| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Пространства орбит действий тора на многообразиях Хессенберга В. В. Черепанов Факультет компьютерных наук, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 12, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9278 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение и постановка задачиРассматриваются гладкие эффективные действия компактного тора $T^k$ на гладких компактных многообразиях $M^{2n}$ четной размерности с изолированными неподвижными точками. В данных обозначениях число $d=n - k$ называется сложностью действия. Действия сложности нуль активно изучаются в торической топологии (см., например, [10], [11], [15]), а действия положительной сложности изучаются в основном с точки зрения алгебраической и симплектической геометрии. В работах В. М. Бухштабера и С. Терзич (см. [7], [8], а также более раннюю работу [9]) был поставлен вопрос о топологии пространства орбит действий положительной сложности. В этих работах они показали, что пространство орбит действия тора на комплексном многообразии Грассмана $G_{4,2}$ и на многообразии полных комплексных флагов $\mathrm{Fl}_3$ гомеоморфны сферам $S^5$ и $S^4$ соответственно. В работе [1] было показано, что в случае сложности действия $d=1$ для действий торов в общем положении (т.е. в случае максимальной линейной независимости весовых векторов касательного представления) пространство орбит является топологическим многообразием, что выполнено для этих примеров. В этой работе мы докажем обобщение результата работы [1] на случай действий не в общем положении. Оказывается, что в общем случае пространство орбит действия сложности $d=1$ имеет структуру многообразия с углами, т.е. с топологической точки зрения оно является многообразием с краем. Кроме того, введя естественное разбиение по типу стабилизаторов, мы явно опишем, орбиты каких элементов разбиения попадают на границу пространства орбит. Также мы приведем обобщение результата Й. Каршон и С. Толман (см. [17]) о пространствах орбит гамильтоновых действий тора сложности 1 для действий не в общем положении. Метод, изложенный в их работе, также позволяет определить топологию пространств орбит с помощью многогранника моментов $\mu(M^{2n})$. Отметим также, что аналогичные результаты для гладких алгебраических многообразий были получены в работе [22]. Мы применим полученные результаты к конкретным примерам многообразий матриц $M_h$ специального вида (определяемого функцией Хессенберга $h$, см. [3]) с фиксированным простым спектром. Такие многообразия имеют каноническое действие тора, сложность которого положительна, если только многообразие не совпадает с многообразием изоспектральных трехдиагональных эрмитовых матриц; условие общего положения для них не выполнено, поэтому в случае действий сложности 1 пространства орбит являются топологическими многообразиями с краем. Оказывается (см. [3]), что для каждого такого многообразия $M_h$ имеется “двойник” $H_h$ – регулярное полупростое многообразие Хессенберга, также определяемое функцией $h$, а пространства орбит $M_h / T^k$ и $H_h / T^k$ при этом гомеоморфны. Мы явно опишем гомотопический тип пространства орбит матричных многообразий $M_h$ в случае матриц $4 \times 4$ и $5 \times 5$ и действия сложности $d=1$; это будет соответствовать случаю многообразий Хессенберга $H_h$ в $\mathbb{C}^4$ и $\mathbb{C}^5$. § 2. Разбиение по типу орбит и действия торов сложности 1Рассмотрим гладкое эффективное действие тора $T=T^k$ на гладком компактном многообразии $M= M^{2n}$. Введем понятие разбиения по типу стабилизатора. Мы будем называть элементом разбиения связную компоненту множества где $T_x$ – стабилизатор точки $x$. Обозначим $V_{G,i}$ элементы разбиения, соответствующие $M^{(G)}$, а само разбиение $M=\bigsqcup V_{G,i}$.Следуя работе [1], будем рассматривать действия, удовлетворяющие следующим условиям: – неподвижные точки действия изолированы; – (условие связности стабилизаторов) для каждой точки $x \in M^{2n}$ ее стационарная подгруппа $T_x$ является некоторым подтором тора $T^k$; – (условие примыкания орбит) для каждого элемента разбиения $V_{G,i}$ (кроме неподвижных точек, т.е. элементов с $G=T^k$) его замыкание содержит точку $x'$ со стабилизатором большей размерности, т.е. $\dim(T_{x'}) > \dim(T_x)$ для точек $x \in V_{G,i}$ (в данном случае $T_x=G$ – подтор в $T^k$ в силу предыдущего условия). Данные условия необходимы в [1; теорема 2.10], поскольку в таком случае для построения структуры топологического многообразия для пространства орбит достаточно построить ее в окрестностях неподвижных точек. Далее в теореме 2.7 мы увидим, что данный подход также позволяет изучать пространство орбит локально и в случае действий не в общем положении. В частности, таким образом можно построить фильтрацию, для которой оно является топологическим многообразием с углами. Для каждой неподвижной точки $x \in M^T$ тор $T^k$ действует линейными операторами на касательном пространстве $T_x (M^{2n})$ – иными словами, мы имеем касательное представление $T^k$ в неподвижной точке $x$. Оно распадается в сумму неприводимых двумерных вещественных представлений:
$$
\begin{equation}
T_x (M^{2n}) \cong V(\alpha_1) \oplus \dots \oplus V(\alpha_n),
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\alpha_i \in \operatorname{Hom}(T^k, S^1) \cong \mathbb{Z}^k$ – весовые векторы неприводимых представлений, а сами представления задаются стандартным действием окружности поворотами на двумерном вещественном пространстве. Каждое из них можно отождествить с комплексным пространством $\mathbb{C}$ так, что действие элемента $t \in T^k$ на $z \in \mathbb{C}$ задается умножением комплексных чисел $\alpha_i(t) \cdot z$. Таким образом, мы имеем представление $T^k$ на $\mathbb{C}^n$, однако отметим, что такое отождествление $T_x (M^{2n})$ с $\mathbb{C}^n$, вообще говоря, зависит от выбора точки $x \in M^T$. Отметим также, что каждый весовой вектор $\alpha_i$ определен с точностью до знака, если на многообразии $M^{2n}$ не зафиксирована комплексная структура, однако выбор знаков векторов $\alpha_i$ в дальнейшем не будет существенным. Дадим теперь определение действия в общем положении. Определение 2.1. Мы будем говорить, что весовые векторы $\alpha_1, \dots, \alpha_n{\in}\, \mathbb{Z}^k$, $n>k$, находятся в общем положении, если любые $k$ векторов из этой системы линейно независимы. Будем называть действие $T^{k}$ на $M^{2n}$ действием в общем положении, если весовые векторы касательных представлений в каждой неподвижной точке находятся в общем положении. Заметим, что в случае действий сложности $d=1$ мы имеем $n$ целочисленных векторов $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ в $(n-1)$-мерном пространстве. Поэтому существует линейное соотношение: для некоторых $c_i \in \mathbb{Z}$, притом можно считать, что наибольший общий делитель $\mathrm{gcd}(c_1, \dots, c_n)=1$. Такое соотношение определено единственным образом с точностью до знака. При этом весовые векторы $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ в общем положении тогда и только тогда, когда $c_i \neq 0$ для всех $i$.Определение 2.2. Будем называть число нулевых коэффициентов $c_i$ в соотношении (2.3) степенью вырожденности весовых векторов $\alpha_1, \dots, \alpha_n$. Таким образом, для действий в общем положении степень вырожденности равна нулю. В общем случае она характеризует, насколько действие далеко от общего положения: мы покажем в дальнейшем (см. теорему 2.7), что степень вырожденности определяет, какому элементу фильтрации по типу грани принадлежит орбита точки. Имеет место следующая теорема (см. [1; теорема 2.10]), касающаяся пространств орбит действий сложности $d=1$. Теорема 2.3. Пусть действие тора $T^{n-1}$ на $M^{2n}$ в общем положении. Тогда пространство орбит $Q= M^{2n} / T^{n-1}$ имеет структуру топологического многообразия. Примерами таких действий являются действие тора $T^3$ на комплексном многообразии Грассмана $G_{4,2}$ и действие тора $T^2$ на многообразии полных комплексных флагов $\mathrm{Fl}_3$. В этих случаях пространства орбит были описаны в работах [7] и [8]: они являются топологическими сферами, т.е.
