Аппроксимативные свойства средних типа Фейера и Валле–Пуссена частичных сумм специального ряда по системе $\{\sin x\sin kx\}_{k=1}^\infty$

Рассмотрены ряды вида
$$ \Phi(\theta)=A_\Phi(\theta)+\sin\theta\sum_{k=1}^\infty\varphi_k\sin k\theta, $$
где $\Phi(\theta)$ – четная $2\pi$-периодическая функция, принимающая конечные значения $\Phi(0)$ и $\Phi(\pi)$,
\begin{gather*} A_\Phi(\theta)=\frac{\Phi(0)+\Phi(\pi)}{2} +\frac{\Phi(0)-\Phi(\pi)}{2}\cos\theta, \qquad \varphi(\theta)=\Phi(\theta)-A_\Phi(\theta), \\ \varphi_k=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi\varphi(t)\frac{\sin kt}{\sin t}\,dt. \end{gather*}
Подобные ряды возникают в качестве частного случая более общих специальных рядов по ультрасферическим полиномам Якоби, введенных и исследованных впервые в работах автора. Показано, что частичные суммы вида $\Pi_n(\Phi)=\Pi_n(\Phi,\theta)=A_\Phi(\theta)+\sin\theta\sum_{k=1}^{n-1}\varphi_k\sin k\theta$ обладают рядом важных свойств, выгодно отличающих их от тригонометрических сумм Фурье вида $S_n(\Phi,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^na_k\cos k\theta$. Исследованы аппроксимативные свойства средних типа Фейера и Валле–Пуссена для частичных сумм $\Pi_n(\Phi,\theta)$.
Библиография: 7 названий.