| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О непрерывных эндоморфизмах целых функций А. Б. Шишкин Кубанский государственный университет, г. Краснодар
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9316 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеНастоящая работа дополняет исследования по спектральному синтезу в комплексной области, проведенные автором в работах [1]–[3]. 1.1. Непрерывные эндоморфизмы целых функцийПусть $A$ – непрерывный эндоморфизм пространства целых функций $O(\mathbb{C})$ с топологией равномерной сходимости на компактах. Выберем произвольный компакт $d\subseteq\mathbb{C}$ и точку $h\in d$. Частичные суммы ряда Тейлора функции $\xi\to e^{h\xi}$ сходятся к ней в пространстве $O(\mathbb{C})$ равномерно по $h\in d$. В силу линейности и непрерывности оператора $A\colon O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})$ функциональный ряд
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^{n}}{n!}A(\xi^{n})(\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{A(\xi^{n})(\lambda)}{n!}h^{n}
\end{equation*}
\notag
$$
сходится к функции $A(e^{h\xi})(\lambda)$ в пространстве $O(\mathbb{C})$ равномерно по $h\in d$. С другой стороны, при фиксированном $\lambda\in\mathbb{C}$ этот ряд является степенным рядом, который сходится в любой точке $h\in d$. Так как компакт $d\subseteq\mathbb{C}$ выбирался произвольно, то для любых $\varepsilon>0$ и $\lambda\in\mathbb{C}$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl| \frac{A(\xi^{n})(\lambda)}{n!}\biggr| \leqslant\frac{1}{\varepsilon^{n}}\sup_{| h| \leqslant\varepsilon}|A(e^{h\xi}) (\lambda)| .
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Отсюда вытекает, что для любого $\varepsilon_{0}\in(0,\varepsilon)$ и всех достаточно больших $n\in\mathbb{Z}_{+}$ выполняются неравенства
$$
\begin{equation*}
| A(\xi^{n})(\lambda)| \leqslant\frac{n!}{\varepsilon^{n}} \sup_{| h| \leqslant\varepsilon}| A(e^{h\xi}) (\lambda)| \leqslant\biggl(\frac{n}{\varepsilon_{0}e}\biggr)^{n} \sup_{| h| \leqslant\varepsilon}| A(e^{h\xi}) (\lambda)| .
\end{equation*}
\notag
$$
А это означает, что для любых $\varepsilon>0$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\varlimsup_{n\to\infty} \frac{1}{n}\biggl(\frac{| A(\xi^{n})(\lambda)| }{\sup_{|h| \leqslant\varepsilon}| A(e^{h\xi}) (\lambda)| }\biggr)^{1/n}\leqslant\frac{1}{\varepsilon e}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для теории спектрального синтеза в пространствах аналитических функций особое значение имеют эндоморфизмы $A\colon O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})$, для которых образы $A(e^{h\xi}) $ при любом $h$ из окрестности нуля являются целыми функциями экспоненциального типа. В такой ситуации ключевое значение приобретает неравенство
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{n\to\infty,\,\lambda\to\infty} \frac{1}{n}\biggl(\frac{| A(\xi^{n})(\lambda)| }{\exp\varepsilon| \lambda| }\biggr)^{1/n} \leqslant\frac{1}{\varepsilon e}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Основной результат настоящей статьи вскрывает роль неравенства (1.2) в различных вопросах теории целых функций. Причем автор постарался охватить все ситуации, встречающиеся в исследовательской практике, имеющие какое-либо отношение к этому неравенству. Для формулировки основной теоремы уточним используемые в ней обозначения и терминологию: $O(\Omega)$ – пространство функций, голоморфных в односвязной области $\Omega$, с топологией равномерной сходимости на компактах; $P(\Omega)$ – интерпретация сильного сопряженного пространства $O^{\ast}(\Omega)$ в терминах преобразования Лапласа $L_{\Omega}\colon O^{\ast} (\Omega)\to P(\Omega)$; $U_{\varepsilon} := \{h\in \mathbb{C}\colon | h| <\varepsilon \}$; $\| \cdot\| _{\varepsilon}$ – функционал
$$
\begin{equation*}
g\to\sup_{\lambda\in\mathbb{C}}\ \frac{| g(\lambda) |}{\exp\varepsilon| \lambda|};
\end{equation*}
\notag
$$
на пространстве целых функций $g(\lambda)$, у которых тип при порядке $1$ не превосходит $\varepsilon$; $\Omega_{0}$ – односвязная область, удовлетворяющая условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ при некотором $\varepsilon'>0$; $\widehat{f}$ – дуальный функционал для $f\in O(\Omega)$; $\widehat{\varphi}$ – дуальный функционал для $\varphi\in P(\Omega_{0})$; $\langle\varphi,\widehat{f}\rangle$ – значение функционала $\widehat{f}$ в точке $\varphi$; $\langle\widehat{\varphi},f\rangle$ – значение функционала $\widehat{\varphi}$ в точке $f$. Если $A$ – эндоморфизм пространства целых функций и $g$ – целая функция, то через $A(g)(D)$ обозначается дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами с характеристической функцией $A(g)$, а через $A(g)(D)(f)(\zeta)$ обозначается значение образа $A(g)(D)(f)$ в точке $\zeta$. Теорема 1. Если $A$ – непрерывный эндоморфизм пространства целых функций $O(\mathbb{C})$ и образы $A(\xi^{n})$, $n\in\mathbb{Z}_{+}$, имеют минимальный тип при порядке $1$, то следующие утверждения эквивалентны: 1) для любого $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.2); 2) для любого компакта $d$ из круга $U_{\varepsilon}$ при некотором $N\in \mathbb{Z}_{+}$ множество
$$
\begin{equation*}
\biggl\{ \sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{A(\xi^{n})(\lambda)}{n!}h^{n}\colon h\in d\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
ограничено по норме $\| \cdot \| _{\varepsilon}$ при любом выборе $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$; 3) для любого компакта $d$ из круга $U_{\varepsilon}$ множество
$$
\begin{equation*}
\{ A(e^{h\xi})\colon h\in d\} \subseteq O(\mathbb{C})
\end{equation*}
\notag
$$
ограничено по норме $\| \cdot \| _{\varepsilon}$ при любом выборе $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$; 4) сужение оператора $A$ на пространство $P(U_{\varepsilon})$ является непрерывным эндоморфизмом пространства $P(U_{\varepsilon})$ при любом выборе $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$; 5) для любой функции $\varphi\in P(\Omega_{0})$ сужение непрерывного эндоморфизма
$$
\begin{equation*}
\varphi A\colon O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})\mid g\to\varphi A(g)
\end{equation*}
\notag
$$
на пространство $P(U_{\varepsilon})$ является непрерывным отображением из пространства $P(U_{\varepsilon})$ в пространство $P(\Omega)$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$, и $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$; 6) для любого $f\in O(\Omega)$ и любых компактов $d\subseteq \Omega_{0}$ и $d'\subseteq U_{\varepsilon'}$ множество
$$
\begin{equation*}
\{ \langle e^{z\lambda}A(e^{h\xi})(\lambda),\widehat{f} \rangle \colon z\in d,\,h\in d'\}
\end{equation*}
\notag
$$
ограничено в $\mathbb{C}$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$; 7) для любого компакта $d'\subseteq U_{\varepsilon'}$ семейство операторов
$$
\begin{equation*}
g(\lambda)\to g(\lambda)A(e^{h\xi})(\lambda), \qquad h\in d',
\end{equation*}
\notag
$$
является равностепенно непрерывным семейством отображений пространства $P(\Omega_{0})$ в пространство $P(\Omega)$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$; 8) для любого $f\in O(\Omega)$ ряд
$$
\begin{equation*}
AT_{h}(f):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A(e^{h\xi})^{(n)}(0)}{n!}f^{(n)}(z)
\end{equation*}
\notag
$$
сходится к функции $\langle e^{z\lambda }A(e^{h\xi})(\lambda),\widehat{f}\rangle $ равномерно по $(z,h)$ на компактах из бицилиндра $\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$; 9) для любого $f\in O(\Omega)$ ряд
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^{n}}{n!}A(\xi^{n})(D)(f)(\zeta)
\end{equation*}
\notag
$$
сходится к функции $AT_{h}(f)=\langle e^{\zeta\lambda}A(e^{h\xi})(\lambda),\widehat{f}\rangle $ равномерно по $(\zeta,h)$ на компактах из бицилиндра $\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$; 10) линейный оператор действует из пространства $O(\Omega)$ в пространство $O(U_{\varepsilon})$ и является непрерывным при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$, и функции $\varphi\in P(\Omega_{0})$.Эквивалентность условия 1) и каждого из условий 2)–10) доказаны в предложениях 5–13 соответственно. При этом, как это отмечено в формулировках указанных предложений, утверждения 2) $\Leftrightarrow$ 1), 3) $\Rightarrow$ 1), $\dots$, 10) $\Rightarrow$ 1) остаются справедливыми без предположения, что образы $A(\xi^{n})$, $n\in\mathbb{Z}_{+}$, имеют минимальный тип при порядке 1. Важно отметить, что теорема 1 остается справедливой, если предполагать, что области $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющие условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$, являются выпуклыми. Это следует из того, что все рассуждения в доказательствах предложений 5–13, требующие выбора конкретных односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, проведены в условиях выпуклой ситуации. Доказанная теорема допускает естественное обобщение на случай целых функций произвольного уточненного порядка. Но в этом случае она сильно загромождается большим числом новых построений (обозначений, определений и т.д.). Отметим, что теоремы 1) $\Leftrightarrow$ 6), $\dots$, 1) $\Leftrightarrow$ 10) получены с использованием аналитической дуальной схемы, описанной в § 2. Теорема 1 дополняет свойства объектов этой схемы серией из девяти свойств 1) $\Leftrightarrow$ 2), $\dots$, 1) $\Leftrightarrow$ 10), каждое из которых имеет самостоятельное значение. Истоки аналитической дуальной схемы восходят к работам [4], [5] о топологических свойствах пространств аналитических функций и к работам [6]–[9], использующим двойственные переходы к пространствам целых функций. Теорема 1 имеет большое число приложений. В этой статье мы рассмотрим лишь два из них. Одно приложение связано с аппроксимационной теоремой для однородных уравнений типа свертки в пространствах аналитических функций. Другое приложение связано с дуальным определением линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Первое приложение является основным. Оно и побудило автора к исследованию, результаты которого описаны в этой работе. Второе приложение является хорошей иллюстрацией к применению теоремы 1 на практике. 1.2. Однородные уравнения $A$-сверткиПусть $\varepsilon'>0$ и $\Omega_{0},\Omega$ – односвязные области в комплексной плоскости, удовлетворяющие условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$. Выберем произвольную точку $h\in U_{\varepsilon'}$ и произвольный непрерывный эндоморфизм $A$ пространства целых функций $O(\mathbb{C})$, у которого образы $A(\xi^{n})$, $n\in\mathbb{Z}_{+}$, имеют минимальный тип при порядке 1 (последнее условие использовалось в статье [3] по умолчанию). Линейный дифференциальный оператор с характеристической функцией $A(e^{h\xi})$, который мы обозначаем через $AT_{h}$, называют оператором $A$-сдвига (на шаг $h$), если при любом $h\in U_{\varepsilon'}$ он действует из пространства $O(\Omega)$ в пространство $O(\Omega_{0})$ и является непрерывным. Выберем произвольный оператор $A$-сдвига $AT_{h}\colon O(\Omega)\to O(\Omega_{0})$, произвольные функции $\varphi\in P(\Omega_{0})$ и $f\in O(\Omega)$ и произвольное $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$. Дуальный функционал $\widehat{\varphi}$ принадлежит пространству $O^{\ast}(\Omega_{0})$. Значит, на круге $U_{\varepsilon'}$ определена функция $\langle \widehat{\varphi},AT_{h}(f)\rangle $, которая называется $A$-сверткой функции $f$ и функционала $\widehat{\varphi}$. При этом на пространстве $O(\Omega)$ определен линейный оператор $AM_{\widehat{\varphi }}$, который любой функции $f\in O(\Omega)$ ставит в соответствие $A$-свертку $\langle \widehat{\varphi},AT_{h}(f)\rangle $ функции $f$ и функционала $\widehat{\varphi}$. Если линейный оператор $AM_{\widehat{\varphi }}$ действует из пространства $O(\Omega)$ в пространство $O(U_{\varepsilon})$ и является непрерывным, то его называют оператором $A$-свертки. Экспоненциальные полиномы, являющиеся решениями однородного уравнения $A$-свертки называются элементарными решениями этого уравнения. Говорят, что для однородного уравнения $A$-свертки справедлива аппроксимационная теорема, если любое решение этого уравнения можно аппроксимировать в пространстве $O(\Omega)$ его элементарными решениями.Говорим, что радиальная плотность некоторого множества комплексных чисел меньше $\varepsilon\in(0;+\infty)$, если это множество можно покрыть совокупностью колец $| | z| -t_{n}|\leqslant r_{n}$, $n\in\mathbb{N}$, где $0<r_{n}\leqslant t_{n}$, последовательность $\{ t_{n}\} $ имеет единственную предельную точку в бесконечности и
