| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Операторы мультипликаторного типа и приближение периодических функций одной переменной тригонометрическими полиномами К. В. Руновский Филиал Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в г. Севастополе
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9136 
Реферативные базы данных:
      ВведениеБольшая часть проблематики теории приближения периодических функций тригонометрическими полиномами посвящена нахождению связей между структурными и конструктивными характеристиками, построению методов приближения и изучению их качества в терминах таких характеристик. Отметим, например, проблему мультипликаторов (см. [1]–[7]), прямые и обратные теоремы для различных модулей гладкости (см. [8]–[16]), задачу о связях обобщенной гладкости и приближения (см. [17]–[34]), оценки качества приближения средними Фурье в терминах наилучших приближений и различных модулей гладкости (см. [4], [5], [35]–[44]), задачу о производных тригонометрического полинома (см. [21], [29], [45]–[49]). Приведем некоторые примеры, характерные для отмеченных выше направлений. Так, для $\gamma, \delta, \alpha >0 $ и $ f \in L_p$, $1 \leqslant p \leqslant +\infty$, $n \in \mathbb{N} $ справедливы соотношения:
$$
\begin{equation}
\|f -S_n(f)\|_p \leqslant c\sum_{k=0}^{n-1}\frac{E_{n+k}(f)_p}{k+1};
\end{equation}
\tag{A}
$$
$$
\begin{equation}
\|f-\mathscr R_n^{(\delta, \gamma)}(f)\|_p \leqslant \frac{c(\delta, \gamma, p)}{n^\gamma} \sum_{k=0}^{n-1} (k+1)^{\gamma-1} E_k(f)_p;
\end{equation}
\tag{B}
$$
$$
\begin{equation}
\omega_\alpha(f, n^{-1})_p \leqslant \frac{c(\alpha, p)}{n^\alpha}\sum_{k=0}^ {n-1} (k+1)^{\alpha-1}E_k(f)_p;
\end{equation}
\tag{C}
$$
$$
\begin{equation}
\|f^{(\alpha)}\|_p\leqslant c(\alpha, p)\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)^{\alpha-1} E_n(f)_p;
\end{equation}
\tag{D}
$$
$$
\begin{equation}
L_1 =\bigcup_{\lambda, \beta} W_1^{(\lambda, \overline{\beta})},
\end{equation}
\tag{E}
$$
В соотношениях (A)–(F)
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag S_n(f; x) =\sum_{k=-n}^n f^\wedge (k)e^{ikx}, \quad n \in \mathbb{N}_0, \\ f^\wedge(k)=(2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}f(x)e^{-ikx}\,dx, \quad k \in \mathbb{Z}, \notag \\ \notag \mathscr R_n^{(\delta, \gamma)}(f ; x) =\sum_{k=-n}^n \biggl(1-\frac{|k|^\gamma}{n^\gamma}\biggr)^\delta f^\wedge (k)e^{ikx}, \qquad n \in \mathbb{N}, \\ E_n(f)_p=\inf_{T \in \mathscr T_n} \|f - T\|_p, \qquad \mathscr T_n = \biggl\{T(x)=\sum_{k=-n}^{n}c_k e^{ikx}\colon c_{-k}=\overline{c}_k,\,|k| \leqslant n \biggr\}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1}
$$
– частичные суммы ряда Фурье, обобщенные средние Рисса и соответственно наилучшее приближение функции $ f \in L_p $ полиномами порядка не выше $ n \in \mathbb{N}_0 $,
$$
\begin{equation}
(\cdot)^{(\lambda,\overline{\beta})}\colon e^{inx}\to\lambda_n e^{\operatorname{sgn}n(i\pi\beta_n)/2}e^{inx}, \quad n \in \mathbb{Z}; \qquad W_p^{(\lambda, \overline{\beta})} =\{g\colon g^{(\lambda, \overline{\beta})} \in L_p\},
\end{equation}
\tag{2}
$$
– линейный оператор $ (\lambda, \overline{\beta})$-производной ($(\psi,\overline{\beta})$-производной в терминологии работ [24], [27], $\psi=1/\lambda$), где $ \lambda_n=\lambda(|n|)$, $\lambda$ – вещественнозначная непрерывная возрастающая на $ [0, +\infty) $ к $ +\infty $ функция с $ \lambda(0)=0$, $\overline{\beta}=\{\beta_n\}_{n=1}^{+\infty}$, $\beta_n \in \mathbb{R}$, $(\cdot)^{(\lambda, \beta)} \equiv (\cdot)^{(\lambda, \overline{\beta})}$, если $ \beta_n=\beta$, $n \in \mathbb{Z}$, $(\cdot)^{(\alpha)}$ – производная Вейля, отвечающая $ \lambda(t)=t^{\alpha}$, $\alpha >0 $ и $ \beta=\alpha$,
$$
\begin{equation}
\omega_\alpha(f,\delta)_p=\sup_{0\leqslant h \leqslant \delta} \biggl\|\sum_{\nu=0}^{+\infty}(-1)^{\nu}\binom{\alpha}{\nu}(f(x+\nu h)-f(x))\biggr\|_p, \qquad \delta \geqslant 0,
\end{equation}
\tag{3}
$$
– модуль гладкости порядка $ \alpha >0$, а $ \mathbb{N}$, $\mathbb{N}_0$, $\mathbb{Z} $ и $ \mathbb{R} $ обозначают множества натуральных, целых неотрицательных, целых и соответственно вещественных чисел. Утверждение (D) означает, что сходимость ряда влечет существование производной Вейля с соответствующей оценкой нормы. Неравенство (A) доказано в [37]. Оценка (B) для средних Фейера ($\gamma=\delta=1$) получена в [35]. В общем случае она немедленно вытекает из эквивалентности ее левой части соответствующему К-функционалу ([40], [42]) и общей обратной теоремы для К-функционалов, порожденных однородными генераторами (см. [30; гл. 4, теорема 4.16]). Неравенство (C) может быть найдено в [16]. Оценка (D) является простым следствием общего результата из [28] для генераторов производной, удовлетворяющих $ \Delta_2$-условию. Результат (E) доказан в [27; гл. III, п. 11.7]. Классическое неравенство Бернштейна (F) с точной константой $1$ получено в [45]. Настоящая статья посвящена дальнейшему развитию универсальных подходов к решению широкого круга задач теории приближений и гладкости. Разработкой таких подходов занимались многие авторы (см., например, [2], [3], [5], [6], [21]–[25], [27]–[29], [39]). Отметим, что их основой является то обстоятельство, что многие объекты теории приближений и гладкости являются операторами мультипликаторного типа
$$
\begin{equation}
A_\sigma(\psi)\colon f(x)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} f^\wedge(k) e^{ikx} \to \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \psi\biggl(\frac{k}{\sigma}\biggr)f^\wedge(k) e^{ikx}, \qquad \sigma >0,
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $ \psi$ – комплекснозначная непрерывная на $ \mathbb{R} $ функция, удовлетворяющая условию симметричности $ \psi(-\xi)=\overline{\psi(\xi)}$, $\xi \in \mathbb{R}$. Изначально общие результаты формулировались в терминах преобразования Фурье. В основе этого подхода лежит классический критерий мультипликаторов (см., например, [2; гл. VII, теорема 3.4], [5], [6]). Более точно,
$$
\begin{equation*}
\sup_{1 \leqslant p \leqslant +\infty} \|\psi\|_{[p]}\equiv\sup_{1 \leqslant p \leqslant +\infty} \sup_{\sigma >0} \|A_\sigma(\psi)\|_{(p)} <+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\|\cdot\|_{(p)} $ – операторная $ p$-норма тогда и только тогда, когда генератор $ \psi $ является преобразованием Фурье конечной борелевской меры, т.е.
$$
\begin{equation}
\psi(\xi)=\widehat{\mu}(x)\equiv\int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\xi t} \,d\mu(t), \qquad \int_{-\infty}^{+\infty} |d\mu(t)|<+\infty.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Отметим, что в настоящей работе класс таких генераторов обозначается через $ \mathscr M$, а при отсутствии условии симметричности – через $ \mathscr M_\mathbb{C}$. Существенный вклад в развитие общей теории был сделан в целом ряде работ (см., например, [5], [22], [23], [39]). Так, в [22] и [23] на основе вытекающего из (4), (5) равенства
$$
\begin{equation}
A_{h^{-1}}(\psi)(f; x)=\int_{\mathbb{R}} f(x+th)\,d\mu(t)
\end{equation}
\tag{6}
$$
были введены обобщенные модули гладкости
$$
\begin{equation}
\omega_\mu(f, \delta)_p =\sup_{0\leqslant h \leqslant \delta} \biggl\|\int_{\mathbb{R}^d} f(x+th)\,d\mu(t)\biggr\|_p,
\end{equation}
\tag{7}
$$
при этом многие задачи свелись к проблеме их сравнения. Там же были найдены критерии справедливости оценки
$$
\begin{equation}
\omega_\eta(f, \delta)_p\leqslant C\omega_\tau(f, B\delta)_p, \qquad f \in L_p, \quad \delta \geqslant 0,
\end{equation}
\tag{8}
$$
где положительные постоянные $C$ и $B$ не зависят от $f$ и $\delta$, в терминах идеалов в банаховой алгебре мультипликаторов. Таким образом, реализация естественной идеи формулирования общих результатов в терминах преобразования Фурье в целом ряде случаев привела к труднопроверяемым на практике условиям. Однако в более поздних работах был достигнут существенный прогресс в развитии методов теории приближений и гладкости, основанных на использовании преобразования Фурье. В частности, отметим в этой связи книгу [39], а также статьи [5]–[9]. Дополняющими описанные выше исследования поисками условий на генераторы, прямо не связанных с преобразованием Фурье, также занимались многие авторы. В частности, отметим периодический аналог одномерной теоремы Марцинкевича о мультипликаторах в $ L_p$, $1 < p < +\infty$ (см., например, [3; гл. 4, теорема 6]), работы [1], [7] по достаточным условиям мультипликаторов в случае $ 1 \leqslant p \leqslant +\infty$, а также [28], [29] о связях между $ (\lambda, \beta)$-производными, модулями гладкости произвольных положительных порядков и наилучшими приближениями. Приведем точные формулировки основных результатов работы. В дальнейшем $\mathbb{C}$ – множество комплексных чисел, $ \operatorname{Re} z $ и $ \operatorname{Im}z$ – вещественная и мнимая части $ z \in \mathbb{C}$, $\overline{z}$ – сопряженное к $z$. Равенство $ f=O(g) $ означает, что $|f| \leqslant C|g|$ с некоторой положительной константой, не зависящей от аргумента функций $ f $ и $ g$. Величина $ E_t(f)_p$, также определяемая при помощи (1), является кусочно постоянной на интервалах $ [n, n+1)$, $n \in \mathbb{N}_0$, функцией непрерывного параметра $ t>0$. Пусть $ \Delta$ – конечный или бесконечный, открытый, полуоткрытый или замкнутый интервал. Скажем, что вещественнозначная функция $ \lambda $ принадлежит классу $ C^k(\Delta)$, $k \in \mathbb{N}$, если она непрерывна на замыкании $ \Delta $ и ее $ (k-1)$-я производная абсолютно непрерывна на каждом замкнутом конечном интервале из $ \Delta$. Если та или иная концевая точка входит в $ \Delta$, то соответствующая круглая скобка в обозначении класса заменяется квадратной. Если же в некоторой окрестности концевой точки, не входящей в $ \Delta$, $\lambda^{(k-1)} $ монотонна, то вместо соответствующей круглой скобки ставится угловая. По определению классы $ C^2 \langle 0_{\circ} \dots $ и $ C^2 \langle 0_{\prime} \dots$ состоят из функций $ \lambda\,{\in}\, C^2 \langle 0 \dots$, для которых $ \lambda(2t) =O(\lambda(t)) $ ($(\circ)$-условие) и соответственно $ \lambda'(2t) =O(\lambda'(t)) $ ($(\prime)$-условие) в некоторой окрестности нуля; $ C^2 \dots +\infty_{\circ} \rangle $ и $ C^2 \dots +\infty_{\prime} \rangle $ имеют аналогичный смысл, при этом соответствующие неравенства выполняются для достаточно больших $ t$. Такие условия часто называют $ \Delta_2$-условиями (см., например, [28], [29]). Через $ \mathscr C $ обозначим класс комплекснозначных симметричных функций $ \psi$, для которых $ \operatorname{Re}\psi, \operatorname{Im}\psi \in C^1(\mathbb{R})$, при этом $\psi(0)=0$. Пусть теперь $ \Delta$ – промежуток от $ a $ до $ b$, $0 \leqslant a < b \leqslant +\infty$. Класс $ \mathscr C^2(\Delta) $ с той или иной расстановкой круглых, квадратных и угловых скобок состоит по определению из комплекснозначных симметричных непрерывных на замыкании $ (-b, b) $ функций $ \psi$, для которых $ \psi(\xi)=0 $ при $|\xi| \leqslant a$, $\operatorname{Re}\psi, \operatorname{Im}\psi \in C^2(\Delta) $ для той же самой комбинации скобок, при этом $\operatorname{Re}\psi$, $\operatorname{Im}\psi $ не равны нулю в некоторой правой полуокрестности $ a$, если не совпадают с ним тождественно. Присутствие нижнего индекса $ \circ $ или $ \prime $ около $ a=0 $ или $ b=+\infty $ означает, что $ \operatorname{Re}\psi $ удовлетворяет соответствующему условию в окрестности соответствующей концевой точки. Наличие же верхнего индекса означает то же самое для $ \operatorname{Im}\psi$. Теорема 1 сформулирована и доказана в [34]. Основным же результатом настоящей работы является теорема 2, посвященная случаю $ 1 \leqslant p \leqslant +\infty$. Теорема 1 (см. [34]). Пусть $ 1 <p < +\infty$, $\psi \in \mathscr C$. Тогда для $ f \in L_p $ и $ \sigma >0 $ справедливо неравенство где $ \mathscr X(\xi)=0 $ для $ \xi \leqslant 1 $ и $ \mathscr X(\xi)=1 $ для $ \xi > 1$. Теорема 2. Пусть $ 1 \leqslant p \leqslant +\infty$, $a \geqslant 0$, $ f \in L_p $ и $ \sigma >0$. I. Если $ \psi\in \mathscr C^2(a,+\infty) $ и $ \lim_{t\to a+0} (t-a)\psi'(t)=0$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|A_\sigma(\psi)f\|_p & \leqslant c \biggl((|\psi(a_\sigma)|+(a_\sigma-a)|\psi'(a_\sigma)|)E_{a\sigma}(f)_p \\ \notag &\qquad + \int_{a_\sigma}^{+\infty}\biggl(|\psi'(t)|+(t-a)|\psi''(t)| +\frac{|{\operatorname{Im}\psi(t)}|}{t-a}\biggr)E_{t\sigma}(f)_p\,dt\biggr) \\ &\qquad + c(a)\int_{\min(a_\sigma, 2a)}^{2a} \frac{|{\operatorname{Re}\psi(t)}|}{t-a}E_{t\sigma}(f)_p\,dt, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
