| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Необходимые и достаточные условия сопряженности регулярных гомеоморфизмов Смейла Е. В. Жужома, В. С. Медведев Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Нижний Новгород
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9244 
Реферативные базы данных:
     ВведениеОдной из основных задач качественной (или, как иногда говорят, геометрической) теории динамических систем является задача топологической классификации в пределах выделенного класса динамических систем (см. [1]–[3]). Ограничимся рассмотрением обратимых топологических динамических систем с дискретным временем, которые порождаются положительными и отрицательными итерациями гомеоморфизмов несущего многообразия. Первый шаг классификации состоит в нахождении условий сопряженности гомеоморфизмов. Напомним, что гомеоморфизмы $f_1,f_2\colon M^n\to M^n$ $n$-мерного (топологического) многообразия $M^n$ называются сопряженными, если существует гомеоморфизм $h\colon M^n\to M^n$ такой, что $h\circ f_1=f_2\circ h$. Обычно первый шаг классификации равносилен нахождению полного инварианта сопряженности, т.е. такой характеристики, которая сохраняется при сопряжении и имеет разные описания (или значения) у несопряженных гомеоморфизмов. Одним из известных инвариантов является число вращения Пуанкаре (см. [4]) в классе сохраняющих ориентацию транзитивных гомеоморфизмов окружности (см. в обзоре [5] главу 7, посвященную инвариантам эквивалентности и сопряженности маломерных динамических систем). Числовой характер этого инварианта обусловлен тем, что динамика полностью определяется асимптотическим поведением одной (любой) орбиты. Полный инвариант сопряженности в более высоких размерностях, как правило, связан с вложением в многообразие инвариантных подмножеств, которые определяют динамику гомеоморфизмов данного класса (см. [6]–[9]). Учитывая, что динамические системы сопрягаются посредством гомеоморфизма, и в связи с открытием топологических многообразий (см. [10]), которые не допускают структуры гладкого многообразия, имеет смысл при решении задачи топологической классификации рассматривать топологические динамические системы на топологических многообразиях. При построении полных инвариантов сопряженности, как правило, сначала находятся необходимые и достаточные условия сопряженности. Для определения таких условий нам понадобится следующее основное определение. (Ниже $\operatorname{clos} N$ обозначает топологическое замыкание множества $N$.) Пусть $f_1,f_2\colon M^n\to M^n$ – гомеоморфизмы $n$-мерного (топологического) многообразия $M^n$ размерности $n\geqslant 2$, и пусть $N_1,N_2$ – их инвариантные множества соответственно, т.е. $f_i(N_i)=N_i$, $i=1,2$. Будем говорить, что $N_1$, $N_2$ локально динамически эквивалентно вложены, если существуют открытые окрестности $\delta_1$, $\delta_2$ множеств $\operatorname{clos} N_1$, $\operatorname{clos} N_2$ соответственно и топологическое вложение (т.е. гомеоморфизм на свой образ) $h_0\colon \delta_1\cup f_1(\delta_1)\to M^n$ такие, что
$$
\begin{equation*}
h_0(\delta_1)=\delta_2, \qquad h_0(\operatorname{clos} N_1)=\operatorname{clos} N_2, \qquad h_0\circ f_1|_{\delta_1}=f_2\circ h_0|_{\delta_1},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. имеет место коммутативная диаграмма Имеется большой задел, связанный с построением инвариантов сопряженности гладких и обратимых динамических систем с дискретным временем, у которых неблуждающее множество имеет гиперболическую структуру. Выявление фундаментальной роли гиперболичности в современной теории структурно устойчивых динамических систем принадлежит С. Смейлу (см. [3]), который опирался на работу А. А. Андронова и Л. С. Понтрягина [11] и работы Д. В. Аносова [12], [13]. В последние десятилетия получен значительный прогресс в классификации диффеоморфизмов Морса–Смейла, которые можно охарактеризовать как структурно устойчивые диффеоморфизмы с регулярной динамикой. Одним из первых инвариантов сопряженности для диффеоморфизмов Морса–Смейла замкнутых поверхностей является сигнатура Гринеса (см. [14]) в классе диффеоморфизмов с конечным множеством гетероклинических орбит (о диффеоморфизмах Морса–Смейла см. обзоры [15], [16]). Для диффеоморфизмов Морса–Смейла на трехмерных многообразиях в работе Х. Бонатти и В. З. Гринеса [17] был предложен метод построения инвариантов сопряженности, связанный с рассмотрением пространства орбит и выделением в этом пространстве геометрических множеств, которые отражают вложения инвариантных многообразий седловых периодических точек (мы будем называть его методом Бонатти–Гринеса). Развитие этого метода привело к классификации трехмерных диффеоморфизмов Морса–Смейла; см. [18]–[20]. Однако имеются многомерные классы систем Морса–Смейла (например, диффеоморфизмы Морса–Смейла, неблуждающее множество которых состоит из трех точек) с одинаковыми инвариантами Бонатти–Гринеса, но топологически не сопряженные (см. [9]). В настоящей статье рассматривается класс гомеоморфизмов, неблуждающее множество которых состоит из конечного числа периодических орбит, имеющих гиперболический тип, и для этого класса получены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности. Этот класс является существенным расширением класса диффеоморфизмов Морса–Смейла. Поэтому полученные условия сопряженности применимы также для диффеоморфизмов Морса–Смейла. Предложенный в статье подход к построению инвариантов топологической