$$
\begin{equation*}
\varlimsup_{r\to+\infty}\frac{1}{r}\sum_{t_{n}<r}r_{n}<\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Если радиальная плотность некоторого множества комплексных чисел меньше любого положительного числа, то говорим, что это множество имеет нулевую радиальную плотность. Две целые функции $g_{1},$ $g_{2}$ называем эквивалентными, если вне некоторого множества нулевой радиальной плотности
$$
\begin{equation}
\bigl|\ln|g_{1}(z)|-\ln|g_{2}(z)|\bigr|=o(|z|), \qquad z\to\infty.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Пусть $\pi$ – целая функция минимального типа при порядке 1. Целая функция $g$ называется целой $\pi$-симметричной, если она представляется в виде композиции $g_{0}\circ\pi$, где $g_{0}$ – целая функция. Говорят, что класс $P_{\pi}(\mathbb{C})$ целых $\pi$-симметричных функций экспоненциального типа факторизуем по отношению (1.4), если любая функция $g\in P_{\pi}(\mathbb{C})$ представляется в виде произведения $g_{1}g_{2}$, где $g_{1},g_{2}\in P_{\pi}(\mathbb{C})$ и $g_{1}$ эквивалентна $g_{2}$. Непрерывный эндоморфизм $A\colon O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})$ называется оператором $\pi$-симметризации, если $A(1)=1$, $A(\mathbb{C}[\xi])=\mathbb{C}[\pi(z)]$, где $\mathbb{C}[\lambda]$ – кольцо многочленов от $\lambda$. Известно, что аппроксимационная теорема для однородного уравнения $A$-свертки справедлива, если $\Omega$ – выпуклая область и выполнены следующие условия: 11) для любого $\varepsilon>0$ выполняется неравенство (1.2); 12) непрерывный эндоморфизм $A\colon O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})$ является оператором $\pi$-симметризации; 13) класс $P_{\pi}(\mathbb{C})$ факторизуем по отношению (1.4). Случай $\pi(z)=z$ рассмотрен в статье [10], случай $\pi(z)=z^{q}$ изучен в статье [11], случай $\pi$ – многочлен исследован в работе [12], общий случай рассмотрен в работе [3]. Отметим, что в первых трех случаях условие 13) выполняется автоматически. В общем случае выполнимость его пока доказана при некоторых ограничениях на целую функцию $\pi(z)$, описанных в работе [2]. В условиях многих переменных аппроксимационная теорема доказана лишь в случае $\pi(z_{1},\dots,z_{n})=(z_{1},\dots,z_{n})$ (см. [13]) и в случае $\pi(z_{1},\dots,z_{n})=(\pi_{1}(z_{1}),\dots,\pi_{n}(z_{n}))$, где $\pi_{1},\dots,\pi_{n}$ – полиномы (см. [14], [15]). Ключевое значение для результатов из статей [13] и [15] имеет основная теорема статьи [16]. Условие 11) использовалось в статье [3] при доказательстве свойств 1–10 оператора $A$-свертки ($\pi$-симметричной свертки). Из теоремы 1 вытекает, что для выполнения отмеченных свойств условие 11) является избыточным и может быть заменено условием 1). При этом условие 1) в каждом из доказываемых свойств уже не может быть ослаблено. Значит, из теоремы 1) $\Leftrightarrow$ 10) вытекает справедливость следующей теоремы. Теорема 2. Если выполнены условия 12) и 13), то аппроксимационная теорема для однородного уравнения $A$-свертки справедлива при любом выборе выпуклых областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$, и функции $\varphi\in P(\Omega_{0})$ тогда и только тогда, когда выполнено условие 1). Теорема 2 существенно ослабляет условия, при которых справедлива аппроксимационная теорема для уравнения (1.3) и, значит, существенным образом расширяет семейство однородных уравнений типа свертки в пространствах аналитических функций на выпуклых областях, решение которых получило исчерпывающее описание. 1.3. Дуальное определение дифференциальных операторовРассмотрим еще одно приложение теоремы 1. Пусть $\Omega_{0}$, $\Omega$ – односвязные области в комплексной плоскости, $\Omega _{0}\subseteq\Omega$ и $g(\lambda)$ – целая функция. Предположим, что выполнены следующие условия: 14) оператор умножения на целую функцию $g(\lambda)$ действует из пространства $P(\Omega_{0})$ в пространство $P(\Omega)$ и является непрерывным; 15) существует такая последовательность многочленов $g_{k}$, что последовательность $g_{k}(\lambda)e^{\zeta\lambda}$ сходится к $g(\lambda)e^{\zeta\lambda}$ в топологии пространства $P(\Omega)$ равномерно по $\zeta$ на компактах из $\Omega_{0}$. По дуальному определению дифференциальный оператор $g(D)$ определяется как оператор
$$
\begin{equation*}
O(\Omega)\to O(\Omega_{0})|f\to\langle g(\lambda )e^{\zeta\lambda},\widehat{f}\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widehat{f}$ – дуальный функционал для $f\in O(\Omega)$ (см. [3]). Возникает вопрос: при каких условиях в качестве последовательности $g_{k}(\lambda)$ можно выбрать последовательность частичных сумм ряда Тейлора функции $g(\lambda)$. На этот вопрос отвечает следующая теорема. Теорема 3. Для того чтобы при любом $f\in O(\Omega)$ ряд сходился к функции $\langle g(\lambda )e^{\zeta\lambda},\widehat{f}\rangle $ абсолютно и равномерно на компактах из $\Omega_{0}$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$, необходимо и достаточно, чтобы при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполнялось неравенство Доказательство теоремы 3 основано на теореме 1) $\Leftrightarrow$ 8). Из теоремы 3 вытекает, что при определении дифференциального оператора $g(D)$ вместо предположения, что выполнены условия 14) и 15) или условия 14) и 16) (см. п. 6.1) можно предполагать, что выполнено лишь одно условие: 17) для любого $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.6). При этом условие 17) является слабейшим среди тех, которые гарантируют существование дифференциального оператора $g(D)\colon O(\Omega )\to O(\Omega_{0})$, его непрерывность и возможность представления в виде ряда (1.5) при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$. § 2. Дуальные схемы2.1. Сведения из общей теории двойственностиДуальные построения в рамках задачи спектрального синтеза в комплексной области опираются на следующие факты из общей теории двойственности о взаимно однозначных и непрерывных отображениях локально выпуклых пространств. Предложение 1. Пусть $E$, $F$ – отделимые локально выпуклые пространства, $E^{\ast}$ и $F^{\ast}$ – их сильные сопряженные пространства. Если $u$ – линейное, взаимно однозначное и непрерывное отображение пространства $E$ на всюду плотное подпространство $u(E)\subseteq F$, то сопряженное отображение $u^{\ast}$ является взаимно однозначным и непрерывным отображением пространства $F^{\ast}$ на всюду плотное подпространство $u^{\ast}(F^{\ast})\subseteq E^{\ast}$. Доказательство. Дуальные пары $\langle E,E^{\ast}\rangle $ и $\langle F,F^{\ast}\rangle $ являются отделимыми, следовательно, отображение $u$ и сопряженное отображение $u^{\ast}$ являются (сильно) непрерывными и слабо непрерывными, см. [17; 8.6.6]. При этом в локально выпуклых пространствах семейство слабо плотных подпространств совпадает с семейством всюду плотных подпространств. Значит, полный образ отображения $u$ слабо плотен в $F$. Отсюда вытекает, что отображение $u^{\ast}$ является взаимно однозначным и полный образ отображения $u^{\ast}$ слабо плотен в пространстве $E^{\ast}$, см. [17; 8.6 (d)]. Предложение доказано. Предложение 2. Пусть $E$ и $F$ – рефлексивные локально выпуклые пространства, $E^{\ast}$ и $F^{\ast}$ – их сильные сопряженные пространства. Если $u$ – линейное, взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение пространства $E$ на пространство $F$, то сопряженное отображение $u^{\ast}$ является взаимно однозначным и взаимно непрерывным отображением пространства $F^{\ast}$ на пространство $E^{\ast}$. Доказательство. Рефлексивные локально выпуклые пространства являются отделимыми. Из предложения 1 вытекает, что сопряженное отображение $u^{\ast}$ является взаимно однозначным и непрерывным отображением пространства $F^{\ast}$ на всюду плотное подпространство $u^{\ast}(F^{\ast})\subseteq E^{\ast}$. Рефлексивное пространство $F$ является бочечным (см. [17; 8.4.5]), значит, открытость отображения $u$ влечет его слабую открытость (см. [17; 8.6.10]). Отсюда вытекает, что полный образ отображения $u^{\ast}$ (слабо) замкнут в $E^{\ast}$ (см. [17; 8.6.3]). Это означает, что $u^{\ast}(F^{\ast})=E^{\ast}$, т.е. отображение $u^{\ast}$ является взаимно однозначным и непрерывным отображением пространства $F^{\ast}$ на пространство $E^{\ast}$. Так как $u(E)=F$, то обратное отображение $(u^{\ast})^{-1}$ является слабо непрерывным (см. [17; 8.6.4 (2)]) и непрерывным (см. [17; 8.6.10]). Предложение доказано. 2.2. Дуальные схемыПусть $E$ – рефлексивное локально выпуклое пространство, $E^{\ast}$ – его сильное сопряженное пространство. На практике приходится иметь дело с разными интерпретациями пространства $E^{\ast}$, и их совместное использование вызывает терминологическую путаницу. В связи с этим уместно следующее определение: локально выпуклое пространство $F$ называется дуальным по отношению к пространству $E$, если существует линейный топологический изоморфизм $L\colon E^{\ast}\to F$. Воспользуемся рефлексивностью пространства $E$ и отождествим это пространство с его вторым сопряженным пространством $E^{\ast\ast}$. Тогда сопряженное отображение $L^{\ast}$ действует из пространства $F^{\ast}$ в пространство $E=E^{\ast\ast}$ и по предложению 2 тоже является линейным топологическим изоморфизмом. При этом пространство $E^{\ast}$ и изоморфное ему пространство $F$ являются рефлексивными. Значит, если пространство $F$ является дуальным по отношению к пространству $E$, то пространство $E$, в свою очередь, является дуальным по отношению к пространству $F$. Говорят, что пространства $E$ и $F$ образуют пару дуальных пространств $\langle E,F\rangle $. Понятно, что пара дуальных пространств $\langle E,F\rangle $ является дуальной парой с билинейной формой $\langle x,y\rangle =\langle x,L^{-1}(y)\rangle $. Возникшую ситуацию удобно иллюстрирует следующая диаграмма: Эту диаграмму принято называть дуальной схемой, порождаемой изоморфизмом $L$. Дуальная пара $\langle F,E\rangle $ с билинейной формой $\langle y,x\rangle =\langle y,(L^{\ast})^{-1}(x)\rangle $ тоже является парой дуальных пространств. При этом изоморфизм $(L^{\ast})^{-1}\colon E\to F^{\ast}$ порождает ту же дуальную схему, что и изоморфизм $L:E^{\ast}\to F$. Функционалы $\widehat{x}:=(L^{\ast})^{-1}(x)\in F^{\ast}$ и $\widehat{y}:=L^{-1}(y)\in E^{\ast}$ называются дуальными функционалами (или дуальными элементами) по отношению к элементам $x\in E$ и $y\in F$ соответственно. Легко проверить, что для отображений, входящих в дуальную схему (2.1), справедливы следующие соотношения: $L^{-1}=((L^{\ast})^{-1})^{\ast}$, $(L^{\ast})^{-1}=(L^{-1})^{\ast}$, где $((L^{\ast})^{-1})^{\ast}$ и $(L^{-1})^{\ast}$ – сопряженные к обратным отображениям $(L^{\ast})^{-1}$ и $L^{-1}$ соответственно. Из этих соотношений вытекает, что произвольные элементы $x\in E$, $y\in F$ и их дуальные функционалы $\widehat{x}\in F^{\ast}$ и $\widehat{y}\in E^{\ast}$ связаны соотношением
$$
\begin{equation}
\langle x,\widehat{y}\rangle =\langle \widehat{x} ,y\rangle .