$$
где $ a_\sigma =[a\sigma +1]/\sigma$, $c$ – абсолютная положительная постоянная, $c(a)$ – положительная постоянная, зависящая только от $ a$. II. Если $ \psi\in \mathscr C^2\langle 0, +\infty \rangle$, то для любого $ 0<\rho<1$
$$
\begin{equation}
\|A_\sigma(\psi)f\|_p \leqslant c(\psi, \rho)\biggl(\int_0^{+\infty}|\psi'(t)|E_{\rho t\sigma}(f)_p\,dt+ \int_{\sigma^{-1}}^{+\infty}\frac{|{\operatorname{Im}\psi(t)}|}{t}E_{t\sigma}(f)_p\,dt\biggr)
\end{equation}
\tag{11}
$$
где положительная постоянная $ c(\psi, \rho) $ не зависит от $ f $ и $ \sigma$. III. Если $ \psi\in \mathscr C^2 \langle 0_{\prime}^{\circ}, +\infty_{\prime}^{\circ} \rangle$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|A_\sigma(\psi)f\|_p & \leqslant c(\psi)\biggl(|\psi(\min(\sigma^{-1}, t_0))|E_0(f)_p \\ &\qquad +\int_{\sigma^{-1}}^{+\infty}\biggl(|{\operatorname{Re}\psi'(t)}| +\frac{|{\operatorname{Im}\psi(t)}|}{t}\biggr)E_{t\sigma}(f)_p\,dt\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
где $ [0, t_0]$, $t_0>0$, – интервал монотонности функций $ \operatorname{Re}\psi $ и $ \operatorname{Im}\psi$, а положительная постоянная $ c(\psi) $ не зависит от $ f $ и $ \sigma$. Специальные случаи оценок (9) и (12), отвечающие $ \sigma=1 $ и $ (\lambda, \beta)$-производным, т.е. генераторам вида (2), были известны ранее. Так, (9) для функции $ \lambda$, удовлетворяющей $ \Delta_2$-условию, и (12) были получены в [28]. Отметим также, что из (11) немедленно вытекают результат о выпуклых мультипликаторах, доказанный в [7], а также приведенная в [29] оценка нормы $ (\lambda, \beta)$-производной в терминах модуля гладкости (3). В отличие от предшествующих результатов, в настоящей работе приводятся результаты, охватывающие более широкий, чем обычно, круг генераторов, содержащий также и функции экспоненциальных порядков, вместо модулей (3) рассматриваются общие $ \theta$-модули (см., например, [33]), а оценки (10)–(12) доказаны для произвольных $ \sigma$, что делает их применимыми не только к производным, но и к модулям гладкости и средним Фурье. Отметим также независимость константы в ключевой оценке (10) от $ \psi$. Получаемые из нее следствия не всегда являются порядково точными. Тем не менее из нее не только вытекают оценки (11) и (12), дающие точные следствия, но и сама она через возможность конструировать генераторы, зависящие от $ f $ и $ \sigma$, позволяет находить простые решения целого ряда весьма разнородных задач, таких как, например, утверждения (A) и (E). Примеры, иллюстрирующие сказанное, приведены в § 2–§ 5. Теоремы 1 и 2 имеют много следствий. В настоящей статье акцент сделан на дальнейшее изучение $ \theta$-модулей гладкости, начатое в [15], [33], [44], а также на обсуждение некоторых примеров из разных областей теории приближений, иллюстрирующих универсальность полученных общих результатов. Другие следствия, например касающиеся вопросов приближения гладких функций, совместного приближения и вложений классов функций, будут приведены в наших последующих работах. Следует отметить, что точность тех или иных оценок гладкостных характеристик и качества приближения различными методами аппроксимации, как правило, устанавливается на некоторых классах функций, последовательности наилучших приближений которых удовлетворяют определенным условиям (см., например, [28], [29], [37]). В настоящей работе получен целый ряд порядково точных результатов для некоторых нововведенных модулей гладкости и средних Фурье, генераторы которых существенно отличаются от степенных функций (см. (54), (69), (71), (76)). Работу в этом направлении, однако, можно считать лишь начатой. Дальнейшей же целью исследований, связанных с порядковой точностью оценок для нестандартных генераторов, является достижение уровня описаний в терминах классов функций, определяемых достаточно общими условиями на характер убывания наилучших приближений, который уже был достигнут в работах, посвященных объектам с генераторами, близкими в определенном смысле к степенным. Так, например, в дальнейших работах будет показано, что оценка (75) из теоремы 8 остается справедливой для достаточно широкого класса быстро растущих генераторов обобщенной производной, в частности для функций из экспоненциальной шкалы, т.е. без выполнения соотношения $ \Delta\lambda_{2n}=O(\Delta\lambda_n)$, являющегося дискретным аналогом $(\prime)$-условия. Оказывается, что такой прогресс может быть достигнут за счет более глубокого изучения свойств преобразования Фурье базового генератора (13) на основе методов и подходов, разработанных в [39]. В работе рассматривается одномерный случай, но многие из упомянутых выше результатов получены для многих переменных. При распространении теорем 1 и 2 на многомерный случай можно использовать как приближение полиномами с гармониками из шара, так и приближение “углом”. Таким образом, имеются два принципиально разных направления для обобщения оценок (9)–(12). Оба они являются предметом наших текущих исследований. § 1. Доказательство основного результатаВ дальнейшем через $ \mathscr D(b,c)$, $0<b<c$, будем обозначать множество вещественнозначных четных бесконечно дифференцируемых на $ \mathbb{R} $ функций, равных $0$ при $|\xi| > c $ и равных $1$ при $|\xi| \leqslant b$. Для определенной на $ \mathbb{R} $ и равной нулю при $ \xi \leqslant 0 $ вещественнозначной функции $ \psi $ формулы $ \psi^{(+)}(\xi) = \psi(\xi) + \psi(-\xi)$, $\psi^{(-)}(\xi) = \psi(\xi) - \psi(-\xi) $ будут обозначать ее четное и нечетное продолжения соответственно. Класс функций из $ C^2(a, \gamma)$, $0 \leqslant a < \gamma \leqslant +\infty$, удовлетворяющих условию $ \lim_{t\to a+0} (t-a) \psi'(t) =0$, будем обозначать через $ C^2(\mathbf a,\gamma)$. Для $ r \geqslant 1 $ положим
$$
\begin{equation}
\mathscr X_r(\xi) =\begin{cases} \xi^{-r}(\xi-1),& \xi \geqslant 1, \\ 0 ,& \xi <1, \end{cases}
\end{equation}
\tag{13}
$$
$$
\begin{equation}
J_r(\psi)(t)\equiv t^{1-r}(t^r\psi(t))''=r(r-1)\frac{\psi(t)}{t}+2r\psi'(t)+t\psi''(t).
\end{equation}
\tag{14}
$$
Лемма 1. Пусть $ r \geqslant 1$, $ 0 < \gamma \leqslant +\infty$. Если $ \psi$ – непрерывная на $ (-\infty, \gamma) $ функция из класса $ C^2(\mathbf 0,\gamma)$, равная нулю на $ (-\infty,0]$, то Доказательство. Для $ \xi \leqslant 0 $ правая часть (15) равна нулю в силу (13). Обозначая $ g(\xi)= \xi^r\psi(\xi)$, имеем с учетом (16) для $ 0 < \xi < \gamma $
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \int_0^\gamma g''(t)(\xi-t)_+\,dt &=\lim_{\varepsilon\to+0}\int_\varepsilon^\gamma g''(t)(\xi-t)_+\,dt= \lim_{\varepsilon\to+0} \int_\varepsilon^\xi g''(t)(\xi-t)\,dt \\ \notag &=\lim_{\varepsilon\to+0}(g(\xi) - g(\varepsilon) - g'(\varepsilon)(\xi-\varepsilon)) \\ &=g(\xi) - \xi \lim_{\varepsilon\to+0}(\varepsilon^{r-1}\psi(\varepsilon)+\varepsilon^r\psi'(\varepsilon)) =g(\xi). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
$$
Из (16) с учетом (13) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi(\xi) &=\int_0^\gamma (t^r \psi(t))''\frac{t}{\xi^r}\biggl(\frac{\xi}{t}-1\biggr)_+\,dt =\int_0^\gamma t^{1-r}(t^r \psi(t))''\frac{t^r}{\xi^r}\biggl(\frac{\xi}{t}-1\biggr)_+\,dt \\ &=\int_0^\gamma J_r(\psi)(t)\mathscr X_r\biggl(\frac{\xi}{t}\biggr)\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Лемма 2. $ \mathscr X_r \in \mathscr M_{\mathbb{C}} $ и $ \mathscr X_r^{(-)} \in \mathscr M $ для $ r >1$, $\mathscr X_r^{(+)} \in \mathscr M $ для $ r \geqslant 1$. Доказательство. Пусть сначала $ r > 2$. Тогда $ \mathscr X_r \in L_1(\mathbb{R}) $ и
$$
\begin{equation*}
|\widehat{\mathscr X}_r(x)|\leqslant c(1+|x|)^{-2}, \qquad x \in \mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
в силу (13), где $ c >0 $ не зависит от $ x$, что влечет $ \widehat{\mathscr X}_r \in L_1(\mathbb{R})$. Таким образом, на основании критерия мультипликаторов $ \mathscr X_r \in \mathscr M_{\mathbb{C}}$, $ \mathscr X_r^{(\pm)} \in \mathscr M$. Пусть теперь $ r >1$. Тогда на основании леммы 1 будем иметь
$$
\begin{equation}
\mathscr X_r(\xi +1)=\int_0^{+\infty}J_3(\mathscr X_r(\cdot + 1))(t)\mathscr X_3\biggl(\frac{\xi}{t}\biggr)\,dt,\qquad \xi \in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{17}
$$
что в силу (1) влечет операторное равенство
$$
\begin{equation}
A_\sigma(\mathscr X_r(\cdot +1))=\int_0^{+\infty}J_3(\mathscr X_r(\cdot + 1))(t) A_{t\sigma}(\mathscr X_3)\,dt,
\end{equation}
\tag{18}
$$
справедливое, по крайней мере, для полиномов. Учитывая, что при $ r>1$
$$
\begin{equation*}
c(r) \equiv\int_0^{+\infty} |J_3(\mathscr X_r(\cdot + 1))(t)|\,dt <+\infty
\end{equation*}
\notag
$$
в силу (13) и (14), получаем на основании (18) для $ \sigma >0 $ и $ 1 \leqslant p \leqslant +\infty$
$$
\begin{equation*}
\|A_\sigma(\mathscr X_r(\cdot +1))\|_{(p)} \leqslant \int_0^{+\infty} |J_3(\mathscr X_r(\cdot + 1))(t)|\,\|A_{t\sigma} (\mathscr X_3)\|_{(p)}\,dt \leqslant c(r) \|\mathscr X_{3}\|_{\mathscr M_{\mathbb{C}}},
\end{equation*}
\notag
$$
что доказывает утверждение для $ r>1$. Для проверки принадлежности $ \mathscr X_1^{(+)} $ классу $ \mathscr M $ заметим, что
$$
\begin{equation}
\mathscr X_1^{(+)}(\cdot) =1 - \varphi(\cdot) (1-\mathscr X_1^{(+)}(\cdot)) - (1-\varphi(\cdot))(1-\mathscr X_1^{(+)}(\cdot)),
\end{equation}
\tag{19}
$$
где $ \varphi \in \mathscr D(1,2)$. Обозначая $ \mathscr X = (1-\varphi)(1-\mathscr X_1^{(+)})$, в силу леммы 1 имеем
$$
\begin{equation*}
\mathscr X(\xi)=\int_0^{+\infty}J_3(\mathscr X)(t)\mathscr X_3^{(+)}\biggl(\frac{\xi}{t}\biggr), \qquad \xi \in \mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что $ \mathscr X(\xi)= \xi^{-1} $ для $ \xi \geqslant 2 $ и рассуждая аналогично случаю $ r>1$, заключаем, что $ \mathscr X \in \mathscr M$. Принадлежность преобразования Фурье функции $ \varphi(1-\mathscr X_1^{(+)}) $ пространству $ L_1(\mathbb{R}) $ проверяется так же, как и для $ \mathscr X_r $ в случае $ r>2$. Утверждение $ \mathscr X_1^{(+)} \in \mathscr M $ теперь немедленно следует из (19). Лемма доказана. Лемма 3. Пусть $ \psi \in C^2(\mathbf 0, \gamma)$, $\gamma > 0$, $\psi(0)=0 $ и $ 0<\delta <\gamma$. Тогда функция Доказательство. Утверждение $ Y_\delta(\psi)(t) \in C^2[0, \gamma)$, (21) и первое неравенство в (22) проверяются непосредственным вычислением. Учитывая (16), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |\psi(\delta)|= \biggl|\int_0^{\delta} \psi'(t)\,dt\biggr| \leqslant \int_0^\delta |\psi'(t)|\, dt, \\ \delta|\psi'(\delta)|= \biggl|\int_0^{\delta} t\psi''(t)\,dt +\int_0^{\delta} \psi'(t)\,dt\biggr|\leqslant \int_0^\delta (|\psi'(t)| + t|\psi''(t)|)\,dt, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
что влечет второе неравенство в (22). Лемма доказана. Доказательство теоремы 2. Пусть сначала функция $ \psi $ принадлежит классу $ C^2(\mathbf a,+\infty)$, $a \geqslant 0$, и равна нулю при $ \xi \leqslant a$. Для $ \sigma >0 $ положим
$$
\begin{equation}
\delta = a_\sigma - a = \frac{[a\sigma +1]}\sigma - a >0, \qquad \psi_\sigma(\xi) = \begin{cases} Y_\delta(\psi(\cdot +a))(\xi-a),&\xi \geqslant a, \\ 0 ,&\xi < a. \end{cases}
\end{equation}
\tag{23}
$$
В целях сокращения записей введем обозначения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, I(\psi)(t)=|\psi'(t)|+(t-a)|\psi''(t)|, \qquad J(\psi)(t)=\frac{|\psi(t)|}{t-a}+I(\psi)(t), \\ \mathscr J(t)=J_3(\psi_\sigma(\cdot +a))(t-a), \qquad G_t(\cdot)=\mathscr X_3 \biggl(\frac{\cdot - a}{t-a}\biggr), \qquad t > a. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{24}
$$
Тогда на основании (14), (20), (22)–(24) имеем Так как
$$
\begin{equation*}
\psi_\sigma^{(\pm)}(\xi) =\int_a^{+\infty} \mathscr J(t)G_t^{(\pm)}(\xi)\,dt
\end{equation*}
\notag
$$
на основании леммы 1 и (24) и $ A_\sigma(\psi^{(\pm)}) = A_\sigma(\psi_\sigma^{(\pm)}) $ в силу (1), (21) и (23), имеем
$$
\begin{equation*}
A_\sigma(\psi^{(\pm)}) =\int_a^{+\infty} \mathscr J(t) A_\sigma(G_t^{(\pm)})\,dt .