$$
\begin{equation}
G_{4,2} / T^3 \cong S^5, \qquad \mathrm{Fl}_3 / T^2 \cong S^4.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Также в работе [2] имеются следующие примеры действий сложности $1$: действие тора $T^3$ на двумерной кватернионной проективной плоскости $\mathbb{H}P^2$, а также дейстие тора $T^2$ на сфере $S^6$, рассматриваемой как пространство орбит специальной группы $G_2$ по подгруппе $\mathrm{SU}(3)$. Аналогично имеются следующие гомеоморфизмы:
$$
\begin{equation}
\mathbb{H}P^2 / T^3 \cong S^5, \qquad S^6 / T^2 \cong S^4.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Пусть теперь тор $T$ действует на $M$ не в общем положении, т.е. существует неподвижная точка $x \in M^T$, для которой среди весовых векторов $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ касательного представления имеется $n-1$ линейно зависимых. Мы покажем, что в этом случае пространство орбит является топологическим многообразием с углами в смысле определения 2.5, для которого мы дадим следующую конструкцию. Конструкция 2.4. Определим естественную фильтрацию на угле $X=\mathbb{R}_{\geqslant 0}^n$ следующим образом: $X_i= (\mathbb{R}_{\geqslant 0}^n)_i$ для $i=0, \dots, n$ – объединение всех граней угла $\mathbb{R}_{\geqslant 0}^n$, размерности которых не превышают $i$. Положим также по определению $(\mathbb{R}_{\geqslant 0}^n)_i= \varnothing$ при $i < 0$ и $(\mathbb{R}_{\geqslant 0}^n)_i=\mathbb{R}_{\geqslant 0}^n$ при $i > n$. Говоря о фильтрации открытого подмножества $V \subset X$, мы будем подразумевать фильтрацию, индуцированную естественной на $X$, т.е. $V_i=V \cap X_i$ для $i=0, \dots, n$. Определение 2.5. Топологическое пространство $X$ с фильтрацией $X_0 \subset X_1 \subset \dots \subset X_{n-1} \subset X_n=X$ называется $n$-мерным топологическим многообразием с углами, если: 1) $X$ является топологическим многообразием с краем, т.е. каждая точка $x \in X$ имеет окрестность $U$, гомеоморфную пространству $\mathbb{R}^n$ либо полупространству $\mathbb{R}^{n-1}\times \mathbb{R}_{\geqslant 0}$ посредством некоторого гомеоморфизма $\phi_x$; 2) для каждой точки $x$ существуют окрестность $U \subset X$ и открытое множество $V \subset \mathbb{R}_{\geqslant 0}^n$ такие, что гомеоморфизм $\phi_x$ согласован с индуцированными фильтрациями на $U$ и $V$, т.е. сужение $\phi_x$ на множество $U_i=U \cap X_i$ является гомеоморфизмом на $V_i=V \cap (\mathbb{R}_{\geqslant 0}^n)_i$. Будем также называть связные компоненты замыканий $\overline{X_i \setminus X_{i-1}}$ гранями многообразия с углами $X$. Таким образом, топологические многообразия с углами в смысле этого определения являются топологическими многообразиями, у которых край локально моделируется естественной фильтрацией на угле $\mathbb{R}_{\geqslant 0}^n$. Нетрудно также убедиться, что в класс таких пространств входят гладкие многообразия с углами (см. [18], [16]) – в частности, например, выпуклые простые многогранники в евклидовом пространстве. Отметим также, что $X_i$ могут быть пустыми вплоть до некоторой размерности. В частности, топологическое многообразие с краем является многообразием с углами в смысле данного определения: для него $X_i=\varnothing$ при $i \leqslant n-2$. Для того чтобы показать, что в случае действий не в общем положении пространство орбит имеет структуру топологического многообразия с углами, докажем сначала следующее локальное утверждение. Лемма 2.6. Пусть для представления тора $T^{n-1}$ на $\mathbb{C}^n$ весовые векторы $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ находятся не в общем положении. Тогда для $U=\mathbb{C}^n / T^{n-1}$ существует фильтрация $U_0 \subset \dots \subset U_{n+1}=U$ такая, что для некоторого открытого $V \subset \mathbb{R}_{\geqslant 0}^{n+1}$ имеется гомеоморфизм $U \cong V$, согласованный с фильтрациями. Доказательство. Для доказательства нам потребуется реализовать тор $T=T^{n-1}$ как подтор в торе $G= T^n$, действующем на $\mathbb{C}^n$ стандартным образом. Существуют такие $c_i \in \mathbb{Z}$, что выполнено соотношение (2.3) на весовые векторы, притом $\mathrm{gcd}(c_1, \dots, c_n)=1$; поскольку действие не в общем положении, какие-то коэффициенты $c_i$ равны нулю, т.е. степень вырожденности положительна. Можно считать, что $c_i=0$ для $i \in \{1, \dots, m\}$ и $c_i \neq 0$, т.е. с не равными нулю коэффициентами. Теперь действие подтора, заданного в $G$ уравнением совпадает с действием тора $T$ на $\mathbb{C}^n$. Имеем следующую диаграмму, связывающую действия $T$ и $G$: – в ней пунктирная стрелка означает отображение дофакторизации пространства $U$ по дополнительному для $T$ тору $G/T$ – в данном случае $G/T=S^1$.