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
2.3. Дуальные отображенияВыберем две произвольные пары дуальных пространств $\langle E_{0},F_{0}\rangle $ и $\langle E,F\rangle $. Пусть $u\colon E\to E_{0}$ и $v\colon F_{0}\to F$ – линейные отображения. Каждый из изоморфизмов $L_{0}\colon E_{0}^{\ast}\to F_{0}$ и $L\colon E^{\ast}\to F$ порождает свою дуальную схему. Рассмотрим диаграмму, иллюстрирующую взаимодействие двух дуальных схем, в которой $u^{\ast}\colon E_{0}^{\ast}\to E^{\ast}$ и $v^{\ast}\colon F^{\ast}\to F_{0}^{\ast}$ – сопряженные к отображениям $u$ и $v$ соответственно. Если эта диаграмма коммутативна, то отображение $v$ называется дуальным отображением по отношению к (прямому) отображению $u$ и обозначается через $u^{\circledast}$, а отображение $u$ называется дуальным отображением по отношению к (прямому) отображению $v$ и обозначается через $v^{\circledast}$. Для дуальных отображений справедливы представления $u^{\circledast}=L\circ u^{\ast}\circ L_{0}^{-1}$, $v^{\circledast} =L_{0}^{\ast}\circ v^{\ast}\circ(L^{\ast})^{-1}$. Значит, для любых $y\in F_{0}$ и $x\in E$ справедливы соотношения
$$
\begin{equation}
\langle u^{\circledast}(y),\widehat{x}\rangle =\langle\widehat{y},u(x)\rangle , \qquad \langle \widehat{y},v^{\circledast}(x)\rangle =\langle v(y),\widehat{x}\rangle .
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
По свойствам сопряженных отображений непрерывность прямого отображения $u$ или $v$ влечет (сильную) непрерывность дуального отображения $u^{\circledast}$ или $v^{\circledast}$ соответственно. Кроме того, по определению сопряженных отображений $(u^{\ast})^{\ast}=u$ и $(v^{\ast})^{\ast}=v$. Отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
(u^{\circledast})^{\circledast}=u, \qquad (v^{\circledast })^{\circledast}=v.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Из соотношений (2.4) и предложения 1 вытекает справедливость следующего утверждения: линейное отображение $u\colon E\to E_{0}$ является взаимно однозначным и непрерывным отображением пространства $E$ на всюду плотное подпространство $u(E)\subseteq E_{0}$ тогда и только тогда, когда дуальное отображение $u^{\circledast}\colon F_{0}\to F$ является взаимно однозначным и непрерывным отображением пространства $F_{0}$ на всюду плотное подпространство $u^{\circledast}(F_{0})\subseteq F$. Понятно, что для отображения $v\colon F_{0}\to F$ справедливо аналогичное утверждение. Отметим еще один факт. По предложению 2 прямое отображение $u$ или $v$ является линейным топологическим изоморфизмом тогда и только тогда, когда дуальное отображение $u^{\circledast}$ или $v^{\circledast}$ соответственно является линейным топологическим изоморфизмом. 2.4. Аналитическая дуальная схемаДуальные схемы используются в различных вопросах комплексного анализа, например, при всяком исследовании функциональных пространств, связанном с необходимостью использовать факты из теории целых функций. Рассмотрим одну из таких схем. Пусть $\Omega$ – односвязная область в $\mathbb{C}$; $O(\Omega)$ – пространство функций, голоморфных в $\Omega$, с топологией равномерной сходимости на компактах; $O^{\ast }(\Omega)$ – его сильное сопряженное пространство; $P(\Omega)$ – интерпретация сильного сопряженного пространства $O^{\ast}(\Omega)$ в терминах преобразования Лапласа
$$
\begin{equation*}
L_{\Omega}\colon O^{\ast}(\Omega)\to P(\Omega)\mid S\to\langle S,e^{\lambda z}\rangle .
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\Omega$ – выпуклая область, то топология пространства $P(\Omega)$ допускает простое независимое описание как топология индуктивного предела или как топология проективного предела банаховых пространств. Пусть $\Omega$ – выпуклая область, $a\in\Omega$, $h_{d}(\lambda):=\sup_{\zeta\in d}\operatorname{Re}\zeta\lambda$ – опорная функция выпуклого компакта $d\subseteq\Omega-a$ в смысле комплексного анализа. Для любого компакта $d\subseteq\Omega-a$ через $P_{a}[1;h_{d}]$ обозначим банахово пространство целых функций $g$, для которых конечна норма
$$
\begin{equation*}
\| g\| _{h_{d}}:=\sup_{\lambda\in\mathbb{C}}\frac{| g( \lambda) |}{\exp(h_{d}(\lambda)+\operatorname{Re}a\lambda)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пространства $P_{a}[1;h_{d}]$, $d\subseteq\Omega-a$, образуют прямой спектр относительно непрерывных вложений $P_{a}[1;h_{d} ]\subseteq P_{a}[1;h_{d'}]$, $d\subseteq d'$. Индуктивный предел этого спектра не зависит от выбора $a\in\Omega$ и совпадает с пространством $P(\Omega)$ (см. [18]). C другой стороны, пусть $\mathfrak{M}(\Omega-a)$ – класс положительных на $\mathbb{C}$ функций $\mu(\lambda)$ со свойствами: 1) ${\mu(\lambda)}/{\exp h_{d}(\arg\lambda)}\to\infty$ при $\lambda\to\infty$ для любого выпуклого компакта $d\subseteq\Omega-a$; 2) $\inf_{\lambda\in d'}\mu(\lambda)>0$ для любого компакта $d' \subseteq\mathbb{C}$. Для любой функции $\mu\in\mathfrak{M} (\Omega-a)$ через $P_{a}[1;\mu]$ обозначим банахово пространство целых функций $g$, для которых конечна норма $\| g\| _{\mu}$. Пространства $P_{a}[1;\mu]$, $\mu\in\mathfrak{M}(\Omega-a)$, образуют обратный спектр относительно непрерывных вложений $P_{a}[1;\mu ]\subseteq P_{a}[1;\mu']$, $\mu\geqslant\mu'$. Проективный предел этого спектра не зависит от выбора $a\in\Omega$ и совпадает с пространством $P(\Omega)$. При этом совокупность множеств
$$
\begin{equation*}
V_{\mu}:=\{g\in P(\Omega)\colon | g(\lambda)| \leqslant\mu (\lambda)|{\exp a\lambda}|\}, \qquad \mu\in\mathfrak{M}(\Omega-a)
\end{equation*}
\notag
$$
образует фундаментальную систему окрестностей нуля в $P(\Omega)$, см. [18]. Вернемся к общему случаю: $\Omega$ – односвязная область. Пространства $O(\Omega)$ и $P(\Omega)$ являются пространствами типа $(M^{\ast})$ и $(\mathrm{LN}^{\ast})$ соответственно, значит, они оба являются рефлексивными, см. [5]. Следовательно, пара $\langle O(\Omega),P(\Omega)\rangle $ является парой дуальных пространств. При этом преобразование Лапласа $L_{\Omega}$ порождает дуальную схему которая называется аналитической дуальной схемой. В этой схеме $P^{\ast }(\Omega)$ – сильное сопряженное к пространству $P(\Omega)$, $L_{\Omega}^{\ast}$ – сопряженное отображение к оператору Лапласа $L_{\Omega}$. Аналитическая дуальная схема кратко описана и использовалась ранее в статье [3]. Результаты из [3; разд. 3.1] сформулируем в виде отдельного предложения.Предложение 3. Справедливы следующие утверждения: 1) для любого $z\in\Omega$ дуальный элемент функции $\lambda\to e^{z\lambda}$, рассматриваемой как элемент пространства $P(\Omega)$, совпадает с функционалом $\delta_{z}\in O^{\ast}(\Omega)$, действующим по правилу $\langle \delta_{z},f\rangle =f(z)$; 2) для любого $\lambda\in\mathbb{C}$ дуальный элемент функции $z\to e^{\lambda z} $, рассматриваемой как элемент пространства $O(\Omega)$, совпадает с функционалом $\delta_{\lambda}\in P^{\ast}(\Omega)$, действующим по правилу $\langle g,\delta_{\lambda}\rangle =g(\lambda)$; 3) для любых $g\in P(\Omega)$, $f\in O(\Omega)$ и $n\in\mathbb{Z}_{+}$ имеют место представления Выберем еще одну односвязную область $\Omega_{0}\subseteq \mathbb{C}$ и рассмотрим диаграмму, иллюстрирующую взаимодействие двух аналитических дуальных схем, в которой $u$, $v$ – произвольные линейные отображения, $u^{\ast}$, $v^{\ast}$ – их сопряженные отображения. Из соотношений (2.3) и предложения 3 вытекает простое описание дуальных отображений $u^{\circledast}\colon P(\Omega_{0})\to P(\Omega)$ и $v^{\circledast }\colon O(\Omega)\to O(\Omega_{0})$ в терминах дуальных функционалов, см. [3; 3.2].Обоснуем три свойства объектов аналитической дуальной схемы, вытекающие из предложения 4, которые неоднократно будут использоваться нами ниже по умолчанию. Во-первых, пусть $\Omega_{0}\subseteq\Omega$ и $u\colon O(\Omega)\to O(\Omega_{0})$ – отображение вложения. По предложению 4 дуальное отображение $u^{\circledast}$ совпадает с отображением вложения $P(\Omega _{0})\to P(\Omega)$. Отображение $u$ непрерывно и пространство $O(\Omega)$ всюду плотно в пространстве $O(\Omega_{0})$, значит, по предложению 1 отображение вложения $P(\Omega _{0})\to P(\Omega)$ является непрерывным и пространство $P(\Omega_{0})$ всюду плотно в пространстве $P(\Omega)$. Во-вторых, для любого $h\in\mathbb{C}$ оператор сдвига $T_{h}\colon f(z)\to f(\zeta+h)$ осуществляет линейный топологический изоморфизм $O(\Omega)\to O(\Omega-h)$. По предложению 4 дуальное к нему отображение $T_{h}^{\circledast}$ действует из пространства $P(\Omega-h)$ в пространство $P(\Omega)$ по правилу $g(\xi)\to g(\lambda)e^{h\lambda}$ и по предложению 2 является линейным топологическим изоморфизмом. В-третьих, семейство $\{v_{h}\colon h\in H\}$ линейных непрерывных отображений $v_{h}\colon P(\Omega_{0})\to P(\Omega)$ является равностепенно непрерывным тогда и только тогда, когда семейство дуальных отображений $\{v_{h}^{\circledast}\colon h\in H\}$ является равностепенно непрерывным семейством линейных непрерывных отображений $O(\Omega)\,{\to}\, O(\Omega_{0})$. Действительно, для любого компакта $d\subseteq\Omega _{0}$ множество экспонент $\{e^{\zeta \xi}\colon \zeta\,{\in}\,d\}$ ограничено в пространстве $P(\Omega_{0})$. Из равностепенной непрерывности семейства отображений $\{v_{h}\colon h\in H\}$ вытекает, что множество целых функций $\{v_{h}(e^{\zeta\xi })(\lambda)\colon \zeta\in d,\,h\in H\}$ ограничено в пространстве $P(\Omega)$. По предложению 4 для любого $f\in O(\Omega)$ множество $\{ v_{h}^{\circledast}(f)(\zeta)\colon \zeta\in d,\,h\in H\} $ ограничено в $\mathbb{C}$. Это означает, что семейство дуальных отображений $\{v_{h}^{\circledast}\colon h\in H\}$ поточечно ограничено. Но пространство $O(\Omega)$ является бочечным, значит, поточечная ограниченность семейства дуальных отображений $\{v_{h}^{\circledast}\colon h\in d\}$ влечет его равностепенную непрерывность, см. [20; гл. IV, теорема 3]. Обратная импликация доказывается аналогично. Предложение доказано. § 3. Непрерывные эндоморфизмы целых функций3.1. Ограниченность сужений эндоморфизмовИсследование неравенства (1.2) начнем с простейшей ситуации, отметив предварительно, что выполнение этого неравенства означает выполнение следующего условия: для любого $\varepsilon_{0}\in(0,\varepsilon)$ найдутся такие $N\in\mathbb{N}$ и $R>0$, что для любых $n\geqslant N$ вне круга $| \lambda| <R$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
| A(\xi^{n})(\lambda)| \leqslant\biggl(\frac{n}{\varepsilon_{0}e}\biggr)^{n}\exp\varepsilon| \lambda| .