сопряженности является альтернативным методу Бонатти–Гринеса и может, кроме систем Морса–Смейла, применяться для некоторых классов структурно неустойчивых диффеоморфизмов. Перейдем к точным определениям. Пусть гомеоморфизмы $f_1,f_2\colon M^n\to M^n$ имеют периодические орбиты $\gamma_1$, $\gamma_2$ соответственно. Локальная динамически эквивалентная вложимость $\gamma_1$, $\gamma_2$ фактически означает, что гомеоморфизмы $f_1$, $f_2$ в некоторых окрестностях орбит $\gamma_1$, $\gamma_2$ сопряжены. Поэтому для краткости изложения мы также в этом случае будем говорить, что ограничения $f_1|_{\gamma_1}$, $f_2|_{\gamma_2}$ локально сопряжены. Напомним определение гиперболической неподвижной точки для гладкого диффеоморфизма. Пусть $z_0$ – неподвижная точка $C^1$-диффеоморфизма $F\colon L^n\,{\to}\, L^n$ некоторого $n$-мерного замкнутого гладкого многообразия $L^n$, $n\,{\geqslant}\, 2$, т.е. $F(z_0)=z_0\in L^n$. Точка $z_0$ называется гиперболической, если дифференциал $DF(z_0)\colon T_{z_0}L^n\to T_{z_0}L^n$ не имеет собственных значений, равных по модулю $1$. Заметим, что $DF(z_0)$ здесь является линейным изоморфизмом касательного пространства $T_{z_0}L^n$, естественно изоморфного пространству $\mathbb{R}^n$, и при этом начало координат $O\in\mathbb{R}^n$ является неподвижной точкой отображения $DF(z_0)$, $DF(z_0)(O)=O$. Согласно теореме Гробмана–Хартмана (см. [21]–[23]) ограничения $F|_{z_0}$ и $DF(z_0)|_{O}$ локально сопряжены. Определение гиперболичности неподвижной точки естественным образом обобщается на определение гиперболичности периодической точки следующим образом. Периодическая точка $z_0$ периода $p\in\mathbb{N}$ называется гиперболической, если она является гиперболической неподвижной точкой диффеоморфизма $F^p$. Далее, неподвижную точку мы рассматриваем как периодическую с периодом 1. Периодическая орбита называется гиперболической, если все точки орбиты гиперболические. Известно (см., например, [3], [24], [20]), что для гиперболической точки $z_0$ периода $p\in\mathbb{N}$ существуют так называемые устойчивое $W^{\mathrm s}(z_0)$ и неустойчивое $W^{\mathrm u}(z_0)$ многообразия, которые можно определить как множества точек $y\in M^n$ таких, что $\varrho _M(F^{pk}z_0, F^{pk}y)\to 0$ при $k\to +\infty$ и $k\to -\infty$ соответственно, где $\varrho _M$ – метрика на $M^n$. Заметим, что неустойчивое многообразие $W^{\mathrm u}(z_0)$ есть устойчивое многообразие относительно $F^{-1}$. Известно, что $W^{\mathrm s}(z_0)$ и $W^{\mathrm u}(z_0)$ гомеоморфны (во внутренней топологии) евклидовым пространствам $\mathbb{R}^{\dim W^{\mathrm s}(z_0)}$ и $\mathbb{R}^{\dim W^{\mathrm u}(z_0)}$ соответственно и являются инъективными погружениями последних в $M^n$. Пусть теперь $x_0$ – периодическая точка гомеоморфизма $f\colon M^n\to M^n$ топологического $n$-мерного многообразия $M^n$, $n\geqslant 2$, периода $p\in\mathbb{N}$, $f^p(x_0)=x_0$. Будем говорить, что $x_0$ имеет тип гиперболической точки или $x_0$ является локально гиперболической, если существует линейный изоморфизм $f_0\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ такой, что неподвижная точка $O\in\mathbb{R}^n$ является гиперболической точкой отображения $f_0$, и ограничения $f^p|_{x_0}$, $f_0|_{O}$ локально сопряжены. Аналогично случаю диффеоморфизма это определение распространяется на периодическую орбиту. Пусть $\operatorname{Orb}(x)$ – локально гиперболическая периодическая орбита периода $p\in\mathbb{N}$, т.е. $\operatorname{Orb}(x)=\{x,f(x),\dots, f^{p-1}(x)\}$ состоит из $p$ точек. Так как $f^p(x)$ имеет тип неподвижной гиперболической точки, а у неподвижной гиперболической точки линейного диффеоморфизма имеются устойчивое и неустойчивое многообразия, то также существуют устойчивое $W^{\mathrm s}(x)$ и неустойчивое $W^{\mathrm u}(x)$ многообразия точки $x$, которые можно определить как множества точек
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, W^{\mathrm s}(x)=\bigl\{y\in M^n\mid\varrho _M(f^{pk}(x), f^{pk}(y))\to 0 \text{ при } k\to +\infty \bigr\}, \\ W^{\mathrm u}(x)=\bigl\{y\in M^n\mid\varrho _M(f^{pk}(x), f^{pk}(y))\to 0 \text{ при } k\to -\infty \bigr\} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно, причем $W^{\mathrm s}(x)$ и $W^{\mathrm u}(x)$ гомеоморфны (во внутренней топологии) евклидовым пространствам $\mathbb{R}^{\dim W^{\mathrm s}(x)}$ и $\mathbb{R}^{\dim W^{\mathrm u}(x)}$ размерностей $\dim W^{\mathrm s}(x)$ и $\dim W^{\mathrm u}(x)$ соответственно, где $\dim W^{\mathrm s}(x) + \dim W^{\mathrm u}(x)=n$. Устойчивое многообразие орбиты $\operatorname{Orb}(x)$ равно объединению $W^{\mathrm s}(\operatorname{Orb}(x))=\bigcup_{i=0}^p W^{\mathrm s}(f^i(x))$. Аналогично определяется неустойчивое многообразие $W^{\mathrm u}(\operatorname{Orb}(x))$. Периодическая орбита $\operatorname{Orb}(x)$ называется стоковой, если $\dim W^{\mathrm s}(x)=n$ (следовательно, $\dim W^{\mathrm u}(x) = 0$). Периодическая орбита $\operatorname{Orb}(x)$ называется источниковой, если $\dim W^{\mathrm s}(x)=0$ (следовательно, $\dim W^{\mathrm u}(x)=n$). Наконец, периодическая орбита $\operatorname{Orb}(x)$ называется седловой, если $1\leqslant\dim W^{\mathrm s}(x)\leqslant n-1$ (следовательно, $1\leqslant\dim W^{\mathrm u}(x)\leqslant n-1$). Напомним, что точка $x\in M^n$ называется неблуждающей точкой гомеоморфизма $f$, если для любой ее окрестности $U$ и любого натурального числа $N$ найдется $n_0\in \mathbb{Z}$ такое, что $|n_0|\geqslant N$ и $f^{n_0}(U)\cap U \neq\varnothing$. Множество неблуждающих точек обозначается через $\operatorname{NW}(f)$. Очевидно, периодическая точка является неблуждающей (следовательно, все периодические орбиты принадлежат неблуждающему множеству). Пусть $f\colon M^n\to M^n$ – гомеоморфизм топологического $n$-мерного замкнутого многообразия $M^n$, $n\geqslant 2$. Гомеоморфизм $f$ называется регулярным гомеоморфизмом Смейла, если выполняются следующие условия:
Введенное понятие можно объяснить следующим образом. Понятие гиперболичности для неблуждающего множества было введено Стивом Смейлом, после работ которого, по образному выражению Д. В. Аносова, в теории динамических систем началась гиперболическая революция. Введенное ранее понятие диффеоморфизма Смейла (не вполне устоявшееся) означает структурную устойчивость плюс наличие нетривиальных базисных множеств (иногда только нульмерных, а иногда допускаются одномерные базисные множества). Таким образом, динамика диффеоморфизма Смейла на нетривиальных базисных множествах хаотическая. Поскольку в гладком случае введенные гомеоморфизмы имеют регулярную динамику, то мы решили ввести понятие регулярный гомеоморфизм Смейла. Обозначим множество регулярных гомеоморфизмов Смейла $M^n\to M^n$ через $\operatorname{SRH}(M^n)$. Отметим, что кроме диффеоморфизмов Морса–Смейла этот класс содержит регулярные структурно неустойчивые диффеоморфизмы (например, диффеоморфизмы, принадлежащие границе множества диффеоморфизмов Морса–Смейла в пространстве диффеоморфизмов). Для гомеоморфизма $f\in \operatorname{SRH}(M^n)$ будем далее обозначать через $\alpha(f)$ семейство источниковых периодических орбит, через $\omega(f)$ – семейство стоковых периодических орбит и через $\sigma(f)$ – семейство седловых периодических орбит. Обозначим через $A(f)$ объединение стоковых периодических орбит и неустойчивых многообразий седловых периодических орбит, а через $R(f)$ – объединение источниковых периодических орбит и устойчивых многообразий седловых периодических орбит:
$$
\begin{equation*}
A(f)=\omega(f)\bigcup_{s_i\in\sigma(f)}W^{\mathrm u}(s_i), \qquad R(f)=\alpha(f)\bigcup_{s_i\in\sigma(f)}W^{\mathrm s}(s_i).
\end{equation*}
\notag
$$
Следующая теорема является основным результатом статьи. Теорема. Гомеоморфизмы $f_1,f_2\in \operatorname{SRH}(M^n)$, $n\geqslant 2$, сопряжены тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: Поскольку класс регулярных гомеоморфизмов Смейла $\operatorname{SRH}(M^n)$ содержит диффеоморфизмы Морса–Смейла $M^n\to M^n$, то для каждого такого диффеоморфизма $f\colon M^n\to M^n$ определены множества $A(f),R(f)$. Из приведенной теоремы получаем следующие необходимые и достаточные условия сопряженности диффеоморфизмов Морса–Смейла. Следствие. Пусть $f_1,f_2$ – диффеоморфизмы Морса–Смейла замкнутого $n$-мерного (гладкого) многообразия $M^n$, $n\geqslant 2$. Тогда $f_1,f_2$ сопряжены, если и только если выполняется одно из следующих условий: Ниже будет показано, что для гомеоморфизма $f\in \operatorname{SRH}(M^n)$ множество $A(f)$ является притягивающим. Поэтому определение локально динамической и эквивалентной вложимости можно упростить. А именно, множества $A(f_1)$, $A(f_2)$ локально динамически эквивалентно вложены, если существуют открытые окрестности $\delta_1$, $\delta_2$ множеств $A(f_1)$, $A(f_2)$ соответственно и гомеоморфизм $h_0$: $\delta_1\to\delta_2$ такие, что
$$
\begin{equation*}
f_1(\delta_1)\subset\delta_1, \qquad h_0\circ f_1|_{\delta_1}=f_2\circ h_0|_{\delta_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Полностью аналогично можно дать определение локально динамической вложимости для множеств $R(f_1)$, $R(f_2)$. Описание топологической структуры множеств $A(f)$, $R(f)$ и построение классификационного инварианта является самостоятельной задачей, которая зависит от рассматриваемого подкласса $\operatorname{SRH}(M^n)$. В качестве простейшей иллюстрации применения приведенной теоремы для построения классификационного инварианта приведем следующий результат: полным инвариантом сопряженности гомеоморфизмов Смейла с тремя неподвижными точками на проективной плоскости является динамический тип седла, который может принимать только четыре значения в зависимости от сохранения или обращения ориентации действия гомеоморфизма на инвариантных многообразиях данного седла. § 1. Свойства $\operatorname{SRH}$-гомеоморфизмовПусть $\operatorname{Orb}(x)$ – орбита точки $x\in M^n$ для гомеоморфизма $f\colon M^n\to M^n$. Напомним, что $\omega$-предельным множеством $\omega(x)$ называется множество точек $y\in M^n$ со следующим свойством: $y\in\omega(x)$, если и только если $f^{k_i}(x)\to y$ для некоторой последовательности натуральных чисел $k_i\to\infty$. Ясно, что $\omega$-предельные множества у всех точек орбиты $\operatorname{Orb}(x)$ совпадают. Поэтому можно определить $\omega$-предельное множество орбиты $\operatorname{Orb}(x)$ как $\omega(x)=\omega(\operatorname{Orb}(x))$. Аналогично определяется $\alpha$-предельное множество $\alpha(x)=\alpha(\operatorname{Orb}(x))$ с заменой $f$ на $f^{-1}$. Непосредственно из определения неблуждающего множества $\operatorname{NW}(f)$ вытекает, что $\omega(x)\cup\alpha(x)\subset \operatorname{NW}(f)$ для любой точки $x\in M^n$. Для регулярного гомеоморфизма Смейла мы имеем равенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{NW}(f)=\alpha(f)\cup\omega(f)\cup \sigma(f), \qquad f\in \operatorname{SRH}(M^n).