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для $ f \in L_p$
$$
\begin{equation}
\|A_\sigma(\psi^{(\pm)})f\|_{p} \leqslant \int_a^{+\infty} |\mathscr J(t)|\|A_\sigma(G_t^{(\pm)})f\|_p\,dt .
\end{equation}
\tag{26}
$$
Учитывая, что в силу (13) и (24) $ G_t^{(\pm)}(\xi)=0 $ при $|\xi| \leqslant t$, имеем $ A_\sigma(G_t^{(\pm)})T\,{=}\,0 $ для $ T \in \mathscr T_{t\sigma}$, что влечет
$$
\begin{equation}
\|A_\sigma(G_t^{(\pm)})f\|_p = \|A_\sigma(G_t^{(\pm)})(f-T)\|_p \leqslant \|A_\sigma(G_t^{(\pm)})\|_{(p)} \|f-T\|_p .
\end{equation}
\tag{27}
$$
В силу (4), (24) и леммы 2
$$
\begin{equation*}
\|A_\sigma(G_t^{(\pm)})\|_{(p)} \leqslant 2 \|A_\sigma(G_t)\|_{(p)} \leqslant 2\|\mathscr X_3\|_{\mathscr M_{\mathbb{C}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, на основании (5) и (27) получаем для $ t >a$
$$
\begin{equation}
\|A_\sigma(G_t^{(\pm)})f\|_p \leqslant 2\|\mathscr X_3\|_{\mathscr M_{\mathbb{C}}}E_{t\sigma}(f)_p.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Принимая во внимание, что $ [a\sigma] \leqslant t\sigma <[a\sigma]+1$, $E_{t\sigma}(f)_p = E_{[a\sigma]}(f)_p $ для $ a \leqslant t < a_\sigma$, на основании (25), (26) и (28) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|A_\sigma(\psi^{(\pm)})f\|_{p} & \leqslant c_1 \int_a^{+\infty} |\mathscr J(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \\ &=c_1\biggl(E_{[a\sigma]}(f)_p \int_a^{a_\sigma} |\mathscr J(t)|\,dt +\int_{a_\sigma}^{+\infty}|\mathscr J(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \biggr) \\ &\leqslant c_2 \biggl(\int_a^{a_\sigma}|I(\psi)(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt + \int_{a_\sigma}^{+\infty}|J(\psi)(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \biggr) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|A_\sigma(\psi^{(\pm)})f\|_p & \leqslant c \biggl((|\psi(a_\sigma)|+(a_\sigma-a)|\psi'(a_\sigma)|)E_{a\sigma}(f)_p \\ &\qquad + \int_{a_\sigma}^{+\infty}\biggl(|\psi'(t)| +(t-a)|\psi''(t)|+\frac{|\psi(t)|}{t-a}\biggr) E_{t\sigma}(f)_p\,dt \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
где $ c_1$, $c_2$, $c$ – абсолютные положительные постоянные. Для функции $ \psi^{(+)} $ неравенство (29) может быть улучшено. Рассмотрим сначала случай $ a =0$. Применяя лемму 1 с $ r =1$, имеем
$$
\begin{equation*}
\psi_\sigma^{(+)}(\xi) =\int_0^{+\infty} J_1(\psi_\sigma)(t) \mathscr X_1^{(+)}\biggl(\frac{\xi}{t}\biggr)\,dt, \qquad \xi \in \mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
что влечет
$$
\begin{equation}
\|A_\sigma(\psi^{(+)}) f\|_p \leqslant \int_0^{+\infty} |J_1(\psi_\sigma)(t)|\,\|A_{t\sigma}(\mathscr X_1^{(+)})f\|_p \,dt, \qquad f \in L_p.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Применяя аргументы, использованные при доказательстве (28), в частности лемму 2, получаем
$$
\begin{equation}
\|A_{t\sigma}(\mathscr X_1^{(+)})f\|_p \leqslant \|\mathscr X_1^{(+)}\|_\mathscr M E_{t\sigma}(f)_p, \qquad f \in L_p, \qquad t>0.
\end{equation}
\tag{31}
$$
На основании (30) и (31) с учетом (14) и (22) окончательно имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|A_\sigma(\psi^{(+)}) f\|_p & \leqslant c\biggl((|\psi(\sigma^{-1})|+\sigma^{-1}|\psi'(\sigma^{-1})|) E_0(f)_p \\ &\qquad +\int_{\sigma^{-1}}^{+\infty} (|\psi'(t)|+t|\psi''(t)|) E_{t\sigma}(f)_p\,dt \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{32}
$$
где $ c>0$ – абсолютная постоянная. Пусть теперь $ a >0$. Тогда
$$
\begin{equation}
\psi(\cdot) =\varphi\biggl(\frac{\cdot}{a}\biggr)\psi(\cdot) +\biggl(1-\varphi\biggl(\frac{\cdot}{a}\biggr)\biggr)\psi(\cdot) \equiv \eta(\cdot) +\zeta(\cdot),
\end{equation}
\tag{33}
$$
где $ \varphi \in \mathscr D(1,2)$. Прямым вычислением получаем для почти всех $ a \leqslant t \leqslant 2a$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\eta(t)|,|\zeta(t)| & \leqslant c_1 |\psi(t)|, \\ |\eta'(t)|,|\zeta'(t)| & \leqslant c_1 (|\psi(t)|+|\psi'(t)|), \\ |\eta''(t)| & \leqslant c_1 (|\psi(t)|+|\psi'(t)|+|\psi''(t)|), \\ |\zeta''(t)| & \leqslant c_1 \biggl(|\psi(t)|+|\psi'(t)|+\biggl|1-\varphi\biggl(\frac{t}{a}\biggr)\biggr|\,|\psi''(t)|\biggr) \\ &\leqslant c_2 (|\psi(t)|+|\psi'(t)|+(t-a)|\psi''(t)|), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{34}
$$
где положительные постоянные $ c_1 $ и $ c_2 $ зависят только от $ a$. Заметим также, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_a^{2a} |\psi(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \leqslant\int_a^{2a}\int_a^t |\psi'(\tau)| E_{t\sigma}(f)_p\,d\tau \,dt \\ &\qquad=\int_a^{2a}|\psi'(\tau)|\int_\tau^{2a}E_{t\sigma}(f)_p\,dt \,d\tau \leqslant a\int_a^{2a}|\psi'(\tau)|E_{\tau\sigma}(f)_p\,d\tau . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{35}
$$
Очевидно, (34) и (35) справедливы также и для функций $ \psi_\sigma$, $\eta_\sigma $ $ \zeta_\sigma$, определенных при помощи (23). Обозначая функционал $ I $ из (24) при $ a=0 $ через $ I_0 $ и учитывая, что $ \zeta $ принадлежит $ C^2(\mathbf 0, +\infty)$, при этом $ \zeta(t) = \psi(t) $ и $ t/(t-a) \leqslant 2 $ для $ t \geqslant 2a$, а также, что $ \zeta(t) =0 $ для $ 0 \leqslant t \leqslant a$, получаем на основании (32), (34) и (35) с учетом (22)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|A_\sigma(\zeta^{(+)})f\|_p \leqslant c_1\int_0^{+\infty}I_0(\zeta_\sigma)E_{t\sigma}(f)_p\,dt \\ \notag &\qquad\leqslant c_2\biggl(\int_a^{2a}(t+1)(|\psi_\sigma(t)| +I(\psi_\sigma)(t))E_{t\sigma}(f)_p\,dt \\ \notag &\qquad\qquad + \int_{2a}^{+\infty}\biggl(|\psi_\sigma'(t)| +\frac{t}{t-a} (t-a)|\psi_\sigma''(t)|\biggr)E_{t\sigma}(f)_p\,dt\biggr) \\ \notag &\qquad \leqslant c_3\int_a^{+\infty} I(\psi_\sigma)(t) E_{t\sigma}(f)_p\,dt \\ & \qquad\leqslant c_4 \biggl((|\psi(a_\sigma)|+(a_\sigma-a)|\psi'(a_\sigma)|)E_{a\sigma}(f)_p +\int_{a_\sigma}^{+\infty} I(\psi)(t) E_{t\sigma}(f)_p\,dt \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{36}
$$
где положительные постоянные $ c_1$, $c_2$, $c_3 $ и $ c_4 $ зависят только от $ a$. Если $ \sigma_a \geqslant 2a$, то $ A_\sigma(\psi)=A_\sigma(\zeta) $ в силу (1), (23) и (33), а значит, (10) немедленно следует из (36). Eсли же $ a_\sigma < 2a$, то, учитывая, что $ \eta $ принадлежит классу $ C^2(\mathbf 0, +\infty) $ и $ \eta(t)=0 $ при $ 0 <t\leqslant a $ и $ t \geqslant 2a$, на основании (22), (29), (34) и (35) будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|A_\sigma(\eta^{(+)})f\|_p & \leqslant c_1 \biggl(\int_a^{2a} I(\eta_\sigma)(t) E_{t\sigma}(f)_p\,dt +\int_{a_\sigma}^{2a} \frac{|\eta(t)|}{t-a}E_{t\sigma}(f)_p\,dt \biggr) \\ \notag & \leqslant c_2 \biggl(\int_a^{2a}((1+t-a)(|\psi_\sigma(t)|+|\psi_\sigma'(t)|)+(t-a) \\ \notag &\qquad\times |\psi_\sigma''(t)|) E_{t\sigma}(f)_p\,dt +\int_{a_\sigma}^{2a} \frac{|\psi(t)|}{t-a}E_{t\sigma}(f)_p\,dt \biggr) \\ \notag & \leqslant c_3 \biggl(\int_a^{2a}I(\psi_\sigma)(t) E_{t\sigma}(f)_p\,dt +\int_{a_\sigma}^{2a}\frac{|\psi(t)|}{t-a} E_{t\sigma}(f)_p\,dt \biggr) \\ \notag & \leqslant c_4 \biggl((|\psi(a_\sigma)|+(a_\sigma-a)|\psi'(a_\sigma)|) E_{a\sigma}(f)_p \\ &\qquad+ \int_{a_\sigma}^{2a} J(\psi)(t) E_{t\sigma}(f)_p\,dt \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
где положительные постоянные $c_1$, $c_2$, $c_3$ и $c_4$ зависят только от $a$. На основании (23), (33), (36) и (37) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|A_\sigma(\psi^{(+)})f\|_p \leqslant c \biggl((|\psi(a_\sigma)|+(a_\sigma-a)|\psi'(a_\sigma)|)E_{a\sigma}(f)_p \\ &\qquad\qquad +\int_{a_\sigma}^{+\infty}(|\psi'(t)| +(t-a)|\psi''(t)|) E_{t\sigma}(f)_p\,dt +\int_{a_\sigma}^{2a}\frac{|\psi(t)|}{t-a} E_{t\sigma}(f)_p\,dt\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{38}
$$
где положительная постоянная $ c>0 $ зависит только от $ a$. Пусть теперь $ \psi\in \mathscr C^2(a,+\infty) $ и $ \lim_{t\to a+0} (t-a)\psi'(t)=0$. Введем функцию $ \psi_0$, совпадающую с $ \psi $ на положительной полуоси и равную нулю на отрицательной. Применяя (29) к функции $ (\operatorname{Im}\psi_0)^{(-)}=\operatorname{Im}\psi$, а также (32) при $ a=0 $ и (38) при $ a>0 $ к функции $ (\operatorname{Re}\psi_0)^{(+)}=\operatorname{Re}\psi$, немедленно получаем оценку (22). Часть I теоремы 2 доказана. Пусть $ \lambda $ равно $ \operatorname{Re}\psi $ или $ \operatorname{Im}\psi$. Для произвольного $ 0<\rho<1 $ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_0^{+\infty} t|\lambda''(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \\ &\qquad = \sum_{k=-\infty}^{-k_0}\int_{r^k}^{r^{k+1}} +\int_{r^{-k_0+1}}^{r^{k_1}} +\sum_{k=k_1}^{+\infty}\int_{r^k}^{r^{k+1}}\equiv I_1(\lambda) +I_2(\lambda)+I_3(\lambda), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{39}
$$
где $ r =\rho^{-1/2}$, а натуральные числа $ k_0 $ и $ k_1 $ таковы, что функция $ \lambda' $ монотонна на интервалах $ (0,r^{-k_0+2}] $ и $ [r^{k_1-1},+\infty)$. Если $|\lambda'|$ убывает на первом интервале, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1(\lambda) & \leqslant \sum_{k=-\infty}^{-k_0} r^{k+1}|\lambda'(r^k)|E_{r^k \sigma}(f)_p \leqslant \frac{r}{r-1}\sum_{k=-\infty}^{-k_0}\int_{r^{k-1}}^{r^k} |\lambda'(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \\ &\leqslant \frac{r}{r-1}\int_{0}^{r^{-k_0}} |\lambda'(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если же $|\lambda'|$ возрастает, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1(\lambda) & \leqslant \sum_{k=-\infty}^{-k_0} r^{k+1}|\lambda'(r^{k+1})|E_{r^k \sigma}(f)_p \leqslant \frac{1}{r-1}\sum_{k=-\infty}^{-k_0}\int_{r^{k+1}}^{r^{k+2}} |\lambda'(t)|E_{r^{-2}t\sigma}(f)_p\,dt \\ &\leqslant \frac{1}{r-1}\int_{0}^{r^{-k_0+2}} |\lambda'(t)|E_{r^{-2}t\sigma}(f)_p\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в обоих случаях
$$
\begin{equation}
I_1(\lambda) \leqslant \frac{1}{1-\sqrt{\rho}} \int_{0}^{r^{-k_0+2}} |\lambda'(t)|E_{\rho t\sigma}(f)_p\,dt.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Рассуждая аналогично, имеем
$$
\begin{equation}