По виду уравнения (2.7) можно заключить, что $T$ содержит в точности $m$ координатных окружностей, так что действие $T$ разделяется на действия на декартовых множителях: $T= T_{\text{ст}} \times T_{\text{общ}} \curvearrowright \mathbb{C}^m \times \mathbb{C}^{n-m}$, где $T_{\text{ст}}$ и $T_{\text{общ}}$ есть торы размерностей $m$ и $n-m-1$ соответственно. Действие $T_{\text{ст}} \curvearrowright \mathbb{C}^m$ стандартно, поэтому его пространство орбит есть $\mathbb{R}_{\geqslant 0}^m$. Нетрудно также видеть, что действие $T_{\text{общ}} \curvearrowright \mathbb{C}^{n-m}$ является действием тора сложности 1 в общем положении на $\mathbb{C}^{n-m}$, поскольку оно будет также задаваться уравнением (2.7). Таким образом, его пространство орбит $\mathbb{C}^{n-m} / T_{\text{общ}}$ гомеоморфно $\mathbb{R}^{n-m+1}$ (см. [1; лемма 2.11]). Следовательно, $U$ гомеоморфно $V=\mathbb{R}^{n-m+1} \times \mathbb{R}_{\geqslant 0}^m$ посредством некоторого отображения $\phi$. Отметим теперь, во-первых, что $V$ можно рассматривать как открытое подмножество угла $\mathbb{R}_{\geqslant 0}^{n+1}$. Во-вторых, в таком случае фильтрация, индуцированная с $\mathbb{R}_{\geqslant 0}^{n+1}$, задается как $V_i=\mathbb{R}^{n-m+1} \times (\mathbb{R}_{\geqslant 0}^m)_{i-n+m-1}$. Определим теперь на $U$ фильтрацию – прообраз $U_i=\phi^{-1}(V_i)$. Теперь легко видеть, что $\phi$ есть требуемый гомеоморфизм, согласованный с фильтрациями в силу их определений. Лемма доказана. Отметим существенное свойство фильтрации, построенной в лемме 2.6: принадлежность орбиты $T x \in U$ элементу разбиения $U_i \setminus U_{i-1}$ в точности определяется стабилизатором точки $x$. Действительно, нетрудно видеть из определения фильтрации на $V$, что в множестве $V_i \setminus V_{i-1}$ лежат те точки, для которых стационарная подгруппа $T_x$ содержит в точности $n+1-i$ координатных окружностей, соответствующих координатам $1, \dots, m$. Это эквивалентно условию $\dim (T_x \cap T_{\text{ст}})=n+1-i$. Оказывается, это условие можно охарактеризовать в терминах весовых векторов следующим образом. Рассмотрим на $\mathbb{C}^n$ разбиение по типу стабилизатора. Нетрудно видеть, что элементы разбиения будут даваться линейными подпространствами вида
$$
\begin{equation}
\{( \underbrace{*, \dots, *, \overbrace{0, \dots, 0}^{s\geqslant 0}}_{m}, \underbrace{*, \dots, *}_{n-m})\},
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
$$
\begin{equation}
\{( \underbrace{*, \dots, *, \overbrace{0, \dots, 0}^{s\geqslant 0}}_{m}, \underbrace{*, \dots, *, \overbrace{0, \dots, 0}^{t\geqslant 2}}_{n-m})\},
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
поскольку стабилизатор точки определяется множеством нулей по первым $m$ координатам, количество которых равно $s\geqslant 0$, и множеством нулей по оставшимся $n-m$ координатам, количество которых может быть либо $0$, либо $t\geqslant 2$. Поскольку мы в дальнейшем увидим, что результат будет зависеть только от чисел $s, t$, мы считаем без ограничения общности, что координаты упорядочены, как в (2.8) и (2.9), т.е. в соответствующих подпространствах сначала записаны ненулевые координаты. Для каждой точки $x\in \mathbb{C}^n$ стабилизатор $T_x$ действует на нормальном пространстве к элементу разбиения, содержащему $x$. Притом если элемент разбиения для точки $x$ имеет вид (2.8), то нормальное пространство имеет вид
$$
\begin{equation}
\{( \underbrace{0, \dots, 0, \overbrace{*, \dots, *}^{s\geqslant 0}}_{m}, \underbrace{0, \dots, 0}_{n-m})\}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
и действие стабилизатора на нем есть действие стандартного тора размерности $s$. Если же элемент разбиения имеет вид (2.9), то на нормальном пространстве
$$
\begin{equation}
\{( \underbrace{0, \dots, 0, \overbrace{*, \dots, *}^{s\geqslant 0}}_{m}, \underbrace{0, \dots, 0, \overbrace{*, \dots, *}^{t\geqslant 2}}_{n-m})\}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
действует тор сложности 1, его действие по первым $s$ ненулевым координатам является стандартным, а по оставшимся $t$ ненулевым это действие тора размерности $t-1$ в общем положении. Данное рассуждение позволяет определить тип орбиты $Tx$ в разбиении по типу грани на $U$ по действию на нормальном пространстве. Данный тип определяется размерностью $\dim (T_x \cap T_{\text{ст}})$ или, что эквивалентно, количеством нулей $s$ по первым $m$ координатам. Рассмотрим действие $T_x$ на нормальном пространстве к элементу разбиения по типу стабилизатора, содержащему $x$. Если это действие сложности 0, что отвечает действию на (2.10), то $s=\dim(T_x)$. Если это действие сложности 1, что соответствует случаю (2.11), то $s$ есть степень вырожденности весовых векторов действия. В этих случаях в действительности $Tx \in U_{n+1-s} \setminus U_{n-s}$. Оказывается, что данное локальное утверждение позволяет построить структуру многообразия с углами на пространстве орбит действия сложности 1 в общем случае действий компактного тора $T$ на гладком многообразии $M$. Теорема 2.7. Пусть фильтрация $Q_0 \subset \dots \subset Q_{n+1}=Q$ пространства орбит $Q=M / T$ задана следующим образом. Обозначим $V_{T_x, i}$ элемент разбиения по типу стабилизатора, содержащий $x$. Будем полагать, что $Tx \in Q_{n+1-s} \setminus Q_{n-s}$, если выполнено одно из следующих условий. 1. Нормальное представление $T_x$ на $T_x M / T_x (V_{T_x, i})$ имеет сложность 0, и $s= \dim(T_x)$. 2. Нормальное представление $T_x$ на $T_x M / T_x (V_{T_x, i})$ имеет сложность 1, и $s$ есть степень вырожденности весовых векторов этого действия. Тогда пространство орбит $Q$ является $(n+1)$-мерным топологическим многообразием с углами для этой фильтрации. Доказательство. Для доказательства мы построим фильтрацию $Q_0 \subset \dots \subset Q_{n+1}=Q$ с помощью леммы 2.6, а затем покажем, что она имеет требуемый вид. В силу теоремы о слайсе (см., например, [14; теорема I.5]) у каждой неподвижной точки есть окрестность, эквивариантно диффеоморфная касательному представлению в этой точке. Таким образом, в силу леммы 2.6 у образа каждой неподвижной точки в $Q$ есть окрестность с фильтрацией.
Возьмем теперь точку $y \in V_{G,i}$ для $G \neq T$. Из условия примыкания орбит следует, что замыкание $\overline{V}_{G,i}$ содержит неподвижную точку $x$. Обозначим $U$ окрестность $Tx$ с фильтрацией множествами $U_i$ из леммы 2.6, а $\phi\colon U\to V$ – соответствующий гомеоморфизм на открытое множество $V\subset \mathbb{R}_{\geqslant 0}^{n+1}$. Введем также эквивариантную окрестность $W \subset M$ такую, что $T W=U \subset Q$, и ее фильтрацию множествами $W_i$ такими, что $T W_i= U_i$. Поскольку $x \in \overline{V}_{G,i}$, существует близкая к ней точка $x' \in V_{G,i}$, лежащая также в $W$. Отметим, что в силу теоремы о слайсе структура орбит в окрестностях точек $y$ и $x'$ одинакова (их малые окрестности эквивариантно диффеоморфны), так как они принадлежат одному элементу разбиения $V_{G,i}$. Поэтому в действительности для доказательства достаточно показать, что у точки $Tx'\in Q$ есть окрестность требуемого вида. Возьмем произвольную окрестность $W'$ точки $x'$ такую, что $W' \subset W$. Тогда фильтрация окрестности $W$ индуцирует фильтрацию на $W'$, т.е. $W'_i=W_i\cap W'$. Определим теперь $U'_i=T W'_i$. Тогда фильтрация $U'_0 \subset \dots \subset U'_{n+1}$ подчинена фильтрации окрестности $U$, т.