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Лемма 1. Пусть $f\in \operatorname{SRH}(M^n)$. Тогда: 1) если $\omega(x)\subset\sigma(f)$, то $x\in W^{\mathrm s}(\sigma_*)$ для некоторой седловой периодической орбиты $\sigma_*\in\sigma(f)$; 2) если $\alpha(x)\subset\sigma(f)$, то $x\in W^{\mathrm u}(\sigma_*)$ для некоторой седловой периодической орбиты $\sigma_*\in\sigma(f)$. Доказательство. Мы будем доказывать только утверждение 1), поскольку утверждение 2) доказывается аналогично. Пусть $\omega(x)\subset\sigma(f)$. Ясно, что $x\notin\alpha(f)$. Поэтому существует окрестность $U(\alpha)$ множества $\alpha(f)$ источниковых периодических орбит, не пересекающаяся с положительной полуорбитой $\operatorname{Orb}^+(x)=\bigcup_{k\geqslant 0}f^k(x)$. Из локальной гиперболичности стоковых периодических орбит вытекает, что существует окрестность $U(\omega)$ множества $\omega(f)$ такая, что если $\operatorname{Orb}^+(x)\cap U(\omega)\neq\varnothing$, то $\omega(x)\subset\omega(f)$. Поэтому $\operatorname{Orb}^+(x)\cap U(\omega) = \varnothing$ в силу включения $\omega(x)\subset\sigma(f)$. Следовательно, $\operatorname{Orb}^+(x)$ принадлежит компактному множеству $N=M^n\setminus(U(\omega)\cup U(\alpha))$. Существуют достаточно малые попарно не пересекающиеся окрестности $V(\sigma_1),\dots,V(\sigma_m)$ седловых периодических орбит $\sigma_1,\dots,\sigma_m$ соответственно, где $\sigma(f)=\bigcup_{i=1}^m\sigma_i$, такие, что образ $f(V(\sigma_i))$ любой из них не пересекается с объединением $\bigcup_{j\neq i}V(\sigma_j)$. Предположим теперь, что точка $x$ не принадлежит устойчивым многообразиям седловых периодических орбит. Тогда $\operatorname{Orb}^+(x)$, попадая в любую из окрестностей $V(\sigma_i)$, должна выйти из $V(\sigma_i)$, поскольку $f\in \operatorname{SRH}(M^n)$. Так как $f(V(\sigma_i))\cap(\bigcup_{j\neq i}V(\sigma_j))=\varnothing$, то компактное множество $N_0=N\setminus(\bigcup_{i=1}^mV(\sigma_i))$ должно содержать бесконечное множество точек положительной полуорбиты $\operatorname{Orb}^+(x)$. Тогда $\omega(x)\cap N_0\neq\varnothing$, что противоречит включению $\omega(x)\subset\alpha(f)\cup\omega(f)\cup \sigma(f)$; см. (1.1). Лемма доказана. Пусть $N_{\mathrm a}$ – инвариантное множество гомеоморфизма $f\in \operatorname{SRH}(M^n)$. Оно называется притягивающим, если существует открытая окрестность $U(N_{\mathrm a})$ множества $N_{\mathrm a}$ (она будет называться захватывающей областью) такая, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{clos} f(U(N_{\mathrm a}))\subset U(N_{\mathrm a}), \qquad \bigcap_{k\geqslant 0}f^k(U(N_{\mathrm a}))=N_{\mathrm a}.
\end{equation*}
\notag
$$
Иногда в качестве захватывающей области удобно будет брать замкнутую окрестность $U(N_{\mathrm a})$. Тогда включение записывается в виде $f(U(N_{\mathrm a}))\,{\subset} \operatorname{int} U(N_{\mathrm a})$. Инвариантное множество $N_{\mathrm r}$ называется отталкивающим, если оно является притягивающим для $f^{-1}$. Соответствующая захватывающая для $f^{-1}$ окрестность называется выталкивающей для $f$. Пусть $A\subset M^n$ – притягивающее множество гомеоморфизма $f$. Через $B(A)$ будем обозначать бассейн множества $A$, т.е. множество
$$
\begin{equation*}
B(A)=\Bigl\{x\in M^n\colon \lim_{k\to\infty}f^k(x)\in A\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $B(A)\setminus A$ называется областью притяжения множества $A$. Ясно, что любая захватывающая окрестность $U(A)=U$ множества $A$ принадлежит бассейну $B(A)$, и имеет место равенство Для отталкивающего множества $R\subset M^n$ бассейн $B(R)$ определяется как бассейн множества $R$ относительно гомеоморфизма $f^{-1}$ (заметим, что для $f^{-1}$ множество $R$ является притягивающим множеством). Аналогичным образом определяется область отталкивания множества $R$. Пусть $A$ – притягивающее (инвариантное) множество гомеоморфизма $f$. Замкнутое множество $G(A)\subset B(A)\setminus A$ называется порождающим для области притяжения $B(A)\setminus A$, если Более того, справедливо следующее: 1) орбита из $B(A)\setminus A$, пересекающая внутренность множества $G(A)$, пересекает $G(A)$ ровно в одной точке; 2) орбита из $B(A)\setminus A$, пересекающая границу множества $G(A)$, пересекает $G(A)$ по крайней мере в двух точках; 3) граница множества $G(A)$ состоит из конечного числа (топологических) компактных подмногообразий коразмерности 1. Для краткости изложения множество $G(A)$ мы будем называть порождающим множеством для бассейна $B(A)$. Полностью аналогично определяется порождающее множество области отталкивания для отталкивающего (инвариантного) множества. Лемма 2. Пусть $f\in \operatorname{SRH}(M^n)$. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. Множество $\omega(f)$ является притягивающим множеством гомеоморфизма $f$, причем существует захватывающая окрестность $U(\omega)$ множества $\omega(f)$, представляющая собой объединение конечного числа попарно не пересекающихся замкнутых $n$-мерных шаров, каждый из которых содержит одну точку из множества $\omega(f)$. Более того, для любой открытой окрестности $V_0(\omega)$ множества $\omega(f)$ существуют вышеописанная захватывающая окрестность $U(\omega)$ и порождающее множество $G(\omega)$ для бассейна $B(\omega(f))$ такие, что
$$
\begin{equation*}
G(\omega)= \operatorname{clos} \bigl[U(\omega)\setminus f(U(\omega))\bigr] \subset V_0(\omega).
