| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Многообразие собственных функций семейства периодических краевых задач Я. М. Дымарскийa, А. А. Бондарьb a Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), г. Долгопрудный, Московская обл. b Специализированный учебно-научный центр, Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина, г. Екатеринбург
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 9, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9294 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеПо линейному дифференциальному оператору, заданному на отрезке, и корректным краевым условиям мы определяем собственные функции. Обратная задача требует существенных уточнений. Как правило, по одной функции восстановить однозначно оператор, для которого она является собственной, невозможно. Однако для достаточно узкого семейства операторов такое восстановление может оказаться корректным. В настоящей статье рассмотрено семейство стационарных операторов Шрёдингера, каждый из которых задан своим периодическим потенциалом. Главная специфика семейства в том, что собственные значения, отвечающие периодическим собственным функциям различной осцилляции, не могут сталкиваться. Оказывается, для этого семейства возможно восстановление потенциала по собственной функции. В статье, во-первых, дано аналитическое описание всех тех функций, которые являются собственными для некоторого оператора Шрёдингера. Во-вторых, предложена параметризация многообразия собственных функций, которая зависит от их осцилляционных свойств и величины соответствующей спектральной лакуны. Показано, что многообразие всех собственных функций тривиально расслоено над многообразием “вырожденных” функций, которым отвечают двукратные собственные значения. Статья является естественным продолжением работы [1], в которой описана стратификация семейства операторов по величине спектральной лакуны. В настоящей работе нами доказано, что расслоение многообразия собственных функций и стратификация семейства операторов согласованы в коммутативную диаграмму. Основной вывод статьи в том, что по отношению к собственным функциям фиксированной осцилляции стратификация семейства стационарных операторов Шрёдингера гомотопически эквивалентна стратификации семейства двумерных симметрических матриц с нулевым следом. По ходу статьи мы рассматриваем три применения полученной параметризации многообразия собственных функций: 1) уточняем теорему Ф. Неймана (см. [2]) о периодичности всех решений уравнения Шрёдингера; 2) обсуждаем корректность теоремы Э. Айнса (см. [3]) о простоте спектра в случае четного потенциала, период которого вдвое меньше основного; 3) даем описание многообразия К. Уленбек (см. [4]) через многообразие собственных функций. § 2. Обозначения и вспомогательные утверждения2.1. Пространство периодических краевых задачРассмотрим семейство периодических самосопряженных краевых задач на собственные значения $\lambda$ и собственные функции $y$. Параметром семейства является потенциал $p$ из пространства $C^0(2\pi)$ ($C^l(2\pi)$ – банахово пространство вещественных $2\pi$-периодических функций с обычной $C^l$-нормой $\|\cdot\|_l$, $l=0,1,\dots$). Через ${\widehat C}^l(2\pi)$ обозначим банахово $C^{\infty}$-многообразие, полученное из $C^l(2\pi)\setminus 0$ отождествлением антиподальных точек. Через $L_2(2\pi)$ будем обозначать гильбертово пространство $2\pi$-периодических функций, суммируемых с квадратом. Поскольку изменение потенциала на константу не влияет на собственные функции, а лишь сдвигает все собственные значения на ту же константу, целесообразно использовать в качестве пространства параметров подпространство
$$
\begin{equation}
P:=\biggl\{p \in C^0(2\pi)\colon \int_0^{2\pi}p(x)\,dx =0 \biggr\}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
потенциалов с нулевым средним. В дальнейшем под пространством краевых задач мы понимаем пространство $P$. Напомним свойства спектра краевой задачи (2.1), (2.2) для фиксированного потенциала $p\,{\in}\, P$ (см. [5]). Спектр состоит из вещественных собственных значений, которые не более чем двукратны:
$$
\begin{equation}
\lambda_0(p) < \lambda_1^-(p) \leqslant \lambda_1^+(p) < \dots < \lambda_n^-(p) \leqslant \lambda_n^+(p) < \dotsb.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Соответствующие собственные функции принадлежат пространству $C^2(2\pi)$. Собственные функции, отвечающие собственным значениям с нижним индексом $n$, имеют на полуинтервале $[0,2\pi)$ в точности $2n$ невырожденных нулей. Отрезок $[\lambda_n^-,\lambda_n^+]$ называется $n$-й лакуной. Собственные функции, отвечающие разным собственным значениям, попарно ортогональны в гильбертовом пространстве $L_2(2\pi)$. В случае совпадения собственных значений $\lambda_n^-(p) = \lambda_n^+(p)=\lambda_n^0(p)$ (вырожденная лакуна) возникает плоскость $\Pi_n(p)$ собственных функций. Нули линейно независимых собственных функций, отвечающих общему собственному значению, перемежаются. Поскольку собственные функции $y$ задачи (2.1), (2.2) определяются с точностью до ненулевого коэффициента, отождествим отличающиеся знаком собственные функции и потребуем, чтобы они удовлетворяли условию нормировки в $L_2(2\pi)$, т.е. мы будем рассматривать элементы проективного пространства
$$
\begin{equation*}
y \in C^2P^{\infty} := {\widehat C}^2(2\pi) \cap \biggl\{\int_0^{2\pi} y^2\,dx =1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Формулировки утверждений и конкретные вычисления могут осуществляться с помощью функций, которые представляют элементы многообразия $C^2P^{\infty}$, т. е. отличаются от них ненулевым коэффициентом. Если функция $y \in C^2P^{\infty}$ является собственной для какой-либо задачи (2.1), (2.3), то потенциал $p \in P$ и соответствующее собственное значение восстанавливаются однозначно: где
$$
\begin{equation}
r(y;x):=\frac{y''(x)}{y(x)}, \qquad \lambda(y)=-\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}r(y;x)\,dx.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Значит, если функция $y \in C^2P^{\infty}$ является собственной для какой-либо конкретной задачи (2.1), (2.3), то номер, кратность и лакуна собственного значения $\lambda(y)$ восстанавливаются однозначно. Зафиксируем нижний индекс $n \in \mathbb{N}$. Обозначим: $Y_n^{\pm} \subset C^2P^{\infty}$ – множество всех собственных функций семейства (2.1)–(2.3), которым соответствуют простые собственные значения $\lambda_n^{\pm}$; $Y_n^0 \subset C^2P^{\infty}$ – множество всех собственных функций семейства (2.1)–(2.3), которым соответствуют двукратные собственные значения $\lambda_n^0$. Объединение $Y_n=Y_n^+ \cup Y_n^-\cup Y_n^0$ – это множество всех собственных функций, которым соответствуют собственные значения с номером $n$. Из осцилляционных свойств собственных функций следует, что множества с разными номерами не пересекаются: если $k \neq n$, то $Y_k \cap Y_n =\varnothing$. Определение. 1) Пару $(y, y_r)\in Y_n^{\pm}\,{\times}\, Y_n^{\mp}$ собственных функций назовем взаимной (reciprocal), если эти функции порождены одним и тем же потенциалом $p$. 2) Пару $(y, y_r) \in Y_n^0 \times Y_n^0$ собственных функций назовем взаимной, если они порождены одним и тем же потенциалом $p$ и ортогональны в $L_2$. В случае 1) взаимные функции ортогональны автоматически. Из предыдущих рассуждений следует, что по функции $y \in Y_n$, $n \in \mathbb{N}$, взаимная функция $y_r \in Y_n$ восстанавливается однозначно и отношение взаимности симметрично. Значит, на множестве $Y_n$ определена инволюция $I_n(y):=y_r$, у которой нет неподвижных точек. Обозначим сужение $I_n^0:=I_n|_{Y_n^0}$. Через $\Delta \lambda(y):=\lambda(y) - \lambda(y_r)$, где $y\in Y_n$, обозначим ориентированную длину лакуны; следовательно, $\operatorname{sign}(\Delta \lambda(y))= \pm 1$, если $y\in Y^{\pm}_n$, и $\Delta \lambda(y)=0$, если $y\in Y^0_n$. (В работе [1] $\Delta \lambda(y)\geqslant 0$ обозначает только длину лакуны.) Нас интересуют подмножества собственных функций постоянной ориентированной длины $n$-й лакуны
$$
\begin{equation}
Y_n(\Delta\lambda):=\{y\in Y_n\colon \lambda(y) - \lambda(y_r) = \Delta\lambda\}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Очевидно, что подмножества $Y_n(\Delta\lambda) \subset Y_n$ инвариантны относительно инволюции $I_n$. Из определения следует, что
$$
\begin{equation}
Y_n^\pm = \bigcup_{\Delta\lambda>0(<0)}Y_n(\Delta\lambda), \qquad Y_n^0=Y_n(0), \quad Y_n= \bigcup_{\Delta\lambda \in \mathbb{R}}Y_n(\Delta\lambda).