е. $U'_i \subset U_i$. Положим теперь $V'=\phi(U') \subset \mathbb{R}_{\geqslant 0}^{n+1}$. Нетрудно видеть, что сужение $\phi$ на множество $U'$ будет искомым гомеоморфизмом, согласованным с фильтрациями в силу определения. Таким образом, выбирая для исходной точки $y$ окрестность, эквивариантно диффеоморфную окрестности $W'$, мы заключаем, что в окрестности точки $Ty \in Q$ для всех $y$ пространство орбит является топологическим многообразием с углами для фильтрации $Q_0 \subset \dots \subset Q_{n+1}= Q$, построенной таким образом. Отметим, что фильтрация имеет искомый вид для точек $x'$ из окрестности $W$ неподвижной точки $x$. Действительно, в силу рассуждений после леммы 2.6, мы имеем $Tx' \in Q_{n+1-s} \setminus Q_{n-s}$ тогда и только тогда, когда для действия $T_{x'}$ на нормальном пространстве к элементу разбиения $V_{T_{x'}, i}$ выполнено одно из условий из формулировки теоремы. Для произвольной точки $y$ построенная фильтрация имеет требуемый вид, поскольку она имеет окрестность, эквивариантно диффеоморфную окрестности $W' \subset W$. Теорема доказана. Отметим в заключение, что степень вырожденности весовых векторов нормального представления в произвольной точке не больше таковой для любой примыкающей неподвижной точки (неподвижной точки, которая лежит в замыкании соответствующего элемента разбиения). Для неподвижной точки она не может быть больше $n-2$, поскольку условие изолированности неподвижных точек эквивалентно тому, что все весовые векторы ненулевые. Поэтому имеет место следующее предложение. Предложение 2.8. Для фильтрации $Q_0 \subset \dots \subset Q_{n+1}=Q$ выполнено $Q_i\,{=}\,\varnothing$ при $i=0, 1, 2$. § 3. Изоспектральные многообразия ступенчатых матрицРассмотрим векторное пространство $\operatorname{Mat}_{n \times n} (\mathbb{C})$ комплексных матриц размера $n \times n$. Определим в нем подмногообразие $\operatorname{Herm}(\Lambda) \subset \operatorname{Mat}_{n \times n} (\mathbb{C})$ эрмитовых матриц с фиксированным спектром $\Lambda=(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$, который мы здесь и в дальнейшем будем предполагать простым, т.е. $\lambda_i \neq \lambda_j$ при $i \neq j$. Как подмногообразие, оно описывается системой уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \operatorname{tr}(A)={\displaystyle\sum_i \lambda_i}, \\ \operatorname{tr}(A^2)={\displaystyle\sum_i \lambda_i^2}, \\ \dots\dots\dots\dots\dots \\ \operatorname{tr}(A^n)={\displaystyle\sum_i \lambda_i^n}, \\ A^T=\overline{A}; \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
первые $n$ уравнений в точности определяют спектр $\operatorname{Spec}(A)$, а последнее условие есть условие эрмитовости. В действительности, $\operatorname{Herm}(\Lambda)$ диффеоморфно пространству полных комплексных флагов $\mathrm{Fl}_n$, поскольку оно является фактором свободного действия максимального тора $T^n$ на унитарной группе $U(n)$. На многообразии $\operatorname{Herm}(\Lambda)$ имеется естественное действие тора размерности $n$ – действие сопряжениями: для $t\,{=}\,(t_1, \dots, t_n) \,{\in}\, T^n$ и $A\,{\in}\, \operatorname{Herm}(\Lambda)$ действие задается $A \xrightarrow{t} T A T^{-1}$, где $T= \operatorname{diag}(t_1, \dots, t_n)$. Диагональ тора $\Delta(T^n)$ действует неэффективно, имеем эффективное действие тора $T^{n-1}=T^n / \Delta(T^n)$. Для определения многообразия изоспектральных ступенчатых матриц $M_h$ нам потребуется дать следующее определение. Определение 3.1. Функция $h\colon [n] \to [n]$ называется функцией Хессенберга, если 1) $h(i) \geqslant i$ для $i=1, \dots, n$; 2) $h(i+1) \geqslant h(i)$ для $i=1, \dots, n-1$. Зафиксируем теперь некоторую функцию Хессенберга $h$ и определим многообразие $M_h \subset \operatorname{Herm}(\Lambda)$ условиями: $a_{ij}=0$ для $j > h(i)$ – матрицы из $M_h$ имеют ступенчатый вид (отметим, что в силу эрмитовости $a_{ij}=0$ влечет $a_{ji}=0$). Пример 3.2. Для функции Хессенберга $h$ с вектором значений $(2, 3, 3, 6, 6, 6)$ многообразие Хессенберга $M_h$ состоит из матриц такого вида: В работе [3] было показано, что для всех функций Хессенберга $h$ подмногообразие $M_h$ в действительности является гладким многообразием. Его размерность есть $\dim_{\mathbb{R}} M_h= \sum_{i} 2 (h(i) - i)$. Уравнения $a_{ij}=0$ инвариантны относительно действия тора на $\operatorname{Herm}(\Lambda)$, так что мы имеем естественное действие тора $T^{n-1}$ сопряжениями на $M_h$. Сложность действия $d=\sum_{i} (h(i) - i) - n$. К классу таких подмногообразий относится, например, подмногообразие трехдиагональных эрмитовых изоспектральных матриц, вещественная часть которого – это многообразие Томеи, см. [23]. На нем действует тор половинной размерности, а в действительности оно является квазиторическим над пермутоэдром [12]. Многообразия изоспектральных матриц специального вида изучались также, например, в работах [19], [20]. Мы будем рассматривать многообразия $M_h$ с $d=1$. Кроме того, потребуем, чтобы они были неприводимыми, т.е. $h(i) > i$. Как легко видеть, такие $M_h$ являются многообразиями матриц трехдиагонального вида с одним ненулевым элементом непосредственно над трехдиагональной частью, т.е. матрицы, соответствующие функциям Хессенберга $h\colon [n] \to [n]$ со следующим свойством: $h(i)= i+1$ для всех $i$ кроме $i_0 \in \{1, \dots, n-2 \}$, для которого $h(i_0)=i_0+2$. Мы покажем, что при $n \geqslant 4$ для таких многообразий условие действия в общем положении не выполнено в каждой неподвижной точке. Возьмем неподвижную точку действия – диагональную матрицу $\operatorname{diag}(\lambda_{\sigma(1)}, \dots, \lambda_{\sigma(n)})$. В силу линеаризации, построенной в [3; лемма 4.5], веса неприводимых представлений задаются как $\alpha_{ij}=e_i - e_j$ для всех пар индексов $i < j$, для которых $j \leqslant h(i)$ ($e_k$ – вектор, в котором единственная ненулевая компонента под номером $k$ равна 1). Поскольку существует $i_0$ такой, что $a_{i_0,\,i_0+2} \neq 0$, то также $a_{i_0,\,i_0+1} \neq 0$ и $a_{i_0+1,\,i_0+2} \neq 0$ в силу определения функций Хессенберга. Поэтому имеется нетривиальная линейная зависимость между соответствующими весовыми векторами:
$$
\begin{equation}
-\alpha_{i_0,\,i_0+2} + \alpha_{i_0,\,i_0+1} + \alpha_{i_0+1,\,i_0+2}=0.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Таким образом, весовые векторы будут в общем положении, если только кроме тройки $\alpha_{i_0,\,i_0+2}$, $\alpha_{i_0,\,i_0+1}$, $\alpha_{i_0+1,\,i_0+2}$ не существует других весовых векторов. Это в точности отвечает случаю $n=3$ – многообразию полных комплексных флагов в $\mathbb{C}^3$. Действительно, в этом случае в каждой неподвижной точке весовые векторы в общем положении, а пространство орбит гомеоморфно сфере $S^4$, как отмечалось ранее. Итак, верно следующее предложение. Предложение 3.3. При $n \geqslant 4$ на многообразии $M_h$ для функций $h$, для которых сложность действия $d=1$, тор $T^{n-1}$ действует не в общем положении. Более того, весовые векторы касательного представления в каждой неподвижной точке не находятся в общем положении. Таким образом, в силу теоремы 2.7 пространство орбит $M_h / T$ для таких многообразий будет топологическим многообразием с углами. Приведенное выше рассуждение можно обобщить для произвольных функций Хессенберга. В самом деле, если $h(i_0) > i_0+1$ для некоторого $i_0 \in \{1, \dots, n-1\}$, то аналогично предыдущему будет существовать тройка линейно зависимых весов. В случае $n \geqslant 4$ это означает, что весовые векторы не являются максимально линейно независимыми. Таким образом, верно более общее предложение. Предложение 3.4. При $n \geqslant 4$ действие тора $T^{n-1}$ на многообразии $M_h$ является действием в общем положении, только если $h(i)=i+1$ для всех $i \in \{1, \dots, n-1\}$, т.е. только в случае трехдиагональных матриц. Опишем теперь в качестве примера пространство орбит для функции $h=(3, 3, 4, 4)$. Многообразие $M_h$ есть множество изоспектральных эрмитовых матриц вида
