Симметричные проблемы моментов и гипотеза Валента

B 1998 г. Г. Валент сформулировал ряд гипотез относительно порядка и типа некоторых неопределенных проблем моментов Стилтьеса, связанных с процессами гибели и размножения с полиномиальными коэффициентами размножения и гибели степени $p\geqslant 3$. Недавно Р. Романов доказал гипотезу Валента для порядков, установив, что порядок таких проблем равен $1/p$. Мы показываем, что тип проблемы как функция порядка связан с некоторыми кратными дзета-значениями и лежит в интервале
$$ \biggl[\frac{\pi}{p\sin(\pi/p)},\,\frac{\pi}{p\sin(\pi/p)\cos(\pi/p)}\biggr], $$
который содержит гипотетическое значение, предложенное Валентом. Это показывает, что гипотеза Валента для типа асимптотически верна при $p\to\infty$. Основной идеей работы является получение оценок для порядка и типа симметричных неопределенных проблем моментов Гамбургера в случае, когда ортонормированные многочлены $P_n$ и многочлены второго рода $Q_n$ удовлетворяют условиям $P_{2n}^2(0)\sim c_1n^{-1/\beta }$ и $Q_{2n-1}^2(0)\sim c_2 n^{-1/\alpha }$, где $0<\alpha ,\beta <1$ могут быть различны, а $c_1,c_2$ – положительные константы. В этом случае порядок проблемы моментов оценивается сверху средним гармоническим чисел $\alpha$, $\beta $. Здесь и далее запись $\alpha_n\sim \beta_n$ означает, что $\alpha_n/\beta_n\to 1$. Попутно мы получаем новое доказательство теоремы Р. Романова о порядке, равном $1/p$.
Библиография: 19 названий.