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Аналогично, нас интересуют подмножества потенциалов постоянной неориентированной длины $n$-й лакуны
$$
\begin{equation}
P_n(|\Delta\lambda|):=\{p\in P\colon \lambda_n^+(p) - \lambda_n^-(p) = |\Delta\lambda| \geqslant 0\} \subset P.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Кроме того, мы интересуемся дополнением $P_{\setminus n}:= P \setminus P_n(0)$, состоящим из всех невырожденных относительно номера $n$ потенциалов $p$. По определению
$$
\begin{equation}
P_{\setminus n}= \bigcup_{|\Delta\lambda|>0} P_n(|\Delta\lambda|), \qquad P= \bigcup_{|\Delta\lambda|\geqslant0} P_n(|\Delta\lambda|)=P_n(0) \cup P_{\setminus n}.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Если $p \in P_n(0)$, то через $Y_n^0(p) \subset Y_n^0$ обозначим проективную прямую всех собственных функций, отвечающих $p$. 2.2. Вспомогательные функцииПусть дана функция $y\,{\in}\, Y_n$. Введем в рассмотрение вспомогательные функции, порожденные выбранной функцией $y$. Во-первых, определим вронскиан:
$$
\begin{equation}
W(y,y_r)(x)=W(x):= \begin{vmatrix} y(x) & y_r(x) \\ y'(x) & y'_r(x) \end{vmatrix},
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где $y$, $y_r$ – произвольные представители соответствующих элементов из $Y_n$. Отметим, что вронскиан (2.11) только для вырожденного случая $p \in P_n(0)$ порожден решениями одного и того же уравнения, и только в этом случае он постоянен. Рассмотрим векторную функцию $\overline y(x):=(y(x),y_r(x))$, значения которой принадлежат плоскости $\Omega_n$ с координатами $(y,y_r)$; ее образом является некоторая замкнутая кривая $\Upsilon$. Введем на плоскости $\Omega_n$ полярные координаты $(\rho,\theta)$. Тогда
$$
\begin{equation}
y(x)=\rho(x) \cos\theta(x), \qquad y_r(x)=\rho(x) \sin\theta(x),
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
где
$$
\begin{equation}
\rho^2(x) = y^2(x) + y^2_r(x), \qquad \rho(x) \geqslant 0,
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
а значение угловой функции $\theta$ выбирается с точностью до кратного $\pi$. (Ниже мы определим угловую функцию однозначно.) Наконец, нам понадобятся угловая скорость $\eta(x):=\theta'(x)$ и начальное значение $\varphi:=\theta(0)$ угловой функции. Таким образом, по собственной функции $y$ нами определены пара чисел $(\varphi,\Delta\lambda)$ и шесть функций: $p$, $y_r$, $W$, $\rho$, $\theta$, $\eta$. Ниже мы покажем, что пара чисел $(\varphi,\Delta\lambda)$ и функция $\eta$ полностью определяют остальные шесть функций: $y$, $y_r$, $p$, $W$, $\rho$, $\theta$. Леммы ниже дают описания свойств введенных функций. Лемма 1. Свойства вронскиана следующие. 1. Производная вронскиана вычисляется по формуле 2. Функция $W$ принадлежит $C^3(2\pi)$. 3. Вронскиан нигде не обращается в нуль: для любого $x$ справедливо $W(x) \neq 0$. 4. Пусть $y$, $y_r$ – произвольные представители соответствующих элементов из $Y_n$. Из четырех возможных пар $(\pm y,\pm y_r)$, $(\pm y, \mp y_r)$ только одна удовлетворяет условиям $W(y,y_r)(x)>0$ и $\varphi=\theta(0) \in [0,\pi)$. Впредь мы будем выбирать именно ту единственную пару $(y,y_r)$, для которой $W(y,y_r)>0$ и $\varphi=\theta(0) \in [0,\pi)$. Лемма 2. Функция полярного радиуса $\rho$ принадлежит $ C^2(2\pi)$, она строго положительна, и справедливо тождество Лемма 3. Функция угловой скорости $\eta $ принадлежит $ C^2(2\pi)$, она строго положительна и справедливо равенство Рассмотрим отдельно вырожденный случай $p \in P_n(0)$. Зафиксируем функцию $y \in \Pi_n(p)$. Введем на плоскости $\Pi_n(p)$ евклидову структуру с помощью скалярного произведения из $L_2$ и ориентацию условием $W(y,y_r)>0$. Лемма 4. Инвариантность вронскиана $W$, функции радиуса $\rho$ и функции угловой скорости $\eta$ относительно поворотов описываются следующим образом. 1. При произвольном повороте в плоскости $\Pi_n(p)$ пары $\{y, y_r\}$ с положительным вронскианом ее взаимность и положительность вронскиана сохраняются. 2. Значения угловой функции $\theta$ при повороте пары взаимных собственных функций в плоскости $\Pi_n(p)$ на угол $\alpha$ изменяются на угол $(-\alpha)$: $\theta_\alpha(x)=\theta(x)-\alpha$. В частности, для начального значения получаем $\varphi_\alpha:=\theta_\alpha(0)=\theta(0)-\alpha=\varphi-\alpha$. 3. Вронскиан $W(y;y_r)=\mathrm{const}>0$, функция радиуса $\rho(x)$ и функция угловой скорости $\eta(x)$ инвариантны относительно поворота пары взаимных собственных функций в плоскости $\Pi_n(p)$. Утверждения лемм 1–4 не являются оригинальными. Их доказательство приведено в [1]. Обозначим через ${H}_n \subset C^2(2\pi)$ подмножество функций $\eta$, удовлетворяющих утверждениям леммы 3 и условиям