\end{equation*}
\notag
$$
2. Множество $\alpha(f)$ является отталкивающим множеством гомеоморфизма $f$, причем существует выталкивающая окрестность $U(\alpha(f))$ множества $\alpha(f)$, представляющая собой объединение конечного числа попарно не пересекающихся замкнутых $n$-мерных шаров, каждый из которых содержит одну точку из множества $\alpha(f)$. Более того, для любой открытой окрестности $V_0(\alpha)$ множества $\alpha(f)$ существуют вышеописанная выталкивающая окрестность $U(\alpha(f))$ и порождающее множество $G(\alpha)$ для бассейна $B(\alpha(f))$ такие, что Доказательство. Достаточно доказать только утверждение 1, поскольку утверждение 2 вытекает из него с переходом от $f$ к $f^{-1}$. Согласно [20], [25], [26] требуемое утверждение верно для диффеоморфизмов Морса–Смейла. Так как для $f$ множество $\omega(f)$ имеет гиперболический тип, то отсюда следует требуемый результат. Для удобства читателя приведем схему доказательства. Пусть $\gamma$ – притягивающая периодическая орбита периода $p\in\mathbb{N}$, и пусть $x_0\in\gamma$. В силу определения класса $\operatorname{SRH}(M^n)$ в некоторой окрестности точки $x_0$ гомеоморфизм $f^p$ сопряжен линейному диффеоморфизму $F_0$ пространства $\mathbb{R}^n$ с гиперболической притягивающей неподвижной точкой в начале координат $O\in\mathbb{R}^n$. Для линейного $F_0$ согласно [20], [25], [26] существует $n$-мерный шар $\mathbb{B}^n$, окружающий $O$ и являющийся захватывающей окрестностью притягивающей точки $O$. Кроме того, замкнутое шаровое кольцо $\operatorname{clos} [\mathbb{B}^n\setminus F_0(\mathbb{B}^n)]$ является порождающим множеством бассейна $B(O)=W^{\mathrm s}(O)\setminus\{O\}$. Отсюда вытекает существование захватывающей окрестности $U(x_0)$ точки $x_0$ относительно $f^p$, причем $U(x_0)$ гомеоморфна $\mathbb{B}^n$. Более того, бассейн $B(x_0)$ относительно $f^p$ имеет порождающее множество $G(x_0)$, гомеоморфное $\operatorname{clos} [\mathbb{B}^n\setminus F_0(\mathbb{B}^n)]$. Поэтому $G(x_0)$ образует требуемое порождающее множество бассейна $B(\gamma)$. Поскольку положительная итерация захватывающей окрестности также является захватывающей окрестностью, то мы получаем требуемое утверждение для $\gamma$. Для остальных стоковых орбит построение аналогичное. Лемма доказана. Отметим, что порождающие множества $G(\omega)$, $G(\alpha)$ в лемме 2 представляют собой объединения конечного числа замкнутых $n$-мерных шаровых колец, каждое из которых гомеоморфно произведению $S^{n-1}\times [0,1]$. Лемма 3. Пусть $f\in \operatorname{SRH}(M^n)$. Тогда справедливо следующее. 1. $A(f)$ является замкнутым инвариантным множеством, содержащим все стоковые и все седловые периодические точки гомеоморфизма $f$: 2. $A(f)$ является притягивающим множеством гомеоморфизма $f$. 3. $R(f)$ является замкнутым инвариантным множеством, содержащим все источниковые и все седловые периодические точки гомеоморфизма $f$: 4. $R(f)$ является отталкивающим множеством гомеоморфизма $f$. Доказательство. Так как устойчивое и неустойчивое многообразия седла содержат данное седло, то $A(f)$ и $R(f)$ содержат все седловые периодические точки. Отсюда следуют включения $ \omega(f)\cup \sigma(f)\subset A(f) $, $ \alpha(f)\cup \sigma(f)\subset R(f) $. Согласно лемме 2 множество $\alpha(f)$ является отталкивающим и имеет выталкивающую окрестность $U(\alpha)$. Поскольку $\bigcap_{k\geqslant 0}f^{-k}(U(\alpha))=\alpha(f)$ и
$$
\begin{equation*}
\cdots\subset f^{-k}(U(\alpha))\subset\cdots\subset f^{-2}(U(\alpha))\subset f^{-1}(U(\alpha))\subset U(\alpha),
\end{equation*}
\notag
$$
то $A(f)\,{\subset}\, M^n\,{\setminus}\, U(\alpha)$ и $\bigcup_{m\geqslant 0}f^m(x)\,{\in}\, M^n\,{\setminus}\, U(\alpha)$ для любой точки $x\,{\in}\, M^n\,{\setminus}\, U(\alpha)$. Более того, так как $\omega$-предельное множество $\omega(x)$ точки $x\in M^n\setminus U(\alpha)$ лежит в неблуждающем множестве $\operatorname{NW}(f)$, то $\omega(x)\subset\omega(f)\cup \sigma(f)\subset A(f)$, поскольку $f\in \operatorname{SRH}(M^n)$. Отсюда в силу того, что $ G(\alpha)= \operatorname{clos} [f(U(\alpha))\setminus U(\alpha)] $ есть порождающее множество для бассейна $B(\alpha(f))$, вытекает, что множество $\operatorname{int} [M^n\setminus U(\alpha)]$ является захватывающей окрестностью множества $A(f)$. Следовательно, $A(f)$ – притягивающее множество гомеоморфизма $f$. Это доказывает утверждения 1 и 2 для $A(f)$. Остальные утверждения для $R(f)$ доказываются аналогично. Лемма доказана. Следующий результат означает, что область отталкивания $B(\alpha(f))\setminus\alpha(f)$ множества $\alpha(f)$ совпадает с областью притяжения $B(A(f))\setminus A(f)$ множества $A(f)$, и у этих областей существуют одинаковые семейства порождающих множеств. Лемма 4. Пусть $f\in \operatorname{SRH}(M^n)$. Тогда Более того, справедливы следующие утверждения. – Если $U(\alpha(f))\stackrel{\mathrm{def}}{=}U_{\alpha}$ – выталкивающая окрестность множества $\alpha(f)$, то множество $\operatorname{clos}[f(U_{\alpha})\setminus U_{\alpha}]=G_{\alpha}$ является порождающим для бассейна $B(A(f))$:
$$
\begin{equation*}
\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}f^k(G_{\alpha})=B(A(f))\setminus A(f).