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} a_1 & b_{12} & b_{13} & 0 \\ \overline{b}_{12} & a_2 & b_{23} & 0 \\ \overline{b}_{13} & \overline{b}_{23} & a_3 & b_{34} \\ 0 & 0 & \overline{b}_{34} & a_4 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Докажем, что граница пространства орбит $\partial(M_h/T) \cong \bigsqcup_{i=1}^4 S^4$, т.е. представляется несвязной суммой четырех 4-сфер. Для этого мы воспользуемся идеей доказательства теоремы 2.7 и проанализируем действие локально в окрестности неподвижных точек. Действительно, в каждой неподвижной точке имеется четыре весовых вектора $\alpha_{12}$, $\alpha_{13}$, $\alpha_{23}$, $\alpha_{34}$, притом первые три из них линейно зависимы, т.е. степень вырожденности $m=1$. В таком случае пространство орбит в окрестности образа каждой неподвижной точки представляется как $\mathbb{R}_{\geqslant 0}^1 \times \mathbb{R}^4$. Значит, как многообразие с углами, пространство орбит $Q=M_h/T$ будет в сущности многообразием с краем. Около каждой неподвижной точки действие задается как действие $T=T^1 \times T^2$ на $\mathbb{C}^1 \times \mathbb{C}^3$, притом действие на первом сомножителе стандартно, а на втором в общем положении. Таким образом, на границу пространства орбит попадают точки $x$, у которых стабилизатор содержит подтор $T^1$, который отвечает весовому вектору $\alpha_{34}$. Нетрудно понять, что все точки с таким свойством – это в точности матрицы с $b_{34}=0$, т.е. вида
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} a_1 & b_{12} & b_{13} & 0 \\ \overline{b}_{12} & a_2 & b_{23} & 0 \\ \overline{b}_{13} & \overline{b}_{23} & a_3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_i \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где $\lambda_i$ – одно из чисел спектра. Таким образом, имеем четыре элемента разбиения $V_{T^1,i}$ для $i=1, \dots, 4$, которые попадают на границу. Каждый такой элемент эквивариантно диффеоморфен пространству полных комплексных флагов $\mathrm{Fl}_3$, так что в нашем случае имеем гомеоморфизм $V_{T^1,i}/T \cong \mathrm{Fl}_3/T \cong S^4$; притом поскольку элементы $V_{T^1, i}$ не пересекаются, вся граница $\partial(M_h/T)$ распадется на четыре копии сферы $S^4$. В дальнейшем мы покажем, что само пространство орбит $M_h/T$ гомотопически эквивалентно $S^5 \setminus (\bigsqcup_{i=1}^4 D^5)$, т.е. дополнению до четырех непересекающихся открытых 5-дисков в 5-сфере, однако для этого нам потребуется перейти к рассмотрению алгебраических многообразий Хессенберга и гамильтоновых действий. § 4. Гамильтоновы действия сложности 1Пусть теперь $T=T^k$ действует на симплектическом многообразии $M=M^{2n}$ с симплектической формой $\omega$ (см. [13] для общих сведений о симплектической геометрии). Будем рассматривать гамильтоновы действия, т.е. такие, что существует отображение моментов $\mu\colon M \to \mathfrak{t}^* \cong \mathbb{R}^k$, где $\mathfrak{t}$ есть алгебра Ли тора $T^k$, и выполнены уравнения Гамильтона где $\eta \in \mathfrak{t}$ – элемент алгебры Ли $\mathfrak{t}$, $\eta_M={d}/{dt}|_{t=0}\exp(t \eta)$ – порожденное им векторное поле, $\iota$ – операция подстановки векторного поля, а $\mu^\eta (x)= \langle\mu(x), \eta\rangle$ – каноническое спаривание элементов $\mathfrak{t}$ и $\mathfrak{t}^*$. Для действий сложности $d=1$ верна следующая теорема, см. [17; теорема 2.14].Теорема 4.1. Пусть гамильтоново действие $T^{n-1}$ на $M^{2n}$ удовлетворяет условию общего положения. Тогда пространство орбит $M^{2n} / T^{n-1}$ гомеоморфно сфере $S^{n+1}$. Таким образом, действия $T^3 \curvearrowright G_{4, 2}$ и $T^2 \curvearrowright \mathrm{Fl}_3$ являются примерами общей ситуации гамильтоновых действий на симплектических многообразиях. Мы же рассмотрим в дальнейшем алгебраические многообразия Хессенберга, действия тора на которых хоть и являются гамильтоновыми, но не удовлетворяют условию общего положения. Для таких действий мы докажем следующую модификацию теоремы 4.1. Теорема 4.2. Пусть гамильтоново действие $T^{n-1}$ на $M^{2n}$ не является действием в общем положении. Тогда пространство орбит $Q=M^{2n} / T^{n-1}$ гомотопически эквивалентно $S^{n+1} \setminus (U_1 \sqcup \dots \sqcup U_l)$ – дополнению до объединения непересекающихся открытых связных областей $U_i$ в $(n+1)$-сфере. Доказательство. Поскольку отображение моментов $\mu$ постоянно на орбитах, то определено приведенное отображение моментов $\overline \mu \colon Q \to P \subset \mathbb{R}^{n-1}$ ($P=\mu(M^{2n})$ – многогранник моментов, а $\pi$ – естественная проекция на пространство орбит):
В [17; лемма 2.8] доказано, что прообраз $\overline \mu ^{-1} (y)$ для точек $y \,{\in}\, \mu (M^{2n})\,{=}\,P$ является либо точкой, либо двумерной сферой, притом выполнены два условия: 1) для внутренних точек $y \in \operatorname{Int} P$ прообраз $\overline \mu ^{-1} (y)$ гомеоморфен 2-сфере; 2) прообразы $\overline \mu ^{-1} (y)$ и $\overline \mu ^{-1} (y')$ гомеоморфны для точек $y$, $y'$, принадлежащих относительной внутренности одной грани. Будем называть грань многогранника $P$ особой, если для точек ее относительной внутренности прообраз $\overline \mu ^{-1} (y)$ гомеоморфен 2-сфере. Точку $y \in P$ мы будем называть особой, если она лежит в относительной внутренности особой грани. Обозначим $F_{\mathrm{sp}}$ множество всех особых точек, а его дополнение $F_{\mathrm{nsp}}$. Также отметим, что грань $F$ является особой тогда и только тогда, когда она является пересечением особых гиперграней $F_{i_1}, \dots, F_{i_k}$ (см. [17; лемма 2.6]). Таким образом, множество $F_{\mathrm{nsp}}$ является замкнутым подмножеством границы $\partial P$. Отметим также, что пространство орбит $Q$ гомеоморфно модели $(P \times S^2)/\!\sim$, где $\sim$ означает “схлопывание” сферы $S^2$ в точку над неособыми точками многогранника $P$ (см. [17; теорема 2.14]). Введем теперь комплекс $Z_{\mathrm{nsp}}$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
Z_{\mathrm{nsp}}=(F_{\mathrm{nsp}} \times D^3) \cup (P^{n-1} \times \partial D^3).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Заметим, что он является подкомплексом $(n+1)$-сферы, поскольку
$$
\begin{equation}
(F_{\mathrm{nsp}} \times D^3) \cup (P^{n-1} \times \partial D^3) \subset (\partial P^{n-1} \times D^3) \cup (P^{n-1} \times \partial D^3)=\partial (P^{n-1} \times D^3),
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
при этом $P^{n-1}\,{\times}\, D^3$ гомеоморфно диску $D^{n+2}$, так что его граница $\partial (P^{n-1} \times D^3) \cong S^{n+1}$. Тогда его дополнение $S^{n+1} \setminus Z_{\mathrm{nsp}}=(F_{\mathrm{sp}} \cap \partial P) \times D^3$. Обозначим $B_1, \dots, B_l$ компоненты связности множества $F_{\mathrm{sp}} \cap \partial P$. Тогда $S^{n+1} \setminus Z_{\mathrm{nsp}}$ гомотопически эквивалентно $U_1 \sqcup \dots \sqcup U_l$, где $U_i=B_i \times D^3$ – открытые в $S^{n+1}$ множества (здесь диск $D^3$ предполагается открытым).