$$
\begin{equation}
\int_0^{2\pi} \frac{\displaystyle\sin2\int_0^x\eta(t)\,dt}{\eta(x)}\,dx=0,
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
$$
\begin{equation}
\int_0^{2\pi} \frac{\displaystyle\cos2\int_0^x\eta(t)\,dt}{\eta(x)}\,dx=0.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Замечание 1. Будет показано, что условие (2.17) равносильно ортогональности, а условие (2.18) – равенству $L_2$-норм собственных функций $y, y_r \in Y_n^0(p)$. Лемма 5. Подмножество $H_n \subset C^2(2\pi)$ является гомотопически тривиальным банаховым гладким (т.е. класса $C^\infty$) подмногообразием коразмерности $3$. Лемма 5 доказана в [1] (см. там лемму 6 и пп. 5.1, 5.3). § 3. Формулировки основных результатов3.1. Аналитическое описание $Y_n$Теорема 1. Множество $Y_n$ $(n = 0, 1, \dots)$ состоит из всех таких функций $y \in C^2P^{\infty}$, что: Введем в рассмотрение интегральный функционал Ф. Неймана (см. [6]): для произвольной функции $y \in Y_n$ положим
$$
\begin{equation}
N_n(y) := \int_0^{2\pi} \biggl( \frac{1}{y^{2}(x)}- \frac{1}{4}\sum_{i=1}^{2n} \biggl ( y'(x_i)\sin \frac{x-x_i}{2} \biggr )^{-2} \biggr )\,dx,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $x_i \in [0,2\pi)$, $y(x_i)=0$. В силу п. 1) теоремы 1 подынтегральная функция всюду непрерывна. Теорема Ф. Неймана (см. [2]) утверждает, что $y \in Y_n^0$ только в том случае, когда $N_n(y)=0$. Ее дополняет Теорема 2. Пусть $y \in Y_n$. Тогда: 1) функционал Ф. Неймана равен
$$
\begin{equation}
N_n(y)=\Delta\lambda \int_0^{2\pi}\frac{y_r^2(x)}{W^2(y,y_r)(x)}\,dx;
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
2) верхний индекс невырожденной собственной функции определяется знаком функционала Неймана, т.е. 3.2. Расслоение многообразия $Y_n^0$Начнем с описания многообразий вырожденных собственных функций и вырожденных потенциалов. Рассмотрим отображение $\Phi_n^0\colon Y_n^0 \to P_n(0)$, которое собственной функции $y$ ставит в соответствие ее потенциал по формулам (2.5), (2.6). Теорема 3. Отображение $\Phi_n^0$ является гладким тривиальным расслоением, слой которого $(\Phi_n^0)^{-1}(p)=Y_n^0(p)$ диффеоморфен проективной прямой. В тривиализующей коммутативной диаграмме отображения и их свойства таковы. Замечание 2. Функции $y$, $y_r$ из формул (3.4) и (3.5) надо понимать как представители элементов из $Y_n^0$. 3.3. Параметризация многообразия $Y_n$Ниже дана параметризация многообразия $Y_n$ в терминах вырожденных собственных функций $y \in Y_n^0$ и ориентированной лакуны $\Delta\lambda$. Чтобы отличать функции из $Y_n^0$ от функций из $Y_n^\pm$, первые мы будем обозначать через $u$, а вторые – по-прежнему через $y$. Теорема 4. Справедливы следующие утверждения. 1. Отображение $\Gamma_n\colon Y_n^0 \times \mathbb{R} \to Y_n$, где
$$
\begin{equation}
\Gamma_n(u,\Delta\lambda)=y:= \exp\biggl(\frac{\Delta\lambda}{2W(u,u_r)}\int_0^x u(t)u_r(t)\,dt\biggr) u,
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
является биекцией, которая индуцирует в $Y_n$ структуру гладкого банахова многообразия, диффеоморфного $Y_n^0 \times \mathbb{R}$. 2. Отображение $\Gamma_n$ действует послойно относительно переменной $\Delta\lambda$, т.е. $\Gamma_n(u,\Delta\lambda) \in Y_n(\Delta\lambda)$ (см. (2.7)). 3. Отображение где
$$
\begin{equation}
\Gamma_{n,r}(u,\Delta\lambda):=\Gamma_n(u_r,-\Delta\lambda)=y_r= \exp\biggl(\frac{-\Delta\lambda}{2W(u_r,u)}\int_0^x u_r(t)u(t)\,dt\biggr) u_r,
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
является биекцией, которая взаимна биекции $\Gamma_n$, т.е. $\Gamma_{n,r}=I_n \cdot \Gamma_{n}$. 4. Вронскиан $W(y,y_r)$, построенный на функциях (3.8) и (3.9), равен
$$
\begin{equation}
W(y,y_r)=\exp\biggl(\frac{\Delta\lambda}{W(u,u_r)}\int_0^x u(t)u_r(t)\,dt\biggr) W(u,u_r).
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
5. Обратное к $\Gamma_n$ отображение определяется следующим образом:
$$
\begin{equation}
\Gamma_n^{-1}(y)=(u,\Delta\lambda):= \biggl(\sqrt{\frac{W(y,y_r)(0)}{W(y,y_r)(x)}}y(x),\lambda(y)-\lambda(y_r)\biggr).