I_3(\lambda) \leqslant \frac{1}{1-\sqrt{\rho}} \int_{r^{k_1-1}}^{+\infty} |\lambda'(t)|E_{\rho t\sigma}(f)_p\,dt.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Учитывая, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_2(\lambda)&\leqslant E_{r^{-k_0+1}\sigma}\int_{r^{-k_0+1}}^{r^{k_1}} t|\lambda''(t)|\,dt \\ &\leqslant \biggl(\int_0^{r^{-k_0+1}}t|\lambda''(t)|\,dt\biggr)^{-1} \biggl(\int_{r^{-k_0+1}}^{r^{k_1}}t|\lambda''(t)|\,dt \biggr)I_1(\lambda), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
на основании (39)–(41) получаем
$$
\begin{equation*}
\int_0^{+\infty} t\lambda''(t)E_{t\sigma}(f)_p\,dt\leqslant c \int_0^{+\infty} |\lambda'(t)|E_{\rho t\sigma}(f)_p\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где положительная постоянная $ c $ не зависит от $ f $ и $ \sigma$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
\int_0^{+\infty} t|\psi''(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \leqslant \sqrt{2}c \int_0^{+\infty} |\psi'(t)| E_{\rho t\sigma}(f)_p\,dt.
\end{equation}
\tag{42}
$$
Учитывая, что в силу (22)
$$
\begin{equation*}
(|\psi(\sigma^{-1})|+\sigma^{-1}|\psi'(\sigma^{-1})|)E_0(f)_p \leqslant 2 \int_0^{\sigma^{-1}} (|\psi'(t)| + t|\psi''(t)|)E_{t\sigma}(f)_p\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
немедленно получаем (11) из (10) и (42). Часть II теоремы 2 доказана. Докажем теперь часть III. Пусть $ (0, t_1] $ и $ [t_2, +\infty)$ – интервалы, где выполняется $(\prime)$-условие для функции $ \operatorname{Re}\psi'$. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{1}{2}\int_0^{+\infty} |{\operatorname{Re}\psi'(t)}|E_{(t\sigma)/2}(f)_p\,dt \,{=}\,\int_0^{+\infty} |{\operatorname{Re}\psi'(2t)}|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \,{=}\, \int_0^{t_1} + \int_{t_1}^{t_2} +\int_{t_2}^{+\infty} \\ \notag &\qquad \leqslant c\biggl(\int_0^{t_1} |{\operatorname{Re}\psi'(t)}|E_{t\sigma}(f)_p\,dt +E_{t_1\sigma}(f)_p \int_{t_1}^{t_2}|{\operatorname{Re}\psi'(2t)}|\,dt \\ \notag &\qquad \qquad +\int_{t_2}^{+\infty} |{\operatorname{Re}\psi'(t)}|E_{t\sigma}(f)_p\,dt\biggr) \leqslant c_1 \int_0^{+\infty} |{\operatorname{Re}\psi'(t)}|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \\ &\qquad \leqslant c_2 \biggl(|{\operatorname{Re}\psi(\min(\sigma^{-1}, t_0))}|E_0(f)_p + \int_{\sigma^{-1}}^{+\infty} |{\operatorname{Re}\psi'(t)}|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{43}
$$
где $ [0, t_0]$, $t_0>0$, – интервал монотонности функций $ \operatorname{Re}\psi $ и $ \operatorname{Im}\psi$, а положительные постоянные $ c$, $c_1 $ и $ c_2 $ не зависят от $ f $ и $ \sigma$. Положим $ \lambda = \operatorname{Im}\psi$. Пусть теперь $ (0, 4 t_1] $ и $ [t_2, +\infty)$ – интервалы монотонности $|\lambda'|$, в которых выполняется $(\circ)$-условие для $ \lambda$. Тогда для $ t \in (0, t_1] $ имеем
$$
\begin{equation*}
2t|\lambda'(2t)| \leqslant \int_{2t}^{4t}|\lambda'(\tau)|\, d\tau =|\lambda(4t)-\lambda(2t)|\leqslant c|\lambda(t)|
\end{equation*}
\notag
$$
в случае возрастания $|\lambda'|$ и
$$
\begin{equation*}
t|\lambda'(2t)| \leqslant \int_t^{2t} |\lambda'(\tau)|\, d\tau =|\lambda(2t)-\lambda(t)|\leqslant c|\lambda(t)|
\end{equation*}
\notag
$$
в случае ее убывания. Таким образом, во всех случаях для $ t \in (0, t_1]$, где положительная постоянная $ c $ не зависит от $ t$. Рассуждая аналогично, получаем выполнение (44) также и для $ t \in [t_2, +\infty )$. Пусть сначала $ \sigma >t_1^{-1}$. Тогда на основании (44) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_0^{+\infty} |\lambda'(t)|E_{(t\sigma)/2}(f)_p\,dt \leqslant|\lambda(2\sigma^{-1})|E_0(f)_p + \int_{2\sigma^{-1}}^{+\infty} |\lambda'(t)|E_{(t\sigma)/2}(f)_p\,dt \\ \notag &\qquad =|\lambda(2\sigma^{-1})|E_0(f)_p + 2 \int_{\sigma^{-1}}^{+\infty} |\lambda'(2t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \\ \notag &\qquad\leqslant c\biggl(|\lambda(2\sigma^{-1})|E_0(f)_p +\int_{\sigma^{-1}}^{t_1} + \int_{t_1}^{t_2} + \int_{t_2}^{+\infty} \biggr) \\ \notag &\qquad \leqslant c_1\biggl(| \lambda(\sigma^{-1})|E_0(f)_p + \int_{\sigma^{-1}}^{t_1} \frac{|\lambda(t)|}{t}E_{t\sigma}(f)_p\,dt \\ \notag &\qquad\qquad +E_{t_1\sigma}(f)_p \int_{t_1}^{t_2} |\lambda'(2t)|\,dt + \int_{t_2}^{+\infty} \frac{|\lambda(t)|}{t}E_{t\sigma}(f)_p\,dt\biggr) \\ &\qquad \leqslant c_2\biggl(|\lambda(\sigma^{-1})|E_0(f)_p + \int_{\sigma^{-1}}^{+\infty} \frac{|\lambda(t)|}{t}E_{t\sigma}(f)_p\,dt\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{45}
$$
где положительные постоянные $ c$, $c_1 $ и $ c_2 $ не зависят от $ f $ и $ \sigma$. Пусть $ 0<\sigma \leqslant t_1^{-1}$. Положим $ \alpha=\min(\sigma^{-1}, t_0)$. Учитывая, что $ t_0\geqslant 4t_1>t_1 $, и полагая без ограничения общности, что $ t_2>\alpha$, на основании (44) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_0^{+\infty} |\lambda'(t)|E_{(t\sigma)/2}(f)_p\,dt =\int_0^{\alpha} +\int_{\alpha}^{2t_2} + \int_{2t_2}^{+\infty} \\ \notag &\qquad\leqslant c\biggl(\int_0^{\alpha} + E_{(\alpha\sigma)/2}\int_{\alpha}^{2t_2}|\lambda'(t)|\,dt+ \int_{2t_2}^{+\infty}\biggr) \\ \notag &\qquad \leqslant c_1\biggl( \int_0^{\alpha} |\lambda'(t)|E_{(t\sigma)/2}(f)_p\,dt +\int_{t_2}^{+\infty}|\lambda'(2t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt\biggr) \\ &\qquad \leqslant c_2\biggl(|\lambda(\alpha)|E_0(f)_p + \int_{\sigma^{-1}}^{+\infty} \frac{|\lambda(t)|}{t}E_{t\sigma}(f)_p\,dt\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{46}
$$
где положительные постоянные $ c$, $c_1 $ и $ c_2 $ не зависят от $ f $ и $ \sigma$. Теперь оценка (12) немедленно следует из (11), (43), (45) и (46). Теорема 2 полностью доказана. § 2. Средние ФурьеСредние Фурье, порожденные генератором $ \varphi$, определяются формулой
$$
\begin{equation}
\mathscr F_\sigma^{(\varphi)}(f;x)= \sum_{k \in \mathbb{Z}}\varphi\biggl(\frac{k}{\sigma}\biggr)f^\wedge(k) e^{ikx}, \qquad f \in L_p, \qquad \sigma>0,
\end{equation}
\tag{47}
$$
где $ \varphi $ принадлежит классу $ \mathscr K$, состоящему по определению из комплекснозначных симметричных непрерывных на $ \mathbb{R} $ функций с компактным носителем, сосредоточенным в интервале $ [-1,1]$, для которых $ \varphi(0)=1 $ и $ \widehat{\varphi} \in L_1(\mathbb{R})$. Известно, что $ \mathscr K \subset \mathscr M$, при этом средние (47) сходятся в $ L_p $ для всех $ 1 \leqslant p \leqslant +\infty$ (см., например, [39]). Из результатов работы [7] вытекает, что если непрерывная на $ \mathbb{R} $ функция $ \varphi $ с носителем в $ [-1,1] $ такова, что $ 1-\varphi(\cdot) \in \mathscr C^2 \langle 0, 1 \rangle $ и при этом
$$
\begin{equation}
\int_0^1 \frac{|{\operatorname{Im} \varphi(t)}|+|\varphi(1-t)|}{t}\,dt <+\infty,
\end{equation}
\tag{48}
$$
то $ \varphi \in \mathscr K$. Этот же результат можно легко получить из теоремы 2. Более того, из теоремы 2 также вытекает, что если для таких функций условие (48) не выполняется, то для $ 1 \leqslant p \leqslant +\infty$
$$
\begin{equation}
\|\mathscr F_\sigma^{(\varphi)}\|_{(p)} \leqslant c\biggl(1 + \int_{\sigma^{-1}}^1 \frac{|{\operatorname{Im} \varphi(t)}|+|\varphi(1-t)|} {t}\,dt\biggr), \qquad \sigma>0,
\end{equation}
\tag{49}
$$
где положительная постоянная $ c \equiv c(p, \varphi) $ не зависит от $ \sigma$. Таким образом, теорема 2 позволяет оценивать нормы средних Фурье также и в случае их неограниченного роста. В частности, из (49) немедленно вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\sup_{1\leqslant p\leqslant +\infty} \|S_n\|_{(p)} \leqslant c\ln n, \qquad n\geqslant 2,
\end{equation*}
\notag
$$
для частичных сумм ряда Фурье. Теорема 2 позволяет оценить качество приближения средними Фурье в терминах наилучших приближений. Следующее ниже утверждение, являющееся одним из ее возможных следствий, охватывает, по крайней мере, все классические средние, порожденные вещественнозначными четными генераторами. Теорема 3. Пусть $ 1 \leqslant p \leqslant +\infty $ и четная непрерывная на $ \mathbb{R} $ функция $ \varphi $ с носителем в $ [-1,1] $ такова, что $ 1-\varphi(\cdot) \in \mathscr C^2 \langle 0_{\prime}, 1 \rangle $ и выполнено условие (48). Тогда для $ f \in L_p $ и $ \sigma > 0 $ справедливо неравенство где положительная постоянная $ c $ не зависит от $ f $ и $ \sigma$. Доказательство. Применяя (12) для произвольного продолжения функции $ 1-\varphi(\cdot) $ с $ [-1/2, 1/2] $ на $ \mathbb{R}$, принадлежащего классу $ \mathscr C^2 \langle 0_{\prime}, +\infty_{\prime} \rangle$, в качестве $ \psi$ и для полинома наилучшего приближения $ T \in \mathscr T_{\sigma/2} $ функции $ f$, имеем с учетом вытекающей из (50) принадлежности $ \varphi $ классу $ \mathscr K $
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|f-\mathscr F^{(\varphi)}_\sigma(f)\|_p \leqslant cE_{\sigma/2}(f)_p + \|T-\mathscr F^{(\varphi)}_\sigma(T)\|_p \\ &\qquad\leqslant c_1 \biggl(E_{\sigma/2}(f)_p +\int_0^{1/2} |\varphi'(t)|E_{t\sigma}(T)_p \,dt\biggr) \\ &\qquad\leqslant c_2 \biggl(E_{\sigma/2}(f)_p +\int_0^{1/2} |\varphi'(t)|E_{t\sigma}(f)_p \,dt\biggr) \leqslant c_3 \int_0^{1/2} |\varphi'(t)| E_{t\sigma}(f)_p\,dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где положительные постоянные $ c$, $c_1$, $c_2$ и $ c_3 $ не зависят от $ f $ и $ \sigma$. Теорема доказана. Пусть, дополнительно, $\varphi $ и $ \varphi' $ монотонны на $ [0,1/2]$. Замечая, что
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{1/2} |\varphi'(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \leqslant \sum_{k=0}^{[n/2]} \int_{k/n}^{(k+1)/n} \leqslant\sum_{k=0}^{1/2} E_k(f)_p \int_{k/n}^{(k+1)/n} |\varphi'(t)|\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
и учитывая $(\prime)$-условие, можно переписать (51) в привычной дискретной форме
$$
\begin{equation}
\|f-\mathscr F_n^{(\varphi)}(f)\|_p \leqslant \frac{c}{n}\biggl( |1-\varphi(n^{-1})|E_0(f)_p + \sum_{k=1}^{[n/2]} \biggl|\varphi'\biggl(\frac{k}{n}\biggr)\biggr|E_{k}(f)_p\biggr), \qquad n \geqslant 2.