Для завершения доказательства теоремы достаточно отметить, что сам комплекс $Z_{\mathrm{nsp}}$ гомотопически эквивалентен $Q$. Действительно, они являются компактными клеточными комплексами, а отображение $Z_{\mathrm{nsp}} \to Q$, стягивающее 3-диски над множеством $F_{\mathrm{nsp}}$ в точку, является клеточным. Слои этого отображения стягиваемы, поэтому по теореме Смейла (см. [21]) оно является гомотопической эквивалентностью. Теорема доказана. Отметим, что гомотопическая эквивалентность, доказанная в теореме 4.2, позволяет найти когомологии пространства орбит $Q$ в силу двойственности Александера, как мы увидим далее на примере многообразий Хессенберга. Для того чтобы описать пространство орбит $Q$, в силу доказательства теоремы достаточно найти все особые гиперграни, поскольку их всевозможные пересечения в точности дают все особые точки. Для этого в силу [17; лемма 2.4] достаточно найти все гиперграни $F_i$, для которых индуцированное действие тора на $M_{F_i}=\mu^{-1} (F_i)$ имеет сложность 1. § 5. Многообразия ХессенбергаАлгебраические многообразия Хессенберга $\operatorname{Hess}(A, h)$, определяемые линейным оператором $A\colon \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ и функцией Хессенберга $h$, задаются как подмногообразия в многообразии полных комплексных флагов $\mathrm{Fl}_n$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\operatorname{Hess}(A, h)=\bigl\{V_{\bullet}=(V_0, \dots, V_n) \in \mathrm{Fl}_n \mid AV_{i} \subset V_{h(i)} \bigr\}.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Многообразия Хессенберга активно изучаются в алгебраической геометрии (см., например, [6], [5]), а в работе [3] было показано, что $H_h=\operatorname{Hess}(\Lambda, h)$ для оператора $\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$, где $\lambda_i \neq \lambda_j$ для $i \neq j$, в некотором смысле двойственно к $M_h$ – многообразию эрмитовых ступенчатых матриц с простым спектром $\lambda_1, \dots, \lambda_n$, введенному в § 3. В частности, их пространства орбит гомеоморфны, а неразмеченные ГКМ-графы (т.е. 1-остовы разбиения по типу орбит) совпадают. Для наглядности мы будем описывать элементы разбиения по типу стабилизатора для $H_h$ в терминах матриц из $M_h$. Многообразия Хессенберга $H_h$ являются проективными алгебраическими многообразиями, поэтому они симплектические с гамильтоновым действием тора. В силу теоремы 4.2 и техники, введенной в доказательстве, мы сможем описать пространства орбит этих многообразий с помощью многогранника моментов. Он является выпуклой оболочкой образов неподвижных точек, т.е. пермутоэдром (выпуклой оболочкой точек с координатами $(a_{\sigma(1)}, \dots, a_{\sigma(n)})$ для $a_i \neq a_j$ при $i \neq j$ и всех возможных перестановок $\sigma \in S_n$). Отметим существенное отличие $H_h$ от $M_h$. Многообразия $H_h$ являются симплектическими подмногообразиями многообразия полных комплексных флагов $\mathrm{Fl}_n$ (т.е. ограничение симплектической формы на $H_h$ невырождено), в то время как ограничение симплектической формы c $\operatorname{Herm}(\Lambda)$ на $M_h$ вырождено (см. [3], [4]). Таким образом, существование отображения моментов для $M_h$ является нетривиальным фактом, следующим из диаграммы – оно дается композицией $\overline{\mu} \circ \pi_M$ естественной проекции $\pi_M$ и приведенного отображения моментов $\overline{\mu}$ для $H_h$. Напомним, что многообразия $\mathrm{Fl}_n$ и $\operatorname{Herm}(\Lambda)$, содержащие $H_h$ и $M_h$ соответственно, являются пространствами орбит действия максимального тора на унитарной группе $U(n)$.Рассмотрим сначала случай $h=(3,3,4,4)$. Неподвижными точками действия являются диагональные матрицы с числами $\lambda_1, \dots, \lambda_4$ на диагонали в силу условия на спектр. Всего таких матриц имеется $24$, они соответствуют вершинам пермутоэдра. Элементы разбиения с двумерным стабилизатором даются матрицами следующих видов:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{pmatrix} a_1 & b_{12} & 0 & 0 \\ \overline{b}_{12} & a_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_j \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} \lambda_i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_2 & b_{23} & 0 \\ 0 & \overline{b}_{23} & a_3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_j \end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix} \lambda_i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_j & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & b_{34} \\ 0 & 0 & \overline{b}_{34} & a_4 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} a_1 & 0 & b_{13} & 0 \\ 0 & \lambda_i & 0 & 0 \\ \overline{b}_{13} & 0 & a_3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_j \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Каждый тип представляет 12 элементов разбиения по количеству возможных вариантов для $\lambda_i, \lambda_j$. При этом матрицы первых трех типов соответствуют ребрам пермутоэдра; матрицы последнего типа представляют больший интерес, они соответствуют нетривиальным допустимым многогранникам в смысле работ [7], [8], т.е. при отображении моментов их образ является подмногогранником, натянутым на вершины многогранника моментов, однако этот подмногогранник не является гранью. Матрицы всех этих типов дают все инвариантные 2-сферы, т.е. мы можем построить неразмеченный ГКМ-граф для $M_h$ (рис. 1). Вершины графа нумеруются 4-перестановками, т.е., например, вершина $(1234)$ представляет неподвижную точку, являющуюся матрицей $\operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4)$. Ребра пермутоэдра при этом описываются транспозициями $(12)$, $(23)$, $(34)$; например, ребро между вершинами $(1234)$ и $(1324)$ (транспозиция $(23)$) дается матрицами
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_2 & b_{23} & 0 \\ 0 & \overline{b}_{23} & a_3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_4 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
которые, как нетрудно видеть, в силу условия на спектр будут задавать инвариантную 2-сферу, натянутую между $\operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4)$ и $\operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_3, \lambda_2, \lambda_4)$. Аналогично можно показать, что матрицы последнего типа, т.е. с элементом $b_{13} \neq 0$, будут задавать транспозицию типа $(13)$, являясь при этом дополнительными ребрами в графе. Имеем три дополнительных ребра-диагонали в четырех попарно непересекающихся шестиугольниках. В дальнейшем мы увидим, что именно эти четыре шестиугольника и будут особыми гипергранями. Каждый из них вместе с тремя диагоналями в действительности является ГКМ-графом для одного из четырех подмногообразий, эквивариантно диффеоморфных пространству полных комплексных флагов $\mathrm{Fl}_3$. Перейдем теперь к рассмотрению особых гиперграней. Матрицы следующих видов:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{pmatrix} a_1 & b_{12} & b_{13} & 0 \\ {\overline b_{12}} & a_2 & b_{23} & 0 \\ {\overline b_{13}} & {\overline b_{23}} & a_3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_j \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} a_1 & b_{12} & b_{13} & 0 \\ {\overline b_{12}} & a_2 & 0 & 0 \\ {\overline b_{13}} & 0 & a_3 & b_{34} \\ 0 & 0 & {\overline b_{34}} & a_4 \end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix} a_1 & b_{12} & 0 & 0 \\ {\overline b_{12}} & a_2 & b_{23} & 0 \\ 0 & {\overline b}_{23} & a_3 & b_{34} \\ 0 & 0 & {\overline b}_{34} & a_4 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} a_1 & 0 & b_{13} & 0 \\ 0 & a_2 & b_{23} & 0 \\ {\overline b_{13}} & {\overline b_{23}} & a_3 & b_{34} \\ 0 & 0 & {\overline b_{34}} & a_4 \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
соответствуют элементам разбиения размерности 6. Нетрудно понять, что матрицы первого типа соответствуют особым гиперграням. Действительно, все элементы разбиения, соответствующие приведенным выше типам, 6-мерны, но на последних трех размерность эффективного действия равна 3, в то время как для первого она равна 2. Как уже отмечалось, элементы разбиения, состоящие из матриц первого типа, отображаются в четыре попарно непересекающихся шестиугольника в многограннике моментов. Итак, имеет место гомотопическая эквивалентность
$$
\begin{equation}
M_h / T^3 \cong S^5 \setminus \biggl(\bigsqcup_{i=1}^4 D^5\biggr).