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Пусть $A$ – произвольный непрерывный эндоморфизм пространства целых функций $O(\mathbb{C})$. Для произвольного $\varepsilon>0$ через $U_{\varepsilon}$ обозначаем круг $\{h\in\mathbb{C}$: $| h| <\varepsilon\}$, а через $P[1;\varepsilon]$ обозначаем банахово пространство целых функций $g(\lambda)$, у которых тип при порядке 1 не превосходит $\varepsilon$, с нормой
$$
\begin{equation*}
\|g\| _{\varepsilon}:=\sup_{\lambda\in\mathbb{C}}\frac{| g(\lambda) |}{\exp\varepsilon| \lambda|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливо следующее предложение. Предложение 5. Неравенство (1.2) выполняется тогда и только тогда, когда для любого компакта $d$ из круга $U_{\varepsilon}$ при некотором $N\in \mathbb{Z}_{+}$ множество ограничено по норме пространства $P[1;\varepsilon]$. Доказательство. Необходимость. Предположим, что неравенство (1.2) выполнено. Значит, найдутся такие $N\in\mathbb{N}$ и $R>0$, что для всех $n\geqslant N$ вне круга $| \lambda| <R$ выполняется неравенство (3.1). Выберем произвольный компакт $d\subseteq U_{\varepsilon}$. Пусть $\varepsilon_{0},\varepsilon_{1} \in(0,\varepsilon)$ и $\varepsilon_{0}>\varepsilon_{1}\geqslant\sup_{h\in d}| h| $. Если $h\in d$, то при некотором $C>0$ вне круга $| \lambda| <R$ выполняются неравенства
$$
\begin{equation*}
| r_{N}(\lambda,h)| \leqslant\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{| A(\xi^{n})(\lambda)| }{n!}h^{n} \leqslant\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n!}\biggl(\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{0}}\biggr)^{n} \biggl(\frac{n}{e}\biggr)^{n}e^{\varepsilon|\lambda| } \leqslant C e^{\varepsilon| \lambda| }.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом если $| \lambda| <R$, то в силу принципа максимума при том же $h$ выполняются неравенства Значит, множество $\{r_{N} (\lambda,h)\colon h\in d\}$ ограничено по норме пространства $P[1;\varepsilon]$.
Достаточность. Предположим, что при некотором натуральном $N$ множество $\{r_{N}(\lambda,h)\colon h\in d\}$ ограничено по норме пространства $P[1;\varepsilon]$ для любого компакта $d$ из $U_{\varepsilon}$. Выберем произвольные $\varepsilon_{0}\in(0,\varepsilon)$, $\varepsilon_{1}\in(\varepsilon_{0},\varepsilon)$ и $\varepsilon_{2}\in(\varepsilon_{1},\varepsilon)$. Из ограниченности множества $\{r_{N} (\lambda,h)\colon h\in U_{\varepsilon_{2}}\}$ по норме пространства $P[1;\varepsilon]$ и неравенства (1.1) вытекает существование такого $C>0$, что для любых $n>N$ вне круга $| \lambda| <\varepsilon_{1}$ выполняются неравенства
$$
\begin{equation}
\biggl| \frac{A(\xi^{n})(\lambda)}{n!}\biggr| \leqslant\frac{C \exp\varepsilon\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{1}^{n}} \leqslant\frac{C\exp\varepsilon| \lambda| }{\varepsilon_{1}^{n}}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Следовательно, найдeтся такое натуральное $N_{0}>N$, что для любых $n\geqslant N_{0}$ вне круга $| \lambda| <\varepsilon_{1}$ выполняются неравенства
$$
\begin{equation*}
| A(\xi^{n})(\lambda)| \leqslant2C\biggl(\frac{\varepsilon_{0}}{\varepsilon_{1}}\biggr)^{n} \sqrt{2\pi n}\biggl(\frac{n}{\varepsilon_{0} e}\biggr)^{n}\exp\varepsilon| \lambda| \leqslant\biggl(\frac{n}{\varepsilon_{0}e}\biggr)^{n}\exp\varepsilon|\lambda| .
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда уже вытекает выполнение неравенства (1.2). Предложение доказано. Если целые функции $A(\xi^{n})$, $n\in \mathbb{Z}_{+}$, имеют минимальный тип при порядке $1$, то предложение 5 допускает следующее усиление. Предложение 6. Для того чтобы множество $\{A(e^{h\xi})(\lambda)\colon h\in d\}$ было ограничено в пространстве $P[1;\varepsilon]$ для любого компакта $d$ из $U_{\varepsilon}$, необходимо, а если целые функции $A(\xi^{n})$, $n\in \mathbb{Z}_{+}$, имеют минимальный тип при порядке $1$, то и достаточно, чтобы выполнялось неравенство (1.2). Доказательство. Необходимость. Предположим, что данное множество ограничено в пространстве $P[1;\varepsilon]$ для любого компакта $d$ из круга $U_{\varepsilon}$. Пусть $0<\varepsilon_{0} <\varepsilon_{1}<\varepsilon_{2}<\varepsilon$. Тогда множество $\{A(e^{h\xi})(\lambda)\colon h\in U_{\varepsilon_{2}}\} $ ограничено в пространстве $P[1;\varepsilon]$. Значит, существует такое $C>0$, что для любых $h\in U_{\varepsilon _{2}}$ и $\lambda\in\mathbb{C}$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
| A(e^{h\xi})(\lambda)| =\biggl| \sum_{n=0}^{\infty}\frac{A(\xi^{n})(\lambda)}{n!}h^{n}\biggr| \leqslant Ce^{\varepsilon | \lambda| }.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, в силу неравенства (1.1) для любых $n\in\mathbb{Z}_{+}$ вне круга $|\lambda|\,{<}\,\varepsilon_{1}$ выполняются неравенства (3.2). Отсюда, как показано при доказательстве предложения 5, вытекает существование такого $N_{0}\in\mathbb{Z}_{+}$, что для любых $n\,{\geqslant}\,N_{0}$ вне круга $| \lambda| <\varepsilon_{1}$ выполняется неравенство (3.1). Необходимость доказана.
Достаточность. Предположим, что неравенство (1.2) выполнено и целые функции $A(\xi^{n})$, $n\in \mathbb{Z}_{+}$, имеют минимальный тип при порядке 1. Выберем произвольный компакт $d\subseteq U_{\varepsilon} $. По предложению 5 при некотором $N\in \mathbb{Z}_{+}$ множество $\{r_{N}(\lambda,h)\colon h\in d\} $ ограничено по норме пространства $P[1;\varepsilon]$. Так как целые функции $A(\xi^{n})$, $n\in\mathbb{Z}_{+}$, имеют минимальный тип при порядке 1, то для любых $\lambda \in\mathbb{C}$ и $n\in\mathbb{Z}_{+}$ при некотором $C_{n}>0$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
| A(\xi^{n})(\lambda)| \leqslant C_{n}e^{\varepsilon| \lambda| }.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, при $h\in d$, $\lambda\in\mathbb{C}$ и некотором $C>0$ выполняются неравенства
$$
\begin{equation*}
| S_{N}(\lambda,h)| \leqslant\sum_{n=0}^{N}\frac{| A(\xi^{n})(\lambda)| }{n!}h^{n}\leqslant\sum_{n=0}^{N}\frac {C_{n}e^{\varepsilon| \lambda| }}{n!}h^{n}\leqslant C e^{\varepsilon| \lambda| }.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, множество тоже ограничено по норме пространства $P[1;\varepsilon]$, а это влечет ограниченность множества в пространстве $P[1;\varepsilon]$. Предложение доказано. 3.2. Непрерывность сужений эндоморфизмовПусть $\varepsilon'>0$. Пространства $P[1;\varepsilon]$, $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$, образуют прямой спектр относительно вполне непрерывных вложений $P[1;\varepsilon _{0}]\subseteq P[1;\varepsilon_{1}]$, $\varepsilon_{0}<\varepsilon_{1}$. Индуктивный предел этого спектра совпадает с пространством $P(U_{\varepsilon'})$. По запасу элементов пространство $P(U_{\varepsilon'})$ совпадает с множеством $P[1;\varepsilon')$ всех целых функций, у которых тип при порядке 1 меньше $\varepsilon'$. Предложение 7. Для того чтобы при любом выборе $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ сужение непрерывного эндоморфизма $A\colon O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})$ на пространство $P(U_{\varepsilon})$ было непрерывным эндоморфизмом пространства $P(U_{\varepsilon})$, необходимо, а если целые функции $A(\xi^{n})$, $n\in \mathbb{Z}_{+}$, имеют минимальный тип при порядке 1, то и достаточно, чтобы при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполнялось неравенство (1.2). Доказательство. Необходимость. Предположим, что сужение оператора $A$ на пространство $P(U_{\varepsilon})$ является непрерывным эндоморфизмом этого пространства при любом $\varepsilon \in(0,\varepsilon')$. Выберем произвольное $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ и произвольный компакт $d\subseteq U_{\varepsilon}$. Пусть $\varepsilon_{0}\in(0,\varepsilon)$ и $\varepsilon_{0}>\sup_{h\in d}| h| $. Для любых $h\in U_{\varepsilon _{0}}$ и $\xi\in\mathbb{C}$ выполняются оценки $| e^{h\xi}| \leqslant e^{| h| | \xi| }\leqslant e^{\varepsilon_{0}| \xi| }$. Из этих оценок вытекает, что множество $\{ e^{h\xi}\colon h\in d\} $ ограничено по норме пространства $P[1;\varepsilon_{0}]$ и, значит, ограничено в пространстве $P(U_{\varepsilon})$. В силу линейности и непрерывности оператора $A\colon P(U_{\varepsilon})\to P(U_{\varepsilon})$ множество $\{ A(e^{h\xi})\colon h\in d\} $ тоже ограничено в пространстве $P(U_{\varepsilon})$. По известному описанию ограниченных множеств в пространствах типа $(\mathrm{LN}^{\ast})$ существует такое $\varepsilon_{1}\in(0,\varepsilon)$, что множество $\{A(e^{h\xi})\colon h\in d\} $ ограничено по норме пространства $P[1;\varepsilon_{1}]$ и, значит, ограничено по норме пространства $P[1;\varepsilon]$. В силу предложения 6 для выбранного $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.2). Необходимость доказана.
Достаточность. Предположим, что неравенство (1.2) выполнено при любом $\varepsilon \in(0,\varepsilon')$ и целые функции $A(\xi^{n})$, $n\in \mathbb{Z}_{+}$, имеют минимальный тип при порядке 1. Выберем произвольное $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$. Пусть $g_{k}\to0$ в топологии пространства $P(U_{\varepsilon})$. Из описания секвенциальной сходимости в пространствах типа $(\mathrm{LN}^{\ast})$ вытекает, что при некоторых $C_{k}>0$ и $\varepsilon_{0}\in(0,\varepsilon)$ выполняются равномерные по $\xi\in\mathbb{C}$ оценки
$$
\begin{equation*}
| g_{k}(\xi)| \leqslant C_{k}\exp\varepsilon_{0}| \xi|.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом $C_{k}\to0$ и для любых $n\in\mathbb{Z}_{+}$ и $k\in\mathbb{N}$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl| \frac{g_{k}^{(n)}(0)}{n!}\biggr| \leqslant\frac{C_{k}\exp \varepsilon_{0}r}{r^{n}}=C_{k}\biggl(\frac{e\varepsilon_{0}}{n}\biggr)^{n},
\end{equation*}
\notag
$$
где $r:=n\varepsilon_{0}^{-1}$. Выберем произвольные $\varepsilon_{1}\in(\varepsilon_{0},\varepsilon)$ и $\varepsilon_{2} \in(\varepsilon_{1},\varepsilon)$. По сделанному предположению найдутся такие $N\in\mathbb{N}$, $R>0$ и $C>0$, что для всех $n\geqslant N$ вне круга $| \lambda| <R$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
| A(\xi^{n})(\lambda)| \leqslant\biggl(\frac{n}{\varepsilon_{1}e}\biggr)^{n}\exp\varepsilon_{2}| \lambda| ,
\end{equation*}
\notag
$$
а для всех $n<N$ и всех $\lambda\in\mathbb{C}$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
| A(\xi^{n})(\lambda)| \leqslant C \exp\varepsilon _{2}| \lambda| .