\end{equation}
\tag{51}
$$
В частности, из (51) немедленно вытекает оценка (B) для обобщенных средних Рисса. В качестве неклассического примера рассмотрим средние $ \mathscr L_n^{(\alpha)}$, $\alpha >0$, произведенные четным генератором, удовлетворяющим условию (48) и равным $ 1-(-\ln|t|)^{-\alpha} $ для $ 0<t \leqslant 1/2$. В силу (50)
$$
\begin{equation}
\|f - \mathscr L_n^{(\alpha)}(f)\|_p \leqslant c\biggl(\frac{E_0(f)_p}{\ln^\alpha n} + \sum_{k=1}^{[n/2]}\frac{E_k(f)_p}{k(\ln n - \ln k)^{\alpha+1}}\biggr)
\end{equation}
\tag{52}
$$
для $ f \in L_p $ и $ n \geqslant 2$, где $ c>0 $ не зависит от $ f $ и $ n$. Пусть $ 0<\gamma < \alpha $ и функция $ f \in L_p $ такова, что $ E_n(f)_p =O((\ln n)^{-\gamma})$. Применяя (52) в интегральной форме, имеем для $ n \geqslant 4$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|f - \mathscr L_n^{(\alpha)}(f)\|_p &\leqslant c_1\biggl(\frac{E_0(f)_p}{\ln^\alpha n}+\int_{2/n}^{1/2} \frac{E_{nt}(f)_p}{t(-\ln t)^{\alpha+1}}\,dt \biggr) \\ \notag &\leqslant c_2\biggl(\ln^{-\alpha}n +\int_{2/n}^{1/2} \frac{dt}{t(-\ln t)^{\alpha+1}(\ln n+\ln t)^{\gamma}}\biggr) \\ &\leqslant c_2 \ln^{-\gamma}n\biggl(1+L_n^\gamma\int_{2/n}^{1/2} \frac{dt}{t(\ln(1/t))^{\alpha+1-\gamma}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{53}
$$
где $ c_1>0 $ не зависит от $ f $ и $ n$, $c_2 >0$ не зависит от $ n$,
$$
\begin{equation*}
L_n =\max_{2/n\leqslant t \leqslant 1/2}\frac{\ln n}{\ln(1/t)(\ln n-\ln(1/t))} .
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание, что
$$
\begin{equation*}
L_n \leqslant \frac{\ln n}{\ln 2(\ln n-\ln 2)} \leqslant \frac{1}{\ln 2(1-\ln 2)},
\end{equation*}
\notag
$$
а также, что при $ 0<\delta<\alpha $
$$
\begin{equation*}
\int_0^{1/2} \frac{dt}{t(\ln(1/t))^{\alpha+1-\gamma}} <+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
на основании (53) окончательно имеем для $ n \geqslant 4$
$$
\begin{equation*}
\|f - \mathscr L_n^{(\alpha)}(f)\|_p \leqslant c\ln^{-\gamma}n,
\end{equation*}
\notag
$$
где положительная постоянная $ c $ не зависит от $ n$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\|f-\mathscr L_n^{(\alpha)}(f)\|_p =O((\ln n)^{-\gamma}) \quad \Longleftrightarrow \quad E_n(f)_p =O((\ln n)^{-\gamma}), \qquad f \in L_p,
\end{equation}
\tag{54}
$$
для $ 1 \leqslant p \leqslant +\infty$, $0 < \gamma < \alpha$. Приведенный пример показывает, что оценка (51) является порядково точной в характерном для обратных оценок смысле, т.е. приводит к эквивалентному описанию некоторых классов функций, наилучшие приближения которых удовлетворяют тем или иным условиям. Теорема 2 позволяет получать результаты и для разрывных генераторов. В качестве иллюстрации приведем простое доказательство утверждения (А), изначально установленного в [37]. Применяя (10) к функции
$$
\begin{equation*}
\varphi_n(\xi) = \begin{cases} 0 , & |\xi| \leqslant 1, \\ -(n\xi-n-1)^2 +1 ,& 1 < |\xi| \leqslant 1 +\dfrac 1n, \\ 1 ,& |\xi| >1+\dfrac 1n, \end{cases} \qquad n \in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
получаем для $ f \in L_p$, $1 \leqslant p \leqslant +\infty$, и $ n \in \mathbb{N} $
$$
\begin{equation*}
\|f -S_n(f)\|_p \leqslant c\biggl(E_n(f)_p +\int_{1+1/n}^2\frac{E_{nt}(f)_p}{t-1}\,dt\biggr) \leqslant 2c\sum_{k=0}^{n-1}\frac{E_{n+k}(f)_p}{k+1},
\end{equation*}
\notag
$$
для $ f \in L_p$, $1 \leqslant p \leqslant +\infty$, и $ n \in \mathbb{N}$, где $ c $ не зависит от $ f $ и $ n$.
§ 3. Обобщенные модули гладкостиМодуль гладкости, порожденный генератором $ \theta$, определяется формулой
$$
\begin{equation}
\omega_{\theta}(f, \delta)_p =\sup_{0\leqslant h\leqslant \delta} \|\Delta^{(\theta)}_h f(x)\|_p =\sup_{0\leqslant h\leqslant \delta} \biggl\|\sum_{\nu\in\mathbb{Z}}\theta^\wedge(\nu)f(x+\nu h)\biggr\|_p, \qquad \delta \geqslant 0,
\end{equation}
\tag{55}
$$
где $ \theta $ принадлежит классу $ \mathscr G$, состоящему по определению из $2\pi$-периодических комплекснозначных симметричных непрерывных с набором коэффициентов Фурье $ \theta^\wedge=\{\theta^\wedge(\nu),\nu \in \mathbb{Z}\} $ из пространства $l_1$, для которых $ \theta(0)=0$. Ясно, что
$$
\begin{equation*}
\|\Delta^{(\theta)}_h f(x)\|_p\leqslant \|\theta^\wedge\|_{l_1}\,\|f\|_p, \qquad f \in L_p, \qquad h \geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\theta$-модуль корректно определен в $ L_p $ при $ 1 \leqslant p \leqslant +\infty$. В [33] было показано, что в отличие от более общего модуля (7), введенного и изученного в [22], [23], а также специальных линеаризованных модулей (см., например, [43]), конструкция $\theta$-модуля наиболее адекватна для применений в теории приближений в том смысле, что, с одной стороны, она достаточно конкретна, чтобы развить содержательную теорию с реально проверяемыми на практике условиями на генераторы, а с другой, она является достаточно общей, чтобы выйти на уровень, достигнутый для методов приближения, охватить все изученные ранее случаи, пополнить объектную среду теории приближений новыми “недостающими” конструкциями, а также сформулировать результаты о связях между структурными и конструктивными характеристиками в их общем виде. Прямая оценка типа Джексона для $ \theta$-модуля была получена в [15]. Результаты о качестве приближения средними Фурье с произвольным генератором в терминах $ \theta$-модулей могут быть найдены в [44]. В настоящей работе в качестве простых следствий теоремы 2 будут получены теорема сравнения, обратная оценка типа Бернштейна и аналог неравенства Маршо. Возможность применения теоремы 2 основывается на том обстоятельстве, что оператор обобщенной разности $ \Delta^{(\theta)}_h $ совпадает с $ A_{h^{-1}}(\theta)$. Отметим сначала, что, аналогично средним Фурье, простое достаточное условие абсолютной сходимости ряда Фурье генератора $ \theta$, обеспечивающее корректную определенность соответствующего модуля, может быть дано в терминах самого генератора, а не его коэффициентов Фурье. Теорема 4. Если для $ 2\pi$-периодической функции $ \theta $ из класса $ \mathscr C^2 \langle 0, \pi] $ выполняется условие то $ \theta \in \mathscr G$. Доказательство. Пусть функции $ \eta $ и $ \zeta $ таковы, что $ \eta(\cdot) $ и $ \zeta(\cdot +\pi) $ принадлежат классу $ \mathscr D(\pi/3, 2\pi/3)$, при этом $ \eta(t)+\zeta(t)=1 $ для $ 0\leqslant t \leqslant \pi$. Тогда
$$
\begin{equation}
\theta(\cdot) =\theta(\cdot)\eta_*(\cdot) +\theta(\cdot)\zeta_*(\cdot)
\end{equation}
\tag{57}
$$
тождественно, где $ (\cdot)_*$ означает $ 2\pi$-периодическое продолжение. Из определения класса $ \mathscr C^2 \langle 0, \pi] $ с учетом элементарных свойств преобразования Фурье немедленно вытекает, что $ (\theta\zeta_*)^\wedge \in l_1$. На основании (11) и (56) имеем $ f \in L_p, $ $ h >0$,
$$
\begin{equation*}
\|A_{h^{-1}}(\theta\eta)f\|_p \leqslant c \biggl(\int_0^{\pi}|(\theta\eta)'(t)|\, dt+ \int_h^{\pi}\frac{|{\operatorname{Im}(\theta\eta)(t)}|}{t}\,dt\biggr) \|f\|_p< c_1 \|f\|_p,
\end{equation*}
\notag
$$
где положительные постоянные $ c $ и $ c_1 $ не зависят от $ f $ и $ h$. Таким образом, $ \theta\eta \in \mathscr M$, и, значит, $ \widehat{\theta\eta} \in L_1(\mathbb{R}) $ в силу (5). Как показано в [33], это условие эквивалентно условию $ (\theta\eta_*)^\wedge \in l_1$. Теперь принадлежность $ \theta $ классу $ \mathscr G $ вытекает из (57). Теорема доказана. Приведем теперь аналог теоремы сравнения Бомана–Шапиро для $ \theta$-модулей, который, обладая достаточной для теории приближений общностью, справедлив уже для $ B=1 $ и может быть легко проверен на практике, в отличие от неравенства (8). Через $ \mathscr C_*^2 \langle 0, \pi] $ обозначим класс функций, которые отличаются от $ 2\pi$-периодических функций из $ \mathscr C^2 \langle 0, \pi] $ на аддитивную вещественную константу. Теорема 5. Пусть $ \theta,\tau \in \mathscr G$, $\theta/\tau \in \mathscr C_*^2 \langle 0, \pi]$. Если то где положительная постоянная $ c $ не зависит от $ f $ и $ \delta$. Доказательство. По определению $\theta(\cdot)/\tau(\cdot) = \varphi(\cdot) +\alpha$, $\varphi \in \mathscr C^2 \langle 0, \pi]$, $\alpha \in \mathbb{R}$. Так как (59) влечет выполнение условия (56) для $ \varphi$, то $ \varphi^\wedge \in l_1 $ в силу теоремы 4. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|\Delta^{(\theta)}_h f(x)\|_p & = \|A_{h^{-1}}(\theta)f\|_p =\|A_{h^{-1}}(\theta/\tau) \circ A_{h^{-1}}(\tau)f\|_p \\ \notag &=\|(A_{h^{-1}}(\varphi)+\alpha I) \circ A_{h^{-1}}(\tau)f\|_p \\ \notag &\leqslant \|(A_{h^{-1}}(\varphi)+\alpha I) \|_{(p)}\|A_{h^{-1}}(\tau)f\|_p \\ &\leqslant (\|\varphi^\wedge\|_{l_1}+|\alpha|)\|A_{h^{-1}}(\tau)f\|_p \leqslant c\|\Delta^{(\tau)}_h f(x)\|_p \end{aligned}
\end{equation}
\tag{60}
$$
для $ f \in L_p $ и $ h \geqslant 0$, где положительная постоянная $ c $ не зависит от $ f $ и $ h$. Теперь (59) вытекает из (60). Теорема доказана. Следующее утверждение является обобщением неравенства Маршо (см., например, [11]). Для его доказательства потребуется прямая оценка типа Джексона для $ \theta$-модуля [15]. Напомним, что неравенство
$$
\begin{equation}
E_\sigma(f)_p\leqslant c\omega_\theta(f, \lambda(\sigma+1)^{-1})_p, \qquad f \in L_p, \qquad \sigma \geqslant 0,
\end{equation}
\tag{61}
$$
в котором положительная постоянная $ c \equiv c(p, \theta, \lambda) $ не зависит от $ f $ и $ \sigma$, справедливо для $ \theta \in \mathscr A $ и $ \lambda \in \Lambda_\theta$, где класс $ \mathscr A $ состоит из абсолютно непрерывных функций $ \theta \in \mathscr G$ таких, что $ \Phi(\xi) \neq 0 $ при $|\xi| \geqslant \lambda $ для некоторого $ \lambda >0$, а $ \Lambda_\theta$ – множество таких $ \lambda$. Теорема 6. Пусть $ 1 \leqslant p \leqslant +\infty $ и $ 2\pi$-периодическая функция $ \theta $ из класса $ \mathscr C^2 \langle 0, \pi]$ удовлетворяет условию (56). Пусть также $ \tau \in \mathscr A $ и $ \lambda \in \Lambda_\tau$. Тогда для $ f \in L_p $ и $ \delta \geqslant 0 $ справедливо неравенство где положительная постоянная $ c \equiv c(p, \varphi, \lambda) $ не зависит от $ f $ и $ \delta$. Доказательство. Обозначая
