непрерывности фильтрации ветвления. Замечание 5.6. Имеется следующая верхняя оценка для $v^{\flat }$. Пусть $\mathfrak{B}$ – множество всех $a_1+a_2p^{-n_2}+\dots+ a_{p-1}p^{-n_{p-1}}<v$ с $a_i\in\mathbb{Z}^+(p)\cap [1,(p-1)v)$ и $n_i\geqslant 0$. Пусть $\delta_0(1)=\min\{v-b\mid b\in\mathfrak{B}\}$, см. п. 2.1. Тогда $v^{\flat }\leqslant v\,{-}\,\delta_0(1)$. Это легко вытекает из теоремы 5.1, так как если $\alpha\notin\mathfrak{B}$ и $\alpha <v$, то $\mathscr F^0_{\alpha ,-N}=0$ и, следовательно, множество $\mathfrak{B}$ содержит все возможные разрывы фильтрации $\{\mathscr G_{<p}^{(v')}\}_{1\leqslant v'<v}$. Для любого $\alpha > v^{\flat }$ выберем $N_{\alpha }\geqslant 0$ так, чтобы
$$
\begin{equation*}
p^{N_{\alpha }+1}(\alpha -v^{\flat })>(p-1)v^{\flat }.
\end{equation*}
\notag
$$
Сформулируем следующий более эффективный вариант теоремы 5.1. Теорема 5.7. $\mathscr L^{(v)}$ является минимальным идеалом в алгебре $\mathscr L$ таким, что для всех $\alpha\geqslant v$ выполняется условие $\mathscr F^0_{\alpha ,-N_{\alpha }}\in\mathscr L_k^{(v)}$. Доказательство. Применим теорему 5.1 с $v_0=v$, выбрав $N\geqslant \widetilde{N}(v)$ такое, что для всех $\alpha\geqslant v$ выполняется $p^{N+1}(\alpha -v^{\flat })>(p-1)v^{\flat }$. Тогда $\mathscr L^{(v)}$ является минимальным идеалом в $\mathscr L$ таким, что $\mathscr L^{(v)}_k$ содержит все $\mathscr F_{\alpha ,-N}^0$ с $\alpha\geqslant v$. Фиксируем $\alpha\geqslant v$ и выберем $v_{\alpha }\in (v^{\flat },v)$ так, чтобы были выполнены неравенства $p^{N_{\alpha }+1}(\alpha -v_{\alpha })>(p-1)v_{\alpha }$ и $p^{N+1}(\alpha -v_{\alpha })>(p-1)v_{\alpha }$. Пусть $b^*_{\alpha }$ и $q_{\alpha }$ – аналоги параметров $b^*$ и $q$, выбранных в п. 2.1 при условии, что $v_0$ заменено на $v_{\alpha }$. Тогда неравенство $p^{M+1}(q_{\alpha }\alpha -b_{\alpha }^*)>(p-1)b_{\alpha }^*$ из леммы 5.3 выполняется с $M=N$ и $M=N_{\alpha }$ (используем, что $b_{\alpha }^*/q_{\alpha }<v_{\alpha }$). Следовательно, согласно замечанию 5.4 мы получаем сравнение Это означает, что условия $\mathscr F^0_{\alpha ,-N}\in\mathscr L^{(v)}_k$ и $\mathscr F^0_{\alpha ,-N_{\alpha }}\in\mathscr L^{(v)}_k$ эквивалентны. Теорема доказана.5.3. Вся фильтрация $\{\mathscr G^{(v)}_{<p}\mid v\geqslant 1\}$Пусть $1\,{=}\,v_1\,{<}\,v_2\,{<}\,\cdots\,{<}\,v_r\,{<}\,\cdots$ – все скачки фильтрации ветвления $\{\mathscr G_{<p}^{(v)}\}_{v\geqslant 1}$. (Это множество является, очевидно, дискретным.) Другими словами, – $\mathscr G_{<p}^{(v_1)}\varsupsetneqq \dots \varsupsetneqq \mathscr G_{<p}^{(v_r)} \varsupsetneqq \dotsb$; – $\mathscr G^{(1)}_{<p}$ – подгруппа ветвления в $\mathscr G_{<p}$, $(\mathscr G_{<p}:\mathscr G^{(1)}_{<p})=p$; – если $r\geqslant 2$ и $v_{r-1}<v\leqslant v_r$, то $\mathscr G^{(v)}_{<p}=\mathscr G_{<p}^{(v_r)}$. Используем отождествление $\mathscr G_{<p}\simeq G(\mathscr L)$ из § 