О спектральном синтезе на поэлементно компактных абелевых группах

Пусть $G$ – произвольная локально компактная абелева группа, $C(G)$ – пространство всех непрерывных комплекснозначных функций на группе $G$. Замкнутое линейное подпространство $\mathscr H\subseteq C(G)$ называется инвариантным подпространством, если оно инвариантно относительно сдвигов $\tau_y\colon f(x)\mapsto f(xy)$, $y\in G$. По определению инвариантное подпространство $\mathscr H\subseteq C(G)$ допускает строгий спектральный синтез, если $\mathscr H$ совпадает с замыканием в $C(G)$ линейной оболочки всех содержащихся в $\mathscr H$ характеров группы $G$. Будем говорить, что на группе $G$ справедлив строгий спектральный синтез в пространстве $C(G)$, если любое инвариантное подпространство $\mathscr H\subseteq C(G)$ допускает строгий спектральный синтез. Элемент $x$ топологической группы $G$ называется компактным, если $x$ содержится в некоторой компактной подгруппе группы $G$. Группа $G$ называется поэлементно компактной, если все элементы этой группы компактны. Основным результатом статьи является доказательство того, что на локально компактной абелевой группе $G$ справедлив строгий спектральный синтез в пространстве $C(G)$ тогда и только тогда, когда группа $G$ поэлементно компактная.
Библиография: 14 названий.