$$
\begin{equation*}
J_\theta(t)=t|\theta'(t)|+|{\operatorname{Im}\theta(t)}|
\end{equation*}
\notag
$$
и применяя (11) для произвольного продолжения функции $ \theta(\cdot) $ с $ [-1, 1] $ на $ \mathbb{R}$, принадлежащего классу $ \mathscr C^2 \langle 0, +\infty \rangle$, в качестве $ \psi$, а также для $ 0<\rho<1$, $ 0 \leqslant h \leqslant \delta $ и полинома наилучшего приближения $ T \in \mathscr T_{\rho h^{-1}} $ функции $ f$, имеем с учетом теоремы 4
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|\Delta_h^{(\theta)}f\|_p & \leqslant\|\Delta_h^{(\theta)}(f-T)\|_p+\|\Delta_h^{(\theta)}T\|_p \leqslant c E_{\rho\delta^{-1}}(f)_p+\|\Delta_h^{(\theta)}T\|_p \\ \notag & \leqslant c_1\biggl(E_{\rho\delta^{-1}}(f)_p + \int_0^1 \frac{J_\theta(t)}{t}E_{\rho t h^{-1}}(T)_p \,dt\biggr) \\ \notag &\leqslant c_2\biggl(E_{\rho\delta^{-1}}(f)_p + \int_0^1 \frac{J_\theta(t)}{t}E_{\rho t h^{-1}}(f)_p \,dt\biggr) \\ &\leqslant c_3 \int_0^1 \frac{J_\theta(t)}{t} E_{\rho t \delta^{-1}}(f)_p \,dt, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{63}
$$
где положительные постоянные $ c$, $c_1$, $c_2$ и $ c_3 $ не зависят от $ f$, $ h $ и $ \delta$. Учитывая, что $ \Lambda_\theta$ – открытое множество, выберем $ \rho $ из условия $ \lambda_1 =\lambda\rho \in \Lambda_\theta$. Тогда на основании (61) и (63) получаем где положительная постоянная $ c \equiv c(p, \varphi, \lambda) $ не зависит от $ f $ и $ \delta$. Теорема доказана.Рассуждая аналогично доказательству теоремы 3, получаем обратную оценку типа Бернштейна для $ \theta$-модулей. Так же, как и (50), она может быть переписана и в дискретной форме при определенных естественных условиях на генератор. Теорема 7. Пусть $ 1 \leqslant p \leqslant +\infty $ и $ 2\pi$-периодическая функция $ \theta $ из класса $ \mathscr C^2 \langle 0_{\prime}^{\circ}, \pi]$ удовлетворяет условию (56). Тогда для $ f \in L_p $ и $ \delta \geqslant 0 $ справедливо неравенство где положительная постоянная $ c $ не зависит от $ f $ и $ \delta$. Приведем некоторые примеры. Через $ \omega_{(\alpha)}(f, \delta)_p $ будем обозначать модуль гладкости $ \omega_{(\alpha)} (f, \delta)_p $ произвольного порядка $ \alpha>0$, который, как известно, порождается генератором $ \theta_\alpha(\xi)= (1-e^{i\xi})^\alpha$, где $ z^{\alpha}=|z|^\alpha e^{i\alpha\arg z}$, $z \in \mathbb{C}$, $-\pi < \arg z \leqslant \pi $, и который был изучен во многих работах (см., например, [14], [16], [29]), или модуль гладкости, ассоциированный с производной Рисса
$$
\begin{equation*}
\omega_{\langle \alpha \rangle}(f, \delta)_p=\sup_{0 \leqslant h \leqslant \delta} \biggl\|\sum_{\nu \neq 0} \frac{f(x+\nu h)-f(x)}{|\nu|^{\alpha +1}}\biggr\|_p,
\end{equation*}
\notag
$$
где $ 0 < \alpha \leqslant 1 $ с генератором
$$
\begin{equation*}
\theta_{\langle \alpha \rangle}(\xi) =\sum_{\nu \neq 0} |\nu|^{-\alpha-1} (e^{i\nu\xi}-1),
\end{equation*}
\notag
$$
который был введен и изучен в [32]. В частности, в этой работе было показано, что $|\theta_{\langle \alpha \rangle}'(t)|$, $t|\theta_{\langle \alpha \rangle}'(t)| \asymp t^\alpha $ в некоторой правой полуокрестности нуля, а также доказаны прямая теорема и теорема о вынесении константы. Применяя теоремы 5–7, имеем для допустимых значений параметров ($\alpha>0 $ для $ \omega_\alpha $ и $ 0<\alpha \leqslant 1 $ для $ \omega_{\langle \alpha \rangle}$), $f \in L_p $, $ \delta \geqslant 0 $ с положительными константами, не зависящими от $ f $ и $ \delta$:
$$
\begin{equation}
\omega_{(\alpha_1)}(f, \delta)_p\leqslant c\omega_{(\alpha_2)}(f, \delta)_p, \qquad \alpha_1 > \alpha_2;
\end{equation}
\tag{65}
$$
$$
\begin{equation}
\omega_{(\alpha_1)}(f, \delta)_p\leqslant c\delta^{\alpha_1}\int_\delta^{2\pi}\frac{\omega_{(\alpha_2)}(f, t)_p}{t^{\alpha_1+1}}\,dt, \qquad \alpha_1 \leqslant \alpha_2;
\end{equation}
\tag{66}
$$
$$
\begin{equation}
\omega_{(\alpha)}(f, \delta)_p\leqslant c\min(\delta^\alpha, 1) \sum_{0 \leqslant k <1/\delta} (k+1)^{\alpha-1}E_k(f)_p.
\end{equation}
\tag{67}
$$
Оценка (65) для случая, когда один из модулей является модулем положительного порядка, а другой ассоциирован с производной Рисса, является новой. Независимые доказательства остальных неравенств, основанные на переходе к $ K$-функционалам, отвечающим производным Вейля и Рисса, приведены в [14] и соответственно в [32]. Рассмотрим теперь генераторы, существенно отличающиеся от степенной функции в окрестности нуля. В качестве примера рассмотрим “плохой” модуль гладкости $ \omega_{\log,\alpha}(f, \delta)_p$, $\alpha >0$, и “хороший” модуль гладкости $ \omega_{\exp}(f, \delta)_p$, задаваемые генераторами, которые определяются в некоторой окрестности нуля формулами
$$
\begin{equation}
\theta_{\log,\alpha}(\xi) =(-\ln|\xi|)^{-\alpha}, \qquad \theta_{\exp}(\xi) = e^{-1/|\xi|}.
\end{equation}
\tag{68}
$$
Применяя теорему 7 и рассуждая аналогично доказательству (54), получаем
$$
\begin{equation}
\omega_{\log,\alpha}(f, \delta)_p=O((-\ln\delta)^{-\gamma}) \quad \Longleftrightarrow\quad E_n(f)_p =O((\ln n)^{-\gamma}), \qquad f \in L_p,
\end{equation}
\tag{69}
$$
для $ 1 < p < +\infty $ и $ 0 < \gamma < \alpha$. В отличие от $ \theta_{\log,\alpha} $, функция $ \theta_{\exp} $ уже не удовлетворяет $ (\prime)$-условию, поэтому теорема 7 для нее неприменима. Используя общую оценку (10) вместо (12), получаем аналогично доказательству теоремы 7
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \omega_{\exp}(f, \delta)_p & \leqslant c\int_0^a (|\theta_{\exp}'(t)|+t|\theta_{\exp}''(t)|) E_{t\delta^{-1}}(f)_p\,dt \\ & \leqslant c_1 \int_0^a t^{-3}e^{-1/t}E_{t\delta^{-1}}(f)_p\,dt, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{70}
$$
где положительные постоянные $ c $ и $ c_1 $ не зависят от $ f $ и $ \delta$. Используя (70), покажем, что
$$
\begin{equation}
\omega_{\exp}(f, \delta)_p=O(\delta^{\gamma}) \quad\Longleftrightarrow\quad E_n(f)_p =O(n^{-\gamma}), \qquad f \in L_p,
\end{equation}
\tag{71}
$$
для $ 1 < p < +\infty $ и $ \gamma >0$. В самом деле, оценка сверху для наилучших приближений немедленно вытекает из (61). В обратную сторону, в силу (70) имеем
$$
\begin{equation*}
\omega_{\exp}(f, \delta)_p \leqslant c \delta^\gamma \int_0^a t^{-\gamma-3}e^{-1/t}\,dt \leqslant c_1 \delta^{\gamma},
\end{equation*}
\notag
$$
где положительные постоянные $ c $ и $ c_1 $ не зависят от $ f $ и $ \delta$. Таким образом, в отличие от модулей гладкости положительных порядков и модулей, ассоциированных с производной Рисса, “хороший” модуль является универсальной структурной характеристикой для описания классов функций, наилучшие приближения которых имеют произвольный степенной порядок, а неравенство (10), не являющееся абсолютно порядково точным, тем не менее позволяет получать точные результаты в целом ряде случаев. § 4. Обобщенная гладкостьЯсно, что в определении $ (\lambda, \beta)$-производной (2) вместо функции $ \lambda $ может использоваться монотонно возрастающая последовательность $ \lambda=\{\lambda_n\}_{n=0}^{+\infty}$, $\lambda_0=0$. В этом случае любую монотонно возрастающую функцию $ \lambda(t) $ из класса $ C^2\langle 0, +\infty)$ такую, что $ \lambda(n)=\lambda_n$, $n \in \mathbb{N}_0$, будем называть допустимой. Таким образом, $ \lambda $ будет использоваться как для обозначения той или иной допустимой функции, так и для последовательности $ \lambda_n=\lambda(n) $ в зависимости от контекста. Применение теорем 1 и 2 при $ \sigma=1 $ приводит к следующим результатам, которые надо понимать в том смысле, что если фигурирующие в них ряды сходятся, то $ f^{(\lambda, \beta)} \in L_p$, при этом справедливы соответствующие оценки. В дальнейшем $\Delta\lambda_n =\lambda_{n+1}-\lambda_n$, $\Delta^2\lambda_n = \Delta(\Delta\lambda_n)=\lambda_{n+2}-2\lambda_{n+1}+ \lambda_n$. Отметим, что п. (iv) теоремы 8 содержится в результатах работы [28] и приведен здесь для полноты изложения. Там же неравенство (72) было доказано при дополнительном условии $ \lambda_{2n} =O(\lambda_n)$. Теорема 8. Пусть $ \lambda=\{\lambda_n\}_{n=0}^{+\infty}$, $\lambda_0=0$, монотонно возрастает, $\beta \in \mathbb{R}$. Пусть также $ f \in L_p$. Тогда: (i) для $ 1<p<+\infty $
$$
\begin{equation}
\|f^{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant c_p\sum_{n=0}^{+\infty}\Delta\lambda_nE_n(f)_p,
\end{equation}
\tag{72}
$$
где положительная постоянная $ c_p $ зависит только от $ p$; (ii) для $ 1 \leqslant p \leqslant +\infty $ ($\Delta^2\lambda_{-1}=0$)
$$
\begin{equation}
\|f^{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant c_0\biggl(\sum_{n=0}^{+\infty}(\Delta\lambda_n+n|\Delta^2\lambda_{n-1}|) E_n(f)_p + \biggl|\sin\frac{\pi\beta}{2}\biggr| \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\lambda_n}{n}E_{n-1}(f)_p\biggr),
\end{equation}
\tag{73}
$$
где $ c_0$ – абсолютная положительная постоянная; (iii) если $ \Delta^2\lambda_n \geqslant 0 $ или $ \Delta^2\lambda_n \leqslant 0$, то для $ 0<\rho<1 $ и $ 1 \leqslant p \leqslant +\infty $
$$
\begin{equation}
\|f^{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant c\biggl(\sum_{n=0}^{+\infty} \Delta\lambda_n E_{[\rho n]}(f)_p + \biggl|\sin\frac{\pi\beta}{2}\biggr| \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\lambda_n}{n}E_{n-1}(f)_p\biggr),
\end{equation}
\tag{74}
$$
где положительная постоянная $ c $ не зависит от $ f $; (iv) если $ \Delta^2\lambda_n \geqslant 0 $ или $ \Delta^2\lambda_n \leqslant 0 $ и $ \Delta\lambda_{2n}=O(\Delta\lambda_n)$, то для $ 1 \leqslant p \leqslant +\infty $ где положительная постоянная $ c $ не зависит от $ f$. Доказательство. (i) Применяя (9) с $ \sigma=1 $ к допустимой функции
$$
\begin{equation*}
\lambda(t)=\lambda_n+\Delta\lambda_n(t-n),\qquad t\in [n, n+1), \qquad n \in \mathbb{N}_0,
\end{equation*}
\notag
$$