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
6. Инволюция $I_n$ является гладким автоморфизмом многообразия $Y_n$. 7. Расслоение (3.8) сохраняет вдоль одномерного слоя ориентированных лакун ортогональность собственных функций, т.е. для любой функции $u \in Y_n^0$ и для произвольных $\Delta\lambda_1,\Delta\lambda_2 \in \mathbb{R}$ справедливо 3.4. Расслоение многообразия $Y_n$ и стратификация пространства $P$Здесь мы согласуем расслоение (2.7), (2.8) многообразия $Y_n$ и стратификацию (2.9), (2.10) пространства $P$ по отношению к лакуне $\Delta\lambda$. Для тривиализации расслоения мы привлекаем переменные $(\eta,\varphi,\Delta\lambda) \in H_n\,{\times}\, \mathbb{R}P^1\,{\times}\, \mathbb{R}$. Рассмотрим отображение $\Phi_n\colon Y_n \to P$, которое собственной функции $y$ ставит в соответствие ее потенциал по формулам (2.5), (2.6). Теорема 5. Отображение $\Phi_n$ является гладким отображением. В коммутативной диаграмме отображения и их свойства таковы. Обсуждение. Во-первых, отображения $\Phi_n$ и $\pi_n$ подобны: В пространстве двумерных вещественных симметрических матриц рассмотрим плоскость из матриц с нулевым следом. Нас интересуют собственные значения $\gamma \in \mathbb{R}$ и собственные векторы $(\cos \varphi, \sin \varphi)$ ($\varphi \in \mathbb{R}P^1$):
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \xi_1 & \xi_2 \\ \xi_2 & -\xi_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \varphi \\ \sin \varphi \end{pmatrix}= \gamma \begin{pmatrix} \cos \varphi \\ \sin \varphi \end{pmatrix} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} \xi_1 = \gamma \cos 2\varphi, \\ \xi_2 = \gamma \sin 2\varphi. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Сравнивая расслоение (3.22) произведения $\mathbb{R}P^1 \times \mathbb{R}$ над $\mathbb{R}^2$ с подобием (3.21) и учитывая определение (3.14) отображения $\pi_n$, мы видим, что “расслоение” $\Phi_n$ многообразия $Y_n$ собственных функций над пространством $P$ дифференциальных операторов, задаваемое отображением $\Phi_n$, отличается от расслоения (3.22) собственных векторов над плоскостью двумерных матриц на гомотопически тривиальный сомножитель $H_n$ (рис. 1). Замечание 4. Утверждения п. 1, (b) и п. 6 из теоремы 5, относящиеся к отображению $F_n$, составляют содержание теорем 2–4 в [1]. Там же получены формулы (3.15)–(3.19) для собственных функций, собственных значений и потенциалов через параметры $\eta$, $\varphi$ и $\Delta\lambda$. Здесь мы дадим другое доказательство, опирающееся на теорему 4. Теперь мы обсудим стратификацию (2.10) пространства $P$ по отношению к неориентированной лакуне $|\Delta\lambda|=\lambda_n^+-\lambda_n^-$ и расслоение $P$ над $P_n(0)$. Напомним, что действительной поверхностью Веронезе (см. [7]) называют образ вложения
$$
\begin{equation}
V\colon \mathbb{R}P^2 \to \mathbb{R}P^5, \qquad V([x:y:z])= [x^2:y^2:z^2:yz:zx:xy].
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Образ сужения
$$
\begin{equation}
A\colon \mathbb{A}^2 \to \mathbb{A}^5, \qquad V(\xi_1,\xi_2)= (\xi_1^2,\xi_2^2,\xi_2,\xi_1,\xi_1\xi_2),
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
вложения (3.23) является аффинной поверхностью Веронезе. Образ вложения
$$
\begin{equation}
A\colon \mathbb{A}^2 \to \mathbb{A}^4, \qquad V(\xi_1,\xi_2)= (\xi_1^2,\xi_2,\xi_1,\xi_1\xi_2),
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
назовем вырожденной аффинной поверхностью Веронезе. Теорема 6. Справедливы следующие утверждения. 1. Проектирование $\omega_n\colon H_n \times \mathbb{R}^2 \to H_n \times\{O\}$ индуцирует гладкое тривиальное расслоение
$$
\begin{equation*}
\Omega_n:= F_n^{-1}\omega_n\circ F_n\colon P \to P_n(0),
\end{equation*}
\notag
$$
стандартным слоем которого является $\mathbb{R}^2$. 2. Для каждого $p_0 \in P_n(0)$ и $p_0 \neq 0$ слой $\Omega_n^{-1}(p_0)$ является аффинной поверхностью Веронезе, которая содержит точку $p_0$. Если $p_0=0$, то $\Omega_n^{-1}(0)$ является вырожденной аффинной поверхностью Веронезе, проходящей через точку $0$. (Описание пространств $\mathbb{A}^5(p_0)$ и $\mathbb{A}^4(0)$ даны в доказательстве.) 3. Для произвольных фиксированных $p_0 \in P_n(0)$ и $\varphi_0 \in \mathbb{R}R^1$ “линия лакуны”
$$
\begin{equation*}
\mathbb{R} \ni \Delta\lambda \to (F_n^{-1} \circ \pi_n)(\eta_0,\varphi_0, \Delta\lambda) \in \Omega_n^{-1}(p_0)
\end{equation*}
\notag
$$
является параболой, аналитическое задание которой дано в доказательстве. 4. Для произвольных фиксированных $p_0 \in P_n(0)$ и $\Delta\lambda_0 \in \mathbb{R}^+$ “петля начальных углов”
$$
\begin{equation*}
\mathbb{R}P^1 \ni \varphi \to (F_n^{-1} \circ \pi_n)(\eta_0,\varphi, \Delta\lambda_0) \in \Omega_n^{-1}(p_0)
\end{equation*}
\notag
$$
является одномерным алгебраическим многообразием, которое вложено в аффинное пространство $\mathbb{A}^4(p_0,\Delta\lambda_0)$ (аналитическое описание дано в доказательстве). 5. Для произвольной фиксированной длины лакуны $|\Delta\lambda_0|>0$ подмножество (2.9) потенциалов постоянной неориентированной длины $n$-й лакуны является образом вложения
$$
\begin{equation*}
H \times \mathbb{R}P^1 \ni (\eta,\varphi) \to (F_n^{-1} \circ \pi_n)(\eta,\varphi, |\Delta\lambda_0|) \in P_n(|\Delta\lambda_0|),
\end{equation*}
\notag
$$
