Однородные системы с квадратичными интегралами, квазискобки Ли–Пуассона и метод Ковалевской

Рассматриваются дифференциальные уравнения с квадратичными правыми частями, допускающие два квадратичных первых интеграла, один из которых – положительно определенная квадратичная форма. Указаны условия общего характера, при которых линейной заменой переменных эта система приводится к некоторому “каноническому” виду. При этих условиях система оказывается бездивергентной и приводится к гамильтоновой форме, однако соответствующая линейная скобка Ли–Пуассона не всегда удовлетворяет тождеству Якоби. В трехмерном случае уравнения приводятся к классическим уравнениям волчка Эйлера, а в четырехмерном пространстве система оказывается суперинтегрируемой и совпадает с уравнениями Эйлера–Пуанкаре на некоторой алгебре Ли. В пятимерном случае найден приводящий множитель, после умножения на который скобка Пуассона удовлетворяет тождеству Якоби. В общем случае при $n>5$ доказано отсутствие приводящего множителя. В качестве примера рассмотрена система типа Лотки–Вольтерра с квадратичными правыми частями, изучавшаяся еще Ковалевской с точки зрения условий однозначности ее решений как функций комплексного времени.
Библиография: 38 названий.