немедленно получаем (72). (ii) Для $ a \geqslant 0 $, $ b \leqslant a $ введем в рассмотрение функции, заданные на интервале $ [0,1] $ формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \psi_0(t\mid a,b)=\begin{cases} a-b+\dfrac{bt}\delta,& 0\leqslant t\leqslant\delta, \\ a-h+8h\biggl|t-\delta-\dfrac18\biggr|,& \delta < t \leqslant \delta+\dfrac14, \\ a,& \delta+\dfrac14 < t \leqslant 1, \end{cases} \qquad a \neq 0, \qquad b \neq 0, \\ \psi_0(t\mid a,0)=a, \qquad \psi_0(t\mid 0, b)=0, \\ \psi_1(t\mid a,b)=\begin{cases} \psi_0(t\mid a,b) ,& 0 \leqslant t \leqslant \dfrac12, \\ \psi_0(-t+1\mid a,b),& \dfrac12 < t \leqslant 1, \end{cases} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $ h $ и $ \delta$ таковы, что
$$
\begin{equation*}
|h|=\min\biggl(|b|, \frac a2\biggr), \qquad \delta=\min\biggl(\frac14, \frac{a}{8|h|}\biggr), \qquad hb<0.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом
$$
\begin{equation*}
\psi_j(t\mid a,b)\geqslant 0, \qquad \int_0^1\psi_j(t\mid a,b)\,dt =a, \qquad j=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
непосредственным вычислением убеждаемся в том, что функция где
$$
\begin{equation*}
\lambda'(t)\,{=}\,\psi_{\iota(n)}(t-n\mid\Delta\lambda_n, \Delta^2\lambda_{n-1}), \quad t\,{\in}\, [n, n+1), \quad n\,{\in}\, \mathbb{N}_0, \quad \iota(n)\,{=}\,1 -\operatorname{sgn}\Delta\lambda_{n+1},
\end{equation*}
\notag
$$
является допустимой, при этом
$$
\begin{equation*}
\int_n^{n+1} t|\lambda''(t)|\,dt \leqslant 3n|\Delta^2\lambda_{n-1}|+\Delta\lambda_n, \qquad n \in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя к ней (10) с $ \sigma=1 $ и $ a=0$, получаем (73). (iii)–(iv) Непосредственным вычислением убеждаемся в том, что функция где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lambda'(t)= \begin{cases} \dfrac{\Delta\lambda_n + \Delta\lambda_{n-1}}{2}+ \dfrac{\Delta^2\lambda_{n-1}(t-n)}{2(t_n-n)},& n \leqslant t < t_n, \\ \Delta\lambda_n + \dfrac{\Delta^2\lambda_n(t-t_n)}{2(n+1-t_n)},& t_n \leqslant t < n+1, \end{cases} \qquad n \in \mathbb{N}_0, \\ t_n=n+\frac{\Delta^2\lambda_n}{\Delta^2\lambda_n+\Delta^2\lambda_{n-1}}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
является допустимой, при этом $\lambda' $ монотонна, а условие $ \Delta\lambda_{2n} =O(\Delta\lambda_n) $ влечет выполнение $ (\prime)$- и $ (\circ)$-условий. Применяя (11) и (12) к $ \lambda(t)$, получаем (74) и соответственно (75). Теорема 8 доказана. В [28] было показано, что при выполнении условий п. (iv) конечность правой части в (75) с $\varepsilon_n$ вместо $ E_n(f)_p $ является необходимым и достаточным условием вложения класса $ E_p[\varepsilon]=\{f \in L_p\colon E_n(f)_p=O(\varepsilon_n) \}$, $\varepsilon_n \searrow 0$, в класс $ W^{\lambda, \beta}_p=\{f \in L_p\colon f^{(\lambda, \beta)} \in L_p\}$. В связи с этим отметим, что теорема 8 позволяет получать подобные результаты также и в случаях невыполнения $\Delta_2$-условий, т.е. в случаях, когда генератор производной растет быстрее степенной функции. Приведем простой пример. Обозначим $ E_{\exp, p}[\alpha]=E_p[\varepsilon]$, $\alpha>0$, где $ \varepsilon_n=e^{-\alpha n}$, $W_{\exp,p}^{\gamma, \beta}=W^{\lambda, \beta}_p$, $\gamma >0$, $\beta \in \mathbb{R}$, где $ \lambda_n=e^{\gamma n}$, $n \in \mathbb{N}$, и покажем, что для $ 1 \leqslant p \leqslant +\infty$
$$
\begin{equation}
E_{\exp, p}[\alpha]\subset W_{\exp, p}^{\gamma, \beta} \quad \Longleftrightarrow\quad \alpha > \gamma.
\end{equation}
\tag{76}
$$
В самом деле, если $ \alpha > \gamma$, то для $ \lambda(t)=e^{\gamma t}-1 $ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f^{(\lambda, \beta)}\|_p &\leqslant c_1 \int_1^{+\infty} \biggl(\frac1t+1+t\biggr) e^{\gamma t}E_n(f)_p\,dt \\ &\leqslant c_2 \int_1^{+\infty}\biggl(\frac1t+1+t\biggr) e^{-(\alpha-\gamma)t}\,dt<+\infty \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
в силу (10) или (73). Если же $ \alpha \leqslant \gamma$, то для функции имеем ($c=(2\pi)^{1/p}$)
$$
\begin{equation*}
E_n(f_0)_p\leqslant \biggl\|\sum_{|k|>n}e^{ikx-\alpha|k|}\biggr\|_p \leqslant c\sum_{|k|>n} e^{-\alpha|k|} \leqslant 2c\int_n^{+\infty}e^{-\alpha t}\,dt\leqslant \biggl(\frac2\alpha\biggr)ce^{-\alpha n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $f_0 \in E_{\exp, p}[\alpha]$. Очевидно, однако, что $ f_0 \not\in W_{\exp, p}^{\gamma, \beta}$. Для полноты изложения отметим, что в этом случае имеет место обратное вложение [23; гл. 3]. Отметим также, что оно является простым следствием общих результатов о наилучших приближениях гладких функций для произвольных генераторов гладкости без $ \Delta_2$-условия, которые будут описаны в наших последующих работах. Комбинируя (74) с прямой оценкой типа Джексона (61), получаем следующий результат. Теорема 9. Пусть $ 1 \leqslant p \leqslant +\infty$, $\lambda=\{\lambda_n\}_{n=0}^{+\infty}$, $\lambda_0=0$, монотонно возрастает, $\Delta^2\lambda_n \geqslant 0 $ или $ \Delta^2\lambda_n \leqslant 0 $ при $ n\geqslant n_0 $ для некоторого $ n_0 \in \mathbb{N}$, $\beta \in \mathbb{R}$. Пусть также $ \theta \in \mathscr A $ и $ \gamma \in \Lambda_\theta$. Тогда для $ f \in L_p $ справедливо неравенство где положительная постоянная $ c $ не зависит от $ f$. В [29] при условии $ \Delta^2\lambda_n \geqslant 0 $ или $ \Delta^2\lambda_n \geqslant 0 $ и дополнительном условии невозрастания $ n^{-r}\lambda_n $ для некоторого $ r\geqslant 0$ было показано для $ \alpha>0 $ и $ \beta \in \mathbb{R}$, что
$$
\begin{equation}
\|f^{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant c\sum_{n=1}^{+\infty}\biggl(\biggl|\cos\frac{\pi\beta}{2}\biggr|\Delta\lambda_n +\biggl|\sin\frac{\pi\beta}{2}\biggr|\frac{\lambda_n}{n}\biggr)\omega_{\alpha+r}\biggl(f,\frac{1}{n}\biggr)_p,
\end{equation}
\tag{78}
$$
где положительная постоянная $ c $ не зависит от $ f$. Учитывая, что из невозрастания $ n^{-r}\lambda_n $ вытекает $ \Delta\lambda_n =O(\lambda_n/n)$, и пользуясь свойством модуля гладкости положительного порядка о вынесении константы (см., например, [16]), немедленно получаем (78) из (77). В заключение этого параграфа докажем существенно усиленную версию результата (E), в которой утверждается, что всякая $ L_1$-функция имеет не только некоторую суммируемую $ (\lambda, \overline{\beta})$-производную, как это было показано в [27], но и $ (\lambda, 0)$-производную из $ L_1$. Отметим, что в [26; гл. III, п. 11.7] подбор подходящих $ \beta_k $ осуществляется довольно сложным образом. Более того, приведенный ниже результат справедлив для всех $ 1 \leqslant p\leqslant+\infty$. Доказательство. Выберем $ \varepsilon_k >0$, $k \in \mathbb{N}$, исходя из условия и положим для $ f \in L_p$
$$
\begin{equation}
N_k=\begin{cases} \min\{n\colon E_n(f) \leqslant \varepsilon_k\},& k=1,2, \\ \min \{n\colon E_n(f)_p \leqslant \varepsilon_k,n-N_{k-1} > N_{k-1}-N_{k-2}\},& k \geqslant 3. \end{cases}
\end{equation}
\tag{80}
$$
Рассмотрим четную функцию $ \lambda$, определенную на $ [0, +\infty) $ формулами
$$
\begin{equation}
\lambda(t)=\int_0^\xi \lambda'(\tau)\,d\tau, \qquad \lambda'(t)=(N_{k+1}-N_k)^{-1}, \qquad N_k \leqslant t \leqslant N_{k+1}-1, \qquad k \in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{81}
$$
при этом $ \lambda' $ продолжена по непрерывности константой на $ [0, N_1] $ и при помощи линейных функций на $ [N_{k+1}-1, N_{k+1}]$, $k \in \mathbb{N}$. Обозначая $ \delta_k = N_{k+1}-N_k$, имеем в силу (79)–(81)
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_{N_1}^{+\infty} \lambda'(t)\,dt \geqslant \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\delta_k -1}{\delta_k}=+\infty, \qquad \lim_{t\to+\infty} \lambda(t) =+\infty, \\ \int_{N_1}^{+\infty} \lambda'(t)E_t(f)_p\,dt =\sum_{k=1}^{+\infty}\int_{N_k}^{N_{k+1}} \lambda'(t)E_t(f)_p\,dt\leqslant \sum_{k=1}^{+\infty}\delta_k\delta^{-1}_k \varepsilon_k <+\infty, \\ \int_{N_1}^{+\infty} t|\lambda''(t)|E_t(f)_p\,dt \leqslant \sum_{k=1}^{+\infty}\biggl(\sum_ {\nu=1}^k \delta_\nu\biggr)(\delta_k^{-1} - \delta_{k+1}^{-1})\varepsilon_k\leqslant \sum_{k=1}^{+\infty} k\varepsilon_k <+\infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, применяя (10) к функции $ \lambda(t) $ при $ a=0 $ и $ \sigma=1$, заключаем, что $ f \in W_p^{(\lambda,0)}$. Теорема доказана. § 5. Неравенства типа БернштейнаТеорема 11. Пусть $ \lambda=\{\lambda_n\}_{n=0}^{+\infty}$, $\lambda_0=0$, монотонно возрастает, $\beta \in \mathbb{R}$. Пусть также $ T_n \in \mathscr T_n$, $n \in \mathbb{N}_0$. Тогда: (i) для $ 1<p<+\infty $
$$
\begin{equation}
\|T_n^{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant c_p\lambda_n\|T_n\|_p,
\end{equation}
\tag{82}
$$
где положительная постоянная $ c_p $ зависит только от $ p$; (ii) для $ 1 \leqslant p \leqslant +\infty $
$$
\begin{equation}
\|T_n^{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant c_0 \ln(n+1)\lambda_n \|T_n\|,
\end{equation}
\tag{83}
$$
где $ c_0$ – абсолютная положительная постоянная; (iii) если $ \Delta^2\lambda_n \geqslant 0 $ или $ \Delta^2\lambda_n \leqslant 0 $ и $ \lambda_{2n}=O(\lambda_n)$, то для $ 1 \leqslant p \leqslant +\infty$ и $ n\in\mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|T^{(\lambda, 2m)}_n\|_p & \leqslant c_1\lambda_n\|T_n\|_p, \qquad m \in \mathbb{Z}, \\ \|T^{(\lambda, \beta)}_n\|_p & \leqslant c_2 \biggl(\sum_{k=1}^n\frac{\lambda_k}{k}\biggr)\|T_n\|_p, \qquad \beta \neq 2m, \qquad m \in \mathbb{Z}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{84}
$$
где положительные постоянные $ c_1 $ и $ c_2 $ не зависят от $ T_n $ и $ n$. Доказательство. Отметим сначала, что $ E_k(T_n)_p\,{=}\,0$ для $k\,{\geqslant}\,n$ и $ E_k(T_n)_p \leqslant \|T_n\|_p $ для всех $ k \in \mathbb{N}_0$. (i) Применяя (72), имеем
$$
\begin{equation}
\|T^{(\lambda, \beta)}_n\|_p \leqslant c_p\sum_{k=0}^{n-1}\Delta\lambda_kE_k(T_n)_p \leqslant c_p\biggl(\sum_{k=0}^{n-1}\Delta\lambda_k\biggr)\|T_n\|_p\leqslant c_p\lambda_n\|T_n\|_p.
