Неравенства типа Рисса–Шура для целых функций экспоненциального типа

Для целых функций экспоненциального типа доказано общее неравенство типа Рисса–Шура. Если $f$ и $Q$ – функции экспоненциальных типов $\sigma>0$ и $\tau\geqslant 0$ соответственно и $Q$ принимает вещественные значения на вещественной оси, причем ее вещественные нули (без учета кратностей) отделены друг от друга, то
$$ |f(x)|\le(\sigma+\tau) (A_{\sigma+\tau}(Q))^{-1/2}\|Q f\|_{\mathrm C(\mathbb R)},\qquad x\in \mathbb R, $$
где
$$ A_s(Q) \stackrel{\mathrm{def}}{=}\inf_{x\in\mathbb R} \bigl([Q'(x)]^2+s^2 [Q(x)]^2\bigr). $$
Это неравенство применяется к весам $Q(x)\stackrel{\mathrm{def}}{=} \sin (\tau x)$ и $Q(x) \stackrel{\mathrm{def}}{=} x$. Описаны экстремальные функции в соответствующих оценках.
Библиография: 7 названий.