Оценки расстояний от полюсов логарифмических производных многочленов до прямых и окружностей

Получены оценки расстояний $d(Q,\Gamma )$ от полюсов логарифмической производной $\theta _Q=Q'/Q$ многочлена $Q$ до прямых $\Gamma$ расширенной комплексной плоскости в зависимости от степени $\deg Q$ многочлена $Q$ и нормы $\theta _Q$ в определенной метрике на $\Gamma$. Определим наименьшие уклонения
$$ d_n(\Gamma )=\inf \{d(Q,\Gamma ):\|\theta _Q\|_{C(\Gamma )}\leqslant 1,\deg Q\leqslant n\},\qquad n=1,2,\dotsc . $$
Тогда, если $\Gamma _1$ – действительная ось, то $d_n(\Gamma _1)\asymp \ln \ln n/\ln n$, если $\Gamma _2$ – единичная окружность $|z|=1$, то $d_n(\Gamma _2)\asymp \ln n/n$. При нормировке производной $\theta'_Q$ в метрике $C(\Gamma _1)$ для соответствующего наименьшего уклонения имеем $d'_n(\Gamma _1)\asymp \ln n/\sqrt n$. При нормировке $\theta _Q$ в метрике $L_p(\Gamma _1)$, $1<p<\infty$, соответствующие наименьшие уклонения с ростом $n$ к нулю не убывают и ограничены снизу величиной $1/p (\sin \pi /p)^{p/(p-1)}$.
Библиография: 9 названий.