которое задается формулой (3.19) при фиксированном значении $\Delta\lambda\,{=}\,\Delta\lambda_0\,{>}\,0$. Каждое $P_n(|\Delta\lambda_0|)$ диффеоморфно произведению $H \times \mathbb{R}P^1$. 3.5. Многообразие К. УленбекПусть $D$ – некоторое гладкое семейство эллиптических симметрических дифференциальных операторов $\partial$ второго порядка, заданных на фиксированном функциональном пространстве $M$. В работе [4] К. Уленбек рассмотрела множество троек $U:=\{(\partial,y,\lambda)\} \subset D \times M \times \mathbb{R}$, удовлетворяющих уравнению $\partial(y)=\lambda y$. Ею показано, что при некоторых естественных предположениях относительно пространства $M$ и семейства $D$ множество $U$ является гладким подмногообразием, локально диффеоморфным $D$. Мы покажем, что рассмотренные нами многообразия $M:=C^2P^\infty$ и $D:=P$ удовлетворяют условиям Уленбек, а многообразие $U=\{(p,y,\lambda)\}$ интерпретируется в терминах отображения $\Phi_n$. Уточним определения. Рассмотрим отображение
$$
\begin{equation}
\Psi\colon P \times C^2P^{\infty} \times \mathbb{R} \to C^0(2\pi), \qquad \Psi(p,y,\lambda):= - y''+ py - \lambda y,
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
и многообразие Уленбек
$$
\begin{equation*}
U:=\{(p,y,\lambda)\colon \Psi(p,y,\lambda)=0\} = \Psi^{-1}(0) \subset P \times C^2P^{\infty} \times \mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим открытое подмножество $Y_0 \subset C^2P^{\infty}$ $2\pi$-периодических нормированных в $L_2(2\pi)$ положительных функций класса гладкости $C^2$. Очевидно, что $Y_0$ – множество всех собственных функций семейства (2.1), (2.2), которым отвечают собственные значения $\lambda$ с нижним индексом нуль (см. (2.4)). Соответствующие потенциал и собственное значение восстанавливаются по формулам (2.5), (2.6). Подмножество $Y_0 \subset C^2P^{\infty}$, очевидно, является открытым и гомотопически тривиальным. Для каждого $n=0,1,\dots$ рассмотрим отображение
$$
\begin{equation*}
\widehat{\Phi}_n:=(\Phi_n,\Lambda)\colon Y_n \to P \times \mathbb{R}, \qquad(\Phi_n,\Lambda)(y)=(\Phi_n(y),\lambda(y)),
\end{equation*}
\notag
$$
где потенциал $p=\Phi_n(y)$ и собственное значение $\lambda(y)$ определяются по формулам (2.5), (2.6). Теорема 7. Справедливы следующие утверждения. 1. Многообразие Уленбек является несвязным объединением графиков отображений $\widehat{\Phi}_n$ по всем $n=0,1,\dots$, т.е. $U= \bigcup_{n=0}^\infty \mathrm{Gr}(\widehat{\Phi}_n)$. 2. Многообразие Уленбек является гладким многообразием, локально диффеоморфным прямому произведению $H_n \times \mathbb{R}^2$. 3. Многообразие Уленбек $U \subset P \times C^2P^{\infty} \times \mathbb{R}$ является гладким подмногообразием, локально диффеоморфным пространству $P$. 4. Проекция $U_{P,Y}$ многообразия Уленбек в прямое произведение $P \times C^2P^{\infty}$ является гладким подмногообразием $U_{P,Y} \subset P\,{\times}\, C^2P^{\infty}$, диффеоморфным многообразию $U$, которое задается уравнением
$$
\begin{equation*}
-y''+ p y - \biggl(\int_0^{2\pi}(y'^2 + py^2)\,dx \biggr)y =0.
\end{equation*}
\notag
$$
5. Подмногообразие $U_{P,Y}$ является несвязным объединением графиков отображений $\Phi_n$ по всем $n=0,1,\dots$, т.е. $U_{P,Y}= \bigcup_{n=0}^\infty \mathrm{Gr}(\Phi_n)$. Исследование многообразия Уленбек для семейств конечномерных и компактных самосопряженных операторов предпринято в [8]. На рис. 2 изображено многообразие $U_{P,Y}$ для семейства (3.22) двумерных симметрических матриц с нулевым следом. Оно устроено так: у фрагмента геликоида, содержащего один оборот образующей прямой вокруг направляющей прямой, отождествляются точки $(\xi_1,0,0)$ и $(\xi_1,0,\pi)$. В результате направляющей кривой становится проективная прямая собственных векторов. Замечание 5. Проекция $U_{Y,\mathbb{R}}$ многообразия Уленбек в прямое произведение $C^2P^{\infty} \times \mathbb{R}$ есть график гладкой зависимости $\lambda(y)$ собственного значения от собственной функции, которая задается формулами (2.6). В координатах $(\eta,\varphi, \Delta\lambda)$ эта зависимость задается формулой (3.18). Проекция $U_{P,\mathbb{R}}$ многообразия Уленбек в прямое произведение $P \times \mathbb{R}$ есть график многозначной зависимости $\lambda(p)$ собственного значения от потенциала, которая в координатах $(\eta,\xi_1,\xi_2)$ задается формулой (3.18) при подстановке (3.22): В точках $p=(\eta,0,0) \in P_n(0)$ зависимость $\lambda(p)$ имеет коническую особенность, известную как “пересечение электронных термов” (см. § 79 в [9] и добавление 10 в [10]). Доказательство теоремы 7. Пункты 1 и 2 следуют из теоремы 5. Пункты 3 и 4 теоремы 7 доказаны в [8] с помощью теоремы о существовании неявного отображения. Здесь мы приводим их для сравнения с п. 2 теоремы 7: многообразие Уленбек является графиком только в том случае, когда по собственной функции можно однозначно восстановить дифференциальный оператор. Пункт 5 следует из пп. 1, 4. Теорема доказана.
§ 4. Доказательства теорем4.1. Доказательство теорем 1 и 2 Доказательство теоремы 1. Необходимость сразу следует из краевой задачи (2.1), (2.2) и перечисленных выше свойств собственных функций из $Y_n$. Достаточность вытекает из формул (2.5) и (2.6). Теорема доказана. Доказательство теоремы 2. Пусть $2\pi$-периодический потенциал $p$ является аналитической функцией в некоторой горизонтальной полосе $\mathbb{C}_{\mathrm{band}} \subset \mathbb{C}$, которая содержит действительную ось $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}_{\mathrm{band}}$, и сужение $p$ на $\mathbb{R}$ является вещественнозначной функцией. При названных требованиях любое вещественнозначное на $\mathbb{R}$ решение $y(x)$ дифференциального уравнения (2.1) является сужением аналитического на $\mathbb{C}_{\mathrm{band}}$ решения $y(z)$. Пусть $y \in Y_n$ – собственная функция, порожденная потенциалом $p$. Выберем полосу $\mathbb{C}_{\mathrm{band}}$ настолько узкой, чтобы на ней функция $y(z)$ имела только вещественные нули, а функция $W(y,y_r)(z)$ не равнялась нулю (см. п. 3 леммы 1). Формула (2.14) верна на $\mathbb{C}_{\mathrm{band}}$. В силу невырожденности $y'(x_i) \neq 0$ нулей функции $y$, ее аналитичности и $2\pi$-периодичности, а также в силу формулы (2.14) имеем для любого $w \in \mathbb{C}_{\mathrm{band}}$ и любого пути интегрирования от $w$ до $w+2\pi$ в обход нулей функции $y$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, N_n(y) &=\int_w^{w+2\pi}\frac{1}{y^{2}(z)}\, dz= \int_w^{w+2\pi} \frac{1}{W(y,y_r)}\,\frac{y_r'y - y_r y'}{y^{2}}\, dz \\ &=\int_w^{w+2\pi} \frac{1}{W}\biggl(\frac{y_r}{y}\biggr)'\, dz = \biggl(\frac{1}{W}\cdot \frac{y_r}{y}\biggr)\Big|_w^{w+2\pi} + \int_w^{w+2\pi} \frac{W'}{W^2} \cdot \frac{y_r}{y}\, dz \\ &=\Delta\lambda \int_w^{w+2\pi}\frac{y_r^2(z)}{W^2(y,y_r)(z)}\,dz= \Delta\lambda \int_0^{2\pi}\frac{y_r^2(x)}{W^2(y,y_r)(x)}\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В общем случае непрерывный потенциал $p$ равномерно аппроксимируем аналитическим и осуществляем предельный переход на $[0,2\pi]$. Утверждение 2) теоремы 2 является следствием утверждения 1). Теорема доказана. 4.2. Доказательство теоремы 3Утверждения п. 1, (b) и пп. 4, 5, относящиеся к отображению $F_n^0$, составляют содержание теоремы 1 в [1]. Там же получены все формулы (3.4)–(3.7) для собственных функций, собственных значений и потенциалов через параметры $\eta$ и $\varphi$. Здесь нам остается только убедиться в существовании и биективности отображения $G_n^0$. Существование $G_n^0$ вытекает из п. 4 леммы 1 и леммы 4. Теперь заметим, что в силу условия (2.16) функции (3.4) имеют на периоде в точности $2n$ нулей. Далее, для всех $\varphi \in \mathbb{R}P^1$ функции, определяемые формулой (3.4), порождены одним и тем же непрерывным потенциалом (3.7) и отвечают двукратному собственному значению (3.6) (что проверяется прямой проверкой по формулам (2.5) и (2.6)). Значит, это функции из множества $Y_n$. Из формул (2.14), (2.15), (2.5) и (2.6) следует, что восстановление собственной функции по паре $(\eta,\varphi) \in H_n \times \mathbb{R}P^1$ единственное, а именно (3.4) (см. п. 4.1 в [1]). Наконец, формулы (3.4) и (3.5) определены на всем произведении $H_n \times \mathbb{R}P^1$, и если по ним восстановить функцию угловой скорости и начальный угол, то это будет именно пара $(\eta,\varphi)$. Последнее обстоятельство обеспечивает биективность отображения $G_n^0$. Коммутативность диаграммы (3.3) обеспечивает п. 1, (a), 1); из него следует, что по обеим стрелкам, исходящим из $Y_n^0$, мы рассматриваем одну и ту же проективную прямую $Y_n^0(p)$, что приводит к одной и той же функции $\eta \in H_n$. Формула (3.5) получается из формулы (3.4) заменой $\varphi \to \pi/2 +\varphi$. Но в силу условий (2.17) и (2.18) получаем, что функции (3.5) и (3.4) ортогональны и имеют равные $L_2$-нормы (см. лемму 2.5 в [1]); значит, эти функции взаимны. Отображение $G_n^0$ есть диффеоморфизм в силу определения гладкой структуры в $Y_n^0$ (см. п. 2 теоремы 3). Поскольку инволюция $J_n^0$ есть гладкий автоморфизм, то в силу подобия инволюций $I_n^0$ и $J_n^0$ (см. п. 3, (a)) инволюция $I_n^0$ является гладким автоморфизмом. Наконец, диффеоморфность отображений $G_n^0$ и $F_n^0$, гладкость проектирования $\pi_n^0$ и коммутативность диаграммы (3.3) обеспечивают гладкость расслоения $\Phi_n^0$. Теорема 3 доказана. Замечание 6. Хотя $Y_n^0 \subset C^2P^\infty$ как подмножество, топология, индуцированная в $Y_n^0$ биекцией $(G_n^{0})^{-1}$, не совпадает с топологией, которая индуцирована пространством $C^2(2\pi)$. Сходимость в $Y_n^0$ предполагает не только сходимость в $C^2(2\pi)$, но и сходимость третьих производных в нулях функций (см. п. 3) теоремы 1). Подробно топология $Y_n^0$ описана в теореме 3.2.4 в [8]. Замечание 7. В статье Э. Айнса [3] утверждается, что в случае четного потенциала $p$, имеющего наименьшим периодом число $\pi$, уравнение (2.1) не может иметь двух линейно независимых $2\pi$-периодических решений ни для какого вещественного параметра $\lambda$, т.е. краевая задача (2.1), (2.2) не может иметь вырожденных собственных значений. Но для любого $n \in \mathbb{N}$ существуют четные функции $\eta$, имеющие наименьший период $\pi$, которые удовлетворяют требованиям леммы 3, т.е. $C^2$-гладкие, положительные и удовлетворяющие условию (2.16). Для каждой такой функции $\eta$ функции $y$ и $y_r$, определенные формулами (3.4) и (3.5) соответственно, являются собственными и линейно независимыми для одной и той же краевой задачи, т.е. с общим потенциалом (3.7) и общим собственным значением (3.6). Это утверждение проверяется прямой проверкой. (Мы не требуем для $\eta$ выполнения условий (2.17) и (2.18), поэтому функции $y$ и $y_r$ не обязательно будут ортогональными и одинаковой нормы, т.е. они не являются взаимными.) Поскольку в силу формулы (3.7) потенциал $p$ наследует свойство четности и $\pi$-периодичности, мы получили противоречие с утверждением Айнса. Отметим, что ошибочность утверждения Айнса фактически установлена Н. И. Ахиезером, которым построены четные конечнозонные (в том числе и периодические) потенциалы (подробно результаты Н. И. Ахиезера изложены в [11]). 4.3. Доказательство теоремы 4Функции, задаваемые формулами (3.8) и (3.9), имеют на периоде в точности $2n$ нулей. Из формул (3.8) и (3.9) прямыми вычислениями находим, что отношения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{y''}{y} = \biggl( \frac{\Delta\lambda}{2W(u,u_r)} \biggr)^2 u^2u_r^2 + \frac{3\Delta\lambda}{2W(u,u_r)} u'u_r + \frac{\Delta\lambda}{2W(u,u_r)}u u'_r + \frac{u''}{u}, \\ \frac{y''_r}{y_r} = \biggl( \frac{\Delta\lambda}{2W(u,u_r)} \biggr)^2 u^2u_r^2 + \frac{3\Delta\lambda}{2W(u,u_r)} u u'_r + \frac{\Delta\lambda}{2W(u,u_r)}u' u_r + \frac{u_r''}{u_r} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