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Отметим еще, что для матриц $4 \times 4$ (или же флагов в $\mathbb{C}^4$) имеется еще одно многообразие изоспектральных матриц (соответственно, многообразие Хессенберга) с действием тора сложности $d=1$. Оно отвечает функции Хессенберга $h=(2, 4, 4, 4)$ и в силу симметрии разбирается аналогично. Однако в размерности 5 мы имеем два принципиально различных случая: $h=(3, 3, 4, 5, 5)$ и $h=(2, 4, 4, 5, 5)$ (первый также аналогичен случаю $h=(2, 3, 5, 5, 5)$). Их пространства орбит, как мы увидим в дальнейшем, имеют различную топологию. Однако прежде чем перейти к изучению топологии пространства орбит в случае функций Хессенберга при $n=5$, опишем, какие элементы разбиения соответствуют особым гиперграням в общем случае многообразий Хессенберга с действием тора сложности 1. Опишем комбинаторику гиперграней пермутоэдра. Отметим, что пермутоэдр $\mathrm{Pe}^n$ допускает естественную раскраску гиперграней в $n$ цветов следующим способом. Гранями пермутоэдра являются произведения пермутоэдров меньших размерностей, притом гиперграни есть произведения пар $\mathrm{Pe}^{k-1} \times \mathrm{Pe}^{n-k}$. Каждой грани вида $\mathrm{Pe}^k \times \mathrm{Pe}^{n-k-1}$ соответствует цвет $k$, где $k=1, \dots, n$. В случае функции Хессенберга $h=(2, 3, \dots, n, n+1, n+1)$ мы имеем многообразие матриц вида
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} a_1 & b_{12} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \overline{b}_{12} & a_2 & b_{23} & \dots & 0 & 0 \\ 0 & \overline{b}_{23} & a_3 & \dots & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a_n & b_{n,n+1} \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \overline{b}_{n,n+1} & a_{n+1} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как уже отмечалось, оно является квазиторическим над пермутоэдром $\mathrm{Pe}^n$. Нетрудно понять, что гиперграням цвета $k$ при этом соответствуют подмногообразия матриц, задаваемые условием $b_{k,\,k+1}=0$. Действительно, поскольку мы имеем в этом случае матрицы блочного вида, такое подмногообразие есть произведение двух меньших подмногообразий трехдиагональных матриц. При этом гиперграней цвета $k$ имеется $C_{n}^{k}$ – количество вариантов определить $k$ собственных чисел $\lambda_i$ в верхний блок размера $k \times k$. Возьмем теперь функцию Хессенберга $h\colon [n+1] \to [n+1]$ такую, что $h(i)=i+1$ для всех $i$ кроме $i_0 \in \{1, \dots, n-1 \}$, для которого $h(i_0)=i_0+2$. Для нее $H_h$ (и, соответственно, $M_h$) имеют размерность $2n+2$, а тор, действующий эффективно, имеет размерность $n$. Образом отображения моментов является пермутоэдр $\mathrm{Pe}^n$. Кандидатами на элементы разбиения, отображающиеся на особые гиперграни, являются таковые, получаемые одним уравнением типа $b_{i,\,i+1}=0$ для некоторого $i$ или $b_{i_0,\,i_0+2}=0$, поскольку элементы разбиения, задаваемые двумя такими уравнениями или большим числом, в силу размерности будут отображаться в грани коразмерности не меньше 2. Однако на последнем и двух, задаваемых уравнениями $b_{i_0,\,i_0+1}=0$ и $b_{i_0+1,\,i_0+2}=0$, действует эффективно тор половинной размерности. Поэтому особым гиперграням соответствуют такие элементы разбиения, которые получаются уравнением $b_{i,\,i+1}=0$ для $i \neq i_0,i_0+1$. Таким образом, мы доказали следующее предложение. Предложение 5.1. В случае многообразий Хессенберга с действием тора сложности 1 в многограннике моментов $\mathrm{Pe}^n$ особыми являются гиперграни цвета $k$ для всех $k \neq i_0, i_0+1$. Теперь перейдем к случаю $n=5$, в котором мы явно определим гомотопический тип пространства орбит. Пусть $h=(3, 3, 4, 5, 5)$, что соответствует многообразию $M_h$ матриц вида
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} a_1 & b_{12} & b_{13} & 0 & 0 \\ \overline{b}_{12} & a_2 & b_{23} & 0 & 0 \\ \overline{b}_{13} & \overline{b}_{23} & a_3 & b_{34} & 0 \\ 0 & 0 & \overline{b}_{34} & a_4 & b_{45} \\ 0 & 0 & 0 & \overline{b}_{45} & a_5 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Перейдем сразу к особым гиперграням, которые в этом случае будут задаваться элементами разбиения, состоящими из матриц
$$
\begin{equation}
A_{3,3,3,5,5}\colon \begin{pmatrix} a_1 & b_{12} & b_{13} & 0 & 0 \\ \overline{b}_{12} & a_2 & b_{23} & 0 & 0 \\ \overline{b}_{13} & \overline{b}_{23} & a_3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_4 & b_{45} \\ 0 & 0 & 0 & \overline{b}_{45} & a_5 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
$$
\begin{equation*}
A_{3,3,4,4,5}\colon \begin{pmatrix} a_1 & b_{12} & b_{13} & 0 & 0 \\ \overline{b}_{12} & a_2 & b_{23} & 0 & 0 \\ \overline{b}_{13} & \overline{b}_{23} & a_3 & b_{34} & 0 \\ 0 & 0 & \overline{b}_{34} & a_4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_i \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Матрицы типа $A_{3,3,3,5,5}$ соответствуют гиперграням цвета $3$, имеющим вид $\mathrm{Pe}^2 \times \mathrm{Pe}^1$, т.е. шестиугольной призмы, поскольку $\mathrm{Pe}^2$ является шестиугольником, а $\mathrm{Pe}^1$ – отрезком; имеется всего 10 таких гиперграней. Матрицы типа $A_{3,3,4,4,5}$ – гиперграням цвета $4$, они имеют вид $\mathrm{Pe}^3$; имеется всего пять таких гиперграней. Мы будем описывать гиперграни с помощью соответствующих матриц. Покажем теперь, что у пространства орбит будет одна компонента границы. Действительно, гипергрань цвета $4$, соответствующая матрицам типа $A_{3,3,4,4,5}$ с $\lambda_i$, пересекается с четырьмя гипергранями цвета $3$, соответствующими матрицам типа $A_{3,3,3,5,5}$, у которых блок $\begin{pmatrix} a_4 & b_{45} \\ \overline{b}_{45} & a_5 \end{pmatrix}$ имеет собственное значение $\lambda_i$ (а также некоторое $\lambda_j$ для $j \neq i$). С точки зрения пространства орбит над гипергранями цвета $4$ мы имеем 5-сферу с четырьмя компонентами границы $S^4$, поскольку соответствующие подмногообразия матриц типа $A_{3,3,4,4,5}$ эквивариантно диффеоморфны многообразию Хессенберга с $h=(3, 3, 4, 4)$. Над гипергранями цвета $3$ мы имеем $S^4 \times [0,1]$; из предыдущего наблюдения мы можем понять, что это будут “трубки”, попарно соединяющие 5-сферы с компонентами границы, лежащие над гипергранями цвета $4$ (они будут пересекаться в точности по компонентам границы $S^4$). Таким образом, мы имеем полный граф $K_5$, вершины которого представляют 5-сферы с четырьмя компонентами границы, а ребра – соединяющие “трубки”. Вершина с номером $i$ соответствует матрицам типа $A_{3,3,4,4,5}$ с $\lambda_i$, а ребро, соединяющее вершины $i$ и $j$, соответствует матрицам типа $A_{3,3,3,5,5}$ с блоком $\begin{pmatrix} a_4 & b_{45} \\ \overline{b}_{45} & a_5 \end{pmatrix}$ с собственными значениями $\lambda_i$ и $\lambda_j$. Таким образом, пространство орбит $Q_{(3,3,4,5,5)}$ гомотопически эквивалентно сфере $S^6$ с единственной компонентой границы $\#_{K_5} S^5$ – связная сумма пяти сфер $S^5$ вдоль графа $K_5$. Таким образом, имеет место гомотопическая эквивалентность – до связной суммы пяти открытых 6-дисков вдоль графа $K_5$ в 6-сфере. Рассмотрим $h=(2, 4, 4, 5, 5)$, что соответствует многообразию $M_h$ матриц вида
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} a_1 & b_{12} & 0 & 0 & 0 \\ \overline{b}_{12} & a_2 & b_{23} & b_{24} & 0 \\ 0 & \overline{b}_{23} & a_3 & b_{34} & 0 \\ 0 & \overline{b}_{24} & \overline{b}_{34} & a_4 & b_{45} \\ 0 & 0 & 0 & \overline{b}_{45} & a_5 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
а особые гиперграни в этом случае задаются элементами разбиения, соответствующими матрицам вида
$$
\begin{equation}
A_{1,4,4,5,5}\colon\quad \begin{pmatrix} \lambda_i & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_2 & b_{23} & b_{24} & 0 \\ 0 & \overline{b}_{23} & a_3 & b_{34} & 0 \\ 0 & \overline{b}_{24} & \overline{b}_{34} & a_4 & b_{45} \\ 0 & 0 & 0 & \overline{b}_{45} & a_5 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
$$
\begin{equation}
A_{2,4,4,4,5}\colon\quad\begin{pmatrix} a_1 & b_{12} & 0 & 0 & 0 \\ \overline{b}_{12} & a_2 & b_{23} & b_{24} & 0 \\ 0 & \overline{b}_{23} & a_3 & b_{34} & 0 \\ 0 & \overline{b}_{24} & \overline{b}_{34} & a_4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_i \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Эти элементы разбиения соответствуют гиперграням цветов $1$ и $4$ соответственно. Такие гиперграни являются 3-пермутоэдрами, а пересекаются они следующим образом: гипергрань, соответствующая матрицам типа $A_{1,4,4,5,5}$ с $\lambda_i$, пересекается с гипергранью, соответствующей матрицам типа $A_{2,4,4,4,5}$ с $\lambda_j$ при всех $j \neq i$ (притом пересекаются они по гиперграни коразмерности 2, в данном случае, по шестиугольнику). С точки зрения пространства орбит мы имеем 5-сферу с четырьмя компонентами границы над каждой особой гипергранью, поскольку каждое подмногообразие матриц данных двух видов эквивариантно диффеоморфно $H_{(3, 3, 4, 4)}$. Пересечение гиперграней, описанное выше, соответствует пересечению таких 5-сфер по компонентам границы. Таким образом, мы имеем почти полный двудольный граф $\widetilde{K}_{5,5}$ (рис. 2) – в нем каждая вершина из одной доли соединена со всеми, кроме одной противолежащей из другой доли (иначе такой граф можно описать как взрезанный джойн двух пятиточий). В нем вершина $1a$ представляет элемент разбиения, состоящий из матриц типа $A_{1,4,4,5,5}$ с $\lambda_1$, а вершина $1b$ соответственно типа $A_{2,4,4,4,5}$ с $\lambda_1$. Таким образом, мы заключаем, что граница пространства орбит будет состоять из одной компоненты, представляющейся как $\#_{\widetilde{K}_{5,5}} S^5$ – связная сумма десяти 5-сфер вдоль графа $\widetilde{K}_{5,5}$. Само пространство орбит $Q_{(2,4,4,5,5)}$ при этом будет гомотопически эквивалентно В заключение отметим, что пространства орбит в последних двух случаях имеют различную топологию, определяемую графами, вдоль которых осуществляется связная сумма. А именно, для них мы имеем в силу двойственности Александера
$$
\begin{equation}
H^4(Q_{(3,3,4,5,5)})=H^4 (S^6 \setminus (\#_{K_5} D^6)) \cong H_1(\#_{K_5} D^6),
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
$$
\begin{equation}
H^4(Q_{(2,4,4,5,5)})=H^4 (S^6 \setminus (\#_{\widetilde{K}_{5,5}} D^6)) \cong H_1(\#_{\widetilde{K}_{5,5}} D^6).
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Для самих же связных сумм, которые в действительности стягиваются на соответствующие графы, имеем
$$
\begin{equation}
H_1(\#_{K_5} D^6) \cong H_1(K_5) \cong \mathbb{Z}^6,
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
$$
\begin{equation}
H_1(\#_{\widetilde{K}_{5,5}} D^6) \cong H_1(\widetilde{K}_{5,5}) \cong \mathbb{Z}^{11}.
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Кроме того, из этих же соображений можно показать, что у пространств орбит $Q_{(3,3,4,5,5)}$ и $Q_{(2,4,4,5,5)}$ когомологии в размерностях 1, 2 и 3 нулевые. В действительности, в общем случае верна следующая теорема. Теорема 5.2. Пусть действие $T^{n-1}$ на $M^{2n}$ гамильтоново и не в общем положении. Тогда для пространства орбит $Q$ приведенные группы когомологий $\widetilde{H}^i (Q)=0$ для $i=0, 1, 2$. Доказательство. Утверждение данной теоремы вытекает из двойственности Александера и доказательства теоремы 4.2, в котором было показано, что $Q \cong S^{n+1} \setminus (U_1 \sqcup \dots \sqcup U_l)$, где $U_i=B_i \times D^3$. Таким образом, каждое $U_i$ гомотопически эквивалентно $B_i$, имеющему размерность не более $n-2$. Теорема доказана. Автор выражает глубокую благодарность В. М. Бухштаберу и А. Айзенбергу за их советы и поддержку в ходе работы; автор благодарит М. Масуду и Н. Клемятина за дискуссии по теме работы. Также автор выражает глубокую признательность рецензентам за ценные замечания и предложения.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Che21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|