Циклотомические полиномы Ньюмена, масштабирующие сплайны и бинарная функция разбиения Эйлера

Класс циклотомических полиномов (целых алгебраических полиномов, все корни которых являются примитивными комплексными корнями из единицы) подробно изучен в литературе. Мы доказываем, что его подкласс, состоящий из $k$-циклотомических полиномомов ($k\geqslant 2$), у которых порядки всех комплексных корней имеют общий делитель $k$, обладает рядом замечательных свойств. Такие полиномы порождают масштабирующие сплайны, они описывают асимптотический рост бинарной функции разбиения Эйлера и т.д. Более того, $k$-циклотомические полиномы эффективно распознаваемы с помощью их $k$-тёплицевых матриц. Особое внимание обращено на $k$-циклотомичекие полиномы Ньюмена, т.е. (0-1) полиномы, из которых мы выделяем одно специальное семейство. Мы показываем, что все $k$-циклотомические полиномы Ньюмена являются делителями полиномов этого семейства и выдвигаем гипотезу, что они на самом деле принадлежат этому семейству. В качестве приложения полученных результатов уточнена асимптотика бинарной функции разбиения Эйлера и найдена ее явная форма в случае регулярного роста.
Библиография: 49 названий.