\end{equation*}
\notag
$$
В силу линейности и непрерывности оператора $A\colon O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})$ вне круга $| \lambda| <R$ выполняются неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, | (A(g_{k}) (\lambda)| &\leqslant\sum_{n=0} ^{N-1}\biggl| \frac{g_{k}^{(n)}(0)}{n!}\biggr|\,| A(\xi^{n})(\lambda)| +\sum_{n=N}^{\infty}\biggl| \frac{g_{k}^{(n)}(0)}{n!}\biggr|\,| A(\xi^{n})(\lambda)| \\ &\leqslant \sum_{n=0}^{N-1}C _{k}\biggl(\frac{e\varepsilon_{0}}{n}\biggr)^{n}C e^{\varepsilon_{2}| \lambda| } +\sum_{n=N}^{\infty}C _{k}\biggl(\frac{e\varepsilon_{0}}{n}\biggr)^{n} \biggl(\frac{n}{\varepsilon_{1}e}\biggr)^{n}e^{\varepsilon_{2}| \lambda| } \leqslant C _{k}C'e^{\varepsilon_{2}| \lambda| }, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
C':=C\sum_{n=0}^{N-1}\biggl(\frac{e\varepsilon_{0}}{n}\biggr)^{n} +\sum_{n=N}^{\infty}\biggl(\frac{\varepsilon_{0}}{\varepsilon_{1}}\biggr)^{n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $A(g_{k})\to0$ в пространстве $P[1;\varepsilon_{2}]$ и, значит, в пространстве $P(U_{\varepsilon})$. Таким образом, доказано, что $A(P(U_{\varepsilon}))\subseteq P(U_{\varepsilon})$ и оператор $A\colon P(U_{\varepsilon})\to P(U_{\varepsilon})$ секвенциально непрерывен. Осталось отметить, что секвенциальная непрерывность эндоморфизма пространства типа $(\mathrm{LN}^{\ast})$ влечет его непрерывность, см. [5]. Предложение доказано. § 4. Операторы умножения на целую функцию4.1. Операторы умножения на целую функцию экспоненциального типаПусть $\Omega_{0}$ и $\Omega$ – односвязные области в комплексной плоскости $\mathbb{C}$, $\varepsilon'>0$, $U_{\varepsilon'}:=\{h\colon | h| <\varepsilon'\}$ и $\Omega_{0}+U_{\varepsilon' }\subseteq\Omega$. Выберем произвольный непрерывный эндоморфизм $A$ пространства целых функций $O(\mathbb{C})$ и произвольный элемент $\varphi$ пространства $P(\Omega_{0})$. Рассмотрим непрерывный эндоморфизм $\varphi A$ пространства целых функций, который действует по правилу Предложение 7 допускает следующее развитие.Предложение 8. Для того чтобы при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ сужение непрерывного эндоморфизма $\varphi A$ на пространство $P(U_{\varepsilon})$ было линейным непрерывным отображением из пространства $P(U_{\varepsilon})$ в пространство $P(\Omega)$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$, и любой целой функции $\varphi\in P(\Omega_{0})$, необходимо, а если целые функции $A(\xi^{n})$, $n\in \mathbb{Z}_{+}$, имеют минимальный тип при порядке 1, то и достаточно, чтобы при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполнялось неравенство (1.2). Доказательство. Необходимость. Предположим, что для любого $\varepsilon\,{\in}\,(0,\varepsilon')$ сужение оператора $g\to \varphi A(g)$ на пространство $P(U_{\varepsilon})$ является линейным непрерывным отображением из пространства $P(U_{\varepsilon})$ в пространство $P(\Omega)$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$, и целой функции $\varphi\in P(\Omega_{0})$. Выберем произвольное $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ и произвольный компакт $d\in U_{\varepsilon}$. Пусть $\varepsilon_{0}\in(0,\varepsilon)$ и $\varepsilon_{0}>\sup_{h\in d}| h| $, $\delta \in(\varepsilon,2\varepsilon-\varepsilon_{0})$ и $\delta_{0} \in(\varepsilon,\delta)$. Положим $\Omega_{0}:=U_{\delta}$, $\Omega:=U_{2\varepsilon}$ и выберем в качестве функции $\varphi\in P(\Omega_{0})$ произвольную целую функцию вполне регулярного роста с постоянным индикатором $\delta_{0}$ при порядке 1. Так как $\Omega_{0}+U_{2\varepsilon-\delta}=U_{\delta }+U_{2\varepsilon-\delta}=U_{2\varepsilon}\,{=:}\,\Omega$, то по сделанному предположению сужение оператора $\varphi A$ на пространство $P(U_{2\varepsilon-\delta})$ является линейным непрерывным отображением этого пространства в пространство $P(U_{2\varepsilon})$. Множество $\{ e^{h\xi}\colon h\in d\} $ ограничено по норме пространства $P[1,\varepsilon_{0}]$. Так как $2\varepsilon-\delta>\varepsilon_{0}$, то это множество ограничено в пространстве $P(U_{2\varepsilon-\delta})$. В силу непрерывности оператора $\varphi A\colon P(U_{2\varepsilon-\delta})\to P(U_{2\varepsilon})$ множество $\{ \varphi(\lambda)A(e^{h\xi})(\lambda)\colon h\in d\} $ ограничено в пространстве $P(U_{2\varepsilon})$ и, значит, ограничено по норме пространства $P[1;\varepsilon_{1}]$ при некотором $\varepsilon _{1}\in(\varepsilon_{0}+\delta,2\varepsilon)$. Так как $\varepsilon_{1}-\delta_{0}<\varepsilon$, то из условий на выбор функции $\varphi$ вытекает, что множество $\{ A(e^{h\xi})(\lambda)\colon h\in d\} $ ограничено по норме пространства $P[1;\varepsilon_{2}]$ при некотором $\varepsilon _{2}\in(\varepsilon_{1}-\delta_{0},\varepsilon)$ и, значит, ограничено по норме пространства $P[1;\varepsilon]$. В силу предложения 6 для выбранного $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.2). Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть $\Omega_{0}$ и $\Omega$ – односвязные области в комплексной области $\mathbb{C}$ и $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$. Предположим, что неравенство (1.2) выполнено при любом $\varepsilon \in(0,\varepsilon')$ и целые функции $A(\xi^{n})$, $n\in \mathbb{Z}_{+}$, имеют минимальный тип при порядке $\rho=1$. Выберем произвольное $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$, произвольную функцию $\varphi\in P(\Omega_{0})$ и произвольную последовательность $g_{k}$, сходящуюся к нулю в топологии пространства $P(U_{\varepsilon})$. Функция $\varphi$ допускает представление
$$
\begin{equation*}
\varphi(\lambda)=\frac{1}{2\pi i}\int_{l}\gamma(t)e^{\lambda t}\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma$ – функция, ассоциированная по Борелю с функцией $\varphi$, $l\subseteq\Omega_{0}$ – спрямляемый контур, охватывающий особенности функции $\gamma$. Разобьем контур $l$ на конечное число спрямляемых кривых $l_{1},\dots,l_{N}$. Можно считать, что для любого $j\in\{1,\dots,N\}$ кривая $l_{j}$ лежит в круге $U_{\delta_{j}}(h_{j})\subseteq\Omega_{0}$ с центром в точке $h_{j}\in l_{j}$ и радиусом $\delta_{j}<\delta$ при некотором $\delta>0$. Тогда $\varphi=\varphi_{1}+\dots+\varphi_{N}$, где
$$
\begin{equation*}
\varphi_{j}(\lambda)=\frac{1}{2\pi i}\int_{l_{j}}\gamma(t)e^{\lambda t}\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом произведение $\psi_{j}:=\varphi_{j}e^{-h_{j}\lambda}$ принадлежит пространству $P(U_{\delta})$ для любого $j\in\{1,\dots,N\}$. По предложению 7 отображение $A\colon P(U_{\varepsilon})\to P(U_{\varepsilon})$ является непрерывным, значит, последовательность $A(g_{k})$ сходится к нулю по норме пространства $P[1;\varepsilon_{0}]$ при некотором $\varepsilon _{0}\in(0,\varepsilon)$. Отсюда вытекает, что последовательность $\psi_{j}A(g_{k})$ сходится к нулю по норме пространства $P[1;\varepsilon_{0}+\delta_{j}]$ для любого $j\in\{1,\dots,N\}$. Следовательно, последовательность $\psi_{j}A(g_{k})$ сходится к нулю в пространстве $P(U_{\varepsilon_{0}+\delta})$ для любого $j\in\{1,\dots,N\}$. Так как $U_{\varepsilon_{0}+\delta }\subseteq\Omega-h_{j}$ и отображение вложения $P(U_{\varepsilon _{0}+\delta})\to P(\Omega-h_{j})$ непрерывно, то $\psi_{j}A(g_{k})\to0$ в пространстве $P(\Omega-h_{j})$. Отображение $P(\Omega-h_{j})\to P(\Omega)|g\to ge^{h_{j}\lambda}$ является топологическим изоморфизмом, значит, $\varphi_{j}A(g_{k})\to0$ в пространстве $P(\Omega)$ для любого $j\in\{1,\dots,N\}$. Отсюда вытекает, что $\varphi A(g_{k})\to0$ в пространстве $P(\Omega)$. Таким образом, доказано, что оператор $\varphi A\colon P(U_{\varepsilon})\to P(\Omega)$ секвенциально непрерывен, а это влечет его непрерывность. Предложение доказано. 4.2. Равностепенная непрерывность семейства операторов умножения на целую функциюПусть $\Omega_{0}$ и $\Omega$ – односвязные области в комплексной плоскости $\mathbb{C}$, удовлетворяющие условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$. Выберем произвольный непрерывный эндоморфизм $A$ пространства целых функций $O(\mathbb{C})$, произвольную точку $h\in$ $U_{\varepsilon'}$ и рассмотрим другой непрерывный эндоморфизм пространства целых функций, действующий по правилу
$$
\begin{equation*}
O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})\mid g\to A(e^{h\xi})g\text{.}
\end{equation*}
\notag
$$
Сужение этого эндоморфизма на пространство $P(\Omega_{0})$ обозначим $v_{h}$. Опишем условия, при которых семейство операторов $\{v_{h}\colon h\in d\}$ является равностепенно непрерывным семейством отображений $P(\Omega_{0})\to P(\Omega)$ для любого компакта $d'\subseteq U_{\varepsilon'}$. Предложение 9. Для того чтобы семейство операторов $\{v_{h}\colon h\in d'\}$ было равностепенно непрерывным семейством отображений из пространства $P(\Omega_{0})$ в пространство $P(\Omega)$ при любом выборе компакта $d'\subseteq U_{\varepsilon'}$, необходимо и достаточно, чтобы для любого $f\in O(\Omega)$ и любых компактов $d\subseteq \Omega_{0}$ и $d'\subseteq U_{\varepsilon'}$ множество было ограничено в $\mathbb{C}$. Доказательство. Необходимость. Предположим, что семейство операторов $\{v_{h}\colon h\in d'\}$ является равностепенно непрерывным семейством отображений из пространства $P(\Omega_{0})$ в пространство $P(\Omega)$ при любом выборе компакта $d'\subseteq U_{\varepsilon'}$. Выберем произвольный компакт $d'\subseteq U_{\varepsilon'}$. Для любого $h\in d'$ дуальное отображение $v_{h}^{\circledast}$ действует из пространства $O(\Omega)$ в пространство $O(\Omega_{0})$ и является непрерывным. По предложению 4 для любого $\ f\in O(\Omega)$ имеет место представление
$$
\begin{equation*}
v_{h}^{\circledast}(f)(\zeta)=\langle v_{h}(e^{h\xi})(\lambda ),\widehat{f}\rangle =\langle e^{\zeta\lambda}A(e^{h\xi} )(\lambda),\widehat{f}\rangle ,
\end{equation*}
\notag
$$
в котором $\widehat{f}\in P^{\ast}(\Omega)$ – дуальный элемент функции $f\in O(\Omega)$. Так как по предположению семейство операторов $\{v_{h}\colon h\in d'\}$ является равностепенно непрерывным, то семейство дуальных операторов $\{v_{h}^{\circledast}\colon h\in d'\}$ тоже будет равностепенно непрерывным. Отсюда вытекает, что семейство операторов $\{v_{h}^{\circledast}\colon h\in d'\}$ поточечно ограничено, т.е. множество $\{v_{h}^{\circledast}(f)\colon h\in d'\}$ ограничено в пространстве $O(\Omega_{0})$ для любого $f\in O(\Omega)$. Значит, для любого компакта $d\subseteq O(\Omega_{0})$ и любой функции $f\in O(\Omega)$ множество $\{v_{h}^{\circledast}(f)(\zeta)\colon \zeta\in d,h\in d'\}$, совпадающее с множеством (4.1), ограничено в $\mathbb{C}$.