являются непрерывными функциями. Значит, функции $y$, $y_r$ принадлежат $Y_n$. Поскольку $u,u_r \in Y_n^0(p)$, то $u''(x)/u(x) \equiv u_r''(x)/u_r(x)$, и тогда ${y''}(x)/{y}(x) - {y''_r}(x)/{y_r}(x) \equiv - \Delta\lambda$. Следовательно, $p(y)=p(y_r)$, $\lambda(y)-\lambda(y_r) = \Delta\lambda$, пара функций $(y,y_r)$ в самом деле является взаимной и $y \in Y_n(\Delta\lambda)$. Из формул (3.8) и (3.9) прямыми вычислениями получаем формулу (3.10). Из нее следует, что $W(y,y_r)(0)=W(u,u_r)$ и
$$
\begin{equation*}
\exp\biggl(\frac{\Delta\lambda}{W(u,u_r)}\int_0^x u(t)u_r(t)\,dt\biggr) =\frac{W(y,y_r)(x)}{W(y,y_r)(0)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь из формулы (3.8) получаем выражение $\Gamma_n^{-1}(y)$ для прообраза $(u, \Delta\lambda)$ (см. формулу (3.11)), что означает инъективность отображения (3.8). Но формула (3.11) определена на всем множестве $Y_n$. (Ниже, игнорируя вторую компоненту формулы (3.11), считаем, что $\Gamma_n^{-1}(y)=u$.) Поскольку $W(y,y_r) \in C^3$ и $W(y,y_r)>0$ (пп. 2, 3 леммы 1), то нули функции $\Gamma_n^{-1}(y)$ совпадают с нулями функции $y$, а нули функции $\Gamma_n^{-1}(y_r)$ совпадают с нулями функции $y_r$ и все нули удовлетворяют требованиям теоремы 1. Значит, функции $\Gamma_n^{-1}(y)$ и $\Gamma_n^{-1}(y_r)$ принадлежат множеству $Y_n$. Учитывая, что $W(y,y_r)=-W(y_r,y)$, прямой проверкой убеждаемся, что
$$
\begin{equation}
W(\Gamma_n^{-1}(y), \Gamma_n^{-1}(y_r))=W(y,y_r)(0)=\mathrm{const}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Значит, функции $\Gamma_n^{-1}(y)$, $\Gamma_n^{-1}(y_r)$ принадлежат $Y_n^0(p)$. Из формулы (2.14) и периодичности вронскиана следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^{2\pi} \Gamma_n^{-1}(y) \Gamma_n^{-1}(y_r) \,dx &={W(y,y_r)(0)}\int_0^{2\pi} \frac{y(x) y_r(x)}{W(y,y_r)(x)}\, dx \\ &=\frac{W(y,y_r)(0)}{\Delta\lambda}\int_0^{2\pi} \frac{W'(x)}{W(x)} \,dx =0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, пара $(\Gamma_n^{-1}(y), \Gamma_n^{-1}(y_r))$ взаимная. Применим к функции $\Gamma_n^{-1}(y)$ прямое отображение (3.8). Воспользовавшись (4.1) и (2.14), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\exp\biggl(\frac{\Delta\lambda}{2W(0)}\int_0^x \frac{W(0)}{W(t)}y(t)y_r(t)\,dt\biggr) \sqrt{\frac{W(0)}{W(x)}}y(x) \\ &\qquad =\exp\biggl(\frac{1}{2}\int_0^x \frac{W'(t)}{W(t)}\,dt\biggr)\sqrt{\frac{W(0)}{W(x)}}y(x)=y(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, (3.8) – биекция на $Y_n$, для которой обратной является (3.11). Из формул (3.8) и (3.9) следует, что $I_n(y)=(\Gamma_n \cdot (I_n^0, -\mathrm{id}) \cdot\Gamma_n^{-1})(y)$. Поэтому инволюция $I_n$ – гладкий автоморфизм. Из формул (3.8) и (3.9) получаем
$$
\begin{equation*}
C=\int_0^{2\pi} \Gamma_n(u,\Delta\lambda_1)\Gamma_{n,r}(u,\Delta\lambda_2) \,dx =\int_0^{2\pi} \exp\biggl(\frac{\Delta\lambda_1+\Delta\lambda_2}{2W(u,u_r)} \int_0^x uu_r\,dt\biggr) uu_r\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\Delta\lambda_1+\Delta\lambda_2=0$, то формула (3.12) следует из ортогональности функций $u$ и $u_r$. Если же $\Delta\lambda_1+\Delta\lambda_2\neq 0$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C&=\frac{2W(u,u_r)}{\Delta\lambda_1+\Delta\lambda_2} \\ &\qquad\times \int_0^{2\pi} \exp\biggl(\frac{\Delta\lambda_1+\Delta\lambda_2}{2W(u,u_r)}\int_0^x uu_r\,dt\biggr)\,d\biggl(\frac{\Delta\lambda_1+\Delta\lambda_2}{2W(u,u_r)} \int_0^x uu_r\,dt\biggr)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 4 доказана. 4.4. Доказательство теоремы 5Существование отображений $G_n$ и $F_n$ следует из предыдущих теорем; отображение $\pi_n$ введено в п. 1, (c) по определению. Значит, нам нужно доказать свойства этих отображений и коммутативность диаграммы (3.13). Докажем п. 3. Рассмотрим взаимную пару $(y,y_r)$, образованную вырожденными функциями (3.4) и (3.5). Их вронскиан $W=1$. Откуда получаем, что композиция отображений, порожденная (3.4) и (3.8), совпадает с отображением (3.15):
$$
\begin{equation*}
\Gamma_n \cdot ((G_n^0)^{-1}, \mathrm{id})= G_n^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Но согласно п. 2 теоремы 3 и п. 1 теоремы 4 сомножители композиции есть диффеоморфизмы, значит, отображение $G_n^{-1}$ является диффеоморфизмом, который индуцирует в $Y_n$ структуру тривиального расслоения $H_n \times \mathbb{R}P^1 \times \mathbb{R}$. Прямой проверкой убеждаемся, что функции (3.15) и (3.16) взаимны, а процедуры 1)–4), описанные в п. 1, (a) теоремы, приводят к угловой функции $\eta$, начальному углу $\varphi$, ориентированной лакуне $\Delta\lambda$, собственному значению (3.18) и потенциалу (3.19). Значит, отображение (3.15) в самом деле обратное к отображению $G_n$. Пункт 4, (a) проверяется подстановкой (3.15) в формулу $I_n=G^{-1}_n \cdot J_n \cdot G_n$. Пункт 4, (b) следует из п. 4, (a) и п. 3. Утверждения п. 5, (a), (b) очевидны. Пункты 6, (a)–(g) в самом деле задают отображение, обратное $F_n$; это следует из п. 1, (b), 3) доказываемой теоремы. Заметим, что выбор знака прообраза $(\pi_n^\pm)^{-1}$ в п. (b) утверждения 6, конечно, влияет на вычисление собственного значения (3.18), но не влияет на потенциал (3.19), что проверяется прямым вычислением. Дифффеоморфность отображения $F_n$ доказана в [1] (теорема 4). Коммутативность диаграммы (3.13) следует из пп. 6, (a)–(g). Теорема 5 доказана. 4.5. Доказательство теоремы 6Утверждение 1 очевидно. В формуле (3.20) положим