\end{equation*}
\notag
$$
– Если $U(A(f))\stackrel{\mathrm{def}}{=}U_{A}$ – захватывающая окрестность множества $A(f)$, то множество $\operatorname{clos} [U_{A}\setminus f(U_{A})]=G_A$ является порождающим для бассейна множества $\alpha(f)$: Доказательство. Возьмем произвольную точку $x\,{\in}\, M^n$ и докажем первое равенство $M^n\,{=}\,\alpha(f)\,{\cup}\, B(A(f))$. Если $x\notin\alpha(f)$, то $\omega$-предельное множество $\omega(x)$ точки $x$ содержится в объединении $\omega(f)\,{\cup}\,\sigma(f)$, поскольку $f\,{\in}\, \operatorname{SRH}(M^n)$ и $\omega(x)\,{\in}\, \operatorname{NW}(f)\,{=}\,\alpha(f)\,{\cup}\,\omega(f)\,{\cup}\,\sigma(f)$. Отсюда в силу леммы 3 следует включение что доказывает первое равенство. Второе равенство $M^n\,{=}\,\omega(f)\,{\cup}\, B(R(f))$ доказывается аналогично.
Теперь докажем равенство $B(\alpha(f))\setminus\alpha(f)=B(A(f))\setminus A(f)$. Пусть $x\in B(\alpha(f))\setminus\alpha(f)$. Тогда $x\notin\alpha(f)$. Поэтому в силу доказанных выше равенств имеем $x\in B(A(f))$. Из $x\in B(\alpha(f))$ следует включение $\alpha(x)\subset\alpha(f)$. Следовательно, $x\notin A(f)$, что влечет включение $x\in B(A(f))\setminus A(f)$. Пусть теперь дано $x\in B(A(f))\setminus A(f)$. Тогда $x\notin A(f)$ и $x\notin\alpha(f)$. С другой стороны, имеем $\alpha(x)\subset \sigma(f)\cup\alpha(f)$. Если предположить, что $\alpha(x)\subset \sigma(f)$, то в силу леммы 1 точка $x$ принадлежит неустойчивому многообразию некоторой седловой периодической орбиты. Этого не может быть, поскольку $x\notin A(f)$. Следовательно, $\alpha(x)\subset\alpha(f)$ и $x\in B(\alpha(f))\setminus\alpha(f)$. Пусть $U_{\alpha}$ – захватывающая окрестность множества $\alpha(f)$. Из равенства $B(\alpha(f))\setminus\alpha(f)=B(A(f))\setminus A(f)$ тогда следует, что порождающее множество $\operatorname{clos}[f(U_{\alpha})\setminus U_{\alpha}]\stackrel{\mathrm{def}}{=}G_{\alpha}$ бассейна $B(\alpha(f))$ принадлежит бассейну $B(A(f))$. Чтобы доказать, что $G_{\alpha}$ суть порождающее множество бассейна $B(A(f))$, достаточно показать, что любая орбита из $B(A(f))\setminus A(f)$ пересекает $G_{\alpha}$ хотя бы один раз. Возьмем $\operatorname{Orb}(x)\subset B(A(f))\setminus A(f)$. Тогда $\operatorname{Orb}(x)\subset B(\alpha(f))\setminus\alpha(f)$ и, следовательно, $\operatorname{Orb}(x)\cap G_{\alpha}\neq\varnothing$, что и требовалось доказать. Последнее утверждение доказывается полностью аналогично. Лемма доказана. § 2. Доказательство основной теоремыЕсли $f_1$ и $f_2$ сопряжены, то сопрягающий гомеоморфизм определен на всем многообразии $M^n$. Поэтому множества $A(f_1)$, $A(f_2)$ так же, как и множества $R(f_1)$, $R(f_2)$, будут локально динамически эквивалентно вложены, поскольку в качестве окрестности этих множеств можно взять несущее многообразие $M^n$. Докажем теперь обратное утверждение. Для определенности предположим, что множества $A(f_1)$, $A(f_2)$ локально динамически эквивалентно вложены, и будем доказывать сопряженность гомеоморфизмов $f_1$, $f_2$. По условию существуют открытые окрестности $\delta_1$, $\delta_2$ множеств $A(f_1)$, $A(f_2)$ соответственно и гомеоморфизм $h_0\colon \delta_1\to\delta_2$ такие, что
$$
\begin{equation}
h_0\circ f_1|_{\delta_1}=f_2\circ h_0|_{\delta_1}, \qquad f_1(\delta_1)\subset\delta_1, \qquad h_0(A(f_1))=A(f_2).
