Об объемах классических супермногообразий

Рассмотрены объемы классических супермногообразий таких, как суперсфера, комплексное проективное суперпространство, и супермногообразия Штифеля и Грассмана, относительно естественных метрик или симплектических структур. Показано, что формулы для объемов этих супермногообразий могут быть получены с помощью аналитического продолжения по параметрам из формул для объемов соответствующих обычных многообразий (при некоторой универсальной нормализации объема). Объемы нетривиальных супермногообразий могут тождественно обращаться в нуль. Ф. А. Березин в 1970-х годах показал, что полная мера Хаара унитарной супергруппы $\mathbf{U}(n|m)$ обращается в нуль, кроме случаев $m=0$ или $n=0$, т.е. если супергруппа не сводится к обычной унитарной группе $\mathbf{U}(n)$ или $\mathbf{U}(m)$. Некоторое время назад Э. Виттен предположил, что лиувиллевский объем компактного четного симплектического супермногообразия всегда должен быть равен нулю (кроме обычных многообразий). В статье содержатся контрпримеры к этой гипотезе, а также получены простое объяснение теоремы Березина и ее обобщение на супермногообразие Штифеля $\mathbf{V}_{r|s}(\mathbf C^{n|m})$. Отмечена связь с недавними работами Р. Л. Мкртчяна и А. П. Веселова об универсальных формулах в теории алгебр Ли.
Библиография: 32 названия.