Проективные преобразования и симметрии дифференциальных уравнений

Исследованы групповые свойства уравнений геодезических псевдориманова многообразия $M^n$, записанных, в частности, в виде системы (разрешенных относительно вторых производных) дифференциальных уравнений 2-го порядка, правые части которых являются полиномами 3-й степени относительно производных неизвестных функций. Доказано, что любая точечная симметрия таких систем является проективным преобразованием. Обнаружена связь проективных преобразований в $M^n$ с симметриями гамильтоновых систем и преобразованиями Ли–Беклунда уравнений Гамильтона–Якоби с квадратичными гамильтонианами. Тем самым указан инструмент для развития систематического геометрического подхода к определению и изучению точечных и неточечных симметрий больших классов обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными и нахождению их решений. Найдена размерность максимальной группы симметрий системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, разрешенных относительно старших производных, и доказано, что эта группа является проективной группой. Как следствие установлена размерность максимальной группы симметрий уравнений Ньютона и показано, что в случае трех измерений эта группа, являющаяся 24-мерной проективной группой, содержит в качестве подгруппы группу Пуанкаре, лежащую в основе специальной теории относительности.
Библиография: 37 названий.