Достаточность. Ограниченность множества (4.1) для любых компактов $d\subseteq O(\Omega_{0})$ и $d'\subseteq U_{\varepsilon'}$ и любой функции $f\in O(\Omega)$ означает поточечную ограниченность семейства дуальных операторов $\{v_{h}^{\circledast}\colon h\in d\}$, а это влечет равностепенную непрерывность семейств $\{v_{h}^{\circledast}\colon h\in d\}$ и $\{v_{h}\colon h\in d\}$, см. [20; гл. IV, теорема 3]. Предложение доказано. Из предложения 9 вытекает следующее предложение. Предложение 10. Для того чтобы семейство операторов $\{v_{h}\colon h\in d'\}$ было равностепенно непрерывным семейством отображений из пространства $P(\Omega_{0})$ в пространство $P(\Omega)$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$, и компакта $d'\subseteq U_{\varepsilon'}$, необходимо, а если целые функции $A(\xi^{n})$, $n\in \mathbb{Z}_{+}$, имеют минимальный тип при порядке $1$, то и достаточно, чтобы при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполнялось неравенство (1.2). Доказательство. Необходимость. Предположим, что посылка доказываемой импликации выполнена. Выберем произвольное $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ и произвольный компакт $d'\subseteq U_{\varepsilon}$. Пусть $\varepsilon_{0} \in(0,\varepsilon)$ и $\varepsilon_{0}>\sup_{h\in d'}| h| $, $\delta\in(\varepsilon,2\varepsilon-\varepsilon_{0})$, $\delta_{0}\in(\varepsilon,\delta)$, $\delta_{1}\in(\delta_{0},\delta)$. Положим $\Omega_{0}:=U_{\delta}$, $\Omega:=U_{2\varepsilon}$ В силу предложения 9 для любого $f\in O(\Omega)$ и любых компактов $d\subseteq \Omega_{0}$ и $d'\subseteq U_{\varepsilon'}$ множество (4.1) ограничено в $\mathbb{C}$. Это означает, что множество $\{ e^{\zeta\lambda}A(e^{h\xi})(\lambda)\colon \zeta\in d,\,h\in d'\} $ слабо ограничено и, значит, ограничено в пространстве $P(U_{2\varepsilon})$. Пусть $\varphi\in P(U_{\delta})$ – целая функция вполне регулярного роста с постоянным индикатором $\delta_{0}$ при порядке 1, $\widehat{\varphi}\in O^{\ast}(U_{\delta})$ – дуальный элемент функции $\varphi$. Множество $\{\zeta \colon | \zeta| \leqslant\delta_{0}\}$ является определяющим для функционала $\widehat{\varphi}$, значит, для любых $h\in d'$ и $\lambda\in\mathbb{C}$ имеем
$$
\begin{equation*}
| \varphi(\lambda)A(e^{h\xi})(\lambda)| =| \langle \widehat{\varphi},e^{\lambda\zeta}A(e^{h\xi})(\lambda )\rangle | \leqslant C_{\varphi}\sup_{| \zeta| <\delta_{1}}| e^{\lambda\zeta}A(e^{h\xi})(\lambda)| .
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, множество $\{ \varphi(\lambda)A(e^{h\xi})(\lambda)\colon h\in d'\} $ ограничено в пространстве $P(U_{2\varepsilon})$ и, значит, ограничено по норме пространства $P[1;\varepsilon_{1}]$ при некотором $\varepsilon _{1}\in(\varepsilon_{0}+\delta,2\varepsilon)$. Так как $\varepsilon_{1}-\delta_{0}<\varepsilon$, то из полной регулярности роста функции $\varphi$ вытекает, что множество $\{A(e^{h\xi})(\lambda)\colon h\in d'\} $ ограничено по норме пространства $P[1;\varepsilon_{2}]$ при некотором $\varepsilon _{2}\in(\varepsilon_{1}-\delta_{0},\varepsilon)$ и, значит, ограничено по норме пространства $P[1;\varepsilon]$. В силу предложения 6 для выбранного $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.2). Необходимость доказана.
Достаточность. Предположим, что неравенство (1.2) выполнено при любом $\varepsilon \in(0,\varepsilon')$ и целые функции $A(\xi^{n})$, $n\in \mathbb{Z}_{+}$, имеют минимальный тип при порядке 1. Выберем произвольные односвязные области $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющие условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$, произвольное $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ и произвольные компакты $d'$ и $d$ в круге $U_{\varepsilon}$ и в области $\Omega_{0}$ соответственно. Множество $\{e^{h\xi }\colon h\in d'\}$ ограничено в пространстве $P(U_{\varepsilon})$, и по предложению 7 отображение $A\colon P(U_{\varepsilon})\to P(U_{\varepsilon})$ является непрерывным, значит, множество $\{A(e^{h\xi })\colon h\in d'\}$ тоже ограничено в пространстве $P(U_{\varepsilon})$. Следовательно, при некоторых $\varepsilon _{0}\in(0,\varepsilon)$ и $C>0$ и для любых $h\in d$ и $\lambda\in\mathbb{C}$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
| A(e^{h\xi})(\lambda)| \leqslant C\exp\varepsilon_{0}| \lambda| .
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\varepsilon_{1}\in(\varepsilon _{0},\varepsilon)$. Для любых $h\in d'$, $\lambda\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ и $r:=({\varepsilon_{1}}/{\varepsilon_{0}})| \lambda| >0$ выполняются неравенства
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sum_{n=0}^{m}\frac{A(e^{h\xi})^{(n)}(0)}{n!}\lambda^{n}\biggr| \leqslant\sum_{n=0}^{m}\frac{C\exp\varepsilon_{0}r}{r^{n}}|\lambda|^{n} \leqslant C\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{0}}\exp\varepsilon_{1}| \lambda| .
\end{equation*}
\notag
$$
Из этих оценок вытекает, что ряд
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A(e^{h\xi})^{(n)}(0)}{n!}\lambda^{n}
\end{equation*}
\notag
$$
сходится к функции $A(e^{h\xi})$ по норме пространства $P[1;\varepsilon_{1}]$ равномерно по $h\in d'$, и, значит,
$$
\begin{equation*}
e^{\zeta\lambda}\sum_{n=0}^{m}\frac{A(e^{h\xi})^{(n)}(0)}{n!}\lambda ^{n}\to e^{\zeta\lambda}A(e^{h\xi})(\lambda)
\end{equation*}
\notag
$$
в топологии $P(\Omega)$, причем сходимость будет равномерной по $h\in d'$ и $\zeta\in d$, см. [20; лемма 3.1]. По предложению 4 для любого $f\in O(\Omega)$
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{m}\frac{A(e^{h\xi})^{(n)}(0)}{n!}f^{(n)}(\zeta) =\biggl\langle e^{\zeta\lambda}\sum_{n=0}^{m}\frac{A(e^{h\xi})^{(n)}(0)}{n!}\lambda ^{n},\widehat{f}\biggr\rangle \to\langle e^{\zeta\lambda}A(e^{h\xi})(\lambda),\widehat{f}\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $h\in d'$ и $\zeta\in d$, где $\widehat{f}$ – дуальный элемент для $f$. Из произвольности выбора компактов $d'\subseteq U_{\varepsilon}$ и $d\subseteq\Omega_{0}$ следует, что для любого $f\in O(\Omega)$ функция $\langle e^{\zeta\lambda}A(e^{h\xi})(\lambda),\widehat{f}\rangle $ является аналитической на бицилиндре $U_{\varepsilon}\times\Omega_{0}$ как функция двух переменных $h$ и $\zeta$. Значит, для любого $\widehat{f}\in P^{\ast}(\Omega)$ множество (4.1) ограничено в $\mathbb{C}$. В силу предложения 9 семейство операторов $\{v_{h}\colon h\in d'\}$ равностепенно непрерывно. Предложение доказано. § 5. Операторы типа свертки5.1. Оператор $A$-сдвигаПусть $\varepsilon'\,{>}\,0$ и $\Omega_{0},\Omega$ – односвязные области в комплексной плоскости, удовлетворяющие условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$. Выберем произвольный непрерывный эндоморфизм $A$ пространства целых функций $O(\mathbb{C})$ и точку $h\in U_{\varepsilon'}$. Линейный дифференциальный оператор
$$
\begin{equation}
f(z)\to\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A(e^{h\xi})^{(n)}(0)}{n!}f^{(n)}(\zeta)
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
с характеристической функцией $A(e^{h\xi})$ обозначим через $AT_{h}$. Оператор $AT_{h}$ действует из пространства $O(\Omega)$ в пространство $O(\Omega_{0})$ тогда и только тогда, когда ряд (5.1) сходится равномерно на компактах из $\Omega_{0}$ при любом выборе $f$ из $O(\Omega)$. Оператор $AT_{h}$ называют оператором $A$-сдвига (на шаг $h$), если он действует из пространства $O(\Omega)$ в пространство $O(\Omega_{0})$ и является непрерывным, см. [3]. Из этого определения вытекает, что для любого оператора $A$-сдвига $AT_{h}\colon O(\Omega)\to O(\Omega_{0})$, любого $h\in U_{\varepsilon'}$ и любых $\zeta\in\Omega_{0}$ и $\lambda\in\mathbb{C}$ выполняются равенства
$$
\begin{equation}
AT_{h}(e^{\lambda z})(\zeta) =e^{\lambda\zeta}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A(e^{h\xi})^{(n)}(0)}{n!}\lambda^{n} =e^{\lambda\zeta}A(e^{h\xi})(\lambda).
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Выберем произвольный оператор $A$-сдвига $AT_{h}\colon O(\Omega)\to O(\Omega_{0})$. Возникает вопрос: при каких условиях ряд (5.1) сходится равномерно по $(\zeta,h)$ на компактах из бицилиндра $\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$, и функции $f\in O(\Omega)$. Этот вопрос возникает при проверке аналитичности образа $AT_{h}(f)(\zeta)$ как функции двух комплексных переменных $\zeta$ и $h$ на бицилиндре $\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$. Прежде чем ответить на этот вопрос, выясним структуру дуального оператора $AT_{h}^{\circledast}\colon P(\Omega_{0})\to P(\Omega)$ по отношению к оператору $A$-сдвига. Справедливо следующее предложение. Лемма 1. Оператор $AT_{h}^{\circledast}\colon P(\Omega_{0})\to P(\Omega)$, дуальный по отношению к оператору $A$-сдвига $AT_{h}\colon O(\Omega)\to O(\Omega_{0})$, действует на элементы $g\in P(\Omega_{0})$ по правилу Доказательство. Выберем произвольную функцию $g\in P(\Omega_{0})$. Из предложения 4 и соотношений (5.2) вытекает, что для любого $h\in U_{\varepsilon'}$ и любых $z\in O(\Omega)$ и $\lambda\in\mathbb{C}$ выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
AT_{h}^{\circledast}(g) (\lambda)=\langle\widehat{g} ,AT_{h}(e^{\lambda z})(\zeta)\rangle=\langle\widehat{g},e^{\lambda\zeta }A(e^{h\xi})(\lambda)\rangle=\langle \widehat{g},e^{\lambda\zeta }\rangle A(e^{h\xi})(\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (2.2) и утверждения 2) из предложения 3 имеем Лемма доказана. Из леммы 1 и свойств дуальных отображений вытекает, что оператор $A$-сдвига $AT_{h}$ совпадает с дуальным оператором $v_{h}^{\circledast}$ по отношению к сужению $v_{h}$ непрерывного эндоморфизма $O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})\mid g\to A(e^{h\xi})g$ на пространство $P(\Omega_{0})$. Этот факт позволяет привлечь результаты из § 4 к решению поставленной задачи. Предложение 11. Для того чтобы при любом $f\in O(\Omega)$ ряд (5.1) сходился к функции $\langle e^{\zeta\lambda}A(e^{h\xi})(\lambda),\widehat{f}\rangle $ равномерно по $(\zeta,h)$ на компактах из бицилиндра $\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$, необходимо, а если целые функции $A(\xi^{n})$, $n\in \mathbb{Z}_{+}$, имеют минимальный тип при порядке 1, то и достаточно, чтобы при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполнялось неравенство (1.2). Доказательство. Необходимость. Предположим, что для любого $f\,{\in}\,O(\Omega)$ ряд (5.1) сходится равномерно по $(\zeta,h)$ на компактах из бицилиндра $\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$. Из этого предположения вытекает, что функция $\langle e^{\zeta\lambda}A(e^{h\xi})(\lambda),\widehat{f}\rangle $ является аналитической на бицилиндре $U_{\delta}\times U_{\varepsilon'}$, и, значит, множество (4.1) ограничено в $\mathbb{C}$ для любых компактов $d\subseteq O(\Omega_{0})$ и $d'\subseteq U_{\varepsilon'}$ и любой функции $f\in O(\Omega)$. По предложению 9 семейство операторов $\{v_{h}\colon h\in d'\}$ равностепенно непрерывно, и, значит, по предложению 10 для любого $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.2). Необходимость доказана.