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Уменьшив, если необходимо, окрестность $\delta_1$, можно считать, что $\delta_1\subset B(A(f_1))$. Множества $\alpha(f_1)$, $\alpha(f_2)$ представляют собой конечные семейства источниковых периодических точек $\{\alpha_j(f_1)\}_{j=1}^{l_1}$, $\{\alpha_j(f_2)\}_{j=1}^{l_2}$ соответственно. Сначала покажем, что существует порождающее множество $G(\alpha(f_1))\stackrel{\mathrm{def}}{=}G_1$ бассейна $B(\alpha(f_1))$, принадлежащее окрестности $\delta_1$ и представляющее собой конечное объединение замкнутых попарно не пересекающихся $n$-мерных шаровых колец $A_1,\dots,A_{l_1}$, причем одна из компонент связности каждого кольца $A_i$ ограничивает в $M^n$ область $B_i$, гомеоморфную открытому $n$-мерному шару и содержащую ровно один источник $\alpha_i(f_1)$ гомеоморфизма $f_1$. Действительно, согласно лемме 2 существует такое порождающее множество $G_0$ бассейна $B(\alpha(f_1))$, но не обязательно принадлежащее окрестности $\delta_1$. Поскольку $G_0$ принадлежит области выталкивания $B(\alpha(f_1))\setminus\alpha(f_1)$ бассейна $B(\alpha(f_1))$, то $G_0\cap\omega(f_1)=\varnothing$. Более того, так как $\alpha$-предельное множество любой точки из $G_0$ принадлежит множеству $\alpha(f_1)$, которое не пересекается с $\sigma(f_1)$, то $G_0\cap A(f_1)=\varnothing$. Отсюда в силу леммы 4 вытекает включение $G_0\,{\subset}\, B(A(f_1))\,{\setminus}\,\omega(f_1)$, т.е. $G_0$ принадлежит области притяжения множества $A(f_1)$. Поскольку $G_0$ – компактное множество, то существует положительная итерация $f_1^{m_1}$ такая, что $f_1^{m_1}(G_0)$ принадлежит захватывающей области множества $A(f_1)$. В силу определения захватывающей области отсюда вытекает существование итерации $f_1^{m_2}$ такой, что $f_1^{m_2}(G_0)\subset\delta_1$. Поскольку итерации порождающего множества являются порождающими множествами, то $G(\alpha(f_1))=f_1^{m_2}(G_0)$ является порождающим множеством бассейна $B(\alpha(f_1))$. Так как $f_1(\delta_1)\subset\delta_1$, то $f_1^k(G(\alpha(f_1)))\subset\delta_1$ для всех $k\in\mathbb{N}$. Из того, что $f_1$ является гомеоморфизмом, следует, что $G(\alpha(f_1))=G_1$ удовлетворяет требуемым условиям. В силу леммы 4 множество $G_1\subset\delta_1$ является порождающим для бассейна $B(A(f_1))$. Покажем, что $h_0(G_1)\stackrel{\mathrm{def}}{=}G_2$ является порождающим множеством для бассейна $B(A(f_2))$. Сначала заметим, что из (2.1) вытекают включения $f_1^k(\delta_1)\subset\delta_1$, $f_2^k(\delta_2)\subset\delta_2$ и равенство $h_0\circ f_1^k|_{\delta_1}=f_2^k\circ h_0|_{\delta_1}$ для всех $k\in\mathbb{N}$. Для любой точки $z_2\in G_2$ имеется единственная точка $z_1\in G_1$ такая, что $h_0(z_1)=z_2$. Поскольку $z_1\in G_1\subset B(A(f_1))$, то $f_1^k(z_1)\to A(f_1)$ при $k\to\infty$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
f_2^k(z_2)=f_2^k\circ h_0(z_1)=h_0\circ f_1^k(z_1)\to h_0(A(f_1))=A(f_2) \quad\text{при }\ k\to\infty .
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $z_2\in B(A(f_2))$ и $G_2\in B(A(f_2))$. Возьмем теперь произвольную орбиту $\operatorname{Orb}_{f_2}\subset B(A(f_2))\setminus A(f_2)$ и покажем, что она пересекается с $G_2$. Так как эта орбита лежит в области притяжения множества $A(f_2)$, то $\operatorname{Orb}_{f_2}\,{\cap}\,\delta_2\,{\neq}\,\varnothing$. Поэтому существует точка $x_2\,{\in}\,\operatorname{Orb}_{f_2}\,{\cap}\,\delta_2$. Орбита $\operatorname{Orb}_{f_1}$ точки $x_1\,{=}\,h_0^{-1}(x_2)\,{\subset}\,\delta_1$ относительно гомеоморфизма $f_1$ принадлежит бассейну $B(A(f_1))$ и, следовательно, пересекает $G_1$ в некоторой точке, скажем $w_1\in\delta_1$. Часть орбиты $\operatorname{Orb}_{f_1}$ между точками $x_1$, $w_1$ принадлежит области $\delta_1$, поскольку $f_1^k(\delta_1)\subset\delta_1$ и либо $x_1=f_1^k(w_1)$, либо $w_1=f_1^k(x_1)$ для некоторого $k\in\mathbb{N}$. Предположим для определенности, что $w_1=f_1^k(x_1)$. Отсюда в силу соотношения (2.1) получаем
$$
\begin{equation*}
w_2=h_0(w_1)=h_0\circ f_1^k(x_1)=h_0\circ f_1^k\circ h_0^{-1}(x_2)=f_2^k(x_2)\in G_2\cap \operatorname{Orb}_{f_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично показывается, что произвольная орбита $\operatorname{Orb}_{f_2}\subset B(A(f_2))\setminus A(f_2)$ пересекает внутренность $G_2$ в одной точке или границу $G_2$ в двух точках. Таким образом, $h_0(G_1)=G_2\subset\delta_2$ является порождающим множеством для бассейна $B(A(f_2))$. В силу леммы 4 множество $G_2$ является порождающим для области выталкивания $B(\alpha(f_2))\setminus\alpha(f_2)$ бассейна $B(\alpha(f_2))$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\bigcup_{k\geqslant 0}f^{-k}_1(G_1)\stackrel{\mathrm{def}}{=}O^-(G_1), \qquad \bigcup_{k\geqslant 0}f^{-k}_2(G_2)\stackrel{\mathrm{def}}{=}O^-(G_2),