1. Тогда фильтрация ветвления задается идеалами $\mathscr L^{(v_1)}\varsupsetneqq \dots \varsupsetneqq \mathscr L^{(v_r)} \varsupsetneqq \dotsb$ в $\mathscr L$, где $\mathscr L^{(1)} _k$ порождается всеми $D_{an}$, $a\in\mathbb{Z}^+(p)$. Пусть $u\geqslant 2$. Определим весовую функцию $\operatorname{wt}_u$ на $\mathscr L_k$ такую, что $\operatorname{wt}_u(D_0)=1$ и если $s\in\mathbb{N}$ таково, что $(s-1)v_{u-1}<a\leqslant sv_{u-1}$, то $\operatorname{wt}_u(D_{an})=s$. Определим также элементы $\mathscr F^*[u]\in\mathscr L_k$, полученные из элементов $\mathscr F^0_{v_u,-M_u}$, см. п. 4.2, где наложением дополнительных условий $\operatorname{wt}_u(D_{a_1n_1})\,{+}\,\cdots\,{+}\,\operatorname{wt}_u(D_{a_sn_s})\leqslant p-1$, если $s\geqslant 2$. Очевидно,
$$
\begin{equation}
\mathscr F^*[u]\equiv \mathscr F^0_{v_u, -M_u}\ \operatorname{mod} [\mathscr L^{(v_u)},\mathscr L]_k.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Теорема 5.8. Для $r\geqslant 2$ $\mathscr L^{(v_r)}$ является минимальным идеалом в $\mathscr L$ таким, что $\mathscr L^{(v_r)}_k$ содержит все $\mathscr F^*[u]$ с $u\geqslant r$. Доказательство. Рассмотрим $\alpha >1$, и пусть $u_{\alpha}\geqslant 2$ таково, что $v_{u_{\alpha}-1}<\alpha\leqslant v_{u_{\alpha}}$. Пусть $N_{\alpha}\geqslant 0$ таково, что $p^{N_{\alpha}+1}(\alpha -v_{u_{\alpha}-1})>(p-1)v_{u_{\alpha}-1}$. Отсюда вытекает, что $\mathscr F_{\alpha,-N_{\alpha}}\in \mathscr L_k^{(v_{u_{\alpha}})}$.
Предположим, что $\alpha > v_{r-1}$. Тогда $v_{u_{\alpha}-1}\geqslant v_{r-1}$ и
$$
\begin{equation*}
p^{N_{\alpha}+1}(\alpha -v_{r-1})\geqslant p^{N_{\alpha}+1}(\alpha -v_{u_{\alpha}-1})>(p-1)v_{u_{\alpha}-1}\geqslant (p-1)v_{r-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы 5.7, в частности, следует, что $\mathscr L^{(v_r)}$ является минимальным идеалом в $\mathscr L$ таким, что для всех $\alpha\geqslant v_r$ имеет место $\mathscr F^0_{\alpha,-N_{\alpha}}\in\mathscr L^{(v_r)}_k$. Если $\alpha >v_r$, то $u_{\alpha}\geqslant v_{r+1}$ и $\mathscr F^0_{\alpha,-N_{\alpha}}\in\mathscr L^{(v_{r+1})}_k$. Если $\alpha =v_r$, то $u_{\alpha}=r$ и $p^{N_{\alpha}+1}(v_r-v_{r-1})= p^{N_{\alpha}+1}(\alpha -v_{u_{\alpha}-1})>(p-1)v_{u_{\alpha}-1}=(p-1)v_{r-1}$. Пусть $M_r=N_{\alpha}$. Тогда из сравнения (5.3) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\mathscr F^*[r]\equiv \mathscr F^0_{v_r,-M_{r}}\equiv \mathscr F^0_{\alpha, -N_{\alpha}} \ \operatorname{mod} [\mathscr L^{(v_r)},\mathscr L]_k.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате $\mathscr L^{(v_r)}$ является минимальным идеалом в $\mathscr L$ таким, что $\mathscr F^*[r]\in\mathscr L^{(v_r)}_k$ и $\mathscr L^{(v_{r+1})}\subset \mathscr L^{(v_r)}$. Доказательство теоремы завершается итерированием этой процедуры. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Abr21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|