Достаточность. Предположим, что неравенство (1.2) выполнено при любом $\varepsilon \in(0,\varepsilon')$ и целые функции $A(\xi^{n})$, $n\in \mathbb{Z}_{+}$, имеют минимальный тип при порядке 1. Равномерную сходимость ряда (5.1) к функции $\langle e^{\zeta \lambda}A(e^{h\xi})(\lambda),\widehat{f}\rangle $ на компактах из бицилиндра $\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$, и любой функции $f\in O(\Omega)$ можно доказать буквальным повторением второй части доказательства предложения 10. Предложение доказано. 5.2. Представления оператора $A$-сдвигаЕсли целые функции $A(\xi^{n})$, $n\in \mathbb{Z}_{+}$, имеют минимальный тип при порядке 1 и неравенство (1.2) выполняется при любом $\varepsilon \in(0,\varepsilon')$, то по предложению 11 оператор $A$-сдвига $AT_{h}\colon O(\Omega)\to O(\Omega_{0})$ допускает следующее представление:
$$
\begin{equation}
AT_{h}(f)(\zeta)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A(e^{h\xi})^{(n)}(0)}{n!} f^{(n)}(\zeta), \qquad f\in O(\Omega),
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
в котором ряд сходится равномерно по $(\zeta,h)$ на компактах из бицилиндра $\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$. Это представление является новым и не использовалось ранее. В проводимых ранее исследованиях использовалось традиционное представление оператора $A$-сдвига
$$
\begin{equation}
AT_{h}(f)(\zeta)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^{n}}{n!}A(\xi^{n})(D)(f)(\zeta), \qquad f\in O(\Omega),
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
в котором тоже ряд сходится равномерно по $(\zeta,h)$ на компактах из бицилиндра $\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$. Представления (5.3) и (5.4) могут иметь место без предположения, что целые функции $A(\xi^{n})$, $n\in \mathbb{Z}_{+}$, имеют минимальный тип при порядке 1. В этих условиях новое представление (5.3) выигрывает у традиционного представления (5.4), так как последнее априори предполагает, что для любого $n\in\mathbb{Z}_{+}$ определен дифференциальный оператор $A(\xi^{n})(D)$, который действует из пространства $O(\Omega)$ в пространство $O(\Omega_{0})$, т.е. функции $A(\xi^{n})(D)(f)$, $n\in\mathbb{Z}_{+}$, являются аналитическими в области $\Omega_{0}$ при любом $f\in O(\Omega)$. Для определения функций $A(\xi^{n})(D)(f)$, $n\in\mathbb{Z}_{+}$, можно использовать дуальное определение дифференциальных операторов из статьи [3] и считать, что для любых $f\in O(\Omega)$ и $\zeta\in\Omega_{0}$
$$
\begin{equation}
A(\xi^{n})(D)(f)(\zeta):=\langle e^{\zeta\lambda}A(\xi^{n})(\lambda ),\widehat{f}\rangle ,
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
где $\widehat{f}$ – дуальный функционал для $f$. При этом нужно предполагать, что эндоморфизм $A\colon O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})$ удовлетворяет условию: для любого $n\in\mathbb{Z}_{+}$ оператор умножения на целую функцию $A(\xi^{n})$ действует из пространства $P(\Omega_{0})$ в пространство $P(\Omega)$, является непрерывным и существует такая последовательность многочленов $g_{n,k}$, что $g_{n,k}\to A(\xi^{n})$ в топологии пространства $P(U_{\varepsilon})$. При этом или ином предположении, гарантирующем аналитичность функций $A(\xi^{n})(D)(f)$, $n\in\mathbb{Z}_{+}$, в области $\Omega_{0}$, справедливость представления (5.4), в котором ряд сходится равномерно по $(\zeta,h)$ на компактах из бицилиндра $\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$, влечет выполнение неравенства (1.2) при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$. Точнее, справедливо следующее предложение. Предложение 12. Для того чтобы при любом $f\in O(\Omega)$ ряд Доказательство. Необходимость. Предположим, что для любого $f\,{\in}\,O(\Omega)$ ряд (5.6) сходится равномерно по $(\zeta,h)$ на компактах из бицилиндра $\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$. Определение ряда (5.6) предполагает, что функции $A(\xi^{n})(D)(f)$ аналитичны в области $\Omega_{0}$. Из этого условия и сделанного предположения вытекает, что функция $\langle e^{\zeta\lambda}A(e^{h\xi})(\lambda),\widehat{f}\rangle $ является аналитической на бицилиндре $U_{\delta}\times U_{\varepsilon'}$. Отсюда, как это показано при доказательстве предложения 11, вытекает, что для любого $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.2). Необходимость доказана.
Достаточность. Предположим, что неравенство (1.2) выполнено при любом $\varepsilon \in(0,\varepsilon')$ и целые функции $A(\xi^{n})$, $n\in \mathbb{Z}_{+}$, имеют минимальный тип при порядке 1. Выберем произвольные односвязные области $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющие условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$. Из ограничений на рост целых функций $A(\xi^{n})$, $n\in \mathbb{Z}_{+}$, вытекает, что для любого $n\in\mathbb{Z}_{+}$ соотношение (5.5) определяет линейный непрерывный дифференциальный оператор $A(\xi^{n})(D)$, действующий из пространства $O(\Omega)$ в пространство $O(\Omega)$ (см. [3]), следовательно, для любого $f\in O(\Omega)$ функции $A(\xi^{n})(D)(f)$ будут аналитическими в области $\Omega$ и, значит, в области $\Omega_{0}\subseteq\Omega$. Это означает, что в предполагаемых условиях ряд (5.6) определен корректно. Выберем произвольное $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ и произвольные компакты $d'$ и $d$ в круге $U_{\varepsilon}$ и в области $\Omega_{0}$ соответственно и произвольную функцию $f\in O(\Omega)$. Легко показать, что в пространстве $P(U_{\varepsilon})$ равномерно по $h\in d'$. При этом в силу предложения 7 сужение непрерывного эндоморфизма $A$ на пространство $P(U_{\varepsilon})$ является непрерывным эндоморфизмом пространства $P(U_{\varepsilon})$. Отсюда вытекает, что
$$
\begin{equation*}
A\biggl(\sum_{n=0}^{m}\frac{h^{n}}{n!}\xi^{n}\biggr) =\sum_{n=0}^{m} \frac{h^{n}}{n!}A(\xi^{n})\to A(e^{h\xi})
\end{equation*}
\notag
$$
в топологии пространства $P(U_{\varepsilon})$ равномерно по $h\in d'$. Значит,
$$
\begin{equation*}
e^{\zeta\lambda}\sum_{n=0}^{m}\frac{h^{n}}{n!}A(\xi^{n})(\lambda)\to e^{\zeta\lambda}A(e^{h\xi})(\lambda)
\end{equation*}
\notag
$$
в топологии пространства $P(\Omega)$ равномерно по $\zeta\in d$ и $h\in d'$, см. [20; лемма 3.1]. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{m}\frac{h^{n}}{n!}A(\xi^{n})(D)(f) (z) =\sum_{n=0}^{m}\frac{h^{n}}{n!}\langle e^{\zeta\lambda}A(\xi^{n} )(\lambda),\widehat{f}\rangle =\biggl\langle e^{\zeta\lambda}\sum_{n=0}^{m}\frac{h^{n}}{n!}A(\xi^{n})(\lambda),\widehat{f}\biggr\rangle .
\end{equation*}
\notag
$$
Дуальный функционал $\widehat{f}$ принадлежит пространству $P^{\ast}(\Omega)$, значит,
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{m}\frac{h^{n}}{n!}A(\xi^{n})(D)(f) (z)\to \langle e^{\zeta\lambda}A(\xi^{n})(\lambda),\widehat{f}\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $\zeta\in d$ и $h\in d'$. Предложение доказано. 5.3. Оператор $A$-сверткиПусть $\varepsilon'>0$ и $\Omega_{0},\Omega$ – односвязные области в комплексной плоскости, удовлетворяющие условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$. Выберем произвольный оператор $A$ -сдвига $AT_{h}\colon O(\Omega)\to O(\Omega_{0})$, произвольные функции $\varphi\in P(\Omega_{0})$ и $f\in O(\Omega)$ и произвольное $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$. Дуальный функционал $\widehat{\varphi}$ принадлежит пространству $O^{\ast}(\Omega_{0})$. Значит, $AT_{h}(f)\in O(\Omega_{0})$ для любых $f\in O(\Omega)$ и $h\in U_{\varepsilon}$. Следовательно, на круге $U_{\varepsilon}$ определена функция $\langle \widehat{\varphi},AT_{h}(f)\rangle $, которая называется $A$-сверткой функции $f$ и функционала $\widehat{\varphi}$. При этом на пространстве $O(\Omega)$ определен линейный оператор
$$
\begin{equation*}
AM_{\widehat{\varphi}}\colon O(\Omega)\to\mathbb{C}^{U_{\varepsilon}}\mid f\to\langle \widehat{\varphi},AT_{h}(f)\rangle .
\end{equation*}
\notag
$$
Если при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ линейный оператор $AM_{\widehat{\varphi }}$ действует из пространства $O(\Omega)$ в пространство $O(U_{\varepsilon})\subseteq\mathbb{C}^{U_{\varepsilon}}$ и является непрерывным, то его называют оператором $A$-свертки, см. [3]. Возникает вопрос: при каких условиях линейный оператор $AM_{\widehat{\varphi }}$ является оператором $A$-свертки при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$, и функции $\varphi\in P(\Omega_{0})$. Для решения этой задачи выясним структуру дуального оператора $AM_{\widehat{\varphi}}^{\circledast}$ по отношению к оператору $A$-свертки $AM_{\widehat{\varphi}}$ при любом $\varepsilon \in(0,\varepsilon')$. Справедливо следующее предложение. Лемма 2. Для любого $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ дуальное отображение $AM_{\widehat{\varphi}}^{\circledast}$ по отношению к оператору $A$-свертки $AM_{\widehat{\varphi}}$ действует из пространства $P(U_{\varepsilon})$ в пространство $P(\Omega)$ по правилу Доказательство. Выберем произвольное $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$. Так как по определению оператор $A$-свертки $AM_{\widehat{\varphi}}$ действует из пространства $O(\Omega)$ в пространство $O(U_{\varepsilon})$, то дуальный оператор $AM_{\widehat{\varphi }}^{\circledast}$ действует из пространства $P(U_{\varepsilon})$ в пространство $P(\Omega)$. В силу линейности и непрерывности оператора $A\colon O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})$ для любых $h$ и $\lambda$ из $\mathbb{C}$ имеем
$$
\begin{equation*}
A(e^{h\xi})(\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^{n}}{n!}A(\xi^{n} )(\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A(\xi^{n})(\lambda)}{n!}h^{n}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом для любого фиксированного $\lambda\in\mathbb{C}$ ряд сходится равномерно по $h$ на компактах из $\mathbb{C}$. Это позволяет рассматривать функцию $A(e^{h\xi})(\lambda)$ как элемент пространства $O(U_{\varepsilon})$. Выберем произвольную функцию $g$ из пространства $P(U_{\varepsilon})$. Тогда дуальный функционал $\widehat{g}$ принадлежит пространству $O^{\ast}(U_{\varepsilon})$. Значит, для любого $\lambda$ из $\mathbb{C}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\langle \widehat{g},A(e^{h\xi})(\lambda)\rangle =\biggl\langle\widehat{g},\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A(\xi^{n})(\lambda)}{n!}h^{n}\biggr\rangle =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A(\xi^{n})(\lambda)}{n!}\langle\widehat{g},h^{n}\rangle \\ &\qquad=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A(\xi^{n})(\lambda)}{n!}g^{(n)}(0) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{g^{(n)}(0)}{n!}A(\xi^{n})(\lambda)=A(g)(\lambda). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, в силу (5.2) для любых $h\in U_{\varepsilon}$ и $\lambda \in\mathbb{C}$ выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
AM_{\widehat{\varphi}}(e^{\lambda z})(h)=\langle \widehat{\varphi} ,AT_{h}(e^{\lambda z})(\zeta)\rangle =\langle \widehat{\varphi },e^{\lambda\zeta}\rangle A(e^{h\xi})(\lambda)=\varphi(\lambda )A(e^{h\xi})(\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, для любых $\lambda\in\mathbb{C}$ справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, AM_{\widehat{\varphi}}^{\circledast}(g)(\lambda) &=\langle AM_{\widehat{\varphi}}^{\circledast}(g),\delta_{\lambda}\rangle =\langle \widehat{g},AM_{\widehat{\varphi}}(e^{\lambda z} )(h)\rangle \\ &=\langle \widehat{g},\varphi(\lambda)A(e^{h\xi})(\lambda)\rangle =\varphi(\lambda)\langle \widehat{g},A(e^{h\xi})(\lambda)\rangle =\varphi(\lambda)A(g)(\lambda). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым лемма доказана. Теперь все готово для решения поставленной задачи. Предложение 13. Для того чтобы линейный оператор $AM_{\widehat{\varphi }}$ являлся оператором $A$-свертки при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$, и функции $\varphi\in P(\Omega_{0})$, необходимо, а если целые функции $A(\xi^{n})$, $n\in \mathbb{Z}_{+}$, имеют минимальный тип при порядке 1, то и достаточно, чтобы при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполнялось неравенство (1.2). Доказательство. Необходимость. Предположим, что линейный оператор $AM_{\widehat{\varphi }}$ является оператором $A$-свертки при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$, и функции $\varphi\,{\in}\,P(\Omega_{0})$. Тогда при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ дуальный оператор $AM_{\widehat{\varphi }}^{\circledast}$ действует из пространства $P(U_{\varepsilon})$ в пространство $P(\Omega)$ и является непрерывным. По лемме 2 при любом $\varepsilon \in(0,\varepsilon')$ сужение непрерывного эндоморфизма $\varphi A$ на пространство $P(U_{\varepsilon})$ является непрерывным отображением из пространства $P(U_{\varepsilon})$ в пространство $P(\Omega)$. По предложению 8 при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.2). Необходимость доказана.