\end{equation*}
\notag
$$
и определим отображение $h\colon O^-(G_1)\to O^-(G_2)$ следующим образом. Для точки $x\in f^{-m}_1(G_1)\subset O^-(G_1)$ положим
$$
\begin{equation*}
h(x)=f^{-m}_2\circ h_0\circ f^m_1(x), \qquad m\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Стандартная проверка показывает, что $h$ является гомеоморфизмом и выполняется равенство Так как на $G_1\subset O^-(G_1)$ отображение $h$ совпадает с $h_0$, то $h$ можно продолжить на множество $ \bigcup_{k\geqslant 0}f^{k}_1(G_1)\stackrel{\mathrm{def}}{=}O^+(G_1)$ аналогичной формулой
$$
\begin{equation*}
h(x)=f^{m}_2\circ h_0\circ f^{-m}_1(x), \qquad m\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что в силу $G_1\subset\delta_1$ имеет место включение $O^+(G_1)\subset\delta_1$. Из (2.1) получаем, что $O^+(G_2)\subset\delta_2$ и на $O^+(G_1)$ отображение $h$ совпадает с $h_0$. Поэтому $h$ естественным образом продолжается на $A(f_1)$, если положить $h|_{A(f_1)}=h_0|_{A(f_1)}$. Согласно лемме 4 имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
B(\alpha(f_1))\setminus\alpha(f_1)=O^-(G_1)\cup O^+(G_1), \qquad B(\alpha(f_2))\setminus\alpha(f_2)=O^-(G_2)\cup O^+(G_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу того, что $h$ продолжено на $A(f_1)$, получаем наличие гомеоморфизма
$$
\begin{equation}
h\colon M^n\setminus\alpha(f_1) \to M^n\setminus\alpha(f_2),\qquad h\circ f_1|_{M^n\setminus\alpha(f_1)}=f_2\circ h|_{M^n\setminus\alpha(f_1)},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
поскольку согласно лемме 4 выполняются соотношения $M^n\setminus\alpha(f_i)=B(A(f_i))$, $i=1,2$. Напомним, что множества $\alpha(f_1)$, $\alpha(f_2)$ представляют собой конечные семейства точек $\{\alpha_j(f_1)\}_1^{l_1}$, $\{\alpha_j(f_2)\}_1^{l_2}$ соответственно. Бассейн $B(\alpha(f_i))$ суть дизъюнктивное объединение бассейнов $\bigcup_{j=1}^{l_i}B(\alpha_j(f_i))$, $i=1,2$. В силу леммы 2 порождающее множество $G_i$ для $B(\alpha(f_i))\setminus\alpha(f_i)=B(A(f_i))\setminus A(f_i)$ представляет собой дизъюнктивное объединение шаровых колец. Поскольку каждый бассейн $B(\alpha_j(f_i))$ гомеоморфен $\mathbb{R}^n$, то любое шаровое кольцо ограничивает в $B(\alpha_j(f_i))$ $n$-мерный шар, и в понятном смысле можно говорить о том, что шаровое кольцо окружает некоторую точку. Возьмем из порождающего множества $G_1$ бассейна $B(\alpha_r(f_1))$ шаровое кольцо $g_r\subset G_1$, которое окружает источниковую периодическую точку $\alpha_r(f_1)$ периода $p_r$, $1\leqslant r\leqslant l_1$. Тогда шаровое кольцо $f_1^{-kp_r}(g_r)$ примыкает к шаровому кольцу $f_1^{-(k+1)p_r}(g_r)$ по одной компоненте границы для любого $k\in\mathbb{Z}$. Поэтому множество
$$
\begin{equation*}
\bigcup_{k\geqslant 0}f_1^{-kp_r}(g_r)\cup\{\alpha_r(f_1)\}=D^n_r
\end{equation*}
\notag
$$
гомеоморфно $n$-мерному замкнутому шару. Из (2.2) вытекает, что $h(g_r)$ является $n$-мерным шаровым кольцом, причем шаровое кольцо $f_2^{-kp_r}\circ h(g_r)=h\circ f_1^{-kp_r}(g_r)$ примыкает к шаровому кольцу $f_2^{-(k+1)p_r}\circ h(g_r)=h\circ f_1^{-(k+1)p_r}(g_r)$ по одной компоненте границы для любого $k\in\mathbb{Z}$. Отсюда в силу того, что шаровое кольцо $h(g_r)$ входит в порождающее множество бассейна $B(\alpha(f_2))$, вытекает, что множество
$$
\begin{equation*}
\bigcup_{k\geqslant 0}f_2^{-kp_r}\circ h(g_r)=\bigcup_{k\geqslant 0}h\circ f_1^{-kp_r}(g_r)
\end{equation*}
\notag
$$
гомеоморфно проколотому шару $D^n_r\setminus\{\alpha_r(f_1)\}$ и
$$
\begin{equation*}
\operatorname{clos} \biggl(\bigcup_{k\geqslant 0}f_2^{-kp_r}\circ h(g_r)\biggr)\setminus\bigcup_{k\geqslant 0}f_2^{-kp_r}\circ h(g_r)
\end{equation*}
\notag
$$
есть некоторая источниковая периодическая точка $\alpha_{j(r)}(f_2)$ периода $p_r$ из семейства $\{\alpha_j(f_2)\}_1^{l_2}$ гомеоморфизма $f_2$. Из приведенной конструкции следует, что соответствие $r\to j(r)$ взаимно однозначное и, следовательно, $l_1=l_2=l$. Поскольку для достаточно большого $m\in\mathbb{N}$ шаровое кольцо $f^{-mp_r}_1(g_r)$ может быть помещено в любую сколь угодно малую окрестность точки $\alpha_r(f_1)$, то отсюда также вытекает, что $h$ продолжается в точки $\alpha_r(f_1)$, $1\leqslant r\leqslant l_1=l$, до гомеоморфизма, если положить $h(\alpha_r(f_1))=\alpha_{j(r)}(f_2)$. Так как при таком продолжении $h$ сохраняется соотношение (2.2), то мы получаем требуемый сопрягающий гомеоморфизм $h\colon M^n\to M^n$. Теорема доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZhuMed21} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|