Точная оценка снизу суммы ряда по синусам с выпуклыми коэффициентами

Известно, что сумма ряда по синусам $g(\mathbf b,x)=\sum_{k=1}^\infty b_k\sin kx$, коэффициенты которого образуют выпуклую последовательность $\mathbf b$, положительна на интервале $(0,\pi)$. Для оценки ее значений в окрестности нуля традиционно использовалась введенная Салемом функция $v(\mathbf b,x)=x\sum_{k=1}^{m(x)} kb_k$, $m(x)=[\pi/x]$. В работе доказано, что функция $2\pi^{-2}v(\mathbf b,x)$ не является минорантой для $g(\mathbf b,x)$. Показано, что для модифицированной функции Салема $v_0(\mathbf b,x)=x\bigl(\sum_{k=1}^{m(x)-1} kb_k+(1/2)m(x)b_{m(x)}\bigr)$ в некоторой правой окрестности нуля справедлива оценка снизу $g(\mathbf b,x)>2\pi^{-2}v_0(\mathbf b,x)$. Установлено, что эта оценка неулучшаема на классе выпуклых последовательностей $\mathbf b$. Кроме того, уточнена оценка сверху для $g(\mathbf b,x)$ на классе монотонных последовательностей $\mathbf b$.
Библиография: 11 названий.