$$
\begin{equation*}
p_0:=-\frac{\eta_0''}{2\eta_0}+\frac{3(\eta_0')^2}{4\eta_0^2}-\eta_0^2 - \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\biggl(\eta^2-\biggl(\frac{\eta'}{2\eta}\biggr)^2\biggr)\,dx
\end{equation*}
\notag
$$
и выделим координаты $\xi_1$, $\xi_2$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag p(\eta_0,\xi_1,\xi_2)&=p_0(x) +\Biggl(-\frac{\displaystyle\eta_0' \sin2\int_0^x \eta_0(t)\, dt}{2\eta_0^2} + \cos2\int_0^x \eta_0(t) \, dt\Biggr)\xi_1 \\ \notag &\qquad+\Biggl(-\frac{\displaystyle\eta_0' \cos2\int_0^x \eta_0(t)\, dt}{2\eta_0^2} - \sin2\int_0^x \eta_0(t)\, dt\Biggr)\xi_2 \\ \notag &\qquad+\Biggl(\frac{\displaystyle\sin^22\int_0^x \eta_0(t)\, dt}{16 \eta_0^2(x)} - \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}\frac{\displaystyle\sin^22\int_0^x \eta_0(t) \,dt}{16 \eta_0^2(x)}\,dx\Biggr)\xi_1^2 \\ \notag &\qquad+\Biggl(\frac{\displaystyle\cos^22\int_0^x \eta_0(t) \,dt}{16 \eta_0^2(x)} - \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}\frac{\displaystyle\cos^22\int_0^x \eta_0(t)\, dt}{16 \eta_0^2(x)}\,dx\Biggr)\xi_2^2 \\ \notag &\qquad+2\Biggl(\frac{\displaystyle\sin4\int_0^x \eta_0(t) \,dt}{16 \eta_0^2(x)} - \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}\frac{\displaystyle\sin4\int_0^x \eta_0(t)\, dt}{16 \eta_0^2(x)}\,dx\Biggr)\xi_1\xi_2 \\ & =p_0(x) + a_1(x) \xi_1 + a_2(x) \xi_2 + a_3(x) \xi_1^2 + a_4(x) \xi_2^2 + 2 a_5(x) \xi_1 \xi_2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Условие $\eta_0(x) \neq n$ равносильно тому, что $p_0(x) \neq 0$. В этом случае все функциональные коэффициенты $a_i$, $i=1, \dots , 5$, линейно независимы. В аффинном пространстве $\mathbb{A}^5(p_0)$, порожденном точкой $p_0$ и базисом $\{a_1, \dots, a_5\}$, слой $\Omega_n^{-1}(p_0)$ имеет параметризацию
$$
\begin{equation*}
x_1=\xi_1, \qquad x_2=\xi_2, \qquad x_3=\xi_1^2, \qquad x_4= \xi_2^2, \qquad x_5 = 2 \xi_1 \xi_2,
\end{equation*}
\notag
$$
что равносильно алгебраической невырожденной системе Если же $\eta_0(x)\,{=}\,n$, то $a_3(x)\,{+}\,a_4(x)\,{=}\,0$, и базисом является набор $\{a_1,a_2, a_3,a_5\}$, порождающий пространство $\mathbb{A}^4(0)$ с координатами $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_5$. Слой $\Omega_n^{-1}(0)$ определяется системой Чтобы доказать п. 3, в формуле (3.19) выделим переменную $\Delta\lambda$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &p(\eta_0,\varphi_0,\Delta\lambda) \notag \\ \notag &\ =p_0+\Biggl(-\frac{\displaystyle\eta_0' \sin2\biggl(\varphi_0+\int_0^x\eta_0(t)\,dt\biggr)}{2\eta_0^2}+ \cos2\biggl(\varphi_0+\int_0^x\eta_0(t)\,dt\biggr) \Biggr)\Delta\lambda \\ \notag &\ \qquad +\Biggl(\frac{\displaystyle\sin^22\biggl(\varphi_0+\int_0^x\eta_0(t)\,dt\biggr)}{16\eta_0^2}- \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{\displaystyle\sin^22\biggl(\varphi_0+\int_0^x\eta_0(t)\,dt\biggr)}{16\eta_0^2}\,dx \Biggr)\Delta\lambda^2 \\ &\ =p_0(x) + b_1(x)\Delta\lambda + b_2(x) \Delta\lambda^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Из линейной независимости функциональных коэффициентов $b_1$, $b_2$ следует утверждение п. 3. Наконец, чтобы доказать п. 4, в формуле (3.19) выделим переменную $\varphi$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &p(\eta_0,\varphi,\Delta\lambda_0) \notag \\ &\qquad=p_0+\frac{\Delta\lambda_0^2}{32} \biggl(\frac{1}{\eta_0(x)} - \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{dx}{\eta_0^2(x)}\biggr) \notag \\ \notag &\qquad\qquad+\Delta\lambda_0\biggl(-\frac{\eta_0'}{2\eta_0^2} \sin2\int_0^x\eta_0(t)\,dt + \cos2\int_0^x\eta_0(t)\,dt\biggr) \cos2\varphi \\ \notag &\qquad\qquad+\Delta\lambda_0\biggl(-\frac{\eta_0'}{2\eta_0^2} \cos2\int_0^x\eta_0(t)\,dt - \sin2\int_0^x\eta_0(t)\,dt\biggr)\sin2\varphi \\ \notag &\qquad\qquad+\frac{\Delta\lambda_0^2}{32}\Biggl(-\frac{1}{\eta_0^2} \cos4\int_0^x\eta_0(t)\,dt - \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}\frac{\displaystyle\cos4\int_0^x\eta_0(t)\,dt}{\eta_0^2}\,dx\Biggr)\cos4\varphi \\ \notag &\qquad\qquad+\frac{\Delta\lambda_0^2}{32}\Biggl(\frac{1}{\eta_0^2} \sin4\int_0^x\eta_0(t)\,dt - \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}\frac{\displaystyle\sin4\int_0^x\eta_0(t)\,dt}{\eta_0^2}\,dx\Biggr)\sin4\varphi \\ &\qquad=p_0(x)+\Delta\lambda_0^2c_0(x)+c_1(x)\cos2\varphi + c_2(x)\sin2\varphi + c_3(x)\cos4\varphi + c_4(x)\sin4\varphi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
В аффинном пространстве $\mathbb{A}^4(p_0,\Delta\lambda_0)$, порожденном точкой $p_0+\Delta\lambda_0^2c_0$ и базисом $\{c_1, \dots, c_4\}$, “петля начальных углов” имеет параметризацию
$$
\begin{equation*}
y_1=\cos2\varphi, \qquad y_2=\sin2\varphi, \qquad y_3=\cos4\varphi, \qquad y_4= \sin4\varphi,
\end{equation*}
\notag
$$
что равносильно алгебраической невырожденной системе
$$
\begin{equation*}
y_1^2+y_2^2=1, \qquad y_3=y_1^2-y_2^2, \qquad y_4=2y_1y_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение п. 5 следует из п. 2, (b) теоремы 5 и коммутативности диаграммы (3.13). Теорема 6 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DymBon21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|