\end{equation}
\tag{85}
$$
(ii) Положим
$$
\begin{equation*}
\lambda(t)=\lambda_n+\Delta\lambda_n(t-n), \qquad t\in [n, n+1), \qquad n \in \mathbb{N}_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначая через $ \mathscr X $ функцию, равную $ 0 $ при $ t \leqslant 1 $ и равную $ 1 $ при $ t>1$, очевидно, получаем
$$
\begin{equation*}
\lambda(\xi)=\int_0^{+\infty} \lambda'(t)\mathscr X\biggl(\frac{\xi}{t}\biggr)\,dt; \qquad A_\sigma(\lambda^{\pm})=\int_0^{+\infty} \lambda'(t)A_{t\sigma}(\mathscr X^{(\pm)})\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\|A_\sigma(\lambda^{(\pm)})f\|_p\leqslant \int_0^{+\infty} |\lambda'(t)|\|A_{t\sigma}(\mathscr X^{(\pm)})f\|_p\,dt, \qquad f\in L_p, \qquad \sigma>0 .
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, для $ n\in\mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|T^{(\lambda, \beta)}_n\|_p & \leqslant\int_0^n |\lambda'(t)|(\|A_{t}(\mathscr X^{(+)})T_n\|_p + |A_{t}(\mathscr X^{(-)})T_n\|_p)\,dt \\ &=\sum_{k=0}^{n-1} \Delta\lambda_k (\|T_n-S_k(T_n)\|_p +\|\widetilde{T}_n-S_k(\widetilde{T_n})\|_p), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{86}
$$
где $ S_k$, $k \in \mathbb{N}_0$, – оператор частичной суммы ряда Фурье. Ясно, что
$$
\begin{equation}
\|T_n-S_k(T_n)\|_p\leqslant c\ln(k+2)\|T_n\|_p, \qquad k =0,\dots, n-1,
\end{equation}
\tag{87}
$$
где $ c$ – абсолютная положительная постоянная. Теперь, применяя (10) к нечетной функции, совпадающей на $ [0, +\infty) $ с $ \varphi_k(\xi) $ при $ k=1,\dots, n-1$ и с функцией $ \varphi_1(\xi +1) $ при $ k =0$, где $ \varphi_k $ определена формулой (2), получаем
$$
\begin{equation}
\|\widetilde{T}_n-S_0(\widetilde{T_n})\|_p \leqslant c_1\biggl(E_0(T_n)_p + \int_1^n \frac{E_{\tau}(T_n)_p}{\tau}\,d\tau \biggr) \leqslant c_2 \ln (n+1)\|T_n\|_p,
\end{equation}
\tag{88}
$$
$$
\begin{equation}
\|\widetilde{T}_n-S_k(\widetilde{T_n})\|_p \leqslant c_3\biggl(E_k(T_n)_p + \int_{1+1/k}^{n/k} \frac{E_{k\tau}(T_n)_p}{\tau-1}\,d\tau \biggr)\leqslant c_4 \ln (n+1)\|T_n\|_p
\end{equation}
\tag{89}
$$
для $ k =1, \dots, n-1$, где $ c_j$, $1 \leqslant j \leqslant 4$, не зависят от $ T $ и $ n$. Теперь (83) следует из (86)–(89). (iii) Аналогично (85) имеем на основании (74)
$$
\begin{equation}
\|T^{(\lambda, \beta)}_n\|_p \leqslant c_2\biggl(\lambda_{[\rho^{-1}n]}+ \biggl|\sin\frac{\pi\beta}{2}\biggr| \sum_{k=1}^n\frac{\lambda_k}{k}\biggr)\|T_n\|_p, \qquad 0< \rho<1,
\end{equation}
\tag{90}
$$
где положительная постоянная $ c $ не зависит от $ T_n $ и $ n$. Теперь на основании (90) для $ \rho=1/2 $ и $ \Delta_2$-условия получаем первое неравенство в (84). Второе неравенство также следует из (90) с учетом оценки
$$
\begin{equation*}
\lambda_n \leqslant c\lambda_{[n/2]}\leqslant \frac{2c}{n}\sum_{k=[n/2]}^n \lambda_k \leqslant 2c\sum_{k=[n/2]}^n \frac{\lambda_k}{k}\leqslant 2c\sum_{k=1}^n\frac{\lambda_k}{k},
\end{equation*}
\notag
$$
вытекающей из $ \Delta_2$-условия. Теорема 11 доказана. Сделаем ряд дополнительных замечаний. Учитывая, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{n-1} k|\Delta^2\lambda_{k-1}|\leqslant n\Delta\lambda_{n-1},
\end{equation*}
\notag
$$
на основании (73) получаем при условии $ \Delta^2\lambda_n \geqslant 0 $ или $ \Delta^2\lambda_n \leqslant 0 $ для $ 1 \leqslant p \leqslant +\infty$ и $ T_n \in \mathscr T_n$, $n\in\mathbb{N}$,
$$
\begin{equation}
\|T^{(\lambda, \beta)}_n\|_p \leqslant c\biggl(\lambda_n+n\Delta\lambda_{n-1}+ \biggl|\sin\frac{\pi\beta}{2}\biggr| \sum_{k=1}^n\frac{\lambda_k}{k}\biggr)\|T_n\|_p,
\end{equation}
\tag{91}
$$
где $ c_0$ – абсолютная положительная постоянная. В случае $ \beta=0 $ это неравенство было доказано в [29]. Отметим также, что неравенства (84) вытекают и из доказаного в [28] п. (iv) теоремы 8, но при выполнении $ \Delta_2$-условия для $ \Delta\lambda_n$, которое сильнее требуемого в п. (iii) теоремы 11 $\Delta_2$-условия для $ \lambda_n$. Множитель $ \ln(n+1) $ из (83), являющийся излишним, например, для $\lambda_n\,{=}\,n^\alpha$, $\alpha >0$, не может быть порядково улучшен, если рассматривать (83) как универсальное неравенство с некоторой абсолютной константой. В самом деле, в предельном случае нулевой гладкости, отвечающем $ \lambda_n = i\operatorname{sgn}n $ и оператору сопряжения, имеется известная оценка (см., например, [19])
$$
\begin{equation*}
\|\widetilde{T_n}\|_p \leqslant c\ln(n+1)\|T_n\|_p, \qquad T_n\in \mathscr T_n, \qquad n \in \mathbb{N}_0,
\end{equation*}
\notag
$$
являющаяся порядково точной при $ p =1,+\infty$. При отсутствии $ \Delta_2$-условия неравенства (90) и (91) не всегда являются порядково точными. Так, например, для $ \lambda_n=e^{\alpha n}$, $n\in\mathbb{N}$, $ \alpha>0$, в них возникают множители $ e^{\alpha_1 n}$, где $ \alpha_1>\alpha$, и соответственно $ ne^{\alpha n}$, которые порядково превышают даже $ \ln(n+1) e^{\alpha n} $ из (83). Следующая теорема показывает, что на самом деле для $ 1 \leqslant p \leqslant +\infty $ справедливо точное по порядку неравенство
$$
\begin{equation}
\|T_n^{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant ce^{\alpha n}\|T_n\|_p, \qquad n \in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{92}
$$
с некоторой абсолютной положительной постоянной $ c$. Теорема 12. Пусть $ \lambda(z)$ – целая функция, $\lambda(0)=0$, $\lambda^{(k)}(0) \geqslant 0$, $k \in \mathbb{N}$, $\beta \in \mathbb{R}$, $1\leqslant p \leqslant +\infty$. Тогда для $ T_n \in \mathscr T_n $ и $ n \in \mathbb{N}_0 $ справедливо неравенство где $ c_0$ – точная константа в неравенстве с производной Рисса, отвечающей генератору $|t|$. Доказательство. Обозначая $ a_k=\lambda^{(k)}(0)/k! $ и пользуясь разложением функции $ \lambda $ в ряд Тейлора, имеем операторное равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\cdot)^{(\lambda, \beta)} & = \sum_{m=1}^{+\infty} (-1)^m a_{2m} (\cdot)^{(2m-1)} \circ \biggl(\cos\frac{\pi\beta}{2} (\cdot)'-\sin\frac{\pi\beta}{2}(\cdot)^{\langle \prime \rangle}\biggr) \\ &\qquad + \sum_{m=0}^{+\infty} (-1)^m a_{2m+1} (\cdot)^{(2m)} \circ \biggl(\cos\frac{\pi\beta}{2}(\cdot)^{\langle \prime \rangle}+\sin\frac{\pi\beta}{2}(\cdot)'\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $ \circ$ – знак композиции. Отсюда, учитывая, что неравенство Бернштейна для классических производных выполняется с константой $ 1$ (см. [47]), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|T_n^{(\lambda, \beta)}\|_p & \leqslant \biggl(\biggl|\cos\frac{\pi\beta}{2}\biggr| +c_0\biggl|\sin\frac{\pi\beta}{2}\biggr|\biggr) \sum_{m =1}^{+\infty} a_{2m} n^{2m} \|T_n\|_p \\ &\qquad + \biggl(\biggl|\sin\frac{\pi\beta}{2}\biggr| +c_0\biggl|\cos\frac{\pi\beta}{2}\biggr|\biggr) \sum_{m =0}^{+\infty} a_{2m+1} n^{2m+1} \|T_n\|_p, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что влечет (93). Теорема доказана. В качестве одного из возможных применений теоремы 11 докажем, что неравенства Бернштейна для производных Вейля $ (\cdot)^{(\alpha)} $ и Рисса $ (\cdot)^{\langle \alpha \rangle}$, $\alpha >0 $, с $ \lambda(t)=|t|^\alpha$, отвечающих $ \beta=\alpha $ и соответственно $\beta=0$, выполняются с независимыми от $ \alpha $ константами. C константами же, зависящими от $ \alpha$, эти неравенства вытекают, например, из (75). Применяя (10), имеем для $ 0<\alpha \leqslant 2$
$$
\begin{equation}
\|T^{\langle\alpha\rangle}\|_p\leqslant c \alpha n^{\alpha}\|T\|_p\leqslant 2cn^{\alpha}\|T\|_p,
\end{equation}
\tag{94}
$$
$$
\begin{equation}
\|T^{(\alpha)}\|_p\leqslant c \biggl(\alpha +\frac{|{\sin(\pi\alpha/2)}|}{\alpha}\biggr)n^{\alpha}\|T\|_p\leqslant 3cn^{\alpha}\|T\|_p,
\end{equation}
\tag{95}
$$
где $ c$ – константа из (10). Если $ \alpha > 2$, то $ \alpha = 2k +\delta$, где $ k \in \mathbb{N}$ и $ 0\,{\leqslant}\,\delta\,{<}\,2$. Принимая во внимание, что $ (\cdot)^{\langle\alpha\rangle} = (-1)^k ((\cdot)^{\langle\delta\rangle})^{(2k)}$, $(\cdot)^{(\alpha)} = ((\cdot)^{(\delta)})^{(2k)}$, а также применяя классическое неравенство Бернштейна с константой $1$, на основании (94) и (95) имеем для произвольного $ \alpha >0$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|T^{\langle\alpha\rangle}\|_p\leqslant n^{2k} \|T^{\langle\delta\rangle}\|_p\leqslant 2cn^{\alpha}\|T\|_p, \\ \|T^{(\alpha)}\|_p\leqslant n^{2k} \|T^{(\delta)}\|_p\leqslant 3cn^{\alpha}\|T\|_p, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
что завершает доказательство. БлагодарностьАвтор благодарит рецензентов за ценные замечания и указания на полезные ссылки, позволившие значительно улучшить качество работы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Run21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|