Достаточность. Предположим, что при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.2) и целые функции $A(\xi^{n})(\lambda)$, $n\in\mathbb{Z}_{+}$, имеют минимальный тип при порядке 1. По предложению 8 при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ сужение $v_{\varepsilon}$ непрерывного эндоморфизма $\varphi A$ на пространство $P(U_{\varepsilon})$ является линейным непрерывным отображением из пространства $P(U_{\varepsilon})$ в пространство $P(\Omega)$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$, и функции $\varphi\in P(\Omega_{0})$. Следовательно, при любом $\varepsilon \in(0,\varepsilon')$ дуальное отображение $v_{\varepsilon}^{\circledast}$ действует из пространства $O(\Omega)$ в пространство $O(U_{\varepsilon})$ и является непрерывным. Но по лемме 2 дуальный оператор $v_{\varepsilon }^{\circledast}$ совпадает с оператором $(AM_{\widehat{\varphi}}^{\circledast})^{\circledast}=AM_{\widehat{\varphi}}$. Предложение доказано. § 6. Дуальное определение дифференциальных операторов6.1.Пусть $\Omega_{0}$, $\Omega$ – односвязные области в комплексной плоскости $\mathbb{C}$, $\Omega _{0}\subseteq\Omega$ и $g(\lambda)$ – целая функция. Предположим, что выполнены условия 14) и 15) (см. § 1). По дуальному определению дифференциальный оператор $g(D)$ определяется как оператор, действующий из пространства $O(\Omega)$ в пространство $O(\Omega_{0})$ по правилу
$$
\begin{equation*}
O(\Omega)\to O(\Omega_{0})\mid f\to\langle g(\lambda )e^{\zeta\lambda},\widehat{f}\rangle .
\end{equation*}
\notag
$$
Из условий 14) и 15) вытекает, что этот оператор является непрерывным и для любого $f\in O(\Omega)$ последовательность $g_{k}(D)f$ сходится к $g(D)f:=\langle g(\lambda)e^{\zeta\lambda},\widehat{f}\rangle $ в топологии пространства $O(\Omega)$, т.е. в топологии поточечной сходимости пространства линейных операторов, действующих из пространства $O(\Omega)$ в пространство $O(\Omega_{0})$, см. [3; 3.3]. Оператор $g(D)$ не зависит от выбора последовательности многочленов $g_{k}$, удовлетворяющей условию 15), и если односвязные области $\Omega_{0}$ и $\Omega$ удовлетворяют условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ при некотором $\varepsilon'>0$, то в силу [20; предложение 3.1] сходимость $g_{k}(\lambda)\to g(\lambda)$ в топологии пространства $P(U_{\varepsilon})$ влечет равномерную сходимость $g_{k}(\lambda)e^{\zeta\lambda}\to g(\lambda)e^{\zeta\lambda}$ в топологии пространства $P(\Omega)$ по $\zeta$ на компактах из $\Omega_{0}$. Значит, если $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'} \subseteq\Omega$ при некотором $\varepsilon'>0$, то условие 15) можно заменить следующим условием: 16) существует такая последовательность многочленов $g_{k}$, что $g_{k}(\lambda)\to g(\lambda)$ в топологии пространства $P(U_{\varepsilon})$. Возникает естественный вопрос: при каких условиях в качестве последовательности $g_{k}(\lambda)$ можно выбрать последовательность частичных сумм ряда Тейлора функции $g(\lambda)$. Если односвязные области $\Omega_{0}$ и $\Omega$ удовлетворяют условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ при некотором $\varepsilon'>0$, то на этот вопрос отвечает теорема 3. 6.2. Доказательство теоремы 3Необходимость. Предположим, что при любом $f\in O(\Omega)$ ряд (1.5) сходится к функции $\langle g(\lambda )e^{\zeta\lambda},\widehat{f}\rangle $ абсолютно и равномерно на компактах из $\Omega_{0}$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$. Положим $\Omega_{0}:=U_{\varepsilon'}$. Из сделанного предположения вытекает, что функция $\langle g(\lambda)e^{\zeta\lambda},\widehat{f}\rangle $ является аналитической в круге $U_{\varepsilon'}$, и, значит, множество $\{ \langle g(\lambda)e^{\zeta\lambda},\widehat{f}\rangle \colon \zeta\in d\} \subseteq\mathbb{C}$ ограничено для любого компакта $d\subseteq U_{\varepsilon'}$ и любого $f\in O(\Omega)$. Это означает, что для любого компакта $d\subseteq U_{\varepsilon'}$ множество $\{ g(\lambda)e^{\zeta\lambda}\colon \zeta\in d\} $ (слабо) ограничено в пространстве $P(\Omega)$. Отсюда вытекает, что функция $g(\lambda)$ является целой функцией экспоненциального типа. Следовательно, при некотором $C>0$ и всех достаточно больших $n$ выполняется неравенство $\sqrt[n]{| c_{n}| }\leqslant{C}/{n}$. Из этого неравенства легко вытекает, что при любом $\varepsilon>0$ оператор
$$
\begin{equation*}
A_{\varepsilon}\colon \phi(\xi)\to\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\phi^{(n)} (0)}{\varepsilon^{n}}c_{n}\xi^{n}
\end{equation*}
\notag
$$
является непрерывным эндоморфизмом пространства целых функций $O(\mathbb{C})$. Легко увидеть, что при любых $h\in\mathbb{C}$ и $n\in\mathbb{Z}_{+}$ выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
A_{\varepsilon}(e^{h\xi})(\lambda) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^{n}} {\varepsilon^{n}}c_{n}\lambda^{n} =g\biggl(\frac{h}{\varepsilon} \lambda\biggr), \qquad A_{\varepsilon}(e^{h\xi})^{(n)}(0)=\frac{h^{n}}{\varepsilon^{n}}g^{(n)}(0).
\end{equation*}
\notag
$$
При этом если $| h| \leqslant\varepsilon$, то для любых $\zeta\in\Omega_{0}$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl| \sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^{n}}{\varepsilon^{n}}c_{n}f^{(n)} (\zeta)\biggr| \leqslant\sum_{n=0}^{\infty}| c_{n}| | f^{(n)}(\zeta)| .
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, ряд
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A_{\varepsilon'}(e^{h\xi})^{(n)}(0)} {n!}f^{(n)}(\zeta)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^{n}}{(\varepsilon ')^{n}}c_{n}f^{(n)}(\zeta)
\end{equation*}
\notag
$$
сходится к функции $\langle e^{\zeta \lambda}A_{\varepsilon'}(e^{h\xi}),\widehat{f}\rangle $ абсолютно и равномерно по $(\zeta,h)$ на компактах из бицилиндра $\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$, удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$. По предложению 11 при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.2). Учитывая, что при любом $n\in\mathbb{Z}_{+}$ выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
A_{\varepsilon'}(\xi^{n})(\lambda)=\frac{n!}{(\varepsilon ')^{n}}c_{n}\lambda^{n},
\end{equation*}
\notag
$$
приходим к выводу, что при любом $\varepsilon \in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\varlimsup_{n\to\infty,\,\lambda\to\infty} \frac{1}{n}\biggl(\frac{n!\,| c_{n}|\,| \lambda|^{n}}{(\varepsilon')^{n} \exp\varepsilon| \lambda| }\biggr)^{1/n} \leqslant \frac{1}{\varepsilon e},
\end{equation*}
\notag
$$
которое по известной формуле Стирлинга равносильно неравенству (1.6). Необходимость доказана. Достаточность. Предположим, что при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.6). Выберем произвольное $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$. Из неравенства (1.6) вытекает, что для любого $\varepsilon''>\varepsilon'$ найдется такое $N\in\mathbb{N}$, что для любых $n\geqslant N$ вне круга $| \lambda| <{N}/{\varepsilon}$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\sqrt[n]{| c_{n}| }\leqslant\frac{\varepsilon'' }{\varepsilon| \lambda| }\exp\frac{\varepsilon} {n}| \lambda| .
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $| \lambda| ={n}/{\varepsilon}$, приходим к выводу, что для любых $n\geqslant N$ выполняется неравенство $\sqrt[n]{| c_{n}| }n\leqslant\varepsilon''e$. Это означает, что функция $g$ является целой функцией экспоненциального типа $\sigma\leqslant\varepsilon'$. Отсюда вытекает, что последовательность частичных сумм $g_{k}(\lambda)$ ряда Тейлора функции $g(\lambda)$ сходится к $g(\lambda)$ по норме пространства $P[1;\varepsilon'']$ для любого $\varepsilon''>\varepsilon'$. Значит, $g_{k}(\lambda)\to g(\lambda)$ в пространстве $P(U_{\varepsilon''})$ для любого $\varepsilon''>\varepsilon'$. Выберем произвольный компакт $d\subseteq\Omega_{0}$. Подберем $\varepsilon>0$ и $\varepsilon''>\varepsilon'$ из условия: $d+U_{\varepsilon} \subseteq\Omega_{0}$ и $d+U_{\varepsilon}+U_{\varepsilon'' }\subseteq\Omega$. Затем, подберем точки $a_{1},\dots,a_{k}\in d$ так, чтобы сдвиги $U_{\varepsilon}+a_{1} ,\dots,U_{\varepsilon}+a_{l}$ покрывали компакт $d$. При любом $j\in\{1,\dots,l\}$ совокупность множеств
$$
\begin{equation*}
V_{\mu}(a_{j}):=\{\phi\in P(\Omega)\colon | \phi(\lambda)| \leqslant\mu(\lambda)|{\exp a_{j}\lambda}| \}, \qquad \mu \in\mathfrak{M}(\Omega-a_{j}),
\end{equation*}
\notag
$$
образует фундаментальную систему окрестностей нуля в пространстве $P(\Omega)$. Выберем произвольное $j\in\{1,\dots,l\}$ и произвольную окрестность $V_{\mu}(a_{j})$, где $\mu\in\mathfrak{M}(\Omega-a_{j})$. Легко проверить, что функция
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mu}(\lambda):=\frac{\mu(\lambda)}{|{\exp\varepsilon \lambda}| }
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежит классу $\mathfrak{M}(U_{\varepsilon''})$, значит, множество
$$
\begin{equation*}
V_{\widehat{\mu}}:=\{\phi\in P(U_{\varepsilon''})\colon | \phi(\lambda)| \leqslant\widehat{\mu}(\lambda)\}
\end{equation*}
\notag
$$
является окрестностью нуля в пространстве $P(U_{\varepsilon''})$. Так как $g_{k}(\lambda)\to g(\lambda)$ в пространстве $P(U_{\varepsilon''})$, то для всех $\lambda$ и всех достаточно больших $k$ имеем $| g(\lambda)-g_{k} (\lambda)| \leqslant\widehat{\mu}(\lambda)$. Отсюда вытекает, что для всех $\lambda$, всех достаточно больших $k$ и всех $\zeta\in U_{\varepsilon}$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
| g(\lambda)e^{(\zeta+a_{j})\lambda}-g_{k}(\lambda)e^{(\zeta +a_{j})\lambda}| \leqslant\mu(\lambda)| e^{a_{j}\lambda }| ,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
g(\lambda)e^{(\zeta+a_{j})\lambda}-g_{k}(\lambda)e^{(\zeta+a_{j})\lambda}\in V_{\mu}(a_{j}).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекает, что $g_{k}(\lambda)e^{(\zeta+a_{j})\lambda}\to g(\lambda)e^{(\zeta+a_{j})\lambda}$ в топологии пространства $P(\Omega)$ равномерно по $\zeta\in U_{\varepsilon}$. Следовательно, $g_{k}(\lambda)e^{\zeta\lambda}\to g(\lambda)e^{\zeta\lambda}$ в топологии пространства $P(\Omega)$ равномерно по $\zeta\,{\in}\, U_{\varepsilon}+a_{j}$. Так как сдвиги $U_{\varepsilon}+a_{1},\dots,U_{\varepsilon}+a_{l}$ покрывают компакт $d$, то сходимость $g_{k}(\lambda)e^{\zeta\lambda}\to g(\lambda)e^{\zeta\lambda}$ равномерна по $\zeta\in d$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{k}c_{n}f^{(n)}(\zeta)=\langle g_{k}(\lambda)e^{\zeta\lambda },\widehat{f}\rangle \to\langle g(\lambda)e^{\zeta\lambda },\widehat{f}\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно на компакте $d$. Теорема доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Shi21} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|